等差数列前n项和性质推导过程
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16:31查看AI文稿AI文稿好，各位同学，大家好，我是数学张老师，这节课呢，张老师要给大家推出一个新的知识点，叫做等差数列的前影像和性质。对于等差数列这一部分来讲，他是我们高考的重点内容，当然有一些提醒他也是难点。你比如说张老师接下来要讲的等差数列的前影像和性质， 那么对于等差数里的 sn， 我们除了要掌握其最基本的攻势，还要熟练的去掌握与其相关的一些性质，那么这些性质如果你能掌握这一类提醒出来可以说非常简单，那么你掌握不了的话，这就是难题。 所以接下来希望同学们能够认真观看招式这一段讲解，如果看完了，那么这一类与 s、 n 相关的性质的题型，你一定能够非常轻松的解答。那么接下来我们看一下我要讲的第一个性质是什么性质呢？ 就是 snbn 仍然是等差数列。什么意思？他是这样的，哎，如果一个数列 an 他是等差数列，那么他的形象和 sn 和 n 的比值会构造成一个新的等差数列啊，就是 snbn 仍然是等差数列， 那么这个新的等差数列，他的手相是与 a n 的首相是相同的，他的公差是与等差数列 a n 公差的二分之一。 好，那么这就是我今天要给大家讲的等差数列前恩相合的第一个性质。那么在推倒之前， 或者当时要给大家证明这个性质为啥成立之前，我们先回顾一下等差数列的一个相关知识点，或者说等差数列的基本公式，它的通向公式是 an 等于 a 加上 n 解一倍的 d， 整理一下，它可以写成 dn 加上 a 解 d， 而我们知道 dn 加上 a 解 d， 它可以看作是一个关于 n 的依次函数 啊，一次函数，那也就是意味着我们知道这样理解 an 可以看作是 an 加 b， a， n 加 b， 也就是等差数列，它的通向公式本质上是关于 n 的一次函数。 那么什么意思呢？也就是说，当我们遇到等差数列，或者当我们看到一个数列，它的通向公式是关于 n 的一次函数，或者一次是，那么我们就可以明确的确定这个数列一定是等差数列， 这是等差数列的通向公式与依次函数的关系。当然我们要回顾的第二个知识点就是等差数列的形象和 a 加 a， n 乘以 n 比上一个二， 再加上或者等于 na 一加上二分之 n 倍的 n 解异地，这是等差数里的 形象和公式。那么接下来张老师要把等差数列的形象和公式稍作简单的一个化解，或者说把它进行重新整理一下，我们可以得到这个等差数列的形象和公式，它能够整理成二分之第 n 方 加上二分之二 a， 一解必备的。嗯？什么意思？ 那么也就是说，这个时候你会发现这个等差数里的形象和公式，它能够看成一个是关于 n 的二次函数啊。 a n 方加上一个 b， n 关于 n 的二次函数，而这个关于 n 的二次函数，他是没有长数项的，无长数项。 ok， 所以接下来要求同学们在张老师回顾的这一部分知识点 中间，一定要记住等差数列的前向通向公式，它可以整理成关于 n 的一次函数，而等差数列的前向和它可以整理成关于 n 的二次函数，这个二次函数没有长数项。 好。记住这一点之后，接下来我们看一下为什么等差数列的 sn 以上 n 仍然成等差数列。接下来，然后是换一种颜色比，给大家推倒一下， aan 是一个等差数领，那么我们知道 aan 这个通向公式，它就可以写成关于 n 的依次式， 对不对？或者我们以后出来，只要一个数列，他的通向光是是官员的一次式，那么他一定是等差数列。当然这个需要我们去证明，但是这也是我们约定俗称的一种常识。 好，那接下来我们看一下 sn 是 an 的形象和 sn 可以写成二分之 dn 方加上二分之 二 a 一姐 db 的 n， 当然它可以整理成 an 方加 bn。 当然这里面的通向公式里面的 ab 和形象和里面的 ab 是两个 ab 啊，它不是一个 ab。 那么接下来我们看一下 snb 上 n 呢？它实际上就可以写成 an 方加 bn， b 以上一个 n 约掉以后，它就等于 a， n 加 b。 那我们观察一下 snbn， sn 比上 n， 他就可以最后整理成关于 n 的依次式，或者说关于 n 的依次函数。 而我们知道只有等差数列的通向公式才能够写成关于 n 的一次函数，所以我就可以得到 sn 比 n 这个数列是等差数列， 是等差数点。那么接下来我们需要对这个等差数列做进一步的证明。我们知道 snbn 等于 an 加 b， 那么怎么去证明他是等差数点呢？我们写出 sn 加一，比上 n 加一，他就等于 a 倍的 n 加一加 b， 那么我们要证明他是等差数列，我们是用 n 加一项，再解去第 n 项，如果他是一个长数，说明他是等差数列，那我 这接下来解一下，它就等于 ab 的 n 加一加 b， 解 an 解 b， 它就等于 an 加 a 加 b， 解 an 解 b 就等于 a 啊，就等于 a， 而 a， 我们知道他等于是多少了。 a 实际上就相当于这这个二分之地 二分之地二，二分之地是一个长数呀，同学们，所以我们就证明了 sn 加一减去 sn， 它是一个长数，所以 sn 比上一个 n 是等差数零， 他是以谁为首相呢？是以 s 一比一是他的第一项 s 一实际上就是 a， 一比一仍然是 a 一，以 a 为首相， 对吧，以谁为公差呢？以二分之地，这个地一定要注意了，他是约等差数列 an 的公差以二分之地为公差的等差数列。 那么也就是说，我们通过这样的一个推倒，通过这样的一个证明，我们得到了啊， 等差数列 sn 比上他对应的相 n 仍然成等差数列，他的手相仍然是 a 一，他的公差是约等差数列 an 的二分之一。好，这就是我们推倒证明的过程。 那么这个对于同学们来讲，需要在思维结构上有一个基本的认识，那 sn 比上 n， 它是结构性的一种。啥呀？竖列，那这个竖列 第几项？ s， 你比如说 s 十三比十三，那就是它的第十三项结构性的数列。 s 十五比十五，那就是它的第十五项 s 两切比两切，那就是这个数列的 d 两切向 结构性的树立，所以同学们一定要从结构上首先接纳他，从思想上首先接纳爱他是一个结构性的树立。 ok， 好，这就是我们对于这个性质的一个基本推倒和证明的过程。需要同学们掌握的就是等差数列的通向公式是可以看作关于 n 的一次函数，等差数列的前向和可以看作关于 n 的二次函数。 ok， 那么推到完以后，接下来张老师就要带着同学们做一个简单的应用啊。你比如说看 下这道题，说已知等差数列 a n， 他的首相 a 等于负二零一八，他的情像和为 s n 说 s 十二减 s， s 十二比十二减去 s 十比十等于二，求 s 二零二零。那么这道题很明显是考我们等差数列 s、 n、 b， n 仍是啥呀？仍是等插手的， 仍是等查数列这个性质啊，靠这个性质。 那么接下来我们看一下，我们思考一下， s 十二比十二减去 s 十比上十 等于二，他想表达一是什么意思呢？ s 十二比十二实际上是 sn 比硬的第多少项？第十二项 结构性熟练。 s 十比十实际上是 snb 的第几项？第十项。 那么我们知道第十二项解去第十项，实际上是 snbn 这个数列的两个公叉，所以我设 snbn 这个数列 竖列的弓叉为地， 所以我就可以得到 s 十三比 s 十二比十二减去 s 十比十就等于二 d， 对吧？第十二项减第十项，那不就是两个公叉，而二 d 等于二，所以 d 就等于一。那接下来我们要求的是 s 二零二零，所以我们一定要构造这个数列，刚才张老师已经说了，他是一个结构性的数列， s 二零二零比上二零二零，实际上可以看作是他的第一项，加上多少个 d 呢？根据等差数列的通向公式，加上二零一九个 d， 对吧？第两千零二十项等于第一项加二零一九。第，而 s 一实际上就是 a， 前一项就是第一项，它是负二零一八， b 以上一加上二零一九， d 是一嘛，对吧？所以 s 二零二零比上二零二零，实际上就等于负二零一八加二零一九， 所以我就可以得到 s s 二零 零二零就等于一乘以上一个二零二零，我们把这个二零二零乘过去就 ok 了。所以最后的答案是二零二零。 这道题正确答案应该选 c， ok， 接单做一下总结， s 十二 b 十二是第十二项， s 十比十是第十项，所以第十二项解决，第十项就是这个数列，哪个数列呢？ sn 比 n 这个数列的两个攻差，当然我们需要把它射出来， 那么两个公差等于二，那一公差就等于一，所以 s 二零二零比二零二零相当于是这个数列的第二零二零项，他相当于是等于第一项加上二零一九个公差，所以最后答案就是二零二零。 ok， 是第一道练习题，接下来我们再看一下第二道。讲完第一道，哎，我们再看一下练习一，相对来说就简单一些了。 ok， 那么接下来我们看一下 说等差数列， ansn 为前向和 s 二零二零等于二零二零， s 二零二零减 sb 二零二零解决 s 二十 b 二十等于两千，那么很显然，我们可以设 snbn， 它是等差数列的公差 d 等于几了啊？公差为地啊，公差为地啊，公差为地。那么这个时候 s 二零二零比上二零二零，实际上就是 sn 比硬的第二两千零二十项，再减去 s 二十比二十，实际上 上是这个数列的第二十项，他就等于多少个公差呢？第两千零二十项减去第二十项，等于两千个公差，而两千个公差等于两千，所以第就等于一， 这个没有问题。那么接下来我们再看一下，让我们去求 a 一呢。当然，我们需要以致的是 s 二零二零仍然需要构造这种结构性的方呃数点 s 二零二零比上二零二零，就等于 s 一比上一加上 二零一九个 d， 对不对？ s 二零二零就等于二零二零，再比上二零二零就等于一，而 s 一，我们就知道他就是 a 一 a 一比一再加上二零一九个 d， 所以我们就到就可以得到 一等于 a 一加二零一九，所以 a 一等于负二零一八。 ok， 所以这道题正确答应应该取四 d。 好，那么接下来我们再看一下针对训练。二，道理实际上一样啊，道理实际上一样，我们只要能够理解或者说知道等差数列 snbn， 对吧？等差数列 snbn， 所以我们射它的弓叉为低， 那我就可以得到 s 二零一二比上二零一二，这是这个数列的第二零一二项，减去 s 十比上十是这个数列的第十项， 他就等于多少个公差呢？等于二零零二个公差是不二零零二个公差，而二零零二个公差等于二零零二，所以这个数列的公差就等于一 对不对，而 s 让我们去求的是 s 二零一六，所以我们先构造 s 二零一六比上二零一六是这个数列的第二零一六项，它即实际上可以写成 s 一比一，加上二零一五个红茶， 对不对？好？ s 一实际上就是 a 一吗？负二零一四比一，再加上二零一五就等于一， 所以我就可以得到 s 二零一六，就等于把这个二零一六乘过来二零一六。所以这道题正确答案应该是， 好。这就是张老师给大家讲的等差数列形象和这个第一个性质非常重要啊，而且如果大家掌握了，呃，理解和掌握了张老师的推倒和证明过程， 特别是对于等差数列的通向公式和形象和它的本质是一次函数和二次函数以后，那么这个性质可以说非常容易理解， 那么他的运用也相对来说比较简单。 ok， 这就是张老师这节课要给大家讲的内容啊，如果张老师的视频对于你高中数学的学习有所帮助，希望大家多多转发啊，多多点赞。好，这节课咱们就讲到这里。
185沉浸式学数学
17:06查看AI文稿AI文稿好，各位同学，大家好，我是数学张老师。这节课我们继续学习等差数列情向和性质。二、上一节课我们学习的等差数列情向和性质。一是 s、 n、 b、 n 会构造出一个新的等差数列，那么这个等差数列是以 s 一比一为首相 以二分之一地对于这个小地是原等差数列的地为公差的一个等差数列。 那么这节课我们将继续学习等差数列形象和的第二个非常重要的性质，也是非常经常会考的一个性质啊。常考的考点 sns 二 n 减去 sns 三 ngs 二 ns 四 n gs 三 ns 五 ngs 四 ns 六 ngs 五 n 等等等等，仍然形成一个等差数列，那么这个等差数列的公差是 n 方 d， 这是等差 拉树列前上河的第二个非常重要的性质。那么接下来张老师要带着大家把他的推倒过程简单的讲解，然后我们再带着带着大家做一个基本的针对练习。 首先我们看一下为什么 sn 比上 sns 二 ngsns 三， ngs 二， ns 四 ngs 三仍然成等差数列呢？首先我们来观察一下，或者首先我们来回顾一下， sn 表达的是数列的形象和 sn， 他表达的是数列的形象和那表达是 a 一加 a， 二加 a 三 加等等等等，一直加到 ans 二 n， 它表达的是且二 n 相合。那么这个且二 n 相合怎么写呢？ 是 a 加 a， 二加 a， 三加等等等等。 an 再加 an 加一， 再加 an 加二，再加 an 加三等等等等，一直加到 an 加 n， 实际上就是 a 二 n， 那么接下来 s 三 n 怎么表达呢？他实际上仍然是 a 一加上 a 二加上 a 三加等等等等，加上 an， 再加上 a n 加一，加 a n 加二，加 a n 加三，加上等等等等。 a 二 再加 a 二 n 加一，加 a 二 n 加二，加 a 二 n 加三等等等等，加到 a 二 n 加 n， 实际上就是 a 三 n， ok， 这就是我们对 sns 二 ns 三 n 的一个基本的描写。那么接下来我们看一下它的过程，推到过程，我们知道 sn 刚才我已经写出来了， sn 就等于 a 一加 a 二加 a 三 等等等等，加到 a n， 对吧？那我们再算一下， s 二 n 减去 sn 等于多少呢？ s 二 n 是这一项，这一串 sn 是这一串一解，你会发现把这一部分全部解完了， 对应的是不是全部解完了，对吧？所以他就剩下后面这一部分了，他剩下多少了？剩下 an 加一， 加上 a n 加二，加上 a n， 把下角标往上写一写， a n 加三，加上 a n 加四，等等等等，一直加到 a 二 n， a n 加二，加 an 加三等等等等，加到 a 二 n， 对不对？那我们接下来再看一下 s 三 n 减 s 二 n 呢？ 你会发现 s 三 n 和 s 二 n 一解，把这一部分对应的全部解完了， 那么就留下最后这一部分，所以他就剩下 s 二 n 加一，加上 s 呃 a 二 n 加一， a 二 n 加二， 加上 a 二 n 加三，再等等等等，一直加到 a 三 n， 对不对？好，这就形成了我们要讲的 sns 二 ngsns 三 ngs 二 n 啊，我们看一下这个时候为什么说他是等差仍然是等差 处理呢？我把这个地方重写一下， a 一加上 a 二，加上 a 三加等等等等，加到 an 来，我们做一个简单的证明啊，简单的证明，为什么 sns 二 ngs 三 snsnsngsngs 三 ns 五 ngs 等等等等是不是都能往下写？ 那么我们用前三项啊，前三项就可以证明，那么这个时候我们需要注意的是， sn 是第一项了， 如果设这个数列为新数列的新等差数列，他实际上是第一项， s 二 n 减 s， n 是第二项， s 三 n 减 s 二， n 是新数列的第三项，对不对？那么 接下来我们看一下简单的推倒和证明一下，为什么他仍然成等差数列。我们注意一下，既然是等差数列，这个 b 二解 b 一， 就应该等于公差等于 b 三减 b 二，对不对？整理一下，实际上我们就可以得到，是二倍的 b 二等于 b 一加 b 三，说白了，这就是一个等差中上的性质， 对不对？也就是说，我们接下来要用等差中向来证明一下。那么接下来我们看一下， 既然二倍的 b 二等于 b 一加 b 三，为什么二倍的 b 二等于 b 一加 b 三呢？因为 a 一加上 a 二， n 加一，就等于二倍的 a n 加一， 对吧？ a 二加上 a 二加二，就等于二倍的 an 加二， a 三加上 a 二， n 加三，就等于二倍的 n 加三，等等。 an 加上 a 三， n 就等于二倍的 a 二， 那么这样可能有点抽象，接下来我们用弓叉这个角度给大家简单说明， an 加一到 a 加上多少个 d 加上 nn 个 d 就等于 an 加一， a 二加上 n 个 d 也等于 a n 加一， a 三加上 n， d 也等于 a n 加三，对吧？ a n 加上 n， d 也等于 a 二 n， 所以等等等等中间有多少个 n d 呢？也就是说他们的对应相之间都有 n 个 d， 对不对？所以我就可以得到 s 二 n 解 s n， 这是第二项。再解去第一项，实际上有多少个 d 呢？有 n 个 d， n 倍的 n d 相加，也就是说有 n 个 n， d 相加，最后就是 n 方 d， 对吧？那这是不就是相当于是 b 二减 b 一，等于 n 方底？那么接下来我们再看一下，从 a n 加一到 a 二， n 加一，有多少个 d 有 n 个 d？ 从 a n 加二到 a 二， n 加二，有多少个 d？ 有 n 个 d， a n 加三到 a 二， n 加三，有多少个 d， n 个 d， 等等等等 n 个 d， 所以我就可以得到 s 三 n 减 s 二， 再减去 s 二， n 减 sn， 就等于多少个 d 了。每一项对应都有一个 n d 有 n 个 n d， 实际上它就是 n 方 d， 那么这是不是就相当于是 b 三减去 b 二等于 n 方底， 对不对？那也就意味着，哎， b 二减 b 一，等于 b 三减 b 二，所以二 b 二是不就等于 b 一加 b 三？ 这不就是通过等差中象的性质，他都等于 n 方 d 啊，都等于 n 方 d， 这不就出来了？哎，我们就正出来了。所以后面所有的像都有这样的规律，都有这样的规律。所以接下来我就可以得到重要的、非常重要的 一个结论。啥结论了？ sns 二 n 减 sn， 这是新数列的第一项。第一，这是新邓叉数列的第二项。第二， s 三 n 减 s 二 n， 这是新邓叉数列的第三项。第三， s 四 n 解剧 s 三 n 新等差数列的第四项， b 四，等等等等，它仍然是等差数列， 仍然是呢，而且它的公差是 n 方 d 东方地，对不对？好，接下来我们看一下他一个简单的应用啊。应用 好，我们先看第一个，他说一个等差数列的情，像 gm 相合为 s 三十接二 m 相合为一百， 茄三 m 上的核是多少？很简单，那我们既然是告诉我们茄 m 项的核，那我就可以写成 sm 等于三十， s 二 m 等于多少？等于一百，那我们去求 s 三 m 等于多少？很简单，我们就要构造这样的一个等差数列， 那么 sm 实际上是心等差数列的第一项，等于三十， s 二 m 减 sm 是心等差数列的第二项，等于一百减三十等于七十，那 s 三 m 减去 s 二 m 实际上是心等差数列的第三项， 根据，根据前两项就能确定他的公差应该是多少了，四十，对吧？这是一百一， 对不对？所以我就可以得到 s 三 m 就等于一百一，加上 s 二 m 就等于一百一，加上一百就等于二百一，所以这道题正确答案是 c， 很简单，接下来我们再看一下下，一道 说已知等差数列 a、 n 的结应相合为 sns 十是十， s 二十等于三十， 让我们去求 s 三十，对吧？那么我们构造上面那个结构， s 十实际上是第一项， s 二十减 s 十是第二项，等于三十，减十等于二十，那么 s 三十减去 s 二十实际上是心等差数的第三项。那么根据其两项，我们知道公差应该等于几呢？等于十，那这个地方应该等于三十， 这两公叉是不是也是十？所以我就可以得到啊， s 三十几等于三十，加上 s 二十，而他就等于三十，加三十等于多少？六十。 ok， 所以这道题正确答案是六十。 好，接下来我们再看一下下一道， 这个就不是刚才那种考法，他告诉我们是笔直关系， s 九， bs 六啊啊， bs 三等于六， s 十二， bs 六等于多少？那么暴力是一样的，我们构造前面那种结构，首先我们可以知道， s 三相当于是第一项 s 六减去 s 三是相当于 s 二 m 减去 sm。 第二项 s 九减 s 六是第三项 s 三 m 减去 s 二 m s 四十二减去 s 九是相当于是 s m 减去 s 三 m。 那么这个是心等差数列的第一项，心等差数列。第二项，心等差数列的第三项， 心等差数列的第四行。 ok， 那么接下来我们看一下一只提干里面告诉我们的结论是啥呢？ s 九等于六倍的 s 三，对不对？ 好，那接下来我们用一个非常重要的性质上了 b 一、 b 二、 b 三这三项是不是有等差中向的性质？哎，又，因为 b 二倍的 b 二是不是应该等于 b 一加 b 三， 所以我就可以得到二倍的 s 六减 s 三就等于 s 三，加上 s 九减 s 六， 对吧？好，那我带进来二倍的 s 六减去二倍的 s 三就等于 s 三加上 s 九， s 九等于六倍的 s 三，所以我这就写成六倍的 s 三，再减 s 六。 我们整理一下， s 三加六倍 s 三，七倍的 s 移过来是负九倍的 s， 负九倍的 s 三把它移过来是负 三倍的 s 六，所以 s 六就等于三倍的 s 三。这是我们通过 bb 二 b 三得到一个非常重要的结论，或者等量关系， s 六等于三倍的 s 三， s 九等于六倍的 s 三。那么接下来我们看一下，再用一次等差中向的性质， 我们得到 b 二、 b 三、 b 四，是不是仍然成等差中项？又因为二倍的 b 三等于 b 二加 b 四，所以我就可以得到 s 六减 s 三， 二倍的 s 九减 s 六就等于 s 六减 s 三，加上 s 十二减 s 九，对不对？ 那我们乘进去 s 九等于六倍的 s 三，他就是二倍的六倍的 s 三， s 六等于三倍的 s 三，减去三倍的 s 三 等于三倍的 s 三减 s 三，再加上 s 十二减 s 九， s 九等于六倍的 s 三。 ok， 那么这个时候我们就把它全部画成了 s 十二和 s 三的关系了。六倍 s 三减三倍 s 三等于三倍 s， 它就等于六倍的 s 三， 这边是三倍 s 三借三倍 s 三是两倍的 s 三，两倍 s 三借就等于负四倍的 s 三，就等于再加上 s 十二，移过去就是十倍的 s 三等于 s 十二，对吧？但是他让我 我表达的是 s 十二和 s 六之间的比值关系，所以我把这个 s 三再换成 s 六就行了。 s 三等于 三分之一倍的 s 六，因为 s 六等于三倍的 s 三，所以 s 三等于三分之一倍的 s 六，所以十乘以上三分之一倍的 s 六就等于 s 十二， 所以我就可以得到三分之十倍的 s 六就等于 s 十二。那么最后的结论就出来了， s 十二比上 s 六就等于三分之十， 所以这道题正确答案是四 d， ok， 好，那么接下来我们回顾一下刚才我们所讲的内容。简单点来讲，就是等差数列的前 n 像和前二 n 像解前 n 像前三 n 像解前二 n 像前四 n 像解前 s 三 n 项仍然成等差数列，对吧？ 那么这个结论实际上相对来说比较好记一些，需要大家认真把它记住。那么这就是我们这节课要讲的东西。如果张老师的视频或者张老师的讲解对你的高中数学学习有所帮助，希望同学们多多关，多多关注啊，多多转发，把这些视频转发给 你需要的同其他同学。 ok， 好，这节课咱们就讲到这里。
163沉浸式学数学
14:10查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学大家好，咱们今天啊，来看一下等差数的前 n 项和的一些相关的性质，或者还有他的应用。 那么之前咱们已经学了等差数列的通项以及一些相关的性质，紧接着呢，又学了一个等差数列的前向和，那么我们来回顾一下等差数列的前恩向和，咱们怎么计算呢？ 首先啊，我们要知道这个等差数列他要有一个手相把手相继承是 a， 公叉呢，继承是 d， 那么他的前向和就是一个关于 a 和 d 或者呢关于 a 和通向的一个 表达式，总共呢有两个公式，第一个 sn 可以等于 二分之 n 乘 a 一加 a n 这个公式呢？哎，就是等差税的求和公式，他是有关谁的呀？有关 首项还有呢末项以及项数之间的一个关系式。那么如果说我知道一个数列的首项还有呢末项以及这个数列的项数的话，我就能求出这个数列的前 n 项和， 那么在这个后面我们又推倒了一个等差数列的前向和的公式，哎，他是有关谁的呢？有关 a 一和 d 的，因为有些题里面末项不确定，那这个时候我就需要他的公差了，那么 icu 等什么呢？ 又等于 n 倍的 a 加二分之 n 乘 n 减一倍的 d， 这又是一个等 差数的前 n 相合的一个公式，哎，他就是有关首相公差，还有像数以及前 n 相合的一个关系式。那么这两个呢 啊，也说不上是哪个比较好，哪个不好好或者不好呀，在于题里面这个条件是怎么出的啊？给了什么咱们用哪个条件 啊？这是等差数的前恩项核，那么我们现在来看一下啊，这个等差数列他有哪些性质？咱们现在说的性质指的是他的前恩项核的性质，那么我们重点呢，说这么几个就可以，第一个啊， 就是这个前 n 相合呀，他可以写成关于 n 的一个二次函数的形式， 也就是说把这个东西我给他整理一下，他就能拆成一个这样的表达式， 他就是二分之 d 的 n 方加上个 a， 减去个二分之 d 的 n， 那么这个式子是一个什么样的式子呢？哎，他是关于 n 的一个二次行的一个函数，你看一下，他是一个关于 n 的二次行的一个函数， 那么为啥不是是二次函数呢？因为这个 d 如果 d 等于零了之后啊，哎，他就不是一个二次函数了。如果说 d 不等于零，那么他一定是关于 n 的一个二次函数，并且他还有个特点什么呢？没有长出现，并且呢没有长出现。 那么这个东西也可以作为一个等差数的前向和的一个验证。就是说，如果说我得出一个等差数的前向和，发现他是一个二参数，但是呢，他后面有个长数，那么要么就是个提出错了，要么就 是你解错了。但凡是等长数列解完，这个前向和的表达是一定是关于 n 的一个二次行的函数，并且没有长竖向。那么反过来，如果说 一个数列 a n， 他的前向和给了一个 a n 方加 b n 的形式，那么我们也可以判断出来这个数列啊，他所对的这个数列 a n 啊，是什么呢？一定是一个 等差数列，那么这是在咱们小题的选择或填空或者判断里面，咱们可以做这个判断。大题里面呢，你这么写的话，还可能是啊，过程上可能太简单，你还得证明一下。那么小题里面，我们可以立马就能判断出来， a、 n 一定是一个等差数列， 公差是多少呢？你看一下， a 就是二分之 d 啊，那么 d 不就是二 a 吗？以谁为公差呀？以二 a， 以这个二 a 为公差， 那么首相多少呢？首相，是啊，我们把这个 sn 里边 n 换成一，就是 s 一 s 一指的就是前一项和呀，不就是 a 本身吗？所以他是以谁为首相啊？以 a 加 b 为首相， 是以他为工差，以他为手相的本踏实力。 这是等差数列的一个啊，比较重要的一个性质，我们可以拿它来做一个判断。那么说到这个前向和啊，我们顺便把这个通向说一下，你看数列的等差数的通向等于多少？等于 a 加上个 n 减一倍的， 他又等于 dn 加上个 a 一减 d。 哎，发现这个等差税的通项，他也是一个关于 n 的一个一次函数，你看这个 dn 加什么什么？这是一次项，这长数项吗？他也是关于 n 的一个一次型的一个函数。 为什么说一字型呢？因为这个地有可能取零啊，低要取零牌，他就是一个常数列了， 长数列他也是等差数列，对不对啊？而这是等差数的通向的一个性质，我们也可以作为一个判断。就说如果说一个等差数列，让你求他的通向，求完东西啊，一定是关于 n 的一个一次性的函数。 那么反过来，如果说给了一个通向 a， n 等于加上 a 倍的 n 加上个 b， 那么我们也可以根据他的通向反过来判断这个数列，他就是一个等差数列。 a 就是这面 d 以 a 为首啊， a 为公叉，以谁为首相呢？你这把 n 换成 e 吗？以 a 加 b 为首相，还是以 a 加 b， 以 a 加 b 为首相的等差数列。 那么这个东西也是咱们一个判断等差税的一个重要的一个依据。那么第二点咱们之前上节课提过， 就是有关一个片段和的一个性质。等差数列的一个片段和哎指的什么意思啊？指的是 sk， 这是前 k 项和完之后是后 k 项，怎么表示呢啊？ s 二 k 减去个 k， 这表示的是啊后面的 k 项的和。那么第三个 k 项的和，是啊， s 三 k 减去个 s 二 k， 那么第四个就是啊 s 四 k 减去 s 个三 k 这样的一个新数列，我们组成一个新数列。你看这是第一项，这是第二项，第三项后面是四五六项 这样的一个片段和的一个新数列啊，他依旧是一个等差数列。比如说 s 四，这就是 s 八，减去啊 s 四，这就是 s 十二减去一个 s 八，他是一个等差数列，这表明的是前四项的和， 这表明的是前八项的和。前八项刨去个前四项，那剩下的是后面的四五六七哎，五六七八项的和，这是九十 十二层的和。他们组成的一个新数列呢？依旧是一个等差数列。那么现在我们看一个例题， 已知数列的减小来三等于 n 方加二 n， 求这个数的通向公式。哎，这道题你看观察一下，刚才咱们刚说了一个信纸 德行者，如果一个数列的前 n 相合的表达式是关于 n 的一个二次行的函数 a n 方加 b n 的形式，那么我们就可以推断出这个数列一定是一个等差数列。所以如果说这个第一题啊，他是个选择或填空题，咱们可以直接给出他答案，他的手相，手相是 a a e 就等于 s， 一等于一，加二等于三，还手相是三，公差是多少？ 公差等于二 a， 因为二分之 d 是这里边的 a， 那么 d 就是里边的二 a， 这里边 a 是多少？ a 十一， d 就是二二。那么首相知道公差之道，通下，我就可以立马写出来， a 圆等于 a， 一 加上个 n 减一倍的 d 就等于二 n 加一，这就是第一问的这个通项公式。这道题 是个大题，他给了个 sn 选大题的话，你再这么写，那就是有点不严谨了，因为你还不知道他是等差呀，对不对我们这个结论 呢？哎，这是咱们后面总结出的一个节奏，你得证明一下。怎么证明呢？我再试一下啊，换中结法。哎，这个时候啊，有关 sn 和 a 就有一个关系式，而且这个关系是在任何一个数列里面都成立的一关系。是，注意啊，这个性质， 这个性质不是等差数的前三和的性质，他是任何一个数列的任何一个数列，他的 a n 与 sn 的一个关系是，我们来探讨一下，那么他当然在等差处里面也是用，对不对？我们看一下 sn 等于什么 sn 啊，指的是 前 n 项和又是从 a 一加 a 二一直加到 a n 吗？啊，最后一项是 a n， 那么他的前一项必然是 a n 减一了， 这是前项和。那么前八项和怎么表示呢？就是 a 加 a 二，一直加到 a 八，前十项就是 a 十。我问的是前 n 减一项和是多少？前 n 减一项不就是从 a 一直加到 a n 减一吗？这一串， 哎，我发现你看前 n 像和和这个前 n 像和他们之间有什么共同联系啊？他们共有的是这些东西， 但是呢， sn 比下面东西多出了一个 a n 就是 dn 项，我让 sn 减去个 sn 减一，减完之后剩下的东西不就是啊 dn 项吗？ 那么我就能得出一个低 n 项，也就是咱们通项与前 n 项和的一个关系式， 就等于 sn 减去个 sn 减一。但是这个东西啊，他成立有一个小前提，你看一下，还是同样东西啊， sn 减一， 那就是前 n 减一项和假定 n 取一的时候，你看一下，假定 n 取一，不就是 s 零的吗？ s 一指的是前一项和就是 a 一本身了。 s 二指的是 a 一加 a 二， s 三指的是 a 一加 a 二加 a 三吗？所以 s 零没有意义在这里面，那也就说 n 不能取一呀， 他里面的 n 不能取一，只能取大于一或者大于等于二的正整数才行。 这里边的，嗯呢，可以去真正数，那么我拿这两者做差值，那么这里边，嗯，是不是都得满足这两个呀？又要比一大，又要比二大，那 我只能满足比二大了，对不对？所以这个东西啊，成立的前提是啊，嗯，要大于等于二，并且呢，嗯，要属于正整数，这是他的一个成立的一个小前提，也就是说 这个通向解出来只适用于 a 二， a 三， a 四这样的通向，但是呢， a 一你就用不了，因为这里边 n 啊，取不了 e， a， 你就拿它解不了，那么 a 怎么办？ a 一呢？单独解其中啊， a 一就等于什么呢？ a 一就等于 s 一嘛，你到时候再把 s 一解一下就可以了，就等于 x 一。 那么如果说第一项和后面写出来的通项，他们之间规律是一样的，就是我把这个值啊带到这里面也满足的， 我就可以拿整个通项表示不满足呢，只能单独的写出来，拿这个题感受一下， 还是拿给第一位。 n 等于一十，也就是 a 了， a 就等于什么？ n 等于一的时候， a 就等于 s 一，我们解一下 s 一是多少？哎，你把一带到这里面， s 一等于三，那么 n 大于一的时候， 注意啊，这边 n 是默认的一个，在这写上 n 是默认的真人数，这是数列里面像数吗？真人数，那么 n 大于一，或者说 n 大于等于二的时候，这个 n 啊，我就可以拿刚才这个表达式， s n 减 s 减一，那么 s n 多少？ s n， 哎，这不就 s n 吗？就等于 n 方减去一个，还加上个二， n 减去个 s， n 减一， 已知 sn 怎么去 s 年，也就是把里面的 n 都换成 n 减一就可以了。平方将二倍的 n 减一，这就是 s n 减一啊， 然后我把它合并化解。我记得 a n 等于二加一，那么通向怎么写呢？通向我要看首相满不满足整个通向的表达是，哎，这个里面 n 局的时候 恰好也是三，对不对？你看，当 n 是一的时候， a 也是三， a 本身值就是三，他本身能代表 n 大于等于二的时候，现在呢？他又能代表 n 等于一的时候的量，所以整个数列 就可以用一个表达，是二， n 加一来表示他的通向，而且嗯呐属于这这个数目，这就是这个数列的同向。
1605阿甘数学
03:46查看AI文稿AI文稿这个视频我来给你讲讲等差数列中和的等差性质。比如，给你一个等差数列 an， 每 m 项分成一组，从 a 一到 am 是第一组，从 am 加一到 a 二 m 是第二组，从 a 二 m 加一到 a 三 m 就是第三组。你想想看，这每组的和之间有什么性质呢？ 要弄清楚和有啥性质，咱还是找找看每项之间有啥关系。先看第一组和第二组，如果数列 an 的公差是 d， 那每两项之间都会相差一个 d， a 一和 a m 加一之间显然相差 m 像，那就一定相差 m 个 d。 同样的， a 二和 a m 加二之间也相差 m d。 发现没，这一组中的每个数都和这一组里对应的数相差 m d。 再看第二组和第三组， a m 加一和 a 二 m 加一也相差 m 个数，所以也相差 m d， a m 加二和 a 二 m 加二还是相差 m d， 所以第二组的每个数也和第三组中对应的数相差 m d。 弄明白了每项之间相差多少？再来看看这几组的核之间相差多少，也是 md 吗？嘿嘿，当然不是喽，要研究核相差多少，得把所有项都加起来看。 第一组和第二组之间每项之间相差 m d。 一共有 m 项，加在一起就会相差 m 个 m d， 也就是 m 方 d。 第二组和第三组之间每项之间也相差 m d， 一共也是 m 项，加在一起就会相差 m 个 m d， 也是 m 方 d。 发觉没？每组合之间都相差 m 方 d， 所以这些和就是等差数列，并且公差就是 m 平方 b。 看来在等差数列中，等间隔分组每组的和也是等差数列。记住这个结论，再看两道题， 等差数列 an 满足 a 一加一二加一三等于二， a 四加一，五加一六等于四，求 a 七加一八加一九的值， 发觉没？这显然就是每三个一组再求和吗？那他们的和就一定是等差数列？看条件，显然第一组和就是二，第二组和就是四。因为等差，所以第三组的和就是六喽，所以 a 七加一八加一九就等于六。 以后再见到这种没几个一组来求和的问题，你就利用他们的和是等差来搞定。刚才那题还算比较简单，每组的和直接就告诉你了，可是有的题目可就没这么直接了，再来看看咋做呢？已知等差数列， an 的前五项和是二十， 前十项和是五十，求前十五项的和。看这条件和结论给的这么人性化，显然就是五个一组吗？既然这样，那每组的和还是等差，要求前十五项的和，那你找到这三组个是多少不就行了？ 前五相和是二十，所以第一组的和就是二十，前十相和是五十，所以这一对的和就是五十，那么第二组的和就是五十，减二十得三十。因为每组的和都是等差数列，那第一组二十，第二组三十，显然第三组就是四十嘛。 现在你就得到了三组的数值，把他们相加就是前十五项的和喽，算一算答案就是九十。 ok， 搞定以后，再遇到这种告诉你前几项和的题型，你就得先找到各组和是多少，才能利用和是等差来搞定 好了。讲了这么多，总结一下这个视频，我就给你讲了和的等差性质，简单的说就是等间隔分组，每组的和也是等差，如果直接给你每组的和，你就直接利用等差的性质搞定答案。 如果给的是前几项的和，别忘记先求出每组的和才是等差。好了，本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧抖音。
480半盏屠苏
03:00查看AI文稿AI文稿这个视频我来给你讲讲等差数列的前 a 项和给你个等差数列 a n 用 sn 来表示，从第一项 a 一一 一直加到第 n 项 a n 的和。咱推倒推倒，看看这个 sn 有啥公式没，貌似无从下手。没关系，我教你一招， 先倒着把 sn 再把一遍，也就是从第 n 项一直加到第一项。现在就有了这两个式子，接着把这俩式子加起来，就变成了二倍的 sn 等于 a 一加 a n 加上 a 二加 a n 减一，加上 a 三加 a n 减二，一直加到 a n 加 a 一。 接下来咱要做的就是把右边这一坨画个减，发现没？ a 二减个 d 就是 a 一， a n 减一加个 d 就是 a n。 把 a 二写成 a 一，就少写了个 d， 把 a n 减一写成 a n， 就多写了个 d。 这少一个 个，多一个加一起，显然就不变。所以咱可以把 a 二加 a n 减一，就写成 a 一加 a n。 同样呢， a 三减两个 d 就是 a 一， a n 减二，加两个 d 就是 a n。 所以 a 三加 a n 减二，也可以写作 a 一加 a n。 那么后面这一堆都可以用同样的方法写作 a 一加 a n。 现在二倍的 sn 就等于 n 组 a 一加 a n 的和。写上式子就是这样，二倍的 s n 等于 n 倍的 a 一加 a n 二除过来， sn 就等于 n 倍的 a 一加 a n 再除以二。其实这个公式就是等差处理前卫项和的公式了，也就是 s n 等于首项 a 一加末项 a n 乘以项数再除以二。如果你知道首项末项，就用它来求和。回顾一下刚才求 sn 的整个过程，咱 就是先倒着摆了一遍 sn， 再把两个 sn 相加，这种方法在数学上有个专门的名字，叫做倒序相加，在以后的数列求和中，你会经常用到它，千万要牢记哦！其实 sn 除了这个公式以外，还有一个很常用的公式， 接着来看一下还记得等差数列的通项公式吧。 a n 等于 a 一加上 n 减一倍的 d， 把 a n 带回这个式子， s n 就等于 n 倍的 a 一加 a， 一加 n 减一倍的 d， 再除以二。化解一下，就是二倍的 a 一 n 加上 n 乘 n 减一倍的 d， 再除以二 该约分的约分 sn 就等于 a 一 n 加上 n 乘 n 减 e d 喽。这个公式就是等差数列求和的第二个公式。如果你知道首相公差，那就用它来求和好了。等差数列前恩相合的公式我就讲到这里，这个纯 知识点的视频我就想让你记住这两个公式。第一个 sn 就等于二分之 n 倍的 a 一加 a n， 也就是首项加末项乘项数再除以二，第二个 sn 就等于 a e n 加上二分之 n 乘 n 减 e d， 也就是算了，也只能这么念了。在求和的时候，如果你知道首相和末相，那就用第一个式子来算。如果你知道首相和公差，那就用第二个式子来算。好了，本姑娘就讲这么多，赶紧刷题去吧！
4491若愚
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