2025届安师大附中高三最后一卷模拟
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00:15查看AI文稿AI文稿再见了，老师。再见了，我亲爱的同学，我祝大家好好平安。
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01:23查看AI文稿AI文稿芜湖一中和安师大附中啊，这两所高中在芜湖都是算得上一个顶尖的高中，无论咱家孩子在哪所高中， 其实本科都是没有什么问题的。就像芜湖一中啊，他二五年参加高考人数大概是在一千三百人左右，那六百分以上就五百二十九人，特供率能达到百分之九十八，清北啊，也是录取了八人，那像安师大附中呢，大概是在一千一百人去参加高考，那本六百分以上有 四百五十三人，特困率呢呢，维持在百分之九十三点四以上啊，清北也是录取了五人。那这样的头部高中啊，其实很多孩子啊，是很难上到的，基本上很多孩子进入高中以后啊，整体的学习成绩啊，都处于一个中等的一个状态，比如说大概是在本科线附近啊，四百来分， 就这样的成绩，你未来想冲二幺幺九八五啊，在安徽是很难的，但是如果你换一个地方，完全是有机会的。 那家长们问，那有什么其他的赛道吗？那就是啊，可以把孩子直接在高一的时候户籍学习转到东北去高考。为什么在东北呢？因为东北啊，它采用全国二卷，基本上三百多分，你就能上到一个本科，四百多分啊，你就能上到二幺幺 五百多分呢，就有机会上九八五。家长可以考虑一下这个赛道啊，孩子啊，学习也轻松，好大学完全没有问题。感兴趣啊，你可以好好去了解一下具体的合理合规办理流程。
00:21查看AI文稿AI文稿试卷分享，高一高二全科期中考试安徽师范大学附属中学二零二五到二零二六学年高一高二下学期期中考试试卷及答案 视频市场有限，展示的是高一化学学科部分资料，如有需要高一高二全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。
02:39查看AI文稿AI文稿现在是二零二五年五月三十号星期五，是我们毕业典礼的日子，是我们刚来学校的最后一天，穿着礼服，然后照了好多照片，马上就要告别我们师范大学。师大附中。对，我们已经出来了，所以 准备拍学校的照片，但是在学校里拍了很多照片。妈呀，我废话好多呀，有缘的人会再相逢，对吧小姐姐？对， 看看我的朋友们，等一会我们就要告别彼此，快招手。哈喽， 三二一。哇哇哇哇三二。
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00:23查看AI文稿AI文稿试卷分享，高三全科模拟考吉林省东北师范大学附属中学二零二五到二零二六学年下学期高三年级五月模拟考试试卷及答案 视频时长有限，展示的是数学学科部分资料，如有需要全部学科试卷加答案的，可以微长来取，整理不易。
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00:15查看AI文稿AI文稿在人生的大课堂里，往往制胜的未必是分数，而是真挚于心的信念和为别人着想的善良。同学们，无论你走多远，愿你勿忘本心，洗净清华，抱土回归！
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09:03查看AI文稿AI文稿大家好，我是麦斯利，很高兴今天与大家来分享西安陕师大附中二零二五至二零二六年高三第十二月份的月考试卷的评析。那么这份试卷呢？那么通过我们的拆解与统计，大家应该达到的防守分数为一百二十八分， 那么这次考的这个试卷整体难度依然属于中等水平。下面我将整个大家需要防守住的题以贴图的形式给大家放在屏幕上，大家去自行查阅。 下面我将每一部分的题型给大家做一下拆解。选择题，我们这一次要求大家依然防守前七道题，我重点说第六题和第七题。 第六题这道题是以三角函数为背景来考察大家最值问题，那么这道题依然是要解决两个逻辑，第一个逻辑就是大家自己要能够将塞盈 x 减六 f 加上塞盈二 x 加三 f 这个解析式先要做化解， 要想把这个解析式化简出来，我们必须有已知条件来去确定出 omega 及斐值，只有把这两个值解决掉，大家的 f x 才是确定。 那么一旦确定，我们带入之后，大家去结合诱导公式，就会发现可以把它转化为一个二次函数，那么最终你会明白这个最值问题是要结合二次函数来解决的。 但是在这一块要提醒大家一点，当你换元新变量的时候，一定要确定新换元变量的范围， 没有这个范围大家结合二次函数图像，你是无法求助他的最值。下面我们来说下第七题。这道题来说提议比较长，大家稍微做一下理解，其实这个问题也迎刃而解，让我们来求莱莱摩恩的一个直线方程， 大家对题理解一下，其实就可以把我们的数学模型抽出来了。那么首先大家知道圆经过三点让你求圆的方程， 那么很简单，大家不要再去设标准式，而要设一般式，也就是 x 方加 y 方加 dx 加 y 加 f 等于 大家。三是去做连力，我们就可以解出第一 f， 当你确定出第一 f 也就是我们圆的方程之后，这个直线方程其实也就迎刃而解。这道题取决于大家的基本功以及你对问题的理解能力。 这道题我希望大家能够把它依然防守住。最后的第八题，我简单破一下题，这道题里边依然涉及到两个问题， 第一个就是已知条件， f x 加二等于 f 二减 x， 这是我们的一个结论，当遇到 f a 加 x 和等于 f b 减 x 关系，我们一定要知道它有，它可以当做对称轴，结论， 也就是 x 等于二分之 a 加 b， 或者当做周期我们去进行推导都是可以的。 那么这道题最终依然要解不等式，左右两边拖有 f 的 这样的一个题型，我前面已经反复讲到，你要具备两个点，第一我们要能够解决它的单调性，第二就是它的基友性，如果大家两者能够去做结合，已知关系式，你也就会用 第八题允许大家做错。但是我希望大家也要去积累这种问题的一个方法， 毕竟当你到达防守分之后，如果还想再往上去走一些分数，那么这种题大家也要逐一的能够把它解决掉。下面我们来看一下多选题了，这次多选问题依然防守就合适。 第九题依然是考察三角函数，给出了尔法和贝塔的正切值，让你来判断答案，这个我认为都属于送分题。 那么第十题，那么基本考察的是正态分布以及概率，包括我们的二项式定律相关机器。 这个题也是大家只需要把每个答案当做我们的什么题型去处理即可，最终你这两道题应该能够完整的把分抓住。 最后这道题大家只需要按单选来处理它，这样我们的整个多选问题其实是虽然有些失分，但是我们已经可以把全部三分之二的分数抓在手里了。 说一下填空题，依然防守前两道题，十二题我们考察的是一个导数的切线问题，大家只要结合我们的导数切线的几何意义来去处理它参数 k 的 值即可确定总分题。 十三题，大家只要把图像画一下，那么他给了一个向量的关系，向量 f 一 b 等于两倍的向量 b a， 那 么我们最终求离心率， 那么离心率的关键点我一再强调，关键在于构建 abc 的 等量关系，那么大家要想把 abc 的 关系构建出来，只要竖琴结合基本就可以出来，这道题也没有什么太大的难度，相信大家能够处理和防守。 下面我们来看十五题，这是我们的解三角问题，依然是结合了一些常考的题型。 第一问让你求角 a， 大家通过已知关系式见到 b 方加 c 方减 a 方，应该很容易能够想到我们的什么鱼弦定律的变形式， 这一步应该很容易出来。第二步属于我们解三角问题与我们的平面几何的一个结合题型，那这种题来说需要大家灵活的来运用正弦定律，那么以及我们常用的一些技巧， 大家必须要能够有所积累，你这个题才能进行突破。我相信这一问可能会对一些同学会有卡点，但是问题不大，如果十三分大家能达到十分以上也是可以的。 十六题，这道题考察的是我们立体几何相关内容了，这两位大家其实并不陌生，第一位让你证明线线平行，第二位让你来求点到面的距离问题， 那么这个两个题型都是已经我们在无论立体几何还是空间向量部分都已经反复讲解过的题型， 只是说大家在拿到考题的时候能否准确的把这个坐标系建出来，这种题肯定用间隙的方法来处理，它会更加简单。 在第二问上已知两面的夹角，也就他给了二面角余弦值，其实是相当于来帮助你确定里边的某一个什么待定量，如果这个待定量能够确定出来点到面的距离，大家只需要结合我们给的公式代入即可。 这个问题我认为依然放到最后来去处理，但是在思路上大家是不能有卡点的。十七题，这道题我认为大家这一次啊突破的可能性是非常大的，因为他基本是靠我们概率这块相互独立事件的概率的一些求法， 第一位让你分不裂，第二位让我们来判断他的实操能力，也就是要评价，那最终我们要去结合他的期望。这个题型我认为难度上适中，大家这一次应该把它拿下。 第十八和十九题，两到十七分的题，十八题我们希望大家全部要拿下，为啥？因为这两位可以说都在我们的防守范围内。十八题的第一问给出左顶点，相当于告诉了你 b 的 值， 左顶点相当于告诉你 a 的 值，那么我们这个经过点 b， 这道题的计算量应该比较大，因为他给的这个点都是一个分式。 那么第二问依然是让你表示为面积最大，那么让你求点 p 的 坐标，那这道题大家如果学过参数的方法，我们其实可以把它转化为什么三角函数来解决的。这道题我希望大家能够两问全部抓住。 最后这道题考的是一个两小问，第一问让你证明不等关系，第二问其实本质上是一个导数问题，但是这道题我们要求大家只解决第一问即可。第一问在让你证明，在零到一时， 我们 x 减去 x 方小于三， x 再小于 x。 如果这道题大家能用图像的方法给予说明或者证明，我认为就没有什么大的问题。 所以说以上这次的月考试卷，我认为难度上还是可以的。看看大家在前三次月考的积累之后，这一次月考 是否会有一个突破。如果老师点到的这些题，你在思路上或者在具体的推导过程中还有更多的问题，大家一定要引起重视，一定要去聚焦你薄弱的环节，赶快去解决相应的问题。 最终我也希望大家未来的考试能够一帆风顺。今天我对这份试卷就平息到这关注我，你的数学不再困惑。
00:56查看AI文稿AI文稿安徽高中 top 十排行，接下来看另外五所，你觉得哪所最值得推荐？马鞍山二中，一九五七年创办数理和信息学竞赛，全省领先。二零二五年清北录取八到十三人，六百分以上超三百人。安师大附中竞赛狂魔，二零二五年五大学科竞赛四金十一银六铜 十七人进省队拔尖创新人才培养高地。芜湖一中，千年学府见效，可追溯到一七六五年，六百分以上五百二十九人。 c 九高校录取四十九人。皖江教育明珠合肥幺六八中学，中等生逆袭标杆。二零二五年清北录取十五人，还出了全省理科状元，特控率百分之九十六点七。合肥一中，安徽教育天花板，一九零二年创办超八千余名学生。二零二五年清北录取人数四十六人，特控率百分之九十八点二 六百分以上，占比超百分之五十五。十所顶尖高中盘点关注我，下期带你了解安徽各地市的高中！
![2025-2026山大附中高一下5月月考数学试卷讲解（上） 大家好，这是山大附中今天刚考的高一5月月考试卷，我做了一下[捂脸]，我用了一个半小时，算是完整做完了。平时我录一份卷子做完讲完也才一个小时，可想而知这份试卷难度有多大！大家根据自己的情况酌情练手，这份试卷也就前3题，第9题，12题简单点，其他的都要算，从第4题开始就要开始算了。选择第6题，填空13，还有大题前三个算是中等题，孩子们可以测一测看自己能不能完全拿下！必须拿下！选择第7.8，多选10.11，填空14，还有后面18，19两个大题难度都特别大，特别考察学生的基本功，纯粹就是几何作图，通过平行垂直的基础理论找到图形的特征，完全考察思维能力，选题的确太棒了！孩子们都可以好好观摩观摩，反复推敲，这就是锻炼思维能力的好题！#高中数学 #高一月考 #同城教育 #立体几何](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/16921d59da55ba6a05d88529bfd835d8~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2102742000&x-signature=qgkE1kc0ulxzSQiCD1e1%2BUvrl%2FQ%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026082215215595489A422221B2942278)
49:25查看AI文稿AI文稿好，大家好啊，这个是我们的太原老大哥，山西大学附中中学，然后昨天考的那个五月月考卷子，那我拿到之后，我大概扫了扫啊，就发现一些关键的题呢，就特别难啊，我就挨个做了一下，我就从第一题开始一做做，做到做到最后，大概做了有近一个半小时才做完， 所以难度呢，是特别特别大的。那里面涉及到，你看啊，从前三个题不需要，可能不太需要计算，对吧？从第四个题开始就要算，一直算啊，一直算，算到后面， 几乎每个题都要算啊，后面，所以说包括一些，包括第七题啊，第八题，你看第七题，第八题啊，难度都特别大啊，就第九题简单，对吧？第十题还行啊，但是也不一定能做对啊，所以十和十一这两个题 啊，相对来说难度没有那么特别大，但是学生也不一定做对啊，然后后面题目题的十四题啊，太抽象了。折纸问题，我昨天做题的时候专门拿了个 a 四纸折了一下看，拿了个 a 四纸折了一下，折完之后才想明白啊，所以这个 很难的啊，很难，但是大题的十五题，十六题，这两个题啊，相对还是简单，十七题也还简单啊，然后再看这个十八、十九这两个题，难度也特别特别大，那里面涉及到对图形的一些理解啊，包括你洁面图呀，各种各样的画法。好吧，那么下面我们就从头到尾来把这个卷子一起一起来赏析一下啊，一起来赏析一下。 好，我们来看第一课，下列说法错误的是哪个？那对于两条确定的一面直线是吧？一定不存在一个直线与这两条直线都平行，肯定不存在吧，是吧？都肯定对的啊，肯定对的。想清楚，如果有两条直线和他直线都平行的话，那么两条直线也平行了，对不对？那 b 过直线外一点，而且只有一个平面 与已知直线是垂直的，过直线外一点，尤其只有一个平面，你看这么个是直线啊，这个直线过直线外一点，是不是只能做这么一个平面和这个直线是垂直的，对不对？没问题啊， b 也是对的。 好。 c， 如果三条共点，直线两两垂直，三条共点，直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面。首先三条直线共点了，你共点之后，在平面内是不可能，是吗？ 垂直的对不对？在平面内是不可能垂直的，那么只有两条直线啊，两条直线垂直的直线。那第三条直线和这两条直线都要垂直，那这个直线只有可能什么垂直于这个直线，两条直线的平面， 是不是？所以 c 也是对的啊？好，我们看 d 选项来过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，那这句话不对是吧？那可能可能学员感觉也对的呀，过一个过一点是吧？做这个椅子直线的垂线对不对？这只有一条呀，这是平面上的，空间里面呢， 是不是空间里面？比如再看这个直线，然后过这个点呢？这么做，一条直线是不是也可以是垂直的？如果他说相交垂直的话，那只有一条，对不对？所以 d 选项不对啊，错误的是 d。 好， 这是我们第一题啊，相对还是可以想象的，对吧？来看第二题，如图，三人柱当中 e、 f、 g、 h 都是终点，那么下面的说法错误的是哪个？来 a、 e、 f、 g、 h 呢， 对吧？四点共面啊，这个咱们证明过的，对吧？我们把它延长啊，延长啊，这四点共面不需要延长啊，四点共面就直接是什么 g、 h 和 e、 f 平行，对吧？那么所以四点共面好， c 选项需要延长，就是 eg、 f、 h 和 a、 a、 e 三点共线啊，三线共点，你看三线共点都交于一个点，对吧？交于一个点， 为什么交一个点？那这个地方我们在之前点线面的位置关系里面专门去说过，这个其实考察的就是什么平面的三大公里，对吧？然后这地方那么可以说呢，先说明 eg 和 fh 先交于一点，那么这个点呢，在 eg 上， 对吧？所以就在这个平面上，然后这个点呢，在 fh 上，所以也在这个平面上，它这个点在两个平面上，所以肯定在两个平面的交线上，交线就是 a、 a、 e 啊，所以能证明三相共点 好， b， a、 a、 e 呢，与 g、 h 是 异面直线，那肯定是对的呀，对吧？来 d， e、 g、 h 等于 f、 h、 g， 这个对不对呢？这个哈，你要对的话，说明这个 e、 g 它要和什么 h、 l、 h、 f 要相等，是个等腰梯形，对吧？来 e、 g 又等于 ab， a、 e、 b 的 一半，然后 f、 f、 h 呢？是等于 a、 e、 c 的 一半。题目有没有说这个这这这线段长度相等呀，这是矩形啊，或者啥的， 没有任何条件可以说明，对吧？所以选四 d 啊，选四 d 好， 这是第二题。来第三题，正方体中都是终点，那么下面能够满足 a、 e 和垂直于 b f 的， 你看 a、 e 和 b f 都是悬空的，对不对？反正总有条线是悬空的，那么在悬空的情况，我怎么证明线和线是垂直呢？我们说有个特别好的方法，叫什么？叫， 是吧？三垂线法对不对？三垂线法，所以咱们直接把它投影下来啊。比如说，你看 a 选项， a、 e 和 b f 垂不垂直，你把 a、 e 投影到底面，是不就是 af， af 和 b f 不 垂直吧，所以 a、 e 和 b f 它就不垂直，对不对？ 这就是三垂线的妙用啊。所以 a 不 对来 b， 你 把 a、 e 投影到底面，是不是就是 ad 啊？ ad 和 bf 垂直吗？那明显不垂直对不对？那个 a、 e、 a、 e 投影到底面是 af 来正方形当中，正方形当中取个中点连起来，这两垂直吗？不垂直啊，是吧？所以 c 也不对啊，答案选是 d 啊，答案选是 d。 好，你看第一选项，你把这个 a、 e、 e 点在哪？ e 点在这个终点，对不对？你把这个终点投影过来啊，投影过来是不是这个终点？哎？一个正方形，然后看不清楚的话，你看这个点在终点连起来，然后这个终点正中连起来，垂不垂直，是不是垂直的，对吧？所以满足 a、 e 和 b f 垂直的就选四 d。 好， 这是第三个题。 好，我们看第四题啊，正方体 a、 b、 c、 d， a、 b、 c、 d、 e、 d 当中，那么它的棱长为二直线 a a 一 到平面， b、 b、 e、 d、 e、 d 的 距离是多少？来，这个我提前画了个图啊，正方体 a、 a 一 直线到平面的距离，说明直线和平面是平行的嘛，对吧？所以这个相对简单啊，也是需要算一下， 那 a、 a、 e 这个直线和这个平面之间的距离，那线面的距离肯定是平行的才算距离，那直接看一个点是吧？到 b、 e、 d、 e 的 距离是不是就这个距离？那么这个距离是多少？是不是就是面对角线的一半能长为二，那么就是根号二，对不对？根号二好，这是选 c 啊，选 c， 那 第五题如图所示，阿尔法和贝塔是平行的，来平行直线，然后 g、 h 呢？ g、 d 呢？还有 h、 g 呢，对吧？ h、 e 都交于 a、 b、 c 三个点 啊，六个点 d， e、 f， 那 并且 g、 a， 你 看 g、 a 它等于九，然后 ab 呢？等于十二，然后 b、 h 呢？它是等于十六的，是吧？然后面积 a、 e、 c 的 面积等于七十二，那么 b、 f、 d 的 面积等于多少？真的考的特别灵活，你们发现没有？那他这个考什么呀？ 两个平面是垂，两个平面是平行的，那我这个 g、 h 和 h、 e 是 不是两条相交直线？确定一个平面，这个平面和这个阿尔法和贝塔有两条交线，一个是 a、 e， 一个是 b、 f， 所以 a、 e 和 b、 f 一定平行，同理呢，这个 a、 c 和 b、 d 它也同样是平行的，对不对？好，它平行的时候我是不能算出来比例，它告诉我 a、 e、 c 的 面积， a、 e、 c 的 面积，还告诉我 b、 f， 让我求 b、 f、 d 的 面积，那这两个面积 b、 f 和 a、 e 平行， b、 d 和 ac 平行，所以这两个夹角相等，那么这个三角形 b、 f、 d 的 面积啊， b、 f、 d 的 面积是不是等于二分之一倍的？ b、 f 乘以个 b， d 乘以个夹角三角 c， 那 么这个 c 它和上面这个三角形 c 它是一样的，所以你只需要弄清楚这个边长的比例是多少，是不是就可以了， 对吧？好，那这比例是多少呢？来看看。如果这个是 x， 你 看啊，这个有这么个比例，它比它是不是？是不是等于这个十六比上这个二十八，是吧？十六比二十八，所以十六比二十八，就这个比这个好。 如果这个是 x， 我 就把这个是 x 啊，这个写成 y， 对 不对？那这个 b f， 你 看啊， b f 比上这个 x， 它就等于十六比二十八，约个四局就四比七，所以 b f， 我 就能写出来它等于七分之四 x， 对 吧？七分之四 x 好 看。 b d， 你 这个 ga 比上个 g b 是 吧？是不等于 y 比上 b d 好？ y 比上 b d， 那 y 比上 b d 是 个比值，是多少呢？ y 比上一个 b d， 它是等于 九比二十一，对吧？九比二十一，是不是就是三比七啊？就这个 b d 呢？等于多少？写一下啊？ b d， 它就等于把乘过来，是七分之三，三分之七，对吧？三分之七倍的 y 是不是做完了，所以来面积二分之一倍的 x 乘外乘一个三 x， 它是等于七十二的，对不对？我现在要求什么呢？二分之一倍的 b d， 三分之七外乘以个七分之四 x 乘一个三 x， 它等于多少， 是吧？那是不多，就多了个系数啊。你看把三分之七和七分之四一乘，就这个三分之四，是不就等于三分之四乘以七十二， 对吧？三分之七十二，那就二十四乘四嘛，就是九十六，对不对？选二 b 啊？选二 b， 所以 这个题考了个平行的一些证明啊，包括这个三角形面积这个比例问题，是吧？考的很灵活啊，考的很灵活。好，我们看第六题，如图，在正三等柱当中呢？ ab 和 a a 一 是等于二，与平面平行的平面，与底面平行的平面截三等柱截了个截面，那若立体几何底下这个剩下的部分的，对吧？ ab a b e b e 啊，这个剩下的部分的体积是二分之三倍，根号三，且几何体的所有顶点呢？均在同一个球面上，那么则该球的表面结为多少？ 那剩下的这个是什么东西？ a b d e a e b e d e e e 什么东西？是个四能柱啊，对不对？那么四能柱的外接球怎么算呢？四能柱这个柱体不管是什么样的 猪蹄是吧？三等座也好，四等座也好，我要找的永远是什么？是底面这个多边形的外接圆圆心，外接圆半径和它高的一半， 对不对？高的一半，然后直接勾五厘米和外接圆半径对不对？勾五厘米算出来的是不是就是外接球的半径， 是吧？好，那么现在我们来看看。高是知道的， a a 一 等于二，所以高的一半就是一。那么下面也就是说我必须弄清楚这个 a e b e d e e e 这个梯形，对吧？这个叫梯形。正三等座，那就等腰，等腰梯形，那么这个等腰梯形，它的外接圆的半径是多少？ 好，那么有哪些数据我已知呢？ ab， 我 知道，那就底边这个是二，我知道，对吧？那么 d d 一 好像不太知道，是吧？好，但是我知道这个剩余体积是多少呢？二分之三倍根号三的话，我是不能弄出来这个，这个 d 一 e 它的一个长度对不对 啊？它这个长度是用比例算呢？还是用什么算？我们看一下它这个二分之三倍根号三，二分之三倍根号三，那就是 d 一 e 一 梯形，那么总体积是多少？你看总体积， 总体积它就等于高，高是一个 a， 一 是一个二，对不对？然后乘一个底面积，底面积边长是一个二，那么面积就是个根号三，是不是二倍根号三，对吧？总体是个二倍根号三，那么现在剩下的部分的体积是二分之三倍根号三， 然后两个一减，减去个二分之三倍根号三，就是上面那个小的三等柱的体积，那么它是等于二分之根号三的好，也就是说 这个体积是一个二分之根号三，总体积呢？是二倍根号三，是个一比四，那么这个一比四高都一样，所以底面积是个一比四，这是个一，这是个四，是吧？那么也就是说这个是相似，比就多少呢？是一比二，相似比一比二，那第一一就是它的终点嘛，就是一嘛， 所以第一意义就是终点，那就是一好，那么这地方是一的话，那咱们就好做了吧，是不是？那么就相当于这个梯形来，上面是个一，底下是个二啊？等腰梯形，这样是个六十度，对不对？六十度一二，那么算它的外接圆的一个半径啊。外接圆半径， 那外接圆半径在哪呢？怎么算呢？假设圆心在哪？在正中间这个地方嘛，对不对？那么它到四个点的距离都要相等啊？啊？这个咱们再算那个圆台的外接球的时候是经常看这个图，对不对？好，我们看看怎么去列这个方程。这个六十度，然后这个是二分之一， 然后我假设外接圆半径是个 r， 对 吧？外接圆半径是 r， 好， 小 r， 然后这个也是小 r， 对 不对 啊？小 r， 这个是一，然后这二分之一，所以我说 r 方减去个四分之一啊， r 方减四分之一，就这段，对吧？开根号加上一个根号下， r 方减去个一，加上这段，是不是点，这个高？好，那个等腰梯形的高，能不能算出来来？我做垂线， 做两垂线，然后中间上面是个一，这个一，总共是二垂，这个是二分之一，二分之一，这是二分之一，这是二分之根号三，对吧？所以高总高，等于二分之根号三， 然后一个过去平方，那就是 r 方减四分之一，等于四分之三，加上个 r 方减一，减去个根号三倍的根号下， r 方减一。好， r 方 r 方约了，然后四分之三减一，四分之三减一是个负，四分之一，负四又约了，所以说零，所以 r 等于一，对吧？ r 等于，也就是说外径圆心在什么地方呢？就在这个地方 啊，他在这个地方，是吧？他就等于一。好，外接圆心，我知道等于一了啊，外接圆半径等于一，这个是一，这个是一，所以外接球的半径就是根号二， 看见没有？所以我要找见我的关键点就可以。第一个就是什么柱体的高低半，第二个就是底面多边形的外接圆半径，好，一，一根号二，一，一根号二，那就够了，那么球的表面积就等于四派 r 方，对吧？等于八派。选 b， 就看这个题啊，这还是第六题啊，同学们在第六题啊，已经算了很多了，是吧？好，这是第六个，好，我们下面看第七题 来正八面体，正八面体的特点咱们讲过没有？正八面体来看这地方，这我们之前的笔记，对吧？正八面体他的外接球的半径等于多少？二分之根号二 a 就 冷藏为 a 的 时候，他的外接球半径是二分之根号二。 a 啊，我们这之前设计过的，那正好考了这八面题了， 然后半径为根号二的球面上来半径为根号二球，说明什么？这个是根号二对不对？这个是根号二，所以这个是正方形的，正方形的什么？面对角线是二倍根号二，所以棱长是二，所以通过这个条件我能得到这个正八面体的棱长是二 好，并且 a、 b、 c、 d 在 同一个平面上，对吧？ q 为表面上一点 o， q 的 长度等于三分之二倍根号三的 q 点的轨迹长度，这个怎么做轨迹长度啊？这个题就和我们之前每日拓展跟练里面啊，之前刚讲过的一个题啊比较像，就这个题 对吧？他也是说怎么这个是用通过线面角啊得到的，我要得到什么？我要知道这个投影这个 p 点到这个面上的距离是多少，对不对？他到面上的距离是多少？那么这个题的话一样的，他说 o 点 到表面上那个点表面，比如这个点表面上这个点距离是个三分之二比杠三是不是？那到底在哪呢？这对不对？所以我要弄清楚 o 点到平面的距离， 先看看这个到平面去了什么？这就正中心啊，就是 a、 d、 e 的 什么正中心这个点对吧？他就是内切球的一个切点吧，相当于是啊内切球的切点，所以过 o 点呢？做平面的垂线，把这个高找见，看这个高是多少， 是不是三分之二变高三？如果正好三分之二变高三，那说明只有这一点满足了，对不对？所以这个线短应该是比二三分之二变高三，要什么？要短一些的，那怎么算的呢？来 o、 e 连起来，对吧？过 o 点做 a、 d 的 垂线，然后连起来是不是个三角形？然后过 o 点做这个线的垂线，它就是做平面的垂线，对不对？做平面的垂线，那垂足肯定在那个 a、 d、 e 这个正三角形的正中心这条线上，对吧？ 这怎么做呢？等面积法， ok 吧？等面积法来。如果你知道这个正八边体的内切球半径是六分之根号六 a 的 话，那就直接可以直接写答案，就是六分之根号六 a 乘以二，就是三分之根号六啊，就三分之根号六。那我们来算一下这个，这个是根号二，对吧？那这个也是根号二， 对不对？这个也是根号二，是吧？这个也是根号二，那么这个呢？ 嗯，这还是根号二的，哦，不对，这个是一啊，是根号二的。这个冷场是二嘛？是吧？这一半就是一啊，这一一根号二，那么对，这个长度是根号三，然后根号三，那么就是底层高一层根号二除以根号三，是不是就是个高？是不是等于三分之根号六？你看 啊，就刚刚说这个数据，所以这个是三分之根号六，所以你要是对那些结论记得比较清楚的话，这个算就比较快了。好高，是三分之根号六，那你看看那三分之二倍根号三是什么东西呢？那我随便点个点， 对吧？来，假设这个是三分之二倍根号三，那么有时候这段距离我是不能算出来 三分之根号六，三分之二倍根号三，勾股定，你算一下，那就是三分之四减去个三分之二开根号还是等于三分之根号六，也就是说相当于是你要想保证 q 点和 o 点之间的距离是三分之二倍根号三的话，那么我过 o 点做这个面的垂线，是吧？垂心在这个地方，那你得保证 g、 q 的 长度点多少呢？三分之根号六 是不是？那么我关键是要找到这个东西，那 g q 等于三分之根号六，那么是不是可以在正三角形里面画一下正三角形 a、 b、 c， 对 吧？我准备画来正中心啊，它的正中心到这个中心的距离等于三分之根号六的点所形成的应该是个圆吧，那么现在我肯定要考虑它最短的距离是多少呀？对不对？来，这个边长是个二，底下这多少？ 这个是三分之根号三 a 吗？这个是六分之根号三 a 吗？乘个二是不是？三分之根号三？所以这段距离是三分之根号三，那么我现在是三分之根号六，他比三分之根号三要大呀，对不对？他不是个整圆吧，对不对？大，所以是个部分。好，那我就比较大的话，那就这样在这， 对吧？那我们这边有一条垂线比较大的话啊，大概在这，对不对？大概在这，大概在这，大概在这，是不是这样子的？好，看看这个高度是一个三分之根号六，那么这个是三啊，这个是三分之根号六， 是吧？然后高度呢？是一个三分之根号三，这个是三分之根号三，那么所以这段是多少？这不一比根号二吗？也是三分之根号三吗？所以这个是四十五度， 这个四十五度，那么这个四十五度，那这个四十五度，这是直角，对不对？所以两个蓝色的线的夹角就是直角，这个也是直角，那这个也是直角，那么剩下的就一道弧，就这种弧子，这一道弧，这一道弧，这一道弧，对不对？这弧上的点啊，都是什么？相当于这么圆吗？以它为圆心，三分之高，六为半径，做个圆吗？大概是这个样子的吗？ 是吧？那我要算到圆弧的长，算圆弧的长，你看这个角加这个角加这个角多少度呢？你减去个七百二十度啊，二百七十度嘛，三个九十度减掉还剩个九十度啊。所以这三段弧的圆形角加起来是个九十度， 是不是？好的一个面里面有个九十度的弧，几个面？八个面，八个面，八九七百二七百二十度的弧，是不是就是两个整圆，对吧？两个整圆，那么圆的半径是一个三分之根号六， 然后乘一个二派，这是二派 r， 然后两个整圆乘个二，就等于三分之四倍，根号六派。来看看听懂没有？这个题。 所以呢，这个题啊，和我们刚刚之前那每次拓展根点里面这个题就很像，它同样的需要算这个距离，算这个距离正好比这个什么这个正方形，这个距离要长，对吧？所以咱们取上几个点啊？取上几个点，就这么几道弧，是不是啊？很像很像这个题。 好，我们看继续啊，这是第七题，我们看第八题，在三棱台，三棱台当中，三角形 a、 b、 c 的 面积呢？是三角形 a、 b、 c 的 面积的四倍， d 呢？为 c， c， e 的 中点且满点 e 呢？满足二倍的 a， e， e 等于 a， e、 b 加上个 ab， 这是什么东西，对吧？来，我们来 画下图啊。三棱台，我这个啊，我应该提前画了，对，提前画了，看这个地方，三棱台我可能换成三轮锥嘛，对不对？从三轮锥来考虑啊？ 好，通过三等锥来考虑。我们看看，他说底下的面积是上面的面积的四倍，那么说明这个终结面嘛，那这一比二嘛，对吧？就是一比二，面积是四倍，那冷场就是一比二，然后 d 为 c， c、 e 的 中点，那我们画一下 d 为 c， c、 e 的 中点， 然后一点的满足什么？二倍的 a， e， e 等于 a， e， b 加 ab， a， e， b 加 a， e， b， 你 看 a， e， b 加 a， e、 b。 全这种发发现我们反一下啊，反一下，他说二倍的 a， e， e 等于 a， e， b 加 a， b， 你 全部反一下，是不是 b， a 加上个 b， a， e 等于二倍的 e， a， e 呢？是吧？全部反一下嘛，那反一下，你看 b， a 加上一个 b， a 一， 是不是就这个长度就等于 bg， 对 吧？就等于 bg？ 好， 它是等于二倍的 bg， 二倍的 bg， 然后呢 g 点，所以这个 e a 一 呢，它就等于 bg 啊，向量一样，方向长度都一样，对吧？好， e， a 一 等于二， bg， bg 是 这个方向，说明 e、 a 一 也是这个方向的，还相等， 就相当于就是把这个 b 点呢，把它平移过来之后，平移过来之后，形成这么一个平行四边形，对吧？啊，平移过来平行四边形，然后 b 点呢？它是这么一个中点，那我取个 a e、 b e 的 中点是不就可以了？取个 a e、 b e 的 中点，是一个 e 点吧？啊？有 e 了，那就是取个 f 点， 那我先做个平移线，因为这个和这个平行线相等，它平行四边形，是吧？这两个是相等的，那么相当于你下面有什么这个终点吗？过这个 b g， 那我这个是终点，那我取这么个终点，再连起来，是不是就一点，对不对？所以我知道一点在哪？在 b f 的 终点上啊，先找见这个一点啊，它在 b f 的 终点上。好，该轮胎被平面 a、 d e 分 成不同的两个部分， a d e、 a d e a d e e 点是 b f 的 终点，那把它 a e 把它延长的话，是不是正好就是 b e， 对 不对？因为这个 a b 它和它也是平行且相等的嘛，是吧？这个终点你连起来肯定是经过 b e 的， 所以这个洁面图还是挺好画的，对吧？这洁面图它就是这个 d b e 啊，就是 a b e d 啊， a b e d。 好， 那么这个洁面呢？把这个棱台分成两个部分，那么体积分别是 v 一 和 v 二角小角大的是吧？应该是上面小下面大是吧？上面小下面大，那么上面截出来这个体积长什么样子？它是这样子， a 点， b c d， b e， 是 吧？就这个结面嘛，这么一切下来对不对？那底下，然后上面这个面一切，那就剩下的部分是个四棱锥吧，相当于是。那么这个四棱锥的体积怎么算呢？ 啊？这个四棱锥的体积怎么算？那我现在能知道的是什么？上下两个棱长是个一比二，对吧？三个棱台啊，棱台的比是个一比二， 棱台的比是个一比二，那么这个体积算的话，你看啊，它这个 a c 和 a e c 一， 那么它这个棱是个一，底下是个二，这得切割一下啊，这得切割一下， 那么这个怎么切割呢？我得把它和某一个去比一下。 v 一 和 v 二，对吧？它占了整个棱台的几分之几了，看它占了整个棱台的几分之几， 然后它什么条件都没有，对吧？什么条件都没有，那，那咱们只能去设这个东西了啊，咱们就设这个棱台的总体积。棱台的底面积上面是个 s 嘛， 对吧？下面相当于是个四 s， 那 么这个棱台的体积，你看这个棱台就是 a b c a e b e c e， 它的体积等于什么？是不等于三分之一倍的，上底加下底是吧？加上个根号下四 s 方， 然后乘一个高，这个 h 对 不对啊？它高也不知道，是吧？然后相当于是等于多少呢？这是二七三分之七倍的 s h 好， 上底面的面积是一个 s， 高是一个 h， 那 我下面我需要把这个体呢全部往上下底面去转， 那么这个四门锥这个体积就算不了了。四门锥的体积对吧？四门锥的体积是这个点到这个面的距离，这没法算了，所以只能用胳膊法来做，对不对？那么用胳膊法来做的话，我只能看剩下的部分，剩下的部分是哪一部分？是 a 呀， a 一 呀， b 一 呀， c 一 呀， d 呀， 对不对？那剩下底下那个怪模怪样的东西，那我就 这玩意怎么去算一下呢？这玩意怎么去算一下？ 我们看一下啊，看一下，咱们把这个 a c 一， 把它连起来啊，把这个 a c 一 连起来，那我只要连 a c 一 呢？我把底下那个不规则的一个体，我同样把它分成一个三等锥 啊，把它分成往往上弯的话，不然的话这个 b 点和那个 a c 点重合了啊，就这个地方这么连一下 啊，这么连一下，然后连一下之后，那么这个 a a 一 b 一 c 一， 这个三角形，它是一个什么三角形？它是不是一个是吧？等边没有说吧？没有说等边三角形是吧？啥也没说啊，那就是个普通三角形，那么这个体积等于什么？来看看 这个题是可以算的，我们把能算的体积都算出来，那就是 a 为顶点， a 一 b 一 c 一， 它这个体积它是等于三分之四 s h 吗？对不对？然后底面积是四 s h， 所以 等于三分之四 s h。 好，它的面积是一个三，体积是个三分之四倍的 s h 体积，然后这个台体减去这个体积之后，剩下的是哪部分啊？你看它这个台体用三分之七倍的 s h 减去个三分之四倍的 s h， 是 不就等于 s h， 这个 s h 体积是等于什么？它把这个 a a 一 b 一 c 这个三轮锥剪掉之后，这个台底剩下的是不是这么个四轮锥？ a b 一 c e c b 这个四轮锥，所以它剩下的这个 s h 应该是 v， 以 a 为顶点， b 一 c e c b 这个四轮锥，那么这个四轮锥的体积知道，那么这个四轮锥的体积呢？知不知道 是吧？那么这两个是能追，然后高都是 a 点到平面的距离，就是看底面积的比例了，所以下面只要弄清楚这个 b、 e、 d、 c、 b 这个面积和这个 b、 e、 c、 e、 d 这个面积， 是不是可以了？好，那么这个时候有这个面积的话，我们看啊，这么是个梯形， 是个梯形，那这个三角形的面积和这个梯形的面积有什么样的关联呢？这个是个中线，这个也是个中点，看见没有？咱们和大三角形来比一下， 那和大三角形来比一下，那么这个梯形面积相当于是，你看这个梯形面积啊， b、 b、 c、 c、 e、 b、 e 这个面积，它相当于是四分之三倍的。 b、 e、 c、 e、 s， 对 不对？ 因为这个是一比四嘛，所以这个相当于占了四分之三的面积，那么 b、 e、 c、 e、 d 呢？占了几分之几呢？和这个三角形面积比的话，高都是一样的。底是占了四分之一吧，看见没？底占了四分之一，所以这个 b、 e、 c、 e、 d 这个面积呢？是占了四分之一倍的。 b、 e、 c、 e、 s， 是吧？是四分之一的面积，所以我知道这个梯形的面积呢，是这个三角形面积的几倍，三倍啊，是吧？它是三角形面积的三倍。 好，这个面积是这个面积的三倍，那么体积呢？那不就也是三倍吗？对吧？所以体积也是三倍。好，总体级是个 s、 h， 那 么剩下的这不是相当于是个三倍的话，它比它是一个， 看谁是谁的三倍啊？这个大的是小的三倍，那么这个就是二比一嘛，对吧？二比一，二比一，面积比是二比一，那体积比是比也是二比一，对吧？这两个体积比也是二比一，所以体积 v、 a、 b、 c、 d、 b、 e， 它这个体积就等于三分之二倍的 s h， 对 吧？三分之二倍的 s h。 好， 那么它这个体积我算出来了，总体级是个三分之七倍的 s h， 所以 剩下的部分的， 剩下的部分就是三分之七倍的 s h。 减去个三分之二倍的 s h 等于什么？三分之五倍的 s h， 那 这个就小嘛，那小的比大的，那就是三分之二比上个三分之五就是二比五啊， 是不是二比五啊？选 c 啊，选 c 看看啊，这个地方对不对？这是我的一个做法啊，看看这种做法能不能接受了啊， 这就是各种割博法是吧？这个题啊，这完全考体积，所以真的是考社会能力考的特别特别多啊。好，我们看这个第九题， 这个第九题呢，就稍微简单点， m， n 是 两条不同的直线，阿尔法、贝塔是两个不同的平面。然后在下面命题，正确的是哪个呢？看看 m 和阿尔法垂直， m 和 n 也垂直。好，首先 m 和阿尔法垂直，我就用记号笔啊， m 和 这是阿尔法，这是 m， 对 吧？ m 和阿尔法垂直， m 和 n 也垂直，那么 n 和阿尔法平行。我说了，但凡要证明这个直线和平面平行，你必须要排除什么 n 不 在阿尔法内，对不对？所以 a 肯定是不对的 好， b， 这很容易出错啊， m 平行于阿尔法啊， m 平行于阿尔法，这个是阿尔法，这个是 m， n 垂直于贝塔，阿尔法和贝塔还垂直，那阿尔法和贝塔平行，阿尔法和贝塔是平行的， n 和贝塔垂直，那 n 和 m 肯定垂直嘛，是吧？ b， 对 的啊，你看 c， 若 m 平行于阿尔法，还有这个 m 平行于贝塔， m 既和阿尔法平行，又和贝塔平行，那么阿尔法和贝塔的交线是一个 n， 则 m 和 n 平行，这个对不对？ 这个是阿尔法，这是贝塔。那有个有个有个直线，对吧？ 有个直线来 m， 它是和阿尔法平行的， m 和阿尔法平行， m 和贝塔平行，那么 m 和 n 一定和平行，对吧？ m 和 n 一定平行， 它这个原理是什么？哈，其实你又不可以把 m， 你 把它放到阿尔法上，其实是一样的，对不对？你把阿尔法上做个平行直线， 那阿尔法上做个平行直线，它和 m 平行，可以吧？你在贝塔上做个平行直线，和 m 平行，可不可以？这是 m 一， 这是 m 二，没毛病，没毛病吧？好，因为 m 一 和 m 平行， m 二平行，所以 m 一 和 m 二平行。我们不是我们讲的三字原理吗？ 只要这两个平行，那么这两个一定和交线平行，对不对？所以 c 是 可以证明出来的啊。这三组原理啊，咱们讲过好几遍的。来看， d 若 n 在 r 反内， n 平行于贝塔。来，我们画个图，太抽象了啊， n 平行于贝塔，来，我先画个贝塔， 然后 n 平行于贝塔， n 在 这，然后 n 又在 r 反内， m 平行于阿尔法， n 又在阿尔法内，那我把 n 画成这样子，这是阿尔法呢？这是阿尔法， 对吧？它和贝塔有个交线，那么 m 在 平行于阿尔法， m 又在贝塔内， m 平行于阿尔法，那 m 在 贝塔内， m 和阿尔法平行。 嘿，那我都画出反例出来了，那么阿尔法和贝塔平行吗？这不平行吗？是吧？所以 d 不 对吧？是不是？ 你看我说这有没毛病？ m 在 n 在 阿尔法内吗？那 n 和贝塔平行没毛病。那我做过这个交线，那么这个交线肯定和这个 n 平行，对吧？那 m 在 贝塔内， m 和 m 和阿尔法平行，这都可以做到啊，对不对？那么 n 和 m， 阿尔法和贝塔不一定平行啊，所以这个东西不对啊，不对。好看。第十题，如图所示，已知圆台的轴节面是 abcd， 其中 a、 b 呢？等于三倍的 cd， 等于六倍根号三，那么这个就是二倍根号三，对吧？这个，这个是六倍根号三，好。 m 是 圆弧的终点，第一个圆台的体积，那就算一下体积等于什么？三分之一倍的底面积乘高高是个多少？算一下。做垂线，做垂线 好 a， d 是 个四，二倍根号三，减完还是个四倍根号三，两个一半就二倍根号三，二倍根号三，中间也是二倍根号三， 好四，二倍根号三，那这是几啊？这是二，对不对？这是个二，所以高是个二，然后上底面的面积呢？派 r 方三派，下底面二十七派，对吧？三倍的高三嘛，平方就是二十七派，然后加上一个 三，乘二十七开根号八十一九派，然后乘一个多少呢？乘一个二，然后三加九是个十二十二， 三十九，十三，二十六块，那 a 是 对的，对不对？ a 是 对的。那 b 与 ab 所在直线垂直的母线有两条和 ab 垂直的母线，母线是什么？那圆台的题呢？你又把它还原到圆锥上去，看 你把滑到圆锥上，那么这个圆锥你要画母线，就是过 s 点，随便做连线，对吧？这就是母线啊，这就是母线。那么这个母线和 ab 垂直的是不是只有这个 sm 和后面那条线，对不对啊？这两个是和 ab 垂直的，剩下的不垂直呀，对吧？所以垂直的母线有两条， b 是 对的。 好看。 c， 圆台的母线所在，直线与平面所成角最大值为三分之派。圆台的母线，那就是圆锥的母线嘛？它与平面 a、 b、 c、 d 来，我随便画条线，它和平面 a、 b、 c、 d 中截面所成角的线面角。那线面角是不是可以得过面上一点做面，面外一点做面的垂线，对吧？好，连起来这个角是不是要找的线面角 好，母线长是个固定的，你要求最大值，你看这个角的正弦值， sin， sin， 它是等于这个距离，就这个圆弧上那个点到 a、 b 的 距离，对吧？距离比上这个母线长啊，就这个距离比上这个母线长， 那么你这个地方你要保证它的最大，就正弦值最大嘛，对吧？假角最大的正弦值最大，那母线是固定的，是不是 d 越大越好？ d 什么时候越大越好？是不是在 m 点数的时候，对不对？它就在 m 点数的时候。那么我这地方来连起来 是不是这样子？这么一个线边角啊？就这个线边角，对吧？那这线边角多少呢？这个半径是个三倍高三啊，半径是个三倍高三，那么这个高呢？ 啊，高的话这个是一比三，对不对？所以这个也是一比三，那么这个占了两份，所以这个占了一份，这个是二。总，母线长是个六啊，母线长是个六，这个是个六 高，这个是三倍根号三，所以正弦值就是一个三倍根号三除以六，二分之根号三，对吧？三引六十度等于二分之根号三啊，最大角六十度，所以 c 是 对的啊，看看啊，看看，所以线面角它的地方已经烤开烤开动点了，对吧？你看 d 过任意两条母线做圆台的结面， 任意两条母线，那就这两条母线吗？它的结面不就那么个梯形吗？ 对不对啊？这么个梯形样子，截面面积最大的时候，那么梯形那截面面积最大是多少呢？你要算这个梯形 它面积什么最大？那我知道这个比例都是一比三吗？是不是一比三？好，它是一个一比三，那它的面积最大是不是意味着这个三角形面积最大？那么这个三角形你会发现这两个边是固定的长度，都是母线长呀， 对不对？他俩都是母线段，那么面积公式是不是边长乘边长乘假角正弦值呢？说这个假角是九十度的时候，是不是面积最大的时候，对吧？所以直接算就可以了。来母线 总的母线段，那就是面积大，就是九十度，就是三分之，就是二分之一倍的。然后两个母线段啊，刚说这个是二，就六乘六，对吧？六乘六等于多少呢？等于一个， 是不是二分之一乘一个六乘六， 对的吧？你看二分之一六乘六是一个多少呢？六三，十六是十八，对吧？十八，然后总三角形的面积是个十八，然后这个是一比三嘛，那么这面积比就是个一比九，对吧？一比九，一比九，那么这个这个占了一份，这个占了八份，占了九分之八，对吧？然后乘以九分之八就可以了吧？ 是不等于十六啊？所以姐妹面积最大值应该是个十六吧，不是个八倍根号三，他这八倍根号三算的应该是这个啥？应该是这个梯形的面积，对不对？他算的是这个这个梯形面积，他这个梯形变成二倍根号三，加上一个六倍根号三，就八倍根号三，然后乘一个二，除一个二，你看是不是？所以 d 不 对啊？ d 不 对。 所以大家选什么？ abc， 先把 abc 选完， d 就 不用看了，其实对吧。那我选 c、 e、 d， 选完 d 就 不用看了，其实对吧。那我选 c、 e、 b、 e 的 一个中点 啊， p 点在 b 点上动啊。这个题其实不难啊，但是考察学生那个洁面图的一些画法，当 a、 p、 c 三点共线的时候， mp 等于根号五来， mp 呢？ p 点是正中心连起来，它等于根号五，通过它能算出正方体的什么边长。这个根号五，这不二一根号五吗？正好吗？对不对？二，一根号五，所以这个棱长是个二好。当 ab 的 中点在阿尔法上的时候， 当 ab 的 终点在阿尔法上，说明什么？说明这个 c p 延长之后经过 ab 终点，对不对？那么这个界面图来画出来， 这好不好画？是不连接 m、 c、 e 就 行了，就这个界面嘛，对不对？好，这个界面图的面积等于根号五来，这是一二根号五，二乘根号五，应该是二倍根号五吧，对吧？所以 a 不 对啊， a 不 对来看 b， 然后截面形状可能是五边形，你看你这么画都是四边形，包括你继续往这边延啊，到这边， 对不对？你到这边的话，那相当于我过 m 点做这个平行线嘛，这么连起来，是不是这么个截面是不同样是个四边形，那什么时候是五边形呢？你过了 a 点的时候，你过了 a 点，它自然和这 a a e， 它自然和这 a a e 有 交界了嘛，对不对？所以 p 点如果在这，你看这么延起来，在这，在这个的时候，那你把这个延长， 那给你们画一下啊，给你们画一下来，比如说 p 等在这啊， p 等 p 等在这，那你延长之后，它会会和 a b 相交的， 对吧？和 a b 相交，然后这 m 点的和 a、 b 相交的交点连起来，是不是和这个 a a 有 个交点，对吧？它和这个有个交点，好，这有个交点之后，那么 放大了，还看不清楚一些，对吧？就这样子吧，然后他这个点在这，好，这是这是一条棱，对不对？然后这有一个焦点把它连起来，这是一条棱，是吧？来这一条棱，这一条棱，然后呢？还有这一条棱，这是三条棱，然后你过 m 点，然后做什么？做这条棱的平行线， 然后再连起来，是不是个五边形啊？很不好看啊？很不好看，但是具体它就是这么个意思啊，就这么个意思，这画的不太标准，那就这么这这个样子沿过来之后，肯定会有个焦点，对不对？和 a b 然后连起来， 是不是有个焦点？那么这个焦点和这个点是不是连起来形成？这个线就在这个后面这个面上，然后这有条线，然后这过这个 m 点呢？就做这条线的平行线。是不是三三线三点共面了吗？对吧？那三点共面的四个点共面的，然后这个共面的连起来，是不是个五边形啊？所以他这个 b 跟结面可能是五边形， 然后 b d 的 中点为 o， 但 p 的 在线段 o b 上动的时候，你看我把它擦了啊，在 b 点，在 p 点，在 o b 动的时候，截面图是四边形，那刚刚这不刚刚说过吗？对吧？你只要这个线它过了 a 点就行，它就是五边形了，那不过 a 点，那说明这个 p 点就在中点的什么左边嘛？你说这地方连起来它都是什么和 a b 相交的，这么连起来不都是一个四边形吗？ 对吧？做平行线连起来是不是四边形，对吧？所以 c 也是对的，所以其实挺好选的啊，你只要有那种立体感， b 和 c 也是挺好选的。好，那么这个 d 选项， b 一 p 加 p c， b 一 p 加 p c 这个线段和它一定考察了什么展开图，哪两个面的展开呢？就是 b e， p 和 p 点所在的所什么所在的直线。 p 点是在 b d 上动的，那么 b d 和 b e 这不三个点形成个平面吗？就这个平面还有 c 和 b d 形成了个平面，看见没有，很好找， 然后把它展开，那么这个平面其实就这个矩形嘛，你把它矩形展开就行了，所以上面这个矩形 来，这个是 b 一 d 一 b d 好， b c d 是 个等腰直角三角形， c 这四十五度，然后连起来是不是偏点？在这的时候是不是线段最小的时候？好，那么它算一下这个余弦的点就行了，对吧？这个是棱是二 啊，这个也是二，那么这一百三十五度吗？所以 b e、 c 呢？它就等于平方啊，它就等于四加四，对吧？然后减去个二倍的二乘二，就是四乘一个口上一百三十五度就是负的二分之根号二，对吧？所以它就等于八，然后呢， 八加上一个四倍根号二啊，八加四倍根号二，那你把四提出来不就是一个？那 b、 e、 c 是 不是就等于二倍的根号下，然后就是二加根号二，是吧？所以 d 是 对的啊， d 是 对的， 这种选项很好蒙啊，他说都三个选项，你把 a 排除了， b、 c、 d 这些我再选就成满分了啊，就成满分了。好，这是我们这个十一题啊，十一题就看选择题啊，多选择题咱们讲完之后差不多花了快 接近五十分钟啊，接近五十分钟，你想想看，讲完啊，那我做的话肯定比这个快一点啊，但是快也快不了多少，是吧？所以这个地方就有很多学生做这个卷子呢，就很痛苦啊，每个题要想往往这种选做出来的话是很痛苦的。好，那么这继续来看啊，我们的填空题， 填空题前两个题稍微简单一点点啊，但是也不简单，那个十四题是特别难，是吧？我们来看一下来十二题水平放置的三角形， a、 b、 c 用斜二侧画法画出来这个东西，这个简单，斜二侧里面这个是二，这个是二，对不对？那么圆面积，那么斜二侧是不是高砍一半，那原来的高应该就是四， 那底不变高是四，那面积就是四，对吧？这个是送分题。好，你看第十三题，如图， ab 和 cd 是 平行，那么求 o 一 o 二的长， 那就求求这个圆柱的一个高吗？对吧？那圆柱的底面半径和母线长相等，那求这个高吗？就求这个高，那底面半径是 r， 那 这个也是 r， 高也是 r 吗？对不对？那三等锥 abcd 的 体积是十八来，这个体积你们计划怎么算，对吧？这个体积， 这个体积，你过每个点做面的，垂线的都不好做，对吧？但这地方咱们可以用分割，是不是？这个？我们在那个根点题里面是不是也讲过这个东西，对吧？把它分割，把它分割成两个，因为这 a、 b 和 c、 d 是 垂直的，两个，对，能垂直的这么一个三等锥，咱们可以把这个 b 点和 o 二连起来， a 点和 o 二连起来，是分成两个三等锥，一个是 c a b o r， 一个是 d， a b o r 看见没？所以这个体积就等于 c 点到这个平面的距离，加上 d 点加到这个平面距离，是吧？然后乘一个这个底面积，乘个三分之一，所以其实体积它就等于三分之一倍的 c， d， 乘一个这个底面积就是 a、 b o r 啊，相当于是中阶面， 看到没有？可以这么分割啊，这么算这个是比较特别方便的。好，那么这个就可以全部用 r 表示出来了，对吧？它是三分之一倍的 c、 d 呢？是 r 来， a b o 二 a b o 二 a b o 二 ab， 它是等于个 r， 对 不对？那这个是 r， 这个是 r， 那 么这个就是根号 r， 看见没有 啊？就不用算面积吗？面积的话，那不就是 r 乘以 r 除以二就是 r 方吗？对不对？ r 方他就等于啥？他就等于这个十八吗？ 所以那就是 r 的 三次方啊，就等于二十七，所以 r 等于三，是吧？ o 一 o 二就等于三，所以这个啊，十三题还是相对简单的，是吧？简单的，所以十二、十三。这两个题啊，如果你们还得不了分的话，那整分卷子没有可以得分的地方了，所以难度真的是很大啊，难度很大， 说十三题没像那么顺分题，是不是？我们看十四题啊？来这个题，这个题啊，当时我做的时候，你看我就你们在考场上也可以拿这个 a 四纸，什么？拿这个纸朝过纸折一下，你一折出来之后就发现这地方他要通过这个 e、 f、 g、 h 四个点去折出来一个 什么正四面体，你想想看正四面体的特点是什么？我当时怎么想的？正四面体的特点就是六条棱都要相等， 你不管怎么折，你得折出六条能相等的出来来。这个关于这个数据还挺好，二倍根号三，这个二，那不一根号三吗？是吧？这个是二， 说明这个记忆是二。 h、 g 一 根号三，二，这个也是二，那这个也是个二，这个也是二。我当时一看这画、这图，一看二，这全是二，我把它中间把它一翘起来，这么一折，对不对？把它 g、 e 把它翘起来折，折完之后，然后各个 b、 c 呢？重合，对吧？然后 d、 a 全部把它并起来，并起来之后你看 并起来之后 d、 a 折起来之后，这个折成是个一，对吧？那和后面这个一，一和一凑，正好能凑个二出来 啊？一和一正好凑个二，你不要感觉这个哎，是咋凑个二，是吧？这个一和一凑出来之后，在这条线上，对不对？那这边有个一， 是吧？然后凑完之后照在这个平面上啊，你们可以折一下啊，你们给大家折一下子，就拿这个纸这么一折，折完之后呢？这两个点，这你看这是个一，这是个一，两个一加一正好是个二，看见没说这条棱是个二，那么剩下几个面？五个面啊，那都是二，是吧？所以形成的叫这个正四面体，所以正四面体冷藏就是个二 啊，正四面体冷藏就是二，这样的虚线需要几条呢？就是一条、两条、三条、四条、五条，对吧？啊？需要五条， 好。若一个小球可以在正四面体内任意滚动其小球与正四面体所有接触点形成的轨迹图像，图形的面积呢？为二十五分之十六倍，根号三，那么则该小球的半径为多少？这题考察了很多一些数据，如果这些数据你都记得的话，就做的很快，如果不记得的话，算的很痛苦。那么首先我们来看看他这个正四面体， 对吧？一个小球他在里面可以任意滚动，那滚来滚去能接触到的面积是不是就这个球的和这个面的切点，对不对？那切点最挤的最脊柱的就是在角角，那和三个面都相切的时候，对吧？那么这个地方 脊柱的那中间可能都能接触到，那主要是脊柱那个地方他是什么样子？包括这四个顶点脊柱的是一样的，那么研究一个就可以了，对吧？研究一个就可以了。 那么这四个其实形成的也是个什么正四面体啊？其实也是个正四面体，对不对？那么下面咱们只需要看一下它和底面这个面的接触，就这个切点，这个切点，这个切点是不是三个切点连起来，这个三角形的面积，那么乘一个几啊？乘四是不就这个面积，对吧？那么底下这个三角形面积怎么算呢？ 也就是说这个小球他和这个三个面相接触的，三个面都相切的时候，那么切点的位置在哪？是不是？好，那这地方我怎么想的呢？我就直接再把这个小球给切下来， 那把这个小球给切下来， 就做个结面啊，把它切下来，我切下来之后，这相当于是个什么东西？相当于是一个正四面体吧， 是不是？那相当于是个正四面体，好，那么这个正四面体有小正四面体吗？那么球的半径 我讲的是 r， 来球的半径是 r， 放大一点吧，来球的半径是 r， 那 么那么这个点到这个底面的距离，这叫什么？正四面体呢？这个内切球吗？内切球半径吗？对不对？所以正四面体内切球半径，我假设这个 边长仍长是 a， 好 吧，那么正四面体的内切球半径你们还记不记得？是不是？十二分之根号六 a， 它就等于这个 r， 所以 把它这个 a 呢，我就能算出来它是等于什么？二倍根号六倍的 r， 对 不对？所以 a 是 二倍根号六倍的 r， 好， 仍长，我知道了。那么这个切点在什么地方？是不是底面正三角形的？什么正中心，对不对？好，正中心这个距离是多少？ 三分之根号三 a 啊，这些数据三分之根号三 a， a 是 一个二倍根号六 r， 所以 根号三和根号三一层没了，还剩个二倍根号二 r， 好， 这段是二倍根号二 r， 好， 我再做个垂线，对不对？做个垂线这段是多少， 对吧？那这地方这个正中线啊，这个中线其实不用这么算，这个算这个就一半就行了嘛，对不对？算这一半就行了，那么这一半是多少呢？就是二分之一 a 嘛，就是根号六嘛，对吧？啊？就是根号六， 是不是啊？这根号二吗？根号六，所以根号六 r， 也就是说我过这个球心的切点呢，我直接做这个 b c 的 垂线， 因为这边有个球心呢，我做垂线，那么这条线是肯定就是这两个切点连起来，不就是三角形那什么一条边长吗？其实就这段，是不是 啊？就这段，那么这段这个是根号六倍的 r， 那 么这个也是根号六倍的 r， 是 不是？然后总人长是个二，那么这段长度呢？那就是二减去个二倍根号六倍的 r， 是不是？这个是我能接触到的正三角形的边长。好，正三角形的边长，你看这个三角形边长，我算出来总共有四个这么个三角形，那么正三角形的面积是不是就是四分之根号三倍的 a 方，对不对？然后乘以个四，算出来的是不就是二十五分之十六倍的根号？差？ 看，就这个东西啊，二十五分之十六根号三，那么最后把这个四和四把它约了，根号三和根号三约了，所以二减二倍根号六倍的 r 的 平方等于二十五分之十六，那么开根号就是五分之四，那么这个二减五分之四呢？那就是五分之 六，对吧？等于二倍根号六倍的 r， 所以 这个 r 算出来，它就等于十分之根号六啊， r 等于十分之根号六 啊，这是我这个方法啊，我觉得这个比较直观一些，因为他这个题和我们之前的那个美术拓展概念里面是不是也讲过这个东西？你看美术拓展概念咱们讲过什么题啊？这个圆锥里面的能接触到的面积最大面积是不是也是这么做的？这不相切吗？把这个切点找见，这不形成这个圆吗？ 对不对？形成了这个圆嘛。所以说我每周的啊，那个拓展跟练的题，真的啊？很好，对吧？你看这附中选择题跟我选择题的差不多，对不对？好好，这是我们这个前面的选择题和填空题啊。那么后面我们继续来看一下关于这个大题的一些算法。
195廖老师讲数学![2025-2026山大附中高一下5月月考数学试卷讲解（下） 大家好，这是山大附中今天刚考的高一5月月考试卷，我做了一下[捂脸]，我用了一个半小时，算是完整做完了。平时我录一份卷子做完讲完也才一个小时，可想而知这份试卷难度有多大！大家根据自己的情况酌情练手，这份试卷也就前3题，第9题，12题简单点，其他的都要算，从第4题开始就要开始算了。选择第6题，填空13，还有大题前三个算是中等题，孩子们可以测一测看自己能不能完全拿下！必须拿下！选择第7.8，多选10.11，填空14，还有后面18，19两个大题难度都特别大，特别考察学生的基本功，纯粹就是几何作图，通过平行垂直的基础理论找到图形的特征，完全考察思维能力，选题的确太棒了！孩子们都可以好好观摩观摩，反复推敲，这就是锻炼思维能力的好题！#同城教育 #高考数学 #立体几何 #高一月考](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/53c6bec76b76a5d2317c2ee13ea164a2~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2102742000&x-signature=6QCCco%2FY7Lilhf6vpGCRBjo%2FTlc%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=2026082215215595489A422221B2942278)
31:29查看AI文稿AI文稿好，我们继续啊，我们来看一下后面几个大题啊，他的一些基本做法，然后前面十五、十六、十七这三个大题呢，难度还行啊还行，但就是图有时候会比较复杂，是吧？有些学生可能看不出来，然后后面第十八、十九这两个题啊，难度是特别大的，来，我们一起来看一下， 我们先来看十五题，一个圆锥形空杯，对吧？倒放啊，这个简简单，那半球，然后完全贴合，然后圆锥，看这个图就知道，一个圆锥嘛，一个半球，对不对？然后圆锥的直径和半球的直径都是十，直径是十啊，那半径就是五。 好，那圆锥的高是五倍根号三啊，圆锥的高是五倍根号三，这个是五倍根号三。过程我不写了啊，大哥，思路讲一下，求该组合体的表面积该组合体的表面积就是半球加上圆锥的侧面积嘛，对吧？那圆锥的侧面积咱是不是画个扇形出来？ 好，咱们知道这个弧长呢，它是等于二 pi r 啊，原底的周长就是十 pi， 然后这个是个五分之根号三。弧长，那么这个圆心角是不能知道，因为 theta 乘以 r， 五倍根号三，它等于十 pi 是 不是？好，那么这个 theta 呢？它算出来它就等于，呃， 啊，不是不是五，五倍公分三，这个是多少？我说五倍公分三呢，这个应该是五五倍公分三，然后应该是二，就是十嘛，对吧？这个是十，所以应该是十。 c 它 啊，乘一个等于十派，所以 c 它等于一百八十度，对不对啊？ c 它等于派， c 它等于派呢，就是个半圆嘛，相当于是半圆，那么这个测面积，所以面积它就等于半圆，那就是二分之一倍的派 r 方，然后 r 方就是一个一百， 然后再加上一个底下这个半球，半球三分之四表面积啊，表面积，表面是四派 r 方啊，四派 r 方， r 方是个二十五，然后再乘个二分之一，对吧？这是第一问 好，第二问，将半球的水倒入过来，说明它们体积是相同的，对不对？那么体积相同，那球高，那么假设这个杯子的高呢？是个 h， 那就底面半径就是二三分之一倍的底面积，底面积就是一个二十五 pi， 那 乘一个高 h 应该等于半球，半球就是三分之四，就除二就三分之二 pi r 的 三次方就一百二十五， 总共他是不能把这个 h 算出来，对不对？所以这些第一问还是比较十五题，还是比较简单的啊。我们看十二十六题 来， ab 等于 bc 等于二分之一倍的 ad， 然后 ad 呢？和 bc 平行的，然后 e、 f， e， f、 h 呢？都是中点，然后 ac 与 b e 交于 o 点， ac 与 b e 交于 o 点，那么既是线段 of 的 一个中点，既是 of f 上一点啊，不是中点，是它上面一点。 那第一问，他求证 ap 平行于平面， b e f 平行于平面， b e f 是 中点吗？ 就可以了，为什么是中点呢？因为这个一点是中点，那么 a e 平行且等于 bc， 我 大概写一下， a e 平行且等于 bc， 所以 这个四边形 a b c e 为什么平行四边形，对吧？它为平行四边形。那么 a c 和 b e 两个对角线的交点， o 点为 a c a c a c 的 中点 啊， o 点为 ac 中点好， o 点是 ac 的 中点， f 点又是 pc 的 中点，是不是平行了？那所以就有 o f 平行于 a a p 是 吧？那么 a p 就 平行于 b e f。 来第二问，那你求证 g h 平行于什么呢？平面 p a d， 你 看 g 点，它在动啊， g 点在动，在这个 o f 上动的过程当中，那你这个 g h 所形成的一个是吗？是不是平面？是不是就是 f h o 这个平面，它既能在动的时候， g h 都和 p a、 d 平行，其实让我证明了什么，是不是这个 o f h 这个平面和平面平行对不对？那 o h f 是 不是和平面 p a、 d 平行呢？太简单了，对吧？你看 f h， 它是平行于 p d 的， 所以我能得到 f h， 它是平行于平面。什么 p a d 的 对不对？好？还有什么 o h 因为 o 点也是终点， o 点是终点 h 点，所以 o h 也是 o h 平行于 a d， 所以 能得到 o h， 它平行于什么平面？ p a d 好， 两条相交直线都和 p a d 平行，那么这个平面就和 p a d 平行，那么 g h 在 这个平面内，所以 g h 平行于平面， p a d 是 吧？好，后面的过程我就不写了啊。所以前面两个大题呢，还是相对比较容易的，看这两个题你们能不能得满分，对不对？ 好，下面我们看十七题啊，这个题型难度也不是很大，我们来看一下。多面体是一个三值三楞柱和一个四楞锥形成的，其中 b、 c 呢？和 a d 要平行， a d 还等于二分之一倍的 bc 啊。对，二倍的 bc， 然后 ab 和 bc 都相等， ca 都相等，底下是一个正三角形，所以这正三楞柱 是吧？正三楞柱 a a 也等于四，这个是四，这个是四，这个是四，然后 e 点呢？是 a、 c 的 中点 啊，第一问是终点啊，第二问不是来 e 点是 a、 c 的 终点的时候，那么求异面直线 a、 e、 e 与 b、 e、 c 所形成的角， e 点是终点，那我把要求异面直线所成角，那我就是把平移到相交，对不对？把这个 a、 e、 e 呢直接平移到取个 a、 e、 c 的 终点连起来不就可以了吗？连一下是不是求这个角度吧。 所以这地方咱们可以把这个取个 a、 e、 c 的 终点连起来啊，连起来，把这个 a、 e、 e 平移到这个 c、 f 上， 可以吧？平到 c、 f 上，然后把这个 b、 e、 f 呢？把它连起来，那么这个角度就是我要算的一面直径所乘角。好，那么这个 b、 e、 f 它就等于二倍根号三来， b， e、 f 等于二倍根号三，然后 c、 f 呢？等于。你看 c、 f， 这个是四，这个是二，对吧？那个是二倍根号五吧，所以 c、 f 等于二倍根号五， 那 b、 e、 c 呢？ b、 e、 c 等于四倍根号二，然后直接算余弦的理，所以口上以 c 它，它就等于 c、 f 方就是二十，然后加上一个 b、 e、 c 的 平方，加上一个三十二，然后减去个 b、 e、 f 的 平方，减去个十二，除以一个二倍的二倍根号五乘一个四倍根号二，是吧？好，具体的我就不算了啊。来看第二位， 若 e 为 b、 d 的 一个中点啊， b e 为 b、 d 和 a、 c 的 交点，是吧？那么 k 呢？为线段 a、 e、 b 上的一个点，来，我把这个擦了啊， k 为线段 a、 e、 b 上的一个点，先满足 e、 k， 你 看 e 是 交点，是 b、 d， 对吧？ b、 d 和它的交点，那这个交点是个什么点呢？因为这个 b、 c 啊，比上的 a、 d 是 个多少？是个一比二，所以这个 e 点呢？这也是个一比二，对吧？八字形嘛，所以它可能是个三等分点，所以 e 点是 a、 c 的 三等分点。然后 k 在 a e、 b 上， k 在 a e、 b 上，它说 e、 k 呢？ 平行于平面 a， e a d， a e， a d 啊，就 e k 呢？平行平面 a， e、 a、 d 和这个平面是平行的，是吧？那我们求这个 kb 和这个 a、 e、 b 的 一个比值。你看这个题啊， e k 它和 a e、 a、 d 这个平面是平行的，那么所以过 e、 k 的 一个直线的一个平面， 是不是 a， e、 b、 d 是 吧？来，因为 ek， 它是平行于平面 a、 e、 a、 d 的， 那么又因为 ek 呢？它一定是在平面哪个地方？在平面 a、 e、 b、 d 内 是不是 ek 是 在这个平面 a、 e、 b、 d 内呢？它一个直线和平面有个交线，是不是 a、 e、 d 啊？那么这个 a、 e、 d 和这个 e、 k 是 不是肯定平行 啊？并且这两个平面的交线啊，平面 a、 e、 a、 d 交，平面 a、 e、 b、 d， 它是 a、 e、 d， 所以 我知道这个 e、 k 它一定是平行于 a、 e、 d 的 啊，这种性质啊，看能不能看出来，对吧？所以这地方我瞄这个 k 点，我就是什么 e k 和 a、 e、 d 平行 好， e k 和 a e、 d 平行，那 b e 比 e、 d 也是一比二吗？那么 b k 比上 b a e 不 就是一比三吗？是不是很简单？ 所以这个东西啊，看起来很复杂的一个题，动态问题，它其实用的就是什么线面平行这个性质原理啊，你能找到这个 aed 和这个 e、 k 平行就可以了。好，那这地方 就直接写出来了啊，那个这个 b、 e 呢？比上这个 e、 d， 对 吧？就等于 b k 比上个 k， a 一 就等于一比二啊，所以 b k 比上个 a、 e、 b 呢？它等于一比三。好，详细过程自己写啊，那这地方我们就大概讲一下思路就可以了。来，十七题。 好，下面我们看一下十八题啊，十八题，那如图三人追当中呢？ bc 是 垂直于平面 p a、 c 的， 然后 bc 等于根号三啊， bc 等于根号三， ac 等于三，还垂直是吧？ bc 垂直于平面，可它肯定垂直面和这个也是垂直的， 对不对？都垂直，然后三，根号三，就是二倍根号三，所以 b a、 b 等于二倍根号三，然后 p b 呢？等于根号五，把它标出来， p b 等于根号五，然后这地方也是个直角，看见没？根号三，这是根号五，所以这个是根号二，所以 pc 咱们可以算出来是根号二，就能算出来，就能把它标出来，对不对？然后点 e 呢？满足 a e 是 个二倍的 ec， 所以 这个二比一嘛，这是二，这是一嘛，对吧？ 啊？ pe 等于一啊， pe 也等于一，那你证明 pe 垂直于平面 a， b、 c。 好， 那你证明 pe 垂直于平面 a， b、 c。 那 么题目有个 b c 和平面 a b， a， b c 垂直，对不对？ b c 肯定和 pe 垂直， 所以你要证明 pe 垂直于平面的话，我还要找条线就行了。找这条线，那不就是 pe 和 a、 c 垂直就行了吗？那 pe 和 a、 c 垂直好不好？正呢，这数据都看出来了，这个是根号二，咱们算出来的，对吧？这个是一，这个是一，这不直角吗？ 对吧？所以就已经算出来了啊。那第一问很简单，所以 p c 它等于根号二，然后 pe 呢，它等于一， c e 呢，它等于一，对不对？过程简单写一下啊，所以 pe 它一定是垂直于 ac 的。 又因为 pe 呢，它垂直于 bc， 所以 pe 呢，它垂直于平面 abc 啊，这是第一个好，那第二问， 第二问，他要求 b 棱 ab 上存在一点 d， 使得 pd 呢垂直于 ac 来， pd 呢，它垂直于 ac， 对吧？ p d 和 a c 垂直，那你求 b、 d 的 长，问地点在什么地方对不对？ p d 它垂直于 a c 那 刚刚 d 一 问，不证明了 p e 它垂直于 a c 吗？说明这个 a c 就 垂直于平面 p d e 啊，是不是？或者说你 p d 到底面的投影是不是就是 d e 对吧？它就是 d e， 所以 这个 a c 呢，其实和 d e 是 垂直的啊， a c 和 d e 垂直， a c 和 b c 也垂直，说 b c 和 d e 是 平行的呀，对不对？好，因为 p e 垂直于平面 abc 好， 那么所以我知道 p e 它一定是垂直于什么 a c 的，是吧？ p e 垂直于 a c， 然后又因为 a c 垂直于 p d 啊，所以 a c 它一定是垂直于平面 p e d 的， 那也就是 a c 它一定垂直于 d e 的， 那所以 d e 平行于 p c， d e 和 b c 平行一点是什么点？ 一点是个垂足，是个三等分点，是吧？第一，垂一低点也是个三等分点嘛，是不是？所以 a d 它求 b d 的 长嘛？那 b d 比上个 b a 是 不等于一比三？所以 b d 等于什么？三分之二倍？根号上是不是？这是第一小问，那第二小问， 若 f 呢，是能 bc 的 中点啊， f 是 能 bc 的 中点，那 f 点我标个点啊，蓝色的笔来，这个是 f 点，求直线 p f 啊。 p f 与平面 p d e 所成角的正弦值的取值范围。 p f 和 p d e 这个平面 对不对？其实这个图画的不好，他应该是把这个地画到这个地方就比较好看一点，是不是？好？那过 f 点对吧？线面角啊，那严格按照咱们的步骤去做，对不对？ p 点在平面内，所以过平面外一点做平面的垂线来。垂足在什么地方 是吧？垂足在什么地方？过 f 点做平面的垂线，因为 pe 它是垂直于底面的，所以你过 f 点只需要做 d e 的 垂线，那么这个线它既和 d e 垂直，也和 pe 垂直，那么就和这个平面垂直，对不对？所以这地方咱们是过 f 点做 d e 的 垂线。好，假设我垂足为 g 点啊，垂足为 g 点， 看清楚啊，这应该是一个矩形，对不对？图画的是不对啊？图画的不对，你可以画一个三角形，画个直角，三角形放到这， 这是 bca 对 不对？然后 e 点是个三等分点，这样子个垂线，那 d 是 和它垂直的嘛？是不是好？ d 和 a c 垂直的，那你 bc 的 中点在这，你过 f 点做这个 d e 的 垂线，垂足为 g， 平面上看嘛， 是不是？所以你会发现这个 f g 是 个固定的值， f g 就 等于 c， e 是 等于 e 的， 所以 f g 它是等于 e 的， 那么这个正弦值，所以是哪个角？是不是这个角， 对吧？那把这个 a 点和这个 g 点连起来啊？和 a 点和 g 点连起来，对不对？就这个 e 就是 f， p g 这个角就是三引角， f p g 就是 我要找的线面角，那么这个线面角它就等于正弦值，这个是垂直的，它就等于 f g 比上什么呢？ p f， p g 比上个 p f 好， f g 比上个 p f 啊，他没有说 f 是 动点啊， f 是 动点，那反正 f g 是 个固定的， f g 是 个几啊？是个一，对吧？然后 p f 它要求它的曲值范围，那 p f 越大，整个越小， p f 越小，整个越大嘛？那 p f 最小是不是垂直的时候？什么时候垂直？不是 pc 吗？ pc 和 bc 垂直呀， 是最小就是取根号二的时候，对吧？ p f 最大就取根号五的时候嘛，离得最远的时候，对不对？所以 p f 的 范围是根号二到根号五，那么三引 c， 它的范围呢？角 f p g 的 范围它就是多少？二分之根号二到五分之根号五，对不对？所以取根号五是最小的嘛？取根号二是最大的嘛？ 就这个。所以这个题呢，你首先你要知道这个图它画的不标准，但你完全要通过你的理论依据去知道。这个 d e 呢？它是和这个 a c 是 垂直的，对吧？你自己画个图啊，自己画个图，然后这地方 f 点在 b c 上动，不管怎么动，你过 f 点做 d e 的 垂线垂足， 对吧？不管在哪啊，在延长线上也好，他这个长度一定是等于一的，所以 f g 我 能算出来是固定的，他是固定的，我只要弄清楚 p f 的 范围就可以了。那 p f f 在 比赛当中， p f 最小可能是垂直的时候，最大就离垂直垂线最远的时候，对不对？就是根号五？ 好，这些看起来我过程写这么点啊，其实中间有很多很多过程的，对不对？所以下来之后自己把过程完善一下啊。好，这是我们这个十八题啊。十八题， 好，来继续啊，我们来看一下这个十九题啊。十九题，如图，在四棱锥 s、 a、 b、 c、 d 当中的底面 a、 b、 c、 d 是 正方形， s， a 垂直于底面还是一个正方形？ s， a 是 垂直于平面 s， a 等于根号二倍的 ab 来 ab， 我 假设它是一个 啊， ab 是 几呢？ x， 这个就是根号二 x 是 吧？平面 s、 a、 b 交 s、 c、 d 于直线 l。 同学们， 我是不是说过这个心字考了很多啊？相信没有？哼，相信没有？你看咱们前两天录的那个太行中学是不是也考了这个心字，对不对？叫扇子原理，那这地方那里证明 ab 平行 l， 你 看 s、 a、 b 和 s、 c、 d 这两个平面对不对？它有个交线，交线我没画出来，我说半，两个半平面里面只要能够找到一组平行直线，那么交线和这个平行直线就是平行的，对吧？那么理由是什么呢？又是这个线面平行的限制力来。第一个，因为 ab 平行于 cd， 所以 c、 d 啊，说 ab 吧， ab 它一定平行于平面，什么 s、 c、 d 对 不对？然后 ab 呢？又在平面 s、 a、 b 内，对吧？然后面 s、 a、 b 交 s、 c、 d， 它等于 l， 所以 我知道这个 ab 它一定平行于 l， 就 做完了啊，这就完整的过程就可以。 好，这第一问，然后第二问，若 ab 等于二啊，告诉我 ab 等于二，这就是二倍根号二。 然后 m 呢？是能 s， c 是 c、 d 上的一个点， m 点到平面 s、 a、 b 的 一个距离，你看 m 点这个面上 s、 a 的 垂线是不是就是和 s、 a、 b 是 垂直的呢？因为你过 m 点做 s、 a 的 垂线，那么这条线和 ab 也垂直，所以和这个平面肯定是什么垂直的，对不对？所以这个就是我要找的垂线， 这是第一。然后 m 点到 a、 b、 c、 d 的 垂线，就是做 ad 的 垂线吗？这不就第三吗？ 那 m 点到什么呢？到这个 sbc 的 垂线， m 点到 sbc 的 垂线，这，这个在哪？我不知道，对不对啊？这个不知道，那我就大概画一下啊？我大概画一下，我也不知道在哪，假设是在这个地方，这个是 d 二。 好，他要算这什么？根号二倍的第一加根号三倍的第二加二倍的第三，那个 m 点的动，他在动那个距离的和正好是个定值，对吧？那你算这个定值呢？说明他肯定是有一定特点的，对不对？我们来看一下这个 m 点， m 点到这个 到这个 s、 a 的 垂线，到这个这个平面的垂线距离是第一。那点到平面的距离，我们说在高中阶段，我们说过，说过很多次啊，这个点面距咱们只会怎么考虑啊？叫等体积法，对不对？等体积法 啊，就等体积法。那现在来看， m 点到 s、 a、 b 这个平面的距离是不是就是 m、 s、 a、 b 这个三轮锥，它这个体积是不是？当然这地方你可以算这个 m 点到 s、 a 这个距离啊，这个直线的距离，它这么个体积， m 点到 a、 b、 c、 d 这个四面体，它这个距离 是不是也这个体积？然后 s， m 点到 s、 b、 c 是 不是也这么个三轮锥的体积？ 能不能看出来什么啊？ m 点在后面那个面上啊，在后面那个面上，所以这三个体积其实加起来正好是这个什么？这个四能锥的一个总体积，看见没有？ m 点到左边这个面，到底面这个面到这个面， 那全部加起来是不是正好？是吧？因为 m 点就在右面这个面和后面这个面的交线上嘛。所以这么把到 s、 a、 b 这个平面，到 s、 b、 c 这个平面的距离和到 a、 b、 c、 d 平面距离，三个 也是三个轮锥，对吧？三个轮锥加起来的体积正好就整个四轮锥的体积啊，整个四轮锥的体积，那有人说这话都可能想不到，想不到那你就挨个去算，也能算啊。我算过这个东西，来，我教你怎么算点面具，对吧？第一个方法，方法一啊，当然是比较好的一个方法，就直接算总体积 啊。总体积，那总体积我们先用这个方法来写一下，就这个 d 一， s、 a、 b 的 一个面积嘛，就是三分之一倍的。 第一乘一个 s、 a、 b 的 面积，就是二乘二倍，根号二，除以二，就乘一个二倍根号二，对吧？然后加上一个三分之一倍的第二乘一个 s、 b、 c 的 面积，那 s、 b、 c 等于多少？这个是二，这是二倍根号二，那 s、 b 是 二倍根号三，对吧？ s、 b 等于二倍根号三，那 bc 它是二，那就是 乘一个二乘二倍根号三，除个二就是二倍根号三，然后再加上个三分之一底面积，底面积二乘二等于四，第三乘一个四，对吧？那么等于总体积三分之一倍的底面积，乘高高是一个二倍根号二，你看，所以左边你看三分之一把它约了， 然后左边还剩一个，可以把二约了，你看见没？就是根号二倍的第一加上一个根号三倍的第二加上一个二倍的第三，等于个什么？四倍根号二。 你看这不直接算出来这个东西了，他肯定是有特点的，不然他为啥前面加这么多系数呢？对不对？但是这地方你不会算的话也能怎么做呢？我就设啊，咱们就设这个 s m 等于 x， 死，算嘛，也能算嘛，对不对？那我用蓝色的笔啊， s m 等于 x， 或者加上一页吧。 那 s m 等于 x， 然后 md 呢？我看这个 sd sd 也是等于二倍根号三这种二倍根号三减 x。 好， 我们来算一下 d 一， 那第一怎么算？我用第一，我们下次比嘛，第一比上这个 ad 呢？第一比 ad 对 不对？它是等于这个 x 比上个二倍根号三的 ad 是 个二，等于 x 比上二倍根号三好，这第一，然后第三好算第三呢？ 第三看这个比上一个二倍根号二，是吧？是不是等于二减二倍根号三减 x 比上二倍根号三，来，他比上一个二倍根号二，等于二倍根号三减 x， 比上一个二倍根号三好，这是第三。那第二怎么算呢？还得用等底去法，对吧？你 m 点到平面 sbc 的 距离 对不对？就 m 点的距离就是 m， s， b， c 这个体积，它等于什么啊？是不可以换个等体积？你看啊， m 点到这个平面的距离就是 m， s， b， c， 那 么可以算 b， 对 吧？到这个 s c m 啊， s c m 这个面积，或者是算 c 点， 嗯，它这个怎么算？ m 点到那 m 点到这个平面的距离啊？我这么算啊， m 点到平面的距离， 它就和这个 d 点到平面的距离是不也是相似比吗？是吧？ d 点到平面的距离是不也是相似比，是不也是这个？这个是 d， 二比上这个距离就等于 x 比上二倍根号三， 对不对？是一样的啊，所以咱们直接算 d 点到平面 s、 b、 c 的 距离，那 d 点到 s、 b、 c 的 距离简单，那这个距离和 s、 b、 c 这个底面积对不对？那 s 为顶点， b、 c、 d 为一个底面积， 是不是很好算？好，我们来写一下三分之一倍的啊，我就写这个 d 四吧。好吧，就 d 点到这个平面的距离是 d 四， 三分之一乘一个 d， 四乘一个 s， b、 c 的 面积就是二倍根号三，然后它就等于什么呢？它就等于三分之一倍的高，是一个二倍根号二呐， s、 a 就是 高，然后底面积是 b、 c、 d 就 二乘二除以二就是二， 就这个 d 四呢？我算出来啊，三分之一，三分之一约了，它就等于二倍根号二，比三根号三， 是吧？这第四，那么第二比第四，它等于 x 比上一个二倍根号三，所以第二呢，就等于 x 比上一个二倍根号三乘以一个根号三分之二倍根号二，那就等于一个三分之根号二 x。 你 看，这是第二。好，第一、第二、第三我全算出来，我把它加起来，你看看 来，第一等于什么？它等于根号三分之 x， 对 吧？第二呢，等于三分之根号二 x， 第三呢，等于一个二倍根号乘过来，那就是根号三分之，根号六， 根号三分之，根号六，减去个二倍根号二 x， 你 看，所以根号二倍的第一加根号三倍的第二加上个二倍的第三，看等于多少啊， 是吧？然后它等于根号三分之根号二 x， 对 不对？加上一个根号三分之，根号二 x， 然后加上一个二倍的，就是根号三分之二倍根号六，然后， 哎，根号六， 哎，这个第三因为你约掉了，我看第三是不是算错了？第三是在什么地方啊？没有二倍啊，没有二倍， 这个二和二约了吗？那个是二倍根号六，对吧？减去个根号二 x 啊？二倍根号六，减去个根号二 x。 刚写错了。好，那么就是 加上一个根号三分之四倍根号六，对吧？乘个二，然后呢？减去个根号三分之二倍根号二 x， 你 看他加他减，他不是没了吗？所以答案就等于什么？四倍根号二，对不对？所以同样死算也能算啊？他死算这个东西的话，你这个计算的有点大了，对吧？计算的有点大了啊。好，我们看第三问 啊，这个第三问可能选择吓吓跑了这个东西啊，这个第三问，然后他说 p q 啊，比上一个 p q 分 别是 s b， a c 上的点来，我把这个图全擦了我把我把这个图全擦了。 好， p q 呢？分别是线段 s b 呢？ s b 和 a c 三。那个动点先满足 s b 比 b p， 这什么鬼？ s p 是 吧？ 那 s p 比上个 b p 等于什么二倍的 c q 呢？比上个 a c 减二倍的 c q， 这什么东西？可能学的看的这，这是什么鬼，对吧？这什么鬼？你看我们之前在正方形里面也写过这种东西，它这个其实 p q 写出来之后应该是有个比例关系，对吧？啊？有比例关系，那么这个比例关系长什么样呢？ 这个分母里面这个 ac 减去个二倍的 c q， 这有个二倍的 c q， 我 肯定是多少比多少等于多少比多少，那么这个我可以什么？把它倒一下是吧？倒一下就是 sp， 比上 bp， 我 就选择 bp 比上 sp， 它就等于 ac 减去个二倍的 c q， 比上个二倍的 c q， 我 倒一下的目的是什么呢？我两边同时加个一，我加个一，你看这个二倍的 c q 是 不是抵消了 就能拆开啊？对不对？我两边同时加个一，所以 b p 加 s p 是 什么？那 b p 加 s p， b p 加 s p， 这不就是 s b？ 所以 这个时候分子上就是 s b， 底下就是 s p 就 等于 ac 比上个二倍的 c q 好， s b 比上个 s p， s b 比上 s p， 它等于 a c 比上个二倍的 a q， 那 二倍的 c q， 然后呢？又等于什么东西呢？对吧？它就是二倍的 c q， 那 是二倍的 c q， 这个二又难受了，能不能把这个二把它消了。 s b 啊？看能不能把它二消了，二消了，那我 a c 上出现二就行了。那 a c 它等于什么？ a c 是 不等于二倍的 o c 是 把它 a c， 我 乘个写到二倍的 o c， 那 就是 o c 比 c q 那 个是不是舒服多了？所以它相当于是 sp 和 sb 的 比值， c q 和 oc 的 比值，它俩相等好，那么只能写到这了，再化解不了了，对吧？后面再看 p q 与 sc 的 一个意面，直线所成角，我是不是要把 sc 平移一下，然后 p q 与 b d 的 所成角，我是把 p q 和 b d 要平移一下 这种平移，那平移的话，你看 s c， 我 就平移到什么 p 点这个位置，对不对？相当于我要过 p 点做一个平平移线。过 p 点 啊，做个平行线 pr 吧。 pr 平行于 s c， 做一个 pr 平行于 sc， 那 么这个比例是不是就能用上了？来？ sb 比上个 sp， sb 比上 sp， 嗯， sb 大 的比上个 sp 比这段是不等于这个 bc 比上个 cr 啊？ bc 比上 cr， 所以 sb 比上个 sp， 它就等于什么呢？ bc 比上个 cr 好过 p 点做 s c 的 平行线，然后把这个，然后呢？你看这地方，你下面要算的是 p q 和 s c 的 夹角，是不就这个角好？还要算 p q 和 b d， 你 说把 b d 要平行到 q 点去 啊？ b d 平到 q 点去平移，平移到哪是，不过 q 点做平移线，那感觉是不是在 r 上？你看看它有个比例没用啊，我们看看 b c 比上 c r， b c 比上 c r 等于什么？它说等于 o c 比上 c q， 看见没有？是比例相同的啊。 o c 比 c q 好， 它又等于 o c 比上 c q， 我 通过这个比例关系，我能得到什么？我能得到 q r 就是 平行于 b d 的 q r， 它平行与 b d 做完了，所以 q r 和这个 p q 所形成的夹角就是我要找的贝塔 q， 然后 p r 和 p q 所形成的夹角就是和 sc 的 夹角，是吧？就是阿尔法，所以就这两个角度啊，就这两个角度，一个是阿尔法啊，一个是贝塔。 然后再来看啊，这个是 p r 是 和 a c 平行的，对不对？那 b d 和这 sc 垂不垂直？ 垂直呀，你 b d 它和这个 a c 垂直呀， b d 和这个 sa 也垂直呀，说它和这个平面都是垂直的，对不对？所以这个 b d 呢？和 s c 它一定是垂直的，那么所以 pr 呢？和 r q 也是垂直的， 所以这地方能得到 pr 呢？一定是垂直于什么垂直于 r q 的 啊？ pr 垂直 r q， 那 么这个地方就知道阿尔法和贝塔就是互余的呀，所以我知道三一方阿尔法加上个三一方阿尔法不就是一吗？ 对不对？平方和等于，那算啥？算和的最大值，那不就基本不等式吗？对不对？所以三引阿尔法加三引贝塔啊，除以二小等于根号下二分之三乙方加上一个三乙方， 是不是二分之 a 加 b 小 于根号下二分之 a 方加 b 方，对不对？好，这等于多少？是不是等于根号下二分之一？所以我知道三 e r f 加三 e b， 它，它就小于根号了。所以这个题难度呢？它是特别大的。首先这地方就关于这个比例转换，这个转换我也转了五分钟，你别看我这直接跟你们讲的时候就想到这个东西了，我自己做的时候我也得思考好久， 对吧？我思考好久，我现在这两边加了个 e， 发现加完 e 上面是一个整体，下面还是两个，不行，我就取了个倒数，加了个 e 好， 然后我这个写的时候角度我挨个，我也做平移线了，做了平移线之后， 我又想他这个地方到底在哪，对吧？又开始算这个比例，发现这个比例正好啊，正好能证明什么？两个三角形是证明正好是什么平行的，所以这个 r q 呢？它正好是和 b d 平行的，所以这个通过这个比例，我能证明的是 先过 p 点做 s c 的 平行线。教育 r， 那 马上就有什么 r q 和 b d 的 比例啊，这个平，它是平行的，所以这个东西，这个题啊，真的特别考察学生那个分析能力，对不对？他其实没有什么多，没有特别多的计算，但是考察这个分析能力，再一个就这个形式呢，可能学生吓退了啊，吓退了， 好，这是咱们整个这个三大附中的一个月考卷子啊，我就全部讲完了，对吧？挨个挨个都全部讲了一遍，我们来看看这个十九题啊，十八题看起来我讲的很轻松，他其实正儿八经做的时候并不轻松，对不对啊？十八题还好点，这个十九题真的啊，挺难的啊，挺难的， 好，十七题，十六题，十五题，这是三个基础题，你们是不是应该拿满分，对不对？好，那么这个十四题难，对吧？太难了，对不对？然后这个十三题啊，还行，属于中等题，对吧？十二题是个基础题啊，然后再一个就是我们的选择题，多选题的十一题，这也挺难的，对吧？第十题，这个是第 d 选项 啊，其实 c 选项也不好想，对不对？这东西，所以整个这份卷子包括第八题啊，是吧？难度挺大的，第七题也是有难度，对吧？都关于什么正八面体的，很多学生不熟悉啊，包括算这个弧长， 所以整个你看好必须能拿的分，是哪些分呢？一二三四，这前四个题，是吧？包括第五，前五个题应该是能拿上，这就说二十五分，对吧？二十五分，然后六七八可能不好拿了，然后九和十可能 二十五分，拿上一个，这能拿上一个十分左右吧。第十题可能扣点分，对吧？就三十五分，然后填空题的十二题和十三题，对吧？四十五分，然后大题的前三个大题四十五分，把它前三个大题加上前三个大题，应该是一个三十六分吧，对吧？三十六分， 所以四十五分加三十六分大概就是个及格线左右，看看八八八十多分吧，对吧？然后剩下的十八十九做一下第一问，所以这份卷子哈，如果你能及格啊，你能及格，说明你的基础知识掌握的没问题，对不对？那如果你能达到一百一以上，说明就除了那最难的几个题不会做之外，剩下的都还可以， 那说明学的还可以啊，那如果还能往高了考一百二一百三的考的话，在这么有限的时间里面能做这么难的题，还能考一百三以上，那就是学的特别厉害的了。 好，这是咱们整个复读的一个月考分析啊。月考分析咱们就讲到这个地方，下来之后你们自己参照我的讲的内容啊，自己再好好反思一下啊，看看自己还有什么地方可以提升的。好，我们下个视频，再见。
64廖老师讲数学
02:13查看AI文稿AI文稿安师大江北服中今年招生的话，是多少分可以录取呢？那这个我们就要大胆去猜测一下，安师大江北服中的话，它今年的招生模式会是哪几种？那第一种的话呢？就有可能是跟一一中一样，就是呃统招进去，或者是自主招生进去，或者切块进去之后 在分什么呢？在分这个就是你要去牛人校区上课还是在北校区上课啊？如果按这个模式的话，就是说你先进到附中，附中之后再分你要去江北校区还是留在那个北校区上课啊？这是一种，如果是这种方式的话，那分数线的话一定是不会低的，一定是不会太低的啊。那第二种的话就是大家猜测的比较多的是他那边是 呃单独招生，放在第一批次里面，那如果是这种招生方式的话，那他的分数线肯定是要低于一附统招分数线的。这种招生方式的优点是什么？优点先说他缺点，缺点的话是他没有指标到校生的名额，如果他单独招生的话，因为他不属于省师范， 他就没有这个指标到校的名额去给我们物事所有的高中。那之前我讲过了，就是属性，属性的问题，安师大是省直属，江北那边的话呢，应该是市直属啊， 然后是自用的，是附中的，这种的话他就不会有指标到校。但如果按照第一种我刚刚说的第一种方式的话，像一中这种方式的话，他是可以有指标到校的。如果按第二种第二种这种单独招生的话是没有，那他的优点是什么？又可以吸收 比较好的深源？可能就是，呃，这么说吧，原先比如说二十七中衣服统招进不了的，或者切块进不去的，但他的分数线很快都六百八十分左右的学生，哎， 他是不是可以选择江北附中啊这种分数段？以前这种分数段的学生的话，我们他一般会选择什么？十二中，然后或者是那个北师大的，对吧？九中的啊，都有对不对？甚至还有选择十一中的，但他现在可能的话，就这波学生的话，他也有可能会倾向于选择江北附中，是不是？你要说到二七年 城北的一中国际高中也搞起来了，那基本上那哈那又多了一个选择了，是不是因为这类学校的话，他们是没有切块指标的，所以他们吸收的优质生源是可以更多？嗯，后面我再讲一下他为什么要搞这个东西，为什么？因为就是高考或者中考的这个 改革的火已经烧到了高中，对吧？前段时间也看到说高中不能有这个重点班干嘛之类的，对吧？也开始严管高中了，所以哪个学校指标到人数越多的话，其实它并不占什么优势啊。
53芜湖叶姑姑
