反比例函数求三角形面积

这有对双曲线，双曲线上有俩点，二六和四三。如果我把这俩点和圆点连成一个三角形，你能求出这个三角形的面积吗？ 如果你想用底乘高除以二来做，就会发现每条底上的高都不好求，所以直接求解肯定没戏。 那有没有什么巧妙的方法呢？当然有过，这两点向 x 轴做垂线，就得到了一个梯形，这个梯形的面积就是这个三角形的面积。为什么呢？我这就给你证明一下。 在之前的视频里，我讲过，从反比例函数图像上，任意一点向两座标轴做垂线，得到长方形的面积就是 k 的绝对值。如果把这个长方形劈一半，得到的三角形的面积就是二分之 k 的绝对值。如果我把这个点往下移，这个三角形的面积始终是二分， k 保持不变，所以这俩三角形的面积一定相等，那在这个图中，这个三角形的面积就等于这个三角形的面积。如果把他俩的共同部分刨去，剩下的这俩部分显然也相等， 那这个三角形的面积就可以转化为这个直角梯形的面积来求解。以后你见到这种类型的三角形，只要直接向 s 轴做两条垂线，求出这个梯形的面积就行。两点在同一分支上的情况你已经会了，接着来看看两点在不同分支上的情况。 比如 ab 为双曲线，不同分支上的两点，让你求这两点和圆点构成的三角形的面积，估计你会想，要是 ab 两点在同一分支上该多好。还真被你说对了，我这就把它变成同一分支的情形。延长 bo 交双曲线于 b 撇 连接 b 撇， a 由双曲线关于圆点中心对称， b 撇是 b 关于 o 的对称点，坐标就是二六，且 ob 等于 ob 撇， o 就是 bb 撇的终点， 于是 ao 就是这个三角形的中线，那这个三角形的面积自然就等于这个三角形的面积，你看，这不就变成同一分支的情形了吗？所以你求这个三角形的面积即可。 以上就是这个视频的全部内容，一起来总结一下。在求双曲线上两点与圆点构成的三角形面积时，如果这两点在同一分支上，你就直接把三角形转化成梯形， 如果这两点在不同分支上，你就先把它转化成在同一分支上的情况，再化为梯形。求解，怎么样，明白了吗？如果明白了，就速速刷题去吧！

你看看这个题难不难，题感很长，还有参数图像好像也不是很友好，那么像这种题啊，感觉凶神恶煞，青面獠牙对不对？不过你别怕它，我们数学找对了方法，一切就会变得 so easy。 对于解这一个题呢，如果你能够掌握到，就是反比例函数图像当中有等级梯形，那这个题就会变得非常简单。我们先来看一下什么叫做反比例函数当中的等级梯形。我先随意的画个 好，这是一个反比例函数，然后呢，在反比例函数图像上有 a 点， b 点两个点，我们把 o a 和 o b 都连接起来啊，都连接起来。那么如果这个时候我去过 a 点往 x 轴做垂线加，垂轴为 c， 这垂足为 d， 如果呢， b d 与 o a 的 交点，这我令为这一个点 e， 然后我再过 a 点往 x 轴去做一个垂线，那么就会得到哎，一个点 f， 那 么这个时候我们是可以去得出三角形 a、 o、 b， 它的面积，它是等于这一个梯形 a、 b， c f 的。 那么究竟是怎么去证这个结论的呢？如果这一个反比例函数的解析式是 y 等于 x 分 之 k， 当然你先得知道 这个 k 的 几何意义，什么叫做 k 的 几何意义？也就是咱们三角形 a， o， f 和三角形 b、 o， c 这两个直角三角形的面积都是相等的，都是等于二分之一 k 的 绝对值啊，它们是相等的。如果我把这的这一个焦点我标为点 h， 那 么三角形 a、 o、 f 的 面积，它就可以等于三角形 a o h 加上三角形 h o， f， 三角形 b、 o、 c 的 面积呢，就等于三角形 h、 o、 f 加上这一个，也就是我们的梯形吧，也就是说，如果这一个板块的面积看成一，这看成二，这看成三，一加二和二加三是相等的，那么所以我们的一和三 面积是相等的。也就是说，三角形 a、 o、 h 的 面积和梯形 h、 f、 c、 b， 它的面积是一样的啊，是一样的。那么这个时候，你来看一下三角形 a、 o、 b 的 面积，它其实就是一这一个部分，也就是三角形 a、 o、 h 的 面积，加上这一个 a、 h、 b， 这个三角形的面积也就是一加四。那么现在一和三相等的情况下，也就说三角形 a、 o、 b 的 面积也就等于梯形 a、 f、 c、 b 的 面积。这就是我们现在想要的这个结论。 当然同样的道理，如果你过点 a 往这边去，往 y 轴去做一个垂线，你也会得到一个梯形，就谁了？梯形 a、 m、 d、 b， 那 么 a、 m、 d、 b， 它的面积也会等于三角形 a、 o、 b 的 面积，这就是隐藏在我们 反比例函数图像当中的等级梯形。那好，知道了这一个提示，你知道了这么一个定律过后，记笔记了啊。那么接下来对于这一道题啊， 你就可以大喝一声，匹夫拿米来，我们来看一下这是一道什么样的题。说在反比的函数图像上，有点 e 和点 f 两个点， 然后呢，做了两个垂线，一个是 e、 m 垂直于 y 轴，另外一个是 f、 n 垂直于 x 轴。然后 be 在 这里， b、 f 在 这里，他们之比是一比 m。 然后呢，把那个 c、 e、 f 的 面积是 s、 e、 o、 e、 f 的 面积是 s 二，那你要去求这个 s、 e 和 s 二的比值。好，我们把这个图放大一点，首先 be 比上 b f， 它的这个比值啊，你 要想到相似上面去，如果我过点 e 往这一个 x 轴做一个垂线，然后呢再过点 f 往 y 轴做一个垂线，两个垂线的交点是这个点 p 的 时候， 那么这个时候我们根据这一个 b e 比上我们的这一个 b f 啊，这么一做的话，我们肯定知道三角形 b m e， 它是相似于三角形 b h f， 那 么这个时候我们的 b e 比上 b f， 也就是一比 m， 它就该等于谁呢？它就该等于这个 m e 比上这个 h f。 看一下啊， m e 在 这 h f 呢，是我们做的这条线， 为什么就单单要去选它们呢？因为这个 h f 和 m c 也是相等的呀，它就等于 m e 比上这一个 m c， 那 好，由于它们的比值是这一个一比 m， 那 么所以你看我现在我其实就可以简单的处理一条，我可以就直接令这个 m e， 它就是等于一的，那意思就是说 m c， 它就是等于 m 的 啊，这里是一 mc 是 m， 那 么 ec 它就是 m 减一了啊， ec， 它就是 m 减一了，现在我再把这个 c f 的 长度我令为 a， 那 当然 m h 的 长度，它也就是 a， 那 么此时我们的三角形哎，这一个是 s 一 啊， s 一， 它的面积就等于什么呢？就等于二分之一 a 乘以 m 减一，而三角形 o e f， 也就是我们的 s 二，这个是直接去表达这一个三角形的面积的话，用常规方法，那就是多补法，要把这个四边形 c m o n 的 面积表示出来，然后再减去多余的部分，当然就很复杂，所以这就涉及到我们的等级梯形，也就是我的 s 二这个 三角形的面积，它其实就等于梯形 m， e、 f、 h， 这呢 等于这一个梯形的面积，而这个梯形的面积就好表达多了。上底是一下底， h， f 呢？呃，是 m， 上底加下底乘以高高就是我们的 m， s， 也就是我们的 a， 然后再除以一个二，那么这个时候你就会发现 s 一 和 s 二之比啊， s 一 比上 s 二，它的二分之一和二分之一约了， a 和 a 也约了，分子就是 m 减一，分母就是 m 加一。哎，这就是我们这道题，如果你用等级题型的话，就会非常的简单，记得点赞关注哦！

p 点，然后以切与反比例函数 y 一 等于 x， 分 之 k 一， y 一 等于 x， 分 之 k 一， 即 y 二等于 x， 分 之 k 二， y 等于 x 分 之 k 二， x 大 于零， x 大 于零。图像分别交于 a、 b， 两交于点 a 和点 b， 然后连接 o， a 连接 o， b。 已知三角形 o， a， b 的 面积为二， o a， b 的 三角形 o， a， b 的 面积为二，然后则 k 一 减去二等于多少。 然后首先因为反比例函数 y 一 的 x 分 之 k 一， x 大 于零及 y 二的 x 和 k 二的 x 大 于零，都要聚在第一项线内，所以 k 一 大于零， k 二大于零， 因为都在第一项链 a b 这这这反比还是 y 一 和 y 二啊。 k 一 等于 k 一 大于零， k 二大于零。 然后因为 a p 垂直于 x 轴，所以三十三角形 a， 因为 a， p， c 乘以 x， 三角形 o， a， p 等于一 k 一 x。 三角形 o， a， o， b， p 等于一 k 二， a， p 垂直于 x 轴， a p 垂直于 x 轴。然后 a 的 话可以测成 x， x 分 之 k 一 b， k 测成 x， x 分 之 k 二 h x， x 乘的 k e b x， x 乘的 x 二是幺幺， a， p 等于 x， 底乘高除以幺， x 乘以 x 二 k 乘以幺幺等于 k 一 a 三九幺 a p a 幺幺九幺， a， p 等于 x。 函数幺幺乘以高，高是那个 麦氏分的 k 一 k， x 等于 k 等于除以二乘以二分之一，这就底乘高 x x， x 加二加二等于 k 一 x。 三角形 a， b， b 等于 s， 底乘高 x x， x 等于分之二乘以二 o p p x 三角形 o， p， p 的 底乘高提示 x n 多的是 x， 底乘高，高是 x 分 之 k 二 x 等于 k， 二乘以二分之一， s 乘 s 乘 s， k 二乘二分之一 s 乘 s 小 于 x， 等于二分之 k 二，所以 s 三角 a， b 等于二分之 k 一 s 三角 a， b， b 等于二十 k 二，二十三角形 o， a， b 二十三角形 o， a， b 就 等于 s 三角形 o， a， b 减 s 三角形 o， b p 二，三角形 o， a， b 减二。三角 b 有 二分之一计算，就是 s k 一 减 k 二。然后因为题目上说 s k， a， b 的 面积是二，所以 s k a， b， a 的 面积是二，所以等于二。二 k 二乘二等于四， a k 一 减 k 二等于四。平方 b 的 话， k 一 减 k 二等于四。

你看看这个题难不难，题干很长，还有参数图像，好像也不是很友好，那么像这种题啊，感觉凶神恶煞，七面獠牙对不对？不过你别怕它，我们数学找对了方法，一切就会变得 so easy。 对于解这一个题呢，如果你能够掌握到，就是反比例函数图像当中有等级梯形，那这个题就会变得非常简单。我们先来看一下什么叫做反比例函数当中的等级梯形。我先随意的画个 好，这是一个反比的函数，然后呢，在反比的函数图像上有 a 点， b 点两个点，我们把 o a 和 o b 都连接起来啊，都连接起来。那么如果这个时候我去过 a 点往 x 轴做垂线，假如垂轴为 c， 这垂足为 d， 如果呢， b d 与 o a 的 交点，这我令为这一个点 e， 然后我再过 a 点往 x 轴去做一个垂线，那么就会得到一个点 f， 那 么这个时候我们是可以去得出三角形 a、 o、 b， 它的面积，它是等于这一个梯形 a、 b， c f 的。 那么究竟是怎么去证这个结论的呢？如果这一个反比例函数的解析式是 y 等于 x 分 之 k， 当然你先得知道这个 k 的 几何意义。 什么叫做 k 的 几何意义？也就是咱们三角形 a o， f 和三角形 b、 o， c 这两个直角三角形的面积都是相等的，都是等于二分之一 k 的 绝对值啊，它们是相等的。如果我把这的这一个焦点我标为点 h， 那么三角形 a、 o、 f 的 面积，它就可以等于三角形 a、 o h 加上三角形 h、 o、 f， 三角形 b、 o、 c 的 面积呢，就等于三角形 h、 o、 f 加上这一个，也就是我们的梯形吧，也就是说，如果这一个板块的面积分成一，这看成二，这看成三，一加二和二加三是相等的，那么所以我们的一和三 面积是相等的。也就是说，三角形 a、 o、 h 的 面积和梯形 h、 f、 c、 b， 它的面积是一样的啊，是一样的。那么这个时候，你来看一下三角形 a、 o、 b 的 面积，它其实就是 e 这一个部分，也就是三角形 a、 o、 h 的 面积，加上这一个 a、 h、 b， 这个三角形的面积也就是一加四。那么现在一和三相等的情况下，也就是三角形 a、 o、 b 的 面积，也就等于梯形 a、 f、 c、 b 的 面积。这就是我们现在想要的这个结论。 当然同样的道理，如果你过点 a 往这边去，往 y 轴去做一个垂线， 你也会得到一个梯形，就谁呢？梯形 a、 m、 d、 b， 那 么 a、 m、 d、 b， 它的面积也会等于三角形 a、 o、 b 的 面积，这就是隐藏在我们反比例函数图像当中的等级梯形。那好，知道了这一个提示，你知道了这么一个定律过后，记笔记了啊。 那么接下来对于这一道题啊，你就可以大喝一声，匹夫拿命来。我们来看一下这是一道什么样的题。说在反比函数图像上有点 e 和点 f 两个点， 然后呢，做了两个垂线，一个是 e、 m 垂直于 y 轴，另外一个是那个 f、 n 垂直于 x 轴，然后 be 在 这里， b、 f 在 这里，它们之比是一比 m。 然后呢，把那个 c、 e、 f 的 面积是 s、 e、 o、 e、 f 的 面积是 s 二，让你要去求这个 s 一 和 s 二的比值。好，我们把这个图放大一点，首先 be 比上 b f， 它的这个比值啊，你 要想到相似上面去，如果我过点 e 往这一个 x 轴做一个垂线，然后呢再过点 f 往 y 轴做一个垂线，两个垂线的交点是这个点 p 的 时候， 那么这个时候我们根据这个 b e 比上我们的这一个 b f 啊，这么一做的话，我们肯定知道三角形 b m e， 它是相似于三角形 b h f， 那 么这个时候我们的 b e 比上 b f， 也就是一比 m， 它就该等于谁呢？它就该等于这个 m e 比上这个 h f。 看一下啊， m e 在 这 h f 呢，是我们做的这条线， 为什么就单单要去选它们呢？因为这个 h f 和 m c 也是相等的呀，它就等于 m e 比上这个 m c， 那 好，由于它们的比值是这一个一比 m， 那 么所以你看我现在我其实就可以简单的处理一下这条，我可以就直接令这个 m e， 它就是等于一的，那意思就是说 m c， 它就是等于 m 的 啊，这里是一 mc 是 m， 那 么 ec 它就是 m 减一了啊， ec 它就是 m 减一了，现在我再把这个 c f 的 长度我令为 a， 那 当然 m h 的 长度，它也就是 a， 那 么此时我们的三角形哎，这一个是 s 一 啊， s 一， 它的面积就等于什么呢？就等于二分之一 a 乘以 m 减一，而三角形 o e f， 也就是我们的 s 二，这个是直接去表达这一个三角形的面积的话，用常规方法，那就是多补法，要把这个四边形 c m o n 的 面积表示出来，然后再减去多余的部分，当然就很复杂，所以这就涉及到我们的等级梯形，也就是我的 s 二这个 三角形的面积，它其实就等于梯形 m， e、 f、 h， 这呢 等于这一个梯形的面积，而这个梯形的面积就好表达多了。上底是一下底， h， f 呢？呃，是 m， 上底加下底乘以高高就是我们的 m s， 也就是我们的 a， 然后再除以一个二，那么这个时候你就会发现， s 一 和 s 二之比啊， s 一 比上 s 二，它的二分之一和二分之一约了， a 和 a 也约了，分子就是 m 减一，分母就是 m 加一。哎，这就是我们这道题，如果你用等级题型的话，就会非常的简单，记得点赞关注哦！

来看这道题啊，如图，点 a 在 反比例函数 y 等于 x 分 之三上 过点 a 作 a， b 垂直于 x 轴，垂点垂直于 b， c 在 y 轴上，则三角形 a、 b， c 的 面积为。这道题考的还是我们一个反比例函数的性质啊， 让我们求的是这个 a b c， 我 们看这 a、 b， c 的 面积。 我们之前讲过这个过反比函数呢，一点所组成的三角形的面积吧，三角形面积是不是是这样的连接 o a 啊， 就是 s。 三角形 aob 的 面积是等于二分之 k 的 绝对值，对吧，等于多少呀？就二分之三呗。 那我看 abc 和 aob 是 什么关系啊？它们都是它们的底，都是 ab 吧，它们的高是不是都是 ob 啊？ 所以这两个三角形是不是面积相等呀，能看出来吧。所以我们三角形 oab abc 的 面积有多少， 是不是有 c 啊？大家还是要记住这个特殊三角形啊，这个只是我们做了一个辅助键，然后我们一看，这个 aob 和 abc 就是 相等的。好，这道题到这里了。