2013年安徽数学试卷

大家好，这节课我来讲一下二零一三年安徽高考数学的理科卷的试题，平均分，那年只有五十五分，导致一本分数线啊，比往年降了五六十分左右，确 是非常难。咱们先大致浏览一下这个试卷究竟长什么样子，然后再找其中中等题来做一下，咱都不需要找难题，你就知道这套卷究竟有多厉害了。好了，现在我们来浏览一下，这个是选择题啊，然后往后翻填空题， 然后考的还是你看这个第七题啊，第八题，包括这个第十题，都不是很简单的，尤其这个第十题，继续往后看吧，你大致浏览一下就行。然后你看这个第十五题，例题几何。这样一个题 要做对的话，虽然他难度并不是说特别高，但是花的时间会很多，你每一个都得直接讨论一下，然后看往后的。主要是这个大题啊，你看大题前头还好说，这个十七题啊也还好，十八题的话 啊，算是中等偏上的这样一个难度吧。你主要看这个十九题，二十题，这个十九题，例题几何。一般来说，高考数学中，他考这样一个例题几何，考的是什么？什么注体啊，对不对？考这个四面体啊，还有比较常见的例题图形几何题，他考这样一个追题是非常非常少的，对不对？ 然后看这个二十题，这个二十题很多同学读完之后，他都不知道题目长什么样子的，就是这样，然后二十一题破天荒的考了一道什么题， 考虑到关于整数的这样一个概率分布的问题，你看一点都不常规，而且很有难度。那好，这道试题呢，已经浏览完了，咱找其中三道题来练一下。先来看这个第一题啊，咱选择第八题来看一下，是个小题， 这个第八题的话，我们先读题如图，然后在区间 ab 上，他已经画出来了，可以找到 n 个，当然这个 n 是大于等于二的 啊，可以找到大于等于二个不同的数， x 一 x， 反正至少是有 x x 二两个的，至少有两个啊，然后满足这样等式，然后 问你 n 的取值范围是什么？这个 n 的话，肯定是，你看可以找到 n 个，那意味着这个 n 肯定是正整数了，那 那么正整数究竟 n 这个正整数能够取几？就是这个题的问题。那初中的话，如果遇到这样连续的比值应该怎么样？见比射 k 就完了呀？假设这样的比值都等于 k， 那都等于 k 的话，那么就是 fx 一等于 k 倍的 x 一， fx 二等于 k 倍的 x 二。当然这个 n 有可能很多，那么如果还往后还有的话，那就是 f x n 等于 k 倍的 x n。 现在我们来观察这个所有的等号左边啊，这些方程，他等号左边呢都是，你可以统一成谁呢？统一成 y 等于 f x 这样一个函数， 图像呢，也给你画出来了，就长图中呢这个样子，对吧？那么你说这个等号右边，我们应该理解成哪一个函数呢？应该理解成 y 等于 k 倍的 x 这样一个函数， 所以你就想啊，他其实问的是什么？嗯，他代表有几个 x， 有几个根或者几个焦点的意思，我们完全可以这么来理解， fx 等于 k 倍的 x 一共有几个结？有几个结，那就是 n 的取值范围了，咱看 n 可以取多少。那 你现在来看吧，咱们来观察一下啊， y 等于 kx， 在图中应该怎么画过圆点的正比的函数吧，这个不用多说吧，所以说过圆点的正比的函数，他有可能有几个呢？我们来画一下啊，如果 k 小于零的话，肯定不行， 如果 k 小于零的话，这样一个正比的函数，他这条直线往下走就一个交点都没有，就不符合提议了，你至少得有两个，所以这样吧，我们看啊， 此时让他过圆点这条直线啊，这条直线，这种情况下的话，几个交点一个交点啊，切过去了，两个交点，三个交点，所以呢，分等于三是有可能的，三个交点就是三个解，就是分等于三的意思， 有没有可能等于二呢？嗯嗯，可以等于。当这个 k 啊，当这个倾斜程度小的时候，你看左边有一个焦点 x 一，右边有两个焦点 x， 所以 n 等于二，所以呢， n 也可以等于二啊。那再继续多多起来以后， n 能不能等于四呢？继续来看一下，可以等于四。 这条直线，你看一个交点，这是一个吧，两个交点吧，三个交点吧，四个交点吧，所以说，嗯，也可以等于四，能够等于五吗？五的话就不行了，你让这条过圆点的直线啊，你倾斜程度改变一下，你比如说这样倾斜，这样填写，就不可能说跟原来这个 fx 有四 四个以上的焦点，只有可能才二三十四。所以这道题选 b 就行了，关键是要理解题，要知道进笔收 k， 懂了吧。好了，现在我们继续来看一下选择题里头最难的一道，这道题是关于 x 的，这样一个三次函数，它有两个极致点， 两个极致点的话，其实三次函数，你想啊，他这个前头 x 三次方，前头系数是个正数，是个正一，对吧？所以这个函数肯定是从左下向右上去画的。 嗯，那么既然有两个极致点的话，你肯定不能化成 y 等于 x， 三次方只有一个注点的情况，注点的话就是说 y 等于 x 方到了零这个位置停了一下，然后过了这个圆点之后呢，又上去了，这个是注点，这个时候的话就没有极致点，没有极致点就不行的呀，那 应该怎么画呢？那这个图像肯定是长这个样子了，哎，大概长这个样子，咱假装啊，这个 x 一呢，是比 x 三 小的，当然 x 一也有可能比 x 二大，咱一会画两个图就可以了。嗯，也有可能是什么情况，一会咱继续画出来，这个 x 二在左边， x 一呢在右边都有可能。那既然是这种情况，我们不妨就把这样一个图像呢给大家画出来，大家看一下， 那画一下吧，画出来以后就这两种情况吗？你看一个是 x 小的时候，他说了 fx 就等于 x 一，那不就是有这样一个焦点在这吗？那如果说 x 是比 x 大的话，那就变成这样一个情况了，这个是 x 一，你看 x 一逗号 x 一，这个是符合题意的。 画完图像以后的话，继续往后读，很多同学不知道什么意思了，三倍的 fx 的平方二，哎，不知道什么意思，你想啊，我们平常在解决极致点问题的时候，元函数的极值点，那就是导函数的零点吧，所以这道题的话，你其实 应该先干嘛？你应该先求导的，不妨我们就来求一下导，求导完之后的话，看什么结果。求导完之后呢，是三 x 方加二 a， x 加上 b。 哎，你比较一下不就知道了呀？你说跟这样一个等式有什么关系，懂了吧？我们实际上呢，就是让他等于零，他等于零啊，导函数的零点实际上不就相当于谁？ 相当于元函数的及时点们。所以说现在这样一个方程等于零，他解出来之后呢，有两个解，其中一个解是 x 等于 x 一，另外一个是 x 二，这个就不用多说了。所以你要这么说的话，实际上这样一个方程告诉我们什么含义？原体中这样一个方程啊， 题中这样一个方程告诉我们，这个 f x 就这个整体是可以等于 x 一的啊，也是可以等于 x 二的。哦，原来他就这个 含义，随你倒一下就行了。那既然等于 x 一的话，我们画一条水平线， y 等于 x 一，你看好了， y 等于 x 一，就这条线吧，几个焦点 哦，两个焦点。那两个焦点的话，不就意味着有两个结的意思吗？也或者说两个十根的意思吗？那继续往后看， 那这个 fx 二，那这个 fx 等于 x 二的话，应该是什么呀？那就是说 y 等于 x 二，这条水平线，我们画一下，那只有一个焦点，所以呢，是一个根加上两个，一共几个根？一共有三个根。 那第二个图也符合这个要求吗？符合的，刚刚我们看的是第一个图， xc 小于 x 二的时候，现在我们要看第二个图，当 xc 大于 x 二的时候，你看，先看第一个吧，对于圈一这样一个方程，我们观察了啊， y 等于 x 一和这个 fx 有几个焦点，你画全了啊， y 等于 x 是水平线，你看有一个缺点，左边还有一个，所以呢，仍然是两个根。对于圈这个等式的话，我们要求这样的 x 应该是怎么样啊？那应该是看外等 x 二这样一条水平线吧，那很好画， y 等于 x 二在这呢， y 等于 x 二在下方，所以说 y 等于 x 二，你说 x 二怎么样啊？ y 等于 x 二跟原来这个 fx 只有一个焦点，一个焦点不就是一个根的意思吗？所以呢，两个加一个还是三个根， 无论是 x 小于 x 第一个图像的情况，还是说第二个图像，当 x 小于 x 的时候，最终求出来跟的个数呢？都是三个。所以这道题我们选 a 就可以了。你一定要理解这个题的意思， 一定要明白，当你讨论元函数的极致点的时候，其实相当于讨论导函数的零点。那好，来看，最后咱们研究一道大题，咱们接下来 做一个中规中矩的，近几年高考一直考的圆轴曲线的答题。这个圆轴曲线是关于椭圆的，本来这个题目中是没有图的啊，没有图的话，咱们先来看一下第一问吧，他说， 嗯，这样一个椭圆，椭圆啊，椭圆焦点在 x 轴上。那一读题的话，我们这个第一问马上就能反应过来，黑方 x 方下边这样一个分母是大的， 对吧？写到这就完了吗？不行，你得保证这两个分母都是正数啊，所以还得大于零。我们解一下这个不等式呢，最终会求出一个范围来， 就是 a 方呢，他这个范围是在二分之一到一之间，这个求出来就行了。然后这个第一问的话怎么说？他说焦距，什么是焦距？焦距是 f 一 f 二的距离。二， c 等于一，你这个二 c 等于一的话，二 c 等于一，不就相当于 c 等于二分 分之一吗？ c 等于二分之一的话，那就相当于 c 方等于。你看 x 方下边的分母减去，谁减去 y 方下边的分母，那最后算出来不就四分之一，最终算出来 a 方是等于八分之五的。 所以说这个第一问的结果非常简单，我就直接写了，既然 a 方都算出来了，最终结果是五分之八倍的 x 方加上三分之八倍的 y 方等于一，然后就解决了。这第一问太简单，没啥意思。第二问的话，我建议你在草稿纸上一定要画一个图， 这个图长什么样子啊？我呢就给你画出这个图来了。是这样的啊，你看这个焦点是 s 轴上吧。然后他这么说啊，我问一个问题，括号一中的姐姐是可以在括号二中继续用吗？肯定不能，因为括号一新增加了一个焦距，唯一的这样一个新的条件，括号二里边就没有这个条件了啊。 他这么说，假设 f 一 f 二分别为左右焦点，那我标出来了呀，然后屁点为第一项线的点，注意点，屁虽然是在运动的，但是点屁必须在第一项线上，你知道就行。 然后延长这样的 p， f 二跟 y 轴交于 q 点，跟 y 轴交于 q 点啊，注意，这个 q 点呢？他不是椭圆上的，是 y 轴上的点， 那么现在他怎么呢？他连接了 fep 和 feq， 他说当这个 fep 和 feq 垂直的情况下，一定是满足这个垂直的， 让你证明这种情况下，虽然 a 在变化，就是原体中的这样一个参数 a 在变化，但是点 p 他一定是在某一个确定的直线上的，那么这个题的话，确实是有一定难度了。我标上这样一个直角啊，那怎么来解呢？你老老实实解呗，看一下啊， 咱这个点 p 的话，这样来点 p， 既然在抛物线上，那就 x 零 y 零吧，就这样来假设了。那么接下来的话，这个 f 一那就负 c 零呗，左焦点 f 二，右焦点，那就多少了，那就正 c 零就可以了。 接下来的话，肯定是满足什么要求的呢？ c 方等于 a 方减去这个一减 a 方，最终算完之后是二 a 方减一。你知道这样一个形式就行了啊，我就变成圈一吧。那接下来的话要怎么办呢？那接下来咱们肯定要表示一下这个 f 一 p 的斜律了，为什么？因为两条直线垂直，你不就是斜律乘积等于负一的意思吗？所以我们要算一下斜律，这个斜律很好算啊，因为你两个点都表示出来了，最终的话就等于 y 零除 x 零加 c 就行，这个非常简单。然后呢，有同学说， 老师我直接求这个 f e q 不行，因为此时 q 点还没有用小 a 这个参数表示出来呢，所以你暂时还求不了 f e q 这个斜率。我们不要着急，先求这个 f 二 p， 或者说 f 二 q 这样一个斜率， 这个求完之后的话是也就是这条线啊，这条线 l， 他的斜率是 y 零除 x 零减 c， 这个很好求。那接下来的话，这个 l 的结界是，也就是 p q， 它解结式我标上吧。 p q 这条直线，它的结界是什么呀？他不就求出来了吗？ y 等于 y 零， x 零减 c， 然后 x 减 c， 这个呢，点斜式我就不详细说了。那求完解释师，以后我们的目的是什么？你求这条直线 l 的解解释，其实就想得这个 q 点坐标呢？ q 点的话，你这个纵坐标是需要求的，横坐标肯定是零，你把 x 零带入这样一个解析室里头不就可以了？ q 点坐标求完之后呢，是这样一个结果，非常简单， c y 零除 c 减 x 零。好了，那 q 点坐标也求完了。所以说，最终咱们继续来看啊。啊， f 一 q， 他的斜率等于多少呢？等于 y 零除 c 减 x 零。哦，那我有点明白了，既然 q 点知道，然后呢？ f 也知道，我此时也求出来了这样的斜率。你看我画圈的这两部分， f ep 的斜率求出来了， feq 的斜率也求出来了。你不是说 fep 和 fq 是垂直的吗？哎，所以说咱们写上啊，因为 fep 垂直于 f e q， 所以你这两个斜对成绩不就是等于负一的意思吗？对吧？那接下来咱们验证一下代入就行了。 y 零 x 零加 c， 再乘 y 零， c 减 x 零等于负一。这个很简单，整理之后的话，就得这样一个结果了，得的是 y 方等于 x 零， 平方减去二， a 方减一。有人要说了，老师，我这个框里头不是应该写 c 方吗？你怎么写的二 a 方减 e 呢？其实我们原来这样一个抛物线，它的形状或者说它的特性呢？只跟这个 a 的参数有关，我们最终肯定要落实到这样一个小 a 的参数上。 另外你看圈一这个式子， c 方不就是等于二 a 方减一吗？我换过来了，那么跟谁连理一下？你要注意 y 零 x 零怎么样？ y 零 x 零这个点 p 是在 椭圆上点，你既然这个点 p 是在椭圆上的，那你就带入啊，带入以后看了啊， a 方 x 零加上一减 a 方 y 零。好了， 那带入之后的话，你削一下，整理一下，最终的话会得到这样一个结果， x 零等于 a 方，然后 y 零等于一减 a 方。那太好了，那最终我们就求出来， y 零肯定是等于一加 x 零的，所以说这个 x 零 y 零就是点 p 这样一个坐标，他一定在哪条直线上，那一定是在这条直线， y 等于负 x 加一上，这就是我们要求的那条定直线了，懂了吧？分享课堂知识，感受数月之美！我是杨帆老师，下节课再见！