同学们好，咱们今天来看一道二零二六年包头市二模原题，这道题考察的是几何综合题。那好，那咱们首先呢来读一下题，如图八，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， ad 等于三， ab 等于二倍根号二 角 b 是 锐角， a、 e 垂直于 bc 于点， e， f 为 ab 中点连接 d f， e、 f、 d、 e。 若角 e、 f、 d 等于九十度， 则 a、 e 的 长是多少？好，那咱们一起呢来分析一下这道题。首先根据点 f 是 ab 的 中点，所以咱们要想到的辅助线呢，要么是被长中线， 要么是延长 e、 f 和 da， 那 不管哪种情况，咱们都可以先做一下啊。辅助线如果说咱们要延长的话，延长 e、 f 和 da， 设它们交于点 m， 那 么根据 f 为 ab 中点，所以咱们可以得到 a、 f 等于 b f， 那 么根据延长呢，咱 们又可以得到，在平行四边形中， ad 平行于 bc， 所以 am 也平行于 bc， 那 通过平行，咱们可以得到内错角相等，也就是角 m 就 等于角 b、 f， 那 f。 这里呢，又有一组对顶角，所以说通过 角角边，咱们可以正出来三角形 amf 和三角形 b、 f 是 全等的， 咱们写一下吧。三角形 a、 m、 f 全等于三角形 b、 e、 f， 那 么通过全等，咱们就可以得到对应边相等，也就是 am 等于 b、 e， 那 要求 a、 e 的 长，咱们可以看一下 ae 在 直角三角形 a、 b、 e 中，也在直角三角形 a、 d、 e 中，所以说咱们就可以先去设一下 b、 e 的 长为 x， 那 b、 e 为 x 的 话， am 也就是 x， 那 所以说在直角三角形 a、 b、 e 中， a、 e 的 平方就等于 ab 的 平方，减去 b、 e 的 平方，也就是二倍根号二的平方减去 x 的 平方，那么二倍根号二的平方呢，是八，也就是可以写成八减 x 方，那得到这个以后，接下来咱们再来看 题干中说角 e f d 是 九十度，那么通过刚才的全等，咱们还可以得到 m f 就等于 ef， 也就是说点 f 是 m e 的 中点，然后 d f 又垂直于 m e， 那 因此呢，咱们就可以得到 d f 是 m e 的 垂直平分线，那根据垂直平分线的性质，咱们就可以得到 dm 是等于 d e 的， 那 dm 呢？很明显是三加 x， 所以 说 d e 的 长呢，也是三加 x， 那 因此呢，在直角三角形 a d e 中，咱们又可以得到 a e 的 平方，就等于 d 的 平方减去 a d 的 平方，也就是 x 加三的平方减去三的平方。那因为这两个式子呢，都是求的 a e 的 平方，所以这两个式子就是相等的，咱们就可以得到关于 x 的 方长组，那也就是说 八减 x 方等于 x 加三的平方减九。那么后边这个式子咱们去一下括号吧，就是 x 方加六， x 加九，再减九，就可以抵消掉。所以说最后答案就是， 八减 x 方等于 x 方加六 x， 那 咱们依次呢化简一下这个式子。首先通过一项咱们可以得到，二 x 方 加六， x 减八等于零。两边同时除以二以后， x 方加三， x 减四等于零。那么通过十字相乘，咱们可以得到 x 减一乘 x 加四等于零。也就是说咱们算出来 x 一 等于一， x 二等于负四，那又因为 x 呢是长度，所以说负数要舍掉，咱们就可以得到 x 是 等于一的，那求出 x 以后，要求 a 一， 咱们带到 这两组式子中任意一组就可以了，那咱们带到第一组吧，那么 a e 的 平方就等于八减 x 方，也就是八减一的平方，通过计算呢是七，那也就是 a e 就 等于根号七，所以说这道题咱们应该填的是根号七。这道题解析的关键呢，就在于要找到 准确的辅助线，通过辅助线得到全等的三角形，再根据全等三角形的性质呢，一步一步的去往出罗列方程，然后去解方程，进而求出 a e 的 差。那这个呢，就是解这道题的一个关键 思路。好，那这道题咱们就说到这里了，同学们，你们做对了吗？
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00:39查看AI文稿AI文稿跑到这次的二模考试分几个区？每个区卷不一样，哎，整理卷真麻烦，有有空区，有青山区， 还有东河区，各区资料加起来就特别多，每个科目七科还有地省，算上一共九科。 目前有好多热心家长给我分享过来资料，但是让我跟火在一块，有的分不清楚了，这两天正好又比较忙，等上完课我得回去好好分析一下，然后分享给大家，有需要的评论区留言。
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36讲数学的袁老师
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