什么叫公因数

同学们好，今天我讲讲的内容是供应数和最大供应数。同学们，你们知道什么是供应数吗？ 没错，几个数公，有的英数叫做这几个数的公英数，而这几个公英数中最大的数就是最大公英数。可能有的同学还不是太懂，那就让我们来举一个例子吧。 三十的因素有，一、二、三、五、六十、十五、三十。而四十五的因素有， 一、三、五、九十五、四十五。其中一、三、五、十五就是 是三十和四十五的供应数，而十五和四十五十五就是三十和四十五的最大供应数。 现在同学们已经了解了什么是供应数和最大供应数，那就让我们来做一道题巩固一下吧！ 请看题，已知 a 是二十八的因数，也是四十二的因数，那 a 最大是多少呢？ 这里给了我们三个选项， a、 四 b、 七 c 十四。我们可以用二十八和四十二分别除这四个数。这三个数 二十八除以四等于七，四十二除以四等于十余 二，所以四排除掉，剩只剩下七和十四两个选项。我们再来看看七， 二十八除以七等于四，四十二除 五以七等于六。哎，同学们先不要着急选七，还有一个十四呢。我们再来看二十八除以十四等于二， 四十二除以十四等于三，十四也可以，而且十四还比七大，所以七也排除掉。这一题的答案是 c， 同学们，你们都答对了吗？ 同学们，我的奖演完毕，谢谢大家！

现在我们来看一道五年级必考题， a 等于三乘三乘五， b 等于二乘三乘五，那么 a 和 b 的最大公因数是几？ 最小公位数是几？最大公因数指的就是公因数中最大的那个数是谁。 a 和 b 都分别分解了至因数，找公因数就是公共的因数呗，有三还有五，那最大公因数指的就是分解的这个至因数当中相同的至因数的乘积就是最大公因数，所以是三乘五，也就是十五。 要求最大的公因数，那么就找共有的所有数的乘积，那最大公因数我们找到了最小公倍数，那就是说哦，去掉一个最大公因，剩下所有的数的一个乘积就是最小公倍数，也就是 三乘三乘五，再乘二等于九十，那九十就是最小公倍。这道题同时还告诉了我们一个额外 外的一个知识点，就是最大公因数乘最小公倍数，就等于这两个数的乘积。 a， 你看我们验算一下， a 等于四十五， b 等于三十， 四十五乘三十，正好等于十五乘九十。所以记住，最大公因数乘最小公倍数就等于这两个数的乘积，这个在我们平时做题当中会常用到。

a 等于二乘以二乘以三， b 等于二乘以三乘以五，那么 a 和 b 的最大公因数是最小，公倍数是，那么 a 和 b 的最大公因数是什么？我们先来说一下什么叫做公因数？ 公益数，就是几个数共同的一数中的共同的一数。那什么叫做最大？ 就是他所有的公共的因数里面最大的那一个。然后再来看什么叫做公倍数，公倍数的意思就是两个数 共有的一个倍数，就比如说，呃，乘二呀，乘三呀，他们共有。然后什么又叫最小？ 最小的意思就是他们所有的公共的倍数中最小的那一个。漂亮，我们看题， a 和 b 的最大供应数是什么？ a 等于二乘二乘三， b 等于二乘三乘五。 这道题我们就不麻烦，我们可以直接把它给求出来。 a 等于十二， b 就等于三十， 那么我们就可以先把他们的所有工艺书写出来，然后再找出他们中最大的那一个，十二的 有，三十的有，有一个一， 十二，二六二六一，十二对三四，一，十二四，然后就没了。我们再来看三十一乘以三十等于三十二乘以十五等于三十 三乘以十等于三十 五乘以六等于三十。 然后他也只有这么多了，我们再来圈出他们中间共同的那一个， 先圈他们共同的一二，嗯，单独圈就可以了，六 三。好，就没了。那我们再来看其中最大的是哪个？一小于二， 二小于三，三小于六，那么最大的就是六， 所以他的最大供应数就是六。来，我们来做最小公倍数是多少算十二的，十二的有十二、二四三六四八六十 七二。好，剩下的我们就省略，再来看三十的，三十、六十九，十一了 啊，一直要把它给截屏为止。一百五、一百八，然后剩下我们就可以省略，然后每一样也圈出他们的所有的公倍数。 六十 好，我们就没了，因为在这些数里面六十就是他们最小的了，我们就可以直接写上答案，他就是六十了，你学会了吗？

英数的概念大伙已经很熟悉，比方说十二，咱可以用大小配对的方式写出他所有的英数，分别是一和十二，二和六、三和四。 再比如三十，他的因数分别是一和三、十，二和十五，三和十，以及五和六。仔细瞧瞧，这里头是不是有很多重复？ 像一、二、三、六这四个数，他们既是十二的因数，又是三十的因数，所以是双方公共的因数。这种公共的因数就叫做公因数。在这些公因数中，六呢，是最大的一个，所以也叫做最大公因数。 好了，介绍完公因数，接下来该轮到公倍数了。作为公倍数，就是公共的倍数。你看十二，他的倍数有二十四、三十六、四十八、六十七、十二的 等等等等。而三十的倍数呢，有六十九、十一、百二、一百五等等等等。在这些倍数中，六十就是一个公共的倍数，也就是所谓的公倍数。 当然，公倍数并非只有六十一个，因为一个数的倍数有无穷多，所以公倍数也是无穷多。比如三十的倍数一百二，其实也是十二的倍数，因此也是一个公倍数。 在网上，像一百八、二百四、三百六，其实也是三十和十二的公倍数。不过，无论你怎么往大了写，在公倍数中一定有一个最小值，像这里就是六十，这个最小值就叫做最小公倍数。 最大公因数和最小公倍数是数论中非常核心的两个概念，所以他们的求解方法也尤为重要。接下来我就来说说如何用短出法迅速求解最大公因数和最 公倍数。就拿刚才的十二和三十为例，我们先把他们写成一排，并画上短除号，然后思考一下，十二和三十能够同时处以谁呢？嗯，二肯定可以，因为十二和三十都是偶数嘛。于是写上二 十二除以二得六，三十除以二得十五。那六和十五又能同时除以谁呢？嗯，应该是三，于是再写上三六除以三得二，十五除以三得五。至于二和五呢，就只能同时除以一了，所以就不用再写了。 我们把左侧的二和三乘起来，得到六，这就是最大公因数。那怎么求最小公倍数呢？很简单，只要把左边的二三和下面的二五都乘起来就可以了，二三得六，二五一十，再乘一乘得六十，这就是最小公倍数。你看， 用短除法球最大攻击处和最小攻倍处还是很方便的吧。在这里需要专门提一下短除号下面的二和五，这俩数只能同时除以一，除此以外也找不到别的数了。像这样的两个数，有一个专门的名字来描述，他们叫做互置。 复制的两数还有很多，比如八和九就是复制的，十八和二十五也复制，但二十和二十五就不复制了，因为他俩还能同时除以五呢。 好了，到目前为止，已经介绍了五个新概念以及一个新算法，这五个概念分别是公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数以及复制 算法呢，则是用短出法求解最大公益数和最小公倍数。动作还是蛮多的，所以赶紧动手做题巩固一下吧！

这个视频我们来说说公因数与最大公因数，想一想，十二的因数有哪些？十六的因数呢？十二的因数有一、二、三、四、六，十二，十六的因数有一、二、四八，十六。 一、二、四既是十二的因数，也是十六的因数，他们是十二和十六的公因数，其中最大的一个是四，也可以说四是十二和十六的最大公因数。 通过集合圈也能清楚的看出十二和十六的公因数，四是十二和十六的最大公因数，十二和十六的最大公因数，十四也可以记作括号，十二，十六等于四。 你现在知道什么是公因数，什么是最大公因数了吧？想想公因数和最大公因数有什么关系啊？就以十二和十六的公因数为例， 我们可以看出这两个数所有的公因数都是他们最大公因数的因数，也就是说一、二、四都是四的因数。 怎样求两个数的最大公因数呢？我们一起来看看。例如求十二和十八的最大公因数一，我们可以分别写出两个数的因数，十二的因数有一、二、三四、六，十二，十八的因数有一二 二、三、六九，十八。再把公因数捐出来，其中最大的一个是六，所以十二和十八的最大公因数就是六。我们把这种方法叫做列举法二，我们还可以这样做，先找出十二的因数， 一、二、三、四、六，十二，再从十二的因数中找出十八的因数，其中一、二三、六 也是十八的因数，所以十二和十八的公因数就有一二三六，那最大的公因数就是六。同理，我们也可以先找十八的因数，再从十八的因数中找出十二的因数， 我们可以把这种方法叫做筛选法。一般情况下，我们先找出两个数中较小数的因数，从中捐出另外一个数的因数，再看哪一个因数最大。三、还可以这样做，先将两个数分别分解之因数， 十二等于二乘二乘三，十八等于二乘三乘三，再从中找出这两个数公有的致因数，公有的致因数连成所得的积就是这两个数的最大公因数。 十二和十八的最大公因数就是二乘三等于六四。除了上面这些方法，我们还可以用短除法来求十二和十八的最大的公因 因数。前面我们用短除的方法分解真因数，为了数写更简便，在求两个数最大公因数时，我们一般把两个短除式写在一起， 用这两个数的公因数连续去除。你首先想到他们的公因数几好，我们就先用公因数二做除数，再用公因数三去除，除到所有的两个商只有公因数一为止。 然后把所有的除数二和三相乘，就得到了十二和十二的最大公因数六。通过以上这四种方法，都可以求出两个数的最大公因数。而在找两个数的最大公因数中，有两种情况最为特殊，如果两个数一个数是另外一个数的因数， 照小数就是他们的最大公因数。如果两个数是相邻的自然数或是两个不同的质数，则他们的最大公因数就是一。比如，找出下列各组数 的最大公因数，十二和二十四，九和十、十三和十七。因为十二是二十四的因数，所以十二和二十四的最大公因数就是十二，因为九和十是相邻的两个自然数，所以九和十的最大公因数就是一。 因为十三和十七是两个不同的质数，所以十三和十七的最大公因数就是一。不信你可以用前面说的四种方法试试看。在这里 我们把最大公因数为一的两个数称为互至数，因此也可以说九和十互至，十三和十七互至。现在我们知道了什么是最大公因数，并且会求出两个数的最大公因数， 现在就做几道题试试吧！

人教版的各位小朋友啊，先不要着急，那么关于公因数和最大公因数，这都是五年级下册要学的，但在北师大版，这属于上册的内容。所以啊，今天王老师来简单的讲一讲公因数和最大公因数。 王老师前期视频里边有讲到如何来找一个数的因数，那一个数的因数的个数又是有限的，最大的因数呢，是它本身，最小的因数是一。 那么我们首先来找一找十二的因数有哪些呢？那我们当时找的时候有两种方法，一种是用乘法，另一种是用除法。所以啊，十二的因数有一，十二， 那有二六三四 这样一，一小一大的找，这样能做到不重复，无遗漏。那同样的十八的因素有哪些呢？最小的因素是一，最大的因素是它本身，然后还有二九 三六。那同学们来看一下，十二和十八这两个数的公因数有哪些呢？公因数就是他们俩都有的因数叫公，公有的因数叫公因数，那很明显都有一，对不对啊，有二， 我劝一下，有一有二，有三有六啊，一共啊，公有的因数有一二三六，那么在这些公有的因数当中啊，有一个最大的公因数，那就是几啊，就是六， 这样我们就能求出这两个数的公因数以及最大公因数。但是这种方法太慢了，所以我们选择怎么样利用短除法来找他们的最大公因数，这样会更快一点。 短除法是万能大法来同最小的字数，二十二岁二是六，十八岁二是九，那除以二不行，那就换三六岁，三是二，那九岁三是三。哎，这样我们 就能快速找到他的最大公因数，那把左侧这几个字数的结乘起来，二三得六，所以六就是他们的最大公因数。那对于王老师讲的这个公因数和最大公因数，你学会了吗？那喜欢王老师视频的朋友给王老师点赞、关注、收藏一下，我们下期拜拜。

今天我给大家来讲一下提取供应数，那么我们来先来看啊，什么叫做提取， 提取吧，就是提出来，拿出来，对不对？什么叫做公因数，这个公因数呢？又可以拆开看 啊，这个公是指公公的意思，因数啊，我们在这呢可以简单的称之为成熟， 那么我们把它串起来，就是我们要把共同的成数提出来， ok， 这个就是提图因数 啊。我们来先来看一道小题目，例如说三十二乘二十八加上七十二乘这个三十二，那么大家看 两个乘法算式相加，他们共同的程数是谁呢？三十二对不对啊？三十二，那么这个时候他怎么解决呢？很多同学不会了 啊，这个时候我先问大家一个问题，什么叫乘法？乘法就是加法， 例如说三乘二就是两个三相加，或者个三个二相加，因此乘法它可以代表几个级。所以呢，三刀老师呢，在这教给大家一个方法，我们把共同的这个程数看作大苹果， 然后跟着老师读一下，二十八个大苹果加七十二 个大苹果，你说等于什么呢？那当然是二十八加上七十二个大苹果，这个大苹果是谁？他就是三十二，好像下边不用说你也会，所以同学们你就会发现 啊，如果理解了，其实数学非常简单，关注我跟三道老师快学英语。

欢迎来到酸菜课堂。 哈喽，各位小朋友们大家好，我是酸菜老师。今天呢，我们要紧接着上一次我们讲的因素倍数的一些知识啊，我们今天要学习的内容呢，叫做公因数的认识。 那说到认识哈，我们之前就说过，只要是认识，首先你要明白什么是供应数。第二呢，供应数有哪些特征？ 如何去求解这个供应数啊？那我们的供应数是什么东西呢？我们先来认识一下我们的因素，大家还记得吧？因素，那只是今天呢，多了一个工字，我们来慢慢的理解哈。因素是什么呢？就是在一个成长上市当中，在 在一个出发当中，肯定就会因素和倍数的存在哈。比如说我们复复习一些，下马举一个例子哈。嗯， 八嘛，八这个数字呢，我们可以找到它的因数有哪些呢？怎么去找呢？就通过我们去写等式，比如八等于多少，八等于多少呢？八可以写成一乘八， 一定可以写一乘八对吧？因为我们之前就讲过，任何一个非名自然数，一定可以写成一乘他的本身啊，一乘他的本身，所以一定可以写一乘八，还可以写成 二乘四啊，还可以写成二乘四啊，其他就没有了。那这样的话，我们就可以发现八有哪些因素呢？就是一和八是八的因素，二和 四也是八的因素哈，这是八的因素。那我们用黑笔总结一下啊，八的因素，那有哪些呢？就是一二四 八，这是八的因素。那么什么叫做公因数，我们就开始了啊。什么叫做公因数呢？这个就像我们学校，你们在学校读书的时候就说有桌子啊，还有椅子啊这些，对吧？那桌子和椅子是你的吗？ 肯定不是对吧？啊，你们的？嗯，墙壁上面应该就贴满了什么爱护公共财务对吧？说明我们这个桌子啊，这个椅子啊，是公共财务是大家的 啊，就不是你个人的哈，是这个小朋友可以做，其他小朋友也可以做哈。那这个供应数呢？其实跟那个公共财务差不多，就是说这个因 数他可以是八的因数。比如说哎，这个四，他可以是八的因数，那这个四还可以是其他数字的因数啊。举个例子，我们随便再写一个，一定再给他找一个出来。我们找个呃，十二吗？ 十二有哪些因素呢？我们来写一写十二一定可以写成一乘十二对吧？那十二还可以写成二乘六， 十二还可以写成三乘四。那通过这样我们可以写出来十二的因素有一、二、三、四、六、十二很多，对吧？那我们把总结一下，写一下啊，总结一下，那我们十二的因素有 一、二、三、四、六、十二啊。这样呢，我们 就把十二的因素写出来，我们来看一看，在这个八的因素里面，和十二的因素里面有没有什么一样的呢？比如说这个一，你看一定会有这个一对吧。啊，刚刚就说了，任何一个非灵自然数一定能写成一乘他本身吗？所以 八和十二一定有相同的因素。一，这个相同的因素。这个一呢，我们就可以把它叫做公因数了。就是说这个一可以是你八的因素，那这个一呢？还可以是十二的因素啊，这就是我们的 公因数啊，可以是你的，也可以是别人的哈。那我们再看看呢，除了一，还有二，你看二是八的因素，二也是十二的因素。还有呢，你看四，四也是八的因素 啊，四是八的因素，那下面呢，四也是十二的因素，对不对？所以通过这个地方我们就可以发现，我们这个因素里面也有相同的对吧？哎，八和十二里面相同的因素有哪些呢？打个标记啊，一二四 一二四。这就是我们的公因数。而我们公因数经常会考察的一个是我们的最大公因数。那我们看一看八和十二的最大公因数是几呢？是不是我们的四对吧。 八和十二的最大公因数是四。那我们一般去求解的是去找我们的最大的公因数。 那如果以后老师给你一个非常大的两个数字，你也去找他们的最大公益数，好，我们一个给他写，一个给写，然后写出来，然后我们再一一对比去找， 这样找起来就非常的麻烦对不对？哎，就非常的麻烦。所以呢，我们先认识了公因数之后呢，接下来就要去求解怎么去去快速找到最大公因数。其实你发现这个因素有一个特点， 这个最大的就是四嘛，这个四，这个四一定能被八整除，这个四呢，也一定能被十二整除，对吧？这是他的一个特点啊，他肯定能被整除，要不然他就不是因素了哈。所以这个四是八和十二的最大供应数。这个如何用方法 去找呢？也就是我们今天要学习的短除法。这个短除法呀，和我们以前学习的那个除法术是是差不多的啊，但是呢，有点区别哈。短除法和除法术是有一点区别， 就是把那个除号员反过来的形状啊。短粗发是这样的一个形状啊，是这样一个竖横的一个形状啊。那现在我们来找一找哈。我们这个八和十二的最大供应数。那我们就先把八和十二写到这里面。八 十二。那么聪明的同学就知道哎，像这个写好了之后，我们除数应该写在哪个位置呢？哎，跟我们的那个除法是一样的，应该写在我们的左边啊，写在左边。那我们知道公因数是一定能 被十二和八同时整出对吧？啊，这个地方写两个字啊，那是可以能被八和十二同时整出。那我们看一下，八和十二可以同时除以几呢？ 可以同时除以哎。对，同时除以一哈，可以哈。当然可以哈。但是呢，同时除以一的话，对于我们来说没有太大意义。你八除以一，十二除以一还是八和十二？所以我们再大一点点了。大一点点，八和十二可以同时除以 二，看到没有？哎，可以同时除以二，说明呢，这个二就一定是我们八和十二的公因数也能同时出，对吧？所以八除以四，二等于四，十二除以二等于六。那我们看看四和六， 他明显还可以除五对吧。还可以同时除以几呢？还可以同时除以二，还可以同时除以二。四除以二等于二 啊。六除以二呢，等于三。那二和三这两个数字呢，他们就不能除了啊，二和三这两个数字就不能除了。他们两个只能同时除以 一，只能同时除以一了啊，所以这个地方就不用数了啊，我们发现这个二和这个二都是他们俩的供应数，都是八和四的供应数。那么如何去找到这个 最大供应书呢？这个死怎么找呢？那我们就可以看看啊，这个二和这个二是怎样的一个关系，因为是一个除法对吧，那反过来他们两个可以把 啊乘起来给乘起来。所以呢，这个二乘二等于四，你看是不是四啊。啊，有的人说是不是二加二呢？那我肯定的告诉你，这个地方是二乘二 啊，待会我们可以验证一下啊。所以这个的话我们就可以找到。嗯，八和十二的最大供应数是二乘二 等于四。那这个地方我们的最大公因数，它是有一个固定的符号表示，写起来也比较简单啊，最大公因数用小括号表示。 什么意思呢？我们这个地方不是找的八和四的最大公认数吗？对不对？那八和四的最大公认数呢？我们用小括号应该这样表示，小括号找 找的是八十二，所以逗号十二找到他俩了，这样就可以表示出来，八和十二的最大供应数是 四啊。这就是我们求最大公斤数的求法。我们用短粗发除，一直除，一定要保证同时两个字啊，保证能够同时被某个数整出，同时用某个数整出。最后最后把这个左边的这些除数给他 乘起来啊，出书给他乘起来。那么下面这个地方就是这两个数字有什么特点呢？ 这个数字哎，给大家讲一讲啊。最后剩下的这两个数字呢，他只能同时除以一，也就是说下面这两个数字呢，他有一个特点啊，就是只有公因数一， 只有公因数一啊。这是呃，叫做一个互治的一个概念哈，就是互治。 互置是什么意思啊？就是说两个数他们之间有一个关系，这个关系叫做互置啊，这个关系叫做互置。那这个互置啊是什么概念哈？就是只有 冬阴数 一到两个数 啊，就是针对于两个数而言，只有公因数一啊，只有公因数一。这个地方先简单给他举个例子，你们下次自己可以尝试尝试啊。比如说 十六和十七这两个数，我随便写的啊，这两个数你们可以去研究研究，他们是不是满足互质的条件啊，是不是满足啊。 这是我们今天讲到的一个短粗法。求最大供应数啊，求最大供应数。这个地方呢啊，有同学很容易出错的一种题型，很容易出错的一种题型，就是可能会遇到三个数，找最大公因数三个数。那我们举个例子啊，三个数 啊三个数。写到这吧。比如说找个十五啊，二十五、 三十五啊，三个数啊，三个数啊。这个地方呢，我们用短粗方来除的话， 注意我们刚刚就强调了，必须要保证同时被整出啊，同时被整出，那么这个地方十五二数三数，能同时被谁整出呢？同时啊，要同时，那所以同时这个地方可以同时除以五，这等于三，这等于五 的七。而三五七，他们三个数字是不能够同时被某个数整出的。所以这个地方十五、二十五 三数，他们的最大公因数就是五，就是左边这个五，只有这一个数字五。好，这是我们今天讲解的最大公因数，那我们下次还会讲到最小公倍数，以及他们的综合应用， 后面还会再讲到最大供应数的一些陷阱。那么今天的课程就到此结束，我们下一次再见，拜拜！

今天我们来讲一下公因数和公倍数。首先比如十二的因素有哪些？十二的因素有哪些？ 那么有一、二、三、四、六十二。然后 比如十五的因素，十五的因素有哪些？ 有一啊三、五、十五。这里边我们来看一下，十二的因素有一、二、三四六，十二，十五的因素有一三五十五。那么这个里面他们有没有 相同的一个因素？有没有相同的一个因素？有没有？有，对吧？一是相同的，三也是相同的，还有没有其他的？ 暂时没有了。那么这个一和三啊，一和三就是十二和十五的公因数啊，所以一和三是十二和十五的 公因数。好，然后这个三呢？这个三和一，三是最大的这一个，所以三是什么？十二和 十五的最大公益数，最大公益数。 当然这只是我们的一种方法，我们也可以用其他的方法，比如说十二，比如说我们写十二和十八的最大， 怎么来找？我们一般是用短除法去找，我们一般是用短除法。十二 和十八，然后这样洗，这个其实就相当于是符号一样啊，相当于是一个 除号一样，所以我们是用叫，把它叫做短除法啊。那么看一下十二和十八都是谁的倍数啊？ 十二和十八，十八，十二和十八都是二的倍数，所以我们先除以一个二，十二除以二等于六，十八除以二等于九。 然后六和九又都是谁的倍数？都是三的倍数，六除以三等于二，九除以三等于三。 如果说这后边这两个数字是变成二和三了，二和三是连续的非顶自然数，他们一定是互指数，就说这两个数字啊，必须是互指数啊，才处完了 好，那么最大公因数是多少呢？嗯，最大公因数就是做左边的，左边 这里的成绩啊，也就说最大公因数啊，十二和十八的最大公因数就是什么呢？ 二乘以三等于六，所以十二和十八的最大公益数就是六，当然其实我们这个 短除法还是很简单的好。那么公倍数怎么来找公倍数？比如说 六和八的公倍数。公倍数啊，什么是公倍数呢啊？比如说六的倍数有哪些？六的倍 数啊？六十二，十八，二十四，三十 三十六，四十二、四十八，等等等等，对吧？那么八的 位数，八十六，二十四，三十二，四 十四，十八啊，七八，五十六，对吧？等等等等，很多啊，我们说了一个数的倍数，他的个数是无限的啊，那么我们来看一下，六的倍数有这些， 八的倍数有这些，这里面有没有相同的呢？有没有相同的？有，对吧？你看这上面啊，六，这下面没有十二，没有十八，没有二十四，哎，这里有，这里有相同的。这个二十四啊，还有没有呢？ 三十三，十二，三十六，四十四，十二，四十八，四十八、四十八，哎，这里还有一个相同的啊，这个相同的啊，那么也就说六的倍数里面有二十四，八的倍数里面有， 也有二十四，六的倍数里面有四十八，八的倍数里面也有四十八，那这个二十四和四十八，嗯，二十四和四十八，嗯，都是六 和八的公倍数，当然这后边还有没有，肯定是还 还有的，后边只要是二十四的倍数，后边是二十四的倍数，就一定是六和八的公倍数，后边还有，因为倍数是无限的，所以公 倍数啊，也是无限的，但是最这里一定有一个最小的，一定有一个最小的，比如说我们二十四这个题啊，六和八的最小公倍 数啊，就是二十四，六和八的最小公倍数，最小 公倍数就是公倍数里面啊，最小的那一个。好，当然这个六和八我们找 两个数的公倍数，我们找两个数的公倍数，我们也可以用短除法，六和八 都是谁的倍数？六和八都是二的倍数，六除以二等于三，八除以二等于四。好，这个时候三和四是连续的菲林自然数，他 也是互字数，就不用再除了。这个时候左边这个二，左边这个二是什么？左边这个二是最大的公因数啊，如果只有一个的时候，他就是最大的公因数，如果说有多个的时候，有几个的时候就是他们的成绩啊， 那么最小公倍数就是什么呢？最小公倍数就是外边的所有的成绩啊，就是在外边所有的成绩啊，所以 这里那么六和八的最大公因数是什么？十二，然后最 最小公倍数，这该是什么呢？二乘以三乘以四 等于二十四，和我们刚才在上面验证的是一样的。好，我们再来练习一个题，比如说，比如说什么呢啊？十八和二十四， 比如十八和二十四，他的最大公因数和最小公倍数分别是多少？怎么来做啊？同样是用短除法，十八、二十四，首先我们来看 十八和二十四都是二的倍数，对吧？所以我们先除一个，二十八除以二等于九，二十四除以二等于十二，然后再看一下九和十二啊，一加二等于三都是四十三的倍数，九也是三的倍数， 所以还是三的倍数。我们再继续出九除以三等于三，十二除以三等于四，这个时候你看三和四又是连续的自然飞临自然数，那么这个他就是互指数了。好，所以 他们的最大公因数六十八和二十四的最大公因数就该是什么？ 这两个的乘积对不对？就是二乘以三啊，最大公因数是左边的乘积啊，等于六，那么最小公倍数就该是什么？ 这外边，这外面所有的成绩啊，所以二乘以三，乘以三，乘以四 四，嗯，所以就该等于什么？七十二。好， 好，同学们，希望你们啊要会做。当然这个最大公因数和最小公倍数还有一些其他的类型的啊，还有一些其他的类型的。

上一个视频给小伙伴讲到了用霉锯法可以找出两个数的公因数和最大公因数。那么有人说有没有快点的办法呢？好，老师今天安排。比如说我们先把十二的因数给列出来，然后从里面找找哪些数呢？还是十八的因数。没错，一二三六。 那么他们的最大供应数当然就是六了。我们还可以先写出十八的因数，然后从十八的因数找一找哪些数是十二的因数，这样也可以。那么先种方法呢？我们把叫做筛选法。 ok， 那么我们再讲第三个方法，叫做 分解知音术的办法。首先把十二分解成几个质数相乘的形式，十八也分解。分解完之后，咱们通过比较发现其中二和三是他们公有的因素，所以说他们的乘积二乘三就是他们的最大供应数。好，我们再讲第四个方法，叫做短除法。那么短除法顾名思义就是 呃一步一步往下除，用他们的因数去除。比如说十二和十八，我们可以把他们俩并排写在呃短除后里面，然后想想哎，他们可以同时出一起呢？没错，可以先拿二来除一除，然后 一个剩六，一个剩九，然后再来除一除上三的话剩二剩三。这个时候二和三就不能往下出了。所以说把左边能出的二和三给乘起来，也能找到他们的最大供应数等于六。 那我们以上四种方法都可以帮你找到公因数与最大公因数。我们通过观察可以发现，两个数 如果成倍数关系，那么较小的数就是他们俩的最大规矩数。如果两个数互置的话，那他们俩的最大规矩数就只有一了。什么意思呢？比如说十二和十四，那么很明显，他俩的最大规矩数就只能是十二了。九跟十因为互置，所以最大规矩数只有一。十三和十七互置，所以最大规矩数也就只有一了。 好，通过刚才找供应数的过程，我们给大家提了一个概念，叫做互制。什么是互制？两个数最大供应数唯一的情况就成为两个数互制，这种关系叫做互制的关系。好了，学会了，记得给老师点个赞哦，拜拜！

很多五年级的孩子呢，他会算两个数的最大公因数和需要公倍数，但是三个数的或者四个数的他就不会计算了，我们一起来看一下。 这里呢是求十八、二十四和三十六这三个数的最小公倍数和最大公因数，那么我们用的方法呢，就是短除法，我们一起来看一下。 首先呢是最小公倍数，我们把这三个数给他写上去，然后用短除的方法来进行计算， 十八、二十四和三十六他们共同的字因数是二，那么我们让他除以二，十八除以二等于九，二十四除以二等于十二，三十六除以二等于十八。那么九十二十八他们三个的共同字因数呢是三都除以三， 九除以三等于三，十二除以三等于四，十八除以三等于六。到这一步之后呢，很多孩子不会做了，因为三四六他们没有共同的质因数了，所以呢，一些孩子就把二三 和三四六都成到一起，算出来是他们的最小公倍数，那么这样做是不对的，在计算最小公倍数的时候呢，只要这里面有两个数，他们有共同的知音数，那么我们就能够接着往下除。 那我们看一下，三和六有共同的知音数，三四和六呢有共同的知音数二，所以我们是能够接着往下除的，我们呢先除以三和六的共同知音数三，那三除以三就变成一，四除以三，没有办法除，那么我们呢就给他拉 下来，不用变就可以了。下一步呢就是六除以三，六除以三等于二。然后呢四和二有共同的质因数二，那么就再除以二，一除以二呢，没有办法除，所以呢直接还是一， 四除以二就等于二，二除以二等于一。到这一步之后呢，我们的计算过程才算结束。所以他的最小公倍数呢，等于二乘以三，乘以三，乘以二，然后再乘以二，算出来呢，他就等于七十二， 那么他的最大公因数是多少呢？很多学生看到他的最小公倍数求出来之后呢，就说他的最大公因数，那就是把这一圈的数给乘到一起，那么这样做呢是不对的，那我们看一下方法呢，其实是一样的，十八、二十四，三十 十六，然后共同的质因数除以二，算出来等于九十二十八，然后接着再除以三，算出来三四六。到这一步之后呢，就结束了，就不再往下计算了， 因为我们再往下算的时候，这里的三他不再是四的因数了，对不对？然后这里的二呢，也不再是三的因数了，对不对？也就是说他们没有共同的致因数了， 那么这三个数，他们的共同质因数呢，就是二和三，所以他们的最大公因数就是二乘以三，算出来呢，等于六。这种求三个数或者四个数的最小公倍数或者最大公因数的题，你会做了吗？欢迎大家在评论区留言评论。

英数的概念大伙已经很熟悉，比方说十二，咱可以用大小配对的方式写出他所有的英数，分别是一和十二，二和六、三和四。 再比如三十，他的因数分别是一和三、十，二和十五，三和十，以及五和六。仔细瞧瞧，这里头是不是有很多重复？ 像一、二、三、六这四个数，他们既是十二的因数，又是三十的因数，所以是双方公共的因数。这种公共的因数就叫做公因数。在这些公因数中，六呢，是最大的一个，所以也叫做最大公因数。 好了，介绍完公因数，接下来该轮到公倍数了。所谓公倍数，就是公共的倍数，你看十二，他的倍数有二十四、三十六、四十八、六十七、十二的 等等等等。而三十的倍数呢，有六十九、十一、百二、一百五等等等等。在这些倍数中，六十就是一个公共的倍数，也就是所谓的公倍数。 当然，公倍数并非只有六十一个，因为一个数的倍数有无穷多，所以公倍数也是无穷多。比如三十的倍数一百二，其实也是十二的倍数，因此也是一个公倍数。 在网上，像一百八、二百四、三百六，其实也是三十和十二的公倍数。不过，无论你怎么往大了写，在公倍数中一定有一个最小值，像这里就是六十，这个最小值就叫做最小公倍数。 最大公因数和最小公倍数是数论中非常核心的两个概念，所以他们的求解方法也尤为重要。接下来我就来说说如何用短除法迅速求解最大公因数和最 公倍数。就拿刚才的十二和三十为例，我们先把他们写成一排，并画上短除号，然后思考一下，十二和三十能够同时除以谁呢？嗯，二肯定可以，因为十二和三十都是偶数嘛。于是写上二十二除以二得六，三十除以二得十五。 那六和十五又能同时除以谁呢？嗯，应该是三，于是再写上三六除以三得二，十五除以三得五。至于二和五呢，就只能同时除以一了，所以就不用再写了。我们把左侧的二和三乘起来，得到六，这就是最大公因数。 那怎么求最小公倍数呢？很简单，只要把左边的二三和下面的二五都乘起来就可以了。二三得六，二五，一十，再乘一乘得六十，这就是最小公倍数。你看， 用短除法球最大公积数和最小公倍数还是很方便的吧。在这里需要专门提一下短除号下面的二和五，这俩数只能同时除以一，除此以外也找不到别的数了。像这样的两个数，有一个专门的名字来描述，他们叫做互置。 互置的俩数还有很多，比如八和九就是互置的，十八和二十五也互置，但二十和二十五就不互置了，因为他俩还能同时除以五呢。 好了，到目前为止，已经介绍了五个新概念以及一个新算法。这五个概念分别是公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数以及复制 算法呢，则是用短除法求解最大公益数和最小公倍数。东西还是蛮多的，所以赶紧动手做题巩固一下吧！

好，同学们来呃，欢迎来到学习数学基础知识的小课堂。同学们来，咱们呢，今天讲什么？讲公因数哎，最大公因数、互质数，还有质数、互质数和 和一个知音数之间的比较。同学们来咱们来先看先先看一下先看一下来。咱们来先看公因数啊。同学们公因数是什么？同学们来几个数共有的因素。同学们 几个数个零因数，就叫做公因数哎，其中最大的因数呢，又叫做最大公因数。同学们来这个呢，把公因数最大公因数的概念呢解释清楚。同学们来老师呢，就给你画个图呢，就该数一下。同学们就比如说 a a 的公音数。 a 的 a 的音数有这么多哎，这是 a 的之后呢？ b 哎， b 的音数呢，有 有这么多对吗？ b 的音数呢，有这么多，而中间的中间这一部分的音数呢，就称之为什么，就称之为 a 与 b 的公音数，对吗？ 啊，这个里面 a 与 b 的供应数里面呢，里面最大的， 里面最大的呢，就叫做呃，就叫做最大公英数，对吗？哎，这样就是咱咱学小学语文一样，就是这个把这这段字呢理解清楚呢，就是招猫画骨的做呢，就是。咱们呢，就是呃，咱们就会理解清楚的。同学们 好，咱们来看一下互质数啊。同学们互质数哎，供应数哎，只有一的两个数呢，就叫做互质数，也叫做互速数。同学们哎， 嗯，咱们继续画，咱们继续画。就是比如说呃九，哎，咱们找九的音，呃九的音数哎， 再找十的因数退吗？来找九的因数。首先呢，九等于几？九等于一乘以九对不对吞吗？九等于三乘以三对不对，吞吗？其次，之后再没有对不对。吞吗？来。那九的因数有哪些呢？有一有三 有九对对退吗？来咱找十的因数，十的因数。十等于一乘以十对对退吗？十等于 啊，乘以五对对对对吗？来在在之后再没有其他整数。对对对。来，咱们来写啊，一二五十对对对。来咱们把咱们把九的艺术区间呢写出来。对，我们来一一写到这面来对吗？来三九对吗？来这个呢，呃，这个呢，是十到十到十到 来一二五蛇吞没。来，他们共有一个一对不对吞没。哎，供应数只有一的 一的两个数呢，就就叫做互之数，要断吗？所以说呢，就是九与十呢，就是互之数相互互为之数要断吗？来咱们来接下来看一下。就是质数之因数和互之数之间的比较断吗？来首先呢， 咱们看下质数是什么质数？上节课学过的朋友们。来就是呃，就是只有一和他本身两个因数。来 之后呢，再没有音数的数呢，就叫做智数的同学们。来咱们看知音数啊知音数。知音数本身呢，就是知音数啊同学们。就比如说二和三呢，是六的知音数啊，同学们，这个呢？这个呢，咱们上节课学过，有一个叫做分解知音数啊，回向一下同学们就就在咱上节课学过的同学们。好了，咱们看后置数 复制数。就老师这结识的这些对吗？就是老师这哎结识的这个对吗？好的，咱们今天的供应数哎，供应数最大供应数和复制数呢，咱们呢？今天就学到这对吗？