全国甲卷数学蒙题

各位同学大家好，我是数学王老师。我们来看一下今年刚考完的高考数学填空压轴题。 这道题如果用高中的方法，那就是用正弦定理或者是余弦定理的知识点来进行解答。但是今天呢，我教大家一种只用初二的知识点就可以解决这道题的一种方法。 首先来分析一下题已知条件告诉我们角 bac 等于六十度， ab 等于二， bc 等于根号六。然后 ad 是角平分线，让我们来求这个 ad 的长度。 在初中数学中，如果我们出现了这个六十度或者是三十度或者四十五度这样的一些特殊角，那么我们通常情况下呢，是去构造一个直角三角形啊，用特殊的直角三角形三边比例关系来进行一个解答。 所以说这里的话，我们就去过点 b 去做 a c 的垂线，你说做 b 垂直于 a c， 那么呃，在这个 r t 三角形 a b、 e 中， 呃，因为这个 a b 它是等于二的，然后 b a、 c 这里是等于六十度。那所以说 a b、 e 是不是就是一个三十度啊？叫 a b e， 它是不是就等于一个三十度？ 那么所以说我们是不是就很轻松的就能够求出 a e 和这个 b e 的长度啊？也就是我们这里是不是得到 b e， 它是不是等于一个根号三？然后呢， b、 c、 e 这里是不是也是一个直角三角形？所以呢，在 r t 三角形 b、 c、 e 当中， 那么我们是不是就可以求出 c e， 它是不是就等于根号下 b c 的平方， 减去 b e 的平方，那么 b c 是等根号六，根号六平方等六，六减三等于三，那么就等于根号三，所以说呢， c e 就等于根号三。 那么这样的话，所以那是不是就是这个 b e， 它是不是就等于 c e， b e 等于 c e？ 然后这里做了这个垂线，呃，这里是垂直的，所以说这里是一个 b c e 呢，是一个等腰直角三角形。那么所以 说角 c， 它是不是就等于一个四十五度？然后呢，又因为这里是角平平线，然后把这里来标成一个角一角二，角一和角二是不是就等于三十度？ 哎，因为这个用角平分线嘛，角一等于角二，它是等于三十度的。那么所以说，我们这个角 a、 d、 b， 它是不是就等于角 c 加角二，那是不是就等于七十五度？ 那么 a、 d、 b 求出来等于七十五度了。然后呢，角一呢，也等于这个三十度。那么所以说，我们是不是就可以求出这个这个大角就是角 a b、 d， 它是不是等于一百八十度？减去角一，再减去角 a、 d、 b， 那它是不等于七十五度？ 那这样的话，所以那是不是就是这个角 a b、 d 就等于角 a d b， 那么等于七十五度？那这两个角相等过后，那么所以说，那是不是 a b 就等于 a d 了？那这等于三角形是不是就等于二？那么所以说这个题的答案就是二。所以用初中的知识点，我们也可以把它给解出来。

下面我们来看一下二零二二年全国假卷的亚洲题，那这个题呢，考察的是节点偏移问题， 而节日点偏移呢，是已经在我们的高考中已经考过很多次了，我们的一个系统课中，给出节日点偏移的很多种解法，那今天呢，我们就来一起看一看全国假卷的这道题。 那题目中给出 f x 等于这一串式的，若 f x 大零，让我们去求挨了一个范围。好，第一位，我们简单去写一写，那我们去带它进行求导。 f 倒 x 这个式子显然是等于一个 x 方分之 e 的一个 x 次方乘以一个 x， 再减去我们 e 的 x 次方，所以刚好就是提出来里面是个 x 减一，那后方呢，是我们这个地方的一个 x 减去个一，然后呢，再加上一个一，那他俩呢，显然是可以 通分，我们是不是刚好通成 x 分之 x 减去个一，于是乎呢，我们可以提一个 x 减去个一出来，那这个时候呢，后方是不是刚好就剩我们这一方呢？ x 方分之一的一个 x 次方加上一个 x 的一个形式， 那它的定义域呢？显然是 x 大零，显然这坨是恒大零的，所以整式的正负由 x 减一来决定，对吧？所以呢，此时我们可以看出，在零到一上，此时 f 倒 x 是横小于零呢，那 f x 自然就是单调递减， 在我们这个地方呢，一到正无穷这个地方呢， f 到 x 是不是横大零的？那于是问我们 f x 是不是横式单调递增，那它要大等于零横成零，所以只需要我们这地方的一个 f x 的一个最小值大等于零，对吧？ f x 最小值 显示等于 f e， f e 我们带进去是不是刚好是 e 加上一个一，再减去一个 i， 那就是他大等于零，所以我们从这解出来呢， i 实际上是小于等于我们这地方一加上一的。好，这就是第一问，那第二问呢？让我们去证明 f x 有两个零点的时候， x 一乘以 x 二小于一个一，那这里的题呢？我们可以去逆向分析统一变量，然后去构造函数就行，对吧？好，我们来看一看。我们预证 遇正什么呢？ x 一乘以个 x 二，这个是小于一个一，是不是只需正我们一个 x 二，这个是小于一个 x 一分之一？那我们先来，我们来一个不防设 不防射这个地方呢？零小于一个 x 一小于一个一小于 x 二，那所以我们这个地方记证，是啊，记证此时一小于一个 x 二小于一个 x 一分之一，那又因为我们这个地方的一个 fx， 他是不是刚好在我们的一个一到正无穷这个地方是单调递增的， 所以我们要正上面这个式子，实际上只要去正我们那个 f 括弧 x 二，好，小于我们这地方那个 f 括弧 x 一分之一，对不对？那又因为我们这地方的一个 f x 一呢？它是不是刚好等于我们的 f x 二？所以我们这时候呢，只需正 f x 一， 它是不是小于我们这地方的一个 f 括弧 x 一分之一？好，那到这个式子的话，是不是就满足统一变量了？所以我们再去勾导函数的时候，是不是应该令我们的大 f x 就刚好等于我们的一个小 fx， 然后再减去小 f 括弧 x 分之一，然后这里面的 x 属于我们的一个零到一之间，对吧？好，那此时大 f 档 x 呢，显然是等于我们这地方的一个小 f 档 x， 好，再减去这个地方呢？我们直接去对他进行求导，是不是刚好等于小爱不倒括弧 x 分之一，再乘以一个 x 分之一的一个导数，而他的导数呢，是不是刚好就是我们这地方负的 x 方分之一？那你把这个地方负号去掉，所以后面呢，刚好就乘以 x 方分之一就行了， 对吧？好，那这个时候呢，我们把嗯，他的一个具体内容带进去，那此时咱们的大 f 倒 x 等于谁呢？前面有一个 x 减去一括起来，乘以我们这 地方的一个 x 方分之 e 的一个 x 次方，再加上一个 x， 好，然后后方这个地方呢，我们是不是先加上一个？我们把 x 方分之写到前面去，好，后面这个地方是把 x 分之一带到 f 到 x 里面，所以他后方是不是 x 分之一减去一，然后呢？再乘以这地方翻上去，是不是刚好变成乘以 x 方，对吧？然后再乘以我们这个地方多少呢？ e 的一个 x 一次 x 分之一次方，再加上我们这里方的一个 x 分之一， 是不是这一坨？好，那他俩刚好约掉了，这个式的，实际上是我们的一个 x 分之一减去 x， 对吧？所以我们这时候呢，可以提一个多少，提一个 x 分之 x 减去个一出来， 对不对？好，那此时前面这个地方剩的是多少啊？是 e 的一个 x 次方除以一个 x， 再加上个 e， 对吧？好，然后这个地方呢，变成减去了，对吧？因为他这个题题完之后有个符号了， 减去这坨就是 e 的一个 x 分之一次方，然后再减去 x 分之一。好，那显然当我们 x 一零到一的时候，这个式子是横销零的，所以我只要去看中克弧这个式子里面的一个正负，那所以我们去令 咱们的一个 g x， 它等于中括弧，这里面一大坨，我就不抄了。好，那这里面的 x 是属于我们的一个零到一，此时我们去对 g x 进行求导，好，它是不是刚好写成一个 x 方分之 e 的一个 x 次方，乘以我们这一方的一个 x， 减去个一，对吧。然后呢，这个地方实际上是减去 e 的一个 x 分之一次方，再乘以 x 分之一的一个倒数，所以刚好变成加上 它后面成一个 x 双分之一，对吧？再加上我们这地方的一个 x 双分之一，所以整式的就化成多少呢？是不是 x 方分之这呢？有一个 e 的一个 x 分之一次方，再加上一个一， 然后后面这个地方呢，我们给它写成减去 e 的一个 x 次方，乘以一个一，减去 x， 是不是这一坨？好，那我们来看这两个肯定很为正，我只要看这个式子它的一个范围就行了，对吧？ 所以我们再去令我们的一个 h x 等于 e 的一个 x 次方，乘以这个地方一减去 x， 所以此时我们的 h 到 x 这个式子等于多少呢？是不是就是负 x 乘以个 e 的一个 x 次方？ 好，那我们还是把定义设成一个 x 属于一个零到一之间，那所以这个是横小零，我们的 h x 是不是横十单条递减， 那所以这时候呢，我们是不是得到 hx， 他的一个值欲就出来了？把零带进去，带到这个里面显然就是个一把一带进去就是个零，所以他这个曲子范围是属于零到一之间， 好，那它属于零到一之间，前面是一减去它，而且这个时代还是很为正的，对吧？所以此时记到 x 是不是就很大一个零？所以这 这个时候呢，小 g x 是不是单调递增？小 gx 单调递增，他定义率是零到一，所以此时小 gx 就很小，有小 ge 好，小 ge 带进去，是不是 e 加上个一减一，再减一，所以刚好等于零，那所以这个时候呢，我们的一个大 f 到 x， 好，前面是小二零，这个地方也是小二零，所以相乘大零，对吧？所以这时候呢，大 f x 自然也是单调底子好，大 f x 定域呢，依然是我们这一方领导一，所以呢，他很小，有我们这一方的大比一。 好，大 f 一带进去，你带到这个里面就行，是不是刚好是小 f 一减去小 f 一，所以刚好是等于零的，对吧？那所以这个时候呢，我们是不是就得到大 f x 一呢？哎，它呢也是相应我们的零的，因为我们的 x 一刚好也是在零到一上，对吧？ 所以此时是不是就得到小 f x 一，他是小于我们这种小 f 括弧 x 一分之一，好，这个题呢就结束了，对吧？好，那关于我们的二零二二年全国假卷的一个压轴题，我们就分析到这个地方，我们下节课不见不散，拜拜。

大家好，我们一起看一下二零二二年全国甲醛的第十六题，也是填空题的压轴题，那么给定一个三角形 abc 点 d 在 bc 上角， adb 就是这个角是一百二十度， 那么 a、 d 这个边为二 c， d 等于两倍的 b d， 当 a、 c 比上 a、 b 取最小值的时候， b、 d 等于多少？这是我们根据题目的意思画出一个草图，那么看看这个题用猜题法的思路如何来解。首先就是要拆目标， 我们看看题目说了，就是当我们这个目标室，我们设套为 s 的话，它是 a、 c 和 a、 b 的比值，就当这个目标是取最小值的时候，让球 bd， 也就是这条边。那么既然让球 bd， 我们不妨另 bd 为 x， 求什么设什么。 那么根据题目给出的条件， b d 为 x 的话， c、 d 是两倍的 b d， 他就等于 r x 同时角 a d、 b 等于一百二十度的话，就很容易得到这个角， adc 就等于六十度，这是题目给出的信息，我们整理出来这样一个， 那么再看目标说的，就当这个目标是 a、 c 和 a、 b 的比值，取最小值的时候， b、 d 等于多少？那我们势必就是要将 a、 c 和 a、 b 用 b、 d 表示出来， 也就是我们设的 x， 那么再看他取最小值的时候，这个 x 为多少，这就是拆信息，题目的信息其实就是这个意思，那么按照这个思路，首先来求 ac， 在三角形 adc 中，那么要表示 出 ac 的话，我们很容易知道 ab 的别人知道了， cd 的别人知道，这个脚就知道了。联想到鱼旋定理，那么 ac 的平方就等于 ad 的平方，也就是二的平方加上 cd 的平方，二 x 的平方再减去二倍的 ad 乘以 c、 d， 再乘以口三以六十度，那么将这个式子整理一下，就是等于四加上四 x 平方减去四 x， 那么就将 a、 c 的平方表示同底。在三角形 a、 d、 b 中，也是利用鱼旋定理， a、 b 的平方 就等于 a、 d 的平方加上 b、 d 的平方，再减去两倍的 a、 d 乘以 b、 d， 再乘以口三亿一百二十多，口三 一百二十度是等于负的二分之一，那么将这个式子再整理一下，就是四加 x 平方加上二 x， 那么既然将 a、 c 的平方和 ab 的平方表示出来，我们再看这个目标是 ac 和 ab 的比值取最小值的时候， 是不是也相当于 a、 c 的平方与 a、 b 的平方的比值取最小值，那我们将 a、 c 的平方和 a、 b 的平方分别带入就好了。四加 x 平方加上二 x， 这是四加四 x 平方减去四 x， 那么现在其实就是要求这个代数式的最小值，我们先将它分离一个长数，给它写成从高阶到低阶的表示，更容易看，这是四 x 平方，加上二 x， 加上四 四，我们再看这里，这是加了八 x 减四 x， 我们就减去十二 x， 这里是有四，这里是加了十六，再减去一个十二， 那么这个式子整理一下，就是等于长数四，再加上 x 加一括号的平方加上三分之负的十二倍的 x 加一。 有关于右边这个分式，我们将分子分母同时除以 x 加一，那么这个数字记整理的将副号提到前面来。分子部分就是长数十二，分母部分 x 加一，再加上 x 加一分之三， 到了这里就很容易看到了要求两个式子的笔直的最小值，也就是要求后面这个分式的最大值，那么他的最大值其实就是要求分母的 最小值。我们直接利用均值不等式，那么这个式的是大于等于四减去两倍，根号下 x 加一，再乘以 x 加一分之三，分子部分是十二，直接整理一下，就等于四减去二倍根号三。 题目是让我们求他取得最小值的时候的 bd 的取值，我们 bd 又设为 x， 其实也就是当他取最小值的时候 x 的取值， 那么我们再看看这一步放缩的取等条件， x 加一等于 x 加一分之三的时候， 很容易求得 x 等于根号三减一，也就是当 bd 等于根号三减一的时候， ac 比上 ab 的笔值取最小值，那么这个题最好的答案就是根号 三减一。这个题到这就解完了，用拆题法的思路，我们通过拆信息，拆目标求得必定的最小值，那么这个题的解题过程，对照我们解题网给大家分离出来的命题点的话，考察的命题点非常清晰，第一个命题点鱼旋定理， 那么第二个点均值不等式，两次利用鱼旋定理，最后用均值不等式取最值。好，这个题也给大家分享，在这里让我们一起做更少的题，提更多的分。

看二零二三年全国假卷的第十六题，也就是最难的一个填空题。这个题我们可以用三种方法来做，先看最常规的方法， 三角形 a、 b、 c， 角 b， a、 c 等于六十度。由角 a、 b 等于二， b、 c 等于根号六 a、 d 平分角 b、 a、 c， 那这个多少度啊？三十度，这个也是三十度，求什么？求 a、 d 的长度。 我们先看解法。一、先用最常规的方法来做， 怎么办？不用想了，这个题我如果先把这个边求出来，那你想一下鱼先定力不就搞定了吗？ 那如何求 a、 d 呢？其实很简单，角平分线有很多个定理，有没有角平分线的边长定理啊？当然有，角平分线上的点到两边的距离相等。 如果这个边我设为 h， 那这个边也是 h， 那你看这多少度啊？三十度，三十度所得，这个边不等于斜边的一半吗？所以十， 实际上 a、 d 就是二 h， 这不是初中学的角平面定理吗？ 三零面积，三零面积就可以出现 go， 所以先求 b 来由 余先定理。你看零边的平方和二的平方，加 b 的平方 减，对边的平方减六除以二倍零边四， b 那口在六十度不是二分之一吗？所以你看 b 方减二等于减 等于二 b， 那 b 方就出来了。 b 方减二， b 等于二， 配完就没吗？来，我加一，我也加一，那 b 减一的平方就得散， 那 b 减一等于几啊？正的根二三，所以 b 不就等于根二三加一吗？ 好，既然我要用面积，答案其实已经出来了。很多人说假卷难难难，真的很简单，你要脚踏实地的去努力。这就警醒高一高二的同学， 真的要脚踏实地的认真对待，二十二道题，一个一个的去突破。来，我们看三角形面积等不等二分之一甲边， 你看二分之一的假边，深加角深六十度，二分之二三。 那这个三角形面积不是被分为两部分吗？这一部分二分之一底乘高，底是二，高是 h， 这部分也是一样的，二分离底层高根二三加一， h 来，二分之一乘以二没有了，同城二没有了，同城二没有了，同城二没有了， 所以我们看左边是什么？根号三乘进去，所以三加根号三 来来，这是什么？二加根号三加一，所以根号三加三 倍的 h， 所以你看 h 等于几啊？ h 等于一，那 h 等于一， a d 不等于二吗？ 这就是解法意义。当然这道题啊，这本明明是有五张超带你学初中数学里面也有很多。