21级全国甲卷

哈喽，大家好，今天我们来讲一下二零二二年全国假卷的倒数题，那么这道题是非常值得研究的一道题，有这道题可以衍生出很多方法，也就是用很多方法都可以做这道题，不管是第一问还是第二问，所以说大家一定要收藏下来，好好研究一下。 那么首先来看这道题，他告诉了 f x 的解析式第一问，他说若 f x 大于等于零的时候，要求 a 的取决范围，那么由 f x 大于等于零，我们就可以把参数 a 分离出来，使得它小于等于这个函数， 也就是要小于等于这个函数的最小值，所以说我们要求 a 的取值范围就转化为来求这个函数的一个最小值。那么这是一种比较常规的方法，也是大多数同学所用到的一种方法。 那我最开始就说了，这道题可以有很多方法解，不管是第一问还是第二问，那么第一问还有没有其他的方法呢？当然有，第一种是常规方法，那还有没有其他方法呢？当然有，我们观察 f x 的解析式 里面，既有 e 的 x 方，又有 boy x， 那么我们很容易就想到用同构的方法去做，所以说第二种方法还可以用同构的方法去做，第二种方法同构，第三种方法还可以用放缩， 第四种方法还可以是必要性探路。 那么下面我们就来讲一下这四种方法具体怎么 怎么做。首先第一种方法，常规方法。第一题解，由 f x 大于等于零，可以推出 e 的 x 方除以 x 减 nine x 加 x 减 a 大于等于零，从而推出 a 要小于等于 e 的 x 方除以 x 减 nine x 加 x， 当然 x 是带领的，对吧？ 那么现在要求求这个函数的一个最小值，我们就要另它为一个新的函数设 g x 等于 e 的 x 方除以 x 减 l， x 加 x， 对吧？ x 是大于零的，然后要求它的最小值，我们就要对它求导， 然后讨论它的单调性，对吧？那么 g p l x 就等于 e 的 x 方乘以 x 减去 e 的 x 次方除以 x 平方减 x 分之一加 一，然后整理一下，就得到 x 方分之 x 减一乘以 e 的 x 方加上 x 分之 x 减一， 对吧？那左右两边都可以提一个，这个 x 分之 x 减一出来，就变成了 x 分之 x 减一乘以 e 的 x 方除以 x 加一， 对吧？那又由于 x 是大于零的，所以说这一部分大于零， x 也大于零，所以说 g 飘 x 的符号就仅仅取决于 x 减一，对吧。现在令 g 飘 x 大于零， 可以退出 x 大于一， g x 单增。另 g p l x 小于零，推出 x 大于零小于一， g x 单减， 那么 g x 就是一个先减后增的函数，所以说它在一处取得最小值，也就是 g x 要大于等于 g。 一代进去，我们会发现是等于一加一的啊，即 g x 的最小值等于一加一，也就是 a 要小于等于 g x 的最小值小于等于一加一啊！ g a 的取值范围为 为富无穷到一加一啊。那么这个就是第一种方法，常规方法。那么我们来看一下第二种方法，同购的方法怎么来做呢？ 第二种方法，同购。 那么一说到同歌啊，我们就要想到一个等式，就是 x， 它可以表示成 nine e 的 x 次方，也可以表示成 e 的 nine x 次方， 对吧？那么我们又知道 f x 是等于 e 的 x 方除以 x 减 l， n x 加 x 减 a 的，对吧？那么此时这里面的 这个 x， 我们可以把它换成 nine e 的 x 方，对吧？换成这个之后呢？后面两个对数相减，那么帧数部分就相除，所以说它就等于 e 的 x 方除以 x 加上 n， e 的 x 方除以 x 减 a。 然后我们就会发现 f x 的解析式里面有两个相同的式子， e 的 x 方除以 x， 对吧？那么我们现在就可以进行换圆啊！令 e 的 x 方除以 x 等于 t， 那么 f t 就等于 nine t 加 t 减 a， 对吧？那它大于等于零，从而得到 a 要小于等于 nine t 加 t， 所以说我们就只需要 求这一个比较简单的函数的最小值啊，所以说这个就是同购的方法。那么这里的 t 作为自变量，它的范围呢？其实就是 e 的 x 方除以 x 的值域，它的值域怎么求呢？令它为一个函数， 然后再分析它的单调性，从而求出它的一个值与也就是 t 的一个范围，对吧？从而求出乱 t 加 t 的一个最小值，从而求出 a 的范围啊！那么我们说了 x 他不仅等于这个，他还得等于这个啊。那我们可不可以把 x 换成这个呢？当然可以， f x 是等于 e 的 x 方除以 x 减 low， x 加 x 减 a 的，我们可以把这里的 x 换成 e 的 low x 方，对吧？那么 f x 就 变成了 e 的 low i x 方。分之 e 的 x 方加上 x 减 low i x 减 a， 对吧？它其实就等于 e 的 x 次方 x 减 l x 次方，然后再加上 x 减 l， x 减 a 大于等于零，然后呢，我们又可以换圆，对吧？另， x 减 l， x 等于 t， 对吧？就变成 e 的 t 次方，加上 t 大于等于 a， 只需要来求这个函数的最小值就行了， 对吧？所以说这个就是一个同步的方法。同步呢，有两种，一种是换这里的 x， 一种呢，是换这里的 x， 对吧？所以说这个就是同步的方法。详细的步骤我就不去写了，大概步骤就是这样的啊，最终 答案算出来也是复乘到一加一，对吧？那么这是第二种方法，同勾的方法。第三种方法，放缩。 放缩怎么来放呢？首先我们知道 f x， 它是等于 e 的 x 方除以 x 减 low and x 加 x 减 a 的啊，那么由第二种方法这个同构，我们可以把它写成 e 的 x 减 low and x 方加上 x 减 low and x 减 a 的， 对吧？那现在怎么来放缩呢啊？我们知道这个式子大于等于一倍 x 减 n x， 为什么 么是这样呢？我们知道一个最基本的放缩不等式，就是当 x 大于等于零时， e 的 x 次方是大于等于一 x 的，当 x 等于一的时候取等号， 对吧？这个是最基本的放缩不等式。当然还有很多常见的放缩不等式，我这里就不一一列举了，我前面的作品里面有，你们可以去看一下，对吧？那么我们知道这一个最基本的放缩不等式之后呢，我们就转化为来看这个 不等式，对吧？那这个不等式还要满足一个什么条件呢？就是 x 减 l x， 它肯定要大于零，对吧？肯定要大于零，那么这个很显然它是大于零的，为什么呢？我们对它求导，它是等于一减 x 分之一的， 也就等于 x 分之 x 减一，那么它在一到正无穷上就单增，而在零到一上就单减，对吧？所以说它的最小值在一处取得一带进去，它刚好是一，对吧？刚好是一，所以说呢，这个 x 减 nine x 是大于等于一的 啊，它也就是大于零的，所以说可以用这个放缩不等式，对吧？那当什么时候取等号呢？当 x 等于等于一的时候，这个不等式取等号，对吧？所以说，我们知道这样一个放缩之后呢，我们继续来做题， 它是大于等于一乘以 x 减 l n x 加上 x 减 low， x 减 a， 对吧？提一个 x 减 low x 出来，就变成了 e 加一乘以 x 减 l x， 然后再减 a， 对吧？那由于我们说 f x 大于等于零，它是一个横乘力问题，那么只需要 f x 的最小值大于等于零就行了，对吧？那 f x 是大于等于这个函数的， 所以说我们只需要求出这个函数的最小值就行了，对吧？那这个函数的最小值怎么求呢？我们知道 刚刚已经分析了 x 减 no x 这个函数是横大于等于一的，对吧？所以说，我们还可以对这个这个函数进行放缩， 对吧？他是大于等于一加一减 a 的啊。因为 x 减六， x 是大于等于一的嘛，对吧？所以说他大于等于他， 所以说只需要这个式子大于等于零就行了，对吧？我们说 f x 大于等于零，只需要 f x 的最小值大于等于零，而 f x 的最小值呢？恰好是这个，对吧？它大于等于零，从而求出 a 的范围是小于等于一加一的啊， 从而就求出了这道题的答案，所以说这个就是第三种方法放缩的方法啊。所以说放缩他涉及到一些基本的不等式，或者说常见的不等式，你一定要去把它记住 啊。我前面作品里面里面有，可以去看一下，那么这是第三种方法放松，那么第四种方法， 必要性探路啊，必要性探路， 必要性探读。 那什么是必要性探路呢？我前面的作品里面也讲有，对吧？就是先带特殊值，猜出一个答案，然后去验证他的正确性， 对吧？那还有一个就是我们要注意的点，就是如果这个函数里面含有 lower x 的话，那么我们一般带的特殊值都是一 对吧。我们带特殊值，一般来说就带零和一对吧，如果里面还有 long x， 那么我们就带一对吧。所以说这个 f x 是等于 e 的 x 方除以 x 减 l， x 加 x 减 a 的，对吧？我们把一带进去 是等于一减一加一减 a 的，对吧？由于 f x 大于等于零，所以说它大于等于零，从而推出 a 是小于等于一加一的 啊。那么我们说带特殊纸进去求出来的这个答案，它是一个必要答案，必要条件，对吧？那现在我们要来证明它的一个充分性，对吧？证明充分性，所以说下面证明 a 小于等于一加一时， f x 大于等于零，横成立，对吧？那 a 小于等于一加一的时候呢？这个 f x 很显然是这个 大于等于 e 的 x 方除以 x 减 nine x 加 x， 然后呢，再减 e 减一的，对吧？减 e 减一的，那又由于 x 是大于零的， x 大于零，而我们知道 很容易观察住，这个式子也是一个非常常见的一个函数，对吧？超越函数，他是六大超越函数之一，对吧？经过对他求导呢，他的最小值在一处去的，也就是一，对吧，所以说他就要大于等于一， 那减去后面的一就大于等于零，对吧？然后再来分析这个式子，这个式子我们可以对它求导，那么负 l x 加 x 减一，求导的话，就是负 x 分之一加一，对吧？也就等于 x 分之， x 减一，那么 x 大于一的时候，它是单增的， x 属于零到一的时候，它是单减的，那么最小值就在零这，呃，就在一处去的，对吧？所以说这个式子它是横大于等于 这个一带进去，刚好等于零，对吧？也就是负 low i x 加 x 减一是大于等于零的，对吧？呃，那么这 这一部分减一和这一部分都是大于等于零的，而且呢，他们取等号的条件都是一样，都是 x 等于一，所以说整体就大于等于零。 当然你可以可以这样分开来来这个看，当然也可以直接对这个函数进行求导分析，然后得出它是大于等零的，也可以，对吧？所以说我们就证明 f x 是大于等于零， 对吧？横成立的，所以说 a 小于等于一加一，满足条件啊，那么这是这个他的一个冲锋性，那么我们还要来讨论一下， 还要来讨论一下，这个 a 大于一加一的时候， f x 大于等于零，是否满足，是否满足，对吧？那么当 a， 这是第一种情况，那么第二种情况，当 a 大于一加一的时候，它满不满足了？很显然不满足，我们随便带一个直进去 啊，因为他说 f x 大于等于等于零，那就说明对于任意的 x 属于零的重熊， f x 大于等于零都很成立，对吧？随便带一个 x 大于零的数，那这个是不等式都成立，所以说我们随便带一个 f 一， 它很显然是等于一加一减 a 的，而又由于 a 是大于一加一的，所以说 f 一很显然是小于零的，所以说它就不满足。 f x 大于等于零很成立啊，所以说这个不符题，不符题。 综上， a 的取值范围就是负无穷到一加一左开右闭，对吧？那么这是第四种方法，必要性探路啊，所以说总结下来， 总结下来这道题的一个低问，他主要有四种方法，一种是常规的方法啊，也是大多数同学所选用的一种方法，当然，呃，在考试的时候，我们尽量选用这种最常规的方法，因为他比较 基础，而且做起来思路比较清晰，而且不容易错，对吧？所以说尽量考虑第一种方法。那么后面同购 这种方法呢，也是比较常见的，那放缩呃，如果你想不到，或者说你这个不等式记得还不牢的话，那你可以选择不用，对吧？还有必要性探路，这些你都可以去了解一下，去学习一下啊，也是 在这个导数题目中也是非常重要的，对吧？那么这就是第一问，第一问就讲完了。

下面我们来看一下二零二二年全国假卷的亚洲题，那这个题呢，考察的是节点偏移问题， 而节日点偏移呢，是已经在我们的高考中已经考过很多次了，我们的一个系统课中，给出节日点偏移的很多种解法，那今天呢，我们就来一起看一看全国假卷的这道题。 那题目中给出 f x 等于这一串式的，若 f x 大零，让我们去求挨了一个范围。好，第一位，我们简单去写一写，那我们去带它进行求导。 f 倒 x 这个式子显然是等于一个 x 方分之 e 的一个 x 次方乘以一个 x， 再减去我们 e 的 x 次方，所以刚好就是提出来里面是个 x 减一，那后方呢，是我们这个地方的一个 x 减去个一，然后呢，再加上一个一，那他俩呢，显然是可以 通分，我们是不是刚好通成 x 分之 x 减去个一，于是乎呢，我们可以提一个 x 减去个一出来，那这个时候呢，后方是不是刚好就剩我们这一方呢？ x 方分之一的一个 x 次方加上一个 x 的一个形式， 那它的定义域呢？显然是 x 大零，显然这坨是恒大零的，所以整式的正负由 x 减一来决定，对吧？所以呢，此时我们可以看出，在零到一上，此时 f 倒 x 是横小于零呢，那 f x 自然就是单调递减， 在我们这个地方呢，一到正无穷这个地方呢， f 到 x 是不是横大零的？那于是问我们 f x 是不是横式单调递增，那它要大等于零横成零，所以只需要我们这地方的一个 f x 的一个最小值大等于零，对吧？ f x 最小值 显示等于 f e， f e 我们带进去是不是刚好是 e 加上一个一，再减去一个 i， 那就是他大等于零，所以我们从这解出来呢， i 实际上是小于等于我们这地方一加上一的。好，这就是第一问，那第二问呢？让我们去证明 f x 有两个零点的时候， x 一乘以 x 二小于一个一，那这里的题呢？我们可以去逆向分析统一变量，然后去构造函数就行，对吧？好，我们来看一看。我们预证 遇正什么呢？ x 一乘以个 x 二，这个是小于一个一，是不是只需正我们一个 x 二，这个是小于一个 x 一分之一？那我们先来，我们来一个不防设 不防射这个地方呢？零小于一个 x 一小于一个一小于 x 二，那所以我们这个地方记证，是啊，记证此时一小于一个 x 二小于一个 x 一分之一，那又因为我们这个地方的一个 fx， 他是不是刚好在我们的一个一到正无穷这个地方是单调递增的， 所以我们要正上面这个式子，实际上只要去正我们那个 f 括弧 x 二，好，小于我们这地方那个 f 括弧 x 一分之一，对不对？那又因为我们这地方的一个 f x 一呢？它是不是刚好等于我们的 f x 二？所以我们这时候呢，只需正 f x 一， 它是不是小于我们这地方的一个 f 括弧 x 一分之一？好，那到这个式子的话，是不是就满足统一变量了？所以我们再去勾导函数的时候，是不是应该令我们的大 f x 就刚好等于我们的一个小 fx， 然后再减去小 f 括弧 x 分之一，然后这里面的 x 属于我们的一个零到一之间，对吧？好，那此时大 f 档 x 呢，显然是等于我们这地方的一个小 f 档 x， 好，再减去这个地方呢？我们直接去对他进行求导，是不是刚好等于小爱不倒括弧 x 分之一，再乘以一个 x 分之一的一个导数，而他的导数呢，是不是刚好就是我们这地方负的 x 方分之一？那你把这个地方负号去掉，所以后面呢，刚好就乘以 x 方分之一就行了， 对吧？好，那这个时候呢，我们把嗯，他的一个具体内容带进去，那此时咱们的大 f 倒 x 等于谁呢？前面有一个 x 减去一括起来，乘以我们这 地方的一个 x 方分之 e 的一个 x 次方，再加上一个 x， 好，然后后方这个地方呢，我们是不是先加上一个？我们把 x 方分之写到前面去，好，后面这个地方是把 x 分之一带到 f 到 x 里面，所以他后方是不是 x 分之一减去一，然后呢？再乘以这地方翻上去，是不是刚好变成乘以 x 方，对吧？然后再乘以我们这个地方多少呢？ e 的一个 x 一次 x 分之一次方，再加上我们这里方的一个 x 分之一， 是不是这一坨？好，那他俩刚好约掉了，这个式的，实际上是我们的一个 x 分之一减去 x， 对吧？所以我们这时候呢，可以提一个多少，提一个 x 分之 x 减去个一出来， 对不对？好，那此时前面这个地方剩的是多少啊？是 e 的一个 x 次方除以一个 x， 再加上个 e， 对吧？好，然后这个地方呢，变成减去了，对吧？因为他这个题题完之后有个符号了， 减去这坨就是 e 的一个 x 分之一次方，然后再减去 x 分之一。好，那显然当我们 x 一零到一的时候，这个式子是横销零的，所以我只要去看中克弧这个式子里面的一个正负，那所以我们去令 咱们的一个 g x， 它等于中括弧，这里面一大坨，我就不抄了。好，那这里面的 x 是属于我们的一个零到一，此时我们去对 g x 进行求导，好，它是不是刚好写成一个 x 方分之 e 的一个 x 次方，乘以我们这一方的一个 x， 减去个一，对吧。然后呢，这个地方实际上是减去 e 的一个 x 分之一次方，再乘以 x 分之一的一个倒数，所以刚好变成加上 它后面成一个 x 双分之一，对吧？再加上我们这地方的一个 x 双分之一，所以整式的就化成多少呢？是不是 x 方分之这呢？有一个 e 的一个 x 分之一次方，再加上一个一， 然后后面这个地方呢，我们给它写成减去 e 的一个 x 次方，乘以一个一，减去 x， 是不是这一坨？好，那我们来看这两个肯定很为正，我只要看这个式子它的一个范围就行了，对吧？ 所以我们再去令我们的一个 h x 等于 e 的一个 x 次方，乘以这个地方一减去 x， 所以此时我们的 h 到 x 这个式子等于多少呢？是不是就是负 x 乘以个 e 的一个 x 次方？ 好，那我们还是把定义设成一个 x 属于一个零到一之间，那所以这个是横小零，我们的 h x 是不是横十单条递减， 那所以这时候呢，我们是不是得到 hx， 他的一个值欲就出来了？把零带进去，带到这个里面显然就是个一把一带进去就是个零，所以他这个曲子范围是属于零到一之间， 好，那它属于零到一之间，前面是一减去它，而且这个时代还是很为正的，对吧？所以此时记到 x 是不是就很大一个零？所以这 这个时候呢，小 g x 是不是单调递增？小 gx 单调递增，他定义率是零到一，所以此时小 gx 就很小，有小 ge 好，小 ge 带进去，是不是 e 加上个一减一，再减一，所以刚好等于零，那所以这个时候呢，我们的一个大 f 到 x， 好，前面是小二零，这个地方也是小二零，所以相乘大零，对吧？所以这时候呢，大 f x 自然也是单调底子好，大 f x 定域呢，依然是我们这一方领导一，所以呢，他很小，有我们这一方的大比一。 好，大 f 一带进去，你带到这个里面就行，是不是刚好是小 f 一减去小 f 一，所以刚好是等于零的，对吧？那所以这个时候呢，我们是不是就得到大 f x 一呢？哎，它呢也是相应我们的零的，因为我们的 x 一刚好也是在零到一上，对吧？ 所以此时是不是就得到小 f x 一，他是小于我们这种小 f 括弧 x 一分之一，好，这个题呢就结束了，对吧？好，那关于我们的二零二二年全国假卷的一个压轴题，我们就分析到这个地方，我们下节课不见不散，拜拜。

环形填空第一句话同学们看完了之后根本不知道他在说什么，就这种题，错过两三道四五道都很正常。今天徐老师和大家一起来做二零二一年全国假卷，按说应该是全国最简单的一份，那么咱们还是来看一下，事实果真如此吗？ 从这个篇幅上来看，都是比较短，然后词汇看上去没有特别难的词汇， 其中第二套题真的得细心的看一看，排一排，要不很容易选错 第一篇，第二篇都是书铭文，但是吧，嗯，特别考你的眼神，其中有一个动物的名字，我找了好久才找到。 做完了三篇阅读，徐老师感受到的是推理题的难度，然后从 a 篇、 b 篇、 c 篇开始，每篇都有，我认为这个试卷出的还真是挺好的。接下来咱们再看地篇， 地篇也是一样啊，上来两道题全是推理题， 第一篇的思路非常的清晰，十三题是一个推理判断，十五呢是阻止大意，这两道题很容易失分，但是十三题的这个 c 选项你好好看一下，他和原文章其实是通话了，概念的十五题，大家可以通过排出法来做全国假卷的这个阅读理解给我特别浓的感受是 细节题很简单，直接找全能找到。推理判断题出的很柔和，但是每一个阅读理解中都有很多同学在这地方 容易失分阻止，大一题还好，就考了一道题。所以说你的主维的努力方向就是应该把推理判断题做好， 七选五啊，同学们一定要看好词汇啊，词的意思是不一样的。这篇文章讲的是交换服装，不是去捐赠服装，所以有一道题太有干扰性了，就是易选项七选五，还是挺容易出错的。 我相信这个完形填空第一句话同学们看完了之后根本不知道他在说什么，是一份道歉信。这种题不是很好做，因为有一个特别长的场景描写，就这种题错个两三到四五道都很正常。 这个完形我觉 绝对比我们新高考依旧的晚行都难。真的，同学们太容易丢分了，凭了吗我， 哦，没有屏哎，六个地！徐老师，我真的也犹豫了，但我答案不改了啊，哇，难度好大呀！ 这次的语法填空比去年就简单多了啊，今年的好得分太好得分了，顶多错一道吧。徐老师花了二十五分钟写完了全国假卷，下面来对一下答案。 徐老师坚定立场，完形没有追求配平，去掉作文和听力，满分是八十五分，徐老师的成绩也是八十五分。这个试卷给我的感受就是绵绵中透着刺，所以咱 咱们同学一不小心就会被刺伤。整体来说，咱们同学一百三以上很好达到，但是我想一百四以上的同学真的不多，其他省事同学们也可以来练一下全国假卷，尤其是我们高二的同学们。

二十一题是倒数，已知 f x 等于这个式子，定义域是 x 属于零到二分之派。第一问，当 a 等于八十，让我们讨论 f x 的单调性。 首先我们把 a 等于八带入进去， f x 等于八 x 减去后面的这个分式。 要判断单调性呢，我们对 f x 进行求导， f x 撇等于这个八 x 的导呢，就会只剩一个他的系数八减去后面分式的求导，应该是分母平方，变成抠散 x 的六侧方， 上倒下不倒，那就是散 x 求倒是 cosinex， 再乘以下面不 不倒就是 q 三 x 的三次方，那他们两个一乘，就会变成 q 三 x 的四次方， 减去下到上不倒。下面这个求导的时候，它是一个复合函数，它相当于是 t 等于 q 三 x 与 y 等于 t 的三次方。他们两个的复合复合函数求导呢，就是内导乘外导， 内导就上面这个函数的导，他的导等于负三 x， 下面外导是 t 的三次方的导等于三 t 方，然后我们再把这个 t 给他带回去，就是三倍的抠三 x 的平方， 再乘以那个内岛负三 x， 这是下面分母岛最终的结果。 由于这有个负号和前面的减号，他们两个负负得正了，所以实际上就相当于加上三倍的散 x 乘扣散 x 的平方， 那下倒了以后，还要再乘以上不倒，所以在这个基础上再乘以三 x， 他就会变成三 x 啊方，这就是求完倒以后他的结果。那么求完这个倒以后，会发现他的上面和下面都有抠散 x 的平方， 所以我们可以先约掉一个 q 三 x 的平方，就等于八，减去 q 三 x 的四次方，分之 q 三 x 方，加上三倍的三 x 的平方。这个时候我们发现 这个分式当中其他两项都是扣散，只有这一个是散。于是呢，为了统一，我们可以把这个散 x 方换成一减扣散 x 方，那就等于八减去扣散 x 方， 加三倍的一减 q 三 x 方，然后把它展开合并一下，等于三减二倍的 q 三 x 方，除以 q 三 x 的四次方。 我们要判断原函数的单调性，就要判断导函数的正负，那么接下来对他的处理呢？有两种方式，一种方式是直接把这个分式给他拆开，变成八减 q 三 x 的四次方分之三，再加上 q 三 x 的平 方分之二。然后根据这样一个形式，可以对他进行因式分解，那就是把抠散 x 方分之一看成是一个整体，上面这个式子就可以当做一个二次的类型，进行十字相乘。 第二种处理方式就是对它进行通分，因为八和后面这个分是分开考虑，不好考虑，可以通常是以 q 三 x 的四次方做分母，上面就变成了八倍的 q 三 x 的四次方， 加两倍的扣三 x 方，再减三。那么对分子进行十字相乘八倍的扣三四次方，可以写成二倍的扣三方乘以四倍的扣三方， 后面的负三可以写成，是啊，负一乘以三。这样验证一下，会发现恰好等于中间的两倍的 q 三 x 方，于是十字相乘可以写成二倍的 q 三 x 方减一 乘以四倍抠三 x 方加三。后面这个四倍的抠三方加三，一定是大于零的，分母也一定是大于零的，所以决定整个正负的其实就是二倍的抠三 x 方减一， 我们另 f x 撇等于零，就得到了二倍的抠三 x 方减一等于零，所以抠三 x 方等于二分之一，抠三 x 就等于正负二分之根号二。在零到二分之派范围内， q 三 x 一定是大于零的，而能使得它等于二分之根号二的只有一个四分之派。由于 q 三 x 在零到二分之派单调递减，所以当 x 属于零到四分之派范围内的时候， q 三 x 是大于二分之根号二的， 那么二倍的扣三 x 方减一也就大于零。于是 x 属于零到四分之派时， fx 撇大于零， fx 也就单调递增。那么还有一个区间，就是当 x 属于四分之派到二分之派的时候， 此时 fx 撇小于零，那 fx 也就单调递减，这样我们就得到了 fx 的单调性。

二十一题的第二问 fx 与直线 y 等于一有，且仅有两个焦点， 那么焦点的问题我们可以转化为方程的根。也就是说方程 x 的 a 次方除以 a 的 x 次方 等于一有，且仅有两个不同的解。这个时候如果还是把这个函数看成一个整体，我们去求这个函数的导。根据第一问的经验，他可能会比较复杂，因为 a 的 x 方去求他的解的时候是不太好求的。 那么我们可以想办法转化一下这个方程。如果两边同乘以 a 的 x 次方，那就变成了 x 的 a 次方等于 a 的 x 次方。由于他们两个相等，两边又都是大于零的，所以我们可以给他两边同时取对数。 long x 的 a 次方等于 long a 的 x 次方， 那就变成了 a 倍的 long x 等于 x 倍的 long a。 接下来我们可以对他画同够两边同除以 a x， 那么左边就是 long x 除以 x 等于，右边是乱 a 除以 a。 这样的话，这两个结构就相同了。那么其实就是这个方程有两个不同的解。那我们现在就可以构造一个函数等于 x 分之 long x。 比如说令 g x 等于 x， 分之 long x， 这里 x 要大于零。对 g x 进行求导，他的导函数等于分母商是 x 的方。 分子上上倒 x 分之一乘以下不倒， x 减去下倒上不倒，那就是一乘乱 x 化减得到 x 方分之一减乱 x。 我们令 g x 的倒等于零，可以求出来他的根，也就是一减 x 等于零，那么 n x 等于一， x 就等于一。那接下来我们只需要考虑出他的正负，就可以得到原函数 gx 的单 掉性，他的正负由分子决定，因为分母是正的，这个乱。 x 是单调递增的，那么前面有个负号就会变成单调递减。 而一不影响单调性。那么作为一个单调递减的函数， x 等于一的时候，他是和 x 轴相交的， 所以说在零到亿上，他是正的，一到正无穷，是富的。那么当 当 x 大于零小于一的时候， gx 的岛大于零， gx 也就单调递增。当 x 大于一的时候， gx 的岛小于零， gx 单调递减。这样我们就有了 jx。 这个函数的单调 性是先增后减的。那么接下来再去考虑怎么保证这个同购的形式有两个不同的解，我们下个视频继续。