高考数学第16题

第十六题，以至一个椭圆，这是一个焦点在 x 轴上的椭圆，它的上顶点为点 a， 两个焦点是 f、 e、 f 二。我们画一个图，告诉我们离心率是二分之一，那么 e 等于 a 分之， c 等于二分之一， 也就是 a 等于二， c 过点 f 一且垂直于 af 二的直线交托源于第一两点，那么在图上画出来就是这个样子。 过点 f 一，垂直于 a f 二。由于离心率，可以推出 a 等于二 c 点 a 是上顶点 ao 的长度是 bof 二的长度是 c。 根据 a 方等于 b 方加 c 方，我们 可以知道 a、 f 二的长度是 a， 而 a f 一和 a f 二由于对称所以相等。那么又因为这个 a 啊，他等于二， c 就等于 f 一 f 二。 所以说这个三角形 af 一 f 二是一个等边三角形，因为 d e 这条直线是垂直于 af 二的， 那么他过了顶点 f 一，这是一个等边三角形啊，根据三线合一，这里垂直也就平分，所以这个点呢，是 afr 的终点。 换句话说，直线 d、 e 是垂直平分。线段 a、 f 二的后面又告诉我们， d e 等于六，就是这条弦的弦长，求的是三角形 a d、 e 的周长，三角 ade 的周长由线段 a e 的长度、 ad 的长度以及 d、 e 的长度组成。由于 d e 是 af 二的垂直平分线，那么点 e 到点 a 的距离应该等于他到点 f 二的距离， 所以这个 a e 实际上就等于一 f 二。同样的道理， da， 由于点地在线段 af 二的垂直平民线上，那么 da 就等于 df 二， 于是这个三角形的周长就转化为了 e f 二加上 d f 二，再加 d e， 那么根据焦点三角形的性质，结合椭圆的定义，点 e 在椭圆上，他到两焦点的距离之和等于二， a 点地 也在椭圆上，他到两焦点的距离之和也是二 a， 于是这三个相加可以转化为两个二 a 相加，也就是四 a。 所以我们只要把 a 求出来，这个三角形的周长就解决了。 那么现在还剩一个条件就是弦长，第一他还没有用，要求弦长，可以用这条直线第一和椭圆进行连力， 这条直线是过点 f 一的， f 一的坐标是负 c 豆零，那么它的斜率呢？我们可以看一下这个角 e f 一 f 二， 这个角是这条直线第一的倾斜角，它的度数呢？由于第一是垂直平分 af 二的，那么在这个等边三角形 当中，这个角就应该等于三十度，于是第一的斜率应该等于摊的人的三十度，等于三分之跟三。所以直线第一的方程是外等于三分之跟三倍的 x 加 c。 而椭圆这个方程中有 a 方和 b 方，我们可以根据 a 等于二 c， 把它们一律转化为 c 方。 由于 a 方等于 b 方加 c 方，把 a 等于二， c 带入进去，就是四 c 方，所以 b 方等于三 c 方， 那么椭圆的方程就应该是四 c 方分之 x 方，加上三 c 方分之外方等于一。现在我们把这两个式子进 行连力，把外带入这里，消掉外方，并且化整，可以得到十三 x 方，加上八 cx 减三十二， c 方等于零。 我们设点 d 的坐标是 x 一，万一点 e 的坐标是 x 二 y 二，那么根据弦长公式， d e 的长度等于根号下一加 k 方，乘以 x 一减 x 二的绝对值， 也就是根号下一加 k 方，乘以根号下 x 一加 x 二的平方减四 x 一 x 二。那么现在就可以把斜率以及两个尾答定理带入进去，等于一加三分之跟三的平方 就是一加三分之一乘以根号下 x 加 x 等于负的十三分之八 cx 一乘 x 等于负的十三分之三十二 c 方， 于是就等于根号下负十三分之八 c 的平方减去四乘负十三分之三十二 c 方， 把这里通分一下，开出根号和前面相乘化，减得到十三分之四十八 c， 而题目告诉我们 d e 等于六，所以十三分之四十八 c 就应该等于六，那么可以解除 c 等于八分之十三，而要求的周长被我们转化为了四 a， aa 等于二 c， 所以四 a 就等于八 c 八乘八分之十三等于十三，所以所求三角形的周长就是十三。