新高考一卷有出分的了吗
主包是二十六年新一卷数学一百四十二分考生，今天分享一下自己在考场上做题的全过程，拿到卷子正反面扫一眼， 发现并没有像去年一样的恶心导数题，也算是松了一口气，然后回头从第一题开始做，也是成功，在开始动笔前做完前六题，开始答题后，写上前六题答案，并检查了一遍，没想到第七题就有点卡，一开始没看到共有一百零八座塔，本能地开始自己分组， 结果分了好一会儿发现不会分开使用选项，逐个验证，没想到运气也不好，验证的最后一个选项才是正确答案。 还好第八题很简单，不到两分钟就做完了单选择题花了十分钟左右，第九题用了一分钟左右。第十题很快看出来是两个同轴圆柱，两分钟做完 第十一题，直接给了一个下马威，先是花了好一段时间看明白这三个圆是啥，结果主播没带圆规，画不出来规范的图像，当时已经崩溃到想给上考场前的自己一巴掌了。 光 a、 b、 c 三个选项就花了主播将近十分钟时间，算选出 b、 c 来也是直接放弃地了。填空第一题的数很好笑，成功吓住主播两分钟。十三题三角函数是主播弱项，花了四五分钟也是做完了 十四题，看了三分钟没有头绪，果断跳过选填花了三十多分钟，和平时用时差不多，但是这次跳了一个，所以其实有一点紧张，所以大题开始加了点数。十五题间隙做，花了五分钟，十六题做了一个相似三角形 低辅助线，花了八分钟左右。十七题是我们二模题原题，当时看到直接没绷住，花了五分钟左右做完 十八题。前两问是经典模型，也是一眼看出思路，为了不刻步骤分，花了十分钟写第三问也是明显的倒脚公式，三四分钟写完十九题，理解题意很困难，而且写步骤很麻烦，而且主包第二问用了反正法， 写起来比直接法麻烦很多。前两问就花了二十多分钟，不过还好第二问用的反正让我第三问写起来特别顺利，依旧反正轻松拿下。这时候离收卷还有二十分钟左右，想看看能不能一招先吃遍天，反正拿下最后一问， 发现不是一般的难，所以果断航母掉头回去做填空丁真。五分钟以后成功想起等比数列性质，并且发现其中的坑，直接写出正确答案。这时候主播有点紧张，又回头检查了一遍单选择题， 然后开始做十一题的递减系计算，结果方法没选好，化简到最后是一个三角函数的形式，用辅助角公式算出来，确实答案和选项一样，但是我不知道能不能取到， 想起来前几年多选最后一题都是三选，说不定今年就要坑我们一把，所以最后还是没有选上帝，也算是小小的遗憾吧。总结一下，这张卷子，简单的是真的简单，难的也是真的难，我可以用不到六十分钟的时间做一百二十分，但剩下六十分钟也就只能做二十分， 不知道这是不是一种命题趋势，但是今年高考数学考察确实更接近数学本质，像第八、第十四第十九题，如果学过一点竞赛，对高考确实有很大帮助， 中等生可以多训练简单题和中档题，稳住基本盘，毕竟按照现在的趋势，选填和大题的压轴都对中档生不怎么友好，但是其他题都是可做的。后续主播会继续更新数学学习相关视频，制作不易，希望大家给主播点个赞，点个关注，爱你们。
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04:31查看AI文稿AI文稿今年新高考，英卷的数学成绩出来了，七百二十万考生里面，满分只有一个，浙江的许可一百五十分，整张卷子零失误。现在全网都在膜拜天才。 但我看完他的采访，真正让我心头一震的，反而是他随口说出的一句话。因为啊，在整整二十年之前，我说过一句跟他完全相反的话。先说这个满分有多难。 今年的数学，一卷反套路、反压题，压轴题的逻辑链长到离谱，整张试卷的难度啊，仅次于被称为地狱级的二零二二年。 就连江苏这样的高考大省，今年数学最高分也不过一百四十二。许可一百五十 出分。那天呐，全校沸腾，但他本人呢，毫无波澜，因为考完那一刻，他就给自己估了满分。 但我翻了他的简历，发现了一个几乎没人注意到的细节。去年的全国数学奥赛 cmo， 他 排到全国第一百六十七名。 也就是说，单凭数学天赋，全国呀，至少有一百六十六个同龄人，大概是排在他前面。那问题来了，凭什么是他在高考的时候拿了唯一的满分？ 我不急着给答案，先讲讲我自己的故事。二零零六年，我和另外五位同学一起代表中国参加国际数学奥林匹克，也就是 i m o。 出发前，有人问我目标是什么。 我当时啊，年少轻狂，说的很简单，世界第一。半个月后，我真的拿到了满分金牌。那一年，全世界只有三个满分，中国队六个人满分只有我一个。 你看，我和许可一样，都在一张极难的卷子上拿到了满分。但我们呐，有一个地方完全相反。 许可接受采访时说，我没设定什么宏大的目标，就是一直一直努力，每一天每一道题都不松懈。 很多人觉得这是谦虚，但我知道不是因为我太清楚死盯着一个宏大的目标是什么滋味。如果你很执着于这个目标，你的心会紧张，你的动作会变形，你会患得患失。 我的数学教练也告诉我，要求战而不要求胜，求战就是回到当下，享受做每一道题的过程。而求胜呢，是紧盯着对错，紧盯着最终的结果。 但许可在十八岁这年，他已经展现出的一种通透，他没有把精力啊消耗在对结果的执念上。这就解释了为什么满分的人是他。 高考数学考到最后，拼的不只是谁的智商更高，更是极其恐怖的精准度。限时两小时一百五十分，零失误，意味着每一次运算，每一步推倒都不能有一丝的变形。 有人看我今年直播讲高考题，就问我，如果今年你参加高考，还能得满分吗？ 我的答案是，不能。因为啊，太久没有练习了，状态早就不比当年了。真要到了考场上，今年我没有信心拿满分 取巧那句每一天都不松懈，恰恰就是答案。当一个人呐，在考场上，没有任何的包袱，完全沉浸在数字和逻辑之中，他的心力啊，才是最专注的，他所有的精力都化作了笔尖下毫无破绽的推导。 再次祝贺这位满分少年，他比当年的我更加平静从容，没有宏大的目标，只有纯粹的热爱。我相信数学这条路，他一定会越走越宽，越走越远。
4.7万柳智宇的分享
03:07查看AI文稿AI文稿近百万人看过河北理科生六零六复读到六八七，数学幺零幺提到一百四十二的考场心路历程他来了。遥想主播去年高考数列提算的心态爆炸，最后整张卷子也是咬牙切齿的写完，平时一百二三的成绩最后就比满分多一分。 主播痛定思痛奋斗一年，也是如愿二次坐到新高考议卷的考场上。发卷子的五分钟内，主播吸取了去年先看后头大题影响前头答题心态的经验，没有看大题，直接去浏览小题。开考后也是五分钟就秒完了前五道题。第六题，主播观察选项得 分母一定是正数，直接令该式等于一求导，得出最小值，两分钟秒了第七题，一看这么长，也是给主播下一大跟头，沉静一下，利用求和公式轮流带入选项，发现只有 b 才能使首项合理存在。用时四分钟解决第八题，由于当时没有观察到期望的对称性，主包直接是一个个硬算，算了好几分钟终于写完了。 这个时候主播检查了一下选择题是三二二一，符合答案分配规律，两点二十分顺利拿下八道单选。第九题没什么好说的，一分钟秒了第十题。主播刚开始突然想到最小脚定律， 差点把 a 选项想了一下，觉得这种情况不成立，然后 b c 也是成功选出，用十五分钟解决此题。到了十一题，主播也是不会了，两眼一黑，画了几个圆就跳过了。 这时候看了一下表，已经半个小时了，赶紧开始做填空，前两个秒杀算到六六六这个神答案时，主播也是心颤了一下，重新算了一遍才放心，最后一个填空，主播也是写完两项都不会了，再次跳过，现在过了四十分钟， 前三个大题直接秒杀，大概一共用了二十五分钟。第十八题还好没有主播考前想的那么新，主播利用维达定律直接算出第二问，第三问也是很基础的倒脚公式，用时十五分钟解决。看到十九题的主播虎躯一震，二十四年的新定义又复活了，硬着头皮看下去，读了一会，大概读懂， 用时十五分钟。写完前两问，此时主播还剩二十五分钟，看着压皱问，意识到这题并非我的菜，想到前头还有两个小题空着呢， 就调转枪头来到十四题，用了五分钟终于开制看懂算出答案，此时距离收戒还有二十分钟，来到十一题，主包算了一下，发现 a 在 镶嵌的时候肯定不成立，此时 b、 c、 d 都有点拿不准，蒙一个也是蒙，蒙三个也是蒙， 主播又想到此前在文殊菩萨那充过值就莽上了，直接选择 b、 c、 d。 此时距离收卷还有十五分钟，主播去检查了一下前六道题，确认没问题后还有五分钟，反正闲着也是闲着，再次企图强制按十九题括号。三，主播也是神来之笔，想到反正法， 又想到了高中三年修炼过无数次的伪政法，盲人政法，大到乱编大叔特殊文思泉涌，中间瞎写了一大堆之后看答案发现确实用的是，反正也是让主播骗到分了，写完之后也就收卷了，此时主播甚是快哉，乃至于老师收完答题卡，我很丝滑的就无意识的把卷子装自己包里了，让老师是一脸懵的抠在那黑人问号脸， 还好主播反应及时，要不就吃公交饭了。总结一下这张卷子，感觉题目有些创新，较考验思维，但是基础的老套的模型也是不少的，初提水平主播给到吭。关于主播这一年是咋提升这么多的，之后会单独再出视频，具体介绍数学学习 方法，制作不易，希望小伙伴们能给主播点个关注和点赞，主播会继续更新内容，也是祝大家高考出分都超出预期，都有美好的未来。
6.3万抱抱爆爆
05:01查看AI文稿AI文稿来来来，宝贝们八个月报题二百一十分的教程来了。是不是以为我要说什么那种特别严肃的内容了。这并不是我要跟你们说，第一点就是万事开头难，第一点是心态。 我还不知道你们吗？我就从你们过来的。我上次也是，我就在家里，我，哎，我刷一个视频，我去，这会高考这么高，然后一会我真太搞笑了。别这样，玩就玩，玩舒服了学就学，学踏实了好不好，改变你们这种心态呢， 我教你一个特别绝招，就是你多找几个励志博主，就是多找几个从高三开始特别努力，然后然后到高考逆袭那种，你多看几个呀，你多去网上找几个，就那种，我高三就靠这种视频撑起来的，我到后面我都我从来不怀疑自己，你不要我就看那些，看那些博主，我去提这么多分我也行，就这样。好吧，然后我们就回归这个学科哈，就我先给你们来个总的，就是 每一课都会背一个这种这样的本子，他就会记一些比较零比较零碎的知识点什么的，比如说，呃，我这个数学我就会记公式啊什么的，你们看。哎，可能看不大清是不是没事等着我发一个图文。好吧，就是他会记些公式，然后记些二级结论，还有老师上课讲的内容在上面。嗯，我除了语文都会记一个这样的， 因为，呃，因为你上课听什么，你下课，其实你是课间十分钟，你要是困了你睡个觉你就忘了是吧？就是记得记得，这个上面我就感觉还还挺好玩的，就是每天翻翻啥的特别有成就感。那就是到各个学科的这个总结时间哈。我们先说语文， 语文呢，我是有准备两个笔记本，一本是我的笔记本语文笔记本，另一本呢是我的作文本，作文素材本也是相当于一个作文笔记本那种感觉。 然后我会把图文版的大概的发到评论区，或者说发再发一个视频。发图文好不好，就是我那个整理方法，就是老师上课讲啥你就记啥吗？老师上课讲啥你就跟着吗？是不是不用自学？现在你们还太早了，一轮复习不用自学。自学啥呀， 我等着开个语文作文专题好不好，我感觉我语文作文还是比较有发言权的。我一般高三下学期都是稳定在五十分左右了，数学首先低于六十分的，你们反省一下自己到底是学学写了没有。 嗯，反正我之前低六分的时候我是没怎么学。其实公式也没怎么背吧，就低于六分人群呢，咱们就老老实实的我们去背公式，然后做题。好吧，背公式做题就这么简单，你要是现在你想做套卷就做套卷，但是我建议吧，你还是哪块，不会你就做哪块，或者说你先做一个套卷， 看哪样错的，多专专注去攻哪块。然后我给你们抠一张那个我之前做的那种题，真题的那种题好不好， 集体测我六十分以上，九十到九十分这块我是没有发言权啊，因为我高考数学是六十七分。好吧，接下来我们就到英语吧，我感觉英语之后我还是比较有发言权的。我英语实打实的就是你们敢信我高二下的时候我好像考过五十多分吗？真的，我 a、 b、 c、 d 好 像当时就对了两个深层原因完全就是我根本就不认识单词啊，我不认单词怎么写啊？ 这英语我对你们讲详细一点吧，因为你们好多人问我英语。嗯，首先你现在去网上搜六八八核心词就是高，六八八是高考核心词，就是高考卷在上面，很多高频出现的词汇都在上面，你先把它背了，或者说你边背它边去做题，做着做题呢怎么办？买个这个东西，买这种小本， 然后这上面就基本上你做阅读不会那种生词嘛，我给你们也是抠一个图文版的，或者说再抠一张照片在上面好不好？ 你就发现你这个词汇量已经提上来了，但是我要首先我提醒你们什么，就是一开始你不会的词你不要去查，你要做完了它一套就要做完了它，然后你再去查这个词。还有就是 a、 b、 c、 d 片，你一定要自己做，一起做一起做，不要一下子就光做 a 片五分钟，光做 b 片五分钟，不要这样好吗？ 你 a、 b、 c、 d 一 起做，定个时间半个小时，你要是你要是技术好的话你就半个小时，技术不好的话你就先镜头把它做完吧，不管多长时间，先镜头把它全部做完。先看题目，再读文章， 七选五，你们一定要先看 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g 这几个选项，先把它读明白了，然后再回文章，挨个挨个往里填就是你就就用笨笨方法就可以了，就直接把它放到那个题干里面带入，看看合不合适。 还有就是完全填空呢，完全填空就是考察一个词汇量问题，先背单词吧。完全填空我教你们做题，就是你先不带这个答案的，先去看一遍这个文章，不要动笔。好吧，一个选项都不要选，一两分钟读完之后 你再开始做。为什么呢？因为有一些完全填空他一般他的第一个空他的答案是在结尾的。语法填空真是最好提分的一个选一个题题型，你去网上买一个那种 c t 测，或者说你网上买那个英语真题，你去专攻这个语法填空，他提分特别快，我到后期只错两三个左右吧。 然后你们需要的话我也给你们发一个那种。呃，代做视频也可以。英语大小作文呢？首先你就去找你的模拟卷，上面不是有小作文大作文吗？或者说你们的暑假作业你就两个连着一起做，基础好的你就四十分钟限时，基础不好的你就硬着头皮把它写，不管写一个小时也好，写两个小时也好，主要是你得自己把它写出来。然后呢，写完之后你去下载那个豆包爱学， 你把你写的东西和他这个题目的要求，你给豆包发过去，他会你让他给你生成一篇记于你这个主题调啊什么的，给你来一篇范围范围， 然后你慢慢的这样写着写，写多了你就自己就会写了，你们还有什么问题就可以来问我了，我大致的就讲了这么多。然后小嗑呢，我们明天或者后天再发一个视频，你们就是在不同的阶段要是遇到问题也可以来私信我什么的，我八月四号就成年了，我的私信就可以开开了。嗯。
7035一天八百如喝水
03:08查看AI文稿AI文稿欢迎收看新一卷，一百四十三分考项率平立即几何二 g 结论与方法，从航到拉，希望通过球包走过的路，帮大家扫盲的同行一得一些不必要的结论与方法。行列式球法项链， 这个可以给到一个顶级，不要把这个当成什么很高级的机器，他机器求法向量的一种更简单的计算方法，掌握难度低向求快，熟练掌握后能显著提高法向量计算效率，尤其是带参数的求解。但考究中还是要把计算法向量的模板搭好，防止过球分 丢失。正四面体的相关二级结论，这个可以给到一个零向量，主要包括高甲以及 内切外切球的半径与高的关系。球包建议，这个结论还是需要记一下的，起踢的节奏会更加顺畅，不建议考场临时推，计算量会比较大。 d d 几何洁面补全画法，这个给到一个顶级 出现一般就是小题压就核心就是角平行线，对空间想象要求会比较高。摩洛的同学可以多去看一些立体动图，斜面细皮多面体内切球半径。攻系，这个给到一个 m d g 没什么含金量，重点是理解已成高的原理，千万不能死记性个攻系。 三鱼弦定理，这个可以解到一个顶级且必须要掌握的一个二级结论，它可能不会作为一道题的核心考点，但尤其是在求一些多面体的高斜三鱼弦定理，往往能减轻计算量，能让解析节奏更加顺畅，可以拿左手三根手指记忆。 三正弦定理给到一个人，像人吧，出现频率不是特别高，但一出现一般就是这道题的核心 卡点，经常在例题几何小题集集内压就出现，掌握难度比较大，可能对于基础不好的学生。线面角面面角这几个角都比较难找到，性价比不高。圆台侧面积与台底体积。公信， 这个也可以给到一个人像人，因为这两个公信非常容易被遗忘。考题中就是以简单题出现，如果不会或者现场推，或可影响节奏与心态，考前必须扫盲一下。意面极限的距离。公信， 这个给到一个人像人，重点不是去记功性，一定要深刻理解意面极限距离的推导过程。核心系共面法向量加上点到极限的距离，球法 瞬影面积。功性给到一个 n b 型，急用的门槛比较高。作为大题的二小解法，大题出现有细，可以免间隙巧解，但对斜向的空间能力和转化能力要求比较高。快接球问题的模型，这个可以给到一个哈 理科几何小题大题压轴的常客，非常考验学生的空间想象能力与计算能力。把最后一个模型吃透，外接球就没有问题了。 前面的模型都是最后一个模型的特殊情况，建议想抽一三零同学吃透这个模型还有些比较 偏的二级结论和方法，书包在这里就不挤出了，记住，二级结论永远都只是锦上添花，对于基本性及和原理的考察永远是新高考的重点。点个关注，我们下期再见！
8000珩_
01:51查看AI文稿AI文稿二零二六年新高考一卷数学如果考九十分，到底算什么水平？全省数学平均分只有七十八到八十四分， 大半考生都达不到及格线，能稳定考九十分，刚好踩中了及格线。单科成绩超过一半的考生不算差，但距离优秀还是有点小差距的。 那整张试卷一半以上都是基础题，剩下的是中档题和亚洲难题。能拿到九十分的学生，课本基础没有大面积的漏洞。集合复数向量 基础数列简单解三角形选择题、前六道填空题、前两道各大题的第一小问，这些基础送分题基本能稳稳拿下， 不会大面积的空题丢分，但短板也十分突出啊。多选择题、填空题的最后两道中档综合题正确率很低，例题几何概率统计， 稍微换个出题的情景就容易卡壳。圆锥曲线导致大题只会写第一问，后面小问基本拿不到分数，再加上粗心的计算，审题失误，白白丢掉十多分是常态，简单来说只会死记模板基础题 知识点融合，题型创新，一点就跟不上了。在普通高中，全校数学及格率只有两到三成， 九十分放在班里属于中上游，重点高中的普通班将近四成学生不及格，那九十分只能算班级的中游重点实验班整体水平更高，大部分学生都能过九十，这个分数在班里只能排在下游了。 最后总结，九十分就是标准中等生，基础勉强过关，但中档综合解题能力薄弱，不上不下，想要再往上提升还有很大的进步空间，加油！
528刘老师的学习日记
02:29查看AI文稿AI文稿来，今年高考有个名字轰动了全国哈，那个孩子叫做许可，这个孩子们，这称得上是百万里挑一了。我为什么这么说哈， 今年新高考一卷的数学我跟你讲，难度堪称叫地狱级，各省平均分数才六七十分，但是他硬生生考出全国唯一的满分一百五 呵，很多人不知道哈，这个满分的含金量，我跟你讲啊，那么今天呢，我把五所数据啊摆出来，大家就能明白这个成绩到底有多么震撼啊！首先，第一，全国一共有七百二十万考生使用的一卷， 这个许可呢，是七百多万的里面唯一一个数学满分的。那么网上就很多人调侃说，周卷组印了七百多万份考卷哦，只为找到那个他，哈哈哈，你说是不是万里挑一？第二， 常年数学最强，江苏今年最高分只有一百四十二，三合四省这些高考强省里面，最高分数都卡在一百四十三，一百四十四， 几乎所有的尖子生距离满分后，都插在了压轴题最后那一道横钩。第三，各省的平均分普遍都只有六七十，足以说明这张卷子有多么难了哈，更别说考什么一百三一百四了，你能考个及格，都已经干到了全国七成以上的同学了。那么第四哈，今年高考数学反套路，反压题， 压轴题呢，它是弯弯绕绕的提问，很刁钻，阅卷后统计哈，能够完整答完这道压轴题的考生哈，每个省都是满，寥寥无几。 那么第五，高考你想考满分，那没那么容易的哈，必须经过阅卷组长以及六位以上的专家附和整张的答卷，即使这样，我跟你讲哈，阅卷老师审核了好几遍，也没有找到任何一处扣分点，说明压轴大题步骤严谨完整， 三频的全部给到满分。所以大家能知道这个孩子有多牛了吧！好在学霸云集，考试难度拉满的情况下，十九岁的少年许可交出了一张没有错题，没有输入的满分大卷。但是比起这个亮眼的一百五十分钟，更让人佩服的是这个孩子的超乎年龄的稳重。 查分的那一天哦，整个学校都炸锅了，父母和老师都激动万分吼！唯独考出奇迹的许可本能吼，内心淡定的跟没事的人一样。后来在他接受采访的时候，他还解释吼，走出考场之后，我心里就有数了， 整张卷子没有一道题是瞎蒙的，考满分的题早在意料之中了。别人考了一百四十九，是因为自身能力只能考到一百四十九，可是许可考一百五，只是因为这张卷子的满分上限只有一百五！ 一个十九岁的少年，拿下七百多万人争抢的唯一满分，却能做到宠辱不惊啊！在蔡老师看来，这一份定力，其实比数学满分更加的难得。
2255泉州蔡老师
14:04查看AI文稿AI文稿本期我们来瑞评一下二零二六年新高考一卷到底出了个啥。那么用三句话就可以概括我们今天视频要给你讲的第一句话，这道卷子没有一道题能用二级结论的，你评论区找吧，就是哪道题能用二级结论，你硬掰哪道能用你给我说一个。第二句话 叫做简单题不需要用题型，难题你也用不上题型，反而就是好像真实能用题型的也就是百分之十五的分数，我还算了呢啊同学，大概是二十五六分啊，待会我也可以给大家数一下。而第三句话叫做 最后一道压轴题，全国的高中生跟高中老师你不用压，你压不中，我大学命题人就喜欢拿大学知识下放到高中，给大家拉齐平均线，考察你的 基本预算能力和证明方法。哎，这就是我对于新高考一卷的三句话总结，就这套卷子，和我们在考前预测的完全一样，就是全国一一个字新， 或者说出题出的莫名其妙。就说实话，看到这张卷子的时候 我就感觉发麻，每道题好像我都能算，但我好像又没有见过这么出题的。你看全国二卷，你就感觉很规整，全国一卷就是他在干什么啊，他在玩什么啊？就比如说出个向量题啊， 我都没见过这么出向量的啊，出了个集合题，考察三角函数一算啊啊，没见过这个考察一个切线，这题不应该放在天空吗？我从来没有见过哪一年出在选择题啊啊，第五题考察焦点之间距离，感觉 好像没有必要出成选择题呢啊，第六题还有点意思，当时我还觉得，哇靠，这个超越函数好难啊，然后一想， 有题必有解。行了，这就是我后台一同学啊，私信跟我说的原话，一看答案没有 e， 你 这个 s 直接令他等于零，这道题不就出来了吗？这题有什么可难的啊，一堆同学还说不会做，我只能说，高考命题人你还是失误了啊， 你这道题起码选项当中应该出一个带 e 的 呀，否则这道题一下不就秒了吗。第七题，做不上， 第八题，没看懂。说实话，拿到这张卷子的时候我就在想，哪一年高考卷子这么出题 啊。我说实话，看到这两道题的时候，我心态都是崩的啊，其中有一个我的学生说了啊，听了一遍二十一天自由计划，就因为这道题，他把一百二十八种选项好像全列出来了，然后最后他选择到了正确答案， 我真佩服这哥们啊。第八题，说实话，他这个集合 cop 一 瞬间我都没整明白，他原来是搞了一个补习把 p 点刨了，当时我都蒙了啊，负数题，我从来没见过，负数还能出成多选的是吧。啊，这第十一题啊，不会算 没见过啊，离心率，感觉这道题好像是北京卷，天津卷，上海卷，实在是没有什么可出了的，才出一个这么简单。离心率出这种作风，不知道为什么全国一卷出了 啊。第十三题，中规中矩。第十四题啊，不会太难啊，完全看不明白是吧。然后第十五题啊，正常的做间隙运算啊。第十六题啊，哎，也没有见过这么考的，那描述了一堆初中几何，但还算简单。第十七题，说实话， 这道题我在读题的时候我就觉得冒蒙，我原以为是一道特别难的题目，他写了这么长，哎，还让我证明什么，我当时如临大敌的看到这道题，我就觉得这道题是不是有什么坑等着我，肯定有很多难的地方， 然后最后我发现他就是好像一减 p 的 m 四方乘以一减什么 p 的 k 四方的时候，我就觉得， 哎呀，感觉命题人像在玩我，跟我开玩笑啊。第十八题中规中矩，说实在话，这个问题就是 k 一个未知数，然后给了你一个面积三倍这样一个方程解未知数就行了。 第二问，说白了就是一个未知数，一个单元函数分析，这小题就做完了，纯粹的运算题，需要大面积运算，可能要算个十五到二十分钟，如果快同学熟， 你能算个十分钟。而第十九题，很多人都会说这道题目叫做集合加函数，或者有些人说这是一道新定义题目，那么我直白的告诉所有我的学生，还有这些同学， 这实际上是一道大学知识题目的下放。这个大学的命题老油条，典型的学了很多 top 学数学分析跟泛函的内容，它实际上属于我们做测度时候常做的一类证明，叫做找 某些不等式的测度是个啥，他把这个样一种大学知识下放到高中，他实际在大三你才能学过，这就意味着什么呢？实际上全国的所有同学，你们都是在拉齐同一起跑线去做这道题。 很多人说有数学天赋的人才能把这道题做上，学习竞赛的人学习那些微积分大学的人才能把这道题做上。我可以明确的告诉你，那些竞赛生，他没有学到大三数学这道题他根本就没有任何感觉，他没见过，很陌生， 那些所谓的学了微积分同学，他也没有见过这样的证明。大家都是拉齐平均线做的，所以谁比谁强，拼的只有两件事情， 运算跟基本的证明方法。实际上是这两件事情，这道题运算没有那么多，所以拼的实际上是什么？ 一个人的数学素养，或者说数学的证明方法，也是我们常在课上给大家讲的。所谓地推、证明、反证法、美举、演绎、推理这一系列内容， 你需要通过猜，有题必有解。画图像，先把这个东西为什么是对的，先画出来，然后再使用基本的反证法，或者用那种测度论的那种想法去证明这道题。这道题目，命题人真正在给你传达什么信息呢？ 很多人肯定会觉得啊，数学嘛，吃天赋是吧？没有天赋你就学不明白数学，你就做不明白压轴题。 有些人也会头皮发蒙说，孟阳老师，这么难的压轴题，我未来还怎么准备啊？甚至说在平台当中，一大堆的根本不是数学老师的人讲，哎呀，这道题轻计算，重思维 啊，那你咋不看看前面十八题全是运算呢？那么我告诉你，这些解读都不对， 这个命题人真正在告诉你的是最后一道压轴题，全国的高中生跟高中老师，你们不用学了， 你们不用压了，你们压不中。我作为一个大学的命题人，我作为一个掌握了大学所有知识的人，我随便就可以拉出大学的某个定力引理，某个知识下放给你出成一道高中题目让你去做。 那我想问你啊，作为高中生，你就算学竞赛，你就算学了大学你能学过大三知吗？你学不了， 你不可能学过。所以所有同学都是在拉齐同一水平线去做的这道题，甚至高中老师都被这道题拉齐了水平线。因为高中老师也没学过测速盾，高中老师也不会这些泛函的东西，而他告诉我们要做的应对是什么？ 运算，这道题是搞不定了。那你是不是就是要证明数学基本的流程化的证明方法？ 地推证明怎么做？反正法怎么做，演绎推理怎么做？美举是啥？数学那种基本的证明思维，证明方法是啥？ 这些是不是这道题传达给你的？因为你们在知识都不可能知道的情况下，你能依凭的是什么？ 计算跟方法吗？你，所以你得学这个，你才能把压轴题做上。所以不要再问我孟岩老师，我想准备高考的最后一道压轴题。一句话就是高考命题人跟你说了，你就是准备不来， 就是看不出来这道题出的是啥，你就是不知道这个知识点就是考察你纯粹的证明方法。那么所以说，回到这套卷子，你会发现什么呢？二级结论全面失效啊，反而没有一道题目能用二级结论。 哪道题目都用二级结构啊？没看到啊，哪道题目用题型了？太简单的题。第一题，第二题，第三题你用题型吗？第四题你用题型，第五题你用题型。那么前五道题这么简单是吧？你用什么题型？第六题 啊，这一题好像题型是吧，说白了就是求零点分区兼判大小。你做过求导这一题出来了啊，或者你就像我的有 t b u g s 零这道题完事了。第七题，哪个人能压中这道题？所有说压中这道题的老师都是骗你压不中， 这就是一个复杂的，你需要做美举的题目，你不美举，说实在话，你看不清这道题的结果是什么样。第八题，你如果做排除，把那点扣掉，我告诉你可难。算了，还是一类美举题。 这两分说实话，高考考场十分扔了不要了，你拿不到手，可能完全拿不到手。下一题是不是很简单？你再来看第十一题， 什么玩意？复杂性质计算做了一个什么？圆圆圆能拿到吗？假设说这道题你一分没拿，六分扔了十六分啊，到选择题以前，十六分给了 十二十三，简单吗？简单，高二同学就会。第十四题是啥？给了做不上来啊？ a 一 加到 a 三啊，差分方程，数列方程一求，然后还得举一堆例子。这道题还是他喵的没举题， 还是需要你每举出来几种可能性，然后你才能算的出来，否则这道题压根就不行给了。一共是多少分？ 三个五分题加上一个六分题，二十一分给了送了没有啊？十三分，这个题简单，能做上吗？十五分的这道题目中规中矩对吧？ 这道题目还是题型当中从来都没有考察过题目很简单，但没见过这两道题。你可以说题型基本包打天下二十八分。那么从第十八题到十九题，这题第一问，我们还可以包打天下一下题型，第十九题呢？ 完全不行，这就意味着什么？整个题型能占的分就是十三加十五，这里我多算也就是五分。 你就算把第二问全算上，我把这十七分的题目全算上，十三加十七，三十分加上十五分，一共是四十五分。真实你考题型的分数啊，低于四十五分，这是三分之一，实际我们强算也就占到百分之十五到百分之二十， 这是客观情况，而其他题用不上提醒。然后我们再算一遍，大题你能拿多少分？离题几何没问题，解三道题还搜一贼啊！这道题感觉还是马马虎虎，能答一答，解析几何。假设说你扣十分， 倒数题正不胜，就能做上第一问，你再扣个十三四分，那么这一共是多少分？ 十分加上十三四分，大概是二十三四分，再算上我们前面的分数，一共是二十一分，那么整体扣掉完是四十多分，这就意味着啥？这张卷子你只要是一个认真学习的同学，你应该能拿到一百分， 这是我不吹牛的说，因为那些题不难，你不会算中位数吗？你不会算平面向量吗？你不会算集合啊，你不知道三十六分之七派怎么算？所以你只要是努力的学生，这套卷子基本上一百分是能拿到的，而剩下的五十分， 全拼大家的实力水平，也就是说，计算和证明方法强不强。这就是全国一卷的 考试形式，叫做题目新颖，但是其中前面题极度简单，有一百分是你可以稳定拿回来的，而剩下五十分， 如果你实在觉得不行，扔了吧，别学了。有些同学能拿回来一百分都已经是很完美了，那么如果你还想把那五十分往回拿一拿怎么办呢？一句话，证明方法学透吧！第七题、第八题都需要每举，每举都不会，你怎么学？ 你怎么练这道题？这道题目纯粹的运算，那你计算量强，你就能写上第十八题，计算量强，你就能写上第十九道题。反正法或者你会一些每举基本的证明能写上，否则你就写不上。 这就是全国一卷你应该复习的一个形式。我强调的是全国一卷，二卷。不是啊，上一期我们已经分析完了，全国二卷主要是计算，然后题目转计算，是整个这样的。所以说到几啊？同学 啊，该练运算的练运算，该练套路化，证明方法这种流程化，我们讲的这些通解，找未知数，找方程，每一举地推，证明什么？反正法的该练你还得练啊，别跟我在那打马虎眼说。哎呀，梦瑶老师啊，今年的高考数学卷是不是看天赋 啊？今年的高考数学卷是不是轻计算，重思维？你通过我的分析，你会发现什么呢？完全不是，命题人给我们的口子就是他在把大家拉齐同一平均线，你们都是一个水平，打回原形，看一看你现在能考多少分。
8622梦言通解数学
05:17查看AI文稿AI文稿数学界最近出了一个真正可怕的天才，叫许可。他可怕的点根本不是高考成绩排第一， 而是数学考了满分，并且是在一张地狱级难度的卷子上拿到的满分。先别急着惊讶，来看看他到底面对的是什么。 二零二六年新高考，一卷数学覆盖浙江、江苏、广东、山东、河南等十一个省份，整整七百二十万考生同场竞技。考完当天，热搜就炸了。 考生们的吐槽非常统一，前面是送分题，后面是送命题，大题连题目都看不懂。命题组明确走反押题、反套路的路线，压轴题层层递进，全省据说只有个位数的人能完整做出来。 就是这张卷子，许可拿了一百五十分。注意，不是全省最高，是全国唯一。七百二十万份卷子，就他一个人摸到了满分。 有老师透露，江苏全省最高分才一百四十二，其他省份一百四十分以上都极其罕见。 这个一百五十分到底有多重？你细品！可真正让人破防的还不是这个分数，是他查分时的状态，成绩是他爸爸告诉他的。听到数学一百五十，他语气平静，心里毫无波澜。 因为考完他就自己估过分，感觉有可能拿到满分。整张卷子没有一道题是蒙的，所有步骤全在自己的掌控里， 他的老师比他激动十倍。初分那天下午，芝林中学党支部书记吴敏正在办公室忙，一个学生冲进来大喊，许可数学满分了。 他当场放下手头的事，拨通家长电话，确认之后还是缓不过神来，笑着感慨，老师和家长都比他本人激动，这孩子特别淡定，这份淡定真的不是装出来的，是磨出来的。 二零二五年全国中学生数学联赛，他拿下了浙江赛区一等奖，但离国家集训队就差了那么一步，换做别人，恐怕要难受很久。他就一句，比较遗憾，然后该干嘛干嘛。 今年年初，他又顺利通过清华大学邱成桐数学英才班的招生考试，进了预录取名单。你再听听他的学习经验， 朴实到根本不像一个天才说出来的话。他说，首先要找到自己真正感兴趣的方向，兴趣是持续投入的前提，其次要注重基础难题，归根结底是基础知识的组合和延伸。 最后是保持平常心，考试不被情绪牵着走，会做的题绝不丢分。没有任何玄乎的方法，就这三句，每一句都扎扎实实。他给自己总结的路径更简单，没有设定目标，但是一直一直努力， 不被名次捆绑。暑假，他计划自学高等数学，问他以后想干嘛，就五个字，想把数学学好。很多人盯着全国唯一满分这个标签，觉得这是爽文剧本。 但在我看来，这张满分卷子只是一个注角。他真正可怕的地方，根本不是天赋异禀，而是那种看淡顶级荣誉，持续向前走的心性。一个早就提前锁定清华的孩子，还在想着暑假啃高等数学， 一百五十分只是这张试卷的终点。这就是许可，一个把数学活成呼吸， 平静到让所有人都深深震撼的少年。但许可的故事，不该只是让我们仰望他反复强调的兴趣驱动，回归基础，保持平常心， 恰恰是当下家庭教育中最稀缺的东西。多少家长一边焦虑孩子成绩， 一边用题海战术把孩子逼到厌学，一边喊着为你好，一边把分数当成唯一标尺。忘了读书的初衷，本是为了让孩子成为自己。 如果你也在为孩子的学习焦虑，不知道如何引导他找到内驱力，不知道怎样帮他建立稳定的学习心态？不妨看看孩子为你自己读书这本书。 他不讲空洞的道理，而是从真实案例出发，帮家长理清为什么读书、怎么读书、如何让孩子主动读书的核心问题。把许可身上那种不盯着分数，却把路走得更远的教育智慧，拆解成可落地、可实操的方法。 书已经放在橱窗里了，点进去就能看。与其羡慕别人的满分孩子，不如先帮自己的孩子找到属于他的许可。时刻不是成为第二个许可，而是成为更好的自己。
40观史知养
01:00:52查看AI文稿AI文稿大家好啊，我是必见玄鹤，今天来给大家做一下二零二六新高考一卷数学的全卷讲解，这样试卷整体的难度是非常大的，中档题和创新题非常的多， 但是很多中档题都有简易的方法，如果你不用这些简易的方法而去硬算的话，计算量会非常的大。 创新的题目呢，考察的数列配对，立体几何，圆柱面轨迹复杂的解析，几何概率的无记性以及抽象函数和新定义。接下来我们就来看看这张试卷。 第一题求样本数据的中位数，我们把它排好序四五六八十二，中位数就是这边的六，所以第一题选择 b 选项。 第二题，因为向量 a 和 b 不 共线，所以这边 x 就 应该等于二， y 就 应该等于负三，因此第二题选择 a 选项。第三题，三幺六分之七派应该等于负，三幺六分之派等于负，二分之五派等于负的 cosine 三分之二派等于二分之一。 tangent 的 四分之五派呢？它应该等于 tangent 的 四分之一等于一，所以这个集合就是负二分之一，二分之一和一，所以这个集合就是负二分之一和一。选择 c 选项。 第四题求这个函数在一五处的切线方程，我们直接对 y 求导，导函数应该是五，加上 x 分 之八，当 x 等于一的时候，导函数值是十三，因此切线方程的斜率是十三，只有 d 选项符合，所以第四题选择 d 选项。 第五题他说两个抛物线都过四八，这个点我们把四八代入到 c 一 和 c 二里面，可以求出 p 一 等于八， p 二等于一， 所以抛物线 c 一 的焦点就是四零，抛物线 c 二的焦点就是零。二分之一 f 一 f 二之间的距离，用勾股定律应该是四个平方加二分之一平方开根号等于二分之根号。六十五，选择 d 选项。 第六题，函数 e 的 x 四方加 a 分 之 x 加二的最大值是一，求 a 的 值。这道题啊，很多同学可能上来会硬算，他会求 f 撇 x 哎，等于这个东西等于这个东西之后，好像写不出它的极值点，那写不出它的极值点，那我们就设一个隐零点 这个东西，假设极值点是 x 零，那么 f 撇 x 零等于零，也就是这个东西等于零， a 等于这个东西，那么我们的极大值 f x 零应该是 x 零加二。比上这个式子，这边把我们的 a 用这个东西代替进来， 这个东西等于一，可以算出来 x 零等于零， x 零等于零，再带入到这个式子里面，那么 a 就 等于一。那如果你在考场上用这个方法的话，会浪费非常多的时间，因为这个计算量是不小的。 那这道题有没有更简单的方法呢？有的，有没有更简单的方法呢？我们发现 e x 次方是大于等于 x 加一的，这是一个常见的不等式。利用这个常见的不等式，我们可以对这个式子进行一个放松，它就应该小于等于 x 加一，加 a 分 之 x 加二。 而我们又发现，当 a 等于一的时候，这个式子啊，就等于 x 加二，比上 x 加二，它恰好等于一。哎， a 等于一的时候，就说明我们这个东西啊，小于等于一，并且取等的时候是 x 等于零的时候，取等完美符合我们的题目的条件呀。 所以这道题啊， a 等于一，恰好就符合，因此就选择 b 选项，利用这个放松式呢，一下子把答案看出来的。 不过还有些细节啊，就是用这个放松的时候，你要注意 x 加二是正的还是负的，哎，最后 x 等于零，他正好是一个正数，所以是没问题的。第七题，就是我说的那道非常创新的数列配对问题，他是这样的，已知一个数列 a、 n、 a、 n 有 十二项， 他的每项呢，分别是，一、三、三、五、五、七、九、十一、十三、十五、十七、十九这十二项。现在呢，我们将这十二个数，每组两个数分成六组， 分成这六组之后呢，每一组我们把其中的两个数相加，相加了之后，可以构成一个象数为六，公差为 d 的 等差数列。问你这个公差等于多少？ 首先我们能得到一个必要条件，因为他两两成组，然后又加起来了，形成一个新的数列，所以我们新的这个数列啊，他的六项之和，应该和我们最一开始这个数列的十二项之和是完全相等的。所以我们就设新的数列的首项是 b 一， 根据等差数列的求和公式， b 一 加到 b 六，就应该等于首项加上末项乘以项数除以二。 而这个东西呢，刚刚说了，它又等于 a 数列的前十二项和，所以等于一百零八，我们就得到一个必要条件，六， b 一 加上十五 d 是 等于一百零八的。 写到这啊，很多同学就束手无策了，他会想，哎，我还能得到什么关系，把这个 b 一 和 d 解出来吗？好像得不到了， 所以我们接下来就只有这一个式子，那这一个式子我们怎么去解这个 d 呢？哎，你想一想啊，我觉得这道题最好的方法是把选项带入到我们的这个必要条件里面， 为什么呀？因为假设啊，我们现在 d 等于四，就看 b 选项， d 等于四的时候，我们带入进去，就可以把 b 一 算出来，对不对？而 b 一 算出来之后，注意啊，它是由我们 a 数列里面的两个数加起来的， 所以我们可以带入进去，把 b 一 求出来，看看这个 b 一 能不能在 a 一 向量里面找到两项和它对应，如果能找到，就继续去看 b 二能不能找到，如果 b 一 都找不到，那这个选项肯定就是错的。 所以我们来看一下，假设我们的 d 等于四，带入进去 b 一 应该等于八，哎，这边 b 一 等于八， b 一 等于八了之后，我们就看哪两个数加起来等于八呀，哎，一和七加起来等于八，一和七加起来等于八，然后公差现在又是四，那他的下一项应该是十二，十二呢，可以是三和九， 继续下一项是十六十六，可以是哎三和这边的十三。以此类推，我们就成功的找到了这个等差数列。 所以这道题啊，是非常创新的，在考场上我觉得也会吓到很多很多的同学，比较考察你的思维，有点像一个不定方程啊。 第八题，他说全集 u 等于这样一个东西，这个集合呢，是点的集合，而这个点里面的 x i 属于负二，负一，一二在里面任意的去取，在空间中构成了六十四个点。为什么呀？ x 一 有四个曲值， x 三有四个曲值，四的三次方就是六十四个点， 现在啊， p 点是一一一，即样本空间欧米伽等于，这是什么意思啊？这是在全集里面抠掉了 p 这个点对不对？所以就相当于这个样本空间里面一共有六十三个点， 在六十三个点里面随便取一个点，哎，随便取一个点的概率应该是六十三分之一，定义随机变量 x， 这个 x 是 什么呢？对于每一个取出来的点，我们的 x a 等于等于他们的三个坐标之合。求 x 的 数学期望， 那数学期望，首先我们刚刚说了，六十三个点，每个点的概率是六十三分之一，所以数学期望应该是四个码六十三分之一乘以每个点的 x a， 其中这边的 a 是 我们样本空间欧米伽里面的六十三个点，随便取六十三分之一，我们提出来就是应该是这个东西，哎，这个东西你想到的什么呀？ 注意啊，题目是在全集里面一个大的六十四个点的集合里面扣掉的一个点，那我们这个式子能不能写成原本 a 属于全集里面的所有六十四个点的这个东西？再减掉我们的 x p 这个东西不就是我们的这个东西吗？而根据对称性，我们的全集 u 是 一个非常非常对称的点集系统，你在里面随便找一点，比如负一一二这个点在里面，在全集 u 里面， 那我们的一负一负二也在这个里面。而对这个东西，我们求这个 x， 再对这个多这个点，我们去求这个 x， 这两个点的 x 加起来应该等于零，为什么呀？负一加一等于零，一加负一等于零，二加负二也等于零消掉了。 因此，在原本六十四个空间里面，我们去计算这个值，根据对称性，它应该是等于零的。再算一下， x、 p、 p 等于一加一加一等于三， 那最后算一下，应该是六十三分之负三，也就是负二十一分之一。选择这边的 a 选项。第九题是一个简单的计算题， 负数 z 等于三加二，那么 z 的 共二就等于三减去二， a 选项是对的。 b 选项 z 的 模应该等于根号下三平方加二平方等于根号十三， b 选项是错的。 c 选项 z 的 平方，算一下，应该是三加二的平方等于九加十二，减去四等于五加十二， c 是 对的。 d 选项呢，就是分式负数的一个化简，它等于三加矮，分之六加二上下，同时乘以三减矮， 最后算出来等于二，二是实数啊，所以 d 选项也是对的，着急选择 a、 c、 d。 第十题是一个比较创新的题目，他说动点 c 到直线 ab 的 距离为二。哎，我们思考一下，在一个平面内，我们假设在这个平面内啊，我们这边有一个定点， 动点到定点的距离，如果为二，在一个平面内，他的轨迹应该是一个圆，对不对？现在啊，我们在空间中，空间中到这个一条直线的距离恒为二，那不就相当于把这个圆我们继续向下平移，向下平移就构成了一个圆柱面， 这个圆柱侧面上的任意一点，到我们中间这个轴的距离应该都是二， 没问题吧？因此，这个动点 c 的 轨迹啊，就是到 ab 距离为二的一个圆柱面，同样的动点 d 到 ab 的 距离为一，那么动点 d 也是一个圆柱面，我们画一下这个图，假设这边是 ab， 然后呢，我们画一个半径为二的圆，向下平移构成了一个圆柱面这个地方，这个圆柱面上就是我们动点 c 的 轨迹，同样的，我们在里面再画一个半径为一的小的这个圆柱，那这个圆柱的圆柱面上就是我们动点 d 的 轨迹。 好，现在我们 c 和 d 都知道它在哪动了。我们再看题目，他说二面角 c， a、 b， d 为六十度，哎， c， a、 b， d 为六十度，我们怎么去画呢？来看啊，我们先画出两个结面，这两个结面啊，构成了六十度， 怎么画呢？这个事情应该是不难去画的，我们现在这个小的圆珠里面啊，我们去取一个这个洁面，可以吧？这个洁面取出来之后呢，我们在这个点是 m， 然后连接 m a， 我 们画一个六十度，这边是 an， 这个角度是六十度，然后我们过这个 an 啊，向下一切切出了这个洁面， 那这两个结面它的二面角是不是就是六十度？既然这两个结面的二面角是六十度，我们的 c 点和 d 点又在两个圆柱的侧面上运动，那我们是不是可以规定 c 点就在 n n 撇这条线上运动， d 点呢，就在 mm 撇上运动，因为此时哎，我们随便写写一下 c 点在这，那我们 c、 a、 b 就是 这个画的这个结面啊， 然后我们的 d， a、 b 呢？ d， a、 b 就是 画的这个红色的这个界面啊，这两个界面一定是二面角六十度的，我们现在又确定了啊， c 点在这个上面，然后 d 点在这个上面，我们看选项就行了。 选项 a 说 c、 a、 d 大 于等于六十度，如果我们的 c 点在这， d 点在这，这个角就等于六十度，但是如果我们的 c 点在这， d 点在这，那这个 c、 a、 d 还等于六十度吗？它就不等于六十度了，它是比六十度要小的，所以 a 选项是错的， b 选项说 c、 d 大 于等于根号三， c、 d 大 于等于根号三，我们就去看看 c、 d 的 最小值是多少。哎， c 点在这上面运动， d 点在这上面运动，他们俩什么时候连线最短啊？最短肯定是我们。 c 点在这， d 点在这， 相当于和这边的 a、 b 是 垂直的时候，此时最短，我们就计算这个 m、 n， m、 n 怎么去算啊？哎，我们的 a、 m 长度等于一， a、 n 长度呢？等于二，然后这个角是一个六十度，划一下，就这个东西 一二六十度。哎，那这个边 m、 n 应该等于根号三，所以 c、 d 最小值是根号三，那 c、 d 确实大于等于根号三， b 选项是对的。 我们再看 c 选项， c 选项说当 ab 垂直于 cd 的 时候， cd 垂直于平面 abd， 当我们的 ab 垂直于 cd 的 时候，哎，我们的 b 选项不说了吗？ cd 如果在这的时候正好是垂直 ab 的， 所以我们就规定啊， c 点在这个地方， d 点在这个地方， 此时我们看看 c、 d 垂不垂直于这个面， a、 b、 d， a、 b、 d 面就是这个东西，这个面啊，垂直的吧。因为根据我们的 b 选项，我们的 m、 n 是 垂直于 am 的， 这个 m、 n 是 垂直于这个 a、 m 的， 既然这个垂直，那我们的 c、 d 就 垂直于 a、 b， m 撇 m 这个面，也就是 abd 这个面，所以 c 选项是对的。再看 d 选项，当 ab 垂直于平面 a、 c、 d 的 时候， ab 垂直于平面 a、 c、 d， 哎，我们还可以让 c 和 d 在 这啊， a、 c、 d 在 这， 此时他问，此时他问 ac 是 不是垂直于 ad？ 很 显然，很显然， ac 在 这， ad 在 这，它们俩夹角是六十度啊，所以不垂直，因此 d 选项是错的，所以第十题选择的是 bc。 这道题是有点创新的，要考虑的东西也非常的多，在考场上是有点难度的。 接下来我们来看多选择题最后一题，这道题比较难，他说有三个圆，这个圆心是负一零在这，然后半径是一，第二个圆呢，一零，半径也是一，第三个圆零根号三，半径也是一。给他画出来之后，你会发现这个长度是一，这个长度是刚好三， 所以这个长度是二，而这个长度二呢，正好等于他的半径加他的半径。所以我们的这三个圆啊，是彼此外切的。 现在有一条直线啊，与我们的三个圆均有两个焦点，哎，你任意去画一条直线，什么情况下才有两个焦点啊？ 画一画，你会发现大概是这样的一个情况，画在这的时候，我们第一个圆，两个焦点，第二个圆呢，两个焦点，第三个圆呢，也有两个焦点， 然后我们这条直线还可以再移动移动。比如我们这是一个临界情况，与上面两个圆是相切的，然后我们往上去一点点，哎，现在是不是每个圆都有两个焦点，然后继续都有两个焦点，都有两个焦点，移动，移动，移动。哎，到这到这 与最下面那个圆相切之后呢，也是他的最后一个临界情况，所以在这个范围内都是可以的。哎，那他的斜率是一定的吗？也不一定啊，我们还可以给这条直线稍微旋转一点点，旋转一点点之后呢，他仍然和我们的三个圆有两个交点。 当然啊，我们的直线一定在这个范围内吗？不一定啊，根据对称性，我们还能在这个范围内，还能在这个范围内，对吧？我们来看看选项。首先 a 选项 k 可以 取任意实数。哎，根据我们刚刚的分析，他就限定在这三个范围里面，那 k 肯定不能取任意的实数啊。 b 选项他说 s 一 等于 s 二等于 s 三， s 一、 s 二、 s 三分别是我们捷德的三个弦长， s 一、 s 二、 s 三，当这三个相等的时候，哎呦，共有三条，哎，你画一下图，发现他确实是三条相等的话，应该是非常对称的。这种情况，那再对称过去，我们还有 这边也是三个相等，这个，这个还有这个三个相等，同样的，再对称一下，还有这种情况，也是三个相等，所以一共有三条直线，满足 s 一 等于 s 二等于 s 三，所以 b 选项是对的。 c d 选项呢？ c d 选项就有点难度了，他说 满足 s 一 加 s 二加 s 三等于三的直线多余三条，这什么意思啊？首先我们来看看这个最特殊的情况，此时我们这个前弦角应该是六十度，然后这个长度就是一，这个长度也是一，这个长度也是一。我们 b 选项的三条直线，它都满足 s 一 加 s 二加 s 三等于三，但是 c 选项说它多余三条， 他的意思就是有可能我们这个直线啊，你再给他平移，平移平移，或者在旋转，旋转旋转，还有可能让他三个加起来等于三，那这个就需要我们去计算一下了。再看 d 选项， d 选项还是一样的，那 b 等于零的时候，其实就是我们 直线一定过这个圆点，然后在这边稍微旋转，旋转的情况，还是让你去求 s 一 加 s 二加 s 三，所以 c、 d 选项肯定是需要去计算的哎，但是我们需要 c 选项也去算一下， d 选项也去算一下吗？我们可以让 c、 d 选项一起去算，你看 d 选项有个限定条件， b 等于零的时候， 我们就去算 b 等于零的时候， s 一 加 s 二加 s 三，有没有可能等于三，看看算出来有几个解就行了。在算的时候呢，我们又可以同时去算一下它的最大值，那 d 选项也就出来了， 我们来看看吧。当我们的 b 等于零的时候，我们 y 等于 k x， 现在他让我们求这个 s 一 加 s 二加 s 三， 这三个弦长应该怎么求啊？弦长应该等于两倍的根号，下一减去 d 平方， d 是 我们圆心到这条直线的距离，圆心到直线的距离，哎，我们把三个圆心算出来，然后算一下三个距离，应该是这三个东西对不对？带入进去， s 一 加 s 二加 s 三，就应该是这个式子和 k 有 关 啊，那这个式子看着好麻烦啊，我们可不可以进行一个换元啊？完全可以的吧，我们可以把这边的根号下一加 k 方分之一，整体换元成一个 t， 那 么带入到原本式子里面，它就应该变成四 t， 加上两倍的根号下一减三 t 平方。这个式子，我们接下来就两件事情，第一件事情，令他等于三解出来，看 t 有 几个解，再看看 k 有 几个解， 这是 c 选项。 d 选项呢？就是看这个式子的最大值是多少。先看 c 选项，令它等于三解出来。哎，这个式子等于零，那 t 显然是有两解的，因为得尔塔大于零有两个解，而我们的 t 又等于这个式子，那我们的 k 就 有四个解， k 有 四个解，说明什么呀？ k 有 四个解，就说明我们 b 等于零的时候，就已经能找到四条直线满足 s 一 加 s 二加 s 三等于三了。既然已经找到四条，那我们的 c 选项一定是对的呀，多余三条。接下来我们看 d 选项， d 选项就是算这个式子的一个最大值。怎么算啊？ 第一个简单的方法就是求导，求导也不难去算，大家可以自己算一下。而这个式子呢，其实有个更简单的方法，就是科西不等式。科西不等式呢，我们配凑一下啊， 四 t 我 就给它写作根号三分之四乘一个根号三 t， 为什么这样写啊？因为我们的科西不等式告诉我们， a 一 b 一 加上 a 二 b 二括号的平方，它是小于等于 a 一 的平方加上 a 二的平方，再乘以 b 一 的平方加上 b 二的平方的。这样配凑之后，你看一看我们整体给这个式子平方之后啊，它就应该小于等于 我们根号三分之四的平方，加上这个二的平方，再加上我们刚刚配凑出来的根号三 t 的 平方加上这个东西的平方，哎，这个式子相加之后， t 方消掉了， 消掉之后这边只剩下一个一，这边是三分之二十八，所以这个平方就小于等于三分之二十八。开根号最大值就是三分之二。根号二十一，能不能取等啊？验算一下是可以取等的，所以 d 选项是对的，因此这道题选择的是 b c d。 第十二题，求这个双曲线的离心率。要注意，我们双曲线一般的方程是， a 一 方分之 x 方减去 b 方分之 y 方等于一， 那么这边对应下来， a 一 方就应该等于五分之一， b 方应该等于六分之一，那么 c 方就等于 a 一 方加 b 方等于三十分之十一。 离心率， e 等于 a 一 分之 c， 算一下等于六分之。根号六十六。然后填空题。第十三题是一个非常容易错的题目， 这道题它设计的比较有意思啊，它最后写出来有两种情况，但是这两种情况解出来的函数值都是一，所以它设置成了填空题，它是这样的，这个函数是偶函数，那么我们最终化解的形式肯定是什么？什么 cosine 的 形式，那 cosine 的 形式我们就 c 塔就只能等于二分之派或者二分之三派， 因为在零到二派之间，当 theta 等于二分之派的时候， f x 化简等于二， cos 小 于 a x， 此时我们的函数啊，在零的右边一点点是递减的趋势，递减的话就和我们的递增是不符的了， 所以我们的 theta 只能等于二分之三派，二分之三派 f x 就 等于这个式子。这个式子它又说在零到二分之派上单调递增，因此我们这个顶点啊， a 一 分之派就应该怎么样？大于等于二分之派， 所以算出来 a 小 于等于二，同时 a 不 能等于零，因为 a 等于零的时候，它是一个长函数，长函数是不行的。那再根据我们对称性， cosine a x， 它是等于 cosine 负 ax 的， 所以我们的 a 还可以取负一、负二，一和二。 然后最终啊，我们发现， a 等于一的时候，你的 f 三分之二 pi 等于这个东西，它等于一， a 等于二的时候呢？ f 三分之二， pi 等于这个东西，它还等于一。所以两种情况答案都是一，最后写下来就是一。 接下来我们来看填空题最后一题，这道题是难度非常大的存在的数列 a n 使得对于任意的 n 均有 a 一 加 a 二，一直加到 a 三 n 等于 n 方加 n， 这个是什么意思啊？哎，这边就是 a 三 n 这个数列的前三项和， 所以 s 三 n 等于 n 方加 n。 注意，我们这边 n 方加 n， 如果我们再给他写一项 s 三 n 减三等于这个式子， 两式相减，这边的 n 方就可以消掉了，对吧？这个相信在平时大家写作业的时候遇到的还是比较多的，只是平时遇到的时候呢，这边不是三 n， 这边是 n， 它变成三 n， 你 也还要有这样的反应，两式相减，我们就得到 a 三减二，加上 a 三减一，再加上 a 三 n， 它是等于二 n 的。 注意， n 大 于等于二， 然后再验算一下， n 等于一的时候， n 等于一的时候，带入到这个式子里面， a 一 加 a， 二加 a 三，它就等于二等于二，也符合这个式子啊，所以这个式子对于任意的 n 都是成立的。 这就告诉我们一点，这个数列里面相邻三项的和构成一个等差数列， a 一 加 a， 二加 a， 三等于二， a 四加 a， 五加 a， 六等于四， a 七， a 八， a 九加起来等于六。好，现在我们要选它的连续九项，它要是一个等比数列，那又怎样一个情况呢？有没有可能我们这连续的九项之间啊？ a i， a i 加一， a i 加二， 然后矮加三，矮加四，矮加五，然后矮加六，矮加七，矮加八，彼此之间啊，正好是我们这边的一二三四五六七八九，或者说往后延伸，或者是什么四五六七八九十十一十二，有可能吧。那我们先写一下这种情况，这种情况就是 最开始三项，然后中间三项，还有最后三项正好构成了等差数变好，这个三项加起来是二人加四。 那此时又因为题目说了，这九项是等比数列，对不对？等比数列，那么我们这三项加起来和这三项加起来，以及这三项加起来，它们这个三个东西应该也构成一个等比数列，对不对？所以我们就应该得到二 n 乘以二， n 加四等于 二， n 加二的平方等比中项。那这个式子我们算一下，哎，算出来之后发现，哎，这个东西等于这个东西加四，那显然是无解的，无解就说明我们这种情况是不行的。那这种情况不行，我们还能怎么样呢？还有可能是我们的九个数错开了一位，怎么错开啊？比如这样， a 二， a 三， a 四， a 五， a 六， a 七， a 八， a 九，然后再来个 a 十，这九项构成一个等比数列，那此时就应该是我们的 a 四 a 五 a 六和 a 七 a 八 a 九构成等差的关系。好，我们写下第二种情况，第二种情况错开的一位就是这样的， 还是刚刚的这边二人，二人加二人加四，但是我们选的九个数啊，错开了一位，这个不选，我们选到了这，那这种情况下，我们该怎么去把这个 q 算出来呢？还是一样的，我们这三项的和比上，这三项的和应该等于 q 的 三方， q 的 三方呢，就应该等于二人加四，比上二人加二，所以 q 三方等于这个东西化解一下，等于一加上 n 加一分之一。哎，我们题目要求 q 的 最大值， 现在这个式子只和 n 有 关了，对不对？而我们的 n 大 于等于一，所以这个式子就小于等于二分之三， 小于等于二分之三，你就要考虑了，有没有可能我们题目的答案， q 三方的最大值就是二分之三， q 的 最大值就是二分之三，开三次根号呢？有可能吗？有可能啊，你要带进去验算一下。怎么去验算？ 注意，此时我们 q 等于这个式子，然后呢， a 一 加 a， 二加 a 三等于二， a 四加 a 五加 a 六等于四，我们就算一下啊，你看 a 四加 a 五加 a 六，它应该等于 a 四乘以一加 q， 加上一加 q 方， 这个东西你可以拿这边的 q 带进去算出来吧， a 四是可以算出来的， a 四算出来之后， a 五也可以算出来， a 六也可以算出来， a 七 a 八， a 九 a 十全可以算出来， 算出来之后你会验算，会发现这种情况是完全没问题的，既然它没问题，然后这个 q 又是我算出来最大值，那最终的答案就是这个东西 二分之三开三次根号下。接下来我们来看解答题。第一题立体几何，这道立体几何啊，比较简单，他说值三等柱中 a， c、 b 等于九十度，哎，看到这个九十度，其实很多人第一反应就是啊，太好解析了。但是让这道题解析的话就有些复杂了，不用去解析的 题目说 a、 c 等于 bc， 那 等腰是要三角形吗？ d 和 e 分 别是中点， d 在 这， e 在 这。第一题让你证明 d， e 平行于平面， bc， c， e， b。 哎，这个很简单，你只要把这边的 c、 e、 b 连起来，那中点中点中位线， d， e 就 平行于这个， 那这个又在面上，所以 d， e 平行于面这个东西。第二题说设 c， c， e 等于二，那这边的侧能就都是二，侧能都是二。之后他说 d、 e 和我们这个面的夹角是四十五度，四十五度，然后这个又是一个垂线，所以我们直接过地点做 d h 垂直于 a、 c， 然后呢，把这个 e 和 s 连起来，你会发现彼此之间都是垂直的，既然都是垂直的，那我们这个角就是四十五度，所以这个三角形就是等腰直角三角形没问题吧？ 然后题目又问你，直线 d、 e 到我们这个平面的距离，第一条文证明的平行，那就是 e 点到这个平面的距离， e 点到这个平面的距离做一个垂直， 这个长度不就等于 a、 c 的 一半吗？ a， c 又等于我们的 bc， bc 又等于两倍的 dh， dh 又等于 e h， e h 呢？又等于二分之一的 c c 一 c c 一 是等于二的，所以它等于一，它等于一， bc 就 等于二， bc 等于二， ac 就 等于二， ac 等于二，这个距离就等于一。那这道题就写出来了，接下来我们来看看第十六题。解三角形。解三角形，你看啊， ab 等于三， bc 等于二，根号三， cosine b 等于三分之，根号三。哎，根据 cosine b， 然后又知道两边我们可以把它的另外一边求出来， cosine b 等于，这个式子我们代入 a， b， bc， 还有 cosine b， 可以 算出 ac 等于三， ac 等于三。三个边都出来了，那 cosine a 直接代入就等于三分之一。再看第二小问，第二小问，他说 d 点在 b a 延长线上，然后满足一系列条件，求 c、 e 的 长度。我们来看一下， 是这样的， abc， 我 们刚刚第一小问解出来，这个边是三，这个边是三，这个边是二，根号三， d 点呢？在 b a 的 延长线上或 d 点，他说做 d e 平行于 bc， 并且 a e 是 垂直于 ac 的， 然后让你求 c e 的 长度，这怎么去写啊？首先根据这个垂直你就知道了，这个角和这个角是互余的，互余的话，那就说明他们的 side 值应该等于这个 cosine 值， 所以这个三点值有了，算一下，他应该等于三分之一。接下来啊，又因为我们两直线平行，同旁内角互补，所以三点这个角就等于三点 b， 三点 b 呢，又等于根号下一减三分之，根号三的平方。因为 cos 三点 b 我 们早就算过了，所以这个三点角也有了， 三点有了，三点有了，这个对边根号六有了，所以我们可以把 a e 长度算出来，根据正弦定底算出来等于六， a e 有 了，哎，这个又是垂直的，这个又是三， 所以勾股定律 c e 就是 根号下三方加六方等于三，根号五，非常常规的一个解三角形题目。第十七题是一个比较简单的概率题。第一题让你求这个分布列，你看一看题目，他说进行投篮练习，当前仅当投中一次或者都没有投中的时候停止练习，那 x 等于一的时候，就是一次投中三分之一。概率 x 等于二的时候呢，就是第一次没中，第二次投中就这个东西， x 等于三呢，就是前两次没中，第三次投中是这个东西， x 等于四呢，你可以直接拿一减去，前面三个概率就二十七分之八，所以分布列是这个东西。第二题让你求这个 p， x 大 于 k， 哎， p x 大 于 k 实际上就代表着你前 k 次都没有命中，后面怎么样就不用去管了，所以直接就等于一减 p 的 k 次方，对不对？ 然后第二题让你去求这样一个条件概率，他说等于这个东西，这其实是我们概率里面的一个无记忆性，怎么去写啊？根据我们条件概率的公式，它就等于这个式子， x 大 于 k 加 m， 且 x 大 于 k， 那 不就是 x 大 于 k 加 m 吗？ x 大 于 k 加 m， 根据我们刚刚第一小问的公式，它就等于这个东西，比上这个东西 算下来是一减 p 的 m 四方，那不就是我们的 p x 大 于 m 吗？所以这道题不难，但是看到这边一堆又是 k 又是 m 这些变量啊，很多人在考场上可能有点怕这道题啊，被吓到了。接下来我们看一小问，四分之 x 方加三分之 y 方等于一。第二小问说， 设 o 点为坐标，原点过 f 且斜率大于零的动直线， a o 交我们的椭圆于两个点， p q q 点呢？在第三项线连接 po 交椭圆，另外一个点于 r 点。 第一问说 p q r 的 面积是 p f o 面积的三倍，求 l 的 方程。哎，这道题呢，我们发现 p o 等于二分之一的 p r， 然后这个角又是一个公共角，所以我们求这两个三角形的面积的时候啊，我们可以用这个公式， p q r 等于二分之一， p f 乘以 p o 乘以三点 p 啊，就这个乘以这个乘以三点 p 三倍的关系，也就是它比它等于三，而它比它的话，二分之一和二分之一消掉了，然后 pr 和 po 这个消掉之后，还剩一个二，算 p 消掉了，也就是二 p q 比 p f 等于三。 好二 p q 比 p f 等于三，也就是 p q 等于二分之三的 p f。 所以 我们只需要在这个弦上做文章就行了。接下来我们就设这条直线啊，是 x 等于 m， y 减一，和我们的椭圆连立起来，得到这个式子。维达定律呢，算出 y 一 加 y 二和 y 一 乘以 y 二。 现在 p q 比上 p f 应该等于什么呀？它就应该等于这个长度纵坐标相减，再比上这个长度 纵坐标减去零，所以应该是 y 一 减二，比上 y 一 等于二分之三，算一下，应该是一减 y 一 分之 y 二等于二分之三，也就是 y 一 分之 y 二等于负二分之一。哎，那现在 这个有了，然后 y 一 加 y 二有了， y 一 乘以 y 二有了，我们是不是就可以把 m 算出来的呀？怎么去算？哎，那这个地方你可以，你可以简单去算，就是 y 二等于负二分之一的 y 一， 然后直接带入到这两个式子里面去消圆，消圆之后就可以把这个 m 算出来了。当然你还可以更聪明一点， y 二分之 y 加上 y 一 分之 y 二，构造这样一个对称的式子，加起来就等于这个东西，这个东西呢，你可以把这边维拉定，你全都带入进去，那带入进去之后，就变成一个关于 m 的 方程， 它等于负二分之一减去二，就这个东西吗？算一下就可以把 m 等于五分之二，根号五算出来了，因此我们的直线方程是五分之二，根号五， y 减一等于 x。 再看第三小问，让你求 tanning 的 的最小值，就这个角的 tanning 的 的最小值。哎， 这个模型啊，不知道大家熟不熟悉，一个点差法的经典结论过，这个椭圆的圆心，我们做一条弦，然后呢椭圆上任意点 q 点连接他们两个，这个斜对 k 一， 这个斜对 k 二，那么 k 一 乘以 k 二就等于负四分之三， 这个结论相信大家都应该要知道。那有了这个结论，那这道题就非常的简单了，这个角可以看作是这条直线顺时针旋转了 c 塔角得到的这条直线，那彼此之间我们就可以用一个倒角公式。倒角公式是什么呀？现在有两条直线， 这个呢是 k 二，然后这个角是 c 塔二，这个是 k 一， 这个倾斜角是 c 塔一，那么中间的夹角， 天津的 c 塔一减去 c 塔二，也叫做倒角，它就应该等于 k 一 减 k 二比上一加上 k 一 乘以 k 二，其实很简单，就是利用我们两角差的正切公式就可以证明出来。 所以倒角公式我们天津的 c 塔直接可以用 k 一 k 二表示，而这边 k 一 和 k 二是有关系的，所以我们可以削圆削成四， k 一 加上 k 一 分之三，再看一看能不能取等 取等的时候呢？应该是这个东西完全是可以取等的，那最终答案就是四根号三。所以这道题啊，方法虽然非常的多，但是倒角公式用起来是非常简单的。最后这个第十九题啊，我单独的发过一个视频来讲，这个题目啊，相当的有难度，但是虽然难啊，他的第一小问和第二小问 也都是可以写出来的，就是中等水平的同学都是可以去拿分的。然后第三题的第一小问就是能力强一点的同学，也是有机会写出来的。但是这个第二小问的话，我觉得就是想都不用去想了，这个题目太复杂了。首先我们来读一下题干，题干说定义在实数域上的函数 f x 满足， 当 x 小 于零的时候， f x 等于二的 x 次方。他又说啊，集合 d x 零等于这样一个东西， 这个集合的元素是小 d， 小 d 是 属于我们的实数集的。然后要满足 f x 零加 d 要大于 f x 零。现在看这个东西啊，我们还不知道它到底是个啥，哎！我们带入到题目里面去看一看 第一小问，若当 x 大 于等于零， f x 等于一减 x 的 时候，让你求 d 负一，我们第一小题， x 小 于零的时候，它是二的 x 次方， x 大 于等于零的时候，是一减 x， 所以 我们的函数啊，是这个东西， 而 d 负一呢，我们把它带入到这个集合的公式里面啊，它就应该等于这个东西。哎， f 负一是一个确定的值呀，我们带入到这个函数里面， f 负一就等于二的负一次方，所以这个集合就是我们要去解这样一个方程， 这个方程解出来 d 的 范围就是这个集合的范围。那现在我们就要去看 d 减一，它究竟是在小于零的部分呢，还是在大于等于零的部分呢？所以要分类讨论， 简单分类讨论一下，当 d 减一小于零的时候， f d 减一就应该代入到二的 x 次方里面，也就是这个式子成立，那我们算出来 d 应该是大于零的，所以这种情况下， d 大 于零小于负一。 第二种情况，当我们的 d 减一在大于等于零这个范围上时，我们的 f d 减一就应该带入到一减 x 里面，所以是这个东西解出来，应该是 d 大 于等于一小于二分之三。所以综合两个情况，我们最终的答案， d 负一就应该等于零到二分之三。 第二小题说，若 f x 是 奇函数，注意了，奇函数小于零的时候，这个函数值又告诉你是二的 x 次方，那大于零的时候呢，就应该是，哎，这边算一下，应该是负的二的负 x 次方，这个是没问题的，但是你还要注意， x 等于零这个点我们还没有去算呢，那 g 函数它又是定义在这个实数域上的一个函数，那 x 等于零的时候，函数值应该是零，所以第二小问还是一样的，我们的函数是可以完整的具体的写出来的。 接下来他说 x 一 x 二乘起来不等于零，也就是说明 x 一 不等于零，并且 x 二也不等于零。 然后说 f x 一 小于等于 f x 二，让你证明集合 d x 一 包含了 d x 二。 根据这个条件啊，你就要去思考了，什么情况下 f x 一 小于等于 f x 二呢？我们这道题啊，先把函数图像画出来，应该是长这个样子的，这边是空心点，零呢，是实心点，然后负一又是一个空心点，然后这样的对称起来， 那 f x 一 小于等于 f x 二，就应该有三种情况。第一种情况， x 一 和 x 二，它都在我们的负半轴上，那此时就应该是 x 一， 在这，它小于等于我们的 x 二，然后小于零，这是第一种情况。第二种情况呢，是在这 在 x 的 正半轴上，那此时我们的 x 一 应该是小于等于 x 二，并且它们俩都要大于零。那还有一种情况就是我们的 f x 二这个东西啊，它就在我们函数的左边， f x 一 呢，在我们函数的右边，所以一正一负。第三种情况就应该是 x 二在这，然后呢， x 二小于零，零又小于 x 一， 这是第三种情况，所以我们分三种情况去讨论就行了。那第一种情况是这样的， x 一 小于等于 x 二小于零，此时我们就要去计算 d x 一 等于多少， d x 二等于多少，看看他们有没有这个包含的关系。 d x 一 等于什么呀？根据我们的定义，它应该是有关小 d 的 集合，小 d 满足 f x 一 加 d 大 于 f x 一。 哎，注意了， f x 一， 我们画一个图啊， x 一 现在在这， 那 f x 一 就是这个函数值，对吧？在这个点，这个函数值，那什么情况下，我们的 f 另一个函数值要大于这个 f x 一 呢？看一下图，一下子就看出来了，我们的 f x 一 加 d 应该在这个范围上啊， 只有在这个范围上，它的函数值才会大于 f x 一， 没问题吧？因此我们就能解出这个不等式。怎么解？应该是我们刚刚说的这个自变量， x 一 加 d 要在这个范围上，也就是 x 一 加 d 大 于 x 一， 小于零。哎，在这个地方 解一下，应该是 d 大 于零，小于负 x 一。 注意，因为我们这边 x 一 是负数，所以这边是一个负 x 一 是一个正数，那我们 d x 一 就解出来了呀，零到负 x 一， 那同样的，我们 x 二在这，那 d x 二应该就满足 f x 二加 d 要大于 f x 二，那还是一样的， x 二加 d 要大于 x 二，且小于零，解出来 d x 二是这个范围。哎，很容易发现， x 一 小于等于 x 二，那么负 x 一 就应该大于等于负 x 二， 所以我们就有 dx 二是包含于 dx 一 的，这就是第一种情况，那我们再看第二种情况，第二种情况是我们的 x 一 x 二都大于零，并且 x 一 小于 x 二。在这个图上， 我们再来算一下，此时 dx 一 啊，要满足 f x 一 加 d 大 于 f x 一， 我们来看，什么情况下，这个函数值要大于 f x 一 呢？此时 x 一 在这， f x 一 在这，那我们的这个函数值就应该在 这个地方，对不对？还有呢，零这一点也行啊，零这一点也比我们的 f x 一 大，还有呢，左边这边都行，所以有三个部分要给它并起来， 那这三个部分分别是我们的 x 一 加 d 大 于 x 一， 哎，这个部分。第二个部分呢，是 x 一 加 d 等于零这个点。第三个部分呢，是 x 一 加 d 小 于零。解一下应该得到 d x 一 等于零到正无穷并上负无穷到负 x 一。 注意这边是一个 b 区间，同理我们就能得到 d x 二应该是零到正无穷并上负无穷到负 x 二，哎，也是一个 b 区间，哎，同样的， 这个和这个完全一样，然后这个和这个也有一个包含的关系，所以 d x 二还是包含于 d x 一 的，这是第二种情况，那第三种情况就是一个在左边，一个在右边， 此时，哎，我们这个 x 二在这的时候，我们 d x 二根据这个第一种情况直接算出来，就这个东西啊，所以 d x 二直接就等于零到负 x 二。 那 x 一 现在在大于零的部分，根据我们的情况，二，它就是这个东西啊，所以我们的 d x 一 就等于这个东西，哎，很容易发现，零到负 x 二这个小的正区间，它肯定是包含于我们的零到正无穷的呀， 所以 dx 二一定是包含于 dx 一 的。综合这三种情况，我们就能证明出来，不管什么条件下，我们都有 dx 二包含于 dx 一， 所以第二题就证明出来了。 接下来我们来看第三小问，第三小问说，若 f x 满足，当 f x 小 于等于 f x 二的时候， dx 二包含于 dx 一， 哎，这个式子是不是和我们第二小问要证明的这个东西啊，非常非常的像啊，所以第三小问啊，有可能需要从第二小问给我们一些启发。哎，我们先继续看一看， 刚刚这个是条件一，我们再看条件二，条件二说，当 x 大 于零小于一的时候， f x 小 于等于 f 零，让你去证明 f 零大于等于一，哎，我们分析一下啊，让你去证明一个确定的点大于等于一，肯定要用到这边的条件一和条件二，对吧？ 但是条件一和条件二它都像一个性质一样，你其实并不好直接去利用它。然后题目呢，又只有 x 小 于零的时候， f x 等于二的 x 次方，这都是不太好去使用的条件。那这道题啊，就可以去考虑反证法，因为反证法能够给我们创造一些条件， 而这道题去反证之后呢，创造出的条件是非常好用的。你看啊，要你证明 f 零大于等于一，那我们就假设 f 零并不是大于等于一的，那 f 零就应该是小于一的。 f 零小于一，我们就得到一个具体的点的， 哎，一个具体的点 f 零是小于一的，而具体的点有了之后，我们就可以利用这边的条件一，你只要找到哎，这边 f 零放在这，你找到另一个点 f 什么什么 x 零，他比 f 零要大，那不就能利用这边的条件一了吗？ 然后我们的 f x 零，哎，你假设他又在我们的零到一之间，那不就能又利用这个条件二了吗？所以这道题啊，要考虑反正法。我们来看一下， 我们就假设 f 零是小于一的，哎，你看啊， f 零小于一，那他就应该在这个下面，有 可能在零到一之间，有可能在零这一点，有可能在零的下面，但是不论他在哪，我们都能在 x 小 于零的这个函数图像上找到一点 x 零小于零，使得 f x 零大于等于 f 零，这个能听懂吗？你看一看啊， 当我们的 f 零呢，他在这个区间上的时候， f 零在这，我们对应到这个函数图像上。哎，这一点假设是 x 一， 那我们把 x 一 向右取一点点，取到这个 x 零，那 f x 零不就大于等于 f 零了吗？那如果 f 零在这个点呢？那更显然了，我们这个函数图像上的所有点函数值都应该大于等于 f 零， 那 f 零如果在这个下面呢？还是一样的，我们总能找到这样的 x 零。好，那既然我们找到一个 f x 零大于等于 f 零了，那不就能用这边的条件一了吗？根据条件一，就应该有 dx 零是包含于 d 零的。 哎， d x 零包含于 d 零，我们能找到一些矛盾吗？那这个条件怎么利用呢？这个集合包含于 d 零这个集合，那所有属于这个集合的元素都应该属于这个集合， 那如果我们找到一个元素，它属于这个集合，但是并不属于这个集合，那不就找出矛盾了吗？能听懂吗？ 那我们就尝试往这个方向去证明，那怎么去证明呢？怎么去找这样一个元素呢？你看啊，我们找一个元素负二分之 x 零，为什么找负二分之 x 零啊？根据定义，我们这个集合啊，它应该要满足 f x 零加 d 要大于 f x 零，而此时我们的 d 取的是负二分之 x 零，带入进去之后，就应该是负二分之 x 零，因为 x 零减去二分之 x 零，等于二分之 x 零。 f 二分之 x 零，哎，其中这个二分之 x 零，它还是一个负的呀，在这，所以它的函数值还是大于我们的 f x 零的 x 零在这，二 x 零在这，这就说明我们负二分之 x 零这个元素是属于 dx 零这个集合的，那我们再看看这个元素属不属于这个集合呀？ 代入 f 零加 d， 哎， d 零这个集合要满足 f 零加 d 要大于 f 零，那 f 零加 d 此时就应该等于 f 负二分之 x 零，哎， f 负二分之 x 零。注意啊，这边我们的 x 零是自己去取 的，是我们自己取的，我们自己取的话，能不能赋予它一些范围啊？完全是可以的吧。我们能不能令这边的负二分之 x 零在零到一的范围上， 因为在零到一的范围上，就这个大概是这个部分。这个部分啊，它的 f x 零可以无限趋近于一，那也就一定能找到这样的 x 零，使得 f x 零大于等于 f 零，因为 f 零它是小于一的，而我们的 f x 零呢，无限取到这个一，所以一定能找到这样 x 零。 因此我们就限定啊，负二分之 x 零的范围是零到一，那此时根据我们的条件，二自变量在零到一上的时候，函数值要小于等于 f 零，哎，它就小于等于 f 零了，哎，这个东西小于等于 f 零，不就说明我们的 d 不是 我们大地零里面的 元素嘛。所以我们就找到了这样一个元素 d， 使得这个元素属于 d x 零，但是它并不属于我们的 d 零，那这就有矛盾了呀，所以矛盾产生了，我们的假设就不成立，因此 f 零是大于的一的。 这就是我们的第三小题的第一小问，哎，这个题目我觉得出的还是比较好的，那接下来我们来看第二小问啊，这个第二小问就太难了。 第二小题让你证明 f x 在 区间零到正无穷上单调递增，我们现在思考这个单调递增怎么去证明？ 哎，这道题可能很多人还会想用反证法，他会想，假设他并不单调递增，那就能找到两个点， x 一 小于 x 二，但是满足 f x 大 于等于 f x 二，然后去找矛盾，这样我估计也是能写的，但是你就没有好好的去用到这个集合。这个条件 你仔细看啊，单调递增是不是满足 f x 二大于 f x 一， 哎，对于任意的 x 二大于 x 一， 哎，函数值大于函数值，这和我们的这个集合 d 满足的条件非常非常的像啊， 是不是？所以你再仔细思考一下呀，这个东西怎么和我们的单调递增结合起来呢？只要对于我们任意的 d 大 于零，且 x 零大于零，如果都有这个设置是成立的话，那么就说明 f x 单调递增。 为什么呀？因为我们 x 零大于零就说明任何一个这个函数上大于零的点，然后呢，再给他加上一个大于零的一点点的值，他就会比原来的 f x 零要大，那这不就是单调递增的吗？所以我们就考虑去证明，对于任意的 x 零大于零， 任何 d 大 于零都在这个集合里面，也就是证明 x 零大于零的时候，零到正无穷是包含于这个集合的， 这个东西还是要好好的去思考一下的。好，接下来我们就去思考了，那我们肯定要得到 dx 零这个东西啊，要得到 dx 零这个东西，肯定就要用这边的第一个条件，要用这边第一个条件肯定就要去找这样的 x 一 和 x 二。 但是这道题有个最大的问题啊，就是零到正无穷这个范围啊，这个函数长什么样，你是完全不知道的。 这个时候我们就要想到我们刚刚写的第二小问了，因为第二小问我之前说了他的条件和解冻啊，就是这个东西。 然后第二小问还给了你一个确定的函数图像，记得吧，这个确定的函数图像，他的 x 大 于零的部分呢，是在这边 x 轴下方的，所以我们就去猜想啊，有没有可能 我们这道题有了这个条件之后， f x 在 大于零的时候呢，它的函数值也是小于等于零的，这是我们的一个猜想， 其实这个猜想还是不难去猜出来的，你要去思考为什么命题人要去设置这个第二小问，而且第二小问的结论和这个第三小问的条件一模一样，对不对？ 你想想我们刚刚证明这个第二小文的时候，严格分了这三种情况，对不对？然后这三种情况啊，都恰好有 dx 二包含于 dx 一， 是不是？而这三种情况之所以它都成立，就是因为 这个部分都是大于零的，这个部分都是小于零的。你把我们右边这个东西的图像啊，你稍微变一下，你把它变成，哎，这样这样这样，然后它有一部分是大于零的，那我告诉你， 你写下去就会有矛盾了，你还是按照第二小问这一套分析方法去分析，你就会分析出一些矛盾。所以啊，第三小问我们就要去猜想， f x 是 一直小于等于零的，在 x 大 于零的时候，那有了这个猜想之后呢，我们就先去证明这个猜想来看看啊。 要证明 x 大 于零的时候 f x， 那 怎么去证明呢？还是用一个反证法，假设存在一点 x 零大于零，使得 f x 零大于零，我们去找矛盾。 怎么找矛盾呢？这边肯定要用到性质一和性质二啊，看看怎么用吧，还是先用这个性质一，性质一还是比较好用的。 f x 零大于零，哎，那一定就说明我们存在一点 t 小 于零，哎，假设 t 无限接近于这边的 f t 无限接近于这个零，那一定能找到这样的 f t， 使得 f t 小 于等于 f x 零，对不对？哎，因为 x 零这边是一个正值，你把它对应过去，一定在这边的指数函数上是有一点和它对应的， 这样我们找到了这样一点 t， f t 小 于等于 f 零，那根据我们的条件一就能得到 d x 零是包含于 dt 的， 对于我们这个 dt 啊， dt 在 这，哎， t 点在这个地方，我们的 ft 加 d， t 加 d， 给它取到这个地方，那这个地方的函数值都会比 ft 的 函数值要大，所以当 d 属于零到负 t 的 时候， f t 加 d 是 大于 f t 的， 这就说明我们的零到负 t 是 包含于 dt 的， 这没问题吧？哎，就是这边的 d 都属于我们的集合 dt， 当然我们的 dt， 哎，可能还有其他的这个 f t 加 d 要大于 f t， 但是只有可能在这个右边了，因为右边的函数图像我们还不知道， 所以其他的区间啊，肯定都会比这个零到负 t 这个区间要大，大的话，只有可能在这个区间的右边，所以其他的区间啊，也都在这边的零到正无穷上， 这就说明什么呀？这就说明我们的 dt 一定是包含于零到正无穷这个大的范围的。好问题来了， dt 包含于零到正无穷，所以 d x 零也包含于零到正无穷，这是包含关系的传递性。 既然 dx 零包含于零闹正无穷，也就说明我们的任意一个负数小 d， 它都不在这个集合里面，对不对？既然它都不在这个集合里面，那就说明我们 d 只要小于零，那么 f x 零加上这个负数 d 就 应该怎么样？ 它不再是大于 f x 零了，不是了，不是，这个条件应该是小于等于 f x 零没问题吧？那我们就取一个负数，取哪个负数呢？我们可以取负 x 零， 因为取负 x 零之后，我们的 f x 零加上负 x 零，它就等于 f 零了。 f 零是我们第一小问研究过的呀， f 零它怎么样大于等于一？ 好， f 零。根据刚刚我说的，哎，这是一个负数，这个负数它不在我们这个集合里面，所以 f 零要小于等于 f x 零。既然 f 零小于等于 f x 零，又因为第一小问 f 零是大于等于一的，这就说明什么呀？这就说明我们的 f x 零是大于等于一的。 好， f x 零大于等于一，这又说明什么呀？你看条件二说了， 零到一的范围上的时候，我们的 f x 是 小于等于 f 零的，而刚刚条件二说什么呀？他说零到一上的时候， f x 是 小于等于 f 零的，但是我们现在 f x 是 大于等于 f 零的，这就说明我们的 x 零应该在哪？ 应该在一的右侧，是不是 x 零要大于等于一？因为大于零小于一的时候，它 f x 是 小于 f 零的，但是现在我们是大于等于的关系，这还说明什么呀？ 你看啊， x 零大于等于一，这还说明了什么呀？哎，这个有点绕啊。你看，我们假设存在 x 零大于零，使得 f x 零大于零，然后我们证明说 x 零是大于等于一的，这就说明零到一上的点都不可能满足 f x 大 于零，是不是？ 那这不就说明我们在零到一上的点都有 f x 小 于等于零吗？对吧？好，接下来我们继续去看。现在证明到一个非常强的条件啊， f x 零大于等于一，并且 x 零是大于等于一的。接下来我们还要继续去找矛盾，因为我们 是要去证明这件事情，哎，我们要找这样一个东西的矛盾，接下来还是找这个 x 零，这个点我们在左边再取 t 一 小于 t 二小于零，取这样两个点。 哎，根据我们现在函数性质， f x 零是大于等于一的，那肯定比这边的 f t 二和 f t 一 要大，所以 f t 一 小于 f x 零。哎，根据我们的条件，依旧有 dt 包含了 dt 二包含了 d x 零 还是一样的，我们一定要从这个地方去找矛盾。怎么去找呢？你肯定要利用这边的一个定义，说实话，这个地方可能就比较困难了，这个地方的证明方法还是比较多的，因为我们的 t 一 和 t 二都是自己取的，它的取值范围有很大的调整空间， 这边我就取这个 d t 二这个即可。你看 f t 二，我加上这个值， x 零减 t 二， 加上这个值之后呢？它等于 f x 零，对不对？ f x 零我们是非常明确的，它怎么样啊？它大于等于一，而且它有很多很多的性质，还大于等于 f 零， 因为这边的 t 二是我们任意去取的，我们完全可以去调整这边的 x 零减 t 二，使得这个 x 零减 t 二在这个集合里面。那我们根据定义这个东西算下来，等于 f x 零，它就应该大于 f t 二，这是定义对不对？ 根据这个定义，我们就能说明 x 零减 t 二是属于 d t 二的。既然 x 零减 t 二属于 d t 二， d t 二又包含于 d t 一， 所以 x 零减 t 二又包含于 d t 一， 那我们再把这个值带入到 d t 一 的定义里面，就能得到这个东西。 这个东西是大于 f t 一 的，而 f t 一 怎么样？ f t 一 一定大于零。哎，因为 f t 一 在这个地方 f t 一 大于零，也就说明我们这个东西是大于零的，哎，这个东西大于零，这边我给大家写作减去括号这个东西，因为 t 二减 t 一 是一个正数，没问题吧？ 好仔细看啊，我们 t 一 t 二是可以随便去取的，负无穷到零的值，它都可以随便取，所以我一定能取到 t 一 和 t 二，使得这个值落在零到一之间，对不对？零到一之间，问题就来了，一个函数值自变量在零到一之间，它要大于零， 但是我们刚刚又证明了一件事情，在零到一上的时候，我们的这个函数值应该是小于等于零的呀， 还记得刚刚说的这个事情吗？那这不就矛盾了吗？我们找出一点零到一之间的一点，使得它函数值大于零，但是我们又证明出来，零到一上的所有点，它函数值都不可能大于零。矛盾了呀，矛盾就说明什么，就说明我们的 假设不成立，假设不成立，也就说明了 x 大 于零的时候， f x 小 于等于零。哎，这就和我们的第二小问完美的结合了起来，难就难在这边的一些取点，还有如何去利用 这边的条件一和条件二。条件一还是很好去利用的，因为你随便去取几个点，你在左之上取一些点，然后右右边这个 x 零，你能证明出来他是大于一的，那很容易去利用这个条件。他是第二个条件啊，就比较难去利用的。 但是第二个条件利用的时候，你一定要去思考怎么样把我们取到的那些函数值里面的自变量落到零到一上呢？ 哎，我没有想到左边这两个点啊，我们是随便去取的，随便取那就有很大的操作空间，你去调整他们的值，让他们最终这个东西落在零到一之间就行了。哎，当然最大的难点还是这个条件实在是太难用了，非常的抽象，对吧？太抽象了。 好，现在我们证明出来 x 大 于零的时候， f x 一定是小于等于零的，那这件事情就很好说明了。来看啊， x 大 于零的时候， f x 小 于等于零还是一样的，我们取 x 零大于零的时候，我们再取一点 t 小 于零，与它随之对应，此时我们 x 零对应的函数值应该是一个小于等于零的数。哎，应该在这个地方， 那此时 ft 就 应该大于零，就应该大于 f x 零，对不对？因为 ft 是 一个正数啊，在这 f x 零呢，是一个非正数啊。在这好，根据这个条件，我们再利用刚刚的性质，一这个性质就能得到 dt， 包含于 dx 零 得到这个东西之后，你看啊，就应该有什么呀，我们来看 dt 啊，对于 dt 的 话，它里面的这个小 d 要满足 f t 加小 d 大 于 f t。 嗯，画一下图像啊，什么时候大于这个 f t 呢？现在我们知道 x 大 于零的时候，函数一定是一个非正数，那这不就说明 现在 ft 在 这，那只有可能 ft 加 d。 在 这个地方呀，所以可以解出来了， t 加 d 大 于 t 小 于零，所以 d 大 于零，小于负 t。 哎， d 大 于零，小于负 t， 而这边的 t 又是我们随便自己去取的一个东西啊，我们可以任意去取这个 t 啊，因为不管你的 t 取多少，只要它是一个负数，总有 ft 是 一个正数。 大于 f x 零，既然我们的 t 可以 取任意的负数，那这不就说明我们的 d 可以 取任意的正数吗？哎，我只要取一个 t 等于负无穷，那这不就是一个正无穷吗？ 正无穷不就说明我们找到这个 t， 那 正无穷不就说明我们的 d 可以 是任意的正数吗？既然 d 可以 是任意的正数，也就说明我们的零到正无穷，所有的正数都包含于这边的 d x 零吗？既然零到正无穷都包含于这个 d x 零，也就说明对于一个任意的正数 x 零， 我们随便给他加任意的一个正数，总有 f x 零加 d 大 于 f x 零，所以他一定是一个单调递增的函数。那这道题就证明出来了，说实话，这个题目真的太抽象太难了，这两个条件都不好去利用啊。第一个条件你要去找点， 你还不知道找哪些点，然后这个集合包含于的条件，我相信大家平时见的一定是非常非常少的。 这道题最大的难点就是这个条件和这个东西挂钩起来，然后你要去根据 x 零加 d 去取点，取到的点你还要给他落在零到一这个范围上，落到零到一这个范围上，你还要用反证法根据这个东西去推导矛盾， 我我觉得太难了，环环相扣太难了。好，今天就给大家讲到这里，希望大家能够学到东西，感谢大家的收看。
8789敝槛玄鹤
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01:16:1787博乐tutor
05:09查看AI文稿AI文稿好，我现在来讲一下新高考一卷数学十四题，因为我之前的视频说有机会来讲一下，事先声明，因为我当时是猜错猜对的，所以本期视频纯属娱乐哈。我们平时做题还是要一步一个脚印的 题干，说实数 q 满足数列 q n 啊，不是不是 a n 呢？然后就是得到这个式子，就是 a 一 一直加到 a 三， n n 为正整数嘛，然后有连续九项为 q 的 公比为 q 的 等比数列求 q 的 最大值。 这里我们看到这个求和后是 n 的 平方加 n， 那 减去就是到 n 一 n 减一的时候的求和是这么多，那我们就可以得到连续三项的那个连续三项的一个 连续三项定它为 b n， 得到一个项就是等于二， n 就是 连续三项，它就是等于二， n 了就是 a， 我 们就把它打包成一个整体吧，就是看成 b n， 然后 b 一 就等于 a 一， 一直加到 a 三等于二， b 二等于 a 四加 a 六等于四， a 四加到 a 六等于四， b 三就是等于六嘛，然后以此类推。这个时候我们再看题，看连续的九项存在连续的九项是公比为 q 的 等比数列，求 q 的 最大值。那我们就想我们就可以 就是找一些找前面几项来看嘛，就是从 a 一 到 a 九这里包含了 b 一、 b 二、 b 三三个项， 然后 a 二到 a 十就包含了 b 二、 b 三两个项， a 三到 a 十一， b 三到 a 十一，也包含了 b 二到 b 二和 b 三两个项。然后再是什么 a 四到 a 十二啊，就是 b 二到 b 四两， b 二到 b b 四三个项，所以它 每九个 b 包含两项两个 b， 这个能理解吗？ 就是他有两个连续的三项能被包含进去，所以这个时候我们就想他有连续两个，所以他的灯功笔一定是那连续两项相处以。因为 因为等比数列的性质嘛，就是每一项的那个叉是，就是叉是一样的，才会形成等比数列，所以我们就可以得到 q 的 三次方，就可以是 b 二除以 b 一， 或者是 b 三除以 b 二， b 四除以 b 三，然后以此类推嘛， 这就可以得到他求三次方，就是可以是 b n 除以 b n 减一，让我们来找到这个的最大值。那我们就可以看 第一个是二，就是四除以二，然后第二个是六除以四，第三个是八除以六，然后第四十除以八，以此类推， 然后我们就可以看到是越来越小了，因为啊就是这个数 q q 的 三次方随着他依次往后推越来越小了。那我们来看二，二是不成器的，为什么呢？因为如果是二的话，那他就是从 a 一 到 a 九都是等比竖列，因为这里 q 的 三次方等于二，所以它 a 七 b 三， a 七加 a 八加 a 九，就是 b 二乘以 q 的 三次方就等于八了，与题干中的六是不符合的，所以当时我是直接就是猜它是二分之三了， 就是第二项，因为其实当时是比较猜的，后来看一下，就是你连续这个这个为等比数列吗？然后你这个因为这些数都是随便怎么变，其实可以随便变吧，应该是就是只要让它总和等于 二 n 就 可以了。所以这个这两个我就当时是直接看他为的米数列，然后这个时候是带随便带个，或者是 a 二加 a 三，带 a 十，或者是 a 三加 a 十加 a 十一带进去。但我讲不太清楚为什么，因为我就是那种比较偏， 就是实质我做题但是讲不出来那种三项，这道题是猜，所以这个视频就是比较娱乐一下哈，就是我怕你们会喷我太菜什么的， 但我考试时其实还更傻啊，就是我还用了等比数列求和，我当时都没直接那么想，我还当时我当，哦，这也是 a， 哦，对，没错，就是我当时还用了两个等比数列求和来解，这个就是 a 四，可以解消掉我们，然后得到 q 等于二分之三开三次方， 然后我想，所以这个视频我想说的是，无论怎样考试时我们都不要放弃，不会做也别怕，停个上去，反正错了不扣钱，对了就是血赚，你说对吗？喜欢的可以点赞关注一下我哦！
58纸片人🍀
00:41查看AI文稿AI文稿今年高考新一卷的作文可以说是一次重大的改革啊，原来是给你菜单让你去做饭，那么今年变成了让你自由发挥，变成了开放性的命题，也就是自助餐。 那词语你自己选，这个很考验人的，你选的词语必须是正能量，必须要有辨正，也就是你这个词语要有对立面，要有反义词。 我个人认为啊，对于学生来说，高分的词语有这么几个啊，踏实、坚持、平凡、担当、包容、沉淀、奋斗。我估计这些词语孩子们平时都写过，所以说这个经典的作文对很多孩子来说是比较简单的，但是想写好不容易。
399张局驾到
