山东2020年高考
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10:34查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是二零二零年新高考一卷山东卷的第二十二题，也是当年的解析几何压轴大题。 想冲一百三十分以上这道题，咱们最好在十五分钟内稳稳拿下这题。第二问，看着吓人，其实真正值钱的地方不是硬算垂足的坐标，而是巧妙利用直角三角形的斜边中线。 咱们先来看看题目，已知椭圆大 c 的 方程是 a 的 平方分之 x 的 平方，加上 b 的 平方分之 y 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零，它的离心率是二分之根号二，并且经过点 a， 坐标是二，逗号一。第一问，求椭圆大 c 的 方程。 第二问，点 m 和点 n 在 椭圆上，向量 a， m 垂直于向量 a， n 直线 a， d 垂直于直线 m， n， d 是 垂足，证明存在定点 q， 使得线段 d， q 的 长度为定值。这道题的大方向很明确，第一问，常规计算。 第二问，咱们利用维达定律找到直线 m、 n、 b 过的定点，再用直角三角形的性质锁定这个定点 q。 接下来咱们正式开始解题。先看第一问， 求椭圆方程，其实就是求 a 和 b 的 值。题目给了两个条件，第一个是离心率等于二分之根号二。大家回忆一下，离心率 e 等于 a， 分 之 c， 所以 a 分 之 c 等于二分之根号二。 我们把这个式子两边同时平方，就得到了 a 的 平方，分之 c 的 平方等于二分之一。这里有个非常重要的技巧，咱们要把 c 的 平方换掉， 因为在椭圆里， c 的 平方等于 a 的 平方，减去 b 的 平方，带进去之后，分子就变成了 a 的 平方，减去 b 的 平方，分母还是 a 的 平方，这个分式等于二分之一。我们交叉相乘，或者把分子拆开，就能得到 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方。这步很关键，我们找到了 a 和 b 的 关系。 第二个条件是，椭圆经过点 a， 坐标二，逗号一，咱们直接把 x 等于二， y 等于一，带入椭圆的标准方程，得到 a 的 平方分之四，加上 b 的 平方分之一等于一。 现在我们把刚才得到的 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方带入到这个式子里，第一项就变成了两倍的 b 的 平方分之四，约分一下就是 b 的 平方分之一，结果等于 b 的 平方分之三，这个结果等于一，所以咱们立刻就能算出 b 的 平方等于三。 既然 b 的 平方等于三，那 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方，算出来 a 的 平方就等于六，到这里， a 的 平方和 b 的 平方都求出来了，所以椭圆大 c 的 方程就是六分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一。第一问，咱们就顺利拿下了，这是必须要拿到的基础分。 接下来看第二问，这是整道题的拉分点，题目说向量 a m 垂直于向量 a n， 然后又搞出来一个垂足 d， 让我们找定点 q。 很多同学在这里会犯错，一看到垂足 d 就 想去算 d 的 坐标，如果你一上来就硬算，基本就掉进出题人的坑里了，计算量会大到让你怀疑人生。那我们该怎么破局呢？注意，这里既然出现了一堆垂直关系，我们先不管那个 d， 先盯住直线 mn， 向量 a， m 垂直于向量 a n。 这个条件通常意味着直线 m n 会经过一个定点，咱们先把这个定点找出来。为了方便计算，咱们先把第一问求出的椭圆方程变形。六分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一。两边同乘六就变成了 x 的 平方，加上两倍的 y 的 平方等于六。 我们设直线 m n 的 方程为 y 等于 k， 乘以 x 加上 m。 这里咱们默认斜率存在。考试的时候最好补一句，斜率不存在的情况。同理， 咱们把直线方程带入椭圆方程，把 y 替换掉，得到 x 的 平方，加上两倍的括号 k 乘以 x， 加上 m 的 平方等于六。我们把括号展开，中间过程大家一定要自己动手算。 括号里是 k 的 平方乘以 x 的 平方，加上两倍的 k 乘以 m， 乘以 x， 加上 m 的 平方，外面再乘以二，然后和前面的 x 的 平方合并。同类项合并之后得到括号一，加上两倍的 k 的 平方乘以 x 的 平方，加上四倍的 k 乘以 m， x 加上两倍的 m 的 平方减去六等于零。 设点 m 的 坐标为 x， 一， 逗号 y 一 点 n 的 坐标为 x， 二，逗号 y 二。根据维达定律， x 一 加 x 二等于负的分子是四倍的 k 乘以 m， 分 母是一加上两倍的 k 的 平方。 x 一 乘以 x， 二等于分子是两倍的 m 的 平方减去六，分母是一，加上两倍的 k 的 平方。接下来用上题目给的最核心的条件，向量 am 垂直于向量 a n， 这就意味着这两个向量的数量积等于零点 a 的 坐标是二，逗号一，所以向量 a m 的 坐标是 x 一 减二，逗号 y 一 减一。 向量 a n 的 坐标是 x 二减二，逗号 y 二减一。它们的数量积展开就是括号 x 一 减二，乘以括号 x 二减二，加上括号 y 一 减一，乘以括号 y 二减一，等于零。这里有个非常重要的技巧，我们要把 y 换成 x， 因为 y 一 等于 k， 乘以 x 一 加上 m， 所以 y 一 减一，就等于 k， 乘以 x 一 加上 m 减一。同理， y 二减一，就等于 k 乘以 x 二加上 m 减一。我们把刚才的数量积式子彻底展开。 第一部分展开是 x 一 乘以 x 二，减去两倍的括号 x 一 加 x 二，再加上四。第二部分展开是 k 的 平方，乘以 x 一 乘以 x 二加上括号 x 一 加 x 二，再加上括号 m 减一的平方。把这两部分加起来，合并同类项。 x 一 乘以 x 二的系数是一，加上 k 的 平方。 x 一 加 x 二的系数是 k， 乘以括号 m 减一，再减去二。 常数项是四，加上括号 m 减一的平方，整个式子等于零。现在把维达定律的结果带进来，为了区分母，我们把等式两边同时乘以一，加上两倍的 k 的 平方。这一步计算量有点大，大家一定要稳住。带入并化简后，第一项变成了括号一，加上 k 的 平方，乘以括号两倍的 m 的 平方减去六。 第二项变成了负的四倍的 k， 乘以 m， 乘以括号 k 乘以 m 减去 k 减去二。第三项长竖项整理成括号 m 的 平方，减去两倍的 m 加上五，再乘以括号一加上两倍的 k 的 平方等于零。我们把所有的括号都拆开，按照 m 的 降密来整理，大家仔细看，含有 m 的 平方的项合并后，系数正好是三。 含有 m 的 项合并后，系数提取共阴式，变成了四倍的 k 的 平方减去一。 所以我们得到了一个关于 m 的 一元二次方程。三倍的 m 的 平方加上括号八倍的 k 减去二，乘以 m 加上括号四倍的 k 的 平方减去一等于零。 这个数字一出来，思路就开始清晰了，因为我们发现常数项可以因式分解为，两倍的 k 减去一，乘以两倍的 k 加上一。我们用十字相乘法来分解这个关于 m 的 方程，十字相乘的左边是三倍的 m 和 m， 右边是两倍的 k 减一，交叉相乘，正好凑出中间的八倍的 k 减去二， 所以方程可以分解为括号三倍的 m 加上两倍的 k 加上一，乘以括号 m 加上两倍的 k 减去一等于零。这里分两种情况，第一种，如果 m 加上两倍的 k 减去一等于零，那么 m 就 等于一，减去两倍的 k， 带回直线。方程 y 等于 k 乘以 x 加上一，减去两倍的 k， 提取 k 变成 y 等于 k 乘以括号 x 减二，加上一。这说明直线经过定点二，逗号一，也就是点 a， 但 m 和 n 都在椭圆上，如果直线经过点 a， 那 a 和 m 和 n 就 共线了，这就没法构成相互垂直的向量了，所以这个情况必须舍去。 第二种情况，如果三倍的 m 加上两倍的 k 加上一等于零，那么 m 就 等于负的三分之二倍的 k 减去三分之一，带回直线。方程 y 等于 k 乘以 x 减去三分之二倍的 k 减去三分之一， 提取 k 变成 y 等于 k， 乘以括号 x 减去三分之二，再减去三分之一。你看这不就出来了吗？无论斜率 k 取什么值，当 x 等于三分之二的时候， y 永远等于负的三分之一。这就意味着直线 m n 横过一个定点，我们把这个定点记作点 p， 它的坐标是三分之二，逗号负的三分之一。 找到了定点 p， 这道题就拿下大半了。接下来我们把目光转回到那个讨厌的垂足 d 题目说直线 a d 垂直于直线 m n， 而且 d 是 垂足。这就意味着在直角三角形 a d p 中，角 a d p 是 九十度。这里有个非常重要的技巧，初中我们就学过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 点 d 在 以线段 a p 为直径的圆上。所以如果我们取线段 a p 的 中点，把它记作点 q， 那 么线段 d q 的 长度就永远等于线段 a p 长度的一半。这个点 q 就是 我们要找的定点。咱们算一下点 q 的 坐标，点 a 是 二，逗号一，点 p 是 三分之二，逗号负的三分之一。 横坐标相加除以二，二加上三分之二等于三分之二，除以二就是三分之一。 所以定点 q 的 坐标就是三分之四，逗号三分之一。最后我们算一下线段 d q 的 长度，它等于二分之一的线段 ap 的 长度。线段 ap 的 长度用两点间距离公式根号下，横坐标之差的平方加上纵坐标之差的平方，横坐标之差是二，减去三分之二等于三分之四。 纵坐标之差是一，减去负的三分之一也是三分之四，三分之四的平方是九分之十六，两个九分之十六相加就是九分之三十二， 根号下九分之三十二化简出来是三分之四倍的根号二。所以线段 d、 q 的 长度就是二分之一，乘以三分之四倍的根号二，结果等于三分之两倍的根号二。因为点 q 是 固定的，线段 ap 的 长度也是固定的，所以线段 d、 q 的 长度就是一个定值。这道题咱们就完美证明了， 咱们来做个总结。第一问，求出的椭圆方程是六分之 x 的 平方，加上三分之 y 的 平方等于一。第二问，我们证明了存在定点 q， 坐标是三分之四，逗号三分之一，使得线段 d、 q 的 长度横为定值三分之两倍的根号二。 大家记住这个方法口诀，遇到动弦垂直，先用维达找定点，遇到垂足乱跑，就找斜边求终点，把动态问题转化为静态的几何性质，计算量就能大幅降低。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 最后留一道同类思考题给大家。已知抛物线大 c 的 方程是 y 的 平方等于四倍的 x， 点 a 的 坐标是负一，逗号零过抛物线上一点 p， 做倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于 m 和 n 两点。 如果直线 m、 n 经过定点，并且做直线 a， d 垂直于直线 m， n 垂足为 d， 请问是否存在定点 q， 使得线段 d q 的 长度为定值？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区， 这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一高二高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路，数学提分方向比努力重要，如果不知道自己卡在哪题，刷了一堆分数却纹丝不动， 这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，告诉你先补什么后补什么，高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群。
104杨老师数学提分
07:02查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！这是二零二零年山东新高考一卷的第二十题立体几何压轴大题，想冲一百三十五分以上这道题的第二问，必须在十分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是很多同学在第二问找不到那个动点，直接蒙了。其实只要建好空间直角坐标系，动点就是个带字母的坐标而已。咱们先来读题， 四棱锥 p a、 b、 c、 d。 底面为正方形， p、 d 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 设平面 pad 与平面 p、 b、 c 的 交线为 l。 第一问，证明直线 l 垂直于平面 p、 d、 c。 第二问，已知 p d 等于 a、 d 等于一 q 为直线 l 上的点，求 p b 与平面 q、 c、 d 所成角正弦值的最大值。 这题咱们先用几何法搞定第一问的平行关系，然后第二问果断上空间向量，把求最大值变成求函数的极值。 咱们先看第一问，要求证明直线 l 垂直于平面 p、 d、 c。 很多同学在这里会犯错，不知道交线 l 到底在哪里，怎么画出来。这里有个非常重要的技巧，找交线。先找平行线，你看底面 a、 b、 c、 d 是 个正方形，所以 bc 是 平行于 a、 d 的。 接下来咱们看线面平行， a、 d 在 平面 pad 里面，所以 bc 就 平行于平面 pad。 这步很关键，咱们找到了线面平行。接下来用线面平行的性质定律， bc 在 平面 pbc 里面，而且平面 pbc 和平面 pad 相交于直线 l。 既然 bc 平行于平面 pad， 那 么它就必须平行于交线 l。 现在我们得到了 bc 平行于 l， 而前面又说 bc 平行于 ad， 所以 根据平行线的传递性，直线 l 就 平行于直线 ad 找到了 l 的 方向。接下来的证明就顺理成章了。我们要证 l 垂直于平面 pdc， 我 们只需要证明 ad 垂直于平面 pdc 就 可以了。 那 a、 d 为什么垂直于这个平面呢？咱们要在平面 p、 d、 c 里面找两条相交直线都和 a、 d 垂直。先来第一条，底面是个正方形，所以 a、 d 垂直于 c、 d。 再来第二条，题目已知 p、 d 垂直于底面 abcd， 而 a、 d 是 底面上的一条直线，所以 p、 d 肯定垂直于 a、 d。 你看 a、 d 既垂直于 c、 d， 又垂直于 p、 d， 而且 c、 d 和 p d 都在平面 p、 d、 c 内，相交于点 d， 所以 a、 d 就 垂直于平面 p、 d、 c。 最后，因为直线 l 平行于 a、 d， 所以 直线 l 也垂直于平面 p、 d、 c。 第一问咱们就完美拿下了。 接下来咱们看第二问，这是整道题最值钱的地方。题目要求 p、 b 与平面 q、 c、 d 所成角正弦值的最大值。看到有动点 q 还有垂直关系，咱们果断建立空间直角坐标系。 你看点 d、 d、 a 垂直于 dc， dp 又垂直于底面，这简直就是天然的坐标原点。咱们以 d 为原点 d、 a 所在直线为 x 轴， dc 所在直线为 y 轴， dp 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系。 题目说 p、 d 等于 a， d 等于一，那正方形的边长也就是一了。咱们把各个点的坐标写出来， d 是 零零零， a 在 x 轴上是一零零， c 在 y 轴上是零一零 b 在 x、 y 平面上是一一零， p 在 z 轴上是零零一。 现在最核心的问题来了，动点 q 的 坐标怎么设？很多同学就是卡在这里，大家回忆一下。第一问，咱们正出了直线 l 是 平行于 a、 d 的 a、 d 在 x 轴上，所以直线 l 就是 一条平行于 x 轴的直线。而且 l 是 两个平面的交线，它肯定经过点 p， 点 p 的 坐标是零零一。 既然 l 平行于 x 轴，那 l 上所有点的 y 坐标和 z 坐标都和点 p 一 样，只有 x 坐标在变。所以我们可以大胆地设点 q 的 坐标为 t 零一，这里的 t 就是 个实数。 动点坐标一出来，后面的路就平坦了。我们要算 p、 b 与平面 q、 c、 d 的 夹角，先求向量 p b， 咱们用点 b 的 坐标减去点 p 的 坐标，一减零等于一，一减一等于负一，所以向量 p、 b 的 坐标就是一一负一。 接着咱们求平面 q、 c、 d 的 法向量。设法向量 n 的 坐标为 x、 y、 z 平面里面有两个现成的向量，一个是向量 d， c 坐标是零一零，另一个是向量 d， q 坐标就是点 q 的 坐标 t 零一。 法向量 n 必须同时垂直于这两个向量，所以点乘都等于零。 n 点乘 d c 就是 x 乘以零，加上 y 乘以一，加上 z 乘以零，等于零，直接得到 y 等于零。 n 点乘 d q 就是 x 乘以 t， 加上 y 乘以零，加上 z 乘以一，等于零，也就是 t 乘以 x， 加上 z 等于零。我们把 t 乘以 x 移到等号右边，得到 z 等于负的 t 乘以 x。 为了方便我们令 x 等于一，那 z 就 等于负 t， 所以 平面 q c、 d 的 法向量 n 就是 一零负 t。 现在设 p b 与平面 q c、 d 所成的角为 c， 它根据空间向量的加角公式三 c， 它等于向量 p b 与法向量 n 加角余弦值的绝对值，也就是分子式向量 p b 点成像量 n 的 绝对值。分母式向量 p b 的 魔长乘以法向量 n 的 魔长。 咱们来算一下，分子点乘一乘以一是一，一乘以零是负，一乘以负 t 是 正 t， 加起来就是一加 t 加上绝对值。分母呢？向量 p b 的 摩长加一的平方，加负一的平方，也就是根号三 法向量 n 的 模长是根号下一的平方，加零的平方，加负 t 的 平方，也就是根号下一加 t 的 平方。所以 sin theta 就 等于一加 t 的 绝对值除以根号三乘以根号下一加 t 的 平方。题目要求这个正弦值的最大值，但根号绝对值不好看，咱们直接把它平方 sin theta 的 平方等于分子是一加 t 的 完全平方，分母是三倍的一加 t 的 平方。我们把分子展开一加 t 的 完全平方，就是一加两倍的 t 加 t 的 平方。 注意，这里怎么求这个分式的最大值？咱们把分子拆分一下，写成一加 t 的 平方，再加上两倍的 t， 然后分子分母都除以一加 t 的 平方，整个式子就变成了三分之一乘以。括号里面是一加上两倍的 t 除以一加 t 的 平方。 现在问题转化成了，求两倍的 t 除以一加 t 的 平方的最大值。如果 t 等于零，这个式子就是零。如果 t 不 等于零，我们把分子分母同时除以 t， 分 子变成二，分母变成 t 加上 t 分 之一。大家对这个结构太熟悉了吧，根据基本不等式， t 加上 t 分 之一的绝对值是大于等于二的， 所以二除以 t 加上 t 分 之一，它的最大值就是二除以二，也就是一。当前仅当 t 等于一时取到最大值，所以括号里最大就是一加一等于二。那 sin theta 平方的最大值就是三分之二。最后开个根号 sin theta 的 最大值就是根号下三分之二，也就是三分之根号六。 所以 p b 与平面 q c d 所乘角正弦值的最大值就是三分之根号六。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下，总结一下，遇到立体几何里有动点，找最值的问题不要慌，动点在平行线上就设它的坐标为单一变量，把几何问题代数化，最后用基本不等式锁死最大值，这就是咱们的通法。 最后留一道同类思考题给大家。在直三棱柱 a b c 一 一 b 一 c 一 中底面是等腰直角三角形角 a c b 等于九十度 a c 等于 bc 等于 c c 一 等于二 m 是 棱 a 一 b 一 上的动点。求直线 c m 与平面 a b b 一 a 一 所成角正弦值的最大值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
35杨老师数学提分
08:18查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！这是二零二零年山东新高考一卷的第二十一题，一道非常经典的导数压轴题， 想冲一百三十分以上，这题的第二问最好在五分钟内拿下。很多同学看到指数和对数混在一起就害怕，一上来就硬求倒，基本就掉进出题人的坑里了。 这题真正值钱的地方不是算的多，而是先观察结构凑同构。咱们先来看看题目，已知函数 f x 等于 a 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n x， 再加上 l n a。 第一问，当 a 等于 e 的 时候，求 y 等于 f x 在 坐标一逗号 f 一 处的切线与两坐标轴为成的三角形面积。 第二问，如果 f x 大 于等于一横成立，求 a 的 取值范围。咱们的大方向很明确。第一问，就是常规的导数几何意义，咱们稳扎稳打拿满分。第二问，咱们不应算，用只对同购的技巧来秒杀。 先来看第一问，这里 a 等于 e， 咱们第一步要做什么呢？当然是把 a 等于 e 带入圆函数，先把 f x 的 具体表达式写出来， 代入之后，第一项变成了 e 乘以 e 的 x 减一次方。大家看，底数相同，指数相加一，加上 x 减一，正好就是 x， 所以 第一项化简成了 e 的 x 次方。 后面两项是减去 l n x， 再加上 l n e。 大家知道 l n e 的 值就是一，所以 f x 就 等于 e 的 x， 次方减去 l n， x 再加上一。 接下来我们要找切线，必须知道切点坐标和切点纵坐标 f 一 等于 e 的 一次方减去 l n 一 加上一。因为 l n 一 是零，所以 f 一 等于一加一，那起点坐标就是一逗号一加一。下一步求斜率。怎么求呢？对 f x 求倒 f， x 的 导数等于什么呢？ e 的 x 四方求导，还是 e 的 x 四方减去 l n x 的 导数，也就是 x 分 之一。常数一求导是零，所以导函数就是 e 的 x， 四方减去 x 分 之一。我们把 x 等于一，代入导函数，得到斜率， k 等于 e， 减去一分之一，也就是 e 减一。 现在切点有了，斜率有了，我们用点斜式写出切线方程， y 减去纵坐标一加一，等于斜率一减一，乘以括号 x 减一。大家注意，这里很多同学在这里会犯错，算到这里又不管了，但题目要算的是和坐标轴围成的面积，所以我们必须把方程化简，并且求出拮据。 我们把右边的括号展开，得到一减一乘以 x， 再减去括号一减一。移项整理一下，把左边的减一减一移到右边，变成加一加一，和后面的减一加一合并负一加一，抵消了正一加一等于二。所以切线方程化简后，就是 y 等于括号，一减一乘以 x， 再加上二。 接下来我们要找他和两个坐标轴的交点，令 x 等于零，得到 y 等于二，这就是他在 y 轴上的截距。再令 y 等于零，我们把二移到左边，变成负二，然后等式两边除以一减一，得到 x 等于一，减一分之负二，这就是他在 x 轴上的截距， 那最后三角形的面积怎么算呢？面积 s 等于二分之一，乘以横截距的绝对值。因为一，所以一减一是正数，一减一分之二是负数，他的绝对值就是一减一分之二。 所以面积 s 等于二分之一，乘以一减一分之二，再乘以二二分之一和二约掉，最后的结果就是一减一分之二。第一问，咱们就顺利拿下了， 接下来看第二问，这步很关键，这也是整道题最容易拉开差距的地方。题目说 f x 大 于等于一，我们把表达式写出来，就是 a 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n x， 再加上 l n， a 大 于等于一。 注意，这里题目里有 l n x， 也有 l n a， 对 数的真数必须大于零，所以隐含条件是 x 大 于零，且 a 大 于零。遇到这种既有指数又有对数，而且还带有参数的不等式，如果你直接求导那个导函数，会非常复杂，根本没法判断符号。这里有个非常重要的技巧，就是指对同构。 我们先要把不再同一阵营的象分开，把带指数的留在左边。我们把减去 l n， x 移到不等式，右边变成加上 l n x 不等式，变成了 a 乘以 e 的 x 减一次方，加上 l n， a 大 于等于 l， n， x 加上一。你看左边有 a 和 e， 右边有 x。 但是现在的结构还不够对称，我们怎么把左边的 a 也变成 e 的 指数形式呢？大家回忆一下，对数横等式 a 其实就等于 e 的 l n a 次方， 我们把第一项里的 a 替换掉，就变成了 e 的 l n 次方，乘以 e 的 x 减一次方，底数相同，指数相加，这就合并成了 e 的 x 减一，加上 l n a 次方。所以现在不等式左边变成了 e 的 x 减一，加上 l n a 次方，再加上 l n a。 这个时候我们再看右边，右边是 l n x 加上一。为了让左右两边结构完全一样，我们能不能给左边也凑出一个和指数一样的项呢？左边的指数是 x 减一，加上 l n a， 外面只有一个 l n a， 缺了什么？缺了 x 减一。所以我们在不等式的左右两边同时加上 x 减一， 左边就变成了 e 的 x 减一，加上 l n a 次方，再加上括号 x 减一，加上 l n a。 你 看，这就完美了。那右边呢？右边本来是 l n x 加上一，再加上 x 减一，正一和负一抵消，就剩下了 l n x 加上 x。 为了看清结构，我们把右边的 x 写成 e 的 l n x 次方，所以右边就变成了 e 的 l n x 次方加上这个东西，右边也是 e 的 某个东西，次方加上这个东西， 这就说明他们符合同一个函数模型。我们构造一个新的函数， g t 等于 e 的 t 次方加上 t。 因为 e 的 t 次方是增函数， t 也是增函数，所以 g t 在 整个实数集上是单调递增的。那么刚才的不等式就可以写成 g 括号 x 减一，加上莱芜 n a 大 于等于 g 括号莱芜 n x。 既然 g t 是 单调递增的，外层函数的值大，说明里面的字变量也必须大，所以我们直接把 g 去掉，得到 x 减一，加上莱芜 n x。 接下来咱们要做什么呢？题目要求 a 的 取值范围，咱们当然要把带有 a 的 项单独留在一边，也就是分离参数。我们把左边的 x 减一，移到不等式的右边，左边就只剩下来用 a， 右边变成了来用 n x 减去 x， 再加上一题目要求这个不等式横成立。也就是说常数来用 a 必须大于等于右边，这个整体的最高点，也就是最大值。 那咱们就给右边起个名字叫 h x 等于来用 n x 减去 x， 再加上一。接下来怎么求它的最大值呢？老规矩，求导 h x 的 导数等于 x 分 之一减去一，通分一下。分子是一减 x， 分 母是 x。 大家注意这里前面咱们说过，真数 x 必须大于零，所以分母 x 永远是正的， 那导函数的正负就完全由分子一减 x 来决定了。当 x 在 零到一之间的时候，一减 x 大 于零，导数是正的， h x 单调递增。当 x 大 于一的时候，一减 x 小 于零，导数是负的， h x 单调递减。先递增再递减，像个小山坡一样，那最高点肯定就在 x 等于一的地方取得了。 我们把 x 等于一代入 h x， 算一下最大值 h 一 等于来往 n 一 减去一，再加上一，来往 n 亦是零，负一加一也抵消了，所以最大值正好就是零。既然来往 a 必须大于等于这个最大值零，我们就得到了来往 a 大 于等于零。 把零写成来往 a 一， 也就是来往 a 大 于等于来往 n 一。 因为对数函数是单调递增的，所以直接去掉对数符号，得到 a 大 于等于一。结合一开始咱们说的引含条件， a 大 于零，最终 a 的 取值范围就是大于等于一。第二问咱们就完美解决了， 咱们来总结一下这道题，第一问的答案是一减一分之二，第二问的取之范围是大于等于一。这题真正要防的是什么呢？就是一上来不管三七二十一，直接求倒。 看到指数对数同框，先别急着算，先在两边凑出相同的结构，用同够函数把复杂的超越不等式转化为简单的代数不等式，这才是破局的关键。记住咱们的判断标准，只对同框，先分加同加同减凑同够。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份。入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x 次方减去 a 乘以 l n x， 如果 f x 大 于等于零横成立，求正数 a 的 最大值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
08:57查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零二零年新高考一卷山东卷的第二十二题，也就是当年的压轴解析几何大题。想冲刺一百三十分以上的同学，这道题咱们最好在十五分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是第二问，如果你直接设直线连力硬算，计算量会大到让你怀疑人生。咱们今天必须得用点高级技巧。先来看看题目， 已知椭圆 c 的 方程是 a 的 平方分之 b 的 平方分之 y 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零，它的离心率是二分之根号二，并且过点 a， 坐标是二逗号一。第一问，求椭圆 c 的 方程。第二问，点 m 和点 n。 在 椭圆 c 上， am 垂直于 a， n， a， d 垂直于 m， n， d 为垂足，证明存在定点 q， 使得线段 d， q 的 长度为定值。咱们的大方向很明确，第一问常规计算，第二问，咱们要用坐标平移配合其次化这个绝招来秒杀。 咱们先看第一问，求椭圆方程，这里考察的是椭圆的基本性质。题目给出了离心率是二分之根号二，咱们知道离心率 e 等于 a 分 之 c， 所以 a 分 之 c 等于二分之根号二。接下来咱们把等式两边同时平方得到 a 的 平方，分之 c 的 平方等于二分之一。 注意，这里咱们要把 c 的 平方换掉，因为在椭圆里， c 的 平方等于 a 的 平方减去 b 的 平方，把它带进去，等式左边就变成了分子式， a 的 平方减去 b 的 平方。分母式 a 的 平方。拆开来看，这就等于一。减去 a 的 平方分 之 b 的 平方等于二分之一。一项化简一下，就能得到 a 的 平方等于二倍的 b 的 平方，这就找到了 a 和 b 的 关系。 接下来题目说椭圆过点 a， 坐标是二，逗号一，咱们直接把 x 等于二， y 等于一，带入到椭圆的标准方程里，带入之后得到 a 的 平方分之四，加上 b 的 平方分之一等于一。 刚才咱们已经算出来 a 的 平方等于二倍的 b 的 平方了，对吧？现在把这个关系带入进来，第一项就变成了二倍 b 的 平方分之四，分子分母同时除以二，约分一下就是 b 的 平方分之二， 那么方程就变成了 b 的 平方分之二，加上 b 的 平方分之一等于一。合并同类项左边就是 b 的 平方分之三，所以 b 的 平方分之三等于一。等式两边同乘 b 的 平方，马上就能算出 b 的 平方等于三。 有了 b 的 平方，因为 a 的 平方等于二倍的 b 的 平方，所以二乘三， a 的 平方就等于六。到这里， a 的 平方和 b 的 平方都求出来了，第一问也就顺利解决了。 椭圆 c 的 方程就是六分之 x 的 平方，加上三分之 y 的 平方等于一。接下来咱们看最值钱的第二问，这步很关键，大家一定要集中注意力。 题目说 am 垂直于 an， 然后又搞出一个垂足 d， 最后让咱们证明线段 d， q 的 长度是定值。很多同学在这里会犯错，一上来就设直线 m n 的 方程是 y 等于 k， x 加 m， 然后跟椭圆连，利用维达定律去算。 你要真这么干，那基本就掉进出题人的坑里了，计算量绝对会爆炸。这里有个非常重要的技巧，只要看到直角顶点在圆锥曲线上，咱们立刻想到两个词，平移和其次化。 因为直角顶点 a 的 坐标是二，逗号一，不是圆点。为了方便计算，咱们先把坐标系平移，让点 a 变成新坐标系的圆点。设新坐标为 x 撇和 y， 那 么原来的 x 就 等于 y， 就 等于 y 撇加一。咱们把这个关系代入到刚才求出的椭圆方程里， 原来的方程是，六分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一。为了好算等式，两边同乘六变成 x 的 平方加上二倍的 y 的 平方等于六。现在把 x 换成 x 撇加二， y 换成 y 撇加一，展开括号， x 撇加二的完全平方就是 x 撇的平方，加上四倍的 x 撇加上四， y 撇加一的完全平方就是 y 撇的平方加上二倍的 y 撇加上一。注意，它外面还要整体乘以二。把长竖向整理一下，左边的四加上二乘一，刚好等于六，和右边的六一项相减就抵消了。这就说明咱们平移做对了，因为新的原点一定在这个新方程上。 整理后得到的新椭圆方程是 x 撇的平方加上二倍的 y 撇的平方加上四倍的 x 撇，加上四倍的 y 撇等于零。 接下来咱们设直线 m n 在 新坐标系下的方程，因为直线不过圆点，咱们设它为 m 乘以 x 撇加上 n 乘以 y 撇等于一。注意，见证奇迹的时刻到了，咱们要把直线方程里的那个一带入到椭圆方程的一次项里去，这就叫其次化。 椭圆方程后面不是有四倍的 x 撇加上四倍的 y 撇吗？咱们把它看成括号，四倍的 x 撇加上四倍的 y 撇乘以一，然后把这个一换成括号 m 乘以 x 撇加上 n 乘以 y 撇，展开合并同类项。这一步大家可以在草稿纸上仔细算。 x 撇平方的系数原来是一，现在多了一个四倍的 m， 所以 提取共因式后是括号一加四 m。 y 撇平方的系数原来是二，现在多了一个四倍的 n， 所以 是括号二加四 n 中间还有交叉项， x 撇成 y 撇，系数是四倍的 m 加上四倍的 n。 因为题目说 a m 垂直于 a n。 在 新坐标系里，原点出发的两条互相垂直的直线和二次曲线交出的弦必须满足一个核心条件，那就是 x 撇平方的系数加上 y 撇平方的系数必须等于零。这是为什么呢？ 因为把方程两边同除以 x 撇的平方，就会得到一个关于斜率的一元二次方程，两根之积等于负一，对应的就是二次项系数之和为零，所以括号一加四， m 加上括号二加四 n 等于零。化简一下，得到三加上四倍的括号 m 加 n 等于零。也就是说， m 加 n 等于负的四分之三。 得到这个关系式有什么用呢？咱们回到直线 m n 的 方程， m 乘以 x 撇，加上 n 乘以 y 撇等于一。咱们把 m 换成负四分之三减去 n， 带进去展开整理，把含有 n 的 项放在一起，得到 n 乘以括号 y 撇减去 x 撇减去四分之三倍的 x 撇再减去一等于零。 要让这个等式不管 n 取什么值都成立，必须让括号里的 y 撇减去 x 撇等于零，并且后面那部分负四分之三倍的 x 撇减去一也等于零。从后一个式子直接算出， x 撇等于负的三分之四。代入前一个式子， y 撇也等于负的三分之四。 这就说明，在新坐标系下，直线 m n 横过一个定点，坐标是负三分之四，逗号负三分之四。别忘了，这还没完，咱们得把坐标还原回去。原来的 x 等于 x 撇加二，也就是负三分之四，加二等于三分之二。原来的 y 等于 y 撇加一，也就是负三分之四，加一等于负三分之一。 所以，在圆坐标系里，直线 m n 横过定点 p 坐标是三分之二，逗号负三分之一。现在咱们离真相只有一步之遥了。题目说 a d 垂直于 m n， d 是 垂足。你看点 d 在 直线 m n 上，而且角 a d p 始终是九十度。在直角三角形 a d p 里，斜边是 a p， 直角顶点是 d。 根据初中学的圆的性质，直角三角形的直角顶点一定在以斜边为直径的圆上。既然点 d 在 一个固定的圆上，那圆心就是定点，半径就是定直。题目问的定点 q， 其实就是线段 ap 的 中点，也就是这个圆的圆心。 咱们来算一下点 q 的 坐标， a 点是二，逗号一， p 点是三分之二，逗号负三分之一。横坐标相加除以二，二加上三分之二等于三分之八除以二是三分之四。纵坐标相加除以二，一加上负三分之一等于三分之二，除以二是三分之一，所以定点 q 的 坐标就是三分之四，逗号三分之一。 最后算线段 d q 的 长度，它其实就是圆的半径等于线段 ap 长度的一半， ap 的 长度用两点间距离公式，根号下二减去三分之二的平方，加上一减去负三分之一的平方，算出来里面是九分之十六，加上九分之十六，也就是九分之三十二开根号，得到三分之四倍的根号二， 那它的一半就是三分之二倍的根号二。所以线段 d q 的 长度为定值等于三分之二倍的根号二。这道大题咱们就完美拿下了， 咱们来总结一下这道题。第一问的椭圆方程是六分之 x 的 平方，加上三分之 y 的 平方等于一。第二问证明的定值 d q 等于三分之二倍的根号二。 这题真正要防的是直接连利带来的巨大计算量，大家记住这个口诀，直角顶点在曲线上平移，圆点其次化， 只要把直角顶点平移到圆点，然后把直线方程里的常数一代入到曲线的一次项里，就能迅速把垂直条件转化为系数和为零，瞬间找到直线横过的定点。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知抛物线 c 的 方程是 y 的 平方等于四 x 点 a 的 坐标是负一，逗号零点 m 和点 n 在 抛物线上，并且 a m 垂直于 a n， 证明直线 m n 横过一个定点，并求出这个定点的坐标。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区 提分快的同学，不是刷的多，是补的准，连自己分丢在哪都不知道，刷再多题也是感动自己。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，做完发我，我给你出一份分析报告，配一份规划， 先补什么后补什么，一目了然。高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群。
08:34查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是二零二零年山东新高考一卷的第二十一题导数压轴题。想冲一百二十分以上的同学，这道题第二问最好在五分钟内拿下。这题最容易踩坑的地方就是一上来直接求导硬算，算到一半发现超越方程解不出来，直接崩溃。 其实这题真正考察的不是硬算，而是只对同构。这个大招咱们先来看题目，已知函数 f x 等于 a， 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n x， 再加上 l n a。 第一问，当 a 等于 e 时，求 y 等于 f x 在 横坐标为一处的切线与两坐标轴为成的三角形面积。第二问，若 f x 大 于等于一横成立，求 a 的 取之范围。咱们的大方向很明确。第一问，就是常规的切线方程求面积，咱们稳扎稳打拿满分。第二问，咱们直接构造同构式，用单调性秒杀参数。 先来看第一问，题目说 a 等于 e， 那 咱们第一步要干嘛？肯定是把 a 等于 e 代入圆函数呀。代入之后， f x 就 等于 e 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n x， 再加上 l n e。 咱们来化简一下这个式子。你看， e 就是 e 的 一次方，乘以 e 的 x 减一次方，底数相同，指数相加一，加上 x 减一，正好就是 x， 所以 前面变成了 e 的 x 次方，后面 l n e 的 值是一。所以化简后， f x 就 等于 e 的 x， 次方减去 l n， x 再加上一。 要求切线方程，咱们需要两个东西，一个是切点的坐标，另一个是切线的斜率。先找切点坐标，题目要求的是在 x 等于一处的切线，咱们把 x 等于一代入化简后的 f x， e 的 一次方就是 e， 减去 l n 一 就是减去零，再加上 e， 所以 f 一 等于 e 加 e， 那 切点坐标就是 e。 逗号 e 加 e。 接下来找切线斜率。怎么找求导数呀？很多同学求导容易露相，注意这里 f x 等于 e 的 x 次方减去 l n， x 加一，咱们对它求导 e 的 x 次方求导还是 e 的 x 次方是 x 分 之一，所以导函数 f 撇 x 就 等于 e 的 x 次方减去 x 分 之一， 把 x 等于一代入导函数。斜率 k 就 等于一的一次方，减去一分之一，也就是一减一。现在点有了，斜率也有了，咱们用点斜式写出切线方程， y 减去纵坐标一加一等于斜率一减一，乘以括号 x 减去横坐标一。咱们把它展开整理一下，右边乘进去变成一减一，这个整体乘以 x 减去一减一，把左边的减一减一，移向到右边，变成加一加一， 负一加一，抵消了正一加一等于二，所以切线方程整理出来就是 y 等于括号一减一乘以 x， 再加上二。 题目最后问的是这条切线和两坐标轴围成的三角形面积，那咱们就得求出切线跟 x 轴和 y 轴的交点。 先令 x 等于零，代入切线方程，算出来 y 等于二，所以和 y 轴交点是零。逗号二，再令 y 等于零，也就是括号一减一乘以 x 加上二等于零，把二移到右边变成负二，两边同时除以一减一，算出来 x 等于负二除以括号一减一， 所以和 x 轴交点是负二除以括号一减一，逗号零。最后算面积。三角形面积公式是底乘高除以二，也就是二分之一乘以横截距的绝对值，再乘以纵截距的绝对值。这里有个非常重要的细节，很多同学算面积忘了加绝对值，导致面积算出负数，这不就白白丢分了吗？ 咱们代入公式，面积大 s 等于二分之一乘以绝对值内负二除以括号一减一，再乘以绝对值二。因为一大约是二点七，一减一是正数，所以脱掉绝对值就是二除以括号一减一。第一问咱们就完美拿下了。接下来看第二问，这才是这道题真正值钱的地方。 题目要求 f x 大 于等于一，横乘立求 a 的 取值范围。咱们先把 f x 的 表达式完整写出来，也就是 a 乘以 e 的 x 减一次方减去 l n x， 再加上 l n a 大 于等于一。 注意，这里元函数里有 l n x 和 l n a， 对 数的真数必须大于零，所以隐含条件是 x 大 于零且 a 大 于零这个大前提。千万别忘了 看到这个不等式，有指数又有对数，如果你一上来就硬算导数，基本就掉进出题人的坑里了。为什么？因为导函数里既有指数又有分式，再求导，判断单调性会非常复杂。这题真正要防的是陷入死算。 看到指数和对数同时出现，咱们先别急着算，先问问能不能用只对同勾把它们分开。咱们把不等式稍微变形一下，先把减去 l、 n、 x 移向到不等式，右边变成 a 乘以 e 的 x 减一次方，加上 l n， a 大 于等于 l， n， x 加上一。 现在左边是 a 和 e 的 组合，右边是 x 的 组合。咱们的目标是把左右两边凑成形式完全一样的结构。 这步很关键，大家仔细看左边 a 怎么和 e 扯上关系？这里有个非常重要的技巧，任何正数都可以写成 e 的 对数次方， 所以 a 可以 写成 e 的 l、 n a 次方。咱们把这个替换进去，左边第一项就变成了 e 的 l n， a 次方，乘以 e 的 x 减一，加上 l n， a 次方。 底数相同，指数相加，合并起来就是 e 的 括号。 x 减一，加上 l n， a 大 于等于 l n， x 加上一。 你看左边指数里有 x 减一加 lna， 外面只有一个 lna， 长得还不够像，怎么办？咱们在左边人为的加上一个 x 减一，为了保持等式平衡，右边也得加上一个 x 减一。 左边加上 x 减一后，就变成了 e 的 括号 x 减一，加上 lna 次方，再加上括号 x 减一，加上 lna。 哎，你看左边，现在变成了一个完美的整体结构，就是 e 的 某次方，加上这个某本身。 那右边呢？右边原来是 l、 n， x 加上一，咱们也给它加上了 x 减一。一和减一抵消了，右边就变成了 x 加上 l、 n、 x。 这还不算完，为了和左边完全一样，咱们也把 x 写成 e 的 l、 n， x 次方。这样一来，右边就变成了 e 的 l n， x 次方，再加上 l、 n、 x。 大家看，现在不等式，左右两边是不是完全对称了？左边是 e 的 某个整体次方加上这个整体， 咱们顺势构造一个新函数，比如叫 g t 等于 e 的 t， 次方加上 t， 因为 e 的 t 次方是增函数， t 也是增函数，两个增函数加在一起，那 g t 在 整个实数集上肯定单调递增。 既然 g t 是 单调递增的，而左边的大于等于右边的，那就说明左边括号里的变量必须大于等于右边括号里的变量。所以咱们直接脱掉外壳，得到不等式， x 减一，加上 l n a 大 于等于 l n x。 这一步同构，直接把复杂的指数对数方程降维成了普通不等式。 接下来怎么做？题目要求横乘立，那咱们就把参数 a 分 离出来，把 x 减一移向到右边，左边就剩下 l n a 大 于等于 l n x 减去 x 加上一。既然要横乘立， l n a 就 必须大于等于右边这个新函数的最大值。咱们把右边设为 h x 等于 l n x 减去 x 加上一来求个倒 h p， x 等于 x 分 之一减去一通分一下，就是分子一减 x 除以分母 x。 因为前面说了 x 是 大于零的，所以导数的正负完全看分子一减 x， 当 x 在 零到一之间时，一减 x 大 于零，导数是正的函数单调递增， 当 x 大 于一时， e 减 x 小 于零。倒数是负的函数单调递减，所以 h x 在 x 等于一的时候取到最大值。咱们把 x 等于一带进去算一下， l n 一 等于零，减去一加上一，最后等于零。也就是说 h x 的 最大值就是零，那咱们左边的 l n a 就 必须大于等于零。 l n a 大 于等于零，零也就是 l n 一， 所以 a 必须大于等于一。结合一开始咱们说的隐含条件， a 大 于零，最终 a 的 取值范围就是 a 大 于等于一写成区间，就是左边中括号，一逗号，正无穷大，右边小括号。第二问就顺利拿下了 这道题的最终答案。第一问，切线面积是二，除以括号一减一。第二问， a 的 取值范围是大于等于一。总结一下，这题真正考察的核心就是遇到指数和对数，一定要优先尝试，只对同购。 记住这个口诀，同构先分离，凑像找对称，单调脱外壳，最直定乾坤。数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划， 高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口。就在评论区的杨老师摸底规划群这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x， 次方减去 a 乘以 l n x， 如果 f x 大 于等于零，横成立。求正数 a 的 最大值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
128杨老师数学精讲
09:19查看AI文稿AI文稿剖析地理本质，拆解命题逻辑。大家好，我是专注高考地理教学的 jack 王老师。我们今天继续来讲评二零二零年的山东卷。我们来看第七题，图中魔鬼营地是好。我们找到材料中涉及到的魔鬼营地的字眼，在最后一句话， 其中一个营地由于空气流通不畅，容易引起高原反应，被称为魔鬼营地。同学们注意啊，在本题中呢，我们有一些同学容易犯一个错误，一看到高原反应，他就想海拔应该选一个最高的。大家来看一下这个图中给到了高度表， 那么图中最高的很明显应该是谁了，应该是丁对不对？所以说很多同学就选了一个丁这个选项啊，实际来说，我们做题啊，应该是以材料为准，大家一定要记住，材料是天，材料是地 好，那么材料中给到一个关键信息是空气流通不畅。大家你想象一下 d n 这个位置，它海拔非常高，而且大家请看高度表，它的等高线是凸向了低值，同学们想一想，凸低为什么呀？ 对，凸低为几？所以说 d n 处啊，是个山脊，而丙处啊，它俩都是山脊， 山脊处他能够空气流通不畅吗？因为山脊处的海拔较高，他被地形的阻挡作用较小，哎，摩擦力较小，所以说风力较强，空气流通啊，是比较通畅的，所以说丁和丙都不能选。那我们来看一下乙处，乙处呢，很明显，他的 左上和右下我们就不说方位了，因为这指向标是北指向下方了啊，这个左上和右下呢？这两个方位呢？他俩有一个山峰，所以说以出位于两个山峰之间，是一个非常典型的什么步啊？ 叫安步，对吧？哎，是安步，所以说既然是安步的话，大家注意，安步有一个非常典型的效应，叫什么效应来着？ 狭管效应，所以说乙处的风力也较强，空气流通也较为通畅。所以说在本题中，我们找到空气流通不畅的地点，那就只能选甲了，为什么呢？因为甲处等高线，大家请看这个高度表，它是凸向了高值。 凸高，为什么呀？凸高为谷，所以说在山谷中，由于受到了山的阻挡，空气流动不畅，容易引起高原反应。所以我们第七题的答案已经选出来了，就选了是假选项，选 a。 来我们看第八题。 五月二十七日，位于二十八度 n 的 温州，昼长为十三小时四十四分，该日珠峰顶部二十八度 n， 八十七度 e 的 日出时刻在北京，时间什么时候？同学注意一下啊？北京时间是什么时间啊？是不是东八区的区时啊？ 东八区的区时是不是东八区中央经线的地方时？东八区中央线怎么求啊？应该是用时区数乘以十五度，所以说东八区中央经线的度数就是一百二十度 e， 也就是说北京时间就是一百二十度 e 的 地方时，对吧？也就是说他想让我们求一百二十度 e， 现在是几点对不对？ 那么我们现在来看一下，他让我们求什么地方呢？珠峰顶部。同学们，珠峰顶部的经度给出来了吧？ 八十七度东经，哎，我要写在左边啊，左西右东嘛。八十七度 e 是 在一百二十度 e 的 西侧，所以我写在左边，方便计算 八十七度 e， 他 问的是日出时刻，也就是说我只要求出来珠峰顶部的日出的地方时， 哎，是不是就可以通过换算来求得北京时间了？我们先把这个换算来求一下，八十七度 e 和一百二十度 e 之间，他们差了三十三度， 哎，我们通过精度每隔十五度时间差一小时，精度每隔一度时间差四分钟来计算，那么三十三度应该是差了多少呀？是不是差了两个小时 十二分钟呀？也就说明我们要求出来八十七度的日出地方时，然后再向右加上两个小时十二分，就可以得到。我们想要答案对不对？ 好，那么关键的问题是，我们怎么去求得珠峰顶部的日出时刻呢？这里面给到一个非常关键的信息，就是温州的昼长是十三小时四十四分。大家一定要注意啊， 珠峰跟温州他俩有一个共同点，这个共同点就是他俩的纬度相同。那么在地球运动的内容里面有一句话非常重要，同学们要记住，同纬度的在某一天的昼长是相等的， 所以说这个珠峰顶部和温州的昼长，哎，珠峰这个地点跟温州的昼长都是十三小时四十四分， 那么同学们，我们来继续往下计算，我们已经知道了珠峰的昼长了，是十三小时四十四分，那我们怎么去求得它的日出时刻呢？非常简单，我们给大家画一个图啊，中间是十二点 啊，这个地方呢是他上午的时长，这是他下午的一个昼长，上午跟下午是平分的，所以说我们只需要用十三小时四十四分的昼去除以二啊，除以二怎么除呢？十三小时除以二等于 六个小时啊，零一半对吧？啊？叫六点五小时，哎，这样求六点五小时多少呢？就是六小时三十分，那么四十四除以二呢，就是二十二分，对不对？哎，我们慢慢来啊，同学们， 咱们有些同学的这个关于地球运动的基础呢，掌握的不太好，我们每次到每道题呢，都给大家讲的非常透彻哈，那么最后加一块呢，就是六个小时五十二分。好了， 这个就是珠峰这个地方，他上午和下午的周长，对吧？我用十三小时四十四分除以二得出来的， 也有一些同学是用十三小时乘以六十，把它换成所有的分钟，哎，这样求也可以，但是稍微麻烦一点。好，六小时五十二分，我们再用十二点，对吧？因为中午是十二点呀，地方时 我们用十二减去六小时五十二，最后的结果呢，就得到了一个结果啊，就是七点零八分，对不对？ 我们得到了珠峰的日出地方时七点零八，那我们刚才说过了，我们知道了这个地方时之后，应该要求北京时间应该怎么办？向右去加个两小时十二分，加完之后得的结果是七点二十，对不对？同学们， 但是有个问题啊，大家来看一下第八题的选项，第八题的选项呢，涉及到七点二十的有两个，一个是 a 呢还是选 b 呢？同学们， 大家你发现没有，我们的计算是没有问题的，但是我们中间有一个小地方哎，我们把它忽略掉了，哪个地方呢？叫珠峰顶部。同学们，我们刚才让大家去记了一句话， 同一个日期同纬度的轴长是相等的，但是海拔越高的地方轴它就会越长。 哎，大家一定要注意啊，海拔越高的地方昼会越长。大家你想象一下，你在你所在的城市去登山，你是不是可以在山上去看日出，山上是比山下先日出 后日落的，所以说他的昼就会更长，那就说明珠峰顶部的昼是应该比温州的昼长一丢丢的，或者说比珠峰底下的昼是长一丢丢的，也就说明他的昼长不是十三小时四十四分，而是大于十三小时四十四分。好了， 那么既然是大于十三小时四十四分的话，那么除以二的话就会大于六小时五十二分，那么你用十二减去这个大于六小时五十二分，你所得到的日出的时间就会早于七点零八，对吧？ 早于七点零八，那么你再向右去加上两个小时十二分，最后的结果就会早于七点二十。哎，那我们这个题就已经选择出来了，我们这道题答案选的是 a 选项， 我们这个题难度还是比较大的啊，这个题呢就告诉我们了我们关于涉及到地球运动的内容啊，大家还是应该要把它的最基本的支点把它搞清楚。 好吧，我们这两道题呢，就给大家讲解到这里啊，大家如果说哪里有没有听得特别清楚的地方，可以在我们的呃视频号的下方啊，给我们去留言，老师看到会及时的回复。大家好，同学们再见。
59Jack王讲地理
11:20查看AI文稿AI文稿哈喽，大家，咱们今天一块来看一下二零年山东高中历史。第十九题，是一道非常具有山东特色的开放类题目，属于情景创造类。 嗯，设问这一道题主要考察的是十七世纪英国资产阶级光荣革命与君主立宪制的缺例，意会与王权的斗争，还有政党 政治的萌芽。在经济角度上，主要考察的是新航路开辟后的全球商品的交流，包括英国早期知名扩张与海外贸易，还有世界市场的拓展，以及近代商业的发展，工业革命和社会阶层的分化。 另一个个考察的角度是关于社会史的发展，包括近代城市的公共兴起，还有市民的呃，社会发展的情况，以及社会生活的变迁。主要考察的这个时空角度是在十七世纪到十九世纪时期英国的均量特征。 然后，嗯，这一套题目是非常具有特色的，因为呃，这里面做了一个小小的开放缺口，主要是以情景设计为主要的核心，那么再去进行情景设计的时候，就不能逃脱咱们当时的阶段特征了，也就说要去符合咱们当时的呃时段特征。 这一个题目呢，一共是有两个涉文角度，从二五年考五个大题。嗯，以外，其他的时候，咱们二零年到 二四年和二六年，咱们的三中卷都是考察了四个，四个大题啊，考察四个大题的时候，有一个特点，就会出现一题多问。咱们考察五个大题的时候，大家做模拟卷的时候，也感受到了有很多的论述类的题目，咱们一块来去看一下这个题目。首先还是老样子去。嗯，审问看一下，第一问， 边写一幕发生在十七世纪伦敦咖啡馆内的人物对话场景啊，这一个呢，就咱刚刚说的哎，情景开放了，这有点类似于枣庄呃，二模 啊，这第十九题啊，创造一幅漫画啊，还有点类似于哪一个地方的二模给忘了，让你去写一个，创造一个 这个画布，还有背景以及旁白啊，都属于咱们的开放类设问。那么这样去锁定这个呃，编段这个 历史对话的话，咱们首先第一步就是要根据这个题目设问的时空角度来啊，这个题目的设问时空角度就是在十七世纪， 所以说咱们要去锁定了十七世纪时期的英国的政治经济的一些具体的一些事件啊，还有一些哎当时的经济的特征。那么咱结合咱的历史史实来看啊，如果从政治角度出发的话，咱们有光荣革命 权力法案啊，亦会与王权的斗争。如果从题干里面其他信息也说从经济角度来看的话，咱们主要有这个信阳路开辟后的事业市场的发展，以及咖啡和茶叶的进口。那么咱们确定完它的整体的时段 背景，或者说连接完的时事之后，它既然要求有人物对话，咱们还要去涉及对应的人物 啊，那么设置人物的时候，也可以通过当时的政治啊，经济文化了他们的这个时代背景去设置对应的人物。比如说可以政治上咱们可以去设置一员，在经济上咱们可以设置商人、船员，或者说手工业者，以及其他的一些 哎，职业的人，因为咱要符合咖啡馆这一个呃社会的背景啊，那老师为什么你还能设计其他人物？因为大家看一下这个材料，在十八世纪中叶以后啊，寻常百姓也逐渐成为了哎咖啡馆的 这个社交场所的边缘化群体，四十世纪以后满足工人的咖啡摊应运而生，所以这个是其他里面的这个人物的， 嗯，他的身份是多种多样的，然后确定完大的时空背景了，确定完咱们要设计的人物了，最后再去写哎对话。写对话的时候， 嗯，这个时候你就可以抛出一些具体的问题，然后让你边写的这些人物去参与，去讨论，然后做结尾就可以了。每个人说的这个话啊，做的这个独白，或者说嗯，他的一些言论，从他的这个 哎阶级的角度，从他的背景去出发就可以了。那所以这类题还是比较简单的，那像是这一种人物情景类的对话，或者说一些具体的，嗯，其他的 开放型的设问，咱们做的第一步就是还是要去扣题，要去锁定时代的特征。第二个还是要从材料里面去进行翻译， 那么时间给咱们了，是不是材料和咱们的时间的链接，哎，就开始逐渐的有了啊？哎，比如说如果你的出发点是从比较好写的经济角度来写的话，咱们可以从商品的来源啊， 对应的事实就是咱说的这个世界市场，海外贸易啊等等。从这个哎人群的分化程度，比如说一些一开始的时候，这个寻常百姓和这些上层阶层他们的这个分化等等等， 然后具体分完之后，咱们再做一个收尾就行了啊，这个咖啡馆有什么作用？他的人物对话反映了当时社会的一个怎样的缩影。在讲到第十七集的时候就给大家说过，一是层面上的问题，往往是受到社会时代背景的影响， 咱们就以这个题为例，给大家提供一个思路。加这一道题的话，如果我去做的话，我认为比较好写的应该是经济角度吧， 啊，经营角度，咱们可以会设置一些个呃，主要的这个，比如说船长啊，咱们把这个船长就叫叫，随便叫一个名字吧，对吧？然后咖啡店老板啊，还有具体的呃这些 呃员工，或者说其他一些工人，咱们抛出了一个话题，哎，比如说是这个呃东运度公司的东方墨玉啊，与这个新饮品的兴起啊， 咱们设置一个话题，然后通过他们的对话去了解一下这一个是怎么传进来的就可以了，所以这个还是比较容易的啊。相信啊，做过二零年的这张试卷的同学，应该去做这个题的时候， 还是有一点小蒙的，因为毕竟新高考第一年嘛，咱们自主命题的话，他的这个切问，还有这个涉问啊，切入的角度都非常的独特。 好，咱们看一下第二题啊，第二题啊，然后呃，结合英国咖啡馆的变化，说明咖啡馆的历史是一部经济史，也就说这咱要去找什么？咱要去找这个题目的 变化的方向，那么最容易找变化的方向就是时间变化了。在通过题干里面能看出来，这里面的时间变化典型的就是十七世纪中后期啊，和十八世纪中叶以后出现了不同程度上的一个变化。 那么咱们再去讲选择题的时候也说过，同一个主体时间发生这个，呃，不同的时间咱们要找具体变化内容，也说要去形成对比。那么他这样呢？去说明是一部经济史，那咱们的切入角度就应该去放到哎这个经济的角度上面， 那么呃，咱们这里面的经济角度应该从哪个地方去切入呢啊？第一个咱们首先要去看一下世纪中叶后的咖啡馆是怎样的啊？是怎样的。他说各色人等汇聚于此，抽烟毒报，谈论商业贸易，传播小道消息，争论国家大事 啊。十八世纪以后出现了新的变化啊，然后来很多的这个愿意去光顾他的咖啡馆，然后另一个 哎这个党派的人员也愿意去去常聚于这一个咖啡馆，那就代表这时候的咖啡馆就成了不同的社会等级、不同的身份、不同的立场的人所聚会的地方啊。然后哎，法律界的人，还有其他的一些人常聚于这一个咖啡馆 啊。到十九世纪中叶以后，哎满足于这个工人的咖啡厅应运而生。这一个提纲里面给咱们传递信息，就说明咖啡馆它所哎有对应的这个阶级，有对应的社会分化，有对应的哎这个人的不同的身份 所产生的，所以他为什么能够说为是见证哎，这一个历史咱就比较清晰了，或者说比较明了。那么咱从这个材料里面能够知道是怎样的话，是不是咱就要去写一下这个文章了啊？就要进行说明， 那咱怎样进行说明呢？首先第一个，咱们要去扣一下题目，他既然说让咱们说明咖啡馆是历史的一部，经济变迁是一部 呃，这个经济史。然后其次呢，咱们再根据题目不同的社会的时间去说一下它是怎样去展现呢？比如说第一个，咱们从新航路开辟后期，可以说世界市场的不断拓展，咖啡和茶叶传入英国，推动了咖啡馆的兴起 啊。第二个，咱们再从咖啡馆成为了最早商人洽谈传播商业信息的公共空间，呃，可以在报纸上出现了相对应的这个广告啊，谈论商业嘛 啊和贸易哎，到这个十八世纪中叶以后，不同的职业哎，阶层哎，常常聚于不同的咖啡馆 啊，然后寻常的老百姓边缘化哎，反映了经济发展带来了严重的社会分化与职业分化。然后第四个哎，十五世纪四十年代，面向工人的这个呃，咖啡店出现，反映了工业革命之后，工人开始不断的壮大 啊，工业经济在英国的地位不断突出。所以综上所述，咖啡馆的演变是近代英国的经济转型。那么咱就能看出来啊，这是一，虽然虽然是一道，呃，看似来是一个 很简单的情景思维类，实际上他考察的东西是比较多的。第一个就是他具体时间范围以及变化分析的非常明显。第二个呢，就是不同的人物，不同的身份，不同的视角也明显， 哎，这就反映了咱们历史的魅力的地方了，就是所有同一段历史社会时空，不同的阶级身份，在面对同一问题的时候，他们的出发点思路很显然是不同的，很显然是不同的啊，所以，嗯，这个题目的话， 嗯，咱们就到这里大家再去做到了。像这种情景开放类的题目，一定要记得一定要结合设问的时间。这第一步，你看咱们去分析的每一个问题的答案，其实都是离不开设问的时间的。第二个大家要去学会读懂题， 你去读懂题命题者的意图是什么，才能知道考察的是你的具体的哪部分能力啊。嗯，最后呢，就是大家还是有一个比较关心的问题，就是不知道怎样去，哎，去编写这些他，我在第一个视频的时候给大家说去写这些转节语，估计大家对这些转节语 也是不是特别了解啊，这是一个需要长期积累的一个过程，比如说啊，你要去做总数，去下定义的时候， 去对人物下定义啊，咱们一般都是从这个人物的观点，所代表的阶级以及他的目的去入入手。如果是对一个像咱们这个题目一样，一个咖啡馆，一个具体的物体啊，事件， 或者说一个具体的地点的时候啊，他一般都是褶皱出这个社会变迁的一个反应，如果是人的意识，人的反应的话，那他更多的是鼓舞、引导 或说反应受当时的物质条件的影响，你可以从这几个角度去入手，如果你感觉，呃，有了一点思路，你就去做一下，是聊城还是哪里的二模试卷，有一个题目叫连环画的心声啊，你可以去做一下。好，这是咱们这一个题目。
53安 生.
07:31查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零二零年山东新高考一卷的第二十一题导数压轴题，想冲一百四十分，这道压轴大题的关键问，必须拿下这题。第二问一上来，如果硬要求导分类讨论，基本就掉进出题人的坑里了，算到天黑也算不完。他真正考的不是硬算，而是非常经典的只对同构技巧。 咱们先来看题目，已知函数 f x 等于 a 乘以 e 的 x 减一次方，减去以 e 为底 x 的 对数，再加上以 e 为底 a 的 对数。 第一问，当 a 等于 e 的 时候，求 y 等于 f x， 再点一逗号 f 一 处的切线与两座标轴为成的三角形面积。第二问，如果 f x 大 于等于一横成立，求 a 的 取值范围。咱们先踏踏实实拿下第一问的切线方程，再在第二问里用同构造秒杀参数。大家跟进我的思路， 接下来我们要做什么呢？第一问，给了 a 等于 e， 我 们先把 a 带进去，把函数解析式写，具体具体怎么做。把 a 换成 e， 第一项就是 e 乘以 e 的 x 减一次方，底数相同，指数相加，这就变成了 e 的 x 次方。 后面照抄，减去以 e 为底 x 的 对数，再加上以 e 为底 e 的 对数就是 e， 所以 f x 就 等于 e 的 x 次方，减去以 e 为底 x 的 对数，加上 e。 切线问题，咱们先找切点， 把 x 等于一，代入刚才的解析式， f 一 等于 e 的 一次方减去以 e 为底一的倍数，加上 e， 以 e 为底一的倍数等于零，所以 f 一 就等于一加一。 这就得到了什么？得到了切点坐标，横坐标是一，纵坐标是一加一。接下来要求斜率。为什么要求斜率？因为有了切点和斜率才能写直线方程。我们对 f x 求导， e 的 x 次方求导，还是 e 的 x 次方 减去以一为底， x 的 对数求导是 x 分 之一，常数一求导是零。所以导函数 f p x 等于 e 的 x 次方减去 x 分 之一。 然后把 x 等于一，代入导函数，得到切线斜率 k 等于 e 的 一次方减去一分之一，也就是 e 减一。 现在切点和斜率都有了，咱们用点斜式写出切线方程， y 减去纵坐标一加一，等于斜率一减一，乘以括号 x 减一，我们把右边展开，就是一减一，这个整体乘以 x 再减去一减一。 接着把左边的减去 e 减去， e 移向移到右边，就变成了加上一加上一。右边展开后，本来有个减去 e 加上一，加上移过来的加上一，加上一，负一和正一抵消，正一和正一相加等于二。所以整理后得到切线方程 y 等于 e 减一，这个整体乘以 x， 再加上二。 接下来我们要算三角形面积，为什么？因为题目要求切线和坐标轴为成的面积，这就需要求出切线在 x 轴和 y 轴上的截距。 具体怎么做？先令 x 等于零，代入切线方程，得到 y 等于二，这就是在 y 轴上的结聚。再令 y 等于零，代入切线方程，得到零，等于一减一，这个整体乘以 x 加上二， 把二移到左边，变成负二，两边同时除以一减一，得到 x 等于分子是负，二除以分母是一减一。为了好看，咱们把符号放到分母里，变成分子是二，除以分母是一减一。这就是在 x 轴上的结聚 得到了什么？得到了直角三角形的底和高，底是 x 轴截距的绝对值，高是 y 轴截距的绝对值。面积等于二分之一乘以底乘以高，也就是二分之一乘以二除以一减一的绝对值，再乘以二。因为 e 大 概是二点七一八，一减一是负数，所以去掉绝对值，符号要变号变成 e 减，一 算下来，面积就是分子是二除以分母是一减一。第一问到这里就完美拿下了，接下来咱们看第二问，这里有个非常重要的技巧， 题目说 f x 大 于等于一横乘立要求 a 的 范围。很多同学在这里会犯错，一上来就对 f x 求导，结果发现导函数里既有指数，又有对数，正符号根本判断不出来，直接卡死。 看到这种指数和对数混在一起的不等式，咱们先别急着算，先想能不能把它们分家构造出长得一样的结构，也就是同构。 具体怎么做呢？咱们先把原不等式写出来， a 乘以 e 的 x 的 对数，再加上以 e 为底， a 的 对数大于等于一。 我们把带有 x 的 对数和常数项移到不等式右边，得到 a 乘以 e 的 x 减一次方，加上以 e 为底， a 的 对数大于等于以 e 为底， x 的 对数加上 e。 注意这里这步很关键， 左边的 a 可以 写成 e 的 以 e 为底， a 的 对数次方，把它和 e 的 x 减一次方呈在一起，底数相同，指数相加。左边的第一项就变成了 e 的 x 减一，加上以 e 为底 a 的 对数次方。 为了凑出同共的形式，我们在不等式两边同时加上一个 x 减一。为什么要加这个？你看左边原来的长数项是以 e 为底 a 的 倍数加上 x 减一后，左边就变成了 e 的 x 减一，加上以 e 为底 a 的 倍数。次方，再加上括号 x 减一，加上以 e 为底 a 的 倍数， 这就构成了 e 的 t， 次方加上 t 的 形式。那右边呢？右边本来是以 e 为底 x 的 倍数，加上 e 加上 x 的 倍数， 这时候再变个魔术， x 可以 写成 e 的 以 e 为底 x 的 对数次方，所以右边就变成了 e 的 以 e 为底 x 的 对数。次方加上以 e 为底 x 的 对数， 这也完美构成了 e 的 t， 次方加上 t 的 形式。这就得到了什么。我们构造了一个新函数， g t 等于 e 的 t， 次方加上 t， 左边其实就是 g。 括号 x 减一，加上以 e 为底 a 的 对数，右边就是 g。 括号以 e 为底 x 的 对数。因为 e 的 t 在 整个实数集上单调递增， 既然外层函数单调递增，那里面自变量的大小关系就和函数值的大小关系一致，所以直接把外壳脱掉，得到 x 减一，加上以 e 为底 a 的 对数大于等于以 e 为底 x 的 对数。 咱们把以 e 为底 a 的 对数留在左边，其他的全移到右边，得到以 e 为底 a 的 对数大于等于以 e 为底 x 的 对数，减去 x 加上。一题目要求这个不等式横乘立，这就转化为了求右边这个新函数的最大值问题，这个转化非常漂亮， 接下来求最大值，令 h x 等于以一为底， x 的 对数减去 x 加上一对，它求到 h 撇 x 等于 x 分 之一，减去一通分一下，就是分子是一减， x 除以分母 x。 因为对数的定义域是 x 大 于零，所以当 x 在 零到一之间时，导数大于零，函数单调递增。当 x 大 于一时，导数小于零，函数单调递减，所以 h x 等于一带进去以一为底，一的对数是零，减去一加上一，最大值正好等于零， 所以以 e 为底， i 的 对数必须大于等于零。零可以看作是以 e 为底一的对数，因为底数 e 大 于一，所以直接解得 i 大 于等于一。这就是第二问的最终答案。 那最后咱们来总结一下，第一问，切线面积算出来是分子是二除以分母是一减一。第二问， a 的 取值范围是一到正无穷。 这道题真正值钱的地方不是算的多，而是先观察结构，遇到纸对混合的不等式横成力问题。口诀，记好，纸对分离，两边站同构，构造脱外衣，脱完再求最大值。 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 那最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x 次方减去 a 乘以以 e 为底 x 的 对数减去 a 乘以以 e 为底 a 的 对数。如果 f x 大 于等于零横乘，以求正数 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
46杨老师数学提分
09:04查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来结？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是二零二零年山东新高考一卷的第二十一题，一道非常经典的倒数压轴题。想在高考冲刺一百三十分以上，这道题的第二问必须在五分钟内拿下。很多同学看到指数和对数混在一起，一上来就硬求倒，基本就掉进出题人的坑里了，算到一半绝对卡死。 这题真正值钱的地方不是硬算，而是先观察结构，利用同构的思想来降维打击。咱们先来看看题目，已知函数 f x 等于 a 乘以 e 的 x 减一次方，减去自然对数 l n x， 再加上自然对数 l n a。 第一问，当 a 等于 e 的 时候，求 y 等于 f x， 在 点一逗号 f 一 处的切线与两坐标轴为成的三角形面积。第二问，如果 f x 大 于等于一横成立求 a 的 取值范围。咱们的大方向很明确，第一问就是常规的切线方程计算。第二问，咱们不应钢用铜构构造新函数来秒杀。 先来看第一问，题目说当 a 等于 e 的 时候，咱们第一步要做的就是把 a 等于 e 老老实实代入圆函数代入进去之后， f x 就 等于 e 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n x 加上 l n e。 这里咱们化简一下，前面的 e 乘以 e 的 x 减一次方，底数相同，指数相加一，加上 x 减一，就变成了 e 的 x 次方。后面的 l n e 大家都知道它就等于 e， 所以 化简后 f x 就 等于 e 的 x 次方减去 l n， x 再加上 e。 接下来要求切线，咱们得有切点和斜率。切点的横坐标是一，咱们把 x 等于一代入化简后的 f x 得到 f 一 等于 e 的 一次方减去 l n 一， 再加上一。 l n 一 等于零，所以 f 一 就等于一加一，这就拿到了切点坐标是一逗号，一加一， 有了切点，接下来找斜率。斜率就是函数在 x 等于一处的导数值。咱们先对 f x 求导， f x 等于 e 的 x 次方减去 l n， x 加上一，对它求导， e 的 x 次方求导还是 e 的 x 次方减去 l n x 求导就是减去 x 分 之一。常数一求导是零。 所以导函数 f 撇 x 就 等于 e 的 x 方减去 x 分 之一。然后把 x 等于一代入导函数，得到斜率， k 等于 f 撇一，也就是 e 的 一次方减去一分之一，结果就是 e 减一。 现在切点和斜率都有了，咱们用点斜式写出切线方程， y 减去纵坐标一加一等于斜率， e 减一乘以括号， x 减去横坐标一。咱们把这个方程展开整理一下， 右边乘进去变成一减一，这个整体乘以 x， 再减去一减一，然后把左边的减一减一移向到右边，变成加上一加上一。右边的常数项合并同类项负一加上一加上一加上一，负一和正一抵消，一加一等于二。所以切线方程整理出来就是 y 等于括号一减一乘以 x， 再加上二。 题目最后问的是这条切线和两坐标轴围成的三角形面积，咱们得求出切线和 x 轴、 y 轴的交点。先看和 y 轴的交点，令 x 等于零，代入切线方程得到 y 等于二，交点就是零。逗号二。再看和 x 轴的交点，令 y 等于零，代入切线方程得到零，等于括号。一减一乘以 x， 加上二， 把二移到左边，变成负二，两边同时除以一减一，得到 x 等于一减一分之负。二交点就是一减一分之负二，逗号零。 最后算面积，三角形面积等于二分之一，乘以底乘以高。底和高就是焦点坐标的绝对值。面积大 s 等于二分之一，乘以横坐标绝对值一减一分之二，乘以纵坐标绝对值二。这里的 e 大 概是二点七一八，一减一是正数，所以绝对值直接去掉符号就行。二分之一和后面的二约掉一个，最后结果就等于一减一分之二。 第一问咱们就稳稳拿下了，计算一定要细心。接下来看第二问，这步很关键，也是拉开差距的地方。题目要求 f x 大 于等于一，咱们先把不等式写出来，就是 a 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n x 加上 l n， a 大 于等于一。 这里有个非常重要的技巧，很多同学看到这里就想直接求导，找最值，但如果你真去求导，会发现导函数里既有指数，又有对数，方程根本解不出来。这时候咱们得停下来观察结构。你看左边有指数 e 的 x 减一次方，也有对数 l n x 和 l n a 遇到只对混合，第一反应应该是分离或者同构。咱们先把带有符号的 l、 n、 x 移到不等式右边，这样两边都是正的，看着更舒服。不等式就变成了 a 乘以 e 的 x 减一次方，加上 l n， a 大 于等于 l n x 加上一。 注意，这里左边有个系数 a， 怎么把它和后面的 e 结合起来呢？大家都知道 a 其实就等于 e 的 lna 次方，所以咱们把前面的 a 改写成 e 的 lna 次方，然后乘以 e 的 x 减一次方，底数相同，指数相加，这就合并成了 e 的 x 减一，加上 lna 次方。 现在不等于变成了 e 的 x 减一，加上 lna 次方，再加上 lna 大 于等于 lna 加上 e。 大家仔细看这个式子，左边有指数，也有 l n a， 右边有 l n x， 咱们能不能把两边凑成完全一样的结构？左边的指数部分是 x 减一，加上 l n， a， 外面只有一个 l n a， 缺了个 x 减一。那咱们就在不等式两边同时加上 x 减一， 左边加上 x 减一之后，变成了 e 的 x 减一，加上 l n a 次方，再加上括号 x 减一，加上 l n a。 你 看这就完美了，指数是什么，后面加的就是什么。那右边呢？右边本来是 l n x 加上一，加上 x 减一之后，正一和负一抵消，右边就变成了 x 加上 l n x。 这时候右边看起来结构还不太一样。右边是 x 加上 l n x， 怎么凑成指数加它本身的结构呢？这里有个绝妙的转换，也是很多同学容易卡住的地方。大家想 x 是 不是可以写成 e 的 l n x 次方？太对了，咱们把右边的 x 改写成 e 的 l n x 次方，右边就变成了 e 的 l n x 次方，加上 l n x。 现在咱们再来看看整个不等式，左边是 e 的 x 减一，加上 l n a 次方，加上括号 x 减一，加上 l n a。 右边是 e 的 l n x 次方加上 l n x， 两边的结构完全一模一样了，都是 e 的 某次方，加上这个某次方，这就是咱们说的同构。 咱们赶紧构造一个新函数，令 g t 等于 e 的 t 次方加上 t， 那 么刚才的不等式就可以写成 g。 括号 x 减一，加上 l n a 大 于等于 g， 括号 l n x。 接下来咱们得看这个新函数 gt 的 单调性。对 gt 求导 g 撇 t 等于 e 的 t 次方加上一。因为 e 的 t 次方永远大于零，所以 g 撇 t 永远大于零。这就说明函数 gt 在 整个实数级上是单调递增的。 既然外层函数单调递增，那里面自变量的大小关系就和函数值的大小关系一致。所以咱们可以直接把外面的 g 脱掉，得到内部的不等式，也就是 x 减一，加上 l n a 大 于等于 l n x。 你 看，原本复杂的只对混合不等式，瞬间降维成了一个非常简单的初等不等式。 题目说，这个不等式对所有大于零的 x 都恒成立。咱们要求 a 的 范围，那就把 x 和负一移到右边，得到 l n a 大 于等于 l n x 减去 x 加上一。 既然 l n a 要大于等于右边这个式子横成立，那 l n a 就 必须大于等于右边这个式子的最大值。咱们再构造一个函数，令 h x 等于 l n x 减去 x 加上一，定义域是 x 大 于零，咱们来求它的最大值。对 h x 求导 h 撇 x 等于 x， 分 之一，减去一，通分一下就是 x 分 之。括号一减 x， 令导数 h 撇 x 等于零，解得 x 等于一。当 x 在 零到一之间时，一减 x 是 正的，导数大于零， h x 单调递增。当 x 大 于一的时候，一减 x 是 负的，导数小于零， h x 单调递减。所以 h x 在 x 等于一处取得最大值， 把 x 等于一带入 h， x 得到 h， 一 等于 l n 一 减去一加上一， l n 等于零，负一加一等于零，所以最大值就是零。既然右边的最大值是零，那左边的 l n a 就 必须大于等于零。 l n a 大 于等于零，零可以看作是 l n 一， 所以 a 就 必须大于等于一。这道题的第二问，咱们就通过同勾的方法完美解出来了。 好，咱们来汇总一下答案。第一问的三角形面积是一减一分之二。第二问， a 的 取值范围是 a 大 于等于一。这道题的第二问， a 的 取值范围是 a 大 于等于一。 这道题咱们总结一下，以后遇到指数和对数同时出现，而且带有参数的不等式，千万别急着应求，倒 先尝试一项利用 a 等于 e 的 l n a 次方，或者 x 等于 e 的 l n n x 次方这种只对互化公式，把等式两边凑成相同的结构，构造出单调递增的新函数，脱去外壳，就能把复杂问题简单化，这就是只对同构的核心威力。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群， 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x 次方， g x 等于 e 的 x 次方，加上自然对数 l n x， 如果存在 x 大 于零，使得 f x 大 于等于 g x， 求 x 的 取值范围，你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
14:39查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是二零二零年山东卷新高考一卷的第二十二题，也是一道非常经典的圆锥曲线压轴题。想冲一百三十分，第一问必须三分钟拿下，第二问才是真正拉开差距的关键。 这题真正难点不在第一问，而是第二问的定点定长问题。如果一上来思路不清晰，硬算绝对会掉进出题人的坑里。咱们先来看题目， 椭圆 c 的 方程是 a 的 平方分之 x 的 平方加上 b 的 平方，分之 y 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零，它的离心率是二分之根号二，并且过点 a， 坐标是二，逗号一。第一问求椭圆 c 的 方程。 第二问，点 m 和点 n。 在 椭圆 c 上， a， m 垂直于 a， n， a， d 垂直于 m， n， d 为垂足，证明存在定点 q， 使得线段 d， q 的 长度为定值。咱们的大方向很明确，第一问直接带入条件解方程组。第二问，咱们用设线法结合维达定律找定点，最后利用直角三角形的性质找定长。 第一问非常基础，咱们快速拿下题目，给了两个条件，一个是离心率，一个是经过点 a， 咱们知道离心率 e 等于 a 分 之 c。 题目说 e 等于二分之根号二， 咱们把等式两边同时平方，得到 e 的 平方等于 a 的 平方，分之 c 的 平方也就等于二分之一。接下来有个非常重要的技巧，咱们不要留着 c， 因为椭圆里头有个基本关系式， c 的 平方等于 a 的 平方，减去 b 的 平方。咱们把 c 的 平方替换掉，式子就变成了 a 的 平方分之括号， a 的 平方减去 b 的 平方，反括号等于二分之一。 咱们把它拆开就是一减去 a 的 平方分之 b 的 平方等于二分之一。把负项移到右边，数字移到左边，一减去二分之一等于二分之一。所以 a 的 平方分之 b 的 平方等于二分之一。交叉相乘，咱们就得到了第一个关键关系式， a 的 平方等于两倍的 b 的 平方。 接下来用第二个条件，椭圆过点 a， 坐标二，逗号一。咱们把 x 等于二， y 等于一。代入椭圆的标准方程， 得到 a 的 平方分之四，加上 b 的 平方分之一等于一。现在咱们把刚才求出来的 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方带入到这个式子里，第一项就变成了两倍的 b 的 平方分之四。 分子分母约分掉一个二，就变成了 b 的 平方分之二，所以式子变成了 b 的 平方分之二，加上 b 的 平方分之一等于一。两边同乘 b 的 平方直接得到 b 的 平方等于三。 既然 b 的 平方等于三，那 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方二乘以三，所以 a 的 平方等于六。到这里， a 的 平方和 b 的 平方都求出来了，咱们把它们写回标准方程，所以椭圆 c 的 方程就是六分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一。第一问咱们就顺利拿下了。 接下来看第二问，这是这道题最值钱的地方，题目说 am 垂直于 an， 然后又搞出来一个垂足 d， 还要证明 d q 是 定值。很多同学在这里会犯错，一看到这么多垂直就蒙了。咱们别急，一步一步来。 遇到这种直线和圆锥曲线交点的问题，咱们先设直线方程，因为直线 m n 的 斜率不一定存在。为了严谨并且方便计算，咱们设直线 m n 的 方程为 x 等于 t 乘以 y， 加上 m。 然后咱们设点， m 的 坐标是 x 一， 逗号 y 一 点 n 的 坐标是 x 二，逗号 y 二。接下来我们要干什么？我们要把直线方程带入椭圆方程，利用维达定律找出坐标之间的关系。 咱们把椭圆方程变形一下，六分之 x 的 平方加三分之 y 的 平方等于一。两边同乘六，变成 x 的 平方加上两倍的 y 的 平方等于六。 现在把 x 等于 t 乘以 y， 加上 m， 带进去得到括号， t 乘以 y 加上 m， 反括号的平方加上两倍的 y 的 平方等于六。咱们把括号展开， t 的 平方乘以 y 的 平方，加上两倍的 t 乘以 m 乘以 y， 加上 m 的 平方，然后加上后面的两倍的 y 的 平方。把右边的六移到左边，变成减六，整体等于零。接下来合并同类项，把 y 的 平方提取出来，系数是 t 的 平方加二。把 y 提取出来，系数是两倍的 t 乘以 m， 长数项是 m 的 平方减六。所以整理好的方程是括号 t 的 平方加二。反括号乘以 y 的 平方加上两倍的 t 乘以 m 乘以 y， 加上 m 的 平方减六等于零。 根据维达定律，两根之合 y 一 加上 y 二等于负的二次项系数分之一。次项系数在这里就是负的分子是两倍的 t 乘以 m， 分 母是 t 的 平方加二。 两根之积 y 一 乘以 y 二等于二次项系数分之长竖项在这里就是分子是 m 的 平方减六，分母是 t 的 平方加二。这步很关键，维达定律写出来，咱们就有了武器。 接下来怎么用题目里的垂直条件？题目说 a m 垂直于 a n， 这意味着什么？意味着向量 a m 点成向量 a n 必须等于零 点。 a 的 坐标是二，逗号一，所以向量 a m 的 坐标是 x 一 减二，逗号 y 一 减一。向量 an 的 坐标是 x 二减二，逗号 y 二减一。 向量点乘的公式是，横坐标相乘加上纵坐标相乘，所以得到括号 x 一 减二，反括号，乘以括号 x 二减二，反括号，加上括号 y 一 减一，反括号等于零。但是这里有 x 又有 y， 太复杂了，咱们要用直线方程把 x 替换掉。 因为 x 一 等于 t 乘以 y 一 加上 m， 所以 x 一 减二，就等于 t 乘以 y 一 加上 m 减二。 同理， x 二减二，就等于 t 乘以 y 二加上 m 减二。咱们把这两个式子带进去。第一部分变成了括号 t 乘以 y 一 加上 m 减二，反括号，乘以括号 t 乘以 y 二加上 m 减二，反括号。咱们把这个乘积展开。第一项是 t 的 平方乘以 y 一 乘以 y 二反括号。咱们把这个乘积平方乘以 y 二。 交叉项提取出共音式，加上 t 乘以括号 m 减二，反括号，再乘以括号 y 一 加 y 二反括号。长竖项是括号 m 减二，反括号的平方。别忘了还有后面的纵坐标部分，把它展开是 y 一 乘以 y 二减去括号， y 一 加 y 二反括号加上一。 现在咱们把含有 y 一 乘以 y 二的项合并，含有 y 一 加 y 二的项也合并。 y 乘以 y 一 加 y 二的系数变成了 t 的 平方加一， y 一 加 y 二的系数变成了 t 乘以 m 减去两倍的 t， 再减去一 长竖项是括号， m 减二，反括号的平方再加上一，整体加起来等于零。接下来咱们把维达定律求出来的和与积代入到这个式子里，代入后，咱们给方程两边同时乘以分母，也就是 t 的 平方加二，把分母去掉。第一项变成了括号 t 的 平方加一，反括号乘以括号 m 的 平方减六反括号。 第二项变成了括号 t 乘以 m 减两倍的 t 减一，反括号，乘以负的两倍的 t 乘以 m。 第三项变成了中括号，括号 m 减二，反括号的平方加一，反中括号乘以括号 t 的 平方加二，反括号。大家坚持住，这里的计算量比较大，但是只要细心展开就会发现奇迹。咱们分别展开这三项， 第一项展开是 t 的 平方乘以 m 的 平方减去六倍的 t 的 平方加上 m 的 平方减去六。第二项展开是负两倍的 t 的 平方乘以 m 的 平方加上四倍的 t 的 平方乘以 m， 加上两倍的 t 乘以 m。 第三项里， m 减二的平方加一，展开是 m 的 平方减四， m 加五，把它和 t 的 平方加二相乘， 展开得到 t 的 平方乘以 m 的 平方减去四倍的 t 的 平方乘以 m， 加上五倍的 t 的 平方，加上两倍的 m 的 平方减去八米，加上十。现在咱们把这三堆式子加起来，注意看，奇迹出现了， t 的 平方乘以 m 的 平方，第一项有一个，第二项有负两个，第三项有一个，加起来刚好抵消，变成零。 t 的 平方乘以 m 的 项，第二项有正四个，第三项有负四个也抵消了。 剩下 t 的 平方向。负六个加上五个等于负的 t 的 平方，剩下 t 乘以 m 的 象只有两倍的 t 乘以 m， 剩下 m 的 平方向一个，加上两个等于三倍的 m 的 平方，剩下 m 的 象只有负八米 长，竖向负六加上十等于正四。所以整个长长的式子最后化简成了负的 t 的 平方加上两倍的 t 乘以 m， 加上三倍的 m 的 平方，减去八米，加上四等于零。为了好看，咱们两边同乘，负一变成 t 的 平方减去两倍的 t 乘以 m， 减去三倍的 m 的 平方，加上八米，减去四等于零。 这是一个关于 t 的 一元二次方程，咱们可以用求根公式或者因式分解来解，把它看作关于 t 的 方程判别式。德尔塔等于负两米的平方，也就是四倍的 m 的 平方减去四乘以一乘以括号。负三倍的 m 的 平方加八 m 减四反括号 展开就是四倍的 m 的 平方加上十二倍的 m 的 平方，减去三十二米，加上十六。合并得到十六倍的 m 的 平方减去三十二米，加上十六。把十六提出来，就是十六乘以括号， m 减一反括号的平方。 这是一个完全平方式，所以 t 等于二分之二， m 加减。根号下这个判别式，也就是加减四乘以括号， m 减一反括号。咱们分两种情况，第一种取加号 t 等于二分之两米加上四， m 减四，也就是二分之六米减四，化简，得到 t 等于三， m 减二。 第二种，取减号 t 等于二分之两米减去四， m 加上四，也就是二分之负两米加四化简得到 t 等于二减 m。 接下来我们要判断这两个结果哪个可用。如果 t 等于二减 m， 咱们把它变形得到 m 等于二减 t， 把这个 m 带回咱们一开始设的直线方程。 x 等于 t 乘以 y 加上 m， 就 变成了 x 等于 t 乘以 y， 加上二减 t。 一 项整理一下， x 减二等于 t 乘以括号， y 减一，反括号。你看这个方程，不管 t 去什么值，当 y 等于一的时候， x 一定等于二。也就是说，这条直线永远经过点二逗号一， 但是点二逗号一是点 a 的 坐标啊。题目要求， m 和 n 是 椭圆上的点，如果直线经过点 a， 那 m 或者 n 就 和 a 重合了，这样就够不成三角形了。所以这种情况必须舍去。你看，这里就是一个容易踩坑的地方，大家算出来两个关系式，一定要记得回头检验。 既然舍去了第二种，那就只剩下第一种情况， t 等于三米减二。接下来我们要干什么？我们要把这个关系带回直线方程，去寻找直线横过的定点。 咱们把 t 等于三米减二，代入一开始设的 x 等于 t 乘以 y， 加上 m， 得到 x 等于括号。三 m 减二，反括号乘以 y 加上 m， 咱们把括号展开， x 等于三倍的 m 乘以 y 减去二， y 加上 m。 现在咱们把含有 m 的 项放在一起，不含 m 的 项放在一起，把减去二 y 移到等号左边变成 x 加上二 y， 右边把 m 提取出来变成 m 乘以括号，三 y 加上一反括号。 所以式子变成了 x 加上二 y 等于 m 乘以括号，三 y 加上一反括号。这不很关键，要想让这个等式不管 m 取什么值都成立，唯一的办法就是让 m 前边的系数等于零，并且等号另一边也等于零。也就是说，三 y 加上一必须等于零，同时 x 加上二 y 也必须等于零。 从第一个式子三 y 加上一等于零，咱们可以直接算出来， y 等于负的三分之一。把 y 等于负的三分之一代入第二个式子， x 加上二乘以负的三分之一等于零，也就是 x 减去三分之二等于零，所以 x 等于三分之二。这就意味着，不管直线 m、 n 怎么转，它永远经过一个定点。咱们给这个定点起个名字叫 p， 它的坐标就是三分之二。逗号，负的三分之一。找到了定点 p， 这道题就迎刃而解了。 接下来咱们看看题目里的垂足 d 是 怎么回事。题目说 a、 d 垂直于 m n， d 是 垂足，而直线 m、 n 又永远经过定点 p。 大家在脑子里画个图， a 是 一个定点， p 也是一个定点， d 是 直线 m n 上的点，并且角 a、 d、 p 永远是九十度。这里有个非常重要的技巧， 初中几何咱们学过，直径所对的圆周角是直角，既然角 a、 d， p 等于九十度，那么点 d 一定在一个圆上，这个圆就是以线段 a、 p 为直径的圆。 既然 d 在 这个圆上，圆心到圆上任意一点的距离都是相等的，都等于半径，所以题目让我们找的那个定点 q， 其实就是线段 a p 的 中点，也就是这个圆的圆心，而定值 d q 就是 这个圆的半径。你看，复杂的代数问题瞬间变成了清晰的几何问题，接下来咱们只要算出终点 q 的 坐标和半径长度就行了。 点 a 的 坐标是二，逗号一，点 p 的 坐标是三分之二，逗号负的三分之一。根据中点坐标公式，横坐标相加除以二，纵坐标相加除以二。 q 的 横坐标是二分之二，加上三分之二二，就是三分之六。加三分之二等于三分之八，再除以二等于三分之四。 q 的 纵坐标是二分之一，加上负的三分之一，一减三分之一等于三分之二，再除以二等于三分之一。所以定点 q 的 坐标就是三分之四，逗号三分之一。那定值 d q 的 长度呢？它等于线段 ap 长度的一半。 咱们先算 ap 的 长度， ap 等于根号下横坐标之差的平方，横坐标之差是二，减去三分之二等于三分之四，它的平方是九分之十六。 纵坐标值差是一，减去负的三分之一，也就是一。加上三分之一等于三分之四，它的平方也是九分之十六。 所以 ap 等于根号下九分之十六，加上九分之十六，也就是根号下九分之三十二，九分之三十二。开根号分母是三分子，根号三十二，化简是四倍的根号二，所以 ap 的 长度是三分之四倍的根号二。 最后定值 d q 等于 a p 的 一半，也就是二分之一乘以三分之四倍的根号二。约分之后等于三分之二倍的根号二。到这里咱们就完美证明了存在定点 q， 使得 d q 的 长度为定值。第二问，彻底拿下 这道题。最终的答案是，第一问，椭圆方程为六分之 x 的 平方，加上三分之 y 的 平方等于一。第二问的定点 q， 坐标是三分之四，逗号三分之一，定长是三分之二倍的根号二。 做个简单总结，遇到圆锥曲线里的垂直和定点问题，记住口诀，射线带入找维达，垂直点成划定点，直角定弦找圆心。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知抛物线 c 的 方程是 y 的 平方等于四 x 过点 p， 也就是四，逗号零做直线，交抛物线于 a 和 b 两点点 m， 坐标是负二，逗号零，设直线 m， a 和 mb 的 斜率分别是 k 一 和 k 二。求证， k 一 乘以 k 二是一个常数。 提分快的同学不是刷的多，是补的准连自己。分快的同学不是刷得多，是补的准，连自己。这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底， 做完发我，我给你出一份分析报告，配一份规划，先补什么后补什么，一目了然。高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口。就在评论区的杨老师摸底规划群，你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
78杨老师数学精讲
08:17查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是二零二零年新高考一卷山东卷的第二十一题导数压轴题。想冲一百二十分以上的同学，这道题的第二问必须在五分钟内拿下。 很多同学一看到指数、对数混在一起，就想直接求导硬算，基本就掉进出题人的坑里了。这题真正考的不是繁琐的分类讨论，而是指对同构的变形技巧。 咱们先来完整读一下题目，已知函数 f x 等于 a， 乘以 e 的 x 减一次方，减去以 e 为底 x 的 对数，加上以 e 为底 a 的 对数。第一问，当 a 等于 e 的 时候，求 y 等于 f x 在 点一逗号 f 处的切线与两坐标轴为成的三角形面积。 第二问，若 f x 大 于等于一横成立，求 a 的 取值范围。咱们的大方向很明确，第一问，常规求导算切线。第二问，利用只对同勾，把不等式转化为最值问题。 接下来咱们看第一问，当 a 等于 e 的 时候，我们先把 a 带入圆函数。这里有个非常重要的细节， a 等于 e 带进去之后，第一项变成了 e， 乘以 e 的 x 减一次方， 底数相同，指数相加一，加上 x 减一就是 x， 所以 第一项化简成了 e 的 x 次方。最后一项，以 e 为底， e 的 对数等于一，所以原函数 f x 就 变成了 e 的 x 次方，减去以 e 为底 x 的 对数。再加上一 题目要求在点一逗号 f 一 处的切线，咱们得先求出切点坐标，把 x 等一，代入刚才化简的函数 e 的 一次方就是 e， 以 e 为底，一的对数等于零，再加上一，所以 f 一 等于一加一，切点坐标就是一逗号一加一。 有了切点，接下来要求切线斜率，也就是函数在 x 等于一处的导数。咱们对 f x 求导， e 的 x 次方求导还是 e 的 x 的 对数求导是 x 分 之一，常数 e 求导是零，所以导函数 f 撇 x 等于 e 的 x 次方减去 x 分 之一， 把 x 等于一，带入导函数得到切线斜率， k 等于 e 减去一分之一，也就是 e 减一。斜率有了，切点有了，咱们用点斜式写出切线方程。 y 减去纵坐标一加一等于斜率一减一乘以括号 x 减去横坐标一，把括号拆开，右边变成了一减一倍的 x 减去一，加上一 把，左边的负一减一，移到右边去合并同类项负一加一，抵消了一加一等于二，所以切线方程化简为 y 等于一，减一倍的 x 加上二。题目最后要求的是这条切线和两坐标轴为成的三角形面积。我们需要求出切线在 x 轴和 y 轴上的截距， 先令 x 等于零，得到 y 等于二，这就是在 y 轴上的焦点零。逗号二，再令 y 等于零，得到一减一倍的 x 加上二等于零，把二移向变成负二。两边同时除以一减一，得到 x 等于一，减一分之负二，这就是在 x 轴上的焦点 三角形的面积。公式是二分之一乘以底，乘以高，也就是二分之一乘以 x 截距的绝对值，再乘以 y 截距的绝对值。很多同学在这里会犯错，忘了加绝对值，导致面积算出负数。因为 e 大 约是二点七， e 减一是正数，所以 x 的 截距是个负数，它的绝对值就是 e 减一分之二。 咱们把数值代入面积公式，二分之一乘以 e 减一分之二，再乘以二二分之一和二约掉，最后得到面积等于 e 减一分之二。第一问就这样轻松拿下了。 接下来看最关键的第二问，题目已知 f x 大 于等于一，要求 a 的 取值范围。先把不等式写出来， a 乘以 e 的 x 减一次方，减去以 e 为底 x 的 对数，加上以 e 为底 a 的 对数大于等于一。 注意，这里题目里有以 e 为底 x 的 对数和以 e 为底 a 的 对数。真数必须大于零，所以隐含条件是 x 大 于零，而且 a 也是大于零的。 咱们把减去以 e 为底 x 的 对数移到不等式右边，左边就剩下 a 乘以 e 的 x 减一次方，加上以 e 为底 a 的 对数，右边变成了以 e 为底 x 的 对数加上一。 这里有个非常重要的技巧，看到指数和对数混合，而且不在同一边，咱们要马上想到只对同购， 什么叫同共？就是把不等号两边凑成完全一样的场项。先看左边第一项， a 乘以 e 的 x 减一次方， a 可以 写成 e 的 以 e 为底 a 的 对数次方，把它和 e 的 x 减一次方，乘起来，底数相同，指数相加，就变成了 e 的 x 减一，加上以 e 为底 a 的 对数，这个指数里有 x 减一和以 e 为底 a 的 对数，而外面只有一个以 e 为底 a 的 对数。缺了什么？缺了个 x 减一？ 为了凑出完全一样的结构，咱们在不等式两边同时加上 x 减一，左边就变成了 e 的 x 减一，加上以 e 为底 a 的 对数次方，再加上 x 减一，加上以 e 为底 a 的 倍数。大家看出来没有？这正好是 e 的 t 次方加上 t 的 形式。这里的 t 就是 x 减一，加上以 e 为底 a 的 对数。 咱们再看右边，原来是以 e 为底 x 的 对数加上 e， 现在加上了 x 减一。常数一和负一抵消了，右边就剩下了 x 加上以 e 为底 x 的 对数。 很多同学到这里卡住了，觉得右边不像 e 的 梯次方加上 t。 别急，咱们把 x 变个身， x 是 不是可以写成 e 的 以 e 为底 x 的 对数次方，把它带回去，右边就变成了 e 的 以 e 为底 x 的 对数次方加上以 e 为底 x 的 对数。你看右边也完美变成了 e 的 梯次方加上 t 的 形式。这里的 t 是 以 e 为底 x 的 对数。 现在两边结构完全一样了，咱们构造一个新函数， gt。 等于 e 的 t 次方加上 t。 这个函数好不好判断？单调性太好判断了。 e 的 t 次方是单调递增的， t 也是单调递增的，两个递增函数加在一起，所以 gt 在 整个定义域上是单调递增函数。 既然 gt 是 单调递增的，而且左边大于等于右边，那就说明左边的自变量一定大于右边的自变量。所以我们直接把外壳脱掉，得到 x 减一，加上以 e 为底 a 的 对数大于等于等于以 e 为底 x 的 对数。 题目要求 a 的 范围，咱们就把包含 a 的 项留在左边，其他的移到右边，把 x 减一移过去，得到以 e 为底， a 的 倍数大于等于以 e 为底， x 的 倍数减去 x， 加上一 题目说这个不等式横乘立，这里到底是在找上界还是找下界？左边大于等于右边横乘立，说明左边这个常数必须大于等于右边这个函数的最大值。所以咱们现在的问题转化成了求右边这个函数的最大值。 咱们令 h x 等于以 e 为底， x 的 对数减去 x， 加上一要求最大值。老规矩，求导 h x 求导以 e 为底， x 的 对数，求导是 x 分 之一，负 x 求导是负一常数，一求导是零。所以导函数 h 撇 x 等于 x 分 之一，减去一通分一下就是 x 分 之一减 x。 别忘了我们的定义域， x 是 大于零的分母， x 是 正数，所以导函数的正负完全由分子一减 x 决定。当 x 大 于零且小于一的时候，一减 x 大 于零，导函数大于零，原函数 h x 单调递增。 当 x 大 于一的时候，一减 x 小 于零，导函数小于零，原函数 h x 单调递减。先增后减。所以在 x 等于一的时候， h x 取得最大值， 把 x 等于一带入 h x， 以 e 为底一的倍数是零，减去一加上一，结果正好等于零，所以 h x 的 最大值就是零。既然以 e 为底， a 的 倍数要大于等于右边的最大值零，所以以 e 为底， a 的 倍数大于等于零 零可以写成以 e 为底一的倍数。底数 e 大 于一，单调递增，所以直接得到 a 大 于一。这道压轴题的第二问咱们就完美解决了。 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最终这道题第一问的面积是一减一分之二，第二问 a 的 取之范围是 a 大 于等于一。咱们总结一下，遇到指数对数混搭的题目，如果你一就掉进出题人的坑里了。 这题真正值钱的地方不是算的多，而是先利用加减凑，像把不等式两边同构成一样的函数，然后利用单调性脱掉外壳。同构的核心口诀就是缺什么补什么长竖向是最好的调节剂，只要掌握了这个技巧，再复杂的式子也能瞬间降维。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x 次方减去以 e 为底， x 的 对数减去 x。 若 f x 大 于等于 a， 横成立，求 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
12:24查看AI文稿AI文稿剖析地理本质，拆解命题逻辑。同学们，好啊，我是专注高考地理教学的郑小王老师，我们今天继续来讲一篇二零二零年的山东卷的最后三道选择题。 呃，最后这三道选择题呢，主要是通过看图以及作为一种区域性的认知啊，通过这两个方面呢来去把它解答出来啊。具体情况我们来看一下十三题， 与前贵喀斯特山区相比，太行山区的真叶林，同学们要注意啊啊，我们十三题呢，一定要去找好主语，主语呢是太行山的真叶林。好，我们来看图，太行山是这一幅图，太行山的真叶林。大家来看一下图例， 太行山的针林的分布的位置在这里，大家看一眼啊，分布的位置呢？这个图呢，横轴代表的海拔，向右代表越来越高，那么纵轴代表的是比例啊，同学们啊，代表的是比例。我给大家举个例子，你像农田，农田在零到二百米的比中大约是将近百分之八十， 那么剩余的部分就这个颜色的了，就是其他有可能是阔叶林，灌木丛，草地啊，城乡用地等等，他们加起来一共占了大约百分之二十一的样子啊， 那么你看，那么这个关于真叶林的比中怎么算呢？很小很小了，大家看这个地方来，在一千到一千两百米的这个海拔上，这个真叶林所占的位置，我估计啊，这个看图大约呢，这个面积占比就是百分之三四的样子，哎，很少很少了啊，这个图就是这样去看的啊。 好，我们来看一下十三题，太行山区的真叶林太行山区真叶林， a 选项垂直分布高差大。 同学们，这道题呢，选错的原因呢？一般来讲，可能就是因为不明白这个 a 选项所说的意思，什么叫垂直分布呀？垂直分布就上下分布 啊，高差，高差就是个高度差吗？同学们，哎，所以说太行山的高度差在哪里啊？来，我们把它标记出来，他的最低处大约是在一千二百米开始，对不对？一千二到一千四，那么最高处呢，是多少？是两千六到两千八，所以说太行山区的这一年的垂直分布高差应该是从一千二 到两千八。那么我们先看一下钱贵，钱就是哪里啊啊，作为一个最基本的区域认知哈，咱们说钱无驴啊，咱们说语文都学过，钱就是我们当今的贵州啊，黑金啊，贵州，贵州呢，咱们说也是， 呃，被称为南方的梅海啊，他也可以产梅，当然了，贵州也有水电。呃，但是贵州呢，由于这个喀斯特地貌啊，比较崎岖，导致了交通不便，经济呢，发展呢，受到了很大的影响，大家要注意啊，钱是指贵州贵呢，就是咱们国家的南方的广西了 啊，广西壮族自治区，那么这两个地方基本上都位于热带和亚热带的啊，季风气候区，而太行山区呢，在华北地区对吧？啊，三线合一的太行山区，那么太行山呢，它是一个非常明显的温带季风气候区哎，这个作为最基本的关于气候的区域认知，大家搞清楚。 来，我们来看一下钱柜的针叶林，大家你发现没有，这个钱柜的针叶林的分布占比啊，很明显就高一点了，而且他最低处下来看图，从零米开始一直到最高处，两千八是不都有啊？ 所以说他这个是从零到两千八，那很明显，他的这个钱柜的垂直分布高差是不是更大呀？所以说十三题 a 就 错了，来 b 选项总分布的面积占比小，总分布的面积占比小。哎，这个是有可能的，是吧？同学们 总分布的面积占比，哎，占比看的是比重，你发现没有，他整体来讲是不是很扁平啊？那这边整体来讲稍微大一点对不对？ 哎，所以说这个 b 选项可以先放一放，感觉是对的，我们在做选择题的时候不要看到一个题啊，感觉，哎，我感觉是对的，就马上把它选做出来，哎，同学们要注意一下，咱们这个做题要去严谨哈，我们尽量要把每一个选项都要分析到位啊，他并不会浪费我们很久的时间。 c 各海拔梯度均有分布，哎，那非常遗憾，错了，太行山区刚刚说了，他的垂直分布是从一千两百米到两千八百米，所以说他低于一千二的和高于两千八的他是没有的，所以说并不能做到各海拔梯度均有分布，而相反乾贵可以做到来四、 d 面积占比的最大处，海拔低好，那么太行山区的面积占比最大处在这里再来给我们找到啊，应该是两千二到两千四，来，我们把它写出来。两千二到两千四， 而钱柜的面积占比最大处，大家来看一下，应该是在六百到八百。哎，那很明显啊，应该是太行山的占比最大处的海拔应该怎么样啊？应该要偏高一点，所以说这个错了，哎，我没把它排掉，那么这道题的选项就出来了，答案就选什么了。二 b 啊，这道题就是个看图题啊，这个题难度并不是特别大，唯一的难点啊，就是关于这个 a 选项啊，同学们可能在这个语文的阅读理解上面，我觉得还是要加深一点啊，因为大家你此时看视频的同学，绝大部分啊，都可能是选的是大文类的，就是正史地， 同学们一定要注意，正史地一定要去善于去读材料啊，读懂他想表达的意思啊，读懂他想表达意思。好了，这是十三题 来十四题，前贵咖色山区较低，海拔区的针叶林的面积占比较高，主要由于该山区怎么了？好，我们来看一下。同学们也发现个问题啊，这个前贵这个山区啊，刚才给大家说过了，他是在南方 啊，他是在南方，哎，这个笔写起来不是很方便啊，而太行山呢，他是在华北， 那么你钱贵的这个山脉呢，咱们说它靠近南方，水热条件应该是更好的，水热条件更好，作为同样的针叶林来讲，同学们想一想，应该是分布的海拔正常来讲应该是更高一点呢，还是更低一点呢？ 哎，很明显啊，大家知道这个同样的一个植被啊，为大家画两个山，这个山在南方 哎，这个山呢，在华北，那么如果说你在南方，这一林的分布海拔是在这里的话啊，那么你要是在华北的话，这个分布海拔应该怎么样啊？ 这个分布海拔是不是应该要更低一点才对啊？同学们，那为什么会这样呢？因为纬度越高，华北的纬度越高，他的水热条件，尤其是热量条件他更差，他一旦更差，就会导致什么呀？ 咱们说能够生长树木的这个条件呢，应该是靠下一点才适合他的生长。所以说这个针叶林哈，他会怎么样啊？他会随着纬度的增加而海拔不断的降低。同学们，你想象一下，到了俄罗斯远东， 到了西伯利亚地区，那是不更加广袤的，在地表就会长针叶林了，而你看在我们华北的话，得在山上长，而如果说在南方的话，就得在高山之上长了。所以说这是一个最基本的随着纬度而地变的这种植被差异。哎，大家要去了解这个问题啊，那么我们来看这里面 钱贵，正常来讲，你的针叶林的分布海拔应该要比华北应该怎么样？偏高，但是在本图中，他出现了一个不一样的变化，他说较低海拔区的占比竟然较高，那这就说明这是一种特殊性还是普遍性？同学们， 那很明显啊，他是一种特殊性，对不对？好，既然是特殊性啊，大家想象一下，特殊性，我们还有一个名字啊，同学们，这个名字非常重要，叫非地带性， 叫非地带性。哎，比较重要的，老师会给大家做标记的啊，叫非地带性，非地带性，老师再告诉一句话，什么叫非地带性？这个地方本来 是 a， 结果最后呢？长的东西却是 b， 实际是 b， 哎，本来是 a， 实际是 b， 这就叫非地带性，也就说明他本来不应该在这里生存。那我们来看一下，是不是这样子的，钱贵的。这个地方低海拔地区，正常来讲应该是什么森林呢？同学们，是不是应该是阔叶林了？这个阔叶林还有可能是亚热带常绿阔叶林，对不对？在南方吗？ 但是他现在较低海拔处竟然长了针叶林，就说明本来应该是阔叶林，但是实际是什么呀？是针叶林。来，大家思考一下，他现在这个植被是变好了还是变差了？ 很明显变什么了？变差了，那也就说明我们现在在第十四题里面只需要找到一个变差的 选项就可以了吧，那已经非常明显了，哪个是比较差的选项啊？就是这个了，对吧？山体陡峭，由于南方较低海拔地区，个别的山体山体陡峭，山体陡峭之后就会导致影响他植被生存的 土壤条件和水分条件较差，特别要注意啊，一般来说影响植被的四大条件，我给大家写到这里，热量， 水分，水分啊，是这个水分的分啊，光照还有土壤海拔一般较低处，热量都是比较不错的 啊，光照的影响啊，没有特别大啊，除非说材料中给到了一些信息。举个例子啊，假如说这个原始的森林呢，可能遭受火灾了，死掉了， 然后呢，在它下面又长出了一些其他的小植被，人家问你什么原因，那有可能是光照，因为之前非常高大，树木可能挡挡光了，对吧？ 啊，那么在本题中没有给任何提示的话，就不能去考虑这种光照的问题了，而且这个选项中也没有没有给到啊，所以说是山体陡峭导致了 土壤和水分条件变差，不能长更好的稷林，而长了这种耐贫级的针叶林。所以说钱贵的针叶林的分布海拔怎么样？哎，较低了。这就是我们的第十四题，他考察的呃，是 整体性和差异性之中的一个非常重要的知识，叫非地带性，大家注意，非地带性，一定要记住这句话，本来是 a， 实际是 b。 好， 十四题选 a 来十五题，两个山区农田分布上限存在差异的主要原因是，我们来看一下分布上限啊。 太行山刚才给大家说过了，太行山在华北，他的分布上限这个图中给到的是两千八 啊，很有可能这个图还没画完啊，但是我们也发现了，钱柜这个很明显，他的分布上限是比太行山是更高的，对不对？那么大家想象一下，这个钱柜的农田能够分布的更高，这是一种正常的还是不正常的现象，这个非常的重要。 钱贵在南方，南方水热条件更好，是不是在更高处也能去种田呀？哎，所以说我们这道题答案就已经选完了，分布上限比较高啊，他的上限比较高的原因呢？就是因为 啊，他的这边什么呀？水热影响农业发展的最主要的两个因素，水分和热量条件更好。所以说，十五题答案选二比，同学们要注意啊，你看这个 a 选项， a 选项肯定是没有 b 好 的，对不对啊？因为我们说影响植被生长的，影响农业发展的自然方面，水分和热量这两个是最基本的。 你这个光照条件呢，咱们说也算是，但是呢，很明显呢，他不能啊，和他俩去竞争，竞争不过的。那这个 c 和 d 啊，很明显又是属于什么了？同学们， 同类项了，对不对？这个同类项很明显，一般来说是不能去做选择的，而且这个 c 和 d 在 材料中是没有给到任何提示的，对吧？哎，这个十五题答案就已经选完了，选二 b 啊，这种正常的现象啊。 好，那我们关于这个三道题呢，就给大家讲解到这里，大家有哪里不太明白的啊，或者哪里可能说老师语速较快啊啊，大家也可以反应一下啊，我们老师呢，也可以根据大家的要求呢，做一些相应的一些调整啊。好，我们今天就到这里了，同学们再见。
26Jack王讲地理
02:00查看AI文稿AI文稿这是近几年山东高考历史中被很多同学成为是最有难度的一题，因为题目非常的新颖，其既然让你做编辑，编辑人物的对话，这让很多当时的考生直到现在都忘不了。但我认为这题只是看着吓人，而实际上其非常简单，只需要会默写出历史事件的知识，就能轻松拿捏。 话不多说，我们先来看到题目，这里问的是让你编辑发香在十七世纪咖啡馆的人物对话场景，这看上去很难让你做编剧，但这题的本质其实就只是让你罗列背景。 比如说我们这里的主题就写罪恶的三角贸易，那我们就不要真的想着怎么去编，我们重点是要把三角贸易的事件过程，影响这些背景罗列出来就可以了。 比如你可以写约翰说， i 听说了吗？相传又到非洲了，然后杰克说这是去干什么的？然后接下来你就可以揭晓整个三角贸易这个事件了。你可以写约翰说，因为美洲的残酷压价和传染病的流行，美救劳动力缺乏，欧洲乡人就到非洲虏获非洲黑人，然后把他们运到美洲卖为奴隶。 然后接着再写事情的影响和意义，你可以写杰克说，那这届非洲的影响和利益，你还丧心了，劳动力社会结构被严重破坏。 然后约翰说，是的，但这给英国带来了巨大的利润，能够推动资本的原始积累，而这也影响了美洲，这提供劳动力，促进了美洲的开发。然后再写杰克说，这也可以加强全球联系，推动世界市场的形成。然后大概这样就写完了，其实非常简单，就只是把教材上的话给默写上去， 只不过加上了一些对话的形式。但这些形式不重要，随便写就可以了，你千万不要把形式当成的重点去想。 你现在可以写 a 说恰恰事件发生了，然后 b 说恰恰事件的过程是什么，然后用 a 来默写事件，然后 b 再说恰恰事件的意义或影响是什么，然后再用 a 来默写该事情的意义或影响。 反正大概就是这个模板，在这个模板之下，你可以写光荣革命、权力法案、世界市场等等内容，反正就把这些事情往里面套。这题就算拿不了满分，拿个五六分应该也是随随便便的。
1479主包主包（可报课）
09:03查看AI文稿AI文稿哈喽大家，今天咱们一块来看一下二零年高考高中历史第十八题。首先咱们先看一下 这个题目的社会内容是什么？提取材料信息说明，上述材料对研究二十世纪八十年代中国农村改革有哪些史料价值， 是从这一份笔记里面去提取当时社会情况的，属于史料价值分析类。这一个题目也成了咱们后面近几年高考里面命题的一个主要的命题方向。 那么这一个题目里面给咱了一个明确的涉文的时间，是在二十世纪八十年代，也就是说在一九八零年改革开放时期，主要考察咱们的知识点呢，是农村经济改革啊。二十世纪八十年代的农村经济改革主要是围绕家庭联产承包责任制，鼓励农村致富。 另一个呢，是从废除人民公社体制，然后建立乡村政府，推行村民自治委员会以及基层党组织和党风建设的一个角度。在思想层面上主要就是讨论关于真理问题，向基层延伸，关于五讲四美三热爱 为代表的社会主义核心的精神文明建设。这一这些知识点呢，都是从咱们设问的时空里面去提取出来的。 所以咱们去做历史主观题的时候，一定要去记得首先要去确定一下咱们提问的设问时间是什么，因为确定确定好设问时间的话，咱们就比较容易的连接知识点，连接事实，分析对应的阶段特征。 那么从涉味方式来看，这个题目主要问的是食料价值类的题目。那么关于这一种题目的时候，咱们首先第一个啊，要能够区分食料的类型是什么，要去掌握各个食料价值的分析方法，既要分析食料的来源，也要去解读食料内容， 嗯，理解咱们整个史料的对咱研究历史的一个作用。但是随着咱们现在嗯高考的一个不断的完善加知，咱们题目的不断创新，像这些史料类的题目咱也多出来了很多的试问，比如说 啊，史料来源是否可信，如何去进行史料互证，还有什么办法去补充史料成为了咱们后面的主要命题的方式。 那么关于这一种类型的题目，咱们要怎样去解决呢？首先第一个，咱们要去分析食料来源，也就是说咱们可以嗯，大致上把它分为还是三种食料，是食物食料还是文献食料， 能要从这几个食料类型再去往后推知，哎，咱们题干里面主要设问的时代背景是什么？ 第二步，当咱们确定好它的石料的类型之后，咱再去相对应的去翻译咱们题干里面的材料，也就是说概括咱们题干的信息，最后再根据咱们的答题模板去回答就可以了。那么关于石料架子类的答题模板，咱是怎样去进行 转述和整理呢？第一个，咱们首先要去确定一下石料的来源，然后也就说要去概括一下石料的出处以及 作者的身份，来去判断他的石料的价值。第二个呢，咱们再去根据文献里面的或者说材料里面的给咱的信息， 哎，去反翻译咱们题干里面的材料内容和咱们的事实连接到一块。第三个，咱们再去做总结，也就说这一个石料反映了当时怎样的时代面貌，与其他石料可以相互着正，或者说具有怎样的一个重要价值。 好，这是咱们去回答史料价值类的一个惯用的模板。也简单来说就是先确定史料的来源，第二个再去翻译材料，第三个再去做总结就可以了。 那么咱们通过这一个一个春之书的工作笔记这一个题目来看，咱们能看出来啊，既既然是他的工作笔记，那说明是他本人亲身经历过的一些事情，类似于日记和记录本一样，那么就属于一手史料。 第二个，嗯，咱们既然把这个问题设问是在二十世纪八十年代，咱们一开始也说了主要考察的是关于 嗯农业的职责，包括致富、先富等一些角度，那就说明这个题目考察的是咱们的经济领域。于是咱们从这个题干里面还抓到了一些信息，比如说哎这一个，还比如说 这一些以及这一些，那么咱就能看出来，他在政治领域上面主要是考察咱们的哎，基层的党组织以及啊这个村民自治和党风自治。在思想领域上咱主要考察的是哎这一个角度，也有说何为真理，要去做思想解放。 那么咱们去做这一类题目的时候，大家会发现了和做实际题的时候有点类似的地方，就是在于在怎样和材料进行一个相互转述，那么怎样才能更加准确的合理的找到咱们想要的东西？关键点就在于这一步，确定完时间之后，你才能知道要从材料里面去找什么， 也就是说咱们去做题，确定题目的的时候，有更加有目的，有准确性的找， 哎，找到的材料能和咱们的这一个时空连接到一块，那么毫无疑问这个材料就是哎，正确的。那么咱依据这一个题目来看材料来源，材料来源里面啊，第一个这个工作笔记肯定就是咱的一手史料了，能够反映出来当时二十世纪八十年代农村改革的一个 重要的过程。第二个，咱从材料信息得到的经济内容主要围绕着致富啊，先富带后富等等等，这这一些知识点反映了农村改革中实行家庭联产承包责任制，鼓励脱贫致富，重视经济发展。 哎，他的当时的经济情况。那么咱们从公社、大队、乡党委等等一些知识点能够看出来，二十世纪八十年代农村基层政权的建设反映了哎，村民自治的一个情况，然后从真理补课，五讲四美三热爱，咱们都从思想解放上去入手 啊，这是咱们的整个从材料里面去提取出来的内容。好，提取完之后咱们就要去整理咱们的答案。那怎样整理呢？按照咱们刚刚陈述的步骤，首先第一步先去说一下石料的来源，那么材料一个村支部的工作笔记是 二十世纪八十年代农村改革的重要的史料，是一手史料笔记，主要围绕着农业致富、经济发展，反映农村家庭联产承包责任制，鼓励农民致富。二十世纪八十年代的农村经济改革也 向大队、大队、公社、乡政府、村民委员会。二十世纪八十年代农村的政治体制改革，反映了基层自治的一个发展情况， 从五讲四美三热爱选文明户反映了农村，哎，农民的思想解放，反映了二十世纪八十年代的农村思想文化建设。 然后大家把这一步给总结完之后，咱再去做一个总结，哎，综上这份工作笔记，从政治、经济、思想等多个角度反映出来了二十世纪八十年代农村经济改革的一个情况。 哎，这是咱们做一这种题的技巧。那么像这一种石料价值类的题目，咱们要怎样去区分一手石料、二手石料和三手石料呢？那各个石料的来源又是什么呢？来咱们做一个补充，做一个补充，首先 一手石料，所谓的一手石料，也咱说的原始石料，它是当时历史事件发生时有亲身经历的人，或者说当事人留下的石料，没有进行加工。比如说咱说的日记、工作笔记、书信契约， 嗯，出土文物，当时的报纸，甚至是后面出现的录音记录片，哎，回忆录都可以。二手史料呢，是经过后世学者的一些修改，基于一手史料进行的整理和分析，包括学者观点、人物传记、历史评论等，主要就是一些神话传说了。 那么除了这些之外啊，大家如果分不出来一二三手史料，那么实物文献的话，主要指的就是遗址 啊，遗迹出土文物文献史料的话，那肯定就是指的像史书、日记、契约哎，或者说地方制哎，限制口述史料的话，就包括，哎，采访录音，那音画史料的话，就包括照片和纪录片了， 哎，这咱们把这些史料给区分完，区分完之后，首先第一步点出史料来源，第二部联系材料里面内容对照着时空，然后把这个题目写出来。第三个，哎，该史料从什么角度反映了什么内容，展现出来了哪些事情？ 所以咱们石料价值类的题目大家都可以去这样答。刚刚老师一开始的时候也说了，会有一些题目会出现一些新的试问，比如说让你去补充石料， 如果这个题目是文献的话，你可以尝试去从实物或者说图片、影音等方面去补充。如果这个题目问你该石料是否哎，完全值得相信啊。但咱们一般和 回答的话都会回答，具有一定的片面性，要从多个角度去分析，因为食料文物在保存过程中容易受到诶损害，或者说损毁，或者说容易受到政治立场、个人意识的影响，所以要从其他角度进行食料的多元互症。好，这是咱们这一个题目。
68安 生.
08:11查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！这是二零二零年山东卷的第二十题，一道经典的立体几何大题，想冲一百分，这题最好十五分钟内拿下。 这题最容易踩坑的地方就是第二问，找平面法向量的时候，参数没设对，导致后面求导算不出来，其实咱们可以用基本不等式秒杀。 咱们先来看看题目，四棱锥 p a、 b、 c、 d。 底面为正方形 p、 d。 垂直底面 a、 b、 c、 d。 设平面 pad 与平面 p、 b、 c 的 交线为直线 l。 第一问，证明直线 l 垂直平面 p、 d、 c。 第二问，已知 p、 d 等于 a， d 等于一 q 为直线 l。 上一点，求 p、 b 与平面 q、 c、 d 所成角的正弦值的最大值。 咱们先按线面平行的判定定律搞定第一问，再间隙用最小模型锁死第二问的答案。咱们先看第一问， 这里有个非常重要的技巧，遇到两个平面的交线，第一时间去寻找这两个平面里有没有互相平行的直线。你看底面 a、 b、 c、 d 是 一个正方形，这意味着什么？意味着 a、 d 平行于 b、 c。 接下来我们要干什么？我们要把线线平行转化成线面平行。你看 b、 c 在 平面 p、 b、 c 里面，而 a、 d 不 在平面 p、 b、 c 里面。根据线面平行的判定定律， a、 d 就 平行于平面 p、 b、 c。 这步很关键，很多同学写到这里就卡壳了， 大家注意看题目，平面 pad 和平面 pbc 的 交线是直线 l， 而 ad 正好就在平面 pad 里面。根据线面平行的性质定力，如果一条直线平行于一个平面，并且经过这条直线的平面和那个平面相交，那么这条直线就平行于交线。 所以咱们把定律套进去，立刻得到了一个非常核心的结论， ad 平行于直线 l， 得到了这个平行有什么用呢？题目要证直线 l 垂直平面 pdc 就 行了， 咱们来找垂直关系，底面是正方形，所以 ad 垂直于 dc。 题目又给了一个条件， pd 垂直底面 abcd， 而 ad 在 底面上，所以 pd 垂直于 ad。 你 看， ad 既垂直于 dc， 又垂直于 pd， 而 dc 和 pd 都在平面 pdc 里面，并且它们相交于点 d。 根据线面垂直的判定定律， ad 就 垂直于平面 pdc。 那 最后，因为直线 l 平行于平面 pdc， 所以 直线 l 也就垂直于平面 pdc。 第一问，咱们就轻轻松松拿下了， 接下来咱们看第二问，这里到底该用传统几何法还是空间向量法？题目不仅出现了垂直关系，还给了具体的边长 p d 等于 a， d 等于一，这简直就是出题人在疯狂暗示咱们。间隙 咱们以点 d 为坐标原点，因为 p d 垂直底面，底面又是正方形，所以 d a 垂直 d c。 咱们就以射线 d a 为 x 轴的正半轴，射线 d p 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系。 咱们把关键点的坐标写出来， d 点是圆点，坐标是零零零。 a 点在 x 轴上，长度是一，所以 a 是 一零零。 c 点在 y 轴上，坐标是零一零。 p 点在 z 轴上，坐标是零零一。 b 点在底面正方形的对角上， x 和 y 都是一， z 是 零，所以 b 是 一一零。 题目要求 p b 与平面 q、 c、 d 所成角，那咱们得先把相关的向量和平面法向量搞出来。先算向量 p b， 用 b 点坐标减去 p 点坐标一减零是一，一减零是一，零减一负一，所以向量 p b 等于一，一负一。 现在最头疼的来了，点 q 在 哪里？题目说 q 是 直线 l 上一点。我们在第一问已经证明了，直线 l 平行于 a、 d， 也就是平行于 x 轴，并且直线 l 经过点 p， 所以 直线 l 上的点，它的 y 坐标和 z 坐标跟 p 点一样，都是零和一，只有 x 坐标在变， 所以我们可以设 q 点的坐标为参数 q 零一，这里的参数 q 是 一个实数。接下来我们要找平面 q、 c、 d 的 法向量。咱们先求出平面里的两个向量向量 dc， 很 简单，就是 c 点减 d 点等于零，一零向量 d， q 就是 q 点减 d 点等于参数 q 零一。 设平面 q、 c、 d 的 法向量为 n 向量坐标是 x、 y， z， 法向量必须垂直于平面内的这两个向量，所以 n 向量点成像量 d， c 等于零，并且 n 向量点成像量 d， q 等于零。咱们把坐标带进去， n 向量点乘 d， c， 也就是零乘 x， 加上一乘 y， 加上零乘 z， 结果就是 y， 所以 y 等于零。再看 n 向量点乘 d， q 加上零乘零，加上 z 乘一等于零，也就是参数 q 乘以 x， 加上 z 等于零。把 z 移到等式右边，得到 z 等于负的参数 q 乘以 x。 为了方便计算，咱们令 x 等于一，那么 z 就 等于负的参数 q， 所以 平面 q c、 d 的 一个法向量 n 就 等于一零负的参数 q。 现在向量 p b 和法向量 n 都有了。设 p b 与平面 q c、 d 所成的角为西塔根据空间向量求向量角的公式，散也。西塔就等于向量 p b 和 n 向量夹角的余弦值的绝对值，也就是向量 p b 点乘 n 向量的绝对值，分子除以分母，分母是向量 p b 的 模长，乘以 n 向量的模长。 咱们一步步来算。先算分子向量 p b 点成 n 向量 x 坐标相乘一乘一是一。 y 坐标相乘，一乘零是零。 z 坐标相乘负一乘以负的参数 q， 得到正的参数 q， 加起来就是一加上参数 q， 套上绝对值，分子就是一加参数 q 的 绝对值。 再算分母，向量 p b 的 摩长是根号下各个坐标的平方和一的平方，加一的平方，加负一的平方等于三，所以是根号三 n 向量的模长是一的平方加零的平方，加负的参数 q 的 平方等于一加上参数 q 的 平方。套上根号就是根号下一加参数 q 的 平方。所以 sin x 等于一加参数 q 的 绝对值，分子除以分母，分母是根号三乘以根号下一加参数 q 的 平方。 题目要求这个正弦值的最大值。很多同学看到这个式子就慌了，其实咱们可以把整个式子平方一下去掉讨厌的根号和绝对值。散野希塔的平方，分子就变成了一加参数 q 的 完全平方，展开就是一加上二倍的参数 q， 加上参数 q 的 平方，分母就变成了三乘以括号一加上参数 q 的 平方。 咱们把分子、分母都整理一下，把分子提取出来，写成分母的平方，除以分母，正好约掉剩下三分之一 分子里剩下的二倍的参数 q 除以分母就是三分之二，乘以分子是参数 q， 分 母是一加上参数 q 的 平方，所以整个式子变成了三分之一。加上三分之二，乘以分子是参数 q， 分 母是一加上参数 q 的 平方。 这里有个非常重要的技巧，对付这种分式，求最值。当参数 q 等于零的时候，后面这项是零，整个式子等于三分之一。当参数 q 不 等于零的时候，咱们把后面这项的分子、分母同时除以三分之一。 大家看这个分母参数 q 加上参数 q 分 之一，是不是非常眼熟？根据基本不等式，它的绝对值大于等于二。当且仅当参数 q 等于一的时候，分母取得最小值二，这时候后面的分式取得最大值二分之一，再乘以三分之二，就是三分之一，加上前面的三分之一，最大值就是三分之二。 咱们再看参数 q 等于负一的时候，分母是负二，这时候算出来是零，显然不是最大值，所以三眼西塔的平方的最大值是三分之二。 注意，这里咱们求的是平方的最大值。最后还要开个根号三分之二。开根号分子是根号二，分母是根号三，上下同乘根号三。进行分母有理化，得到三分之根号六。所以 p、 b 与平面 q、 c、 d 所乘角的正弦值的最大值就是三分之根号六。 这道题的最终答案是，第一问证明完毕。第二问正弦值的最大值是三分之根号六。咱们总结一下这题，真正值钱的地方不是算的多，而是找对方向。 遇到线面角求最值，间隙求出代参数的法向量是常规操作最后一步，千万别硬求倒，把分子分母同除以变量构造基本不等式的形式才是最快最稳的。记住这个口诀，代餐分式求最值，同除变量找均值。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题。刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知正方体 a b c d a e b e c e， d， e 的 棱长为二点， m 是 线段 a， e， c e 上的动点。求直线 b m 与平面 a， e， b d 所成角的正弦值的取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
70杨老师通关数学
06:48查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！ 这是二零二零年山东新高考一卷的第二十题立体几何大题，想冲一百二十分以上的同学，这道题咱们必须稳稳拿下满分！ 这题第一眼看着挺吓人，有一条面和面的交线 l， 很多同学一上来就卡住了，去死磕，这条线到底画在哪儿？其实它真正考的不是硬化，而是利用性质把它转化出来。 咱们先来看看题目，四棱锥 p a、 b、 c、 d。 底面为正方形， p、 d 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 设平面 pad 与平面 p、 b、 c 的 交线为 l。 第一问，证明 l 垂直于平面 p、 d、 c。 第二问，已知 p d 等于 a， d 等于一， q 为 l。 上一点求 p、 b 与平面 q、 c、 d 所成角的正弦值的最大值。咱们的大方向很明确，第一问，先按几何定力推导转化交线。第二问，果断间隙，用空间向量把最大值转化成代数问题。 咱们先来看第一问题目，让证明交线 l 垂直于平面 p、 d、 c。 这里有个非常重要的技巧，遇到面和面的交线，千万别去瞎猜它在哪，一定要去找这两个面里有没有平行的直线。 你看平面 pad 和平面 pbc， 这两个面分别包含了正方形的一组对边，也就是 a、 d 和 bc。 因为底面是正方形，所以 a、 d 平行于 bc。 接下来我们要做什么呢？我们要把线段平行转化为线面平行。你看 a、 d 平行于 bc， 而 bc 在 平面 pbc 内， a、 d 又不在平面 pbc 内，所以 a、 d 就 平行于平面 pbc。 这步很关键，很多同学在这里会犯错，跳步直接得结论，咱们必须严谨。既然 a、 d 平行于平面 p、 b、 c。 并且 a、 d 在 平面 pad 内，平面 pad 和平面 p、 b、 c 的 交线是 l。 根据线面平行的性质定律，咱们就可以得出 a、 d 平行于 l， 好 找到了 l 的 方向。接下来咱们就来证明 a、 d 垂直于平面 p、 d、 c。 只要证明了它，再替换成 l 就 行了。 我们要找两条相交直线和 a、 d 垂直。先看已知条件， p、 d 垂直于底面 a、 b、 c、 d。 而 a、 d 在 底面内，所以 p、 d 垂直于 a、 d， 这是第一个垂直。 再看底面 a、 b、 c、 d 是 正方形，所以 c、 d 垂直于 a、 d， 这是第二个垂直。 p、 d 和 c、 d 都在平面 p、 d、 c 内，而且它们相交于点 d， 所以 咱们就得到了 a、 d 垂直于平面 p、 d、 c。 最后，因为前面咱们挣了 l 平行于平面 p， d、 c， 所以 l 也就垂直于平面 p、 d、 c。 第一问咱们就完美拿下了。 接下来咱们看第二问，求线面角的正弦值的最大值。看到这种有具体边长，而且垂直关系非常明显的题，咱们果断建立空间直角坐标系， 以 d 为圆点， d、 a 所在直线为 x 轴 d、 c 所在直线为 y 轴， d、 p 所在直线为 z 轴。题目说 p、 d 等于 ad， 等于一正方形，边长也是一。咱们把关键点的坐标写出来， d 是 圆点零零， a 是 零一零， b 是 一一零， p 是 零零一。 这步千万别写错，写错后面就全军覆没了。现在我们要找点 q 的 坐标 q 在 直线 l 上。第一问，咱们得出了 l 平行于 a、 d， 也就是平行于 x 轴，而且 l 过点 p， p 的 坐标是零零一，所以直线 l 上的点，它的 y 坐标永远是零， z 坐标永远是一，只有 x 坐标在变， 所以咱们可以设 q 的 坐标为 m 零一。接下来我们要算 p b 与平面 q、 c、 d 所成角，先求向量 p b， 用点 b 的 坐标减去点 p 的 坐标，得到向量 p b 等于一，一负一。然后求平面 q、 c、 d 的 法向量。设法向量 n 等于 x y、 z。 平面里有两个好用的向量，一个是向量 dc， 坐标是零一零，一个是向量 d， q 坐标是 m 零一， 法向量 n 要和它们都垂直，所以法向量 n 点乘向量 d， c 等于零，也就是 y 等于零。法向量 n 点乘向量 d， q 等于零，也就是 m 乘以 x， 加上 z 等于零，咱们令 x 等于一，那 z 就 等于负 m， 所以 法向量 n 的 坐标就是一零负 m。 有了向量 p b 和法向量 n 线面角正弦值怎么求呢？它就等于向量 p、 b 和法向量 n 的 数量积的绝对值，除以它们长度的乘积。咱们把公式展开，分子是数量积的绝对值，一乘以一，加上一乘以零，加上负，一乘以负 m， 算出来是一加上 m 的 和的绝对值。 分母是长度相成像量 p b 的 长度是根号下一的平方，加上一的平方，加上负一括号的平方，也就是根号。三、法向量 n 的 长度是根号下一的平方，加上零的平方，加上负 m 括号的平方，也就是根号下一加上 m 的 平方， 所以正弦值就等于一，加上 m 的 和的绝对值除以根号三乘以根号下一加上 m 的 平方。 题目要求这个式子的最大值带根号和绝对值不好看，咱们把它整体平方一下。平方之后，分子是一加上 m， 括号的平方展开就是 m 的 平方加上一 分母是三乘以括号 m 的 平方加上一，咱们把分子拆开写成 m 的 平方加上一，再单独加上二 m， 这样整个式子就可以化简为三分之一乘以括号一，加上分子是二， m 分 母是 m 的 平方加上一。 这里到底是在找上界还是找下界呢？咱们要求最大值，也就是要求后面这个分式的最大值。当 m 小 于等于零的时候，这个分式小于等于零，显然不是最大。 当 m 大 于零时，咱们把分子分母同时除以 m， 分 式就变成了二除以括号 m 加上 m 分 之一。大家看，分母出现了 m 加上 m 分 之一，咱们立刻想到基本不等式， m 加上 m 分 之一，大于等于二，所以这个分式小于等于二除以二，也就是一。当且仅当 m 等于一的时候取等号。所以整个式子平方的最大值就是三分之一，乘以括号一加一等于三分之二。既然平方的最大值是三分之二，那么正弦值的最大值就是对三分之二开根号，也就是三分之根号六。 所以咱们最终求出 p b 与平面 q c、 d 所乘角的正弦值的最大值就是三分之根号六。这道题咱们就做完了，大家回想一下这题真正值钱的地方不是算得多，而是第一步交线 l 的 转化以及最后一步求最值时对基本不等式的熟练运用。 记住咱们的口诀，遇到交线找平行，求最值，除以 m 用均值。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下，数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划， 高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群最后留一道同类思考题给大家。 四棱锥 p a， b， c， d。 底面为矩形， p a 垂直于底面 a， b， c， d。 平面 p a， b 与平面 p c， d 的 交线为 l。 若 p a 等于 ab 等于二， ad 等于一， m 为 l。 上一点求 p c 与平面 m， a， d 所成角的正弦值的最大值。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区！
56杨老师数学冲刺
07:46查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？这段时间我在免费给同学们做数学摸底，一人一份分析报告和提分规划，高一、高二、高三都可以。我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路！ 这是二零二零年山东新高考一卷的第二十一题导数大题，想冲一百三十分以上，这道题必须三分钟内拿下核心思路， 很多同学看到第二问的参数和对数混在一起，一上来就硬算求倒，基本就掉进出题人的坑里了。这题真正值钱的地方不是算的多，而是先观察结构，通过只对同构，把复杂不等式瞬间降维。 咱们来看看题目，已知函数 f x 等于 a 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n x， 再加上 l n a。 第一问，当 a 等于 e 时，求 y 等于 f x， 再点一逗号 f 一 处的切线与两坐标轴为成的三角形面积。第二问，若 f x 大 于等于一，求 a 的 取值范围。 咱们先搞定第一问的切线常规操作，再在第二问用同构大法一招制敌。先来看第一问，当 a 等于 e 的 时候，咱们先把 a 代入圆函数 a 换成 e， 前面第一项就是 e 乘以 e 的 x 减一次方，比数相同，指数相加一，加上 x 减一，就变成了 e 的 x 次方，后面加上 l n e， 因为 l n e 的 值是一，所以化简后 f x 就 等于 e 的 x 次方，减去 l n x 加上 e。 题目要求在 x 等于一处的切线，咱们需要两个关键信息，一个是切点的纵坐标，另一个是切线的斜率， 先算纵坐标。把 x 等于一，代入化简后的 f x， 得到 f 一 等于 e 的 一次方，减去 l n 一 加上一。因为 l n 一 等于零，所以纵坐标就是 e 加一，那切点坐标就是 e， 逗号 e 加一。 接下来算斜率，这需要对 f x 求导。 f x 等于 e 的 x 次方减去 l n x 加上 e 求导的话， e 的 x 次方导数还是 e 的 x 次方 减去 l n x 的 导数，也就是减去 x 分 之一。常数一的导数是零，所以导函数 f 撇 x 就 等于 e 的 x 次方减去 x 分 之一。把 x 等于一。代入导函数得到斜率 k 等于 e 的 一次方减去一分之一，也就是 e 减一。 现在点和斜率都有了，咱们用点斜式写切线方程， y 减去纵坐标，也就是 y 减去括号一加一，等于斜率一减一，整体乘以括号 x 减一。 这里有个非常重要的技巧，算面积需要拮据，所以我们要把方程展开化简。先看等号右边，把一减一乘进去，就是括号一减一，乘以 x， 再减去括号一减一。接着把等号左边的减去，括号一加一，移向到右边，就变成了加上一，加上一。 现在右边的长竖向是减去 e 加上一，再加上 e 加上一，负一和正一，抵消了一加一等于二。所以切线方程化简为 y 等于括号， e 减一，乘以 x， 再加上二。 那最后求三角形面积，咱们得找出这条切线和 x 轴 y 轴的交点，令 x 等于零，得到 y 等于二，这就是在 y 轴上的截距，再令 y 等于零，把二移到左边，变成负二，两边同时除以一减一，得到 x 等于一，减一分之负二，这就是在 x 轴上的截距。 直角三角形的面积等于二分之一，乘以底乘以高，也就是二分之一乘以 x 截距的绝对值，再乘以 y 截距的绝对值，二分之一乘以一减一分之二，再乘以二。二分之一和二约掉一个，最后面积就等于一减一分之二。第一问，咱们就顺利拿下了， 接下来看第二问。这步很关键，也是这道题的核心题目说 f x 大 于等于一，求 a 的 取值范围。很多同学在这里会犯错，直接对原函数求导，结果发现导函数里既有指数又有对数，根本解不出零点，这里到底是在找什么？ 看到这种同时出现 e 的 指数和 l n 对 数，而且结构有些对称的不等式，咱们先别急着算，先想想能不能凑同构。 先把原不等式写出来。 a 乘以 e 的 x 减一次方，减去 l n， x 加上 l n， a 大 于等于一。 因为题目里有 l n x 和 l n a， 真数必须大于零，所以 x 大 于零， a 也必须大于零。咱们把含有 x 的 对数移到右边，常数一也留在右边。不等式变成 a 乘以 e 的 x 减一次方，加上 l n， a 大 于等于 l n， x 加上一。 注意，这里左边的系数 a 可以 写成 e 的 lna 次方，把它带进去，左边第一项就变成了 e 的 lna 次方，乘以 e 的 x 减一次方，底数都是 e， 指数相加，就变成了 e 的 x 减一，加上 lna 次方。现在不等式左边是 e 的 x 减一，加上 lna 次方，再加上 lna。 你看，左边指数里有 x 减一，加上 l n a， 但外面只有一个 l n a， 缺了个 x 减一怎么办？非常简单，咱们在不等式两边同时加上 x 减一，加上之后，左边变成了 e 的 x 减一，加上 l n a 次方，再加上括号 x 减一，加上 l n a。 右边原来是 l n， x 加上 e 加上 x 减一之后，一和负一抵消了，右边就变成了 l n， x 加上 x。 右边这个单独的 x， 咱们可以看作是 e 的 l n x 次方，所以右边就是 e 的 l n x 次方，加上 l n x。 大家仔细看现在的两边，左边是 e 的 某个式子，次方加上这个式子，右边是 e 的 l n， x 次方，加上 l n， x， 两边的结构完全一样了。这就启发我们构造一个新函数，设 g t 等于 e 的 t 次方加上 t， 两边的结构完全一样了。 t， 显然 e 的 t 次方是单调递增的， t 也是单调递增的，所以 gt 在 整个实数级上是一个单调递增函数。既然 gt 单调递增，而我们得到的不等式本质上就是 g 括号 x 减一，加上 l n， a 大 于等于 g， 括号 l n x。 因为函数递增，外面的 g 去掉里面的自变量，不等号方向不变，所以得到 x 减一，加上 l n， a 大 于等于 l n x。 到了这一步，参数 a 就 被我们成功分离出来了。把 x 减一移到右边，得到 l n， a 大 于等于 l n， x 减去 x 加上一 题目要求这个不等式横乘立，那这个不等号限制的是最低值还是最高值呢？显然 l n， a 必须大于等于右边这个函数的最大值。咱们设右边这个函数为 h， x 等于 l n， x 减去 x 加上一对他求到 h 撇 x 等于 x 分 之一减去一通分一下就是 x 分 之一减 x， 因为 x 大 于零，分母是正的。当 x 在 零到一之间时，一减 x 大 于零，倒数大于零， h x 单调递增。当 x 大 于一时，一减 x 小 于零，倒数小于零， h x 单调递减。所以 h x 在 x 等于一的时候取得最大值。 把 x 等于一代入 h， x 得到最大值。 h 一 等于 l n 一 减去一加上一， l n 一 等于零，负一加一等于零，所以最大值就是零。 既然右边的最大值是零，那 lna 就 必须大于等于零。零可以写成 lna 一， 所以 lna 大 于等于 lna 一。 底数 e 大 于一，对数函数单调递增，所以 a 大 于等于一。最后得出结论， a 的 取值范围是区间从一到正无穷。 咱们来总结一下这道题的最终答案是，第一问，三角形面积等于 e， 减一分之二。第二问， a 的 取值范围是区间从一到正无穷。 大家记住一个口诀，遇到只对同框，先别急着求导，先想办法凑同构，左边缺什么补什么，把参数单独剥离出来，剩下的求导找最值就水到渠成了。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下，数学的学习要从自身的实际情况出发，而不是盲目的刷题题，刷了一堆分数纹丝不动。 这段时间我在免费给同学们做一次数学摸底，你把摸底做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口就在评论区的杨老师摸底规划群。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 f x 等于 x 乘以 e 的 x 次方减去 a 乘以 l n a， 若 f x 大 于等于零，求正实数 a 的 取值范围。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
62杨老师通关数学
