三角函数恒等变换练习题
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03:28查看AI文稿AI文稿学会这类题，期末考试你就可以多拿十五分。以及 f x， f x 等于根号三倍的扣。撒引二 x 加二倍的撒引 x 乘扣撒以 x 加 e。 这里很明显是一个二倍角公式，所以呢，变成了根号三 扣。撒引二 x 再加撒引二 x 加一。然后呢，接下来，这里用辅助角公式提个二出来，二倍的二分之根号三 口撒引二 x 加二分之一，撒引二 x 再加一。接下来呢，这里用两角和差角是变成了二倍的撒引二 x 加 三分之 pi 加一，所以 f x 的 最小正周期 t 呢，是二， pi 除以欧米伽，所以呢，就是二， pi 除以二等于 pi， f x 的 最大值 等于三。接下来看第二小题， f x 的 图像向左平移， 画一个单位以后得到 g x， 所以 由提一个 g x 呢，是等于二倍的射影。 r x 加 f， 括号再加三分之派， 再加 e， 就 变成了二倍的撒引二 x 加二， f 再加三分之派加 e。 又因为 g x 为偶函数， 所以呢，咱们这部分啊，这个，所以呢， if 加三分之派，就应该是等于 k 派加二分之派， k 属于整数，所以呢， five 就 等于二分之 k 派。再加 十二分之派， k 属于整数。又因为 five 大 于零， k 等于零十，哈 k 等于零十，有最小最小值， 所以呢，这 five 呢，就等于十二分之派。关注我，了解更多的高中数学！
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03:56查看AI文稿AI文稿三角恒等变换，如果你学的不够扎实，这一道题就可以让你把里面基本上能用到的所有公式都可以检测到。一起来看一下这道题，他说 alpha 和 beta 是 两个锐角，满足这两个关系，问结论不可能是哪一个， 其实就是在问 alpha 和 beta 可能取值。那大家先来想，这个式子拿到了之后，我们要注意到的就是咱这个 tnt， beta 一定是个正的，前面也是个正的，那后边有一个 tnt 肯定是要渐切化弦， 所以这个式子我们可以简单地做一个变形， cosine alpha 比上 e 减 sine alpha 就 等于 sine beta 比上 cosine beta， 然后交叉相乘之后， cosine alpha， cosine beta 加上 cosine alpha， cosine beta 就 等于 cosine beta。 而前面这一部分正好是余弦的两角叉公式， cosine alpha 减 beta 就 等于 cosine beta。 所以通过这个关系，咱们可以找到 alpha 跟 beta 的 一个关系式。大家来看，这俩都是锐角，所以它的差呀，应该是在负九十到九十之间，那么它跟这个相等， 所以有两种可能性，一种就是 alpha 减 beta， 再加上 beta 恰好是二分之派。另一种可能性就是负的，它加上 beta 等于二分之派，也就是 beta 减 alpha 加上 beta 等于二分之派。 而上面这个式子得到了阿尔法等于二分之派，那肯定是要舍掉的，因为他说阿尔法是锐角，所以只能是下面这个成立，那也就是二倍特就等于阿尔法加上二分 之派。先放这，接着咱们再来看后面这个条件，这个条件，这个括号里面这个东西啊，是相当麻烦，所以他一定不会自己去整理化简。那么这两个结合一下，大家注意观察等号左边， 等号左边这两个东西，一加 sine 和一减 sine， 它俩成在一起，恰好就是一减三一方，而 cosine 一 方正好就等于一减三一方， 所以其实这两个的比值就是一，那也就是说 tangent beta 其实就等于 tangent 六 alpha 减去二 beta， 有了这个关系，我们又可以找到他俩之间的联系。 beta 就 等于六阿尔法加上 k 派，再减二 beta 整理以后就是三 beta 等于六阿尔法再加上 k 派。接着我们再来看由一式 和二式，咱们整理一下，因为他要求阿尔法和 beta， 所以 我们来算一下 beta 是 什么。这个式子咱们乘个六，那就是 十二 beta 等于六阿尔法再加上三 pi， 这是第三个式子。然后三减二九 pi 就 等于三减 k 倍的 pi， 我 们把九除过来，九分之 pi 是 多少呢？它就是二十度， 所以它就可以写成三减 k 乘以二十度，那也就是说 pi 一定是二十度的整数倍， 所以四 d 肯定行， c 肯定错。那既然它是一道单选择题，答案就出来了，那么如果我想验证一下 a 和 b 的 值，我们就可以带到第一个式子里面看一下。 假设阿尔法是三十度，这个地方是九十度，那它俩相加一百二，此时贝特等于六十度，完全可以，所以 a 是 可以的。这个阿尔法如果等于七十一百六，再除以二是八十度， 也完全可以，所以答案就是 c。 对 于这道题目来说，其实它就是在考察三角恒等变换的灵活使用，大家如果对这一部分不熟悉，可以用这道题好好地做一下检测。
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02:37查看AI文稿AI文稿温州期末的一道单选题目，这道题目呢，大家如果会合插化记公式是非常容易的，但如果你忘记了合插化记公式，那这道题目也能做，大家一起来看一下，他说满足这两个等式，问 cosine 二 c。 首先如果我们忘记了核查法机，那大家注意，这三个角分别是 set， 二 set 和三 set， 那 么咱们在找联系的时候就要用二 set 去找，也就是把前面这个 set 写成二 set 减 set， 后面这个三 set 呢？写成二 set 加 set， 这样在拆这两个和差公式的时候就有一部分能够消掉。大家来看三 e 括号 r c t 减 c t， 再加上二 c t 的 正弦，再加上三 e r c t 加 c t 等于零。那么我把这个打开，三 e r c t 敲三 e r c t 减去敲三 e r c t 加上敲三 e r c t 三 e r c t， 那一减一加不就消掉了吗？所以保留了两倍的 sin 二 theta 乘以 cosine theta， 再加上一个 cosine theta 就 等于零。提走公音式 cosine theta 括号二倍的 cosine theta 加上一就等于零。 那么这个方程就可解，待会咱们再解。这就来看后面，同理，把它写成二 c 减 c， 后面写成二 c 加 c， 展开以后的 cosine 二 c， cosine c 就 保留了，而 cosine 二 c 和 cosine c 这一项就直接消掉了，那么它整理完以后就是 两倍的 cosine 二 theta 乘以 cosine theta， 再加上 cosine 二 theta 也等于零。所以我们就得到了 cosine 二 theta 乘以两倍的 cosine theta 加一等于零。 那大家注意，它说这两个式子是同时满足的，那么 sine 二 cot 和 cosine 二 cot 不 可能同时为零，那只能是后面这个，也就是 cosine cot 等于负的二分之一。 得到了这个答案之后，我们再来把它直接一拆两倍的 cosine cot 方减一就可以迅速得出答案，答案应该是二 b 负二分之一。 所以对于这道题目来说，我们要知道，如果遇见了 set， 二 set 和三 set 这种连续的几项，我们在化简的过程中要把二 set 当成基础去进行化简。
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05:53查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程。我是主讲人朱成建老师今天讲解的是三角函数恒等变换相关题型。第七题，已知 sine 二分之 zeta， 并且已知 zeta 的 曲值范围是零到二派。让我们求 tangent theta， sine theta 和 cosine sine theta。 那么根据题目里面的已知条件，并且结合相关的问题，我们首先应该先求出 sizeit 和 cosit， 因此我们来想一下这个地方，已知 sizeit 二分之 it 应该等于根号下二 x 比上 x 减一，那么我们求 cosine 二分之一，它就应该有 cosine 二分之 theta 的 平方等于一减 sine 二分之 theta 的 平方应该等于一减去二 x 分 之 x 减一， 那可以得到它应该是二 x 分 之 x 加一。又因为二分之 z 它显然应该大于零， 小于四分之 pi 是 位于第一象限的，因此我们可以写成 cosine 二分之 z 加一开根号。 通过这个，接下来我们就可以依次求下列的依次求出 sine theta， cosine theta。 然后再对题目进行相关的求法， sine theta 应该等于二倍的 sine 二分之四 乘以 cos 二分之零它，因此我们得到它应该等于根号加 x， 平方减一，比上 x， 那么显然我们得到的第一个关键的值， sine x sine theta 应该等于 x 分 之根号下 x 平方减一。接下来我们求一下 cosine theta， cosine theta 应该等于 cosine 二分之 theta 的 平方减 sine 二分之 theta 的 平方 应该得到二 x x 加一减二， x x 减一， 那么显然它应该等于二 x 分 之二及 x 分 之一。因此，在这个地方，我们得到 cosine 也等于 x 分 之一。 接下来我们依次求就可以了。第一问，它正的 theta 应该等于 sine， theta 比 cosine， theta 显然应该等于根号下 x 平方减一。 因此第一问的答案是根号下 x 平方减一。第二问，二倍的 scsi 二 zit scsi 二 zit， 根据公式，它应该等于二倍的 scsi 乘以 cosinez， 那 么显然它应该是 二倍 x 平方减一比 x 平方。因此，我们可以得到第二问的答案， 二倍根号下 x 平方减一比 x 的 平方。 cos 等于 cos 等于 cos 它的平方减 cos 它的平方，那么它应该等于 x 平方分之一减去 x 平方分之， x 平方减一。 显然它应该是 x 平方分之二减 x 平方。 因此，第三问的答案很明显应该是二减 x 平方与 x 平方。 好的，这道题就讲到这里，再见。
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03:33查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看占有节目，已知 q 残影 alpha 减三分派加 q 残影 alpha 加六分派等于四分之根儿。 那对于左侧 b 这块处理有两种处理方法，第一种就是把它俩给它画成同一个角，因为我们发现正点 alpha 加上六分之派减去括号 alpha 减去三分派正好是等于二分派的，所以说我们可以给它换一下，比如说我们来换成 q 仨音 这面阿尔法减三分之派，或加上扣撒音二分之派加上或阿尔法减去三派，那这样的话，我们说左面这样处理之后，然后呢？等于四分杠二， 这时候呢，我们知道这地方直接利用什么？呃，遇到公式直接可以得到 cosine alpha 减 sine pi， 然后呢？正面减去，我们得到 sine alpha 减 sine pi 等语，怎么摘？ 然后呢，我们发现这地方呢，由于这两个角是相同的，可以直接利用布列公式可以得到根号二倍的 sine 四分之 pi， 然后减去 r 加上三的 pi 等于什么呢？等于四分杠二， 然后根二与根二约调，可以得到 sine 十二分之奇 pi 减去 r 发 等于什么？四分之一，然后我们看看这里面它这里面是二倍的阿尔法减六分派啊，这里面是阿尔法，所以说我们可以看了，考虑到啊，是二倍的阿尔法减去十二分派，而这里面我们要凑出阿尔法减去十二分派，那这里面我们发现十二分七派可应该写成萨英二分之派 加上十二分之 pi 减去 r 法等于四分之一五，那这时候我们利用互变公式，利用到公式就可以得到 cos 音十二分之 pi 减去 r 法等于零的四分之一五， 然后呢，由于我们说 cosine 它是一个偶函数，所以说每得到一个 cosine alpha 减去十二分 pi 符号好，等于四分之一好占法，我们得到整东西可以了，这是第一种，我们直接来应用画中铜角来定出一道， 当然如果我们直接知道那个和差法的公式的话，直接便引出要他在左侧叠得到勾擦音应该是二分之，两者相加， r 发减三分之派，加上 r 发加六分派， 然后呢，勾擦音两者相减二分之，两者相减，则 r 发加上六分派减去 r 发 加三。尼哈好安海德英雄的四分之根号二，这时候我们看验左侧就直接变成了二倍的 cosine r 法，计算是应该是减去十二分派， 然后呢，这面是 cosine 四分派，然后呢，这就分到二，这时候我们把这个 cosine r 法减十二分派，应该是等分子一 则占话，也就说可占话的公式相对来说更简单一点，但是你要把公式记住上半，你就是我们说我们要求 cosine alpha 减一去 六分的 pi， 它等于什么？用二倍公式可以得到二倍的 cosine alpha 减十二分子 pi 或的平方，然后呢，减一，这时候我们直接代入就可以得到，应该是负八分七，所这结果应该是负八分之七。
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09:42查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小丛书高中小蓝本系列三角函数的学习课程，我是主讲人朱成建老师今天讲解的是三角函数恒等变换相关题型。第二十二题 已知 cosine alfa 等于 tanthan beta， cosine alfa 等于 tanthan alfa， 让我们求证下面这一个等式成立。 那么关于这道题目，我可以是这样去做，我们想到可以令 令 cosine 好 了否？等于 x， cosine beta 等于 y， cosine gamma 等于 z， 那 么我们就可以得到。得到什么呢？得到 x 的 平方乘以 y 的 平方就等于 cosine alpha 的 平方乘以 cosine beta 的 平方均等于 tangent alpha 的 平。 tangent beta 的 平方乘以 cosine beta 的 平方。显然结果应该等于 向量被它的平方，而向量被它的平方呢？我们又可以写作一减 cosine 被它的平方，因此等于一减 y 的 平方。 那么通过 x、 y、 z 的 两两相乘，我们可以得到三个等式，分别是， x 平方， y 平方等于一减 y 的 平方， y 的 平方， c 的 平方等于一减 c 的 平方， c 的 平方， x 的 平方等于一减 x 的 平方。 那么我们得到这三个公式，然后呢？然后我们会想到，很自然地想到，在一个等式里面，我们可以将 x 放在一边，将 y 放在另一边，那么我们就得到 y 的 平方 就应该等于 一加 x 平方分之一。 那么得到了这个 y 的 平方之后，我们可以将 y 平方代入第二个式子。可以得到 z 的 平方应当等于一加 x 平方分之 二加 x 平方。那么显然我也可以把第二个式子代入第二个。得到的结论代入第三个式子， 那么最终我会把 y 和 z 这两个变量通通消去，只留 x 一个变量，只留 x 一个变量之后，我会得到一个方程，也就是二 x 的 四次方加二倍的 x 平方 减二等于零。 现在呢，显然 我可以将 x 平方作为变量使用换元的方法设其为 t， 那 么然后两边进行化简，就可以得到 t 方加 t 减一等于零 来解这个方程就可以解到 t， 它应该等于 二分之根五减一 或二分之负的根五减一。但是呢，由于 t 是 x 平方，因此它必定是大于零的，所以我们将负的这个选项给舍去， 舍去之后得到 t， 得到 t t 也就是 x 的 平方， 那么这些答案就应该等于等于 x 的 平方。 然后我们将 x 平方依次代入这两个式子，我们会惊喜的发现， x 平方与 y 平方与 c 平方的值都是相等的，它们都等于二分之根五减一。 那么此时此时我们就会发现 cosine alfa 的 平方与 cosine beta 的 平方与 cosine gamma 的 平方我们就找到了，但是题目里面让我们求的是 四次方，因此我们还同时需要对这个进行 平方处理。首先，我们先求前半部分， 前半部分 sine alpha 平方、 sine beta 平方和 sine gamma 的 平方。我们只需要用一减 x 平方即可，也就是用一减 t 的 平方即可。那么我们可以求出一减 x 平方，它应当等于是 一减 x 平方的值是二分之根五减一，这个值我们通过黄金分割比可以知道它应当是二倍的 find 十八度 通过黄金分割比我们可以知道它应当是二倍的 find 十八度， 那么我们用一减去 二分之根五减一求出来之后，应当是二分之 三减根五，而二分之三减根五呢？ 我经过进一步化简，可以写作四分之六减二倍根五。 继续化简，是四分之根五的平方，加一的平方减二倍根五。 那么我会发现分子部分是完全平方式，它可以写成二分之根五减一的平方， 二分之根五减一的平方，也就是二倍三十八度的平方，因此它应当等于四倍的三十八度的平方。至此，我们已经把等式的前三个， 前三个证出来了，它们都应该等于四倍的 sine 十八度的平方。接下来我们来证后半部分，证明 cosine， cosine omega， cosine beta， cosine gamma 的 平方。那么显然更简单了，我们只需要将 x 方、 y 方和 c 方再次进行平方，得到 x 的 四次方， y 四次方和 z 四次方即可。 那么它同样的也是四倍三十八度的平方。因此，这道题就得证了。好的，这道题就讲到这里，再见。
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08:41查看AI文稿AI文稿啊，同学们，大家好，今天我们用一个视频给大家讲清楚这以下的这种题型，然后我给大家准备了三道题，让大家可以看一下这种题型是什么题型。一般就是啊，他给定你三角，三角的一个值，让你求另一个值，然后但是它其中它括号里它不一样，对不对？你看这些括号里它都不一样。 所以说我们的方法是什么？我们的方法是把它展开吗？是不是？不是啊？是，对不对？一定不能展开，我们的方法是看这个括号和这个括号有什么关系，对不对？那该怎么去看它的关系呢？我们采用的方法是做叉， 你只要做做叉，你就会能找到它的关系，是不是？我们可以把它看成一个贼塔，他给的你这个值，我们看成看成贼塔，也就相当于是三贼塔 等于三分之一。这道题是 sine theta 等于三分之二三，然后这个是 sine theta 等于五分之四，对吧？我们只要看它括号里它是和贼，它是什么关系就好了。那我们现在是作差，是不是用 alfa 加上三分之 pi 减去阿拉法减去六分之派，我给他括起来就等于什么？就等于二分之派相当于什么？相当于是贼塔减去这个括号里东西等于二分之派。那括号里这个东西等于什么？是不就是阿拉法减去六分之派，就等于贼塔减去二分之派啊？对吧？那现在这个他让你求的这个 cos 就 就变成了 cos 贼塔减去二分之派， 对吧？由这个 cos 的 这个对那个啊，它是一个偶函数，可以变成 cos 二分之派减贼塔，对不对？ 靠它二分之派减在贼塔，根据诱导公式，二分之派在这里减去贼塔，它的中边应该是减去这个贼塔，二分之派减去贼塔，中边应该在这里中边，它应该是正的，是不是？既变偶变，它就等于 sin theta， sin theta 等于三分之一，答案直接选而 b， 对 吧？那这道题 你是直接用阿拉法减六分之派减去二啦阿拉法加六分之派吗？是不是啊？对不对？因为我们做差的目的是谁，做差的目的是把这个阿拉法给它消掉， 看看他剩一个什么数，是不是？但是你这里是啊，这里是二啦二啦啦法。所以说当大家遇到这个前面这个字母，他前面系数不一样的时候， 大家就怎么样就给这个倍数多的给他提出来，比如说这是二啊啦法，是不是我们给他提个二，就是啊啦法应该加什么？加上十二分之派，对不对？ 十二分派。那我们现在就可以看一看阿尔法减六分之派和阿尔法加十二分之派什么关系？那阿尔法减去六分之派减去阿尔法加上十二分之派等于什么？等于负三分之派 啊？负六分派啊，负六分派减去十二分之派等于什么？负十二分之派，十二分之二派减去十二分之派等于负的十二分之三派等于负的四分之派，对不对？ 就说明你这里这个括号里，这个贼塔和阿拉法加十二分之派差负四分之派，对吧？也就相当于贼塔减去阿拉法加上十二分之派，等于负四分之派，然后阿拉法加上十二分之派，它就等于贼塔加上四分之派吧， 对吧？所以说我们现在他这样求的这个我们是不是就可以给它写成 cos 二贼塔加上四分之派啊？ 是不是就等于 cos 二贼塔加二分之拍啊？根据这个既变 o 不 变，是不是？符号看见线，它等于什么？负的三二贼塔对不对？那负的三二贼塔大家应该都知道，就等于负二倍的三贼塔乘 cos 贼塔。 cos 贼塔是不是我们刚才都设了是等于三分之二三，那现在就要求 cos 贼塔了，那 cos 贼塔是不是大家一定要用 那个公式要给它写完整？你不要这么直接写 cosine theta 等于根号下一减去 cosine 方 theta， 你 不要这么写，因为你这么写，你这样写，它就默认了 cosine theta 是 正的了，是不是？所以是吧，那我们该怎么写？我们要这么写， cosine 方 theta 等于一减去 cosine 方 theta， 对 吧？那一减去 cosine 方就相当于一减三分之一等于啥？等于三分之二 啊，一减去啊，九三分之二，对吧？一减去三方。 z 一 减九乘三，三分之一的三分之二没问题，对吧？但是你这个 cos， 你 cos 它给的开方是不是应该等于什么？是不是有可能等于负的呀？那谁决定 cos 它是负的呢？是不是这个角啊？ z， 它是等于 alph 减去六分之派，那 alph 属于零到派，那 alph 减六分之派是不是就属于负六分之派 到六分之五派啊？是不是？它显然是可以取负的，因为你这个啊， cosine 这个函数是吗？ cosine 这个函数是这样的， 这是二分之派，对吧？这是派，所以说二分之派到六分之五派，这是六分之五派，它是可以取负的，是不是？所以说我们 cosine 它可以解出两个值，对吧？ cosine 它应该等于 正负三分之二倍根号三啊，不对啊，三分之根号六，正负三分之根号六，对吧？是，是三分之根号六吧？根根号三分之根号二，三分之根号六，没问题。 cosine 它就等于这个，对吧？ 那现在我们是不是要求的是负二 sin， 它乘 cosine， 所以 说它应该有两个值，一个是负二乘 sin， 它就是乘三分之 cosine 乘以正的三分之 cosine， 对 吧？ 就等于什么啊？就等于负二乘以九，三倍根号二，相当于是负的三分之二倍根号二，对吧？这是一个值， 负的三分之二倍根号二，那第二个值就是负二乘三分之根号六，乘以负的三分之根号六，对吧？啊？三分之根号三乘负的三分之根号六，他是不是就等于负？负得正 就等于三分之二倍根号二啊，对不对？所以他就等于正负三分之二倍根号二，对吧？好， ok， 我 们现在看，再再看下面这道题，下面这道题是不是大家应该就会会这种方法了？是不是我们把这个二给他提出来？二倍的贼塔加上多少？加上六分之派，对吧？ 现在你看它设的是 z， 所以 说我们就别设 z 它了，我们就设 c， x 等于五分之四，不就 ok 了吗？五分之四，我们看一看 x 和这个 z 加六分之派什么关系？也就是让十二分之五派加 z， 它减去 z， 它加 六分之派，对吧？加六分之派，现在就变成什么了？现在是不是变成？嗯，十二分之五派加载的剪裁的就没了，也就十二分之五派减去六分之派吧，就等于十二分之五派。减去十二分之二派 啊，就等于十二分之三派等于四分之派，是不是就说明你这个 x 和这个括号里差四分之派，就 x 减去这个括号等于四分之派，那这个括号里的是不就是 x 减去四分之派啊，对不对？然后这个括号里不就相当于让你求这个 c 二倍的 x 减去四分之派吗？ 对吧？就等于 c 二 x 减去二分之派， 然后我的习惯是把这个二分之派啊派啊都给它变成正的，所以说我我先给他提个符号， sine 二分之派减二 x， 然后现在这个它就变成二分之派，在这个在这减去一个角，它中间在这里是正的，所以说它就等于负的 cosine 二 x， 对 吧？负的 cosine 二 x， 这个这块你就不用判断正负了，因为负的 cos 二二 x 是 不是等于负的 cos 方 x 减去 cos 方 x 给它括起来，对不对？这个你就不需要判断 cos x 正是负了，因为它是平方了，对不对？我们现在是 cos 等于五分之四，那 cos 方 x 是 不等于二十五分之十六，这是 cos 方 x。 那考三方 x 呢？是不是就等于一减去三方 x 就 二十五分之九，对吧？就相当于是负的二十五分之九。减去二十五分之十六，就等于二十五分之十六。减去二十五分之九，等于二十五分之七。 答案选 c 对 吧？答案选 c， ok 啊，这是三种题型，但是有同学说啊，我可能遇到的不是这种题，不是这种样子，他有可能是遇到这种 c 给了你塞贼，他加上六分之派等于一个数，他给的你是这个塞三分之派减贼，他问你这个是多少？那我们该怎么办呢？是不是还是一样的呀？我们可以把这个负贼他给他变成贼，他不就 ok 了吗？给他提个符号，那现在你再做叉是不就 ok 了， 对吧？提个括号对吧？现在你在做叉就 ok 了，还可以怎样？你还可以做和你看他俩相加，看是不是把贼他也可以消掉啊？所以说做叉我做叉的理念是什么？我一定我要把这个贼他消掉， 把这个未知量给他消掉就 ok 了。哈哈， ok， 今天就。呃这到今天的每日一练就到这里，然后欢迎大家去投稿啊。
50王同学！
07:32查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程，我是主讲人朱成建老师，今天讲解的是三角函数恒等变换相关题型。第三题 题目里面给出了 alfa 与 beta 的 曲值范围，同时给了我们两个函数值， 那么让我们求 sine theta 加 beta 等于多少。我们观察题目可以得到这个地方有一个负倍负 alpha， 这个地方有一个正 beta， 那么我们想要得到 alpha 加 beta， 显然应该用 beta 减去一个负的 alpha。 既然这样的话，那么我们的思路就应该是四分之三派 加 beta 减四分之派减 beta， 到最后减出来得到二分之派加 alpha 加 beta。 要得到 alpha 加 beta， 应该使用这种计算方式， 那么显然 si si alfa 加 b 碳应该等于 co si si 二分之 pi 加 alfa 加 b 碳 负的。那么既然得到了这个公式， sine alpha 加 beta 等于负的 cosine 二分之派加 alpha 加 beta。 得到这个公式之后，我们就可以继续 来求求 cosis 二分之 pi 加 alfa 加 bta， 也即使求 cosine 四分之三 pi 加被它减四分之 pi 减 alpha 写开之后应该等于 cosine 四分之三 pi 加比特乘以 cosy 四分之 pi 减 alph 加 size 四分之三 pi 加比特乘以 size 四分之 pi 减 alph。 根据 alpha 大 于四分之派，小于四分之三派负 alpha 应该大于负的四分之三派小于负四分之派。 将其两边同时加四分之派后，我们可以得到四分之派减阿尔法该小于零大于负的二分之派。 因此第一个变量四分之派减阿尔法，它的取值范围就应该是负二分之派到零 四分之 pi 减 alpha 可以 写作负二分之 pi 到零。 data data 的 取值范围大于零小于四分之 pi， 那 么显然四分之三 pi 加 beta 就 应该大于四分之三 pi 小于 pi。 因此接下来我们就可以接下来我们就可以将这个等式 剩余的三角函数值补全。 sine 四分之 pi 减 alf 可以写作正负五分之四。由于这个函数是负二分之派到零的去分， 因此它的结果就应该是负的五分之四。 cosine 四分之三 pi 加 beta 可以 写作正负是三分之十二。 四分之三 pi 加 beta 的 去质范围是四分之三 pi 到 pi， 因此 我们同样可以将其确定应该是负十三分之十二。接下来将函数值依次代入即可。 cosine 四分之 pi 加 beta 被写作负十三分之十二，接下来让其乘以五分之三，然后加上 负五分之四乘以十三分之五 是可以写作负的五乘以十三分之三十六加二十 应该等于六十五分之五十六负的。 因此 cosine 二分之 pi 加 alpha 加 beta 可以 写作负六十五分之五十六。 而题目 sine alpha 加 beta 应当等于负的。 cosine 二分之 pi 加 alpha 加 beta， 故尔应该等于六十五分之五十六，因此题目答案为六十五分之五十六。 这道题就讲到这里，再见。
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02:33查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程。我是主讲人朱成建老师今天讲解的是三角函数恒等变换相关题型。第二题 已知 cosine 四分之 pi 加 x 等于 m， 求 sine 二 x 的 值。 关于四分之派，我们知道这是一个很特殊的角度， cosine 和 sine 四分之派都相等，等于二分之根号二，因此我们可以想方设法在这个题目里将其拆开。拆开后可以得到 cosine x 乘以 cosine 四分之八减 sine x 乘以 sine 四分之八等于 m。 记二分之根号二 cosine x 减 sine x 等于 m， 我 们可以得到 cosine x 减 sine x 等于根号下二 m， 这是题目给出的条件。题目让我们求的是 sine 二 x， 也就是二倍 sine x cosine x 我们要怎么得到？我们要怎么通过题目给出的条件得到题目的问题呢？很显然，我们想方设法令这两个象相成即可。那么要得到它们相成的象，我们可以将两边同时平方 平方后得到 sine x 的 平方加 cosine x 的 平方减二倍 sine x cosine x， 这样我们就得到了题目的所求的问题。应该等于二 m 方，因此一减二倍的 cosine x cosine x 等于二 m 方， 也即是一减 sine 二 x 等于二 m 方， 因此向量二 x 应该等于一减二 m 的 平方。这道题就讲到这里，再见。
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08:10查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小松鼠高中小蓝本系列三角函数的学习课程，我是主讲人朱成建老师今天讲解的是三角函数恒等变换相关题型。第二十三题 要求我们求证下列这个等式成立。那么关于这个等式，首先我们要做如下处理，我会发现 在等式的右面分子部分，母部分是两个 size 一 度相乘，那么我们将 size 一 度乘一个过来， 乘一个过来之后会发现是 cosine 零乘以 cosine 一 度，分至 cosine 一 度，加 扣三一扣三二度，分至三一度，然后依次相加扣三八十八度，扣三八十九度分至 三一度，等于 sine 一 度分至 cosine 一 度。 那么关于这道问题，我要带大家回顾一个东西。之前我们讲过，当 tanthan 的 alpha 减 tanthan 的 beta 这种类型的计算，我们首先要怎么做来着？需要这样计算对吗？需要将其拆开， 拆开拆开，然后再通分通分。最后我们可以得到什么成果呢？得到一个形如这样子的式子， cosine 分 之 sine alpha 减 beta。 那 么我们会发现这个式子在这道题里面几乎完美使用。大家来发现 这个等号左边的每一项，它几乎都可以写成 cosine alpha， 它几乎都可以写成 cosine 零度乘以写成 cosine alifor 乘以 cosine beta 分 之 sine alifor 减 beta 的 形式。 因为分子的任何一个象，它的分母部分两个角，阿尔法与 beta 角，它的差值都是一，因此分母部分都有一个三一度。所以呢， 我们可以进行对题目进行化简。 对题目进行化简，我们设 cosine n 度乘以 cosine n 加一度，分之 cosine 一 度， 将其进行化简之后呢，我们会得到 cosine 零度。乘以 cosine n 加一度，逐步地进行化简是 sine n 加一减 n， 然后继续化简是 cosine n cosine n 度。乘以 cosine n 加一度，然后 sin n 加一度。乘以 cosine n 度，减 sine n 度。乘以 cosine n 加一度，继续化简， 得到 cosine n 度分之 cosine n 加一度，分至 sine n 加一度，减 cosine n 度，分至 sine n 度，因此得到 tangent n 加一度，减 tangent n 度。 那么上式这个等号左边的部分，我们就可以将它化简，化解成 sine 一 度分之一，然后乘以 tangent 一 度，减 tangent 零度加 tangent 二度，减 tangent 一 度，最终 tangent 八十九度，减 tangent 八十八度，等于 sine 一 度分至 cosine 一 度。 那么最终呢？这些式子依次相消，我就可以得到最后的结果应该是 sign sorry 这个位置写错了， 它应当等于 sign 一 度分之一乘以 依次相消之后的结果， tangent 八十九度减 tangent 零度。写在这里，那是 sine 一 度分之一。 tangent 八十九度减去 tangent 零度， tangent 零度就是零，因此这个部分可以消掉， 继续化简 tangent 八十九度，我们可以写成 cotangent 一 度，因此它就写作 sin 一 度分之一。乘以 sine 一 度，分至 cosine 一 度，就应该等于 sine 一 度的平方分至 cosine 一 度。 综上，这道题就讲解完成了。好的，这道题就讲到这里，再见。
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04:29查看AI文稿AI文稿三角最值会不会求，就看你三角恒等变换做的牛不牛。比如我们一起来看一下这道例题，它里面涉及到三角恒等变换非常之多。 在三角形 a、 b、 c 当中， tan 轴的 a 除以 tan 轴 b 加上 tan 轴的 a 除以 tan 轴 c 等于三，则三 a， 它的最大值。为什么 一般像我们看到这种正切的形式，都把它转换成正弦和余弦去做，因为正弦和余弦的公式非常之多，他能做的变形呢，也就会更多一些。 我们首先呢，把这里的正切形式都转换成正余弦，因为 tangent 呢，会等于 sin 除以扩散，所以 tangent a 都提出来之后，就是 sin a 除以扩散 a， 而括号里面呢，是 tangent 的 b 分 之一，加上 tangent 的 c 分 之一，那其实也就是散 b 分 子扩散 b， 再加上散 c 分 子扩散 c， 它就会等于三。 接下来对于括号里面，我们最容易的做的一个变形呢，就是去通分，而通分完之后，我们会发现它的一个分子部分，刚好就是两角和的正弦公式，也就是三 b 加 c， 它的一个展开形式。 而三 b 加 c 在 三角变换里面，在三角形里面，由于 b 加 c， 它等于的是 pi 减去 a， 所以 三 b 加 c 呢，它其实就等于三 pi 减 a， 也就是三 a， 所以 整体这部分又可以转变成三 a 的 平方去除以扩展 a 乘三 b， 再乘三 c， 它会等于三。那变形到这一步之后，接下来又何去何从呢？ 那么我们能够想到的一个变式方法，就是可以把它给它乘过去，因为分数形式比较难看。然后乘过去之后，左边是 sine a 的 平方，而右边也有两个 sine， 是 不是可以用角化边， 左边就变成 a 的 平方，而右边呢，是三 b， c 在 乘上扩散 a， 我 们把角转换成边之后，得到 a 方会等于三 b c 扩散 a， 然后接下来会很自然想到扩散 a 用余弦定义展开， 因为扩散 a 用余弦定律展开来之后，它的分母里面刚好有 bc， 而前面呢也有 bc， bc 就 可以约掉，最后整理成五 a 方等于三 b 方，再加上三 c 方， 得到这个平方形式，最后又是要求三 a 的 最大值。平方和三 a 其实比较难衔接，但是平方和扩散 a 会比较好衔接，因为余弦定律它就是一个平方的形式， 所以我们先可以求出扩散 a 的 最值，然后再进一步去求 sin a 的 最值。 我们先写出或三 a 的 余弦定理形式，然后这里的 a 方就可以用五分之三倍的 b 方加 c 方给它换掉，然后换掉之后，我们再把它整理下，其实就得到 b 方加 c 方，除以个五 bc， 那 很显然要求它最值，我们就只要用基本不等式 b 方加 c 方会大于等于二 bc， 所以 求的呢，最小值是五分之二。 有了扩散 a 的 最小值，是不是反过来就可以求出三 a 的 最大值？因为三 a 方会等于一减去扩散 a 方， 最后我们求出来三 a， 它的最大值呢，就是五分之根号二十一。像这道题听老师讲来好像不是很难，但是自己做起来，你一定要对三角恒等变换非常的熟，不然它的一个最值呢，是会非常难求。
09:18查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程。我是主讲人朱成建老师今天讲解的是三角函数恒等变换一项关系题。第二十五题， 题目要求我们证明，当太大于十时，证明下面不等式成立。这个位置我们可以观察观察不等号的左边，我们会发现这个地方有一个特殊的向量函数， 别的位置都是余弦，而它是正弦，是 sin x， 因此我们可以将这个 sin x 单独剔除，然后设 f x， 再等于不等号的左边，那么就可以写作 sin x， 将剩下的部分写在另一边，单独写在一起，乘以 cosine 五 x， 最终乘以 cosine 二的 cosine x， 我 们会发现这个位置出现了一个二的 cosine， 而前面显然不是根据指数的规律进行增长的。 那么为什么会单独出现一个 error case 呢？其实这就是题目在提醒我们。我们都知道正弦函数、余弦函数，它们的取值范围都是大于等于负一，小于等于一的， 那么当若干个向量函数成在一起的时候，它的值应该也必然是小于等于一的。 那么我们其实可以将 将这个式子中，例如 cosine 五 x， cosine 六 x 这些不满足指数增长规律的项给拿掉，拿掉之后，因为这一部分的项它是小于等于一的，那么拿掉之后，其实它应该是增大了， 那么拿掉之后，它应当增大为算。三 x 乘以 cosine x， 乘以 cosine 二 x 乘以 cosine 四 x， 然后乘以 cosine 八 x， 一 直乘乘到 cosine 二的 cosine x， 当然也有可能减小了，因为有可能原先是正的，然后抽掉这些项之后变成了负的，那么我们在这个位置可以加一个绝对值来解决。 加上绝对值之后，这个不等号小于等于号就成立了。抽掉其中一部分项，因为这一部分项的总和必定是小于等于一的， 因此抽掉之后这个地方要加一个小于等于号。那么现在我们抽掉了这一部分之后，对剩下的这一部分继续进行化解，对剩下的部分继续进行化解。现在我们就要利用三角恒等变换的知识进行化解， 不再抽取其中的某一项了。然后首先我们将这一部分 sign cs 进行化简，我们可以将 sign cs 写作 sign 二 x 加 x， 因此经过化简之后，它可以写成 sign 二 x 乘以 cosine x， cosine 二 x 继续化简二倍的 cosine x， cosine x 再乘一个 cosine x 平方，加上 将它拆开后， cosine x 的 平方减 cosine x 的 平方，这个位置又乘了一个 cosine x， 所以乘 sine x 减 sine x 的 三次幂。这两部分相同，可以合并得到三倍 sine x， cosine x 的平方减 sine x 的 三次方。我们会发现整个式子中只有这一部分保持 cosine x， 那 么我们将它转化成 sine x。 三倍 sine x 乘以一减 sine x 的 平方减 sine x 的 三次方。最终它应该等于提出其中一项，然后三减四倍的 sine x 的 平方。因此左半部分我们可以写作 sine x 乘以三减四倍的三 x 的 平方，再乘以后面这一部分。关于后面这一部分，前面我们讲过一个类似的题型，我们可以将其进行这样变换， 分子分母同时乘一个 sine x， 乘一个 cosine x， 然后再乘一个二倍的，到后面补 sine 二 x， sine cosine 四 x 只补到 cosine 二的 cosine x， 然后除以一个 sine x 二倍的。然后经过化简之后，我们会发现这一部分 可以写作 sine 二 x， 那 么这两个相遇又可以继续化解。上十再乘一个二，下十也再乘一个二，乘二之后 继续得到 sin 四 x， 因此继续可以化简。依次化简之后，我们得到最终的结果。 依次化简完成之后，我们可以得到最终的结果应该是，二的 k 加一次幂乘以 sin x 分之 sine 二的 k 加一次幂 x， 这个位置和它可以约分掉，然后继续化解呢，就是二的 k 加一次幂分之 sin 二的 k 加一次幂 x 乘以三减四倍的 三减四倍的 sine x 的 平方。 那么我们和等式右边进行对比， 到了这个地方不能这样写，那么和等式右边进行对比，我会发现两边同时有一个分母将其约掉，那么还剩三减四倍 sin x 的 平方的绝对值 乘以 sin 二的 k 加一次幂 x 的 绝对值。与三相比，这一部分是小于等于一的， 而四的 sine x 的 平方是大于等于零的。三减一个大于等于零的部分，再乘一个小于等于一的部分，结果一定应该是小于等于三的， 那么也就是说这个式子最终得以成立。 f x 小 于等于二的 k 加一次逆分之三得以成立。 那么这道题最后就得证了。好的，这道题就讲到这里，再见。
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04:43查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程，我是主讲人朱成建老师今天讲解的是三角函数恒等变换相关题型。第八题第八题 计算下面这个等式的结果。 在这个题目里，我们很容易发现六度、四十二度、六十六度、七十八度是毫无规律的数字，那么显然我们可以通过进行一些变换，使它们变成一系列有规律的数字。那么如何变换呢？ 首先，在三角函数中，最常见的变换显然是互补与互余， 那么我们首先进行互补和互语转换。首先进行互语转换，发现第一个可以转化成八十四度、 四十八度，二十四度、十二度，那么我们很快就发现十二、二十四、四十八，它们显然是有规律的，它们一次乘以二，对吗？ 那么既然有这个规律，我们同时还发现前面有一个六度的角， 那么现在这个函数就变成了 六度、四十八度、二十四度和十二度相关的函数。那么如何找到这些互余角呢？很显然，根据诱导公式，我们可以得到 sine 六度， sine 四十二度可以转换为 cosine 四十八度，依次可以 sine 七十八度可以转换成 sine 十二度， cosine 十二度，我们可以写依次写出 cosine 十二度， cosine 二十四度， cosine 四十八度。那么我们要如何把六度加倍之后得到十二度呢？ 很显然，我们首先想到的应该是被角公式，那么我们 sin 六度乘以一个 cosine 六度，那么在分母处呢，也除以一个二倍的 cosine 六度， 再乘 cosine 二十四度乘 cosine 四十八度， 抽完之后我们会发现这个位置就转化为了 size 十二度。 sorry， 这个位置是 cosine 十二度，前面是 cosine 十二度，那么我们上下继续乘一个二，这个地方又可以转化为 sine 二十四度乘 cosine 二十四度乘 cosine 四十八度 乘以二的平方扣三以六，我们上下继续乘以二，我会转化成三， 四十八度乘以 cosine 四十八度除以二的三次幂 cosine 六度。显然我们上下可以继续乘以二，直到最后我们可以得到十六倍的 cosine 六度。 分子部分应该是 sine 九十六度。那么可以继续转化吗？显然，三角九十六度，我们可以将其直接写成 q 三点六度， 六倍的 q 三点六度。因此这道题的最后答案应该是 十六分之一。这道题就讲到这里，再见。
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07:00查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎来到数学奥林匹克小童书高中小蓝本系列三角函数的学习课程。我是主讲人朱成建老师，今天讲解的是三角函数恒等变换相关题型。第十五题第十五题让我们求出下列课时的值。 好的，我们看到第一问，第一问是三个平方和的形式，因此我们将三个平方和依次减化减，第一个可以写作二分之一加二分之一倍的 cosine 四十八度， 第二个应该是二分之一减二分之一倍的 cosine 十二度。 第三个二分之一加二分之一倍的 cosine 三十六度。那么我们将其合并之后，应该是二分之三加二分之一倍的 cosine 四十八度，减 cosine 十二度加 cosine 三十六度。接下来 三个与选函数相加减的形式，我们可以利用和差化积公式。首先将前两个进行和差化积，因为计算之后我们就可以得到一个特殊的角度，三十度 等于二分之三加二分之一倍的 负二倍的 sine 三十度乘以 cosine 十八度。负二倍的 sine 三十度可以写作负一。 因此最后化简之后的结果应该是 cosine 三十六度减 cosine 十八度。继续进行化简，利用和差化积公式应该等于 cosine 三十六， cosine 十八。到最后的结果应该是乘以 cosine 三十六度乘以 sine 十八度。然后把二分之一这个地方会有一个系数，二，把二分之一就约掉了。 继续画简这一部分，我会发现三十六度是十八度的一倍，正好是十八度的一倍。因此我们可以 可以这样化解，乘以一个 cosine 十八度，而同时除以一个 cosine 十八度，这样呢，这一部分就会正好写作二分之一倍的， 将其化简之后，就可以得到二分之一倍的 sine 三十六度， 而继续化简作最后时，四倍 cosine 十八度，分之 sine 七十二度。 cosine 七十二与 cosine 十八相等，因此答案是二分之三 加四分之一，最终结果是四分之七。 好的，我们来看第二道题， 继续看第二道题目 仍然是先进行化简二倍的一加 cosine 七十二度，减去一个跟三倍的 cosine 八十四，可以写作 cosine 六度， 再减去一个 cosine 六度是加上， 那么我们将后半部分利用负极小公式化简，应当是二倍的 sine 六度减六十度，那么显然应该是 sine 负五十四度，然后将符号提出 减二倍的 sine 五十四度，那么它就等于二加二倍的 cosine 七十二度减 sine 五十四度。 我们将这一部分化简一下，应当是 sine 十八度减 sine 五十四度， sine 十八减 sine 五十四。我们可以利用和差化积公式， 它应该是二倍的 cosine 三十六度，乘以一个 sine 这个位置。注意，应该是十八度减五十四度除以二，那么应该是 十八度，应该写作 sine 十 sine 负的十八度， 因此二减二倍的 应该是四倍的乘以 cosine 三十六度，乘以 sine 十八度。这一部分和前一道题的这一部分非常相似，我们仍然可以用同样的方式进行化解，乘以 cosine 十八度， 然后除以 除以扣三十八度， 这个地方变成三十六度乘以二，然后最终可以写成 最终这一部分可以写作二减四倍的四分之一，因此最后答案是一。 好的，这道题就讲到这里，再见。
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