高考数学第16题
粉丝665获赞8095
相关视频
17:10查看AI文稿AI文稿想要学好高中数学，不能一味埋头刷题，刷再多新题，不抓本质，依旧反复踩坑，只有摸清底层逻辑，做题才能举一反三，不卡断。接下来跟随邵老师一起拆解那些看似复杂的题目，直接考点核心，把抽象的公式转化为直观易懂的思维模型。 今天我们要讲的是二零二四年全国甲卷第十六题，从前无从下手，如今题题通透， 我们一起来看这道题。这道题说，当 x 大 于零的时候，曲线 y 等于 x， 地方减三 x 啊，大家知道这是一个三次函数的图像与曲线 y 等于这个，那大家都知道这是一个二次函数的图像。 好，他要求这两函数的所谓的曲线，实际就是两函数的图像有两个焦点。 大家知道啊，这个东西其实是一个几何上的表述，对不对？因为他说的是俩曲线有交点，这明显是想说几何上的性质。可是我们高中数学里贯穿主线的事情，就是说几何与代数这两件事之间有强烈的一致性。 所以我的观点是，这道题你想从几何的角度着手也行，想从代数的角度着手也行。但是说白了，你就是得把这些问题呢，去做一下适当的转换。 比如说几何上，我可以怎么做呀？那他说俩曲线有俩焦点，我把俩曲线给画出来还不行吗？对不对？我看 a 变化的时候，这个曲线怎么样才能让他有两个焦点画图？好吧，所以几何上，我具体意思就是说，你去把图给我画出来算了。 好，那为了画图，我首先需要一个坐标系。大家都知道，这块需要一个平面直角坐标系，这是圆点，这是 x 轴，这是 y 轴。两个曲线的同学们， 第一个曲线 y 等于 x， 三次方减三 x。 虽然我有一个小问题，就是你想一想哈，这个画图他肯定是一个普遍性的操作嘛，你怎么画图呢？同学们，我可以说全天下几乎所有的画图都无外乎是结合以下两个事情， 第一个是特殊点，而且大家在学函数的时候，你会把这个操作去说成瞄点，理论上你只要对一个连续函数来说，你画的点足够多，是不是这个图就能画出来？好。第二件事是什么？ 是性质，比如说单调性、极偶性、凹凸性、周期性，像这样的一些性质，如果他具备的话，那么我们可以在图像上去体现出来他这个性质。那现在来讲，对于这个三次函数图像来说，我们想想，就你这玩意有什么性质，有什么特殊点？ 那第一个我一眼就能看出来的性质， a 就是 它是奇函数。第二个我可以找到它的零点， 因为这个方程你让它等于零并不难求，就是你让 x 三次方减三， x 等于零，解得 x 一 等于零，但是这个顺序无所谓哈，那 x 二等于负的根三， x 三等于正的根三，就是你把零提走之后，是不是剩下 x 方减三等于零啊？ 对吧？ c， 因为他毕竟是个具体函数，而且还是具体函数里偏简单的，所以的话你还可以继续去探求他的这个更进阶的性质，像极致点我觉得是可以做到。 这个实际上大家应该知道，我们求极致点，你不就求个导，导出零点吗？这个操作什么时候能做？ 一般来讲就是函数表达式，如果不是很复杂，这总能做。你像第一题我觉得就没什么悬念，但是等会这个第二题，你可能稍微悠着点，不一定的，因为毕竟这个复杂的表达式，它和第一个还是有本质不同的。 这个稍后咱们再说来极值点，为了求极值点，我是不是先求 y 撇等于三， x 方减三，那你令 y 撇等于零，我是不是得到 x 等于正负一，说明正一和负一就是它的极值点呗。而第四个我还可以说它的单调性， 但这个我就不细写了哈，因为其实作为三次函数来讲，它单调性大家应该是熟知的。到这为止，我把所有的这个函数刚才所说的几个要点给大家标出来，这个点是根三， 这个点是负。根三这块是一，对应的函数值是负二是在下面，你只要代入算一下就行。好，这是负二，那负一这块对应的函数值是正二， ok， 正二。所以我们结合整体的单调性，我想的我们能够把这个三次函数图像 不光能画出来，而且其实这样的画的还挺精确的，这是一段，中间这块是减的，他的那个关于原点还是对称的。好，我从这上去。 ok， 这是现在我画出来的三次函数的简图，希望大家体会。我们所有函数绘图的基本方法就是刚才所说的这个特殊点加上性质。你看我现在所说特殊点，包括零点和极值点， 而性质最直观的性质就是一个奇偶性，因为这个明显是个奇函数，那单调性是需要计算的，但是这道题单调性计算并不难，原因是极值点我已经算出来了。下一个问题，他还要求你去研究 y 等于负的 x 减一的平方加 a， 这是第二个函数，但是第二个函数反而还简单。为什么这是二次函数？ 二次函数的性质我不需要去通过导数或者类似于这样相对更进阶的这个方法去达到这个要求。我二次函数的性质 大家初中学的很清楚啊，对不对？所以你知道的这个对称轴一定是 x 等于一，而且他的开口是向下，但是 a 影响什么？ 你知道一个函数图像当中一个参数，我必须得问这个参数影响什么？一般来讲就是你函数表达式中如果有参数的话，他不可能什么都不影响。 我希望你先想明白这个道理，肯定是有影响的，但是到底影响什么，你就得考虑其他都不变，唯独这个参数变的时候他影响什么？ 那现在你看到他只是在常数项的位置，对不对？所以他影响的是这个函数的什么，就是上下平移的问题。所以这个二次函数大致长什么样，一定是以这条线为对称轴的， 我大致画几个，请大家考虑一下。这是一种可能性，当然这些因为我手动话筒没法那么精确，实际他只是上下平移的问题。你还可以说啊，这都是可能性 对不对？来，现在考虑一下题目问的是什么？他问啊，这点函数有两个焦点，问 a 的 取值范围， 你知道这些过程中就说，如果我们有两个焦点，问你 a 的 取值范围是不是？实际上就是想问你这个二次函数可以上下平移到什么地步，才能使得当 x 大 于零的时候，我们能够让它有两个焦点， 那函数图像越往上，你的这个 a 越大，函数图像越往下，你的这个 a 越小， 对不对？你有两个焦点，来，我首先看，当你 a 特别小的时候，根本就没有焦点，直到他正好过这个点的时候，是不是正好有一个焦点？那你再往上移动一下，是不是应该有两个焦点，对不对？ 所以这这些情况都是两个交点好。所以我说 a 的 下限是指的是二次函数过我们这的一负二这个点的时候，我得到的 a 的 下限。那你一直往上平移，往上平移 什么时候开始没有两个焦点了？大家要考虑清楚哈。这块容易错，为什么人家说的是 x 大 于零的时候，你不要说左边这个三次函数一会上来一会又下去，和我这比较好像对不上线跟他一点关系都没有。 我要的三次函数只有大于零这半截，你理解了哈。所以从这开始右边这个焦点一定存在，没有一点好质疑的。因为二次函数向下就是相当于是单减，而且可以减到负无穷，你的三次函数向上单增，而且增到正无穷， 所以肯定有一个焦点，就说这个焦点你再怎么向上平移他都存在。但是由于三次函数到这就截止了，所以二次函数最上也只能平移到这个位置， 好吧？所以我说 a 的 上限是让二次函数过零零的时候，好吧，让二次函数过零零的时候， 而且你这俩数都是开去减去不到的。为什么呢？下限这个点的时候是不是只有一，只有一个交点呀？那这个点是不符合题，而上限你过零零零零可不在我的要求范围之内，我说的是 x 大 于零， 好吧，所以分别把这俩上限和下限带入这个二次函数的表达式，你就能分别算出 a， 那 a 的 取值范围就是中间这一段。 ok， 最后经过简单计算，我们可以发现这个范围是负二到一的这个区间。当然我们讲到这，但是我还是有一些地方要强调一下。首先我先概括一下我刚才讲的东西到底都包括什么？说一些核心的观点，大家就是去体会我们这所说的以最核心的想法。 第一个他让我去找函数，找俩曲线的焦点，我找就完了呗，相当于画图。那画图需要什么？需要一些关键性质，具体包括特殊点和一些特殊的性质。而特殊点一般来说就是零点、极值点、整数点，像这样的一些， 那性质包括单调性、极偶性、凹凸性、周期性，主要这几个。而二次函数的图像又不定， 因为他 a 不知道，所以我需要去考察，就是 a 的 变化对于二次函数的图像到底有什么影响。嗨，那经过分析发现它影响的上下偏移，所以我们是拿一个动态的图 去切三次函数，一个静态的图，一动一静，我看什么时候和我提议，就说有两个焦点就行了呗。我想这是这道题一个比较直接的做法，但是推而广之，我不只说这一道题吗？我想说什么？ 这道题之所以能这么做，有一个重大的前提就是说你二次函数的对称轴或者说它的极致点正好和三次函数的这个对称轴或者极致点是重合的。大家希望理解这是一个非常重要的前提， 因为这道题给的数字是如此，如果明天别的问题并非如此的话，你就要考虑一个问题，假如说二次函数对称轴在这好，你当然可以想象，就是其实基本情况差不了太多。 三次函数我们应该说极值点，俩极值点如果没对上的话，那么真正的临界情况应该是这样，相切的时候，而相切的计算会比现在这个计算要稍微复杂那么一层， 因为你还得去设出切点，去找他们什么时候有一条公切线，像这个时候才是真正的临界这状态。你比如说啊，这块是相切的，那往下一点就没交点了， 再往上一点就有两个焦点会存在一个这样的情况。所以这道题之所以控制了难度，因为毕竟作为一个文科实体，我想这块让他们的极致点的横坐标重合还是经过的有意的设计，那如果真遇到这种情况， 大家希望也是可以想办法看看他怎么去计算。当然呢，你还可以干脆别考虑这些了，我说代数的方法，我就给你一种可能性，完全绕过刚才所有的讨论， 为什么曲线交点是不是其实就是方程组的解，那是不是你相当于想着 y 既要等于 x 立方减三， x 又要等于负 x 减一的平方加 a， 就是 一个既要等于这个又要等于那个， 那反正根据函数的定义，我有几个 x， 我 就有几个 y 呗，有一个 x， 我 一对应一个 y。 那 你问题其实不就是别管 y 了，看这个方程有多少个解就行了吗？而这个方程我是不是可以给你一个项？一项哈，就是 x 三次方这块我经过化简计算， 加 x 方减五， x 加一减 a 等于零， f x 相当于另出一个新函数 等于 x 的 三次方。就反论，把这一串再抄一遍，你现在的要求是不是其实就是要让这个 f x 在 x 大 于零时，有且只有两个零点？ 大家注意，我们这做的工作就是把刚才的焦点去转化成这里的零点。为什么会这样？因为你的焦点实际是方程组的解，而我可以干嘛呢？就是消去 y 之后，得到一个关于 x 的 函数， 那得到这个函数其实后来就变成了什么？就是关于 x 的 这个方程的零点。那你让我画 f x 的 图像， 我至少知道他并不属于一个我事先就清楚的方法体系。你比如说像三次函数，二次函数怎么着的？但是今天这道题好就好在哪？ 就是他关于 a 的 变化非常简单，非常清楚， a 同样是只影响它的上下平移，而除此以外，你别管你认识还是不认识，总而言之，这个函数是简单且确定的。 我就说除了上下平移这一个要素之外，所以我总能用倒数把它研究清楚。好，继续我们来看， f 撇 x， 一 算，发现是三 x 方加二 x 减五， 然后令 f 撇 x 等于零，解得这个 x 等于负三分之五，或者等于一。但是注意，就是我们这里这个 x 大 于零的时候才有意义，所以这个其实对我们最后的结果没多大影响。好，所以这样的话， 我们去考察一下，一以左一以右，以这个导函数的正负，当 x 大 于零小于一时，就是 f x 是 负的， 所以 f x 是 减的，当 x 大 于一的时候， f x 是 正的， f x 是 增的。而且大家考虑就是在正无穷处，你的 f x 极限肯定是正无穷，毫无疑问。 但是在零处你要考虑一个问题，就是我的 f 零是一减 a， 对 不对？ f 零是一减 a， 所以 我们这的要求是什么？我需要让他在零到正无穷期间有两个零点，所以我需要让什么才能够成立呢？ 一个是 f 一 是要小于零的，那这样的话才有可能有两个零点，为什么？反之，如果 f 一 大于零，或者大于等于零， 那就说你极小，而且其实是最小，最小值也大于零，零根本就没有零点，所以 f 一 小于零是一个必要条件，大家考虑一下，画出箭图，那这个是 f 一， 这个是一这个点，但是光它不够哈，我还需要让 f 零要大于零才行， 不然的话，我担心你这小于零，万一这也小于零，那左边这个零点就消失了， 我们不允许出现这种情况。所以实际上我是需要什么让在这块要上了，有一个零点，你在正无穷处，他也能够趋于零，所以在一到正无穷之间能够有第二个零点。问题就是这样， 那大家考虑一下，即便是我刚才跟大家所说的这种，可能，你找不到这个所谓的切点，但是其实不能这么说，因为我不太承认曲线相切这回事，只会说曲线有公共的切线， 你如果感觉运算困难的话，那无论是我们所说今天这个极值点正好对上的情况， 还说像这种没对好的情况，我总可以用这个纯粹代数的方法去解决掉它。但是你也知道，如果真的图形简单，如今天这道题，我不认为你搞这么复杂的函数是一个相对合理的做法， 所以哈，不同的做法没有什么本质的对错，其实都行，但是如果问题越一般， 可能一般化的方法发挥的作用更大。如果问题很特殊，像今天这道题，特殊性就在于他俩的极值点 x 等于一对上了， 那么特殊的做法一定是能够发挥奇效的。好了，我们这道题就讲到这难题终结者邵老师，我们下次继续。
95清华邵瑞朋讲数学
05:57查看AI文稿AI文稿墙上莫名出现一个洞，男孩忍不住好奇，凑近一看，第十六题，五的平方减去 log 二为底的四的增数为多少？来五的平方，二十五 减去 log 二为底的四的增数，那 log 二为底四的增数，就把它画成 log 二为底，四就画成二的平方，对吧？也就是等于二十五，减去二嘛，那就是二十三啦。好，再来看一下下一套 十七题，已知这个点在椭圆上，求 a 的 值为多少？好，这个点在椭圆上，就把这个点直接代入到椭圆这个方程就好了嘛。 那三就 x 嘛，也就是 a 的 平方分之 x 平方，那就是三的平方，那九呗。好，加上四分之 y 的 平方，这里的 y 就 等于零嘛，带进去，那这一块东西为零，那不写了啊，就等于一算出来 a 的 平方就等于九， 那 a 那 就等于三，解出来答案就是三了。好，下道题，已知向量 a 为这个坐标，向量 b 为这个坐标啊。 a 平行于 b， 让我们求 x 的 值为多少啊？平行的话，那就是内积相乘等于外积相乘啊。四二跟二相乘就等于四，四等于一乘 x， 那 就等于 x， x 就 等于四。 好，下一题比较简单啊，十九题，等比竖列公比 q 等于二， a 四等于十六，让我们算这个 a 一 等于多少，对吧？好，来，我们看一下十九题，那这里的话， a 四，我们就把它画成 a 一 乘以 q 的 三次方嘛，对吧？就等于十六。好，那这里呢， q 等于多少呀？ q 我 们知道是等于二，就把 q 带进去呗。那 q 等于二，那二的三次方，那就等于八 八乘 a 一， 那就等于十六嘛，对吧？好，那这样我们算 a 一 a 一 等于多少呀？什么数除以？呃，什么数乘以八才等于十六呀？ a 一 就等于二嘛，对吧？好，比较简单啊。好，最后一道题 已知 cosine alpha 加 cosine beta 等于二分之一，那我们求这个 cosine 或 alpha 减去 beta 的 值为多少，对吧？ 那这道题呢？其实前几年也考过啊，我们就把它平翻就好了啊。把这都平翻就好啊，都把它平翻，答案就出来了，来，平翻试一下。 这边左边平翻展开，那就是 cosine 平方 alpha 加上 cosine 平方 beta 加上两倍的 cosine alpha， cosine beta 等于十六分之九。 好，右边也把它平方展开展开，就是 sine 平方 alpha 加上 sine 平方 beta 加上两倍的 sine alpha， sine beta 等于四分之一。好，那么观察一下，观察一下啊，这一块跟这一块，对吧？ cosine 平方相加起来是不是等于一啊？还有它 平方跟他平方相加起来是等于一的嘛，对吧？由此我们就可以观察出来，那我们就把这个列为一式，这列为二式，他们就相加起来呗。好，相加起来，他加他等于一。 我就写一个三秒一加上，那他加他也等于一呗。一。好，这两块也相加，那就是二。 cosine alpha， cosine beta 加上两倍的 sine alpha， sin beta 等于来十六分之九，加上四分之一，对吧？也要相加二都要相加起来，相加起来就等于十六分之十三嘛。 好，来，这里的一加一就等于二，这里的二呢？我们就把它移到右边去，相当于就减二呗，对吧？这边就没了。减去二，那右边就等于十六分之十三。减去二，把二化成十六分之三。十二啊，跟他一相减， 那右边就等于负的十六分之十九，那左边只剩下这一块，对吧？就把它这个都有，前面都有个二，就把这二先提出来。二括号 cosine alpha， cosine beta 加上 sine alpha， sine beta。 好， 来，我们观察一下。啊， 那这里的二，对吧？前面有个二，我们就把这二移到右边去，就乘以二分之一嘛，对不对？乘二分之一，那那左边这个就没了，那右边呢？就等于负的三十二分之十九啦，那左边只剩下它啦。来观察一下这一块的东西，很明显就是一个 cosine 的 一个和差公式嘛，对吧？ cosine 和差公式，我们把它转换一下，那就是等于 cosine 的 括号 alpha 减，去背它呗，对不对？对吧？那这个东西 很明显吗？就是我们所要求的这一块嘛，对吧？那它的值那就等于负的三十二分之十九，答案就是负的三十二分之九。好，填空题这五道就讲完了，你有没有听懂呢？
03:19查看AI文稿AI文稿各位，二零二六年高考题啊，第十六题居然是一道初中题，你敢信啊？初中的知识都能解出来说已知三角形， abc 啊， ab 等于三，那标注一下啊，一个三角形，它的边长是三，对不对？ bc 等于二倍根号三， bc 是 二倍根号三 啊。 cosby 等于三分之根号三，就说这个角啊，它的余弦值是三分之根号三，求 cosby 就是 求这个角的余弦值，我们分析一下啊，它这个条件， cosby 是 三分之根号三，就这个角的余弦值 怎么表示呀？咱们是不是肯定得做个垂线啊？各位，是不得做个垂线，做垂线，他的鱼旋指。鱼旋指是什么意思？这个啊，这个临边比，比上这个斜边就是这个边，比上这个边是不是三分之二三啊？这不就很简单了吗？你说这个这个边等于多少？ 肯定得根号三呀，因为根号三比上三可以根号三分之根号三，所以说，这不就啊，他不就等于根号三吗？各位，这个总长度是二分之二倍根号三，那这个长度是不是也是根号三？ 也就说这是垂直平分线，这不就是一个等腰三角形吗？各位啊，这是不是初中的知识，也就说这个是根号三，这个是根号三，总共长度是二倍根号三，对不对？他求的是啥？求的这个角啊？角 a 的 余弦值， 他的余弦值怎么表示啊？初中的同学都知道，肯定从这做个垂线上去啊。做个垂线余弦值是什么意思？邻边比斜边，是不是这个边比上这个边 啊？那我只要把这个边长度求出来不就行了吗？这个长度怎么求？各位啊，怎么求？ 先把这个高给求出来，这个长度求出来，这个长度很好求，为什么？三角形等面积法就是这个大三角形啊？ 这个底乘上高什么？等于这个底乘上高，再假设这个长度不知道等于 h 号吧？等于 h， 然后这个底是二倍根号三，对不对？乘上这个高多少？这个高是多少？他的平方是九，他的平方是三，是不是根号六啊？ 他的平方是九，他的平方是三，减去他开方，那不就根号六吗？也就说这个底乘上这个高，根号六，是不是等于这个底乘上这个高，这个底不是三吗？乘上高 h， 那 h 是 不是很容易算出来等于多少 啊？这是根号十八，二倍根号十八，除上三根号十八，是不是根号九？乘上根号二，那不就三倍根号二吗？这个东西它是三倍根号二，咱给它换一下， 再除上三，咔咔一笑，二倍根号二，也就说 h。 啊，这个长度是二倍根号二，它是二倍根号二，咱标记一下， 那这个小长度不就出来了吗？他的平方九减他，他的平方是八，对不对？他的平方九减八平啊，这个长度小长度是不是一啊？也就说这个长度是一， 那 cos a 的 余弦值就是他比上他，那不就一比三吗？那是不是等于三分之一啊？这不初中题吗？这高考题也不难，各位。
3831马老师数学课堂
03:11查看AI文稿AI文稿泰勒展开式的放松应用两边加的思路啊！考前三百天，胡老师给大家提供了考前三百天的三百题，那我们今天来看第十六题，那我们在第十五题里边讲到了同共函数的问题，那这一课我们看一下第十六题这道题啊， 呃，已知 x， y 属于全体实数，然后令二 x 加 y 减去 e 的 x 加二， y 减 x 加 y 加二大于零。然后我们观察一下题干啊，我们在题干中给出来的是不等式，现在我们看 题干中老给出的是不等式，但是我们观察一下要求的式子是什么呢？是等式，也就是说 x 和 y 的 等式关系。那我们通常会想到的思路是什么样的呢？我们叫做两边夹啊，也就相当于说，如果我们见到了 a 大 于等于 b， a 小 于等于等于 b， 那这个时候我们就能知道了 a 是 等于 b 的。 那对于这道题来说，我们看给的是大于等于零的，那我要解 x 和 y 它俩的等式关系，所以我们左边会想到的叫太阳展开式的放松。呃，我们先来看第一个式子啊， 我们见到了 line 二 x 加上 y， 呃，我们会想到说 line x， 它应该是小于等于什么呢？ 小于等于二， x 加 y 再减一啊，我们想到的式子是这个，那取等条件，我们看到是二 x 加 y 等于一的时候取等的，我们在一块写上啊， 二 x 加 y 等于一，取等啊这左边。然后我们又见到了 e 的 啊，我们看到了是 e 的 x 加上二 y 次方，那这个时候我们给出来了 x 加上二 y 再加上 e 的， 那这个是用到了呃，它的展开式的方缩，那现在咱们看一下它的取等条件是 x 加二， y 等于零。好，那么这个式子啊，我们看它是小于等于，这个是大于等于，那我们利用不等式的性质啊，我们左边 来二 x 加上 y， 再减去 e 的 x 加上二 y 就 应该小于等于。看啊，这个式子相当于我们左右两边同时成个负号，不等号方向改变，然后它们相 减，相当于二 x 减 x 剩 x， y 减二， y 减去 y， 然后这个式子相减，我们变成了减二。那大家就看到了，哎，老师你给的是大于等于，而我们把这个移项移过来，会发现这个式子是小于等于的， 那既大于等于，又小于等于，我们就取到等号了。那我们取等的条件是什么呢？是这两个式子同时成立的 啊，那我们就可以解出来 x 和 y 的 值，但实际上呢，我们这个式就可以直接得到了，那 x 除以 y 就 应该等于负二，那我们这道题的比值就直接得到了，答案就应该是 c 啊。所以这道题咱们吹到的同共，也就相当于说我们去利用了 放缩的思路去解决这个不等式的问题。实际上最关键的点啊，同学们一定要记住了，这是不等关系，而我要求的是等式，那会用到的思路。是啊，在这呢画一个重点号，同学们可以好好看一下这一类问题的处理思路。
06:28查看AI文稿AI文稿今天我们要聊的是二零二六年高考数学天津卷的第十六题。这是一道关于三角函数的解答题，满分十四分。在开始之前，我想先问你一个问题， 你觉得高考数学里什么样的题目最可惜？不是压轴题，做不出来，那是能力问题。最可惜的是，明明会做，却因为粗心跳步公式记混而丢了分。 天津卷的这道第十六题就属于这种类型，它不难，但如果你不够细心，十四分说没就没了。好，我们来看看这道题到底长什么样。 题目给出了一个函数 f x 等于 sine， 括号二 x 加六分之派。第一问，求这个函数的最小正周期。第二问，给定 x 的 一个范围，求函数在这个范围上的最大值。第三问，给了一个角 alpha 的 正弦值，求 alpha 的 值。 三个小问层层递进，考察的分别是周期、公式、换原法、求最值以及给值求值。 接下来我们一道一道来分析。先说第一问，求周期，这是整道题最基础的送分环节，你只需要记住一个公式，正弦型函数 y 等于 sin， 括号 omega x 加斐的周期 t 等于二派除以 omega 的 绝对值。 在本题中， omega 等于二，所以周期就是派。但这里有一个很多同学都会踩的坑，漏掉绝对值。如果 omega 是 正数，漏掉绝对值可能看不出来问题，但如果 omega 是 负数，你直接写成二派除以 omega， 结果就成了负数，周期不可能是负数。 所以从平时练习开始，就要养成写绝对值的习惯，公式就是公式，不要擅自简化。好。再来看第二问，这是整道题的核心，也是区分度所在。题目给了 x 的 范围是从负六分之派到十二分之派。 很多同学拿到这个题，第一反应是直接盯着 f x 去分析单调性，然后把自己绕晕了。为什么？因为括号里是二 x 加六分之派，这个复合结构让单调性的判断变得复杂。正确的思路是什么？四个字，换原法。你把括号里的二 x 加六分之派整体设为一个新变量 t， 这样一来， f x 就 变成了三因 t， 而 x 的 范围经过限性变换变成了 t 的 范围。原问题就简化为在 t 的 某个范围上求三因 t 的 最大值和最小值。 这是初中就学过的知识，一目了然。换元法的本质是什么？是把复杂问题转化成你熟悉的问题。这是一种非常重要的数学思想，不仅适用于三角函数，在函数导数解析几何中都有广泛应用。 算一下，当 x 在 负六分之派到十二分之派之间时， t 就 在负六分之派到三分之派之间。 在这个区间上，三一 t 是 单调递增的，所以最小值在左端点取得负二分之一，最大值在右端点取得二分之根。号三。这道题的易错点在哪里？ 第一，换元后忘记求替的范围，直接分析三替的单调性等于没换。第二端点带入错误，把左端点带成了右端点。第三，认为正弦函数在整个实数范围内都是单调的，这些都是常见的失误，考场上一定要避免。最后是第三问给值求值。 已知角 l 法的正弦值等于三分之根号三，要求 f l 法，也就是 sine 括号二 l 法加六分之派的值。这类题的解析路径是固定的。第一步，利用同角、三角函数基本关系，由 sine l 法求 cosine l 法。 这里有一个关键动作，判断正负号。题目给了 l 法属于零到二分之派之间，说明 l 法是第一象限角，可 sin l 法是正数。很多同学在这里忘了判断符号，直接取正负两个值，结果就错了。第二步，利用二倍角公式求 sin 二 l 法和 cosine 二 l 法。 注意， cosine 二 alpha 等于 cosine alpha 的 平方，减去 cosine alpha 的 平方，口诀是与减正，千万别记反了。第三步，利用两角和的正弦公式，把目标式展开代入计算。 sine 括号 a 加 b 等于 cosine a 乘以 cosine b， 加上 cosine a 乘以 cosine b， 这是交叉相乘。注意搭配，不要搞混。整个流程清晰明了，没有任何弯弯绕绕，但正因为如此，它反而成了检验基本功的试金石。 同角关系既不熟，二倍角公式背反了，和差公式里 sin 和扩散的搭配搞混了，根号化简出了错，任何一个环节出问题，这道题就拿不到全分。 说到这里，我想问你一个问题，为什么高考数学会设置这样一道题？它既不是压轴题，也不是创新题，难度重归重取，但它的存在恰恰体现了高考命题的一个重要原则，基础性原则。高考数学百分之七十以上的题目都是中档题和基础题， 你能不能在有限的时间内稳定的把这些分拿到手，直接决定了你的数学成绩在哪个档次。这道天津卷的第十六题就是对基础知识的综合检验，他没有偏题、怪题，没有复杂的技巧，考的就是你是否真正理解并熟练掌握了三角函数的核心公式和基本方法。 他考的不是智力，而是熟练度和细心程度。所以对于这道题，我们的目标不是能作对，而是又快又稳的拿满分。 要做到这一点，我给你三条建议。第一，公式必须烂熟于胸，周期公式、同角基本关系、二倍角公式和差公式，这些是工具，工具不熟练，干活就会卡顿，考试的时候没有时间让你现场推倒公式。第二，换元法要形成肌肉记忆， 只要看到给定区间求三角函数最值，第一时间就想到换元，不要绕路。第三，计算过程要规范，每一步写清楚，不要跳步， 跳步是粗心的最大来源，你跳过的每一步都可能是你丢分的那一步。好了，今天的节目就到这里，我们来总结一下今天的核心内容。 这道天津卷的第十六题有三个考点，第一问考周期公式，注意绝对值。第二问，考换元法，求最值，核心是先把 x 的 范围转化成 t 的 范围。第三问，考给值，求值，注意符号判断和公式的准确使用。十四分不多不少， 但在高考的战场上，十四分足以决定你是上一个台阶还是留在原地。把这十四分稳稳的攥在手里，你的数学成绩就有了一个坚实的底座。祝你二零二六高考每一分都不白丢，每一步都走得稳！
25:14查看AI文稿AI文稿好，接下来我们来讲一下这个第十六题啊。第一位，我们先看读一下题，如图，在四棱锥 p 杠 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 是 一个底面，它给了一个条件叫做 pa 垂直于 a、 b、 c、 d。 在 做例题结合题的时候，一定要充分了解 题目所给的条件。什么叫充分了解？比如它告诉你 pa 垂直于 a、 b、 c、 d， 那 在这里面意味着它给我的条件有什么呢？ pa 它肯定是垂直于 a、 b 对不对？那 pa 还怎么样呢？垂直于 ad 对 不对？那 pa 还怎么样呢？垂直于 dc 对 不对？ pa 怎么样呢？垂直于 bc 对 不对？这些条件在你的心里都应该是清楚的，然后看，以防后面我们会用到。接下来他就告诉你 ad 垂直于 ab， 这也是垂直的， a、 d 也垂直于 a d， a、 b 这垂直，这垂直是不是 a 一个三角，一个呃，两两垂直的，一个 直角加角的一个情况对不对？墙角角的情况。然后他告诉你 a、 b 平行于 dc， ok， a、 b 平行于 dc 意味着什么？意味着你的 a、 d 和 dc 也垂直，这是不也得是直角，对吧？这就叫做充分挖掘题目所给你的条件。 然后呢，他又告诉你 a、 d 等于 dc 等于二， a、 d 的 长度这个是二，然后 dc 呢？也等于一个二。 接下来告诉你 ap 是 三啊，这个长度是三，然后告诉你 ab 是 一长度。都告诉你这是用来干啥的呢？这是用来我们在建职业教作料系中可以给他干什么呢？间隙， 间隙，标点坐标的，然后它告诉了一个什么终点，注意，终点也是终点。第一问，让你求证， b、 e 平行于平面， p、 a、 d 线面平行对不对？那这个时候老师就要帮大家回忆一下，线面平行， 线面平行怎么正线面平行？你只需要记住，你需要在这个平面里面找到一条线， 明白没？让它和你的 b、 e 平行。也就是说如果我的 b、 e 能够平行于你的 p a、 d 里面那条线，那我就可以和你的 p a、 d 平行了，就这么个道理，对不对？要明白自己的任务是啥？你的任务是在 p a、 d 里面找一条线和 b e 平行。那我们现在来看一下这个图， 看一下目前所给的这个图啊，你的 b、 e 现在和 p a d、 p a d 里面肉眼可见到的线有什么？ a d 啊？ p d、 a d 和什么 pa？ 那 这三条线它和 b、 e 平行吗？很明显是不平行的，对不对？甚至都是一个意面的一个关系。那怎么办呢？这个时候，这个时候要充分利用到我们的终点， 因为线面平行的过程中，我们是要正线线平行，也就在 p d 里面找这条线和这个线平行。那这个线线平行常用到的平行关系有啥呢？ 中位线就是一个三角形中啊，一个长度短，一个长度长，短的那个是长的二分之一，对不对？然后他俩还平行，就是平行，且等于他的二分之一，但是这个建立在一短一长的前提下，对不对？那还有一个是啥呢？就是要构建平行四边形， 构建平行四边形，但是通常你在构建平行四边形的过程中，你也要通过中点的形式， 也要通过终点的形式啊。好，所以我们现在要做的是啥呢？我们现在做的是因为你的 b、 e 里面已经有一个终点了，所以我们现在要做的是在你的 p a、 d 里面再找到一个终点， 看能不能和它构成平行关系。那 p a、 d 里面现在目前有 p a、 a d 和 p d， 比如说我在 p a 里面找一个终点，那么它俩一连有没有对应的中域线关系呢？它俩在，如果这是终点，这个是终点， e 是 pc 的 终点。 呃，这个比如说 f， 它是 pa 的 终点，那说明 ef 应该是 pc 和 pa， 就是 它俩所在的这两条线所组成的三角形里面，那它平行的应该是 ac， 是 不是？但是 ac 这条线跟我们 b、 e 扯不上关系啊，构建不了平行四边形啊，对不对？也构建不了这个也没有办法让我构建出能在 p a、 p a、 d 里面找一条线，那咋办？那我现在就可以选择谁呢？ ad， 那 选了 ad 就 更不行了，对不对？因为它俩现在是异面的关系，如果你它俩没有一个，就是在同一个平面中， a、 d 这条线和和你的 p c 这条线目前是异面的关系，它俩的中点一连构成中位线，也没有办法得到平行， 那怎么办呢？那我现在就只能试一试 p d 了，对不对？好，那当我在 p d 中找到了一个终点 f 的 时候，有终点连终点，那我把 f 和 e 连起来，把 f 和 e 连起来的时候，这两个终点，这个终点呢？它在 p c 这条线上， 对不对？而你的 f 这条中点呢？它在 p d 这条线上，哎，那你看它这两条线是不是在同一个三角形里？这个三角形是不是就是 p d、 c， 那 说明你的 e、 f 肯定跟谁是平行关系，是不跟 dc 平行，对不对？而且你还等于 dc 的 一半，对不对？ 好，但是你说老师，那你现在找的线不是应该在 p a d 里面找吗？对不对？好，但是你说老师，那你现在找的线不是应该在 p a d 的 一半，对不对？好，但是你说老师，你还告诉我一个 dc 的 平行关系是谁？ a b， 哎， a b 啊，那说明我现在 a b 和 d c 平行，那 a b 和 e f 现在是不是平行关系了，对不对？ a b 和 e f 是 平行关系之后，那它俩的长度有什么关系呢？ 首先 ef 是 dc 的 一半，那 dc 的 长度我知道不？ dc 是 不是二， ab 的 长度呢？ ab 的 长度是一，哎， ab 的 长度也是 dc 的 一半， ef 长度也是 dc 的 一半，那说明我们的 ef 跟 ab 之间就怎么样了？平行且相等 平行且相等这个东西可以帮助我们干什么呢？证明一个四边形是平行四边形的构造， 那在平行四边形的构造过程中，我们已经证明了这个边和这个边它是平行的公分线，那它是平行四边形的话，那你的 b e 自然就和 a f 是 平行的，对不对？ b e 和 a f 平行了，又因为你的 a f 在 平面内，而你的 b e 在 平面外，这样时候我们就能证明线面平行了，对不对？ 好，那我们现在来看一下这个过程该怎么去写啊？首先先写个几，然后疑问我们来写证明。 在证明之前呢，我们是不是应该先写一下我们做了哪些辅助线，对不对？明确的辅助线有谁呢？就是首先 ef 是 我们做出来的，然后还有一个是 af， 对 不对？那我们应该怎么写这个过程呢？取 谁呢？我们取的谁的终点？ pd 啊？ pd 终点 f， 并且怎么样呢？连接 ef 还要连接谁呢？ af， 把它俩连接完四边形是不是就行了？然后我们下载的任务是不要证明它这个平四边形。刚才已经讲了，说明 ef 和 ab 平行相等是怎么证的，还记得吗？ 然后先证明 ef 和 dc 的 关系，因为你的 e 点是什么呢？ 呃， pc 的 终点，所以你看一个是 pc 终点，一个 pd 终点，所以 ef 就 怎么样？平行且等于二分之一的 dc？ ok， 就 直接这样写就可以啊。有人说，老师，那我能不能要不要说明一下？我先说 ef 是 它的中位线，然后再说不需要啊。正把两个终点交代清楚。这个终点和这个终点 交代清楚之后，你就直接能够得到 e f 平行且等于二分之一 dc。 接下来我们接下来看 ab 和 dc 的 关系。然后又因为你的 ab 是 不是平行 dc 且什么呢？ ab 等于一，而你的 dc 是 不是等于个二？那么我们是就可以得到 ab 是 不是也平行等于二分之一的 dc， 对不对？那它俩都平行且等于二分之一 d c， 所以 是不就能得到 e f 和 ab 是 平行且相等的，对不对？那如果 e f 和 ab 平行呢？所以是不就可以得到四边形 e f， ab 是 什么呢？平行四边形 对不对？所以就可以得到什么呢？当它是一个平四边形的时候，是不是就可以得到你的 b e 平行于 a f 了，对不对？这是我们说的，在 p a b 里面， p a d 里面是不是找一条线？ 在 p a d 里面找一条线，这条线我找出来了，就是 a f， 它和谁平行呢？它和 b e 平行。明白了没？线线平行就已经完成了，接下来我们后面线线平行正到这就完了吗？直接可以说它线面平行吗？不行。还要说什么呢？叫做所属关系。 什么所属关系呢？因为我们在证明线面平行的时候，一定是平面外的一条直线和这个平面平行，所以我们要说明你的 b e 呢？不在这个平面内， 它是不属于啊，不能说属于不包含于平面 啊，要写一个平面啊，加上汉字，那这而你的谁呢？你的 a f 一定要强调它在这个平面 p 一 点点 p a f 在 这个平面里，即说明 a f 包含于平面 p a d 对 不对？所以才能证明你的 b e 平行于 平面， p a d， ok， 这就是我们的第一问了啊，线面平行的证明该如何去写？ 好，接下来我们来看一下第二问。第二问要干啥呢？求平面与平面的夹角。那么在我们的例题几何大题中呢？这种问题的第二问，首先看有没有间隙条件， 因为很多同学呢，他的几何可能感觉不是很灵活，但是我们用空间向量是不是可以求空间向量？他的模式就是比较系统化。那间隙条件指的是啥呢？间隙条件指的是你有没有，就是啊，两两垂直的，也就是 这个直角这个东西出现，对不对？还有呢，就是你的点的坐标能不能顺利的写出来，这是你的解析条件。那刚才我们在分析题目意思的时候，老师是不是说了，这里面有一个两两垂直的一个墙角角的情况，就是哪呀？是不就是这？ 那么这样在建的过程中，它是垂直的，它是垂直的，这是不是也是垂直的？那我就可以给它间隙变成，这是一条线，这是一条，这是一个轴，这是一个轴啊，这样三个轴，那问题就是这三个轴哪个是 x， 哪个是 y？ 那 么我们要用什么方法呢？右手准则，用你的大拇指对准你的 z 轴方向，然后你的四个手指头会从 x 轴指向 y 轴，所以它肯定是 z。 那么如果你的右手呢，要从 x 轴指向 z 轴的话，指向 y 轴的话，那说明就是扫过那个区域，从 x 轴扫到 y 轴的话，那这个就是 x， 这个就是 y。 明白了没？好给他讲完戏之后是不是要标点坐标？那你会讲，老师我是不是每个点都要标 标哪些点呢？注意看题目中有哪些条件。 p、 a、 d， 这里面的三个字母都得标。那所以我们先来看一下 p 点坐标， p 点坐标， p 点在 z 轴上，那又告诉你了， p、 a、 p 的 长度是三，所以你很明显你的 p 点坐标就是零到零三，注意在坐标轴上， z 坐标轴上，那所以它只有啊， z 坐标是有的，而你的 x、 y 坐标是不是都没有？接下来我们要看谁呢？看一下你的 a 点， a 点不用说零零零零吗？ 对不对？那 d 点坐标呢？它在外轴上也好写，它只有第二个坐标，是不是有的？那长度呢？就是根据 a、 d 的 长度， a、 d 的 长度是二，所以它就是零。逗号二， 零，这是 d 点坐标，接下来还有什么呢？ b、 d、 e， 那 说明我得是不是得知道 b 点坐标和 e 点坐标，那 b 点坐标怎么写呢？当然是按照 ab 的 长度，而且它在 x 轴上，所以它只有前面这个有，后面这个是不是都没有 他写的好看？好一点啊？一逗号零，逗号零，对不对？好，写完了之后呢？还有谁呢？一点，一点是啥呀？说，老师，我不知道一点咋标，这个长度什么的，我都不知道，我甚至不知道他怎么落，落在哪。那怎么办呢？这个时候 我们可以考虑，因为 e 点是什么呢？ p 点和 c 点的中点，所以我考虑先写出 c 点的坐标，再用中点坐标公式写出 e 点的坐标，这样也是可以的。好，那 c 点坐标该怎么去做呢？首先 c 点它在 dc 这条线上，而 dc 和 x 轴是平行的， 那它的长度呢？就是 dc 的 长度，因为它是平行的，所以它投影到 x 的 距离，其实就是它自己本， dc 这个自己本身的长度嘛，对不对？所以 dc 的 长度是多少呢？ dc 是 二，所以它的 x 就是 二，那它的 y 是 谁呢？ c 点投影到外侧长度，这是不是垂直啊？那所以是不是投影的是 ab 之间的距离，所以它的 y 呢？就是二，它在外轴上是不是截取了 a、 d 这块长度？那它的 z 是 谁呢？因为你在底下这个 x、 o、 i 平面上，所以你的 z 肯定就是零， 只有在 x、 o、 y 平面上，只有 x 和 y 有 坐标， z 就 没有坐标。好，那 c 现在知道了，我们现在是不要标一点坐标，用什么重点坐标公式就是两个相加除以二，对不对？那所以一点的 x 坐标它就是一， y 坐标呢就是一，而 z 坐标呢，就是二分之三， 对不对？这就是一点坐标。好，那我们在写过程的时候该怎么写呢？先写一下第二问，然后写，这个时候你要建立间隙了，所以你要写建立以 a、 b 向量方向为 x 轴，以 a、 d 向量方向 为 y 轴，以 a、 p 向量方向为 z 轴的空间直角坐标系。 然后呢？因为我们这个作点坐标是怎么得到的？是不是由它的长度？因为 ad 等于 dc 等于二，然后呢？ ap 等于三， a、 b 等于一，所以能得到它的点坐标。把，你需要的点坐标啊，还要说以谁为圆点，刚才忘了，以 a 为圆点， 好，接下来 a 点坐标是不是零斗，零斗零，把你所有的需要的点坐标都写上啊？ p 点坐标是不是零斗零斗三，然后接下来是 d 点坐标是什么呢？零斗二，斗零，接下来是 b 点坐标是，呃， 一到零到零，然后接下来是一点坐标，刚才我们是把一点坐标已经写出来了，一到一到二分之三。 好， b， d， e， a， p、 d 所有的点坐标是不是都清楚了？接下来我们就要思考怎么去求这两个平面夹角，那两平面夹角该怎么求？两平面夹角与弦值？注意，老师给你们分析一下，回顾一下我们的直角坐标系的两平面夹角怎么求啊？ 假如说这是两个平面对不对？那我现在要求这两个平面的夹角呢？我们选择在这个平面里给他写一个法向量，这个平面里面是不也写一个法向量，然后这两个法向量呢？ 这是不是垂直的，这是不是也垂直的？然后呢？那么在这个四边形中，这个角和这个角是不是互补？ 这个角是不是就是我们的夹角面面夹角，而这个角是两个相反的夹角，我们发现两个法相反的夹角和两个平面夹角之间的关系是什么呢？互补的。那互补的角度有什么特点？我们之前讲了 sin 值相等对不对？那 cosine 值是什么关系呢？ cosine 值是 互为相反数，对不对？那很明显，我两个平面的夹角的夹角，它是一个锐角， 那所以它的 cosine 值肯定是大于零的。但是向量的这个加角到底是锐角还是钝角，我不确定对不对？那怎么办呢？那我可以求出这两个法向量的加角，并求出这两个法向量加角的余弦值的绝对值，这样你是不是就变成正的了？那它是不是就和你这个面面加角的这个角度的余弦值是不就一致了？ 明白没？所以我们在现在这个点是要干啥呢？求两个平面的法向量。 好，那怎么去求法向量呢？注意，当你要求两个平面的法向量的时候，你需要对这两个平面进行观察，看题目里面有没有现成的法向量。什么叫现成的法向量？就是能够直接看出和这个平面垂直的法向量，比如说 p a d， p e d， 它是一个什么样的平面？它是 y 轴和 z 轴所构成的一个平面，叫 p e d 平面，对不对？那么谁和这个平面垂直？是不是就是 x 和它垂直？那么我的 ab 向量是不是直接可以作为它的法向量？所以你直接可以写由提得 a b 垂直于平面 p a d， 所以 平面 p a d 的 法向量为， 这个时候你可以写成，嗯， b a 向量啊， ab 向量直接 ab 向量 直接写成一到零到零，对不对？好，一个法向量已经解决了，那先来看一下第二个法向量 bde， 但 bde 目前是不是看不太出来，对不对？ bde 看不出来的话，我们就给它求一下，那就是设平面 bde 的 法向量为 n 向量等于 x、 y、 z， 这发现怎么求法向量呢？需要在这个平面里面找到什么两个 相交的向量，那 b、 d、 e 里面，你可以找 b、 d， 也可以找 b、 e 都行，好不好？好，那我们可以写， 然后 b、 d 向量等于谁呢？ b 点坐标在这 d 点坐标，这点 b、 d 向量是用 d 点的坐标减去 b 点的坐标，对不对？零减一是不是负一，然后二减零是不等于个二零减零是零，所以这是 b、 d 向量。然后还可以写什么呢？ b、 e 向量， 这是 b、 e 点，用 e 点坐标减去 b 点坐标，那就是一减一等于零，一减零等于一，然后接下来是二分之三， 对不对？这是 b、 e 向量。好，写完之后呢？我们由什么得呢？ 由你的发向量。你的发向量是啥？垂直于这个平面的向量，那所以它和这个平面里面的 b、 d 和 b、 e 是 不是都垂直？所以发向量和 b、 d 向量垂直，所以发向量乘以 b、 d 向量就等于零，而你的发向量呢？乘以 b、 e 向量是不是也等于零？ 然后接下来它俩相成像量与向量相乘，法向量和 b、 d 向量相乘， x 和 x 乘 y 乘 y 乘 x， 乘以负一就是负 x， 再加上二 y， 对 不对？ z 乘以零就是 z， 那 就是负 x 加二 y 等于个零，这是第一个式子。那第二个式子呢？ b、 e 和 x， y 乘零了，一乘 y 就是 y， 再加上一个二分之三的 z， 是 不是也等于零？好， 当你这个式子写出来之后，你会发现它有三个未知数， x、 y、 z， 但是你只有两个式子，那肯定不能把它们全算出来，所以这个时候要给他干啥呢？叫做负值，负值就是给他令，那令啥呢？比如说我令 y 等于一， 如你可以随便拎啊，拎完之后你还，你还可以怎么说呢？就是，呃，因为它这个法向量，它是平行的，向量比较多，共和它共线的向量也可以作为它的法向量，但是前提是我们在做的时候尽量少你的数字。为什么另外等于一呢？因为我觉得这样的话你的 x 比较好算， x 是 不是就等于个二？因为 x 是 不等于二 y， 那 么另外等于一带到这个里面去是啥呢？ y 等于一，这个代进去是二分之三， z 等于个负一，那 z 就 等于个负一，除以二分之三，负一乘以三分之二，所以 z 等于负三分之二，对不对？好，所以你的法向量可以写成什么呢？二逗号，一逗号 三分之二，负的三分之二，对不对？那如果你觉得老师说我我我这个式子，我觉得我这个法向量太难算了，后面如果让我算加角的话，那你可以换一个， 你可以在另值的时候换一下，怎么样让你的这个数字全都是正的？那你可以从这个角度说，比如说我想让这个 y 是 一个整数，那我就给 z 另一个二，对不对？我可以利用你的 z 等于二，如果 z 等于个二的话，那你的 y， 如果 z 等于二， y 等于谁呢？ 二乘进去是不是 y， y 加三等于零呢？所以 y 是 不是等于负三了？ y 如果等于负三，带到第一个里面去，说明 x x 是 不是等于二 y 了，所以它是不是等于负六了？可以这样去写啊，这样你的法向量里面全是整数， 在计算的时候呢，也比较好算。好，那这个时候该怎么写呢？ 设，先把夹角设出来，平面 p a， d 与平面 b， d， e 的 夹角为 c， 它 注意你这个 theta， 它一定是那个锐角啊，那这个时候应该怎么写呢？写 cosine theta， 我 们要求的是不是 cosine theta？ 那 cosine theta 和这两个法向量之间是什么关系呢？就是我们刚才讲了两个法向量加角的 cosine 和这个加角是不是 互补的关系？互补的角度，它的 cosine 值是不是互为相反数，对不对？那然后发现了加角的绝对值是不是互为相反数，对不对？那然后发现了加角的绝对值是不是互为相反数，对不对？那然后发现了加角的绝对值是不是 cosine， 所以 它就等于 cosine a、 b 向量和法向量夹角的绝对值。这样去写，那它的绝对值怎么写呢？首先你这个式子，根据我们的 cosine 公式，它是不是等于 a、 b 向量乘以法向量，再除以 ab 向量的模，乘以法向量的模。好，那在这个式子中，分母是不是都是 正的？因为它都是模嘛，它是正的，那分子呢？是不确定，但是你知道是不是带绝对值，所以我们只需要给分子带绝对值就可以了，因为父母已经是正的了。好，然后我们再来计算， ab 向量和 n 向量是不都已经算出来了？那 ab 向量乘以 n 向量同样还是用我们的向量相乘的公式啊，那上面是不是就是负六的绝对值？ 因为你的这边零零嘛，是不是再除以 ab 的 模是一一乘以一个 法？向量是不是根号下六六三十六，再加上一个九，再加上一个谁呢？四 等于，然后继续给它进行一个计算，上面是不是六比上一个根号下 四十九，根号四十九是多少呀？七嘛，所以答案就是七分之六，所以它的 cosine 值是七分之六。注意这块还没完，有的同学算到这就结束了，还要写结论，所以平面 p a， d 与平面 b d， e 的 夹角的余弦值为 七分之六。好，写到这儿，你这个题基本上就可以拿全分了。好，这是立体几何的一个过程啊，这是这道题。
07:34查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们继续来看二六高考的啊！第十六题，那么已知三角形 a、 b、 c 呢？ a、 b 是 等于三的 b， c 的 根号三，口三 b 的 话是三分之根号三，第一问，让你求角 a 的 余弦值。好，第一问的话，我们就是直接利用什么啊？余弦 定理对不对？余弦公式。好，我们看口三 b 等于个三分之 根号三，那么他利用公式的话，就是 a 方加 c 方减 b 方除以二倍的 a， c， 对 不对？好，我们看一下 a 等于多少？ a 等于二倍的根号三， c 等于三，那我们代入上述的式子，我们可以求出 b， b 的 话，这里老师修出来了啊，等于三，那具体的计算过程老师就不写了啊，我们知道这里是三好，所以它是一个等腰三角形，对不对？所以角 b 等于角 c， 我 们推着角 b 等于角 c。 好，现在呢，让你去求口算 a， 角 a 的 余弦值。是不是我们也可以利用余弦这个笔，因为这个三角形三边的关系都已经知道了，是不是因为呢？它还是一个特殊的三角形，是一个等腰三角形，所以还可以用另外一种方法。用什么呢？用诱导公式， 口算 a 就 等一个口算 pi 减二 b， 对 不对？因为我们知道口算 b 是 多少了，是不是？那它就等于多少呢？ 是不是等于个负的口算二， b 等于个一减二倍的口算 b， 平方等于一减二，乘以个三分之一，所以等于三分之一。口算 a 的 话就是等于 seven。 好， 你当然可以利用余弦定理啊，然后再用一下余弦定理，然后就可以修出口算 a， 当然的话，你也可以用诱导公式，然后你可以用其他的任意的方法都可以啊，好不好？另外的话，嗯，好，我们看第二问啊。 第二问的话是设 d、 e 两点满足什么要求呢？ d 呢，会是在 b a 的 延长线上， b、 e 是 平行于 bc 的， 哎，所以他俩是相加，是等于一百八十度，对不对？然后要求 a、 e 的 话是等垂直于 a、 c 的 啊？第一问， 我们每读到一个条件，我们要去联想他能推出什么样的结论，方便我们在后续的过程中能够用得到这个知识点啊。 b、 e 的 话是平行于 bc 的， 所以脚 b 加脚 c， 脚 b 加脚 d 是不是等于一百八十度？等派是不是？那是否我们等会儿能运用到诱导公式呢？是不是？那所以角 d 等于个拍减角 b 好， a e 垂直于 ac， a e 垂直于 ac， 所以 角 a， 我 们在第一问的时候啊，角 a 加上角 d， a、 e 是 不是等于二分之一？那是不是能推出来角 d a e 等于二分之二减角 a 啊？哎，我发现这两个一个是角 d， 一个是角 d， a、 e 都可以用角 a 和角 b 来表示，对吧？因为角 a 和角 b 的 正弦与弦我们都能够求出来三边关系已经是知道的了啊，我们看他问的是什么？ d e 等于根号六， 让你求 c e 求这条边，因为我们知道 a c 垂直于 a e， 所以 如果我们能知道 a、 e 的 长的话，我们利用勾股定力是不是就能求出 e c 的 值啊？那 a e 该怎么求呢？ 哎，我们知道这个平行以及这个垂直，哎，互余互补，我们来试试能否用。用什么呀？你看这个角，如果我是已知的角边对不对？对，角对边，那么我可以想到用正弦定理， 所以根号六，也就是 d e 比上 sine 角 d a e 是不是等于？怎么要把 a e 牵连进来啊？关联起来， a e 比上角 a d e 也就角 b， 对 不对？好，我们能不能求出来它的一个算值呢？正弦值算角 b 以及算角 b a e， 好， 我们看一看啊，它的正弦值是不是能用角 b 来表示呀？ sign b 就 等于一个 sign 派减 b， 所以 等于什么呢？利用诱导公式对不对？负 b 相当于四，第四项线往前一百八十度，所以在第二项线，所以是等于个 sign b， 对 吧？ 因为口三 b 等于三分之根号三，所以三 b 我 们也能求出来等于多少？一，减上三分之一，等于三分之二开根号，所以是三分之根号六，对不对？ ok， 那 么另外的话，我们看一下三角 d a e， 所以 是等于三，二分之 pi 减 a 变成了什么呀？口算 a 等于个三分之一。哎，刚好利用到我们第一问求的口算 a 的 值，所以我们代入进来就是根号六比上三角 d a 的 话是三分之一，所以乘以三， 等于右边 a e 的 长比上个角 d 的 正弦值三分之根号六， 所以我们的求出 a e 的 话就是等于多少呀？乘过去根号六，乘以三，乘一个根号六，除一个三， 是不是等于六啊？那么在这里 a e 的 话就是六，我们利用勾股定律，所以 e c 等于根号下六的平方，加三的平方等于个三十六，加九四十五， 所以等一个三倍的根号五，那么 c e 的 长就等于个三倍的根号五。好，那么我们一起再来复盘一下这道题目啊，因为三边关系都有了。第一问，我们可以运用到 很多人啊，我们所有的同学大概百分之八十以上的可能会用到这个余弦定理啊，又到公式可能会想不起来，那么第一问用到的是 余弦，对吧？那第二个是不是应该用到正弦呢？我们联想啊，猜的就是啊，那我读完题目之后，然后我们发现，哎，可以利用正弦定理，正弦定理的时候用了一个关于平行互补以及互余的条件，用到了诱导公式， 所以考试的时候呢，在考三角形的时候，以及是正弦余弦，还有什么诱导公式，特别喜欢混着考，所以呢，我们在 做题的时候，以及在复习知识点的时候，一定要把它融会贯通，尤其是遇到公式，你要熟记于心啊。还有就是七分读题，三分做题，你在读题的时候，一定要把题目中所有的条件都能够 get 到。好，那这道题的话，老师就讲到这里，感谢大家。
37上海数学王老师
10:55查看AI文稿AI文稿hello， everybody 我是 神奇小竹啊，首先呢，我先得一个甲，因为呢，我还是准高中生， 对于高中知识依旧是没有系统的学习的啊，所以呢，我我只能使用一些低等的蠢的办法啊，还有我们之前讲过的近代欧式几何学里面的办法去进行解决这道 高中的基础题啊，那么这个题呢，我看到有人说只用预先定就能解了啊，然后我后面想了一下，确实也行啊，那么呢，我就先分享一下我自己的这个办法。 那么我们首先先知道嘛，因为我们之前也讲过正弦定力跟余弦定力，那正弦定力呢，就是 a 比上赛眼 a 啊，它等于 b 比上赛眼 b 啊，然后等于 c 比上赛眼 c， 是 吧， 那么余弦定零呢，就是 a 方等于 b 方加 c 方 啊，减掉二 b， c 乘上 cosine 啊，角 a 吗？是不是啊，这是这个两个基本的东西啊，那么我们就是利用它俩去进行求解。 那首先你先把这个三角形画出来啊，或者不用画啊，这个画三角形我们第二段再去画也行的。那 ab 等于三就是说 c 等于三吗？是不是 c 等于三 啊？ bc 就是 a 吗？是不是？那就是说啊，那我们把这个式子啊，给大家稍微变形一下，那就是 b 方等于 b 方加 c 方减掉二倍的 a， c 乘上 cosine 角 b， 是 不是这样啊，那这样子我们是能求出 b 方来的是不是？ 那你先把它代进去算，那 a 呢？ a 方他就是什么？ a 方是这个，呃，四乘三，那就是十二嘛，然后呢，这个呢， c 方等于就是九了，然后二倍的 a 就是 二倍根三，他去乘上三， 然后再去乘上 cosine， 它就是三分之根三，跟你约了，我这里呢，乘出来就是什么呢？这里是四，这里是三，那就是十二吗？负十二跟前面十二约掉了，就说 b 方它为九，那 b 就是 为三了，是 b 为三 啊， b 为三之后，然后呢，我们想到的就是去求这个 b 啊，散减 b， 因为我们知道呢啊，有一个公式是什么呢？就是散减方加空散减方，它等于一吗？是不是啊？那就是说啊，散减方 再加上啊三倍跟三的方，三倍跟三的方就是多少呢？是九分之三吗？就是三分之一啊，他是等于一的。就说啊，三眼方，他就是等于什么？等于三分之二，那三眼 第一方就是根号下，他就是说他是呃，根号啊，三分之根号六吗？是不是这样？我们看一下。呃，重设一个没错啊， 就是说他是三分之根根号六的，那我们知道再把他带带回到这个式子啊， a e 呢，我们知道他是二倍根三吗？啊，他比上啊，我们要求的是三 a 啊，三 a， 他 等于什么呢？他等于 b， b 就是 三，他去比上这个三分之根号六啊，那这些可以擦一下了 啊，那就说呢，这个三眼 a 呢，它自然就是等于二倍的二倍，它俩相乘， 二倍根三乘根六，就是，呃，多少呢？里面提一个三出来，那是不是六倍根号二，就是这样想一下，呃， 是的，六倍根号二，他去处一个三，就说这里呢，他约掉之后就是二倍根号二啊，那就说散眼，那散眼方是什么呢？散眼方自然就是他平方吗？那是不是就是，呃， 怎么感觉有点怪怪的 啊？对对对，这也漏了，漏了一下啊，难，难怪啊，这写错了，这还有个三分之一呢，那他提出来的话，就是说他提出来就是二分之根号二吧，然后他就除以三，是不是这样 啊？那个六倍根号二还要除以个三呢啊，就说这个是散，那散方呢？就是九分之 八吗？是不是？那你再去求和三元 a 方，那不就是九分之一了，那九分之一开完根之后就三分之一吗？是不是啊，那这道题还是用的一个困难版的一个纯办法啊，我才写出来的， 紧接着呢，我们来看这个第二题啊，那第二题呢，我们就用竖形结合法去进行解决， 那么你先把这个图画出来好不好啊？就说这样一个三角形啊，哎，这个底边我还是画的平行一点 啊。这是 a， 这里是 b， ab 呢，它是为三的，然后 bc 呢，它设为二倍根三，二倍根三，它是， 呃，刚好十二呢，刚好十，略微比这个 a b 要长一点啊，略微长一点，这是 b c， 它是二倍根号三啊，然后呢， cosine b， 它的余，它这个值呢？是三分之根号三， 那就是说那三分之根号三是余弦值的角是多少度呢？啊？ 余弦值三分之根号三是六十度吧，是六十度还是三十度？我们看一下，这有点忘。呃，这是一，这是二，这是根号三，余弦值余弦。 哎，不对呀，这个不是正正切值吗？怎么搞到这里？哎，那咱不管他，咱要直接去求， 那如果我们往这里做一条垂线啊，那他这个斜边是二分之根号三啊，然后这条零边呢？ 零边比斜边，他是为根号三比三的，根号三跟根号三约掉了啊，就是说， 哦，不不不，根号三跟根号三是成在一起，他俩成在一起呢，就变成三了，那三跟这个东西约掉，他不就是二吗？ 啊？就说这条边呢，这条大的红边他是为二的，所以说底下的小边呢，自然就是为一的。然后我们过 a 呢，过 a， c 往外做一条垂线，那么 这也是 d， 这也是一把，这里一连起来，他很明显就是一个一线三垂直， 那既然是一项三垂直，那就是说明，然后这里是根号六嘛，就说明呢，我们只需要把这个他们之间的比例关系给找到就行了，是不是？那你是一， 然后你是二，你是二倍根三，我们先把这第三条边给他算出来，那第三条边呢？他就是 看这呢，就是他的平方是四，他的平方是四乘三就是十二嘛，十二呢，就是八，就是二倍根号二，就是他是二倍根号二。那剩下这条边是多少？ 呃， 就是一的平方去加上加上多少呢？加上根号八的平方，那就是八嘛，那就是九嘛，九开完方就是三了啊，那它是三， 就是说我们只要求出这个三角形跟这个三角形它们之间的比例关系就好了，那我们知道这个角跟这个角是一样的，就说呢，它俩的正，它俩的余弦值都是一样的，都是三分之根三嘛， 三分之根三，你就说这条边呢，他比上根号六，是为这个，这个值，他俩放在一起成在一起呢，就是三倍的根号二，那他就是多少，他就是根号二 啊，他是根号二，那剩下这条边是多少呢？啊？六减去二 就是四，四在开，根号就是二嘛，就说他俩的比例关系呢？就是一比二的这两个三角形， 那么你是三，你自然就是六了，是不是？那他让我们求 c 的 长度，自然那就是一比二，比根号五啊，那就是三倍根号五啊。所以说这道题就结束了。
32竹蜻蜓
05:17查看AI文稿AI文稿有中考的学生私信我说我现在的数学成绩也就是八十分左右，能不能有什么方法可以快速的提到九十分以上呢？哎，学会这道题， 保你九十加。这道题就来自于二零二六年全国一卷高考数学的倒数第四个大题，本道题十五分。网络上的很多博主对二零二六年的全国一卷做了一个难易度的分析，他说，啊，这个第十六题啊， 对于中等生来说，只能作会第一问啊，只能拿到第一问的分，第二问就有点难了。哈哈，我听完我就笑了， 如果这道题我用了一个高中知识，算我输啊，全程口算，你就学去吧啊。 在三角形 abc 中，知道这边等于三，知道这边等于二倍根号三， 还有知道这个角 b 的 余弦三分之根号三，能不能解出这个三角形啊？肯定可以的，需要用高中知识吗？初中的知识就可以了，写直角三角形，他要你求这个扩散 a。 我 们的初中知识是不是啊？ 写三角形需要在直角三角形中，所以辅助线，对不对？你不能破坏这个扩散这个 b 啊，对不对？你要不能破坏这个角，所以往这里做垂线吧。 我为什么不往这里做垂线呢？他要你求这个 a， 看到没有，你也不能破坏他，所以往这里做垂线了。想想不想得到十分自然 这个角的余弦三分之根号三，这里是二倍根号三，那这里是不是二 b h 是 不是二？二比二倍根号三是吧？零边比斜边就是三倍根号三，没毛病，这里是三，那这里就自然而然的是一了嘛，对不对？你要解决这个扩散 a， 就是 拿 a h 比上 ac 嘛， 十分自然。 a h 是 一嘛，对不对？那 a c 呢？不知道，但是这里是二，这里是二倍根号三，那这里不就可以知道了吗？ 它的平方减它的平方开，根号十二减四等于八，二倍根号二，十分自然，这里是二倍根号二， 他知道，他知道。又是勾股定律，他的平方加他的平方，是不是一加八等于九，所以 a c 等于三啊，原来他们是等幺三就行，他们俩相等，十分自然啊。第二位，若 d 在 b a 的 延长线上，在这里 且 d 一 平行 bc， d 平行 bc 和这里平行的，并且 a 一 又垂直于 ac 啊，先往这里做一个垂线下来，然后 d 一 又平行 bc 就是 这样了， 可能还在下方一点啊， 平行啊，这样差不多了。平行告诉你什么 内侧角，同为角，同把内角这些东西了，是不是？这个是知道的了吧，所以往这里延长一下吧，不就是这个角吗？ 角一吧，这个角就是角一看到没有？这里是告诉你了，是根号六的啊，这是 d， 这是 e， 还有这里垂直啊，根号六，然后用你求 c 一 连接 c 一 了，是不是求它知道了，它是三，只要知道这里 a 一 是多少就可以了， 他们平行肯定是这个角等于这个角，用一下呗，这里没有直角，这个发挥不了作用，所以还是做垂直。往哪里做垂直，你不能破坏这个角，往这里做垂直，十分自然， 十分自然。是不是？你看又是这个扩散，根号三比三，一比根号三的关系，所以这是根号二 勾股定，你算出它嘛，六减二开，根号就是四，四开根号就是二十分自然是不是？好的，现在又来一个巧妙的地方，我们初中如果这里有一个直角的话， 一条线上如果中间有个九十度的话，你要学会倒角，知道吧？今年的中考啊，一定会考，知道吧？倒角，你看这个角加这个角是九十度，然后这里垂直，那么他加他不就是九十度吗？所以这个 a 跑到这里来了，跑这里来了，看到没有？他加他九十，他加他九十，所以这两个角相等，也就是他们的余弦值相等，你看余弦值是三分之一啊，所以这里是三分之一的话，就是二比他等于三分之一，所以这是六啊。 勾股定律，一比二比根号五，所以三倍根号五十分，自然全程口算，一气呵成，行云流水，你学会了吗？牛逼，牛逼。
257中高考数学王老师
08:30查看AI文稿AI文稿高考这个数学试卷非常经典，有很多题目啊，能做到一题多种解法。好，咱看一下这个第十六题啊，这十六题也有学生反馈啊，就是第二问写不出来啊，咱看一下到底是怎么一个情况拆解一下啊。另外就也有高二学生写了，然后不知道怎么做比较合适。 每次大型的考试啊，辉哥都第一时间分享关注我。就这道题的话，首先从第一本说起啊，第一本它是一个普通的三角形，也不知道是对角三角形，对角三角形随便画， 那这样的话，我看到的时候这是三，这是二倍根号三，这个角是不告诉你了，他是三分之杠三。 那按照普通逻辑来讲，角 b 时候他的是锐角和钝角的时候，你要做简单判断， cos 是 大于零的，角 b 时候就是锐角啊，那这样的话，你往下走的时候看他要求，现在求的时候就 cos a。 那 解析的方式就回到这个三角形当中的判断上，先边是占上方的，先用余弦定里走一走，对吧？用余弦定里，现在是不是知道角 b 还有他两个零边？直接上余弦定里求边 b 就 行， b 方等于 a 方加 c 方， 然后边 b 是 不是算出来边 b， 算完之后发现边 b 是 三哈，然后再往下求这个角 a。 求角 a 的 方式是不是就多样了？你用余弦定力直接干 cosa 是 不是也行？你说我看到了对边了， 而且有另一组对边对角，我用正弦定力行不行？也行，所以方法有两种啊，所以直接是不是第一种 cosa 等于二倍的时候， b c 分 之， b 方加 c 方减去是不是 a 方是吧，这样就能算出来 cos a。 第二种是直接用正弦定比边 a 除以三 a， 等于说边 b 除以三 b， 然后接下来就是把这个三 a 是 不是搞定，三 a 搞定之后三 a 求 cos a 就是 用到了三 cos 什么关系？平方根等于一吗？搞定啊， 这个有一点缺陷，不知道大家发现没有啊，什么缺陷呢？你 a 到底是锐角还是钝角，你要做判断的是不是？那判断方法是用到大边还是大角？二比八和三是不是跟三比较？ 这是几九吧，这是平方的话是九，这个平方是十二，对吧？那这时候就有点为难啊，你能理解我意思吗？这个方法不是说老好啊， 往下走是不是有有困难啊？所以你回去想想怎么去避，怎么去解决这个问题啊，当然别的同学的话，我看到了还有其他的想法。其他想法就是哦，这个三角形是个等腰三角形， 所以还有第三种方式，我对于这个等腰三角形去处理的时候有没有方式去解决？有，那就考虑到是不是这个角 其实跟这俩角相加总和是一百八，所以我用到了这个 cosine a 就 等于是不是负的这个 cosine b 加 c， 这里面又用到了是不是二 b 角公式了吧，因为角 b 和角 c 一 样，所以就是等于负的 cosine 二 b 吗？接下来二 b 角去求 a 行二 b 角，你记清楚啊，注意一下符号啊，这个时候用公式啊，这是两种方式啊，当然你说有没有别的方法，其实还有第四种方法， 第四种方法就是你看到的哎，他是一个等腰三角形，我可以是不是把这个东西搞一下，也就是做一下高，做下高之后再去找这个角啊， 其实跟刚才这个第四第三种方法是雷同了，把这个角是他的三角搞定，然后二 b 角是他的三角啊，其实也行啊，这是这个，当然你说还有没有别的方法？还有第五种，第五种我可以说用面积去解决， 面积解决的方式，我把这个算出来，高高算出来之后回到这个高上，在这个三角当中用，用那个勾定的时候算一下。这个边算 cos 了吗？邻边是比斜边也行啊，所以五种了啊， 其实有好多方法啊，你可以研究研究啊，这个题比较经典啊，好，再回到这个第二位置啊，其实大家疑问最多的是第二个啊，我把这个图是简单画一下啊， 然后再看一下这个具体的内容，它说延长 b a， 然后使得这个啊，当然还还要延长 b a 之后到这个，呃， d 在 在这个 b a 的 延长线上，这是 d 啊，然后说 d e 是 平行 bc， 也不知道往哪跺跺胡跺，看要求啊，现在说是 a e 是 不是垂直于 a， c， a e 垂直于 c， c 的 a c 在 这了，对吧？ a e 垂直于 c 呢？你只能说这样搞啊，这是不是它是一点，所以你看我说的过程是不是大家发现了吧，它是对作图有要求的。 有点回到，是不是二零一八年是左右那个更好提了，对吧？那这时候这是垂直的，这是垂直的，接下来时候就关注的内容是 c 异常， 嘿，很多人就图都画不出来了，画完之后呢？然后不知道咋弄啊，咱看一下咋弄啊，你看现在标一下条件呗，刚才 a c 时候算过了，然后这个这边都知道，这个角也知道啊， 然后求 c e， 它的基本论点就是回到 c e 所在的三点，对吧？这是应该是有这个常识的吧。那 c e 要找的话，就是 c a c e 这个三点 ac 当中啊， ac 已经有了，从求界的角度来看，是 a e 目前是最核心的，接下来把 a e 找一下就行了。 那 a e 怎么找嘞？那又回到 a e 是 数学函数当中， a e 数学函数当中是给了一个就是 c e 长度啊， d e 长度是杠六啊，所以接下来回到这个三位数这个信息的挖取上，很多人就止步到这了，挖不出来，或者挖了残缺啊。这个挖具体挖什么了？ 不用想，他指定是角，角，只有角是流通的，边长了，太流，太难流通了，对吧？所以找角啊，这是一个核心的论点啊，就一定要找角比较好弄啊，他一延长之后，他其实这个角也就是角 e a d e a d e a d 这个角跟刚才就是这个角 b a c， 他 俩是不是相加是九度？也就是这俩角互与，就用到了一种逻辑。什么逻辑？就角度之间， 比如说 alpha 加 beta 是 九十诱导，我会发现一个结论，什么结论呢？就是 sin beta， 它跟这种 cosine alpha 是 保持一样的啊，当然这个你其实不知道， 也可以说进入角度替换，你总把它当成已知角对待，往下走怎么走它都有法知道。我意思吧，你看这个角是已知角，比如说继承 beta 啊，那这样的话，你这个角是继承 alpha， 这样的话，你想算 alpha 的 时候， alpha 是 它的三角是已知的，你只要知道它三角已知，对吧？因为它跟 beta 是 有关吗？相差九十度的吧，它就可以通过 beta 去算，它有这个印象就行啊，你看它具体走的过程中，球场用到了 alpha 哪一种？你再具体去算也行啊，当然这是一个， 那具体去算的时候，其中发现啊，需要用到的这个 sum 法，那 sum 法你就等于 sum 二分之二减去这个贝塔，然后对答就是这个大家都知道吧， 插脚的时候正弦公式拆开就行，拆开之后是 sum 和 cos 对 吧？化简完之后就空贝塔，也就是你刚才算这个结果就直接填上去就行了， 这是一个问题啊，你有余地啊。然后再往下找，还找角，就用到这个线，平行线这初中东西，这你顶得住？平行线，平行线对于他来说有啥帮助？这个角是不是有可以找这个角？ a， d， e 是 吧？ a d， e 这个角的话，他这个角之间就是 互补吧，同胞内角的嘛，所以这样的话，这个角 a、 d、 e， 他的正弦值就需要算出来。为啥是正弦值呢？因为现在这个局面，这个角能找，我要找 a、 e 的， 对吧？就是典型的三角当中有角比较多，就找边了。正弦命令嘛，所以我算一下 a， d 对 吧？ a， d， e 就 跟这个角因为互补正弦是相同，所以我就用到这个角 b 正弦了。角 b 的 余弦知道角，角 b 的 正弦同角的平方和正弦平方加余弦平方等于一嘛，所以这个时候也没问题啊。这样的话，你在三角形 a、 d、 e 当中就是正弦定义， 就把 a、 d 算出来， a、 d 算完之后在三角形 a、 c、 e 当中勾股定义， 然后就可以把 c 算上了，所以整个它调用的都是一些基本的知识点，但是呢，又用的话就是几何图形，几何图形要会画，另外画了之后你会找角度联系，这样往下走才有可能性啊。
18辉哥数学江湖
04:07查看AI文稿AI文稿六月七号下午这道题你考的怎么样？好，我们来看一下今年的高考题的第一道大题，他和之前往年相比较的话呢，是做了一些个改动，把三角函数的这个图像跟性质都在了解答题的第一题，但是呢，大家要记住，他依旧是一个非常简单非常基础的类型。我们来看第一问，求 f x 的 最小正周期。我们知道对于正弦型函数，它的周期 t 是 不是等于二 pi 除以 omega， 所以 那在这个地方呢？二 pi， 我 们观察这个解释， omega 等于二，所以它的最小正周期就是 pi， 非常简单的一问。 ok， 那 接下来我们来看第二本，给定定域，求最大值和最小值，那我们一定要结合什么？哎，我们要结合它的单调性去判断，所以我 我们给 x 属于啊。我们来看一下，当 x 属于负六分之派到十二分之派时，它的括号内整体范围，我们就把这两个代入去算一下，我们得到结果应该是负六分之派到 三分之派。然后下一步呢，结合正弦函数的图像，我们就能判断出来，负六分之派大概在这个位置，而三分之派呢，在这个位置，我们会发现在这两个点之间，它的图像应该是一个单调递增的，对吗？那对于一个单调递增的图像来说，左端点是不是对应的就是它的最小值， 右端点对应的就是它的最大值。当 x 等于负六分之派时， f x 是 不是取到了它的最小值，我们把它代入算就可以了。而右端点呢， 当 x 等于十二分之派时， f x 是 不是对应了它的最大值？这就是它的第二问，大家一定要注意过程，一定要体现的就是在这个区间内 f x 单调性是什么样的，必须要结合单调性才能去出最后的这个结论，这个就是我们第二问的结果。第三问呢，其实本质上来讲，它考察的还是我们的一个和 和差角公式，和二角公式的一个应用，和我们之前大家平时做的解三角形的第三文其实是一个套路，只不过它把角 a 角 b 换成了我们现在的这个 sine alpha， 那 我们来看这个式子，它求的是 fa 代入，它应该等于 sine 二 alpha 加六分之派，那我们来看这个式子，这个式子如果我们第一步去展开的话，它应该是什么？是不是 sine 二 alpha 乘以 cosine 六分之派？它第一步考察的是一个和差角公式的应用，那我们来看， 在这个式子当中， cos 六分之派和 cos 六分之派全都是已知的，所以我们接下来要求的就是 cos 阿尔法和 cos 阿尔法， 这个就是一个二倍角公式的一个应用了。那我想求 cos 阿尔法，那是不得先有 cos 阿尔法和 cos 阿尔法，所以第一步啊，我要先去求这个 cos 阿尔法得多少。我们来看大家在这个地方一定要注意，由正弦去推导余弦的过程，是一定要判断正负的，所以 他前面给的这个 alpha 属于零到二分之派的范围就直观重要。我们在考试当中啊，一般会这么去写，因为 alpha 属于零到二分之派，所以我的 cosine alpha 一定是大于零的。锐角的正极与弦之都应该是正的，所以 cosine alpha 等于 根号下一减三一方，这个是一定要判断的，因为我们说开根号，他应该取的是正负，正是因为有了一个地方，才取了一个大于零的一个正数，带进去算一下 cosine alpha 应该等于三分之根号六，这是第一步。那 有了 cos 二法和 cos 二法，我就可以算 cos 二二法， cos 二法应该等于二倍的 cos 二法乘以 cos 二法，这是我们讲的二倍角公式。把这两个数分别带进去，那就是二乘三分之根号三，再乘三分之根号六，最后结果三分之二倍根号二， ok， 这是第一个。 那第二一个 cos 二二法还是利用二倍角公式？我们用 cos 一 方减 cos 一 方，当然余弦的二角公式我们讲了三个，大家用哪一个都可以。对这道题来说，那 我们带入 cosine 方九分之六，减去 cosine 方九分之三，分解完 cosine 二，阿尔法等于三分之一。我告诉大家，这两个东西在考试当中一定要分开写，大家不要把所有东西全都揉到这一个式当中去展开，这样的话，如果过程当中出错啊，我们就会扣分了。而对于这两项来说呢，你算对之后，它应该是有单独的分的。 ok， 那 现在就是万事俱备，所有东西都算完之后，我们把它带入 cosine 六分之派二分之根号三， cosine 阿尔法 三分之一，再六分之派二分之一，所以最后结果六分之二位根号六加一。 ok， 这就是我们二零二六年的高考解答题的第一题，虽然它的题型和往年有了一定的变化，但呢它依旧是我们的基础题，是我们每个人都要做对的这样的一道题。
131天津中高考老杨
34:01查看AI文稿AI文稿哎，好的各位同学，我们一起来接着看一下今年高考卷二数学的第十六题啊，例题，几何的题目，第二道解答题， 它说的是如图，在三棱锥 a， b， c， d 中啊，点 e 是 在 b d 上，并且呢，有什么呢？有 a e， 有 a e 是 垂直于 c e 的 啊，等于说这个角是直角，对吧？然后呢， a e 又垂直于 d e， 大家看哦， a e 垂直于 c e， a e 又垂直于 d e， 连续两次，怎么样出现了 a e 啊？很可能是对它要等会要用上， 然后呢，它垂直的是 c e 和 d e， 哎， c e 和 d e 它们有交点呢？它们不都在什么呀？是不是都在这个平面 c d e 内呀？也就是说这个平面 b、 c、 d 中吧，对不对？好，还有什么呢？还有 c， d 是 垂直于 a、 d 的， 这两条也垂直，那就是说这个三角形也是一个直角三角形，对不对？让我们去求证的是 c d 和 ab 要垂直， 要去证明的是两条直线是垂直关系，对不对？那我们去想想，能不能先去证明一下线面垂直呢？如果我有线面垂直的话，我反推这个两条直线垂直，这个是很简单对不对？如果是线面垂直，是哪条直线，哪个平面呢？ 大家能想得到吧？看一看，刚刚给大家提示哈， a e c e a e， d e， 也就是说 a e 这条直线是跟我们这个平面哪个平面啊？ c d e 这个平面下面是垂直的，对不对？那它如果说证明了这个线面垂直以后，它当然 a e 怎么样？是不是就垂直于底面的所有直线呢？对不对？ 那我们去检测啊，还有其他条件吗？哎，它还有一个 c d 垂直于 a d， 而这个 c d 刚好在我们这个底面上，哦，对不对？ 你在这个底面上的话，是不是 c d 和 a e 也就垂直了，对不对？这个大家能理解吧？好， c d 和 a e 垂直，再看它，这还有个 a d， a d 和 a e 又有交点呢，他们的交点不就构成了平面是什么？是不是 aed 或者说 abd 这个平面？哦，也就是说 c d 这条直线，他是跟后面的这个 abd 是 垂直的，对不对？那因此我们当然怎么样就可以得到啊？两条直线垂直了， 大家听清楚这个分析的过程了吗？啊，根据题干，我们慢慢去找一找他的相应的有条件啊，有没有什么暗示，有没有一个直线啊？一条直线同时出现两次，有没有线面这个垂直的这个隐含条件我们要去思考啊，在证明之前一定要去想一想。 好，那我们来现在先写一写啊。第一位，证明， 我们现在第一步是不是要首先去证明的是这个 a e 直线要跟平面 c d e 垂直啊，对不对啊？怎么去证明呢？ 需要哪些条件？大家想一想。要证明线面垂直的话啊，我们先把已有的先写上吧， a e 现在是垂直于 c e 的， 对不对？并且呢， a e 是 垂直于 d e 的， 还有吗？当然是 c e 和 d e 要怎么样啊？是不是要相交啊？对不对啊？它们相交于哪个点啊？于 e 点对不对？ 这个条件写完还有没有呢？啊？线面垂直，我们一定要记住啊，是四个条件啊。呃，直线和一条直线垂直，直线和这个另一条直线垂直这两条直线，并且呢，这两条直线一定得怎么样啊？ 同时都在面内，对不对？我们还得写上啊， c、 e、 d、 e 这两条直线，它是包含在平面 c、 d、 e 内的。好吧，我写慢一点，大家看一下啊，那么有此四个条件，我们就可以怎么样啊？推出 a、 e 肯定是垂直于平面 c、 d、 e 的， 这个是用的是线面垂直的判定对不对？而我们需要的是啊，通过这个线面垂直，找到哪两条直线垂直呢？现在 a、 e 在 这，我需要找的是 c、 d 啊，对不对啊？我们就要说什么呀， c、 d 它在这个平面内，并且这个 a、 e 是 垂直于平面的，对吧？好，我们继续写啊，因为 a、 e 是 垂直于平面 c、 d、 e 的， 并且呢， c、 d 它包含在这个平面以内。 好，由此两条打一个括号，它们就可以推出什么呢？是不是可以推出 a、 e 就 应该是垂直于这条在面内的直线 c、 d 的， 能理解了吧？ 那我们现在这个 c、 d 大家看啊， c、 d 是 跟谁呢？跟 a、 e 是 垂直了。提杠还说了， c、 d 还跟谁啊？跟 a、 d 也垂直，对不对？所以说，我们就当然知道啊，他就垂直于这个面喽，对不对？好，又接着写啊，这是第一步，这是第二步， 这个是第三步。第三步，我们要写的话，就首先啊，还是跟这个圈一是类似的，我们首先要说明什么，是不是 c、 d 垂直于 a、 e？ 写错了， c、 d 啊，不是 c e、 c、 d 同时又怎么样啊？是不是垂直于 a、 d， 对 吧？这个是题干给的，这个呢，是我们刚刚证明的。然后呢，它们两条直线啊，同样的 a、 e 和 a、 d， 它们相交，交于点 a， 对吧？啊，它有焦点，两条相交直线要垂直嘛，对不对？最后应该是 a、 e 和 a、 d， 它们都在平面 a、 d、 e 内，对吧？你写成 a、 b、 d 也可以有此四条，我们就可以推出。什么呀？是不是就可以推出哦？ c、 d 这条直线是垂直于背后那个平面 a、 b、 d 的， 对不对？或者你写成嗯， a、 d、 e 吧，先写成 a、 d、 e 吧， 可以吧啊，最后我们就收尾了啊，现在已经有什么呢？ c、 d 垂直于背后这个面，那所以说它就垂直于面对的所有的直线，对吧？因为 a、 b 它再什么呀，是不是再平面 a、 d、 e 内，对不对？并且 c、 d 是 垂直于平面 a、 d、 e 的， 因此我们通过这两个条件就可以推出哦， c、 d 是 垂直于 ab 的， ok， 那 我们就全部怎么样证明完了，对吧？正 b， ok， 那 么我们接着来看第二问啊，第二问他说给了 d、 e 长度，哎，这个是二，然后 b、 e 长度也给了是一， a、 e 长度给你是根号。二， c、 d 长度给了两倍根三， 让我们去求什么呢？求直线 a、 d 和这个平面 abc 所成角的正弦值，也就是线面角 陷面角的话，我们求法就基本上是有两种，对吧？一种的话是用这个纯粹的欧式几何啊，用几何法来去证明，另外一种的话就是去间隙啊，我先去给大家用几何法来证明吧。好吧，法一， 那我们这个题怎么去搞出来 a、 d 和面 abc 所成角的正弦值呢？我们先不去画任何的这个图形里面东西啊，我们先来随便画一个三角形啊， abc 如果说有一个三角形 abc 了， 然后呢？ d 在 这上面啊，它们构成的这个三连追就是 d， a， b， c， 对 吧？我要去求这个 a、 d 和 a、 b、 c 所乘角的正弦，那请问大家我现在该怎么去求？ 我们把所有的条件全部都抛开啊？分析最一般的情况，如果说我们从 d 点啊，往这个平面 abc 做一条高线啊，我们把这个垂足叫成 h 吧， d， h， 然后呢， 它现在是 a、 d 和平面 abc 所成角的正弦值，对不对？我怎么去表示这个线面角呢？那首先得 要表示 d， a 和底面 abc 的 线面角，我就得找到什么呀，是不是顶点往底面做的投影，那现在就是这个 h 了，对不对？连接到什么呢？连接这个 a， h 啊，对不对？那现在你想啊，这个 a， 这个夹角应该叫 d a， h， 这个夹角不就是我们的 a， d 和面 abc 的 所成角了吗？对不对？ 大家看一下能不能理解？那现在要去求这个角的正弦值，你想啊，这个是一个直角三角形啊，对不对？这个三角形是一个直角三角形，给大家画一画啊，在这个三角形中啊，一个直角三角形中，我们要去求这个角的正弦值，那不就是对比斜吗？ 对不对？对比斜的话，我就需要知道什么，我就得需要知道哦， a、 d 的 长度以及地点到平面 abc 的 距离，这个高，我们把它设为小 h， 可以 吧？ 高求出来了， ad 求出来了，我们马上就能知道啊，这个角的正弦值是多少，大家听明白了吗？那我怎么去求这个高，怎么去求 ad 呢？ 那其中 a d 很 简单啊，大家请仔细看一下这几个条件。第一问不是说了吗？ a e， 大家还记得不？ a e 这条直线是不是垂直于整个底面的对不对？那垂直于这个底面的话，是不是它？当然怎么样，这个角是一个直角啊， 对不对？所以说我们可以在什么呢？在这个直角三角形中啊，在这个直角三角形中，你看看哪些知道啊？现在 a e 知道是根号二，对不对？然后呢？ d e 知道是二 二的平方加根二，那就是根号六了， a d 就 应该。哦，现在 a d 我 就知道等于根号六了，对不对？那就只差什么呀？是不是只差这个高啊？啊？ d 点到 abc 的 高怎么办呢？ 这个高线可不好求啊，对不对啊？这个高不好求，那我们去想啊，能追能助，里面我们要一个不好求，我们一般采用什么方法？尤其是追体， 是不是我们一般去采用等体击法呀？对不对？我找一面相对比较好求的，可不可以吗？啊？这一面不太好求，有没有现成的高线呢？ 大家请想一下，有没有现成的高线？对于这个三棱锥来说，有没有一条线是垂直于某个面的？ 这不就是我们第一问刚刚求证的东西吗？ c d 它不是刚好就垂直于背后这个面吗？对不对？那如果说我是以 abd 为底面的话， 这个高是很好求的呀。哦，那我体积求出来喽，我去表示他这个面积啊，把底面这个面积求出来，那么底层高等于这边底层高不就完了吗？啊，思维我们就给大家构建起来了，大家看一下啊，纯欧式几何的方法，你能不能听懂？ 来，现在给大家写一写。好吧，我们慢慢看一看，也许你听着听着你就听懂了呢， 那现在第一步先求什么呢啊？经过我们刚刚的分析，肯定是先要去求体积，对吧？那体积我们刚刚说哈，你可以怎么样啊？你可以以这个 a、 b、 d 为底边，然后去乘 c、 d， 对 不对？但是我刚刚想了一下， 如果你 a、 b、 d 为底面的话，这个好像这个三角形面积也不是特别好求嘞，是不是？ 大家想一想啊，有没有其他方法啊？好像我是可以以这个 bcd 为底面，然后呢？ a、 e 它不是垂直于这个面吗？对不对？ a、 e 一 旦垂直于这个面，那么我们就把这个 bcd 的 面积给求出来不就行了吗？啊？ bcd 它好求，那相比 abd， 为什么呢？因为 bcd 它给了我们现成的有一个直角，大家看出来了吗？在哪里啊？ 是不是说 c、 d 一定是垂直于 b、 d 的 呀？这个很好看出来吧，因为什么呀？因为第一问嘛，对不对？第一问我们不是说了吗？ c、 d 是 垂直于背后那个面的啊， abd 的 垂直于这个面， c、 d， 那它当然就垂直于 b、 d 啊，所以说这个角一定是直角啊，对不对？好，它是直角的话，大家心想啊，我们就来写啊，由 c、 d 垂直于平面 abd 我 们当然可以得到什么呢？ 是不是就可以得到 c、 d 是 垂直于 b、 d 的？ 那么在 r、 t 三角形 c、 b、 d 中，我们来看一看啊，它这个面积能不能求啊？ 嗯？ c、 d 长度给了吗？是两倍，根号三，对不对？这个是直角，那么 b、 d 长度呢？ b、 d 长度也给了呀，因为 d、 e 等于二， b、 e 等于一合起来不就是三了吗？对不对？它加起来是三的话，所以说这个面积我们就可以求出来二分之一，三乘以 两倍根三就完了，对不对？ s 三角形 b、 c、 d 等于二分之一， b、 d 乘以 c、 d 也就等于二分之一，嗯，三乘以 二倍根三啊，它就应该等于多少三倍根三，对吧？这个面积我们是知道的， a、 e 又垂直于哪个呢？嗯，平面 b、 c、 d， 所以说我们可以得到什么呀？这个体积就知道了，对不对？体积 v 现在应该是以 a 为顶点， a、 b、 c、 d 就 应该等于三分之一， 底，现在是三倍根三，这是底面积，对不对？高度的话应该是 a、 e， a， e 是 多少啊？可以了，等于根号二，所以说这个一乘的话，三和三一约分就是根二乘根三应该是根号六， 这个是体积，对吧？那现在总共的体积求出来了，我们的核心现在转换成什么呀？大家想想，我们这个图放在这个地方的这个图， 我是不是就去求这个底面 abc 就 行了，对不对？能理解不啊？求出底面 abc 的 话，我们来看看这三条边怎么去表示啊？先把它们三条边的长度给它表示出来，可以吗？呃，大家看啊， 这地方它 a、 e 是 垂直于底面的，所以说它当然这个地方也是一个直角，对不对？然后 a、 e 是 等于根号二， b、 e 它说等于一，这个地方又是直角，所以说 a、 b 能不能知道 a、 b 当然就等于根号三喽，对不对？这个没问题吧，我们就边说边写啊，在 r、 t 三角形，嗯， ab 中 ab 的 长度就应该等于根号下 a 一 的平方加上 b、 e 的 平方啊，也就应该等于根号下根二平方加上一也是根三啊，这个地方我就少写一步啊，等于根三，它是 ab 的 长， 然后我们继续看啊，刚刚不是给大家说了吗，这个 a、 d 长我们也可以求出来，对不对啊？再写一步吧，在 r、 t 三角形，嗯， a、 d 中，那么 a、 d 的 长度当然也就等于两条直角边的长平方， a、 e 平方加上 d， e 平方，刚求过的是二得四加上二，那就应该是根号六，对吧？它是根号六， 我们求它的目的还有一层目的是什么呢？大家请注意看啊，这个三角形是不是也是一个直角三角形啊？因为什么 c、 d 是 垂直于背后这个面的 对不对？所以说它当然这个角也是直角啊，啊，所以说在 r、 t 三角形全是直角三角形啊。这个题 a、 c、 d 中， 我们就可以求出 ac 了啊，它就应该是直角边啊，这个斜边根号下， a、 d 平方加上，嗯， c、 d 平方， c、 d 平方是二倍，根三平方是十二，然后 ad 的 平方呢？ ad 平方不就在这根号六的平方六吗？对不对？那就六加十二，就等于十八开根号，那就应该等于三倍根号二啊，口算 对不对？那现在你看啊，我们这个底面，呃，我现在知道什么呢？我现在知道 ab 了，还知道 ac 了，那就欠缺什么 bc 对 不对？ bc 怎么求啊？ bc 就 好求了呀， bc 的 话，你看他不又是一个直角三角形吗？对不对？在 r、 t 三角形，现在应该是 b、 d、 c 中，对吧？此时 bc 就 应该等于根号下，嗯， b、 d 方加上 c、 d 方 等于多少啊？大家算算，应该是根号多少？嗯， b、 d 的 平方是三三得九， c、 d 的 平方呢？ c、 d 刚刚说的是平方十二，那就加在一起是二十一，对吧？它就等于根号下二十一， 根号二十一，然后我们去看一下这个三角形 a、 b、 c， 我 们怎么去求面积，对吧？ ab 是 等于根号三的，然后 ac 等于三倍，根二， bc 等于根二十一，大家发现规律了吗？ 它的平方是三，它的平方是十八，它的平方是二十一，你看到了吗？它们也满足一个直角三角形哦哈，这个题我说啊，全是直角三角形，所以说我们用绿色笔换一个颜色啊，三角形 abc 是直角三角形，当然前面你得用勾股定律说明，好吧，我给它括起来说明一下也行啊。这是因为 ab 平方加上 ac 平方等于 bc 平方，也就是说哪个角是直角啊？大家想想，是不是说角 a 是 直角啊？ 那角 a 都求出来了，那个底面的面积我们能不能去求啊？啊？当然可以求了，对不对？那就 s 三角形 a、 b、 c， 它就应该等于二分之一， ab 乘以 a、 c 等于多少？ ab 是 等于根三，对吧？ ac 呢？等于三倍，根号二乘在一起，那这个就应该是二分之呃，三倍的根号六啊，就完了，这个是底面三角形的面积， 那接下来我们就应该去射出这个 h 了，对不对啊？射 h 为 d 到平面 abc 距离啊，把这个距离射出来， 那么由等底解法啊，我们可以写成什么呀？嗯，由 v、 d， abc 等于刚刚的 v、 a、 b、 c、 d。 啊，有这个等于这个，那它当然就怎么样啊，这边就等于根号六了，对不对？所以说这边的话就应该三分之一底面积，那就是三角形 a、 b、 c 刚求的在这，对吧，乘以高等于， 嗯，根号六啊，这个就求出来了，那所以说 h 我 们就可以套直了啊，根号六去除以谁啊？根号六去除以三分之一，那就乘上三，比上三角形 abc 的 面积，那就是二分之三倍。什么 根号六啊，对不对？根号六，根号六，一约三和三，一约一除以二分之一，所以说这高度当然就等于二了，对不对？能理解了吧。啊，高度为二， 高度为二，这个正弦值是不是就出来了，对不对？所以说啊，往下走一点啊， sine theta 啊，我们设什么？是不？还得说一句啊，设 theta， 为什么呀？呃， a d 与平面 abc 所成角 则 sine theta 就 应该等于啊，看这边就应该是对比斜，对吧？ h 比上 ad， 那 当然就是二，比上 ad 的 话，在这啊，等于根号六， 二比根号六，那就应该是六分之二倍。根号六，三分之根号六啊， 这是其中的法一啊，用几何法来掌握，大家看一下啊，几何法你能不能听得懂？我相信绝大部分同学可能在考场上也好，在练习也罢，不太喜欢用这个纯粹几何方法啊，听一下，能听懂也行。好吧，大家可以用向量法了，我们马上来讲向量。 好的，刚刚给大家讲了，法一啊，用几何直接来解啊，有的同学可能不是特别习惯，平时用空间向量用的比较多，那我们马上就来讲法二啊，法二， 我们就来建个系啊，大家看啊，我这已经把这个系建好了，我给大家先说明一下，为什么选择用 e 点， e 点间隙有什么样的好处呢？以它为圆点的话，因为我们在第一问知道什么呀？ 我们是不是在第一问已经知道了 a、 e 这条直线，它是怎么样？是垂直于这个底面 b、 c、 d 的， 对不对？ 而且我们还知道啊， c、 d 它是垂直于谁啊？它垂直于这个 b、 d 的， 那换句话来说，我只要去把这个嗯， z 轴和 y 轴 写出来， x 轴呢，我就以这个 d、 c 的 方向去间隙就行了，对不对啊？也就是 d c 方向的这个平阴线啊？去做关于这边做一个 x 轴就行了，大家能理解吧？好，因此我们来写一写啊，间隙你得写一写以 e 为圆点啊。 然后呢， e、 d 为 y 轴， e a 为 z 轴，对吧？ 那我们就说 e、 d 这边是 y 轴， e、 a 这边是 z 轴，对吧？ 并且呢，我们还得说啊，因为嗯， c、 d 是 垂直于 b、 d 的， 所以说我们就是可以过 e 做 c、 d 的 平行线，对吧？过 e 做 e， x 平行于 c、 d， 可以 吧？那这个就是 x 轴， 那现在的话，大家想啊，呃， z 和这个 y 轴肯定怎么样啊？是垂直的，这个没问题。这两个呢， 也是垂直的，这个也没问题。 c、 d 呢？它又是垂直于这个叫什么背后这个面的，那它当然垂直于 a， e、 a 这个也没问题啊，三条之间怎么样？就两两垂直了，对不对啊？ x、 y、 z 两两垂直啊，我就不写了， 建立空间直角坐标系。 好，现在间隙建完了以后，我们就开始写点呗。啊，这个题相对来说不太难，它间隙的话就相对这个计算量小得多， e 点的话是零斗零斗零 a 点的话，大家想啊，它是在 z 这个 z 轴方向的，对吧？那就应该是零斗零斗 a， e， a 看一下啊，根号二， d 点呢？ d 点是朝这个方向，就是说 y 轴方向的话，就应该是零斗 e， d 是 多少？二斗零，对吧？因为 d 等于二。再来 b 点呢？ b 点是朝 y 轴的反方向，也就说应该是零斗，呃， b、 e 长度是一，所以说它就应该是负一斗零， 对不对？然后最后是 c 点，对吧？ c 点的话，大家想啊， c 点它是朝什么？是不是跟它是同一方向，对不对？也就是说它朝这边走，朝这边走了多少个单位呢？那就应该看 c、 d 的 长度，对吧？ c、 d 的 长度是两倍根三，所以说这个方向两倍根三。 好，所有的点我们写出来以后再看啊， a、 d 向量现在等于多少？把它代一代。 a， d 向量的话就应该是啊，零，逗二，逗负根二，大家看啊，在这自己减一减啊，零，逗二，逗负根二， 再找什么呢？他要问的是面 abc 对 不对？我们要去找平面 abc 中的两个呃，不共线的向量，那么 ab， 我们写一下 a， c 啊，就以 a 点吧，这样好算一些。 ab 的 话就应该是零负一，负负的根号二，对吧？ a， c 呢？ a， c 就 应该是两倍根三，逗多少呢？逗二，逗负的根号二。 那现在我们把 ab 和 ac 表示出来以后，就应该怎么样去设法向量喽，对不对？设 abc 平面法，向量为 n， 把它设为 x， y， z， 那 么现在的话就有 n 乘以 ab 要等于零，对不对？并且 n 乘以 ac 也得等于零， 也就是说对这个的话，它方程就应该是 x 乘零，然后是负 y 减去。嗯，根号二倍 z 要等于零啊，这是第一个。 第二个话， n 乘以 a、 c 这边的话，就应该是两倍根三， x 加上二倍的 y， 减去根号二倍的 z， 应该等于零，大家看一下有没有问题啊？ 那这里面它都有根号二，对吧？我们就看一下是取 y 为整数还是取 z 为整数啊？想一想。 嗯，如果取一的话，如果取一的话，这边就不会出现整数了，我们得对它取一个二，看一下行不行啊？如果取 z 为二的话， z 为二， 那这前面就应该是多少啊？一项过来，这边就应该除过去，那就应该 y 是 负的两倍根号二，大家看一下有没有问题 啊？写一写吧，还是给大家。呃， y 移过去就应该等于负的根号二，乘以 z， 对 不对？我取了是二，所以说它就是负的两倍根二，这个没问题吧？好，那现在把它带回来，两倍根三 x 再加上两倍的 y， 那 就减去四倍根号二， 再减去二倍根号二，等于零，这边就应该是等于什么？呃，六倍根号二了，对不对？等于六倍的根号二 x 的 话就可以约这边一，这边是三，三倍根号二比上根三，那就是说根三乘以 根二，也就是根六，对吧？啊，这边就是根号六，好，我们这个法向量就给它设出来了，这个是其中一个法向量， 没问题吧？根号六，逗，负的二倍根号二，然后逗二重新写一下啊，负的两倍根号二，逗二，法向求出来以后要去算这个正弦值，就很简单了呀，对不对？所以我们往下写啊。 所以此时 sine theta 注意这个地方，它应该等于谁呢？应该等于。呃，这个 cosine a d 和法向量的夹角与弦值求绝对值，这个大家能不能想通啊？啊？为什么是这个样子？我稍微给大家捋一捋啊，怕有的同学线面角不是特别熟，我们画一个平面吧，啊，画一个平面 r 法，然后呢？有一条线， 那么你看啊，我们要去求这个线面的夹角，也就是说这个角度 c 塔的话， 要寻求这个角度 c 塔的正弦值。大家请想一想，法向量啊，是不是一定是垂直的，对不对？哦？我一定是往上垂直的，对吧？那现在你想啊，这个法向量是这个，然后呢？我们这个直线的方向量，它是朝这样的，对不对？ 你现在去求出来的这个呃，余弦值是不是应该是关于是这个角啊？也就是说九十度减 c， 它对不对？大家能理解吧？啊？ cosine， 我 们应该是对它九十度减 c， 它 大家听懂不？而互余的两角，它们的正弦和余弦是对应相等的，对不对啊？阿尔法加上贝塔，它们互余的话，我们知道 cos 以阿尔法等于什么呢？等于散贝塔，然后散以阿尔法呢？等于 cos 以贝塔， 所以说我们求的这个 sine theta， 它就是什么呀？ cosine 九十度减 theta， 明白了吧？那为什么这个地方加绝对值呢？我们担心出现的是啊，比如说，呃，法向量我们还是不动这个直线呢，我们是朝这边， 大家能理解吧？那这样你求的它就是一个钝角了，我们要避免啊，出现钝角情况，因为 sine 这个地方我们求的是它的啊，直线和面， 这样的线，面角一定是一个锐角或者说直角吧，大家能理解不？我们要精确啊，他一定不是一个钝角啊，所以说要打一个绝对值，里面是扣撒音呃方向和这个方向量。 对于高三同学我们不需要去讲那么多细节啊啊，只不过对于高二同学来说啊，怕有的同学遗忘了给大家讲一讲，那么现在就应该等于多少呢？ 等于哦，两个求这个余弦值，余弦值的话就应该怎么去求啊？是不是就应该是上面是要打绝对值，下面还得打绝对值，对吧？本来他是不打绝对值，但是因为我外面打了绝对值，所以说上面这个数量级也得打绝对值， 大家听懂了吗？因此这个地方就是 ad 向量和呃法向量 n 的 数量级，下面就应该是分别求两个向量的摩长，对吧？所以说它们这个数量级该怎么求啊？大家想一想， ad， 我 把它挪过来可以吗？ 啊？ ad 在 这把它挪过来， 它们的数量级的话是多少？大家看看这个是零，这边的话是负的四倍根号二，对不对？然后这边的话是减去嗯，二倍根二， 那么上面要打绝对值，下面的话是 a d 模， a d 模长的话是根号下多少二，平方是四，然后加上根二，负的根号二的平方，也就是说四加二根六，对吧？然后这边，嗯，那就根号下慢慢算一算啊， 里面是六，然后加加上负的两倍根二，平方是八，再加上二得四十八十八的话，开根那三倍根二对吧？ 啊，上面就应该是负的六倍根二，那就开绝对值就是六倍根号二，大家看一下有没有问题？ 好，那么就应该是根号二和根号二一约，三和六一约，那这上面就是二，然后就是六分之，跟刚刚一样啊，六分之二倍根号六，也就是等于三分三分之根号六的， 大家想想有没有问题啊？所以说最后下结论啊，直线 a d 和平面 abc 所成角的正弦值应该等于三分之二六，这个是间隙法，讲的也比较细啊，大家看一下，差路不缺好吧！
99冯题有解
11:40查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，今天我们给大家带来的是二零二五年全国一卷的第十六题，也是竖列的大题，那么这道题目呢，其实是大家必须要掌握的一个高考的母题，因为它里面涉及到了我们非常多的 必考的知识点，比如说有这个数列的构造，还有导数的运算等差等比数列的证明，以及错位相减，那么这个几乎是每年都必考的一个点，所以接下来呢，我们就具体来把这个题目来看一下。 首先呢，我们先来看一下这个题目啊， a 一 等于三，然后给了我们一个和 a n 有 关的表达式，让我们去证明 n 乘以 a， n 是 等差竖列，那么其实在这里的话，我觉得最起码首先我们要先能够看出来怎么样去处理这个式子，对不对？也就是我们题目中的这个条件。那首先我们应该是 两边同时乘以 n 乘 n 加一，是不是就会出现 n 乘以 a n 的 这个结构呀？对吧？好，那么我们写一下啊。第一小问证明， 因为 an 加一除以 n 等于 an 除以 n 加一，加上 n 乘 n 加一分之一，所以我们可以把这个式子先进行一个化简，那就是两边同时乘以 n 乘 n 加一，就是 n 加一倍的 an 加一，然后等于 n 倍的 an 加一，那么其实这个就很显然了，对吧？然后也就是 n 加一倍的 a， n 加一，那其实就是对应着我们这个竖列整体的 n 加一项，那么减去什么呢？ n 乘 a n， 那 么就这个竖列的第 n 项， 后一项减去前一项是一个常数，那么它就是一个等差数列了，对吧？那么我们在下结论的时候啊，我们要注意，等差数列也好，等比数列也好，它都是有两个基本量的，就是首项和公差或者公比，所以这个结论一定要把这两个基本量都说清楚。 那么我们要把 n 等于一的时候的情况求一下， n 等于一时， n 倍的 a n 其实就是 a 一 等于三，对不对？那么所以最后我们可以下结论了， n 倍的 a n， 它是等差数列，它是什么样的等差数列呢？是首项为三， 公差为一的等差数列。 所以这道题目呢，其实我们最重要的是什么？你要把结论首项公差分别是多少，一个都不能少，这些全部都要说清楚的啊。好，那么第一小问相对来说比较简单，接下来我们来看一下第二小问 给定的正整数 m 设函数 f x 是 这个形式，让我们去求 f 一 撇负二，那其实我的核心的思路就是，首先我要先对这个函数求导， 对吧？那这个其实就是最简单的一个密函数求导啊， f 一 撇 x 等于什么呢？ a e x， 求导就是 a 一， 然后加上两倍的 a 二 x 加上，其实我们下一项可以猜一下，因为它后面这里肯定是 a 三 x 的 三次，对不对？我可以多写几项啊，加上 三倍的 a 三 x 的 平方一直加到我们这里的 a m x m， 那 它求导就是 m 倍的 a m 乘以 x 的 m 减一次，对吧？好，那其实在这里我们会发现这里出现了一个式子，你看每一项里面 a 一 二倍的 a， 二，三倍的 a 三 m 倍的 a m， 那 么其实我们由第一小问是不是已经证明了它就是跟这个结构是完全一样的， n 倍的 a n 是 一个等差数列呀，对不对？所以其实我们由一， 其实你可以把这个竖列的求导以后的结构再进行化简，对不对？有一得 n 倍的 a n， 那 就是什么呢？首项为三，公差为一的等差竖列，那其实就是 n 加二， 对不对啊？然后呢，所以我们就可以进一步推出这个 f 一 撇 x， 这里的 a 一 呢，其实就是一倍的 a 一， 那根据这个通项公式就是三，对吧？那么下一项就是多少呢？公差是一嘛，那就是四 x， 再下一项就是 五 x 的 平方一直加到，我们可以再写它的前一项啊，这个 m 倍的 am， 它就是什么？是不是？就是 m 加二乘以 x 的 m 减一次，对不对？那么它的前一项就是 m 加一乘以 x 的 m 减二次。好，那么接下来他让我们求 f 一 撇负二，那我就把负二带进去， 就是三加上四乘以负二，加上五乘以负二的平方，一直加到什么呢？加到 m 加一，乘以负二的 m 减二，然后加上 m 加二乘以负二的 m 减一次。好，那么写到这里我相信大家应该都发现了，这是一个什么结构？这个前面是三四五 m 加一， m 加二，是不是一个等差的形式， 对不对？而后面是什么呢？负二负二的平方，负二的 m 减二次，那其实就是一个什么等比的形式。那么等差乘等比我们要用什么方法呢？是不是肯定要用错位相减法， 对不对啊？所以在这里啊，我们就是进行错位相减法，大家要注意这个错位相减，这个方法是必须必须要掌握的，它几乎是我们高考当中的一个必考的一个知识点。 那错位相减法怎么做呢？就是我们看到这里的公比是负二，对吧？这个等比竖列，它的公比是负二，所以我们要做的就是在这个式子的两边同时乘以负二，那么左边就变成了 负二，乘以 f 一 撇负二，然后这里就是加上注意，错位相减法，大家结构一定要写清楚，这样你不容易在待会化减的时候出错啊，一定要错开，什么意思呢？第一项乘负二，是不是我可以写到这里 三乘二，那么第二项就变成了四乘二的平方，对不对？我们错位相减法一般情况下习惯上前三后二，前面写三项，后面写两项啊，这里就是五乘二的 三次啊，以此类推，到哪里呢？到这里我们知道这一项他再乘负二，是不是就变成了前面的系数不变， m 加一乘以负二的 m 减一次呀？然后最后我们会发现多了一项对不对？多的一项在这里， 那么我们就再写下去，加上这里就变成了 m 加二乘以负二的， 原来是 m 减一，那我就变成了 m 次，对不对？好，然后接下来我们干什么呢？两式相减对吧？这里是一式，这里是二式啊，两式相减，那么左边就是三倍的 f 一 撇负二， 右边的话我们说错位相减啊，你可以把它最重要的就是大家在减的时候这个符号不要乱掉。我们其实本质上是三部分， 这里的三是单独的一项，最后的这里也是单独的一项，然后中间的话呢，这些一大块他们每一项都有和它对齐的东西，所以中间的这一大块也是一大项，所以我们可以把它看成三项去处理啊， 一减二，一步一步来，那么一减二的话，这个三是照写不误的，对不对？加上那么中间大家会发现四乘负二减去三乘负二，也就是我们这里四乘负二减去三乘负二，是不是就是一个负二， 然后呢五乘负二减去四乘负二，那是不是就是两个负二的平方，对不对？它就是这样的一个逻辑，我们会发现它前面的系数都变成了一啊，然后最后的话呢，我们到这 一样的，那就是加到了负二的多少呢？负二的 m 减一次，对吧？中间呢，这是一个整体啊，我们要把这个东西当成一个整体来看， 然后接下来呢，最后这里的话，由于是一式减二式，所以这一项前面的符号一定是负的，这个千万不要搞错啊，就是减去 m 加二乘以负二的 m 次，对吧？好，那么接下来我们对这个式子进行化简，等于什么呢？等于 三加上这里中间大家会发现它其实本质上就是一个等比数列求和，那么根据我们等比数列求和公式就可以直接写出来就是一减 q， q 是 负二，对不对？ 分之 a 一 首项嘛，然后是一减 q 的 几次呢？我们这里从一到 m 减一，它只有 m 减一次， 对不对？然后再减去 m 加二乘以负二的 m 次，然后接下来到这里，其实我觉得大家如果说你理解这个错位相减的基本的原理，那到这里基本上应该是可以写出来的，那么接下来最关键的就是比较麻烦的 考验大家的计算能力，就是我们这个式的一个化简啊，所以我们化简的时候呢，也要仔细的认真一点啊。好，那么首先三， 那么接下来这个分母上一减去负二就是三，对不对？然后这里有一个减去三分之二，对吧？因为负二乘以一是负二，那么接下来我们会发现呢，它这里是怎么样？负二跟后面的这个有一个 m 减一次，这里是不是可以合并起来变成负二的 m 次，刚好我们这里也是 m 次，对不对啊？所以这里我们要注意啊，你化简的时候那前面是什么号呢？因为我们这里前面有一个减号，对吧？减号然后减去什么呢？ 三分之负二的 m 次，对不对？然后再减去 m 加二乘以负二的 m 次，然后我们再合并同类项，三减三分之二就是三分之七，然后呢，最后这里是 减去啊，我们会发现你把这个负二的 m 次提出来，第一项是不是我们写一下啊？就剩下一个 负号也提出来，第一项是不是剩下一个三分之一？第二项是不是剩下一个 m 加二，对不对？我们其实就是把这个负的负二的 m 词整体提出来啊，那么这里的话就是我们通分，那么就是乘以多少呢？三分之后面是三 m 加六，再加一就是 三 m 加七，对吧？好到这里题目并没有结束啊，大家一定要注意，我们这里呢，你算的是什么？是三倍的 f 一 撇负二，对不对？最后我们要把这个三除过来， f 一 撇负二就是多少呢？是不是把三除过来以后就变成了九分之七减去九分之三 m 加七乘以负二的 m 次呀，然后 m 属于 n 型。 好，那么我们第二小问就做完了啊，那么这个就是我们这道题的一个全部的解答过程，它的难度其实并不大，但是呢它很基础，我可以说它是必会的高考母题。好，那么今天我们的分享就到这里。
251小姜爱数学
08:30查看AI文稿AI文稿今年在高考之前，三月十五和二十号，葛军老师在视频中强调，高考真体源于教材，呼吁大家一定要复习教材，回归于教材，可见教材的重要性。 今年高考一卷的第十六题，昨天也给大家重点分享了。这道题命制的时候就是源于教材中的一道练习题。 后来呢，我把江苏省十七年的高考数学的命题题库进行了查找，这个书呢是我啊自己编写的，而且每一道题都有详细的解析过程。 查找之后我会发现，今年的这道第十六题是源于二零幺零年江苏高考数学第十三题。而我知道二零幺零年也是葛军老师参与命题的， 当年全网普遍反馈这套试卷的难度非常大，从此葛军老师一下就火了，被称为数学弟考哭了五十几万的考生。 那我先看一下这道题和今年的高考题到底有什么联系。从表面看，形不同，但是我们要重点来分析下他的神反而是相同的。 二零幺零年这道第十三题，他是以锐角三角形作为解析，考察三角函数的化简求值问题。 当年这一道题，我采用了五种方法进行求解的，前三种方法通过转编策略、转角策略以及设定理的策略进行求解，他主要是立足高中的知识进行求解。 如果你从这个角度进行切入的话，这道题做完了之后大概得用三到五分钟，而且还不一定能做出来。 但是实际上当年有部分考生做答这道题的时候不到一分钟， 那么这些同学为什么这么快呢？其实他就是小学的基本功很扎实， 这也就衍生了我在解析过程中采用了第四和第五种方法。第四种方法主要是构造特殊图形方法，第五种方法构造特殊图形加负值的策略进行求解。 这五种方法呢，我以前录过一节微课，如果你觉得想去听的话，请点赞关注一下。 那有人问这种方法你怎么会想到的呢？其实我们知道，在小学的里边，如果看到前面的等式超级复杂，而要求的这个式子 出现了得值的两个字，我们知道这类题型结果一定是个数值。 我们一般的情况下，解答这类问题通过负值的手段进行求解的。当然到初中之后，如果他在几何的题里面出现，我们一般的会采用构造特殊图形来进行求解。 谈到特殊图形，大家应该想到的是直角三角形、等边三角形或等腰三角形。 这道题的里边它是锐角三角形，所以我第一反应就是能否构造等边三角形。 我们知道等边三角形每个角都是六十度，三边都相等，所以考赛因 c 就 等于二分之一， a 和 b 如果要相等的话，会发现这个等式是不成立的。所以此时呢，我们把它退到等腰三角形去。 a 和 b 相等时，考赛因 c 等于三分之一，考赛因。知道之后，那么弹力 c 就 可以求了。要想求这个式子的值，我们只要求出弹天 a 或弹天 b 的 值即可。 由于它是个等腰三角形，这个问题实质就转成了已知顶角的 三角函数，求底角的正切值。大家看到这样的题型是不，马上就想到了昨天给大家讲解的这道练习题，就是这类问题，而且 如何去求这个弹性？有两种不同做法，如果你从 c 点向 ab 做垂直的话，那么你需要利用二倍角公式求出半角的三角函数， 然后在这个直角三角形内求出弹性 b 的 值，当然你也可以从 a 点向 bc 做垂直， 这样话呢，通过复制的一种手段，然后求出 a、 d 恰好等于二倍根号二。 直角三角形 a、 d、 b 的 里边，我们就可以求出它的 b 等于根号二，当然你也可以求出考塞因 b 等于三分之根号三， 再根据勾股定律，你就可以求出 ab 是 等于二百零二三的。 分析完了之后，大家是不是能够知道了这道题，其实当这个三角形特殊化处理之后，本原就是已知顶角的余弦值，求底角的 三角函数。而且大家有没有发现，所给出的等腰三角形这条边的数值以及余弦的三角函数都和第十六题是完全一样的。 大家可以看到 bc 这条边是二倍根号三，考三根 b 是 等于三分之二，而要所求的结果的余弦值恰好是三分之一。 所以大家有没有发现，这一道题其实不但源于教材，而且源于葛军老师的这道高考真题。 而且大家有没有发现，这道题不但源于教材，而且源于葛军老师的这道高考真题。数字都没有发生变化，只是条件和结论进行了互换。 所以今后大家在复习过程中一定要回归教材，重视教材，至少大家在学习过程中一定要把教材中的立体体体，特别一些个拓展的一些个问题一定要深入的进行研究， 有的人说，那有的时候教材我不知怎么去做，至少你先做一遍或者是做三遍，当然呢，在他基础之上，你要学会一题多解， 这也就是我这两次课给大家讲解的这个第十六题，他的一个题源。 当然有些同学可能想要知道这道题能有多少种解法，欢迎大家呢？点赞关注。后期我会给大家分享这道题如何进行一题多解。好，感谢大家的收听，再见！
30衡舒君讲数学
12:41查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下二零二六年高考一卷的十六题啊，这个大题分值还比较大，十五分啊， 其实就是一个减三角形的题，那为什么拿出来讲呢？其实这个题啊，就是一个啊，中考难度的题，在我们中考里面出现的， 在班的高考里面来说，哎，应该是比较简单的，但是也有估计也有一部分人啊，把中考的知识忘了，你用高中的知识来讲呢，就是减三角形的正确，鱼形垫底呢，又不会用。 那我们再讲一下这个题啊，在三角形 a、 b、 c 中， a， b， c 等于二倍根号三，扩散比等于三分之根号三，求扩散。好，已知两边和一个假角的余弦值，我们要求另外一个角的余弦值，你看啊，我们来解三角，我们先把图画一下， a， b、 c 等于二倍根号三， 扩散 b 等于三分之根号三，这个角啊，余弦值 a、 b 等于三。好，我们首先用高中的解三角形的知识来讲啊，已知两条边，对吧？已知这条边，这条边以及假角的余弦值，我们求这条边，是不是很好求啊，对吧？ 直接用啊，假设这个这条边 a、 c 的 平方，它是不是就等于它的三的平方加上两倍根号三的平方，减去两倍它们的乘积乘以三， 乘以二倍根号三，乘以这个假角的余弦值扩写 b， 对吧？其实我们算出来这个 a、 c 啊，等于三，这条边等于三。好，我们知道这一条边了，知道这条边，知道这一条边，知道这条边。要想求这个角 a 的 余弦值，不是很好求吗？那同样用这个余弦定律啊， cosine a， 它是不等于啊，这条边的平方加这条边的平方，也就三的平方加三的平方减去这边的平方二倍，根号三的平方除以两倍， 这两边的乘积乘以三乘以三，是吧，对不对？这样算出来啊，很简单，等于三分之一， cosine 等于三分之一啊， 好，我们现在用初中的知识怎么讲？假设我没学过正弦定律，余弦定律啊，没学过，放在中考我们来怎么做？ 我们看啊， b c a b 等于三，好，我们要利用这个角的余弦值，我们肯定要做一条辅助线，对吧？做垂线，因为我们中考我们初中只会解直角，三角形，斜的我们不会解，对吧？好，我这里做一个垂线，假设这是 h， 那我算，我是不是要算 b h 啊？我 b h 比上，因为扩散 b 是 不是等于沿边比斜边比上三啊，对吧？等于多少？三分之根号三，那 b h 是 不是就等于根号三啊？ 然后再看整个 b c 等于根，二倍根号三，那 b h 等于，说明这是个终点吧， 它又是全线，它又是中点，那是不是等于三角形三线合一啊？那说明 a c 就是 等于三，对吧？它是等于三角形，那 a c 等于三呢？我要求这个角的余弦值，我是不是这边又再做一个全线啊，对吧？ 好，假设我这个缺陷，我做了个啊，这个是 m 点， c m 垂直它，好，我们看一下，我要想求这个，我这个角的余，我成，同时我继续利用这个角的余弦值，它是不是等于这条边比这条边啊， 对吧？是不是？那说明什么？也就是说 b m b m 比上 b c， 它是不是还是等于这个三倍根号三，三分之根号三的，对吧？由于 b c 等于二倍根号 b、 c 等于二倍根号三，那我们可以算出来，我们看啊，这个 b m 等于根号三，乘以二倍，根号三，再除以三， 它是不是等于二呀？说明这个 b、 m 等于二，这条 边等于二，这条边是不是就等于一啊？这条边也等于一， a、 m 是 不是等于一啊？它整个是三嘛，所以它等于一，那括号选这个 a 是 不是一比三啊？对不对？也是等于三分之一，是不是？好，这是第一问啊。好，我们来看第二问， 设 d 一 两点满足 d 在 b a 的 延长线上， b a 的 延长线，对吧？好， d， 一， 平行于 b c， b c 平行，我们画个平行线啊， 大概在这里。一， 这个角是个直角，对吧？ a e 垂直于 a c， a e 垂直于 a c， 那 要你求 c e， 这里是 d。 好， 我们来看一下啊，我们用高中知识怎么解？ 我们想要求到这一条边，这是个直角，我是不是得求到这条边？购物店里是不是得到 c、 c 一 来，对吧？要求这条边。好，我要想求这条边，告诉你，这条边低于等于根号六，这里是根号六，这条边是根号六， 这条边是根号六。我们看一下，要想求这条，我们目前只知道一条边，对吧？好，我们再看平行，那这个角跟这个角是不是互补的？ 那互补的话，他的正弦值是不是得相等的，对吗？他的正弦值， 那我们知道了，扩散比，首先我们知啊，看他的正弦值相等，那么我们根据正弦点，你这条边比，他的正弦值是不等于这条边比这个角的正弦值， 对吧？这个角的正弦值跟这个角的余弦值是不是相等的？因为他们是赋余的，对吧？这里是一个平角，然后这里是一个直角，中间一个直角，所以这两个角是赋余的，所以说这个角角是，这个角是阿尔法。那么 sin alpha 它是不是就等于 cosine a 的 cosine c a b 吧？ c a b 等于它的，它以我们刚刚算出来等于三分之一的，对吧？ 好，这个角跟这个角它们的正弦值是相等的，因为它互补，两直线平行同盘内角互补，对吧？所以它们的正弦值是一样。既然它正弦值一样，我们知道了扩散 b 的 余弦值，那我去求它的正弦值呗。三眼 b 它是不是等于一减？因为它是在三角形里面，对吧？它是为正的，我们开开放啊，一减扩散 b 的 平方，对吧？那我们就这里算出来。 cosby 是 九分之啊，九分之三十九分之三，三分之一， 这里减去了九分之六，一减九分之三，九分之六，三分之根号六， 也就是说上引 b 是 三分之根号六，这个角也是三分之根号六，好，那我们这个时候我们就来计算了，用正弦定你了啊。 这条边 a 一 比上上引，这个角比上三分之根号六， 是不是就等于根号六？比上这个角的正弦值三分之一，对吧？这里我们就算出来，哎， a 一 等于啊，乘过来他就六二， 那他 a 一 就等于六啊，我们算出来 a 一 等于六，好，我们算出 a 一 等于六，这个是等于三，那这条边不就好算了吗？ c 一 一 c， 他 他的平方加他的平方开方六六三十六，加九四十五四十五，开方三倍三倍根号五，对吧？这里就是三倍根号五 啊，这是我们念高中的这个余弦啊，正弦定底来做的。好，我们如果继续念初中的，这是怎么办？怎么解啊？ 那我们念初中的，我们知道了这条边，我们知道了这条边，对吧？那我们延长 做一个垂线假设，这里是 n 啊， 好，我们看一下，我是不是一样的要求这条边啊？求 a 一， 那我们看一下这个三角形啊，这个小三角形 e n d 啊，跟这个三角形是不是相似的 啊？这个角跟这个角是不是 同位角，对吧？然后一个直角说明它是相似的，然后我们就可以利用相似比啊，有这条边，这个角等于这个角嘛，那么这条边就比它 等于这条边比这条边，这样我们就可以比出来啊，所以我们根据相似比啊，可以得到了 d n 这条边比这条边等于这根号六比这条边啊，我们可以算出来这个 d n 啊，等于根号二， 这条边算出来。好，我们算出 d n 等于根号了来， n 一， 是不是给算出来了？由根号六，根号二，根号六的平方减根号二的平方开方是不是他，所以 n 一， 他就等于二，对吧？ 好，我们再看这个三角形啊，这个角跟这个角是互余的，所以这个角肯定等于这个角，说明这个三角形啊， a m 三角形， a m c， 它是不是相似于三角形？这个 a m c， 那 就是 e n 三角形啊？ e n a 的， 对吧？啊？这是个直角直角相，这个角等于这个角，这个角等于这个角，对吧？那根据相似比，那这条边是二，那二比一，那它应该等于六比三吧， 对吧？它是三嘛？这个斜边是三，它是二比一嘛？那说明这条边推出 a， e 啊，等于六， 推出 a 等于六了之后，这条边是一样的勾股定律，对吧？六的平方加三的平方，那也就推出 e、 c 等于三倍根号五啊，这就是用的这个初中的相似比来解的啊。好，这个题讲到这里。
77光头哥讲数学
09:18查看AI文稿AI文稿我觉得更简单了，比比那个在里面找的其实更简单，因为这是其实是一个初中的一个知识，初中的一个平面，平面几何的一个知识。这个二零二六年的高考昨天已经结束了啊，呃，在这里啊，王老师预祝所有的考生能够考上自己理想的这个大学。 嗯，今天的话，呃，我们继续用这个高考数学的八大思维来挑战我们的这个 二零二六年高考的这个三角函数这个大题啊。三角函数的大题的话我们讲的比较少，不过之前呢，王老师把这个这个思维方法是讲过我们叫做参数统一的这个思维， 然后之前也讲过我们那个三角函数的大题的话，往年的他出题的这个规则原则还是什么？他一般的话就是在第一题目条件里面会有一个等式，一个复杂的一个等式，然后这个等式通常是需要我们去化化简的。 呃，用背角公式啊，用核差画剂啊，用这些公式就给它化解，然后第一问的话就会求角或者求边，第二问的话，然后就再给进一步给出一些条件，然后给出或者是中线啊、角平分线啊这些条件，然后完了以后 让我们去求这个面积或者求去范围，这是一般的这个出题的这个套路规则了。呃，然后今年的话，我们这个三角函数这个题的话，呃，整体来说好像又有一点点创新， 跟我们整套事件一样，整套事件其实都是比较创新的，变法规的话是比较难，然后的话，但是我们这套三角函数虽然说是创新的，但是他创新的更容易呢？为什么这么说？因为以前的话我们刚才说了，就是给我们一个等式，让我们去化减，那现在的话，他干脆等那个化减的步骤，干脆给你省了 第一问去求奖，他就把这个求奖啊，这个分啊，送给你，送的彻底，送的更彻底一些。也就是说这个数学，这个今年的高考数学试卷，他是两千分化就很厉害， 就是容易的，我让他足够容易，我分送到底，我难的，我确实是需要一定的思维，思维能力。呃，他题型他现在不固定。 呃。所以说为什么，这也是为什么王老师一直说的，就一直一直说的。我们这个高考的这个数学方法是一个思维方法，他不是一个套路，他不是一个套路。呃。虽然他有一点点，有一些，经常会有一些那个可有据可循的一些套路，但他不完全是套路，他更多的是要一些思维方法， 所以我们掌握思维方法呢？他不管怎么去变，他逃不开那个方面。你看这道三角函数的题，其实就是一个，也是一个非常典型的， 就是我一直强调我们的思维方法是什么？一个参数统一的一个思维啊，参数统一的思维，参数统一的思维里面，我们在解三角形里面用到公式其实是很少的，他没有太多公式，他其实就是一些什么，就是一正弦定律、余弦定律啊，然后如果有中线呢？什么有角平分线呢？再加上中线定律、角平分线定律这些 其实你没有中间定力，没有找中间定力，你用一线定力、正线定力同样也可以解，只不过可能复杂一点而已，所以的话我们在这个里面的话掌握一些非常基础的一些知识，然后运用我们的一些思维方法，是他说统一的这个思维方法，呃，我们就可以把这个一类题我都可以解的出来。 呃，我们来看一下这道题哈，这道题，这道题说的是我们简单画个图吧，他说 a b， a， b， c， 对 吧？ a b 等于三， b c 等于二，根号三， 这个角是三分之二，三九 a， 那 我们知道这个在一个三角形里面，我们只要知道两边一角，就算它一共有六个参数，三角变三个角，对不对？我们只要知道其中的三个因素，除了三个角啊，我们其他的这个， 呃，就可以求出其他的这个参数，对不对？这个一点问题都没有吧，对吧？那我们看一下，先看一下他对是不是对应的角。我们能不能直接用正弦定律？我说了我们直接就是正弦定律，一键定律，是不是？ 我们要求这个角 a 这个正弦定律用不了，为什么？因为一是他是余弦，第二的话他这个 a c 这个边我们不知道对不对？所以我们在这里先干嘛？先求出 a c 的 这个边，我们先用余弦对不对？先用余弦定义，就知道两个夹着边， 我们先写个解字啊，解字第一位，那是什么？我们要把这个 a c 求出来吧。 a c 的 平方又等于什么东西啊？等于 ab 的 平方移项定例，加上个 bc 乘 以个 bc 乘以个 b， 对 不对？就等于什么？等于九，加上个十二，减去个二乘以个三乘以个二，根号三乘以个 三分之三吧，对不对？那这里就等于多少？是不是等于十二就等于九吧？所以 ac 就 等于等于三吧，没问题吧？ ac 我 们知道了，等于三，可以发现啊，好像是一个等腰三角形哦，对不对啊？我先管他，管他是什么形啊。那我们知道两边三边我们要求角的话，是不是能不能继续用余弦，对不对？求余弦，这样就可以不用画，对不对？所以是吧， a、 b 的 平方加上 a、 c 的 平方，减去 a、 c 的 平方吧，对不对？就是二乘以 a， b 乘以 a、 c 等于什么呀？ 就是九加九减去十二吧，对不对？除以个二乘以三乘以什么？三分之一吧，对不对？就六六。第一问没有问题吧，很简单喽，看第二问， 设 d 一 两点满足这个一，在这个 b a 的 延长线上，对不对？然后 d 平行于 bc， 这个是一，这个是 d， 对 吧？他说 a、 e 垂直于什么？这个是垂直的，这个角是垂直的，这个 a c d 等于根号六九，这个 c、 e， 那我们我们一看它有一个什么放到这个三角形里面嘛？自然的就会放到这个三角形里面嘛，对不对？然后它这个角是垂直的话，有知道一条边，那我要求另外一条边，我们一看就知道，我们勾股定律，马上就会想到，对不对？我们实际上就是要求什么？求 a 一 吧，我们如果能求出 a 一 的话，就能求出 c 一， 对不对？ 那 a 等于多少呢？ a， 我 们智能，我们是不是要放到这个三角形里面了？这个 a、 d 一 里面，我们知道这个一条边吧，对不对？知道一条边，那我知道这个 a、 d 这条边，我知道吗？肯定不知道，它的延长上延长线我不知道啊，对不对？那我看看。角，角的话，我们知道这个 角 b 跟角 b 是 平行，这个，这个是互补的话，因为 d 一 跟 bc 是 平行嘛，它就是一个，呃，这个就是互补的一个角吧，对不对？是不是叫做同叫做那个，呃， 内错角吧，对不对？内错角？嗯，那就是说我们这个就是 cosine d 啊， cosine d 是 不是等于负的？ cosine d 啊， 就等于什么东西？ cosine d 我 们知道吧，是不是等于负的三分之三，对不对？那这个还有一个角呢？这个角我们也知道吧， d a e 我 们也知道吧， d a e 跟这个角，这个 a b a c 是 不是就误于啊？ 整个是一百八十度，这个角又是九度，对不对？就误于，那就是说 cosine 角 d a e 是 不是就等于 cosine 角 角这个 b a c 也就是 cosine a 啊，就等于三分之一吧，是不是？没问题吧？是不是？ 那我们看一下，哎，这个是对角对边哦，这个也是对角对边哦，是不是正弦定律啊？是不是？我们知道两个角一条边，我们肯定能求出它另外的一条边嘛，对不对？正弦定律的话，正弦定律的话，我们那我们就要算出三英 d 吧，对不对？那三英 d 就 等于什么呀？因为我们知道 cosine， 那 就等于，就等于三分之什么？ 呃，就是九分之三分之一，三分之一的话，在三分之二就三分之刚好六吧，对不对？等于三分之刚好六，没问题吧？那好了，那我们用余弦定利吧，用正弦定利就 a。 一 比三个什么东西啊？ 答案，阴 d 就 等于 d， 一 比三个答案，阴角 d a e， 我 们求的什么？ a 一 吧， a 一 就等于什么东西啊？ 就等于第一乘一个三零第一组除以一个三零角 d a e 就 等于什么呢？第一就是什么？第一就是，呃，根号六吧，对不对？三零第一是多少？三分之 根号六吧，对不对？这个呢，就是多少三分之一吧，所以它等于什么就等于六， 没问题吧？ a 一 就等于六，对不对？那我们就 c 一 就很轻松了吧， c 一 就等于 c 一 的平方， c 一 的平方就等于什么？就是 a 一 的平方加上个 a 四平方，是不是？那就等于什么呢？根号三十六加九八， 所以 c 一 就等于三根号五啊，对不对？很轻松吧，这题目对不对？ 我们就是，呃，这个题目其实就是一个什么呢？呃，这个题目跟以往的这个三角函数不一样的地方在哪里？它一个创新的点，就是以往的三角函数的这个解三角形的话都都在三角形里面，然后找点，然后它是三分之一或者在线上的三分之一的点呢？然后连接什么哪个线呢？然后在里面求它的角啊，或者线呢？那这个三角函数它的不同点呢？它在外面， 外面延长，然后找平行，然后求线，这是它的一个创新点，它其实，呃，我觉得，嗯，创新是很创新啊，但是 我觉得更简单了，比比那个在里面找的其实更简单，因为这其实是一个初中的一个知识，初中的一个平面平面几何的一个知识，很多人平行啊，什么护鱼啊，护骨啊这些角啊，来找这个角， 对不对？所以这道题目的话其实说的其实，再说的话，呃，在这次高考里面是很容易的，是一道送分题了。嗯， ok， 那 我们就，呃今天就讲到这里啊， ok。
70炘思维超级教学
04:03查看AI文稿AI文稿这道题要是做错了，那你就是送分小能手。二六届新二卷十六题第一问，正垂直，顺理成章。第二问，标准空间向量解法，间隙取点代公式线面角正弦值直接求解思路梳理完毕，剩下步骤你一秒搞定。我们读一下这道题，这道题几号怕不好做， 你用坐标就可以了，间隙也比较好写过程我写出坐标来，你自己去算就可以了。好吧，在三分之一当中。然后呢？ a b c d 这个 e 在 b d 上，然后呢？ a、 e 是 垂直于 c e 的， a e 垂直 c e， 说明这个角是直角 啊，这个角是直角，然后呢？ a e 还垂直 d e， a e 还垂直 d e， 那 这就说明 a、 e 就 一定垂直底面了，因为垂直两条相交直线，他说的太直接了吧。那 a、 e 垂直底面的话，那是不是说明这个面就一定是垂直底面的 啊？听懂吗？听懂了吗？啊？这道题间隙太简单了，你当然得间隙了，几何法你还得写证明过程，那么它 a、 e 是 垂直于 a d 的， c、 d 垂直于 a、 d。 那 不用看第一位了，你又明白啥意思？ a e 垂直底面， a e 就 垂底面所有的线，那 a、 e 就 一定垂直 c、 d， 那 又因为 c、 d 又垂直 a d， 那 所以 c、 d 就 垂直于 就是后面这个面里边的两条相交直线，所以这个角也是直角， c、 d 是 垂直于 abd 的。 明白了，他垂直 a、 b、 d 的 话，那 c、 d 就 垂直 a、 b 正完了，第一位需要写的过程严谨一点就可以了。需要写的严谨一点啊。好，那我就不认真的去写了啊，你自己去写啊， a、 e 是 垂直于 c e， a， e 是 垂直于 d， e， 你 必须得写上他俩相交，从而我们能够求出 a、 e 是 垂直于底面 啊！ b、 c、 d 啊，它垂直于底面的话，是不是相当于 a、 e 就 垂直底面，所有的线就垂直 c、 d？ 又因为这道题是 c、 d 垂直于 a、 d 的， 那这样的话是 c、 d 垂直于两条相交直线，那 c、 d 就 垂直于后边那个面，那个面的话正好是 abd， 那 c、 d 垂直后边那个面的话， c、 d 就 垂直后边那个面，里边所有的线，当然就垂直 ab， 所以 这道题过于基础了，对吧啊？然后他又告诉我， d、 e 等于二， d、 e 等于二的话，那说明这个长度是二标上 b、 e 等于一，那说明 e 点是一个三等分点啊。 a、 e 等于根二， 对不对？然后呢， c、 d 等于二根三， c、 d 等于二根三，那 c、 d 等于二根三的话，由于 c、 d 垂直后边那个面的话，那是不是说明这个角也是直角，底面的话就是个直角三角形， 这应该都能想得到。因为 c、 d 垂直后边那个面，所以这个长度的话，我们就求出来了啊，这个长，这个长度是四，对吧？那这个长度是四，他说 c、 d 等于二根三都用完了，这些长度 基本上都说完了，他说求 a、 d 这个 a、 d 是 这么一个线和 abc 他 们所称角的正弦值。所以呢，我们就间隙是不是我们建在一，建在 d 点就可以了？是不是？我们如果建在 d 点的话，是不是相当于他的 z 轴就应该是平行于 a、 e 的 地方， 对不对啊？ d 点是比较简单的啊，所以这个间隙就应该是这样建就 ok 了，多简单， 没问题不？没问题不啊， ok， 所以 啊，这张是 a 轴，这张是 y 轴，这张是 z 轴啊。那我这样写的话，每个点坐标都好写，那比如写 a、 d， a、 d 的 话， d 点坐标是零零零， a 点的坐标它应该落到 x 上， x 上它就应该是二， y 是 零， z 是 根二， 对不对？那 a、 d 就 搞定了，然后我再写 a、 b、 c， 那 b 点的坐标，那太简单了，三零零，对不对？然后呢，我再写 c 点，那 c 点的坐标它显然是落到外轴上，那落到外轴上的话，就应该是零二跟三零， 对不对啊？那所以这时候这三个点的坐标都出来了，所以你自己去算就可以了。每个点坐标都很好算啊，因为底边是一个直角三角形。然后呢，这个 z 轴平行 a e 啊，这个题的答案三分之六，你自己去算一算，好吧？
217赵礼显数学
