加权均值不等式的公式及证明

均值不等式配凑放缩，把题型四的核心思想保留过，配凑所求，将剩余的放缩于所求它已知 x 方加 y 方减 x， y 加四等于四的吧？求的啥？求的是， 求的是 a 加 y 的 吧？是不？孩子们求的 a 加 y 好 了，那么求 x 加 y 的 时候呢？大家看一下 a 加 y 这里边有没有 a 加 y， 有没有 a 加？这个式子里边没有吧？没有 a 加，那怎么办？有的话保留，没有的话配错。怎么配错？孩子们，两边同时加长 两加什么？二 x y， 对 吧？给他加上二 x y 就是 x 加 y 的 方，对吧？再进了一个四，怎么样？ x y 会了吗？孩子们啊，然后再把啥呢？ x y 这个换成它对吧？继续换它大能减二倍，根号 x y， 对 吧？所以 x y 小 能减 四分一倍数 s 加 y 的 方，会了吗？孩子们，小四分一来吧，所以这边小能减四加上三乘以它四分之三倍上 x 加 y 的 时候方，是不是意思啊？好，一项出来了吧，一减四分之四等于一倍上 x 加 y 的 方，这是作为大题啊，这么做相当于几？四，好嘞，是对吧？好，那多少几？拿过去。 a 加 y 相当于几？相当于四，是不是？ ok， 好， 后来吧，孩子们啊！

好，今天我们一口气讲透君子的本是，首先看第一种类型，已知了，然后数的积，然后求他们和的最小值。其实这种题的话，就可以直接的去用到我们的 呃，均值不等式， a 加 b 大 于等于二倍，根号下 ab， 当然前提是 a 大 于零， b 大 于零，不要忘了，那我们本题就可以直接用了，因为这个是大于零，这个也是大于零，所以我它就可以直接 写成大于等于二倍的根号下六， x 方 y 方，对不对？那么我们这个地方就可以直接写 二倍的根号六，乘以根号下 x 方 y 方，那么 x y 它乘起来等于一，所以说我们这个地方就可以直接开出来，它就等于 二倍根号六，所以这里就很简单啊，这种就是可以直接去套公适用的。然后我们再看第二个，第二个， a 分 之一， b 分 之二等于一，求 ab 的 最小值，那 这个话也是一样的，我们还是用到了均值不等式，因为它们俩都是正数，所以 a 分 之一和 b 分 之二都是正数，可以直接套公式换着颜色，那就是 a 分 之一加上 b 分 之二，是不是大于等于什么呀？大于等于二倍的根号下 ab 分 之二，对吧？然后不要忘它等于一，我们把一写在这，它等于 一。好，那这这一块的话，没用，我们就不要了，你就把它删掉了，不要了，我们就留下了一大于等于二倍的根号下 ab 分 之二，然后你把这简单做了处理，它就是根号 ab 分 之二倍，根号二 小于等于一，是不是？好，我们现在呢，我们看下怎么办？那把 ab 是 不是可以直接乘过去，因为 ab 它是大于零的数字，所以我们把根号 ab 乘过去，就是根号 ab 啊，这样大家看的舒服一点，就这样吧。然后我们两边平方一下，那就是 八小于等于 ab。 好， 所以 ab 是 大于等于八的，所以它最小值就是八，看懂了吗？这两个的话都是可以直接套用公式的。 ok， 好，我们把它删一下吧。好，继续往下看第三题，第三题的话他是跟第二题差不多。嗯，我们还是可以直接用，因为他说他们俩都是实数啊，是实数，然后 a 分之一加 b 分 之二等于根号下 a b， 求 a b 最小值。我们来看一下怎么做呢？我觉得题目中可以改一下，应该是这个地方应该是他们两个和是正的，那不能保证他们 都是正的，但是他们如果是一正一负的话，这个 ab 也不能放在底下，所以说这个地方其实保证他们俩都是正数了，已经是也是正数啊。好，所以我们可以直接用大于等于二倍的根号下 ab 分 之二。然后呢，我们继续还是用刚才的方法把它简单整理一下。根号下 ab， 二倍的根号二， 小于，这边不是等于根号 a b 吗？然后把这个就消掉了，那这边就是小于等于根号 a b。 好， 然后我们因为根号 a b 大 于零，所以我们把乘过去，就是二倍的根号二小于等于 a b， 所以 a b 就 大于等于二倍根号二。就这样做简单啦。这是前三道题都差不多 学会了吗？就可以直接套公式的那种类型。直接套公式是可以直接套公式的类型。公式我们还写在这 a 加 b 大 于等于二倍的横号 a a d a 大 于零， b 大 于零的情况。好，这过程也删了啊，如果需要看的话，可以从回头去看，这个是等于 好，我们看下第四题。第四题这种类型呢，他也是比较简单，因为他告诉我们 x 是 大于零的，那么我们也是可以直接套公式的， 这边的 a 加 b 就 相当于等于二， x 这边的这边已经符合 a 加 b， 所以 我们直接套啊，就是二 x 加上 x 分 之一大于等于二倍的分号下，二 x 乘以 x 等于二倍的根号二，所以他是大于等于二倍根号二，也就是二倍根号二是他的最小值。然后这个第五题和第四题是差不多的，但是需要发，我们会发现他们两个下面是不一样的，所以我们需要给他来一个拼凑法，把它凑出来。 这边是 x 减一，所以我们这也把它配成 x 减一，那就是二倍的 x 减一，加上 x 减一分之一， 这边相当于多减了一个二，随便随便加一个二就行了。然后这两项可以用均值不等式去做，大于等于二倍的根号下，它们俩乘起来等于二，所以大于等于二倍根号二，再加上二的话，那就是 二为根号二加上二。但前提要注意啊，这个地方有一个 x 大 于一，也就是我们要保证他们的每一项，我们在用军军事等式的这个不等式的时候，这两项都是大于零的时候才能用。需要特别提醒的啊，我们这个视频先到这，下面我们再讲下面的内容。

均值不等式，配凑放缩，把题型四的核心思想保留或配凑所求，将剩余的放缩于所求。 y 大 零 x 加上三 v 加上 x v 等于九。现在求的是 x 加上三 v 的 最小值。 好，来，孩子们，看这个题怎么做？大家记好这种题的核心思想。题型是什么？题型四的核心思想叫做啥嘞？刚刚讲过叫保留啥？有的话保留，没有的话配凑保留或配凑所求的式子， 保留或配凑所求，将剩余的放缩余所求，将剩余放缩余所求。好，咱们看这个 x 加三 y 加上 x y 等于九，求 a 加三 y 的 最小值，保留哪个？ 保留 a 加三 y， 对 吧？好，来，咱们 x y 加三 y 保留，那就移过去吧，那就是一个 x y 等于九，减去 a 加三 y， 对 吧？ 把它保留下来来放它。对，那我就要找 x 乘 y 和 x 加三 y 的 关系的吧，懂吧？好，其实上一种题型讲过了， 只要遇到 x 乘 y 的 吧，正向去求。好，因为你直接想什么？想把？直接用 x 加 x 乘 y 放缩为 x 加三 y， 你 正向放这么放 x 加三 y 大 能解 大的减二根号下 s 乘以三 y， 这个没问题吧？孩子们，没问题吧？ x 加 y， a 加 b 大 的二倍根号 a b 对 吧？好，你把它平方一下，是不是就出来 x y 和啥的？出来 x y 和 a 加三 y 的 关系了，是不？孩子们，平方得到多少 x 加上三 y 的 方大等几大等几 大等几十二。 x y 找到了吗？好，把哪个给换掉，把 x y 换掉，还加三 y 给换掉，把 x y 给换掉， x y 小 等几快小等几小等几十二。分一位上 x 加上三 y 的 方。好，会了吗？孩子们，好，来，那是答案就出来了， 那么求这个是把这个换成 t 的 吧？ t 那 就是九，减去 t 想能减十二分一 t 方的吧，是不是？好，挪过来，就是 t 方 加上十二 t 的 吧，减去九乘以十二一百零，减一百零八的吧，大的减大的零的吧，是不是啊？好，来，一百零八，怎么拆分？拆分出来十二， 刚才是九乘以啥来着？九乘以十二的吧，那怎么拆分是十二？一百零八的话，拆成几个几出来？十二 三三四这些数，一正一负 八，再乘以二和二，看不出来吗？这不组合一下吗？多少？十八和几？十八和六嘛，对不对？对吧，十八和六，所以呢？负啥？ 负的？这个正的，这个是不是出来吧？啊？所以 t 大 等于几？ t 大 等于六的吧， t 大 的六。好， t 大 的六的啥东西呢？ t 大 的平方的， t 大 等于六，对吧？好， t 就是 咱们所求的，是吧？对，这样，所以这个最小值等于几六？

今天我们来讲一个这次期末考试的选填非常可能出现的压轴题，它其实也是我们初中代数这一块的思维拓展，我们来看看到底什么是均值不等式，告诉我们 a、 b、 c 都是正数，现在有 a 加二， b 加 c 等于一，让我们去求 a 分 之一加 b 分 之一加 c 分 之一的最 小值。这道题拿到手，首先你要知道我们要找的是啥，我们要找这个已知式子和我们所求式子这两个等式之间的一个关联，那你来发现你看 abc， 它的分子 都是一，那这个式子它的和也是一，所以说我是不是可以把它的分子都替换成 a 加二， b 加 c 这个式子，然后我们来整理一下，我们整理完毕之后观察一下这个式子。 首先我们知道这里是一，这里是二，这里是一，所以说这里应该是一个四。接下来我们就要求剩下这些东西，它的最小值是什么？在这里老师给大家拓展一个东西，叫做均值不等式。我们知道 x 减 y 的 平方，它应该是大于等于零的， 所以说我就可以得到 x 方加上 y 方应该大于等于二倍的 x y。 那 在这里面有一个特殊情况，如果此时 x y 它都是正数都 大于零的情况下，那我就可以得到 x 加 y 大 于等于二倍的根号下 x y， 这个就叫做均值不等式。那其实这道题就可以使用均值不等式秒解。我们来观察，这是 a 分 之二 b， 这个是 b 分 之 a， 如果把它俩放到一起去看的话，它们乘积是不是是二啊？ 看它俩相加是不是大于等于二倍的根号下它俩的乘积，所以说它俩相加应该是大于等于二倍的根号下它俩乘积，它俩的乘积就是二，所以说应该是二倍根号二。好的，我们继续再来看， 这是 a 分 之 c， 这是 c 分 之 a， 所以 说想求它俩相加最小值的话，应该是大于等于二倍根号下它俩乘积是一，所以说应该是大于等于 二。接下来我们继续来观察，这是 b 分 之 c， 这是 c 分 之二 b， 所以 说他俩的乘积是不是二啊？他俩之和应该大于等于二倍的根号二，所以说最后应该就是四倍根号二，加上一个六，这就是这个式子的 最小值，你看利用均值不等式可以非常轻松的解决一道选填压轴，你学会了吗？

各位高一的同学，大家好，很久不见啊，我们来聊一个均值不等式的小题，练练手。这题目呢，长这个样子，同学，其实你可以不用暂停啊，看一下。 呃，首先，那这边这个式子就求它的这个代数式的最小值，这个代数式看起来就很别扭啊，个个色色的比较难受。但是我注意到什么，这地方 c 是 不是一个单独的 ab 在 一块的吧？ a b， 这里是不是说了 a 大 于零， b 大 于零，所以 a b 就 大于零。为什么要这么说呢？因为 c 是 单独的，然后呢，它又有这么一个 c， 这里也是单独的 a b， a b 老在一块，我就想把 a b 给换掉， 换成用 c 来表示 ab， 对 不对啊？可以这样对吧？那我思路就是这样，先不要处理它啊。我本来是想的 ab 大 于零，是，然后想法是什么？我这 ab 可以 除下来，对吧？但你先别着急除，你现在做一个处理，把这个已知充分利用起来， 因为 a 分 之一加 b 分 之一加 c 等于二，我这里把它 ab， 因为我把它 ab 要处理掉嘛，所以我先把它做一个通分，可以吧？通分以后变成了 ab 分 之 a 加 b 等于二减 c， 然后别忘了， ab 都是大于零的，所以这个 ab 分 之 a 加 b 等于二减 c， 它也是大于零的，所以 c 怎么样？ c 在 零到二之间吧， 因为他说 c 大 于零嘛，所以 c 应该通过这个式子来判断的话，应该 c 在 零到二之间。好了，有这样一个东西的话，那我是不是这边就可以做处理了？都上下都除以 ab， 对 吧？除以上下都除以 ab， 上下 ab， ab 约掉了，这里再多一个 ab， 对 吧？那就变成了，你注意啊，这里 a 加 b 的 时候把它整体处理啊。为什么整体处理？这里是不是整整个的一个？你别单独把它除除。那个，呃，那个 ab 分 别把 a 除掉，把 b 除掉不行啊，那，那太累了 你就失去意义了。然后这个 ab 分 之 a 加 b， 在 我这里这个式子里面是不是就变成了二减 c 了？ 哎，他就变成这个二减 c， 二减 c 加一分之一加 c 分 之一。那这个这样的话我是不是把这个原来很疙疙瘩瘩的这种柿子就各各种不舒服吗？就是柿子把它参数就统一了，统一成 c 了。 统一 c 是 不就好办了？为什么想到 c？ 你 看啊，这个地方 c 是 单独的吧，这个地方 c 是 不是也是单独的，所以想到要把它统一到 c 上面去。 到这里了，熟悉军姿不等式的小伙伴应该已经有思路了啊。那如果是学霸的话，你看到这你就就可以忽略了啊。但是如果还是没有思路的话，不妨看郭叔下一步怎么处理。 紫色的是我的思考过程，两个分母相加是不是等于一个长数三啊？所以这时候我要考虑到一的代换。在君之不等式里的，你的老师应该给你讲过一的代换。那你说这是三呢？三怎么没事啊？三，我乘一个三分之一是不是就是一了？ 原来这个式子啊，原来这个式子是不是相当于整个的乘起来再乘以一个一，对吧？一是不是三分之一乘以三啊？三是不就是三减 c 加 c 了，对吧？哎，这样就好办了嘛， 我这里的话处理一下，把这个三变成了三减 c 加 c， 可以 吧？还是恒等变形，对不对啊？这时候我就可以把中括号里两项分别和小括号里的两项分别去乘进去了， 分别相乘，这就好处理了，怎么处理呢？你看就变成这样了吧，三分之一乘以，先把一减三乘以三，一三减啊，三减 c 乘以三减 c 分 之一变成一，然后三减 c 乘以 c 分 之一，变成了 c 分 之三减 c， 然后 c 乘以三减 c 分 之一，变成三减 c 分 之 c， 然后 c 乘以 c 分 之一变一。所以这个式子整理一下，很简单的，就变成了三分之一乘以二加上 c 分 之三减 c 加上三减 c 分 之三，要三减 c 分 之 c 啊， 这时候我再做一个处理，把它怎么样？这时候靠，因为这里是不是互为倒数了，就基本上处理不处理的都那么回事，剩下就是都容易了吧，就直接使用均值不等式就可以了，对吧？所以这个二呢，不要动，三分之二拿出来，哎，然后 二倍的根号下这俩相乘，别忘了前面还有个三分之一呢啊，三分之一，别忘了乘给乘给这个根号下的根号外面这个二来啊。所以三分之二加上三分之二乘以根号下面的这一堆，这俩相乘就是等于一，所以整个数字呢，就是三分之二加三分之二等于三分之四。 到这做完了吗？没有啊，你要注意你用的均值不等式，所以呢，你要验一下根它相等的条件能不能成立，当他 成立的时候，什么情况？就是 c 分 之三减 c 等于三减 c 分 之 c 解出来， c 等于 二分之三，二分之三，是不是满足上面这个，满足这个二减 c 大 于零，对吧？满足了，所以怎么样这个条件可以取到它的最小值是三分之四， 这个式子最小值三分之四。好了，这一道小题给大家解完了，多说两句啊，君之不等事。首先呢，他经常给你这种参数比较多的疙疙瘩瘩，就让你特别不舒服的，你要考虑参数怎么样，尽量要把它弄少点，参数越少越好，我们的分越多越好。 然后注意啊，看到参数的这种代数式啊，代数式好几个，如果他相加为常数的时候，你要考虑到一的代换，这个一不一定是就整，直接是数字一啊。比如刚刚才那题是三的话，你是不是考虑乘以个三分之一，再乘以三是不就化成一了， 对吧？好。然后常用的不等式要熟，除着这个均值不等式，你还知道要呃其他的一些不等式你要知道，比如科西不等式，你等等等等，这个你都要知道。 最后均值不等式，如果你使用的时候要判断相等条件，如果这个相等条件取不到的时候取不到了，不行考虑一下对勾函数啊。关于这道题，就给大家讲到这里，谢谢大家，再见！

老师，这个题我就是不会了，均值不等式的底线方法是啥来着？四个字叫什么？统一变量，懂吧？孩子们，只不过在代入的时候来点小小的技巧哦！ m 加 b 分 等于一的吧，现在求啥呢？ a 减一分之四。有些人说，老师，这个题和那个题一样，也采取换元呢， 那你又换回去了，你把它换成 m， n 基本就变成那啥了，是不是换回去了，对吧？两个都在分不上，那么这个呢，从表面上看已经和前一和那个前一种题型没有关系的吧？好，它本质上是一样的，来看怎么做它。先看底线方法。老师，这个题我就是不会了， 来给大家讲过君之不等式的底线方法是啥来着？四个字叫什么？统一变量，懂吗？孩子们，那我实在不行，我就硬做，我把怎么样？ 我把 a 给换成 b 或代入做，可以吗？孩子们，可以，是不是？好，只不过在代入的时候来点小小的技巧哦，因为你需要，你看，你代入的时候你最好能凑出啥？应代是一种方法，应代是法一好。第二种方法，你听一下，你在凑的时候你最好凑出啥东西？ 能凑出 a 减一是就好了，对吧？能懂孩子吗？我用这个硬凑出 a 减一，再怎么凑，那就是 a 分 之一等于啥？ e 减 b 分， 对吧？再减 b 分， 减 b 减一是不是没问题吧？好，来， a 等于几？ a 等于几？ a 减一等于几？ a 减一等于 减一，对吧？减一就是一吧。好， a 减一等于这个东西来，那倒一下就出来吧， a 减一分，减这个等于一个多少？这等于个 b 减一分。哎，四倍是啥？四倍的 b 减一对吧，懂了，孩子们，再加二是吗？ b 减一分减十六，对吧？十六是意思大的减大于等于二倍的根号，四乘以啥？ 四乘以十六的吧。六十四八二八减，凑出他后面的这个或这一项，对吧？都可以的吧？都可以。好，来，那咱们看一下这个的取等条能不能取？等条件肯定满足。能不能，能不能啥能不能满足正定等呢？ a b 如果都是正数， a b 都是正数的吧，所以 a 分 之一肯定要小一， b 分 一肯定要小一的吧，所以呢， b 减一大于零吧，可以用均值，是不是？孩子们啊？ ok， 好， 前提满足啊。前提满足，法一应贷，法二去凑这个的吧，法三呢？法三啊，已知啥东西？孩子们，已知的说。已知的是两个什么？两个分式的吧，已知两个分式，分式，你能想到啥方法？分式 通分的吧，懂吧，孩子们？好，那分式小到通分，整体代换也很简单啊。好，那怎么办？ a b 分 是怎么体弱多病呢？ a b 分 是 a 加 b， a 不 a， b 分 a 加 b 等于一，对吧？好，后面求上，后面求那个式子，那个式子是通分呢？就通分等于 a 减一乘以啥？ b 减一分多少？ a 减乘 b 减一分之，那么十六 a 加四 b， 是 不是，懂吗？孩子们，通分十六 a 加上四 b 常数项是多少？常数项 减四减十六，减啥？减二十，对吧？减二十， ok， 好， 所以两个分式来抬头看，如果两个分式的话，通分啊，通分好，把它打开，把它打开。减 a 乘 b 减什么？ a 加 b 加，减加上一，是不是加一？好，来，上面这个，上面还这个十字吧。好，来，十六 a 方十六 a 加啥呢？ 十六 a 加四 b 减二十。好，来， a b 等于啥？ a 加 b 和 a b 相等，你看分母等于几了？分母等于分母就等于一了，对吧？ 明白了吧？是不是转化成咱们那个题型了？现在已知啥求啥了？是转化回去了，对吧？现在已知的是 a 分 加 b 分 等一，对吧？求啥？求哪个式子？求的是 这个式子吧？ ok， 好， 来，那我整体画个圆，我只要求出哪个式就行了。我整体画个圆，我只要求出十六倍。提个几倍的，提个四倍的，提个四，四倍减四倍的。四 a 减啥？四 a 加 b 减二十就行。我只要求出四 a 加 b 的 值就行，对吧？那懂了，孩子们。好的。

均值不等式，对称式一眼看出答案，不用计算， x 加一分之一， y 加一分之一等于二分之一， x， y 的 最小值是多少？ 来来演出这道题，怎么一眼看出答案，你发现它长的又是啥？ 已知和所求都是完全对称的，对吧？看到了吗？是不是 s 和 v？ v 和 s 完全一样的？那怎么办？去等些啥东西？ 直接抓去等的两个相等的吧。懂完孩子们两个相等好了。那这个等于几？这个等于四分之一，这个等于四分之一，对吧？所以 x 加一等于四， a 等于几， x 等于 y 等于几，等于三，对吧。所以一定要注意均值不等式里边的对称式，对吧？对称式好的。

那题型二是最最常考的一一类简单题，各种 e 的 代换，那么最简单的 e 的 代换相信大家都没有太大问题啊。说对正实数来说，三 x 加上 y 等于五 x y， 现在求四 x 加三 y 的 最小值啊。那这块大家看了啊，告诉啥了？ 告诉这样一个什么等式求它的吧。求它。那怎么办？ 能一眼看出来吗？同，除以啥？哎，这边是这数列里，这个在数列里面也经常遇到那么一次的和二次的出现，对吧？同除以几次的？二次的全部呢？转成一次的分之一对吧？好，同，除以 x， y 转换成啥东西？同除以 x， y 转换成一个 y 分 之三是吧？为什么再加上减 x 分 之。减 x 分 之一，对吧？等于减五，对吧，对不对？好，知道分之一求它可以吧？知道它求分之一可以吧？懂吗？孩子们最基本题型，它俩相差 相乘对吧？相乘，好嘞，也就说四 x 加上三 y 再加三等于几呢？等于一个四 x 加上三 y， ok， 再乘以啥？再乘以 x 分 之一加什么？ y 分 之三再乘几？ 五分之一，对吧？五分一会了吧。五分之一。为什么乘五分之一呢？因为它等于五的吧，乘以五分之一值不变。好，所以等于一个五分之一倍的多少？五分之一倍的外面那一坨。这是一个什么四？ a 乘以 a 等于几呢？ s 乘以一等于四，对吧？ 再加上一个这个相乘的减九，再加上 x 分 之三 v 再加上 y 分 之十二 x， ok， 大 于等于五分之一，乘以啥呢？九，四十三十三加上 二倍根号减 pi， pi pi 约掉二倍根号三十六的吧，是不是也就三十六？三十六？好，那就十二加十三等于一个二十五，所以这个结果等于减五，对吧？ ok， 好， 会了吗？孩子们？

继续往下讲，我们来看看第九题，前提他们都正实数， ab 是 正实数，要求 a 分 之二， a 加 b 加上 b 分 之 a 加三 b 的 最小值，那么我们先给他化减一下， 二加上 a 分 之 b， 再加上 b 分 之 a 加上三。好，那这样的话是不是我们就可以直接做了呢？可以直接用均值不等式了，因为他们都是正的嘛，所以我们大等于 二倍的根号下， a 分 之 b 乘以 b 分 之 a 就 等于二，所以这一部分就大于等于二，所以整体就大于等于 加等于七，所以这块是大约等于七。做完这道呢，我们再来看一下这种的怎么做，因为它它的分母是一个单个的一个字母，所以它可以往下除，那这种呢？它刚好是跟他们相反的，那这种怎么办呢？我们来解决一下啊， 我们如何把它也变成下面是一个字母的，这个关键就在于我们给它来进行一个换元，我们可以射 二， a 加 b 等于 y， 那 我们上下做个减法，就 b 就 等于 x 减 y， 我 们把 ab 解出来嘛，然后 a 呢，我们带进去， b 等于 x 减 y， a 等于 y 减去 b 等于 y 减去 x 减 y， 就 等于二 y 减去 x 减 y。 对 二， y 减去 x， 把它消掉，二 y 减去 x。 好 了，到这一步的话，我们会发现，现在我们把 ab 全部换成了 x y， 我 们看一下有什么样的结果。 那么这个楼下的话，就分数线下面分母的部分，因为它等于 x， 我 们就写成 x， 然后楼上这个 a 就 换成二 y 减 x， 再加上下面是 y， b 就 等于 x 减 y。 我 们来看一下 现在是不是就变成了这样的形式，所以我们可以把它直接往下除，那就是 x 分 之二， y 减去一，我们 他挪一下，上 y 分 之 x 减去二。好了，那这一部分是不是又又和我们刚才刚才看到的刚才解决的问题一样了呢？刚才这个问题是不是又一样了？方法是一样的，那他，他这一部分是大于等于二倍的， 因为他的他们俩相乘等于二，所以二倍的根号二，这边再减去二就可以了，所以整体是大于等于二倍，根号二减去二，我们二倍的根号二减去二，那他用的是什么方法呢？就是换元法，我们把它进行了一个换元，这是可能这种题的 比较难的地方，就是把它换元，把它变成分母，是一个字母的形式，这样我们就可以直接用均值不等式了。 好了，学会了吗？好，继续，我们往下看，我们把它删掉。删掉了啊，有点乱，这样看起来比较好看一些。 好，我们继续往下看。这一道题，我们看一下这个第七题啊。第七题其实是第六题的一个延续，我们接着往下，那么这边是二， x 用细一点，这有点粗。好，二 x 分 之一， 加上 y 加一分之 x， 那 么他说一等于这个，那我们就把它先全部换掉，把一都换掉，那就是 x 加 y， 二 x 加上。 嗯，二 y 加 x 分 之 x。 好， 我们看一下这个是不是跟第六题很像呀？嗯，第六题的话，嗯，两项都是，就分母的两项都是两两两项的，而这边的话，他这个是一项，右边是两项，所以我们把右边要换成一项的， 换成一个字母，所以我们可以还是用换元法设二， y 加上 x 等于 a 吧，这样的话我们就能把 y 换出来， y 就 等于 a 减去 x 分 除以二。好，我们把它带入到上面那个式子里面，就是二 x， x 加上二分之 a， 减去 x 加上 a 分 之 x， 这样是不是我们整个式子就剩下了一个 a 和 x 呀？ 那而且我们的分母都是一个字母的，所以我们就可以用到均值不等式了。我们把它整理一下，这边整理完就是四 x 分 之 a 减 a 加 x， a 加 x。 对， 然后这边是 a 分 之 x。 好， 这这一项的话，我们把它拆一下，就是四 x 分 之 a 加上四分之一，加上 a 分 之 x。 好 了，这又变成了这两项又是可以用均值不等式的，它呢就是大于等于 二倍的根号下四 a x 把它都成在一起，然后加上四分之一，这边就等于， 这可以消掉那四分之一开平方等于二分之一，二分之一乘以二等于一，一加上四分之一等于四分之五，也就是说我们这一道题的整个最小值就是大于等于四分之五。好，学会了吗？这个还是用的换元法哦，换元法， 总之我们的目标就是把它的分母换成一个字母的，这种两个字母的是不行的。嗯，大家学会了吗？这是这个视频讲的内容，学会可以点点赞哦。

第一种题型的话非常简单，是 x 加 s 分 之 a 大 于等于二倍根号 a。 这种题的核心上记好了，取等条件是在端点处取等，还在给他给定的条件取。这种是看起来很庞大，有些人一看老师这个太扯了，我直接放过了。啊哈，其实它非常非常简单啊，看这个 前提是 bc 同号。 还告诉你一个， a 加 b 分 之一加 c 分 之一等于 a 分 之 b， c， 现在求啥呢？求一个 a 加 b 分 之一加啥呢？ a 加 c 乘以，对吧？这个的最小值好像是无法下手的吧，有这个什么？这个是相乘式的，这个相加的吧。那想到的是啥呢？变量比较多，想到是统一变量的吧？统一变量，好，那么这个题要注意是整体代入。好，我先把它展开，懂吗？孩子们？我先把它展开，展开 一个 b 分 之 a， 对 吧？再加多少呢？再加上 b， c 分 之一，是不是，对吧？好了，来看一下这个，那么这个式子和哪个式子很像？和什么和这个像不像？ 很像，只要乘以啥过来，只要乘以 a 过来，对吧？是，就挽回来，对吧？好，所以呢，整体代换，把这部分整体给代掉，代掉怎么做啊？ b c 加啥？ b， c 分 之一，对吧？懂吗？孩子们？好，就相当于把什么坏掉了，把 a 坏掉了，对吧？好，那这个是由经验可知来。这个题把什么画出来？ bc 同号画出来，这是题眼，对吧？ bc 同号，他告诉你 bc 同号说，你最后要用啥 b 乘 c 的 吧，你把什么给搞掉，把 a 是 吧？核心点，把 a 给消掉，对吧？如果你带着这个思想的话，把 a 给消掉，你展开之后，我想到 a， 我 如何把 a 消掉？ a， 这会正好有啥？正好有 a 方一乘立马就出来，懂吗？

挑战期末不挂科一百题之四十九题这道题啊，已知 f x 在 a、 b b 区间上是二次可导的，且它的二级导小于零。那同学们看到这句话，其实不管它后面有没有提醒你用泰勒公式，你看到这句话都应该能联想到具有拉格朗日形语象的那个泰勒定律。 他告诉我们这道题比较友好，他告诉我们用泰勒公式去证明，对任意的 ab 之间有 n 个点， x 一 x n， 然后还有 n 个数， k 一 到 k n， k 一 到 k n， 它这每个数都是大点零的，而且 k 一 加到 k n 呢，是等于一的。让我们去证明 f 在 这个点的函数值，它会大于这样一个合适， 利用泰勒公式证明，我们要想它在哪一点展开呢？那这里提醒我们了，在这个点，在这个点啊，这个写起来比较麻烦，所以我首先用 x 零来记这样一个符号，它就是 k i 乘以 x i 求和 这个 x 零，很显然，它还是大等于 a， 小 等于 b 的。 那接下来对任意的 i， 我 们让 f x i， 它在 x 零，这点泰勒展开，我们就会有 它的展开公式啊。 f x i， 它是等于 f x 零，加上 f 一 阶导 x 零乘以 x i 减去 x 零，再加上二的阶乘分之 f 二阶导可 c 乘以 x i， x i 减去 x 零的平方， 这里的可 c 呢，它是介于 ab 之间的。又因为 f 二阶导 f 二阶导，它是小于零的， 这是已知，所以我们就知道这一项，这一项它一定是小于零的。那也就是说 f x i， 它会， 它会小于 f x 零，加上 f e 接到 x 零乘以 x i 减去 x 零。哎，我们把小于零那项给它舍去，然后我把这个式子呢记为是星式。现在我对这个星式啊， 两侧两边去乘以，去乘以 k i， 这个 k i 它是大顶点的，所以不等号，方向不改变，然后再对 i 求和，再对 i 求和。 这个星式由于这个 i 它是变化的， i 是 从 e 变化到 n 的， 其实它有 n 个这样的式子，然后每一个相应的都去乘以它的 k i， 再把这 n 个式子加在一起，我们就会得到什么， 就会得到。左边是 k i 乘以 f x i 求和， i 从一变化到 n， 它会小于 k， i 乘以 f x 零， i 从一变化到 n， 再加上 k i 乘以 f 一 阶导 x 零乘以 x， i 减 x 零，再求和。大家注意右侧 这个右侧 f x 零是不相当于是个常数，所以我可以把它提到和号的外面去，那它就应该等于的是 f x 零乘以 k i 去求和，而 k i 求和，我们知道它是等于一的，所以这一项它就剩下了 f x 零， 然后再加上再加上这个 f x 零，也相当于是个常数。把它提到和号的外面，里面就剩下了 k i 乘以 x i 减去 x 零。好，现在我们来看一下它是什么，它是什么？来具体的算一下啊。 k i 乘以 x i 减去 x 零。具体的写一下，应该是 k 一 乘以 x 一 减去 x 零加上 k 二乘以 x 二减去 x 零一直加，加到 k n 乘以 x n 减 x 零。整理一下，里面应该是 k 一 乘以 x 一 加上 k 二乘以 x 二，一直加，加到 k n 乘以 x n。 后面那项和都合着写，它应该是加上哦，减减去 减去 k 一 加 k 二加到 k n 倍的 x 零。我们知道 k 一 加到 k n， 它是等于一的，所以后面就应该是减去 x 零，前面这些合在一起它是什么？它是不正好是我们设的这个 x 零啊？ 所以整个的这个这部分，这部分它是 x 零减 x 零，它就是零，对吧？所以这一项它是等于零的，它是等于零的。 那么接着往下写，它就等于 f x 零，而 f x 零这个 x 零是不可以写成你，你记的是 k i 乘以 x i 这个求和呀？这就是 x 零啊。现在我们来看证没证出来 它是，它是小于它，是小于它的，是不是我们要证明的这个式子，就是我们要证明的这个式子？

第一种题型的话非常简单，是 x 加 s 分 之 a 大 于等于二倍根号 a。 这种题的核心上记好了，取等条件是在端点处取等，还在给他给定的条件取等，这就是非常著名。什么函数？这个函数调函数的吧，这边是根号 a 的 吧，这边几呢？ 二倍根号，对吧？第三题说 f x 等于个根号下， x 方加上一分之 x 方加上五，那这有两种做法，第一种做法咱们讲过，如果你看谁觉得这个丑怎么办？ 换圆对吧？ ok， 当然你可以分的系数啊，都可以哈，建议大家直接换圆吧，换，不用动脑子啊。七分之几 t 为 t 八加减 t 幺加四，对吧，但换元一定要注意范围， t 大 等于减， t 大 于等于一，对吧？ t 大 等于一，对吧，好了，来，那么呢，千分之 t 加 t 是 四的吧？ 大等于几？大等于二倍根号四的等于几？等于四的吧，什么时候取到？当 t 等于二的时候取到，能不能取到，可以吧，懂吗？孩子们，可以， ok， 好， 来，这，第一个，这个，第二个，第二个。 f， x 等于根号下 x 方加减加上四， x 方加五，那同样呢，把它换成啥？下面换成 t 的 吧，上面减 t 方加等于 t 加啥？加 t 分 一，妥了吧，加 t 分 一， ok， 那 么 t 加 t 分 大等于几？ 大于等于二的吧？能，能，明白，孩子们，好，能不能取等，一定要记好，取不了，等啊，此时 t 等于几？ t 等于一的吧，但你换 y 的 t 等于几？ 欢迎， t 大 等于几？ t 大 等于二，能不能取？等，不能取，等，大家记好了，当不能取等的时候，就在什么点取等，在端点处取等，对吧？好，当不能取到最小时，就在端点处取，等 好，端点是几？二八二点处等于几？这个值等于二分之几。二分之五，对吧？好，所以一定要注意啊，是二分之五，不是二。