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02:16查看AI文稿AI文稿山西长治顶级高中，特报 number five 长治市第六中学，一九五八年建校，长治市唯一公办外国语特色高中，文科强校，以三十六人精英小班化教学为特色，现有专任教师两百余人，高级教师六十余人， 省级骨干教师十余人，在校人数约两千人。二零二五年高考，六百分以上三十人，本科上线率百分之九十，精英班一本上线率百分之一百。 number four 长治市第一中学，一九五六年建校，省级示范高中，老牌强校，文科优势显著，擅长中低分段学生提升。现有专任教师两百八十余人， 高级教师八十余人，省级学科带头人十五人，在校人数约三千人。二零二五年高考，清北录取八人，六百分以上七十六人，本科上线率百分之九十六点三，一本上线率约百分之四十五，重点大学录取一千两百二十人。 number three 上党区第一中学，一九四六年建校，现役高中标杆，被称为最像私立的公立学校。 现有专任教师两百六十余人，高级教师七十余人，在校人数约两千八百人。二零二五年高考，清北上线二人，六百分以上八十九人，本科上线率百分之九十九点三，一本上线率百分之六十八点七。 number two 长治市第二中学，一九二七年建校，长治教育，金字招牌，理科强势，奥赛实力突出，现有专任教师三百二十余人，特级教师八人， 高级教师九十余人，省级骨干教师二十人，拥有国家级奥赛教练团队，在校人数约三千五百人。 二零二五年高考，清北上线六人，录取二人，六百分以上一百三十一人。本科上线率百分之九十八点三，一本上线率百分之七十点六。 number one 长治学院附属太行中学，一九五九年建校，长治高中教育头把交椅，清北领跑者， 学科竞赛强校。现有专任教师三百五十余人，特级教师十人，高级教师一百余人，省级学科带头人三十人，在校人数约四千人。二零二五年高考，清北录取七人，包揽全市文理双状元。六百分以上两百二十人。本科上线率九十八，一本上线率百分之七十二点三一 理科最高分七百一十分，文科最高分六百七十一分。生物学科竞赛长治市一等奖六人，全部出自开校。
1178大碗码头
46:35查看AI文稿AI文稿太行中学啊，一个被人忽视的宝藏高中，特别高兴啊，又发现一个宝藏高中，然后昨天呢，我的一个学生呢，把他的学校的期末试卷呢，然后发给我了，然后我先大概看了一下，然后呢，越看越有意思啊，然后我又仔细分析了一下，看了看，一些难度分布呀，然后看了看考察的知识点呀， 发现什么呢？这份卷子上的题呢，一定是通过仔细筛选后选出来的题，那一定不是说胡乱出的那，并且选出来的题呢，质量都特别高。然后我又专门找了找之前那些月考卷子，也看了看，然后发现每份卷子都还可以， 那明显这个学校呢，是一个认真做教学的一个学校，那真的很高兴啊，绝对的保障高中。好，下面我们一起来看一看这份试卷， 好，下面我们就一起来看一下啊，这个宝藏中学，太行中学是吧，刚考完了高一数学的期末考试试卷，我们一起来分析一下，来看看， 有简单题啊，有难题，并且还有很多一些变形的题目，我们都来好好做一做。好吧，来看第一题，集合 a， 你看这是个基础题吧，你们涉及到一个集合的一些交集问题啊，一元二次不等式的解法对吧？好，我们来解一下，这个呢，就是 x 减三乘一个 x 加二小于零，然后解出来就是 x 小 于等于三大于等于负二小于等于三，大于等于负二和大于等于二，取个交集，那就大于等于二，小于三选 c。 第二题啊，关于一些复杂角度，用右导公式来做的题是吧，三以负三百度，你可以加个三百六，是不是就等于三以六十度，三以六十度等于二分之根号差。好。第三个，下面考的角度的定义的题，所以它这个知识点的覆盖相对还是比较全面啊。来看第一个，中边相同的角一定相同， 那角的中边相同的角肯定不一定相等呀，对不对啊？不对。然后第二个钝角一定是第二象限角。钝角是什么？是大于九十度小于一百八十度的角，那他是第二象限的角，没问题。那第二象限反过来说不对，对吧？第二象限角一定是钝角的，肯定不对。好，第三个，第一象限角可能是负角， 可不可以？当然可以啊，你第一象限可以是负角，你逆顺时针转吗？对吧？比如说负的三百三十度，他就是负角啊。可以。 那第四个小于九十度的角都是锐角吗？那不一定，比如说负的角度，它也是小于九十度，对吧？它就不叫锐角啊，所以四也不对。所以正确的个数呢？是两个好看。第四题，第四题考了个充分必要条件，那 a 大 于一，能不能推出 a 方大于 a 呢？你想通过 a 方大于 a， 我 能得到什么？ a 方减 a 大 于零，对吧？然后呢，就是 a 倍的 a 减一大于零，能得到 a 大 于一，或者是 a 小 于零， 对不对？所以小范围能够推大范围。哪个是小范围？ a 大 于一是小范围啊，是吧？他能够推出来他大范围好，所以他是他的什么条件呢？叫充分不必要条件啊？充分不必要条件？条件能够推出结论吗？是不是所以他是充分性好？那么这个第五题来，同学们 听过我课的啊，可能这个第五题会做的会相对轻松来。没有听过我的课的学生，那第五题到底怎么做？是不是 x 分 之一加二减 x 分 之四？你要通分吗？还是怎么？所以这个题就和什么题一样呢？就和我们之前说的 a 加二， b 等于一，对吧。让你求什么 a 分 之一加 b 分 之二一样， 所以你看这个次数，什么次数？他这个零次比一次的，零次比一次的，我把它凑成其次的，所以想到是 a 加二， b， 我 乘一个这个整体，对吧？好，那么这地方是 x 分 之一加二减 x 分 之四，那你看这两个分母什么关系？是不是和为定值，他们的和就是一个二。 所以我就想到什么一样的形式，就 x 分 之一加上个二减 x 分 之四，我乘以一个 x 加上一个二减 x， 对吧？但你不能平白无故乘个二呀，因为这个等于二怎么办？再乘个二分之一是不是展开就可以了？好，展开它就等于二分之一倍的一加上个四加上一个二减 x 分 之四， x 加上一个 x 分 之二减 x， 对 不对？当然这个题啊，你要想用平方和不等式的更快，对吧？好，那大于等于二分之一，照写，后面是五加上一个 a 加 b 大 于等于二倍的根号下， a 乘起来就是四，那就等于二分之九啊。二分之九选四 d， 那全方和不等式，那不就是 x 分 之一加上个二减 x 分 之四大于等于分母的和就是二，后面是一加二的平方，是吧？啊，都可以。所以你看第五题，他就在原有的基本不等式的基础上呢，稍微变类型啊，看你会不会做好。第六题考了一个应用里面的，对吧？只对数的应用里面计算好。看看 强度为 x， x 代表强度， d， d 呢，是个分贝。然后他告诉你，喷气式飞机的声音强度是大货车 鸣笛时声音强度的多少倍，强度是谁？ x， 所以 下面你要把喷气式飞机的强度 x 求出来，把货车的 x 求出来，是不是好？看看一百四，这是喷气式飞机的，它等于十倍的 log， 你 看 log x 除以十的负二十万，就 log x 除以十的负二乘以一百 x 嘛，对不对？就 log x 加二嘛，对吧？就 log x 加二，好，然后这个一百四，然后这有个十十四，十二等于 log x， 所以 算出来 x 等于什么？十的十二次方好了，看九十 九十等于十倍的 log x 加二，对吧？ x 一 吧，好，这个是 x 二，然后九就七，就等于 log x 二，那么所以 x 二算出来是一个十的奇次方啊，这个他没有涉及到对数运算，对吧？里面就是一个简单的啊，关于对数互换的题。那么 x 一 是 x 二的多少倍呢？是不是十到五十方倍啊？ 是吧？十的五十方倍。好，这是第六题，来看第七题，你看是不是我们之前讲函数零点里面，是吧特别特别强调的要反复去训练那种题啊，就是关于分段函数和一个复合方程的，怎么有几个零点？那你求什么？ a 的 取之范围对不对？好，我们看看这个， 咱们先引入这个方程。哎，会发现这个方程还是比较仁慈的，怎么样，他是那可以分解一式的，对不对？然后 f x 减个一乘，一个 f x 减个 a， 他 等于零，那你会发现这个方程他就有两个解，那就是 f x 等于一，或者是 f x 等于 a， 都不用你分析，对吧？他就有两个解，一个一，一个 a 啊，当然 a 和一可能相等的只有一个解，对吧？好，那么这个有两个根，一个 a 和一个 a， 他 说总共有五个不同的时数根，五个不同的时数根是谁啊？是 x 有 五个不同的解， 所以 f x 等于一，能解出来 x， f x 等于 a， 也能解出来 x， 那 么这两个方程加起来总共有几个解呢？五个解是不是？那么求 a 在 什么范围里变化好，那么这个图呢？是确定的，我们可以把它分段函数图像画出来 来。分段函数图像大于零的时候是零， x 这样子的好，三 x 加一次密减一，三 x 加一次密，它是递增的，对吧？减了向下平移的单位，我们看看它是向下平移的单位，然后呢？ x 取负一的时候， 整个等于零，对吧？ x 取负一的时候，整个等于零，它本身是这样子的，是吧？向左平，又是向左平移的一个单位，然后又是向向下平移的单位，是吧？就这样子的图像好，然后呢，他加个绝对值，把下面的翻上去 啊。下面的方程取这个是负一，那么它是无限逼近一的，对不对？无限逼近一，我们看看 x 取零的时候是多少？ x 取零的时候是三减一，是个二啊，取零的时候是个二，那么无限逼近一的，然后还经过什么？负一零， 对不对？他应该是这个样子的呢？然后呢？这样子指出函数图像啊，指出函数图像，好，这是我们这个左边的图像啊，小 o 的 零他都没有，不能超过去，是吧？不能超过去。 好，那么现在我们来看一下， f x 等于一，一在哪？一在这个地方啊，一在这个地方，然后 f x 等于总共有几个解呢？ f x 等于一，这边是没有解的，这边有一个，有两个，对吧？所以这个方程它有两个 x， 那 么说明 f x 等于 a 呢？它必定是有几个呢？有三个，因为它总共要有五个嘛，是吧？总共有五个根。 好，那么 f x 等于 a 有 三个，哪地方有三个呀？这不一个两个三个，只有这中间这个地方吗？所以是不零到一的范围啊。所以 a 的 范围等于什么？零到一不能等于零，不能等于一。 嗯，零到一啊，对，有答案呢，我看了半天，选 a， 对 吧？啊？选 a。 好， 这是第七题， 然后第八题啊，当时看到的这个眼睛一亮，那么这个题考什么了？这个题啊，是我们应该是一八年吧，还是一六年是吧？然后咱们全国高考的选择题的压轴题啊，选择题的压轴题，然后十二题， 他们告诉我一个对准中心，告诉我一个对准轴啊，这种典型的一个叫什么？两个方程去解我们的一些题，然后并强调说 f x 呢，在十二分之十三派，在十二分之十九派上单调递减，这种条件给的很抽象，看到没有？ 所以越是这种抽象的条件呢，咱们就把它式子把它列出来啊。这个我之前的讲义上有这么个题啊，后来我是跳了，没有跟你们去讲，我就感觉高一的做这种题呢，太复杂了，你看这个第八题，他考出来了， 正好呢，考出来了，我就借这个题呢啊，借成份卷子啊，给你们把这种类型的题跟你说一下，看到底该怎么去做。所以已知负六分之派到零是他的一个对准中心。好，把负六分之派带进去，那就是负六分之派，我们应该加上个派，这个整体呢，他就应该等于什么？等于三一的对准中心，那就是 k 派， 对吧？ k 派。然后呢，他又说十二分之十三派他对称轴。好，十二分之十三派带进去，十二分之十三派我密了， 然后加上一个派，这个整体呢，他应该等于对称轴，二分之派加 k 派。好，这地方注意，你列了两个方程，这两个方程里面都有 k， 但你要知道，这个对称轴和这个对称中心，他不一定是在同一个轴心里面，也就说这个 k 他 不一定取相同的 k， 是 不是？所以咱们标一下 k 一 和 k 二 啊，也是区别。好，通过这两个方程，那么这个单调性，这个太抽象了，咱们先不用去管它，咱们通过这两个方程，你看两个方程，两个未知数，那我敏感和否都能把它求出来。那题目让我求我敏感，那我先把我敏感求出来，两边一减，下面减上面，上面是个十二分之二的话，就十二分之五，十二分之五就是四分之五， 四分之五派。我敏感，它等于多少？等于个二分子派，你减的话， k 二派减， k 一 派不还是 k 派吗？反正几个派是吧？加 k 派啊，就这么写 是不是？好，那我敏感点多少？把五乘过来就五分之二啊，五分之二加上一个五分之四 k， 你 看我就已经把我敏感求出来了啊，同学们， 我把我敏感求出来了，并且好，他是不是能无限取呢？对吧？所以我这地方需要什么？需要卡一下我敏感的范围啊？卡一下我敏感的范围，怎么卡？ 因为你一求出来，我们搞的值了，和之前一样，有了我们搞的确定的值了，你要卡范围就不用卡精确的范围，咱只需要用周期来大概卡一下。他说大概十二分之十三拍到十二分之十九拍一定是单调的，说明这个十二分之十三拍到十二分之十九拍一定不会超过什么半个周期， 对不对？所以他俩一减是不是就是十二分之六拍，就是二分之拍，所以二分之拍一定是小于等于半个周期的 啊？所以这个周期呢？它大了等于派。我敏感是不是就小了？等于二？好，我敏感小了等于二，我敏感还等于五分之二加五分之四 k， 那 么这地方其实我敏感都求出来了，我敏感可以等于几？等于五分之二，然后呢？ k 取零的， k 取一的时候就五分之六，对吧？然后 k 取二的时候正好是二， 所以我们感能取到的只有这三个。那么他问所有我们感的值和是多少，那是不是三个都能取呢？他说不一定的，因为这三个只能满足什么？这个是对称中心，这个是对称轴，对吧？你能满足这个东西吗？满足不了，那这玩意怎么办呢？验证一下，因为满共才三个结，是不是？所以来看看。我们感等于五分之二的时候， wechat 等于五分之二，你把五分之二带进去，那 f 点多少就负的六分之派乘个五分之二，那就约掉三负的十五分之派移过来，就十五分之派嘛，对吧？所以 f 它等于十五分之派。 好，然后 wechat 等于六，五分之六的时候，五分之六就是 f 就 等于五分之一啊，五分之一派，然后 wechat 等于二的时候，二带进去， f 等于三分之派， 对吧？犯点三分之派，那这三组哪组可以？哪组不行？那我只要满足他在什么，他在十二分之十三派到十二分之十九派是单调递减就行了。那么怎么去验证呢？一直把这三个单调区间全写出来吗？对不对？咱们直接去写他的什么最大值点和最小值点， 我只要保证两个相邻的最大值点，一个在十二分之十三派的左边，正好在下一个，就最小值点嘛，对吧？最小值点就在什么？就正好在十二分之十九派的右边就行了。也就是说十二分之十三派到十二分之十九派之间没有对称轴，并且左边最大，右边最小，那么整个数字就递减了。 这地方，这地方你写对中轴会比较方便一些。好，我们来看看我们应该等于五分之二的时候，对中轴是什么？对中轴的话，那就是五分之二，我们应该加上一个十五分之派，它等于二分之派加 k 派。是不是？ k 取零的时候第一个就最大值嘛？ k 取一就是最小值嘛， k 取二又是最大值嘛，是不是？好，那么这个我们一个它等于多少呢？ 我们来算一下，它这个地方就是一个三十分之十五减三十分之二，三十分之十三， 三十分之十五减二，三十分之十三派，然后呢？再乘一个二分之五，乘个二分之五，把五一约就十二分之十三派，你看正好就是十二分之十三派，然后加上一个二分之五 k 加上二分之五 k， 那 就十二分之十三派，正好是取它的最大值嘛，对不对？然后 k 取零的时候是最大值点，那 k 取一就是最小值，最小值你看，加上一个二分之五派， 加到二分之五派， k 就 把加到二分之五派。二分之五派加完之后，肯定比十二分之十九派要大多了吗？对吧？说这个可不可以？这是可以的。那再来看我们刚才五分之六的时候，那就是五分之六，我们加上一个五分之一派，他等于二分之派加上一个 k 派，然后算出来我们一个， 那不啊，不是我命啊， x， 啊，这是 x， 写错了啊，这是 x， 好， 这个是 x， 对 吧？五分之六 x， 那 x 算出来等于多少呢？ x 算出来是十分之五，减个十分之二，十分之三， 十分之三派，然后乘一个六分之五，对吧？然后五一约二，这不十二分之三三也约了四分之派。 x 等于四分之派，然后加上一个六分之五 k， k 取零是最大值，所以它最大值是四分之派，然后最小值呢？ k 取一的时候， k 取一是个四分之派，加上一个，这就十二。十二分之三派，加上一个十二分之十，这不十二分之十三派吗？就他四分之派取的最大值，你看啊，他取四分之派， 四分之派取的最大值，然后呢？十二分之十三派呢？取的是个最小值，看见没？所以他最大到最小。那么从十二分之十三派呢？取的是个最小值，看见没？所以这个不行， 对吧？这个不行。好，我们该等于二斐等于三分之派的时候，看可不可以。那么这个时候，那就是呃，二 x 加上一个三分之派，它等于二分之派加上一个 k 派，那么算出来 x 呢？等于呃，十二分之派加上一个二分之 k 派。 好， k 取零的时候是十二分之派，是最大值，对吧？然后 k 取 一的时候，你看 k 取一的时候什么情况？ k 取一的时候，十二分之派加上一个十二分之， 就是六派嘛，就是十二分之七派嘛，这是最小值， k 取二的时候又是最大值， k 取二正好就是十二分之十三派，是不是最大值？然后呢？十二分之十九派，那就最小值，说明这个正好是最大值。这个最小值中间是不是就单刀递减，对吧？这个就单刀递减，所以这个二也是可以的 啊。二可以，所以只有二和五分之二可以，那加起来等于五分之十二选 a， 所以 看这个题是不挺难的啊，难度挺大的。那这个题的话，就是你通过 把两个方程啊，就把我们的求出来，求出来之后卡我们的范围完了之后，这几个值里面你带你去验证就行了，因为这地方你用单调区间去卡的话会很麻烦，写的不能是这个，后面会很大一串，是不？还不如挨个去验证一下。好吧，这是我们的第八题。好，我们看后面的第九题， 函数啊，这个就是我们正常的题了，你看他有难度吧。第八题是挺难的，对吧？第七题其实算是个中等题，对吧？好，那第九题那多选题难度一般啊。这算是属于一个中等偏下的难度吧。是不是 那二倍的三 y， 我 们给 x 加三分之派的图像呢？如图所示。好，六分之派是他的一个最大值点，是把六分之派带进去，所以六分之派我们应该加个三分之派，他是等于三的最大值点就是二分之派加二 k 派。 那算出来我敏感就等于一嘛，对吧？加上一个十二 k， 那 我敏感要小，等于一，那我敏感只能等于一呗。所以 a 肯定是对的啊。 a 是 对的。 好， a 算出来之后呢？ f x 它就等于二倍的三引 x 加上个三分之派，它图像关于三分之派倒数零中对错。那你把三分之派带进去看，等不等？对等中心，你把三分之派带进去一看，等不等于？那不等于啊，对吧？那是三分之四，三分之二派，对吧？不是啊，所以 b 不 对。 好， c 将它向左平移三分之一个单位，那 g x 等于啥？向左平移之后，那就左加右减二倍的三 x 加三分之二派吗？ 对不对？好，他说得到 g x 等于二倍的考三 x 加六分之派，是不是考三呢？可以啊，你这个三分之二派，你可以写成什么？六分之派加二分之派，不就是三分之二派吗？然后用用什么右等公式把二分之派消了，是不就是二倍的考三 x 加六分之派？看有意思没有？这个提出的， 如果他直接给这个二倍的三 x a 加三分之二拍，他把它改成这个形式，顺便考虑的对角度的一个敏感程度，并且考一下诱导公式啊。我觉得这题出的就挺好的啊。第三 c 是 对的 好。 d， 你 看他要考了个函数的变形，并且考了什么？零点等于 m， 直线和这个图像的交点在零到二分之拍上有两个交点。九 m 的 曲值范围啊，所以真的啊，还可以这份卷子。 所以 f 二 x 等于什么？来看看 f 二 x， 它就是等于二倍的三引二 x 加三分之派，对不对？好，这个图像它等于 m， 在 零到二分之派上有两个不同的解。咱们做过一道题吧，做过好多遍了， x 的 范围在零到二分之派，他有两个解， x 有 两个解，那我直接考虑这个整体有两个解是不是也可以？这个整体如果有两个解，那对应的 x 肯定也是有两个解的好， x 的 范围呢？它就大于等于取零的时候是个三分之派，然后取二分之派的时候是个三分之四派， 对不对？所以他的范围是从三分之派变化到三分之四派。那么你直接把三分之派到三分之四派的正选图像画出来，是不是就很方便了？好，来看看正选图像，它成了个二倍，那成了个二，变高一点，对吧？ 三分之派在这个地方原来对的二分之根号三，现在对的就是根号三嘛，对不对？最高点是二，然后三分之四派，三分之派，这是派三分之四派在这个地方对不对？他对的是一个负根号三。 好，那么整个图像呢？就从这个地方开始，哎，往下降对不对？这部分图像在这部分图像里面，一个直线 m 要和这个图像有两个不同的时速根，两个不同时速根，这是 b 区间啊。所以从根号三开始，一直到二是不都可以？ 那他能等于二吗？看看这个二，这个 b 区间呢，能不能等于二？等于二肯定只有一个解了，对不对？所以不行啊，不行，所以这个 d 选项呢？不对，所以答案选什么呢？选 a c， 所以 看他这个题，虽然考的图像题，但是它里面有很多细节啊，考察的都还是可以的啊。来看第九题，来看第十题，这个题 就是我一直没有给你们去讲过的啊，关于函数的对称和周期里面的题。咱们寒假第一时刻啊，寒假第一时刻就专门讲这个啊，给你们把这个结论都总结一下，因为你把三角函数学完了吗？是不是？好，那现在我通过这个题呢，我不用那个结论，这个题也是可以做的啊，看看。 首先 f 二 x 加一为偶函数，这个东西啊，就拦倒一大片的同学说，这是什么鬼啊，这是 f 二 x 加一对不对？ f 二 x 加一为偶函数。那我也我最后要研究的是谁？是不是 f x， 所以 我知道 f x 加一它也是偶函数， 对吧？它就缩短伸长了嘛，对不对？说 f x 加一也是偶函数，你就研究这个东西就行了。 f x 加一是偶函数的话，那么我就知道 f x 一定是。关于什么对称呢？关于 x 等于一轴对称啊，关于 x 等于轴对称。好，那再来看， f x 加二为奇函数， f x 加二为奇函数，那么我能得到 f x 关于什么对称呢？ f x 关于二零点中心对称， 对不对？它是困于二零点中心对称的啊，把全部还原到 f x 上，因为最后研究的都是 f x， 什么各种各样的东西啊？好，再来看 x 属于零，到一的时候， f x 等于 a， x 加 b， 哎呀，这地方还要求什么呀？还要求 ab 啊，那 ab 怎么求呢？ 好，只能通过后面条件， f 零减 f 三， f 零减 f 三。好，那我们来看 f 零是个啥东西呢？ 对不对？ f 零是个啥啊？ f 零把零带进去，它可以带零啊，来，零带进去，这个一加 b， 关键 f 零我也不知道，那 f 三的三都不能往里带，那我是不是想到用这些图像的性质，把这个三尽量的还原到零和一里面去？好，我们来看看 三怎么还原到零和一里面去。那 f 三三在这，那么一，这不是二，这不是三。整个图像是关于二零点中心对称的来，关于二零点中心对称。什么叫中心对称？如果取三的时候等于这个样子，那么取一是不是在这取三？如果在这取一是不是在这这中心对称的？说明 f 三和 f 一 怎么样？互为相反数， 所以 f 三它其实就等于什么呢？负的 f 一 对不对？负的 f 一 好， f 一 是什么东西可以带进去啊？等于 a 加 b 啊，那就负 a 减 b， 对 不对？负 a 减 b， 那 么 f 零减去个 f 三等于一好，它俩相减，那就是一加 b 加 a 加 b， 它等于一，那我也只能得到 a 加二， b 等于零啊， 这才一个条件啊，对不对？所以合理选择，做到这个地方的话，就就会比较，就想放弃了，那就想放弃，那 a 加二 b 等于零，我们再来看看，你既然能够把这个三给换一下，那我有没有想过这个 f 零也是一个特点呢？ 来看这个函数，一个函数关于二零点中心对称，那我知道 f 二，它一定等于零，来，这个东西能不能理解？ 这就和奇函数一样，奇函数，一个函数关于零，零点中心对称，那么肯定一定有 f 零等于零，为什么呢？如果 f 零你不等于零的话，你比如 f 零等于几等于这个值？你整个图像关于零，零点中心对称，那你这个点关于零，零点对称的点是跑底下来了，那么一个点对于两个函数值都不叫函数了，对不对？同样的一个函数关于二，零点中心对称， 如果取 r 的 时候不等于这个值，这个值关于二零点的对称，点应在正下方， 那么同样的 x 取二的时候，他有两个中轴标对应，同样不叫函数，是不是？所以一定有 f 二等于零？好， f 二等于零，图像又关于 x 等于轴对称，你看 f 二是等于零，他又关于一轴对称，对称的说明 f 零等不等于零，那个零和二是一样的呀，对不对？所以我能得到 f 零，它是等于零的。 f 零等于零，我就知道 b 等于负一， b 等于负一， a 就 等于二啊，是，这都来了啊，说 b 等于负一， a 等于二，那么这个 f x 呢？我就算出来，注意啊，是零到一上的图像，对不对？零到一上的图像 f x， 它就等于二， x 密减一，那 b 等于负二就不对了。 f x 图像关于 x 等于轴对称，这个 a 是 对的 好。 c f x 减 x， 恰有三个零点，那就是 f x 等于 x， 有 什么呀？有三个焦点。那我是不是要把 f x 图像画出来啊？这咋画呢？对不对？你看，教你们画一下，你不用推出别的形值啊，就通过这个一对称二零中心对称就够了。 二 x c b 减一向下平移一个单位经过圆点啊，取一的时候等于一对不对，零到一的图像就长这样，是吧？它就长这样，好，它右关于一轴对称，是不二在这 轴对称嘛？左右翻一下嘛，对不对？好，整个右，关于二零点中心对称。来二零点中心对称，怎么就中心对称呢？那取三的时候是不是等于负一呢？ 中心对称嘛，什么叫中心对称？这叫中心对称嘛，对不对？关于二零点中心对称，然后他又关于什么？零零点中心对称，为啥？你二零关于这个一轴对称过来的左两边是不是又对称的？这样，这样画，那么负一到零怎么画？ 哎，对吧？这样子，这不是负一到零的图像吗？ 对吧？那么你看他们整个这个相当于就是一个周期，为啥呢？你这个二又关于，哎，你这个二又关于什么？一对称的这个零零是不是也他对称中心？你看也，他对称中心，也他对称中心。你这边说翻过来怎么画？是不是成这样子了？这不是负二， 那就这样的图就一直这，那这个地方又是负三，对吧？负三，你会发现他慢慢的又画出一个周期出来了吧，所以周期是不是为四啊？负一到三，那么后面的图像紧接着又是这的，那三到四，然后呢？四呢？再到五， 对吧？然后五的，再到六，是这样子的啊。好，他说 f x 的 图像画出来，他和 x 就是 f， x 等于 x， x 是 什么？是 y 等于 x， 这个直线一个、两个、三个，那不就三个零点吗？对不对？这只有三个零点没问题啊，是吧？选 c 啊， a 也是对的。好，再来看 d 选项， f 一 f 二 f 三，一直到 f 二零二六等于零，等不等于？你看这个图里面负二零二四六这个偶数，它全是零，看见没？所以偶数全是零，那么最后就只剩什么基数 啊？就剩基数 f 一 三五七九，对吧？一三五七九，你这么看就可以，或者是你看一个周期，从一开始一二三四四个点，一个周期嘛，你看一二三四， 哎，是不是一个周期？零一二三也行吗？是吧？这不一个周期吗？对不对？那就一二三四加起来不是零吗？然后又到了五六七八，又是零，是吧？等于四加起来四个，四个加起来全是零，那么二零二六除以四于几，是不是余了二？那么最后相当于就是 f 一 加 f 二， 对吧？那 f 一 等于几？一啊？ f 二等于零，这答案最后应该等于一的啊，不是零对不对？不是零，所以 a、 c 是 对的啊， b d 不 对。 所以呢，这个题它其实考了个函数的周期和对称的这么一个东西，里面还涉及到一个分段函数，一个指数型的一个周期图像的一个画法。所以这个题啊，可能他们太行那边可能老师讲过这种东西啊，所以他才考出来，但是我们还没有讲过这个东西，这个东西最好是放到三角函数以后再讲啊，说咱们寒假第一堂课就讲这个东西啊，把它规律，咱们全部把它总结清楚。 好，这是第十题，来这个十一题哈，就比较刺激了啊，十一题它就是三角函数和什么高斯函数的一个 是吧？一个结合，你看这个高斯函数，我连续录了三份卷子，好像三份卷子里面都有这个高斯函数，对吧？所以咱们高斯函数要学会画，但这地方还不是简单的一个高斯函数，它是 g x 等于 f x， 取整 f x 就是 这么个鬼东西。 好，那不管是什么 g 函数了，直域了什么东西，你得把 g x 的 图像得大概画一下，包括这个东西只有一个实数根研究了还是它的什么焦点个数，是不是？所以把它图要画出来，那么这个图咋画呢？ 画一个函数图像，我们就说过，首先你看定义域，定义域是 r， 其次看什么？看基有型啊？同学们。看基有型，这什么函数？偶函数啊，那这玩意加了绝对值，这个是偶函数，把负 x 带进去，这也不变，这也不变，对吧？说整个都是偶函数、偶函数的话，你就只看零到正无穷的部分就行了。 看见没有说只看零到正无穷的部分，那么后面的图像都翻过来就行。好，来看看零到正无穷的图像。我是只画零到二派的图像， 它其实就等于零到二派的话，那么都是三 x， 前面就一定是三 x， 只看大于零的部分，那比如说 x 属于，那么三 x 的 绝对值我需要考什么？考察的是三 x 的 正负，那就只靠零到派就行了， 对不对？ x 属于零到派的时候，你可以选 b 虚线啊，这个都无所谓。 x 属于零到派的时候，是正的三 x， 加上三 x 就是 二倍的三 x， 那 x 属于派到二派呢， 对吧？ x 属于 pi 的 二 pi 什么情况？那不就是偶行，那不是负的吗？那负的三 x 三减三，那不就是零吗？对不对？它是零。好，你要把这个图画出来，画完之后你翻到右边去就行了。来看零到 pi 的 图像， 零到 pi 的 图像二倍的三影，本来是三影，现在是二倍的三影，就是选一，现在选二， 对不对啊？派到二派全是零啊？派到二派全是零，就是 x 轴上的这个，这个横线我画粗一点啊，就这样子。那么右左边的图像呢？偶函数嘛，那不就一样的话，那不就负派负二派， 对不对？然后呢？你看二派到四派呢，那不就零二派到三派，那不和零派零到派一样，他不又这样子的吗？ 这不是二派到三派到四派，对吧？然后这边的话，负二派到负三派， 然后负三拍到负四拍，这一条横线一定是这样子的，是吧？这左边就不用画啊，左边就不用画。好图我画出来了， 那 g x 图像咋画呢？我的乖乖，对吧？那 g x 它等于什么？ f x 的 取整，那我知道，取整的话，你 f x 如果是零点几取整就是零，一点几取整就是一，二点几取整就是二。那么这地方其实 f x 能取到的值也只有三种情况，也就是零点几的时候，是吧？一点几的时候，那不一吗？这不是二吗？ 那么这地方咱们其实可以把这个 g x 呢，把它稍微画个一出来啊，你画个一出来， 画个一出来呢，对应的这些解，你看这个多少？这个是六分之派，对不对？那这个地方是六分之五派，那这个地方呢？就加个二派嘛，加个二派是个六分之十三派，对不对？六分之十三派，那这地方就是六分之十七派 啊。六分十七派，好，等等，你看，在六分之派到六分之五派，在六分之派的左边这地方的时候， f x 是 不是肯定是一个零点几的数，是吧？零点几取整就是个零嘛。所以这地方咱们可以把 g x 图像对应的画一下来看看。那 g x 图像 它就对应的话，零到六分之派它肯定是个零，六分之派它就等于一了，对不对？取六分之派， f x 等于取整，就是一， 这个是实心点。然后呢？一到六分之派到六分之五派之间都是一点多，只有中间那个二分之派它是一个。只有取二分之派的时候，它等于二， 这是个实心点，只有这一个点是二，那么剩下的都是一点多嘛？那一点多的话，取取整都是一。所以从六分之派到六分之五派， 中间都是一，中间这个地方是空的，是吧？因为什么？因为中间这个点它挪到上面去了啊？这样子的。然后从六分之五派到六分之五派到派，从派带到二派，是吧？都是零。 这地方是派派再到二派全是零。我画出一点啊，这边也是零，对不对？然后呢？再从不该是二派到六分之十三派都是零，那到六分之十三派都是零， 然后从六分之十三派这边又是空心点，挪上来又是一个横杠杠，对不对？到多少呢？到六分之十七派， 那这地方是空心点，六分之十七派，然后中间这有一个是二分之派，二分之五派吧，对吧？对呢，是二分之五派，二分之五派是空心点，对呢？上去是个二，是不是？好？左边右边画出来，那左边跟这一模一样，翻过来就可以了啊。翻过来，那你可以大概画一下，这边的话就是这样子的。 负六分子派，对不对？然后空实心点，这边是个空心点，然后下来这个零，中间空的挪上来，这是个二 啊，最呢，这个地方是个负二分子派，然后这地方是个负六分之五派啊，我就大概画下这个样子啊。好，来看看。 g x 图像我画出来了。首先 g x 是 个奇函数，那怎么可能呢？对不对？它整个都在上头啊，所以 a 不 对。然后 g x 值域是零一二，你看是不是可以取到零，可以取到一，可以取到，其他地方都取不到，是不是说 b 是 对的？ 好？ c g x 图像，关于二分之派对称来看，二分之派在啥地方？这个地方关于它对称吗？这明显不关于这个，离这么远，这离这么近，对不对？怎么可能关于二分之派轴对称呢？所以 c 不 对，那只有选 b d 了呗， 是不是好，来看看这个 d 选项。 g x 相当于是把派除过来，就是派分之二倍的 x， 派分之二是它的斜率。派分之二在哪呀？我们看看。 就是二分之派呗，你看，就纵坐标取一的时候，这个点，这个是空心点啊，这个是二分之派，对吧？这是二分之派，这是一，那么这个点的斜率就是一除以二分之派，是不是就是派分之二？ 所以这个点的斜率正好是到圆点的斜率正好是派分之二，所以这个直线呢？他是这么一条直线，这么一条直线就不可能有焦点吗？对吧？那只有这个圆点是一个焦点，那么你看这个地方正好是空心点，说他没有焦点这样子的，所以说只有一个焦点啊，只有一个十字节，所以 d 是 对的 啊。第四个啊，不知道你们听懂没有啊？这个图的画法，所以这个连着这个第十一题和十二题，考察的都是你对这个图像的画法，特别是分段还是图像画法，对不对？就是咱们之前是不是说过咱们数学里面的三基四能，其中有个就是什么？就是画图能力，是吧？ 好，这是我们这个多选题啊，你看这些题，你说难不难？里面其实有很多题是很快就能选出来的，比如像第十题里面这个 a 选项啊，包括 b 选项，其实很容易就能选出来，是吧？那你哪怕 d 不 会做，你把 b 选了，可以的。所以这一份题呢，它难度是有区分度的啊，包括这个第九题里面有很多误错的题，比如说这个二，你没看见是不是选错了？ 是不是？那这个我们那等于一是不是挺好算的？是不是？包括地理不好算，你可以不选呀，那可能要扣分嘛，是不是啊？包括这第八题，的确是难啊，的确是难，然后第七题里面是个中等题啊，算是个中等题， 觉得难易，区分度还是可以的好。那么下面看后面的大题啊，还填空题啊？看填空题，填空题，你看他考的是不都是一些我们经常会说到的一些技巧变形的题啊？你看第十二题， 三引二法加口三倍，它等于一口，三引二法加三倍等于零，这三引二法加倍等于多少？你要出现三引二法加倍，它里面有什么？有三引二法口三倍，它口三引二法三倍，它怎么样就出现它俩的乘积呢？啊？是不是平方一下？ 是不是？这和我们之前出的一种题说三引阿尔法加三引贝塔和考三引阿尔法加考三引贝塔，对不对？等于几？那你求的是什么？是考三引阿尔法加贝塔，记不记得？因为考三引阿尔法加贝塔里面有什么？他有考三引，考三三三，是不是一样的？把它的平方，它的平方两个一加，那这不一个道理吗？ 是不是一个道理？好，那第一个平方，那就三一方加三一方加上个二倍的三一，阿尔法考三一倍，它等于一。考三一阿尔法加三一倍，它等于零，那再平放一下，就是考三一方加上一个三，一方加上一个二倍的考三一阿尔法三一倍，它等于零。 来两个一，加他一加是一，他一加是一，就是个二，加上个二倍的三一，阿尔法加倍，它是不等于一啊？移过来是负一，负二分之一是不搞定。 说这个题啊，看是填空题，第一题看我做的挺简单的，那你自己考试的时候，这种技巧的变形，自己能不能把它看出来， 是不是？所以这是十二题来看十三题。密函数啊，考了个密函数的一个知识点，密函数首先前面的系数肯定为一，所以 m 方加上个 m 减五，它等于一，那就是 m 方加 m 减六等于零，那是不是就是 m 加三啊？乘一个 m 减二等于零，那 m 是 不是等于二，或者 m 等于负三， 是不是 m 等于二和 m 等于负三？那取二和负三呢？因为它是偶函数，所以这个应该是个什么偶次幂？好，你把二带进去，肯定是奇次幂，因为这个是偶数，这个是奇数嘛，对不对？只有把负三带进去，再把 m 取负三带进去，那就是九加上一个六 加上一个三，这地方，所以 f x 它就等于 x 的 十八次方， f x 等于 x 的 十八次方，这是干嘛呢？这是对吧？那么问不等式的解集，那这是考什么？是不是考了偶函数或者是轴对称函数的它的一个函数不等式的问题啊？我们说轴对称，看什么？第一个看单调性， x 的 十八次方，零到正无穷递增，对不对？那负无穷到零自然就递减啊。 完了之后呢，是看的是 r x 减一这个横坐标和 x 加三这个横坐标，哪个离对称轴离得更远，谁就更大， 是不是看的是你对等轴的距离，对等轴是几了？偶函数是零啊，所以说二 x 减一减零的绝对值要大于 x 加三减零的绝对值， 所以一定要知道我每一步写的原因是什么，对吧？好，那么有绝对值，那我直接平方就行了。那就是二 x 减一的平方大于 x 加三的平方，那这地方不用展开啊，直接移过来就平方差，他俩相加就是一个三， x 加二乘以一个，他俩相减就是个 x 减四，他是大于零的， 所以呢，解出来就是 x 大 于四，或者是 x 小 于负的三分之二啊，就这个答案是吧，说他这个十八次方，几十方都没有关系啊，没有关系，注意看这个密函数考的挺好的吧，是不是又可以复习一下这个轴对称的一些问题啊？函数不等式的问题。 好，来看，继续十四题来。这个题是我那个讲义，我之前那个高三一轮复习的里面的一个题，他那个题是写成这样子的。那个 x 呢？他写的是四 x 密 啊，这是二 x 密，这是四 x 密，这是二 x 密。他写的这个东西啊，比这个要复杂点。形式，因为它和指数函数有关，但其实整体都一样。你把它当个整体的话，根号 x 和二 x 密有啥区别？反正都是个很大的数，对不对？都一样的。所以这个题呢？我当时看到这个题我眼睛一亮，我说，哎，这题还出到高一上面去了。我们来看这个题啊，挺难的， 挺难的。首先难的在哪？就是这个翻译，很多学生看着就跳过去了，这是什么意思？什么叫对任意的三个数字？ f x 一 加 f x 二，移过来就是很大于 f x 三嘛，对不对？ f x 一 加上个 f x 二，永远大于 f x 三，这什么意思？就 x x， 随便选三个数 啊？你随便取三个数，把两个数一加就比第三个数大啊？把两个数一加，就第三个数大，这是什么鬼？这怎么可能呢？随便取两个取三个数是吧？有两个数加起来就比第三个数大。你要这里去想问题的话，你根本就想不通的，我们还是从什么呢？从咱们前面说的什么叫同一变量同变化，不同变量两变化， 你看这左右两边变的相不相同，他就不一样，不一样是不是各自变各自的，你既然各自变各自的，你要任意的。左边的都比右边的大。什么意思？是不是就是左边的最小的那个值，你要比右边取到的最大的那个值要大呢， 是不是？好，那左边什么时候取最小呀？ x x 随便各自变，各自互不影响。你说他俩加起来什么时候最小？是不是就是 x 一 和 x 同时取到 f x 的 最小值的时候，是不也就是二倍的 f x 的 最小值呢？ 那右边什么时候最大呢？是不是就是 x 三取到这个 f x 最大值点的时候呢？对吧？所以这个题你要怎么能翻译成这一步？那这题都成功一大半了，那么下面我要干嘛呢？啊？我要求的是这个 f x 的 一个最大值和一个最小值的问题。 好一看啊，分式型函数让我求最大最小值，二次比二次的对不对？我咋了？你把根号 x 当整体，不就是二次比二次的吗？那二次比二次咱们说过，你看，这就是固定的做法了，二次比二次变成一次比二次，一次比二次变成对勾函数。 完了，后面就是你的固定的操作，看你熟不熟练了。好，下面我们来看看那 f x 等于什么？ x 这么多二次比二次，我先把分子写成分母的样子， 那你会发现这个数据还是比较简单的，因为 x 和四都是一样，那么中间就 k 倍的根号 x， 那 我还差个什么？ k 减一倍的根号 x 呗， 对吧？好，你拆开之后，前面是个一，加上一个 x， 加上个根号 x 加个四，上面是一个 k 减一倍的根号 x。 然后高三一轮复习那个题呢，他没有 k 大 于一这个条件，所以他 k 有 两个范围。那这地方告诉我， k 大 于一了，还是比较仁慈的，你看难度降低了的 k 大 于一呢？ k 减一是不是正的？ 我把根号 x 除下去，对吧？那一次比二次把一次的除下去是变成一加上个 k 减一，底下就这个根号 x 加上个根号 x 分 之四，然后呢？加个一啊， 对吧？那 k 减一还是个正的，那更就不用管它了，对吧？那么 f x 最大最小时候会不会求根号 x 这个零到正无穷都能学到？那分母最小整个是不就最大？那分母最小什么时候？这不对勾函数吗？ 是吧？所以这个题考了什么？考了分式函数的一个二次比二次的值域的化简，你会不会考了任意存在性的翻译？逻辑问题，你能不能翻译出来再考了个什么？后面关于对过函数的一个值域问题， 是吧？好，根号 x 加根号 x 分 之四加一，它有最小值，它有最小值，对应的 f x 最大值，所以 f x 最大值 这多少？那分母最小值多少呢？这不基本不等式也行，大于等于四加一不就五吗？对不对？所以最大值是一加上一个五分之 k 减一，这没问题。好，那么这地方第三个难点出现了，最小值呢？ 啊？最小值可能说最小值一嘛，为啥是一呢？他说分母是不全像正无穷的对口函数嘛。全像正无穷，分母越大整个就越小啊。你分母全像正无穷，你不管这个 k 减一取什么值，反正正无穷分之一个常数肯定是无限 b 均零的数，对不对？所以他其实有没有最小值呢？他是没有最小值的，他最小值是无限 b 均一的 啊，无限 b 均一他永远比一大，他是一点零几，对吧？一点零零零零几，那是无限 b 均一的。好，那你没有最小值，那我怎么说明这个道理呢？ 我就假设他有最小值吗？他有最小值，那就是二倍的最小值，要比最大值要大。好，最小值是无限 b 就 一的，那我把一带进去，是不就是二 大于最大值一加上个五分之 k 减一。好，下面，下面来看。这地方最关键的就是什么？能不能去等？是不是我们说了，你写任何不等要考虑去等条件，能不能去等呢？就想想看，如果他等于二行不行， 可不可以啊？可以啊，如果这个最大值等于二，你要知道这个最小值是永远比一大的数，他是无限逼近一的，所以乘二他肯定比二大，所以左边的一定是比二大的，是不是？所以这个最大值能不能选到二可以 大于等于啊，所以二是大于等于一加上的五分之 k 减一的，这是我们的 k 的 取值范围，这是我们的第三个难点。好，最后能把它解出来，就是五分之 k 减一，它是小等于一的，那就是 k 呢？就小等于六，是吧？那前面不能写 k 小 于六啊。如果应该是 k 小 于六大于一 啊，可以小点六大于一，这是十四题，来看看这个十四题好不好，是不是你们很久那没有出现过这种二次比二次的函数的值域的求法了，对不对？通过这个题再好好把它复习一下，说这全世界基本功啊，起码这个题，你说思维方式，这也想不到，这也想不到，那你能从这一步能很快的变到这一步吗？ 对不对？你访问一下自己，不要动不动难题太难了，我就不看了，那里面总有你的什么可取之处的，对不对？好，这是我们的十四题， 来，下面我们来看一下十五题啊。这个十五题就是个基础题了，但是里面也涉及到一些基础的讨论吧。十五题 全级 u 啊。 a 是 这个， b 是 这个， a 等于四，告诉我了，第一问简单， a 它就是一个 x 小 等于五，大于等于一，然后 b 呢？它就是 x， x 小 等于二，大于等于个负九吧，对不对？负九，那 a 和 b 的 并集， a 和 b 的 并集并到一块就小于等于五嘛？然后大于等于负九嘛？然后 u 在 b 在 u 中的补集， 它是什么？ x 大 于二或者是 x 小 于九，小于负九，然后再取交集， 是吧？再取交集，交集就是 x 小 于负九，没有，那就是大于二小于等于五吧。啊，这是第一问来，第二问， b 是 a 的 子集，好，又开始了那老生常谈的问题，对吧？ b 是 a 的 子集，你看 b， 它是一个含字母的，对不对？所以 b 是 a 的 子集。首先想什么？ b 等于空隙的时候，是不是第一种情况？ b 等于空集的时候什么情况？也就是一负一减二， a 它要大于 a 减二的时候，那也就是三， a 小 于一，对吧？我移到右边去了啊，移到右边三， a 小 于一没毛病。那所以 a 就 小于三分之一，成不成立啊？肯定是成立的。 那第二种情况就是 b 不 等于空集， b 不 等于空集，那么 a 是 不是大于等于三分之一的时候，是吧？你把它写出来啊。 b 不 等于空集。好，那这个时候 b 就 有范围了， a 有 范围， b 是 a 的 子集的话， a 它是一到五，你画个数轴， 那 b 呢？这个是负一减二 a 啊，这个是 a 减二，对吧？在里头，所以我要保证什么负一减二， a 要大于等于一，能懂吧？然后呢？ a 减二呢？小于等于五，因为这两都是 b 虚线吗？所以就能得到 a 小 于七？ 这下面的啊，下面是 a 小 等于七，上面的是二， a 小 等于负二， a 小 等于负二， a 小 等于负一，是吧？好，同小区小， a 小 等于负一，说 a 要小等于负一，嗯， 这什么鬼，这都无解呢，负一减二 a 嘛，负一减二， a 要比一大嘛？大于等于一嘛？ a 减二要小等于五嘛？ b 是 a 的 子极，没毛病吧？那所以 a 要小于七，下面这个是负二 a， 你 把移到右边去，是不是一个二？ a 小 等于负二嘛？二， a 小 等于负二， a 不是 小等于负一嘛？所以 a 要小于负一啊， 看见没？ a 小 于负一，所以 b 不 等空气前提条件是啥？ a 要大于等于三分之一啊，这就不行嘛， 那解出来这么个东西，所以，所以什么不成立，对吧？所以 a 五减啊， a 五减，所以这个范围只有什么？ a 小 于三分之一吧啊，所以就是 a 小 于三分之一是可以的啊，成立的 对不对啊？负一减二， a 要大于一的话，那 a 肯定是个负的，对吧？ a 肯定是个负的。好，这我们十五题啊，你看这个题我还犹豫了一下， 十六题，这个题就是比较简单了，但这个地方，你看这个正好和我们那个期末穿讲的那个第一题是不是很像，一模一样的，对吧？那这地方就告诉我们，那么对于一些十五度呀，对，一些三十三呢？十五度啊，七十五度啊，对吧？一百零五度，这些正余弦正切值稍微熟悉一下。好，那这个题呢，咱们可以用别的方法去做，十五度这个东西就算我记不住，那我怎么办呢？ 这个一，咱们可以写成什么？探解的十五度，可以写成同一个探解的四十五度出来， 对吧？我写个三减四十五度，不就一吗？他就等于什么？他减的十五度加四十五度，六十度等于根号三，你看这个方法是不是挺好的？所以这个形式熟悉了之后呢，这方法就比较多啊，你看第二个， 第二个呢，比较仁慈啊，他这个三引阿尔法，阿尔法的方法告诉你，考三引贝塔，贝塔也告诉你，那要求考三引阿尔法减贝塔，这个就是最基础的题了，是吧？这就送分题啊。考三引，咱们先把考三引阿尔法减贝塔，这个就是最基础的题啊。考三引阿尔法求出来，他等于那第二项选负的五分之三， 然后三引贝塔求出来的第三项弦属于负的十三分之十二，那所以考三引阿尔法减贝塔，他就等于考三引阿尔法，考三引贝塔加上一个三引阿尔法，三引贝塔，然后等于考三引阿尔法等于负的五分之三。 乘一个考三引贝塔，负的十三分之十二，然后前面是个正的就六十五分之四，三引贝塔，负的十三分之十二，然后前面是个正的就六十五，减去个四十八， 对吧？等于负负的六十五分之多少呢？三十三啊，那负的六十五分之三十三， 这是十六题。说十六题啊，相对比较简单，是吧？你看后面十七题，慢慢的啊就变难了，是吧？十七题，那个十八题都是些综合题了，你看十九题， 哎，十九题，你看这个东西和我们之前的那个，是吧？稳定，稳定点。这不考虑一样吗？对不对？那我们来看一下啊。好，我们下一个视频吧，现在已经录了一个小时了，我们下个视频来专门讲这三个答题。好吧，好，我们下个视频，再见。
547廖老师讲数学
54:18查看AI文稿AI文稿ok 啊，大家好啊，这是期待已久的，对吧？太行中学的期中考试试卷，来，我们现在一起来把它看一看啊，那最近还有很多家长开始催更了，对吧？ 那这地方说明什么呢？说明我这个方式方法对于很多家长来说是很认可的，说明什么还是有用的，对吧？我们到高中之后啊，不能再像初中一样说咱们只接触一些什么咱们山西省内的，对吧？一些卷子啊，咱们还要多去看看咱们湖北啊，像 那像那个江浙这边的，太太偏了，咱们主要是接触一下湖北的，对吧？然后湖南的，然后陕西的，对不对啊？像这周边的啊，一些特别优秀的一些期中考试卷子都可以拿来去做一做，去观摩一下， ok 吧。好，废话不多说，我们来看一下啊，太行中学的高一期中试卷高一期中试卷 那第一题已知， z 呢，等于二加三 a， 然后则 z 加一分之一呢？它的虚部为什么？那肯定化简一下，那 z 加一就是个三加三 a 分 之一 是吧？然后上下同乘一个三减三 a， 然后底下就是一个平方，差，就是九加九就是十八，然后最后就等于六分之一，减去个六分之一 a， 那 它的虚部就是负的六分之一， ok 吧，所以选四 d。 好，我们来看第二题啊，下列说法正确的是哪一个来？ a， 空间中啊，这是立体几何的问题啊，空间中两条直线的位置关系有三种，平行、垂直和异面，不对啊，垂直改成相交，对不对？平行相交和异面来。 b， 若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线是异面的， 是不是有可能平行啊？对不对啊？所以 a 和 b 都不对啊， a 和 b 都不对。来看 c 和两条异面直线是异面，直线都相交，比如这地方有个 ab 啊，这地方有个 a、 c、 c、 d， 对 吧？那么如果 ab 和 cd 都和异面直线相交的话，那么 ab 和 cd 可能异面。你看，如果 ab 和 cd 是 同是相交或者平行的话，那么说明这四点共面了。四点共面，那么 a、 c 和 b、 d 可能共面了，对不对？好了，是对不对的？那这地方注意啊，他的可能这种情况 对不对？画这么画这两条直线，你看，如果画开了是这的，那如果这样子呢？对吧？那这个是 bc， 总共就三个交点啊，这个是不可以的。你看 ab 和 bc 这玩意是可以什么？它俩是可以相交的，对吧？所以 c 也不对啊， c 也不对，那只有选四 d 了，对吧？那么若两直线的分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线 在相邻两个面，有可能是这种情况和这种情况，它俩是不是相交的，对吧？还有可能是这个情况，这种情况，这个异面嘛，所以可能是相交或者是异面啊，所以这个 d 好。 第三题， abc 均为单位向量，则 a 与 b 的 夹角了，余弦值要算夹角，怎么算夹角，对吧？夹角，那不就是数量级吗？ 二、 a 向量是等于三 b 向量加四 c 向量的，所以 a 向量可以用 b 向量和 c 向量表示出来，这 a 向量与 b 向量夹角的余弦值，那就等于 a 和 b 的 一个数量级， 对吧？除一个 a 的 膜，然后除一个 b 的 膜， a 的 膜， b 的 膜，它都是什么？都是一嘛，对不对？就是 a 和 b 的 数量级，所以下面你要求是 a 和 b 的 数量级， 对不对？那 a 和 b 的 数量级怎么求呢？什么地方会出现 a 和 b 的 数量级呢？那么 a 和 b 的 数量级是把它二 a 减去个三 b 啊，这地方有点技巧，等于四 c 向量对不对？把它写出来，怎么样出现数量级了？就跟 a 乘 b 一 样，怎么就出现 a 乘 b 了？是不是两边同时平方一下就可以，所以它俩的模肯定相等 对不对？那两边同时平方，那左边就是四倍的 a 的 模的平方加上一个九倍的 b 的 平方，减去一个十二倍的 a 和 b 的 数量级，那是不等于十六， 对吧？所以十二倍的 a 和 b 的 一个数量级呢？就等于十三减十六嘛，就是负三嘛。所以 a 和 b 的 数量级呢，它等于负的四分之一，那么余选择是不是就是负的四分之一？那除以两个一嘛，对吧？除以 a 的 魔，除以 b 的 魔啊，就除以一， 所以选 a 就 可以了啊。所以这是第三题，所以想想看我到底要求什么？是不是你把你要求的东西写出来，然后再来观察这个式子啊？好，第四题呢？这个斜二侧画法，斜二侧画法里面 o、 a、 b 圆面积，这是斜二测画法的直观图嘛。那直观图和原图之间的面积比应该是四分之根号二，对吧？四分之根号二，只要学会就算这个，但是你这个如果不知道的话，你可以把它还原来还原。怎么还原的 来告诉你们。画一下。斜二测就四十五度吗？现在还原成九十度的 x y。 好， 原来 o 撇 b 撇等于六，那么 o b 不 变对不对？还是六，然后 高度呢？原来是从中间这个地方，是吧？这个，这高度是几？是八？你看这高度是八，所以摆正了之后乘了多少呢？乘了十六啊，乘了十六， 所以这个地方坐标是十六，对吧？这个 a， 所以 它原来是这个样子的情况，所以 oab 的 面积就好算了啊，就是二分之一倍的底，乘一个高啊，就等于四十八，对吧？选 a 啊，选 a 可以把还原了看啊，但你直接看这个，看这个，直观图完了，和原图的比例是一个根号二比四啊，也可以，对吧？啊，这是个小结论。好，这是第四题来看第五题，若高为一的正三楞柱的顶点呢？都在半径为一的球面上，哎，这地方给你们正一下吧。第四题，你看看那原来的面积 对不对？我以正方正方形为例，然后你最后变成什么？变成一个斜二侧了之后它的高，比如说原来是个 a， 那 现在高应该变成什么？二分之 a， 对 不对？ 然后是这样子的底不变还是 a， 但是现在这个是平行四边形，这个平行四边形的面积相当于是把这个二分之 a 呢？我做个高，这才叫真正的高嘛，直观图的高嘛，对不对？这地方是不是再除以根号二，就是四分之根号二倍的 a， 所以原来的高是 a， 现在变成了什么？四分之根号二倍的 a 底没有变，所以这个面积和这个正方形的面积比就是四分之根号二，懂了吧？这个啊，弄清楚这个啊， 好，我们看第五题，若高为一的正三楞柱的顶点都在半径为一的球面上，该正方正三楞柱的体积，半径为一的球面上，它告诉外界球的半径了吧， 对不对？来一个柱体高为一，然后底面，底面边长，我不知道，对吧？底面边长来，我做个高，是不是球心嘛？外界球心在正中心嘛。然后呢，这个地方 这个是一看见没，那么这个高呢？这是二分之一，所以底下这个就多少呢？他就是二分之根号三啊，这个是二分之根号三， 对吧？二分之根号三。假如边长是 a 的 话，那么它外接球半径，外接圆半径是三分之根号三 a， 正方正三角形的，正三角形的外接圆半径啊，它是三分之根号三 a， 然后它是等于 二分之根号三的，对不对？所以 a 算出来是等于二分之三的，看看啊， a 算出来是等于二分之三的， 没毛病吧啊， a 是 等于二分之根号三好， a 等于二分之根号三，那么该三楞柱的体积就等于没有三分之一啊，底面积乘以高，底面积四分之根号三倍的 a 方四分之九乘个高就等于十六分之九倍根号三，是吧？选二 b， 所以 这些啊，你得算的快，就对那些各种一些细节，比如正三角形的外径，圆半径啊，正三角形的面积啊，是吧？如果都能记得很清楚，这种题是做的很快的啊。好了，看第六题，这个题， 正国视称为西塔，然后一座什么七层楼的样子，对吧？然后他在小胡同学想知道他的高度，这是个 m n 的 高度，他在塔的正北方向找这个建筑物 ab， 然后高为七点五米，在地面上有个 c 处， 测得到 a 点，测得建筑物 a 点，这个是十五度， m 点的阳角分别是十五度和这个六十度，对吧？然后在 a 点处测得正角式的 m 阳角是个三十度，那么则高度约为多少？这不解三角形的题吗？对不对？解三角形呢？这个是七点五， 是吧？那我要算这个 m n 的 长，怎么算？你要算 m n 的 长，其实我只要知道这个边长或者是 m c 是 不是都可以，那知道 m c， m c 怎么算呢？那这个阳角有个三十度， 那我只要知道个 m n 的 长或者 m a 的 长也行，那么知道这个边长就可以，对吧？那么这不三十度嘛，那我看这个怎么算一下？这个是十五度，这个六十度，六十度，然后这个是， 那我知道这个角度嘛，那这个角度是一百零五度嘛，对不对？一百零五度。好，一百零五度，我要知道 m a 就 好了，知道 m a， m a 的 话，对边对角，那我这边有个边 a c， 我 肯定是能算出来的，对不对？ a c 是 能算出来的， 那这个角度呢？那也可以啊，你看这个是三十五度，这是十五度，这个是不是十五度？总共是四十五度，对吧？所以这个角是个四十五度，那这个是不是就三十度？所以 cma 这个角就是三十度，是吧？找对面对角嘛，那就够了吧， ok 吧。所以 ac 啊，先看 ac， ac 等于什么？ a c， 它是等于 a c 乘以一个这个七点五除以 a c 是 个三十五度嘛，对不对？所以 a c， 它等于七点五除以个三十五度 啊？除以个三十五，这是 a c。 好， a c 算出来之后， a c 比上一个三一三十度就是比二分之一，对吧？啊？对边比对角嘛，等于这个 m a， m a 比上一个三一百零五度， 是吧？所以 m a 这个二分之一除了就是二倍的 ac 嘛，所以 m a 呢，算出来它就等于二倍的 ac， 就是 十五除以一个三一十五度，然后乘以个三一百零五度啊？三一百零五度，对不对？这是 m a。 好， m a 算出来之后，你看这不三十度吗？这一半吗？对不对？它的一半就行了。所以 m n 呢，就等于它的一半，它的一半就还是七点五 啊，七点五，然后这个三亿一百零五度，其实就是考三亿十五度嘛，是不是考三亿十五度除以三亿十五度，就是七点五除一个贪镜的十五度 啊？它减的十五度，然后呢？再加上一个七点五就可以了啊，这是 m n 的 长，是吧？然后最后再算它减的十五度啊，不要开始把这玩意带进去了，算的太复杂了，对吧？然后七点五除它减的十五，它减的十五，你们算一下，二减杠三，对不对？就等于七点五除以一个二减杠三，二减杠三，就是个零 点二七，然后加上一个七点五。七点五啊，它的数据好接近啊，还得算一下， 七百五除以个二十七，是吧？然后算三都不行啊，算二就是五十四，然后这就是二十一，二百一，然后呢？呃，算几？七八？五十六 八，差不多啊，二十七算七，对吧？七七四十九，二七一十四，二七一十四，一十八，然后后面是一个二十一，又是二十一，就是二十七点二七呗， 二十一那点，这不又是二十七点七， 对吧？二十七点七七七啊，差不多，然后再加上个七七点五，就差不多，约等于二十七点七，加上个七点五，对吧？ 就是三十四，三十五点二，没这个没这个答案了，三十五点四八，我也没算错吧？这个我咋感觉我算的有点毛病呢？ 我看这一，然后就零嘛，零的话就二十一嘛，这不就一直二十一，二十一， 七七七，四十九，二七十四，一十八，然后二十一，二十一，又是七，就二十七点七八，对吧？二十七点七八，约等于二十七点七八，然后加上一个七点五， 就是三十三十四点二八吗？哦，三十五点二八吗？三十四，三十五点二八或者三十五点四八呢？ 那是选 b 吧，对吧？那是选 b 啊，无所谓啊，这个方法会了就行了，就这吧，那个数据那有点不太对啊。 好，我们看第七题啊，如图几何体呢？是圆锥的一部分，对吧？其中角 a o b， 它等于一百二十度来， a o b 啊，这个学生好像问过我这个 a o b， 它等于一百二十度，那么 o a 和 o b 等于二，然后 p o 呢？等于二倍根号三， o a o b 等于二，那么这个母线段是不能算出来，对不对？那母线段 p a， 这是二倍根号三，这个是二，那么就是一个十六，就是四，是吧？ p a 等于四， 然后从 a 点出发，沿曲面运动到 b 点最短路径，不就展开图吗？只不过它这个展开图缺了一部分，那不管缺不缺，你展开之后不也是个扇形吗？对不对？说展开之后也是个扇形， 那展开之后，那我从 a 点开始展开，展开到 b 点，对吧？那么只不过这个 ab 弧长不再是圆的，整个周长了，它圆的什么？这不有一百二十度，相当于是三分之二个圆，对不对？ 那么这个弧长是多少？半径为二，周长就是一个二派， r 就是 四派，对不对？周长是个四派，然后乘一个三分之二，所以就是三分之八派 啊。三分之八派那边长是个四，那半径是四。三分之八派的时候，这个地方就是三分之二派。因为 c 塔 r 等于 l 嘛，对不对？ l 等于 c 塔 r， 所以 我知道 c 塔是等于三分之二一百二十度。一百二十度呢？从 a 到 b 直接直线连起来一百二四四，是不是四倍刚好三？所以 ab 他 最短距离就是四倍刚好三，是吧？选 c 看看这种算法啊，自己会不会是吧？它这个相当于是之前是四分之三个圆周啊，不是三分之二个圆周。 好，第八题，三角形 abc 当中啊， o 是 外心，你看，考了三角形的外心了，这不知道对边对角问题吗？这不 c， 这不角 c 吗？这不 c 边吗？对不对？对边对角问题。然后 o 是 它的外心，那就求 c a 和 c、 b 的 数量级的最大值和 o、 c 和 ab 的 一个数量级加起来最大值。来看看一个三角形 abc 的 外接圆心， abc 的 外接圆圆心， oc 和 ab 的 数量级， 对吧？ o、 c 和 ab 的 数量级。那 o、 c 看得到这个半径了，我们就知道，我们知道规律就是外径圆圆心。这个 c o 啊，它和这个 c a 的 数量级是不是等于二分之一倍的 c a 模的平方和 g b 的？ 然后 c、 o 和 c b 的 数量级是不是也等于二分之一倍的 c b 模的平方？这咱们讲那个外心的时候一个特点是吧？因为 c o 到 c b 的 投影就是一半嘛，对不对？ 说 o、 c 和 a b 的 数量级能算的，然后 c a 和 c b 的 数量级也能算，对吧？这个是 a 边，这个 b 边我直接表示出来，哎。最后它等于什么？ c a 和 c b 的 数量级就是 a 乘 b 乘一个口才六十度二分之一， 然后再加上一个，我就写的 c o 就 减去一个 c o 和 ab 的 数量级。 ab 的 数量级不好算， ab 又可以选择什么呢？ c b 减 ca 是 吧？因为外界半径和另和它相邻两边的数量级是可以算出来的。好。最后等于二分之一倍的 ab 减去一个 c o 和 c b 的 数量级，它是二分之一倍的 c b 模的平方就是 a 方，加上一个 c o 和 c a 的 数量级就是二分之一倍的 c， a 模的平方就是 b 方 啊，他是这么个东西来，如果不知道这个结论的，赶紧翻翻前面的笔记啊，看看前面的笔记。二分之一 ab 减去二分之一 a 方加二分之一 b 方，也就说你后面要求的最大值就求他的最大值里面有几个变量，你看看两个变量又有 a 又有 b， 对 不对？能不能做？不能做？不能做怎么办呢？是不是？所以不能做怎么办？ 他要找 a 和 b 的 关系啊，消圆呀，你变得太多了呀。 a 和 b 什么关系？你看对边这个二两个边的关系有个夹角，是不是匀速定律，所以考差六十度 等于二分之一，它是等于 a 方加 b 方减四除一个二 a b 是 吧？所以我知道 a 方加 b 方，然后呢？减个四，它是等于 a b 的 a 方加 b 方减四，等于 a b。 那 你求这个啊，求这个的一个最大值。那刚刚说了，这有两个变量对不对？那我现在知道 a 和 b 的 关系了，但 a 和 b 好 像消不掉呀，是不是消不掉咱们可以干嘛？可以凑其次嘛？ 看见没有，他可以凑其次，所以你可以凑其次来做啊。但是也可以怎么做呢？我这可以削圆也能做啊，你看最后这个地方，嗯， ab 对 吧？那原来这个狮子它是不是等于二分之一倍的？相当于是 b 方加 ab 减 a 方， 是不是？那把 ab 呢？等于 a 方加 b 方减四带进去是不是等于二分之一倍的 b 方加 a 方减 a 方没了就是二， b 方减四呢？是不是等于 b 方减二？所以你要求他的最大值，就求 b 的 最大值就行了。那 b 的 最大值怎么求呢？知道对边对角怎么求 b 的 最大值？ 你单独的看这个 b b 边什么时候最大，是吧？他也没说什么锐角的啥的，怎么看？所以这地方你画个图啊，很明显，对不对？画个图很明显 这 ab 等于二嘛？ c 在 这洞对不对？那个 b 边，那 b 边 c 在 哪的时候， b 边最长，是不是直径的时候，对吧？就直径最长嘛，所以 b 最大就是直径的时候，那直径怎么算呢？那不是 c 比上一 c 嘛，对吧？就是二比上一个三六十度就是二分之 根号三嘛，是吧？就等于三分之四倍根号三，对不对？这就是 b， 它最大值就是三分之四倍根号三，然后带进去就小，等于什么？就是三分之十六减个二就等于三分之十，是吧？选 b， 那 这方要写怎么写呢？那个 b 最大值等于多少？你可以什么凑个其次也能做啊，就各种各样的方式也能做，包括这地方我可以直接用它除以，什么 a 方加 b 方减 a， b 要除以一个四，再乘个四， 是变成这个全是二次比二次的形式了，二次比二次的形式又能去算最值了，对不对？各种方式很多啊，这就是我们说的数学，学的是什么？学的是他本身的一个处理逻辑 啊，和他本身的知识点其实关系不大。那这个题考的就是那个 c o 和这个 c b 和 c 的 数量级，这种会不会转换，然后这个会转换了，后面最值。问题啊，他就好做了啊，这是第八题。可以啊，这个第八题出的特别好的啊，可以整到笔记本上。好了，看第九题。 立体几何里面关于共面问题，看看这个 c e m o， c e m o， 这不共线吗？对不对？正方体啊，正方体 a， e c 这么做，垂线下来，这个点是啥？它正中心那个点啊？正中心那个点，所以 m 点肯定是对称的，肯定和 m 点在这条线上，对不对？好？ c、 e、 m、 o 三点共线没问题，他一旦三点共线之后，那么这三点共线之后，那么这三点共线之后，那么这三点共线之后，那么一条直线和外一点肯定共面啊，所以 abc 马上就选出来了，你看 那 c， e， m、 o 吗？和 a 吗？图也不用看，肯定是共面的呀，对吧？一条直线和直线外一点肯定共面，然后 d， d， e 这条直线和这 o m， 那 肯定不共线吗？那肯定不共面，对吧？异面直线啊，这是第九题。 好，那第十题解三角形里面的结论问题来，三角形当中，如果三 a 大 于三 a， b 是 不是有 a 大 于 b 是 吧？两边同时乘以 r 就 可以了啊？两边同乘 r， 所以 a 是 对的。 b 三以二 a 等于三以二 b 的 三角形 a、 b、 c 有 等腰三角形，那二 a 等于二 b 不 一定嘛，是不是还有可能二 a 加二 b 等于等于什么？一百八十度对不对？说等腰或直角啊？等腰或直角 好 c， 这是什么三角形？多角问题来，画图，角 b， 先把角 b 画出来三十度， 然后 c 边等于二，就是 ab 等于二，是吧？好， b 边等于根号。二来，如果这个边长，这个这个短，垂直距离对不对？垂直距离是一吧，它只要比一大，是不是就有两个解？那么这边根号二在二二和一之间，对吧？二根号正好二和一之间，是不能这边画一个，这么画一个是不是两个解？所以符合符合条件啊？选 c， 所以符合条件的三角形呢？有两个来 d。 三角形的面积面积 b 方加 c 方减 a 方。看见它想到什么呢？是不是余弦内力还差个什么？还差个二 b、 c， 对 吧？所以左边面积呢？咱们可以用二分之一倍的 b c 三以 a 来表示，它等于四分之根号三倍的 b 方加 c 方减 a 方。 好，我把这个四把它乘过来，是不是乘到二了？那二 b、 c 除下去，所以三分之根号三倍的三 a， 它就等于二 b、 c 是 不是扣三 a 啊？二 b、 c 除过来就是扣三 a 对 不对？那么它进的 a 等于多少呢？就等于根号三，所以 a 等于多少度？六十度啊？ a、 c、 d 这些题啊，都是咱们解三角形里面特别重要的一些转换方式，发现没有？这种题做过好多遍了，我感觉好了，看这个十一题啊，这个十一题 我看看。能长为一的正方体中点动点 p 呢？在其表面上运动， p a 等于 x， 这把轨迹长度称之为喇叭花函数，那么下面正确的是哪个？ p a 等于 x， p a 等于 x， 那 你看，如果这张图上这么画的话，那么这个 p a 它肯定是比一小的，对吧？ 那这个时候他说三段这段四分之一圆，四分之一圆，四分之一圆就是四分之三个圆，对吧？四分之三个圆，四分之三个圆，那圆的半径是 x， 圆的半径是 x， 那 周长呢？就是二派 x 吗？是不是？所以整个弧长 f x 就 应该是等于这个东西，那 f x 它应该等于二分之三派 x， 你 把 x 取二分之一带进去，这不对啊， 是吧？说 a 不 对啊， a 不 对，那取一一话可以吧？把一带进去，说二分之三派 b 是 对的，对吧？这没问题。然后超过一就不一定了啊，超过一 来看根号二，我们来看一下根号二，说明以 a 为圆心的，对吧？以 a 为球心的嘛，那 pa 嘛？ pa 等于 x 嘛？ pa 等于根号二，来， pa 等于根号二， p 在 哪？ 这个是 a， p a 等于根号二。我们一个面一个面的找前面这个面是不可能，这个面只有 d 一， 这个可能是吧？来，那如果在这个面上行不行？在这个面上你要想等于根号二的话，就是 p a 等于根号二，说明 p， 我 把 p d 连起来，是不是勾股定你一一根号二， 对不对？所以我知道，如果在这个面的话，那么这个 p 点应该到 d 点的距离等于一，他到 d 点的距离等于一，那么是不是就是这道弧， 对不对？你看这段弧上的点 p， 它到 d 点的距离是一，和 a d 连起来是不勾股定律，所以 a p 它一定等于根号二，看见没？ a p 等于根号二，所以这个时候 p 点的弧是这道弧好，如果是上顶面呢？同样的，这不是一，一，是不是？所以应该是这么一段弧呢？ 从 d 一 出发的，在上顶面的一段弧，这样子的，所以这一段弧呢？它到 a 一 的距离都是一，到 a a 一 的距离也是一，一一根号二，所以这不也是根号二吗？对吧？所以还有哪段？哎？这个是一，还有这个是一，可不可以来这个是一呢？这样子的。 就在这右侧面的一段弧，那这段弧半径是一，那么它到这个 b 点的距离就是一，那么到 a 点的距离就是根号二，对吧？所以总共三段弧啊，总共三段弧 啊，这一段弧它总共是这么三道弧。好，那么这三道弧的长度同样的也是，这也是四分之一圆嘛，四分之一圆，四分之一圆，四分之三个圆嘛，对不对？所以四分之三个圆，圆的周长是二派 r， r 是 一个一嘛，对吧？ r 是 个一嘛？ 啊？半径是个一，所以这个地方它等于二分之三派，没问题吧？所以 c 是 对的啊， c 是 对的。好，我们看 d d 的 话，他这个三分之根号二十一，我们看看，是比根号大，比根号小呀，你平放一下，这个是二，这个是个九分之二十一，就是一个三分之七，三分之七比二大，看见没？他比二大， 这三分之根号二十一，同样的，我们看看。嗯，现在后面这个面上看，对吧？来过来看右边这个面吧，这个是一吧， 对不对？我需要看他到 b 的 距离是多少？勾股定，你正好算出来。这个是长度是三分之根号二十一吗？这个是一，那九分之二十一减个一就是九分之十二，那就三分之四，那就是三分之二倍根号三，所以这个半径应该是三分之二倍根号三，对吧？他是三分之二倍根号三，肯定比一大，所以这种情况这 有这么一段弧，对不对？三分之二倍根号三，说这个半径是三分之二倍根号三的一段弧。好，然后在上底面这有个一，对不对？这有一个三分之二倍根号三 啊？这样子一段弧，是吧？还有后面那个面 d， c， c， e， d， e， 这个是一，你看，所以这个段也有一段弧， 对吧？那么他到这个 d 这个距离不是三分之二倍根号三吗？对吧？好，这个是三分之二倍根号三，我们要主要算这个角度，你看三段弧，这三段弧的半径都是三分之二倍根号三，那么这三个角度可能是一样的，算一个角度就行了，那么算一个这个角度，这个角度点多少？这个是三分之二倍根号三， 这个是一，是吧？那不正好是个三十度吗？你看对不对？那这是不就是三分之四减个一不就是三分之一吗？这个是不是三分之刚好三，这个是三分之二倍刚好三，这不一吗？是不是三十度？ 这个是三十度，下面这个也是三十度，那中间夹的这个也是三十度，对不对？所以这三个三十度加起来就是九十度吗？九十度是不是四分之一个圆圆的周长是二 pi r， r 是 个三分之二倍根号三是吧？所以它最后是等于三分之根号三 pi 的 啊。所以 b、 c、 d 就这个题的话，他就不是特别好想，对不对？那算这个面上的点到那个 a 点的距离啊？算 a 点的距离，看哪几个面是可以的？ 好，这是十一题。然后这个十二题是咱们那个假一上的圆体，是不是？你看这个一个值三能住 a、 a 一 的长是个十六， 然后侧面面积 a、 b 是 水平，放置的时候，页面恰好经过终点，对吧？那么这个终点它这个体积是总体积的多少？看看那么剩下的体积，我们看这个体积， 对吧？上面是一个三等柱吧，那么这个三等柱和大三等柱来比的话，高是一样的。底面积一个是这个三角形，一个是这个大三角形，这个三角形面积是大三角形面积的四分之一嘛， 对不对？是不是它的四分之一，所以这个体积呢？就是它的四分之一。因为底面积乘以高吗？底面积是四分之一，高是一样的，所以总体占了四分之一，它总体占了四分之一，那么底下这个液体呢？总体是不是占的就是四分之三， 是吧？总体就占了四分之三，那你把它水平 a、 b、 c 水平放置的时候，高不就在四分之三的地方吗？高在四分之三的地方，页面不就是一个八，四分之三就是十二吗？ 来，好不好想是吧？咱们直接看这个比例就可以啊，直接看比例就可以。好，这是十二题来看十三题，十三题，这就是我们专门去强调去训练的题，你看，这就咱们说的是吧？讲页上的题都特别经典的啊，看看这个题，又考了这个了，咱们前面讲了个五中的那个月考卷子，是不是也考了这个解密图啊？只要是中等题考，肯定考这种东西 好。他说 p 点呢，是在侧面 b c c e b 上，右侧面上，然后 a e p 呢，和这平面 a e、 f 平行， 那就是 p 的 在动的过程当中，对吧？在动的过程当中，然后不管怎么动， a e p 呢，都和这个平面平行，说明我要过 a e 做个平面，这个平面和平面平行，那么平面的一条线肯定和平面是平行的，是不是啊？那我就做一下，怎么做呢？ 过 a e 做平面的平行平面的话，那我就挨个做线吗？你看这个 a e 过 a e 点做 a e 的 平行也是比较好做的，取个终点 g 点，对不对？然后过 g 点做 e f 的 平行线，简单取 b b e 的 中点 h 点，把 g h 连起来，那么这个 a h 连起来，对不对？那么你看这个平面，它一定是和什么？和这个 a e、 f 平行的，因为 a e g 和 a e 平行， g h 和 f e 平行，对吧？所以这两个平面是平行的， 两个平面平行，那 p 点肯定就在 g h 上动嘛？因为 p 点它本身要在这个侧面上，所以肯定在 g h 这条线上， 对吧？然后这个时候 a e p 的 长度的曲值范围，那最小可能就做高的时候嘛，最大就是 a e g 能长为二二一，根号五，最大就是根号五，所以它曲值范围应该是最大是根号五，那最小就是高一。一根号二。哇，来一个等腰三角形， 这是根号五，这个是根号五，这个是根号二，然后这个是 a e， 然后这个是 g， 然后这是 h， 对 不对？ 然后做个高。根号二的一半是多少？是不是二分之根号二？来根号五的平方就是五，减二分之一就是二分之九，开根号就是二分之三倍根号二啊，这个高就是二分之三倍根号二 啊，就这个方位，所以它这个 a、 e、 p 最短就是二分之三倍根号二，是吧？最长就是根号五啊，这是十三题，看看这个有没有问题， ok 吧，好，我们继续来看啊。十四题，来德国机械家啊，这个我当时算了一下啊，我当时算了一下，然后这是来洛三角形嘛，对不对？然后呢，它要求这个 p 点是在这个弧 a b 上， 这和 w 来的四面体差不多啊，就它这个结面，对不对？然后 p 是 弧 a b 上那个动点，则 p a 和 p b 加 pc 的 最小值，你看这一看就是数量级嘛，数量级你要算这个最小值怎么算？其实这个题相对于我感觉比咱们之前做的题还简单一些， p b 加 pc， 这可以合并的，对吧？ pc 取个中点，对吧？取个 d 点，所以 p b 加 pc 是 等于二倍的 pd 的， 那相当于是 p a 和二倍的 pd 的 一个数量级。 好， pa 和 pd 的 数量级，你看 pa 和 pd， ad 是 个固定的线啊，说明 ad 是 一个什么固定的，这叫什么？剪刀？剪刀手模型。然后你这个指尖之间的距离是相等的时候，用什么叫极化恒等式对不对？极化恒等式就取 ad 的 中点 o 点 二倍的 pa 和 pd 的 向量积，它就等于 po 方减去了四分之一倍的 a 地方。那还记不记得这个极化函数啊？ po 方减四分之一倍的 a 地方是不是好？它等于什么？等于二倍的 po 方 相对于二倍的 p o 方减去个二分之一倍的 a d 方， a d 是 个几呢？边长是一个一，那 a d 就是 二分之三嘛，就是四分之三嘛？啊，二分之刚好三平方就四分之三，所以二倍的 p o 方减去个八分之三， 好，那么也就是说你后面要算的这个最小值，就算 p o 最小值，对不对？那 p 在 哪动呢？你看看 o 是 这个圆内的一个点，先看 p， p 是 不是个大圆的一个， 说这段弧上动对不对？ p 在 这段弧上动来， o 在 这，那你 p o 什么最小？你看圆上的，你圆上的一个弧，它到 o 点的距离最小值是不是就是连圆心， 是吧？连圆心加半径，这个地方是最远的，连圆心怎么往上面移？这个地方是 p 点，就是 p c 减去一个 o， c 是 不是就是最大的啊？这是最小的嘛，对不对？所以 o 点到 p 点的距离什么最小嘛？是吧？所以 o 点到圆内的圆上的距离，这个是最大的时候嘛？这个就最小的时候嘛。所以相当于是把 o c 连起来 延长相交，这个地方 p 点就是我要找的 p o 的 最小值，是吧？啊？这个地方你看到弧可能不好看，你看整个圆的时候就好看了。这圆 圆内有个点 o， 这个是 c， 你 圆上再动了个点 p， 那 o p 什么时候最短？是不是连接圆心延长？这个地方是最大的，这个地方就是最短的， 对吧？所以就这么算的啊。那么 o c 我 算出来就行了。那 o c 等于多少？因为 c p 是 等于一的嘛，是吧？ c p 是 等于是半径嘛，所以 o c 算出来一减就是 o p 的 最小值。好， o c 的 话勾股定底嘛，这个是四分之根号三， 这个是二分之一，勾股定力就等于十六分之三，加上一个四分之一开根号，那就等于十六分之七，四分之根号期，所以 oc 呢，就等于四分之根号期。那么 op 呢？最小值它就等于一减去了四分之根号期啊， ok 吧。所以拿平方，所以整个就大于等于二倍的 o p 方， o p 方就是一个一加十六分之七，减去个二分之根号七，对吧？然后再减个八分之三，然后最后就是一个， 这是一个二，加上一个八分之七，减个八分之三，就是八分之四，八分之二分之一，然后再减个根号七，那不就等于二分之五减根号七吗？对吧？二分之五减根号七啊，看这个是不是这个答案啊。这是咱们这个十四题 就考虑数量级的一些转换，是吧？数量级咱们之前说过，数量级转换方式有几种啊？要用什么啊？奇数和等式对不对？如果知道其中魔长的话，咱们可以除以魔长用什么？用投影，或者咱们可以间隙，或者咱们可以用向量转换，对不对啊？基本基本上四种处理方式。 好，我们看看解答题，解答题十五题的话，这个应该是基础吧。来，第一题， z 一 z 二，那 z 一 等于一加二 a z 二八，看清楚啊？等于二减三 a， 所以 z 一 乘一个 z 二八，它就等于二 减六， a 方就加六，对吧？四 a 减三， a 就是 加 a， 就 等于八加 a 来看，第二个直角平面， a 向量 b 向量，两个向量的夹角为钝角。什么意思？来这地方又开始了？向量的夹角为钝角，是不是就是数量级小零？那数量级小零是不是夹角为钝角呢？是，不要考虑它的什么 贡献情况对不对？有可能反向的反向夹角一百八十度啊，这咱们专门说的易错点。所以咱们用数量极限算一下，就 t 倍的 a 向量减去个 b 向量和 a 向量加上一个二 b 向量，它的数量级应该是小零的。 好，把它展开。就 t 倍的 a 的 模的平方五，对吧？这 a 的 模吗？不就等于根号五吗？ b 的 模它也是一个根号五吗？对吧？ t 倍的 a 的 模的平方，然后呢？减去个二倍的 b 的 模的平方，然后减，加上个二， t 减一二 t 减一倍的 a 和 b 的 数量级， a 和 b 的 数量级就一减四，就是负三，对吧？它叫小零 好，那就是个负五， t 减十减六， t 加三小零，那就是一个 t 大 于负七，你看 是吧？ t 要大于负七，这是不是 t 大 于负七都行呢？所以只要保证他们什么不贡献就行。那这两个向量怎么就不贡献呢？ 啊？咋就不贡献了，对不对？它贡献是啥情况？系数乘比例嘛？系数乘比例来看，这个是二一比二，对不对？这个只要是一比二就是贡献的嘛。一比二就提取多少，提取负的二分之一的时候对不对？所以当 t 等于负二分之一的时候，那么 t 倍的 a 向量减去个 b 向量正好与什么 a 向量加上个二， b 向量是反向共线，那一个负的一个正的嘛，对不对？反向共线，所以可能夹角一百八十度不成立， 所以这个 t 的 范围就是大于负七，并且呢， t 不 等于负二分之一啊，这是十五题，所以易错点也考出来了，看见没？所以这个卷子含金量挺高的啊，关键这个的确太好。卷子每年啊，出的的确挺好的，他只用心在出，看见没？他经常把一些特别重要的地方全考出来了。 好，我们看一下十六题啊，十六题，如图是一个奖杯的三四图，对吧？然后是根据奖杯的三四图计算下列四轮台的侧面积，这个我没算哈，我们来看一下，这个算一下十二和二十四， 它就下底面四轮台，四轮台在这个地方呢，高度是一个三厘米，四轮台咱们就画一下，我们大概就教你们算一下，行了， 对吧？那四轮台的话，咱们在上面截一个面， 是不是四棱台啊？这幅画比较方便好看一些。然后上面是个十二， 这个是二十四，这个轮胎的高是个三，你看轮胎的高是个三，这个高的话，可能在这个侧面上，对不对啊？这个是中心连起来，是不是勾股定律？这个是个三，然后十二的正方形，那么这个对角线就十二倍根号的六倍根号二，对吧？这个是六倍根号二， 那六倍根号二，那底下这个也是六倍根号二，总共是个十二倍根号二，那么这个也是六倍根号二，是不是可以把这个测能算出来？测能勾股定律。六倍根号二和三 标个字母嘛，就是 ab 来 ab， 它等于多少？就等于七十二加九开根号正好等于九八十一嘛，正好是九，所以 ab 等于九。那侧面积，那就侧面积不是四个梯形嘛？那四个梯形来看看，上底下底都知道。 十二二十四测能啊，幺是九，这不做高，做高十二六六，这不能把高算出来，那么这个高的话， 这个 h 就 等于多少呢？就等于九九八十一，减去个三十六开根号，对吧？这个四十五吧，四十五就是个三倍根号五嘛。所以这个面积测面积它就等于二分之一倍的 测面积啊，面积是等于二分之一倍的，上底加下底乘以高除以二，对吧？就是十二加上个二十四乘一个高，上面根号五 就等于十啊，三十六除个二是十，八十八乘个三就是五十四倍根号五啊，然后再乘个四就行了，对吧？乘个四，所以测面积 他得二百一十六倍的根号五，好，就奖杯的体积，体积的话，球的体积好算，对吧？然后这个柱体，这个长方体的也好算，主要是就这个四棱台嘛，这四棱台用那个四棱锥剪一下，是不是很简单？你看底这个三，那么这个是不是六，对不对？这不十二比二十四吗？对吧？一比二，所以这个六高是个六， 那么整个这个体积是不是占了整个大体级的八分之一啊？是吧？因为高边长都是二分之一嘛，对不对？所以底下占了八分之七，所以把整个高的体积算出来，对吧？然后乘个八分之七就行了。所以这四人台 它的体积就等于三分之一倍的底面积，底面积是二十四乘二十四，对吧？然后乘高，高是个六，对不对？高是个六，然后再乘个八分之七啊？就这个台体的体积，是吧？ 然后他是等于那三八二十四，能约个二十四去吗？对不对？就二十四乘个六乘个七啊？二十四乘个六乘个七，我不带算了啊，后面算的没意思。然后这个台体包括这个长长方体也好算，对吧？这个球体也好算啊，挨个把它加起来就行了。所以这个题呢，他相对来说难度其实还好，对吧？就算一些组合体的体积啊。 好，我们继续来看十七题。十七题，这不就解三角形的问题吗？对吧？那锐角三角形啊，第一问， a 倍的三以 a 加 b 倍的三以 b， 它等于 c 倍的三以 c 加根号，二倍的 b 倍的三以 a， 那 这个东西那不就直接 换的边吧，对吧？那第一个就是 a 方加 b 方，等于 c 方加根号二倍的 ab， 是 不是？那就是 a 方加 b 方减 c 方除以个二 ab， 它是不是等于二分之根号？二是不等于口上一 c， 所以 算出来 c 是 个四分之派， 对不对？好。第二个，你看对边对角告诉我，那我算什么？算这个中线，那不就是固定做法吗？来算中线还是锐角三角形怎么办？转换成角度，因为你要求取值范围的话，当然如果要算最大时候，我肯定基本不等式来做，对不对？那你要是锐角三角形还要求范围，那只能转换成角度来做了，那就是中线 用限量吗？这不是 c 四十五度， c 边等于二，所以 c、 d 向量是不等于二分之一倍的 c， a 加上个二分之一倍的 c、 b， 那 膜膜平方，对吧？展开就可以了。所以 c、 d 膜的平方，它就等于四分之一倍的 c 膜的平方， c 膜的平方就是 b 方， 加四分之一倍的 c， b 就是 a 方，然后再加上个二倍的乘积，就是二分之一倍的 c a， c、 b 的 数量积 c a， c， b 的 数量积就是 a 乘 b 乘以个 cosine。 四十五度 是吧？这是 cd 模的平方。好， cd 模的平方要算它的曲子范围，就算后面这个大头的曲子范围，这全是关于边的，我肯定要全部换成角，是吧？没有办法的啊，全部换成角就行了。所以 cd 模的平方，它就等于你把这个四分之一可以把它提出来，对吧？ 后面是个 a 方， a 方的话就是四 r 方，三引方 a， 四 r 方是多少？ r 等于 c 比三引 c 是等于个二倍根号二的，对吧？那平方就是个八倍的三乙方 a， 那 加上个八倍的三乙方 b， 是 不是然后加上一个八倍的三乙 a， 三乙 b 啊，全部把它改成角度啊，不改成角没法做的啊。四分之一啊，根八倍，根号二，后面有个根号二，对吧？根号二 好，把这四分之一可以放进去，那就是二倍的三也放 a， 二倍的三也放 a， 不是 一减口三也二 a 吗？二倍的三也放 b， 是 不是一减口三也二 b 吗？对不对？二倍角公式加 b 啊，然后再加上一个，这个是二倍。根号二，就是根号二倍的二放进去啊，先别放这个，没法放，这个就是 二倍。根号二，三 a 成个三 a 小 于 b， 三 a 是 不是可以消圆呢？三 a 是 不是三 a 加 c 呢？三 a 加四十五度， 是吧？那这句话来，一加一就是二减去个考三，以二 a 减去个考三，以二 b 来考三以二 b 等于什么？ b？ 他 是在朝纸上算一下， b 是 等于一百三十五度减 a 的， 对不对？ a 加 b 等于一百三十五度嘛？所以 b 等于一百三十五度减 a， 那 二 b 呢？就等于二分之三派减二 a， 就是 考三引二分之三派减二 a， 那 就把它写好消元嘛，变成一个单变量，那么后面把它展开，根号二倍的就很复杂，那就是三引 a 三 a， 二分之根号二倍的三 a 的 平方，对吧？加上一个二分之根号二倍的三 a 乘口三 a， 那 就这个东西好，来，继续二减口三 a， 那 么这个是不是就是负的三 a？ 诱导公式，把二分之三再消了，就是加上一个三 a， 对 不对？好，后面展开 它一层，就是个二倍的三引方 a， 二倍的三引方 a， 就是 个一减一减考三引二 a 嘛？啊？一减考三二 a， 然后再加上一个二倍的三引 a 考三 a， 就是 三引二 a， 所以 最后就是二倍的三引二 a 减去个二倍的考三引二 a， 再加个三，那二倍的三引二 a， 二倍的考三。再提个二倍根号二出来，就是三引二 a 减去个四分之派， 是吧？辅助角公式加个三，这全是横着变换啊，全是横着变换，然后变成它了之后。那求这个曲子范围 a 的 范围是多少？因为它锐角三角形，所以 a 它一定是大于四分之派，小于二分之派的，所以二 a 减四分之派，它就是小于 四分之三派，对吧？大于四分之派，从四分之派到四分之三派，最大值可能是取一的时候，二分之派的时候，那么整个就是三加二倍根号二，所以 c、 d 模的平方就是小等于三加二倍根号二大于两边取不到四分之根号，四分之派就是根二分之根号二， 二分之根号二，这个整体是二分之根号二，然后乘一个，它就是二，二加三是个五，对吧？大于五， 所以我知道 cd 它的模，它就是小等于，正好是开根号吧，根号二加一嘛，对不对？大于根号五啊。所以 cd 模这个中线的曲值范围就是大于根号五，小于等于根号二加一。所以这后面这一串呢，横的变化的计算量呢？是有点大啊，这计算有点麻烦，但是从主体的思路，它就这个思路，是吧？他们会做烂了啊这种题， 所以这个可以去回顾一下，对吧？咱们之前剪三角形这种，它的基本操作啊。好，这是十七题 是吧？哎呀，都快一个小时了，那算挺挺难的吧，这个卷子对不对？好，我们来看一下这个十八题啊，十八题，他就是哦，后面两个立体几何的题，是吧？立体几何题难不难？我们大概说一下思路吧。好吧， 然后在四等锥当中呢， a d 和平行 a， d 等于二倍的 bc 点， e 是 能中点，求证 c， e 平行于 p， a， b 来，第一问，你要求证 c， e 平行 b， a， b 是 过 e 点，做个平行线对不对？ 都移过来就可以了吗？把 c 移到平面上是不是就正出来了？那取个这个 d 点啊，这有 d 了，取个 f 点，那就是 e f 呢？它是平行且等于二分之一倍的。什么 a d 的？ 我大概写下思路啊。那么 e f， 所以 e f， 它就平行且等于 bc， 是 吧？所以就有什么 e c 呢？平行于 f b 是 不是正完了？来第二位， m 为 c， e 上能否找到一条？能否找到一个点时的 m n 呢？永远和平面 p a b 平行， m 点在动，对不对？你找个 n 点，你连起来，相当于是相当于是 m 点动的这个 n 点，这个线，你这个线 m 在 动开之后，是不是形成这个平面了？是不是相当于让我证明这个平面和 p a b 平行就行了？也就是说你过 c e 做一下 p a， b 这个平面的平行平面就可以了吗？那和这 ad 的 交点就是 n 点吗？对不对？就很好做吧。那能看出来就取个什么 ad 的 中点不就行了吗？对不对？取个 ad 中点存不存在呢？存在呢？取 ad 中点 n 点， 你 n e 连起来是不是和 pa 平行？ e n， 它是平行于 pa 的， 然后你把 c n 连起来，因为这个 a n， 它平行且等于 bc， 所以 a c n 的 和 ab 也是平行的， 是不是？所以 e n 平行于 pa， 所以 e n 呢？它就平行于平面。什么？ p a， b， 对 吧？ c n 平行于 ab， 所以 c n， 它也平行于平面。 p a， b， 那 所以这个平面都平行于 p a b， 那 么 m n 肯定平行于平面。 p a b， 是 不是？所以这是？ 所以平面 e， n c 平行于平面。什么？ p a b， 那 所以就有 m n， 不 管 m 怎么动，是吧？只要在 c e 上动，它肯定平行于平面。 p a b 啊，这第二位来第三位 p a， 我 擦了啊，来 p a 等于 ab 都等于十，这个是十，然后 ad 等于十， cd 等于十二，做出四轮锥和 ad 中点啊， ad 中点就是 n 点嘛， 就是 b、 e、 n， 对 吧？这个平面它和这个四棱锥的一个洁面图，把它画出来。这个这个洁面啊，它和四棱锥的洁面图和四棱锥的洁面图， 因为它这个比较特殊，因为这个 e、 n 它和这个 p、 a 是 平行的，还有这个 b、 n 呢？和 cd 平行的，对不对？你看看我这个 p、 c、 d 对 不对？如果和这个平面相交，有交线的话， 是吧？如果有个交线的话，因为 b、 n 它和 c、 d 平行，所以 b、 n 和这个平面是平行的，那 b、 n 和平面平行，那么过 b、 n 的 这个平面和这个 p、 c、 d 有 个交线，那么这个交线肯定和 b、 n 是 平行的，它和 b、 n 平行，肯定和 c、 d 平行。其实这地方我就直接过一点什么做 c、 d 的 平行线是不就可以了， 对吧？就过一点做 c、 c、 d 的 平行线，那么这个时候我能证明记忆呢？我能证明这个记忆它和什么，它和这个 b、 n 是 平行的，所以这四点肯定是共变的， 对吧？四点是共面的，然后再把 b、 g 连起来，那不就可以了吗？就这个洁面图啊，就这个洁面图，所以洁面图的话，你要通过平行，因为这地方正好它有个 b、 n 和这个 cd 平行，所以它这个画洁面图还是比较好画的，对吧？那么后面算长度的话就比较简单了，都是中位线， 你看这个 g、 e 是 不等于一半， cd 的 一半是个六，然后 e、 n 它是等于 pa 的 一半是个五，然后 b、 n 它就等于 c、 d 等于十二，那么主要是个 bg， 然后 bg 的 话，它是等幺三角形，你看 p b a p b c， g， g 是 一个中点嘛，对吧？你把 bg 连起来，要求这个 bg 的 长度嘛，那 p b 等于十，那 bc 是 一个 ad 的 一半嘛，是五嘛， 那 p c 它也等于十。说三个边都知道算 b g 的 中线的话，就延长倍长，中线平行四边形，对角线定你，对吧？那这是 x， 这是 x， 那 就是四。 x 的 平方加上一个对边 p c 方就是一百。等于二倍的 p， b 方加 b， c 方就是一百。加上一个二十五啊，它等于这是一个一百二十五，二 百五，那 x 就 等于二分之 根号一百五。一百五能不能提出来？十乘五能提个二十五出来，对吧？就是五倍的根号几啊，二十五乘个六吧，对不对？五倍根号六啊，就二分之五倍根号六，这主要算这个 b g， 这又是个中线问题，对不对？你看这个立体几何里面啊，他要求 b g 的 话，又是个中线啊，要求这个中线长 啊，这是十八题是吧？十八题。好，来，继续啊，我们看看这个十九题啊，十九题，十九题我看过一下，感觉这个不像压轴题是吧？ 不像加走题啊，过正方题，他这个应该打错了， a e b c， 是 吧？ a e b c e 结下一个三等，追求这个 b e a e b c e 这个三层锥的一个体积吗？他就剩下的体积，不就求这个体积吗？这个东西啊，就考察我们怎么咱们之前讲的那个正方体的小秘密里面呢？那里面全是考察这东西的， 对不对？那个正方体的体积，这个简单吗？能长为 a 吗？那么剩余的部分的体积就等于 a 的 三次方，减去一个这个小三等锥的体积，这不是 a 乘一个二分之一， a 乘三分之一，对吧？三分之一倍的高乘一个底面积，对不对？他不是六分之五倍的，相当于是 a 的 三次方 啊，六分之五 a 三，是吧？这第一位、第二位 m n 都是终点，请画出 d e m n 的 结面，你看咱们都画过啊， d e m d n， 对 不对？我说把 m n 吧，延长吧， m n 在 面上吧，延长，延长之后和这个 d c 的 交点，对吧？这也是一个交点，和 a d 有 个交点， 然后这个点它在哪呢？在后面这个面上， d e 也在后面这个面上，连起来是不是有个交点？那这个点它在哪呢？在后面这个面上连起来是不是有个交点？你看这个比例是多少哈，这都中点吗？ 对不对？这不是终点吗？那所以说这个长度是和这个长度相等的，是不是一半？是不是？所以把这个设成这个是二分之 a 嘛？这个是 a， 总共是二分之三 a 嘛，对吧？二分之三 a， 这个是二分之 a， 那 这个也是二分之 a， 这是二分之三 a， 这是二分之 a， 二分之三 a 是 不是一比三啊？ 对不对啊？一比三啊， 那对啊，一比三嘛。所以这个这个是一比三嘛，对不对？所以一比三，这是二分之 a， 能算出来的二分之 a 就 可以了， 然后把这个 d 一 和这个 c 连起来啊，和这个点连起来，对不对？这是 g 啊，这是 h 啊，把 d 一 和这 h 点连起来，对吧？ 因为我知道这个是一比三的话，那么这个就是一比三，是不是？这个是 a， 那 么这个是不是三分之 a 啊？这个长度是不是都能算出来？那这个就是 m， 这个就是 k 点， g 点，对吧？那把它连起来啊？ g m， 然后 k n 是 吧？和 m n 还有 d k， 对 不对？还有 d， j， 是 吧？这五边形嘛，它求的周长是不是都好算？这个是三分之一 a， 注意啊，这个三分之一 a， 谁购物定底能算这个，这是二，这个是， 这个是二分之一 a， 这是三分之一 a， 对 不对？所以把它算出来，这个算出来，这个算出来，这个算出来，这个算出来，是吧？都能算啊？都能算， 所以这个地方自己算一算，我就不算了，好吧，我就不算了啊，这个地方死算的东西来。第三个，正方体的外接球，球心为 o， 球心为 o， 在 正方体的正中心求三棱锥 o， a， e， b， c， e 的 体积 o， a， e， b， c， e， 我 只要弄清楚这个 o 点到这个平面的一个距离就行了。这咱们讲这个 d， e， b， e， b， d， 把这个结面，你把它画出来， 对吧？这叫完美矩形啊，这个叫完美矩形 d， b， d， e， b， e， 然后呢？这个结面，你看这个结面，斜结面和这个这个面正和这个什么正三角形，它的交线是不就是终点和它连线，对不对？所以咱们取一个 d， e， b， e 的 终点连线，那 球心 o 在 这 o 点，可能在 b， d， e 的 这个对角线上，这个对角线和这个 b 点和 e 点，这肯定是什么垂直的，是不是？所以 o 点呢？它到这个线的距离到 b、 e 的 距离， 这 o 点到这个 b、 e 的 距离就是到这个平面的距离啊，就是到这个平面的距离，那这个平面距离是多少呢？ 这个是二分之一的体对角线，这个咱们说过是三分之一体对角线，为什么？因为他这边还有个中线中点连起来，对吧？我们说这两条线把这个体对角线分成了，是一比一比一，是吧？所以这个是三分之一体对角线，这个是二分之一体对角线，所以这个是六分之一体对角线，所以马上就算出来了啊， 啊，马上就算出来了，所以他这个整个这个第十九题，他其实考察的就正方题里面的各个线画前面图怎么画，对吧？你会画前面图，会算他的周长。再一个就是关于这个啊，正中心啊，到这个面的距离，他的一些特点啊，考了这个特点，所以感觉还可以啊。十九题 是吧？因为正方题本身在立体几何里面就算是个比较重点的一个图形吗？得对他多了解一点啊。好，这是整个咱们太行中学的一个卷子啊，从头到尾都挨个讲了一遍，那真的是啊，这泰国中学的题，我从做完之后发现 的确挺好的，是吧？他里面你看十九题，虽然没有考算心，但他考了什么？这个正方题里面的一些小细节是不是完美举行啊？是吧？这些分一比一比一啊，这些线的都得知道，不然的话这题肯定不好做。 然后十八题立体几何，他考的也是一个什么洁面图，平行的洁面图是不对。十七题，这个关于中线的一个比较难的一个计算啊，他没有考最大值，考的取之范围，如果是锐角三角形啊，考察你的角度的换算， 然后十六题体积考了个四等台，你看覆盖面很全。十五题关于向量的一个易错点，十四题一个串形题， 是吧？考数量级的转换，然后十三题考了什么？这个平行的解面图对不对？包括十一题考了什么？这个串形题说整份卷子啊，有难度，对吧？你看这个第八题挺难的，是不是？第七题有点串形，然后第八题挺难的。同样的第十一题， 十一题的话， b 选项比较好选，那么 c、 d 不好选，然后十三题这个还好啊，十三题十四题比较难，对不对？那么后面连的十七、十八、十九啊，这三个题，其实我觉得这难的可能相对来说是十七题，然后十八题十九题的话， 难度不是很大啊，不知道你们什么感觉，是吧？因为他只要对这个细节比较熟悉的话，难度就不大啊， ok 吧？好，下来之后自己把它才重新写一写啊，把一些感觉比较经典的题，特别是我画了五角星的那些题，对吧？把它整到笔记本上，那重新就可以再复习一遍， ok 吧？好，咱们今天就讲到这个地方啊，我们下个视频，再见。
59廖老师讲数学
01:15查看AI文稿AI文稿十八岁是一场无声的嘉年。今天，长治太行中学的孩子们迎来了属于他们的成人礼。镜头前有紧紧相拥，有悄悄抹泪，也有笑着笑着就红了眼眶的瞬间。 父母眼里是不舍与骄傲，孩子肩上是责任与远方。这是二零二六届的故事，也是青春的又一个起点。 作为山西第一年新高考的见证者，太行中学用实力为梦想加冕。二零二五届清北录取七人，其中清华两人，北大五人。 九八五高校一百零五人，二幺幺高校三百一十八人，省外低本四百六十人，本科答谢率百分之九十八，特困县答谢率百分之八十。 愿这群刚刚跨过成人之门的少年，六月折岁，这一程，母校为你撑腰，下一程，世界等你登场。二零二六，高考加油，祝愿所有的高三学子都能得偿所愿！
55:56查看AI文稿AI文稿好，大家好啊，这个是太行中学昨天刚考的一个五月份的月考试卷啊，我整个一起看了一下，整个月考试卷呢，它的难度可以说是适中吧，除了那后最后两个大题，对吧？剩下的 其实还可以，但是呢，特别考察学生的空间想象能力，这同样的也体现出来了，我们太行中学它的一个侧重点和我呢是保持一致的，就是我一直最开始跟学生说的是学立体几何，咱们要的是什么？就通过不同的一些情景，不同的场景，对吧？不同的题型，然后去 锻炼自己的空间想象能力，完了之后把一些各种固定题型的固定方法还得把它掌握清楚，并且弄清楚它里面的算法和算理，对不对？比如说咱们的外接球的问题啊，比如说线面角该怎么求啊？一面之间所处角怎么求啊，对吧？二面角怎么求啊？等等这些东西，这都是需要把它弄熟练的，然后通过解决这些问题呢，不停的锻炼自己的什么 空间想象能力，对不对？那么这句话我再多说两句呢，不停的锻炼自己的什么空间想象能力，对不对？那么这句话我在说两句啊，不停的锻炼自己的什么空间想象能力，对不对？那么这句话可能一直就是 啊，跟着我去练，然后跟着我去做，每次跟练对吧？然后主动思考，完了之后直播也都在主动的去听，我就会发现越学越舒服啊，越学越轻松，但是有些小孩可能慢慢慢慢你会发现越学越吃力。 那么这地方我再强调一下，因为现在市面上有很多很多那种推广什么各种什么课，什么学习方法课，什么各种各样的，对吧？技巧的东西，那么我强调一点，好吧，我就强调一点，就是如果小孩不主动的去学习方法，学习技巧没有任何意义。 就比如说我们会跟学生说啊，数学该怎么学，上课该怎么听，你怎么听，怎么学下来之后你怎么练题，包括你练题的时候脑子里面在想什么，对不对？这个东西一定是自己有主动意思，想把它学好的时候你才会起效果的。所以说不要再听任何各种贩卖焦虑的东西了。好吧，好，废话不多说，我们来看一下这个太行中学的啊，二零二五到二零二六的一个五月月考试卷 啊，前面两个题都比较简单，我就不说了啊，我们看看第三题，好吧，来第三题，这考什么也很简单，原台的上下底面都告诉我，母现场告诉我。那么体积，那么原台的体积公式还记不记得？同学们是吧？原台的体积公式你就模仿圆锥和那么圆柱去写吗？就是三分之一倍的底面积层高。那底面积这地方有什么？上下两个底面积对不对？所以它是等于根 s 一 啊， s 一 加上一个 s， 二加上根号下 s 一 乘 s 二，然后乘一个 h， h 是 什么？就是圆台的高。好，那这地方它母线长是三，我们可以算一下啊，母线长是八，然后上底面呢？是一个半径是二，那就是四呗，对吧？我画的是洁面图，那下面是一个六，然后做高啊，做高。 母线长是个八啊，这个是个八，然后中间是个四啊，两边是个一，那么高数不能算出来，勾股定底。八八六十四，六十四减一，六十三，六十三是个三倍光期，对吧？所以它就等于三分之一倍的来 s 一 就是一个四派，派二法码加上个 s， 二九派 加上个四六二十四，二十四开根号，二十四开根号， 那不对，不是四六二十四啊，四了吗？四啊，不是四九三十六，四九三十六，开根号是六块，对吧？好，那我乘一个 h， h 是 一个，刚刚算了多少呢？六十三三倍高二七，对吧？三倍高二七，好，最后它是等于上面是一个 十三十三，然后加六十九十九倍根号起啊，等于十九倍根号起派，对吧？选二 b， 好， 通过这个题呢，咱们复习下圆台的一个体积公式啊。好，这第三题来，第四题，我提前画了下图来三等锥， p a、 b、 c 当中呢？ p a 垂直于底面 abc， 然后 ab 和 ac 垂直，看清楚， a、 b 和 a、 c 垂直， p a 垂直，这就是我们说的什么直角四面体，对不对？一个墙角的样子好建立空间感，然后 a、 c 等于一， a、 b 等于二， p a 等于三，那么过 a、 b 的 结面做结面交， p c 于 d， 那 么结面 a、 b、 d 的 面积最小是什么时候？ 这是一个什么直角四面体啊？你 a、 b 它和底面是什么？它是和这个面是垂直的，对不对？那么你这个 a、 d 就 在这个面上，所以 a、 b 和 a、 d 一定是垂直的，那么这个 a、 b、 d 这个三角形的面积是不是就等于二分之一倍的底面积啊？底层高就是 a、 b 乘以一个 a、 d， 是 吧？ a、 b、 a、 d 垂直的好，那么要求它的面积什么时候最小？那其实 a b 是 固定的， a b c 上动，那你说 a d 呢？只不过 a 点做 p c 的 垂线段是最小的， 对不对？过 a 点做 p c 的 垂线段，好，这个怎么算呢？等面积法是吧？来，这个直角三角形可以用什么底乘以高乘以等于什么 底乘以高， ok 吧？好， p a 是 几？ p a 是 三， a c 是 几？ a c 是 一，然后这个就是根号十，三乘一等于 h 乘根号十，对不对？所以三乘以一等于 h， 就是 a d 啊，乘一个根号十，所以这个 a d 呢？它就等于根号十分之三。好，那就等于最大最小面积啊，那就最小值 就等于二分之一倍的 ab， ab 是 个二，然后乘一个 ad， ad 是 个十分之三倍，刚好使，对吧？所以面积就等于十分之三倍，刚好使。 所以前面几个小题，这个从第四题开始开始啊，就已经有难度了，发现没有？已经有点难度了啊，这个好，我们看第 啊。这个是第五题啊，那是第五题啊，我这地方题号忘记忘记改了啊，就原卷的第七题啊，这个是好古代学家是吧？这个地方弄了个什么测量学啊，没有用啊。这的话，然后他说 abc 在 同一条直线上， 然后且在点 a 测的时候，那 bc 都测了一下，然后一个阳角是六十度，一个阳角三十度，那 bc 等于四十， 那 bc 等于四十。那么根据测得球高，球体高度，可计算出球体的建筑物的体积，那球球的半径就行了吗？是不是？那么这地方阳角的话，最大阳角其实说的就是相切的时候，那么直线和圆相切，我们说必然会干嘛呢？连接是吧？圆心和切点啊，这个是切点，是 a 点好，还有个切点， 对不对？那么这地方啊，来看看，你这么做垂线，这么做垂线完了之后和这个，这是个三十度， 对不对？那么你怎么出现这个 a c 啊？这不正好是个延起，那连起来，连起来之后这两个是全等的，对不对？那么这个三十度，这一角是不是，是不是十五度？同样的，那我这地方来这个地方这有个六十度，同样的，我把它连起来啊，这两个是相等的，这不是三十度，同样，这个 ab 呢，和这个 ac 是 不都能表示出来？那我把这个球的半径我设成 r， 好求着半截射上 r 之后，来我这地方看看啊，这个垂线，这个垂线，这是过圆外一点做圆的两条切线嘛，对吧？那你中间能连起来，然后这个是十五度，好，十五度，这个是 r， 那 么这段是多少？是不就是 r 比上个 ac 等于贪婪的十五度？ 就是 r 比上一个 ac， 它是等于贪婪的十五度。这个题在这里考的话，可能有那么一点点不合适啊，因为 关于圆的内容呢，应该是在咱们高二的时候会主要的去学习他这个过圆外一点做圆的切线，然后那个什么接线长怎么求呀？是吧？圆形距怎么求呀？这个东西，可能这地方很很多学生已经很久没有接触过这些圆的东西了，所以没有想到这个做这个垂线啊，这个情有可原，对吧？但是我们在初中的时候，圆的题，这种图应该是见过的啊，应该是见过的， 好，同样的，我们再来一个这么一个三角形，对吧？啊？这么一个四边形里面风筝的形状，同样的，我连起来六十度，一个半角是不是三十度？那么这个三十度的时候，这也是 r， 那 么 ab 我是 不能写出来，所以 r 比上 ab 呢，是等于贪婪的三十度的，所以 r 比上的 ab， 它是等于贪婪的三十度。 好，贪婪的十五度，同学能不能记得啊？贪婪的三十度，你要是贪婪的十五度，你实在不记得的话，你用四十五度呢和三十度的推一下，那贪婪的四十五度减去个贪婪的三十度， 他是等于什么？就贪婪的四十五度减去一个贪婪的三十度，对吧？三分之根号三除一个一，加上一个一乘以三分之根号三， 对吧？所以他就等于什么上下同乘三，就是三减根号三除一个三加根号三，然后同时约掉个根号三，就是根号三减一除一个根号三加一，然后上下同时乘一个。什么乘一个根号三减一，对吧？所以上面就是个根号三减一的平方就是四减二倍，根号三，底下呢 就是二，那一约就是二减根号三，对不对？所以这个二减根号三啊，这个数据应该是比较熟悉的啊，所以他念的十五度呢，是等于二减根号三，他念的七十五度是二加根号三，三以十五度呢？四分之根号六减根号二，对吧？然后考三以十五度呢？四分之根号六加根号二，对不对 啊？这些基本的数据，十五度啊，好，它进了三十度，它就是等于三分之根号三的，那通过它就能得到 a、 c， 你 看 a、 c 它等于多少？是不是就是 r 除以二减根号三，上下同乘以二加根号三，就是二加根号三倍的 r， 对 吧？好，那么下面 ab 呢？ ab 的 话其实就等于根号三倍的 r， 所以 两个一减，你看 a c 减 ab 啊， a c 减 ab 是 不是就等于 bc？ bc 它等于四十，那等于二加高三倍的 r 减去个高三 r， 是 不是 r 等于几呢？二十是不是算出来了？那么体积等于什么？体积等于三分之四 pi r 的 三次方就是八千，对吧？八千好，就等于三分之四八，三十二，三万二 啊这个东西。所以这就是我们这个圆卷的第七题啊，就是单选择题的倒数第二题。好，我们下面看这个第五题，那就是圆卷的第八题。 那这个题他就完全考察你的空间想象能力啊。在这个四分之一球体里面，四分之一的球形状里面，玩具储蓄盒，然后放一个玩具小球，盖上盒盖，可使得什么？放的小球的最大半径为 r， 又放个正方题啊，盖上盒盖可求什么？正方的最大能长为 a， 那 么这个时候，那你求这个 a 和这个 r 的 比例来这个东西。我说但凡在一个题里面去放球的时候，这咱们在课上其实讲过这个东西，我们之前说在一个正方题里面，那么里面有个内切球，在角角里面再塞个球，那么这个球的半径是多少，对不对？就各种组合球的一些问题，我们都用的什么洁面图啊？你看看就这个图， 我画什么样的洁面能够把这个球包含在里面去？是不是他球要放到最大的洁面能够把这个球包含在里面去，是不是他画个什么？这个中间这个洁面 啊？就中间这么直接一刀，这么切一半啊？这么切一半，你切一半的时候怎么样子？来？切一半他肯定也是个半圆啊，来，这个是中点，这个中点他是不是这样子啊？这么直接过来对不对？是不是个四分之一的圆啊？四分之一的圆， 对吧？这个样子好，那个球长什么样呢？那个球可能在正中间切的吗？因为这图像全是什么对称的，所以最大的球的话可能在正中间和全部都各个面都顶住的，那么这个时候他切完之后，他其实就是个圆， 对不对？切完球就是圆。好，我这个地方是什么？是整个球的球心，看到吗？是球的球心，那么这个球相当于和这个大的球，它是个什么关系？它是不是一个内切的关系？好，内切的话，球心和球心和切点是不是在同一条线上？好，那这地方有个切点 好，这个是切点，这个是圆心，那么这个是球心，对不对？两个球心连起来可能在一条线上，那么这个球呢？他到这个面的距离是半径，他到底下这个面的距离是半径，这个是 r， 这个是 r， 所以 底下这个什么是个正方形，那么这个是多少呢？根号二倍的 r， 那 么这个呢？也是 r， 所以 我能得到个方程，这个半径半径是大 r， 大 r 就 等于根号二倍的 r 加上个 r， 你 看，所以我能知道这个小的小球的半径和大球的半径，他们之间的关系， 对不对？直接做洁面图啊，做洁面图好，第五题呢？咱这个后面这个图，他是正方体。好，正方体。你看看这地方，他图都画出来，咱们看看球形在哪？在这个地方，然后 这个正方体呢？他是和这个面都是什么？顶住的，对不对？都顶住的，所以这些角角一定是顶住的啊？这个地方，这两个点是在这个面上，对不对？好，那么我要体现出半径出来，怎么体现？是不是这个点和这个圆星球心连起来，是不是就是半径？这个点和球心连起来是不是也是半径，对不对？好，这个是半径，怎么算呢？棱长是 a 来，这个是 a， 这个是不是 a？ 那 这一个 a 的 话，中间这二分之一 a， 对 不对？所以那么这个长度等于多少？是不是在勾股定律啊？就是他的平方加上他的平方等于他的平方，他的平方加他的平方就等于 r 方， 是吧？好，这地方就是 r 方，他就等于 a 方，加上一个 a 方，加上一个二分之一 a 的 平方就四分之一 a 方，正好是四分之九 a 方，对吧？所以 r 呢？他就等于二分之三 a， 你看，所以 r 也能表出来是二分之三 a， 那 么这个大 r 和小 r， 小 r 和 a 的 比呢？所以根号二加一倍的 r， 它就等于二分之三 a， 你 把 a 除过来，就是 r 比上的 a 就 等于二分之根号三，然后就是根号二加一分之一，就上下同乘，根号二减一，对吧？就等于二分之三倍的根号二减一。 啊，是这个东西，对吧？这是我们这个比例，所以选什么？选 c d 啊？ c d。 好， 这就是我们的单选的压轴题啊。这个题其实挺挺难的，就是学生可能想象不到，说这玩意到底是怎么去切的，对吧？怎么去内结的？那你只要抓住一点，就不，只要是内结，他的各个顶点一定是在面上，通过这个面上这个条件呢，然后去结合这个半径等量关系，那就做啊。 好，这是第五题，我们看看第一元卷的十一题，就是多选的压轴题是吧？啊，前面这个九和十啊，这两个题还好啊，我就没有摘来看这个题。如图，在能长为二的正方体当中， e 为能 c d 的 中点好， p 为侧 面那一点， p 为线段 b c， e 的 中点 b c e 的 b c， e 上一点，那 b c， e 上一点，那么则三等锥第一 p a e d e p a e， 对吧？它的体积是个定值，体积是个定值，你又看把谁当顶点，对吧？你屁在动的时候，肯定是把这个三角形底当做底面积，是吧？屁在动的过程，屁在哪动呢？屁在 b、 c、 e 上动， b、 c、 e 和这个 d a， d， e、 a 是 什么？平行的，所以它动的过程当中，这个底，这个点到这个平面的距离 变不变，它不变，对吧？因为这个线和面是平行的，线面平行，那就平移的，所以体积肯定是固定的，所以 a 选项没问题。 好看。这个 b 若该正方体表面上的动点 t 呢？满足 d 一 t 等于二。来，正方体表面上有个动点 t， 满足 d 一 t 等于二， d 一 t 等于二，冷场就是二，对不对？那你 d 一 t 要等于二的话，那来我在各个面上做呗。动点 t 的 轨迹可能是个球嘛，那么这个球和各个面的焦点是吧？它上面这个面，你把六个面都看一下，有没有嘛？来，上面这个面，这个点是个圆， 对不对？二嘛？是不是？那以二为半径，画个圆嘛，不就这么道弧嘛，就四四分之一的圆，好，那左面这个面上是不也有，是不这样子的？因为这个长度是二，这个这个长度是二，这么做个圆嘛，对不对啊？这么做个竖的，做个圆好，然后后面那个面是不还有和第一相关的，就这样子， 是不是啊？这个是二，然后这个是二，那么做个半圆，对吧？这样子啊，做个圆，那么后面还有没有这个，这个面有没有呢？前面这个面有没有？不可能有，为什么呢？来， 你前面这个点，随便点个点连起来，你这个 d d a 一， 这个是二，你连起来，这是斜边，斜边永远大于直角边，它就不可能等于二，对不对？所以 p 点如果在这个面上就不可能等于二，同样的，在这个面上也不可能，所以只有这三道弧，那么这三道弧像这每一道弧都是四分之一个圆，三道弧就是四分之三个圆， 圆的半径是一个二，对吧？那么面积就是四派，那么整个轨迹场应该是三派啊，所以 b 不 对， ok 吧？好的，看 c， 若 p 为侧面， b c c c e b e 的， 我把它轨迹擦了啊。来看 b c c e b 的 中心啊， p 在 正中心，那么过点 e 呢？且与 d p 垂直的来，这个咱们课上讲过，对吧？过点 e 要与 d p 垂直的平面，咱们要把它截面图画出来， 过点 e 做一个平面，和 d p 垂直，相当于是什么呢？你就过 e 点做两条直线和 d p 垂直就行了，对不对？那这个直线你做悬空的直线不好做啊，我肯定是做面上的直线， 对不对？那做面上的直线一点在哪儿？一点在 d， c， c， e， d， e 这个面上，我在这个面上做个直线，要在这个面上做个直线和 d p 垂直的话，我只要把 d p 投影到这个面上，是不是它和投影垂直，是不是就和本身垂直？ 好， p 点投影过来，是不是取这个 c， c、 e 的 中点啊？这个是，这是 p 点啊，这个是 f 点，对吧？ 好，把 p 点的投影到后面那个面上，是不是就是 df？ 你 过 e 点做 df 的 垂线好不好做？好做呀，连接 d， e， e 不 就完了吗？所以我找见一条线啊， d， e， e， 它和 d， f 垂直，所以肯定和 d p 垂直， 所以它本和怎么和投影垂直就和本身垂直，对不对？好，再来看 e 点在哪？ e 点在底面这个面上，所以我在底面再画条线，再画条线好， dp 呢？它到底面的投影是不是这个地方？ g 点对不对？所以我过 e 点呢？做一个 d， g 的 垂线是不是就可以了？是不就是 a， e？ 你 这看不出来，你画个正方形，你看一下， 你看 d， c， a， b， g 点在这嘛？你 d， g， 你 过这个 e 点做 d， g 的 垂线，是不是就连接 a， e 就 可以了？是不是？好？两条线都做出来就搞定了啊？搞定了，那么 d， e， e， d， e， e， a， 那 把 a， d， e 连起来不就行了吗？ 是不是就这个平面，是吧？就做了这个平面了啊？就 d， a， e 这个平面好，那么这个平面面积等于多少？好算啊，能长为二呢？二一根号五，二一根号五， a， e 和 d， e 都是根号五， a， d， e 等于二倍根号二，是吧？等幺三角形做个高 啊，可以这么画个图啊，可以画个图，就是 e， d， a， 对 吧？然后这个是根号五，这个是根号五，然后做个高，这个是根号二，根号五，根号二，高就是根号三，对不对？所以这个面积就等于二分之一倍的底就是二倍，根号二高就是根号三，是吧？它等于根号六，没毛病啊， c 是 对的， 好，我们看 d， 若该正方体的内切球表面上的动点 q 满足什么？ b q 平行于平面， a， c， d 好， 这地方啊，你们可以截个图，我把它擦了， 好继续来看。他说内切球啊，内切球他是和各个面都相切的，对吧？切点都在正中心， 好，球面上有个动点 q 满足什么呢？ b， q 啊， b q 平行于 a， c， d， e 好， q 点在动，对吧？你看这就是 c 选项，是我们专门讲的一个讲的什么垂直的界面图画法， d 选项搞的是什么平行的界面图画法，所以它四个选项设计的真的特别好啊，就咱们两节课内容对不对？你看看咱们两节课啊，如果这地方你感觉 d 选项和 c 选项感觉不太熟悉的话，把咱们之前的平行和垂直的两个拿出来好好看一看啊， 来看看这个地方，我说这种界面图是考了很多的啊，专门咱们练了好多啊，你看这个 q 点是吧？你 b， q 呢？平行于 a， c， d， e， 那 我先把 a、 c、 d， e 划出来嘛，是吧？先把 a、 c、 d， e 划出来， 都经过终点的，对吧？ a， c， d， e 嘛， 是不是感觉对吧？ a， c， d 好， a， c， d， e， b q 它和这个 a， c、 d， e 要平行，我是不是相当于过 b 点？那 q 在 动的过程当中，那肯定 b、 q 已动成了面了，对不对？我就相当于要过 b 点呢？画一个 a、 c、 d、 e 的 平行平面， 对吧？和 a、 c、 d、 e 平行的平面是哪个平面？这咱们画了好多次了，对吧？就是 b、 a、 e 连起来， b、 c、 e 连起来，就这么一个倒三角形嘛， 是不是？好，也就说 q 点呢，一定是在这个平面上动的好， q 点在这个平面上动， q 点还在哪呢？ 还在什么？还在这个球上动内切球面上。所以 q 点在哪呢？ q 点在这个平面和这个内切球的什么结面上，对不对？那么这个平面和内切球的结面是哪个结面呢？它结出来肯定是个圆嘛，因为球被平面一切切出来，肯定是个圆嘛，对吧？那么这个圆在什么地方呢？ 好，你看内切球，他和各个面的切点都是正中心。好，这是他的切点，这个也是他的切点，这个也是他的切点。看见没？内切球，那你这么一切点，他三个切点，这三个点都在球面上，那你这么一切下来，是不是就是一个内切圆呢？ 啊？就是这个等边三角形的内切圆啊？这个一切下来，这就是它的洁面图，来看看能不能想象到啊？能不能想象到底里面是一个什么内切球？我这么一平面，一切切下来之后，就会形成一个什么圆，这个圆其实正好就是 a、 e、 b、 c 的 什么内切圆啊？内切圆。好，那这地方咱们可以把这个圆把它画出来 好，也就是说 q 点呢，一定是在这个圆弧上动的，对吧？ q 能在圆弧上动，你 q 点在这个圆弧上动的过程当中，它起着什么？ b， q 什么时候最小？那不就是沿圆心减半径最小吗？ q 能在这的时候吗？ 是吧？与 b 是 圆圆外一点吗？那么过圆外一点做圆上的连线，那什么时候最短呢？连圆心减半径，那圆心这个地方来，它到 b 的 距离是不是就是这个三角形的外接圆半径，对不对？好的外接圆半径啊，外接半径多少？比如这个 o、 o b 能长是 a 的 时候，是不是三分之根号三 a 啊？这个写了好多了啊，就是三分之根号三 a 能长是多少呢？能长是二，那么 a 一 b 就是 二倍根号二， 就是三分之二倍根号六。好， o b 等于二分之根号六， o q 呢？ o q 其实就等于这个内切圆半径，对吧？内切圆半径是不是这个 o b 的 一半？是不是三分之根号六？所以这个半径是不是三分之二倍根号六？减三分之根号六，就等于三分之根号六，对吧？所以选四 d， 所以 答案呢？选 a、 c、 d， 所以这个题呢，也是有难度的啊，也是有难度的。好，这是我们这个第六题，我们看第七题啊，有原件的十三题啊，这个题其实难度还行，这毕竟是填空题。第二题啊，看看透明的塑料制成的一个长方体的容器，然后 加容器倾斜啊，一边呢？ bc 在 桌面上，比如说 bc， 它永远在桌面上，就这么横的竖的这么推，对吧？这么推，推 的过程当中，你看有水平的放的是能住，有 y 的 放的是不能住呢？ 当然是能住，因为它是以 b c， 为什么为这么斜边的，你这个是个四边形吗？你这垂直的是不是四条棱，对不对？把这个当底上下两个底面都垂直的，这不就直四能住吗？你这么画三能住吗？这不是三角形，这不是垂直的，对不对？这加个三角形，对吧？所以没问题啊，一是对的， 二没有水的部分呢，也常能住，行，对不对？当然也对啊，你看没有水的时候，这是不能住，这个是不能住，是不是个四边形？是能住，是吧？只是能住，这么看吧，这个是底上底面，这个下底面，对吧？啊？只是能住，然后这个呢，是个五边形，一二三四五，那是五能住， 对不对？是个五能住，所以都是能住啊，都是能住，所以二也是对的。好，三能 a 一 d 一 能 a 一 d 一， 它和什么始终与水面所在的平面是平行的，有没有问题？ 但这个东西其实我觉得应该是对的啊，他这个因为他 b 啊， bc 在 动的话， aed， 这个水面不可能经过 aed， 对 吧？因为我晓得水面的经过 aed 啊，不可能经过 aed 的 话，那就肯定是平行的，因为 aed 和 bc 是 平行的嘛， bc 和水面肯定是平行的，对不对？所以这地方三是对的。 看第四个水面 e、 f、 g、 h 的 所在的四边形的面积为定值，那怎么可能呢？你看这个它是一个什么，它的面积就等于 abc 的 面积为定值，那怎么可能呢？你看这个斜面面积，它和这个 四边形面这里一样吗？那肯定不一样，肯定比它大嘛，对吧？肯定比它大，所以第四个肯定不对啊，所以来看第五个，当容器倾斜如图三的时候，也就是说有什么已经离开这个 a 一 d 一 d a 这个面了，对吧？那么形成个三等柱的时候，那么这个时候 b、 e 和 b f 的 乘积是定值，对不对？ 肯定是对的，对吧？因为只要是它形成的这个三等柱，然后这个水的体积是固定的，那么体积固定，那 bc 是 它的高，高是固定，所以 b 一 和 b f 这个三角形的面积肯定固定了，上面面积固定，那 b 一 乘 b、 f 是 不是固定的，对吧？所以五是对的啊，所以选一二三五， 那应该这样子的，所以这是十三题啊，填空题十三题，好，我们继续来看啊。填空题十四题就是填空题的压轴题啊，这个题也是有定难度，看看第一呢是边长为二倍根号三，这个正三角形，把那个中位线把它折起来，折起来之后 他说能锥，你看 c、 a、 e、 b、 e 这么一个四能锥，这么一个四能三能锥，它的体积最大， 你怎么算体积？ a、 e 在 动吗？对不对？ b、 c、 e 是 没有动的，那么 a、 e 在 动， b、 c、 e 没有动。体积最大的时候，是不是就这个三能锥的高，最大？高的时候，那也就说 a 点到底面的距离是最远的时候，距离最远的时候是不是就是把这个面折成直角的时候， 是吧？把翻译出来，所以体积最大的意思其实就是什么呢？这个平面 a、 e、 b、 d 垂直于这个平面， b、 c、 d 啊， b、 c、 d 好， 两个平面垂直了，那么这个时候是能追 a e、 b、 c、 d、 e 啊， b c、 d、 e 所外接球的表面积，对吧？那底下这个 b、 c、 d、 e 是 个梯形，梯形的外接球怎么算？对吧？梯形在这种外接球，我要找球形吗？那球形怎么找？你看这就最原始的算法，咱们之前说的这种各种特殊情况都不能用，对不对？那么下面我要找什么？他说两个面， 我首先找什么？到 b、 c、 d、 e 四个点距离都相等点，是不就是梯形的外接圆圆心，对吧？梯形的外接圆在哪？我不知道啊，那么这过这个点，然后和这个底面是垂直的，这条线上的点到什么呢？它到这个 c、 b、 d、 e 四个点的距离可能都相等，对吧？好，在这条线上 我还要找找什么呢？找 a、 e、 d、 e 这个三角形的什么外接圆圆形？ a、 e、 d、 e 是 个正三角形啊，它的外接圆圆形就在这个地方嘛，对不对？然后过这个点做平面的垂线啊，和这个线的一个交线啊？交点是不是要找到圆球形，对不对？好，我大概画一下， 这个是一个什么呢？外接圆的一个圆形啊，外接圆圆形可能在这条线上，还在哪呢？在这个地方三分之一处，对吧？高的三分之一处嘛， 这个是我要找的球形，对不对？好，下面我怎么算呢？这不是 o 点，这个高度我知道，算出来这个高就等于这个高嘛，对不对？然后把它。那么下面我要找算什么？算这个，这个点 o 到 b 的 距离，点到 b 的 距离是不是就这个 b、 c、 d、 e 这个四边形，这个梯形的外接圆的半径，是吧？然后勾股定律一算 是不就可以了？好，那这地方咱们着重主要算什么呢？这个 a 一 d、 e 好 处理，对吧？边长是根号三，边长是根号三，那么这个高度就是高的三分之一嘛？这是根号三，这个是二分之。根号三，那么这个是二分之三，二分之三的三分之一是二分之一，所以这个高呢？我知道是二分之一，这个很好算，那么主要就是这个， 这个 g i g b， 对 吧？这个 g b g 点是个 b c、 d、 e 的 什么？外接圆心？外接圆心在哪我不知道，来，我换一下 梯形，对吧？就这个圆形有可能在梯形外头，有可能在梯形里头啊？在哪我也不清楚，我就随便点到里头。那怎么去算这个梯形了呢？来 d e， 它等于根号三， bc 等于二倍根号三，对吧？然后 b e 呢？等边三角形嘛？ b e 等于根号三， 是吧？然后通过这个根号三，我能知道什么？我能知道这个高，那算外径圆的话，一定是这个点到四个点的距离相等，那么上面两个点不用画，下面两个点不用画，主要是看上面一个点和下面一个点，对不对？这两个距离都是 r， 好，怎么构建方程？我先把这个梯形的高算出来来，根号三，对吧？这个是根号三，那么这一半呢？加起来根号三就是二分之根号三，这个是二分之根号三，这不就三十度吗？这是二分之三，所以高是一个二分之三。好，高是一个二分之三，你看这个 对不对？那么这段呢，是不就是这个 r 方减去个二分之根号三的平方啊？ r 方减去个二分之根号三，平的平方就是减四分之三吗？ 开根号，那这段呢，是不是就是 r 方减去个根号上的平方， r 方减去个根号上的平方，加起来正好等于勾二分之三，对不对？这就这个方程 啊，这个方程当然有可能是减啊，有可能是减。那你先这么算一下，看能不能算出来答案，如果算出来答案，再学减法再算一遍，对不对啊？这地方你看看，把它根号移过来。平方啊，就是根号下 r 方减四分之三等于二分之三，减去个根号下 r 方减三。先把根号移过来啊，两边同时平方，太恶心了。 移过来平方，左边平方就是 r 方减四分之三，右边平方就是四分之九，加上个 r 方减三，减去了三倍的根号下 r 方减三。好，然后 r 方和 r 方约掉。嗯，四分之九把三移过来， 我看这多少。四分之三加上个四分之九，四分之十二就是三。三减三，零嘛，没了这玩意就等于零嘛，对吧？ r 就 等于根号三嘛， 对不对？ r 就 等于根号三，看见没？所以 r 就 等于根号三。 r 等于根号三是啥意思呢？所以 g 点在哪？知不知道？ g 点就在 b c 的 中点上啊？就在 b c 的 中点上，对吧？这不是根号三吗？所以半径它就是根号三。好，半径根号三，这个是二分之一。来勾股定底。 o b 我 出来了吧。 o b 等于四分之一，加上个三开根号啊，等于四分之十三，二分二分之。根号十三，对吧啊？表面积等于四派， r 方就是四分之十三，它等于十三派 啊，十三排对不对？这是我们的第十四题啊，圆圈的第十四题。好，这几个题啊，都是有难度的是吧？有难度啊， 来看后面的几个大题啊。后面几个大题，前面几个大题真的是还是挺简单的。十五，十六，十七，对吧？十五题是个复数匀算。我没有摘啊，你看十六题，四等锥当中呢？啊，底面是个菱形，看清楚啊，不是正方形。然后 a、 b、 c 是 个六十度，这是个六十度，两个正三角形，是吧？然后 pa 和底面是垂直的， pa 和 ab 都等于二。 好，第一问，那你证明 p、 b 平行于平面 a、 c。 来，我们再来复习一下，怎么就证明平行？你 p、 b 平行于平面 a、 e、 c， 我 就要把 p、 b 呢？平移到 a、 e、 c 这个平面上，对不对？那你平移的时候肯定要平移方向嘛，哪个方向是 pe 这个方向 往这边移嘛？你往这边移啊，这个方向本身就形成个平面，那在平面里面，你把 b、 p、 b 平移到什么 e 点，你把 e 点移到 e 点，那 b 点是不是也在 b、 d 的 终点处？正好在这个地方，这么连起来， 是不是这样子的，对不对？所以平移方向和本身形成一个平面，那么做辅助线我就会做了连接 b、 d， 那 b、 d 和 ac 的 交点是 o， 把 o、 e 连起来，对吧？然后因为 o、 e 平行于什么 pb， 我 简单写一点啊，所有人都得到什么 pb， 它是平行于平面 a、 e、 c 的， 后面的过程你会写就行，但是前面怎么就找到这个 o、 e 的？ 这个是需要你们好好去思考的啊。然后第二问，求 e、 c 与平面 p a、 d 所成角啊？所成角？来，我先把它辅助线擦了线面角，那不正好讲过，对吧？线面角怎么做的？是不是过平面外一点？严格的步骤来，如果你想去找这个垂线，那个垂足的话，对吧？那么用整体去法 e、 c 和平面什么 p、 a、 d 这个平面好一点就在平面上， c 点在平面外，所以过平面外一点做平面的垂线，因为这地方 p a， 它是垂直于底面的，所以我在底面只需要做一个什么 a、 d 的 垂线，它就和平面垂直，因为这两个平面是垂直的，对吧？它的平面是垂直的，所以只要过 c 点做 a、 d 的 垂线就行了。 过 c 点做 a、 d 的 垂线，那不凳等边上就行吗？做垂线垂足正好是终点 f 点，对不对？所以这地方咱们直接做 过 c 做 c f 垂直于 a d， 其实 f 点就是 a d 的 终点，对吧？然后因为平面 p a d 垂直于平面 a b c d 交界是 a d 嘛又然后 c f， 它垂直于 a d， 所以 c f 它一定垂直于什么呢？平面 p a d 对 不对？然后再连接 ef 哪个角？看清楚啊？哪个角？ 线面角是吧？ c e f 这个角叫线面角，对不对？ c e f 这个角就线面角 c f e 这个角是直角啊， c f 这个角是直角，所以 ec 于平面 p a d 所乘角的平面角。 为什么角 c e f 好， 这平面角为角 c e f。 那 么这是好角度，我找见了，下面算就行了嘛，好不好算？ 那直接算 c f 和 e f 就 简单嘛，对吧？那 c f 那 不是等边三角形的高吗？底面边上二的话， c f 等于根号三呀，然后 e f 的 中位线呢？等于 p a 的 一半啊，是吧？ e f， e f 等于 p a 一 半，就等于 p a s 一 嘛啊？ p a s 二， e f 等于一，所以我知道这个角的正切值，它减的 c 它减的减的减的减的角 c e f 对 吧？它等于对边 c f 比上个 e f 就是 根号三。所以角 c e f 是 不是等于六十度？ ok 吧，就这个题难度本身不大啊，所以如果这个题都不会做的话，说明你这个陷面角肯定是没有掌握好，然后再把我的讲页上陷面角的题再重新做一做。我陷面角讲了很多特殊方法，对吧？什么？等体积法了，对不对？终结面法了对吧？啊，不对，不是解面法啊，这就是解面法吗？对吧？还有个投影法，投影法，解面法是二面角的。 好，我们看第十七题，这个题是九维不见的，是吧？解三角形的问题，自己能不能把它写出来，在三角形 a、 b、 c 当中呢？ 三亿方 b 减去三亿 b 乘三亿 c 等于三亿方 a 减去个三亿方 c， 对 吧？然后这个地方求角 a 来求角 a， 怎么求 啊？还会不会求啊？这个，那求角 a， 那 你看这个式子，但那都是角哈，但能不能直接求出来？求不出来，你看都是关于平方，平方，平方，平方的式子，对吧？看见这么多平方，可能想到什么？余弦逆理，你想到余弦逆理，我自然想到把正弦把它改成边呀。边角互换， 提示，互换好，左两边都是平方，所以 b 方减 bc 等于 a 方减 c 方，所以移过来。那就是 b 方加 c 方减 a 方等于 bc， 所以 b 方加 c 方减 a 方除以个二， bc 是 不是等于二分之一， 是吧？所以它这个东西就等于口商 a 啊，所以 a 就 等于六十度，这不常见六十度吗？是不是？好，第二个来看看， b 方加 c 方都等于十二呢？那平方和也告诉你看几个条件，一个条件，两个条件，三个条件，能不能截出来？能，是吧？好，那最后要求什么？ d 为 bc 边上的中点， 那简单画个图， a， b， c， d， 对 吧？中线啊，要求中线长，这不 b 边，这不 c 边吗？那中线长怎么求呀？咱们可以用向量来求，对吧？你知道角 a 了吗？ 你知道角 a 是 六十度吗？是吧？然后它需不需要把这 b、 c 求出来？我发现好像不需要，对吧？用向量来求，因为这个平行四边形对角线法则了，这个东西可能可能选择长时间不容易忘了，但是向量这个东西应该要记得的工具类的东西。所以 ad 向量它是等于二分之一倍的 ab 加上一个二分之一倍的 ac， 然后算膜的话，就等于它的膜平方再平方一下，对吧？它等于多少呢？等于四分之一， ab 方就是 c 方，加四分之一的 bcac 方就是 b 方，加上个二倍的乘积就是二分之一倍的 ab 和 ac 的 数量级。你看 ab 和 ac 的 数量级是什么东西？是不是 bc 考三， a 考三， a 是 个二分之一， 所以写出来就这个东西啊？ b 方加 c 方，我知道， b 乘 c， 好 像我也知道，为什么呢？面积我知道呀，所以 bc 根本不用求，看见没有？ 所以这地方咱们你看，我做到这一步的时候，我刚刚说了，已经分析了一个条件，两个条件，三个条件，你三个条件，这个三角形一定能解出来，你 bc 能不能求出来是能求出来的，那如果我刚刚就义无反顾去求的话， 肯定就麻烦了，为什么呢？因为你不知道你的目标到底在什么地方，所以做数学题一定要弄清楚什么你的目标，你找见你的目标啊，摆出来，然后再来看我这个目标，要达到这个目标，我需要这个条件，怎么变形，对不对？需不需要把 b、 c 全解出来啊？如果后面目标要求的这东西很乱七八糟的东西，那我就义无反顾的解嘛，那也不迟啊，对不对？所以不要动不动就看着啥条件开始各种解方程 啊，把目标找准啊，这是目标，目标感足够强。好，那这地方面积它等于二分之一倍的 b c 三 a 三 a 就是 二分之根号三，它等于根号三，所以通过它我能知道 b 乘 c， 它等于四。那么直接说做完了看见没有，所以 a d 模的平方就等于四分之一倍的 b 方加 c 方，然后加上个四分之一的 b 乘 c， 对吧？不三加一入四吗？所以 a d 等于几二啊？ a、 d 等于二不难吗？你看这里看，是不是一点都不难啊？这是第十题啊，九十七题。好，下面我们来看最后两个压轴题，是吧？这两个压轴题， 它两个直角，那么都有一个内角为三十度的直角三角板啊，这个是三十度，这个三十度，这个六十度，这个直角，这个直角，对吧？就这个意思啊。好， 两个细长的三角板，其角短的直角边长均为十厘米。先按左图这个放置，放完了之后呢？以三角形代表两个细长板啊， pa 和 pc 都等于十， pa 和 pc 都等于十，这个是十， 然后 pba 呢？ pdc 呢？三十度啊，说一下这个东西，然后重合两条边，然后将两条斜边， ab 和 cd 呢？平行展开啥意思？ ab 和 cd 平行展开啥意思？得到右图所示的四能追。 啥叫平行展开 ab 和 cd 啊？他就把两个三轮，把两个三角板拉开了嘛，相当于是，对吧？平行拉开啊，就是把这个 cd 呢往这边拉，把 ab 呢往那边拉，对吧？拉开了就成这样子了。 ab 和 cd 嘛，那么这么一个，这是个三角板嘛？这是个三角板嘛，就这个意思嘛。平行拉开呀，形，形容这么多，对吧？好了，看第一问， 那求证什么平面 pac， pac 垂直于平面，什么 abcd？ 那 p， a、 c 和这个平面 a， b， c， d 垂直，怎么就证明这个垂直啊？其实要证明什么？证明这个 po 和谁垂直， po 和这个平面垂直就行了，对吧？这个应该是很好能看出来的。就咱们目标先找见，你要证明面面垂直，就证明平面内的一条线和另外一个平面垂直，所以这地方你要么证明 po 垂直于底面 a、 b， c， d， 要么证明 b、 d 垂直于平面。什么 p， a， c 是不是好？那这地方怎么正？其实很好正，这地方已经正出来了，是吧？那个 p a 和 p c 相等嘛，对不对？那你这么平行拉开， ab 和 cd 相等，平行拉开又平行又相等，是不是底下是平行四边形 abcd， 那 么 o 点就是终点了，对不对？然后因为 ab 平行且等于什么 cd， 然后所以就有什么 o 为 ac 的 终点， 对不对好？ o 为 a、 c 的 终点啊，也为什么呢？也为 b、 d 的 终点啊，又因为 pa 和 pc 相等，又都是两个一样的，都是十嘛，是吧？然后又因为 pa 等于 pc， 然后 pb 等于 pd， 所以 这个 po 呢？它既垂直于 a、 c， 那 po 呢？还垂直于 b、 d， 是 不是造完了啊？所以 po 是 不是垂直于平面 abcd， 是吧？所以这个第一问啊，还是简单的。那第二问，你看这考了什么平面 p、 a、 b 呢？这个平面和这个平面这两个平面所形成什么？交线是 l， 你 看，那就证明 l 平行 a、 b、 c、 d。 同学们考了什么？是不是我们课上重点讲过的东西叫什么？叫扇子原理对不对？所以重点我说过啊，在很多大题老想考这东西，因为它这个比较抽象， 对吧？上的原理，它要证明这个交线和这个 abcd 平行，是吧？那么熟悉了吧？因为 ab 和 cd 平行，两个半平面里面，只要能够找到一组平行直线， ab 和 cd 平行，那么 ab 和 cd 和 l 都是平行的，那原理是什么呢？我们再来写一下，因为 ab 平行于 cd， 所以 ab 就 平行于 cd 所在的平面吧。平行什么？平行平面 pcd 是吧？ ab 平行于 p、 c、 d 了，那么过 ab 的 一个平面 p a、 b 和这个 p c、 d 有 个交线 l 吧，那么这个 l 呢？一定和这个对吧？ ab 是 平行的对不对？这是线面平行的性质里好，又因为 ab 呢，是含于平面 p a、 b 的， 然后平面 p a、 b 是 吧？和平面 p、 c、 d 的 交线呢？它就是 l， 所以 这有什么？ ab 平行于 l， a、 b 平行 l， l 肯定平行于平面 abcd 了吗？对不对？所以 l 啊，平行于平面 abcd 好， 这是我们这个第二问啊，上次原理看看自己熟悉没有啊？咱们课上用过好多回了，对吧？咱们二面角里面用过这个东西，你看第三问，这是不是考的就二面角的东西？二面角 a、 l、 c， 你 看 a、 l、 c， 这是 l a， l， c 是 个什么鬼，是吧？这个点，这个半平面啊，这是棱对不对？这个棱其实就是 p a、 b 和什么 p、 c、 d 两个平面的交线吗？ c 呢？这不就是 p a、 b 和 p c、 d 这两个平面的什么？这两个平面的二面角对不对？所以当二面角大小为多少的时候，那么四能追 p a、 b、 c、 d 的 体积呢？它是最大的， 那二面角要算体积大值，二面角是多少？体积最大是吧？那这地方二面角怎么表示呢？这两个面交线都没有 看见没？这就咱们刚刚讲过的什么？关于这种两个半平面，如果相交于一个点的时候，我郑导第一问，他已经证明出来了， ab 和 cd 和 l 平行了，对吧？所以下面咱们直接过屁点，对不对？过屁点，你做 cd 的 垂线 来，过屁点做 cd 的 垂线和 l 垂不垂直，是不是？肯定垂直？来过屁点再做什么？ ab 的 垂线和 l 垂不垂直，肯定垂直，并且这两个三角形还是全等三角形，你做了垂线之后，这个距离都是一样的， 对不对？这个距离都是一样的。好，那么这个角度就是我要找的二面角啊，这个角度就是要找二面角， 对吧？好，角度，找二面角，那么这个地方涉及到什么呢？就是你把这个 a、 b、 c、 d 想想看，你们拉的越宽，他高可能就越矮，对不对？你拉的越近一点的面底面积越小了，高他又越高了。所以那你找个临界值，说什么时候你拉的距离在多远的时候，对吧？那这个时候他的什么体积是最大的？ 所以把它体积最大，咱们先找出来，体积最大我们怎么去考虑啊？怎么去考虑，我们先要考虑这个高啊，看是设这个高呢，还是设这个底面积。我们看底下它把 ab 和 cd 拉开，这么平行展开， 平行展开也就成什么样子了呢？就是这个地方是个 b， a， b 啊，这个是个 b a， 对 不对？然后这个地方是个 c、 d 呢？往往前拉平行拉开嘛， 是不？这意思是吧？保持啊，直角顶点重合嘛，然后将两条斜边平行展开嘛，是吧？平行展开，平行展开得到右图所示的四棱锥啊，就这么个东西。好，我们看这么个，这么一个底面是个 b、 c， a、 b、 c、 d， 是 吧？这么个平行四边形， 这个平行四边形我看看，然后我主要是算这个距离了，对吧？算这个距离，那么这个距离是多少的时候， 或者说咱们可以算一下这个高啊，看怎么算，比较方便一点啊，咱们可以把这个高设出来吧，设个高是个 h， 是 不是比较方便一点来，设个高是个 h， 那 么这个 p c、 p c， 它就等于十，那么 oc 就 等于多少呢？就是一百减去个 h 方，对吧？开根号，所以 ac 呢？我知道它等于二倍的根号，下一百减 h 方好，这是 ac 好。那么这个地方你做个垂线之后，高是不是就表出来了，对不对？你 a c 一 表出来，那么这个高，你看 a、 c 是 固定的啊，我说这里的 a、 c 啊，这是原来的 c 点，对吧？原来 c 点在这个地方，它是多少好不好？算，你看这是个三十度嘛，这是十，对吧？这是个十，那么这就多少呢？这是个二十， 哎，它这个怎么算呢？我们看看这个，它里面这个是不等，是不等面三角形吗？你看这是六十度，对吧？这个是六十度，两个是相等的嘛。这不等面三角形，这是十，这是十嘛，对吧？所以这里面的 a、 c 原来的 a、 c 这个地方是个十 啊，它是个十，所以这个高，这个这个高啊。这底面四边平行四边形， a、 b、 c、 d 的 高， a、 b、 c、 d 的 高，它是等于 多少呢？等于勾股定律啊。那就是四倍的一百减 h 方，对吧？然后减去个一百开根号，对不对？他这么东西，所以等于根号下四百减一百就是三百，三百减去个四 h 方啊，三百减去个四 h 方，好，这是我们这个高啊，就这个高 就是 c 撇吧，那全是 c 啊，就是 c c 撇啊。高， c c 撇好，底面的高，我知道了，底那个边 ab 长度呢？ ab 长度我也知道嘛，这不二十嘛，对吧？这是三十，十，二十嘛，所以二十啊，乘以这个高就是底面积，底面积再乘以这个高就体积，我们看看体积什么时候最小啊？什么时候最大， 那也就是说体积它就等于三分之一倍的高，乘以底面积，底面积的话就是二十。乘以这个高，就是根号下三百减去了四 h 方， 对不对？就这么个东西好，他这个东西来怎么算？他的最大值来？能不能看出来这是三分之二十乘一个 h， 乘一个根号，加什么三百减去个四 h 方，你们又有根号又这个 h， 你 可以考虑什么？你看这个平方和为定值。 他不对啊，这个平方和不是定值呀，他的平方是个什么？三百减四 h 方向，这是 h 方向，加起来不等于定值呀。那我能不能凑个四 h 方呢，对不对？所以把这个地方三分之二十呢？写成三分之十，把二放过来，你看就是平方和是不是定值， 这就用的什么基本不等式啊？当然如果你不用基本不等式也行，你把 h 放进去，是一个关于 h 方的一个二次函数，对吧？那这地方很明显麻烦了啊。所以小于等于三分之十到前 a 乘 b 小 于等于二分之 a 方加 b 方，是不是三百， 是吧？但他那求什么？并求出该最大值？体最大值啊。体最大值，那么直接算出来根本不用管二边角了，看见没有？所以他是体最大值，就算出来点多少？五五乘一百五百啊，体最大值就是五百。好，那我写着，也就说我们用这个方法先算出来的体最大值，那么这个时候就知道 h 点多少吧。 当前减到二 h 等于根号下三百减四 h 方的时候，取得什么？取等号嘛，对不对？好，也就是四 h 方就是八 h 方，八 h 方等于个三百，那么 h 方就等于多少呢？来，三百除以八， 三百除以八是多少呀？一百除以四能出进，对吧？一百除以四等于二十五，二十五，七十五，二分之七十五， 是不是二分之七十五？所以 h 方它是等于二分之七十五的，也就是 h 它是等于根号二啊。上面是一个七十五的话，二十五乘个三就是五倍根号三，那就等于二分之五倍根号六，所以这个时候它的高呢？是二分之五倍高六， 高是个二分之五倍根号六。那么你要算的这个二面角就算这个二面角，对吧？你看这个二面角等于多少？二面角的话， 因为它这个 p、 c、 d 和 p a、 b 都是全等的，所以你过 p 点做 c、 d 的 垂线垂足为，比如说为 e 点吧，那么过 p 点做 a、 b 的 垂线垂足为 f 点，对吧？那么这个 e 和 f 应该都是一个对称的样子吧？是不是？那么把这个平行四边形画出来啊？咱们重新画一下， 就这个平行四边形嘛， abcd 好， 那么做垂线 f 点大概在这一点，就在这，对不对？是这么个样子， 它都经过 o 点的，是不是经过 o 点的？哦，它俩一样嘛，对吧？因为这地方，你看这个 a f 和这个 c e 相等嘛？ a f 和 c e 相等，肯定就正好，这个平行四边形嘛，就同样是经过 o 点的，对吧？所以这个二面角的话，并且 p e 还等于 p f， 是不是 p 一 还等于 p f， 他 都能算出来，因为 p c、 d， 他 是个直角三角形的 p c、 d， 你 做个高，对吧？这是十，这是二十，这是十倍根号三，那就是十。乘以十倍根号三，除以二十，那就一百倍根号三。除以个二十就是五倍根号三，说高就是个五倍根号三。所以 p 一 和 p f 都等于五倍根号三， 那等幺三角形，那么算一半就可以了。就这个二分之 c 塔，对不对？我这个二面角是 c 塔的话，那二分之 c 塔是多少？就是考三 a 二分之 c 塔，那这地方你看啊，考三 a 二分之 c 塔，它就等于这个高比三个 p e， 对 吧？那考三 a 嘛，不是高比三个 p e 嘛，它是多少呢？它是 h h 是 一个二分之五倍杠六啊，比三个五倍杠三， 二分之五倍根号六。比上一个五倍根号三，那一比的话，那不是二分之根号二吗？正好是四十五度，对吧？所以这个 c 它等于九十度啊，所以二面角正好是个直角，看见没？所以 p a b 和 p c d 二面角大小为直角的时候，它的体积是什么？最大的是吧？体积最大，所以这个好像算的很麻烦啊，如果十八题难度挺大的，对不对？它里面 要算很多东西，是吧？好，来看，这是第十一题啊，十一题。好，我们继续来看最后一个压轴题，十九题。那这个题呢？我大概看了一下啊，难度也是挺大的啊，就最后两个题难度都挺大的，对吧？我们看看这个，他说三轮抬啊，我们说看见能抬的题，咱们要怎么做？还原成轮锥，对不对？其实毫不犹豫，你直接把轮锥画出来啊，这地方我都涂了点挤， 对吧？比如顶点是 s 点。好，我们来看看它的体积是十二分之七倍。高三呢？平面呢？ abb 一 a 一 垂直于平面， bcc 一 b， 然后告诉我了一堆等量关系啊， abc 是 一个直角，然后呢？ ab 等于二倍的 a， a 一 等于二倍的 a 一， b 一 等于二倍的 b b 啊，那就是一个二一一一吗？这个梯形吗？这不二比一的中位线对不对？这不终结面，相当于是，是吧？然后这不是等边三角形吗？相当于是，你看这个是二 x， 这是二，这是一，这是一，那这不就是二，这不就二吗？对吧？等边三角形，然后底下这个直角三角形，那你证明 bc 垂直于这个平面 啊？ bc 垂直于这个平面，还有两个平面是垂直的，两个平面是垂直的，怎么证明 bc 垂直的平面呢？是不是？所以这个地方你看啊，面面垂直，我通过面面垂直，我能得到什么？ 我能得到，如果过一个点啊，做交线的垂线，它就一定和什么，它就一定和平面垂直。那你这地方你需要证明的是， bc 垂直于这个平面，那么 bc 已经垂直于 a、 b 了，我下面还要找一个 bc 垂直于这个平面的那条线，对不对？那么这个平面的哪条线和 bc 垂直呢？我只要过 a 点做 b、 b 一 的垂线，是不是可以了？ 过 a 点做 b、 b 一 的垂线，那么这个它和交线垂直，那么和平面肯定垂直呀。那么这个是刚刚说的等边三角形，你等边三角形，你连接 abe 一 不就完了吗？ abe 不是 中点吗？等边三角形不垂直的， 所以第一问啊，这地方你但凡还原成那个能追的时候，看起来就很舒服啊。那第一，那咱们延长对吧？咱们说一下延长这个 a a 一， b b 一， 然后呢？ c c 一， 对吧？延长 a a 一， b b 一， c c 一， 然后交于 s 点啊，交于 s 点，因为 ab 等于二倍的 a， a 等于二倍的 a， e、 b， 对 吧？等于二倍的 b b， 所以 s a 等于 s， b 等于 ab， 这么写就行了，是吧？所以三角形 s a、 b 为等边三角形。 好，它是个等边三角形，然后下面，所以什么 ab 一 一定是什么垂直于 s、 b 的， 对不对？然后因为平面 s a、 b， 你 就选 s a、 b 啊，垂直于平面 s、 b、 c， 是 吧？所以 ab 一 一定是垂直于 s、 b、 c 的， 那所以 ab 一 它就垂直于什么 bc， 是不是 ab 垂直于 bc， 又因为 bc 它还垂直于 ab， bc 垂直于相交直线，所以 bc 垂直于平面， s a b 是 不是整完了，是吧？这是我们的第一问啊，所以这个过程不详细啊，如果考考试的时候肯定中间还要加上一些细细节部分啊。这地方就大概把思路写了一下啊。好，这是第一问来第二问，让我求这个 b 点到平面的距离，点到平面去，点面去， 对吧？点面积，咱们高中就一个方法，就是等体积法，你考体体积就行了，你看题目告诉我这个体积了，对不对？那 bc 垂直于底面， s a b 嘛，所以 bc 就是 高嘛， s a b 就是 一个底面积嘛，对不对？ 好，那么登台的体积我考虑能追啊，是吧？考虑能追的体积来第二个，那么你看这个能追的体积都是个结面，是个中结面，所以说这个这个小体积是大体积的八分之一吧，应该是，对吧？高也占了一半，然后底底面积是四分之一，所以整个体积是八分之一，那么底下是不是占了八分之七啊？ 所以这地方我知道八分之七倍的总体积， s a b c 相当于是等于十二分之七倍根号三，对吧？所以我知道这个总体积 s a b c， 它极就等于 s， 你 看我不写 s a b c， 我 写什么？ c s a b c s a b 以 c 为顶点，对吧？那八乘过来就是二分之三分之二倍根号三。好，以 c 为顶点， s a b 的 一个体积呢？等于三分之二倍根号三。我们刚刚把这个设出来，我们就设 a b 等于二 x， 是 吧？这个是二 x， 够了吧？ b c 也是二 x 嘛。啊？咱们设那不用设二 x， 就 设 x 就 行了嘛。对， 好，是 a b 等于 x， 所以 体积 v c， 是 吧？ s a b， 它体积等于三分之一倍的底底面积乘以高，高是个 x， 是 吧？就是 b c 嘛，那高就是 b， c 底面积是 s a， b 的 一个面积，就等边三角形的面积四分之根号三倍的 x 方，对吧？它是等于三分之二倍根号三，你看，所以 x 方， x 的 三次方等于八，你看， x 就 等于二，是不是？好，那算出来 x 等于二，就棱长为二了嘛？这 ab 等于二，这个也是二，这个也是二，这个是一，对不对？等边三角形？好，这第一问，那第二问，第二问。算，算 b 点到 a， c， c， e， a 的 距离，那就是 b 为顶点嘛？ s， a， c 为一个什么底面积？那么这地方 s， a， c 这个面积怎么算呢？ a， c 我 知道是二倍根号二，那么现在还差一个什么？还差个 s， c， 对 吧？还差个 s， c， s， c 怎么算？ s， c， 它里有啥条件吗？算 s， c， s， c 等边三角形垂直啊，这不是直角吗？ bc 不是 和它垂直了吗？对不对？所以这个是二，这个是二。 s， c 不 也是二倍根号二吗？对吧？啊，一样的啊，可以，所以这个 s， c 也能算出来，那就面积也能知道吗？这个是二倍根号二，这个是二倍根号二，对吧？这个是二，这面积是不是也知道？ ok 啊，所以咱们都写一下。所以啊， b， s， c 等于二倍根号二，对不对？然后呢， ab 也等于二倍根号二。 好，这个地方咱们把这个三角形画出来啊，一个二倍根号二，是吧？然后相当于是 c 为顶点的一个等幺三角形，是不是 c s a 嘛？这不是 c s a， 然后 c s， a， a， c 也是一个二倍根号，哦，写错了， ac 啊，这也是二倍根号，这个是二，对不对？做高这不一吗？这不是八减一根号七吗？所以我知道面积 a， s， c 的 面积就等于二乘根号七除以二，就是根号七，是吧？所以 a， s， c 的 面积我已经知道了，那么等体记法，所以 v， c， s， a， b 就 等于 v 以 b 为顶点， s， a， c， 对 不对？好，它是等于三分之二倍根号三的，所以三分之一倍的底面积根号三，所以 h 呢？就等于根号七分之二倍根号三，就等于七分之二倍根号二十一， 是吧？好，这是咱们这个第二问啊，你看是不是挺复杂的啊？你看第三问，来看看，在线段 c， c 一 上呢？是不存在点 f 点 来点 f， 点什么？我用蓝色的笔啊，指二面角 f， a， b， c， f， a， b 这个平面，你看和底面所成二面角，那么侧面和底面所成二面角，那这地方其实比较形象，就直接做垂线就行了，对不对啊？过 f 点做垂线， 好，也就是说我下面要找什么呢？找这个 s 点到底面的这一个投影，对吧？那 s 点到底面的投影是哪呢？就是你看这个，因为为啥找 s？ 因为 f 点做投影也是一样的，那个就是 s， c 到底面的投影在哪，对吧？你看这个 bc， 它是垂直于平面 s， a， b 的， 看见没？ 所以我只需要过 s 点做什么？做 ab 的 垂线是不是就可以了？就取 ab 中点，那么取 ab 中点，比如说是一个 a， b， c， d， 比如 d 点吧，对不对？那么把这个，你看这个 s， d， s， d， 它就垂直于 a， b， s， d 垂直于 a， b， s， d， 它也垂直于 b c 啊，所以 s d 就 垂直于这个底面，所以这个图画的特别难受啊，这歪的对吧？感觉它其实就是 s d， 它垂直于底面，对不对？ s d 垂直里面是 s d， 这不就是投影吗？相当于是，是吧啊？ s d 就 投影，那么这个时候把 d， i， d， c 把它连起来，所以我知道 f 点到底面的投影呢？就在 d c 上，对不对啊？一样的啊，一样的，所以假设投影是 e 点， 那相当于这地方，就是啊，咱们可以证明一下，就是连接，是吧？然后取 ab 总点 啊，取 ab 中点 d 点，然后连 s d， 因为 s d 它是垂直于 ab 的， s d 它也垂直于 bc， 所以 s d 它就垂直于底面。什么 abc？ 就 咱们阶阶段学的二面角，它应该是能找见这个二面角，平面角的，对吧？没有多特别复杂。 s d 垂直平面 abc， 所以 我过 f 点做什么呢？做 dc 的 垂线， 然后垂足为 e， 对 吧？然后再过 e 呢？做交线的垂线，对吧？做这个 e g， 对 吧？垂直于啊，做 e g 垂直于谁呢？垂直于 ab， 对 不对？然后垂足为 g， 然后再连接 g， f， 是 不是可以了啊？连接 g f， 所以 这就是我们要找到二面角的平面角， 看见没有？好，那么这个二面角的平面角找见了之后，那么后面就算就行了啊，这个地方都是直角三角形，我们看看怎么算？因为注意啊，这玩意是平行的，这玩意这样平行的，这是平行的。好，那么这个是平行的，我要算这个啊，它高出的二面角是三十组了，是吧？三十组，那么这个就是一比二比根号三嘛，那咱们可以把这个 f 一 把它设出来，是吧？ f 一 设出来， 设 f 一 等于 x， 那 么这个 eg 呢？它就等于根号三 x， 对 吧？ eg 等于根号三 x 啊， eg 等于根号三 x x c d 这个底下这个直角，这个是二嘛？这是个一，这是根号五，对吧？这是根号五，这是 x， 这是个根号三 x， 比根号三， 是不是这个比这个，那么这个呢？算出来这个，这个是根号三 x， 这个是根号三 x， 那 d e 也知道对不对啊？这地方能构建个方程吧，是吧？可以啊。 嗯，那这个还是还算比例啊，好麻烦呀这个题。它这个，这个是根号三 x， 就 它比上它是等于它比上它的，对不对？它比上它是等于它比上它的两个一加等于一啊，通过这来算比较方便，你看，因为 g e 啊，比上个 bc， 是 不是？它是等于 d， e 比上个 d c 的， 然后这个 fe 比上一个 s， d， 它是等于 c e 比上一个什么呢？ c d 的 好，你把这两个一加 g， e， 它是一个根号三倍的 x， 比上个 b c， b， c 是 个二，加上个 f e， f， e 是 个 x， 比上个 s d， s， d 是 个根号三， 对不对？ s， d 是 个根号三，加起来等于 c， d， c， d 分 子 d， e， 你 看就 c， d 分 子 d， e 加 c， d 分 子 d， e 加起来不是一吗？对不对？所以这个算 x 比较方便啊，我们看这个 x 能不能求出来 啊？应该是可以求出来，是吧？那所以这就是二分之根号三，三分之根号三，不就是六分之五倍根号三倍的 x 吗？所以等于一吗？所以 x 算出来等于什么？五倍根号三分之六，五倍根号三分之六，那就是五分之二倍根号三，那 x 能不能等于五分之二倍根号三呢？ 对吧？然后 c 点到底的投影这个长度是多少？这个是不是就是 s d 的 一半，对吧？ s d 等于根号三，这是二分之根号三，然后它的投影长度呢？是比这个要小啊，所以五分之二倍根号三呢？比这个要小， 所以什么存在？因为 c 一 到底面的投影， 因为 c 一 到底面的投影投影长度多少？是二分之根号三，对吧？然后五分之二倍根号三，是小于二分之根号三的， 对不对？那所以存在啊，存在 f 点，对吧？它是这个题啊，这个题难度是特别大的，对吧？所以后面啊，其实我大概看一下，还以为不难，这个做起来太麻烦了啊，这个题，是吧？后面还用到那个和等于一，这个这个这个性质，是吧？ 所以他俩加起来啊，加起来有一通过，他算这个 x， 所以 这后面这两个题啊，这两个题难度特别大，所以不会做也正常，是吧？主要是你们现在立体几何立体感还没有这么强，是不是？慢慢练啊？慢慢练好，这是我们这个太行的一些经典题啊，咱们就讲到这个地方，下来之后你们自己做一做啊，好好看一看。
169廖老师讲数学
