纸钝角三角板制作方法
大家好，今天星星老师为大家分享的是趣味三角板，我们先找到一张这样大小的 a 四纸，然后呢我们要折掉其中的四分之一，首先我们沿着这中间对折一下，哎，同样的方法再对折一次， 哎，这样子，然后呢我们这就确定四分之一宽度，然后我们把这四分之一的宽度折进去，哎，看一下，现在就只有四分之三。然后呢我们会朝这个斜侧角看这个地方，斜侧角折一个对角，折一个对角，然后这个边边对齐啊，然后成这样子啊，对齐成这样的同时呢，我们从这中间再对折一下，这中间这个角和这个角对齐啊， 先成这样子状态啊，好，然后呢我们在这下面，在下面，在下面这个地方，这个地方再对折一个角，再对折一个角，好，现在成这样子了，然后呢我们这个中间啊，这个地方刚好是两个，可以对折，再对折一次， 这次以后就成形成这样的一个形状啊，同时呢我们再反过来这地就可以打开，这地方打开，待会我们把这个角要要塞进去，同时我们先把它对折一下啊，成这样的形状，这就是三角形的样子，然后把这个这个角从这口口里塞进去，哎，好，然后看一下我们这个趣味三角板就做好了，小朋友你学会了吗？
粉丝172获赞2196
相关视频
02:47查看AI文稿AI文稿这里面还有其他的数学知识，我们翻过来看，这里有三条线， 这条线，这是一条线，这还有一条线，这三条线交于一点，这在数学里面叫三线共点，意思就是三条直线交于同一个点。那各位想一想，这三条线有什么特点呢？ 这三条线是什么样的三条线呢？别急，我们再看折叠过程。各位， 我请你看两条线，我们先这样折呢，然后有一步是这样折的，那这样一来就说明这 角等于这个角，这在数学里面，这条线就叫做角平分线。看看折叠，这个角等于这个角，所以这条线叫角的平分线。再折起来，显然这条线 就是这个角的平分线，所以这是角平分线。再看这边，这个角是九十度， 这个角是九十度，我们是这样折叠的，那显然这也是角平分线， 这条线也是角平分线。请看一折叠，这个角和这个角相等，所以角平分线，就是说这条线是角平分线，再一折叠，因此他也是角平 平分线。同理，再看这边，我们是这样折叠的，所以这条线也是角平分线。再折起来，那么这条线就是这个角的平分线， 这条线就是这个角的平分线。再来装在一起 组合好，那么这三条线，这条线就是这条线。还有这条线，这条线是这个角的平分线，这条线是这个角的平分线，这条线是这个角的平分线，这就说明 三角形三个角的平分线交于一点好，这个性质对任意的三角形都是正确的。三角形三个内角平分线 交于一点，这一点我们叫做三角形的内心，内外的内，心，脏的心叫内心好。
42老蓝带你玩数学
03:01查看AI文稿AI文稿三角形变成了什么东西？像不像青蛙？这边是两条腿，然后这里是嘴巴张开闭合呱呱叫，对吧？怎么做的呢？今天我们就用一张纸来做三角板跟青蛙， 老规矩啊，先拆后做，你看这是一张 a 四纸，普通的怎么做呢？ 咱们先来做三角形啊，第一步看到长方形，对吧？短边，长边，让这个短边跟长边重合，折过去， 然后就看到这条斜边了，在斜边的中线取一个点对折，让两条线重合，就形成了一个三角形，看到没有？然后在三角形的下 下端，把这个角呢放到这根线这里叠起来，然后呢沿着这条三角形底边把它折起来，折起来之后呢，这里突出的角把它塞进这个三角形缝隙里面，他就形成了一个完美的三角形。 在你学习的时候，没有三角板的时候可以折一个，然后画直线，这就是三角板。那青蛙是怎么做的呢？我们也拆开来，还是同样一张纸啊，一纸两用。首先按着中线对折， 然后呢让这短边跟这长边重合，折过来，翻过来，这边也一样，这个角呢直起来，然后把它张开，张开之后，这里有个三角形沿着底边对折， 折对，折完之后呢又翻过来，翻过来呢，让这条短边跟中线重合对折这边也是，然后翻过来，翻过来呢，把这个 一个菱形对不对？把两只脚对折起来，就形成了嘴巴，看到没有？沿着中线对折，嘴巴形成了，然后做角的部分，角的部分呢，就在这三角形底部直接折起来，折到底啊，折到三角形这个 底线这里，然后翻过来，翻过来之后呢，把这两边卡进这个缝里面，他就形成了一只小青蛙了，你往这里吹一口气呢，他能跳起来，你们可以试一下啊，玩法就是谁跳的远 谁就赢，可以折多几个。其实呢，这种青蛙还可以做一个纸飞机，对吧？你看 当到这一步的时候，沿着中线对折，然后呢两边机翼把它折起来，这是很经典的纸飞机啊，相信很多人会折啊，等于说 可以一张纸做出三种这种纸做的玩具出来，对吧？非常的有趣啊，既锻炼了手，又锻炼了脑，你们喜欢吗？赶紧教小孩做起来吧。
44文具玩具搞搞镇
02:09查看AI文稿AI文稿利用三角板画角，我给你们猜一个谜语，要不要挑战一下？ 好啊，来吧。像帆帆不扬，像旗旗不飘。帮你学几何，用处真不小。嗯呃嗯，是三角板。 是的，我手里现在有两个三角板。关于这两个三角板，你们都知道了什么？这两个三角板都有一个九十度的直角， 这个三角板的其他两个角相等都是四十五度。嗯，这个三角板的另外两个角分别是三十度和六十度。嗯，要画一个角，你们常用的工具是什么？挡脚器。 现在我手里没有量角器，只有这两个三角板。能不能画一个一百三十五度的角呢？嘿嘿，可以把一个三角板的九十度和另一个三角板的四十五度拼在一起，就可以画出一个一百三十五度角了。 厉害，那我们还可以利用这两个三角板拼成哪些角呢？我把三十度和四十五度拼在一起是七十五度。 我还可以把四十五度和六十度拼在一起是一百零五度，还可以把两个九十度拼在一起是一百八十度，六十度和四十五度拼在一起是一百零五度。哎，停停停，停停停，你们说的太多了，我都乱了。 嗯，我们应该按照一定的顺序，比如用一个三十度去拼另一个三角板的三个角。可以有两种结果，三十度加四十五度等于七十五度， 三十度加九十度等于一百二十度。是的，沿着这样的思路，六十度加四十五度等于一百零五度，六十度加九十度等于一百五十度，最后剩一个九十度， 九十度加四十五度等于一百三十五度，九十度加九十度等于一百八十度，真棒，你们都特别善于思考。
393悦悦在努力
06:16查看AI文稿AI文稿四十六认识直角、锐角、钝角。看一看，同学们知道哪里是角吗？ 这是一个角，这是另一个角，分针和时针组成一个角。剪刀角， 在日常生活中经常看到的角。做一做，用一张正方形的纸折角， 这是一个小一点的角，再对折一次，这个角更小了，对折的次数越多，得到的角越小。 用两根硬纸条做一个活动的角， 转动活动角的一条边可以形成大小不同的角。如图， 观察这三个角，你发现了什么？ 通过观察，你发现角有什么特点？首先，角都有一个顶点， 其次，角都有两条边。 认识直角，观察三角板，你发现它有什么特点？三角板上都有三个角， 而且两个三角板中有一个角大小相同，这个角是直角，这是直角符号。 正方形和长方形的四个角分别是什么角？这是一个直角，第二个角都是直角，第三个角 也都是直角，最后一个角还是直角，这说明正方形和长方形的四个角都是直角。 比一比，要知道，一个角是不是直角，可以用三角板的直角比一比。在下面的活动中，你发现了什么？这个角是直角吗？用什么方法来判断？ 要知道，一个角将三角板上直角的顶点重合。 第二步，将三角板上的一条直角边与这个角的一条边重合。第三步，看三角板上另一条直角边 与这个角的另一条边是否重合，如果重合，这个角就是直角，如果不重合，这个角就不是直角。这条边和三角板的直角边是重合的， 所以这个角就是直角。看这两个角，这两个角是什么角呢？ 三角板上直角的另一条边，在直角的另一条边，在要判断的角的外侧，说明这个角是比这个直角要小， 这样的角叫做锐角。看这个 三角板上直角的另一条边，在要判断的这个角的内侧，说明这个角比直角要大， 这样的角我们称为钝角，这个角就是钝角，中间的角比直角小。右边的这个角比直角大， 这是直角，这是锐角，这个是钝角。 锐角比直角小，钝角比直角大。 钝角大于直角大于锐角。这是三个角的大小关系。 认一认，填一填。我们先用直角和它进行比较，角一 比直角大小，二比直角小角三等于直角。角四比直角小角五比直角大， 小角六比直角小角七等于直角。所以二四六是锐角。比直角，所以二四六是锐角。 一五比直角大是钝角，三七是直角。
59:20查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是莎莎老师。今天呢，我们继续八年级下的一个专项讲解，今天呢，要讲解的是三角形的基础专项。那我们先来看第一题， 第一题呢，它是效级期末考试题啊。先来看第一个，说两幅三角板，路途摆放给了一个特殊的位置关系，其中 c、 e 恰好平分角 a、 c、 b， 那 平分， 自己画个小小图，然后你去观察啊，因为它是一个三角板吗？你整个的 a、 c、 b 正好是那个三角板当中的六十度，所以平分的话，能求每一个小角等于三十，进而这个角一就求了 角一和这一个三十度拼成了四十五度，所以角一的度数等于四十五度，减掉三十度，剩一个十五度。好，再来看第二题， 还是一个三角板，求 a、 o、 b， 求这那三角板认识它啊。第一个，这个角等于四十五度，这个小的呢，是三十，所以拼在一起等于七十五度。 好，再来看第二题，还是三角板问题，阿尔法的度数。那先看啊，先观察这个位置，这个角是应该是大的那个六十度， 然后这个角呢，是小的那个四十五度，所以他考察了一个三角形的外角定里，三角形的外角等于不相邻的两个内角格，所以是六十，减掉四十五度等于十五度。好，再来看第四题， a， 对， 是高线，要记了，下一个是角平分线几何题啊，八年级的几何题，特别是八下跟八上又不一样，八下的几何题呢，大多数都是角跟边参着来的，都会有条件，所以一定要会去标记图， 标记你像这个角平分线，我就这么标记了。这个高线呢，就一般画个小垂足就行了，然后标记度数，第一个 b， a c 等于七十二，你看有东西就咔一画七十二度，那你这样的话，你就为你后边你就制造麻烦了。那在这 大角是得七十二度，那你这不又平分了吗？所以你看你标记三十六度，是不是比你标记那个七十二度要更清晰一些呢？ 好，那你再往下不要记角 c 等于四零，那你看，我们能求的就是角 e 这个位置，角 a， e 对 三角形的外角定义等于七十六度，那这样的话，我的对 a c 这个就能求了。在这个三角形当中， 是吧？用三角形的内角和或者直接用九十度减掉七十六度等于十四度，这题就解决了，然后后边已经有单位了，我们这个单位就不要再往上写了。 第五题，第五题呢，三角形的问题，但他考的是一个勾股定律，在我们勾股定律当中，我们是不是见过这个图形就是画红色的啊？这个我管它叫做勾股大树是吧？大树啊，这个 大树什么呢？有直角边的平方和，就是 a 的 面积加上 b 的 面积等于这个 e 的 面积， 是吧？然后你要是如果看你的右侧的话，会有一个 c 的 面积加上 e 的 面积呢？等于对的面积，所以它就是用面积解决的。那我们把这个六二和十二标记在图当中，给的是 b 的 面积为六， c 的 面积为二，然后给了一个对的面积为十二，所以你看啊，这些面积给的话，我是能先求出 e， 那 这个 e 的 话是十二减减二等于十，然后再再画红色的这部分能得到 a 的 面积为四，所以角正方形 a 的 面积为四。 好，再来看第六题，第六题呢，是一个比较经典的四边形，我们管它叫做垂面四边形， 其实在很多新定义的题当中，我们是见过这个形的，那垂美四边形他的他的这个特点呢，就是对角线互相垂直就可以了 啊，对角线互相垂直就行，你哪怕长一点啊，我这个短一点，位置偏一点啊，这些都叫做垂美四边形。 垂美四边形它的固定结论呢？是对边它标个字母啊， abc 对 边 a 方加上对方，它是等于那个对边 c 方加 b 方的，其实这个就是垂美的固定的一个结论，大家如果有经历的话，可以把这个结论给它背下来 啊，如果你背下来的话，对这道题特别有帮助，你看，我先直接用结论带你们解一下。这道题特别有帮助，你看，我先直接用结论带你们解一下。是三，所以 a 对 方加上 b c 的 平方，直接就等于对边五的平方，再加上根号十三的平方，也就是二十五，再加上十三等于三十三十八，嗯，这题就出了，对吧？如果没记下来结 结论的话，我们怎么去推导啊？来看，接下来我给你讲第二个方法，就是常规的正规推导的方法，挂在这 只能从垂直入手，所以你这个五五，我可以掰成的是 o a 的 平方加上在这个三角形内或五定里， o b 的 平方等于五的平方二十五。 然后下边呢，根号十三，就是在 o c 对 儿这个三角形内， o 对 儿的平方加上 o c 的 平方，等于根号十三的平方十三。 然后呢，我给这两个啊，圆圈一加上圆圈二，左侧 o a 方加上 o b 的 平方，加上 o 对 的平方，再加上 o c 的 平方，右侧就等于三十八。 然后呢，就是你需要把这四个平方给它重新打散，看谁跟谁结合呢。我让 o a 和 o 对 结合，它俩放到一起， 在我们直角三角形内，正好就是 a 对 的平方，这是他俩下来的，然后下边呢，就剩 o b 和 o c， 看他俩如果结合在一起的话，就是这两个啊，就是 b c 的 平方就等于三十八， 就勾股定律，重新打火，再重新组合的一个过程。好，第七题看一下。第七 两个 r t 三角形求长度的，其实整体来看啊，如果求度数，这题简单求长度，他就偏麻烦一些，因为长度的话，目前为止能接触到的方法有勾股定律啊，再比如说三线合一啊，或者是或者是三角板，你都能用， 那就来看这道题到底用的是哪一个方法了啊？角 c 等于角对，等于九十度。好， ab 等于二点五， b c 呢，为二。你说我正常情况下是不能拿 ac 呀，是吧？勾股定底，但勾股定底你别跟他硬算啊，减掉二的平方，这个其实有好多种算法呢。第一个，你可以用平方差公式， 四点五是不是再乘上一个零点五等于二分之九，乘上二分之一等于四分之九， 看一下。嗯，我看一下，哪写错了啊，二点五的平方，减掉一个数二的平方，两个数的和四点五，再乘上两个数的差零点五，二分之九乘上二分之一四分之九，然后整理一下，等于一点 一点几。哎呀，二点几呢？这不，二点几，看下问题出在哪了啊？ 啊？二点五，看一下二点五是吧？二分之五啊，是吧，然后二分之五的平方再加上一个二的平方，他俩加在一起，哎呀，是四点五，没问题啊， 差在哪呢？二分之九是不也没问题？零点五是二分之一是不也没问题，等于四分之九。九除一个四上一个八，一十上一个二，二点二五， 二点二五，但这个长度是不是不太像啊？主要看一下标记有没有标记错啊。 ab 是 二点五， bc 等于二，没问题哈，看一下问题差在哪了啊？ 看，那就用勾股定律做吧。来可以采用这个方法啊。 ac 这个是二，这个是二点五，三个数是吧？然后你可以先把它变成扩大二倍， 然后扩大啊，扩大十倍，扩大完十倍以后呢，你再约掉一个五，这个剩一个四，这个剩一个五，所以这个位置就应该是三，然后你再还回去，这个是十五，这个是一点五。哎，所以刚才那个方法差在哪呢？我们再整理一下刚才的啊，那就 a c 的 平方加上一个二的 平方，是吧，等于谁呢？二点五的平方啊，问题找到了来，二的平方是二点五的平方，减二的平方，这个位置确实可以用平方差，也就是二分之。呃，二分之五 是吧，两个数的和，那就是四点五，再乘上两个数的差零点五，算出来是二分之九，乘上二分之一等于四分之九，但是这个四分之九是谁呢？是 a c 的 平方等于四分之九， 所以 a c 开完根号以后是二分之三，也等于一点五，所以你看求这个边长，其实方法还是挺多的啊，但是你别用正规的，别用什么呢？就真的搁那二点五乘二点五，然后再减掉一个四啊，别这么做啊，这个计算的话就太麻烦了。 好，那你整理到这以后，我们继续往下读题。给了一个角平分线，他跟他相等，其实看到这啊，再配上角的等于九十度，先给它擦掉， 这个是一点五，这个是二，再配上角对，等于九十度。其实我能想到的角三线合一，那三线合一，你直接延长 a c 啊，并且延长 b 对 交于一个点 b 撇，那这个三角形呢？它是一个等腰三角形 是吧？三线合一，所以能推出 ab 撇，也等于二点五，所以能推出这个角线段长等于一， 那这样我们再去求 b， 对， 好，求了啊，你不能说求一半，你可以先把谁求了呢？ b b 撇算了， b b 撇再除以个二，就是我们要求的 b， 对， 那 b b 撇，你就在这一二勾股定底，等于根号五，再除以个二，所以我们这道题的答案是二分之根号五， 可以了啊。那第七题我们做一个总结。什么总结呢？就是说这个角平分线，角平分线的用法其实特别的多， 比如说你要是配上了什么呢？配上了三线当中的垂直，或者是配上了终点，我们的第一想法就是三线合一 啊，再或者是配上等腰，就是三线合一。还有第二个方法，第二个还有一个呢，用到的就是角平分线的一个定律，角平分线上的一个点到两边的距离相等， 所以当遇到这种有往两边做垂直的，那你就想到的是第二个方法啊，所以这两个是一个重点，也是我们几何当中常考的一个方法啊。我们再来看第八题， 第八题又是一个勾股大数问题啊，但这个大数不一样的，就是他这边长了一个半圆，是吧？所以来看正方形的面积，二十六和十好来，如果这边也是一个正方形的话，我是能求出这个正方形的面积的， 他应该等于二十六减十，应该剩一个十六，所以呢，他的这个小正方形的边长应该为四， 但求的就是半圆的面积，那边长为四，也就是直径为四，半径为二，所以求出半径等于二那圆的面积 pi r 的 平方，然后因为是一半嘛，所以再乘一个二分之一，把数带进去， pi 乘二的平方四，再乘一个二分之一约掉，最后剩一个二 pi 好， 二 pi。 写上这题结束。 第九题，题干角 c 九十，标记了 a， b 等于 b d。 好， 你看这题求什么了啊？如果是求边长的话，嗯，标记边长没问题。如果这道题是跟角度有关系，其实你应该拿的是这个角和这个角相等， 比角相等等腰三角形给了一个十五度，所以你看不犹豫啊，肯定是先标角啊，十五加上十五，能推一个三十，好，这题的点就出来了，看到三十度我们就想到的三角板， 三角板好，什么情况下用三角板呢？就是遇到这几个特殊的度数，像三十度啊，六十度啊，还有一个四十五度， 其实还有比如说三十度的零步角一百五十度，而六十度的零步角一百二十度，以及四十五度的零步角一百三十五度，其实你都可以想到三角八， 好，那来继续了啊，没给长度这道题，对吧？因为三角板本身他就自带长度的，他让你求的是笔，所以我就可以把三角板的三边关系给你标记上，短边是一份长，直角边是根号三份，然后这个斜边是两份。好， 边长，我用黄色的给你标记了啊，两份，那你看这个边长，它就得二，所以我们整个 bc 的 长度是一份 a， c 的 长度呢，是二加根号三份，所以我们的比例就是一比二加根号三，这个点以下写一个括号。 好，第九题我们就过了啊，其实第九题就是利用一个外角定律，把特殊的三十度拿出来，用的是三角板。 好，再来看第十题。第十题呢，中考的一个重点题型，吃亏做图，但是他不太喜欢让你自己去吃亏，他会给你做图。痕迹啊，你会辨认这个痕迹是什么就可以了。那你像第十题，你看他是不是应该是垂直平衡线啊？ 垂直平分线，所以这这等，你要说拿角，角角等，这都是垂直的边边等。好，那我们就开始标记长度了， bc 的 长度为六， ab 的 长度为十，所以第一个 立马想到勾股数六八十，所以 ac 的 长度的八，然后再往下，因为不是尺规吗？对吧？所以长度都给你标记好了啊，他就想求的是 c e， 其大家可以记一个，也是记一个小几何的做题方法。就我们说垂直平分线， 他其实和我们八年级上学的这个折叠问题，他是等于折叠问题的。 然后呢，你想折叠呀，像什么翻折呀，对吧？你换一句话，是不都是折叠问题，翻折呀啊，还有个叫对称呢，他们都是一个题型， 如果这道题是求长度的话啊，求长度，我们的做题方法是固定的，就要引入未知数，一般的就是问谁设谁，所以假设 c e 为 x， 能求的东西带出来八减 x， 所以 翻过来八减 x， 然后你就可以看到，在这个直角三角形内，共股并比 x 的 平方加上六的平方，等于八减 x 的 平方打开 加上三十六，等于六十四减二八一十六， x 加上 x 的 平方，方方约掉了一项十六， x 等于二十八，所以 x 等于十六分之二十八 上下同时约掉一个四，也就是四分之七，所以 c e 的 长度为四分之七，不要去除了啊，用分数表示即可。可以了。那我在刚才的这个小技巧的身上，我再给你加一句话， 垂直平分线等于折叠问题，等于翻折，也等于对称，就求长度，你就引入未知数。其实引完未知数以后呢，你的点就叫列方成 列方程。列方程的有两个方法，第一个就是勾股定律，然后第二个呢，有一部分题用相似也能解决，但是相似用的比较少，勾股定律用的比较多 啊，所以你就记住，垂直平分线，如果长度不够用，你就引未知数，引完未知数，你就找到一个直角三角形列方程就可以了。好，再来看十一题，看这个痕迹了， 这个痕迹是不应该是角平分线了，对吧？角平分线呢，有两种画法，第一种画法呢，是这样的，就是他可能这个是断开的，但他俩肯定是一条弧，就这么个这么个痕迹。 然后还有一种呢，就是人家会给你连上，就这种的连上的。哎，这样的啊，所以这两个呢，都是角平分线。好，那我们就来标记了啊， 连接 a p 哈，所以 a p 是 角平分线是吧？标记上，然后再把其他的长度整上。第一个对 e 等于 b， 对， 对 e， e 在 哪啊？在这 对 e 等于 b 对， ok， 它俩的 a， e 的 长度呢？为二， a c 的 长度为六，所以我不会标记 a c， 我 会标记这个，它等于四 行了。可以了啊，然后让我们求 ab 的 长度等于多少。那你先观察一下，你现在长度就就够用了，是吧？长度一个二， 一个四，然后现在我们唯一没有用到的条件呢，就是对 e 等于 b。 对， 然后还有这个角平分线，你看啊，这块角 c 九十枚标记， 所以你看到没？这个对，他其实可以叫做角平分线上的一个点到两边的距离相等，就是你这边是有垂直的，但是我们哪边呢？就是你往那边是不是没有垂直， 往 ab 边上没有做垂直，所以你可以尝试一下过点对，往这边做一条垂线，当我们做完垂线以后呢，就是这个 c 对 的长，就跟这个长是一样了。我试一下， 我试一下，假设它是 x， 行不？看一下用不用啊？需不需要啊？如果需要的话你就引是吧，我现在能把这边求出来，这边就是六翻过去，六结束了，然后呢，这两个三角形， 其实你引未知数表示也行，其实你可以看一下它和它是不是就叫 h l 全等啊， 对不？所以那个边长四是不是可以挪到这去啊？这题解决了，所以 ab 的 长度等于十， 可以了啊，有单位写单位，没有单位就等于十。结束。好，尺规作图的题，一会下边还有到十三题我们再看啊。那我们先把十二题整了，十二题呢，它在勾股定律当中是比较常考的一个题型了啊。先看第一个 a， c 呢，等于 bc 啊，让你表示 c 的 数字，那我就要把 ac 的 长求了呀。嗯，来看吧，这块是一，那这块勾股定底，根号二，所以在这个三角形内再勾二的平方，根号下二的平方加上根号二的 平方，等于根号是不六，所以这个长度等于根号六，相当于是从负一出发向右走了，根号六个单位长度，所以是负一加根号六。 好，十三题又是一个尺规啊，又是一个尺规，那看不看都行，对吧？因为我能直接看出来这就是角平分线，所以他跟他相等。 好，那就够了啊，如果一会需要呢，你再去读，如果不需要了，这题就结束，行不？然后我们去标记了啊，标记角 b 呢，等于五十度，求的是角 b a 的 啊，那这题出了 是吧？那角 c 等于九十，所以这个角等于四十度，一半就是二十啊。有单位了，单位就不要再写了。好，十四题， 十四题啊，图在下边啊，不用看这个是不是痕迹了，对吧？因为它这个痕迹你可以看到，你先看一下十四题的图，是不是就是两次角平分线呢，对吧？那你就额外看一下。我看到了，这，它怎么有曲相等呢？所以第一个 c e 等于 c 得啊，没问题 是吧？没问题，然后下一个也一样。你看这人家又取了一个线段相等啊，不影响，对吧？不影响，他这道题是一个角平分线，所以咱们直接来看图了啊，角平分线， 他跟他等，他和他是相等的，然后给了 a c 的 长度呢？等于八， b， c 的 长度呢，等于十五角， c 是 不得九十啊。嗯，在这好翻下来啊，这个角等于九十度，那我们求 c h 的 长度， c h 在 这， 嗯，那这就就是角平分线了。来了啊，那你看，他们是交在这个点 o 的， 然后呢，人家又做了一条这个这条线，你看，这就会想到我们当时学的那个三线当中的那个三角形的角平分线， 其实他们三角形的角平分线呢，是交于一点的 啊，不知道大家有没有印象这个知识点啊？就是这是角平分线，其实这个也是角平分线，然后这个位置呢，也是角平分线，这三条线呢，是交于一点的，我们管这个点呢，叫做内心， 是吧？所以你看啊，你这个 o 呢，是这个的焦点，这个的焦点实际上也是这个角 c a b 的 焦点，所以它跟它也是相等的，它也是一对角平分线， 它也是一对角平分线。好，推到这，这题就能解决了，因为角平分线上的点到两边的距离相等，看人家这做了一个垂直，我们把这个垂直补出来，那这样的话，这个给个字母 q 也有了，是吧？给个 m 吧， m 没有哈， am 的 长度呢，就等于八， 是不？哎，我想求的是 c h， 嗯，就求这一小段，那我是不可以把 m b 算了呀？这题 m b 算了，这题是不是就解决了，是不？所以最开始看到标记八和十五的时候，立马会想到勾股数 八十五十七，所以最长的这条边 ab 呢，是等于十七的，所以十七再减掉一个八，这边应该剩一个九，然后最后你那个 c h 实际上就可以在这个三角形内勾股定底了。 哎，不能勾，因为这个十五是整个的，那这不就又相当于是翻折问题吗？那你就也未知数，你可以假设，假设一下，所求是 x， 所以 这个 h m 也是 x， 那 这一段就是十五减 x， 在 我们阴影这个三角形内勾股并立， x 的 平方加上九的平方等于十五减 x 的 平方。其这个做题比较多的同学其实可以直接带出来了啊。那我给你算一下，八十一等于十五的平方是一百二十五减三十 x 加上 x 的 平方，方方约掉， 所以三十 x 等于四十五， x 等于。哎呀，看一下四四四吧， 是吧？四四，所以等于三十分之四四，总感觉像有点问题呢。哈，上一个一一点几，看一下啊。嗯，看一下十五的平方 啊，一百一百七十五，是吧？看一下，五五二十五，一五得五，二百二十五。对，你看二百二十五。哈，刚才说的是啥呀？ 好，那，哎，那底下是不是来重新整理啊？重新整理，那就是三十 x 等于二百二十五，是不是减掉一个八十一，剩一个四，然后不进哈，剩个幺四幺四四，所以我们的 x 呢，等于三十分之幺四四， 看一下能不能除。可以，可以，除一个三，约一下十分之幺四四，再除以一个三三四一十二，二十四， 三八二十四，四十八，对吧？还能再约等于五分之二十四，可以了，那这个答案就是五分之二十四。 好过，再来看十五题，十五题，它又是一个尺规，是吧？它这个尺规，你看它这个痕迹啊，角平分线，对不？除了它跟它相等以外，你看它这个 a、 d 这个虚线， a 对 儿，是不就是以 a 为圆心，以 a、 c 为半径，所以 a、 c 等于 a 对 儿，它们两个是相等的。然后这个时候呢，你再把长度标记上，六六 还有一个 ab 的 长度呢，等于八，然后这个位置是直角，所以第一反应勾股数六八十。好，三角形 ab 对 的面积，那你看，我想求它的面积，我是不得求底跟高，对不？底跟高，那这题的高在哪呢？其实就是 ae 啊，因为六六这是一个等腰三角形，再加上角平分线，三线可以垂直，然后它的底儿呢，就是 b 对， 好，你再乘个二分之一，就是我们阴影部分的面积，所以 a、 e 怎么求比较简单， a、 e 怎么求比较简单呢？面积转换又有一个几何的一个小技巧了，就在我们的封闭图形当中，如果想求高，你可以用面积转换，就优先考虑面积转换 啊。如果面积转换用不了，你可以再考虑勾股定底，你可以再考虑相似。那这题我直接用面积了啊，那整个三角形 a、 b、 c 的 面积可以以十为底，以 a、 e 为高， 也可以以六为底，以八为高，所以算出来， a、 e 等于二分之一，约调等于四点八，四点八是吧？四点八啊，那我写成分数吧，写成五分之二十四。好， 好，来了啊，那我就进一步了，等于五分之二十四，那现在剩一个 b 对， 那你看整个等于十，我，我，那我哪个能求？我，这个是不对， e 能求了， 对， e 能求，那就在黄色的这个三角形内勾股并底。我的对 e 是 六的平方，减掉五分之二十四的平方，是不是再开一个根号？ 可以啊，那我们来算一下它。这个怎么算比较简单呢？实际上你可以这么轮，这么放，对 e 在 这最短的，然后其次是五分之二十四，其次是六六，我会给它写成五分之三十，所以你看二十四和三十的话， 可以同时约掉一个六，他约掉六乘四，他约掉六乘五，所以这个数就应该是三，然后你再给他还回去，你不约了一个六吗？所以还回去，他应该是十八，然后分母是五，就是五分之十八。 好，因为三线合一，所以这半也等于五分之十八，所以整个的对 e 就 等于十减，五分之十八乘二等于十减，那个是三点六，七点二， 是吧？你要写分数也行啊，那就是五分之三十六，所以整理等于五分之五十减三十六，剩一个十四， 五分之十四，所以来继续五分之十四。可以了，那底乘高都算出来了，那你就直接约分就行了。他剩一个十二，所以是二十五分之十二，再乘上一个十四，然后这个自己去整理了啊，我就不带大家算了。 好，再来看十六题，还是尺规啊，可见这个尺规在我们第一单元当中是多么的重要，是吧？ 先辨认角平分线，所以他跟他讲的，然后我们再把题干标记了啊，给的第一个是做了一个垂直，然后又给了一个三角形 a、 b、 c 的 面积， a、 c 等于八， ab 呢？等于六，求 f、 g 的 长等于多少？典型的求高，对吧？说过求高优先考虑面积转换，但这个你想求 f g， 我， 我可以以八为底，以它为高，但是只是这个的面积， 但题干当中给的是整个的面积，所以你要用到角平分线，你把 f g 呢，你再给它转到这去。哎，这俩高是相等的， 就是角平分线上的点到两边的距离相等啊，他俩是等的，那你可以假设这个是 h， 这个也是 h， 所以 面积呢，分成左半面和右半面，左面以六为底，以 h 为高，右边以八为底，以 h 为高，加在一起等于面积二十一。整理一下，四 三四七， h 等于二十一，所以 h 等于三，也就是 f g 等于三。好，再来看第十七题， 先辨认啊，这个是不是垂，也是垂直平分线呢，对吧？好，第一个垂直平分线没问题了啊，那这个是这两条弧是垂直，我，我这怎么又多了一条弧呢？就这个位置有问题 啊，像这种多余的壶呢，你不要不要说啊，我就那么地，我放那吧。不行啊，一定要在看题干，你看题干当中，他到底是以谁为圆心，以谁为半径做的壶，所以你就往前捋，应该是这句话， 交于点 b 吗？你看，这不就 b 的 那条弧吗？所以往前读，他说的是以 a 为圆心，以 o a 长为半径，画弧交于点 b 啊，读明白了，读明白了，什么？ o a 等于 ab， 所以 它是一个等腰三角形。 可以啊，让我们去开始标记角三十，那这个角也是三十，他就是一百是不？一百，二是不，再往下看一下，还有什么吗？嗯，还有个 o a 的 长度为六，让你求的是 c， b 的 长为多少。那就看怎么去转换吧。 看啊，他这题啊，麻烦他麻烦在哪看啊？他这个三角板等于连续用两次，第一次呢，在这过 a 点往下做一条垂线 是吧？ a 点做，然后做完以后呢，我们会得到的是给个字母，这块给一个字母 q， 用了 m， n， a， b， c， d， d， 没用来给个 d 看啊，你这个 a、 o， d 这个三角形三角板，我可以求出 a、 d 等于三， 就是三角板短边和长边之比是一比二，所以这个等于三，然后这个 o、 d 呢，等于三倍根号三，那同样的这个长度呢？人家也等于三倍根号三， 是吧，因为等腰三角形三线合一嘛，看跟你 c、 b 有 关系哈。然后接下来再看这换一个三角板了啊。接下来看三角形 a、 d， c 这个三角形， 看这个小角也是三十，所以这个小底角是六十，所以这个里边呢，它也是一个三角板，那已知长边 求短值，已知长值求短值。除根号三，所以 c 对 等于根号三，导出 c 对 等于根号三，所以我们整个的 c、 b 的 长度等于三倍根号三，等于二倍根号三， 他就把我们的三角板的应用应用啊，展现的淋漓尽致的，是吧？好，再来看十八 十八题，三模题是吧，看题干啊，九十角 a， 三十又是三角板是吧？ 啊，不用看后边到吃亏了，你看一下，他就两条弧，所以做的是垂直平分线，既垂直又平分，所以这，这是等的啊，画画红，画红啊，因为有点乱 行，然后把长度标上，其中 bc 的 长度呢，等于二，求 h g 的 长度为多少？ h g 在 这 六六，哎呀，不好啊，这道题大家求不了啊，啊，这道题大家求不了啊，这道题好像是要用到一个相似我，但我试着给你们讲一下啊，你看一下，这个是二，因为这个是垂直平分线，所以我们点 g 呢，是中点。 你看啊，八年级的孩子听的可能会有点费劲啊，但如果你是九年级的孩子，你听他的话，你就可以得到 f g 呢？有这条线就叫做中位线 啊，它等于第三边的一半，所以这个长度等于一啊。中位线的结论是 f g 等于二分之一的 b c 等于一，然后算完它以后呢，你就可以看到这个三角形和这个三角形它们两个是相似的，并且它俩的相似比是一比二。 好，你看，我说到这，你是不是有点蒙了，对吧？相似比是一比二啊。好，继续再往下，我把这个先擦掉了，那你这个三角板有什么用呢？看三角板，它是三十度，所以它也是三十，你这个不是二吗？对吧？咱这个不是一吗？来这个位置，它就是根号三， 然后再往下怎么做呢？你可以过点 h 往这边做一条垂线，当我们做完这个垂线以后看，因为刚才这个八字形，他俩的相似比是一比二，所以这一条比上这一条也是一比二 啊。或者说这个比上这个他就应该是一比三，因为这个是一份，这个是两份，所以你的这个高和这个高之比是一份，比上三份一比三， 一比三啊，那就来了，所以这个是一份，这个不是三份吗？啊，说错，这个是一份，这个不是三份吗？所以我们这个想垂线段除以一个， 除一个三，他就等于三分之二，是吧？他就等于三分之二，然后因为这个角呢是三十度，看这个小长度就等于三分之二倍。根号三，然后整个呢是根号三，所以这个位置是三分之根号三。画一下啊， 中考的孩子可以听了啊中考的孩子可以听了，三分之根号三，然后这个位置呢，又是三分之二，它是三分之根号三，然后 h g 呢，你就可以勾股定理了，三分之根号三的平方，再加上一个三分之二的平方，然后自己整理一下就可以了。 所以这题啊，呃，中考三模题，八年级的孩子有点费劲啊，九年级可以听，然后再来看十九题，还是吃亏是吧？吃亏啊，先观察吧，垂直平分线一个， 然后这块就是这两条边长是相等的，所以标数六 a b c 的 八。嗯，这个角是直角，所以勾股数六八十， 看到六八上来就六八十啊。然后你去确认一下这个六跟八到底是不是直角边，如果是直角边的话，那个十直接就写上，然后这个长度是六啊，所以这个长度呢，等于四，是吧。然后他让你求 b e 垂直平分线，所以这个 b e 等于二。 好，二十。看图也是什么线？是不是角平分线好， c 对， 等于三， c 对 等于三，那角平分线啊，还有个三十度哈，还有个九十， 它，它是不是也是三十啊，对吧？三十，那你这个角平分啊，看啊，这应该是，它是六十，所以这块是三十啊，那角平分线的话，我是能求哎，这条边跟这条边等， 就最简单的方法了啊。那你就可以直接利用三角板算出斜边长等于六，所以这个对 b 的 长度为六，所以它是一个尺规加三角板的一个应用。 好，来看二十一题，二十一题后边的难度呢？就会偏大了啊。再看二十一， a 对 垂直平分， bc 既垂直又平分，所以它是一个等腰啊。你就第一想法就是它俩还相等的，再往下过，对点做对， f 垂直于 ab， 然后延长线，其中角 e 的 度数呢，是三十度，让求 b f 和 a e 之间的关系， b f 在 这， a e 在 这，可不可以引个未知数呢？ 对吧？因为你这题没有长度，但他让你求的是数量，所以引啊。那你可以假设 b f 是 x， 看一下这个三十，看一下这个三十，三十，这个角就应该是六十 啊，然后在这不垂直平分吗？三线合一，三十三十，所以你看这个角就是六十，这个角就是三十。哎呦，好多三角板呐。嗯，像这来，他也是三十，是吧？那咱们就推了啊。第一个 像，这就是二 x， 是 吧？然后因为三线合一， c 对， 也是二 x， 看看还能推到哪？那这个是不是也是二 x， 对吧？啊？因为等三十度，底角相等嘛，所以腰相等。哎，越来越近了哈。 b f 是 x， a e 差一点，差个 a c 来，那我们再往这推， 再往这推，那在这个里边，它是不是也是一个三角板呢？ b 最短的边是二 x， 所以 长边扩大二倍，所以它这块应该是四 x， 所以 a c 的 长也是四 x。 好， 那我们的 a e 加在一起是六 x， 所以 它俩之间的数量关系是 a e 等于六倍的 b f。 解决 就是在求比例啊，或者是求数量关系啊，啊，没有给你任何长度的时候，你就可以大胆地演未知数，到最后这个未知数肯定是会消掉的。 好，再来看二十二题，二十三题，他呢，是动点问题了啊，看一下二十二标记，第一个 a， b 等于十二， a， c 等于十角， a 是 六十度，告诉我们点 b 呢， 两秒向 a 运动，动点问题呢，他会分成几何，就是纯几何，然后也会有这种路程速度、时间关系的。如果是这种路程速度、时间关系的，如果我光我只说速度， 其实你是不能够把它具体到这个图上边的，所以你可以把速度呢换成路程， 对吧？路程它就是一个长度，所以路程等于速度乘时间。所以这道题当中，你的 b q 实际上就是二乘 p 啊，速度乘时间就是 p 的 路程。然后同样的，你看那个 q， 从 a 出发走到 c， 速度为一。哎，那我的 a q 就是 t 呀，对吧？一乘 t， 速度乘时间 啊。所以大家以后要记住了，有关于速度的动点问题，你都拿路程表示，表示完以后呢？你除了可以标记这两个路程以外，你像其余的像这，嗯，像，这都能表示。 好，那先放啊，先整理到这，我们看往下他要干什么，他说的是其中一个到达端点的时候，另一个也随之停止运动，所以我们要看一下每一个点的时间节点。看 p 的 十二个单位长度，速度是二，所以它是六秒， q 的 十个单位长度是十，那就是六六秒，到了 p 停了， q 就 停。所以这道题你求出来的时间，你的 t 都应该是小于等于六，这个是一个关键点。 好，再往下啊，他说运动多少秒的时候，三角形 a b q 为直角三角形。看看啊，就把这个三角形先找到啊。那你看一下这个里面可以有谁是直角 啊？ a 首先 pass 掉了， a 是 六十度，那你的 p 跟 q 只要它是一个洞的都有可能，所以看到直角三角形的时候，你的想法就是分类讨论。 好，那分类讨论三个都要看角 a 已经定了是六十度，所以就两种情况，第一种情况呢，是角 p 等于九十度，第二种情况就是角 q 等于九十度，但他他这个图你可以看，可以用， 就是这个地方有点像九十，你就当九十度用就行了啊，你不用重新画了，来吧，那我们去找等量关系，六十度，那这个角就是三十。好标准的什么东西？角三角八， 三角板的三边关系是。来再写一遍啊，三十度，这个是一份直角边，这个斜边就是两份短的边是一，长的边是根号二。二啊，短这个长直就是根号三， 一比根号三比二，所以你看 a q 是 短的，然后 a p 是 长的，所以第一个当角 q 等于九十度的时候，是长边儿等于二倍的，一乘 p 就 二乘 p， 所以 整理一下， p 呢，等于三， 好在我们的时间限制之内，所以留着。那我们再看第二个叫 p， 那 这个他是图，他这个图用不了了，所以你就自己重新画一个啊，你不用说画的那么标准，就给一个就行 啊。他是六十多这块还是 t 这块呢？就是十二减二 t， 那 你还你看三十嘛，所以他还是一个三角板，只不过是他的长边跟短边换了， 换了这会的长边就变成了 t， 短边呢，就变成了二乘十二，是不是减二 t， 对 吧？他俩是二倍关系嘛， 所以 t 等于二倍的十二减二 t， 所以 整理一下，是五 t 等于二十四， t 等于五分之二十四，也就等于四点八，也是在时间范围之内。那我们这两个解就都留着，所以我们二十二题的答案是五分之二十四或者是三。 好，二十二题解决了啊，它是动态问题，和我们的三角板结合好，我们再来看二十三题，看一下有什么区别啊。第一个， a b b c， a c 十二好，等边三角形六十，你看，又出来六十度了。说了，就在在这个几何题当中，如果出现了特殊角，三十度啊，四十五度啊，六十度啊，你就往三角板身上考虑， 三角板好再往下啊。屡题， m 的 速度呢？为一， n 的 速度为二，然后难点就是沿着三角形的三边运动， 可以哈。然后他说，好，那，那咱们标记一下啊，我先把这六十度擦掉啊，这个是 t， 呃，那个呢？ n 是 二题 好，那这块图看的话，这块是十二减二题好，他说运动十二秒以后停止运动，则运动多少秒的时候，三角形为直角三角形，所以你先看啊，他这题难就难在不是说从起点到终点，他是一直在转圈动， 那我转圈动，那 n 就 有可能换边了，对不？所以我们要看一下啊，每一个每一个点在换边的时候，它的时间节点是多少。那先看一共是十二秒，所以你看一下我们的 m， 它可以走的路程就应该是一乘十二，一乘十二好走十二厘米， 对不？哎，那这个好说呀，那就 n， 它就没换边，呃，说错了， m 它就没换边， 对不？ m 实际上是没换边的，因为整个这个 a c 的 长就是十二。所以啊，我们先确定 m 它是不换边的。好，那我们再来看 n n 的 速度呢？为二，然后如果它走十二秒的话，是走了二十四个单位长度， 那你想二四他应该是从 b 走到了 a， 然后又走到了谁，又走到了 c， 对， 所以我们的 n 是 要换边的。 好，那你是不是就应该分类讨论了？那行，先来第一个三角形 a m n， 那 你就先说他不换边的时候啊，如果他不换边的话， a 定在这，第一个是不是有可能是这个样子的？ 这个是 m， 然后这个是 n 啊，它是二 t， 它是十二减二 t， 这个是 t， 它角 a 是 六十度，所以三角板长边是十二减二 t， 短边是 t， 所以 是二乘 t， 所以 一项四， t 等于十二， t 等于三。一个答案。 好，这是第一种情况。还有第二种情况，继续啊，还可以，是谁等于九十呢？就是我们的 n 是 九十 n m， 好， 这个六十不标记了，那他依旧是 t， 他 呢？是十二减二 t， 所以 这个时候长边就变成了 t， 短边是十二减二 t， 那 他俩之间的数量关系就是二倍，所以二倍， 然后再把它打开，得到的是五 t 等于二十四， t 等于五分之二十四， 是吧？五分之二十四应该是四点四点几，那就算它是四点几的话，二乘四应该等于八点几，是不也没换边啊？所以一跟二两个答案都留着，然后你再来看第三个，因为我们不说 n 它是可以换边的吗？但是 n 换了，我们的 m 是 没有换的，对不？所以你的你看啊，换边的话会出现一种什么情况呢？就是我的 m 可能再稍微远一点，我的 n 可能在这了，但是我的 a 是 不变的，所以你在这个 amn 这个三角形看到没，它是没不能形成三角形的， 所以这个你你就算换了，你没有用，你不用去讨论了。所以我们这道题呢，也是两个答案，一个是三，一个是五分之二十四，就这两个答案写上就可以了。 嗯，那我觉得他这道题呢，是想让你就是多一点的，所以他这个时间呢，其实如果再长一点就好了，就让你的这个 n 呢，就是可以过 c， 可以 走到那个 c b 那 条边上，如果他能走到 c b 这条边上的话，他这题应该还有两个答案 是吧，但他没考的那么那么的麻烦啊。所以二十三题结束，大家可以再尝试一下，你让他再换一条边，你试一下。好，我们再来看二十四题。 二十四题下边呢，是给大家准备了几道小的三角形的证明题啊，我不给你们写具体的过程，我们过一下思路。先来看第一个角， c 九十 a 对 平分，他跟他相等， 然后给了一个对 e 垂直，你看角平分线上的点到两边的距离相等，所以他跟他是等的，然后再往下对 f 呢，是中线， a 对 c 的 中线好，那 a， d， c 它跟它是等的对吧？好，来了继续啊。第一个问呢，角 b 等于四十度，所以标记它等于四零， c， c， c， f， d 这个角等于四十五度， 哎，太好了，四十五度是吧？所以第一个让你求的是 a， d， f 的 度数，求证看一下， 看一下，我还能求哪个位置呢？哎，我能把这个角 a 大 角算了，大角是应该是五十啊， 说，所以他的一半是二十五，那在这个直角三角形当中，顶上面的是二十五，所以他这个底下的这个角是九十减二十五度等于七十哦 no， 等于六十是不五度， 所以六十五度，再减掉一个四十五度，所以答案是二十。好，有单位了，那我们这个单位就不要再写了啊。几何题用铅笔去做，然后做完了以后呢？第一个问跟第二个没有任何的关联，所以抓紧给它擦掉。那我们再来看第二个连接 ce， 好， 连接 ce， 求证。 a 对 垂直平分 c e。 哦，这个哈，你看啊，在我们说垂直平分线的时候，有一个垂直平分线的判定叫做垂直平分线上的点啊，反过来是有 一个点到两边的，到两个端点的距离相等，看，这他跟他等啊，所以这两条边等，所以点对呢？它是在 e c 的 垂直平分线上的， 然后但是这个不行，一个点不行，所以再来一个点，还有谁呢？你再看其中 a， e 和 a， c 也是相等的，所以你能确定 a 点也在 e c 的 垂直平分线上，所以就可以证明 a 对 是 c e 的 垂直平分线，这个就是一个垂垂直平分线的判定啊，所以我们就简单过了下一个第三题，擦掉 对， e 等于二，它也等于二，是吧？然后再往下其中三角形， a 对 f 的 周长，它的周长， 那我给它拆开吧，是吧？ a 对 f 呢？我可以给它拆成 a 对， 加上对 f， 再加上一个 a， f 比它的周长大三，所以减掉这个的周长是不是等于三 好？把的 c f 的 周长掰开，是 c 的， 加上 c f， 再加上一个的 f， 好 打开啊， 加 a f， 减 c 的 减 c f， 再减的 f 等于三。你看，明显能看到的是它俩是公共的，它俩就没了。然后还有还有啊，这题里边提到了一个中线， 所以 a f 的 长和 f c 的 长是相等的，它俩也划掉了，所以会得到 a d 减 c d 等于三好。我们来看一下位置， 铅笔你就准备好了，是吧？你把其他东西你就划掉 a 对 找位置了。第一个 a 对 在这，然后 c 对 呢？在这，这个是二啊，那就可以了，所以 a 对 的长度一项等于五，那这个能算出来的啊，具体的过程呢，我就不给大家写了，过一下思路，我们再来看二十五题。 二十五题题干 o a 垂直平分，这啊，它俩相等，缺线， 缺线啊，因为垂直平分线上的点要到两边的距离相等一会，再用下一个，这边也是垂直平分线，实际上也是缺线的，缺谁呢？这边好像缺这个， 对吧？然后这个位置呢，是缺的是这个，它和它相等，然后这个和这个是相等的。那看第一个问， m n 的 长度等于十五，求 p e f 的 周长好，求这个周长，直接把线一连连完了以后，你看啊， 黄色的就转到这个边去了，然后那个红色的 fn 呢，就转到了 p f 的 身上，所以你这个周长，你看，你先给它掰开吧，我们的周长三角形， p e f 等于 p e， 加上 p f， 再加一个 e f， 然后因为这个垂直平分线，我的 p e 等于 m e， 然后我的 p f 呢，等于 f n， 然后再加上一个 e f， 然后从图当中看，这三条线段相加，正好等于 m n， 所以 我们第一个问的周长为十五。好，我们再来看第二问， 给了一个 p m 等于偏啊，这个大大的哈，大的，它是一个等腰三角形。求证。 o p 垂直平分平分角， a o b a a o b。 ok， 好， 那来看， 那我正全等是不就行了呀？那我们就来找条件了啊。第一个条件，第一个条件，哎呀，给它连上连上啊， 看一下大等腰是吧？哎，那你看啊，他是一个等腰，所以这个角是不跟这个角等，然后这个角是不也跟这个角等，所以现在图当中的这四个角应该都是相等的。我给你画个黑色的啊，因为现在图有点乱了，我没重新整理 啊。这四个角都是相等的，那他俩相等以后，那你像这个边看一下边能不能等， 边儿也能等，是吧？所以你现在画的啊，你看像这个，这个边，这个边，这个边，它们都是相等的，所以看到没，你的 o p 这条线，它应该是能正出 o p 为 m n 的 垂直平分线， 就是既垂直又平分，既垂直又平分，那看这个能不能用上啊。那是垂直平分线的话，这个位置是垂直的，是吧？这个位置是垂直的， 可以了，所以看一下啊。我擦掉一下，因为有点乱，刚才的线在这和这看正出它垂直平分线以后，我们能正出这个小角和这个角是相等 的，是不？因为有点。你看这，这不就是三线合一吗？在三角形给个字母这个位置，给一个 t 吧，给个 t 啊，在 e t p 和 f t p 这个三角形内垂直平分，加上腰相等，所以三线合一，那有了这个角一等于角二，以后 角一等于角二，就可以推出三角形 o p e， 它是全等于三角形 o p f 的 理由是 s a s， 那 全等以后就可以判断出 o p 平分角 a o b。 好，二十五题我们就结束了啊。再来看一下二十六题。二十六题呢，是一道探讨题型，来看题干， 勾股定底。好。他说，呃，是现代数学思想解决几何的重要工具之一，也是塑形结合的纽带之一。为了吸引人们啊，什么好？来看第一个最短路径问题。哎呦，这个是不就是我们以前七呃，八八上学的内容 是吧？好，来看啊。他说蚂蚁从点 a 呢，要爬到相对一侧的中点 b， 如果圆柱的高为八，所以这个为四 啊，半径为派分之三。好，咱们是不是要给它展开呀？是不？因为你现在在立体图形当中做不好做，所以咱们给它展开。这个呢，是一个整个的侧面， 如果它是 a 的 话，那你看你的 b 是 不应该在中点的这个中线的这个这个位置，中点这个长度等于四，那我们现在只需要求出底面的周长即可。周长等于派乘直径 派分之三，再乘上一个二，所以等于六，所以这一堆等于六，那它的一半就应该是三，所以连接 ab， 勾股数三四五，所以我们最短路径是五厘米。 好，我们再来看第二题啊，秋千问题。好，荡，秋千问题啊，荡秋千和梯子问题是一样的， 梯子问题是梯子长不变。无论你搭在这个左墙上还是搭在右墙上，比如说两边是墙，你给我一个梯子，你搭在这和我搭在这，他的长是一样的。那你像秋千问题，你看你在这垂直的时候和这条线上，他不会变长， 对不？所以你像图当中的话，就应该是 ab 的 长和你这个 ac 的 长是相等的，这个是我们秋千问题的关键点。那做好这以后，我们就可以标记了，这边是零点五，将将它向前推两米到达二，所以这块是二，这是垂直的， 然后记水平 c 对 等于二，帕板 c f 等于一点五。哎，所以这个小长度呢？它就等于一， 是吧？然后他说将绳索始终拉直，求 a c 的 长，那长度不够用，勾股，呃，长度不够用，引入未知数。你可以假设 a d 是 x， 那整个秋千的长就是在这，是 x 加一，所以又在这，所以在这个三角形内勾股并底。 x 的 平方加上二的平方等于 x 加一的平方。展开平方加四等于平方加二， x 加一， 约调，所以二 x 等于三， x 等于二分之三，所以这个 a c 的 长呢？等于二分之三，还得再加上一个一等于二分之五米 啊，你可以写二点五米。好，那我们今天这个几何的证明专项呢？就到这，内容有点多啊，大家慢慢看。
7珊珊老师
03:05查看AI文稿AI文稿朋友们注意看，在一块三角板的底部贴上一节双面胶带，然后将其胶面朝上放置在墙角位置，接着把地毯也覆盖上去，最后将地毯掀开，按照三角板的位置将多余部分割下，这时地毯就能与墙角完美契合了。 在进行墙面的刷漆工作前，我们可以找来一卷胶带，像这样将墙面开关插座的位置覆盖起来，然后就可以安心的进行刷漆了，再也不用怕弄脏插座。 当晾衣架的支撑杆松动时，我们可以找来两根扎带，然后像这样互相穿入并拽紧，支撑杆就又能正常使用了。 将裁剪后的塑料瓶套在一块木板上，并用热风枪进行加热，待塑料瓶完全加热收缩后，我们就可以将瓶子与吸尘器相连接，这时就可以用它来吸走缝隙中的杂物与灰尘了。 而像一些开封后用不完的油漆罐，我们也可以使用塑料瓶和热风枪来进行密封保存，并且在下次使用时也会更加方便。倒出。 将一段铁丝在螺丝刀上进行缠绕，然后在铁丝的最上面对折出一个半截圆环，这样在使用时就能将螺丝牢牢固定在螺丝刀上面了。 当拉链的拉头不小心掉落时，只需要准备一把叉子就能将其重新安装回拉链上。 在塑料瓶的盖子上开出一个小孔，然后将其安装在涂料滚筒上，这样每次使用完滚筒后，都可以将瓶盖移动到上面，然后放入瓶子中拧紧，避免上面的涂料弄得到处都是。 使用一节 pvc 管加上一段绳子，就能轻松拿出掉在下水道中的钥匙。 将自行车的内胎放在金属管上，然后使用锤子对着边缘反复敲击，我们就能得到一个圆形的橡胶电圈。 使用完毕的扎带其实是可以回收的，并不需要将它剪掉，只需要将另一头向后弯曲，然后按住里面的小卡扣即可。 当家里的木门出现变形时，每次开门都会刮蹭到地面，这时我们可以将一块砂纸粘贴在划伤区域， 然后对木门反复的进行摩擦，取下后再次开合，就会变得顺畅很多，并且也不会划伤地面了。
7456无趣的土豆
05:5924江元学
