正割函数的几何意义

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面内一个角 r 法，它的中边过点 p x， y 过点 p 做 p m， 垂直 x 轴与点 m， 这样 om 就等于 x， p m 就等于 y， o p 就等于根号 x 邦加外方。我们定义赛尔法等于 y 比上根号 x 方加外方。口三 r 法等于 x 的比根号 x 方加外方。单句加 r 法等于 y 比 x。 这三个就分别叫做讲 r 法的正写函数、余弦函数和正切函数。 除了他们，你还得认识三个，于哥口 c 肯加阿法，他其实就是正前倒过来等于根号 x 方加外方比 y 正哥 c 肯加阿法，他其实是余弦倒过来等于根号 x 方加外方比 x。 还有于谦口腔这一插法，其实是正前倒过 过来的等于 x 的 b y。 高中阶段怎样重点研究的是这三个。只要知道角中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。比如已知角 f 的中边过点 p 负一二， 你能分别求出三阿尔法、口塞阿法和贪俊加阿法的值吗？根据坐标负一二， x 等于负一， y 等于二，那 根号 x 方加外方就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。接着就可以算下面这些了。三 a r 法等于外比，根号 x 方加外方，也就是二比根号五等于五分之二，根号五 口算阿法等于 x 的比，根号 x 方加外方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是胎径加阿法等于外比 x， 也就是二比负一得负二，全部搞定。像这样，给你 中边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三在阿尔法的平方加二，三进加阿尔法等于几，你会算吗？这两个值刚才都算过， 所以圆是等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二，结果得负五分之八。所以遇到柿子时，就先分别算出赛尔法和餐具加法的取值， 然后再算整个式子。刚才的题目里，眼皮的坐标是直接告诉你的，如果题目改成角二分的中边在直线， y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？看这条直线，阿凡的中边可能在第二项线和第四项线， 所以得分别讨论。当阿尔法中边在第二项线时，咱只要在周边上取个点，用他的坐标来算就行，比如这个点 p 就可以。那三阿尔法口塞阿尔法和 阿法刚才都算过，不用再算了。再看阿法中边，在第四象限时，同样在中间上取个点，比如点 q 一负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加 y 方等于根号一的平方加负二的平方得根号五，所以三 r 法等于负二。 b 根号五得负五分之二，根号五 口塞阿法等于一比根号五得五分之，根号五弹性长，阿法等于负二比一得负二，这样就求好了。做这类题时要注意，如 如果只知道角的中边，就在中边上取个点来算就行，另外一条直线会确定两个中边，所以得分类。讨论好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，一只角阿尔法的中边过点 p x， y 在阿尔法等于外比，跟靠 x 方将外方口塞阿法 等于 x 比，根号 x 棒加外方餐具 x， r 法等于 y b x， 如果只知道中间，那就在中间上取个点来算怎么样？你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

同学们好，今天我们一起学习的内容是正切函数的性质与图像。 今天我们要研究的对象是正切函数，那么我们首先来复习一下什么是正切函数呢？ 我们已经知道，对于任意一个角 xx 不等于二分之派加 k 派 k 属于 z 都有唯一确定的正切值，贪铁 x 与之相对应，因此 y 等于贪铁 x 是一个函数，我们称之为正切函数。 那么我们如何来研究正确函数的性质和图像呢？首先我们来回顾一下我们研究正弦函数和余弦函数的过程。 在研究正弦函数时，我们首先通过定义和单位员得到了正弦函数的图像，正弦曲线通过 图像直观的研究了他的性质。在研究鱼弦函数时，我们是将正弦曲线进行平移，得到了鱼弦曲线，进而研究其性质。 正切函数的图像显然不能通过平移得到，但是有了前面的学习经验，我们可以换一个角度， 即从正确函数的定义出发，先研究他的部分性质，通过性质帮助我们研究函数的图像，进而再研究其他性质。那么今天我们就按照这样的思路来研究正确函数。 首先我们来看正确函数的性质，那么说到研究函数的性质，同学们首先想到的是什么呢？ 我想有不少同学的答案会是函数的定义狱，没错，定义狱是我们研究一个 函数的最大范围。那么正切函数的定义域是什么呢？由正切函数的定义，我们知道角的中边不能落在外轴上，因此正切函数的定义域应该是不等于二分之派加 k 派 k 属于 z 的所有实数组成的集合。 在这一形式当中，我们是将实数级当中不能取到的所有值刨除掉。还有其他的表示方法吗？ 我们还可以把能取到的所有值通过区间的形式表示出来，也就是福尔分之派加 k 派到二分之派加 k 派， k 属于 z 的开区间。 在这一形式当中，每一个确定的 k 值都对应着一个具体的区间。比如， 当 k 等于零时，对应的是负二分之派到二分之派这个开区间。 当 k 等于一时，对应的是二分之派到二分之三派这个开区间。当 k 等于负一时， 对应的是负的二分之三派到负的二分之派这个区间。那么正确函数的定义域应当是这无穷多个区间的并集 好。我们明确了正切函数定义域的不同表达方式，那么由此我们考虑正切函数的图像应具备什么样的特点呢？ 正迁函数的图像应当被垂直于 x 轴的无穷多条直线， x 等于二分之派加 k 派， k 属于 z 分隔开，而两条直线间的部分图像应当是连续的。我们再来看函数的基偶性， 正切函数的定义域是关于原点对称的。那么由我们已经学习过的诱导公式我们可以得到如下的结论，贪念负 x 等于负的贪念 x 对于定义欲的每一个值均成立。因此正切函数是一个积函数。 那么饥寒术的图像又具备什么样的特点呢？饥寒术的图像应当是关于圆点对称的。 我们已经知道正弦函数和余弦函数 都是周期函数，那么正期函数是否也具备周期性呢？同样，我们可以根据诱导公式得到相关的结论， tiny x 加派等于 tiny x 对于定义域内的任意一个职均成立，因此正期函数也是周期函数，派就是他的一个周期。 这样我们就研究了正切函数的定义域周期性和基友性。那么这些性质对于我们研究正切函数的图像会有什么样的帮助呢？ 由于正期函数是周期函数，我们只需要绘制他在一个周期内的图像，再将图像进行平移，就可以得到整个定义于内的图像。那么我们选择哪一个长度为派的区间呢？我们可以选 负二分之派到二分之派这个区间。因为结合函数的基偶性，我们只需要绘制 y 等于 tentyx 在零到二分之派内的图像，再按照我们刚才的分析逆向回去就可以得到正些函数图像的绘制路径。 首先我们将零到二分之派内的图像关于原点进行对称，就得到负二分之派到二分之派这个区间的图像，再将图像向左和向右平移，每次平移派个单位就可以得到正确函数整个定义域内的图像。 那么下面我们首先来研究怎样绘制 y 等于 tentyx 在零到二分之派内的图像。 我们可以通过描点法来作图。那么为了更准确的描绘点的坐标，我们可以利用单位员来 找到正切直对应的几何意义。 我们在直角坐标器当中做出零到二分之派内的角 x， 其中边与单位圆的焦点为 b， 点坐标设为 x， 零外零， 我们过 b 向 x 轴做垂线，垂足为 m， 再过 a 点一零做 x 轴的垂线与角的中边交于 t。 由正接函数的定义，我们知道他念 x 可以表示为点臂的纵坐标外零比上横坐标 x 零， 进而就可以转化为线段 mb 的长，比上线段 om 的长，也就等于线段 at 的长比上线段 oa 的长。 由于 oa 的长度是一，因此线段 at 的长就可以表示角 x 的正确指。通过线段 at， 我们就可以进行秒点作图，下面我们来看具体的过程。 在零到二分之派内，我们取四等分点，八分之派，四分之派，八分之三派。在单位员当中，我们相应的将零到二分之派内的角四等分， 并找到正切直所对应的线段。通过平移线段，我们就可以找到对应角的纵坐标。 当然，如果希望更加准确的绘图，我们可以进一步取更多的点。下面我们用光滑的曲线连接取 到的点，这样我们就得到了零到二分之派内正切函数的图像。下面我们将这段图像关于原点做对称，就得到了负二分之派到零的图像，进而也就得到了负二分之派到正二分之派的这一周期内的函数图像。 那么向左和向右平移这段图像，我们就可以得到正切函数在定义域内的图像。 正切函数的图像我们称之为正切曲线。我们得到了正切函数的图像， 那么我们可以更直观的研究函数的性质。首先我们来看正切函数的单调性， 由正切图像我们可以知道，正切函数在负二分之派到二分之派的开区间上是单调递增的， 由函数的周期性我们可以得到结论，正期函数在每一个开区间负二分之派加 k 派到二分之派加 k 派， k 属于自己上都是单调递增的。 那么在这里面请同学们注意，第一，由于区间的端点不在正切函数的定义域内，因此正切函数的单调区间一定要写成开区间的形式。 第二，我们强调每一个区间内正确函数单调递增， 那么在这个形式当中，任意一个 k 的曲值都对应着一个具体的递增区间。 前面我们讲过了，正切函数的定义域是这无穷多个区间的并集，因此正切函数在其整个定义域内不具备单调性。 我们再来看正确函数的值域， 当 x 属于负二分之派到正二分之派时，他念 x 在负无穷到正无穷内可以取到任意的实数值，但没有最大值和最小值， 因此正切函数的直域是全体识数级。而 下面我们来看正切曲线的性质。渐进线， 我们知道正切函数的图像是被互相平行的无穷多条直线分隔开的，形状完全相同的无穷多组曲线组成的图像。 那么当 x 趋近于二分之派加 k 派， k 属于 c 时，函数值趋近于正无穷或者是富无穷，因此 x 等于二分之 派加 k 派 k 水 c 是函数的见解线。 正切曲线具备对称性吗？首先我们来考虑正切曲线有对称中心吗？ 由于正切函数是积函数，我们不难发现正切函数应当是中心对称图形坐标原点就是他的一个对称中心。除此以外，还有其他的对称中心吗？ 函数与 x 轴的焦点 k 派零都是函数的对称中心， 除此以外，函数的间接线与 x 轴的焦点二分之派加 k 派零也是函数的对称中心，因此 正新函数的对称中心是二分之 k 派零。 kissyz 这里请同学们注意， 正切函数的对称中心不仅包括图像与 x 轴的焦点，同时还包括渐进线与 x 轴的焦点。也就是说，函数的对称中心不一定在函数图像上。 比如我们很熟悉的反比例函数，原点是他的对称中心，但原点并不在反比例函数的图像上。通过正切曲线我们也不难发现正切曲线没有对称轴。 最后我们来看函数的零点，函数的零点是指是函数值为零成立的实数 x 的值，那么由正确取现，我们不难发现函数的零点，因为 k 派 case。 以上我们通过正切函数的图像直观的丰富了正切函数的性质。下面我们通过函数的性质和图像来解决一些问题。 我们来看第一不求值，分别比较下列各组正切值的大小。 我们可以通过函数的单调性来比较函数值的大小，那么当脚不在同一个单调区间之内时，我们可以通过周期将正确值进行转换。我们先来看第一组他念父的五分之派和他念父的七分之三派。 由于负的二分之派小于负的七分之三派小于负的五分之派小于零，而正确函数在负二分之派到 零这个开区键上是单调递增的，所以他念付的五分之派是大于他念付的七分之三派的。我们再来看第二组他念付的四分之十三派和他念付的五分之十九派， 这两个函数值我们可以通过周期先进行转换。摊点负的四分之十三派等于摊点负的四分之十三派加上三派，也就等于摊点负的四分之派。同样摊点负的五分之十九派，我们可以转化为摊点五分之派。 由于负二分之派小于负四分之派，小于五分之派小于二分之派，而函数在负二分之派到正二分之派这个开区间上是单调递增的，所以他负的 四分之派就小于他念五分之派及他念负的四分之十三派，小于负的他念五分之十九派。 这样我们就比较出了两个正切直的大小关系。在解决类似问题的过程当中，请同学们注意， 本题的要求是不求值来比较正切值的大小关系。我们可以把正切值看作是正切函数的两个函数值来比较，那么就需要把脚放置到同一个单调区间之内。 当脚在同一单调区间之内时，我们可以直接进行比较，但脚不在同一单调区间时，我们就需要通过周期或诱导公式将脚调整到同一单调区间再进行比较。下面我们来看例二，求函数 y 等于贪念二分之派 x 加三分之派的 抑郁周期及单调区间。 利用正切函数的性质，通过代数变形，我们可以得到相应的结论。 在这里我们可以将二分之派 x 加上三分之派看作一个整体，通过正切函数的性质来求出这一函数的相关性质。 那么这样换元的想法在我们处理相关的函数问题当中经常使用到。我们先来看定义域，将二分之派 x 加上三分之派看作一个整体，其取值不能等于二分之派加 k 派， k 属于 z， 解除 x 的范围是 x 不等于三分之一加二 k， k 属于 z， 因此函数的定义欲为不等于三分之一加二 k， k 属于 z 的所有时数构成的集合。 我们来看函数的周期，将二分之派 x 加上三分之派看作一个整体，用 z 表示。由于他念 z 加派等于他念 z， 所以他念二分之派 x 加三分之派的和加上派就等于二分之派 x 加上三分之派，即他念二分之派背的 x 加二加上三分之派就等于他念二分之派 x 加上三分之派。 以上这个式子对于定义域内的所有值均成立，因此正期函数的周期为二。 最后我们来看函数的单调性，将负二分之派 x 加上三分之派放到区间，大于负二分之派加上 k 派 小于二分之派，加上 k 排内解 x 的范围得到 x 大于负三分之五加二 k， 小于三分之一加二 k， 因此这个函数的单调递增区间为负的三分之五加二 k 到三分之一加二 k， k 属于 c 的开区键。 好，这样我们就解决了这个问题。以下我将本节课的内容进行一下小结。 本节课我们通过正切函数的定义、诱导公式等得出了函数的一些性质， 进而通过性质指导，我们做出了正切函数的图像，再利用图像帮助我们发现了更多的性质，帮助我们理解性质。 并且我们利用性质和图像解决了有关的问题。在解决问题的过程当中，我们运用了 类比、整体代换、树形结合等思想方法，这样研究函数的方法是值得同学们思考与借鉴的。好，本节课我们所学习的内容就是这些。谢谢同学们的观看，同学们再见。

哈喽，各位小朋友好啊，前面已经讲了正弦余弦的函数图像，那么这次的话给大家讲讲正切他的函数图像，那么正切这函数图像跟前面的有很大的不同啊，我们看到 那么正确，一般的情况下的话，比如说 y 等于摊的 x， 他的图像啊的图像，那么这个图像的话，首先他定域就跟前面的不一样啊， 他图像的话大致长这个样子，给他画像啊，画像啊，首先 这个正切正切的话，他不能跟这个二分之派，他是没有正切纸的啊，这二分之派，二分三派都不能有，哎，所以的话，其中的话他定义啊，这块他定义他，是啊，先画下图吧，画图 他图像的话是这个样子，比如说这个是二分的派，这边是派， 然后这边是奥布斯三派，他图像是这种状态一直接近于他，哎，然后再来一条，呦，说话这样 这个样子啊， 这个样子，哎，这个的话是澳门的派啊，这边的话是澳门的三派， 这个是零啊，这里图像大概是长这个样子啊，好，那么他正确的话，首先的话啊，其中 x， 比如说这个这个奥特派说是取不到的，像奥特三派也取不到，哎，所以的话，这他会不能跟这个啊相等啊，这个 x 不等于啊，不等于什么呢？像这个 这个都不能等于，所以应该是 k 派加上二分之派，其中 k 属于整数啊， 然后对于这个的话， y 等于摊仔的话，他的啊性质啊，性质啊，啊，性质的话，首先啊，首先他定欲的话，应该是 x 是这个对不对？那么他直遇的话，直遇他是 y 属于啊，正无穷到复无穷都有啊，啊，还有的话，他的这个基偶性， 基偶性的话，这个图像应该是什么函数啊？应该是基函数啊，且为基函数， 西函数。 那他有没有对称中心或者对称轴呢？先看一下对称轴，对称轴有没有啊？你看啊，能不能找到一条直线观察。对， 不能？对。对，但是对称中心就有啊，比如说啊，原点是个对称中心啊，奥特派这个点也是对称中心，这些都是他对称中心啊，对称中心很容易啊。这个点啊，对称中心纹 并称中心的话，应该是二分之 k 派的力， k 水准数啊啊，比如 k 等于零的时候呢，零，零，这个点对不对啊？ k 等于一的时候，那就二分的判定啊，啊， k 等于二的时候，那就是这个点，对吧？有很多个对称中心。好，对称中心， 那么再看到他的一个单调性，单调性的话啊，看明白他的这个函数图像说一段一段啊，这一段， 这一段，这一段，那么所以的话，这个的话一定要注意正切。这个函数的话，他只有单调真区间，他并没有单调简区间。就是在这里面啊，他只有单调真区间啊，真区间啊，而且他的真区间的话是，呃，不能取到， 不能。是啊， b 区间应该是开区间，一定是开区间的， 真区间位 一定是开的啊，好，那么他的周期的话，应该是派对不对啊，所以的话应该是可以这么说，开派， 黑派到负的，二分之派到黑派加上 二分之三， 好，其中 k 除以整数。好，那么这是 y 等于 tnnex 这些图像的一些限制啊，那么我们对于一般的情况下啊，对于一般的情况下， 对于 y 等于，哎，比如说是这种状态啊，这个 a 我就不写是摊子的啊，欧米伽 x 加上个范，这种结构啊，啊，欧米伽大于零，这个范也大于零啊， 首先他的地域啊，地域的话啊，地域 电液的话就是欧，那个 x 加上这个发芽不能等于什么呢？不， 不能等于这个啊， k 派不能等于 k 派加上澳门的派对不对啊，不能等于他，哎，不能等于 k 派加上澳门的派啊，这个解出来就好了。解 x 不等于啊，那是欧米伽分之一， k 派加上二分之派减去半， 其中 k 数于整数， k 属于整数。好，再看第二个他值遇值遇的话应该是啊，对吧。第二个 好，再看他的最小正周期，最小正周期这个要啊，注意一下，这个正周期跟我们的三阳扩散是不一样的。应该是派啊，不是 奥派啊，不是奥派吹欧美嘎，应该是派吹欧比嘎啊。最小战奏器 最小 正周期 t 的话应该是等于判除以我们干 不是奥派了啊，应该是派出我们的，那么还有的是单调区间，单调区间一定要注意正确，没有单调减区间，他只有单调真区间。哎，只有一个单调单调真区间啊， 单调性的话啊，也就是跟我们这个放进去解出来就好了。哎，有这样 由这个是 k 派减去二分之派小于啊，欧米伽 x 加上范小于 k 派加上二分之派，可以得到 y 等于天的欧米伽 x 加上败的增虚键。 好，真区间为就是开区间了。开区间，那应该是 k 派减去二分之派减法除以欧米伽 k 派加上二分之派减法 吹欧米伽，其中开水整数 啊，那么这就是一个啊，正确函数他的一些性质啊，一定要注意，他没有减去间啊，没有减去间啊，住 啊，没有减去键，当然这个没有减去键是指这个欧米伽在带零的情况下啊。 好，今天就给大家讲这边，拜拜。

正切他的符号是 t、 a、 n， 读作看他是三角函数的一种。他的意义是在直角三角形中对边与零边的比值。比如说在直角三角形 abc 中，角 c 等于九十度， 角 a 所对的边是 a， 角 b 所对的边是 b， 角 c 所对的边是 c。 那么角 a 的正确可以写作探 a 等于角 a 的对边 a 比上角 a 的零边 b 记错，探 a 等于 a b、 b。 那通过这个关系，我们也可以求出在直角三角形中一些特殊角的三角函数值。比如说探三十度， 我们知道在直角三角形中，三十度的角所对应的直角边等于斜边的一半，这样我们可以把三十度的角所对应的边 a 设为是一，那么他的斜边 c 就等于直角边一的二倍，即为二。 那根据购物定理， b 就等于根号下 c 的平方，减去 a 的平方就等于根号三。 那这样我们就可以求出探三十度等于他的对边 a 比上他的零边 b， 即为一比。跟三进行分母有理化之后，得三分之 跟三。同样，我们也可以求出探六十度。 探六十度就等于他的对边 b 比上他的零边 a 等于根号三比一就等于根号三。那探四十五度， 我们要把它放在一个直角三角形中，那么因为角 a 等于四十五度，那根据三角形的内角和是一百八十度，角 b 也是四十五度，那么三角形 abc 是一个等腰直角三角形 a 等于 b。 现在我们设 a 等于一，那 b 也等于一， 所以他按四十五度就等于对边 a 比上零边 b 等于一比一等于一。

大家好，今天我们来讲一下正确函数的图像啊。其实正确函数和余下函数还是挺好理解的，但正确函数往往不太好理解，咱来看一下吧。正确函数既然设计到函数图像的话，我们需要先回顾一下正确函数的定义，他定义是这么说的， 此时我们这个 x。 注意了啊，这个 x 指的是中边，其实就相当于我们之前定义这个正确函数时候，那个 r 我们改成了 x 号，这个 x 呢，指的是中边的位置啊。 看好了，当这个 x 在第一象限的时候，当这个中边在第一象限的时候，我们对于这个正确函数怎么定义来着？这个贪真的 x， 他在图中是等于点屁，我们点屁可以做一个垂直，其实不做也行的哈，他等于点屁的这个纵坐标，在笔上点屁的横坐标。我们一开始的时候，你注意 这个圆不是普通的圆，他除了这个圆现在圆点之外，还保证了，你看他这个半径等于一，对吧， a 点的这个坐标呢？他正好是一多少零嘛？半径是一，那既然如此的话，根据相似 谁跟谁相似啊。看好了，我们过 a 点做了一个垂直嘛， at 是垂直于 x 轴的，所以其实非常容易得出来的一个相似是三角形 opq， 他一定是相似于三角形 ota 的，那既然相似的话，那你说此时这个 yp 比上 xp 不就相当于这个 pq 比上 oq 吗？其实也就相当于根据相似，他等于 ta 比上 oa。 但是有一个比较好的地方，这个 oa 是什么呀？ o a 是半径一啊，我们直接把 o a 变成一。原来原来什么？原来你这个 x 他的摊产的值，也就是正前函数的值，是 等于 ta 的。实际上我想改成 at， 写上 at 以后的话，原来 at 的长度就是他的，那 x 他的值。所以说这个 at 叫什么呢？ at 这个有限线段，实际上他就叫做正切函数线，我们呢，简单把它挤为正切线， 当这个 at 向上的时候，我们就看这个 x 当然是个正数，但是如果 at 怎么样，如果 at 他这个方向，你看向下，当这个 x 在第四项的时候啊，我们看一下具体会产生什么结果。看下边这个图了啊， 下边这个图的话，也是看啊，下边这个图。我们此时呢，这个摊子的 x， 它本身也应该是等于 yp 比上 xp， 但是有一点点问题，什么呢？我这个 yp 是负的，对吧？分子呢，是负的，但是分母的话是正的，比完之后的话，这个整体肯定是个负数，负数的话， 他根据相似也可以得出来， atat 比上那个 boa 还行不行啊？还有一个副号，那 oa 等于一的话，最终会得出来等于等于谁，等于 at 的。哦，原来加一个副号就行了呀，当 at 这样一条正确线向下的时候，这个正确就是个负数了，懂了吧，加上这个正符号， 那现在看好了，现在有了啊，现在我们一条一条来研究，为什么他的最小正抽期是派呢？原因很简单， 看好了，同学们，从负二分之派这个位置是负二分之派吧，负二分之派，然后一直转到这个外轴正慢轴，这就变成了正的二分之派了吧。 从负二分之派到正二分之派，看了啊，当这个角角的话，这个 x 肯定不能取正负二分之派，因为弹枕的正负二分之派是没有定义的，此时点 p 的横坐标是零，你外 p 比 xp 你分不懂一点就没有意义了，懂了吧，来，当我什么呢？当我这个中边 x 非常接近外周副板轴的时候，我此时这个贪正的 x 是不是趋近于副国穷啊？你看，符合我们图像这个要求，我们再取一些特殊的点， 比如说啊，当我这个 x 等于几的时候呢？ x 正好等于负的四分之派的时候， 此时点屁正好是搅盆盆线。点屁的坐标实价也应该是多少呢？此时我标的这个点屁坐标。这个其实很好理解啊，二分之根号二，另外一个应该是负的二分之根号二，也就是说此时求出来他们的 x 是负一，你看， 服无穷，哎，慢慢的啊，就到负一了，就这个意思，那我们再往后边划呗，其实慢慢的你就可以画出这样一个图像来了。五点法嘛，我们标几个点再来看啊，这条线的话，是多少？是 x 等于零吧。嗯，当你这个角度是 x 等于零的时候，那现在的话，我们此时这个摊着呢， x 等于几呢？摊着呢，零吧，摊着零他就等于零。因为此时点 p 跟点位重合了，纵左边是零，所以摊着呢，就等于零，慢慢的就出来了吧， 你看这个位置呢，是负负，从服务穷开始，慢慢的一直往上，一直到正无穷，慢慢的变大，慢慢的变大，懂了吧，这个呢，就是从负二分之派 再到哪，再到正二分之排。那继续研究，当你转过了正二分之排以后，继续按逆时针正方向去转，一直转到哪呢？转到二分之三排这个位置。怎么回事？ 我们的正界函数线，当你这样一个中边 x 在哪的时候，在第二象形的时候，你这个正界线是在延长线这样一个位置，此时 我画的 at， 我红色的这个 at 才是真正的他这样一个正确线，还是在右侧的这样一个图像上，你看仍然是从服无穷。然后当这个 x 在哪的时候，当我这个 x 在第三项目的时候，在这个时候 在这个位置的话，还是反向延长，反向延长以后看我画的词，是这个红色的 at， 还是从富无穷一直到正无穷。所以说你看 看好了，图像他这个变化规律，变化过程都是一样的，从负二分之派一直变到正的二分之派，中间他是派吧？ 然后后来呢？我们研究第二部分，就是从这个正二分之派又到正的二分之三派，他中间经过了多少？也经过了派这样的度数，所以说每经过派这样一个度数呢？他的编号过程都会产生一个相同的重复出现 这样一个规律，所以说最小郑州期就是拍就这样一个规律，你多画一点图就出来了嘛，对吧？地狱的话是非常非常好的话，刚才咱也说过了，你这个中边 x 是不能在哪的，中边是不能在外轴上的，所以说 k 派是 x 轴，你再加上 这个二分之排，那不就是外者吗？当然最后我们应该写上 k 属于 z 的，他这里头没有写，咱们补全了啊，你补上 k 属于 z 开始整数就行。 那直域的话，直域不用多说了吧？直域的话，你从服务熊一直变化到正物熊，这不就是实数 r 的意思吗？嗯，增区间。增区间的话他只有增区间，你看图像就能看出来。 从负二分之派到正二分之派增区间吧，从这个二分之派到二分之三派也是增区间，只有增区间，每一个连续的周期内都是增区间，他没有减区间的，对不对？ 继续看下一步啊，下一步的话就是这个。嗯，机油性了，他肯定是个七函数啊。为什么？因为我们一开始在学三角函数的时候就学过了。你这个副号是不是可以从括号里头提到括号外头来啊？ 所以说你看是不是一个极函数？肯定是极函数啊，而且你的定义是什么？定义是 r， 所以呢？肯定是极函数，这就不用多说了，有它就可以得出来。 继续看对称轴。对称轴。有对称轴吗？没有对称轴，但是人家有对称中心啊。接函是我最大的特点。他对称中心不就是零多少零吗？但是 零多少零，零好零，加上一个周期性。周期性是派，还有周期性的话，那所有的 k 派都好零，实际上就是他对称中心。但是除了 k b 的派之外，你看我画的图中这样一个点， a 是不是对称中心？实际上也是对称中心，所以， 所以说他这个对称中心是每经过啊，整数倍的二分之排就会产生一个对称中心的，大家写上就行了。那最高点最低点的话肯定是没有的。为什么？因为他的职遇是服务穷到正无穷，一直可以高，一直可以低下去就完了。注意这样一个研究方法， 当你了解了这个正向函数的图像性质之后，接下来一些题目呢，就非常简单了，我们直接来看高考真题，这之前比较早的这个北京的高考啊，他这个题的话，让你研究单调性。啥意思？ 反正呢，我知道分子里头这个一减口算二倍的 x， 很容易变出来二倍的三平方，这个就不多说了， 而且你加了一个根号是吧？所以说这根号一减口三二 x 的话，就变成了根号下二倍的三万平方。初二的时候我们已经学过了根号下平方，他 完全党加于绝对号，所以说当我们把这个根号二提出来以后，实际上分子他就是一个绝对号三 x。 所以说我们这个 fx 经过这样写之后，经过这样改变之后，就变成了根号二倍的。什么呀？根号二倍的绝对值三 x 在干嘛？在笔上扣三 x。 然后第一种情况肯定需要分着讨论啊，分着讨论的依据就是绝对号里头究竟是正还是负了。第一种情况， 当这个 x 他这个中边在零到派之间的时候，我这个三按是个正数吧，三按是正数的话，我此时这个 fx 就变成了根号二倍的三。比上扣三。这个呢，每一位同学都知道，他实际上就是根号二倍的。 嗯，多少根号二倍的瘫着呢？写上这个之后的话，你注意根号二胎是干嘛的？他指的是 这样一个函数值，锁定的函数值就扩展为原来的根号二倍。对这样一个区间，对这个周期性有影响吗？没有，对单调性是没有影响的，他只是纵向。嗯，拉伸了根号二倍。那写成这个样子之后的话， 现在看好了。领导派，领导派的图像，你说你会画出来吗？这个还是挺好画的啊，零，这是零。然后呢，他有一个间接线，间接线的话肯定是一个二分之派，这我就写上了。然后这呢是一个派，也是一个对称中心。那他的图像，哎，看红色的部分，这是他人的 x 的图像吧。另外从这也是吧，他就拿 x 图像，所以说这个 a 选项，零到二分之派和二分之派到派上都是当下递增的啊。好，那究竟是 a 还是说别的选项？那继续看另外一部分，看后半部分对不对？那行吧。第二部分啊， 我们索性呢，换一种颜色吧，用蓝色的来。当这个 x 在哪的时候，在这个派到二排之间的时候，这就需要特别小心了。此时 fx 分子的话，它里头因为负数，所以就变成了负的三 x， 比上扣三 x， 他会加一个负号，所以就变成了负的更好。二倍的 弹的 x。 变成这个样子之后的话，你看完，同学们啊，看好了，我们先把这个间接线画上，画上这个间接线了，这个间接线肯定是二分之三派啊。然后呢，我再标一下这个二排，标一下 标完之后的话，你说有一个副系数，他对图像产生怎样的影响？副系数就是关于 x 轴图像，翻过来，原来应该是虚线部分吧，但是呢，因为加了一个副号系数，所以就翻到下边来，我们看实线，同样的道理，另外一部分也应该是怎么样的？二分之三派到二派之间， 如果不是负的系数的话，我们应该是怎样画这个图像啊？我们应该是从下边，现在反过来了，就画成这个样子，画成这个样子之后的话，那当然应该选 a 啦，再派到二分之三派和二分之三派到二派之间都是单调 d， 简单看蓝色的图像嘛，都是往下走， 所以这个题的话，我们直接选 a 就行，就是 a 选项行了吧？这是第一道高考题，我们做三道啊，看第二道， 第二道的话，我们要注意这个欧米伽是怎么样的，他这个系数是产生了怎么样的影响？他是横向伸缩变换的一个系数， 这个欧米克大于一的时候，你肯定是整个图像压缩了吗？当这个欧米克在零到一之间的时候，反而是怎么样？反而是拉伸了，横向拉伸这个大家知道这个系数产生什么影响就行了。那好啊，我们可以画这样一个图像，然后注意一个问题啊，当这个欧米克人家是 简函数，简函数的话，意味着欧米格肯定是个什么数啊？欧米格肯定小于零，对吧？为什么？因为你比如说咱们举一个例子啊，当你欧米格等于负一的时候，我就变出来了，把这个符号提出来，因为是极函数。 听说以后的话，你看这个副摊成了 x， 我们红色的图像怎么画呀？这个也很好画吧，我们画出来这个红色的图像，这就画出来了，懂了吧？这个红色的图像就是副的摊成了 x。 原来这个副号的作用呢，就是改变了他的三调性，变成了减函数。 好了，第一条他肯定是小于零，但是另外有一条还有周记性，啥意思呢？大家需要注意一个问题，他说在负二分之派 二分之拍上一定是减函数，那这个周期变大是可以的，这是没有问题，但是周期变小可以吗？周期变得比派小，如果变得比派小，肯定就不可以，周期就发生改变了 了吧。所以说我这个周期的话，我们写上周期的话，肯定是原来的周期派，再比上我们应该绝对值，他怎么样？必须是小于派还是大于派啊？必须是大于派的，小于派就不行了，对吧？有提议吗？ 那最终的话，这个欧米伽的绝对值就小于一，但是因为欧米伽是负数，所以说这个欧米伽在哪啊？在负一到谁之间，负一到零之间。所以这个题的话，当然能不能等于派，恰好等于派肯定是可以的。所以最终的话，这个题应该是选 b 选项才对啊。选 b 来看第三题吧。 第三题呢，乍看起来挺难的，但是如果你对这个正前余线，还有正前还是图像非常熟悉的话，把图画一下也不会特别难。我们看一下吧， y 等于六倍的口算 x 的图像与外等于五倍的碳酸的 x 图像。他没有图，让你自己画对吧？ 交一点皮。那行啊，这不是不是六倍的，六倍的，你看，原来如果说没有六倍的话，这个口算 x， 他是过零多少一，这个点有六倍的话，那就变成了过零多少六。这个点你看画的还是挺精确的啊，我用软件画了一下， 然后五倍的摊子呢？五倍的摊子呢？我也画出来了啊。那注意，你看这条竖线，这是哪？这条竖线我明确告诉大家，这就是那个间接一线 x 等于二分之派，这个大家知道就行了，另外他还有什么呢？ 他又说了，还有一个图像， y 等于三 x， 所以说你需要在同一个坐标系里头把这三个图像都画出来。那画完之后的话，我们再来看什么意思？ 首先告诉你， y 等于扣三，六倍的扣三啊，和外等于五倍的弹指的交于点屁，行吧？交于点屁啊，反正点屁的横左边是在零到二十 分之派之间的。那继续看，他说过点屁做了一个垂直行， pp 一是垂直于 x 轴的啊，行啊，那继续呢？ pp 这条直线呢？他是教谁教这个 y 等于三 x 与 p 二的那行，实际上他最终让你求的这个 pp 二 其实就等于谁。那所以接下来我们要求的话就简单了，就是算这个三 x 等于多少？好，算六倍的扣三。我先算两 p 啊，等于五倍的瘫着呢，这个好像不太好算。你把这个瘫着呢改成什么？肯定是切换弦嘛， 对吧？改成这种形式，所以最终的话就变成六倍的口算方等于五倍的三 x 编到这呢，并不满足我们需你看左边余弦，右边正弦，我们都换成这个正弦啊，也就是说把这个口算方等于多少？等 等于一减三方，再入十减就可以了。等于五倍的三，那再继续算吧，再继续算的话，就变成了六倍的三方，然后再加上五倍的三，再减六等于零。这个的话，我们试一下能不能因式分解啊？实际交叉的方法， 二倍的三乘法拆两边啊，三倍的三拆是拆对了，然后再来一个正三倍的，再来一个负二，哎，正好可以啊，九减去四，正好是五倍的，所以对了对了的话，实际上我们所标的这样圈一这个方程就完全可以改造成这样的形式， 三倍的三减二，然后呢？二倍的三 x 加三等于零。这个时候注意一个细节，你三 x， 因为 x 是在哪之间的？在零二排之间，三 x 肯定是个正数，所以说三 x 是正数，第二块就是正数，所以我们很快就得出来了，这个三 x 只能是等于三分之二了。那这道题这个线段的长度就是三分之二，也就做完了。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下期和再见。

上回我已经讲过正切函数的图像，他的图像长这样。这回我来讲讲正切函数的对称性与单调性。先看对称性，发现没，这个图像是个中心对称图形，这些点就是对称中心了，所以得写成坐标形式。 显然纵坐标都是零。再看横坐标，这是负派，这是负二分之派，这是零，这是二分之派，这是派。显然，横坐标都是二分之派的整数倍。看来正切函数的对称中心就是二分之 k 派零，其中 k 属于整数。 弄明白了他的对称性，咱再来看看贪俊叉 x 的单调性。贪俊叉 x 是个周期函数，所以咱先研究一个周期，比如负二分之派到二分之派， 你看这一整段都是增的，所以整个周期就是增去间，那其他周期肯定也都是增去间。所以把这 这个区间加上派的整数倍，就能代表所有的增区间了。也就是说， tiangine xx 在每个这样的开区间里都是增函数。不过要注意，如果你说 tangineshx 在定义内是增函数，那就错了，因为它的定义不是连续的。 好了，以上就是这些函数的对称性与单调性。对称性上，他是中心对称图形。对称中心是二分之 k 派零。单调性上，他在每个区间负二分之派加 k 派，到二分之派加 k 派，都是增函数，其中 k 属于整数。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！