单位向量是什么

项链的基本概念二，有方向呢，又有大小的量，那接下来我们就从他的长度以及呢方向两个角度来说说他。首先先说一下项链的长度， 项链的长度呢，继承 ab 的加两个竖线，有点类似于绝对值，称之为将项链的长度或者响亮的膜，这啥意思呢？举个例子，比如说这是一个项链，那项链我们用尺子两穿它的长度，比如说是二，那么呢这二其实呢就是这个项链的膜。 然后我们来讲一下两个特殊的项链，首先是零项量，长度为零的项链，称之为叫零项量，记住零上面这个项链的箭头，零项量的长度是任意的，零项量的起点和终点都充 合在一起，因为他是没有长度的，对吧？所以他不能有有向线段来表示。第二，单位向量，长度为一的各单位的这样子向量，就称之为叫单位向量。 再来看一下相等项量，长度相等且方向相同的项链，叫做相等的项链，记做 a 下量等 b 项链。那我们可以知道两个项链 画的不够直，原谅我啊，这两个项链他的起点和终点都是各自不一样的，但是这两个项链呢，长度 是相当的，方向呢也是相同的，那么呢，这两个项链再而来就是相当的项链，相当于项链，其实可以随意的进行平移，与有项线段的起点啊，和终点还是没有关系， 完全是由他的方向和膜确定的。接下来我们再来讲一下什么叫平行向两个向两什么时候平行？大家感觉一下 a， 这有点像直线的平行那种感觉。 这两个项链，这两个项链是不是都是平行的？那就是方向相同或者相反的废品项链，这两个是不是相反，但是他们所在的是线是平行的，没错吧？那这样两个项链就称之为叫做平行项链，记做 a 平行于 b， 这个平行符号跟 平面解析几何中的平行符号，以及呢，跟空间立体几何中的平行的符号都是一样的平行符号。好， 然后再看一下有个特殊的项链，零项链，零项链会和任何项链都是平行的。最后讲一下贡献项链，任你一组平行的项链 都可以平移到同一条直线上，那么呢，平行项链也叫做贡献项链， 这个什么意思呢？其实因为项链他只要方向相同，长度相等就是相等项链，所以项链可以任意进行平移，那么只要在平行直线上的两项量，肯定可以平移到同一条直线上，自然而然就是理解成是贡献的。所以呢，平行项链，也就是呢贡献项链。 但是这里同学们又必须区分两直线平行和两直线贡献，那又是不一样，两直线平行，那这就不是同一条直线，两直线贡献呢？虽然没有严格这么定义，那说白了其实是两条直线其实是应该是重合在一起的， 直线之间是不能平移的，但是项链呢，他却是可以平移的，所以呢，平行的项链及贡献的。

假设这个单位项链在这个方向，从这起点往这方向是他， 然后我可以把他的水平位移和树枝位移都找到，然后我这一定是有一个夹角的，我夹着这阿尔法，如果这个项链是往这个方向，那这阿尔法就是个钝角， 如果这阿尔法要是往左下这方向呢？这阿尔法就大于一百八十度，小于二百七十度，反正就是阿尔法呢，就是零到三百六十度这个范围就可以了。 然后那在这种情况下，那这个是个单位销量，那这个长度就是一这个 位移就可以用赛尔法，赛尔法这种情况是正的，如果要是这个方向呢？赛尔法他就是个负的，这里他这个正物号就根据这个阿尔法是在零到三百六十度具体的范围而定。 那那骑士边呢？我当然都让他是水平向右啊，这边呢就是口才阿尔法，那他的正户都跟阿尔法有关。 现在我在这个方向，因为这个他是与这个 a 是同方向的，那我假设我做出来这个一个 a， 假设是从圆点到这个位置，那我就把它的这个 相关的水平方向，数值方向的这个位移也都表示出来啊。假设这个向量就是向量 a， 那现在这个长度 就是他的长度，根据定义来就可以了，因为只要是他确定了，那他的长度就是确定这是一个确定的值，那这里 他的长度是一，他的长度也知道了，那于是这条边的长度我一定就知道了， 同理这个就可以表示成他再乘上这个数。好，那现在我必要的工作做完了，现在我就 就可以来 重新再写一下它， 根据这个数乘的定义，那这样的如果说一个向量的水平位移是他，数值位移是他，那这个向量一定就可以写成他和他做一个数乘。 从现在就看他跟他就是相同的，我可以把它写出来， 所以呢，我就那他呢，就是这个，他就是 项链一的膜，这个呢就是这个单位项链，所以呢我就得到了这个第一个结论，然后我再看这个第二个结论，第二个结论呢就是 我我有他了，然后反过来求他那向量 a， 我假设这还是向量 a， 那现在他是已知呢，我就把他这个数值放在位移，我就用未来表示， 那这个水平方向的位移呢？我就用 x 来表示， 现在呢这个就表示他的竖直方向的位移，这个表示他水平方向的位移，那现在已经知道他和他的 笔直就是项链 a 的膜，那所以呢它就可以写成 这个 y 乘上 a 的模的倒数，同理它就可以写成 这个 x 乘上这个模的倒数。那现在又回到了这样的一个起点了，就是说他的水平位移可以写成他，他的数值位移可以写成他，所以他就可以 以这样来表示，因此他就等于他，这就是关于单位响亮的图式的姿势。

自然数的单位是一，那么单位向量与一又是什么关系呢？正交又是什么概念呢？ 那么什么是单位向量呢？哎，既然说到单位向量了，单位一般都是，就是表示一个一的含义是吧？哎，那么单位向量是具有单位范数的向量，那么这个范数是指的 l 二范数啊，就什么意思呢？如果说 一个向量注意了一个向量，他的 l 范数是一的话，那么这个向量就是单位向量。我们依然举二位平的二位向量啊，是吧，你看，这是一个向量是吧？哎，这是个向量。假设这是三个向量，如果说他们到原点的距离都是一，也就是他们的欧式距离啊，都是一， 那么这三个向量注意了这个向量，这个向量，这个向量，哎，都是单位向量的，因为他们的 l 二范数啊，就是欧式距离都是一，这个容易理解。好，我们看 什么叫正交啊，哎！如果两个项量点击等于零，哎，两个项量点击等于零，大家还记得吧？限量的球的话，可以通过是吧， l 二的这个欧式距离乘以万的欧式距离， 就他的在乘以他们中间夹角的扩散影值，还记得吧？哎，如果这两个项链的点击等于零，意味着什么呢？这两项链垂直的，哎，扩散影九十度等于零，对不对？哎，扩散九十度等于零。如果说这两个项链哎，就是垂直的话，我们叫什么？叫正交， 叫正交啊，哎，这个表示这两个项链的夹角是九十度，好，这是正交的概念。

那么项链的坐标是怎么来的呢？呃，我们首先我们要知道什么叫做位置项链，什么叫做基本单位项链？位置项链就是说以呃，坐标原点为起点，那么批为终点啊，坐标原点为起点的项链，我们就把它叫做位置项链，像这个 op 项链就是位置项链， 那么什么叫做基本单位项链？基本单位项链就是在额开始轴上和歪轴正方向上的单位项链就是这个癌项量和这个介项量啊，基本单位项链就这两个， 那么项链的坐标是怎么来的呢？我们假设在这个制造坐标系当中，呃，有一个位置项链是 op 项链，那我们可以知道，根据平行四边形法则， op 项链会等于 om 项链加上 o n 项链， 那么 om 限量和这个 i 限量和这个基本单位限量他们有什么关系呢？我们可以知道，他们的话呢，会存在速成的关系。那我们假设 om 限量会等于 x 的 i 限量，同样的这个 on 限量和这个基本单位限量他们有什么 关系呢？呃，我们可以知道，他们的话呢也会存在速成的关系。那我们假设 o n 项链可以 y 的这个项链， 那么所以我们根据脾气思维性法则，因为 o p 项链会等于 om 项链加上 o n 项链，那么 o m 项链又等于 x 的 i 项链，呃， o n 项链又得 y 的接项量，那么也就是说 o p 项链他就会等于 s i 项链加上 y 的接项量， 那么从这边我们就得到了我们项链的坐标，我们项链的坐标就是他们前面系数的有序时速。对啊，所以也就是说项链的坐标是什么？就是他们前面的系数。所以比如说我们看这一题，那么这个 a 项链的坐标是什么？就是他前面的系数，所以他的坐标就是三 fo。

专升本大课堂一点一例一记息考点四十八，向量的单位化方向角。同学们，好，我们来看考点四十八 项链的单位化和项链角，以及项链余选。这个考点我把它定义为三星级考点，主要基于两点考虑，一是大纲要求， 第二是往年出现的频率。首先我们来看考纲要求，在向量代数这一部分，大纲的要求一是理解空间自觉坐标系他的概念， 第二理解向量的概念啊，这都是理解，在理解概念理解的这个要求里，主要是以概念为主。 后面这句话会求单位向量和向量余弦啊，这个是个会求，那这里也就是说在考试当中出现把一个向量单位化，或者是 求方向余弦或者方向角，这个要求是大纲的要求，也说考题当中出现是完全符合大纲要求。 同时呢，在往年的考题后边，我会给把往年的原题看到。 这几年的考题不多，并不是说每年都出啊，不像求实现方程或者是平面方程，在这一章的考试里，每年要么出个直线方程，要么出 个平面方程，那这里这些概念肯定了，限量的单位化和方向角可以考，也可以不考，也就是说偶尔会在今年的考题或者明年的考题出现，并不是必须要出现的， 这些地方同学们留意就可以了。而且这种考题在考专升本考试里边，一般会以填空题或者选择题来要求。好，我们先来看空间知觉坐标系， 对于空间制作坐标系，他的要求我们不再详述，详述啊，那也就说坐标系这个概念，坐标系啊，实际上从直线竖轴再到平面当中的平面 直角坐标系啊，还有一个就是到空间里的空间直角坐标系，同学们应该是说在理解的基础上，对这个坐标系他的逐步理解， 其实呢，这里主要是他的目的就是竖行结合的一种思想，就是在空间知觉坐标系和平面知觉标标系是一样的，在平面知觉坐标系里边一个有序数组 啊，一个优秀数组和这个平面当中的一个点建立了一一对应关系，同样的空间当中一个点和一个有序的三位数组建立了一种关系，那这就是把代数问题 和几何结合起来，所以这一部分这张啊向了代数。还有一个就是空间解析几何， 大家理解就 ok 了，在这里要掌握两点间的距离公式，两点间的距离公式，在平面解析结合里面有个两点间的公距离公式， 这一个在空间里就是拓展，在平面里边是前两项是吧，在空间里再加上第三项。 那对于向量在中学里也介绍过，既有大气小又有方向的量叫做向量，也叫做湿量。他的表示啊，一个就是最常见的，就是在手写的时候，一个小写字母前面加一个顶上加一个箭头来表 是项量啊，那当然对于给定了两个点， a 和 b 连接所形成的这个项量，在表示的时候注意啊，谁在前面谁是起点，谁在后面谁是终点。这个应该理解， 限量相等，那就是大小相同，方向相同啊，对于限量 可以用坐标来表示，那刚才咱们可以看到了，在空间当中一个点，假设这个点啊是个趴 啊，我们可以用 a 来表示，他的起点在圆点，终点在这个点上的时候，我们可以用 a 来表示，他就是表示这个点的坐标。 一项量在表示的时候，一般教材上都是项量的表示适应这个大国号，而点的表示适应圆国号。 同学们在看其他参考书的时候，注意有一些教材上或者是说书上要通过前后语句来判定，有些书上干脆点也是应元格号，项量也是应元格号，那注意这种表示 项链的膜，那就是项链的长度啊，记住他的膜应该是用两点间的距离公式可以求出，他的膜的结算公式可以求出来。那对于 起点和终点构成的这个项量，首先它的分量，那就是各个分量都是整点减，起点母儿的长度 就是他两点间的距离好。什么叫单位向量？模为一的一个向量称为单位向量。 康康要求里大家看到了是会判定单位项量，所以这个地方要重点重点掌握， 那也是说给定了一个限量，咋样把它单位化，其实很简单，首先是个单位项的还是个限量，第二句话就是他的模是一， 那这个在给定一个项量，在求解的时候，那根据他定义就是这个项量，除以他的膜构成的这个项量，他的膜一定是一的啊，所以具体展开就是这个式子。注意在数 数的时候，在专升本考试，在填空题选择题里出现这种词，同项与这个项量，同项的单位项量，还有一个是与这个项量平行的项量，要注意， 那同向就是原来是这个 a， 哎，现在这个向量长度是一了，方向相同啊，那对于 给你了，这个是 a 这个项量，如果这个项量与他平行方向可以相同，可以相反，所以这个时候求数的单位项量有两个注意，他表示正负， 这个地方需要同学们注意，那在这里啊，特别要注意，在向量代数里，那三个单位向量 是要用特殊的符号来表示的，就是 ijk， 这三个单位销量，分别是在 x 轴上的三位单位销量和 y 轴和 g 轴上的这三个单位销量，同学们要记住它 啊，他也就是数学的表示，是固定的。什么叫零限量？模长为一的限量成为零限量，两个限量的夹角，我们记做这个符号，他的取值是在零倒派 啊，注意啊，向量的夹角，两个向量夹角，注意，这种表示符号啊，是表示夹角，什么样的方向角呢？大家来看，大纲里要求会求方向鱼弦和方向角，那这个地方也就说单位向量 是一个重点，还有一个就是方向余弦和方向角也是是一个重点，那这里给你了一个限量 a， 他与三个 坐标轴的夹角成为方向角，而他夹角的余弦成为啊，方向余弦分别计算，就是每一个分量 笔上它的膜，具体展开就是它的计算公式。其中我们可以看到分别是与 x 加角，阿尔法与外轴的加角是贝塔与 z 轴加角是伽玛，这个表示也是相对固定的 啊，就是 i、 j、 k 啊，不了，这个 i、 j， k 这三个单位限量 r 被 他刚把这三个方向角按表示固定，而且他的表示有这样的关系，他的平方之和等于一，那主要要把这个公式熟练记住他 对于往年的考题，咱们来看啊，你看啊，为什么把它定为三星级高铁呢？就是说这些是基本知识啊。往年考题在一五年的时候，出现了一个与向量同方向的单位向量，那叫单位化。 再一个，哎，这一个到了二零年离咱们就比较近了，这一年又出现了啊，与这个向量 a b。 注意啊，他的表示 a b 同方向的单位向量。到了 二二年干脆就考了一个最最简单的两点间的距离，就是 ab 这个项链的膜，实际上就是两点间的距离公式。同学们，对于这个考点，他的基本要求你理解了吗？

各位同学好，今天我们一起来看一道九年级单位向量的一模真题。单位向量是指的是模等于一，并且他有确定方向的向量，但是由于单位向量有无数多个，所以对于单一的单位向量是无法确定方向的。 那这一个题目他考察的是向量之间的相等关系。那我们知道，如果说两个向量之间能够用等于号连接，他们必然是平行向量，也就是方向相同或相反， 那么我们把握住方向这一个重要的要点进行分析的话，就会发现， a 选项向量 a、 向量 e、 c 选项向量 e、 向量 b、 d 选项向量 b 和向量 a， 他们的方向都是并不能确定的，因此 a、 c、 d 都是不正确的，而 b 选项向量 e 的模为一，因此为正确答案。

怎么样求限量的单位限量，那么限量的单位限量的话呢？呃，如果我们已经知道了限量的坐标，那么我们要求这个限量的单位限量就两个步骤，首先第一步你就先算出限量的模，限量的模会得以根号 x 平方加 wifi， 那么就是等于根号 x 平方加 wifi 带进去等于十三， 然后第二步你就用呢膜的导数乘以这个项链，就可以去做项链的膜，那比如说像这个这一题，我们要求这个项链的膜，那么我们的话呢就两个步骤，首先第一步求出这个项链的膜长，那么我们可以知道这个项链的膜长 就等于呢根号 x 平方加 y 方，那么就等于根号 x 是负三，那个 y 是三，那么所以的话就会等于九加九十八，那就等于三又更好。二，第二步我们要求单位项链，那么单位项量的话，这边指的是同方向上的单位项量，同方向上的单位项量，我们就用摩长的导数乘以 这个项链，那么所以就等于三，又根号二分之一乘以负三三，然后把这个呢乘进去，那就等于负的根号二分之一，根号二分之一，然后化解一下负的二分之根号二，二分之根号二。 所以我们要求单位项链就两个步骤，第一步先求摩长，第二步用摩长的导数乘以这个项链。大家你要注意，我们这边说的单位项链指的是同方向同方向，如果是题目说在我们求出同方向是指这个，也就是说如果这个项链 a， 那么同班项上的单位项链指的就是和他方向相同，大小为一的项链，这个就是他同班项上的单位项链， 那么有时候的话呢，考试的时候会出现说，哎，这里求反方向的单位向量，反方向指的就是方向相反，那么长度为单位一的大小为一的单位向量，那这个时候的话，如果是求反方向的单位向量，怎么求呢？很简单，你就在这个公司这边加一个负号，那么每一个都要加一个负号，得到的就是反方向上的单位向量。

好，各位同学，大家好，今天我们来学习的是人教版新版的第六章平面向量的第一节，平面向量的概念。 在学习这一章的内容之前呢，我先简单的说一下我们为什么要学习平面项链。有的同学可能认为老师我们以前已经学过平面几何了，那么现在为什么还要学习平面项链呢？ 其实平面向亮这一个东西，它的作用主要就是把怠数和几和联系起来。 几个题大家做的时候肯定有印象，就是说思路比较难找，对吧？那么我们如果用学习了平面限量之后，那就可以用 平面向量来表示几何之间的关系，然后通过平面向量的运算来确定，来证明或者说解决你所需要的几何问题。这是第一 我们是连接带数和几何之间的关系。第二个就是我们以前学的平面几何，你会发现解题的时候他都是特别的刚刚好，刚刚好是他的一半，刚刚好两个相等，对吧？或者说刚刚好角度，角度是特殊角，但是我们实际生活中呢， 肯定不是这样，对不对？所以说我们另外的就是让数学更加接近我们实际问题的解决，所以说等你学通了之后，你会发现平面限量用来解决实际问题是非常非常方便的， 这是第一他的作用，第二他起源于哪呢？起源于我们就是我们实际生活或者说一些物理现象，一些物理上的概念，比如说位移，比如说利 位移和立是最常见的两个平面向量的代表。回去我们接下来的学习会以这两个概念为代表，一到下一节课，我们来具体来学习平面向量加法的时候，再仔细的研究这一个问题。 最后我们应该如何去学习呢？首先塑形结合这一个，在大家初学的时候一定要注意学一个东西，动手画一个图，做一道题，动手画一个图，等你熟练了之后，你可能 可以脱离图形去解决，但是在初期学习的时候，一定要和图形联系起来，弄清楚图形和符号之间的关系，弄清楚他他俩是怎么样连接的。 然后呢就是新旧知识的对比，在我们的一些概念中，他和以前的很多知识都是 有一些相同的地方，也有些相反的地方，比如说我们这一节一会要学啊平面相量的膜，你会发现他用的符号就是我们以前的绝对值符号， 对吧？我们用符号来表示平面降量的时候也是和线段差不多，区别就是多了一个箭头， 还有其他更多的在我们后面的，还有跟坐标系有关的，跟宿州有关的。大家一定要注意新旧知识之间的对比记忆， 不要一味的死记硬背，或者说一味的把老的东西拿过来就用，一定要学新的东西的时候和老的进行对比，弄清楚他们之间的联系，哪些地方是相似的，哪些地方是不相同的， 然后你才能理解的更深刻，运用的更熟练。好了，接下来我们来看我们这一节课的主要内容， 这节课的主要内容主要是概念性的学习项链和他的一些概念，比如说首先我们要知道项链，什么叫项链，我们用什么样的符号， 这边的表示方法是两个，一个是符号表示，一个是几何表示，另外就是项链的膜怎么样表示，表示的什么样的含义，什么叫零项链？什么叫单位项链？这是第一部分，第二部分就是平行项链和贡献项链，这两个名字是什么样的含义？ 然后就是相等项链，什么样的项链我们才能称之为相等项链？ 好，我们一个一个来。首先呢大家来想一下我们生活中的不同的事件，或者说我们向其他人描述的时候，比如说 描述小明的身高，小明的体重，小明是怎么样去学校呢？小明他的书包太重了，他需要拖着走，他是怎么样拖着呢？ 明显我们在这里描述事件的时候，我们可以大致的区分分为两类，哪两类呢？上面的身高和体重，我们只需要一个数字就可以了。 一说身高一米八，大家就心里就有概念，你不需要对一百八十厘米以外的任意，不需要，只需要一米，一百八十厘米就可以了，对吧？还有体重，比如说二百公斤， 大家一下就有概念了，对不对？但是你要说小明如何去学校呢？那一个数字行不行？绝对是不行的，你说如何去学校啊？ 离学校五公里，骑着车车去的，那往哪走呢？是不是还需要加一个方向，对吧？我们日常生活中很多东西都是这样，你一个数字 描述不了，你还需要加一个方向，比如说这个书包他是怎么拖呢？斜着向上，向上多少度和地面夹角多少，对不对？ 所以说这样的话他就形成了两种不同的量，上面的这种总量只需要数字就可以说清楚，我们在物理学上通常叫做标量，在数学上有时候叫标量，有时候也单纯的就叫数量， 而下面的这一个就叫项链，在数学上他就叫项链，需要用数字和方向来说明的，或者说我们把既有大小又有方向的量 叫做项链，这就是我们今天所学的平面项链。为什么叫平面项链？因为是在 一个平面上的，所以平面项链我们可以具体画的，再往前面加一下平面项链，就是说在同一平面内既有大小又有方向的量叫平面项链，我们这是项链。 好，那么我们知道什么是项链了，那项链是如何来表示呢？ 两种方法，一个是几何方法，一个是符号方法几何就是说你画图去表示，我们是怎么样来表画图表示呢？用一条有相线段，线段大家都知道两个端点有一定长度， 那什么是有限线段呢？多了一个有限，对吧？我们就给线段两个端点规定，一个是起点，一个是终点，把它规定 一个起点，一个终点，这样的话他有起点，有终点就规定了一个方向，对不对？规定了一个方向，那我们就构造了一条有项线段。构造了有项线段了之后，我们就可以用来表示一条项链，简单的说，画一条线段，加一个箭头就是一个项链， 那符号是怎么样来表示呢？或者说我们在书，在写作业的时候，在答题的时候，是怎么样来表示 一条一个项链呢？和线段类似，有项线段，说穿了还是线段，对吧？所以我们有项线段他的表示，或者说项链的表示和线段的表示非常非常类似，你可以用两个大写字母，或者说用一个小写字母都可以，只 只不过他有方向，对吧？所以我们要在字母的头上加一个箭头，比如说我们下面的这个例题， 看线段，我们把 a 规定为起点， b 规定为终点，那么我们就可以记成项链 ab， 然后 ab 上加一个箭头， 或者说我们把这一个项链叫做 a， 小写的 a， 然后我们在小写的 a 上面加一个箭头，就称之为项链 a 小写。 最后呢，我们一定要注意，项链符号表示的时候，他是有方向的，因为起点和终点是规定好的，所以说你的第一个字母永远只能是起点，第二个字母永远 只能是终点，就好像我们初中学习的有序速，对，或者说坐标表示，你第一个不能写成 y， 第二个不能写成 x， 对吧？你必须是 x 到 y， 这一个也是一样，起点终点，头上加点头， 好，这是平面向量，他的表示。来，大家可以再回顾一下，什么是 什么是项链，怎么样表示，两种方法，这两种方法怎么样写，写的时候要注意什么？ 那么接下来就是相关的概念。第一个叫项链的膜，项链也是一个量太有大小，对吧？那项链的大小其实就是我们线段的长，这个有项线段的长，他的长就称之为项链的长度，也将 做响亮的膜。那表示的时候注意啊，我们学一个概念，你都你就得知道他表示的时候怎么样表示他符号，就相当于给他加了一个绝对值符号。当然了，我们现在不能说他是绝对值符号，只能说类似绝对值的符号， 加了一个这样一个符号，这一个符号就表示 ab 这个项链的膜，或者说 ab 这条有相线段的长。接下来就是零项量，零项量数字有零项量也有零， 在这里零项量就是长度为零的项链。但是大家仍然要注意啊，零项量和零可不一样，零是一个数量，零项量是一个项量，他们俩是不一样的。 虽然说我们认为零项链方向是任意方向，但是我们的数量零，他是没有方向，他和这个任意方向还不一样，所以大家一定要注意啊，零项量和零是不一样的，而且你写零项量的时候，头上一定要带箭头。 最后单位项链就是长度唯一的项链，就叫单位项链。 好，接下来我们看一道例题，大家可以也可以看课本啊，我们这一个是人教版， a 版和最新版的课本。 好，这一个例题给了你一张地图，然后用项量表示 a、 d 到 b、 c 两 d 的位移，并且根据比例是求出他的实际距离。那这一道第十 实际上就是对项链这个概念的一个认知。 a、 d 到 b、 c 两例，那就是 a 到 b， a 到 c， 起点是 a， 终点是 b 或者 c， 所以说它的表示的 a 到 b 的话，那就是 a b 这个项链。 然后我们给 ab 头上加一个箭头，然后 ac 这一个项链，然后 ac 这一个上面加一个箭头， 最后根据比例是你们刻下可以自己在书本上量啊。求出 a 到 bc 两个地方的实际距离，实际上就是在求 ab 这一个项链的膜， 就是在求他的模，同样 a 到 cd 的实际距离就是在求 ac 这个项链的膜， 大家要通过这道例题把项链概念和项链的膜这两个重点的掌握理解，后面用了很多很多。 好，接下来我们还有一部分，第一部分内容就已经结束了。第二部分内容，什么是相等项链？什么是平行项链？什么是贡献项链？ 首先平行项链，平行项链就是说方向如果相同，或者说完全相反，这样的两个项链我们就叫做平行项链。那什么是贡献项链呢？贡献项链就是两个项链，我通过平移 左右或者上下平移，你只要不旋转就可以了，能够平移到同一条直线上的 两个项链就叫贡献项链。很明显，那平移和平行项链和贡献项链，他实际上就是同一个概念，只是两种叫法而已，他就是同一个概念。所以说只要告诉你说他是平行项链，那么这两个项链一定贡献。 另外的话，我你需要注意啊，告诉你说贡献项链并不意味着一定是在同一条直线上，我们只是说他俩平行，只要是平行项链就是贡献项链，大家一定要注意，虽然说 贡献项链给人这个名字给人的迷惑性很大，对吧？你要清爽，贡献项链只是说平移了之后，我能放到一条线上，对吧？好，接下来就是跟零项链有关的 零项链，咱们之前说过零项链他方向是任意方向，对吧？所以说零项量和任意项链都平行，或者说零项量和任意项链都贡献。 最后一点就是说平行向亮，他的方向是相同或者相反，你不要认为平行都是相同，因为到后面我们做题的时候有可能会涉及到分类讨论，有可能涉及到分类讨论，所以这一个也是要注意的。 接下来就是相等项链，相等项链就要从我们项链本身这个概念来说，项链本身他实际上是描述两个东西，一个是方向，一个是长度，对吧？ 所以说你方向和长度都相同，那我们描述也都相同，对不对？那所以方向和长度都相同的两个项链，我们就称为相等项链。记得之后就是 ab 项链 ab 等于项链 cd， 你你和做一个有象线段要区别下来，有象线段， 他们两个相等的项链可以用两个不同的有线有项线段来表示，因为呢，有项线段他有具体的起点和终点，对吧？但是我们项链相等项链，他们的起点、终点 和这两个相当，相量相等不相等，实际上是无关的，或者说两个相等的相量，他的起点和终点可能也 不一样。比如说我们下面这个，你看项链 ab、 项链 cd， 他俩的方向一样，长度也一样，所以说项链 ab 就等于项链 cd， 但是这边是两条有项线段，对不对？像有项线段 ab， 有项线段 cd， 他俩相等，是同相等的项链，但是他俩不是同一个有项线段， 一定要把这些细微的东西弄清楚，与起点和终点无关。 好，最后大家可以根据我这边的三个重要的东西来自我回顾一下，看一下你们对这些，比如说项链概念表示方法呀、膜呀、零项链、单位项链以及下面的几个概， 自己心里有没有非常清楚。如果没有，你可以再看一下视频，或者说再重新看一下课本。好，这一节课到这里。

这节课我们一起来学习零限量与单位限量。上节课呢，我们学习了有关限量概念以及限量的表示方法，把既有大小又有方向量称之为限量。那么限量表示方法，我们会用有项线段来表示， a 是起点， b 是终点，在终点处加上箭头， a 起点写在前面， b 中点写在后边，上面加上一个箭头的一个符号，表示 ab。 下量要用小写字母 abcd 等等来表示。 这节课呢，我们来学习项链的大小，项链 ab 的大小，我们称为项链 ab 的长度或者是磨 g 为 ab， 加上这样的一个符号，或者用小写字母来表示它的膜，这样是长度，长度的话，它是一个数量，数量的话应用就比较广了，又可以用到之前 前我们所学的一些，比如结合率、分泌率等等。他的膜呢，长度可以是等于三，也可以等于四，也可以等于五，也可 可以等于一，也可以等于零。那么它的长度为一的限量我们称为单位限量。长度为零的限量呢，我们称为零限量。接下来我们一一来学习一下。当 一个项链的长度为一，那么我们称之为单位项链。单位项链他的膜是等于一的，因为 因为是单位限量，他的方向呢可以朝这边，也可以朝这边，也可以朝这边，只要保证他的长度，也就是他的膜等于一就行了。所以我们说单位限量会有无数条， 因为呢，零限量，长度为零的限量，我们就记为零限量用零加上一个箭头来表示，因为 长度为零，所以他的方向呢不确定，那么我们可以说零限量的方向是任意的，接下来我们分别用图形来表示有关限量量的大小，限量以及单位限量。零限量。 这边 a 是起点， b 是终点，那么我们表示成项链就是 ab， a 写在前面， b 写在后边，如果 b 是起点， a 是终点呢？那么我们写成项链 b a。 项链 ab 和项链 b a 是两个不同的项链， 如果项链 ab 和项链 b a 的模式相等的，他们俩长度相等，那么我们可以说这个等号是成立的。 ab 和 b a 不管他们的方向如何，只要长度相等，那么这对等号就是成立的。接下来看一下单位限量，单位限量，他的长度也就 就是磨是等于一。另外呢，零销量，零销量是长度为零，方向呢是任意的，这是有关项链的大小的一些衍生的知识点。 来看一下 mist， 竖轴上 ab 两点对应负一和二。现在问项链 ab 的长度， ab 的磨呢是等于多少？我们把项链 ab b 把它画出来，看一下竖轴上把 ab 找出来， a a 对应的是负一， b 对应的是二。项链 ab， 我们把箭头写在中点 b 处， a 是起点，他的磨， ab 的磨就是等于二。减去负一，那么是等于三，他的长度就是等于三的。接下来我们看一下逆袭 二，把平面上一切单位项链的十点放在同一点，那么这些项链的中点所构成图形是什么样的图形？ 我们来看一下单位限量。单位限量也就是他的长度是等于一的限量，只要长度等于一，方向呢，是任意的长度等于一就行了。现在呢，我们把单位限量的起点放在同一点，假如这一点是欧点， 我们画一下单位限量，来看一下方向可以朝这可以朝这，可以朝这，也可以朝这，当然还有无数无 数多条，我们再来画的话，会发现他是构成一个单位圆，那么答案就选 d 选项。来看一下逆袭三判断之物。第一个， 零限量是没有方向的量，刚才有讲零限量的方向是任意的，那么第一个是错。第二，零限量的长度为零，对，零限量长度是为零，也可以说模式为零的。 第三个，所有的零销量都相等，因为零销量他是限量，限量他是有方向的，有方向 那么他的方向是任意的，所以零限量只有说他长度是相等，也是他的模相等，但是不能说零限量都相等，所以第三个错误。第四个，零限量的方向是任意的，是对的，刚才我们有讲过。最后呢，我们做一下小结，有 有关限量概念我们已经讲了，既有大小又有方向量就成为限量。限量表示方法呢？用起点和终点来表 表示， ab 来表示，也可用小写字母来表示项链的大小，我们把项链 ab 的大小称为项链 ab 的长度，或者是磨在 a 项链 ab 外边加上这样的一个符号，或者用小写字母来表示。 单位限量呢？他的摩等于一的限量，我们就称为单位限量。单位限量是有无数条的零限量摩长为零的限量，就记住零限量，零限量方向是任意的。好，这节课我们就讲到这。

大家好，今天呢我们来学习项链的知识点，三，项链的几何表示。 我们前面两节课呢，已经学习了项链的概念，有项线段和有项线段的三要素，下面我们来看一道新的例题。 新年将至，寒假来临，小明从大学所在的城市 ad 回到了家乡 bd， 那么求此时小明的位移，我们根据初中的知识位移就可以从 a 指向 b 画一个箭头就可以了， 那么在这个表示项链的时候，表示这个项链位移的时候，我们就用有线线段给他表示出来的。那我们今天 学的项链的几何表示，从这里就可以看出，项链的几何表示其实就是用有项 片段来表示，那么在书写的时候就应该写成的是项链 a， b 或者是项链 a， 这个都可以，那我们看一下需要注意的， 如果用大写的英文字母，这两个英文字母都是什么呢？是这个位移的起点和终点，也就是有效线段的起点和终点，从起点指向终点，然后在上面加一个箭头， 读作的时候是称之为项链 ab， 也可以用一个小写的英文字母 叫做项链 a， 记住啊，这个是小写的英文字母，但是不管是哪种形式，上面都应该加上箭头，那么这个就是表示出来了项链 ab， 此时小明的位移就可以表示成这两种形式， 同样的，从 b d 到 c， d 的这个位移你可以表示吗？那我们用大写的形式就是向量 bc 或者是向量 b 来表示，那我们看一下新的概念，项链的大小称之为项链的膜 货，称之为其长度，写作的时候，在这应该在项链的两侧加上这个两个竖线， 像是绝对值，但是我们读作的时候，千万不能读作绝对值，一定要读作项链的膜，或者是项链的长度。一般情况下，我们都读作项链的膜 两个概念，长度为零的项链称之为零项量称之为零项量。记，做写作的时候千万要记住，只要一提项量，不管是什么样的，必须上面 都要加箭头啊。长度为一的项链，那称之为单位项链，称之为单位项链。那我看啊，不管是零项链还是单位项链， 他这个啊，只是强调他的长度，他的方向可以是任意的，只要满足长度为零和长度为一，那就分别称之为零项链和单位项链。 那有的同学说我们这个有项线段可以来表示项链，那么项链和有项线段是不就是同一个概念呢？我们现在看啊， 我们可以很明确的告诉大家，有项线段不是项链，他们两者具有什么区别和联系？我们现在看有项线段可以表示项链，就像我们刚才的例题一样，他的 区别我们要从他的要素出发。有效线段的三要素是起点、终点和方向。我们拿这个平行四边形来说， 我们比如说线段 b dc 和线段 ab， 那么称之为有项线段的时候，我们就可以称之为有项线段 dc， 有项线段 ab。 这两个有项线段，他的起点分别是 d 和 a， 而他的终点分别为 c 和 b， 方向倒是同一个方向，但是起点和终点是不一样的，所以说这两个项有项线段绝对是不一样的。 而项链他的要素只强调大小和方向。如果我们说项链 dc 和项链 ab 的时候，我们看一下他的大小是不是就是他的长 度，他应该是相同的，相等的，那么方向呢？ ab 方向和 dc 方向平行啊，平行的话方向也是相同的呀，也是从 a 的到 b， 从 d 到 c 都是向右的方向水平向右的方向方向相同，那我们就可以发现， 对于项链 dc 和项链 ab 来说，两个要素大小和方向均是相同的，所以我们就会发现项链 ab 和项链 dc 是相同的，而对于有项现代来说，这两个是完全不一样的。那我们就可以得出结论， 每一个有项线段都是唯一的，只要规定好了起点、终点和方向，那么只要已经给出他和其他的肯定不一样，但是项链是可以平行移动的，我们看一下， 我们可以将 dc 项链平移到 ab 项链的位置，这就是我们今天所学习的有项线段和项链的区别啊，这是我们这节课的一个重点。

今天继续高考中的平面项链，来二零二一高考填空五分题分析题目。已知 a 项量 b 项量是单位项量，并且 a 项量加 b 项目是一， 要求的是 a 项链且 b 项链的模。有同学说呀，老师啊，这个单位项链看起来好高级啊，是什么意思呀？单位项链呢，就是模为一的项链， a 项量， b 项链是单位项链，那就意味着 a 项量的摩等于 b 项链的模等于一， a 项量加 b 项量的模等于一。遇到模的问题，我们就把它先平方，把它们平方之后就得到了这个式子，再把它展开，就可以算出二倍的 a 项量点成 b 项量的值了，这就是 a 项量点成 b 项量的值， 要求的是 a 项量减 b 项量的模，所以我们依旧把它展开来。展开之后呀，我们就可以发现，这三个值我们都是已知的代入数值。这道题该做出来了，等于这道题最后答案就是根号三，怎么样，你的解 和我一样吗？新疆女老师不仅能教跳舞，也能教数学，明天继续高中数学知识点讲解，有什么问题在评论区告诉我吧！

每天一道数学题，咱们看一看这个销量问题啊，我们好多学员也反映销量比较难，咱们以这个题为例啊，咱们看一下 向量 a， 三四是吧，与向量 a 方向相同的单位向量。首先你得知道单位向量比，咱们以 a 零表示啊，等于什么呀？等于向量 a 比上向量 a 的膜， 这个得知道啊，然后你就带这个式子就行了。销量 a 知道吧，三四是吧，这个模怎么求？这个是 x， 这个是 y， 那么他的模 就等于根号下 x 平方加外放。这个公式非常重要啊，一定要记住，就等于根号下三的平方加上四的平方等于多少？ 等于五，那就求就行了啊，五你可以写成，也可以这么加，五分之一倍的销量，哎，对吧，这个回求吧，把这带进来就行了啊， 就等于 x， 就等于这个单位销量呗，就等于这个 x 就是五分之一，乘以三就是五分之三。 y 呢，就是 五分之一，乘以四就是五分之四啊，就是 c。 这会了吧，这销量呗，确实他知识点比较多啊，多做练习都行了。