高考代换

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  双换元加1的代换解基本不等式 #高中数学 #高考数学 #高中数学思维与方法 #基本不等式

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  同学们大家好，今天我们来看这样一道题，已知 x 大 于 y 大 于零，并且四 x 加三 y 等于一，让我们求这一个式子的最小值， 那么拿到这种结构啊，这里是一，这里是有分式，对吧？啊，这里是相当于是分子，我们很容易想到一等代换 啊，但是的话，我们会发现分母的结构相对来说比较复杂，那我们要去凑这样的分母，可能相对来说比较麻烦啊，也就说主体肯定是要用一，那么怎么来凑成这个分母 比较麻烦啊？那么为了解决这个麻烦，我们在这里使用双换元的形式 啊，来解决这种复杂的分母或者难以凑出来的分母，那么我们具体来写一下。 那么首先的话，我们就是让复杂的分母变成比较方便辨识的字母，就是我们直接设 m 等于二， x 减 y， 当然这里边要注意， x 大 于 y 大 于零，二 x 减 y 肯定也是大于零的， m 肯定大于零 啊，当然这里再设一个 n 就 等于 x 加二 y 啊，也就说它也是大于，对吧？啊，也就说在这个里边，我们把这种复杂的分母直接用一个字母来代替啊，这是咱们经常换元的 常规手段，那么下一步其实就是条件中的 x 和 y， 我 们也是不再需要啊，所以这个是第一式，第二第二式我们是需要把 x 和 y 分 别给求解出来啊，那我们通过加减消元来运算一下啊，比如一式乘以二 再加第二式，那也就是二 m 加 n， 它应该等于五 x， 呃，得到的 x 就是 五分之二， m 加 n 好， 那么由第二式乘以二减掉第一式，那么得到的其实就是二 n 减 m 等于五 y 啊，我们得到的 y 就 相当于是五分之 二 n 减 m， 那 这样我们四 x 加三 y 等于一，我们把 x 和 y 分 别代入进去，那么 a 两边同时乘以五之后， 相当于就是 x 这边是八 m 加四 n， 然后再加上 n， 这边就是六 n 减三 m 等于五啊，然后的话，化简以后是五 n 啊，这个五 m 加十 n 等于五啊，也就是 m 加二 n 等于一。好，那这个情况其实就是一的代换相对来说比较简单，那这样的话， 原来的这个问题，原式就直接可以写成 m 分 之一加 n 分 之二啊，然后我们直接给它乘以一，就是 m 加二 n 等于，那就是一加四，再加 m 分 之二 n 再加 n 分 之二 m 啊，最终呢，大于等于前面是五，后边是四大于等于九 就可以，那么这一块也是需要进行验证，也就是当前仅当 二 n 比 m 等于二 m 比 n 啊，那也就是其实是 m 等于 n 的 时候啊， m 和 n 都是大于零，对吧？那 m 等于 n， 其实在这我们就可以把 x 和 y 给算出来，相当于就是二 x 减 y 要等于 x 加二 y， 我 们必须给带回去，相当于是 x 等于三 y。 好，再回到方程中看看它满足不满足，那相当于是 十二 y 加上三 y 等于一，那么得到的 y 应该是等于十五分之一，那这样的话， x 它就等于五分之一，满足条件， x 大 于 y 大 于零啊，所以最终的最小值 啊。那么这道题的话，其实就是在告诉我们啊，虽然我们知道它肯定要用一的代换啊，但是分母相对比较复杂，我们可以直接用双换元的形式通过方程组啊解出 x 和 y 去用新元啊，求解对值。希望这个视频对你有帮助，谢谢观看。

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  基本不等式七大高频解法大盘点！一节课全拿下，求最值再也不怕！赵礼显-高中数学#赵礼显数学 #高中数学 #高考数学 #学习方法 #干货分享 @抖音小助手 @DOU＋小助手

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  基本不能试，我去，好香啊，叶子代换，我的妈呀，三角换圆，哇塞，太绝了！配收系数，我去，真香啊，校园法，太香了吧， 亲人，不能试，天呐，好香啊，拳套盒不能试，哇塞，好好呦，这绝对是我们期中考试命题的重中之重，所以呢，我们给大家总结一下基本不能试，常见的方法，常见的题型，常见的结论有什么？ 均值不等式当中考的最多的题型就是一的代换，一的代换，最简单的一道题就是这道题，所以我们通过这道题来给大家讲解 一下。如果你是新高一的同学的话，你也可以从多个角度上去做这道题，因为这道题不见得一定是这一种方法，只是一的代换。做这道题是最简单的，你也可以直接就是消元法，比如通过这个式算 b 的 什么什么 a 来带进去，然后再做也可以。我的建议就是你直接用一的代换， 虽然你可能初学者，你可能自己想不到，但是这个方法是比较简单，比较重要，最常规的东西。那你比如我们见到了几 a 加几 b 的 一个 a b， 我 们把 a b 除过去，正好有个 a 分 之一，然后呢，有个 b 分 之二，然后他就按那个一 a 分 之一加 b 分 之二点一，然后呢，你又让我求 a 加二 b 的 最小值， 求 a 加二 b 的 最小值，这时候怎么办呢？哎，我乘个一，所以人要一得再换呀，他正好是 a 加二 b， 然后呢，乘一个 a 分 之一，再加上一个 b 分 之二， 这个四不变。当然下一步你可以用科西，如果你不会科西的话，你把分配率打开，就是我们用 e 的 代换用的最多的，最常见的形式就是这两有 a， 这两有个 a 分 之一，这两有个 b， 这两有个 b 分 之一， 然后呢藏在一起，我们分配率打开的话，正好有个一，正好有个四，正好有个 a 分 之二， b 正好有个 b 分 之二 a， 这时候他俩的乘积显然是一个定值，那这时候我把它想成 a， 我 把它想成 b， a 加 b 就 一定大于等于两倍的根号下 a 乘 b， 这是 a， 这是 b， a 加 b 大 等两边根下一层 b， 这地方是四，那就应该大于等于九。所以这道题出来了，所以选 d。 那 什么时候取这个等号呢？当前紧张你只用了一步均值不等式。当前紧张 a 分 之 b 等于个 b 分 之 a 的 时候，就说白了，它俩相等的时候，这个二十二约掉了。也就说 a 等于 b 的 时候去等号， a 等于 b 的 时候去等，是没问题的。这就是最简单的方法。 这道题你也可以用笑颜法，笑颜法实际上是非常万能的方法，就是钱越多越好，未知数越少越好。只要是已知式当中里边 a 和 b 可以 相互表示，我们就可以把其中一个字母给换掉。你比如这道题，我们可以把 b 反剪出来，你看 b 就 应该等于个 a 减一分之二 a， 这个地方是 a， a 减一乘以个 b 移过来， a 减一乘以 b 等于二 a 就 它那所以这个 a 加二 b， 当然他不如易得代换来的简单啊。你看 a 加二 b 二 b 二 b， 那 就应该是四， a 比上一个 a 减一，那你看这里边只有一个字母了，那只有一个字母的话，这时候怎么求对的最值呢？这样用了一步，很重要的 就是一次比一次我们得分离常数，我们分离常数来之后再出定值就可以了。当然我们分离常数的话可以这样，然后这辆是 a 减一，上面的话是四倍的 a 减一，然后呢再加上一个四，这样是四 a， 所以呢他就按那个 a 再加上一个 a 减一分之四，然后再加上一个四。那这时候大家想一想在下一步怎么去做呢？是不是我们凑一个定值，那正好是 a 减一，再加上一个 a 减一分之四，再加上一个五，所以这时候他俩成绩显然是个定值，就大于等于两倍的根号下四，再加上一个五，所以这个数是九。 当然 e 的 代换还有其他形式你慢慢研究。其实有的时候消炎法真的是很万能的一种方， 你比如像这道题，他说 x y 减三等于 x 加 y， x 大 一，然后求它的最小值，那这个地方正好他告诉我的是 x y 之间的一个关系式， 那什么叫 x y 的 之间的一个关系式呢？就是 x y 可以 相互提炼。那所以这道题我是不是可以把 y 分 解出来，把 y 换掉就可以了呢？比如 x 减一倍到 y， 它俩结合在一起，把 y 提前， x 减一倍到 y， 等于个 x 加三，从而我们算出来 y 就 应该等一个 x 加三，比上一个 x 减一， 这时候我们把 y 就 换掉了呗。那把 y 换掉的话，是不是相当于 y， 它就是 x 加三，比上一个 x 减一， 这是 y 再乘一个 x 加八，那这时候它就是赫赫有名的二十比一十求对子，然后我们再凑对号函数均不能使，比如下面是 x 减一，我所有的地方都凑成 x 减一的形式， 说这辆是 x 减一，再加上一个四，这辆是 x 减一，再加上一个九啊，这辆是八，这辆是三。正好，所以我们就能够凑出来一个 x 减一的平方，再加上一个四九三十六，再加上一个九倍的四倍的十三倍的 x 减一。一定要想，我怎么凑出来所有地方都凑成 i 减一， 所以他就应该等一个 x 减一，再加上一个 x 减一分之三十六，再加上一个十三，那又因为 s 大 一， s 大 一的话，那当然他俩的成绩显然是一个定值，那所以这时候他就应该是大于等于两倍的根号下三十六，再加上一个十三，所以这个数就出来了，这个数就应该是六，十二加十三 就应该是二十五。当前紧张什么时候取等号也能算的出来。他和他相等的时候，也说 x 减一等于六， x 等于七的时候取等号就可以了。当你拿到一个题不会做的时候，你看看题目的条件，他能不能相互替代，如果相互替代的话，校园很明显他是很万能的方法。 给大家分享一道非常好的题目，也非常经典的题目，考点也是非常高的题目，方法也非常多的题目。这道题的方法太多了，你可以用我们前面讲过的万能 k 法， 你可以配方三角换元。你这道题我们给他讲一个什么方法呢？就是配出系数基本不等式， a 方加 b 方大等于二 a， b， a 加 b 大 等于两倍的高 x a 乘 b， 但是有的时候呢，它需要这个系数，需要你调一调他说实数 x y 满足这么一个式子，求 x 加 y 的 最大值。 那这道题里边没有 i 加 y， 所以 我们第一件事先凑出 i 加 y 的， 也说你得往目标上去凑，凑出一个完全平方来，里边有个 x 方，里边有个 y 方，那这样的话还差一个三 x 方，这样的话加在一起是 四 x 方，然后呢，多加了一个，这里边是二 x y， 那 是不是相当于再减个 x y， 它正好是一个 x y， 所以 它就把这个一就是我第一件事，你让我求 x 加 y， 我 就这样凑出一个 i 加 y 来， 你让我求 x 加而 y， 我 这样凑出一个 x 加而 y 来，然后凑出来它们之后呢？嗯，再往下怎么去做？大家可以看一下 x 加 y 的 平方，那这时候它是不是就应该等于 x y 再减去个三 x 方，然后再加上一个一， 那这时候这一个式子当中，如果我要想求出 x y 的 最值来，那这个地方不能动了，我这个地方一定通过均值不等式把它变成 x 加 y 的 形式。 一个式当中只有一个未知数，我们才能求出来，那我怎么变形呢？大家可以看我提个公式， x， 那 这条就是 y 减去个三 x， 然后呢再加个一，那这时候呢，我把它想成 a， 我 把它想成 b， a 加 b 的 平方， a 加 b 的 平方，正好是 y 加二 s 的 平方，你会发现这条它不是 x 加 y 啊，那当然这个式当中你就求不出 x 加 y 的 范围来，所以我对它用基本不等式，得把它凑出一个 x 加 y 来， 那又因为 a 乘 b 小， 等于四分之一 a 加 b， 那 我就得想它加它，让它出现还是加外。所以我 x 前面系数得凑一个四，这一步是最关键的喽。这两我再乘个四分之一，保持这个四不变，这是最关键的一步。对它用基本不能是。也就说我把它想成公式当中的 a， 我 把它想成公式当中的 b， a 乘以 b， 是 不是就应该小一点四分之一不动？ a 乘 b 小 一点一，这个量是四分之一啊，这量是它 a 乘 b 小 一点四分之一， a 加 b 的 平方正好是 x 加 y 的 平方，再加个一。 你知道我为什么这个地方给大家凑一个四了吧？因为它俩加在一起，正好是 a 加 y， 那 这量是十六分之一一减十六分之一，就应该是十六分之十五。个 x 加 y 的 平方，然后小一一， 所以 x 加 y 就 应该小于等于四，比根号下十五。然后呢，最小值也出来了，因为这个量是实数， x y x y 可以 为负数，那就是负的是 b 上，根号下十五， 所以最终的答案是十五分之四倍的根号下十五。这就是这道题的答案。所以这道题的关键就是这个四，你只要抽出这个四来，这道题基本上问题不大，想明白就可以了。 若 x 大 于二， y 大 于零，则这个式子的最小值是多少？那这个式子我们拿到这个式子的突破口是什么？它是一个分式，它也是一个分式，它俩加在一起，让我们求它最值。首先它俩乘积不是定值，乘在一起不是定值。那， 那我们通分的话是不是也不好做？通分的话好复杂是吧？那通分的话好复杂，然后转换成一个奇次式，其实也不太好做，肯定能做出来，其实这时候是没有加减法的。也说这个地方我们如果把 x y 当做一个整体的话，是不是这个地方我也可以凑成 x y 也说上面是一次的，下边也是一次的，那这地方实际上它是一个奇次式。 所以我们第一个式子，我们分子分母同出一个 y， 分 子分母同出一个 y 的 话，这条是 x 比 y， 而下面的话是 x 比 y， 再减去个二，然后后面的话正好是两倍的 x 比 y。 这一步是图法口。我们见到了一个分式的时候，我们看一下这个分式它是不是一个奇次式， 就分子、分母、次双是一样的，如果分子、分母、次方都是一样的话，我们这时候喜欢凑成一个奇次式。凑成一个奇次式之后呢，我们这时候喜欢凑成一个奇次式。凑成一个奇次式之后呢，我们这时候喜欢凑成 t， 然后这辆是 t 减二， 后边是二 t。 这道题基本上就出来了，换元我们必须得写出新元的范围，那这个 t 呢？是 x 比 y， x 比二显然是大于二的，那所以这时候是一次比一次，我分得出一个常数来， 因为我这样直接凑定值是凑不出来的，因为它俩成在一起，不是定值呀，所以这张是 t 减二，然后这张是 t 减二，再加个二，我分的常数，然后这张是二 t 减二，然后呢这个地方就应该是二 t 再加上一个 t， 然后呢这个地方就应该是二， t 减二，他比他是一， 这时候我们就可以完全凑出一个定值来，就是两倍的 t 减二，然后呢，再加上一个 t 减二分之二，多减两个四，再加一是五。又因为 t 是 大于二的，所以它满足一个基本公式，就是 a 加 b， 大 于两倍的根号下，它俩相乘是四，再加上一个五，那所以这个数是九，也就说它的最小值就是九。 什么时候取等号呢？当且紧张 a 等于 b 的 时候取等号，它俩相等的时候取得到，因为 t 是 大于二的，这就说明这是对号函数， d 项线全都能取得到， 你们自己算一算就可以了。好，这道题你看看，第一你得想到，那这个地方为什么你不同出 x 呢？因为我同出 x 的 话，这量是 x 分 之 y， 那 这量是 y 分 之 x， 所以呢，它俩不一致，是倒数关系，所以我所有的地方都不一个 y， 正好来个换元，再凑个定值就可以了。所以大家在君子不但是当中一定会凑定值， 君子不懂事，当中七尺是真的是很好用。什么叫七尺是？就是像我们今天拿到了这么一个柿子，他长得很丑，但是呢，他也比较温柔吧，他是二尺的，他是二尺的，他是二尺的，他是二尺的，他是二尺的，就是他是一个分式。分子分母次方都是一样的，我们把这个柿子叫做七尺柿， 那么我们见到的奇数是怎么办呢？我们喜欢分子分母同除一个数，你比如这个地方的话，我们分子分母同除一个 x 方，同除一个 x 方，那前面的话正好是 x 比 y 减个二，那前面的话，分子的话就是 x， y 的 平方，同除一个 x 方的话，前面是两倍的 x 分 之外，同除一个 x 方的话，后边是一， 所以这个地方底下的话，我们换个圆，它就应该是 t 减二，而上面的话是 t 方再减一个二， t 再加上一个一，那么又因为这个 t 是 什么？外比 x， 那 t 是 外比 x 的 话，所以这个 t 是 大于二的，所以这就转换成一个二次比一次， 而二次比一次求对值，我们就可以啊。你看我们像这道题，他出他就可以了，他出他正好算出来一个 t 呗，他出来算出来一个 t， 然后呢，下面的话就是一比上一个 t 减二，所以再配出系数，再配出一下定值， t 减二，然后 t 减二分之一，然后再加个二，这就没问题了。 有一枚 t 是 大于二的，所以前面满足一个基本不等式，它就大于等于两倍的根号下，它的相乘是一，再加个二，所以它整个的是四，所以它的最小值就应该是四。什么时候取等号呢？当且仅当 t 减二等于个 t 减二分之一的时候， t 减二等于一，也说 t 等于三的时候，取等号就可以了。 所以这道题的答案就是最小值是四，只要见到七十四喜欢同除，同除完之后呢，它就转换成一个二次比一次，或者是二次比二次，然后呢，再凑去不等式就可以了。 选这么一道题，万能 k 法很万能，这是第一种方法，那第二种方法也可以换元法，三角换元，做这道题是没有问题的。那我们怎么三角换元呢？我们先配方，你说这辆是两倍的括号， x 方再减去一个二 x， 那 就相当于，然后再加个一，那这样的话正好是二 x 方减去四 x， 你 多加了一个二，然后后面的话，那就应该是 y 方，然后再减去个二 y， 再加个一。配方嘛，你这样的话相当于多加了个一，那 就多加了个三，那这点就应该等于七，所以这时候他就应该等个两倍的 x 减一的平方，再加上一个外减一的平方，就应该等个七，所以他是一个椭圆平移之后的椭圆， 那这时候他由于方加方等于七，那所以我就开始三角换元了。怎么三角换元呢？我让根二倍的 x 减一等于个根七倍的 c 塔，我让外减一等于个根七倍的 c 塔。来思考一下，你看它方加它方是不是一个定值？ 大方加大方是不是完全是一个常数？七，你看它的平方，就它的平方等于七倍的考平方七倍的甚方，从二呢，我们就能够算出 x y 了，那所以 x 减个 y 就 应该等于个 x 的 话，就应该是根七比上一个根二， 然后考甚 c 塔，然后呢，再加个一，减去个 y 的 话，那就相当于减去一个根七倍的甚 c 塔，然后呢，再减个一 两个 y 嘛，所以这时候我们来一个辅助角公式就可以了。那辅助角公式的话，那提根号下 a 方加 b 方呗，那他就是他的最大值喽。根号下二分之七，再加上一个七，等于根号下二分之二十一， 所以呢，他就按哪个根号下二分之二十一，然后呢，考甚 c， 他 加 f， 因为前面是个考甚，那考甚 c， 他 加 f， 又因为这个 c， 他 没有任何范围限制，那所以它的最大值就应该小。哪个根号下二分之一，那这有它最大值，所以三角换元也是没有问题的。 乘法不等式呢，它和函数的通性有，所以这个公式有很多同学记可能记不住，你也没必要使劲背，你大概理解一下就可以了。尤其是 n 哪二的时候的乘法不等式。你比如我们给大家画一个指数函数吧，比如这是指数函数，它就是一个下图的函数， 那这辆是一个下图的函数。我们假设这辆是一个 x 一， 我们假设这辆是一个 x 二，那这时候是 f x 一， 再加上一个 f x 二，然后呢？比上一个二，那这时候是 f x 一， 再加上一个 f x 二，指的是这个长度， 它俩相加除以二，它显然是这个梯形的中位线，这个没问题吧？也就说它这个长度的话，指的是这个长度梯形的中位线。那你说与这个作比较，那谁大谁小呢？也就说 f 二分之 x 一 加 x 二，那 f 二分之 x 一 加 x 二是谁呢？那指的是谁呢？指的是这个长度，它自身就是一个函数值，显然它比它大， 这是它大于等于它也是可以的。 n 个数的话就是 x 一， 然后呢？再加上一个 f x 二，然后呢？一直加到 f x n， 然后呢？比上一个 n， 它就一定是大于。等于一个 f n 分 之 x 一， 再加上一个 x 二，一直加到 x n， 所以 二元的呢？非常好理解，这个 n 元的话，我们 就不给他证明了，你好好体会一下，你看它怎么回事。那如果这个函数是上凸的，那这个量就改成小于等于号，这就是第一个知识点。你得知道乘乘不等式这个公式是什么？ 就是函数的拓性，画出拓性来，然后你看一看，到底是函数值的平均值还是平均值对应的函数值大，大一号小一号，不准背，你画个图就明白了。再说一遍，左边指的是这个中位线的长度，是这么长，而右边呢，指的是这个长度，它显得会短一些，这是一个下图函数， 上图函数是完全反过来的，这是第一个知识点。那第二个知识点是什么呢？就是函数的拓性和什么有关。如果对一个可导函数而言，比如 x 属于某个区间，他的二阶导数如果是大于零的，那我们就能够推出 原来的函数在这个区间上，它是一个凹的，也说是一个下图的。这个时候我们给大家简单的证明一下，其实也很好证明，二阶导数大于零，它就是凹的。那这时候呢，你可以记一个结论，就是记一个特例，来来记就可以了。反过来，如果二阶导数小零，这个原函数它在这个区间上就是凸的，凹就是下图。 那你如果怎么记呢？我就想 e x 就 可以了， e x， 求一阶导数还是 e x， 求二阶导数还是 e x， 所以 它的二阶导数大零，你看这个函数是不是凹的，那不就记住了吗？这个结论 为什么是这样的呢？再说一遍，一节导数的正负决定了原函数的单调性，二节导数的正负决定了原函数的突凹性，这是高考有可能考到的。那这时候我们给大家简单说明一下啊，那你比如我们假设函数图像是这样的，它有可能增，有可能减，那你想想，二节导数大零说明什么？ 二阶导数大零说明导函数是单调递增的，那导函数是单调递增的，导函数是什么？导函数不是切线的斜率吗？那你看看切线的斜率是不是越来越大，越来越大，越来越大，越来越大。所以这个图像是不是应该是凹的？它不能影响二阶导数的正负，不能影响原函数的单调性。你比如我画的是正的，如果画一个减的 也是一个道理，那你想减的，由于导函数值是切线的斜率，二角导数大，零推出，导函数是单刃递增的，那你看它的切线的斜率是不是负的很大，它的切线斜率是不是负的变小了，它的切线斜率是是不是越来越接近零了？也就说切线的斜率也是单刃递增的，也说导数一阶导数是单刃递增的，那这个函数呢？显然也是下图的， 也就是下图的是凹的， ok， 所以 二阶导出的正负决定了原函数的凹性。这个结论你要知道。好，来，我们看一看这道题，他说在锐角的正负决定了圆函数的是凹的， ok， 所以 二阶导出的正负决定了圆函数的差分之一。这 这时候我们特别喜欢和三角函数结合在一起，因为三角函数有个定值。那这时候我们出现了一个函数，我们令这个函数是谁呢？大家可以看一下，我们令这个函数是 f x 点一个贪婪的 x 分 之一，那贪婪的 x 分 之一是谁呢？贪婪的 x 分 之一当然就是口贪人的 x 啊，就是口贪人的 x。 然后我们看一看这个函数是凸的还是凹的？那首先口贪人的 x 呢？这个图像在高考当中是不要求的，所以呢，你可以现证，因为口贪人的 x 呢，这个图像在高考当中是不要求的，所以呢，你走到大学高等数学里边，口贪人肯定需要会吗？ 所以呢，我们一会给他画一画，希望你能够理解的记住它。首先如果我们假设不会的话，那我们怎么研究它的拓性呢？那我们就应该是求导了，哎，比如这是考三 x 比上一个三 x， 那 考三 x 比上一个三 x， 我 们先求一阶导数，一阶导数的话，就是底边平方，上面求导，底边不变，那减去一个上面不变，底边求导，底边求导的话，它 就是它，那所以就应该等于负的肾方分之一。 ok， 那 然后再求导的话，二节导数它就应该等于什么呢？它是个复合函数了，它就相当于肾的负二次方，那就应该是二倍的负二嘛，二倍的就应该是肾负二，那就是负三 次方，负三次方再乘以一个肾 x 求导的话，那就应该是考肾 x， 那 也就是说它就应该等于一个肾 x 的 三次方，分之两倍的考肾 x。 好矛盾，体报再说一遍，这是负的肾 x 的 负二次方，把负二提前两倍的肾 x 的 负三次方，然后再对肾求导式考肾，那当 x 属于零到二分之派的时候，因为锐角三角形嘛，你会发现二节导数都是正的，那所以原函数就应该是凹的，就 说白了是下图的。来，我们讲的细一点，我们把这个图像画出来，那二节导数它是凹的，那大家想一想，贪婪和口贪婪是倒数关系，那我们就想想贪婪的图像就是了， 贪婪的图像的话，在零到九十度上，他就应该是这个样子的，就是零到九十度，然后呢，到一百八的时候就应该是这个样子的，这张是一百八，这张是九十。那当 x 靠近零的时候，靠近零的时候，是不是他应该是无穷大？比如比零大一点的话，考陷零是一，陷零是零。所以贪婪的图像啊，考贪婪的图像的话，那又因为取道数是影响单调性，所以他从正无穷开始往下来的，一到九十度的时候，考陷九十度正好等于零啊，所以一直减到九十度， 这张是九十度能取到啊，那又因为这个地方是到九十度大一点的时候，他是负无穷，负无穷取到数，当然就是负零了，那他就是负的， 然后这个是正的，取到数是减的，这张都是负的，一直到一百八，一百八的时候，里边是零，上边是负一，当然是负无穷，所以所以口谈的同样就出来了，他同样就应该长这个样，学有余力的同学记住他，因为大学也需要用他在零到派上是单刀递减的，剩下的话都是循环了。又因为这道题是一个锐角上，它是一个下读的函数， 下图的函数，我们刚才说了下图的函数，这个琴声不等式啊，琴声不等式就托性，它应该是大一点号，所以我们有琴声不等式，来，我们写一写啊，那琴声不等式的话，那就应该是三个数了嘛，那就应该是三分之 fa 再加上一个 f b， 再加上一个 f c， 它就应该是大于等于个三分之 a 加 b 加 c， 哎，这这时候就应该是它，那这个时候它就相当于 fa， 这就是 f b， 这就 f c。 那 因为三角形内角之合是一百八，所以这个数就应该是六十度。 f 六十度的话，它的六十度根三，所以它就应该是根三分之一这个数，那所以 f a 再加上一个 f b， 再加上一个 f c， 它 就应该是大于等于一个根号下三，什么时候取等号？ a 等于 b、 c 的 时候取等号，等边三角形的时候取等号就可以了，所以它的最小值就应该是根号下三。你必须得知道琴声不等式是什么，比如琴声不等式啊，我怎么去记忆它呀？你画个括号，小于号，小于号。第二个呢？就是我们怎么判断一个函数的括号性。 只是这道题用到了一个口瘫人的图像，所以呢，我把口瘫人图像也给大家讲明白了，最好是掌握的。 全方和不等式需要掌握吗？我觉得你最好还是掌握的啊，尤其是它的特殊形式，一般形式的话，你可以不用掌握它的一般形式。我觉得高考考的可能性很小，因为我们现在高考基本上都是我们教材范围内的知识，它只是考的深。前面给大家讲过这个科一不等式，所以它说白了就是是一个科一不等式的一个特殊形式。 特一不等式什么呢？就是 a 方再加上一个 b 方，然后呢？乘一个 c 方再加上一个地方，然后它一定大于等于 a、 c， 再加上一个 b、 d 的 平方。 这个问题什么时候去等号？就是 a、 b、 c 等于个 b、 d 的 时候去等，我们这是前面讲过的，它去等。那现在呢？全方和不等式，什么？我们特殊的全方和就是一个特殊情况，我们是这样写的，这个 x 分 之 a 方就是一个特殊情况，我们是这样写的，这个 x 加 y 来，我们有一个 q 一 不等式，它俩你看这是 a 方，然后呢？这是 b 方， 这是 c 方，这是地方，这是 c 方，这地方的话，他俩相乘开根号，他整号是不是大于等于一个 a 加 b 的 平方？这个问题吧，你看他俩相乘开根号是 a， 他 俩相乘开根号是 b， 那 所以我把 x 加 y 给挪过去， 那也就是说 x 分 之 a 方，再加上一个 y 分 之 b 方，他就大于等一个 x 加 y 分 之 a 加 b 的 平方。我们把这个不等式叫做全方和不等式，它只是它的一个特殊形式。全方和不等式的特殊形式，它的一般形式的话，我觉得不需要掌握特殊形式， 那当然我要把它除过去的话，是不是我得保证 x y 是 正数，所以 x 大 零， y 大 零，你记一下，你看你能记住不？就说白了就是 x 分 之 a 方， 再加 y 分 之 b 方，它就搭哪个 x 加 y 分 之 a 加 b 的 平方，这时候我们就能够算出它最值来。那什么时候求等号呢？它和科一不等式是一样的，就它比它，它比它，就 说白了是 a 比 x， 等一个 b 比 y 的 时候取等号，因为它就是科技不等式证明的嘛。这就叫全方和不等式。我们通过一个比较复杂的题目来给大家讲一讲，它说正实数 x， y z 满足， x 加 y 加 z， 点一。我靠，长得好难看啊。 y 加二， z z 加二， x x 加二， y 上面是 s 方， y 方 z 方，然后求它最小值，它很有规律，这辆是二 z， 这辆是二 s， 这辆是二 y。 那 所以这道题我们怎么去做呢？如果我们由全方和不等式的话，它是不是一定大于等于分母相加，正好是三个 x， 三个 y， 三个 z， 而上面的话正好是 x 加 y 加 z 的 平方，所以这道题正好是三分之一。因为 x 加 y 加 z 等于一嘛。当然三个数也是成立的，我写的是两个数，五个数也成立，几个数都成立。它和科一不等式是一个道理，那所以它大于等于一个 a 方加 b 方，大于等于 a 加 b 的 平方，然后这两式分母相加， 所以它俩相加，和它约掉正好是一个定值。那什么时候取等号呢？取等号的时候，那就相当于多少 x 比上一个 y 加二 z， 它等于一个 y 比上一个 z 加二 x， 然后呢？等一个 z 比上一个 x 加二 y 的 时候，取等号应该是能取到的。我估计是 x 等于 y 等于 z， 对 吧？是没问题的，因为这个数就应该等于什么 y 加 z 再加 z， 那 直接是交叉相乘相算也行啊，因为是它正好完全轮换对称啊。 x y 等于 z 的 时候取等号 就可以了。这道题可能考的还少，但下一道题考的非常多，我们什么时候用全方格不等式呢？你比如像这道题， x 大 零小于三分之一，求这个市值的最小值，那这高一基本上是必考的。那所以这道题我们观察什么呢？首先这个地方 它俩相加 a 根号相加，它肯定不是个定值，所以我们见到了一次比一次。我们喜欢先分离常数，分离出一个常数来，是三，分离出一个常数来，这个地方是 x 分 之三， 然后后面的话是一减三 x 分 之十六，你会发现它俩的分母相加不是定值，就说白了你会凑系数，那这个系数怎么去凑呢？来大家看清楚三，然后这两写个三 x 分 之九，这一步是非常关键的， 一定要会凑，这是一减三 x 分 之十六，然后呢，这个三不动，我们来一个全方和不同式分母相加，就是三 x 再加上一个 a 方，这两相当于 b 方，就 a 加 b 的 平方， 那就应该是三加四的平方，那三加四的平方，这就是它的最小值喽。那最小值是几呢？这辆是一，这辆是五，这辆是几啊？这辆是七七四十九，那这就应该是 五十二，没问题吧？那什么时候取等号呢？当前仅当刚才我们说的就应该是这辆相当于 a 方， a 比 x， 那 就应该是三，比上一个三 x， 它就应该等于个四，比上一个一减三 x 的 时候取等号， 好，这个应该是没问题的啊。然后这时候它取等号的话，那是不是相当于我们就能够算出来四 x 就 应该等于一减三 x， 也就说 x 等于七分之一的时候取等号， x 等于七分之一，显然是能够取到的。当 x 等于七分之一的时候，它取的最小值，最小值是五十二，理解公式，它是由科技不等式推导出来的。 第二呢还是要会配凑，有的时候需要分子分母同乘一个数凑出来，分母是一个定值，你好好体会。这是我们今天给大家讲的，希望大家能够掌握。

  498步学赵礼显数学
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  03:15

  高一均值不等式必考套路：1的代换一招求最值#高中数学 #高考数学 #高考数学 #赵礼显数学 #学习方法 @抖音小助手 @DOU+小助手

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  均值不等式必考套路，看见这种条件，求式子最小值，直接锁定一的代换，不用科西，不用全方核零基础也能学会一步拆分配凑定值，轻松算出 a 加二 b 最小值。我们均值不等式当中考的最多的一种方法，当然就是一的代换，什么时候用一的代换，你得清楚 已知正实数 a b 满足这么一个式子，然后问 a 加二 b 的 最小值，对吧？那这道题怎么去做呢？当然我们先不用科级不等式，或者是全方和不等式，因为高一的同学可能不太会。这道题对我们高一的同学来说，怎么去做呢？就是是我们考的最多的一种方法， 我们君子不懂事，当中考的最多的一种方法当然就是一的代换。什么时候用一的代换呢？基本上就是我们看到这个分母，我们只看分母， 你这个分母正好是 a 加二， b 加在一起， a 加二， b 加一，正好这个地方有个 a 加二 b。 听明白什么意思，所以我先求谁的最小值呢？我先求 a 加 b， 再加上一个 b 加一， ok， 我 先求它的最小值，它的最小值，我怎么办呢？我后面乘个一，看清楚，一定要会一的代换，一的代换考的是非常非常多的。 明白了，那我乘个一的话，那就应该是 a 加 b， 再加上一个 b 加一，我们再乘一个 a 加 b 分 之四，再加上一个 b 加一分之一。明白了，正好你看他俩乘在一起约掉了，他俩乘在一起约掉了，正好是 一的代换。当然你要会全方和不等式，或者是科一不等式，当然也可以。我们现在呢，先不用他，先用最基本的公式，刚才给他说了，高考都是考最基本的这些东西，所以这个数就应该是四，这个数的话就是一，再加上一个 a 加 b， 分 之四倍的 b 加一，再加上一个什么呢？ b 加一分之 a， a 加 b， 听明白了吗？就是它俩相乘， b 加一分之 a 加 b， 它俩相乘。 a 加 b， 分 之四倍的 b 加一，那这个地方显然是它俩的乘积是定值满足基本不等式，那这个数我们把它想成 a， 我 们把它想成 b， a 加 b， 一定大于等于两倍的根号下 a 乘 b， 所以 它就大于等于四，整个的就大于等于九，它大于等于九的话，现在这是谁呢？这是 a 加二， b， 所以 a 加二， b 加一，然后把一挪过来，就大一点八，所以这个题的最小值应该是最小值是八。听明白了啊，所以呢，这道题这样做就可以了。 ok， 当前紧张你自己去算一算，是没有问题的。当前紧张就是它等于它的时候，说白了就是 a 加 b， 等于两倍的 b 加一的时候取等号，它是能够算出 a 和 b 的 值来的，是没问题。 ok， 那 如果你会科一不等式的话，你从这一步科七就可以了，这是我们高一考的特别多的 依的代换，如果你会我刚才讲的科一不等式，其实从这一步你用科西，或者是从这一步你用全方和不等式，特殊的应用全方和不等式的形式也都是可以的。你比如我用科西的话，就应该是它俩相乘，你看公式，你得记住，科西不等式不需要学特别深，你只需要会套用就可以了。 比如他俩相乘开个根号是他，他俩相乘开个根号是他。记住这种形式套一套公式是可以的。你比如他俩就大于等于，比如我们用个柯西大于等于什么呢？他俩相乘开个根号是二， 他俩相乘开个根号是一，所以他大于等于二加一的平方，他就应该等于个九，这样直接算出来是九，用柯西是没有问题的。所以这道题怎么做都是比较简单的啊。应该没问题啊。

  5928步学赵礼显数学
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  03:26

  【一数・小猪课堂】比值代换破解极值点偏移 #2027高考 #一数 #一数小猪老师 #一系列 #数学
  

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  我要在其四式的基础上再讲一个更万能的、更漂亮的方法，叫笔直待换。两种方法本质上是一样的，只不过咱接下来要讲的笔直待换，用起来更方便、更广泛。 那啥是笔直待换呢啊？咱还用刚才这道题来讲啊，给你俩条件，最后呢，让我证明 x 一 x 二是不是大于二。 我，还是啊，从这个最开始给我这个条件入手，然后再不是能化成 e 的 x 减 x 二，次幂等于 x 一 比 x 二吗？哎，我从这开始做啊，我强行令 x 一 比 x 二，我设为 t， 哈，所以，哎，你这边都是 t 了，那就意味着 e 的 x 一 减 x 二，呃，那就是 t， 哦，那是指数。呃，我带两边取个 line， 咱 x 一 减 x 二就是 line t。 我笔直代换的目标就一个，就是通过你设 x c 比 x 等于 t 之后，你把这式子当中所有的 x x 二全都换成 t， 也就是说，我想用新的变量 t 表示原有的变量 x x 二。 哎，这还能做到很好做？因为我们知道，你看 x 一， 呃，不是等于 t 倍的 x 二吗？所以 x 一 我是可以替换的。换成 t 倍 x 二，那 t x 二再减 x， 那 不就 t 减一倍的 x 二吗？它等于小于 t， 哦，有点意思，那 x 二我不就单独解出来了吗？它等于小于 t 比上 t 倍的 x 二，我 x 二已经能用 t 表示了。那我 x 一 咋表示？ x 一 是 t 倍的 x 二，我只需要在这个基础上再乘个 t 就是 x 一， 所以我通过强行设 x 一 比 x 二等于 t， 我 把 x 一 也好， x 二也好，全都用单一变量同一个变量 t 来表示了。那么最后人让我正的什么啊？你 x 一 加 x 二是不是大于二啊？我还看你老变了。 x x 二吗？我不管了，我只要正 x 一 现在是它， x 二现在是它，我把带着 t 的 这两项相加即可。这两项加完谁啊啊，你浪与 t 都是一样的啊， t 减一都是一样的，那其实就是一倍的加上 t 倍的呗，重新写合并同类项了啊。一加 t 倍的浪与 t 比上 t 减一它大于二。 课坐在这我相信还有小笨蛋没看出来呢。我设，呃， t 大 于一，因为题目中人家也没说 x x 二谁大谁小啊，我就设 x 一 大于 x 二了。那在 t 大 于一的情况下，我只要正 line t 把这两坨全都移到右边去，大于二倍的 t 减一再比上 t 加一，这理论上，最后要证明，这不等式跟我刚才你用其次式画完的不等式是同一个不等式，依然是一项求导来证明， 很神奇。我发现我这种做法更不用动脑子了。你刚才还想得还得想想你怎么凑齐的式。现在更不需要了，你直接强行的把 x 一 比 x 二 折成 t， 然后通过题目当中这个等式，把所有的 x 也好， x 二也好全都用 t 来表示，最终是让你证明的，这个 x 和 x 二肯定就变成了一个单一变量 t 的 表达式。单一变量我还不会吗？这就能做了呀。 最我想说的是今天讲的两种方法，什么其次式消元跟比值代换本质上是同一个方法，只不过其次式消元是正向思维，你想着怎么去凑我这个其次式。我现在比值代换是反过来用逆向思维，我先把你这个比值 x 比 x， 这其次式我先设出来， 然后一步一步把最让我证明那不等式找到就可以了。正是因为这种比值代换，我不需要刻意的去凑其次式，所以它的适用面其实更广。

  458一数小猪课堂
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  01:07

  不等式~"1"的代换 #高中数学#不等式#解题技巧#高考数学

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  基本不等式之一的代换这类题的核心就是让条件和分母的结构统一即可。比如这题，我们只需要在 m 后面加个二， n 后面加个一，就能将它凑成和分母一样的结构， 两边同时除以四，让右边变成一，再用原式乘以一原式保持不变，将上一行的一带过来，得到这一串。 把括号乘开，再化简整理得到这一串。此时后面两式子均为正数，并且相乘为定值。直接用基本不等式 a 加 b 大 于等于二倍，根号 ab 得到最小值为四分之九。 最后别忘记检验等号成立条件，当前仅当 a 等于 b， 即 m 等于二， n， 将它与 m 加 n 等于一连立解得 m 等于三分之二， n 等于三分之一，此时取得最小值四分之九。 特别说明，如果这类题考在选择填空，可以直接用全方和原式大于等于分母，直接相加是 m 加 n 加三分子，平方外放是括号二加一的平方，即可算出四分之九。

  3083基本不懂事|高中数学
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  00:37

  这种题最精了，三角代换专克这类求最值的问题#高考数学 #高考 #邪修

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  三角代换专克这类球最值问题。题目给到这个等量关系，利用他对圆式做变形，先给他配方， 配方后把第一个式子代换为 c 引阿尔法，第二个整数代换为扩塞引阿尔法，那么圆式就变为三角恒等式了。接着所求式子 x 加二，外用塞引和扩塞引做等价代换，再使用辅角公式把加法变为塞引阿尔法。加辅角的形式 系数为根号，下一方加根号是五分之三的平方，所以小于等于根号五分之八，从而得最大值为根号五分之八。

  366学长26号呀
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  02:51

  基本不等式“1”的代换 二轮专项提分100题 代数式化简求值 #高中数学 #高考数学 #高三数学 #数学思维 #知识前沿派对

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  我们一起来看这样一道代数式化简求值的问题，若 a 大 于零小于一，那么问这个代数式的最小值， 那么这一看，同学们知道考察的是基本不等式的问题，那么我们知道基本不等式就是围绕着构造定值来做的。这道题的目标是要求这样的一个代数式，我们用 s 表示这是求和的最小值，我们其实就是要找到基为定值的这么个式子。 那么再看这个条件式和目标式之间的联系，条件式只是给定了一个参数的取值范围，就只能从目标式入手，观察目标式的分母部分，它的分母相加刚好为一，可以联想到一的代换， 这就是解析思路。我们说什么时候用一的代换，当它式子当中给定一个式子等于一，或者说分母或者分子当中出现了可以构造一的情况，我们就可以往一的代换上面去考虑， 那么这个时候两个分母我们就给它双换元就好了。令 x 等于 a 方，那么 y 等于一减 a 方 由于 a 大 于零小于一，那么 x 是 大于零小于一的， y 是 大于零小于一的，那么这样换元之后， x 加 y 是 不是就等于一了？ 就构造了一个一的等式出来了，那么这个时候就可以直接利用一的代换了。那么目标式 s， 它既等于 x 分 之二加上 y 分 之一，那么现在就是要求这个式子的最小值， 那么如果是一开始给的这个式子，同学们应该都会是吧。 x 加 y 就 等于一，就直接用一的代换 x 分 之二加上 y 分 之一，再乘以一个一就行了嘛，这就等于三加上 x 分 之二， y 加上 y 分 之 x， 后面的式子相成就构造出了基微定值，那么它既大于等于三加上二倍根号， 这个目标式的最小值就是三加二倍根号，那么取等条件，当且仅当 x 分 之二， y 等于 y 分 之 x 的 时候，也就是 x 等于根号二 y 的 时候，那么再结合 x 加 y 等于一， 很容易求得。 x 等于二减根号二，那么 y 等于根号二减一， 都是在零到一这个区间范围之内，那么当 x 等于这个时候，我们再带进去求 a 的 话，也是很容易求出来的，就是在这种情况下去等，那么它的最小值记三加二倍更好了。 那么这道题当中，其实就利用到了基本不等式当中的一的代换，那么这个一怎么来？就是从我们目标式分析入手，它的两个分母所在的分子相加刚好等于一， 那我们就想到了两个分母双换元，构造出有关于一的等式，从而利用一的代换构造定值求基本不等式。好，这个题跟大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

  561张文龙《解题王》主编
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  局部代换，不等式红黑榜 #高中数学 #高中数学126招 #高中 #高考数学 #高考

  382大圣数学
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  01:17

  不等式红黑榜：局部代换 不等式红黑榜：局部代换 #高中数学 #高中数学126招 #高中 #高考数学 #高考

  141数学大圣
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  00:10

  高中生必会之“1”的代换 秒解最值问题！
  #不等式 #高中数学 #高考数学 #陌颜学长

  93陌颜学长
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  说过的话就像回旋镖，最后狠狠的砸在我身上。也不是不喜欢了，只是好像有东西变了.从5月份的初始，到9月份的最后一句晚安。或许你早已经历过很多次这样的离别，淡淡的退出我的世界，希望你以后可能少一些内耗。从头到尾看了我们的聊天记录，其实都不知道已经看了多少遍了，但是看的时候还是会如当时发出和收到消息时的心情一样，我变了你也变了。我曾经坚定的以为我会一直陪你播下去，没想到最后结局也是一样。我们好像一直都是说晚安，那最后一次就用早安结尾吧。早安，主播！

  638用户824859935778
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  基本不等式（新高一、高二、高三速通） 深夜食堂之基本不等式，本期视频带你学会“配凑法”、“1代换”、“分离常量法”gogogo，暑假学起来！#高中数学 #基本不等式 #高考数学 #高中数学解题技巧 #数学思维训练

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  忘记你太难了，可每次想起你，我都哭到窒息，可我还是一步三回头，当我们一步三回头时，我们的基本不等式也就能学会了。 每日鸡蛋变成水蛋。大家好，我是恐龙蛋。今天我们来看的是不等式中基本不等式。对于今天这一讲的话呢，那么我们的新高一或者是准高二以及准高三的同学都是可以适用的。好，那么在讲我们基本不等式的模型之前呢，我先讲一下我们基本不等式到底是一个什么东西？我们突然见到基本不等式不就是二分之等于根号下 ab， 或者是写成我们的 a 加 b 大 于等于二倍的根号下 ab？ 好，那么对于这样子的基本公式，它到底是怎么来的，我们要清楚。那么接下来我带大家推导一下。我们初中老师都说过，一个数字的平方一定是大于等于零的，那么我们是不是就有 a 减 b 的 平方大于等于零永远成立。 哎，也就意味着我们展开后得到 a 方减二 ab， 再加上一个 b 方大于等于等于零，那么我们将我们的负二 ab 移到不等号的右边，是不是就能得到 a 方加 b 方大于等于二倍的 ab 了？ 好，如果我令这里的 a 方等于 x， b 方等于 y， 那 么此时我们是不是有 x 加 y 大 于等于二倍的根号下 x y 了？那么由于 x 表示的是 a 方， y 表示的是 b 方，那么自然就有 x 和 y 必须是大于零的。 哎，那么它就是我们的一个基本不等式的由来。好，讲完基本不等式的由来之后呢，那么我们就要熟悉下它常见的并形式，也就是我刚才说的 a 加 b 大 于等于二倍的根号下 a b， 或者说呢， ab 小 于等于二分之 a 加 b 的 平方。好，这一步是怎么得到的？哎，其实就是将我们基本不等式给他，同时平方得到，那是不是二分之 a 加 b 的 平方大于等于 ab 啊？对于准高三的同学来说，其实你会到这了，也就能应付高考题了。那么对于高一高二的学生来说，我们学的比较细，所以说呢，我们还得继续往下看。哎，在这里面我们有一个不等式列 好，告诉你了这么一长串不等式链， a 分 之一加 b 分 之一分之二小于等于根号下 a b， 而根号下 a b 是 小于等于二分之 a 加 b 的， 同时二分之 a 加 b 小 于等于我们根号下二分之 a 方加 b 方。好，那么我们就要对这样子不等式链进行一个证明，要不然你就记不住吗？对不对？看到中间了，其实它不就是我们的基本不等式吗？好，那么对于右边的式子，我们怎么去证明呢？ 我们不妨对右边的式子，左右两边同时平方小于等于二分之 a 方加 b 方。 好，将我们的平方打开，得到四分之 a 方加二 ab， 再加上 b 方小于等于二分之 a 方加 b 方， 左右两边同时乘以四，我就得到了 a 方加二 ab， 再加上一个 b 方小于等于二 a 方加二 b 方。随后这里的 a 方和我们后面的 a 方约掉，这里的 b 方和我们后面的 b 方约掉，我们就能得到 a 方加 b 方大于等于二 ab。 哎，那他不就是我们刚才所证明的基本不等式吗？哎，是不是对于我们的不等式的右边也就证明出来了？好，那么对于我们不等式的左边怎么去证明呢？好，我们将我们的 a 分 之一加 b 分 之一进行一个通分，是不就能得到 ab 分 之 a 加 b 分 之二 b。 好， 进行一个化简，那就是 a 加 b 分 之二倍的 ab 小 于等于根号下 ab， 同时约去一个根号下 ab， 我 们就能得到 a 加 b 分 之二 b 的 根号下 ab 小 于等于一。哎，由于我们 ab 都是正数，我们将 a 加 b 给它乘过去，是不就能得到 a 加 b 大 于等于二 b 的 根号下 ab 了？那么我们不等式的左边也就证明出来了， 因此整个不等式列我们也就记下来了。哎，那么我下面写了一句话，叫做条和平均数是小于等于几何平均数，小于等于算数，平均数小于等于平方平均数，那么对应在不等式列中，它就是我们的条和平均数，它就是我们的几何平均数，它就是我们的算数平均数，它就是我们的平方平均数。 好，了解完了我们基本不等式以后，我们就要来思考一下基本不等式这里都有哪些题型？首先我们来看第一个模型，叫做直接法，那么什么叫做直接法呢？就直接利用 a 加 b 大 于等于二倍的根号下 ab， 同时呢， a 大 于零， b 大 于零，那么当前仅当 a 等于 b 的 时候取等。好，那么我们来看下题目。 二零二一年天津高考的第十三题，若 a 大 于零， b 也是大于零的，那我们去求 a 分 之一加 b 方分之 a 加 b 的 一个最小值。在这个式子中，我们通过观察能够发现第一个式子中的分母与我们第二个式子中的分子相同。因此，如果我将这两个式子能成在一块，那么分母和分子是不就能约掉了？ 哎，那么我们先对这样子的一组式子进行一个基本不等式，也就是 a 分 之一加 b 方分之 a 加 b， 他 是大于等于二倍的根号下 a 分 之一乘以 b 方分之 a， 后面再加一个单零的 b， 那 么他是不是就等于这里的分母 a 和这里的分子 a 约掉？哎，那么对于这个根式来说，他是不是就变成了根号下 b 方分之一， 也就等于我们的 b 分 之二再加一个 b， 同理，通过观察第一个式子的分母和我们的 b 分 之二再加一个 b， 同理，通过观察第一个式子的分子相同，我们紧接着再用一次基本不等式， 那就大于等于二倍的根号下 b 分 之二乘以 b， 我 们将它约掉，也就等于二倍的根号二了。好，那么每次用完基本不等式之后呢，我们都要验证等号能否取得。 那么对于第一个我们应用的基本不等式，是不是它的对象是这两个数字？那因此呢，就是当前紧当 a 分 之一等于 b 方分之 a 时，也就是 a 方等于 b 方时，我们能够取得第一个数字的等号。 那么接下来第二个式子我们应用的对象是不是 b 分 之二和 b？ 那 说一个，当且仅当 b 分 之二等于 b 时，也就是 b 等于根号二。好，我们将 b 等于根号二回代到我们的上一个式子中，我们能得到 a， 其实也就等于根号二， 所以说 a 等于根号二， b 等于根号二，是取等，那么我们能不能取等呀？ b 等于根号二， a 等于根号二，是不是都满足 a 大 于零， b 大 于零，所以说我们这个式子的最小值就为二倍的根号二了。 好，那么这样子的一道题目，其实就是考察了我们基本不等式中的直接法模型。我们总结一下，什么时候用直接法呢？就是一个式子的分母等于另外一个式子的分子，那我们是不是直接将两个式子相乘，是不是就能将分母和分子给它约掉了？好，那么学会了第一个方法之后呢？我们接下来来看第二个方法，第二方法就叫做我们的配凑法模型。什么叫配凑法呢？ 好，那我们来看一下题目，题目告诉你， f x 等于三 x 加一，加上一个三 x 减一分之一，那么我们通过观察是不就能得到三 x 加一和我们的三 x 减一？好像呀？如果这两个式子如果是一样的，那么我们将这两个式子乘起来，是不就能约掉，求出它的一个最小值了？ 可是他现在是加一，他这里是减一，那怎么办呀？我们是不是给他凑出来一个减一就好了？我们非得凑出一个三 x 减一，那是不是就得到了三 x 减一，再加上一个三 x 减一分之一。好，那原先是这个式子加一，现在我们变成减一了，我们要保证这个式子不变，是不是在后面还要加上一个二？好，那么接下来我们能对他直接去用基本不等式吗？ 我们还有个条件， x 小 于三分之一，那么对于 x 小 于三分之一来说，那么我们就来看一下三 x 减一是怎样的， 是不是三 x 减一次式应该就是小于零的了。哎，基本不等式的条件是 a 和 b 都要大于零才能用，我们现在发现了这是一个小于零的数字， 这也是一个小于零的数字，那我们还能给他继续用基本不等式吗？答案是当然可以了，那我们接下来就来操作一下，现在这两个式子是小于零的，我想让它变成大于零的，那我是不是只能给小于零的加负号，是不是就变成大于零的了？ 那所以说这个式子就等于负的中括号，负的三 x 减一，再减去三 x 减一分之一，后面再加一个二。 好，那么现在我们观察负的三 x 减一和我们负的三 x 减一分之一是不是就是正数了？哎，我们对它用基本不等式， 由于你前面加了一个符号，那么不等式的符号是不是要变号？那所以说我们就能得到这个式子小于等于负二倍的根号下，负三 x 减一乘以负三 x 减一分之一，再加一个二。哎，那么这个和这个约掉根号下的数字变成了一，那也就是负二再加上一个二， 那答案是不是我们的零了？接下来我们再验证，当且减，当负三 x 减一等于负的三 x 减一分之一时去等，也就是我们的 x 等于零时去等，那么我们的答案就选择 a 选项了，那么这种题型就是我们的配凑模型了。好，我们总结一下什么叫做配凑模型，也就是说一个式子中的分子相近四，等于 另外一个式子的分母象，那我们就通过配凑的方法，将这个式子的分子象配凑成另外一个式子的分母象，你学会了吗？好，那么学会了之后呢？接下来就来看我们最重要的一类模型，就是我们的衣带换了。首先先看我们的第一个题二零二零年天津高考的第十四题， 已知 a 大 于零， b 大 于零，且 ab 是 等于一的，让你求二 a 分 之一加二， a 分 之 b 加 a 加 b 分 之一的最小值。通过观察会发现 ab 此时等于一。那么让你求这个式子中是不是有三个一啊？我要求这个式子最小值，那肯定是想配成基本不等式的样子，分子和分母相乘，把我们的 ab 约掉就行了。那现在怎么办呀？那么不妨好好利用一下 ab 这个条件， 那此时原式是不就能等于二 a b 的 样子哎，我们写成 ab 的， 再加上一个 二， b 分 之，这里的一是不是也能写成 a b 的 样子？那么就是我们的 ab 再加上 a 加 b 分 之一。那么此时原式是不是就可以写成二分之 b， 再加上一个二分之 a， 再加上 a 加 b 分 之一，也就等于二分之一的 a 加 b 加上 a 加 b 分 之一。 哎，他的分子与他的分母相同了，是不是直接可以用积分不等式大于等于二倍的根号下，二分之 a 加 b 乘以 a 加 b 分 之一，那么就等于根号二了。最后我们验证他们两个是取等即可，当然肯定也是能取等的，因为他能求到最小值嘛，所以说最小值就是我们的根号二。好，那么接下来这里有道变式题，请你们来训练一下，你们写在评论区，我来劈阅他。 好，接下来我们就看最后一类模型，叫做分离常量模型。什么叫做分离常量呢？就是分子分母同时有未知数。好，那我们此时就应该将分子的未知数分离下来。我们先看例题，已知 y 等于 x 加一分之 x 的 平方加二， x 加五的最小值。我们通过观察发现，分母有未知数，分子也有未知数， 那么我们是不是就应该将分子的未知数分离下来呀？我们怎么分离呢？是不是原式就等于 x 加一分之 x 的 平方加二 x， 如果我再给他加一个一，是不是就能配成完全平方公式了？所以说我们是不是可以将原式写成 x 的 平方加二， x 再加一，再加四， 我将我们的五拆成一和四，那么此时 x 平方加二， x 加一，是不是就能配成一个完全平方公式？所以说这里的式子就可以写成 x 加一分之 x 加一的平方再加以四，那是不就能等于 x 加一，再加上一个 x 加一分之四了？ 通过观察会发现， x 加一这一项和我们后面这一项的分母 x 还是不相同啊。那此时我们就可以给他用基本不等式，那就大于等于二倍的根号下， x 加一乘以 x 加一分之四，也就等于二乘二等于四了。那么我们最后再验证，当前紧当即可。填空题一般都是可以取到的， 所以说这个题目答案是不是四了。好，那么这类模型就叫做我们分离常量模型。分子分母同时未知数，我们只需要将分子的未知数给它分离下来即可，你学会了吗？那么在我们这节课最后呢？我们遗留了两道高考的基本不等式类型的题目，那就请你们把答案发在评论区，我来批阅。

  4720恐龙蛋数学🦖
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  强基第一讲（常量代换） 常量代换考的最多的就是齐次化，然后进行分析数，以及形式如何去改变#强基计划 #高考数学 #高中数学 #解题技巧

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  我们讲一下强积的第一讲常量代换。常量代换有哪些支点呢？第一个，如果有 a 加 b 加 c， 它是等于一出现了 a 加 bc 这种情况，我们应该做什么操作？ 是不是给它 a 乘个一，给它进行奇次化？加上 b， c 等于 a 乘上 a 加 b 加 c 加上 b、 c， 那它就等于什么？是不等于 a 方加 a， b 加 a， c 加 b， c， 也就等于 a 加 b 乘以 a 加 c， 这种是第一种奇次化。 第二种奇次化，如果 a、 b、 c， 它是等于一的， 那么如何给它进行奇次化呢？我们 a 等于 x 比 y， b 等于 y 比 z， c 等于 z 比 x， 这是一次，这是零次，这是一次，这是一次，是零次，是不是就把这个全变成零次？零次、零次，然后跟右边的零次做配合，这也是一种奇次化。 介绍这两点就够了啊。我们看题目， 他说整数 x、 y、 z 满足，这个等于一则这个可能取得的值，那我们观察，这个是零次，这个是二次，这个是 零次，这是二十，这是零次，这是二次，而这个是一次一次一次，一次一次，这是不是二二二啊？所以应该做什么？是不是给他起次化？就是我们说的什么呢？这个第一点 好，我们看这个题，那给他起次化。假如一加 x 平方，它等于什么？等于 x， y 加 y， z 加上 z， x 再加上 x 方，跟刚刚一模一样，它就等于什么？是等于 x 加 y， x 加 z 的。 那同理， 你把这个一加 y 是 不是也变了？变成什么呢？ y 加 x， y 加 z， e 加 z 方变成 z 加 x， z 加 y 啊，那原来的就等于什么？就等于 x 加 y， x 加 z， y 加 z， 共平方，那它必然，为什么一个完全平方数， 它必然为完全平方数？我们好像只知道一个完全平方数，但你仔细想，它应该是什么？它应该是 偶数的完全平方数。 x 加 y 乘上 x 加 z 乘上 y 加 z， 必然为偶数，为什么？ 因为它有个前提是整数啊。整数的话，那 x 要不 x， y， z， g 和 x y， z 以及等偶 等等等等等等。你把所有情况算到说，说明其中一个因式必然为偶数，所以它这个数一定是一个偶数的平方数。偶数的平方数， 那只有什么？只有 a 选项， a 选项是一百三十的平方，所以这里选 a， 理解吗？过了， 我们看这第二题，第二题和第一题是不是长得很像？这里是一次，这里是二次，这里是一次，这是二次，这是一，这是二次。那我们应该干嘛？是不是给它配用 a 乘以一就得到什么？ a 乘以得到什么？ a 方加 ab 加 ac 的， 再加上个 b， c， 哎，它就跟上面一样的， a 加 b， a 加 c， 那 这个跟上面一样，那整理出来 s 等于什么？ s 应该等于 a 加 b， b 加 c， a 加 c 的 copy 吗？刚刚讲了， 这个必然是个偶数的平方数，那一个偶数的平方数大于一百一百是谁的平方？是不是十的平方？所以他最小应该是十二的平方，那他必然大于等于十二的平方等于多少？是不是等于一百四十四？ a 不 对， b 不 对， c 不 对，所以这里选 d 啊。三个答案都不正确。我们看到这个最后一题， 他问 a 加 b 加 c 的 可能值，又给了个这个，然后给了个这个，等于负三，我们应该怎么找呢？我们知道看到这种形式，是不是自然想到可以不等式啊？那就有 a 方 加 b 方加 c 方式，乘以一加一加一是大于等于 a 加 b 加 c 的 可平方，那这是，这里是三，这里是三，所以这个 a 加 b 加 c 是 属于负三到三，它有一个 值域了。好，我们再看到原式啊，原式它是这样子，它是 a 乘以 b 分 之一加上 c 分 之一加 b， c 分 之一加 a 分 之一 加上一个 c， a 分 之一加 b 分 之一，它是等于负三的。那这个负三是不是给例例提示啊？我们只要把这个负三拆成一个负一加负一加负一，给他移到前面去， 那就变成什么？是变成 a 乘以 a 分 之一加 b 分 之一加 c 分 之一，加上 b 乘以 c 分 之一加 a 分 之一加 b 分 之一加上 c 乘以 a 分 之一加 b 分 之一加 c 分 之一。那这个是什么呀？这个是不是就是 a 加 b 加 c 乘以一个 a 分 之一加 b 分 之一加 c 分 之一啊？哎，我们得到了我们想要的结果， 那他是不是有两种，他是等于零的， a 加 b 加 c 等于零。这第一种，哎，那说明他必然有个值，为什么为零？第二种， a 分 之一加 b 分 之一加 c 分 之一，他等于零，他又是非零常数。那我们给他做个 什么呢？左右同乘的 abc 来得到什么？ bc 加 abc 加 ab， 他 是等于零的， 我们要得到 a 加 b 加 c， 这种情况下， a 加 b 加 c 的 值怎么做？那我们是不是有个 a 加 b 加 c 的？ 靠平方等于 a 方加 b 方加 c 方加上个二 a， b 加上 b， c 加 c， a， 它是等于三的，我们知道这个东西是等于零的，而这个东西已经给了它是等于三的， 所以 a 加 b 加 c 可以 等于什么？是不是等于正负根号三？哎，它也在这个旨意里面，所以有几种？是不是有三种？所以这里选 a。

  1.8万99岁骑猪上学（录制高等数学中）
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  高中数学方法——“1”的妙用 #解题技巧#高考数学#一轮复习#高中家长#1的妙用

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  同学们好，我是林，感谢大家的三连和关注。今天我们来学习的是一的代换，对于一些复杂的数学问题时，可以尝试根据题目的特点对隐藏的一进行合理变形，从而突破难题。 我们来看例一，若贪婪的 c 等于负二，则肾 c 加口，肾 c 分 之，肾 c 乘一加肾二， c 等于多少？我们先来理一下这个式子，分子是肾 c 乘上一加上肾二 c， 分母是 sin theta 加 cosine theta。 我 们先来看分子中一加 sin 二 theta 这一块，我们知道， sin theta 它等于两倍的 sin theta， cosine theta 加上 cosine 方 theta， 它们相加就是 sin 方 set 加上两倍的 sin set， cosine set 再加上 cosine 方 set 等于 cosine 加上 cosine set 的 平方刚好是一个完全平方式，所以说原式分子我们就可以把它写成 sin theta 乘上一加 sin 二 theta 是 原式分子，就能等于 sin theta 乘上 sin theta 加 cos theta 的 和的平方。 而分母有一个 sine theta 加 cosine theta， 分 子现在有一个 sine theta 加 cosine theta 的 平方， 这个 sine theta 加 cosine theta 能约掉吗？我们来看一下，如果分母是零，这个分式它就没有意义了。但是我们有一个另外的已知条件， tan 的 theta 等于负二。我们来看，若 sentence 加上 sentence it， 它等于零，也就是 根号二倍的二分之根号二 sentence it 加上二分之根号二 sentence it 等于零， 就是根号二倍的 sin theta。 考 sin 四分之派加上考 sin theta， sin 四分之派 等于零，那也就是根号二倍的 sin theta 加上四分之派等于零， 这个时候 theta 就 等于负四分之派加上二 k 派， 此时探戈的 theta 等于负一，并不等于题目中给到的负二，所以说我们可以放心约那，所以 把题目上的分式先抄下来， sin sit 加 cosine sit 分 之 sin sit 一 加 sin 二 sit 等于 sin theta 加 cos theta 分 之 sin theta 乘上 sin theta 加 cos theta 的 平方 等于 sin theta 乘上 sin theta 加 cos theta。 好，我们再把它展开，等于 send 方 set 加上 send set 返回 set。 但是我们在题目中知道的是 tangent set， 也就是正切的值，所以我们还要把它换成只含 tangent set 的 形式，怎么办呢？ 虽然这个 c 方 c 加 c 值， q 值 c 值看着是一个，它并不是一个分式，但实际上我们可以把它看成它的分母上还有一个。一 而一又等于 sin 方 theta 加 cos 方 theta， 我 们就可以把上下的次数统一，然后再进行变形。所以说这里继续来写，等于 sin 方 theta 加 sin theta， cosine theta 比上 sin 方 theta 加上 cosine 方 theta 这个时候我们发现 分子上这两项都是二次的，分母上的两项也都是二次的，我们把分子分母同时除以 cosine 方 theta 就 等于 tanne 方 theta 加上 tanne 的 theta 比上 tanne 的 方 theta 加一。好，这个时候我们就可以把 tanne 的 theta 等于负二，代入 等于负二的平方减二，比上负二的平方加一就等于四减二，除以四加一等于五分之二。 好，这样这道题就结束了。最后我们来想一下，既然题目中全是 sin theta 和 cos theta， 那 为什么我们不直接求 sin theta 和 cos theta 呢？ 如果直接求它们两个，那判定的 set 等于负二，那就意味着 sin set 等于正负 根号五分之二，而考点 c 它呢？它等于负正根号下五分之一。那我们还要讨论 sin c， 它考点 c， 它的符号和象限就会增加很多麻烦。所以说我们直接进行极次化 和切画弦啊，弦画切，这里是就能避免这些讨论一步到位，得出我们的答案。 我们再来看例二，若 a 方加 b 方等于， c 方加地方等于一，且 a、 c 加 b， d 等于零，则 ab 加 cd 等于什么？ 看到平方加平方等于一这样的形式，我们就该想起什么呀，是不是平方 c 加或平方 c 等于一啊？ 好，既然平方和为一，我们就可以给 a、 b、 c、 d 套上三角函数，那 a、 c、 a、 b 是 同角， c、 d 又是同角，那我们令 a 等于 sin 法， b 等于 cosine 法， c 等于 sin beta， d 等于 cosine beta。 好， 这样一来， a 方加 b 方就变成了 sin 方法，加 cosine 方法 等于一，而 c 方加 d 方又变成了 c 方， beta 加考 c 方 beta 等于一。 现在我们再来处理另外一个已知条件， a、 c 加 b， d 等于零，那把 a、 b、 c、 d 都代入，就有 a、 c 加 b， d 等于 send alpha， send beta 加上 cosine alpha， cosine beta， 那 我们看到这里余余正正符号相反，就等于 cosine alpha 减 beta 等于零。 同上，我们再把要求的 ab 加 cd 记换成我们的三角函数，也就是 ab 加 cd 等于 sin alpha 考 sin alpha， 加上 sin beta 考 sin beta， 那我们看到现在有了正弦和余弦相乘的形式，就要想到二倍角公式里边 sin 二 theta 等于两倍的 sin theta cos theta 把这二挪过来就是二分之一，所以这里就等于二分之一倍的 sin 二 alpha 加上二分之一倍的 sin 二 beta。 好， 我们把二分之一再都提出来，就等于二分之一倍的 sin 二 alpha 加上 sin 二 beta。 好。看到了 sin 阿尔法加 sin 二倍它我们又要想到另外一个公式，就是和差化积， sin 大 a 加上 sin 大 b， 我 们等于两倍的 sin 二分之 a 加 b， 那这里 a 就是 r alpha， b 就是 beta。 所以 继续来看，等于二分之一乘上两倍的 sin r alpha 加上 r beta， 除以二乘上 cosine r alpha 减去 r beta 一 乘二，那等于 cosine alpha 加 beta， cosine alpha 减 beta， 那我们在前面已经得到了 cosine alpha 减 beta 是 等于零的，就是说这一部分是等于零的， 那零乘以任何数都等于零，我们就不用管 sine alpha 加 beta 等于多少了。所以最 后我们来看例三，已知实数 x y z 满足 x 加 y 加 z 等于零， 证明二 x 方加一分之 x 乘 x 加二加上二，外方加一分之 y 乘上 y 加二加上二， z 方加一分之 z 乘上 z 加二大于等于零，并指出等号成立的条件， 我们直接套已知公已知条件 x 加 y 加 z 等于零，不好下手，我们可以先挑简单情况来处理，比如其中至少有一个为零的情况， 这样就会从三元变成两元甚至一元。我们不妨来看 x 等于零 啊，不妨设 x 等于零，那么 x 加 y 加 z 等于零，就变成了 y 等于负 z， 代入不等式。第一个分式因为 x 等于零，所以说第一个分式就等于零了，那后面两个分式就变成了这样。 不行了，直接把它摸下来。 好，这个它等于 二，外方加一分之外加二，加上 两倍的负外方加一乘上负外乘上负外加二。好，就等于 二，外方加一的平方分之，外方加二外，把右边的也一起合过来，就是加上外方，再减去二外 等于二，外方加一分之二外的平方。 因为分子、分母都是平方和，所以说它肯定是大于等于零的。所以要是 若 x 等于 y 等于 z 都等于零，那么三个分式就都为零。等号乘以， 那如果它们都不为零，也就是 x、 y、 z 都不为零。 x、 y、 z 不 等于零，就要用构造一来创造条件了。我们把题目中的分式分式记为 s， 好让 s 等于二， x 方加一分之 x 乘 x 加二，加上什么什么？这个式子我们要证明它大于零。 好，注意到每个部分分子中的二次项系数都为一，而分母中的二次项系数都为二， 那我们不妨把分式乘以二，毕竟证明 s 等于等于零和二 s 大 于等于零都是一样的。我们来看一下每个项都加一会怎么样？ 先来看 x 的 部分，二二乘上二， x 方加一分之， x 乘 x 加一， x 乘 x 加二，最后再加上一个一，就等于 二， x 方加一分之两倍的 x 的 平方加上四 x， 再把一也拿下来，就是加上二 x 的 平方加一 就等于二 x 的 平方加一分之四， x 的 平方加四， x 加一。 发现上边是一个完全平方式，就等于二 x 的 平方加一分之二， x 加一的平方， 这样我们就上下都凑齐了一个平方和，就说是一个平方，那我们三项都这么处理，就得到了二 s 加三等于 二， x 方加一分之二， x 加一的平方，那 y 的 部分，它的结构跟 x 是 一样的，也是二 y 方加一分之二， y 加一的平方，最后再加上 二 z 方加一分之二， z 加一的平方。好，这样要乘 s 大 于零。 秩序证 二 s 加三大于等于三，这里是大于等于零， 那也就是说上面这个式子它大于等于三。 好，我们知道 x 加 y 加 z 是 等于零的，所以它们三个只能是两正一负或者是两负一正，不能出现全正或者全负的情况，因为如果它们全正的话， 就会横大于零， 那全负的话就会横小于零，这样 x、 y、 y、 z 或者是 x c 中它只有一个正数。 你想如果 x 大 于零， y、 z 都小于零的话，是不是这里小于零，大于零、小于零啊？其他的情况大家可以自己试试看，它们三个的乘积只有一个正数，所以我们不妨设 y、 z 来大于零来看，我们再要用一个不等式 啊，个 c 不 等式，这个可以记忆一下，是 m 分 之 a 方加上 n 分 之 b 方大于等于 m 加 n 分 之 a 加 b 的 和的平方， 其中 m、 n 都要大于零。好，这样的话我们就能得到 二外方加一分之二外加一的平方加上二， z 加二， z 方加一分之二， z 加一的平方，它是大于等于 二外方加一把分母相加加上二， z 方加一 分子，分子再相加分子开平方，再相加的平方就是二外加一加上二 z 再加上一的平方。好，我们来整理一下，就有等于 分母，可以把二提出来，就是两倍的 y 方加 z 方，再加上一个二分至 两倍的 y 加 z 再加二的平方。 好，从题中我们也能知道，因为 x 加 y 加 z， 它等于零嘛。所以说 y 加 z 也等于负 x， 我 们直接来写由 t 一 只 y 加 z 等于负 x， 那 么 y 加 z 的 平方 等于 y 方加上二， y z 再加上 z 的 平方，就等于 x 的 平方。也就是说 y 方加 z 方 等于 x 方减去二 y x 二 y z。 好， 然后我们把这个结果代入，就有 这个式子， 它等于 下边是两倍的 x 方减去二， y z 加二，分母式根号下负 x， 两倍的负 x 加二的平方。我们把分母、分母和分子中的二都提出来，那就是啊，这里改成小括号，就是四倍的一减 x， 它的平方比上两倍的 x 方减二， y z 加一等于两倍的一减 x 的 平方。 比上 x 方减二， y z 再加一。因为我们在前面已经设了 y z 是 大于零的，所以它就大于等于 x 方加一分之两倍的一减 x 的 平方。 然后我们再把这个结果带回去看二 s， 它就等于 再把这个都给拿下来。不太好复制，抄下来吧。那就 等于二， x 方加一分之二 x 加一的平方。加上二， y 方加一分之二 y 加一的平方，再加上二 z 方加一分之二 z 加一的平方。 好，这里后半部分我们可以把它替换成这里了。是不是这里还少了一点，少了一个减三，因为这里是二 s 加三等于这个嘛。好，再来，等于 啊，就不是等于了，因为这里是大于，等于号就改成大于。等于二 x 方加一分之二 x 加一的平方，再加上 x 方加一分之两倍的一减 x 的 平方，再减去三。好，这个过程会很漫长啊，我们再把它都合到一起， 就由二 x 方加一分之 x 方加一分之 二 x 加一的平方乘上 x 方加一，再加上两倍的一减 x 的 平方乘上二 x 方加一，再减三。 三倍的二 x 方加一，乘上 x 方加一。啊，这乍一看很长啊，而且计算过程也肯定会很漫长，我们沉住气，一点点来算啊。 继续先把分母保留住不变，分子上面把它的二次项先展开， 四 x 方加四， x 加一，乘上 x 方加一，再加上两倍的一减二 x 加上 x 的 平方乘上二 x 的 平方加一， 再减去三倍的二 x 方加一，乘上 x 方加一。 好，我们再把分子中的每一项都乘开， 就是二 x 方加一，乘上 x 方加一。反之，四 x 的 四次方加上四 x 的 平方，再加上四 x 的 三次方加上四 x。 这里没有别的技巧，就是一箱一箱的盛进去，但是要注意尽量不要出错，因为出错的话，这时间都全部浪费了啊。然后这里再减去八倍的 x 的 三次方，减去四 x， 好，再加上是四 x 的 四次方，再加上二 x 的 平方，好。应该是这样，最好再减去一个， 挡住了。减去一个六倍的 x 的 四次方，再减去六 x 的 平方，再减去三 x 的 平方，最后再减去三， 好，这样上边我们就把它拆分完了。最后我们再合并同一项， 先画到这， x 方加一，乘上 x 方加一。好，分子，我们先来看四次方的相， 这里四次方呢，有这个，还有这个，这个，那就是四加四，减六是两倍的 x 的 四次方。再来看 x 的 三次方是四负八， 没有了，再减去四倍的 x 的 三次方。再来看二次方向是四， 一加起来是五，再加一，九，再加二是十一，然后这里减六减三，又减九，就是还剩下一个二，加上两倍的 x 的 平方来看，一次项加四 减四，后边没有，那就零消掉了。再看常数项，一加二三，最后减三也没有了，所以这个式子就化为了 二， x 方加一，乘上 x 方加一分之，我们把分子的二 x 方提出来，就得到 x 方减二， x 加一， 就得到了一个完全平方式。最后等于二， x 方加一乘上 x 方加一分之二， x 方乘上 x 减一的平方，那这里全都是平方，显然是大于等于零的。 所以当 x 等于零，或者是 x 减一等于零，减 x 等于一时，它的分子为零， 也就是等号 成立。 但是我们注意到我们的前提条件啊，很远很远了，是 x、 y、 z 不 等于零，所以说在这里 x 能为零吗？如果 x 为零，那 x、 y、 z 不 就是零了吗？就不符合条件了。所以说这个我们要舍去 最后这个情况， x 它只能是等于一，所以写当前仅当 x 等于一，那 y 和 z 在 哪里呢？ y 加 z 等于 负 x， 然后在克奇不等式这里，我们会得到一个 y 等于 z 时，它的是符号是成立，它是得等号是成立的。所以说这里就是 y 等于 z， 那 y 加 z 等于负一， 就等于，他们就分别等于负的二分之一十，等号成立。 最后我们来总结一下，综上所述啊。综上所述， 我们得出了结论是它这个式子是大于零的。题目已经很遥远了啊，我们就 不一一去看了。二 x 方加一分之 x 乘 x 加二，其他两项也是同样的格式， y 方加一分之， y 乘上 y 加二， 再加上二， z 方分之一二， z 方加一分之 z 乘上 z 加二，它是大于等于零。 且题目中还没有我们等号成立的条件吗？等号成立的条件为， 一个是 x 等于 y 等于 z 等于零，或 x 等于一， y 等于 z 等于负二分之一。好，结束。

  10林小师
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  00:56

  听说1的代换，是个高中生都会～～ #高中数学 #高考 #数学思维 #高中生

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  听说一的代换，这个高中生就会来道题试验一下吧！来看题，已知 x 大于零， y 大于零， x 加 y 等于二，求 x 分之一加 y 分之二的最小值。刷到视频的友友们一定要拿起笔做一下，不会的记，这种题我们一定要充分的利用他的已知条件，怎么做呢？把 x 分之一加 y 分之二先写在这里，然后我们给他乘一个已知条件，也就是 x 加 y。 但是你不能在一个式子上平白无故成一个东西，那它等于多少？它是二，所以为了保持不变，我们先编成一个两分之一，然后我们把这个式子给它展开，注意把两分之一留在外边，它也就是一加上 x 分之 y 加上 y 分之二 x 再加上一个二。那我们看这个部分它是不是出现了一个倒数结构，它也就可以使用君子不等式了。 就是大于等于两分之一保持不变，然后一加二等于三，加上两倍的根号下， x 分之 y 乘以个 y 分之二 x， 我们整理一步，这也就是两分之一乘以括号三加两倍根号二。那么最后答案也就是两分之三加一个根号二，记得别忘了检验一下它能否成立哦！

  1309高考提分Tips🔖
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  00:32

  #数学 #高中数学 #高考数学 #高中 #数学题
  整体代换法的应用

  17.5万数学之美
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  08:26

  1的代换与权方和不等式 #高中数学 #高考数学 #数学思维 #基本不等式

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  各位同学大家好，我们来看这样一道题目，若 x 大 于零， y 大 于零， x 加一分之一加 x 加二， y 分 之一等于一， 求三 x 加 y 的 最小值。那么读完这种题，我们会看到条件中有分式的形式，而分母中有整式的形式啊，那这个我们的第一反应应该是可以使用一的代换， 那当然了，这里边可能分母稍微复杂一些，我们可能后期 有一些这个方法叫做双换元啊，就是为了配合一的一个代换啊，那今天的话我们就不用双换元了，我们直接用配方的形式，配方可能和它是呃一个东西啊，当然除了 e 的 代换这种思路，那么从结构上来看的话，它还可以跟用全方和不等式 啊，这是我们比较容易能够想得到的啊思路。那么我们今天就通过两种方法来对比一下，呃，谁的速度更快一些。首先的话，我们根据 e 的 代换来处理它，我们观察 问题中的这个式子，三 x 加 y， 那 么条件中带有 y 的是二 y， 所以 的话，我们在这里相当于来说要给它凑出一个二 y 的 形式啊，或者说总体来说目标可以写写成六 x 加二 y 的 形式啊，会更加方便一些，然后呢再去求它，哎，所以这块的话，我们把 啊第一种方法叫一的代换， 问题中的三 x 加 y， 我 们是不是就可以给它稍微转换一下，转化成二分之一，里边写成六 x 加二 y， 写成它的原因的话，其实就是根据我们条件中的这个形式去处理，那么条件中有一个 x 加二 y， 所以 我们在这里给它拆出来就可以了啊，那么它就等于二分之一，前面就会变成了五 x 加 x 加二 y， 那 么前面呢，还有一个 x 加一的这个形式，那在这里我们继续给它凑啊，也就是说五 x 相当于要变出或者配出 x 加一的这种形式， 那么就是二分之一，里边就是五倍的 x 加一，然后再加 x 加二 y 啊，当然这里边 前面相当于凑了一个五，我们给后边减掉一个五就可以啊，然后的话，这一坨相当于条件中都已经有了，我们就可以直接用一的代换啊，那在这里我们把它整体给开出去啊，把二分之一给乘进来，呃，乘进去之后就是二分之一 五倍的 x 加一，再加 x 加二 y 啊，在这里我就直接把一给乘乘过来了，一的话就是 x 加一分之一，再加 x 加二 y 分之一啊，当然这里边减掉二分之五给他开出去啊，运算可能稍微长一点啊啊，这个没有关系，我们往往里面写就行了。二分之一，剩下的就是计算问题。五加一啊，然后呢，再加上 x 加一分之 x 加二 y， 然后呢，再加上 x 加二 y， 分 之五倍的 x 加一啊， 啊，后边减掉二分之五啊，然后直接基本不等式大于等于二分之一， 里边这一坨就是六加上，呃，这两式子相乘正好剩五，那就是二倍的根号五，然后呢，再减二分之五 就可以了啊，所以最终呢把这个值给它求解出来啊，根号五三减二分之五，呃，正好是二分之一加，然后 啊，这就是它的一个答案。当然这里边我们还是要注意啊，呃，里边有一个取等条件， 必须是 x 加二 y 比上 x 加一是要等于五倍的 x 加一乘以 x 加二 y 啊，也就说把这个玩意给带回到原式里边，相当于要把 x 和 y 给求解出来 啊，那在这里我就不再去求它了啊，那么答案就选 a 啊，这是第一种，我们用一的代换，那么第二种思路的话，就是我们可能会想到用全方和不等式。 好，那在这里的话，我们还是先来回顾一下什么叫全方和不等式啊，我们常规的这种形式必须得知道啊，它的形式就是 a 分 之 x 方加上 b 分 之 y 方大于等于 a 加 b 分 之 x 加 y 括号啊，并且呢，当前仅当 x 比 a 等于 y 比 b 的 时候去等， 那这样的话其实就是相当于我们在这里只需要凑出这个形式，就是分母可以做加法计算的时候，我们通过分母凑出三 x 加 y 就 可以了，而分子作为常数的话， 写成平方的形式非常的方便啊，所以这里边我们要凑的话要凑出三 x 加 y， 和刚才是一样，因为观察到这里有二 y 对 不对？所以的话，我们在这里 在原来的方程中给第一个式子上下同时乘以五就行，五倍的啊，五比上五， x 加五加上 x 加二 y 分 之一。好，那么然后的话，我们对这边的就直接可以用全方和不等式啊，就大于等于五的话，相当于是根号五的平方等于十根号五加一括号的平方， 然后分母就直接相加五 x 加五，再加 x 加二 y 就 可以啊，那就相当于这边是一是大于等于这一坨啊，最后呢，把 呃分母给乘过去就可以了，那就相当于是六 x 加二 y， 相当于是二倍的三 x 加 y， 然后再加五，大于等于呃，这个位置展开以后就是五加二倍的根号五再加一， 所以最终我们把三 x 加 y 就 给解出来就行，大约等于二分之二倍的根号五。 啊，那这样的话和我们的答案是一样的，当然的话我们也是要验证啊，这里边根号五比上五 x 加五等于一比 x 加二 y 啊，是 这俩要相等，对吧？啊，就可以了，好了，那么这个题我们就讲到这里，感谢你的观看。

  470兴琦数学
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  15:17

  基本不等式必会的12种题型 第5集。题型9，#齐次化 思想。题型10，#双换元 思想。这两种思想不仅在不等式，在后续的很多题型中都适用！！！推荐！！#基本不等式 #均值不等式 #高考数学

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  这个视频我们继续讲解基本不等式十二种必会题型的第九种和第十种。今天的其次化代换和双换元法，这两种思想不仅仅在基本不等式当中很重要，同时在整个高中数学的题目当中的应用也很广泛。 首先来说一说其次化代换，什么样的题目会用到其次化这个思想呢？我们通常情况下会给它化成一次比一次型， 或者是二次比二次型，那就是每一项都是一次的，或者是每一项都是二次的，这样的就叫做其次式。首先咱们来看一下第一道例题， 这道例题它本质上也属于一带带换的一个变形，来观察一下这个式子，它给了一个整式，一个分式，那这个式子要更好去处理，我们会发现它的字母是比数字多的，所以这个第一项不是一次吗？而后边这个是一次，上面这个它的次数 不够，所以这个题我们也叫做长值替换，咱们把长数项替换掉之后，就会变成一次比一次这样的一个其次式了。所以原式子咱们可以写成，因为这个地方是二，所以我习惯上是把这个长数变成是二， 那底下就变成四 n 了，而这个二我又可以换成 m 加 n， 这样我就实现了一个奇次化的一个替换，所以这个式子就等于 m 分 之 n 加上一个四 n 分 之 m， 然后再加上一个四分之一，那到这里之后，他俩的乘积是一个定值，所以咱就可以用均值了。所以整个式子应该是大于等于二倍根号下 他们两个相乘，然后再加四分之一，那就应该是四分之五了，那验证一下取等条件呢？应该是当前仅当这俩相等，那也就是说是四 n 方等于 m 方，也就是说是二 n 等于 m 的 时候，会发现 m n 都大于零，带进去肯定要存在这个常数，那就 ok 了，所以它的最小值就应该是四分之五了。 接着咱们再来看一下第二题，其实也是差不多的，因为这道题他比较特殊，在一个什么地方，他是三个变量，那三个变量我们在做的时候不是很好做，那用其次化的思想跟上一题一样，把常数给他替换掉。所以圆式子 咱就可以写成 x 分 之一，换 x 加 y 加 z， 四的话换成四， x 加四， y 加四 z 九的话换成九， x 加九， y 加九 z， 这个式子整理一下就应该是这个样子，咱们把长竖向放到一起，一四九这个东西放完之后不就是十四吗？把后面这个整理一下，这个也是要分组用均值，我们和，那 咱们不是求和吗？所以咱就凑积是一个定值，把它俩放到一起，那就是 x 分 之 y 加上一个 y 分 之四 x， 再把这个俩放在一起， x 分 之 z 加上 z 分 之九 x， 再把最后剩下这俩放在一起，就是 y 分 之四 z， 再加上 z 分 之九 y。 好，我们分组分别用均值，这个应该是大于等于二倍根号四，那他就等于四的，这个是大于等于二倍根号九，那就是六，他俩是大于等于二倍根号三十六，那就是十二。所以整体加在一起， 他们应该是大于等于十四加四加六，再加一个十二，这个最后的结果应该是三十六，那我们是不是用了三组均值？我这个三十六如果要想同时取到的，你必须得是这三的取等条件，应该是同时成立才可以。所以我们来验证一下， 当前仅当这个式子就应该是 y 方等于四 x 方，那就应该是 y 等于二 x 的 时候，好，那么这个式子应该就是 z 等于三 x 的 时候， 这个式子的取等条件应该就是二 z 等于九 y 方，那就是三 y 的 时候。所以我们会发现，你看第一个式子， y 等于二 x， z 等于三 x， 好， 当 y 等于二 x 的 时候， 这个三 y 就 应该是六 x， 这个二 z 应该也是六 x， 所以 它俩确实是相等的，也就是说这三组取等条件确实是相同的。那么此时我就知道这个最小值 应该就能够取到了，所以这个是可取的。接着咱们再来看下一道变式的小题，也是给了咱们一个整式，所以这相当于还是一的代换的一个小变形。 再观察一下这个分式，这是二次的，这一项是二次的，后边这一项他就不是二次的了，不是一个是一次，一个是零次常数项，所以咱就变成二次的其次分式，那不变的这一项我们保留好那个 a， 他 现在是一次， 他如果想变成二次，我给他乘以一对就可以了。你一他本身可以换成 a 加二 b， 因为我要换成二次的其次式，所以我给他平方，这样上下每一项都是二次，所以他就是二次比上二次他的这样的一个其次分式。 接着我把所有的括号都拆开整理一下，能够得到好，就能得到这样的一个。其次分式，咱们把每一项都拆开，第一项约掉一个 a， 那 就是 b 分 之二 a， 第三项他应该是个常数项六，那整个式子他们两个相加，应该就是大于等于二倍根号下十，这个常数不变就可以了。所以当前仅当什么这俩相等，那也就是说是五 b 方等于二 a 方的时候，我们发现五 b 方等于二 a 方。 你带到这个式子当中肯定是有 ab 这个数存在的，所以这个就可取，所以它的最小值应该就是二倍根号十加六，这个思想还是蛮好用的。最后咱们来看一下这道练习题，你看这个式子才相当于是一次比一次的。其次分式， 那上面这个是长竖向，所以我还是照旧把长竖向给它换掉好。换掉之后我们会发现这两个式子结构是不一样的。于是我想一下把前面这个先分离出一个长竖出来，先看一看， 那就是 a 加 b 分 子，上面我就可以写成 a 加 b， 加上一个二， b 加二 c， 所以 我这个一就可以分离出来了，它就可以写成一加上一个 a 加 b， 分 之二倍的 b 加 c， 然后再加上一个 b 加 c， 分 之 a b， a 加 b 这个题，很巧的是，你到这之后，它俩成绩正好是定值，所以就不用再换了。如果说到这不是定值的时候，我们还可以再用一个消元再去试一下。好，目前到这里可以做之后，咱们就应该是大于等于一不动二倍， 后边这俩相乘二倍根号二就可以了。当前仅当这个式子成立，你带到上面那个式子肯定也是成立的嘛，因为这个地方可以看成是 a 加 b， 再加上一个二， c 加二， b 到这就可以换。而这道题其实用双换元法也可以去做的。好，那么这道题最后的答案我们就出了， 接下来我们来看第十种方法，双换元。我觉得这种方法还是相对来说比较万能的，咱们第七种方法还是比较万能的，咱们的题也可以用双换元去解决的。 好，先来看一下第一题，这种题是适用于什么？一个整式，一个分式这样的一个题，我们通常情况下就可以去凑，你把它凑成多少倍的它，加上多少倍的它，这不就是一的代换的变形的题的思想吗？那如果这道题我们用双换元，那么以分母为准，我令其中的这个 x 加 y， 你 让它是 m， 另一个你让它是 n， 所以 我换的心圆，一个是 m， 一个是 n， 那 x 是 大于 y 的， 所以这两个心圆都是大于零的，我用这两个心圆去表示出原来的 x， 所以 我就能解出来，这 x 就 应该是二分之 m 加 n， y 等于二分之 m 减 n 呗。好，所以第一步叫换元，第二步是用心元表示出原来的未知量。哎哟，写用心元去表示 x y， 第三步其实我们就是把整个题目给它换掉，什么叫换题？原题就相当于是 m 分 之三， 加上一个 n 分 之二是等于一的，让我们去求谁的最小值。那么二 x 加 y， 我 们算一下，你二 x 就 相当于是 m 加 n 吗？ 加上一个 y 就 二分之 m， 减去一个二分之 n， 所以 它就应该是二分之三 m 加上一个二分之一 n， 所以 就是求二分之三 m 加二分之一 n 的 最小值。所以这道题就变成了正常的 e 的 代换，我们去用 e 的 代换的常规思路，让它俩相乘，其实就完事了。 到这里之后应该都不用算了，最后算完的结果应该是他当且仅当用均值的两个数相等，那就应该是六 m 方等于三方，那也就是说是根号六，那也就是说是根号二 m 等于 n 的 时候，你带到这个式子里肯定有解存在，所以能取到就可以了。 接着再来看一下第二题，这道题，它没有分式，所以它没有分母，那没有分母的时候，我们就以因式分解为准。因式分解，先观察一下这个式子能不能因式分解。你会发现这个如果要拆 x 乘 x， x 乘 x 吗？这是二二 y 二 y， 你 怎么凑都凑不出来这个三 x y， 所以我就把这个先放一放，但是你发现它是可以进行因式分解的，它不就是可以写成 x 加 y 乘上一个 x 减 y， 所以 我们找到这两项，你就是用这俩去换元，所以你就是令 x 加 y 等于 m， x 减 y 等于 n， 同理 x y 还是可以去表示出来， x y 表示出来了之后，那实际上这个题是不是就相当于求 m n 的 最大值？求，那原式子是什么呢？这个式子需要去整理一下，那么 x 方加上一个四 y 方，减去三倍的 x， y 等于一，这个式子就可以化成 二分之 m 加 n 的 平方，加上一个四倍的那个二分之 m 减 n 的 平方，再减去一个三乘以这俩相乘。三乘以 x 乘以 y， 它应该是等于一， 最终这个式子它是可以化简成这个形式的，经过化简之后，上面这个复杂的式子就可以写成它。接着我两边约掉一个二，就会得到 m 方加上一个四 n 方，减去一个三 m n， 他应该是等于二的。所以这道题是不相当于已知这个条件去求 m 乘 n 的 最大值，那这个不就变成了求谁留谁吗？所以我求积，就把核去换掉。所以接下来就是 m 方加四 n 方， 它就应该等于的是三 m n 加二。那又因为 m 方加上一个四 n 方，它是不相当于 a 方加 b 方是大于等于二倍 ab 的 a 在 这里是 m， 你 b 的 平方应该是二 n， 所以 应该是二 n， 也就是说这个式子我是不是就可以换成它了？也就是说是三 m n 加二， 他应该是大于等于这边乘完之后应该是四 m n， 所以 一项之后就 m n 应该是小于等于二的，所以 m n 如果小于等于二，也就说 x 乘 y 的 最大值应该就是二。所以这道题就是四 d 选项，接着去验证一下取等条件就行了。当前仅当那个 m 等于二 n 的 时候，在这里不是用的均值吗？ m 等于二 n， 那 也就是说是 x 加 y 等于二倍的 x 减 y， 然后你带到原式当中，验证它有减就 ok 了。所以这个是这道题，再来看一下下一题，再来看一下下一题。首先这道题它不是一个其次式，而且我们又有了这样的一个东西，所以你看到分母它不是一个整式的时候， 呃，而且它有双变量，所以我们第一个步骤还是以分母为准，先给它进行换元再说。我令 m 等于的是一加 x， 那 么 x 不 就是等于的是 m 减一吗？ 同理，一加 y， 我 让它是 n， 那 y 就 应该是 n 减一，所以我原本是不是有 x 加 y 等于一， x 换成了 m 减一，那个 y 换成了 n 减一， x 加 y， 它是等于一的，也就是说，所以这道题就相当于它 x 加 y 等于一，就相当于把这个式子 m 加 n， 它应该是等于三的。挪过去等于三之后，是求谁的最小值？把题换掉，那么这个就应该是 m 分 之 好， x 方 x 方就换成 m 减一的平方，再加上你这地就应该是 n 分 之， y 换成 n 减一的平方， 所以整道题就换成了它了，所以它更工整一点。于是我把这个式子我再拆开一下，它应该是 m 分 之，就变成这样的一个式子了。你这个式子之后，我再去给他化简一下， 他就应该等于你这次提出来之后，应该是 m 加 m 分 之一，再减去一个二，这边应该就是 n 加上一个 n 分 之一，再减去一个二。到这里之后，我们观察一下，你这 m 这个不是 n 吗？ m 加 n， 他 不是等于三吗？ 所以这个式子啊，他就变成了 m 分 之一加上一个 n 分 之一加上一个三，再减去一个四，就相当于减一，所以你相当于是求他的最小值吗？所以我们可以乘 一，乘一就变成一的代换，那我们今天讲的是奇次化，所以我们用奇次化这个思想去做，那我们就上下头变成它之后，这个式子就是相当于三， m 分 之， m 加 n 加上一个三分之， m 加 n， 再减去一个一。所以前面我每一项不都是可以提出一个三分之一和三分之一吗？ 所以他就变成了三 m 分 之 n 加上一个三 n 分 之 m， 然后加上三分之二减去一，变成减去三分之一了。这两个式子他俩是大于等于二倍，根号下他俩相乘就九分之一， 然后再减去一个三分之一不动，这完事之后是三分之二，所以最后这个数就变成了三分之一。所以，所以这道题我们用了这两种思想就可以同时去解决了。 最后再来看一下这道小题，这道小题还是以认识分解为主，你会发现它没什么。这道小题首先观察一下它变量还挺多的，而且你一眼也看不出来它是一个什么样的形式，所以我们双换元法，你把这个分母给它换了，就是令二 x 加 y 等于 m， x 减去一个二 y 是 等于 n 的。 如果要先求 y， 就是 二 x 减四 y 应该是等于二 n 的， 用 m 减二 n， 它应该是五 y， 所以 比上五，这是 y。 如果求 x， 我 应该是把上面那式子是乘以二的，那就应该是四 x 加二 y， 它应该等于二 m， 那这个时候这俩式子相加 x 应该等于五分之 n， 加上一个二 m， 就 应该能得到这样的一个式子。也就是说再把这个式子改一下，那么 x 方加 y 方 如果等于三的话，我们应该就能够得到 x 方是五分之 n 加二 m， 它的平方加上五分之 m 减二 n 的 平方，它算完之后应该是等于三的，我给它通分一下，展开算一下，最后算完应该是五分之 m 方加 n 方，它应该是等于三的，那也就是说这个题我可以重新去翻译一下， m 方 加上一个 n 方，他应该是等于十五的。去求谁你这地是就变成了 m 方分之一加上一个 n 方分之一的最小值，所以我还是可以去让他两相乘。那这道题咱们今天讲的又是其次化代换，所以我还是可以写成十五分之 十五。 m 方分之上面被变成十五了吗？就 m 方加 n 方，再加上一个十五 n 方分之 m 方加 n 方，所以它就变成了十五 m 方分之 n 方加上十五 n 方分之 m 方。这边是提出十五分之一，这边也提出一个十五分之一，所以应该是整出一个十五分之二这个式子它应该就是大于等于二倍。根号下它俩相乘，你开完之后好像还是能开出一个十五分之一，所以应该是十五分之二 加上十五分之二，最后答案应该是十五分之四。这就是第九种奇次化和双换元的思想，在多变量当中还是非常适用的。双换元就是以分母为准，或者是以阴式分解为准。关注我，我是君君，每天分享一个知识点。

  508沈阳数学君君
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  09:28

  导数高分必会题型 极值点偏移技巧2–齐次化消元与比值代换 #导数 #高考 #极值点偏移 #杨杨杨讲数学 #高中数学

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  大家好，我们今天接着来讲到极致点偏移的问题，我们极致点偏移其实呢就是一个多变量的问题对不对？那么我们多变量我们肯定想着把它变成单变量，那么在变成单变量的过程中，我们的方法肯定有很多， 我们前几个视频讲到了利用单调性加构造函数去解决极致点偏移，那么这几个呢？我们来讲两个新方法，题目还是一样的，题目第一问，同学们可以自己去看一下，然后图我已经画好了， 看到第二个让我们证明， x 一 加 x 二大于二，我们怎么样去利用其次式来消元呢？其次式其实我们已经提到过很多次了，如果题目里面给了我们形如三 a 加 b 比上二 a 减三 b 这种形式我们可以怎么样？分子分母同时除以 a， 或者说同时除以 b 都是可以的，我们这里同时除以 b 就 变成了 三倍的 b 分 之 a 加一，比上两倍的 b 分 之 a 减三，对不对？我们可以把 b 分 之 a 看成 t， 那 它就变成了什么呀？三倍的 t 加一，比上两倍的 t 减三。好，我们再来看看我们原来的式子，是不是有两个参数， a 跟 b， 到了这里之后呢？它是不是就只有一个参数的 t， 对 不对？就我们利用这种奇次式来把它消圆。我们再来看到这个题目，它给我们的条件是 f x 一 等于 f x 二，那我们带进去就能得到 x 一 比上 e 的 x e 之方，等于 x 二比上 e 的 x 二之方。那么做到这里之后呢，我们肯定想把指数放到一起吧，所以它就能写成 e 的 x 一 减 x 二之方，就等于 x 一， 比上 x 二好。它现在让我们证明的是什么呀？证明的是 x 一 加 x 二， 怎么样？它需要大于二，对不对？我们这个不等式的左边它是几次的？都是一次的，对吧？你看看三 a 加 b 这种形式，这里呢， x 一 加 x 二，所以我需要把右边构造成 仍然是含有 x 一 与 x 二这种形式，然后呢，再把它比过来才行，是不是？那我们左边它是一次，那右边呢？二它是个常数，它是零次，我们怎么样才能让它出现一次呢？我们现在唯一的一个条件在哪里？就是我们刚刚化减之后的这个条件，对不对？那我们怎么去处理它呢？ 我们需要有 x 一 x 二这种形式依次的形式，那我们可以怎么样？这里不是有一个 x 一 减 x 二吗？所以我们碰到这种 对数啊，指数的话，我们应该怎么样？两边同时去取对数，我们就能得得到 loing e 的 x 一 减 x 二之方，等于 loing x 二分之 x 一。 其实也就是什么呀？ x 一 减 x 二，等于 loing x 一， 比上 x 二，我们能得到这样一个式子。所以呢，我们这里怎么样？出现了这个吧，那我们怎么办？把它除过来，那除过来之后，我们就得到了 x 一 减 x 二，比上 lynn x 二分之 x 一 等于一。好，到这里你看看它，这里是一，对不对？那你这里是二，我可以乘以什么？我把它乘上去，它变成了几次呢？你看看这里是不是我们需要的跟它其次。那多了这个怎么办？我们可以把它放到另一边嘛。 所以呢，到了这里之后，当然我这个步骤是有点乱，我们是分析哈， x 一 加 x 二大于二，你是不是就可以证明 让它乘以 lo in x 二分之 x 一， 然后呢？分之 x 一 减 x 二，那我们这里其实就是一跟圆，是没有任何变化，对不对？我们把二可以看到分子上去，那然后呢？我们再把 x 一 加 x 二以及 x 一 减 x 二放到一边，不就出现了那种形式吗？我们来看一下， 你要把它们放到一边，那你想想看，你这个是不是得乘到这边去，然后把这个除过来？你是不是得去看一看我们的 loing x 二分之 x 一 是大于零还是小于零？是不是会有影响啊？因为题目里只给了我们什么 x 一 不等于 x 二，从图像上来看，我们 x 一 x 二，你可以是这个 x 二，这个呢？ x 一 都有可能吧，所以我们可以去设一下，你想怎么设就怎么设。我这里呢？我们直接设我们的 x 一 大于 x 二，你这样设有什么好处啊？你这个直接就是正的了，而我们把它变一下形，就能得到 loin x 二分之 x 一 减两倍的 x 一， 减两倍的 x 二， 比上 x 一 加上 x 二好，到这里为止，你看看这里不就出现了什么我们的其次，是吗？然后怎么办？然后我们分子分母同时除一个 x 二喽，当然你要除 x 一 也可以啊，但是我建议你除 x 二，为什么呢？我们前面是 x 一 比 x 二嘛， 所以你现在就会发现它变成了 lawing x 二分之 x 一， 大于两倍的 x 二分之 x 一， 然后减去二比上 x 二分之 x 一， 再加上一到这里怎么办？我们是不是直接可以令 x 二分之 x 一 等于 t？ 好， 那我们现在原式变成了什么呀？也就是让我们证明 lawing x 二分啊？这里已经标写 x 二了，也就是让我们证明 loine t 大 于 t 加一分之两倍的括号 t 减一，是不让我们证明。这个设置到这里呢，是不是变得比较简单了，看起来 到了这一步呢？其实它也就是我们之前讲的飘带放缩里的这一步，对不对？如果同学们看不出来的话，你可以把它移到一边去构造一个新函数去求导答案呢，一下就出来了，不是很难啊，我这里就不接着往下写了， 这个就是我们所谓的利用其次式把它消元，我们极致点偏移的问题，无非就是一个多变量的问题吧。好，那么接下来呢，我们再讲一个方法，利用比值代换。 为什么要讲这个方法？因为有些东西他说老师我这里想不到，你又是取对数啊，又是这样变形，我想不到。那接下来我们讲一个比值代换他的方法，他的思路更加的简单。那什么是比值代换呢？我们刚刚根据函数，我们是得到了 e 的 x 一， 减去 x 二次方等于 x 一 以上 x 二，对不对？那我们为了去消元呢？我们可以直接设它等于 t， 当然我们还可以要设一个什么，你要设一个 x 大 于 x 二，你才知道 x 一 比 x 二，它等于 t， 它是怎么样？大于一的，对不对？那我们这样设完之后，当然你说老师我要把 x 一 设成小于 x 二，也是没有任何问题的。 那我们到这里之后，我们该怎么去操作呢？到现在我们会有一个什么设置？ e 的 x 一 减 x 二之方，它是不是就等于 t 呀？没问题吧，因为我们是令它为 t 了嘛。那到这里之后，我们出现了指数，我们想的去取对数，对不对？所以我们 x 一 减 x 二，它就等于什么？等于我们的 rolling t， 那这里还是两个变量啊，或者说有三个变量啊。老师，你看有 t 有 x 一， 有 x， 那 怎么办？好，我们看到我们上面这个令它等于 t 的 这个式子，你看看它可以干嘛？它是不是可以把 x 一 等于 t 背的 x 二，那我们的 x 一 是不是可以用 x 二来表示？所以呢，我们这里接着往下斜， 它就可以写成 t 倍的 x r 减去 x r 等于 l o n t， 所以呢，我们这里 x r 是 不是能够解出来 x r 就 等于 l o n t 比上一个 t 点一好。看到这里，你看我们的 x 二，它是不是可以用 t 来表示？那 x 一 怎么办呢？ x 一 它不是等于 t 倍的 x 二吗？所以呢，我们的 x 一 等于 t 倍的 x 二，它不就等于 t 减一分之 t 乘以洛林 t 啊。你看到这里，你的 x 二以及 x 一 都用 t 表示出来了嘛？然后它再让你证明什么？ x 一 加 x 二大于二，也就是让我们证明 t 减一分之 t 倍的平方 t， 然后呢，再加上 t 减一分之平方 t 大 于二吧，我们通一下分，也就是 t 减一分之 t 加一倍的平方 t 大 于二，让我们证明这个是指好，我们前面已经设过了，设过了什么呀？ 我们的 t 它是大于一的，所以罗隐 t 呢？我们这里还是写一下吧，把同学同学们他忘掉。前面因为 t 大 于一，所以罗隐 t 它是怎么样大于零的？那么这个式子呢？它其实就是让我们证明什么呀？我们这里变一下形，那就是罗隐 t 大 于 t， 加一分之 t 减一，我们这里的 t 呢，它是大于一的。好，这个仍然是我们前面讲的，什么飘带放缩对不对啊？这个二漏掉了，不好意思，前面一个二， 还是飘带放出那一步吧，跟我们前面用我们的，其次是做出来的是一模一样的。同样，同学们如果这里看不出来的话，可以去构造函数证明，当然你用飘带放缩的话，你也要去证明一下这里的函数啊。 这里的证明过程同学们可以自己去写。怎么写啊？我们令它为一个新的函数嘛， h x 等于，我们这里就写 t 好 了， h t 等于 rolling t 减去 一加一分之二倍的括号， t 减一，然后干嘛去求导，求导，然后呢？求它的最小值都大于零，那么这个式子呢，就是成立的，注意 t 的 取值范围。 好，我们今天主要是通过这一个题目讲了两种方法，第一个利用其次的式来消元，第二个呢，利用比值代换。 第一个有些同学们掌握不住，没有任何关系。那第二个我希望同学们是能够把它掌握的。这种方式其实怎么样更无脑，更简单，相当于一个套路吧。碰到这种题目，我们就应该可以往这方面去思考。那么接下来呢，我们的 x 乘以 x 二小于一，同学们可以自己去尝试一下。

  119杨杨杨讲数学
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  高考圆锥曲线三角代换显神威#高考 #高考数学 #高中生 #高中 #圆锥曲线

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  虽然命只有一条，但是要命的题可不止一道。来看一下这道二零二二年全国甲卷的这每一道圆锥曲线高考大题，他考的是抛物线。我们先把第一问给大家，他是 y 方，等于四 x， 我们重点看第二问，他说设直线 m d， n， d 与 c 的 另一个交点分别为 ab， 直线它是 m n， 还有 ab， 它的倾斜角分别为阿尔法和贝塔。当阿尔法减去贝塔取得最大值时，让我们求直线 ab 的 方程， 而我们竖形里面有一个高大上的词，叫做竖形结合，所以我们给它图，给它画出来，大概长这幅德性。那么这道题能用的方法有很多，比如说什么连接方程维达定律就是传统的方法，那今天我就不用传统的方法来做，我用 抛物线的参数方程来做。我们都知道抛物线的参数方程 x 等于二 p t 方，然后是 y 等于二 p t。 好， 也就是说在抛物线的四个点我都可以这么设。你还要注意，根据他提议， n b 他 是过二六零的，然后 m n 也是过二六零，还有 m n 过的是焦点一六零，所以 m n， 然后是 ab， 我 们分别可以把他们的参数方程给它设出来。 又因为我们直线 m n 和 ab， 他的倾斜角分别为阿尔法、贝塔，然后让我们说的是阿尔法减去贝塔，我假设 m n 的 斜率为 k 一， ab 的 斜率为 k 二， 那么阿尔法减去贝塔，我来一个倒角公式，也就是贪心的阿尔法减去贝塔，就应该等于的是 k 一， 减去 k 二，比上一加上 k 一 乘 k 二，那么显然他说的是阿法减。贝塔取到最大的时候，我们就应该思考一个问题， k 一 和 k 二有什么关系？ 这是我们做题的一个思路。再结合抛物线的两点式，我们可以知道， k 一 它等于的是 m， 加上 n 再分之一， 而 k 二它等于的是 a 加 b 再分之一。我们就要想清楚 a 和 b 和 m n 它们有什么关系。 我们可以把直线 ab 给它设出来，它是 x， 等于 a， 加上 b 倍的 y， 再减去四倍的 ab。 其实说一千道一万，你只需要求 ab 的 方程，就这玩意，我圈起来这一个 好了，我们先表示 m n， 同理 m n， 它的方程可以写成 x 等于 m， 再加上 n 倍的 y， 再减去四倍的 m n。 又因为它过的什么呢？过的是一斗零，所以就减的一等于 负的四倍 m n， 所以 就减的 m 乘上 n 就 等于负的四分之一。好，这是一式一会用得着。同理 b n， 我 们也可以把它的方程给它设出来，它是 x， 等于的是 b， 加上 n 倍的 y， 然后再减去四倍的 b n， 它过的是二到零，把它带进去，所以就解的 b 就 等于负二 n 分 之一，这是二式。在同理， a m， 它的方程可以设为 x 等于 a， 加上 m 倍的 y， 再减去四倍的 a m， 它又过的是二到零，也是把它带进去，就解得 a 就 等于负的二倍 m 再分之一，这是三四 k 二，他等于的是 a 加 b， 再分之一，所以我们给他带进去， a 呢，给他写成负二 m 分 之一， b 呢，给他写成负二 n 分 之一，所以 k 二，他就进一步可以写成的是 负的二 n 分 之一，减去二 m 分 之一再分之一。然后呢，给他通分，那就变成的是 m 再加上 n 分 之负的二倍 m n， 你 可别忘了， m 乘 n 等于负的四分之一给他带进去，所以就是 m 加上 n 再分之几呢？分之二分之一，所以就减到二分之一乘上，应该乘上 m 再加上 n 分 之一， 那你又可别忘了， m 再加上 n 分 之一，它等于的是 k 一， 也就是说 k 二等于二分之一倍的 k 一， k 一 等于二倍的 k 二，那么也就是说得到 k 一 和 k 二的那个关系，我给他带进去，那所以这个倒角公式就等于的是把 k 一 全部给他换成 k 二，那就是 k 二除上一，再加上二倍的 k 二，再方 把 k 二给他除下来，所以就是一比上 k 二，再分之一加上二倍的 k 二， 他应该小于等于二倍。根号二，再分之一等于四分之根号二，当他取到最大值的时候，也就是斜率取到这玩意的时候， 那么也就是这两个取等的时候。所以就解得 k 二就应该等于的是二分之根号二的时候。 那么你可别忘了， k 二，它等于的是 a 分 之 b 应该是 a 加上 b 再分之一，所以 a 加上 b 就 等于的是给它倒过来，那么就是根号二。 而又因为 ab 的 方程我们就跟它设过了，是 x 等于 a 加 b 括号 y 再减去四倍 ab， 而 a 乘上 b 又等于的是给它全部带进去，因为 a 乘 b 就 等于这两个相乘，那就是我写一下吧啊， a 乘上 b 就 等于的是 负二， m 分 之一乘上负二 n 分 之一，就等于的是四倍 m n 占分之一，把 m n 等于负的四分之一给它带进去，那就等于的是 正一，所以 ab 的 方程就出来了。所以 ab 它的方程就应该是 x 等于 a 加 b， 刚才算过来是根号二 y 再减去四，给它写成一般式，所以 x 减去根号二倍的 y 再减去四，就等于零。 好，这就是这道题。说实话，这样做的话计算量就不是很大，思维也比较好理解好，各位同志可以用传统的年纪方程去做一下，挑战一下自己的计算能力。更多知识学习可加入粉丝群哦，关注我不迷路！

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