2022新高考一卷数学第7题
第七，体比较大小给的这三个数呢，我们会发现都属于不同的形式，并且不太容易找到一个中介值，跟他们产生一个联系。 所以我们想到构造函数 a 的形式比较容易看，是一个常用的超越函数，就是 x 乘 e 的 x 方，那这个 b 应该怎么构造呢？如果构造成 x 分之一，会发现呢？ a 是把零点一带入 x， 但是 b 呢，是把九带入 x， 这两个 x 就不同步了。为了让他们的自变量同步，我们可以把这个 b 啊写成零点一除以零点九， 也就是零点一除以一减零点一，这样的话我们就可以构造一个函数，是啊， x 除以 一减 x， 相当于把零点一带入进去，可以得到 b， 这样他们两个 x 就同步了。而 c 呢，负的浪按零点九，可以看成是啊负的浪按一减零点一， 那么同样是把零点一带入一个负的 long， 一减 x 这个函数可以得到 c。 接下来我们比较 a 和 b 的大小，由于都是把零点一带入函数，所以我们可以把定义域限制在 x， 属于 左开右臂区间，零到零点一，那么要比较他们两个的大小关系，由于 x 是大于零的，其实只需要比较 e 的 x 次方与一减 x 分之一的大小。由于这两个都是大于零 的，我们可以对他们同时取朗恩，就是比较朗恩义的 x 方与朗恩一减 x 分之一他们的大小关系。而这个一减 x 分之一可以写成一减 x 的负一次方。 负一提前就是负的浪人一减 x， 那么左边化减是 x， 所以现在只需要比较 x 与负浪人一减 x 的大小关系，我们可以对他们做差， 设一个函数 fx 等于 x 减去负的这个 long， 也就是加 lin。 一减 x 定义就限制在零到零点一， 那么对 fx 进行求导，发现他的导等于一减一减 x 分之一等于一减 x 之负 x， 由于 x 在这个范围内，所以他是一个小于零的导航数小于零，说明原函数 fx 在零到零点一这个区间内单调递减， 所以 fx 必然小于 f 零， f 零带入进去是零，加乱一正好等于零。 由于 fx 是这个函数，减去这个函数，它小于零，我们可以得到 x 小于负的 line 一减 x， 那么从这里按照这个顺序再倒回去，它小于它，它就小于它，于是这个就小于这个 x 倍的一的 x 方小于一减 x 分之 x， 我们现在把零点一带入他的两 短端，所以得到零点一亿的零点一次方小于啊，零点一除以一减零点一，也就是九分之一，于是我们得到 a 小于 b， 我们下个视频继续。
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零点九，我们先来看看 c 吧， c 他说等于负的 non 零点九，变形一下，画脸一下， 把符号拿上去，就是九分之十，就是 non 九分的十，说白了就应该等于 no 一加九分之一，你不觉得他跟 b 长得有点像吗？ b 就是九分之一吗？对不对？ b 应该等于九分之一， 你不觉得这两个人长得很像吗？典型的他就是哪个？就是我说的这个，这个解放手，只不过把 x 取成，取成，取成这个九分之一嘛，对不对？ 取成九分之一吗？所以九分之一大于等于 no 九分之一加一，所以也就是我们的 b 大于等于 c， 那 b 能不能等于 c 呢？是不能的，什么情况？只要取 c 取这个等号，是这个 x 取零的时候， 能理解吗？ x 取零的时候，很明显，我这个 x 取的九分之一，他不是零，所以这个地方取不了的。好，所以我们得出 bc 比较大。好，这里看看 a 吧。 a， a 等于零点一的日的零点一四方 a 比较难一点，因为我们正常的对他进行倾向方说，你看日 多少次方，我们想到这两个对不对？这个我们试一试第一个，试一试第一个，那就他就应该是怎么了？大于等于零点一乘以日的零点一次方，说白了就是零点一加一，他就应该等于多少？应该等于零点幺幺， a 是比零点一一要大的，而 b 等于九分之一，九分之一你自己就算一下，他就应该等于零点幺幺幺幺幺幺幺。选还很明显， b 也是比他要大的，所以你根本看不出 a 和 b， 所以更大，两个人都比零点一一大，但是你能说的说的看得出 a 和 b 谁大吗？看不出来，所以我们这样切电话说是不行的， 该怎么办呢？我就想到了下面这个解决方式，这里面也有日 x 对不对？只不过你把它稍微变形一下呗，你把日 x 发到右边来，那不就变成了日的 x 方小于等于一减 x 分之一吗？能不能把一减 x 存过去呢？因为我 x 这里面是取零点一，当然是可以数过去的，所以我们就得到了。你看 a 等于零点一乘以 日的零点一次方，他就应该小于等于零点一乘以多少？乘以一减去零点一分之一，说白了就应该等于零点九，嗯，零点九，嗯，九分之十是吧？ 来个三，零点九，十分之九，九分之十，九分之十，也就是等于九分之一，是吧？我们会发现 a 比九分之一要小，当然能不能取的号肯定是取不到，什么时候取的号，哎，他是取零的时候取的号，所以他是取不到的号的，所以我们立即可以得出 a 小于一， 不是？所以 a a 比 b 小， a 比 b 小， c 也是比 b 小的，我们可以得出应该是 b 最大，但问题是 a 和 c 的大小我们也是要比较的，所以我们到目前为止可以排除 a 与 b 打。那 a 和 c 的大小管理我们怎么去处理呢？那这个我只能采用各招函数，怎么办呢？就是我 叫 a 和 c 随大随小，就差就是 a 减 c 等于什么呀？就应该等于零点一乘以日的零点一次方，那就应该是加上 nine 零点九，然后怎么办？把它的数字都写成同一个数，那就应该等于零点一日的零点一次方，然后加上 non 一减去零点一， 然后怎么怎么看？然后我们就构造出了一个新的函数， fx， 这个函数你看，我就把它构造为 x 乘以一点 x 加上 n 一减 x。 说白了我只需要研究一下 f 零点一到底是正的还是负的不就行了吗？ 我只要看 f 零点一的正，负心，能理解吗？那 f 的正负心怎么去研究呢？说白了我要研究这个函数单调性很明显，这个函数超越，而我们现在对应的这个函数零点，能不能看出来？能不能看出来这个函数零点？你把零带进去试一试。哎，零带进去正好是什么呀？我把零带进去，正好发现这个函数的 f 零正好等于零，说明什么意思？ 说明这个函数 f 零等于零。如果我知道这个函数，举个例子，他在零到一场单调 dc， 那我的 f 零点一一定是真的，明白没有？所以接下来我们需要研究 fx 单调性。那 fx 单调你怎么去研究？那必然就是求导了，我们来找一找， 一接到就应该等于 x 加一乘以日的 x 次方，嗯，然后是减去一减 x 分几。其实我们只需要研究零到一之间，为什么呢？因为我们 x 是取零点一的，所以我只需要研究零到一区间上的单调性就行了。好，我们来看看他的单调性是什么样子？零到一上，这个肯定是真的。那这个呢？ 这个含片也是真的，真的减，真的，嗯，判断不出来，判断出，判断不出胆子，行，怎么办？继续打吧，只要你判断不出来，继续打。二跌倒，那就变成了 x 加二乘以一的 x 次方，然后减去。嗯，一减去 x 夸的方阵计，那 他的代表性知道吗？这个肯定是真的，本来是真，他本来是真，然后倒过来是单调立减，那真减减，真减减，那必然。这个函数一定是单调立正，这个函数二阶倒，一定是单调立正。我们来看看二阶倒在零这块去多少？把零倒进去 就是二减一。二零什么意思？二届岛在零这一块，二阶岛的含出来大概是这个样子，就是在零这一块，他可能是正的，明白没有？而且他是一个单调递增，那就说明什么意思？说明二阶道一定是正数，一定是正数，那就说明一届岛一定是单调递增，在慢慢的往上退，一届岛一定是单调递增。 一届岛，既然他是一个单的地震，我再来看看一届岛在零这一块去多少？把零带进去，嗯，一减一，然后等于零。什么意思？一届岛的含出来就算了，在零这一块上去零，对不对？而且他是一个单的地震，说明什么意思？说明一届岛也是一个正数，一届岛是一个 正数，永远都是正数，那我们就可以得出 f 的原函数达到地震，原函数单调递增，说明什么意思？说明，而我知道在这个零这块，他是取零吗？对不对？所以原函数他是这个样子，所以我要求的 f 零点一， f 零点一肯定在这个地方，所以他一定是真的 f 零点一一定是大于零的，所以他一定是大于零的。 所以我们就得出了 a 一定是大于 c 的，而 b 是最大的，所以 b 大于大于 c， 所以这道题目我们就求出来了。这道题目还是比较难的，选择 c。 我们利用气象放缩，这道题目不仅利用到了气象放缩，还利用了各招函数研究，大家去研究这一则 好。当然这道题目有很多同学说，这道题目用高等数学的态度展开，能不能做是可以的，而且是直接秒杀掉。泰乐展开是个什么东西？我给大家简单说一下吧。好吧，泰乐展开，泰乐展开是这么说的，他说对于任何一个函数，我们都可以用 一个多项式函数对他进行逼近，什么意思呢？最常见的我们指数函数、对数函数，包括正前函数、余线函数，我们都可以把它化成一个多相式函数，用这个多相式函数来逼近他，怎么来逼近呢？就是 fs， 任何一个函数， 他应该等于在其中某一点的函数值加上这这一点的导数，一阶倒除以一的阶乘乘以 x 减去 x， 零， 加上在这个点的二阶岛除以二的阶层乘以 x 减去 x 零的平方，一直而无限的加下去，那你加吧， 这就是这个，这就是态度展开。你想一下， fx 就是一个数字，一接倒把一个是那个，他也是一个数字，他也是一个数字，这不就是关于 x 的一个多项式的函数吗？当然，当 x 零取零的时候，当 x 零取零时，他就变成了 f， fx 就应该等于 f 零加上 f 零除以一的阶层，就是 x 加上二的阶层， f 二接到零，然后是 x 的平方，等等等等等等无限加热，这就叫做麦克劳林展开，麦克劳林不是人的名字啊， 当然你不需要管这么多，为什么呢？因为高中也不可能考他，你只要会一点点就行了，你只要会用就行了。好，那这个地方我们就可以把我们高中常见的几个函数举个例子，像日本 x 四方这个函数，我们利用快乐展开，展开之后你就会发现，他应该等于一加上 x 加上二的阶层分子， x 的平方加上三的阶层分子 x。 三层后面都不需要了，后面都不需要了，因为我们高中只要研究前三个就够了，你只要会前三个就够了。后面你都不需要记了。后面还有很多无数个也不需要记了，你只要会前三个 就够了。好，同样的，我们常见的还有相当于 x 加一这个函数，就应该等于 x 减去二分之 x 方，然后加上三分之 x 的三次方，后面还有五十个，不要管他，你会前三个就 ok。 当然还有正弦，像上映， x 就应该等于什么呢？就应该等于 x 减去三个阶层 x 的三次方 加上五的阶层 x， 五次方，后面不要管了。同样的，我们还有余弦，余弦就应该等于科三， x 就应该等于一减去二的阶层 x 的平方加上四的阶层 x 的四次方，后面不要管了。所以你基本上会这几个展开式就 ok 了。什么意思呢？你只要会这几个东西，那这一道题目就简单了，你首先来看看。 呃，像这个 bb 选项 b， 说白了就应该等于九分之一，九分之一就是什么呀？你算一算呗，你不会算吗？小学的计算吗？一除以九吗？等于零点一一一一一，无限的玄幻下去。我们再来看 cc 就 等于什么呀？负的 nine 零点九他就应该等于什么呀？把符号拿上，取十分就九分之十，九分之十不就是 noying 一加九分之一吗？ 说白了他的展开不就有了吗？他的展开不就是他吗？然后把这个 x 全部换成九分之一不就行了吗？所以他就应该等于九分之一，减去二分之九分之一的平方，加上三分之九分之一的立方，所以你就可以把它算出来， 这不就是一个小学的运算吗？对不对？这个我就不算了，算出来大约应该是零点幺零六，你自己算一算，这就是小学运算了，对不对？好，再来看看。哎哎，最复杂的零点一，日的零点一四方吗？ 不就等于零点一乘以日的零点一次方吗？日的零点一次方，我们利用这个展开不就出来了吗？这个展开，嗯，就是令 x 等于零点一嘛，对不对？就是，嗯，等于多少？一加上零点 一，加上二分之零点一的平方，你自己去拆开来算一算，我就不算了，应该是零点幺幺零五。很明显， abc 三个数我们都用小数表示出来了，谁大谁小赢不了了。 b 大于 a 大于 c， 所以这道题目就秒杀大于了。所以胎的展开，我们在高中里面只要会这么一点点就够了。对于一些比较大小的题目啊，我们都是可以处理的。好，那，呃，一， 当然，如果考了大理，我这边再说一丢丢，如果考了大理，你用到这个东西，其实他是大于他的，明白没有？那如果你要用到他，你需要对他进行证明。怎么证明呢？其实很简单，就是把他移到左边就更早。函数研究这个问题跟期间方式的证明是一模一样，能理解吗？所以，呃，那这几个就给大家讲这么多啊，大家回去好好体会一下。
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我改一种写法，其实就是十分之一。哦，那我懂了，那一减去多少？一减去十分之九和捞按九分之十，你看一个十分之九，一个九分之十，他俩就是到处的关系。所以接下来勾到什么样的函数，你应该是有想法了吧？实际上的话你看，嗯，我们右边 就直接把它写成乱 x， 这个 x 的话，其实就是那个九分之十啊，他是大于一的，然后左边的话应该怎么办呢？你应该减的是一减去 x 分之一吧，他俩是倒数的关系，所以我们接下来构造怎样的函数呢？构造完函数之后呢，比较这个函数跟零的大小就行了。 构造一下啊，这个 fx 等于 lowrx， 减去谁啊？减去一减 x 分之一，其实就是 lowrx 加上 x 分之一，再减一就是他的，其实 这个 x 呢，就是多少？就是我画圈的这样一个九分之十，所以我们让 x 大于一就可以了。那继续来啊，接下来的部分呢，就是讨论这个 fx 他究竟是比零大还是比零小就行了。那求导呗。那我继续求导了啊， 这个非常简单啊，求老，以后的话稍一化点，就是这样一个结果，你要注意的话是 x 是怎么样的？ x 是大于一的，所以呢？ 好，大于零对吧？导航数大于零的话，就意味着元函数大量递增，而且你算一下这个 f 一特殊值吗？ f 一等于几？ 再入他等于多少啊？啊？老按一再加哦，他等于零啊，所以应该清楚了吧。所以说这个 f x 他是怎么样的？他在这样一个一到正无穷上是单调递增的。那既然单调递增的话就好说了，所以说 本身这个 f 九分之十肯定大于 f 一等于几啊，肯定是大于零的吧。那既然大于零的话很好讲，那实际上就是 lower 多少喽？按九分之十减去一，减去十分之九，他大于几啊？大于零吗？大于零的话不就相当于这个 b 减 a 大于零，所以说 b 大于 a， 你看构造函数还是很好用的吧。 所以现在我们第一步就求出来 b 大于 a 了。好比完 a 和 b 之后呢，首先我们再比一下这个 a 和 c， 那这些部分我就先擦掉了啊，看一下 a 和 c， 还是看他们俩长得什么样子，一个是零点一， e 的零点一。 呃，这个的话，我们可以构造一个 x e 的 x 次方，这个再说啊，我们还看一下 c 的形式， c 的话是负的，劳恩零点九，这个零点九和零点一 加起来不就是等于一吗？所以我们改造一个样子，它实际上就是一减去零点一。那好了，左边啊，这个 a 我们构造成什么样子呢？其实就只需要构造成 x 乘 e 的 x 次方，右边的话就是捞按一减 x 就行了， 是吧？嗯，那接下来的话只需要做一个叉，当然你需要注意的是啊，这个 x 肯定是零点一，他其实就是零到一之间的这样一个正数就行。 那构造另外一排数 gx， 它是等于 x 乘 e 的 x 方，减去这个捞一减 x 的二，当然前头有个负号， 那整理一下吧，整理之后的话就变成了 x， e 的 x 方加上劳恩一加 x 就行，当然要注意 x 的取出范围啊。那么继续来看，实际上 x 就是那个零点一，那有一个特殊值，这个 g 零和 g 一，一和零一般都是特殊值啊， 你把这零带入零，再加上捞按一，那不还是零加零，他最后等于零了，这还是挺有用的啊，那导航数肯定需要求一下，这个求导完了之后的话，长这个样子我就直接画了啊。嗯，可以确定的是， 他这个分母肯定是负点，因为 x 是零到一之间的一个数字，但是分子没办法，分子没办法的话，那分子我们只能构造另外一个函数了， x 方减一， e x 加一。我们现在就是想确定一下，当 x 在零到一之间的时候，这个 hx 究竟是正的呢，还是负的，对吧？这一点还是挺重要的。 嗯，怎么判断呢？来还是继续啊。首先有一个特殊值， h 零，咱们求一下，这个看求出来是多少啊？ h 零，那不就是负一乘一的零，次方乘一再加，哦，它是等于零的啊，这个 还是挺重要的。那现在我们可以求到了，求到完了之后，我直接整理成最终的结果啊， x 方加二， x 减一。大家要注意的是，这个一的 x 次方，他肯定是正的啊，这个不用多说什么。那右边这一部分的话，究竟是正还是负？这个你讨论一下 关于 x 的这样一个抛物线的形式就行了，这个很容易得出来啊。肯定啊，当什么当 x 在零到根号二减一之间的时候呢？他这个 x 方加上二 x 减一，这个整体 他是负数啊。那你想啊，这个零点一在不在这个零到根号二的简易里头？肯定是在的啊，因为根号二约等于一点四吗？他是零点四几几，对吧？所以说肯定为负的，为负的话，所以说这个 h 片本身就小于零了。 h 片小于零的话，所以 h x 在哪啊？在这个零到根号二减一之间是单调递减的，所以 hx 小于多少？小于 h 零小于零，小于零的话，小于零。也就是说这个分子是什么呀？ hx 实际上就是这一部分的分子，分子也是负的， 那反而就负负得正了。你看啊，他为什么？他，当然啦，是正数还是负数啊？这片当然就为正了，他在哪为正呢？在零到跟二减一之间为正的那 时间这片为证的话，所以现在应该清楚了吧，这零点一他是大于这零，他是大于零的，实际上你带入这个零点一，带入这个解析室里头的话，实际上也就是零点一，一的零点一四方大于这个副的，老按一减去零点一，那不就 就是 a 大于 c 的意思吗？第一问的话，我们是求出来谁啊？求出来 a 小于 b， 就第一种情况， a 小于 b， 所以最终综上所述一下，我们比掉了两个大小就可以了吧？ c 小于 a 小于 b， 是吧？所以这道题选 c 就行。这个呢，是选择题小题里头最有代表性的一道题目了。 第七题讲完了之后的话，后边这些题目大家浏览一下就行。很多题目还是需要花时间的，比如说第九题到十二题，他是多选题，每一个选项都得看过之后才能够确定，对吧？然后你往后看嘛， 现在我想讲的是大体里头最经典的一道，哪个题呢？二十一题，现在你看好了啊，这个二十一题。二十一题的话，先来看这个第一问吧，他说的是点 a 在这样的双据线上，那我们首先得把这个双据线，其实也就是把 a 方把 a 求出来，把这个参数怎么求这个参数？ 他题目的话说的是点 a 在这样的双据线上，然后直线 l 分别交 c 于 pq 两点，然后 ap 和 aq 的斜率之和为零，然后如何求这个 l 的斜率呢？ 这样来看，你有题的话，肯定知道 l 的斜率是存在的，他如果不存在垂直的话，那点 a 就应该是左右顶点的位置，点 a 不是左右顶点啊，所以说 l 的斜率肯定存在，只要你知道就行。那我们先求一下这个双面线长什么样子吧。这个好说啊，带入 点 a， 这个二十多号零，但是以后的话就变成了 a 方分之四减去 a 方减一分之一等于一，是吧？然后化减一下。嗯，化减一下啊，化减的话之后就很简单了，变成了 a 的四次方减去四， a 方加四等于零，然后呢，就算出来这个 a 方是等于几的， a 方是等于二。所以说这个双曲线的方程我就直接写了啊，你把 a 方等于二带入，那其实就是，嗯，二分之 x 方减去一分之外方等于一，这个是双曲线。 那么刚才咱也说过，这个 l 的斜率肯定是存在的，有理可治，它的斜率存在，所以我们在假设的时候啊，直接假设这个 l， 它的简易式是 y 等于 kx， 不要加 b 了啊，要不然跟这个双线有可能重合了，咱就加 m。 那现在双据线和这个直线的话，需要连理一下。 当然假设的过程中，咱肯定一开始也是要假设这个点 p 和点 q， 他是坐标的，分别是 x 一， y 一和这个 x 二 y 二，连理一下啊，连理完了，其实他需要计算量还是挺大，我就直接写最 最终的结果了，他是二 k 方减一 x 方再加上四 km， x 再加上二 m 方加二等于零，就是这样啊，然后你看 x 一加上 x 二，这是等于多少啊？等于负四 km 比上二 k 方减一，然后 x 一乘维拉定理吗？这个相信大家都会，这个是二 m 方加二，二 k 方减一就是他了。 那接下来还有哪个条件没用过呢？不就是 ap 和 aq 斜率之后为零吗？那就写上啊 ap 加上 aq 斜率，这个两点之间斜率攻守我就直接套了啊， x 一减二分之，然后外一减，然后也是啊， x 二减二分之外二减去一，然后 整理一下。当然了，你这个外要变成 x 的形式，我就再变一步吧，这个就变成了多少？变成了 kp 的 x 一加上 m 减一，然后后边也是这个是 x 二减二， 这是 k 倍的 x 二加 m 减一，那等于多少？等于零？等于零的话，还是需要化减的啊，化减之后这个式子也是挺复杂的，需要花很长的时间。那行了，咱们就接下来化减一下啊， 化解以后的话，这个狮子里头只含有 x 一加 x 二和 x 一乘 x， 看了这个 x 一加 x 二， 他乘的是二 k， 他这个系数，这个要注意。然后呢，这个 x 一加 x 二，整理之后是 m 一减去啊一，再减去二 k， 这个是 x 一加 x 二，放到一块后边啊，就是不含有 x， 那就是负四倍的 m 减一等于零，那接下来肯定是带有圈一啊，把这个 x 一加 x 二还有 x 一乘 x 二都换成 k 和 m 的这样一个表达式，那最终会化减成什么样子呢？经过很多很多的计算，最终会化减成 k 加一，然后 m 加上二， k 减一等于零的形式。 不过你需要注意的是，因为点 a 他不在哪，因为点 a 他是不在 l， 也就是不在外，等于 kx 加 m 上的 只有啊，只有点 a 二到一带入之后，他这个才能成立，才能等于零，所以他肯定不等于零啊，点 a 不在上边，所以只有可能是 k 加一等于零了。 k 加一等于零不就是 k 等于负一的意思啊。所以说第一问的话，咱们已经求出来了，这个直线 l 他的斜率就是等于负一的，这第一问也还好，但是计算量非常大。 我们现在继续来看这个第二问。第二问的话大概是需要画这样一个图，我先画一下吧，然后他们之间的这样一个倾斜角，一个是碑的，一个是 rf， 这个应该是没问题的。那我们看图的话肯定是可以看出来。首先这个第二题 rf 加上碑的， 他是等于派的，没问题吧？他是有什么推出来的呀？他其实就等价于这个 ap 斜率加上 aq 斜率等于零，就代表了他们的倾斜角质和是等于派的，这个是第一条，还是挺重要的， 那另外还有一条，还有哪一条呢？你要注意的是他给的条件是贪正的 paq。 那行，那我继续来写了啊，贪正的 paq， 其实贪正的 paq 的话，咱们先来研究一下这个角吧。首先根据外角关系，这个角 paq 再加上 f 肯定是等于 外角杯子的三角形外角关系，所以说这个角 paq 他是等于多少？等于杯他减去 f 的，所以说瘫着的角 paq， 他其实就相当于 贪真的脚多少啊，其实就是背的减去 r 分，现在你把圈一带入吗？带入以后的话，实际上就是多少，就是贪真的派减去 r 分，再减 r 分，那就是减去二倍的 r 分等于多少啊？等于 r 分。好，二， 那你要注意的是，你说摊着的 r 和摊着的派件 r 法，当两个脚互补的时候，你说他们之间的摊着的值也就是正确值，什么关系？ 是反过来是相反数的关系，对吧？那接下来就是什么公式了？就是二比较公式了吗？那再往后边写就行了啊。嗯，接下来我们就是想算出来这个摊子的 f 究竟 多少看了，根号二倍的瘫着呢， f 的平方减去瘫着呢， f 减去根号二。这个很简单，我们可以得出来。求助下，这个瘫着呢 f 等于多少啊？等于根号二啊。 既然贪着呢儿不等于更换二的话，那你想一想，贪着呢儿不等于更换二，那贪着呢背的不就是负的 根号二吗？所以 ap 和 aq 直线应该都有了吧。 ap 看一下啊，它等于多少？等于根号二倍的 x 减二加一。为什么减二加一？因为过 a 点啊。 a 点坐标不就是二等于一吗？这个还是很简单的啊，点些是， 那再继续了。呃，还有一个，这个 aqaq 的斜率实际上是等于负的根号二，那就是外等于负的根号二 x 减二，然后再加一，这个也是没有什么问题的。 那接下来需要跟谁连理啊？肯定是需要跟谁需要跟双曲线连理一下。那接下来看了啊。嗯，先让 ap 于二分之 x 方减去外方等于一连理一下啊。嗯，连理之后的话，会出现这样一个方程，把这个外削掉，变成了二分之三 x 方加上二倍的一减二倍根号二， x 再加上十减去。 嗯，这个四倍根号二等于零。那么因为根据伟大定理吗？ xb 加上 xa， 你 a 和 p 横坐标其实就是这样一个一元二次方程，它的两个结 等于多少呢？实际上就是 xp 加上二，他是等于，根据维达定理，实际上是等于二分之三分之 四倍，根号二再减二的，从而就求出来这个点屁的横坐标，那么点屁横坐标求出来了，那么点屁重坐标你带入 ap 这条直线进行式里头就出来了。所以点屁坐标我就直接写了啊，他的横坐标实际上就是 三分之十减去四倍根号二，那纵坐标的话是三分之四倍，根号二减去五，这就是点屁坐标。那么接下来还有谁啊？ 其实还有一个，同还有一个这个点 q 的坐标，点 q 的坐标的话是，你只需要连理一下这个双据线和 aq 这个解释就行了。 好，点 q 坐标我们也是可以求出来的啊。既然 pq 两个点都有了，所以 pq 这条直线是不是非常好求了啊？ pq 这条直线就是 x 加外减去三分之五等于零。你要注意这道题求的是什么？这道题实际上求的是 p paq 之间的面积啊。 paq， 你看 pk 我了吧，这个姐姐是。然后啊，我们再求一下这个距离就行了，用 pq 的长度，然后再乘点 a 到 pq 之间这样一个距离，再乘一个二分之一就行了。 应该是这个道理吧，那这个距离就其实就是点 a 到 pk 的距离，我就直接带了啊，把 a 点带入二加一，减去三分之五，然后再除根号二，那根据点到直线距离攻势的话，求出来是三分之二倍的， 等好二，就是这样一个道理。然后 pq 的话，你看是不是也有了 p 点？有了 q 点有了，那 pq 的距离肯定就有了。所以说三角形 pqa， 它的面积是等于二分之一 pq 程距里的，那么最终取出来应该是个九分之十六分的根号二。那这道题就解完了。其实我把中间很多 我化检的过程，计算的过程给省去掉了，如果真的要算这道题的话，大概需要十五分钟左右的时间。所以说这套试卷真的非常难，计算量很大。相反来说，最后一道题他反而不是特别难。之前我讲过啊，用 同购的技巧可以轻松的解决这个问题。那这节课我们就讲到这了啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下期课再见。
6246会放羊的教书匠
01:54查看AI文稿AI文稿看见这道题目的第一想法呢，肯定是泰勒展开式，因为 a 和 c 呢，就是完整的泰勒展开式当中的两个， 那么泰勒展开式是干什么的呢？这里给大家举一个例子啊，比如说 e 的零点一次方，你可能大概知道一下他的范围，比如说比一大那么一点点的一个数，但是准确他约等于多少呢？我们就可以利用泰勒展开式去精准的计算一下， 当然他后面还会有很多很多高中阶段，我们掌握前三个就完全足够了。你看，比如说这里的 e 的零点一次方，我们就可以带入泰勒展开示，你就可以完整的算出他的一个比较精确的值。 所以你看 x 零点一带入这个选项当中，这些地方都是非常好算的，你就有了这里。好，不要忘了前面还有个零点一跟那一沉，所以 a 准确的一个，你看我 都精确到四位数了，还是不错的，对不对？ b 一除九，你慢慢除，零点一，一一无穷，多个一往下循环，对不对？ c 也是一样的，你看啊， c 在这 对应我们这个泰勒展开式，好，先把它变换一下，把这个复号放过去，那这里呢，你看他十分之九复号放过去，他呢？取一个倒数就行了，九分之十，九分之十就可以写成一加 x 的形式了，你看对不对？一加九分之一嘛， 所以你就把 x 等于九分之一带进去，带进去，带进去，你就算一下就行了。好，这里稍微注意一下，比如说这个地方啊，你看 九分之一的三次方，又要除三，哇，这个很小很小了啊，我们这里呢，你看保留了四位小数点，这个很小很小，你就不用管他了好不好？这个不用管了，你把他俩算一下，你看这个九分之一，刚刚有了零点幺幺幺幺，对不对？这个很好算，一除一百六十二，你自己 图啊，你绝对会的。这个很简单啊，出下来是这个两个一减，你看 a、 b、 c 值，三个值都写出来了，之间比较大小的时候之间去看啊，泰勒还是不错的，对不对？
8945高考数学高分思想陈晓
16:12查看AI文稿AI文稿各位超哥抖，我是幺四九，今天呢，我们来看一下二零二二新高考一卷主题金奖，这张试卷呢，应该是近十五年以来最难的一张全国卷，没有之一。前面说的比较难的卷子跟他比起来呢，就是弟弟中的弟弟， 整张试卷呢，计算量是暴增的，第七题，第八题，第十一题，第十二题，第十六题，圆锥曲线倒数计算量普遍变大，对吧？并且呢，你要注意，倒数圆锥曲线函数，高考他是难度呢，是在逐年递增，特别是这个函数啊，一年考的比一年难，你复习的时候一定要更加深入，一定要把这些该复习的点都复习了， 也就是说，原来你复习成能够识别他，对吧？现在呢，要灵活应用，对吧？你现在要要能够更加灵活，你才能适应我们现在这个高考的一个要求。那考完之后呢，很多超哥私心直接炸了，对吧？很多人都在来感谢超， 为什么？因为我们前面几天发的视频压重了很多很多的点，而且呢，我们拿几个举个例子，比如说我们的帕德毕竟和我们的泰勒公式，对吧？处理今天新高考的这道比大小 和我们假券第十二题简直不要太方便，对吧？因为这个第七题啊，你用常规的啊，放松或者是构造函数，我觉得 一百个人里面连一个人能做对都没有，对吧？这个题不是很好算，就算你知道那样算，算起来很困难，但是用我们的帕德毕竟和泰勒公式可以很快搞定。也就是为什么超哥天天给你讲这些各种各样的方法， 因为高考他真考能听懂吗？对吧？第二个，我们振能追外接球二结论，对吧？还有从幺七年到现在没考的这个导数数列结合压轴，我们家老师压题卷总共就四道导数题啊，给你选了一道题，一模一样，还有短点效应，对吧？那个第二问 又考对不对？也是我们四道题其中之一，你看这个概率有多少，对吧？还有呢？我们的其字画，我们的正前平方差，对吧？大家去看那个评论区啊，你可以去看一下评论区到底有多少人感谢的好这些呢？还有这个相关系数，对吧？我们来给大家取一下，你看这个相关系数， 这个来，你这个公式不知道他，他，当然他问的是 r， r 跟 b 分子是一样的，分母遗有一部分分母的一半也是一样，对吧？你如果不知道这个公式， 你这个式子你要算，你要算三十个式子算死你在考场中，对吧？所以呢，看超哥视频没毛病，对吧？有条件的可以来加入政客， 我就问一下，嗯，今年的这个战果是辉煌的，对吧？好，我们就给大家就说这么多，我们就现在呢，来进行一个主题，金奖。那第一题很简单，对吧？埃克斯大 大于零等于零小于十六，对吧？那 x 大于等于三分之一，那焦急不就是 d 吗？ 对吧？来第二题，那就是一减 z 等于 i 分之一，对吧？那 z 就等于一减 i 的平方分之 i， 那就等于一加 i， 那他的共额不就等于一减 i 吗？两个相加，那不就是 二吗？对不对？好，三角形 abc 中，那大家来看好了，他告诉你的是 dbd 等于二倍的 d， 那就三等分点，这是一份，这是两份，你看他问的是谁，他问的是 c、 a、 c、 d 和 c、 b 的关系。那不就是三点贡献定理吗？来，过地点做 b、 c 的平行线，过地点做 a、 c 的平行线， 对吧？那你会发现这是一份，这是两份，这是两份，这是一份，太好写了。 c、 d 项链等于三分之一 c、 b 项链，再加三分之二 c、 a 项链，对吧？好，你把它也称三倍的 c、 d 项链 等于 c、 b 项链，再加二倍的 c、 a 项链。那 c、 d 项链是谁啊？嗯，三 n 减二 m 等于 c、 b， 答案选 b， 对吧？太简单了，来，继续往下看， 我告诉你，十二年就学了一个公式，对吧？这个公式能够解决你小学、初中、高中所有的体积公式就这一个，无论任何图形，能听懂吗？好，那这个题且就是让你求一个轮胎的体积嘛。其实你背会这个公式，你考场 就直接用了，对吧？这个很简单，上面一百四，啊，是，是一百四，这是一百八，高是几？高是九，对不对？你用它减它吗？求体积来微，等于三分之一 h 乘以多少呢？ s 上幺四零， s 下一 l 八零， 再加根号幺四零乘幺八零，对吧？那就是三分之一乘以九，三百二再加。你看，这里有 拿一个根号七出来，对吧？这里有零零，再拿一个十出来，剩下了三十六，那就是再乘六，对不对？来，这个数字你看好了，那就是三乘以三百二，再加 一百，这个乘一下嘛，对不对？乘下来的话呢，要等于一百五十九，对吧？一百五十九，那这就是三乘以 四百七十九。你看好了，我就不用管这后面单位了，这后面单位我都不变，我就看是一点零还是一点二，还是一点四还是一点六，三四一十二，三七二十一，答案直接选 c， 都不想细算，对吧？好，我们来看下面一道题。什么叫复制？除了一和就是这两两个数，你别说二三，就是复制的， 他们俩除了一些没有别的公元数，对不对？那大家想，那你写二的时候你怎么写呢？ 你写二的时候，四就是他的公积数，对不对？三五七六八都不行。你写三的时候呢？四 五六不行，对不对？七可以，八可以来，你写四的时候呢？五行不行，可以啊，对吧？六不行，因为他们有二，对吧？七行不行？可以啊，八行不行八不行。你写五的时候，六行不行可以，你写七行不行？可以，你写八行不行可以。你写六的时候，七行不行 可以，八行不行，八不行，对不对？你写七的时候呢？这是？八来一，二三四五六七八九十十一，十二，十三十四。上面十四个，七个数，二到八，七个数，七个数选二， c， 七选二，对吧？二十一分之十四，三分之二，对吧？赶紧选 d， 继续往下 周期为 t， 告诉你 t 的范围其实就是告诉你奥米卡的范围，奥米卡分之二，派大于三，分之二，派小于派，那奥米卡不就大于二，小于三吗？ 对吧？哦，那大二小于三。他告诉你 fx 图像关于他对称，来，你首先画一个正前函数图像，你来看一下正前函数图像，他都是关于我们的这个在 x 轴上的点对称，你要关于二分之三派都二对称，其实是相当于这个图像咔嚓咔嚓往上平移两个单位，对不对？ 所以呢， b 等于二没有问题吧？那 b 等于二的话，他告诉你他中心对称，你要注意他的中心对称点有什么？你往上往下平，他的 x 是不变的呀，你看你往下往上平，他的 x 不变。中心对称点呢？横坐标他是不变的。 那正前图像的横坐标有什么特点呢？也就是他呢，都要等于 k 派才可以，对吧？你把二分之三派带进去来，二分之三派乘奥米噶，再加四分之派等于 k 派。 所以啊，你看，等于 k 减四分之一，再乘三分之二。然后呢，你来看一下啊，你用 k 等于一， 算不在二到三， k 等于二算不在二到三， k 等于三算不在二到三， k 等于四，算出来欧尼嘎等于二分之五。他在二到三， k 等于。 我看下有没有另外的解。 k 零五算出来奥秘噶等于，呃，六分之十九，超了，超三了，对吧？奥秘噶等于二分之五。奥秘奥零二分之五。这个函数图像很简单了呀，三印二分之五乘以我们的奥秘噶，再加四分，呃 啊，乘以我们的 x， 再加四分之派，对不对？来，你把二分之派带进去，把二分之派带进去的话， 这个式子你是不是还要再加几？再加二，对吧？那就是负一，再加二等于一，答案选 a。 这道题考完超哥的私信直接报了，因为这个视频你看六月二号对吧？五月十二号。呃，刚发没多久，但是呢，这道题在考场中极难对吧？你用构造跟放缩非常难，构造的话好想不好算，放缩的话，这些放缩的不等式压根不是你平常见到的不等式。你现在看到很多人跟你讲 长得各种各样，不能是放出来，我跟你说，在考场中他是算不出来的，能听懂吧？真正在考场中用放缩和构造算出来的学生，这道题其实是不超过百分之一的。这道题 做对的人极少，但是超哥却做对的却很多，为什么？因为我们刚给你讲过，对吧？因为你大家知道，去年考过劳运一点零，今年我就猜到他会考这些东西， 对吧？你就比如说今年的一些函数的一些啊，代换啊，算周期啊，这真的是超哥在我们系统班里给你反复强调的内容啊。好，那我们来给大家看一下啊。这个用帕德毕竟怎么算其实非常简单，对吧？你当 x 大于等于负一小于等于几的时候呢？用帕德毕竟算出来呢， 能精确到小数点后三位，你想想他多厉害。小数点后三位，一打 x 等于 x 的平方再加六 x 再加十二，除以 x 平方 减六 x 再加上你，比如说你一的零点一，一的零点二，一的零点七，你现在知道的是，所有这一道飞之间的数，你往里带啊，都能够精确到小数点后三位。 如果 x 大于等于负二，小于等于二，那这只能精确到小数点后两位了，对不对？他没有达到三位这么精确，其实两位也能够你帮帮你算很多题了，同学们， x 等于零点一带进去，对吧？ e 的零点一约等于零一点幺零五幺七，那零点一 e 的零点一就约等于零点幺幺零五幺七，好，九分之一约等于零点幺幺幺幺幺， 对不对？那同样道理，劳音一加 x 约等于三， x 的平方加六 x 除以 x， 平方加六 x 再加六 x 等于负的零点一，给我往里带，算出来，捞应零点九，约等于负的零点幺零五三，对吧？那很简单了，负的捞应零点九，约等于零点幺零五三，就是一个很简单的计算啊，对吧？带进去直接算了， 叫做 b 大于 a 大于 c， 两分钟五分到手，对不对？他没有占用你的算力，对吧？你如果构造来 x， 劳影 x 一减 x x， 对吧？负的劳影一减 x， 你去算来告诉你，这样构造你算下来坑你，仿佛你，你把它算出来啊，就仿佛做了一道导数题的第二问，能听懂吗？就算你算出来，也会让你后做后面的题很疲惫，这就是为什么 教你技巧，教你大招，全网没有一个老师教你用帕得的印算，对吧？但是超哥在考前就教你了，对不对？所以跟着超哥走，数学幺四九从来就不是一句口号。我们继续再往下来看 下面这道题啊，正能正，四能住，这个题也是我们系统班讲的，叫做正能追半接球的长度，对吧？并且你看，我还给你加红了这个公式。 l 方除以二二二 h 等于二，对吧？这道题用这个公式就很快，你如果不用这个公式算啊，算的超慢， 对吧？好，我们继续来看这个题怎么做啊？这个题其实很简单，你看我稍微给你刷。这公式咋来的？其实很简单，你看，我们把这个图给你来算一下，你看这个是 h 减去，我们的 就是 r 方，你看这个 r 方，就底面这个平方 h 减去 r， 整个的是 h 减去，这段儿不就这段吗？这个平 加这个平方等于这个平方，那花甲完之后呢？ r 就等于 h 方，加 r 方除以二 h， 那你就会发现 h 方加 r 方，他又等于 l 方，所以呢，这个公式就出来了，叫做 r 等于我们 l 方除以二 h， 对吧？这狗是这样来的，你看我还给你着重标起来了。所以呢，这道题我们首先来画一个 正四轮追，对吧？好，正四轮追，你已经知道了 r 等于 l 方除以 r h， 并且你会发现告诉你就是 l 的信息，对吧？外接球体积三十六派 来三十六派，我们来看一下，叫做他的体积就是三分之四派乘 r 的三次，对吧？那就是二 h， l 方括号的三次方等于三十六派，派和派约四和四 约九二十七，那就是八 h 三次方， l 六次方等于二十七，对吧？那你会发现呢， l 六次方等于三的三次方，乘二的三次方乘以 h 三次方，所以 l 平方 就等于六 h， 对吧？那我们来算一下他的体积，他的微等于多少呢？他的微等于三分之一乘以我们的 h， 再乘以它底下的这个面积，对吧？那底下的面积怎么表达？你看，关键步骤来了，我们来给大家讲一下啊，你看这个长呢是 l 对不对？这个呢是 h， 然后呢，这个边，这个边底下，你也注意叫做正四纹锥，底下是个正方形， 对吧？底下是个正方形，大家想你现在表示他的一个面积，对吧？你要表示他的面积，那这个长是不是应该是根号下 l 方减 h 的平， 那你看好了，你要知道他是九十度啊，那九十度那不就是根号下 l 方减 h 的平方，括号的平方就是边长乘边长， 他乘他再乘多少？再乘二分之一，就是啊，他的面积你还要再乘几啊？我还要再乘四，为什么？因为他有四块，对不对啊？三角形面积公式，二分之一比三十七嘛，再乘以四，所以呢，这时候大家看好了，这也就是说呢，他等于，呃，约掉三分之 二 h 乘以括号 l 的平方减去 h 的平方，这时候你要注意到了，叫做 l 方等于六 h， 你这时候是全化成 l 呢？还是全化成 h 呢？题目中告诉你的是 l 的范围，你把它换成 l， 对不对？所以呢， h 就等于六分之 l 平方，那所以呢，这个就是三分之二乘以六分之 l 方括号，对吧？那这个时候呢，那就是 l 的平方减去三十六 l 的四次网，这时候你看好了，那就是六分之。 说错了，他跟他约九分之一括号 l 的四次方，减去三十六分之 l 的六次方， 对吧？这道题算到这里你都想笑，你到这一步直接一步均值，不等于是让同学们把五分得了，开开心心不就完了吗？对吧？你非要搞一个四次跟六次放这里，四次跟六次怎么办呢？零 t 等于 l 的方，对吧？那这个数字就给他化解，叫做九分之一括号 t 方减三 十六 t 三次，好来对他求导，九分之一括号二 t 减去十二分之 t 方，然后九分之一括号二十四，对吧？那就是，呃呃，十二十二，那就是二十四 t 减 我们的气方，好，那，那也就是一个点是零，一个点是二十四，开口向下一个点是零，一个点是二十四。你要注意 l 的方式，三到三米高三，那 七的范围数应该是九到多少？二十七对不对？你会发现九到二十七，从九到我们的二十七，在这刚好他在这范围内从九到二十四单调递增， 然后先单调递增，后单调递减，所以他最大值应该是 l 等于二十四，对吧？ l 的，呃， l 平方等于二十四，那也就是 t 等于二十四的时候，那就带进去九分之一括号二十四的平方减三十六乘二十四的三次方，你看这个计算量对不对？二十四，他非要你在这算，对吧？好，最后算下来呢，叫做三分之六十四， 对吧？好，那这个题其实啊，你如果会这个公式好像也没有那么难，对吧？
6481中科院超神讲数学
17:48查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我们专门来讲一讲二零二二年新高考一卷的这个导函数大题啊啊，一共是有两问，这个第二问还是挺有意思的，第一问咱们就快速说一下啊，他说的是函数 f 等于 e 的 x 方，即有指数函数，指数类型的吧，然后也有这样一个对数的类型的，都有 ax， 然后啊，他说的是这两个函数都有相同的最小值，首先的话，咱要注意， fx 定义域的话是全体实数哈，然后这个 gx 的话，他这个定义域就不是了，因为有 lower， 所以他这个 x 定义域呢，就是自变量啊，他这个定义域的话，肯定是零到中穷， x 得大于零才行，这是他的定义欲零到中穷。 那么现在他说有相同的最小值的话，我们先研究这个 f 吧，先研究这个 f 的话，我们会发 发现这个 a 不是随便取的啊，你看一下现在我们 f x， 首先我简写了啊，知道我的意思就行，他的定义域的话是 r， 是全体实数，我们对他呀，求一下导， 求完导之后的话，它是一的 x 方减去 a。 大家要知道一个问题，就是根据指数函数，它肯定是大于零的 正数，再减去负。哦，懂了，也就是说第一种情况，我们看一看，如果说 a 小于等于零，那负 a 不就大于等于零啊，也就是 f 撇啊， x 啊，你一个再加上这个负 a， 那肯定就是正的呀。他是正的话，就意味着此时 f x 在整个定义域范围内，在整个 r 上是怎么样的？告诉我，在整个 r 上，它永 是单调递增的呀，那这样的话，他还有最小值吗？没有最小值，在整个 r 上是单调递增的，这个就肯定不行。所以说我们啊，反过来，这个 a 只能是大于零才可以了。能清楚我的意思吧，当这个 a 大于零的时候，我们令 f 撇 x 等于零，也就是说一的 x 方等于 a 啊，这很简单，求一下就行了，那 x 就是等于捞很 a 的，我们可以轻松的发现。怎么回事哦，原来在夫穷 到什么范围内，到 low on a 这样一个范围内啊。它这个函数啊，是单调递减的，因为此时它是负的嘛，倒函数，然后在 low on a， 就是当 x 大于 low on a 的时候，哦， e 的 low on a， 此方点就会哦大于零了。这种情况下就是单调递增的，这是 f x 的单调性。那有了单调性之后的话， 所以最小值清楚了吧？我们 f 这个函数第一个最小值呢，它就是当这个自变量等于 low a 的时候，我们求一下等于多少吧，求出来等于 e 的 low a。 什么？这根据对数横等式，它其实就是 a 啊， a 减去 a 乘 low a。 好，原来那个最小值是这么写的， a 减去 a 乘 low a， 这个有用啊， 那接下来怎么样？接下来就是要研究这个 g x 了，它的话，我们也对它进行求导啊，这个就比较简单了，直接求导它的话，就变成了 x 减去多少？应该是 a 减去 x 分之一。咱们写一下啊，变成了 a x 减。一清楚我的意思了吧， 既然 x 是正数，我们让导航数为零，此时 x 推出来等于 a 分之一，反正 a 分之一是个正数，也就是说很轻松的，我们可以得出来，在 定义域，定义域是零到中穷啊，零到 a 分之一，它是负的，导函数负，那元函数不就单调递增吗？那 a 分之一到中无穷，单调递增好，单调递减，单调递增，所以有最小值了。那最小值对于第二个函数来说，是当自变量取这个 a 分之一的时候，它是等于 a 乘 a 分之一，那就是 一减去捞按 a 分之一，其实就是一加上捞按 a。 哎，能清楚这个意思吧？ 当你求出来这个之后的话，就很简单了，他说两个函数啊，有什么值，那其实就是圈一和圈这两个值得相等才行啊，最小值相同，所以啊，我们就得出来了， a 减 a 倍的 low on a 等于一，再加上 lown a， 能清楚我的意思吧？而且我们已经得出来了， a 是必须大于零的。我们一开始就分析出来了， a 小于等于零，不合要求，只能是大于零，是一个正数。那你说现在怎么去求解吗？这个求解过程的话我说一下啊，咱们利用函数来求，不是你直接肉眼看出来的啊，你这个不行，怎么解呢？咱们这样来解，根据刚刚写出来的 f 的最小值， 这是 f 的最小值吧。那第二个函数的最小值是多少呢？是这个一加上让 a， 我们很容易变形嘛，就稍微变形一下，反正 a 是正数的啊，咱们可以挪一下变成什么样子了，其实就变成了这个 老按 a， 再减去 a 加一分之 a 减一，你就没有什么想法呀。哦，这么回事，原来我要解这个 a 等于几，那我凑一个函数吧，我把 a 先看成变量，那不就是引入一个函数吗？利用这个 h x 等于 l x 加上多少呢？或者说减去 x 加一分之 x 减一是这个道理吧。啊，那接下来的话，你要注意，我们一开始已经判断了 a 大于零，那 x 就是大于零的，因为你就是变形过来的嘛。 哎，再往后我想问问怎么处理，求导呗，看他是不是一个单调函数啊。好，我们看一下他，求一下啊。嗯，这个具体求导过程的话我就不再多说了啊，也并不是特别复杂，但是处理之后的话，他的导函是得这样一个结果， x， 哦，这是反正分母能够看出来肯定是正的，因为 x 大于零，然后分子的话也是平方加一哦，他怎么样啊？所以我知道了。所以 hx 在整个定义域上，在整个零到真无穷上，是一个单调递增的函数。那 有没有某个值能够让 h 哦清楚了 h 几等于零啊？首先我跟你说一下，这个圈一就这个等式 h a 等于零吧，而且你猜嘛，当 a 等于几的时候， h 一等于零吧，那这个 a 只能等于一，你说为什么？比如说这就是 h 的函数，它永远单调递增 只有一这样一个值，能清楚我的意思吗？那就是这样一个，一的左边他是在 x 轴以下的哦，一的右边他就到 x 轴以上了，因为他是个单调递增的函数。你这道题必须说明他是单调递增才能够说明哦，原来这个 a 只能等于一清楚了吗？ 第一题不难，但是啊，很多同学写到这以后呢，后边的过程就没有写，直接来了个 a 等于一，你怎么知道这个方程只有一个解呢？对不对？万一那个函数 a xx， 人家有两个零点，可能就不止一了，可能还有个三等等吧，清楚了吧。所以这个题要严谨，必须要写这样一个单调性的。呃，讨论好 a 等于一，那么第一问的话，我们就解决了哈。 a 是等于一的，我们看第二问，第二问挺有意思，也复杂一些，其实也不复杂，这个第二问，第二问怎么说的呢？ 第二问的话，就是在第一问的基础上已经确定了 a 等于一了哈，然后那 f x 就是一的 x 方减去一倍的 x， 那 g x 就是一倍的 x 减去 low x 哈。 他说，请证明存在这样一条直线， y 等于 ay 等于 b， 那 y 等于 b 肯定是一条水平的线，他是平均 x 轴的，或者说垂直于 y 轴的。然后他跟两条曲线， y 等于 fx 和 y 等于 gx， 有三个不同的焦点，必须是恰巧直， 只有三个，四个不行，两个也不行，理解吧。并且从左往右三个焦点的横坐标三个焦点啊，这三个不同焦点，他是成等差数列的好，跟数列结合了一下， 那这个题怎么挣？其实刚才我们括号一的话已经分析过这些了， f x 在服务群到捞 a， 捞 a 不就是零吗？单调递减，零到正空琼，单调递增，那 gx 就是零到一之间是减，然后一到正空琼增那，并且他们最小值相等的话，我们可以求一下这道题，他这个最小值， 最小值等于几啊？等于 f 零，好，然后这呢？这是一，我们随便带一下啊，他呢？最后算出来，嗯？是等于几啊？都是最小值吗？我们随便带一个，比如说带第一个一的零，次方减零，哦，等于一啊，也就是说你画这个草图的话，你看 我用红笔把这个 f 表示出来了，但是为了防止你就搞错哈，最小这是一，那我呢，用蓝笔来画一下 j x 草图，行吧，我只能说大概是这样哈。哎，这是一个一， 能清楚我的意思哈，当他等于一的时候，横坐标是一，正坐标也是一，这时蓝色的图像呢，是 gx， 他这样一个草图，红色呢是 fx， 大概就是这样。那么接下来我们讨论一下啊，就是当这个 y 等于 b， 他这个 b 水平线小于一的时候，肯定不行，因为此时， 哦，我知道了，它跟 f 没有交点，跟 g x 也没有交点，那其实等于一也不行，也是要舍掉的，因为这种情况下， y 等于比例向上平移吗？哎，正好是最小值等于一不行吧，因为等于 e 的时候，他跟 f 一个焦点，跟这一个焦点只有两个，我们的要求是三个都不行，是吧？那怎么分析这道题呢？咱们往下你其实马上就知道了啊，我们需要分析一点 这个，当这个草图画出来之后的话，我想说的是，此时外抖音币其实只能过 m 点。 m 点是什么点？ m 点就是这个 f x 跟 g x 的肯定是有一个交点。为什么我这么肯定啊，你看，这是零到一吧， 这个点呢，是一到一吧，这个都清楚啊，那你零的右边我这个 f 蓝色这个图像是单调递增的呀，是不是？那在零到一之间，我们先研究零到一之间图像啊， 对于 g x 来说，它肯定是单调递减的，一直减到一都好。一这样一个点啊，它纵读标都是一好。原来是这么回事，所以在零到一之间肯定存在一个 焦点啊，从这个焦点的话，我们就写成什么点呢？写成这个 m 点，是吧？但是有一个问题，就是你有没有可能这种情况啊？我 f 过了 m 点之后，我增长放缓，很缓， 但是我这个 g x 啊，比较快，能不能行呢？就是说我这个 f 是长这个样子的，然后啊，我这个 g 长什么样子呢？我这个 g 可能是长这个样子，清楚吧，这是 f， 这是 j x， 那右边会不会还有一个焦点呢？除了这个 m 点，会不会还有一个 n 点？我这个 y 等于 b， 可能是过 m 点也行，过 n 点也行，是不是能清楚我的意思啊？我想告诉你的是不可能的， 因为 f 点增长很快，然后这点增长很慢，你要确定就是右边它俩不能再相交了，能清楚我的意思哈，不能再相交了，那怎么确定？就 x 等于 你的右侧这一部分？ f x 永远是在 j x 的什么上面， 这个图像永远是在他图像上面的，能清楚吗？哦， f 永远在这个图像上面，在 x 等于一的这个右侧，如何确定？那当然是要用减法了，你顶住一个函数，这一步是必须写的很关键的一步啊， f 减去这，然后等于多少呢？这个我们直接写就行， 就得这样一个函数，我们现在只用研究大于一的这一部分啊， x 大于一的这一部分，那求导呗， 对吧？求导之后的话，这个非常简单啊，他是加上 x 分之一，再减去多少，减去二来看好了啊，当 x 大于等于一的时候，我们这个 e 的 x 次方是大于等于 e 的， 也就是说，此时这个导函数 u p x 它是怎么样？大于等于多少啊？一减去二，这明明就是个正数，咱俩这个正数少了，肯定是大于等于号还是大于零的呀，也就是说一的右侧永远是大于零。哦，我知道了，单调递增吧，也就是 u x 在一到中穷上永远是单调递增的这样一个函数。因为你这个 u 一，我们算一下等于几啊？是个正的还是负的，你带入啊，一的一次方减去二，一减去二大于零吧，也就是这个位置，我们已经确定了，这个 f 一他是在上方的，这一是在下方，并且这个 f 还增长的更快一些。清楚了哈，所以说呀，这个 u x 永远是个正数，在什么上面？在零到？ 呃，在这个一到正无穷上永远是个正数啊，它是正数，不就意味着 f x 减去 j x 大于零的意思，也就是说， f x 大于 j x， f x 的图像肯定是在 谁的上方？在 j x 的上方，我们已经证明完了，你必须证明这一条清楚了吗？也就是说，除了 m 这唯一一个焦点，没有第二个焦点了。那经过这样一轮分析，所以清楚我的意思了吗？接下来我们就可以下结论了哦，经过刚才的讨论，还有图像可以分析出来，此时 这个 y 等于 b 水平线只能在哪，只能是恰好过这个 m 点了。清楚了哈，那此时这个 m 点的话，具体不知道是零到一之间哪个数字，但是我们能够确定的是它这个横坐标 m 点，这个横坐标小 m 肯定是在 零到一之间的零点几，是吧？那好，当你确定完这点之后的话，我想说的是这道题啊，大概率基本上已经解决了，接下来就是一些细致末节的事情。清楚了啊，那怎么写呢？看，首先，因为 f 等于 g m 这个显而易见啊，其实它就是 m 点的纵坐标，是吧？嗯，所以呢，相当于你把这个解析式带入一的 m 次方减 x 呢，就是 j m， 这是左边啊，右边的话就是 m 减去 low m 没问题，那我再写一种，改一种样子吧，其实也就是什么呢？你更加能看出来， e 的 m 次方加上 low and m 等于二倍的。哎，老师，这个究竟是什么意思啊？ 其实马上你就知道了啊，现在请你看好了，见证奇迹的时刻到了啊，你现在只需要令 fx 等于 b 横坐标吧， 他这个纵坐标等于 b 的时候，横坐标不就是 f m 吗？我们得出来这样一个方程，其实就是 e 的 x 方减 x 等于 e 的 m 次方减去 m 等于多少？那这个 b 的话，实际上我们也可以写成什么样子呀？也可以写成这个 g m， g m 在哪？在这呢啊，就是 m 减去 low m， 你现在还看不出什么东西来吗？其实这个方程，比如说，我们先看第一个方程，我们解得 什么，你画圈这个方程解得一看，这个 x 就是等于几的，就是等于 m， 但是还有另外一个解，看谁呢？看这一部分，画圈这两个等式，老师他怎么去看 看呀？你看不出来，我写一个东西你就能看出来了，你为何不写成 e 的 x 方减去哦， low n 多少呢？减去 low e 的 x 次方呢？ x 就是 low e 的 x 方啊。另外第二个圈的话，我们就写成 m 减去 low m， 也就是说 e 的 x 方对应的是等于 m 啊，那 x 不就等于 low m？ 哦，原来解出来两个解啊，横坐标，另外一个是 low m。 哪个横坐标啊？我们要得的，刚刚已经说的非常非常的清楚了，你要得的一个横坐标是 m， 我们要研究的是 f x 跟 y 等于 b 这条线，那他不就是 low m 吗？ 清楚我的意思了吧。哦，横坐标是 low m 啊，知道了，还有第三个点啊。嗯，第三个点，右边这个点，画个问号，他究竟等于多少？ 还是老方法？那接下来需要干嘛呢？只需要六 j 谁啊？ j x 等于 b 等于 f m， 它结法其实也一样的，我就不详细说了，它其实相当于 x 减去 low on x， 这不就是它吗？ j x 这个函数啊，等于 b， b 的话 相当于谁？相当于一的 m 次方减去 m， 这就是 f m。 那这个 b 其实也可以写成 m 减去 low m， 接出来也是啊，两个值，一个是 m， 横坐标就不用说了。那另外一个横坐标 它是等于多少呢？等于 e 的 m 次方， e 的 m 次方肯定是大于一的，因为 m 是零到一之间的一个数字嘛，咱已经分析出来了。哦，原来这个横坐标，第三个横坐标等于 e 的 m 次方啊。它现在也让你研究的是这画圈部分， 这三个横坐标究竟是不是等差数列的关系？肯定是等差数列的关系，一个是老 m， 一个是 m， 还有一个是 e 的 m 次方，为什么肯定成立啊？我问你， low m 加上 e 的 m 次方，等不等于二倍的 m 等于啊，这不就是等差数列的意思啊，等差数列哦，等比中等差中相啊，第一个数字加上第三个数字，等于中间这个数字的两倍。 那成立吗？我们刚才圈一都已经说过，他就是成立的呀，所以怎么样？所以就可以说了。所以这三个数字 lm， m， 还有一的 m 次方乘等差数列。 ap 就是等差数列的意思，所以清楚了吧。这道题的话，其实第二问也不能算太难，你好好分析一下， 总能够得出来的。这个函数图像有一部分特别重要那种。那部分啊，就是这个 f x 在 e 的右侧，永远是在 j x 上方，你得分析出来。你不写这一步分析你就得不了满分，清楚了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。
2268会放羊的教书匠
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05:36查看AI文稿AI文稿二十一题的第二问给了他人的角 p a q 等于二倍跟二，求的是三角形 p a q 的面积。我们先画一个图，这里给的他人的角 p a q 就是这个角，他的他人的值等于二倍跟二。 那么由于这里涉及到斜率的问题，我们可以先设直线 pa 他的倾斜角，也就是这个角为 c 塔，由于 apaq 他们的斜率互为相反数，所以这个角应该也是 c 塔， 并且我们可以假定 c 塔介于零到二分之派之间，因为他们的斜率互为相反数，必有一条倾斜角是锐角，只是我们把它设为了 ap 的倾斜角为锐角，那么根据这个三角形 型的内角和为派角 p a q 就应该等于派减二倍的 c 塔。于是题目给的滩镇的角 p a q 就等于滩镇的派减二 c 塔， 那么根据诱导公式，它等于负的摊政策二 c 塔，这里涉及到二倍角公式，我们给它展开就是负的二倍摊政策 c 塔，除以摊政策 c 塔的平方，那么这个式子就等于二倍跟二。 我们把它整理一下，就是一个关于滩镇的 c 塔的一元二次方程。解这个一元二次方程可以得到滩镇的 c 塔等于根二，或者是滩镇的 c 塔等于啊负二 分值根二，由于我们假定了 cta 是一个锐角，所以他他认的值为正，那么后面这个就要舍去求出了他的他认的值是根二了。以后我们也就知道直线 ap 的斜率等于根号二。 我们在第一问的法二当中已经求出了点 p 和点 q 这两个点的横坐标， 那么现在只需要把 k 等于跟二分别带入进他们俩计算就可以得到 x 一等于三分之十减四倍根号二， x 二等于三分之十加四倍根号二， 这样就得到了点 p 和点 q 他们两个点的横坐标。而要求这个三角形的面积，我们可以根据面积 公式，等于二分之一乘以 a p 的长度，再乘以 a q 的长度乘以三夹角 p a q。 于是呢，我们需要求两个弦长还有中间这个夹角的散值。两个弦长现在都有了，他们的横坐标可以与点 a 共同来表示，而这个散夹角可以由他人的值来求出来。根据弦长公式， 曲线上两个点的距离等于根号下一加 k 方乘以 x 一减 x 二的绝对值，那么 ap 这个弦长就应该等于根号下一加 k 方就是加根二的平方，再乘以两个点的横坐标相减，那就是 x 一 减去 a 的横坐标二的绝对值，那么 ap 就等于根三乘以 x 一减二的绝对值。把 x 一带入进去通分化减，可以得到根三分之四乘以根二减一。 同里 a q 这个弦长等于根三倍的 x 二减二的绝对值，也就是根三分之四倍的根二加一， 这样两个弦长都算出来以后，我们来求这个夹角的散值，因为探政策角 p a q 等于三角 p a q 除以 q， 三角 p a， q 等于二倍根号二。再结合三角 p a q 的平 方，加上抠散角 paq 的平方等于一，那么把这两个连力并且消掉，抠散可以求出散角 paq。 当然我们只保留正直，因为三角形的内角散直都为正。 三角 p a q 求出来等于三分之二倍等于二，所以三角形 p， a、 q 的面积等于二分之一，乘以 a p， 再乘以 a q， 乘以三角 p， a， q 等于二分之一，乘以根三分之四倍的根二减一，再乘以根三分之四倍的根二加一，乘以三分之二倍根二，算出 出结果等于九分之十六倍。跟二。我们在做第二问的时候，基于了法二的做法带入进去，求了点 p 和点 q 的横坐标。而如果选了其他方法， 比如法一可以把 ap 与双曲线连力，得到点 p 和点 q 的坐标，而法三点叉法呢，可以用 y， e， x 一他们之间的关系等于根二求出 x 一。 其次化的方法呢？在第二问没有明显的优势，我们也是去进行连力。
207袁来有数(高中数学)
06:06查看AI文稿AI文稿这道题目真的很难吗？怎么那么多人反馈不会做呢？不就是一个累乘法吗？应该很常见的方法，只要是孔老师的学生肯定都能做。我们来看一下这道题目， 他告诉我们， ae 等于一啊， sn 比上 a n， 他是公叉为三分之一的等差数列，这样我们就可以得到 sn 比上 a n， 他应该是等于首相哈，首相应该是 s 一比上 a 一加上 n 减一，乘以这个公差公差为三分之一，所以应该是等于一加上三分之一乘以 n 减一， 我们化解一下，所以应等三分之一， n 加上三分之二，那这样我们是不可以得到 sn 等于三分之一， n 加上三分之 二乘以 a n 呢？到这个地方来了之后，我们是不是很容易想到用地推公式把这个 sn 消掉，所以我们要得到 sn 减一，他应该等于三分之一的 n 减一，加上三分之二的 a n 减一。注意哈，这个勺 n 他应该大于等于二的。那么这个时候我们是不是很容易想到用这个地推公式，就是将这个 sn 减去 sn 减一，那他不就等于 an 吗？所以我们就可以建立出 an 和 an 减一的关系。 a c n 减去 s n 减一，哈，他应该是等于这个哈，减去这个三分之一 n 加上三分之二倍的哈。 a n 减去三分之一的 n 减一，加上三分之二的 a n 减一。这个不叫读 a n 吗？那这个诗词里面是不是只有 a n 或 a n 减一啊？所以最后我们通过化解啊，就可以读到 a n b 上 a n 减一，它应该是等于 n 加一， b 上 n 减一， 那么到这个地方来了之后哈，是不是很容易想到用这个垒乘法呢？我们就是多写几下，那么 a n 减一， b 上 a， n 减二，等于 n， b 上 n 减二， 因为这个地方是间隔的一项啊，所以一般间隔一项的话，我们可以将前面和后面啊各写四项，就这样的话就比较容易看，我们接着写， a n 减二，比上 a n 减三，他应该是等于 n 减一，比上 n 减三。 a n 减三，比上 a， n 减四，等于 n 减二，比上 n 减四。 好，我们再把后面也写五下哈，那么这个 a 五比上 a 四，他是不是应该是等于六比上四了？ a 四比上 a 三，是不是等于五比上三？ a 三 比上 a 二，他是不是都四比上二了？ a 二比上 a 一，是不是都三比上一了？然后我们将所有的狮子相缠，我们看看这个跟这个约的吧，这个是不是跟这个约的？那这个是不是都约的？你看这边都约的吧， 多余的哈。好，那么这个左边是不是就是要两下 a n 比上 a 一啊？我们再看右边哈，右边就可能稍微来一点，我们注意观察， 这个 n 加一，他是没有的啊， n 也是没有的，他这个 n 减一，你看是不是跟这个约的？你看是不是应该是间隔一下？ 这个 n 减二，是不是也是间隔一项跟这个约的？那这个 n 减三，间隔一项，是不是刚好跟这个约呢？ n 减四，间隔一项，是不是刚好跟这个约呢？那么这个最后是不是应该就是，呃，分子啊？上方前面有两项是保留的 啊，这个分母的话是最后两项保留，所以我们就应该得到 n 加上一哈乘以 n， b 上二乘以一哈，就是一般的话，如果是间隔 像的话，一般是前面两个和后面两个保留啊，因为，因为我主要是给大家讲讲明白啊，所以我写的比较多，如果，如果说大家经验比较丰富的话，其实这个题应该很快能出来啊，就是前面两项和后面两项保留， 那么这样的话，我们是不是可以得到这个 a n 就等于二分之 n 加上一乘以 n 呢？那么这个第一问是不出来了，其实这个第一问就稍微来一点啊，那我们再来看一下这个 d 二问，他让我们求这个不等于小于二， 那我们来看一下这个 a n 分之一到底等于什么呢？是不是应该是等于这个 n 乘以 n 加一分之二啊？是不是很熟悉？那肯定是一个列向相消法嘛，所以它应该是等于二倍的 n 分之一减去 n 加一分之一。好的，那我们再进行求和，所以的话， a 一分之一加上 a 二分之一，一直加到 an 分之一，他是不是应该等于 二倍的哈？提起来一分之一减去二分之一，加上二分之一减去三分之一，好，一直加到哈， n 分之一减去 n 加一分之一。 这个这个这个，这个是不是都约的？那这个最后的结果是不是等于二乘以一减去 n 加一分之一啊？那他肯定是小于二嘛，对不对？所以说这道题目这个第二问哈，我觉得应该是非常非常简单的哈，应该就是说顶多一分钟出来，主要是第一问哈，有一定的难度哈，但是我觉得只要 说你基础还可以的话，第一问应该应该还是比较容易做的，因为这个累成法嘛，其实在我们的教学过程中嘛，应该是见到比较多的，大家听懂了吗？如果有什么问题的话，可以在这个评论区进行讨论。好帅哥。
275数学孔老师的高考课堂
01:10查看AI文稿AI文稿老师，您是教什么学课的呢？数学是毕业于哪所大学？什么专业的？是毕业于复旦大学数学系。还记得当年高考是多少分被录取的吗？我没有参加高考，我保送啊。 那是不是学数进的天赋都很高的？哦，我不这么认为，我也是学数进的。错，我从来不认为我是一个天赋比较高的。我拿过的最低分数是一百分的卷子，考了十七分。 现在任教多少年了？六七年吧。可以介绍一下你在数学竞赛上面取得的一些相关成绩。高二的时候拿过数学竞赛的一等奖，然后高三的时候进了数学的省队。 昨天下午的高考，数学结束了。您关注了网友的一些评论没有？我没有关注，但是也被关注了。数学特别难，感觉非常算不出来，真的没有料到会这么难，学，极难。很多人都在讨论这件事情，群里面也有老师在说，这个卷子非常难，这种难度一定要自己去认真去做一下，然后两个小时看看自己能做好。 这个老师给我出来的这个评价说是能够上一百三就算很厉害的选手了。听说这是最近十年来最难的高考，是不是真的啊？这个我不太清楚，我还没有看，要不要今天来挑战一下，用两个小时来完成这套试卷。好的好的， 在试卷已经打印完成了，我们继续开始， 未完待续。
8.6万Teach实验室
