全国甲卷难度引热议答案

大家好，我们看全国讲卷的第二十一题，也就是压轴大题。函数 f x 等于 a x 减口 c x 的三次方分之 c x x 属于零到二分之派。 第一问，若 a 等于八，讨论 f x 的单调性。这道题应该是今年的压轴题里头第一问最难的。要讨论 f x 的单调性，此时 a 等于八，那么 f x， 它就等于八 x 减去考三 x 的三次方分之 six。 要讨论它的单调性， 我们就对 f x 求导，那 f e 撇 x， 它就等于八，减去对这个式子求导，那就是它的平方分值，也就是 cosinex 的六次方分值。它的岛乘它 sinex 的岛就是 cosinex， 再乘上它就是 cosinex 的四次方，然后再减去 他乘他的岛，考三亚 x 的三次方。这是一个复合函数，我们要对他求导，其实他是考三亚 x 整个的三次方，那对他 求导，它就是三倍的 cosine x 的平方，再乘上 cosine x 的岛，就是 food 的 sine x， 那么它 减去的是它，乘上它，也就是加上三倍的三角 x 的平方，乘口三角 x 的平方。 然后我们把口 c x 平方约掉，那它就等于八，减去 考三 x 的四次方分值，考三 x 的平方，再加上三倍的三 x 的平方。 然后我们把这个三一 x 的平方再用一减口三一 x 的平方替换，那么这个式子它就等于八，减去 cosine x 的四次方分之三，减去二倍的 cosine x 的平方。写成这样以后，为了计算方便，我们立 cosine x 的平方等于 t， 考三 x 的平方等于 t， t 属于零到一， 那么这个式子他就等于八，减去 t 平方分之三减二 t， 然后 再通分，就等于 t 平方，分之八 t 方加上二， t 再减三。 现在我们把导函数写成这样以后，我们要关注的是导函数的正负，因为导函数的正负决定了原函数的单调性，而这个分母 t 平方，它是个正数，所以它的正负取决于这个分子， 而这个分子它是一只开口向上的抛物线。当它等于零的时候，它和 x 轴的两个交点分别是 food 四分之三和二分之一，而 t 它在零一之间取值。 那么当 t 大于零小于二分之一的时候，导函数为负，圆函数单调递减。 当 t 大于二分之一小于一的时候，导函数为正，原函数单调递增。 但是我们要讨论的是 f x 在零到二分之派处的单调系，所以说我们要找到 t 所对应的 x 的范围。 那么当 t 在零到二分之一的时候，它对应的 x 在四分之派到二分之派。所以说 f x， 它在四分之派到二分之派处是单调递减的。那么当 t 在二分之一到一的时候，它对应的 x 在 零到四分之派。那也就是说 f x 在零到四分之派处是单调递增的。 这个地方非常容易出错，很多同学他可能就把零到二分之一对应成了零到四分之派，把二分之一到一对应成了四分之派到二分之派。 实际上口三 x， 它在零到二分之派是单调递减的，它的函数值越小，对应的自变量的值 反而越大。所以说 f x， 它在零到四分之派处单调递增。在四分之派到二分之派处单调递减。