如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以， 我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路这是一道改编自二零二五全国一卷第十九题的三角函数压轴大题，想冲一百三十分的同学，这道题的第一问必须三分钟内拿下，第二问更是拉开档次的关键。这题最容易踩坑的地方就是第二问的区间开闭问题。如果不仔细观察，你可能会挣出一个根本不存在的结论。 咱们先来看题，第一问求函数 f x 等于七倍的 cosine x， 减去 cosine 七 x， 在 x 大 于等于零小于等于六分之派上的最大值。 第二问给定 theta 属于开区间零到派，还有实数 a 属于实数级二证明存在， y 属于开区间， a 减 theta 到 a 加 theta， 使得 cosine y 小 于等于 cosine theta。 咱们的大方向是先通过求导搞定第一问的最值，再用周期性和对称性把第二问的抽象区间具体化。最后我会告诉大家这道题目的一个天大漏 洞，接下来我们要做什么？要求最值，肯定得先求导，找单调性。具体怎么做呢？ f x 的 导数 f 撇 x 等于七倍的 cosine x， 求导也就是负的七倍的 cosine x， 然后减去 cosine 七 x 的 导数。注意，这里有个非常重要的技巧，复合函数求导千万别露了内层，外层 cosine 求导是负的三 a， 内层七 x 求导是七负负得正，所以变成了加上七倍的三 a 七 x。 我 们把七提出来，导数 f p x 就 等于七，乘以括号里三 a 七 x 减去三 a x。 求出导数后，接下来我们要找极值点，也就是让导数等于零，也就是要让三 a 七 x 等于三 a x。 在三角函数里，两个角的正弦值相等，要么中边相同，要么互补。咱们先看中边相同，也就是七 x 等于 x， 加上二 k pi， 把 x 移向过去，变成六 x 等于二 k pi。 解出来 x 等于三分之 k pi， 因为 x 的 范围是零到六分之 pi， 所以 这里 k 只能取零，也就是 x 等于零。 再看互补的情况，也就是七 x 等于派，减去 x， 再加上两 k 派，我们把减去 x 移向到左边，变成八 x 等于派，加上四分之 k 派。同样，因为 x 在 零到六分之派之间，我们代入 k 等于零，得到 x 等于八分之派。如果 k 等于一，就超范围了， 所以得到了什么？在零到六分之派这个区间里，区间内部导数等于零的点只有一个，那就是 x 等于八分之派。 找到了极值点，接下来我们必须判断它到底是极大值还是极小值。很多同学在这里会犯错，直接把值带进去算不判断单调性是不给全分的。咱们分两段来看，当 x 大 于等于零，小于八分之派的时候，七 x 是 小于八分之七派的。 在这个范围内，比如带入十二分之派，七 x 就是 十二分之七派。三眼十二分之七派显然大于三眼十二分之派，所以三眼七 x 大 于三眼 x， 倒数大于零， 这就说明函数在这个区间上是单调递增的。接下来看另一半，当 x 大 于八分之派，小于等于六分之派的时候，我们直接看右端点， x 等于六分之派，这时候七 x 是 六分之七派， 三也六分之七派。到了第三象限是负的，而三也六分之派是正的，所以三也七 x 肯定是小于三也 x 的 导数小于零，这就说明函数在这个区间上是单调递减的，先递增后递减，那最高点在哪里？毫无疑问，就是在中间那个山峰，也就是 x 等于八分之派的地方。函数取得最大值 最后一步，具体怎么算出这个最大值呢？把 x 等于八分之派带入元函数，元函数 f 八分之派等于七倍的 cosine 八分之派减去 cosine 八分之七派。 诱导公式用起来 cosine 八分之七派可以写成 cosine 括号派减去八分之派，这就等于负的 cosine 八分之派。前面还有个减号，负负得正，所以原式就变成了七倍的 cosine 八分之派，加上 cosine 八分之派等于八倍的 cosine 八分之派。接下来怎么求 cosine 八分之派？这里有个非常重要的技巧，就是用半角降密公式。 我们知道 cosine 四分之派等于两倍的 cosine 八分之派的平方减去一， cosine 四分之派是二分之根号二。把减去一，移向到左边，变成一，加上二分之根号二，通分一下，就是二分之二加根号二，这就是两倍的 cosine 八分之派的平方， 两边再除以二，得到 cosine 八分之派的平方等于四分之二加根号二。因为八分之派在第一象限余弦值是正的，所以两边开根号，分母的四开出来是二分子，套上一个大根号就是根号下二加根号二，最后把这个结果乘以八 八，乘以二分之根号下二加根号二，约掉一个二，最终结果就是四倍的根号下二加根号二，这就是第一问的最大值。 接下来咱们看第二问。很多同学看到这种存在性证明题，直接就蒙了，不知道从哪下手，这里到底是在找上界还是找下界？其实这个不等号限制的是最高值，要求找一个 y， 使得它的余弦值不超过 cosine theta。 注意，这里我要提醒大家一个非常致命的坑， 题目给的 y 的 范围是开区间 a 减 c 它到 a 加 c 它。但是大家想一想，如果 a 等于零，这个区间就变成了开区间负 c 它到正 c 它。 在这个开区间里，任何一个 y 的 绝对值都严格小于 c 它。因为余弦函数在零到派上是单调递减的，所以在这个开区间里， cosine y 永远是严格大于 cosine c， 它的根本找不到任何一个 y 满足小于等于的条件。所以这道题如果原封不动，按开区间来做，它就是一个错题。 在真正的高考或者模拟考中遇到这种改编漏洞，我们要明白出题人的本意。为了让证明严密，我们把条件当成 b 区间 a 减 c 到 a 加 c 来证明。那么具体怎么证呢？这里有个非常重要的技巧，就是利用余弦函数的周期性和偶函数对称性，把任意的实数 a 平移到我们熟悉的零到派的范围内。 因为余弦函数的周期是两派，所以对于任意的实数 a， 我 们总能找到一个离它最近的两派的整数倍。假设这个整数倍是二 k pi， 我 们令 a 等于两 k pi 加上 derta。 因为两 k pi 是 离 a 最近的，所以这个 derta 的 绝对值肯定小于等于 pi。 又因为余弦函数是偶函数，关于 y 轴对称，所以我们不妨假设 derta 是 大于等于零，小于等于 pi 的。 这样我们就把中心点 a 等价转化到了零到 pi 这个区间里的。这样我们就把中心点 a 就 可以写成二 k pi 加上 y 撇儿。 因为 cosine y 等于 cosine y 撇儿，所以问题就转化成了，在 b 区间单调减 c 叉到单调加 c 叉中，能不能找到一个 y 撇，使得单调 y 撇小于等于单调 c 叉。我们直接看这个区间的右端点，也就是单调加上 c 叉。 为什么看右端点？因为我们要让余弦值尽量小，角度就要尽量大。第一种情况，如果单调加上 c 叉小于等于派，那么这个单调 大于等于零，所以单调加上 c 叉肯定大于等于 c 叉。在这个单调递减的区间里，角度越大，余弦值越小， 所以 cosine 括号 delta 加 c 叉必然小于等于 cosine c 叉，那我们直接让 y 撇儿等于 delta 加 c 叉就行了，命题得正。第二种情况，如果 delta 加上 c 叉大于 pi 呢？别慌，大家想一想， delta 本身是小于等于 pi 的， 所以 pi 这个值一定夹在 delta 减 c 叉和 delta 加 c 叉之间，也就是说， pi 属于我们这个区间。 既然 pi 在 区间里，那太好了，我们直接让 y 撇儿等于 pi， cosine pi 等于负一，因为 c 属于零到 pi， cosine c 肯定大于等于负一， 所以 cosine y 也就是负一绝对小于等于 cosine c 场命题再次得证。你看，通过找最近的周期点，在分情况讨论右端点和派的关系，我们完美的把这个抽象的存在性问题变成了具体的数值比较， 咱们来汇总一下。第一问的最大值是四倍的根号下二加根号二。第二问，我们通过周期平移和分类讨论完成了证明，同时还排除了题目开区间的漏洞。 记住今天的核心口诀，遇到三角函数最值，先求导极值点，用半角降密来化解遇到任意使数的存在性证明，先找最近周期点，再抓端点和极值点。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知函数 g x 等于三 x， 加上三 a 三 x， 请问在 x 大 于等于零，小于等于四分之 pi 的 区间上，这个函数的最大值是多少？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
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07:32查看AI文稿AI文稿高中数学不用慌，小江带你一起闯！各位同学大家好，欢迎大家来到我们的高考大题专题突破的概率与统计合集，今天我们要给大家分享的是二零二五年全国一卷的第十五题，这道题目呢，是一个绝对的送分题， 是非常非常简单的，主要就是考察了一个知识点独立性检验。所以呢，像这种问题，只要我们能够清楚答题步骤，书写规范，计算正确，就一定可以拿到满分。那么接下来呢，我们就具体给大家书写一下这道题目。 为了研究某疾病与超声波检查结果的关系呢，从做超声波检查的人群中随机调查了一千人，得到了如下的一个列联表， 那么在这里呢，根据超声波检查结果是正常还是不正常，与这个人到底是否实际患病还是未患这样的一个表格。第一小问让我们去计算什么呢？ 超声波检查结果不正常患者患该疾病的概率。那么首先我们要知道超声波检查结果不正常 患者一共有多少人呢？那么我们知道一共是两百人，而这两百人当中有一百八十人是患病的，有二十人其实是正常的，那也就是说这个超声波检查它会存在一定的误差， 那现在他就问我们这个正确率到底是多少这个 p 的 估计值，所以第一小问非常的容易，就是两百分之一百八十对吧？那么我们在书写的时候呢，由于他在这里让我们去求的是估计值，所以我们可以尽量体现这个估计的过程。我们可以说有表格 检查结果 不正常，到两百人中有一百八十人患病， 那么所以这个屁的估计值你要体现，这是一个估计值， 应该是两百分之一百八十，经过化解呢，其实就是十分之九啊。第一小问非常的容易，那么第二小问呢，就是让我们进行一个独立性检验，那么这里是小概率值， r 等于零点零零一啊。那么首先呢，我们还是要清楚 这个独立性检验他书写的一般步骤是什么，大家要一定要记住。首先呢我们一定是先写零假设，而这个零假设我们一般是假设这两个变量是相互独立的， 独立就什么意思？就是不相互影响，那其实就是无关的，对不对啊？然后接下来我们再去第二步 计算卡方到底是多少，那么根据我们题目当中的公式计算出来的结果和谁去比较呢？和我们这个题目当中，比如说这里是 r 法等于零点零零一，那么对应的这个 k 的 值就是 十点八二八，因此呢，我们实际上是要跟零点零零一对应的这个 k 值进行比较，如果说比它大，那么就是假设不成立， 如果比他小，那么就是假设成立，假设成立就代表五官，假设不成立，那么就代表是有关的，因为我们假设的是五官，那其实这就是一个基本的过程，那我们在写的时候呢，这些过程其实每一个都是不能少掉的，都要体现出来。 所以对于第二小问，我们首先呢要先写零假设，那么在这里他问的是检查结果与是否患病有关，那我们就假设检查结果与患病无关， 然后接下来我们就是计算卡方，那么在这里呢，我们可以把这个 a、 b、 c、 d 给大家做一个对应，进行标一下啊，这里就是 a， 然后是 b， 然后是 c， 然后是 d， 所以 这里就是 a 加 c， 这里就是 b 加 d， 然后是 a 加 b， 然后是 c 加 d， 那 么最后的这个结果呢，就是 a 加 b 加 c 加 d， 就是 这个 n 啊， 所以根据我们的公式，这里的话应该是首先是 n 就是 一千，然后乘以 a、 d， 这两个相乘，那么就是四百，然后再减去 bc， 就 这两个相乘一百八十乘以七百八十， 然后的平方再除以我们分子当中四个数相乘，那么就是这里的八百乘以二百，乘以二百，再乘以八百，就是表格当中这四个数啊，然后做一个乘积，那么这里计算大家一定要认真仔细的去计算， 那么这里呢，我们经过计算就是等于七百六十五点六二五，然后和谁去比较呢？和这个零点零零一对应的 k 值就是这里的十点八二八， 然后呢显然七百六十五点六二五是大于十点八二八的，那么根据我们刚刚说的，如果比这个值大，那么就是假设不成立，对不对啊？那么我们可以把这个结论写的完整一点啊，根据 小概率值 r 法等于零点零零一的卡方独立性检验， 我们推断假设不成立， 即认为超声波检查 结果与患病有关， 该结论犯错概率 不超过零点零零一。 其实这个就是我们课本上的一个过程啊，其实课本上也有一个规范的答题过程，大家就按照课本上的来就可以了，我们这里跟上面是完全一样的。 最后呢，我们来做一个总结啊，主要是这个独立性检验。首先第一步是要先写出零假设，零假设的内容是假设这两个变量是独立的，也就是无关。然后第二步计算卡方， 然后进行比较对应的值，如果比他大，那么就是假设不成立，如果比他小就是假设成立。最后我们再下结论就可以了。好，那么我们今天的分享就到这里。
46小姜爱数学
29:42查看AI文稿AI文稿这个呢是二零二五年全国一卷的十九题， 然后他是这样的一个题啊，他是给了三个问啊，三个问看起来第一问和第三问可能有些关联，然后第二问和其他两个问，目前啊，目前看到这好像没有什么特别大的关系啊。 然后呢，就先从第一问开始看，他说求函数在零到四分之派的必须能最大值，这个目前只能求导吧，因为好像在这一步就是也不能对它进行什么变形，然后好像也不太不太能化解。 其实到这一步呢，它是可以用那个和插画机的，和插画机一共有四个公式，然后我们要用的是这个， 这个是，呃，就是这个证明很好证啊，就是全都拆开就证明了，但是怎么样去记它 啊？因为它有四个公式嘛。就是，那我们就先简单说下这个的吧。另外几个就是一会大概说一嘴。 呃，之前是那个物理竞赛的时候一个老师提到的，然后这个是 i love you， 兄弟不合，愚翁得利。兄弟呢，指的就是这两个正弦，他俩是做差的，随时不合，然后愚翁得利。但是这个余啊，指的是余弦的余， 他得利呢，就是他就在前面呗，在前面就是他后，里面这个角就是二分之阿尔法加贝特， 然后那么这个剩下这个 sign 只能取这个二分之二减倍它了。然后对于这个就是两个正弦的，这个和差，它有另外一个就是 兄弟和气，渔翁失利，就是它变成加号。然后呢？呃，渔翁失利的，那渔翁就在后面，渔翁就是这个二分之二倍减倍它， 那么这个正弦就在前面，它只能是这种形式， 后面其实还有一个是，呃，两个余弦的和余差的， 这个写着就很好理解啊。 然后值得注意的是这个没有鱼，这里 有背一个符号，在这里他是负的，然后其余都是前面都是正的，然后所以这样的话就可以非常简单的记住这个喝茶话集啊，有时候有奇效， 比如在这个题里面，如果你不知道很难画，其实其实也能讨论出来啊。然后也是那个直接令导数等于零，也是我们后续要用的办法，当然这样的话就是，呃，可能就是你，你也会耽误你那么几秒钟的一个时间啊。 那么最后啊，最后这个导数求完之后呢？长什么样子啊？化简完呢，就是这个十倍的 sine 二 x cosine 三 x， 然后定域在 零到四分之 pi 的 b 区间， 那么我们就看这个导数，这个导数的正负其实很好判断，很好判断，但是我们求的是它的这个最大值，最大值我们啊就是只需要看那个就是端点， 还有一个就是极值啊，极值点，其实这个只需要看这两个，因为它一定在这两个其中某一个点处和渠道啊，端点呢，也就是这个 f 零和这个 f 四分之一排 即值减呢，我们就要令这个 f p x 等于零，要么是三 x r x 等于零，要么是这个 cosine 三 x 等于零， 然后二 x 的 范围呢，是零到二分之派的 b 区间，三 x 呢，它是零到 四分之三派的一个 b 区间，那么二 x 它可以取零，嗯，没有了，三 x 呢， 它可以去这个二分之派啊，除的之外也没有了。所以呢，我们从这个得到了啥呢？一个是要求一下这个 f 零，一个是要求下这个 f 六分之派， 那就求一下把这个 f 零等于四带进去，就直接可以就算出来了。 然后这个呃， f 四分之 pi， 它应该等于三倍根号二， f 六分之 pi 等于三倍根号三， 那么好呃，这里面呢，毫无疑问啊，这个三倍根号三最大，所以这个时候最大值就应该是三倍根号三， 然后看这个第二个了， 第二个长得很奇怪，但是用反证法其实证起来会非常的简单，呃，就是用多了之后会发现反证法真的是一种非常好的一个办法。基本上啊，看到这些命题很多都可以用反证法去证， 然后呃，而且用起来其实会比那个正着去推会简单很多，尤其是在这种看起来长得比较奇怪的一个，所以我们只需要假设 对于任意的 y 属于 a 减 c， 它到 a 加 c 的 b 区间都有这个 q 三 y 大 于 q 三 c， 它。 然后那么这个时候我们其实需要，因为呃它只有鱼线，我们直接结合着函数图像来看就可以了， 大概就长成这个样子吧。然后它说这个 c t 给定 c t 啊， c t 是 个定值，然后呢，它是在零到派，也就是从这儿， 从这啊到这中的一个点，但是具体在哪呢？其实呃，只知道他就这一段了，但是他在呃，他在那个二分之派左右，其实没有影响。 然后这个 a 是 一个实数啊，是个实数，这个我们后面还会用到。 然后呢，我们就在这里随便找一个， 我们就假设， 呃，假设 嗯是这个地方它是 c 的， 那么这整一条一整条线呢，都是 cosine c 的， 然后啊，我们就是通过对称性呢，可以得到这个地方， 它应该是负 c 的， 这样的话我们就可以得到这个 y 的 一个范围啊，我们知道这个式子，那 y 应该怎么着呢？ y 是 不是应该这个 小于 c， 它加上二 k 派，然后大于这个负 c， 它加上二 k 派，然后 k 是 一个整数，然后他说对任意的这个 y 啊，都应该成立， 然后说这个对于这个任意的 y 在 这个范围 啊，那么它呢，都应该有这样的一个关系，我们就可以得到一个另外一个关系啊，那就是说 这个集合 他一定要是他的一个自己，这样才能保证我们在这里面取到的任意一个 y 都能符合这个条件，然后从而再符合这个条件。那么有这样的一个， 呃，这样的一个就是关系在啊，我们还可以得到另外一个式子，呃，就是这个 a 加上 c， 它应该是比这个 c 加上二 k pi 要小， a 减 c 呢，它又应该 比这个负 c 加上二 k pi 要大。然后神奇的一幕就发生了， a 呢，它又小于二 k pi， a 呢，它又要大于二 k pi， 所以 这个 a 它不存在啊，也就是矛盾， 矛盾了怎么办呢？就是这个东西，这个假设就不成立啊，所以我们就可以说 假设不成立，也就是说呢，这个命题它就是错的，那么这个命题的这个否定啊啊，它就对了。 好，然后也就反正完完毕了， 这也整完了，然后看这个第三问，他说设 b 属于 r 好 像没有什么用啊，这个确实没有什么用，因为在高中阶段其实也不涉及到涉及到那种复数啊什么的， 所以一些实数完全没问题啊，没问题。然后他说若存在一个 far 属于二，若存在一个 far 属于二，使得对于这一串啊，小于等于 b， 对 任意的任意的 x 属于二。横成力，求 b 的 最小值。 求 b 的 最小值啊，那就是我们先不看这个存在否数与 r 紧，看后面这个，那 b 的 最小值是什么呀？在这里面 b 的 最小值，它应该就是 这一串式子的一个最大值吧，因为要横成力嘛。 然后下一步我们来看这个存在否数元啊，就是看着乖乖的一个知道，就对于不同的这个 final 就 存在否数元，就说是就是有一个否就可以有一个否，那么这个否呢？有一个就行，它没有说对于任意的一个否都成立啊。 然后对于不同的这个否呢，这个函数它的图像的样子肯定也是不一样的嘛，然后它的那个最大值应该也都不一样， 他说求 b 的 最小值，求的是整个啊，对于存在的一个 f 啊，他的一个就是这个式子的一个最大值，也就是我们要求这个式子最大值的最小值啊， 这样才能说是求到的是 b 的 最小值呢，对吧？因为我们知道 b 等于这个式子最大值，也就是让他这个式子最小 啊。那好，我们就来大概的看一下，首先呢，这个问他肯定是跟前两个都有关系嘛，对吧？要不然他也不能就是平白无故的放在这里。 然后那我们就先来看和第一问最像的一个情况，也就是 f 等于零啊，这个时候呢，他是和第一问是类似的一个情况， 然后这个时候我们也是让这个 f x 等于五 q 三 x 减 q 三五 x， 这时候它没说定域啊，它的定域是是个二，然后呢 我们再缩小一下，呃，首先就是那个二派肯定是它的一个最小正周期，那我们还能不能再缩小一部分？其实是可以的，因为这个函数它是一个偶函数， 所以说它大概其实应该是长成一个，就是可能是这个样子啊，然后到后面下面，然后 啊，我的天，反正就是就是刚刚才画大概那个样子吧， 然后到这时候，然后又开始那个接了一个循环，那时候我讨论从这到这啊， 和那个把它补全的话啊，怎么一直转动呢？就是和它补全的话，就是这段它的一个最小正周期的一个二拍啊。那我们讨论 讨论，从这到这这一块和讨论从这么大一圈有区别吗？没有区别，没有任何区别，因为它们这块它是对称的，它的最大值也应该是一样的， 然后所以到这一步我们就可以缩小一下它的一个范围，然后我们就可以针对 零到 pi 这个必须剪镜头了。但值得一提的是，这个 pi 一定要取到啊，因为 pi 的 话它应该是它的一个对称轴，对吧？ 你要不取倒拍的话，你后面就会少一个，可能是极值点，也可能是一个奇妙的断点值的一个位置，按理说应该就是极值点。好，然后呢？那个我们就来看它的导数， 然后二 x， 然后三 x， 肯定还是先看端点值，端点值是 f 零 f 派，然后再利用这个 f x 导数等于零找基值点， 然后这个二 x 可以 取什么呢？可以取零，可以取派，也可以取二派，然后这个三 x 呢？它可以取二分之派，可以取这个二分之三派，也可以取 二分之五派，那么 x 可以 取零，然后这三 x 这有六分之派，然后那个二 x 和三 x 都有一个二分之派， 呃，然后在下一步的话，应该是那个三 x 这边有六分之派，六分之五派， 然后再往后 x 这边有个派，这些都是它的一个节点，对吧？你看这块有个派，如果你要这块不带派的话，你会把这个地方给它落掉，你就不一定能讨论，讨论的一个讨论的比较，那个就是清楚。 然后我们还需要看那几个位置呢？ f 六分之拍， f 二分之拍，还有 f 六分之五拍， 这个呢？大家自己代入啊，就会发现这个 f 零它得四，然后 f 六分之派是三倍根号三， f 二分之派是零， 然后这个东西它是负三倍根号三，这地方是负四，能毋庸置疑啊，最大值呢？还是它三倍根号三。就这个时候我们就知道一个啥呢， 不能是直接写，我们只能有这么一个东西啊，就是 b 在 这个时候好像是一个意思啊，反正在这个讨论之下，它是这样的， b 大 于等于三倍根号三， 然后我们要看下一个分类啊，就是否不等于。实际上由于这个三角函数的周期性，因为你看它这块只有这块加了一个否，我们完全可以取那个否，在这个区间上 用到二派的一个开局键手，但是下面好像没太用到，那么你看都到这了，这块应该也就是最后一个分类了吧，如果没有什么意外情况，可能这还有分小分类发生的话。然后，呃， 整个题里面第二本还没用上，第二本他肯定不是白给的，但是他得有用，我们看怎么用啊？第二本里面的这个参数有点多，但是真的有点多， 首先他给了一个 c， 他 给了一个 c， 他 还有个 a 啊，他有两个，然后他是不是给了一个这样的一个存在一个 y 啊？使得这样 就是说他一定有一个 y， 可以 这样，要不然就不存在了。然后呢， 那我们能取的，我们可以给他取特殊值的只有这个 c 的， 还有这个 a 啊，我们肯定是希望 b 的 最小值就是三倍杠三的嘛，因为第一问也求出来三倍杠三了，就是这块也看出来个三倍杠三啊，肯定是希望他是三倍杠三的， 对吧？然后，呃， 那我们就可以去尝试证明，就是就是这么存在一个 x 零啊， 然后使得这个 f x 零，它大于等于三倍杠二三，我们只要证明了这个式子，我们就可以说这个 b 的 角值，它一定就是三倍杠二三，对吧？ 因为有这么一个式子的话，我们就说明这个 f x， 它也不能再说 f x 了，我们这换一个风，换一个东西设它，我们设它为 g x， 这会儿也不能写 f f x 零。 g x 零， 那就说明这个 g x 啊，它的最大值一定是比三倍杠三大于或等于的。呃， 我们想要证明是这个命题，然后我们来看啊，那这个东西我们就只要往小了放就可以呗，往小了放，那往小了放，首先呢，这个 theta 它肯定不能是， 就是 x， 它也不能是五 x 加 five 吧，对吧？我们肯定是要对这个项或者这个项进行往小了放缩，或者同时往小放缩。呃， 为啥？因为这个 c 它就有限制，有 note pad 一个限制，它不是 note pad， 它它就用不上了。而这个 x 它是范围是 r， 五 x 加 f 的 范围也是 r， 那 这个 x 五 x 加 f 不 能往 c 的 投，那只能往哪个投呢？往外投，那想往，想让谁往外投呢？ 那肯定是这个五 x 加 five， 为什么他长得最丑？这个 x 长得就很简洁，这个 five 后面又加了个 five， 又加了个这个那个的，那肯定是想把它放掉，对吧？那它放掉它是啥？ 它是负的 q 三五 x， 这会儿我们取零了加 five， 它就应该大于等于负的 q 三 c 的， 那么这个是如果你想让这个 co 三 c 它和这个三倍杠三扯上关系，那这个 co 三 c 它要么是二分之根号三，要么是负二分之根号三，你要取一个特殊值嘛，对吧？那取哪个比较好呢？ 我们想让它那个啥，就是我们想让它最小，就是我们放到这个位置，它得比哪个大？它得比三倍杠三大，和那个就是和这个方数完加起来。 呃，那我们就可能希望它是正的嘛，因为正的话它更好放到三 a 杠三，如果你要是就是这个这个这个负的 q 三 c， 它才是正的，更好放到三 a 杠三。如果负的 q 三 c 它是个负数，那么有可能会比三 a 杠三要小啊，那就没有那么容易回到三 a 杠三这个位置， 那我们就是希望它能得这个值啊，口算写的得这个值，那么这个时候写它应该得多少呢？它是零到派的开句间的哪个数？六分之五派。 所以到这一步呢，我们已经取出来了，我们已经取出来一个特殊情况了，我们在这要取什么呢？取斜道等于六分之五，它也一定是符合这个式子，然后那这个 a 怎么处理？ a 的 话看起来其实不知道你该怎么，其实不知道该怎么说，但是 a k 可以 随便取，那取谁呢？你要么取五 x 加 five， 因为我们是要对它这样放肆，要么取这个五 x 加 five， 要么取 five 啊。呃，那么就是取谁呢？其实你取五 x 五 x， 它是个变量，在这里是个变量，然后你取它放在这里呢，就不太好啊，就真的不太好，但是你要取这个 five 呢，就没问题。然后我们让 a 等于 five， 我 们就知道啥呢？存在。 为了标出来，我们去取这个 y 零吧，存在这个 y 零等于这个属于这个东西啊，在这个范围之内，那么应该有 q 三 y 零， 它应该小于等于 q 三，六分之五派，等于负二分之根号三。 那么显而易见啊，那这个 y 零，我们就应该就是令这个 y 零 等于这个五 x 零加上 f， 因为这个五 x 五 x 加 f， 它的范围也是 r， 那 么肯定会有一个就是 x 零，能让它这个式子成立，那我们就找到了这样的一个东西， 那好，那这有个，这仨都有个加法，我们可以给它消掉，我们知道五 x 零的范围呢，在这个时候变成了什么？ 变成了这个，那 x 零呢？ 长这样 啊，那么我们就知道啊，它这个 q 三 x 零，它一定要大于等于这个 q 三，六分之 pi 等于二分之根号三，对不对？然后这个 q 三， 这个负的 q 三五 x 零加上负呀，它也应该是大于等于这个二分之二三的，这两步非常的关键，非常关键。 然后那么我们可以它这个都是同号啊，就可以直接那个就是相加，也就是说这个 g x 零等于什么？五 q 三 x 零， 再减去这个 cosine 五 x 零加上 five， 它大于等于什么？这是五，这是一，那大于等于 六乘上二分之二三，它是啥？它是三分之三倍三啊，非常好，我们终于找到了我们想要的东西，我们是不是找到了一个存在， x 零除以二啊？ g x 零大于等于三倍三。所以说我们说什么呢？ 再不等零时， g x 的 最大值应该大于等于三倍三， 而这个东西它是啥？它是 b。 哎，那好，我们最后还是得到了一个结论，还是这个 b 大 于等于三倍等于三。那两种情况下已经讨论的非常充分了，它都大于等于三倍等于三，所以说呢，这个 b 的 最小值 啊，它就是三倍等于三，然后我们就求完了。好的，以上就是这道题了。
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05:15查看AI文稿AI文稿第一问，通过求导给出目标数值。第二问，用区间长度保证合适的余弦值一定出现。第三问，再用五倍关系把两个区间接起来。三问到这里就连成了一条完整的推理链。
153不知道
04:23查看AI文稿AI文稿大家好，这个视频呢，接着来讲一下二零二五年四川省单招数学整体的填空题。 我们来看到第十一题。这个第十一题考察的知识点是向量的平行，向量的平行的处理的原则就是把这两个向量的坐标 并排着写，然后交叉相乘相等就可以了。交叉相乘相等， x 一 乘以 y 二等于 x 二乘以 y 一， 那所以在这道题目当中， a 向量等于三的 m， b 向量等于一的三，交叉相乘相等，所以 m 等于九。这是填空题的第一题。接下来看到填空题第二题， 在等比数的 a 当中， a 一 等于二， a 五等于八。第一个需要注意的是，这是等比数的，不要把它整成了等差数的，再来要求 a 九的值。我们可以根据等比的中项的性质进行计算观察，发现 a 一 a 五 a 九，那么 a 五的平方就等于 a 一 乘以 a 九，所以代入数据，八的平方等于二倍 a 九，也就是二倍 a 九等于六十四，所以算出来 a 九等于三十二， 因此这道题的答案等于三十二。填空题这道题一起来读下题目 已知圆锥的体积为六倍，根号二拍立方厘米，且它的侧面展开是一个半圆，则该圆锥的底面半径为多少？根据题干当中给的信息，我们优先的先画一个圆锥， 而他说圆锥的体积，知道了圆锥的体积为锥体的体积，它都是三分之一倍 s h， 我们不妨设这一个圆锥的半径为 r， 圆锥的高为 h， 圆锥的母线为 l， 所以 在这个地方有一个自然而然的勾股定律的式子， l 方等于 r， 二方加 h 的 平方 又来很关键一个信息，别人说侧面展开是一个半圆， 那我们就要思考了。这个侧面展开是一个半圆，当他的侧面展开了之后，这个新的扇形半径就应该是 l， 而这一段弧长 应该等于底面圆的周长，所以他应该等于二拍小二。假如我们把这一个半圆给他补全，补成一个完整的圆，所以可以得出这么一个结论，二拍 r 该等于这个大圆的周长，应该是二拍 l， 所以该等于二分之一被二拍 l， 二拍二拍底调，所以 r 等于二分之一被 l 推出来， l 等于二 r， 那 在这一个扇形当中，我们得出这么一个结论呢，回归到圆锥里面来， l 等于二 r， 这是 r， 因此一比二比根号三 h 就 等于根号三 r， 所以我们就可以算这一个圆锥的体积的表达形式了。所以微锥体，那不就等于三分之一乘以拍 r 方，再乘以高为根号三 r 化简整理一下，就变成了三分之根号三倍拍 r 的 立方，则 三分之根号三倍拍 r 的 地方就等于六倍根号二。拍好了，来约分，约一个拍，约一个拍，然后把这个乘过去， r 的 三方就应该等于六倍根号二，乘以根号三分之三，那这个地方约一个是根号三，所以就变成了六倍根号六。 而六倍根号六，我们又可以拆成根号六的平方乘以根号六，那不就等于根号六的三次方，所以 r 的 三次方等于根号六的三次方。得出 r 等于多少呀？根号六，所以这道题最终答案等于根号六。 nice！
227小曹数学（四川）
09:52查看AI文稿AI文稿我们都知道啊，数学是我们学的最简单的一个科目，现在呢，距离高考也只有二十几天的时间，如何在短时间内去尽可能的拿分呢？来，我们看到这些题，这是二零二五年全国普通高考一卷数学的选择题部分，来，我们看这种题目应该怎么去做，怎么去拿分。 那第三题，他考的是个双曲线对不对？第四题考的是个三角函数的图像啊。第五题呢，考的是个函数的周期以及他的记偶性啊。 第七题呢，考的是个圆的标准方程以及点到直线的距离。第八题考的是个对数的计算，让我们去比较他们的大小关系对不对？好，我们看这一种题目我们应该怎么去做呢？ 好，首先呢，我们来看到第三题，第三题题目告诉我们什么双曲线 c 的 虚轴长为实轴长的根号七倍，让我们去求离心率对不对？ 十周长是等于几啊？是不是二 a 虚周长呢？二 b 对 不对？好，我们知道它的倍数关系，那什么二 b 等于根号七倍的二 a 对 不对？ 离心率一会等于什么呢？ a 分 之 c 好 c， 我 不知道怎么办呢？在双曲线里面是不是有个式子， c 的 平方等于 a 平方加 b 平方，那 c 的 平方会等于几呢？ a 平方加 一，这个二约掉是不是等于根号七 a， 那 它等于什么？七 a 平方对不对？等于八 a 平方啊， c 平方等于八 a 平方啊。然后我们看这里，那一的平方是不是会等于 c 的 平方比上一个 a 的 平方啊？ c 平方等于八 a 平方 比上一个 a 平方， a 平方约掉，那还升级八，对不对？一的平方等于八，那一呢？是等于二根二选什么？选 d 啊？二根二。 我们再来看到第四题啊，第四题考的是个什么？三角函数，对不对？题目告诉我们什么已知点 a 零， a 大 于零，是这个函数图像的一个对称中心，让我们去求 a 的 最小值，对不对？好，这个函数什么 tan 角函数？ tan 角 r， 它的一个对称中心点是什么呢？是不是 r 等于二分之 k 派， k 属于 z 的 时候啊？ 这个点就是他的对称中心点，对不对？好，那这一个图像呢？什么意思呢？那是不是 x 减三分之派，他要等于二分之 k 派， k 属于 z 的 时候，我们能知道这个点是他的一个对称中心点啊，对不对？那我们去求 k， 他 是属于 z 的， 那我第一种 k 如果等于一的时候，我们把 k 等于一带进去， x 减三分之派等于二分之派，解得 x 会等于几呢？二分之派是几？是六分之三派，对不对？加上一个六分之二派，那是几呢？是不是六分之五派啊？ 好。第二个，当 k 等于零的时候，那 x 减去三分之派等于零了，对不对？那 x 会等于几啊？ 是不是三分之派？好。第三个， k 等于负一的时候， x 减去三分之派，它会等于几啊？二分之负派，那这个 x 解出来会等于几呢？负二分之派是负六分之三派，对不对？再加上一个 六分之二派，那会变成几呢？负六分之三派，再加一个负六分之二派，那就剩下一个负六分之派了，对不对？好，我们看题目告诉我们什么 a 大 于零的部分， a 大 于零，这一个算出来 a 会干嘛？负数了？小于零对不对？所以第三个要舍去对不对？然后呢？ 一二他是都是大于零的，但是题目让我们去求他的最小的是谁啊？是不是这个 x 应该会等于几啊？三分之派对不对？所以选 b 啊，秒了。 来，我们看到第五题，第五题考的是什么？是个函数的周期以及它的奇偶性，对不对？好，来，我们看第五题，什么已知 f x 是 定义在 r 上且周期为二的偶函数， 当 x 大 于等于二，小于等于三的时候， f x， 它的式子是这一个函数，对不对？那我们去求 f 负四分之三，那这种题目怎么去做呢？那我们求什么，我们就把什么写下来啊？来， f 负四分之三，题目有告诉我们 f 负四分之三的时候是哪一个函数吗？没有，对不对？不知道。然后，但是题目告诉我们什么它在定义为 r 上 且周期为 r， 这个说明什么意思呢？是不是在这里面去加个 r 是 不会改变它的数值啊？那就是 f 负四分之三去加 r 还会相等对不对？它等于 f 几啊？ 负四分之三加二会等于几？四分之五对不对？好，四分之五，他的 x 会在二到三之间吗？不会，对不对？但是题目告诉我们什么偶函数，在奇偶函数里面的话，我们是不是知道一个式子啊？奇函数 f x， 它会等于什么？负 f 负 x 对 不对？五函数呢？ f x， 它会等于 f 负 x， 对 不对？好，我们看 f x 等于 f 负 x， 那 我们是不是这个式子， f 四分之五，它会等于什么？ f 负四分之五啊？好， f 负四分之五也是不在二到三之间，那怎么办？我再利用它的周期啊，再去加一个周期二，那 f 负四分之五加二跟前面的数不会相等啊，它会等于几呢？ f 四分之三对不对？好， f 四分之三会在这里面吗？也不会在这里面，怎么办呢？我们再去加一个周期二， f 四分之三 加一个二，他会变成 f 几？ f 四分之三加八十一，对不对？好，四分之十一，他会不会在二到三之间啊？会了，对不对？所以 f 四分之十一， f 四分之十一，他会等于什么？五？减去两倍的四分之十一，他会等于几啊？负二分之一啊，那我们这一题选什么？选 a？ 哈，好，来，我们看到第七题，他考的是个什么？题目告诉我们，已知，圆 这个方程上的到直线 y 等于根号三 x 加的距离为一的点，尤其仅有两个，让我们去求这个圆的半径的曲值范围，对不对？好，这个圆我们能一眼能看到什么？是不是能看到圆心啊？ 圆心坐标是几？零负二对不对？半径呢？半径为 r 对 不对？因为这里是 r 的 平方，所以半径为 r， 是 不是？好，我们看题目说圆到这条直线的距离为一，那我是不是可以先把这个直线在坐标轴上画出来啊？来 画一个简易的坐标轴啊，那这条直线他的图像是不是大概会成这个样子？这里是二啊？好，那圆的圆心呢？是不是零负二在这个位置大概？好，我先，我现在让我们去求一个半径，意思就是半径我不知道怎么办呢？我先画一个小圆， 画一个小圆，题目说圆到直线的距离为一，那圆到直线的距离是不是连接 这个圆心去做这条直线的垂线啊？好，做这条直线的垂线，那他什么这个距离为一，对不对？ 如果说刚好等于一的话，那圆是不是只有一个点到这条直线的距离为一，那是不是不满足？尤其仅有两个，对不对？那所以这个是临界点对不对？我们再往上扩大一点点，那他是不是变成两个了？一个是这里，一个是这里，那真到什么时候的时候会停止呢？ 是不是真到这个圆很大的时候，当他连接他的时候，这一个距离， 这个距离等于一的时候，是他的最大值了吧，对不对？所以这一题考察的是什么？是不是圆心到直线的距离，也就是点到直线的距离，对不对？点到直线的距离公式是什么？ d 等于 a， x 零加 b， y 零加 c， 它的绝对值去比上根号 a 的 平方加 b 的 平方二来，我们看直线 y 等于根号三， x 加二，我们能写成什么？根号三 x 减 y 加二等于零，对不对？那圆心到这条直线的距离，我们能能不能算出来 d 会等于几啊？来， a 是 几？根号三去乘以 x， 零就是零，对不对？再加上 d 是 几啊？是不是？负一？乘以一个圆心负二， 再加上 c， 他的绝对值去比上根号 a 的 平方，那就是根号三的平方， 再加上 b 的 平方， b 的 平方是几？负一的平方，对不对？这个式子我们算出来会等于几呢？根号三乘零等于零，负一乘负二等于二，再加上一个 c， 这里 c 是 等于二， 所以它是四分子，是四分母呢？三加一，根号四，那就是二，对不对？所以它的最后的值呢？是二是不是？好？我们看点到线的距离为二，这个点到这条直线的距离为二，那我们最小的时候，这个小圆的时候，来题目告诉我们，圆 它的距离为一，那这个 r 是 不是会等于 d 减去它的距离为一啊？那就是几？二减一等于一，对不对？这是它的最小的时候，那最大的时候呢？ m a x， 它的 r 会等于什么？最大的时候是外面这个大圆的时候啊，那它的 r 呢？半径是哪里？ 圆心到直线的距离我们算出来会等于几啊？等于二对不对？那二再加上外面这个圆上的点到这个直线的距离为一，再加一等于三，对不对？所以他的最大是三，最小是一， 那最后他 r 的 曲值范围是哪里啊？是不是一到三选什么？选 b 啊？
7467小昇讲邪修数学
04:11查看AI文稿AI文稿我们来看一下一道这道最新的湖南长沙的模拟天空压轴十四，这道题的难度呢，还是非常高的啊，而且这道题有朋友说什么奇奇怪怪的背景，什么外森比克不等式比克大魔王，知道有这么个不等式吗？啊， 你要把这种东西还要记这种二级结论，那你还是别高考了。那这道题其实用我们常规的解三角形思想，结合轮换对称对称就可以轻松搞定，就是一个简简单单的填框压轴，并没有什么太特殊的好，我们来看看怎么解决它。 首先呢，给了外接源，我们自然知道它在诱导我们用正弦定理，而我们观察分子有 abc， 我 们在解三角形里见小 a 小 b、 小 c， 如同见散 a 散 b 散 c， 那 么自然就会看到 ab 乘以散 c， 这不三角形面积吗？那我就可以把 c 写成二 r 乘以三 c， 也就是十倍的三 c， 那 么自然原式 z 就 等于 a b， 三 c 乘以十， 再除以 a 方加 b 方，再加二 c 方，那它就等于二十倍的三角形面积， 除以 a 方加 b 方，再加二 c 方，求他的最值。那这时候有同学画出这个式子，应该立马想到我们课上多次讲的轮换对称速解技巧。 在轮换对称式又是三角形背景的情况下，求这个代数式的最值，那么必然在 a 等于 b 的 时候取得最值，所以直接令 a 等于 b， 那 么就等于二十倍的 a 方加 c 方， 我们只需要求出 a、 c 和三角形面积的关系式即可。那么好，我们画一下三角形，既然我们是等腰三角形，两腰为 a， 底边为 c， 两腰为 a， 底边为 c， 那 么自然我们就可以把面积关系用 a 和 c 很 简洁的表示出来。那不妨我把 a 消掉啊，那我可以知道，高 h 等于二倍的面积除以 c， 那 根据勾股关系，所以 a 方就等于 h 方加上四分之 c 方，也就等于 c 方分之四 s 方加上四分之 c 方 带到原式中，所以 z 就 等于十倍的三角形除以 a 方加 c 方， 那就等于十倍的三角形除以 c 方分之四， s 方加上四分之五 c 方。那到这各位肯定会做了。分母是一个典型的均值放缩均值不等式，那分母 应该是大于等于二倍的根号下，两者的乘积也就是四 s 方乘以四分之五，也就等于二倍根号五 s， 那么于是原式就一定是小于等于十倍的三角形面积除以二倍根号五。三角形面积自然答案等于根号五。而你的取等条件，第一个要求是 a 等于 b 式，第二个要求就是这个不等式， c 方分之四， s 方等于四分之五 c 方式由于你 a、 b、 c 是 可以随意调整的，那显然这个等号都是能取得到的，因此最大值根号五。 那各位看一看，有了正弦定律的标准思想，小 a 小 b 小 c 跟散 a 散 b 散 c 可以 快速转换，于是想到三角形面积，再结合轮换对称速解技巧。那么你看这道题其实放在压轴十四里也不是一个很难的题目， 那如果有同学这道题还有追寻什么奇奇怪怪的啊，什么乱七八糟的不等式，那我建议啊，你还是好好把题，是不是能够轻松搞定。你听懂了吗？ 那这道题就是来自于我们好久不见的老朋友纯爱龙神同学的投稿秒提第三十五期全部内容，掌握认知本源数学如此简单，下周你想让源哥做什么题？赶紧来评论区投稿吧，下班收工！
178源有清秋锐志冲重大
8852孙雷逸风
