2024新课标一卷数学立体几何答案
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12:12查看AI文稿AI文稿我们来讲解一下二零二三年新高考数学全国一卷立体几何这道大题。立体几何考了这么多年，每年都是间隙设点，毫无新意。在一个四轮座，其实就是说底面呢，是一个正方形，那么它的边长呢？是二， 然后他的侧棱长是四。好，有这两个条件，我们可以直接间隙设点，建立如图所示的坐标系，对吧？ x、 y、 z 这三个方向。然后呢，又告诉一些边长， 好，他，他和他，而这三个长度呢，方便我们去描述点的坐标。其中啊，这一段他的长度是一个一，然后呢，这个这个的长度是二，等于这段长度 也是二。好，还有一个长度是这个， ok， 那么这个长度是三啊。大家想一下，有了他，他和他，那么其中这个点，这个点，这个点和这个点，他们的坐标是不是直接可以写出来了？ 好，根据我们建立的坐标系啊，我们把第一问用到的这些点的坐标全部给他描述出来。好，首先 b 二是零二二，其次 c 二是零零三。再来啊， a 二是二二幺 d 二二零二，这一步不要出错，这一步出错就全完了，后边都不用做了啊。好，接下来我们把这两项量算一下， b 二、 c 二这个项量，他等 于 c 二的坐标减去 b 二的坐标零负二一。好，同样的道理，我们再来算一下， a 二、 d 二这个项量也是零负而已，那么这两个项量是平行的， 所以呢，我们就直接证明出来了， b 二和 c 二，他们在和直线的是互相平行的。好，这是第一问，第二问呢，难度不大，但是计算量非常大，当然这个计算不要笨，算他也是有技巧的。 a， 那么接下来呢，我们来做一下这个第二问号，看一下第二问，首先注意题目，他说的是哪个二面角呢？ p a 二 c 二 d 二好，是这个二面角，那么他涉及到一个新 的点，这个点呢，在 bb 一上面运动，所以我们可以直接把这个点的坐标给他设出来。好，假设点 p 的坐标就是一个零二 b， 因为这个是未知的，所以他就可以在 bb 一上面去运动了。 好，然后呢，我们要去求这个二明角，就要去求把项链，求法项链，看一下需要用到哪些项链 好，通过二面角找我需要的项料有两个平面啊，那么在第一个平面当中，我们可能会用到 c 二 a 二项料， 还会用到 c 二 p 香料好至第一个平面，那么第二个平面也是同 通过二面角，直接通过这些角标去找，可能会用到项料， c 二 a 二项料啊，以及 c 二，他这个项料和这个项料。 c 二 d 二项料。好，刚才那个可能会用到这个项料和这个项料。 那么接下来呢，我们电梯的坐标知道了，那么通过第一问呢，我们已经把 c 二、 d 二、 a 二这三个点的坐标啊，这是 c 二、 d 二、 a 二，他们的坐标全部都写出来了。 好，那么这样的话，我们就可以直接把这三个项链与它表示出来。好，我们来表示一下，首先 c 二 a 二项料，它等于 二二负二，好，再来 c 二 d 二项量，他等于二零负一， ok， 继续 c 二 p 项量啊，他等于零二 b 减三， ok， 接下来我们来表示一下法项量，假设第一个平面 a 二 c 二 d 二，那他的法项量如果是一个 m 项量是 x one z 法向量有一个很重要的性质，法向量是垂直于平面内的任何一条直线，那么它就垂直于我们用平面内的点表示的向量，所以我们就可以得到 m 向量， 点乘上 c 二 a 二项量，这个值是等于零的， m 项量再点乘上 c 二 d 二项量，这个也是等于零的。然后呢，就是项量之间的坐标，用算把他们给他算一下，就可以 得到二 x 加上二 y 减去二 y 等于零，好，其次，二 x 减去 y 等于零，好，根据这个和这个 三个未知数只有两个方程啊，那其实是算不出来的，但是我们可以复直去表示他们之间的一个关系。 好比如说第二式子得到二 x 等于 z 啊，那我其实可以假设 x 的于一，那么 z 就是等于二，再把它们带到第一个式子里边，算出 y 等于一，所以 m 项量等于一。一二， 好，同样的道理啊，同样的道理，我们假设呢？第二个的平面 a 二 p c 二，那么它的法项量 假设是一个 n 项量啊，我们用完全相同的做法，那其实 n 项量他是点乘上我的 c 二 a 二项量是等于零的。其次， n 项量在点乘上 c 二 p 项量也是等于零的，对吧？好，这个具体我们就 不写了，直接给大家。结论。 m n 项量呢，是等于一个二除以三减 b 减一，一，再来一个二除以三减 b。 好，两个项量，两个法项量，确切 的说都求出来了。接下来呢，根据二面角，那么题目呢？看一下题，题目说这个二面角的大小是一百五十度，对吧？好，我们能不能把这个 b 给他求出来了？当然是可以的，在这里呢，涉及到一个简单的几何知识啊， 那么现在我们知道这两个平面夹角呢，是一个冻脚，对吧？一百五十度，好，这是他的发现料，这是他的发现料，这垂直，这垂直，这一百五十度，那么他们的夹角的和这个一百五十是互补的，那么这个角应该是一个三十度。 好，也就说两个限量的假酒使三十度，那么他们的余弦值两个法向量，他们的余弦值应该是一个三十度的余弦值，就是二分之根号三。好，那道理是比较简单 的，这个项链点上这个项链，除以他的膜乘以他的膜，好，那么他这个结果就是一个刚才我们说的，哎，三十度的余先值二分之多少三， ok， 这是算式啊，接下来主要是计算。呃，那么用算量还是比较大的，首先 m 项量点上 n 项量， 用它去乘以它啊，横坐标，纵坐标，竖坐标分别相乘，再相加，你就得到了 二除以三减 b 减一加上一个一，再加上四除以三减 b。 好，这是向量的点乘。然后呢，再除以他们各自的模长， m 向量模长使根号六，然后再乘以这个啊，这个其实如果 通风的话，我们会发现分母都是三减 b， 对吧？好，刚好下，每一个都给他平小方。好，这一呢，我们简单了合并一下， 三减 b 分之二减三加 b， 那就是三减 b 分之 b 减一，对吧？好，他呢就是三减 b 分之 b 减一括号的平方加上一的平方，再加上二的平方除以三减 b 括号的平方。好，这个结果等于根号三比二， 注意到这个地方不要死算啊，看看有没有可以化解的地方，比如说加一减一是不是没有了？好，然后分母同为三解 b， 三解 b 分之六，那么下边这个，下边这个，我如果我们再多写一步啊，这是六除以三解 b， 对吧？然后呢，除以这边是根号六， 六乘以好，他根号下，这是平方，我们把分母全部通分，我们发现这是一个三角 b 的平方，如果给他开根，那开出来就是一个三角 b， 好，接地方，不用担心符号的问题啊，因为呢，我们已经推出来了这两个像量的夹角，一定是他的余弦值，一定是正的，是大于零的，而分母是大于零的，所以分子肯定大于零和三节臂就是大于零的， 那这样的话就可以大大解化我的运算。那开出来这分母是一个三解 b 这分子了，是一个 b 减一的平方，再加上，注意，这是一啊一的话，是不是三解 b 的平方，分之三解 b 的平方，所以这地方特别容易 错，注意，这不是一，这是三角 b 的平方， ok， 然后呢，再加上一个四啊，那么他输等于根号三比二， 然后注意三节臂和三节臂约掉根号六，除以根号六，剩一个根号六，根号六和根号三越下剩余根号二，然后左右两边同时给他平方 平方之后这根花儿变成了二，二变成了四，给他交叉相乘好，这是二，这是四，二，四得八，我们就得到了八，等于他的平方哦，乘以一个一， 他的平方就是 b 方减二， b 加一，再加上九减六， b 加上一个 b 方加上一个四，好，合并一下，这边是二， b 方减去一个八， b 这边是加十加八约一个，剩高二加串六等于零，就得到了 b 方减四， b 加三等于零。好，那这样因式分解， b 减一乘以 b 减三等于零，我们得到 b 有两个值，第第一个答案是一，第二个答案是三。 好，必算出来。注意看下题，题要我们求什么题？让我们求的是 brp brp 的长度，对吧？那 brp 怎么来求呢？注意， br 到 b 的距离是不是二，而我现在 p 啊，我们算出来了，小 b 是等于一或者三的。好，那小 p 的位置呢？在哪里？它的位置一个是倒点 b 的距离是一，一个是倒点 b 的距离是三，这段长度是三。那不管是一还是三，我 b 二 p 的长度 这一段，或者说这一段，要不呢就是三减二等于一，要不就是二减一等于一，不管是一还是三， b 二 p 的长度都是一，所以我们就得到了 b 二 p 长度等于一。 ok， 那么这道题我们就做完了。立体几何这道题思路很简单啊，有一定的计算量，难度呢，不大，只能说是一道比较常规的题目。好，今天分享就到这里，你做对了吗？
1294北京初高中数学李老师
