职教高考学什么

七十九分钟学完函数的全部内容，我们拿到第三章函数，那么函数呢，它是高值高考里面的重点和难点，它有很多的简单题， 也有很多的部分的难题，那么难题呢，它基本会出在十至十五题左右，那么这一章节呢，占的分值很大，大家一定要认真听呢。首先我们来讲第一个内容，定义域，定义域应该是函数里面最简单的一个内容呢， 那么什么叫定义域呢？它指的就是 x 的 取值范围， 那么为什么会存在这样的一个东西，比如说这里有一个函数 y 等于 x 分 之一，那么我们来看啊，这一个是一个什么来啊？是一个什么式子啊？这是一个分式 分子，我们都知道分母它不能等于零了，那么所以呢，我们 x 它刚好就在分母的这个位置，所以呢，它的范围取值范围就是 x 不 等于零了，这个呢就是叫做定义域了。好了，那么我们高值高考常考的定义域的类型一共有以下的四种， 第一种是根式，那我们记住啊，根号里面的数要大于等于零，也就是 x 大 于等于零。第二个就是对数，对数指的就是最右边的这一坨数，它是大于零的，这个对数函数呢，我们会在第四章会学到啊，现在我们先提前了解，这个是大于零的， 那么这个分数我们刚刚讲到了，分母不为零，所以 x 不 等于零。第四个零指数幂，这个考的很少，但是我们也要知道， 那这个呢叫做 x 的 零次方呢？那我们都知道一的零次方等于一，那 pi 的 零次方也是等于一，但是 它唯独没有零的零次方，这个是没有的，所以呢，这个时候 x 的 取值范围呢？就是 x 不 等于零啊，它里面不能为零，没有零的零次方。好了，以上的这四种情况，根号和对数，这两个 是很多同学容易搞混的，有这两个大家一定要记住了哦！好，接下来我们来看题型，一看一下高考他是怎么考的 好。第一题， y 等于根号二减二 x 刚刚说了，根号里面的一整坨数要大于等于零，也就是二减二 x 大 于等于零。好了解，不等式负二， x 大 于等于负二， 不等式两边同时除以负二，那这里就变成了 x 了，负二除以负二就变成了一了。这里注意了，因为出了一个负数，所以不等号的方向要发生改变，变成小于等于， ok。 第二个，它是一个对数的形式，那么对数刚刚也说了， 右边的这一整坨数，也就是括号里面的一整坨数要大于零，所以 x 减三大于零， x 大 于三。 第三题，分四分四属什么特征？分母不能为零，所以二 x 加四不等于零，二 x 不 等于负四， x 不 等于负二，就是这么简单了。当然了，我们的答案要写成区间的形式，那这个呢，就是负无穷逗一中括号，这个就是小括号的三逗 正无穷。那这个怎么写啊？这个就是负无穷逗负二小括号，并上负二逗正无穷这样子了。 接下来我们来看题型啊，这个是一个组合形的考法，那么组合形呢，我们只需要分别观察就可以了。比如说，我们先看 左边的这一部分，根号 x 大 于三，那刚刚是不是说了，根号里面的数要大于等于零，也就是 x 加三大于等于零。好，接着看右边的这个， 这个是一个对数，对数，这一坨要大于零，也就是五减 x 大 于零，那么现在我们只需要分别解出这个不等式组就可以了。好了，我们来解一下，左边呢就是 x 大 于等于负三，右边呢就是快一点啦， x 小 于五，那么所以呢，它就是负三小于等于 x 小 于五。那如果这个答案不能一眼看出来，我们就画一个数轴好了，取交集，画数轴，取交集好了，那这个选项区间的形式呢？就是中括号的负三斗五，然后小括号了。 再来看第二种类型，这个考的很多，这种类型考的很多根号和分补 相结合的。好了，首先我们看根号，先从小看到大，从里看到外，先看这个根号，根号里面的数二 x 加四 要大于等于零，对吧？同时整一坨数又处于分母的位置，刚刚我们说了，分母不能为零呢，也就是二 x 加四不能等于零呢，那么这里呢，我索性 就把大于等于里面的等于号用橡皮擦给擦掉，索性直接这样做，还快一点，那么直接减二， x 大 于负四， x 大 于负二，那么所以呢，它的区间就是负二都正无穷这样子啦。好了，以上就是不等式的所， 好了，以上就是定义域的所有内容，我们到了第二个内容，求函数值，求函数值是一个非常简单的知识点，在高值高考里面就是一道送分的题目。好了，我们来看一下它是怎么回事， 他说给定一个函数，那这个函数呢，是 y 等于 f x， 这个是什么意思？刚刚我们所见到的函数，它的形式都比，比如说它是 y 等于 x 分 之一， y 等于 x 的 平方，它是这样子的。那么这里的 f x 呢？指的就是 y 了，它和 y 是 一样的，为了方便我们后期的一些函数，它都会以 f x 这种形式来表示的。比如说 f x 等于 x 分 之一， f x 等于 x 平方，它是这样子的。那这里呢？ x 指的就是 x 的 坐标了， 整一个 f x， 它指的就是 y 的 坐标，这个我们一定要知道，比如说这里的 f 一 是什么意思啊？也就是当 x 等于一的时候， 求 y 的 值，它就是这样的一个意思了。好了，带着这个知识点，我们来看一下题型。一，求函数值，它说给了一个函数，这个函数为这一坨， 则 f 零等于多少？刚刚说了， f 零就是当 x 等于零的时候，所以它是这样写的， f 零等于，当 x 等于零的时候，那就是零的平方减四乘以零加四，就是这么简单，再进行计算， 等于零减零加四，那就等于四啦，所以 f 零等于四。好，第二个 f 二，那就是当 x 等于二的时候，我们把这里的 x 变成二就行了， 那就是二的平方减四乘以二加四等于四，减八加四等于零，所以 f 二等于零。好了，下面 fa 等于九，反过来求 a， 没关系，来同样的方法， fa 等于，那这里呢？只是把这个 x 改成 a 就 行了，那就是 a 的 平方减四， a 加四，这样子吗？好，他这样说， f a 等于九，哦，那就是九等于 a 的 平方减四， a 加四。整理一下， a 的 平方减四， a， 把这个九 移过来，那就变成四减九等于负五减五等于零。那这里呢，我们再因式分解，十字相乘， a 减五， a 加一等于零，得出 a 一 等于五， a 二等于负一两个答案，所以呢， a 它就是等于负一或者五这样子的。 接下来我们来看题型二，求分段函数的函数值啊！这个题型二才是我们高考 所要考的题型呢，那个刚刚的题型一，只是一个开胃小菜而已。好了，它这个分段函数是什么意思呢？它的意思就是当 x 大 于零的时候，函数的表达式为这样子， 当 x 小 于等于零的时候，函数的表达式就是这一坨。好，那么应用在题目上，我们要怎么去做好？首先来看 f 二， f 二等于多少，我们就看这个二在哪个范围里面。 二，它是大于零还是小于零呢？很明显啊，它是大于零，所以呢，我们就把它带入第一条式子，那就是等于二的平方，减二乘以二等于四，减四等于零了。 ok， 第二题， f 零 f 零，首先看它在哪一个范围 小于或等于零，它在第二条式子，它在下面的这个范围嘛。所以呢，我们就把它带入第二条式子，等于零，减二等于 负二好， f 零等于负二好，这里有点特别， f f 一， 我们先看最里面的，从小算到大，最里面的是什么？最里面的是 f 一 嘛？所以呢，我们先求 f 一 一，它是哪个范围大于零的？代入第一条式子等于一的平方，减二乘以一等于一，减二等于负一，现在 f 一 变成了负一，那相当于我们再求一次，那就是求 f 的 负一啦， 求 f 的 负一带多少负一，它是哪个范围？小于等于零的这个范围，所以呢，带入第二条，那么 f 负一就是等于负一减二等于负三了，所以呢，这个呢叫做 带两次啊，它就是带两次，有多少个 f 的 就带几次，两个 f 的 带两次，三个 f 的 f f 一， 三个 f 的 就带三次就行了。好了，这个负三 好了，以上就是求函数值全部的内容了，那么在高考里面呢，他通常会和第四章的指数运算对数运算一起来考的，那么我们后面再细讲这部分的内容了， 我们来到第三节的内容，函数的单调性，那么函数单调性它是一个重点和难点，大家一定要认真的听了。通常来说，函数单调性有两个重要的地方，一个是它的定义， 一个是它的图像，首先我们来看它的图像吧，看图像好理解一点，那么它通常呢，它是分成两个函数的，一个是真函数，一个是减函数。来看图像就知道了，真函数就是从左到右呈现一个上升的趋势，这个就是真函数了， 它减函数呢，就是从左到右呈现一个下降的趋势，这个就是减函数了，非常简单。 那么现在拓展一下，如果这个图它是这样子的，来，我们来看呐，它是这样子的，哎，再这样子， 它这里是是接着的，好这样子的，它是不是一个真函数？那虽然它说，哎， 这条直线是单是从左到右往上升，右边的这条直线也是从左到右往上升，但是呢，它不是正函数啊，因为它中间突然掉了下去，它就不是正函数了。那如果这个图像变成这样子呢？来看一下这个图像变成这样子，哎，这条直线是这里， 然后到了这里之后再往上升，这个是不是真函数了啊？这个就是真函数了，因为呢，它是从左到右呈现一个上升的趋势的，只不过这里呢，跳跃式的上升了一下，这个是真函数了，那这种左边的呢？这个就不是了。好了，接下来我们来看它的定义， 定义很重要，真函数的定义就是，如果 a 大 于 b， 那 么我们就有 fa 大 于 f b， 这个是真函数的定义。那么如果我写成这样子，成不成立？我们来看一下，因为 fa 大 于 fa， 所以 a 大 于 b， 这样子成不成立这样子。注意了，也是成立的， 记住这个知识了，然后再看一下减函数，那么减函数呢？同样的道理啊，如果 a 大 于 b， 那 么 fa 就 小于 f b， 符号相反，那包括我后面这里写成 f， a 大 于 f b， 那 么 a 小 于 b 也是成立的。我们来看一下这两种函数特点呢，真函数字母对应，符号相同，这个是它的特点，减函数字母对应，但是 符号相反，这个就是减函数的特点了，这两个特点大家一定要知道了。好，我们来看第三点，常见的真函数和减函数，那么这两个知识呢，就是为了方便大家去做题了， 从而单独列出来。好了，它分成两种类型的函数啊，一种是看系数的，另一种呢是指数对数，看底数的。我们先来看一看系数的，这个真函数的这两种类型呢，你都会发现哎，它的系数大于零的，所以它就是单调递增的函数， 那么这种指数函数和对数函数，我们后面会学啊，我们先了解一下，那么如果他是真函数，那么他的底数，那这个叫底数啊，这个叫做底数，就是他出现数字的那个地方，就叫底数啊，他的底数是哦，这里打出来这个是大于一啊，兄弟们，这个是大于一啊， 大于一，这里打错了，它的底数是大于一的。好了，那如果是减函数呢？前面的这种类型，它的系数是小于零的，它就是减函数了， 那么如果它的底数是零小于 a 小 于一，它是一个分数的形式，增分数的形式，或者它，它是呈现一个小数点，零点五啊，零点八这样的一个形式，那么它就是单调递减的函数了。 好了，那么这里呢，它有一个易错点啊，这里我故意列出来了，就是这个反比例函数 y 等于 x 分 之一这一个函数，如果题目说它在定义域，它是单调递增或者单调递减， 它是错的，它是分别在这个区间和零到正无穷的这个区间分别单调递增，它是分别分开的两个区间，分开的单调性，如果它是在整一个定义域单调， 那就是错的。那么如果我们的某一些选项啊，他说下列哪些函数是真函数，或者说下列哪个函数是减函数？出现了 y 等于 x 分 之一，或者说 y 等于负 x 分 之一这种形式，那么我们直接排除掉它就行了，它是没有单调性的，既不是单调递增，也不是单调递减。好了， 根据上述的知识点，我们来看题型一，那题型一就是考的最常考，也是考的最简单的，直接判断哪些函数是真函数，或者说哪些函数是减函数。好， a 的 这个选项，那属于第一种形式啊，看系数的形式，这个二，很明显的， 这个系数大于零，那么它就是单调递增的函数了。好， b 的 这个选项，它的系数是小于，那我这里写系数吧，我这里写系数的系数吧， 它的系数是小于零的，那么它就是单调递减了。 b 排除好了。 c。 反比例函数，刚刚的那种情况，我们直接排除就行了。 d 的 这个选项就是看底数的这个形式，它底数是零点五，它的底数是零小于底数小于一的，它就是单调递减的函数了， d 也排除。所以呢，答案就是选 a。 好 了，有一个同步训练，我们再做一下吧。 把下列编号填入横线中，在定义上为真函数的是。一来看下。一系数大于零，所以一是真函数。 二系数小于零，所以它是减函数。三没有在我们刚刚的那个 函数表里面，没有在这个表里面。那他三的这个图像呢？他是这样子的，他是有减有增的，所以呢？他不，他不是正函数，也不是减函数，他是有减有增就不是了。三不是。 四，系数大于零，所以它是单调递增的函数。第五题刚刚的那个例子了，反比例函数都不是第六题底数，哎，底数的形式了，底数大于一，所以它就是单调递增的。 第七题底数，哎，现在这个数为三分之一，它是零小于，底数小于一的，所以它就是单调递减的函数。减函数。 好，接下来我们来看题型二函数值的比较，它现在题目给了 f x 是 一个真函数，则下列关系正确的是，那么这里呢，考的就是我们的定义了。考了定义，这种题目怎么做？来看，先看 a 选项， a 选项，我们看他说 f 负三大于 f 负一，对吧，他说是真函数，真函数的定 义，字母数字对应，符号相同，把它拉下来，我们再来看负三大于负一，对不对， 很明显了，不对的负一要大，所以 a 是 错的，排除 a。 再来看 b， 好， 把它写下来， f 二小于 f 三，对吧。真函数字母对应，把它拉下来，符号相同，再判断二小于负三对不对，很明显是错的，排除 c 选项， f 负二小于 f 三好，数字拉下来符号对应 成不成立，负二小于三，成不成立，成立的，所以 c 是 对的。再来看一下 d 选项， f 负一大于 f 零， 数字拉下来符号相同，负一大于零，对不对？不对， d 也是不对，所以这题选 c。 好 了，很简单啦。再来看题型，三函数单调性的应用，那么这种呢？是稍微有一点难的。题目说已知函数 f x 为减函数， 求这个不等式的解集。同样的道理，它也是考了一个定义，我们把这个先写下来， f x 减一小于 f 三减 x 减函数的定义。还记不记得 字母对应就是括号的这两坨拉下来符号相反，这里是小于的，符号相反，变成了大于，再减这个不等式就 ok 了。好了，这就变成 x 加 x 大 于三，加一，二， x 大 于四， x 大 于二，所以它的答案就是 恶斗正无穷。选 b 很 简单，看一下第二题，第二题有一点坑啊。好，首先他说在零到正无穷的这个区间是真函数，则不等式的解集。首先我们看 用定义的方法，先处理一下这个三减 x， 那 定义的方法还记不记得拉下来括号里面的这两坨数，把它拉下来，然后符号相同还是大于号？真函数嘛，好， 二 x 大 于二， x 大 于一。那么说到这里呢，有的同学呢，就直接选 b 的 这个选项了，但是呢，还没完呢，我们来观察一下这两题有什么不一样。第一题他说 f x 为减函数， 但是第二题他说在这个区间他是真函数，他给了一个区间，说明我们括号里面的这两坨东西， 它要符合这个区间，也就是它要在这个区间上才行。这个区间是什么意思啊？零到正无穷是大于零嘛？所以括号里面的这两坨 x 加一，它要在这个区间里面，也就是 x 加一要大于零， 三减 x 也要大于零，那如果它这里换成了负无穷，逗，零，这个就是表示小于零，那这个呢，我们就写成 x 加一，小于零，三减 x 小 于零就行了，它是什么，我们就写成什么就 ok 了， 只要它在这个区间内就 ok。 好 了，回归到这个题目了，我们再解解一下这个不等式， 这个就是 x 大 于负，一做快点了，这个就是 x 小 于三，对吧？现在我们有三个范围，大于负一、小于三，大于一。如果不能一眼就看出，我们直接桨数走， 嗯，桨数走大于负一负一在这里空心往右走小于三，三在这里空心往左走 大于一，一大概在这个位置吧，空心往右走取交集，交集就是三个重合的部分，所以就是一小于 x 小 于三了，选择区间的形式就是一逗三了，所以这题选 a 好 了，以上就是单调性的所有内容了，这一个必备知识规律，大家要好好的去看一看，记一记了， 我来到第四集的内容，函数的奇偶性，那么函数奇偶性也是有两个重要的知识点，一个是关于图像的，一个是关于它的定义的。我们先来看图像吧， 那么奇偶性它是分成偶函数，还有奇函数，偶函数的特点就是关于 y 轴对称，什么意思？就是这个图像 沿这一条 y 轴对折，右边的这一部分对折之后，他会和左边的这一部分重合，这个叫做 y 轴对称，也就是如果每一个图像都是这样子对折之后重合的话，那他就是一个偶函数了。 g 函数是关于圆点对称，这一个零斗零就是圆点，圆点对称的意思就是图像要圆点旋转一百八十度， 它会回到原来的位置，这个就是奇函数了。我们再来看一下它的定义，那么这里的定义呢？它是非常重要的。先看一下偶函数的定义，那么偶函数呢？就是 f x 等于 f 负 x， 比如说 f 一 等于 f 负一， f 负二等于 f 二，这就是偶函数的特征。我们来看一下 g 函数的特征， g 函数的特征可能会复杂一点来看一下，它就是 f 负 x 等于负的 f x， 他还有一种写法就是 f x 等于负的 f 负 x。 那 么第二种写法很多同学都是 不知道的，他们都我们大部分的同学都只知道第一种写法，那么第二种写法是怎么出来的呢？其实啊，就是把右边的这个符号移到左边就是了，那举个例子啊，比如说 f 负一等于负的 f 一， f 二等于负的 f 负二。好了，我们再来更深层次的看一下，先看偶函数，偶函数，你会发现，括号里面的两个数是互为相反数的， x 负 x 一， 负一 负二二，它们是互为相反数。那么奇函数来看一下，括号里面负 x x 负一一二负二，括号里面互为相反数，括号外面 这个是正的，这个是负的正的负的正的 负的正负，对吧？括号外面也为相反数。所以呢，这里就总结了两句话，偶函数括号内为相反数， 奇函数括号内外均为相反数。那么这两个口诀在后面的一道例题中，后面的一道母题中，是一个解析的技巧来的，能快速的把这题秒杀掉。 好了，下面这里还有两个知识点，第一个是偶函数还有这样的一条公式， f x 等于 f 绝对值 x。 那 么这条公式呢，它不是很重要啊，只不过它在后面的一道压轴题里面会用到这样的一条公式，那它是为什么会这样子呢？那如果当 x 等于负一的时候，那么 f 负一就是等于 f 负一的绝对值，对吧？那么负一的绝对值，什么负一的绝对值就是一了，所以它就这样子了。 让我们来看，这是不是偶函数啊，这个也是偶函数啊。好了，奇函数有这样的一句话，若奇函数定义域为 r， 则有 f 零等于零。这一个很关键的 记住了，不是所有的奇函数都有 f 零等于零，只有题目出现这样的一句话，在定义域为全体实数上，它才有 f， 零等于零， 一定要记住。好，我们来看一下第三点，密函数的奇偶性，这个还是比较简单的密函数呢，就是 y 等于 x 的 a 次，那么 a 可以 取一，可以取二，可以取三，可以取四，所以呢，就导致了我们就 y 等于 x 的 一次呀， y 等于 x 的 二次， y 等于 x 的 三次这些函数，那么来看它的奇偶性是怎么区分呢？如果这个指数 指数 a， 它是为偶数的话，比如说 x 的 平方， x 的 四次， x 的 六次，那么这种函数就归类为偶函数，那如果 a 为奇数的话，那它就是奇函数了，这个还是很简单很好理解的。 再看第四点常见的偶函数和奇函数，那这里呢，我已经把高时高考所有的偶函数和奇函数的基本形式都归类到这里了，偶函数一共有三条， x 的 平方绝对值 x 口上 x， 这个是三角函数里三角函数来的，也归到里面了，后面会学到三角函数，那么 g 函数呢？ y 对 x， x 的 三次， y 的 x 分 之一， y 的 三 x， y 的 天数 x， 那 这五个呢，就是奇函数了，这个大家一定要背啊，一定要背，能帮助我们快速的做题。再来看第五点吧，奇偶函数的运算法则，那么我们有一些函数呢，它是 有几个部分组成的，比如说 y 等于 x 的 三次加 x 啊，或者说 y 等于绝对值的 x 乘 x 啊，它会是这样子的，那么题目往往会让我们判断这些函数的奇偶性，那我们就需要用到这样的一个运算法则了，我们先看加减法吧，加减法还是比较简单的哦， 鸡加鸡等于鸡哦，加哦等于哦，那鸡加哦，那就是不三不四，哼，那就非鸡非偶了，那这个还是比较好理解的。 再来看乘法，那么乘法呢，我们就可以把它当成是一个正负数的运算了，我们可以把这个奇函数看成是一个负数，把偶函数看成是一个正数。来，我们来看啊，奇乘奇等于偶，那是不是相当于负数乘负数 等于正数啊？好，偶乘偶等于偶，那就是正数，乘正数还是等于正数？奇乘偶对奇，负数乘以正数等于负数， 是吧，很简单吧。好了，那么以上呢，就是奇偶性的知识点了，分成这五点，那么我们带着这个知识点来看一下题型一。 题型一还是老样子呀。首先判断哪一些函数是偶函数，哪些函数是奇函数，我们直接套用这个知识点四，直接套用就行了，如果你背的很熟了， a 的 这个选项，它是奇函数 b 的 这个选项。平方偶数嘛，所以它就是偶函数 c 的 这个选项。哎，这个是三，是基数嘛，所以它就是 c 函数。那这三种 a、 b、 c 呢？就是刚刚所说的密函数的奇偶性啊，很重要啊。第一，有没有这个指数函数，有没有出现在表格里？没出现，所以它就是飞机费用 写个飞飞吧，飞机飞哦，飞飞，偶函数，对吧？选 b 很 简单，来看题型二，稍微难一点，运用了它的加减法的性质啊。首先来看 a 的 选项， a， 这个是一个 g 函数，对吧？我们把它看成两个函数啊，左边一个，右边一个， 右边的这个二 x y 等于二 x， 它是飞机飞哦，飞飞。所以呢，一个 g 函数加飞机飞哦，它还是飞机飞哦。 a 是 错的， c 左边是 g 函数，右边也是 g 函数，所以 g 加减 g 还是等于 g， c 是 对的。看一下 b 怎么错。 b 左边是偶函数，右边是偶函数，偶加偶还是等于偶函数，所以 b 也是错的。第一选项，左边是偶函数， 右边也是偶函数，偶函数乘以偶函数还是等于偶函数，好吧，所以 d 也是错的。 就是这么简单了哦，来看题型啊，利用含，利用奇偶性，求函数值，很常考，非常常考这个点来看来， f x 为奇函数，他说当 x 大 于零的时候， 他的函数解析式为这样子，求 f 负二。那有的同学呢，就直接把 f 负二哎，无脑的带进去，那 f 负二等于负二，加一等于负一，对不对？很明显啊，这是不对的， 当 x 大 于零的时候，你才能带进去算。现在它是负二呀，负二它是小于零的，不符合这个范围，我们带不了，所以我们就要利用奇函数的性质，把这个负二转化一下。考了，性质啊，加数的性质是什么呀？ f 负 x 等于负的 f x 这样的一个性质吧。好了，所以呢， f 负二就是等于负的 f 二吧，把 x 变成变成二就 ok 了。好了，那现在呢，我们先求 f 二能不能带，能带了，因为二大于零呢。那么 f 二呢，就是二加一等于三了。 注意了，前面还有一个符号啊，不要把这个符号给漏掉啊，所以 f 负二等于负的 f 二等于负三啊，所以它的答案为负三， ok。 第二题， f x 为偶函数，现在改了一下偶函数， 那 x 大 于零呢？大于零的时候，函数是这样子的，求 f 负五，同样的道理，负五能不能直接代？不能代，因为负五它不是大于零，所以我们要需要利用偶函数的性质，把它转变一下偶函数性质 f x 等于 f 负 x 有 没有问题？所以 f 负五等于 f 五，那么我们 f f 五能不能带？可以带啦，因为它是大于零啦，所以 f 五啦，就是等于五的平方减四乘以五等于二十，五减二十等于五啦，所以 f 负五 等于 f 五也是等于五了。到了题型三，函数稀有性的应用，又是一种新的题型，它说函数 f x 为奇函数， 然后这个图像经过二道负三的这个点，下列哪个哪个是对的？经过二道负三的这个点，我们要把它这一个条件转化成 a、 b、 c、 d 这样的一个形式，也就是 f 多少等于多少。我们来看，二指的是 x 轴， 负三指的是 y 轴，所以 f 二等于负三有没有问题？把它转换成这样子 好了，他说 f x 为奇函数。这里呢，我们就要利用到刚刚的那个口诀了，就是奇函数括号内外均为相反数，用这个口诀直接秒杀这题。括号内外均为相反数，记住了，括号内现在为二。 奇函数相反数变成了它的相反数，二变成了负二，这是括号内的括号 y。 现在括号 y 为负三变成了它的相反数，负三的相反数为三，所以 f 二 f 负二等于三，直接选 a。 现在如果题目改一下，改成它是偶函数还是这个条件怎么办？偶函数还记不记得 它的口诀是什么？括号内为相反数就行了，括号外不是相反数，它只是括号内为相反数，所以呢？括号内二为相反数，二的相反数负二，所以 f 负二 等于负三，那括号 y 不 用变了， y 还是同样的那个数啊，不是相反数啊。好了，这个就是题型三那个口诀的应用了，被这个记住，这个口诀能秒杀题型三这类题目，接下来我们来看题型四 逆函数奇偶性的应用，高值高考也会考这样的题目，但是考的不多，我们也要学会啊。他说函数这一个为奇函数，求实数 m 的 值， 这里有一个非常快的口诀，大家一定要记住，奇函数没有偶次项， 偶函数它是没有奇次项， 这两个口诀一定要记住，它是这种题目的解析的技巧。好了没有？他说奇函数项为奇函数，奇函数没有偶次项，也就是偶次项的系数，偶次项的系数 等于零。就是这么简单， x 的 平方为偶似项，它的系数为 m 减二，所以 m 减二等于零， m 等于二。直接选 d 来看第二题，他说这个函数为偶函数， 来看口诀，偶函数没有奇次项，现在哪个为奇次项？中间的这个为奇次项，说明奇次项的系数为零， m 减三为它的系数， m 减三等于零， m 等于三。 秒出答案，直接秒出答案。好了，以上就是函数基有性的简单到中等难度的题型了，那么函数基有性还有一种压轴题的考法， 我们在第六节的时候再讲，我们第六节全都是压轴题，我们再统一归类到第六节，细讲一下压轴题是怎么考，我们要怎么解析。 我来到第五节内容，二次函数，二次函数在高时高考里面的选填题是考得很少， 可以说基本不考，它通常会出现在大题二十一题里面。好了，那么虽然不考，但我们还是要了解一下它的基本的知识。首先，函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 那 这里 a 不 等于零，它是一个二次函数， 这条四指的就是二次函数的一般四啊，比如说 y 等于 x 的 平方加二， x 加四这一条，那么一般四最重要的就是要学会找 a， b， c， a 指的是二次项系数， a 等于一， b 指的是一次项系数， b 等于二， c 指的是常数项，这个 c 等于四。 好了，说完这个，我们来看一下它的基本公式吧，基本公式也是最最最重要的一个公式，第一个是顶点坐标，第二个是对称轴，第三个是最值的公式，那么很明显你会看到，哎，顶点坐标的 x 轴就是它的对称轴， 顶点坐标的 y 轴就是它的最值。那为什么会这样呢？原因就是这个二次函数，比如说它是这样子的，那函数这个抛物线的中间呢？有一条虚线，这条虚线就是它的对称轴，对称轴的公式就是 x 等于 负的二， a 分 之 b， a 也就是对称轴的公式。顶点公式的 x 的 坐标， 那么这个点就是它的最小值，那么最小值指的是 y 轴的值啊，最小值指的是 y 轴的值啊，也就是重坐标，那么就是四， a 分 之四， a， c 减 b 方了，那它就是这样子，全部的都是围绕着这个顶点坐标， 对称轴最直来出奇的。好了，我们来再来看单调性呢，那了解了对称轴之后，这个单调性就比较简单了，当 a 大 于零的时候，图像的开口是向上走的，那就比如说这个 向上走的，那么我们来观察这个图像呢，这个是对称轴，对吧？对称轴的左边指的是这一部分，它是一个单调递减的函数，也就是这个区间呢，就是负无穷负二 a 分 之 b， 那这里可以是小括号，也可以是中括号，都可以，那么对称轴的右边右边指就是这一段，它就是单调递增的，也就是区间的形式，就是负二 a 分 之 b 到 正无穷这一个区间，那中括号也行，小括号也行啊，都 ok， 是 单调递增的，那么当 a 小 于零的时候，我这里把这个这个图像擦一擦，再把它擦掉， 当 a 小 于零的时候，开口向下，这个图呢，就变成这样子了，那这样子呢，他就反过来了哦，在对称轴的左边就是单调递增的，在对称轴的右边就是单调递减了。好了，我们来看一下他的最值，其实最值的就是和这个 顶点坐标是一样的，就是还是看这个图啊，当他这个函数在对称轴的时候，哎， 他就有一个最大值，那如果这个函数图换一下，我现在是这样子的，开口向上的，那么在他的对称轴上， 他就有最小值了，他是这样子，所以呢，开口向上就是 a 大 于零，那么这条函数呢，他就有最小值， y 就 有最小值， 对吧？当 a 小 于零，就是开口向下，这样子的，它就有 y， 就 有最大值， 最大值就是这个点了，反过来就 ok 了。好，我们再来看一下第四点，那第四点呢？是也是一个比较重要的知识啊，顶点是， 那么为什么比较重要呢？是因为在我们后面的二次函数大题中，哎，如果你知道，学会了这个顶点式，我们就可以直接一眼能看出答案，一眼能看出顶点坐标，一眼能看出对称轴，一眼能看出最大值。好了，顶点式就是这种模式了， 那比如说 y 等于 x 减一的平方加二，就是这种模式了，那前面呢，是一个完全平方公式，后面是一个常数，那么它的顶点坐标呢？直接看这两个数就行了，直接看这两个数就行了。 注意了，这里是减号，这是减号，当它是减号的时候，它的顶点呢，就是一到二，很简单。那如果是这样子呢？ y 等于 x 加一的平方加二，这个顶点坐标是多少啊？ 那这里是加号，我们本来是减号的吗？所以呢，就把它变成它的相反数就行了，本来是一，它相反数就负一，它顶点坐标就是负一逗二，就这样子了。这么简单，第五点，二次函数的两点是，那其实第五点呢，是初中里面的一个内容啊， 二次函数有三种形式，一般是顶点是两点，是，这个我们了解一下就行了。就是如它这样子的话，那就说明与 x 轴交于 s 一 逗零， s 二逗零，这个了解了解一下就行了，不是很关键。好了，带着这个知识点，我们先来看一下题型，一二次函数的性质，这个呢，就是简单的性质了。好，已知二次函数为这个东西， 求函数的开口方向。首先来看，来来看开口方向，开口方向我们只需要看 a， 那 如果 a 大 于零，开口就向上， 如果 a 小 于零，开口就向下，这题的 a 是 大于零的，因为 a 大 于零，所以开口向上很简单。第二个，对称轴直接用对称轴的公式， 什么 x 等于负的二， a 分 之 b， 那 在用之前呢，我们要把 abc 的 值写出来， 写这里吧，因为 a 等于一， b 等于负四， c 等于三，所以对称轴 x 等于负的二， a 分 之 b 等于负的二乘一等于二，这里是负四 啊，负和负约到了四除以二对二。当然了，我们在书写的过程中呢，最好在前面加一个对称轴三个字啊，我这里呢，就减，写了一点就没有加，你们在写的时候就一定要加上去好了，最值怎么求？ 我们看到这个图像，先进行一个说明，因为 a 大 于零，函数开口向上，开口向上的话，它是不是开口向上，它是不是有最小值啊？有最小值 好了，那么我们再用最值的公式是什么？四， a 分 之四， a， c 减 b 方好了，所以 y 的 宾利最小值用 y 的 宾利啊，等于 四， a 分 之四， a， c 减 b 方。这里代数我写快点了哇， a 是 一，那就四，这里四乘一乘三就十二，十二减 b 方， b 为负四，负四的平方就十六等于 十二减十六等于负一。那么除了公式法，你也可以，我们也可以直接把这个，因为对数 x 等于二吗？可以把 x 等于二代入 来算 y 来试一下，等于二的平方减四乘以二加三等于四，减八加三等于负一，所以它的最值也是等于负一。 最后一点哦，顶点坐标对吧？那么顶点坐标就很简单了，顶点坐标 x 轴就它的对称轴为二， y 轴就是它的最值，负二都负一，那这个就是顶点坐标了，二都负一，再来看一下顶点是， 那么这里呢，要着重的教一下如何把这个一般式通过配方的方法配成一个顶点式。那么在我们高时高考里面， x 平发这个二次项的系数啊，基本都是为一的，所以呢，这个就导致我们配方的时候非常简单，不用考虑这么多好了，怎么配？ 前面照写 x 的 平方减四， x 好 了，进行配方了，这里我们要把它配成一个完全平方的公式啊，就是 a 方加加或者减二， a b 加 b 方啊， a 方有了就是 x 的 平方，二 a b 呢，就是这个减四， x 就 差一个 b 方 差一个数的平方，那这个数是什么呢？只需要看前面这个系数的一半，四的一半为二，所以就是加二的平方 加三，那么我们一条四指，他加了二的平方，你不能无端端多了一个二的平方，所以我们要在最后再减回一个二的平方，这个就是配方法了，使一条四指的大小不发生改变，等于这里怎么写啊？写头和尾， x 和二 的平，哎的平方的平方线好看一点，平方中间什么符号啊，跟着前面的符号走，完全平方公式嘛，然后这里三减四就负一了，所以他的顶点式就是 y 等于 x 减二 的平方减一。好，再来看一下能不能通过这个顶点式一眼就看出他，一一眼就看出他的顶点坐标。可以啦，很简单啦，二负一嘛， 说顶点坐标就二度负一，这个就是顶点式的好处了，就是你能一眼就看出它的顶点坐标，就不需要通过这一个步骤来算这么多的东西。 好了，我们来看题型啊，待定系数法的应用，那么待定系数法呢，就是题目给了一些值，一些点，然后呢，把这些点带进去，求出这个二次函数出来。好吧，我们翻译一下，这什么意思？ f 一 等于零，说明这个函数过 一对零这个点。 f 三对零，说明这个函数过三对零这个点，所以呢，过哪些点，我们就把哪些点带入，那就是把一对零和三对零 带入了，那么带进去之后呢，它就变成，那先把这个一对零带入啊， e 加 b 加 c 等于零，好，再把这个三度零带入，那就是三的平方为九，九加三， b 加 c 等于零。这里我们可以整理一下， b 加 c 等于负一， 三， b 加 c 等于负九，对吧？那这里就写二元一次方程了，我们来看一下， 用第二条式子减第一条式子，那就变成三， b 减 b 等于负九，减负一，那就负九加一， 二， b 等于负八， b 等于负四， b 等于负四，那就是负四加 c 等于负一得出 c 等于三，所以出来了 f x 就是 等于 x 的 平方 减四， x 加三，没毛病吧？那现在求 f 负一，把负一带进去，那就是 f 负一等于负一的平方减四乘以负一，那就是加四，再加三 等于负。哎，这负一的平方就变成了一了，哦，一加四加三，那就等于八了，选 d， 这就出来了。 再来看题型三，求二次函数在区间的最值，这种题目相对来说重要一点，比刚刚题型二要重要。好了，我们来看怎么求， 首先呢，他说函数这一个在区间负三到六的最小值和最大值是什么？ 我们先把它的对称轴求出来，看一下它的对称轴和区间的这两个，两个区间这个范围的关系。打对称轴的公式啊， x 等于负的二， a 分 之 b， 对 吧？ 负的 a 是 多少？ a 是 一，那就是省略不写了，二乘一得二， b 为四，等于负二，对吧？这里呢，我们可以大致的画一下它的草图 长什么样啊？这个先不换了，换一下它的长度长什么样好了，它它是开口向上的对称轴，这个是 x 等于负二。好了，那负三和六在哪里？负三肯定是在负二的 左边啦，那负三大概就在这里了，六肯定是在它的右边呢，大概这个位置 六在这里延长一点好了。所以呢，我们通过这个大字的图像就能看出来，哎，当 x 等于负二的时候，他就有最小值了， 当 x 等于六的时候，他就有最大值了。但是有些同学他说，哦，我不会画图怎么办？其实可以不需要画图，我们只需要判断这个对称轴在不在区间里面就 ok 了。如果他在区间里面，说明他的最值肯定是 x 等于负二这个点， 这个点他肯定有一个最值，剩余的两个我们只需要分别带进去，看哪一个大，那就取哪个，那就 ok 了。好了，把试一下把 x 等于负二带入来，求一下它的最小值吧，那就是 y 等于负二的平方，减八加二 等于四，减八加二等于负二，那所以最小值呢，就是为负二了。来看一下它最大值。我们先把负三带进去， x 等于负三，带入 y 等于负三的平方，减十二加二等于九，减十二加二 等于负一。好，再把 x 等于六大于，看一下等于多少。 y 等于六的平。方加二十四加二等于三十六，加二十四加二等于这个加这个就是六十六，十加六十二，所以很大，最大值就是六十二，就是这样子的。 好了，来看一下第二个，还是同样的道理，我们先把对称轴求出来， x 等于 负二， a 二 a 分 之， b 等于负的，二乘负一的就负二， b 为二，约掉为一。 哎，这个时候他不一样了哦，你会发现哎，对称轴是 x 等于一，他没在这个区间。这里我们可以大致的画一下这个图啊，好理解一点，他现在是 a 小 于零的，所以开口向下， 对称轴这一条为 x 等于一，他现在说在区间，二和五，二在这里，二在二在这里，五在这里， 对吧？很明显了，二和五在他的对称轴的右边，因为对称轴都没有在题目的这个区间里面，所以不用考虑对称轴。我们怎么做很简单呢，我们只需要把这个二和五分别带进去就行了， 哪个为小的就是最小值，哪个为大的就是最大值。好了，把 x 等于二大于，那就是 y 等于负二的平方加四加五等于负四加四加五等于五， 把 x 等于五代入，那就是 y 等于负二十五加十加五等于负二十五加十五等于负十，算出来一个五一个为负十，所以最小值就是为负十， 最大值就是为五，就是这么简单了。好，再来看一下题型四，题型四是一道难题啊，二次函数单调性的应用，他说函数这一坨在一到正无穷是单调递增的，求 m 的 取值范围， 那这种题目呢？还是与对称轴有关系？我们先求对称轴， x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的， a 是 二，那就是二乘二等于四了， b 是 负， m 等于四分之 m。 然后再看一下这个函数的开口， a 大 于零，开口向上的大概是这个样子。好了，把对称轴 瞄一瞄一下，那这个呢？就是 x 等于四分之 m 了，我们来看它的特点，它的特点哪一部分是单调递增？右边的这一部分，右边的这一部分才是单调递增。 他说在一到正无穷上单调递增，说明一到正无穷的这个范围必定是蓝色的这一条线必定在蓝色的这条线里面。所以我们来看看一大概在哪个位置啊？一可以在这里，哎，用蓝色笔吧。 一可以在这里，也可以刚好在这个对称轴这里，也可以刚好在对称轴这里。所以你会得出这样的一个式子，四分之 m， 它是小于或等于一的，能不能理解到这里，因为这一个点，这个红色的点，这个对称轴的这个点，这个点就是四分之 m。 刚刚说了，一他要在对称轴的右边，越往右的就越大嘛， 所以四分之 m 它是小于一的。好了，能不能等于它可以等于那刚好等于一的时候，哎，也是成立的，它可以等于一，所以就有这样的一个式子了，所以得出 m 小 于等于四选 d。 好了，我们再来看一题，改编了一下，像这种，这条函数在负无穷到二是单调递减，求 m 的 取值范围。好了，再来看啦。首先先求对称轴， x 等于负，二， a 分 之 b 等于负的 二 a， 对 吧？ a 是 一呢，就是二， b 为负二 m。 好， 这里一约，这里一约，二和二又约等于 m， 所以 现在的对称轴为 m。 再来画一下大致的函数图，这样子开口向上呢，好了，对称轴， 这个对称轴，它是 x 等于 m。 题目说在负无穷到二单调递减，看图哪一部分是单调递减，左边的这一部分是单调递减，所以说明负无穷到二这个范围，它一定要在左边这里， 你一定要在我这里蓝色的这条线这里。好了，那么所以那这个点他肯定就是二，然后右边这里呢，就是负无穷了。好了，通过这个图像，你能看出 这个点是 m 啊，这个点是 m， 你 是不是能看出二在 m 的 左边，所以是不是二小于 m， 但是呢，它也可以刚好达到 m 的 这个位置，所以呢，你就会的可以得出二小于等于 m 这条式子，所以 m 的 范围就是 m 大 于等于二了，就是这么简单。好，以上就是二次函数所有的母题， 我们来到最后一节内容，函数综合题，那么这节内容就是高值高考函数的压轴题，一般出在十四十五题，内容有点难，大家一定要认真听了。那么在我们看题之前，这里呢，有一个小小的知识点需要补充一下， 第一个是函数周期的知识点，第二个是函数求对称轴的知识点，那么这两个知识点也相当于一个拓展的知识了。好了，我们首先看函数周期， 那么如果我们在题目中出现一个函数，它是这样子， f x 等于 f x 加二，出现这种形式，或者 f x 等于 f x 减二，那这种呢，就叫做周期函数，并且它的周期 t 是 等于二的，那这里 x 减二，它的周期不是等于负二哦，它也是等于二，周期是一个正数来的， 那这种类型呢，是我们在在职高考当中最常见的类型。好，那么下面还有四种类型，我们了解一下就行了。那么如果一个函数呢，是 f x 加 a， 等于 f x 减 b， 它的周期呢，就是 a 加 b。 举个例子啊，比如说 f x 加一， 等于 f x 减二，那么它的周期 t 就是 等于一加二 等于三了。那么如果它变成这样子怎么办呢？ f x 加一，等于 f x 减二 哦， f x 加二，那如果两个都是加怎么办？那它的周期呢？就是等于用大的这个数减去小的这个数就可以了。二减一等于一。好了，来看第二点了， f x 加 t 等于 f 负的 f x 啊，这种和刚刚的第一种非常相似，那只不过呢，它这里呢，多了一个符号，它外面这里多了一个符号，那么它的周期呢，就是变成了二 t 了。 把这两个做好区分，一个的周期为 t， 如果它在前面多了一个符号，就整一个数的前面多了一个符号，那它的周期就是变成二 t 了。好，第三点，函数 f x 关于 x 等于 a， 与 x 等于 b 对 称，那么它的周期呢？就是两倍的 b 减 a 啊。比如说我这个函数关于 x 等于二， 与 x 等于四，关于这两条对称轴对称，那么它的周期就是等于两倍的绝对值。四减二，用大的减小的 等于两倍，二乘以二等于四，中心为四。最后一点，如果题目给了 f x 关于一条直线对称，还有关于一个点中心对称，那这个呢，叫做一线一点， 第一条直线和和一个点，那么它的周期呢？就是为四倍的 b 减 a， 比如说关于 x 等于一对称，关于二到零中心对称，那么它的周期 t 就是 等于四倍的绝对值，也是用大的减小的二减一 等于四，这样子就 ok 了。好了，我们来看第二个函数的对称轴，那么函数的对称轴的这种形式和刚刚的周期的形式其实挺相似的，我们周期呢，是写成 f x 等于 f x 加二，对吧？它会写成这样子，那么如果它是求对称轴，它会写成这样子， f x 等于 f 二减 x， 它会写成这样子。就它们有什么特点啊？你会发现第一个的 x 两个都是正的， 但是对称轴的话， x 是 一正一负，那么它的对称轴是怎么求呢？非常简单呢？我直接在这个举例子吧， 它的对称轴 x 就是 等于用这个第一个括号加第二个括号，就是 x 加二减 x， 两个加起来的和除以二，那么除完之后你就会发现 x 与 x 能约，能约掉，对吧？那么只剩下二除以二等于一了。 水对称轴 x 对 一。好了，以上就是补充的知识点，我们来看一下压轴题的题型会怎么考？题型一，单调性与奇偶性的简单题，那这题还不算压轴题，简单题 还他会出现在第四题到第十一题的这个这个位置。好吧，我们来看一下吧，已知 f x 为偶函数，在零到正无穷单调递增啊，一个偶函数，一个真函数，判断这些东西的大小。 好了，我们真函数的判断怎么判断呢？因为三大于二，所以 f 三大于 f 二，对吧？那么我们能在这题中，我们可不可以这样，因为拍大于三大于负四，所以 f 拍大于 f 三大于 f 负四， 这样子行不行？这样子很明显是不行的，因为题目说了，在零到正无穷，他才是单调地震这里，我们的复式他不在这个范围，所以我们就需要利用偶函数的性质，把它转变成符合这个范围。 先把这里猜一下，因为偶函数，所以 f 负四等于 f 四，对吧？那么现在我们就是比较 f 四， f 拍 f 三的大小关系了。好了，因为 三，那这里全部是全都是小于啊，我就用小于来表示啊，因为三小于拍小于四，所以 真函数符号相同， f 三小于 f 拍小于 f 四这样子了，那么呢，我们再把这个 f 四转化成 f 负四就可以了。所以呢，三拍复式哪个答案？三拍复式选 d。 我们来看题型二，单调性与奇偶性的难题。那这种题型一般会出现在高值高考的第十五题，作为压轴题来考，有点难，我们一定要认真听呢。 已知 f x 为偶函数，在零到正无穷单调递减，但他说如果 f x 减一小于 f 四，求 x 的 取值范围。做这题一共有两种方法， 第一种方法是塑形结合法，我们先来讲第一种方法，塑形结合法是比较简单的方法的，但是需要画图，我们来看一下这个图怎么画，先画一个坐标系 好，他说在零到正无穷单调递减，我们在零到正无穷的这个范围画一条单调递减的直线，也就是这样子了。 接着他是偶函数，偶函数的图像特点。关于 y 轴对称，我们把这条直线沿 y 轴对折，变成这样子。 好，折过来，把图像补充完整了。题目说 f x 减一小于 f 四，这两个指的是 y 轴， y 轴的点。好，我们来看呢，在 y 轴先把这两个点描出来，这个点是 f x 减一 好，他说 f 四比他大，那就 f 四呢，就在他的上面喽，有没有问题？好了， y 轴画完了，再把它 x 轴找出来。怎么找？这个点？往右边画虚线，经过图像之后往下走，画虚线好，经过 x 轴这个点就是为四， 左边也有图像，往左走往下走，然后这个点就是为负负四了。哦，因为他在 x 的 负半轴了。 好，同样的道理， f x 减一，往右走，往下走， ok， x 减一 往左走，往下走。注意了，这里也是 x 减一，因为它两个是一未知数啊，未知数不能随便定义它的正负啊，它还是 x 减一啊。好，画完之后，我们 这个时候单独看 x 轴就 ok 了。先看右边的这一部分呢， x 减一在四的右边，说明 x 减一大于四， 左边的这一部分 x 减一在负四的左边，说明 x 减一小于负四，没问题吧？好，我们解这个方程组就 ok 了。这里呢，就是 x 大 于五， 下面 x 小 于负三，对吧？那所以它写成趋近的形式呢，就是负无穷斗负三并上五斗正无穷了。选 d。 方法已讲完了，我们来看方法二。那么方法二呢？它比较简单粗暴啊，但是呢，有点难理解，在我们偶函数的知识点里面，大家还记不记得这个公式， f x 等于 f 绝对值 x， 有 没有印象？那这题呢，就要用到这条公式了， 这题目说 f x 减一小于 f 四，那 f x 减一，我们是不是可以写成这样子？ f 的 绝对值 x 减一 小于 f， 这个四，那就变成绝对值的四，那其实绝对值的四也就是四啊，就完全不用管了，还是写四就行了。 好了，他说在零到正无穷单调递减，注意了，用这个方法，我们有一个规定， 就是要看零到正无穷这个范围，它是真函数还是减函数？这个题目还出的比较好，他直接说在零到正无穷是单调递减，那如果有些题目说，哦，在负无穷到零 单调递减，如果题目这样子出，我们就要把它转化成零到正无穷的这个区间，它是真还是减。 如果题目出现这样子，我们就需要做一步转换，因为这个方法呢，要在零到正无穷这个范围这个区间去探讨啊，一定要记住了，像刚刚的这节，负无穷到零是减，那么零到正无穷就是真呢，反过来嘛。好了，那么呢，他说 零到最后重复单调递减，还记不记得减函数啊？减函数，因为 f a 小 于 f b， 所以 a 大 于 b， 还记不记得啊？字母对应符号相反，所以呢，这个对过来啊，因为写在这里吧， 因为 f x 减一的绝对值小于 f 四，所以 x 减一的绝对值大于四。 好了，那我们就解这个绝对值的不等式了。那之前教过大家呢，就是用一分为二的方法， x 减一大于四， x 减一小于负四，那么就得出 x 大 于五， x 小于负三。那么答案呢，其实跟刚刚的那个一样的，也是选 d， 那 这就方法二了，简单粗暴一点，但是有点难理解。题型三，奇偶性的难题，这种题目也是出在高时高考的第十五题来考好，我们来看题目，已知定义域 在 r 上的函数，这个大 f x 等于小 f x 加五，它是一个奇函数，满足 f 二等于负三，求 f 负二的值。 这里我们一共分成三个方法来做，三个步骤来做。第一步，带已知条件。第二步，利用奇函数的性质。我这就简写了。第三步，带未知条件，未知条件就是我们要求的那个条件， 分成三步骤。我们先来看第一步，带已知条件。已知条件 f 二等于负三，那我们就把 x 等于二 带进去，那就变成大 f 二等于小 f 二加五没问题吧。因为 f 二等于负三，所以等于负三加五等于二没问题吧。接着来看第二步，利用奇函数的性质。 这里有个魔鬼细节，到底是大 f 是 奇函数呢？还是小 f 是 奇函数呢？ 那这个题目呢？是大 f 是 奇函数啊，不要搞错了。那么现在得出 f 二， 大 f 二等于二，利用奇函数的性质。奇函数什么性质啊？括号内外均为相反数。又用到这个口诀了，所以得出 f 负二等于负二。好啦， 接着来看第三步，带未知条件。未知条件就是我们要求的这个，当 x 等于负二的时候，我们把它带进去，那就变成大 f 负二等于小 f 负二 加五。那我们刚刚算出来，大 f 负二等于负二，所以负二等于小 f 负二加五，得出小 f 负二等于负二减五就负七。所以这题选 a 道题型是呢，奇偶性加周期性也是出在高时高考的第十五题，那这题呢，就周期性，我觉得就简单很多了。好了，他说 f x 为奇函数， 然后对于任意的 x 都有这个 f x 等于 f x 减三。那这句话是不是很熟悉啊？就刚刚一开始就讲了，那出现这种形式呢？那就说明这是一个周期函数，并且周期 t 等于三，就 t 的 这个数 打题目说 f 二等于三，求这个东西。好了，我们先利用周期性，把这两个东西分别换算一下， f 负三 等于什么？他说周期为三，那就等于 f 的 负三加三，周期为三吗？那么负三加三等于零，所以呢，它是等于 f 零的。 这里有没有问题？好了， f 零等于多少？因为题目说定义域为 r 的 奇函数，则 f 零等于零，则有这个条件，所以呢， f 负三呢，它是等于零的，这个是等于零。 处理完这个，我们再处理一下 f 负五， f 负五，利用周期三为周期来换算一下， 负五加三等于负二，所以呢， f 负五呢，它是等于 f 负二的。 好了，做到这里，我们来看一下，现在出现了 f 负二，那题目的条件呢？是 f 二，是不是很相似呀？ 可以利用奇函数的性质吗？因为 f 二等于三，又因为它是奇函数，所以括号内外均为相反数， f 负二等于负三，对吧？所以 f 负五呢，就等于 f 负二等于负三，那这题呢，就是 零加负三了，是不是很简单呢？零加负三等于负三。选 c， 到了最后一个题型，题型五，题型五是一个拓展的题型，因为高质高考试完全没有考过这种类型的，那么我在这里呢，就拓展的跟你们来讲一下怎么去解这种题目 好了。题目说 f x 满足 f x 等于 f 四减 x， 对称中心为这个，然后呢，又给了个条件， f 二等于五，求 f 十等于多少？那么其实这种题目呢，我们有一个终极的目标，就是要把它的周期求出来。第一步，先求周期好了，怎么求周期？ 题目给了一个这样的一个关系式，又给了一个对称中心，还记不记得刚刚的知识点极限 一点，那么它的周期呢？就等于四倍的绝对值， a 减 b， 还记不记得现在点已经有了，那么我们就把这个线求出来，这个线指的是对称轴啊， 我们用第一个条件来求对称轴，对称轴它是等于 x 加四减 x 的 和除以二， 这里一约四，除以二对二，所以呢，它的对称轴为二，那么它的周期呢？就很好求了，周期呢，就等于四倍的，用大的减小的二减一 等于四，所以呢，周期为四呀。那么题目说给了 f 二等于五吗？我们利用周期的性质，是不是可以转换一下， f 二等于 f 六行不行？因为因为二加四等于六嘛，然后六加四是不是等于十啊？所以呢， f 十等于 f 二等于五啊。选 d， 来到第二题，第二题又难一点了，我们来看题目啊， f x 为奇函数，满足 f 一 减 x 等于 f 一 加 x， 那 他说 f 一 等于二，求 f 五。我们做这题啊，有一个终极的目标，就是求周期， 不要管，先把它周期求出来。那么刚刚的这题呢，我们看题目啊，他是给了一个对称中心的，那这这个呢，用一线一线一点的方法来求周期，那么这题题目没有告诉我们对称中心， 我们可以思考一下，哎，如果我把两条对称轴求出来，那我是不是也能求出周期啊？所以呢，我们的这个目标呢，就是尝试着求两条对称轴。那第一条对称轴就非常简单了，直接利用题目的这个条件， x 等于二分之一减 x 加一加 x 等于减和加约了，那就等于二分之二对一。所以呢，第一条对称轴呢，是 x 对 一 来看，第二条怎么求？题目还给了一个条件，他说奇函数，我们可以把这两条式子利用奇函数的性质，把它转变一下，那么 f 一 减 x 就是 等于负的 f x 减一， f 一 加 x 等于负的 f 负一减 x， 这里行不行？可能有点难， 那题目说了，这两块东西是一样的，那么反过来说，这两块东西也是一样呢，那么就得出，负的 f x 减一等于负的 f 负一减 x， 负和负约了。好了，那么呢，我们再求一下新的这一条式子的对称轴啊。 x， 这是 x 一， 这是 x 二吧， x 二等于 二分之 x 减一加负一减 x 加，就直接省略了，减一减 x 等于 x， x 又约了等于二分之负二等于负一。所以呢，第二条对称轴 x 二，它是等于负一的。好了，两条对称轴，知道了怎么求周期啊？那 t 就是 等于两倍的 一减负一，大的减小的再绝对值等于二，乘以二等于四了，它的周期为四。好，题目说 f 一 等于二， 对吧，那利用周期的性质， f 一 就等于 f 五啦，因为一和五相差了四吗？周期为四，那 f 一 的二 f 五也是等于二啦，所以这题选 d。 好 了，以上就是函数全部的内容了，今天的课就到这里。