哈密顿算符与拉普拉斯算符的区别
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09:21查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，欢迎收听我们的播客啊，今天咱们要聊的呢是这个定态薛定厄方程啊，这个 psa 等于 e psa 这个东西， 我们会先聊一聊这个方程是怎么来的啊？它的历史背景，我们再来看一看它的物理意义，它到底意味着什么？最后呢，我们再来说一说它在实际当中有哪些应用。好，那我们就开始吧，我们要聊的第一部分呢，就是这个定态薛定厄方程，它的诞生，它的起源，或者说它的背景。 对，那我想先问一个问题，就是在二十世纪初的时候，物理学界到底遇到了哪些挑战啊？就是让这个薛丁厄方程 呼之欲出，当时就是经典物理没有办法解释一些微观世界的现象，比如说黑体辐射，光电效应，还有原子的稳定性，就是很多实验的结果都和 我们之前的理论是矛盾的，听起来就像是一场危机啊。对啊，就是，所以当时就是科学家们就不得不去提出一些新的假设，比如说能量是一份一份的，吸收和释放的光其实也是有粒子性的， 然后包括电子其实也可以像波一样的运动，就各种就是打破大家传统观念的一些想法，就为薛定鳌方程的出现埋下了种子。哎，那 薛定鳌他当时是怎么就灵光乍现想到去写这个方程的呢？其实他的灵感就是来自于德布罗意的这个物质波的假设，嗯，就是说电子啊什么的，这些粒子其实也可以表现出波动性。 然后呢，薛定鳌就特别想为这种波找到一个合适的数学方程，他是有什么气机让他开始动手的吗？有啊，就是呃，薛定鳌当时在一个学术讨论会上，嗯，报告了德布罗意的这个工作，然后德拜就点评说， 你如果说粒子是波的话，那你得有一个波动方程吧。就这句话让薛定谔就下了决心要去找到这个东西。他一开始其实是从相对论的角度去尝试的，没有成功。后来他又回头用经典历学的这种 哈密顿雅克比方程，嗯，结合了这个波函数的这种想法，才最终得到了这个著名的方程。那就是说这个薛定讷方程刚一问世的时候，它到底带来了哪些让人惊掉下巴的影响？它就是几乎完美的解释了清原子的这个光谱线， 然后很自然的就推导出了原子的这种分力的能集，就是之前大家都是靠一些假设凑出来的一些，结果在他这就变成了一个 顺理成章的数学的一个推论，怪不得当时的科学家都沸腾了。对，没错，就是这个东西出来之后啊，普朗克啊，爱因斯坦啊都赞不绝口。然后大家就觉得这个东西就一下子把原子领域的这个规律就牢牢的抓住了，就变成了量子力学的一个基石， 也直接催生了波动力学的诞生。我们来进入我们的第二部分，我们来聊一聊这个定态薛定厄方程，它的具体的形式和它的每一项的物理意义。 你先给大家写出来这个方程最核心的表达式是什么样子好，它的最核心的形式就是 h p i c 等于一 pi c， 然后它的完整的写出来，在三维的情况下，就是负的哈方比上二 m 乘以这个拉普拉斯算符，加上 v 二，整个作用在这个波函数 pi s 二上，等于 e 乘以 pi c。 哦，原来它背后是这么一个看起来这么优雅的一个结构，是吧？对，这个 h 就是 叫哈密顿算符，它其实就是呃，粒子的动能加上势能。 然后这个拍散呢，就是波函数，它是一个负函数，它的魔方就是粒子在空间出现的概率密度。这个 e 呢，就是粒子的能量，它是一个确定的值，当体系处于定态的时候，这个是普朗克常数， 这个 m 是 粒子的质量。这个 v 二就是势能函数，对，每一个都有很明确的物理意义。那我想定态薛定厄方程和含时薛定厄方程 这两者之间到底是一个什么样的关系？就其实定态薛定厄方程，它是含时薛定厄方程的一个特殊情况，就当这个体系的势能不随时间变化的时候，嗯，这个时候呢，这个波函数就可以写成 只是空间的函数，乘以一个时间的函数。嗯，那你把它这种形式带入到含时薛定厄方程里面，你就可以得到定态的这个方程。哦，原来他们之间是这样过渡的。对，然后定态的这个方程呢，它其实就是用来 算这个体系的能量的本征值和本征函数的对，它的这些解就完全决定了这个体系处于定态的时候的所有的性质。 而这个含时的呢，它是用来描述这个波函数随时间是怎么演化的。 ok， 对， 就是这两个方程是互相补充的，你觉得就是这个定态薛定厄方程，它在整个物理学的体系里面是一个什么样的位置？它就像是量子世界的一把钥匙， 就它可以帮你揭开原子、分子、固体几乎所有的微观世界的秘密。 ok， 对， 就你只要知道了这个体系的势能，你通过解这个方程，你就可以得到它的能级是多少，它的波函数是多少，然后所有的可观测的物理量的平均值是多少你都可以知道。听起来好像它的意义远不止是一个数学工具。对啊，就它其实蕴涵了 非常多的物理的思想，比如说能量的量子化对，概率符对太叠加原理，都可以从这个里面很自然的导出来。对，然后它也体现了一种能量和粒子的行为之间的一种深层的联系，它是整个量子理学的一个理论的基石， 就相当于牛顿定律在经典历史里面的地位。然后我们就来，呃，第三部分就是聊一聊这个定态薛定厄方程在现实中的价值啊，那就是想问一下，就是这个东西在解释原子结构和分子的行为 这方面有哪些特别关键的作用？呃，其实就是这个定态薛定厄方程，它可以精确地计算出氢原子的电子的能级， 然后也可以计算出它的波函数的具体的形式。对，就这些东西就直接解释了清原子的光谱为什么是分立的。对，也可以让我们去理解电子在原子里面到底是怎么分布的，就听起来它不只是一个理论上的东西。对，没错，就是这个。 这个方程，其实它是，呃，通过一些边界条件和一些对称性的要求就可以自然而然的导出主量子数、角量子数这些东西。对，然后它也可以让我们去预测分子的结构、分子的振动，甚至是化学反应的一些路径。对，这它是整个 现代化学和材料科学的一个非常重要的基础。就实验上面看到的一些现象，你都可以通过这个东西来理论上都可以解释。那你说这个定态薛定厄方程在这个我们现在的高新技术领域 有哪些具体的用处呢？比如说在这个半导体领域，嗯，这个我们想要设计这个量子点的这个发光的颜色，就是通过解这个定态薛定的方程，然后就可以得到它的能级的结构。 ok， 就 可以直接去指导你这个实验，就感觉它真的是 渗透到很多很细的这种技术环境里面。没错没错，比如说这个扫描隧道显微镜，它其实能够看到单个原子就是靠的就是这个量子碎穿。 ok， 这个也是可以用定态薛定厄方程来精确的描述，然后包括这个激光器的这个激发，包括核磁共振的这个原理，其实都是要解这个方程才能搞清楚。 对，包括现在的这个量子计算和这个量子密码学，其实都是基于这些非常精确的对微观世界的这个能量状态的一个操控。那就是说这个定态薛定厄方程在推动我们从传统的这种科学观念， 像现在的这种量子的世界观转变的过程当中，到底是起到了一个什么样的作用呢？就这个方程其实它是第一个把能量的量子化和这个物质的波动性这两个东西直接放进了一个数学的框架里面。 ok， 然后它也给出了这个波函数的一个非常清晰的物理意义，就是它的魔方代表了概率密度，所以它其实是为我们理解这个微观世界的奇特现象 打下了一个基础。没错没错，而且就是它不光是帮我们解释了像薛定鳄的猫啊，或者说这个叠加态啊这样一些非常反常识的东西，它其实也推动了很多比如像量子信息科学这样的新兴领域的发展， 然后也让我们的技术能够一次次的突破经典物理的这个极限。对，我们今天其实聊了这个定态薛定鳄方程的由来，然后它的物理意义以及它在科学和技术当中的各种应用。 其实这个方程不仅仅是让我们理解了微观世界，它其实也不断的在启发着科学家们去探索更前沿的问题。 ok 了，那么这一期节目咱们就到这里了，然后感谢大家的收听，咱们下期再见，拜拜。
06:02查看AI文稿AI文稿一八四三年，顶级的数学家威廉哈密顿用一个刻在桥上的公式证明了一件事， a 乘以 b 不 等于 b 乘以 a。 这句话听起来像一个疯子说的，几乎所有人都知道，三乘以五等于五乘以三。 几千年来，没有人质疑过他，但哈密顿当场把他推翻了，不是因为他算错了，而是因为他看见了一个普通人看不见的东西。旋转 三维空间里的旋转是数学史上最阴险的陷阱。一架飞机在空中，它可以抬头低头，可以左右翻滚，还可以偏转机头方向。这三种旋转同时发生的时候，数学上怎么算清楚它到底转到哪里去了？答案是 算不清楚。更要命的是，在某个临界角度，三个旋转轴会突然重叠卡死，飞机直接丢失一个方向的控制能力。就像你开车，方向盘突然只能左打往右，死活转不动， 而你正在高速公路上，这个崩掉的瞬间叫万象锁。哈密顿折磨自己整整十年，就是为了干掉他。他最开始的思路和所有人一样，复数能描述二维旋转，那三维旋转加一个维度，搞个三元数不就行了？试了十年， 死活凑不拢，数学结构在那里死死卡住。一八四三年十月十六日，他走在杜伯林布鲁姆桥上。不是三个分量，是四个，不是三维，是四维。一个实数加上三个方向各不相同的虚数分量，四个部分合在一起，才能完整描述三维空间里的旋转。 答案突然砸进脑子里，他怕转身就忘，当场掏出小刀把公式刻进桥墩的石头里。刻完，他才意识到，这个答案成立的代价是乘法交换律必须死。 i 乘以 j 等于 k， j 乘以 i 等于负 k， 顺序一换，差了整整一个副号。数学界震了。然后是长达一百年的沉默。这个时数就是四元数，没有计算机，没有航天飞机，工程师们想不到他有什么用。更直接好用的向量分析兴起之后， 四元数被直接扫进历史角落。哈密顿余生把所有精力压铸在他上面，出版了厚达八百页的专注， 死的时候没有一个人用它。一百年后，航天时代来了。一九六九年，阿波罗登月， nasa 用欧拉角系统控制飞船姿态，万向锁的问题像一颗定时炸弹埋在系统里拆不掉。阿波罗十一号接近月球轨道时，姿态控制系统突然报警，宇航员手动接管，才化险为夷。工程师们事后复盘，翻遍所有方案， 最后找到的根治办法是哈密顿刻在桥上那行被冷落了一百二十六年的公式。四元素从根本上绕开了万向所，他用四维空间里一个连续的球面来表示所有旋转状态。无论飞船怎么转，数学上永远不会卡死， 永远不会出现起点。哈密顿等了一百二十六年，才等到这个世界追上他的答案。从那以后，四元素开始 悄悄渗进你生活的每一个角落。你把手机从竖屏转成横屏，屏幕跟着转的那一瞬间，手机陀螺仪正在用四元数实时计算你转了多少度，偏了哪个方向。换成欧拉角，某些角度下，屏幕会卡住，方向对不上， 永远差那么一截。一打开，三 d 游戏，角色流畅翻滚，转身跳跃，丝滑的像真人在动，背后是四元鼠在做实时姿态差值。换掉它，你会看到角色在某些角度 突然抖动，穿膜，扭成一个让人出戏的鬼畜动作。 spacex 猎鹰九号从太空返回，要在一块不比篮球场大的平台上精准直立降落。姿态控制系统每秒做几百次旋转修正，用的还是四元数， 差一度就是几十吨碎片和几千万美元的损失。一行刻在桥上的公式，撑起了现代航天、现代游戏、 现代智能设备的整个旋转计算体系。但我觉得四元数最值得说的不是他有多厉害，而是他结识了一件更深的事。为什么四维的数学能解决三维的旋转问题？因为三维旋转本身就不是一个三维的问题。 你以为物体转一圈，三个参数就能说清楚，但数学告诉你，旋转这个动作本质上需要四个独立参数才能精确表达，缺一个都会在某个角度出现漏洞。是我们生活在三维里，所以直觉欺骗了我们。 哈密顿折磨自己十年，根本原因是他死守必须是三维这个预设，直到他放弃这个执念，答案才出现。很多时候，我们解决不了的问题， 不是因为努力不够，而是因为一开始就预设了一个错误的框架，然后在那个框架里越挖越深，却始终挖不到水。还有一件事，每次想起来都觉得后背发凉。哈密顿死后， 四元素几乎被彻底抛弃。如果不是航天工程和计算机图形学同时被万向所逼到绝境，如果不是工程师走投无路去翻历史固执堆， 四元素可能永远是一个只有数学史研究者才知道的冷知识。一个正确的答案简些因为没有应用场景而消失在历史里。这让我忍不住想，还有多少个四元素 正躺在某篇没人看的论文里等待一百年后某个工程师在绝境中翻到他。数学从来不是无用的， 只是有些答案现实世界还没准备好接住它。下次你把手机横过来屏幕跟着转的那一秒，记住，那不只是一行代码在运行，那是一个十九世纪的爱尔兰人，跨越一百二十六年还在替你做计算。
737科学密码
07:11查看AI文稿AI文稿米仔，你知道物理学里有个天选之子吗？二十九岁就封爵，爱尔兰人名字叫哈密顿，二十九岁封爵，这比咱们平直升很多了。 可不是吗，他干了一件特别漂亮的事，做了个巧妙的变量替换，把速度换成栋梁。结果呢，整个历学体系直接搬进了一个全新的空间。变量替换听着像高中数学啊，就这也能封神？ 你别小看换个变量，牛顿的力学是 f 等于 m a， 讲的是力和加速度。拉格朗日往前迈了一步，用最小作用量原理把力学变成了变分。问题 到哈密顿这，他直接把力学变成了几何箱。空间里一幅流动的画，你看到的不再是推推拉拉的力，而是对称性和流动本身。 哦，从算受力变成了看流动，这视角也太浪漫了吧？更浪漫的是，他这套语言后来直接被量子力学原封不动的搬走了。 从牛顿到拉格朗日到哈密顿，经典力学的三次大升级，终点是通用量子世界的桥梁。咱们先来说说这个经典力学的发展脉络，就是这三次重大的升级。 那你能不能给大家捋一捋，每一次升级核心的变化是什么问题？其实经典力学的发展就是一个不断抽象，不断升级的一个过程。嗯，那第一次就是牛顿的 f 等于 m a， 它其实是用一种力的语言来描述物体的运动。那到了拉格朗日的时候呢？它就引入了最小作用量原理， 这时候力学就被提升到了一个变分的高度。对，然后最后就是哈密顿，它是把速度换成了动量，然后引入了象空间的概念， 这时候力学就变成了一个关于对称和流动的几何学。说到哈密顿的升级啊，就是拉格朗日力学的局限性到底是什么？然后哈密顿他到底是怎么想到用一个新的思路来解决这个问题的？拉格朗日力学虽然形式上非常的漂亮，但是它的核心是一个二阶的微分方程， 这个东西解起来非常的麻烦。对，那哈密顿就想，我能不能把这个二阶的方程拆成两个一阶的方程，这样的话我求解起来是不是就会容易一些呢？所以说他是从数学的角度来寻找突破口，是的，他就是巧妙的把速度这个变量换成了动量，嗯， 就相当于它做了一个变量替换，然后就把这个问题大大的简化了，这是一个非常天才的想法。下面我们就来讲讲乐让得变换这个数学工具，它到底是怎么实现从速度到动量的这个替换的。乐让得变换其实它是一个非常有几何直观的一个变换。嗯，如果说你有一个突去面， 你可以用每个点的坐标来描述它，那你也可以用每个位置切平面的斜率和截距来描述它哦。然后把速度换成动量，其实就是在用切平面的斜率和截距来重新描述这个力学系统， 相当于换了一套坐标器。那哈密顿函数是怎么通过勒让得变换定义出来的？这个形式上的变化到底带来了哪些革命性的影响？对拉格朗日函数做勒让得变换，把速度换成动量，我们就得到了哈密顿函数 h， 它等于动量乘以速度，再减去拉格朗日量，嗯，看起来只是简单的代数变形，但这一步 直接开启了经典力学的全新时代。 ok， 现在我们已经有了哈密顿函数，那这个象空间的概念以及这个哈密顿正则方程，到底给我们描述力学系统带来了哪些新的视角？当动量成为独立变量，我们的舞台也随之升级， 原本只有坐标的 n 为位型空间扩展成了坐标加动量的二 n 为象空间，嗯，一个历学系统的全部状态，不再需要位置加速度，一长串描述，它就是象空间里的一个点， 系统随时间演化，就是这个点在象空间里划出一条轨迹。感觉这样的描述确实简洁了很多，而且也更直观了。没错，而且在象空间里，历学的基本方程也变得异常简洁优美。这就是哈密顿正则方程。 位置的变化率等于哈密顿量对动量的偏导。动量的变化率等于负的哈密顿量对位置的偏导。嗯，两个方程一正一负，完美对称，像一对舞步协调的舞者，共同驱动着向空间里的每一个点。说到这个哈密顿力学里面的守恒率，还有能量守恒， 它在这个框架下到底是一个什么样的表现形式？然后跟诺特定理又有什么联系？在哈密顿力学里面，守恒率是特别直观的，嗯，如果说你的哈密顿量里面不显含时间， 那么能量就是一个守恒量，就是系统的状态点，会一直在同一个能量的等值面上运动，然后更一般的，每一个对称的坐标都会对应一个守恒量。 这其实就是诺特定理在哈密顿框架下的一个非常直观的体现。原来是这样啊，那我们就以简谐震子为例子，具体来看一看它在象空间里面的轨迹，以及它是怎么体现这些能量守恒的这些特点的。好啊，简谐震子其实是一个特别好的例子， 它的哈密顿量就是动能加势能嘛。嗯，然后在箱空间里面，它的运动轨迹就是一个个标准的椭圆，你能量越高的话，这个椭圆就越大哦，然后它每一次的往复运动就相当于这个点在椭圆上绕了一圈， 非常的对称，非常的优美。那刘维尔定律在哈密顿力学里面是一个什么样的地位？然后他对于我们理解这个系统的演化有什么样深刻的意义？刘维尔定律其实是哈密顿力学里面非常深刻的一个结论。嗯，他说的是相空间里面的体积 在哈密顿氧化下是永远守恒的，就像一团不可压缩的流体，你可以把它拉的很长，拧的很扭曲，但它的总体基是永远不变的哦，这是统计力学的基石，也是为什么哈密顿系统永远不会真正的混沌到消失的原因。 听起来很厉害的样子，那哈密顿力学在量子力学还有其他的一些现代物理和数学的分支里面，到底是扮演了一个什么样的角色？哈密顿力学的影响力早已超越经典力学 量子粒子力，哈密顿量升级为哈密顿算符，薛定厄方程就是量子版本的正则方程。嗯，然后包括混沌理论、统计力学、新几何， 所有这些现代物理数学分支底层都占着哈密顿的身影，最后我们再来复盘一下啊，就是这一期我们到底把哈密顿力学的哪些核心的概念和意义给串联起来了，其实我们这一期就是绕着一个圈再走，嗯，我们从勒量得变换开始， 它把速度换成了动量，然后就诞生了哈密顿函数。接着我们用坐标和动量章成了这个二 n 维的相空间， 再用这个正则方程，以一种完美对称的一阶形式来描述这个系统的演化。最后我们还讲了能量守恒，讲了刘维尔定律，这就让哈密顿力学成为了经典力学的最高形式， 同时也为后面的量子力学埋下了伏笔。行吧，那今天我们就聊到这里了，然后感谢大家的收听，咱们下期再见，拜拜！拜拜！
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01:12查看AI文稿AI文稿wanna hurt the game， but you watch it i wanna dress。 爱吃菜爱吃菜，爸爸对得起。
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01:47查看AI文稿AI文稿你，你们算一下，我曾经算过，反正你这人生这辈子就算一次，好吧，算一次就考了好吧，人生至少要做一次的计算。拉普拉斯算服在求坐标下的表示，这里边呢，不像刚才那个迪卡尔坐标系，他只是那些都是点称成为零了，而且那个都不变哈。 这里边呢，你这个第二啊，对这儿做点成的时候，他既要对他求导数，也要对他求导数，也就说第二呢，当然了，这个第二的一二的对二的求导数是是零哈，因为他这个方向不变啊， 啊，都单位项链，但是第二呢，同样要对 dc 大求导书，同样要对 de 发也要去找书，也就说这几个单位项链，你别看他是单位项链展开这个机啊，但是呢，他都是随着 rc 他变化的，所以他的变化的，所以说这个 这里边，所以这里边呢，一下就成了以上的。你说这个，你说这光这一项对这一项就是作用的话，就是三项， 而这个三项呢，每一项呢，是两项，对他求导书，对他求导书，而对这呢，这个呢，又是对这个是一项，对这个是两项，对这个是三项。哎呀，简直是，呃，九项十几项，好吧，这个呢，我告诉你结果是什么吧，好吧， 你，你们算一下，我曾经算过，反正你这人生这辈子就算一次好吗？算一次就考了好吧，不用算两次，我已经算过一次了好吗？ 一辈子至少算一次好吧，这样你们就那个就就等于是走过一次啊，去过啊，就像你登珠峰似的，你登过一登，登顶过一次珠峰就可以。我当没登顶过珠峰了，但是我登过好多雪山啊，所以某些雪山你就去登顶一次，你不用再去登了，好吧？所以你这个呢？你就算一次，好吧？几十项十几项呢？ ok。
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19:36查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来看课时十二欧拉图与哈密顿图。本课时有三个考点，第一点，欧拉图，第二点，哈密顿图，第三点，最短路问题。 首先我们先从欧拉图开始看起，这里先给大家介绍几个概念，第一个欧拉通路，它是指通过图中所有边一次且仅一次的通路。接下来看一下第二个关于欧拉回路，它是指通过图中所有边一次且仅一次的回路。 接下来我们看一下第三个关于欧拉图，它指具有欧拉回路的图，接下来我们看一下第四个半欧拉图，它指具有欧拉通路而没有欧拉回路的图。 那接下来我们看一下第五点，如果一个无向图是欧拉图，它的创造条件是无向图是联通图，并且是没有基度顶点的， 那没有极度顶点。意思就是说他所有的顶点都是偶度顶点，那对于他所有的顶点度数啊，全是为偶数的。那接下来我们看下第六点，关于有向图是欧拉图的重要条件。是啊，这个有向图是强联通图，并且每个顶点的入度是等于初度的。 那关于桥联络图，我们之前已经讲过了，他任意两个顶点都是相互可达的，那对于第五点和第六点，大家一定要记好了，一般会在选择题或者是啊填空题里面对大家进行一个考察。 接下来我们继续往下看，我们来看下第一题，给定一个图，那这张图中如果存在一条经过图中每个节点恰好一字的通路，那这张图中如果存在一条经过图中每个节点恰好一字的通路， 那我们先把欧拉通路的概念给到大家，他是指通过图中所有边一次切进一次的通路， 而这个题中的描述是每个节点和这里的边是不匹配的，所以这道题是错误的。 那之后我们会讲到经过节点一次，恰好一次的一个通路，我们会把这条路称为哈密顿通路。那接下来我们继续往下看，我们来看下第二题，一个无限联通图是欧拉图，当前仅当这张图中每个景点的度数都为什么？ 那同样的，我们给出五项图是欧拉图的重要条件。首先这张图是联通图，并且是没有季度顶点的，那对于第一个条件，在题目中已经给到了，它是一个五项联通图。那接下来就来看第二个条件， 他是没有极度顶点的，意味着每个顶点的度数都是为偶数的。那接下来我们继续往下看，我们来看下第三题，让我们找出为欧拉图的一个选项，那这里我们给出无向图是欧拉图的穿越条件， 第一点他是一个联通图，第二点他要没有极度顶点，那么来观察一下 a、 b、 c、 d 四个选项，发现他们都是连通的，因此我们只需要判断第二个条件就可以了。 那如果一个图中出现了几度顶点，它就肯定不是欧拉图了。那我们首先来看一下 a 选项， 那我来观察一下这个顶点，它的度数是为三的，因此这个图它就不是一个欧拉图，所以我们排除 a 选项。接下来再来看一下 b， 对 于这个节点，它度数是为二的，这个节点度数是为四。 那同样的，我们可以找出其余的顶点的度数都是为偶数的，所以 b 是 一个欧拉图，本题选 b， 那 接下来看一下 c 选项，那发现这个顶点的它的度数是为基数顶点也就是为三的， 因此 c 我 们也排除掉了。接下来我们看一下 d 选项，那 d 中我们看一下这个顶点，它的度数是为三的，同样的是为基数顶点，因此 d 也排除掉。 那接下来我们继续往下看，我们来看下第二个考点，关于哈密顿图。那首先我们也给大家介绍几个概念，第一个关于哈密顿通路，它指经过图中所有顶点一次且仅一次的通路。 那接下来看一下第二个概念，关于哈密顿回路，它指经过图中所有顶点一次且仅一次的回路。 那这里再跟大家强调一下，哈密顿通路和哈密顿回路都是经过的顶点，而欧拉通路和欧拉回路都是经过图中的边，这两者的区别一定要搞清楚。那接下来看一下第三个概念，哈密顿图，它指具有哈密顿回路的图。 接下来看一下第四个概念，半哈密顿图，它二指具有哈密顿通路，但是啊不具有哈密顿回路的一张图。接下来我们看一下哈密顿通路和哈密顿回路的重要条件。首先我们来看一下哈密顿通路的重要条件，给定一个 nga 无效简单图， 对于这个图中任意不相邻的两个顶点，如果满足这样的一个公式，也就是说这两个不相邻的顶点，它的度数之和是大于等于 n 减一的话， 满足这样一个条件，我们就可以说这个无限图中是存在哈密顿通路的，接下来我们看一下第二个，那同样的给了一个 n 间无限简单图，那这里的 n 呢？是要大于等于三， 那对于这张图中任意不相邻的两个顶点，均满足这样一个不等式，那也就是说任意不相邻的两个顶点，它的度数之和是大于等于 n 的 时候，满足这样一个条件，我们就可以说这张无向图中是存在哈密顿回路的， 那这里我们再跟大家说一下这两个条件呢，只是充分条件，满足这两个充分条件说明他是哈密顿通路或者是哈密顿回路，但是如果不满足的话，则不能说明他不是哈密顿通路或者是哈密顿回路，这点大家一定要记好了， 那接下来我们继续往下看，我们来看一下下面一道题目，给定一张无向图，问我们哪一条是哈密顿通路， 那这里我们先把哈密顿通路的概念给到大家，它是经过图中所有顶点一次且仅一次的一个通路，而我们发现这张图中是有七个顶点的，因此我们可以把 c、 d 排除掉，因为它们的顶点个数都是小于七的。 接下来我们先来看一下 a 选项， a 选项第一个顶点是 v 七，第二个顶点是 v 一， 我们看一下这张图， v 七到 v 一， 接下来是 v 六， v 五、 v 四、 v 三、 v 二， 那发现 a 选项的这条通路，它就是一个哈密顿通路，经过了图中的各个顶点，解仅一次， 所以本题选 a。 那 接下来我们再来看一下 b 选项，而 b 选项第一个顶点是 v 一， 接下来是 v 二， v 三、 v 四、 v 五、 v 六，那么发现 v 六后面是 v 七，对于这张图而言， v 六和 v 七是不相邻的， 所以 b 选项是错误的。接下来我们来看一下下面一道题目，给了我们一张无向图，问我们哪一条是哈密的回路。 我们把哈密顿回路的概念也给到大家，他是经过图中各个顶点且仅一次的回路，而由于他是一个回路，所以他第一个顶点和最后一个顶点一定要是相同的， 那发现 b、 c、 d 它的顶点都是不相同的，因此我们把 b、 c、 d 排除掉，最后的答案就是 a。 本题选 a， 我 们再把 a 带到这个图中来看一下，第一个顶点是 g， 接下来是 a、 b、 c、 d， e、 f g， 那我发现它确实是一条哈密顿回路，经过了这张图中的各个顶点，一次且仅一次，同时也是一条回路。那接下来我们继续往下看，我们来看下第三点，关于最短路问题。 那首先给大家介绍什么叫做全和带全图，那这里用一张图来给大家解释一下，我们来看一下这条边， v 三和 v 五的这条边， 它上面有一个数值，也就是一，那这个一呢，我们就称之为 v 三 v 五的全。那除此之外，我们发现这张图中的每条边都对应了一个全， 所以我们就把这张图称为带全图。那带全图的表示形式也给了大家，除了顶点级编辑之外，我们还多了一个全级。 那接下来看一下最短路径，它指在一个代前图中任意的两个顶点 u v， 当 u 和 v 是 连通的时候，从 u 到 v 长度最短的路径，我们就把它称之为最短路径， 那这里的长度最短指的是全相加之后的最短，那它的长度我们就记为从 u 到 v 的 一个距离，记作 d u v， 那 这里我们还有两个规定，第一个规定就是 一个顶点到自身的距离是为零的，那如果 u 和 v 是 不相邻的时候，他们的距离就是为正无穷。 那接下来我们看一下本科时的重点，也就是最短路问题，它二指给定一个带悬图以及顶点 u 和 v， 让我们计算从 u 到 v 的 最短路径。 那接下来我们就来看一下相关的题型，给了我们一张带悬图，让我们求从 v 一 到其余各点的最短路径和距离。 那首先我们观察这张带悬图，我们发现它的顶点个数是为七的，因此我们可以画出这张表，那第一行对应的就是啊它的步骤，由于它有七个顶点， v 一 到 v 七， 那这里我们先跟大家说一下求一个最短路径，他用到的算法思想是迪杰斯特拉算法，那根据迪杰斯特拉算法，我们可以给出两个集合，第一个集合里面的元素是我们已经求得最短路径的顶点，而第二个集合里面表示的是我们没有求得最短路径的一个顶点， 那一开始的时候，第一个集合里面肯定是为空的，第二个集合里面就是所有的顶点，那由于题目中要求的是从 v 到其余各顶点，因此我们从 v 先开始看起。那这里我们又要给出刚刚讲过的一个知识， 一个顶点到自身的距离是为零的，两个顶点不相邻的时候，他们的距离就是正无穷， 因此 v 一 到自身的距离就是为零。那其余的我们一开始规定为正无穷，那这个时候步骤一我们已经完成了，那接下来我们就要从这七个路径中找出最短的一个，那发现零是最小的， 它对应的顶点就是 v， 所以 我们求得第一个最短路径的顶点，也就是 v 一。 我们把 v 一 放到第一个集合里面去， 这个时候我们已经求到第一个最短路径顶点，也就是 v 一。 因此对于他的后续他的路径我们已经不需要再看了，用一条斜线把它划掉。刚刚我们求到了第一个顶点，也是 v 一， 我们从 v 一 出发来看一下这张图，那我发现跟 v 一 相邻的顶点就是 v 二、 v 三和 v 四。 我们首先来看一下 v 二，那发现 v 一 和 v 二的路径就是为三，我们要把三和这里的正无穷进行一个比较，路径小的放到这里，那发现三比较小，我们把三填到这里。 接下来我们看一下 v 三，那 v 一 和 v 三的路径是为七的，而七又是小于这里的正无穷，因此我们要把七填到这里。 那接下来看一下 v 四，那 v 四和 v 一 是相邻的路径是 v 五，而五是小于这里已经填写的正无穷，因此这里路径比较小的，也就是五填写在这里。而接下来 v 五、 v 六和 v 七和 v 一 是不相邻的， 因此它的值我们用正无穷来进行填写。那到这里步骤二我们已经完成了，接下来我们要进行一个判断了，那我发现在所有的路径中，三是最小的，它所对应的顶点就是 v 二， 那这个时候我们已经找到了第二个最短路径的顶点，也就是 v 二，我们把 v 二放在第一个集合里面去，而对于他后续的步骤我们也不用看了，我们用斜线依然划去，那刚刚我们求的最短路径顶点，也就是 v 二， 那在这张图中，我们从 v 二出发，那发现和 v 二相邻的顶点是 v 一、 v 三和 v 五， 而 v 一 我们已经求得了它的一个最短路径。那接下来我们先看 v 三，那发现 v 二和 v 三的路径是为二的， 那刚刚我们求得 v 一 和 v 二的最短路径是为三，那三加二就是 v 一 到 v 三的一个路径就是为五，而五是小于这里的七的， 因此它的路径比较小的就是五，我们把五填写在这里，那接下来我们再来看一下 v 五，它是跟 v 二相邻的，它的距离是为六的， 那刚刚我们求得 v 一 到 v 二的最短路径是为三，三加六的结果是为九，那这个时候我们求得了 v 一 到 v 五的一个距离， 跟刚刚的正无穷进行比较，发现九是小于正无穷的，因此把路径比较小的九填写在这里，那接下来对于 v 四、 v 六和 v 七，他是跟 v 二不相邻的，因此这里的距离就是正无穷。 那对于 v 四而言，刚刚球的路径是为五，五是小于正无穷的，因此把路径比较小的五填写在这里，那对于 v 六和 v 七而言，他依然是正无穷。 那到这里步骤三的路径我们已经写完了，我们来找最短的一个路径，我们发现五是最小的，而对于 v 三和 v 四都是为五的，我们先取 v 三，那这个时候我们已经找到了一个新的最短路径的顶点，也就是 v 三，我们把 v 三写到第一个集合里面去。 由于我们找到了 v 三，因此对于 v 三后续的路径我们也不需要看了，我们把后续的表格进行划掉。接下来我们来看一下 v 三， 在这张图中，跟 v 三相邻的顶点分别是 v 一、 v 二、 v 四和 v 五。由于 v 一 和 v 二的最短路径我们已经求得了，我们先来看一下 v 四。 v 三和 v 四的路径是为三的，那由于刚刚求得 v 一 到 v 三的最短路径是为五，那五加三就是为八的， 那对于步骤三中到 v 四的路径是为五，五是小于八的，因此路径比较小的就是五，我们把五填一下， 那接下来跟 v 三相邻的还有 v 五， v 三到 v 五的路径是为三，那同样的， v 一 到 v 三的最短路径是为五，五加三路径就是为八， 那这个时候我们要和刚刚的九进行一个比较，发现八是小于九的，因此把小的八填写在这里， 那由于 v 三跟 v 六、 v 七是不相邻的，因此它的路径依然是正无穷，所以我们依然填写正无穷，那在这里步骤四的路径我们已经求得了。 接下来我们找最短的一个，发现五是最小的，对应的顶点就是 v 四，那这个时候我们已经找到了一个新的最短路线的顶点，就是 v 四。我们把 v 四写到第一个集合里面去， 那由于找到了一个新的最短路线的顶点 v 四，因此对于 v 四后续的路径也不需要看，我们直接划掉。 接下来根据 v 三， v 六和 v 七是相邻的， 由于 v 一 v 三的最短路径我们已经求得了，接下来我们来看一下 v 六、 v 四和 v 六的路径是为二，那刚刚求的 v 一 到 v 四的最短路径是为五的，那五加二的结果就是为七， 那七要跟这里的正无穷进行比较，那发现是小于正无穷的，因此比较小的也就是为七。 接下来看一下 v 七，我们发现 v 四到 v 七的路径是为八，那八要跟五进行一个相加，最后结果就是十三，而十三又小于之前到 v 七的一个路径，也就是正无穷，因此把小的十三填写出来， 那由于 v 四跟 v 五是不相邻的，因此它的路径就是正无穷。那刚刚我们求得到 v 五的一个最短路径是为八，八是小于正无穷的，因此路径比较小的就是为八了。 那到这里步骤五的路径我们已经写完了，接下来我们要来找最短的一个路径，发现七是最小的，那七又对应的顶点是 v 六，那这个时候 v 六就是一个新的最短路径的顶点，我们把它写到第一个集合里面去。 同样的，对于 v 六，后续的路径也不需要看了，我们直接划掉，那接下来看一下 v 六。在这张图中， v 六和 v 四、 v 七是相邻的， v 四我们就来看一下 v 七。 v 六和 v 七的路径是为二， 那刚刚求得 v 一 到 v 六的最短路径是为七，七加二的结果就是九，那发现九是小于刚刚计算的十三，因此这里填写一个九。 而由于 v 六和 v 五是不相邻的，因此它的路径是为正无穷。跟刚刚的八进行比较，发现八是小于正无穷的，因此我们填写一个八，那到这里步骤六的路径我们已经写完了，那接下来找对的路径，发现八是小于九的，八对应的顶点就是 v 五， 所以我们把 v 五放到第一个集合里面去，同样的，我们也不需要看 v 五，后续的路径我们直接划掉。 接下来我们从 v 五出发，我们发现 v 五相邻的顶点 v 二和 v 七。由于 v 二的最短路径我们求得了，我们直接来看一下 v 七， v 五到 v 七的路径是为二，那刚刚求得 v 一 到 v 五的最短路径是为八， 八加二的结果是为十的，那十大于我们计算的九，因此比较小的是为九。我们把九填一下，那到这里步骤七就一个九，因此它对应的顶点 v 七就是最大路径。我们把 v 七放到第一个集合里面去， 那到这里七个顶点，所有的最短路径和距离我们已经求得了，那接下来跟大家总结一下。首先我们来写一下距离，根据这张表， v 零到自身的路径是为零， v 一 到 v 二的最短路径是为三， v 一 到 v 三的最短路径是为这里的五。同理，到 v 四的是五，到 v 五的是为这里的八，到 v 六的是这里的七，到 v 七的是这里的九。我们直接给到大家 接下来看一下最短路径。首先先来看一下 v 一 到 v 二，发现它的距离是为三。 从这张图中我们可以看出它的路径就是 v 一 到 v 二，我们把它写一下，那接下来看一下第二个 v 一 到 v 三，它的距离是为五的，那我们来看一下这张图，就是 v 一 到 v 二，再到 v 三，它的路径就是 v 一、 v 二、 v 三， 那其余的最短路径也同样如此，我们直接给到大家。那其实呢，大家可以在画这张表格的时候，同时写出最短路径和距离。下面有几道题目，大家自己做一下， 本课结束，谢谢大家。
206大学生期末考试小助手
04:53查看AI文稿AI文稿你错了， a 乘 b 不 等于 b 乘 a。 一 八四三年，爱尔兰数学家威廉哈密顿在桥上灵光一闪，刻下了震惊数学界的公式， a 乘 b 不 等于 b 乘 a。 他 把这一疯狂想法称为四元数。从小老师就在黑板上写，三乘二等于六，二乘三也等于六 乘法。交换律就像太阳升起落下一样，是现实世界最基础的真理。但哈密顿拿刀子在现实世界划开了一道血淋淋的缺口。他用一个公式向全人类证明，如果你把维度拉高一层，颠倒顺序，世界就会走向不一样的结局。这不是绕口令，这是刻在我们三维宇宙骨髓里的物理规 则。你不信，现在就可以用手里的手机做一个实验，把手机平放在桌面上，屏幕朝上，摄像头冲着前方。第一动作，把手机向右水平旋转九十度。 第二动作，把手机朝你自己的方向向前翻转九十度。看清楚手机现在的朝向，屏幕朝前，顶端朝右。现在把手机放回初时状态，重新来一遍，我们把顺序颠倒一下， 第一动作，先把手机朝你向前翻转九十度。第二动作，再把手机向右水平旋转九十度。再看一眼，你的手机，屏幕朝右，顶端朝下。先旋转再翻转不等于先翻转再旋转。在三维世界的空间旋转里，乘法交换率从一开始就不成 立。十九世纪顶尖的数学家们试图给这种三维旋转建立严密的计算公式，他们尝试用三个控制轴去描述物体的转， 结果遭遇了集体溃败。只要物体发生连续转动，公式里的坐标就会莫名其妙缠绕在一起，最 终算出除以零的错误。算式的崩塌，意味着人类对三维空间的理解出现了致命漏洞。数学上的死胡同很快在工程界演变成了真枪实弹的灾难。为了让飞机和飞船在空中自由调整姿态，人类发明了万向节。那是三个嵌套在一起的金属环， 分别控制前后俯仰、左右偏航和自身滚转。但这三个环里锁着一个危险的机械幽灵。当飞船剧烈转动， 导致外面的环和里面的环转到同一个平面时，灾难就来了。三个原本独立的旋转轴会重叠在一起，原本控制自由度的三个轴被强行扣成两个，其中一个维度的转向能力消失了。这就是工程学上令人闻风丧胆的万向节。思索自由度一旦丢失姿态，传感器就会陷入死 循环。导航计算机由于算不出角度，会直接挂掉死机。一九六九年，阿波罗十一号执行登月任务，飞船在距离月球表面只有几公里的高空，导航系统陡然触发死锁预警，警报声响彻船舱，飞船随时可能失去控制， 宇航员只能凭手感强行推杆手动避开那个致命的角度。差一点点，人类第一次登月，就会演变成坠毁在月球废墟里的铁块。 用三个数字，为什么无论如何也算不清？三维旋转真相令人绝望，因为三维空间本身的维度不够用。哈密顿为此苦苦思索了整整十三年，直到一八四三年十月十六日，在都柏林的金丝布里奇桥上，他突然顿悟，解开三维世界死结的唯一办法是向四维空间借一个， 他创造出了第四个坐标，一个实数加上三个虚数单位， i， j， k 写下了那个著名的方程， i 的 平方等于 j 的 平方等于 k 的 平方等于 i， j， k 等于负一，这就是四元数。在四维空间里，三维物体声音尴尬的旋转，变成了一个四维超球面上平滑滑过的轨迹。 就好比用手电筒把四维超球面上平滑划过的轨迹。就好比用手电筒把四维超球面上平滑划过的轨迹。就好比用手电筒里 i 乘以 j 等于 k， 但 j 乘以 i 却等于负 k， 方向直接反了过来。交换率虽然破灭了，但那个缠绕人类多年的万象节死锁被一刀斩断。四维几何的投影降维解开了三维物理的枷锁。但在那个年代，这种不按套路出牌的数学被主流学术界当做了精神 令人的狂想，没人能想象思维空间到底长什么样。四元素被数值高隔，在图书馆的角落里，被灰尘埋没了上百年。直到计算机时代的降临，工程师在开发三 d 游戏 cg 特效和工业机器人时，又一次撞上了万向节死锁。 游戏里的镜头突然乱翻，机器人的机械臂在半空卡死，人们不得不翻开尘封的历史，重新掏出哈密顿的四元数。四元数的计算十分轻便，只需要四个数字就能在算法里规避所有色素，实现无缝划线的旋转。 你在三 d 游戏里自由转动视角，无人机在空中高难度翻滚， vr 眼镜精准跟踪你的每一次念头。代码底层 都在以每秒成千上万次的高速运行着。一百八十年前桥上刻下的那个曾经被弃之如敨的算术怪胎，变成了支撑现代数字世界的底层基石。 当你滑动屏幕，在三维的虚拟世界里随心所欲转动视角时，你指尖触碰到的并不只是一块冷冰冰的屏幕，而是一百八十年前那位数学家在桥头引来的一缕高维威风。
145宇宙创生
08:23查看AI文稿AI文稿威廉罗文哈密顿，在数学与诗歌的交汇点追光的天才。一八四三年十月十六日黄昏，都柏林皇家运河的布鲁木桥上，三十八岁的威廉罗文哈密顿爵士正与妻子海伦散步。 这座桥是他每天往返于敦薪课天文台，他任皇家天文学家与城市之间的必经之路。 忽然，一个困扰他十多年的数学难题的解答，如同那道划破爱尔兰天空的闪电击中了他。他意识到自己长久以来试图构建的用于描述三维空间旋转的三元数体系，其真正核心并非三元，而应是四元。 在那一刻，他看到了时空结构的一种全新代数表述。一个数必须由四个部分构成，即一个实部和三个虚部，写作 a 加 by 加 c， j 加 d k。 更关键的是，他瞬间领悟到这种新数的乘法是不可交换的，即 i 乘以 g 不 等于 g 乘以 i。 这彻底颠覆了自人类有数学以来关于乘法的根本认知。他深恐这灵感的火花转瞬即逝，竟当场掏出小刀将这组具有历史意义的公式而平方等于 g， 平方等于 k， 平方等于等于负，一刻在了布鲁木桥的石栏上。 这个冲动的举动标志着一场数学革命的起点，其创造的四元数不仅为史量分析电机，更深远的预示了现代物理与代数学的未来。 一八零五年八月三日午夜，哈密顿出生于爱尔兰杜伯林，他的父亲是一名律师，母亲来自一个以智力著称的家庭。 他是一个令人震惊的神童，三岁能阅读英文，五岁可翻译拉丁文、希腊文和西伯来文。八岁掌握了意大利语和法语，十岁开始学习阿拉伯语和梵文， 十三岁时已能流利背诵波斯诗人哈菲兹的作品。他对数学的天赋同样惊人，少年时期便独立掌握了牛顿的自然哲学的数学原理和拉普拉斯的天体力学。然而，天才的童年并非只有光环。 他的父亲商业失败，家道中落，母亲在他十三岁时去世，他由一位严厉的叔父抚养。 或许是对现实世界的某种逃离，他对诗歌产生了终生的热爱，与英国浪漫主义诗人华兹华斯和科勒律制保持了长期的通信，甚至自视为一个未能完全绽放的诗人。 这种在经历逻辑与诗意想象之间的游走，成为他一生思维的特质。一八二三年， 哈密顿以空前绝后的成绩考入都柏林三一学员。入学时，主考官在报告上写道，这名年轻人，我还没说他是个男孩，他简直就是一个头等书学家。 他包揽了所有他能参加的考试科目第一名，包括古典文学和物理学。尚未毕业，他就因一篇关于几何光学的杰出论文，在一八二七年被破格任名为敦心克天文台的皇家天文学家以及三一学院的天文学教授。 这看似不可思议的认命源于他当时已做出的一项电机性工作，哈密顿光学。他将废码原理光走时间最短的路径，用全新的数学形式重铸，引入了特征函数概念，将光学系统视为一个整体来研究 其方程，可以同时决定光线的路径和波前的形状。这项工作预示了他一生最伟大的科学抱负，寻找一种能够统一描述各种物理现象的朴实而优美的数学形式。 哈密顿并未止步于光学，他敏睿地意识到，他那套处理光线的强大数学工具同样适用于所有遵循最小用量原理的历学系统。 于是，在十九世纪三十至四十年代，他完成了一项可与拉格朗日历学媲美的壮举哈密顿历学。他将描述系统状态的广义坐标和广义栋梁之于平等地位，构建了以他名字命名的哈密顿量，通常代表系统的总能量， 并用一组简洁对称的一节微分方程。哈密顿方程替代了拉格朗日的二阶方程。 这套形式不仅数学上更优美，其深刻的对称性更结实了能量守恒等根本定律。 他进一步将光学与力学之间的类比推向极致，发展出哈密顿雅克比理论，将力学问题转化为一个偏微分方程的求解。 这项工作在他生前未被完全理解，却在半个世纪后成为从经典历学通向量子历学的最重要桥梁。薛定鳌方程正是从哈密顿雅克比方程脱胎而来。 他曾写道，我毕生的目标是在理论动力学中完成，并尽我所能推广我所调用的我的方法。然而，哈密顿最负个人色彩，也最具争议的遗产仍是那个在桥上顿悟的思元素。 在接下来的二十二年里，他将生命的绝大部分热情都倾注于此，出版了数百页的未来是理解三维物理空间的关键。 的确，四元数解决了用数学优雅处理三维空间旋转的核心难题，其不可交换性。这一缺陷恰恰结实了自然界更深层的真理。然而，他的体系过于复杂和抽象，让许多同时代的科学家望而却步。 他的好友、数学家约翰格雷夫斯曾警告他，公众可能会将你的著作与西伯利亚猛犸象的骨骼归为一类，令人惊叹但毫无用处。 最终，后世数学家吉布斯和害维塞从四元数中剥离出更易使用的史量分析，成为了现代物理学和工程学的标准语言。 而四元术本身则在计算机、图形学、航空航天和量子力学中找到了无可替代的归宿。哈密顿的个人生活被悲剧和挣扎所萦绕。 他痴恋一位名叫凯泽林迪斯尼的女子魏国，随后在一种忧郁和冲动中娶了他的姐姐海伦。婚姻并不幸福。 他对四元树近乎偏执的专注，无休止的工作以及随之而来的大量饮酒损害了他的健康和生活。他变得不修边幅，书房堆满未发表的论文。 一八六五年九月二日，因严重的痛风并发症，威廉罗文哈密顿在敦新克逝世，享年六十岁。他被安葬在都柏林杰罗姆山公墓。 哈密顿的遗产是双重的，一方面，他是一位深邃的系统构建者。他的哈密顿历学是现代理论物理学的支柱，从广义相对论到场论，其形式无处不在。 他关于动力系统、光追特征函数的思想持续影响着基础物理学。 另一方面，他是一位大胆的叛逆者。四元数的发明勇敢的挑战了算术的基本法则，直接催生了现代抽象代数，解放了数学家对数和运算本质的思考， 他的一生完美全释了他自己那句充满哲理的名言。时间只有一个目的，就是将一切可能发生的事情分隔开来，防止他们同时发生，从而让他们都拥有自己的位置。 这位追光的爱尔兰天才，用他诗意的直觉和铁一般的逻辑，在时间的长河中为物理学和数学都刻下了属于他自己的不可磨灭的位置。
08:53查看AI文稿AI文稿今天咱们要聊一聊热方程是怎么描述自然界中那些不可逆的扩散现象，以及最终趋于平衡的过程。没错，这个话题很有意思，那我们就直接开始吧。好的，首先咱们要讲的就是世界观的切换，就是从可逆的世界切换到不可逆的世界。嗯，这个其实是一个 挺让人觉得神奇的事情，因为我们之前在学经典力学的时候，学的都是可逆的过程， 那这个热现象它的不可逆到底是怎么回事？其实在哈密顿历学里面啊，它的时间反延对称性就意味着一个粒子它正着走和倒着走的轨迹是一模一样的，所以一切过程都是可以还原的。嗯，但是一旦涉及到了热， 比如说一杯热水它自己凉了，或者说一个高温的物体它自己慢慢的降温，这个事情它就只能自发的往一个方向进行，对，它没有办法自己再变回去，这就是热现象的不可逆，也是热方程它要抓住的一个本质的东西。了解了， 对，本期我们跳出经典力学的可逆框架，走进不可逆的扩散世界，我们从物理直观出发，推导热方程的标准形式，可示化温度场的时空演化，拆解扩散的数学本质。最后看懂这组方程如何贯穿自然科学多个领域。 这么说热方程就是要研究这种自然理的单向变化。哈密顿力学描述的运动是完全可逆的，正反时间轨迹完全对称， 但热现象完全不同，热水自然变冷，高温自然降温，这个过程无法自发逆转，这种单向氧化的自然规律正是热方程所要精准刻画的核心本质。 说白了就是热从高温到低温，没办法自己反过来嘛，对吧？那我们下面要聊的就是热传导的物理直观。 其实我们都知道，就是热量会自发的从高温流向低温。那你能具体说一下这个过程是怎么让一个系统趋于平衡的吗？当然可以， 其实这个过程特别直观，就是只要物体内部有温度差，热量就会从温度高的地方流向温度低的地方。嗯，然后这个温差就会不断的减小，最后整个物体的温度就会变得处处一样。 对，这就是热平衡状态。那热方程其实就是把这个直观的过程用数学语言给它写下来。原来是这样，那核心公式推导就是一维的热方程， 它到底解释了温度的变化和空间分布之间有什么样的联系？是这样的一维热方程，它的形式特别简单，就是温度对时间的变化率，正比于温度对空间的二阶导数。 哦，你可以这样理解，就是温度分布如果越弯曲，或者说它的梯度差异越大，那这个热量扩散的速度就会越快，系统就会以更剧烈的方式去试图达到一个均匀的状态。哎，那这个三维热方程，它是怎么来描述更复杂的一些扩散现象呢？ 从一位到三位，其实就是引入了一个拉普拉斯算符。嗯，对，然后它就可以把这个扩散的规律描述到任意的空间维度里面。哦，所以它不光可以用来研究热量的传导，还可以用来研究浓度的扩散，信号的平滑，甚至是粒子的输运问题， 它是一个非常朴实的一个数学模型。说到这我有个问题，热方成本身是有无穷多阻解的，那为什么现实当中的这个热传导过程它只有一个结果呢？这是因为我们要确定一个实际的热传导的过程，不光是要知道热方成本身，还要知道初始条件和边界条件 哦，就是初始的温度分布，它决定了这个系统的起点，然后边界条件呢，就是说在这个区域的边缘发生了什么，它会限制这个温度场随时间的变化。 对，所以这两个东西加起来才能够让偏微分方程有唯一的解，也才能够和真实的现象对应上。懂了那高斯扩散核的可示化， 这个热方程的基础解它到底是长什么样子的？然后我们又是怎么用它来理解复杂的温度分布随时间的演化的？其实热方程的基础解就是高斯函数，也叫扩散核哦，然后任何一个初使的温度分布，你都可以把它想成是很多很多高斯风的叠加。 对，然后随着时间的流逝，每一个这样的风它都会慢慢的变宽、变平，最后整个温度场就会变得越来越均匀。 这个其实就是用非常形象的方式展现了热量是怎么逐步扩散开来的，太神奇了。哎，说到这个热场的形态啊，我想问问这个顺太场和稳太场到底有什么区别？ 然后他们跟热平衡之间又有什么联系呢？简单来说，顺太场就是温度还在随时间变化的一个状态，然后稳太场就是温度分布已经达到了一个平衡，不再随时间改变了。 哦，那这个时候你就会发现热方程里面对时间的偏导数这一项就变成零了，所以它就简化成了拉普拉斯方程。 对，拉普拉斯方程其实就是代表了系统已经进入了热平衡状态。明白了，那我们接下来就进入一个非常关键的数学性质，就是热方程解的唯一性。嗯，这个性质到底有多重要？然后他又是怎么跟我们现实世界中的这个确定性联系起来的呢？唯一性定律其实就是说 只要你确定了初始的温度分布以及边界上的温度是怎么规定的，那这个系统之后的变化，包括它最终会达到一个什么样的平衡态，都是完全被确定的，不会说出现两种不同的演化过程。对，所以这个其实是给我们 现实世界当中这种确定性的规律提供了一个非常坚实的数学基础。听起来很有意思啊，那负离子分解这个方法到底是怎么帮我们求解这方程呢？负离子分解的思路就是把你这个复杂的温度分布看成是很多很多不同频率的斜坡的叠加 哦，然后每一个斜坡他都会按照自己的规律指数衰减，你再把所有这些斜坡的运动加起来，就可以得到任意时刻整个温度场是怎么分布的。原来如此，那我们下面要讲的这个内容就是热方程的跨领域应用拓展， 就是这么一个方程，它是怎么在这么多看起来完全不相关的领域都能起到一个关键作用的？因为热方程它其实早就不只是用来研究热产脑了。嗯，它是整个自然界扩散现象的一个通用的语言， 比如说化学里面的浓度扩散，计算机图像里面的降噪，数学里面的布朗运动，还有工程里面的散热设计，他都可以用热方程来描述，他是这些看似完全不相关的现象背后共同的数学股价真的是很厉害啊。 然后我们要聊的是数学思想，嗯，就是热方程里面到底蕴涵了哪些深刻的数学思想，然后他又是怎么跟自然界的商增原理联系在了一起， 嗯，他用空间的二阶导数来表示这个差异的平滑，然后用时间的一阶导数来表示这个变化的方向。 哦，所以这就意味着他在数学上就体现了一种单向的演化，然后他跟商增原理是高度一致的，商增原理就是说自然界总是会朝着无序和平衡去发展的错，然后我们再对全篇内容做一个核心复盘，就是说我们再回头来看热方程， 它到底是通过哪些核心的要素成为了描述自然演化的一个非常朴实的树立模型。其实热方程它最厉害的地方就是它用一个时空的偏微分方程就把自然界的这种不可逆的扩散和平衡的过程给描述出来了， 然后再加上它的这个高斯和的解的形式，以及它对初始条件和边界条件的这种依赖性， 还有它的解的唯一性，这几个东西加起来就让它成为了一个几乎可以应用到所有涉及演化的科学领域的一个基本框架。热方程的求解和演化本质上是函数的叠加，于你和 那这个背后其实就离不开一种特殊的抽象空间，也就是我们下期要讲的希尔伯特空间。对，这个希尔伯特空间到底有多重要？ 他在现代数学和物理里面到底扮演了一个什么样的角色？希尔伯特空间其实是很多现代数学和物理的基础。 哦，你想啊，从经典力学的象空间到热方程的这个函数的叠加，再到量子力学和信号处理，其实他们都离不开希尔伯特空间。 嗯，它是一个抽象的舞台，所有的这些高级的树立体系都是在这个舞台上面展开的，所以它是一个非常非常核心的概念。好的，今天我们从热传导这个现象出发， 然后一路聊到了热方程的数学结构，它的物理解释，以及它在各种科学领域里面意想不到的应用。最后我们还提到了这个方程是如何结识自然界不可逆的演化的本质的。行，那这期节目咱们就到这里了，感谢大家的收听，咱们下次再见，拜拜。拜拜。
106本体
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