几何画板将一个点变成六边形的教程

那对于正六边形呢？哎，有几个我们必须要熟知的要点，掌握这几个要点之后呢？哎，在计算正六边形面积比例的题型的时候， 我们就会比别人更快一步，哪两个要点呢？首先我们看一下这个正六边形，如果我们这样把它分割完之后，那么他就会产生一二三四五六六个完全相等的正三角形，那么每一个三角形的面积呢，都占正六边形面积的多少 六分之一，对吧？那这是第一种，那么第二种呢，我们还可以这样分割，其中这个点是正六边形的中心点，那这样分割完以后呢，也会产生一二三四五六六个完全相同的三角形，那每一个三角形的面积呢，也都占正六边形面积的 六分之一，那这两种图形的分割方法呢？哎，就是正六边形最常用的六等分的分割方法，那当我们把这两种基本的分割方法 掌握住之后呢？哎，再来计算面积比例题型的时候，几乎都可以秒出答案。比方说这道题，这是一个大的正六边形，其中这点是 e f 这条边上的终点，那题目让我们求的是橙色部分和蓝色部分的面积比应该是多少？ 那这道题摆在我们面前的分析方法呢，有两种，第一种是从橙色部分面积入手，那么第二种呢，是从蓝色部分的面积入手，那么经过我们简单分析之后会发现，哎，从蓝色部分分析的话，会更简单一些， 比如说我们先从最左侧这个蓝色三角形的面积开始计算，那么它的面积我们一口就能答出来，它的面积应该占整个正六边形面积的多少？六分之一，对吧？为什么呢？哎，因为它的面积相当于哎这个图形当中这个三角形的面积，对吧？那接下来我们来看一下最上方的这个蓝色三角形的面积占比。 首先我们连接一下 a， 那么分割出的这个红色三角形，哎，我们一口能答出来，这个大红色三角形的面积同样占正六边形面积的六分之一，那么在这六分之一的面积里面，其中有两个等低等高三角形，为什么说是等低等高啊？因为这一点是 e、 f 的终点，对吧？哎， 这两条底边相等，所以这两个三角形是等低等高三角形，那么他们同时占这六分之一面积的一半，那么六分之一的一半是多少？就是十二分之一， 对吧？所以呢，蓝色三角形面积就占正六边形面积的十二分之一。那最后剩下的蓝色部分呢？它是一个不规则的四边形，那首先我们对这个四边形进行一下分割，连接 c、 e 分出的两个三角形，那么其中底下这个三角形的面积比例呢？它是占正六边形面积的六分之一，那么只剩下最后一个难办的， 哎，就是这个瘦高的红色三角形，那么它的面积占比是多少呢？哎，其实我们只要熟悉右边这个构图，我们只要构造出这个矮胖的正三角形，然后把这个矮胖三角形和这个瘦高三角形的底边和高做一下比较， 很快就能发现这个瘦高三角形的面积占比。首先这个矮胖三角形，哎，其实它就相当于右侧的这个三角形，对吧？ 所以这个矮胖三角形面积占整个正六边形面积的六分之一，这一点我们首先要明确。接下来我们比较一下这两个三角形的底边关系，那这个瘦高三角形他的底边是这一这一段，对吧？ 那么这个矮胖三角形的底边呢，是 e f 这一段，因为这是 e f 的终点，所以呢，这个瘦高三角形的底边是这个矮胖三角形底边的一半，对吧？那接下来再来比较一下这两个三角形 的高度，那么这个矮胖三角形的高呢？哎，是从这一点到中心点这一段的高度，对吧？而这个瘦高三角形的高呢？哎，就是整条黄色线段的长度， 所以说这个瘦高三角形的高呢，哎，是这个矮胖三角形高的两倍，一个是一半，一个是两倍，所以呢，这两个三角形其实呢，面积是完全相等的，也就说这个瘦高三角形面积同样占正六边形面积的 六分之一。那到此为止，我们统计一下，蓝色部分三个六分之一，一个十二分之一，哎，把他们全部加起来之后，就等于十二分之七，也就说蓝色部分面积占了整个正六边形面积的十二分之七，那橙色部分呢，就 占十二分之五了，对吧？所以橙色部分和蓝色部分的面积之比呢？哎，就是五份比上七份，正确答案呢，就是五比上七。好的更多全面系统的视频课程，大家可以关注我的学霸方法课。

这是一个关于正六边形的有趣知识。首先让我们画一个正六边形，在图形里任意选取一个点，将六边形所有的顶点都连接到该点上，并以交替的方式对所得的三角形进行着色。红色、蓝色， 红色、蓝色，以此类推。最终的结果是，所有红色三角形的总面积等于所有蓝色三角形的总面积。记住，内部的这个点是可以画在任何地方， 连接起来后红蓝的面积也是相等的。如果当该点位于中间时，显而易见谁都会证明。只要不是十二年的漏网之余，我们应该考虑其他特殊情况。一个偏离中心的点时要如何证明？ 你可以尝试引入一个坐标系，并记录到该点的像量，然后您就知道为什么自己从来没有成功过了。不过这个问题很容易证明，他不需要借助任何东西，只要记住三角形的面积是二分之一底乘高，且在这里所有三角形的底都是相等的。 因为这是一个正六边形，所以我们应该考虑如何证明高度相等即可。观察图形的另外一个情况，多边形的对边是平行的，这意味着我们的高度由三条等长的直线组成。所以现在我们的问题是如何证明三个高度的这些部分加起来是等于相同的值，与内部的点化在哪里无关。 那是否有与这三个高度有关的图形呢？我们可以简单的延续六边形的边来创建一个新图形，在这个图形中，它是一个等边三角形， 再把点与正三角形的顶点连接起来，我们看到包含三条高度线的三个三角形合并起来就是整个大三角形，所以 a 一加 a 二加 a 三是一个长数，这意味着它等于六边形内高度的三半。记住最初化的正六边形， 我们看到 a 一、二和 a 三属于红色三角形，他们的补给属于蓝色三角形，因此我们得到了所需的相等证明。现在你明白了吗？为什么任意点也会相等了吧？

我们来看一下这道题，已知正六边形的对边距离是四十毫米啊，这是对边距离，然后做正六边形，请大家注意，做正六边形的方法有很多啊，那么这道题它限制了一个条件，就是对边距离是四十。 好，那么他如果没有限时条件的话，我们是不是可以随意的做一个圆， 随意的做一个圆，然后我们以这个，以这个各个象限点为圆心，然后我们以这个半径啊，以这个圆的半径为半径，我们可以去教这个圆弧啊，以几点，在左边再找两点。 好，那么这样我们是可以快速的做一个这个正六边形， 请他注意，如果他没有一切的条件的话，那么我们是可以快速通过这样的方法去做一个正六边形，但他要求他这个对边距离，请他注意，对边距离是四十啊，这个距离是四十的话，那么 我们这个像这样做的方法的话，那么就不太好确定啊，这个是四十的话，那么这个圆的半径，请大家注意，那么这个是三十度啊，这三十度，那么这个圆的半径，那么就是不规则的啊，就不规则的，所以说这个计算起来比较麻烦。首先我们可以想到他的要求对面距离是四十，那这样我们把这个， 我们把它旋转一下，然后我们想这个是事实，那么我们可以把它做一个内切圆啊，做一个，再通过它的内角关系，我们看一下这个是六十度，对吧？好，那么这个是六十度，这个六十度，那我们通过它这个角度啊，这个内角关系，那么每个角是六十度，我们来分别来找到啊，这些点的焦点， 我们来看一下，首先我们量取二十 做一个内切圆， 好，我们接下来来按照按照刚刚这样的思路来寻找这几个内角，然后他的边与这个轴线垂直，同时与这个原相切的关系，我们来做这个，这是一个三十度啊，三十度，那我们来通过三十度的直尺，我们来直接找到，我们可以通过用这个三十度的直尺啊，用这个三十度的直尺，然后通过滑动那么来找到。 好，那么这个角和这个角就是三十度，那我们就找到了，然后同样的方法，我们在这个再找一个三十度， 好，那么这样这个六十度的角我们就找到了。那么接下来我们在这边做一条切线啊，在这两边做一条切线，那么与这与这两边相交，那就是这个六边形的一边啊，一边， 这样我们这个六边形的两边我们就找到了。那么接下来我们要求这两边的时候，那么请大家注意啊，这两边的话，我们可以直接通过圆规啊，通过圆规来作图，那首先我们量取这个边长啊，量取这个边长啊，量取边长。以后我们分别以这两个点啊，以这两个，以这两个顶点 为圆心，我们做圆弧啊，做圆弧啊，做圆弧，那么他们的焦点，那就是这两条边的另外啊另外一条边的一个顶点，那同样的方法，我们在下方再做一， 再做一个圆。好，那么这两个交点啊，这两个顶点我们就找到了，这两个交点，那么就是六边形的另外两个顶点呢，我们分别去连接这两段，好，那么我们，然后，然后我们对这个图形进行一个加粗， 好，加速以后，那么这个正六边形就完成了，那么它的对边距离啊？是四十毫米。

各位老师，各位同学大家好，欢迎大家来到计算机尾课堂，今天我要教大家快速绘制正 n 边形， 这节课的知识要点也是在上一节课使用旋转加迭代的基础上进行深入研究的。那这节课呢，我们就是要使用旋转加深度迭代， 深度迭代就是需要一个参数来控制这个边数，所以我们需要新建一个参数，新建这个参数的名称，我们把它叫做 n， n 等于三， n 等于三就是 正 n 边形的边数是三，也就是说我要从一个呃等边三角形开始讲起，然后我们继续计算一下这个弧度角，所以我们需要计算一下这个参数 单位下面选择度，然后除以这个 n 等于一百二十度。有时候当我们的边数是三的时候，那么每一条边对的这个呃圆弧角啊，就是一百二十度。 有了这两个参数以后，我们开始呢构建这个正的 n 边形，首先我们需要一个圆来辅助这一个操作，所以我们需要画一个圆， 然后在圆上任意的一个圆周上面定一个点，得到这个点以后呢，我们要以这个圆心为旋转中心，选中这一个点执行变换这一个旋转， 旋转的角度就是我们边所对的那个圆弧角，也就是这个旋转好，就把这一个点沿沿着这个圆周旋转到了这个位置，要我们把两个点呢呃连接起来， 连接两个点以后，我们要执行深度迭代，首先我们选中最开始创建的这个点作为原相， 还有这个参数 n， 然后我们要执行深度迭代 啊，点开这个变换菜单下面找到深度迭代，然后原相到粗相，就是从这个位置到这个位置，那就得到了正的三边形结构，下拉框里面选择仅保留非典类像， 然后叠带，这样的话我们就得到了一个正的三边形，也是等边三角形，我们看一下改变这个 n 的边数， 四边形、五边形、六边形、七边形、正八边形、九边形、十边形， 然后一直不断的往下面去增加边数，这有点像我们 呃用来测量圆周力的那个实力啊。这个就是我们今天要讲的旋转加迭代来实现构造正 n 边形的方法，然后正 n 边形构造好以后，这个圆可以隐藏起来 啊，这个就是我们这节课的主要内容，这节课我们就讲到这里， 如果你需要几何画板的视频教程或者几何画板的课件，欢迎通过屏幕上面的这个联系方式找到我，谢谢大家。

ok， 接下去我们讲一下第三十一课，拆分和合并点。第一，合并一个点到一个路径和图片上，第二，从路径和图片上分离点，第三，合并两个点。首先我们来看第一个实力 如何合并一个点到一条路径上呢？首先呢，我们来看左边有一个线段，那么他的一个端点呢，是属于自由的点啊，我们可以把它拖动到任何一个位置。 好，那么右侧呢，有个圆，那么如果我想把他们两个建立起一定的关系啊，我们点选这个点，然后再点选这个圆，注意了啊，选择点和选择圆， 然后点击编辑菜单下面的，那么这里有一个合并点到圆，点一下，我们可以看发生什么变化，那么这个点呢，就依附在了这个圆的 身上，那么他就不是一个自由的点了，他的轨迹，运动轨迹呢，只是在这个圆周上做运动 啊。好的，那么如果我们要分离他呢，也很简单啊，只需要选中这个点，因为他本身的轨迹已经是默认是这个圆，所以我们只需要选择这个点，然后同样点击编辑菜单下面呢，那么我们看看这个命令呢，就变成了从圆中分离这个点，那么点选以后呢？ 哦，他就跑到外面来了，那又回到自由的状态，我们可以把它拖移到任何的地方。 好，我们来看第二个例子，那么左边有一张图片，右边有一个点啊，如果我们选择这个图片和这个点，我们点击编辑菜单下有一个合并图片到点 啊，合并图片的点，那么是图片其实依附在点的上面哦，移过去了，移过去以后呢，两者呢，他有机的，这个成为了一体移动的话，他都会一起在动，而且这个点呢，他一般是处在整张图片的中心位置 啊，征信为止，如果这个时候要分离他呢，那么同学们一定要注意了，我们不能选择这个点啊，否则这个菜单是不显示的，也不能选择这个。两者一起选啊，也是不可用的，我们只需要选择这张图片，这个点不要选， 那么点击编辑菜摊下面，这里有一个从点中分离图片啊，点好以后呢，我们就可以把图片单独的进行移动啊，使他们两者分开。 好，我们看一下分离，再举个例，实力，那么这张图呢，这个点呢，他是在这根线段上移动的，他的运动轨迹呢，就只能依附在这根线段上啊，那如果我想使两个线段分离， 那么我们选中这个点啊，因为点是主体对象，选中点以后呢，记住点击编辑菜单下面有一个从线段中分离点的命令点选他以后，那么他们两个就脱离了 我们。这个时候呢，用鼠标选择这个点以后，可以把它移到任何一个位置啊，任何一个位置好，那么如果想要依附在线段上的话，还是要点选点，点选轨迹，然后点击合并就可以了。 好，接下去我们来看一下合并两个点啊，当然这个命令呢，没有什么实际大的用处，我们可以手动就可以把两个点并在一起啊， 那么如果要是两个点合并成一个点的话，那么我们首先肯定要选中两个点，把两个点都要选中，然后点击编辑菜单下面的合并点命令啊，合并点命令，那么这个时候呢，两个点呢，就变成了一个点啊，他们可以一起动， 那么在两个点合并的时候呢，选择的顺序呢？是很重要的，那我举个例子，比如说我在画板上画两个点，当我选择他的时候，我先 选择 a 点，我可以命名一下 a 点和 b 点，当我选择的时候呢，我先选 a 点，再选 b 点。好，然后我们点击编辑菜单下的合并点命令，那么大家看一下，他是 a 点并到了 b 点上 啊，我们 ctrl z 来撤销。好，如果我先选择笔点，然后再 单选 a 点，我们同样选择编辑菜单下面的合并点命令，那么这个时候呢，是 b 点来复合 a 点，所以呢，当你选择两个点的顺序不同的时候呢，他们这个发生合并的时候呢啊，两者的方向也是不一样的，这点在我们具体操作的时候一定要特别注意。 第三十二课，设置参数选项，改变单位颜色、 文本和工具的设置参数。我们点击几何画板编辑菜单下面的参数选项命令，在跳出的设置框中有四个标签，我们来看一下。第一个是单位 长度，以什么为单位，可以选择弧度度，方向度，距离可以以像素厘米或者英寸为单位。 如果要使所有的设置永久生效，我们应该勾选所有新建画板。好，下面我们演示一下，我们看一下，那么 这个 ab 现在的长度呢？在这里是四点六五厘米，如果我要以英寸来计量的话，那么我们应该点选编辑菜单，点选参数选项，在单位设置里面将距离改成英寸，然后单击确定， 那么这个地方厘米显示呢，就改成了以英寸为单位的显示。好，我们把它改回去。 下面我们来看第二个标签颜色， 在这里我们可以对新建的点，新建的线以及圆，还有绘图以及轨迹背景及选中对象 进行颜色的设置。如果要更改一种颜色，我们只需要单击颜色框，在弹出的颜色选择器当中来选择一种你喜好的颜色，点击确定就可以了。 文本 自动显示标签，如果我们将这地方勾选的话，在画板中新建的对象自动会匹配标签。 编辑文字时，显示文字工具栏所有数学标签使用写体， 新建参数包括编辑框，新函数，用符号 y 等于 第四个页面标签呢是工具，他对四个工具呢进行一个简单的设置。对于尖头工具选择工具，我们可以设置是否双击，取消选定，以及更改他的 捕获能力。对于多边形工具，我们可以显示是否显示边界，并且设置多边形的透明度。 对于标记工具，我们可以设置书写的种类，平滑曲线还是手动绘图还是自动以及笔记的粗细。 对于信息工具，我们可以设置信息描述，只显示副对象还是只显示此对象，以及两项同时显示。

大家好，几何画板中的动点的制作呢？可以说是比较简单，但有些时候会比较难，为什么这么说呢？比如说我这边画了一个多边形， 那如果我要设置一个重点呢？在这条线上我们有什么办法呢啊？两种，第一种呢，我们用点工具在这条线段上取一个点，那么这个点呢，它是可以移动的啊，它可以移动。好，那还有另外一种办法是什么呢？我可以选中这条线段， 然后在构造里面有一个线段上的一个点，那这个点呢也是可以移动的，那这个构造点动点呢比较简单，那我们观察一下这个动点，它只限于在这个线段内动 啊，这个现在呢，那我们在有些这个重点问题的题目的时候，这个点呢，比如说我们标个点，这个加号， 这个 a 点，有时候呢他要在这个折线上动，比如说他要到这条线段上来，那怎么办呢？好，我们来教大家制作一下，首先啊我们先做一个记号， 好，这个四边形 b、 c、 d， 那么 a 点如何啊？过渡到 c、 d 这一边来呢？我们是这样做的，首先呢我们用这个多边形的工具 选择啊，选择点 b 点 c， 点 e， 然后呢这边中间再插一个点啊，插一个 双击，那就可以了，那此时的话，大家看一下，此时此时如果我们点击选中内部的话啊，选中内部啊，选中内部完以后呢，我们在这边构造一个叫做边界上的点，好，那边界上的点构造出来了，那么观察一下这个边界上的点的运动， 它是可以在这个多边形啊，多边形的边界上动的啊，边上动的，但是呢我这个洞点啊，这个洞点啊，别说 f， 我只希望他在 bc 和 cd 上动，我不想在这其他地上动，是不是？那这时候怎么办呢？我们只要将这个点和 c 点的进行合并就可以了啊，进行合并，我们来看，先点击这个点，然后再 点击 c 点，在这个编辑里面呢，有一个叫做合并点，合并起来，那合并起来的话，我们观察一下，从 f 点呢，从 b 出发，然后到 c， 然后到到 d， 对不对？好， 那这时候呢，注意了，这时候只是我们刚才画出来的这个啊，四边形里面的啊，一半圈啊，半圈，其实呢，他这个在这个玩法运动的过程中啊，从地点到 c 还在的 b 才是一个完整的一个圆周啊，才是完整的一个圆周。 好了，那这个 f 点呢，他跟 a 点的区别大家发现了没有？就是 f 点走的是折线， a 点呢只会走一个线段， a 点的线段，我们把 a 点删掉。好，那现在有一个问题，就是说 f 点我起 希望他在运动，对不对？运动，那现在怎么样能够让他动起来呢？啊？你动起来呢？然后我们再点击 f， 在动画里面呢，我编辑里面我们选择一个动画啊，动画呢，这边有一个速度啊，注意一下，有个速度 啊，这个叫做向前向后的啊，这个都没关系，我们点击向前啊，啊，向前，然后这边的速度呢，他有这几种速度啊，这几种速度，但这些速度的话，比如说慢速啊，我们点击慢速啊，动画 它是个慢速度，但是往往呢这个 f 点呢，我们在题目的要求里面它是有限制，比如说它的这个啊，速度呢？是啊，两厘米每秒，或者三厘米每秒的时候呢？那这时候啊，显然不符合我们的这个题的意思，那怎么办呢？我们可以 在这个属性这边呢进行一个修改啊，属性的修改，比如说我将这个速度啊，在其他里面，我选择一啊，选择一，那这边默认的话呢，是一厘米每秒啊，这边默认是一厘米每秒啊，注意一下 他，他这样速度 好，好，那这他是这样子的好，他这样的 好，那有些时候呢，我们比如说在 f 点在动的时候呢，同时这边有一个啊， b e 线段上呢，有一个点啊，有一个点呢，比如说我们这个点， 他两个点呢是同时动的，对不对？同时动的啊，那这时候他们的速度啊，是一种，比如说这个 f 的速度呢？是啊，我们看一下，如果他的速度我们继承是二吧。啊，速度是二啊，速度是二， 是不是那距的速度呢？比如说距的速度呢？是一啊，速度是一，那怎么样能够反映出他们的这种速度关系呢啊？我们来看一下，点击一个据点，然后在呢这个编辑里面选择动画。 刚才呢啊，我们这个速度呢选择，比如说我们就就选择 e 啊，就选择 e， 确定了，那 f 的这个速度呢，我们再改一下 f 的速度， f 的速度呢，我选择二，那么他们之间的速度关系呢？就是两倍的关系。好，那最后一个操作，我们来看 f 点和据点呢，同时从 b 出发，对了，同时从 b 出发，那此时的话呢，你再调整， 哎，比如说这样子调整，然后在这样调整的话，这个时候呢啊，比较不方便啊，比较不方便，我们这边用一个移动按钮啊，点击 f， 然后点击 b， 然后还是在编辑里面呢，操作里面有个叫移动按钮，那我们一般选择高速啊，高速， 那这样子的话，我一点击 f 点，那就马上就回到 b 点了啊，我再点击这个动画，他就开始运动了，那据点的操作也是一样啊，然后呢在动画里面呢？我们啊，对啊，我们应该是在编辑里面的啊，我们选择啊，我们选择 编辑里面呢，选择这个啊，还有选择 b 哈，编辑里面选择移动啊，移动就可以了，那这样子的话呢，我们选择高速啊，高速，好，那如果我们在我们想用一键操作啊，使得这个这两 两个点呢同时回到原点啊，准备出发，对不对啊？准备出发啊，那我们来看一下这边做一个系列按钮啊，做一个系列按钮， 首先两个点的运动，我们说是同时的，我们选中这两个点，然后呢在按钮里面呢，我们做一个系列啊，这个做一个系列，那同时出发，我们点击确定，那这个系列按钮呢？我们给他一个名称啊，给他名称我们在数据里面改一下标签，我们叫做开始 啊，或者说出发吧，出发，出发啊， 这个出发，然后呢这个复位，这个这个回到原点呢，我们称为复位啊，这个复位啊，准备开始的意思啊，那这边也是 同时执行啊，同时执行，标签里面我们用复位， 然后这样。好，那这这几个呢？我们这个就可以不要了哈，那现在呢，我们保留这两个按钮，一个出发，一个是复位就可以了啊，那比如说我们来复位啊，先点击复位啊，然后呢？出发， 然后就这样子啊，他就这样，这个一个过程啊，他一个过程啊，点击好复位，那就回去了啊，出发， ok， 这样子啊，好，那这就是呢几何画板中经常会用到的一个动点的制作。那其他还有更加特殊的啊，这个动点的制作呢，我们会在后面的视频中给大家介绍，如果喜欢我的视频请关注付月七三六啊，谢谢大家，再见。

大家好，今天呢我们继续来研究几何画板，那么今天我们重点研究的是什么呢？就是用标记工具来标记角，那么哪个地方是标记工具呢？就在我们左侧的工具栏 这里有一个像笔一样的就是标记工具，我们如果点击标记工具，如果在空白地方画，就可以画一条任意的线条，也可以进行书写， 那么我们如果在这个角的位置呢，就可以标记出角了，那么角的标记呢，可以做出很多种不同的样式，比如说直角符号，比如说可以绘制单弧线，可以绘制双弧线， 可以绘制三弧线，甚至是四条弧线，那么这个里面的颜色，弧线和内部的颜色都是可以更改的，比如说你看我这里用了不同的颜色， 那么这里也可以把它设置为内部是空白的，也可以标上对应的数字，标上对应的数字，也可以标上希腊字母，那么如果有需要呢，我们也可以标记，找到度数， 那么这些我们是如何操作的呢？我们就以左边这两个图为例，我们在右边这两个空白的图中来演示一下， 比如说我们这里的直角符号和这角角的符号，我们如何得到的呢？那么手 首先点击标记工具，那么这个怎么画呢？注意啊注意，我们用你看这个笔啊，它有变化，看到没有？ 变了呀？我们再把它放大一点看一下，他之前是这个样子的啊，那么你这样画呢？就是画的是一条线啊，然后移到这里啊，移到这里， 然后呢按住鼠标的左键不放拖动，拖动啊，看清楚了吗？ 还有我刚才多画了一个曲线啊，把它删掉啊，那么我刚才因为之前已经默认的是两道弧线，所以它出现两道弧线，这个是可以修改的啊，那么我们这里，嗯，单弧线，两 两道弧线，还有这个内部空白，我们如何来修改呢啊？你画完之后，画完之后你可以用右键点击，右键点击看这里有什么颜色，那么你想把它画成什么颜色呢？你就可以把它修改。为什么颜色 在属性里面呢？属性里面啊，我们很多操作在这个里面，我们注意观察一下，这个位置有透明度，我们拖动一下来演示一下， 你看我们如果透明度为零为百分之零，里面就是白色，看到没有？那就是我们看到之前这个样子，那如果我们向右拖动呢？这颜色会很深，看到没有，所以我们这样可以调整他的透明度，从而达到你是空心呢？ 是里面有颜色，有内包和内部的啊，这是里面的图填充啊，那么这个单弧线，双弧线还有标数字，怎么标呢？ 好，我们看这个位置啊，这个地方，这里有个笔画术，在标记笔工具里面啊，这里面等一下几个我们都会讲到什么作用？ 我们把笔画数进行修改，比方说修改成一，那么他就是一条线，你如果标记为二就是两条线，标记为三就是三条线， 那么这个显示角度方向是什么意思呢？我们有些版本的默认的直角是带方向的，我们我们画的角在方向，就把这个钩去掉 就可以了，我们看一下，我们演示下有勾，你看他是有个箭头，看到没有？那么我们刚才设置单弧线笔画数为一，所以就是这个样子的符号，你如果不不想要这个箭头，你就把它勾去掉，勾去掉。 好，这是这一个，那如果我们这里需要标角，一角二，角三怎么办呢？我们就在这边来一点四角，一角三， 我们快速的先把他的内部画出来，一个、两个， 三个。好，那我们看到没有？我们刚才拖动了三个角，是怎么操作呢？再重复演示一遍啊，就是先和角的顶点重合，然后下 角的内部拖动啊，向角的内部拖动，看到没有？那么以再角的内部拖动呢？就是选择是哪个角，那么这三个角如果你画是同一个标记，你这样你会分不清楚吧？就像刚才这样，用一道弧，两道弧，三道弧线进行区分， 比方里面这一个呢，我们刚才标记的是红色，我们把颜色改一下啊，那么这个小角呢？我们标的是三道弧线，这个角比较小啊，有的时候难于选动，把它拖大一点， 你这个操作要非常精确啊，有的是很小。好，那我这里呢笔画数我们修改为三条，那么如果我们需要标上一个数字怎么办呢？标上数字的话，我们在这个地 要注意了，这里有一个标签工具，看到没有？点击标签啊， 你点击标记笔，这里笔画数就是图片的倒数，你如果不要方向，这里就不选勾啊，那么标签比方理想全是角一，就输入一个一， 但是这个地方要注意，这个地方一定要打勾啊，打勾勾选，如果这里不打勾，你选的一，他还是没有这个标记的啊， 好，确定，我们来观察一下三条弧线数字，一看到没有，那同样的上面这个角呢？我们也可以类似的把它进行改成两道弧线标签三，勾选， 选式标签勾选啊，一定要勾选，然后标记这里笔画数修改为二。 好，我们来看效果。好，那么这样我们三个角用不同的弧线进行标记，这样就看的比较清楚，是吧？好，那么直角锐角我们如何标记，我们学会了吗？ 那么如果我们有的是需要吸他字母怎么办呢？比如像这个角是讲贝塔，是不是啊？那么首先你画一个弧线啊，我们这就不修改它的倒数了啊，就随便是它知道，那如何呢？把标签改为贝塔呢？ 你如果还是在刚才这个位置属性里面，你点标签，这个贝塔 怎么打呢？对不对？好，那么怎么办呢？我们可以在下面有个文本工具啊，文本工具，我们文本工具里面啊， 你如果一开始这里属于灰色不能选中的时候，你就把文本工具拖动一个空白的文本框出来，再次点击这个啊，看到没有？那么这个文本工具中这个右边有一个向下的箭头啊，符号箭头， 你把这个点击一下，我们看这个里面就有很多特殊符号，像我们的圆圆的符号啊，不等号啊，平行垂直啊， 那么像这里你看有什么希腊字，那么你就可以把这个希腊字母打出来，你如果需要背他，你就打一个背他 是不是？好，你看我们这里有备胎啊，那我们颜色呢？先把它设置好。先把颜色设置好，你比如说你用黑色字体稍微小一点。 好，那么你再把这个杯坛呢，把它复制一下，注意双击进去啊，双击进去也不是整个文明框一起选， 双击选中里面的这个贝塔，复制 ctrl c 啊，快点点， ctrl c 直接点复制也可以。 好，我们复制过来之后啊，我们空白处单记一下，我们再次来点击属性标签粘贴，对，他进来了吧， 显示标签好，那么如果是数字就比较简单，七大字母呢？他就要用复制 粘贴的方法好，这是他的标签和变法是不是？那如果实际上一个度数怎么办呢？你比方这个角是四十五度，这个顶级的半点模型是吧？那么就看你的需要 什么意思呢？你比方说你这里如果只需画一个镜，他的图你并不需要啊，把这个角呢像标签一样，这个标签他是会跟着动的，你这个图怎么拖动他这个角他都是跟着动的，看到没有？ 所以他这个标签的意思就是他是附着在他上面，那么你这个角点的位置动啊，角的位置动啊，你的标签也会跟着动。你如果这个图不需要动，或者动的幅度不是很大的时候，那么你这个动作就比较简单，你比方 你用文本工具啊，文本工具这个字母 a 拖选，看这里有个什么符号啊？这里一个度的符号对不对？我们打一个四十五度，然后呢直接把它拖进来， 那么这个四十五的进来是不是？如果这个图是静态，你就这样拖进去就够用了，是不是？但是你这个图如动态呢？你看就刚才的杯，他不一样吗？ 你看跟他的脚一脚三不同吧，你看你看，脚一脚三，你怎么拖？他会跟着跑？这个四十五度他就定在那里， 你这个他并不是跟他固定在一起，而你这个图，如果这个镜他的图呢？就这样来做，这样比较简单，对不对？你看我们刚才这个九十度，你看他就是负责上面的画面，那么你如何 让他附着在这个上面呢？那么这个时候呢，就比较麻烦一点啊，我们演示一下，你如果想让他附着在眼线，搅一搅三，这样子，这里呢就需要多做一些东西，你比如说你可以先画一条角平平线出来， 那么为什么是讲明线啊？想象一个道理，然后呢我们在上面认取一点，认取一点， 然后呢我们把这一个四十五度和这个点呢合并在一起，那么怎么合并点？我们还记得吗？前面即将讲过了啊， 在编辑里面有一个分离于合并，但是我们这个时候发现他是灰色的，不能用，是不是啊？那么我们别忘了按住什么， 按住细的键，按住细的键，看到没有变好，没有？好，我们把它放大一点看一下啊，它本来是灰色的，是跟这个颜色不同，看到没有不能用，那你把细幅的键按住，看到边方面。好，那么你把细幅的键按住， 再来点击，我们再来观察一种变化，你看这个四十五度和这个点子边啊附着到了一起，那我们画图不需要，这个不需要，怎么来隐藏啊？你可以把他们隐藏起来，我们先做个按钮吧，你自己做的时候可以直接把它隐藏掉。 好，那么你看四十五度就要附着上去了，你如果觉得他位置不好，你觉得线呢？还可以调整啊，还可以调整，可以想办法，比如说你可以在这个 ef 上面取一个点呐，然后连接啊，取点是一回事啊，一回事，不一定非要是画脚平平线，我们画脚平平线的目的就是说这个一定会在这个脚的内部，他不会跑外面去这个东西，你看你这样再拖着走的时候，你看四十五度，就 跟脚一二三一样，腹坐在上面了。好，那么我们脚标记脚， 他的方法主要就这些，那么第一你要学会如何去画这个弧线，如何设置颜色，如何把里面变成空白箭头啊？箭头如何去掉，如何不要？箭头 如何设置为单弧线，双弧线，如何给他一个标签，数字标签，像这种 七大字母标签，如果需要度数，我们用合并点，那么还有最后一点，那么我们刚才还有一个功能没有讲啊，我们这样先画一个圆的演示一下， 我们如果拖动一个点，这个角他就会怎么样旋转是不是？好，那我们来看一下有什么不同啊？那我们先来画一个角出来， 我们也换一个角的符号，这个是什么弧线？其实是一样的啊啊，我们注意观察他当小于一百八十度的时候， 超超过于发出以后，你看这个角这边他会变了，那你如果要度量一个角的度数，你如果要度量一个角的度数， 我们也来观察一下他会怎么样？我们先从零开始，那么到一百八十度的时候再注意观察，因为你这个脚的脚变了，看见没有？ 那么这个时候你这个度量值，他不是也相应的发生了怎么样变化，对吧？那所以我们有的时候呢，是需要要大于一百八十度角， 或者你在拖动的时候，我希望看到这一个角，因为什么呢？比方说我们在旋转过程中，那个旋转角他是在零度，可以在零度到三百六十度之间旋转， 那么你正如何标记一个大于一百八十八数角呢？所以刚才这个地方，哎，如果这样标记是不是有问题了？好，我们这里把属性点开啊，我们来看一下一个问题， 好，笔画出修改为一透明度来改听铃音， 给他一个方向啊，给他一个方向，因为有的时候因为表示旋转角，是吧？好，那么这个时候你注意看这个地方啊，就是这个这个地方有什么用处？我们来观察一下，他这里有裂角、 u 角、 逆时针和顺时针，那么我们刚才这个转动是什么时针呢？是逆时针对不对？那我们这把列太，因为默认的是列脚，这个不超过一百八十度，把这个改成逆时针啊， 所以我们为了表示旋转点呢，我们可以给他添加一个方向，对吧？那么在这个地方我们改动以后，我给他观察有什么变化，好，还是从零度开始 一百八十度，然后呢？好，这个角的弧线标对了，是不是？但是我们这个角的标记还是怎么样？不对，是吧？ 好，那我们再来看这个度量值， 好，大于一百八十度，观察零点点有什么变化， 那么这里，这里是怎么做成的呢？第一，我们这里画弧线怎么跟大家说过啊？因为我们刚才这个度量值啊，我们是选中的是 aob， 我们是选中三点去度量的，那么你选中三点呢？就默认它是一个小于 一百八十多斤，那我们这个度量怎么度量呢？我们刚才是选中了这一个壶标记啊，就是角标记，再去度量的角度， 那么因为你这个脚呢已经大于一百八十度，是他的度量值，就是我们所需要的大于一百八十度角，那么这一个我们学会了吗？ 那么今天呢？我就讲这么多。

大家好，今天我们继续来学习几何画板技术操作中的第三节圆工具， 我们这一刻呢主要是利用圆工具进行圆或者是圆弧的构造，我们首先来看如何去绘制一个圆，绘制圆呢有两种方法，我们先来看第一种， 以圆心和圆珠上的点会员，那么我们首先构造两个点，选中点工具构造两个点， 我们给这两个点呢系上标签，我们选中文本工具，点击第一个点，点击第二个，那么我们如果要修改点的标签，我们把鼠标 放到字母上面进行双击，然后我们第一个进为点 a 吧，第二个双击进为点 b， 那么有这两点如何去构造一个圆呢？我们首先选中点 a， 再选中点 b， 然后在菜单栏中找到构造， 然后再选择以圆心和圆周上的点会员，那么这样呢，我们做的是一个以 a 为圆心的圆， 如果我们先选中点 b， 再选中点 a， 还是在构造里面找到以圆心和圆珠上的点会员，那么这样构造是一个以点 b 为圆心的圆，所以有两点，我们混至圆的时候，那么这两点的选择他是有顺序的， 那么首先选中的点是圆的圆心，那么第二个点是圆中上的点，所以这个呢，大家做圆的时候呢，一定要注意，千万不要把顺序选错了，那么第二种方法 他是以圆心和半径会员，那我们就先构造一个点，然后再构造一条线段， 那么这条线段呢，就是我们所要构造圆的半径，那么这个点就是我们要构造圆的圆心，我们标签呢为把它定为 o。 第一步，我们首先选中这个点 o， 再选中一条线段，还是在构造里面找 找到以圆心和半径会员， 那么我们看下这个是否有顺序啊？我们刚才呢是先选中的点，然后选选的这个半径， 下面呢，我们先选中这条线段，再选中这个点，还在构造里面找到以圆心和半径会员，我们发现这样绘制的圆呢，和第一次先选中圆心，再选中线段所构造的圆是 同一个圆，所以这种方法呢，他点于线段的选择，他是没有顺序的。 下面我们来看第二个弧的绘字，我们先把刚才做这个 删掉。那么关于壶的绘制呢，我们先来看第一个圆上的壶，我们首先构造一个圆， 然后再从语言上构造两个点， 那么我们如何去构造经过这两点的核呢？我们先来看一下我这里边过了两点核的话，我们按照咱上课讲的这个两点之间的核，他有拥核和列核之分，所以对原上这两点的选择，他是也是有顺序的。 那我们下面来看一下如何去构造这过这两点的核。首先第一步呢，先选中圆心，然后再依次 选择这两个点，还是先给这两个点标上标签， 有为 n 点吧，有 m n 两点，先选中圆心，再选中 m 点，再选中 n 点完构造里边我们选择圆上的弧， 大家看一下，我们是先选中圆心，再选中 m， 最后选中 n 点，这样构造的是获 m n 两点的一个矮烈火。 我们当时选刚才选择 mn 两点是按照逆时针，我们下面来看，如果按照顺时针的话，先选中圆心，然后选中点 a， 再选中点 m， 那么还是在构造里边选择原创的壶，那么这一次呢，构造的壶就是这样一个 u 壶，所以当我们绘制原创壶的时候，我们先要确定构造的是列壶还是 u 壶， 如果构造圆上的裂弧的话，这圆上两点的顺应该按照逆时针进行选择，如果要构造过这两点的 u 弧，我们应该按照顺时针的选择方向选进行选择这两点。 那么第二种是过三点的壶，我们再重新构造一个圆， 过三点的活呢，我们在圆头呢构造三个点，一 二三，如果是过三点的壶呢，我们就不必再选择圆心了，我们呢选中这三个点一二三，然后构造里边选择过三点的壶， 那我们刚才选择这三点是按照逆时针，我们来看一下，如果按照顺时针选择构造壶是否同一段壶，一二三，还是在构造里面找到过三点的壶， 我们发现选择这三点的时候呢，他与逆时针与顺针方向是没有关系的，他构造的都是同一掩护，需要注意是什么呢？我们选择三点一定要按照顺序选定，三点有序也是按照 逆时针或者顺针依次选择就可以了。 最后呢，我们来看照看一下构造圆扇形弓形的内部，那么如何去构造一个圆的内部，我们呢首先选中这个圆，然后在构造里边 到第二个有一个圆的内部，他呢也有一个快捷键是 ctrl 加 p， 这样就构造了圆的内部。那么扇形的内部如何去构造呢？首先我们要构造一个扇形， 当把圆心和这个 点连接起来，再构造这个扇形的弧圆心逆时针选择两点构造圆上的弧， 那么如何去构造这个扇形的内部呢？我们只需选中这段壶就可以了，大家看一下，我点击一次之后，他选中的是整个圆，那么再点击一下，那么是这一个或者三点这个壶，再点击一下 就选中了我们刚才做的这个扇形所对的壶，然后再从构造里面找到 构造里边有弧的内部，我们选择扇形内部， 那么弓形的内部应该怎样来做呢？我们再换一个扇形，再过到一个扇形 连接半径，然后再做这条这个扇形的弧一次选芯，选择两点构造 圆上的弧，然后我们还是选中这点弧，然后构造弧的内部，我们找到有弓形的内部，这样呢我们就把这个弓形的内部做出来了，这样呢更好看一些。 好，有关语言的工具的使用方法呢就讲解在这里，再见。

同时控制几个点的动画。几个画板不仅能用一个按钮控制一个点的动画，还可以用一个按钮同时控制几个对象的动画。绘制图形。线段，支持工具 语言工具， 线段支持工具 移动箭头工具。在空白处单击 a、 b， c， d， e， f、 g、 h， 确定，双击输入大姐 o， 在空白处单击选定点 c， 点 e， 编辑操作类按钮动画，这些可以自己选择一下。 单击动画点，点 c， 在 a、 b 上运动， 点 e， 在圆欧上运动。再次点击动画点按钮， 点 c， 点 e， 同时停止运动。

我们先来做一个正方形， 随便画一条线段， 然后利用旋转的方法， 现在得到正方形，然后在一条边上任意选一个点， 度量点的直，然后我们想画一个正方形，使四个顶点在这个大正方形的四条边上， 所以双击这个点，把它作为缩放中心，然后点击这个点 变换缩放点，这个值， 用同样的思路 变换缩放 变换 说法， 然后连接好这个正方形， 我们选中这两个点，变换迭代 点， a 的出像 是这个点，点， b 的出现是 这个点，然后我们增加迭代次数，用小键盘调整迭代，然后我们把 这些点调整的小一点，选中点工具，然后 ctrl a， 可以选择所有的点，显示典型稍小， 我们把这个点大一点。 好，现在我们把这个点设置一个动画， 这个动画呢能够在这条线段上匀速运动，确定隐藏掉这一部分， 观察所得效果 是不是非常好玩。 我们给这个多边形 加上颜色，构造四边形，然后度量长度数据计算一下，用它来除以 一个以厘米做单位的目的是出现一个直，这个直和正方形的边长有关，然后我们来 设置颜色参数 确定， 然后我们再选中这两个点，变换迭代， 增加次数，迭代隐藏这一部分， 是不是挺好玩的？