九省联考数学卷最后一道大题
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59:11查看AI文稿AI文稿今天呢，我想给同学们解析一下二零二四年九省联考第十九期，这是一个压路期，这是一个和数论有关的啊，一关期。 那么这个题啊，呃，有的同学反映说超纲理由是用到了废码小定理，我认真研究了这个题啊，发现， 呃，命题者并没有让你直接用费马小定理，而是呢，通过提设的条件，把费马小定理呢重新证明了一下，然后才能用。 所以说呢，从这个意义上来说呢，并没有超纲，而且其中呢，给出了一些个数学符号的规定，要考察你阅读理解的能力， 如果你能力特别强啊，那么这个题呢，也完全可以做出，即便是你没有数学竞赛背景的同学也可以完成。那么今天呢，我就想用最初等的方法 来给同学们详细的解析一下二零二四年九省联考十九题，网上有很多老师讲了这个题，而且呢，标准答案呢，同学说也看不太明白啊，那么今天呢，你就听我给你讲解一下，看看你是否能听明白。 当然，由于黑板的限制啊，我通过录屏的形式啊，给同学们讲这个题。在讲这个题之前，我们先看一下和这个十九题有关的一些个问题。第一个问题呢，我们先来说一下这个数数 啊，这个数数呢，指的是只能被一和他本身整出的数，叫数数，比如说二三五，这些个数都是数数，数数呢，又称为质数。 那么二四六八像这样的数呢，我们称之为和数，因为这样的数，除了一和它本身呃，整出以外，它还有其他别的因子。 这是啊，首先要明确的一个问题啊，第二个问题，我们再看一下什么叫剩余类， 就是说我们在研究整数的时候，如果用一个非负整数啊，除以某一个数，我们只关心他的余数， 你比如说啊，十三啊，除以五，那么他的余数是几啊，是吧？那么余数应该是三，我们只关心他的余数是几。 那么什么叫剩余类呢？就是说如果一个整数除以 p， 所得到的余数有可能是零，有可能是一，还有可能是二，还有可能是题解一， 那么这个集合呢，就是剩余类，如果余数是零，说明这个数啊，能 能够被批整出，对吧？是这个意思。呃，这是关于剩余类的意思。那么第三个问题。 第三个问题呢，就是说某两个数啊，被同一个数除，余数有的时候是相等的，你比如说十七除以五，对吧？他的余数是二， 那么二十二呢，除以五呢，它的余数还是二，那么我们把十七和二十二呢，就称之为同余， 余数都是二吗？那么相对谁同余呢？相对于五同余，哎，就是说十七 除以五和二十二除以五啊，他所得到的余数都是二相等啊，用这个符号去表示。那么十九题啊，实际上十个就到了这个余数的概念，但是他也避免用这个符号去表示，他给出了一个新的符号， 这是第三个问题啊。啊，第四个问题，我只说明和十九题有关的啊。第四个问题呢，我说一下什么问题呢？就是说如果 p 是数数 p v 数数，如果 p 不能整除 a， 那么 p 呢，也不可能整除 a 的平方 以及 a 的 n 次方啊，实际上这是 n 次方就可以了， 其实他的等量，这个如何去理解呢？就是说 p 不能整出 a， 那就说明啊，你把 a 分解指因数以后，他不可能含有因子 p， 所以说 p 不能整错 a， 那么 p 要不能整错 a 的话， a 分解只因数以后不能含有因子 p， 那么 a 的 n 是密， 分解结束以后，他自然也不能含有因子 p， 所以 p 呢，也不可能整出于不可能整出 a 的 n 字方，那么 a 的 n 字方，如果 p 不能整出 a 的 n 字方呢？那么 肯定也不能整过 a， 这个是怎么样的？还有一个问题啊，需要说说，如果 a 和 b 要是同于 于 p 啊，也就是说， a 和 b 除以 p 所得到的余数如果相等的话，那么它等价是谁呢？ 等价于 a 减 b 啊，一定是谁呢？一定是 p 的倍数，这也好理解，对吧？这也好理解。 哎，这是前五个问题啊，我们再看一下第六个问题。第六个问题呢，说做这道题的时候啊，用到了 费马小队里，那什么是费马小队里呢？ 这个非法小的理，说的是这样的意思，说，对于任意的 a 弱 a 和 p 互诉，或者说互制 a 和 p 互诉啊，用这个小括号去表示什么意思呢？就是说 a 和 p 的最大公约数是一，并且 p 还未诉数， 则 a 的 p 减一次方除以 p， 它的余数一定是一，就是 这样叠，哎，我们用这个方式的啊，这就是非法小代理啊，非法小代理， 那么这个非法小经理啊，呃，在做这个十九题的时候，肯定需要用到，但是呢，没有直接让你用，而且需要证明一下，根据他题中所设的条件呢，证明这个也不难，也很容易啊，一会呢，你看我的解析啊， 那么当然也有非马大定理啊，非马大定理同学们都知道啊，就说当 n 大于等于三的时候， x 的 n 次密加上 y 的 n 次密等于 c 的 n 次密，这个方程可不可能有整数结，这在一九九五年的时候才被人 证书，有兴趣的同学呢，可以到网上去搜一下。呃，这就是啊，我在讲十九期之前所设计的一些个问题啊，在这里呢，先给同学们做一下交代。然后呢， 我就通过录屏的形式啊，把这个十九题呢进行非常细致的解析啊，仅供同学们参考啊。好看，十九题题的意思是反复阅读几遍，然后把它充分的理解。呃， 离散对数在密码学中有重要的应用。设 p 是数数， g 和 x 是一二三到 p 减一。若 u， v 属于 g 和 x， m 属于自然数级， n， g， u 圈乘 v 等于 u， v 除以 b 的余数。你看，这给出一个记号， u m 次密圈乘为 u， m 次密除以 p 的余数。这又是一个呃引入的符号。设 a 属于 g 和 x， e， a， a 方圈乘一直到 a， p 减二，圈乘，俩俩不同。嗯，俩俩不同是什么意思呢？对吧？若 a 的 n， c， m 圈乘等于 b 啊， n 等于零一二一直到 p 减二， 则称 n 是以 a 为底， b 的零三对数即为它，对吧？是这样一个意思。 第一问，若 p 等于十一， a 等于二，求 a 的 p 点一次密圈乘，也就是求 a 的 p 减一次密被 p 除所得的余数是几，就是这样的意思。那么第一问呢，就比较简单了，是吧？ 第一问呢，我们简要的说一下，那就是 p 等于十一吗？ a 点二吗？那就是按求二的十次密 圈乘等于啥？二的十次密圈乘是什么意思？那就是二的十次密除以十一所得的余数呗。二的十次密是一零二四，对吧？一零二四除以十一，那得到的 余数是几啊？我们经过计算，发现他等于一，对吧。所以说呢，那么这个答案那就是一呗。 说第一问呢，就是很容易了，那么现在我们主要看一下这个第二问啊，第二问 第二位呢？他说若 m 一加 m 二属于这个集合率，呃， m 一圈加 m 二为 m 一加 m 二除以 p 减一的余数啊，让你证明这个是成立。首先我们还得看的这个题的意思啊， 他说这几个数俩俩不同是什么意思？这几个数是怎样的数呢？他要说这几个数俩俩不同啊，就说明 a 不可能得一，对吧？ a， a 不能得一，这是肯定了吧？ a 不能得一呢？ a 只能是取二三到 p 减一呗，因为 a 属于 x 吗？哎，那么这个一啊，实际上呢？根据这个符号， 根据这个符号看，这个一还可以写成啥呢？我们看第二个哈，这个一啊，实际上还可以写成是 a 对，零字密圈乘， 因为 a 的零 c， b 是一吗？一除以 p 的余数不就是一吗？对吧？这个 a a 呢，还可以写成是 a 的一次密圈成，对吧？ 因为 a 属于 g 和 x， 呃， a 不得一， 那么 a 除 p， a 除以 p 啊， a 除以 p 的余数，那就是 a， 因为 a 比 p 小，对吧？所以说呀，这几个数时间就变成啥，就变成 a 的零次 b 圈儿乘 a 的一次密全程， a 的二次密全程，一直到 a 的 p 减二次密全程。 那你想一想看，这几个数是不是就可以写成这个形式，对吧？那么它的通向是啥呢？这几个数的通向是不就是 a 的 n， c b 圈乘， 然后 n 等于零，一二一直到 p 减二嘛？ 是这意思吧？他说呢，这几个数啊，俩俩不同，对吧？那么这几个数俩俩不同呢？ a 不可能得一，因为要得一的话，这几个数全是一了，对吧？ 那么他说根据提议啊，根据提议呢？这几个数又是什么意思呢？这几个数就是这个 a 的零次密除以 p 得的余数，这是 a 的一次密除以 p 得的余数，这是 a 的平方除以 p 得的余数， 对吧？那么这是 a 的 p 减二次面除以 p 所得的余数。我们知道，任意一个整数除以 p 所得到的余数，那么有可能是啥呀？有可能是零，有可能是一，有可能是二，有可能是 p 减一。 我们先考虑一下，这几个数有没有得零的可能呢？也就是说， a 的零次密， a 的一次密， a 的平方， a 的 p 减二次密能不能被 p 整除呢？ 能吗？能不能被皮整出啊？首先， a 不能等零，对吧？因为 a 属于 g 和 x， x， g 和 x 当中没有元素等零，所以 a 不能等零， a 还不能等一，对吧？因为俩俩不同嘛， a 不能等一，那 a 呢？只能是取二三一直到 p 减一，对吧。 那么很显然， a 比 p 小啊， a 比 p 小，那么 p 不可能整出 a 啊。 p 要不能整出 a 的话，那 p 就不能整出 a 的 n 次方，因为 p 是数数啊，对吧？ p 是数数啊， 也就是说， a 的零次面， a 的一次面， a 的二次面，一直到 a 的 p 点，二次面不可能 被 p 整除，也就是说这几个数不可能得零，这几个数不可能得零，那这几个数只能等于被 p 除完以后的余数只能是一二三，一直到 p 减一呗， 这能明白吧？也就是说，这几个数的通向不就是他吗？就是他不可能得零，他不可能得零的话呢，他被批除的余数呢，那只能是一二三，一直到 p 减一。也就是说，他一定是 g 和 x 当中的元素， 反正就这些个项都是即和 x 中的元素，又因为俩俩不同，那就说明啊，这个集合当中的元素有批减一个，而如果把这些个数 构成的集合呢，元素个数也是批减一个，对吧？零到批减二，也是批减一个。因此啊，我们可以断定什么呢？就是说这个集合啊，这个集合，这个集合，假设我设集合 a 吧， 那么这个吉和 a 呢？肯定是 g 和 x 的子吉啊， 并且呢，这两个集合的元素的个数还相等， a 还是 g 和 x 的子集，那不就说明这两个集合是同一个集合吗？这能明白吧？ 这两个集合是同一个集合，那就这块就加等号就行了，对不对？加等号就可以了。这样呢，我们就 证出了这两个 g 和相等， 这两个积分相等，也就说它等于什么呢？等于一二三，一直到 p 减一。 哎，这两个集合是同一个集合啊，那么现在呢，他提的意思啊，就说在这两个集合当中，实际上是同一个集合，我们不妨看成俩集合也行啊， 就是在这两个集合当中呢，想建立一种对应关系，这个对应关系是啥呢？就是这个意思，你看他建立一种对应关系啊，就是说呀， ad 零四密圈成，我知道他的一了， 那么 a 的一次密圈乘，它等于这里的几啊，这就不好说了，对吧？你不能说等于二吧，因为 a 是几不知道啊，那么这些个数 都对应着这个集合当中哪一个元素不好输？不一定，那么假设 a 的 n 次密圈乘啊，这是他通向啊，等于这里的 b 等于这个即合里的 b， 那么我们就把这个 n 叫做以 a 为底， b 的离餐对数，就是这么个意思。 呃，第二问呢？我们看，那么在做第二问之前呢，我们首先应该看这样一个问题，是吧，弱 m 一 m 二属于这个集合，零一二一，直到 p 加二， 对吧？第二吗？他说都在这个集合，那么 a 的 m 一次密圈成， 这圈乘， a 的 m 二次密圈乘等于什么呢？等于 a 的 m m 一加上 m 二次密，逗号圈成。一定有这个式子是成立的， 你能理解这个狮子吗？为什么成立吗？ 下面呢，我们就来说明一下，这个是为什么成立的？能不能直观看出他成立呢？能不能直观看出来， 如果看不出来的话，我们来看一下，你看 m e m 二呀，属于这个集合，那就说明这两个数啊，就属于这个集合当中的两个数，对吧？这个集合当中的两个数， 知己被劈除的余数应该等于啥呢？等于 a m 一次密乘， a m 二次密被劈除所得的余数，他表达的是不是这么个意思，那么我们来证明一下吧。啊，这个证明很容易证明啊， 那么 a 的 m 一次密是不是可以写成 k 一 p 再加上 a m 一圈儿成啊， 对吧？因为被 p 除的余数吗？肯定就是比 p 小，这个数肯定比 p 小，也就是这个数实际上就是 它被 p 所出的余数，因为这个数在这个集合里面， 对吧？ mem 不在这个范围内吗？他在这里吗？在这里的话，这里头和这个集合不同一个集合吗？所以这个数肯定要比 p 小啊。所以说这个数实际上就是 a 的 m 一次面除以 p 所得的那个余数， 那么 a 的 m 二次密呢？它被剔除是不是可以写成这个形式？ 同样道理啊，对吧？然后呢？我做他俩相称啊， 他俩相称是不是称完以后，右边是肯定 能写成 p 的整数倍吧，再加上 它俩相乘的形式，这没问题吧，对吧？那这不就说明它等于 k 乘 p 加上它吗？ 那这说明啥？说明这个柿子和这个柿子不是同于吗？这样能不能看同于吗？ 他俩是被批出余数肯定相相同啊。那好了，他被批出的余数是啥呢？怎么表示？他不就是这个？不就是相当 因为 a 的 m 一私密加上 m 二私密吗？他被批除的余数根据这个记号，那不就是他吗？对吧？ 那么这个这个不属于。看这个。若 u v 属于 x， 那么 u 圈乘位为 u v 除以 p 的余数， 那么这个是 u， 把这个看作 u， 把这个看作 vu 和 v 是不是这里的元素啊？这里的元素不就是 x 中的元素吗？这不是 uv。 若 u v 属于 x 呢？那么若 u v 属于，这是 u， 这是 v。 若 u v 属于 x， 那么 u 乘威的余数不可以表示成 u 圈乘上威吗？这不就是圈乘吗？ 对吧？如果 u v 属于 x 呢？ u 圈乘 v 为 u v 除以 p 的余数呢？所以说 u， 因为它俩啊，除以 p 余数相同啊，同余啊，所以说不就有上面这个数字相等吗？ 这能明白吧，是吧？啊，这里的符号啊，用的很繁杂，所以说你要把它彻底理解也很不容易啊，总之才有这个式的成立啊。 好，那么他有这个式的成立，我们下一步要说明啥呢？我们看要证明啥呢？下一步我还要证明这个问题啊，就是我要证明啊，就是说 若证明这个问题， a 的 p 点一次密圈乘，他一定等于一，我证明这个问题， 这个 a 呢是属于 x 啊， p 是数数啊， 也就是，呃，费麻小店里，我们看如何证明这个问题呢？我们看一下， 我们看这个问题，怎么证明呢？我们首先看 a 的 p 减一次密圈乘啊，他表达的意思是 a 的 p 减一次密被 p 除所得的余数，这个余数不 可能得零啊，对吧？他不可能得零是因为什么呢？因为你这个 a 是属于 g 和 xa 比 p 小啊， 所以说 a 不可能被 p 整除啊，那么 a 的 p 减一次米也不可能被 p 整除，对吧？所以说他不可能得零，他不可能得零的话呢？那 a 的 p 减一次米被 p 除呢？余数呢？只能是 属于这个集合， 对吧？那么这个集合不就是这个集合吗？对不对？换句话说呢， 他呢？ a 的 p 减一次密圈成呢？肯定是这个集合里当中的一个元素啊，那么也就是说呢，一定存在着这样一个数， a 呀， 这个 i 属于啥呢？就是属于零，一二，一直到 p 减二，对吧？ 因为这个 i 是零到 pr 嘛，有啥呢？有 a 的 p 减一次密圈成， 等于 a 大 h 密圈成，对吧？ 那么这个式子说明啥呢？这个式子就说明了， a 的 p 点 e 次 me 被 p 除所得的余数和 a 的 is 米被 p 除所得的余数相等。于是呢，我们就得到啥呢？得到 a 的 p 减一次密，减去 a 的 s 密， 肯定能被 p 整除啊，对吧？我们把它再写上，把 a 的 s 没给提出来，那就是 a 的 p 减一，再减去 i， 再减去一，也就说这个式子肯定能被批整除啊， 能被 p 整图，对吧？ 我们把它写到哪里呢？我们看看啊。嗯，这样哈，我把这个给他拿过来， 好，我们接着往上写啊，写到这，嗯， 这个数，这个数就能被批整除。由于呢， a 的 s 蜜， a 的 s 蜜不可能被批整除啊，对吧？所以说只有括号里的这个数呢，能被批整除。只有括号里面这个数能被批 整除。言外之意呢，就是说我们就得到啥呢？我们就得到这样一个结构呢，就是说 a 的 p 减一次密，再减去 i 呢？他被 p 整除，肯定就是于一啊， 那不这意思吗？对吧？他被 p 整除于一，整个这个式子才能被 p 整除啊，对吧？我们得到这个结论， 那得到这个结论呢？我现在想证明啥呢？我现在想证明的是，我们得需要说明这个 a 得零，对吧？那么这里啊，我用反正法假设，若 a 不等零， 那么若 i 要拨点零啊，那么 i 等于几呢？对吧？那么刚才说了， i 呢，那就是只能取一二三一，直到 p 减二呗， 对吧？这个 i 是不是应该取这个值呢？ i 只能取一二三到 p 点二，于是呢，我们就得到啥呢？得到这样的结论呢？ 那么 p 减一，减 i 呢？就属于哪里呢？你看，当 i 取最小之一的时候呢？ 那么这个 p 是不是应该取最大 p 减二， 而当 h 最大值 p 减二的时候，他是不是应该取最小值啊，对吧？当 a 取 p 减二的时候，那么他得一吗？ 那不说明这个数应该是属于这个即合里，这，对吧？ 这个数属于这个集合里，是什么意思呢？那就是说 a 的这些次密属于这里啊，那么我们来看，我们就得到啥呢？这与 他属于他了，这与这不矛盾了吗？对不对？这与矛盾了，我们把它设为星吧啊， 这与新矛盾呢？ 所以你这个 i 只能是等于零啊，这样我们是不是就正数呢？ a 的 p 点一四， b 被 p 除，一定是于一啊，我们是不是得到这个结论呢？ 这不就是费马小定理吗？根据他的提设，我们是不是就给出了证明啊，对吧？ 好，这样呢，我们可以得到刚才有几个重要的结论，哎，我把这几个重要结论呢，我给他放到这里啊， 然后呢，我们再接着证明啊，啊，第二问啊，好，特别是后边这两个结论啊，那么我们把它再翻一页吧。啊， 那么现在我们看第二问，怎么证明？根据上面的结论啊？我把上面结论放到这， 嗯，如何证明呢？现在我们看证明这个问题呢，对吧？证明他， 我们令他等于什么呢？我令他等于 n 吧啊， 我令 n 等于 好， m 等于。 那么由定义， 这 m 和 n 都是在哪个范围内呢？ m 和 n 呐，那就应该在 零一二一直到 p 减二， 这能理解吧？啊，就说这个 m 和 n 都是从零一二一直到 p 二，于是呢，我们就得到了， 得到啥呢？ a 的 n 次密圈称 等于 b 吧， a 的 m 之密圈乘 等于 c， 这是根据他给的定义嘛，对吧？哎，这是根据他 说给的定义啊，这个 n 呢，就是零一二到 p 减二嘛，对吧？这 n n m 在零到一到 p 减二，然后根据他所给的定义，我们得到这两式，那得到这两个式子，现在呢， 我们想证明啥呢？我们想要证啊， 证明这个是 b 圈乘 c， 对吧？等于谁呢？就等于 n 圈加 m， 对吧？这表达以后是不是就这么个意思了，对吧？证明呢？ n 圈加一，那么要想证明他呢？那只要证明啥就行了呢？也就是继证呢， a 的 n 圈加 m， 逗号乘等于谁呢？等于 b 圈乘 c 吧， 这能理解吗？这不还是根据指数式跟对数式的互化吗？是吧，也就证明他的他 a 的这些次密圈乘等于他就可以了。 那么现在呢，我们看这个 b 圈乘 c 到底等于啥呢？啊？我们写在这，因为啊， b 圈乘上 c 啊，等于呢？ b 就等于 a 的 n 次密圈乘，对吧？然后是圈乘 c 嘛， c 就是 a 的 m 次密 圈称了这 b 得他， c 得他啊，往里一带嘛，不就是把 b 和 c 换成他俩，得到他，对吧？好了，那我们再看，这根据啥呢？ 他等于啥呢？他不根据上 上面这个式子吗？看见了吗？上面这个式子，他就应该等于 a， n 加 m， 对吧？圈乘吗？ 它不就等于 n 加 m， 圈成根据这个式子吗，对吧？那么 n 加 m 啊，被批除所得的余数 是 n charge m， 所以说呢，我把它写成啥呢？ a 什么？你说就是 这个 an 加 m 圈乘等于什么呢？他被批减一，他被批减一除， 得到结果是啥？你看在这第二啊，说 m 一圈加 m 二为 m 一加 m 二除以 p 减一的余数，根据这句话，那么这会我们就可以写成啥呢？写成 l 倍的 p 减一， 再加上 n 圈加 m， 对吧？然后圈叉，这能理解吗？ n 加 m 吧， n 加 n， n m 在这个范围 内吗？有定义吗？就相当于 m e m 二呗，有定义吗？对不对？那么 g n 圈加 m 为 n 加 m 除以 p 减一的余数，所以说你这个 n 加 m 不就可以等于 p 减一的整数倍再加上 余数吗？不就写成这个这个形式了吗？对吧？好，我们接着再往下来，还有等于啥呢？他就等于啊，再往下， 再往下呢？那就是说他还等于啥呢？他还等于 a 的 l 的 p 减一私密， 嗯， 对吧？圈成，再圈成 a 的 n 加 m 私密全程这分成啥呀？ 这个你是不是又没看懂啊？这个不还是根据根据上面这个式子吗？这个 l p 减一相当于 m 一， n 圈加 m 相当于 m 二吗？对吧？你看把它换过来，不就这个吗？ 反应了，对吧？我把它反应到到这里，对吧？ 还是根据上面这个，那么我们再接着得他等于什么呢？这个不就得一吗？ 这个为什么等于一呢？你看啊，这个实际上是 a 的 p 点一次密括号的 l l 次密吗？我们知道 a 的 p 点一次密， 根据上面这个，根据上面这个式子，他不得一吗？被劈除余数是一吗？ 就说 a 的 p 点一次密，被 p 除于一，那么 a 的 p 点一次密，括号的 l 次密被 p 出还是余一，这个你可以这样解释啊， a 的 p 点一次密呢？被 p 除余一，那么它可以写成 k p 加一的形式， 然后呢？ k p 加一的形式在 l 次密，根据二项式定理看呢，那尾数不还是一吗？所以说整个这个式子那就是一，对吧，他就等于一，那就等于一乘上一圈乘啥呢？圈乘他 是不到这步了，到这步需要注意，那么一圈上塌应该等啥呢啊？ 你不能直接就得了吧，是吧，我们还应该这样去考虑 啊，这个应该是，这写错了，这块应该是圈加啊，这个应该是圈加， 对吧？这玩意是圈夹啊，这需要注意，因为这是把把他俩给分开了吗？对吧？他俩分开的吗？哎，这，这个是相当于上面的 m 二吗？这个是相当于上面的 m 一吗？对吧？哎，一圈挣他多少 一呢？不可以写成 a 的零次密吗？圈称吗？对吧？ 然后再圈乘 a 的 n 加 n， 圈加 m 啊，圈乘他那个啥呢？他是不是再根据他， 你看这根他打这根，他应该是等于 a 的 n 加 m 再加上零圈乘，对吧？应该等于他， 对吧？ a 圈加 m， 这是圈加 m， n 圈加 m， n 圈加 m 再加零吗？ 然后再圈成不应该是这个吗？那他不就等于 a n 圈加 m 全胜吗？对吧？ 所以不就问题就解决了吗？对吧？又因为呢？我们看啊，又，因为啊，这个 n 圈加 m 在哪个范围内啊？ n 圈加 m 是不是在零一到 p 减二的范围内啊？ 因为圈加 n 圈加 m 啊，表示的是 m 一加上 m 二吗？ m 一加上 n 加 n 加 m， n 圈加 m 表示是 n 加 m 除以 p 减一的余数，对不对？那么 n 加 m 除以 p 减一的余数， 那有可能是零。哎，这应该是又因为啊，又因为 n 圈加 m， 它属于哪个集合呢？应该属于是零一二一直到 p 减二。 为什么呢？因为这个 n 圈加 m 表示的是 n 加 m 除以 p 减一的余数，所以说，那零到平二，对吧？然后呢么， b 圈乘 c 呢？ 它在哪个范围内呢？它应该属于是一二 e 的到 p 减一。为什么呢？ 因为啊， b 圈乘 c 是指的是 b 乘上 c 除以 p 所得的余数，对吧？ b 乘以 c 所得的余数， 因此呢，他是一二到偏一，但是 b 乘 c 啊，他不可能得零啊， b 圈上 c 不可能得零，就是 b 乘 c 啊，除以 p 的余数不能是零。哎， 因为这个 b 和 c 是哪个 g 合理的元素啊？不是这里的元素吗？这里的元素任意两个元素之积，除以 p 不可能是零，对吧？ 因此呢， p 圈 b 圈乘 c 是这个范围内， n 圈加 m 是这个范围内， 这不正好是啊，他的范围和 b 全程 c 的范围正好 符合条件吗？所以不就完成了第二问的证明吗？对吧？好，我们把它写这了，所以第二问证明不就出来了吗？我们要证的不就是这个吗？对吧？ 我们就得到了他的证明啊，你听懂了吗？ 下面呢，我们再看第三问的证明啊，我们再看第三问啊，这个第三问， 我们需要说明一下这个式的成立，也就是要说明什么呢？ 就是 a 的 n 次密圈儿乘等于 a 圈儿乘 a， 这圈儿成 a， 这个式子是显然成立吗？还需不需要证明呢？如果显然成立，为什么呢？ 这个简要说一下吧。啊，这个应该是成立的，你看 a 的 n 四 me 是不是圈儿乘，我们可以把它写成什么呢？写成 a 的 n 减一 加一啊，然后再求而成啊。根据刚才推导出的那个结果，他是等于 a n 减一求而成，再求而成 a 的一次密圈成，这，对吧？那么他就等于 a 的 n 减一圈成， 再求而成 a 的一次 me 求而成，不就是 a 吗？ 然后反复吧，再把 n 加一变成 n 加二，再加一，是吧？以此类推，是不是有上面这个式子成立啊？说，对吧，所以上面这个式子是成立的， 也就是说，我们对这个圈程啊，他给的定义是一个圈程，对吧？实际上我们还可以说明啊，这个 a 圈程 b 和 b 圈程 a， 这是相同的， 呃，还可以说明他的结合率也是对的，因此呢，我们才能有这个式的成立啊。我觉得应该说明一下这个式的为什么成立吧，对吧？ 那么下面我们看在这个基础之上，我们如何去证明三呢？嗯， 要想证明这个三呢，我们首先先把这个 y 二写出来，再把这个 y 一的圈这个式子写出来，然后我们再圈称，看看是不是得到这个 x， 是不是这样一个过程啊，对吧？那么我现在看 v 一啊，先看 v 二，先看 v 二吧。啊，先看 v 二， v 二呢？等于 x 圈乘 b 的 case 没圈成，那就是 k 个 b 圈儿程的，对吧？根据刚才所说，是 b 个 k 圈儿程啊， k 个 b 圈儿程啊， 那 k 个 b 圈儿乘，我们看 又等于什么呢？ b 呢？根据这个条件来说， b 等于 a 的 n 次密 x 啊，圈儿乘 b 等于 a 的 n 次密。圈儿乘， 找他吧，把 b 换了，是不是再圈成把每个 b 都换了啊？点点点，我就简单写了吧，这叫 a 的 n 次 me 圈儿乘，就是他 那多少个 a 的 n c b 圈乘，这圈乘 k 一个呗，是吧？ 这 q， 然后我们再接着得了，那么再根据 a 的 n c b 圈儿乘，就等于 n 个 a 圈儿乘，那么都把它换成 a 的话，那么这多少 a 了？ 是不是 n k 的 a 呀？对，这是由 n k 的 a 圈儿成， 这没问题吧，对吧？然后呢，我们再看 v 一，是吧？ 这个 v 一的 n 次 p 减二次密啊，这个圈乘，对吧？我们得看他呀，他等于啥呀？ 它等于 v 一圈乘，多少个 v 一圈乘啊？ 应该是 n 倍的 p 点二，二个 v 一圈儿绳子，对吧？嗯？ 然后呢，我们再看这个 y 一啊，根据已知，它应该等于 a k 圈乘，对吧？然后再圈乘都换成 a k 圈乘啊，点点点， 这有多少个呢？仍然是有 n 乘 p 二个呗， 圈乘。然后呢，我们再根据 a k 圈乘，等于 a k 跟 a 圈乘，对吧？那这样一来的话呢，我们都把它换成 a 圈乘， 那多少个 a 圈乘呢？那就是应该是 n k 乘上 p 减二了呗， 对吧？应该是这些。那么它等于啥呢？它就等于 a 的 n k p 减二 次密，全程应该等号，对吧？这没问题吧？ 那么它又等于什么呢？它呢？我可以把它写成 a 的 p 减二次密，括号的 n k 次密 圈成，对吧？就是这个。那这是什么意思呢？这就是说把 a 的 p 减二次面，看成一个式子，看成一个数呗，那就是说它等于 a 的 p 减二次面，圈儿成 a 的 p 减二次米圈上有多少个 a 的 p 减二次米圈程呢？那就有 n k 了呗， 对吧？有 n k 的 p 减二个全程，这是 n k， 然后呢，我再把 y 二呢和这个结果一称，我们看， 所以说，呃，这个结果喝 v 一的这个结果，以后啊，我们要做 v 二圈称它，对吧？嗯， v 二圈称它的话呢，那么我们应该怎么去考虑呢？就是 v 一啊， 应该是 y 二圈称上 y 一的这个式子，对吧？ y 二等于啥呢？等于 x 圈乘上 a， 然后在圈乘上 a， p 减二次方，对吧？ 然后在圈称上 a， 在圈称上一个，这都是圈称，然后在圈称个 p r 中 啊，点点点点点点一直圈称，然后是 a 圈称上 a 的 p 减二组啊，对吧？实际上呢，我们把它分成了组，是吧？就说是这是一组，呃，这是一组，那么最后这一组，也就说呀，他的每个 a 一共是 n k 个 a， 对吧？这也是 n k 个 a 的 p 减二组。 然后呢，我把 a 的 p 加二次方和这个一个 a 应该是圈乘到一块，因为它本身是 y 二圈乘 y 他嘛圈圈乘，那么这个得啥呀？ 这个实际上就应该等于什么呢？应该是等于 a 的 p 减一次密圈乘吧， 对不？对啊，这个不等于他吗？应该这他俩相乘被 p 除以余数吗？那就是 a 的 p 减 一次方圈称吧。然后有多少个 a 的批减一次方圈称呢？一共有 n k 个，对吧？应该有 n k 个，这块应该是 n k 个， 应该这么理解吧， 对吧？啊？或者不是这么理解，这么理解也不对。嗯，就说这个还得圈称啊，还得圈称，那就圈称呗。圈称 a 的 p 减一次密，再圈称呗， 就他应该是，对吧？还有圈称，点点点最后也圈称，圈称最后的结果一共有多少个呀？那个 a 的 p 点一私密圈乘，应该是这么理解啊。哎，那么这个根据会码小证理它的一呗，是吧？这不 都是一了吗？这全都是一了，都是一，所以等于 x， 这有多少个呢？有多少个呀？ n k 的，对吧？ n k 的一圈乘，那就还是一。 n k 的一圈乘还是一，一圈乘一是一，对吧。这没问题。然后我们看它等于是不是等 x 啊， 是不是得 x， 是不得 x， 又因为 x 属于 g 和 s， 这点非常重要啊，是有这个条件吗？对， x 属于 g 和 x 吗？ 因为 x 属于 g 和 x， 所以 x 圈乘以就是 x 乘以除以 p 的余数才是 x， 对吧？所以说 x 圈乘一才是 x， 说这点是不是得需要注意啊？你不能认为 x 圈乘一就是 x 啊， 如果他要没有 x 属于 g 和 x 的这个条件，那他还不一定得得 x 呢，所以这得需要注意啊。 所以说他这个题啊，就是说第三问呢，就涉及到一些个运算率的问题啊，这个圈乘的计算，圈乘计算呢，应该适合交换率，呃，还符合结合率， 然后呢，我们才能这样去做啊。好，这个题我们就讲到这里啊，看讲的是否详细的，仅供同学们参考。
205伯麟数学
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