新高考二卷数学多选
十二题有两种做法，我们先看第一种，当我们看到条件中有 x 方加外方 x 乘以外选项当中还有 x 加 y 的时候，可以考虑均值不等式了。 均值不等式是说，当 x 大于零， y 大于零的时候， x 加 y 大于等于二倍根号 x 乘以外。除了这个呢，我们还需要掌握两个重要的变性， 一个是 xy 属于全体时数的时候， x 方加外方大于等于二 xy。 这个的推倒可以结合完全平方公式， x 方加外方减二 xy 等于 x 减 y 的完全 平方，平方就大于等于零，然后把这个二 sy 移向过来，就变成了这样一个重要不等式。 还有一个， x 和 y 都属于全体时数的时候， x 乘以外小于等于四分之 x 加 y 的平方，这个可以用上面这个进一步推导出来， 给这个式子两边同时加二 x y， x 方加外方加二 x， y 大于等于四 x y， 左边是 x 加 y 的完全平方，再把这个四除过来，就得到了这样一个不等式题目。条件告诉我们了， x 加 y 的平方减 x， y 是等于一的，那么 我们对于 a 选项需要找到 x 加 y， 可以对条件整理一下， x 方加 y 方减 x， y 等于 x 加 y 整体的平方，再减去三倍的 x y。 根据我们刚才的这个不等关系， x 乘外小于等于右边这个，那两边同乘一负一负， xy 就会大于等于负的这个整体。 于是这里负三 x y， 他大于等于 x 加 y 的平方，减去 四分之三倍的 x 加 y 的完全平方，也就是四分之 x 加 y 的平方。而左边这个呢，是等于一的一大于等于他，所以 可以得到 x 加 y 的平方小于等于四，那么 x 加 y 就会大于等于负，二小于等于二，所以 b 选项正确， a 选项只要我们取一组特殊值，可以把它排除。比如说 x 等于一， y 等于一的时候是满足条件的，但是 x 加 y 是等于二的，并没有小于等于一。 c 和 d 选项呢，是判断 x 方加外方的范围，根据刚才的第二个不等关系， 可以得到 x 乘外小于等于二分之 x 方加外方，那么负 x， y 就会大于等于负的这个整体。所以呢，这里边的负 x y 又可以 利用不等关系，我们得到 x 方加外方减 x， y 就大于等于 x 方加外方减二分之 x 方加外方， 等于啊二分之 x 方加外方，而左边呢，还是一，所以可以得到二分之，它小于等于一，那么可以推出 x 方加外方小于等于二，所以 c 选项正确， d 选项判断它是不是大于等于一。如果再用刚才的不等关系，我们会发现，只能推出来 x 方加外方小于等于谁推不出大于等于 这个不等号。方向改变了以后，我们用刚才的这些不等关系就得不到想要的结果了。 但是我们想到刚才这个呢，它是用一个完全平方得到的 x 减外的完全平方大于等于零，那么除了这个呢，我们还可以知道， x 加外的完全平方也大于等于零， 于是可以得到 x 方加外方，加上二 x y 大于等于零，所以可以推出 x 方加外方大于等于负二倍的 xy， 这样一来，两边同除以二，可以得到负 xy 小于等于二分之 x 方加外放， 那么这个不等号的方向跟刚才就是反着的，所以我们依然从这里出发， x 方加远方减 xy， 其实就是对这个不等式，两边同时 加 x 方加外方，我们就得到了 x 方加外方减 x， y 小于等于二分之三倍的 x 方加外方，那么这里左边是一， 可以推出 x 方加外方。是啊，大于等于三分之二的，当切紧当 x 等于 y 的时候，等号成立， 那么既然这个等号成立，他最小就可以取到三分之二，而不是 d 选项说的大于等于一，所以 d 选项错误，我们应该选择 bc。
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03:10查看AI文稿AI文稿第十一题给了函数 fx， 说它既有极大值，也有极小值，那说明呢？它有两个变号，零点。我们先对 fx 进行求导， fx 撇等于 x 分之 a， 减去 x 方分之 b， 再减 x 的三次方分之二， c 通分就等于 x 的三次方分之 ax 方减 bx 减二 c。 注意到原函数当中有老远 x， 那么这里的 x 要大于零， 于是导函数当中的分母是大于零的，导函数的符号完全由它的分子来决定。我们把分子记为一个新函数 g x， 由于 a 不等于零，那么它一定是一个 二次函数，这个二次函数有可能开口向上，也有可能开口向下。无论是哪一种情况，他必须和 x 轴有两个交点，因为只有这样，他的倒数的正负情况才能是正负正。 原函数是增减增，既有极大，也有极小，或者这种，那就是减增减也符合题。既然这个二次函数与 x 轴有两个焦点，那么它的德尔塔就必须要大于零， 也就是负 b 的平方减去四乘以 a 乘以负二， c 要大于零，化减得到 b 方加八 ac 大于零，所以 c 选项正确。而我们前面提到他的定义 是零到正无穷，他既有极大值，也有极小值，必须保证都要在定义域内。于是他的两个跟 x 一和 x 二也必须落在零到正无穷内， 所以零要在 x 一的左边。另一个图像也是同样的道理。那么要想限定两个根都大于零，我们可以通过伟达定理来保证。两根之和大于零，两根之积也大于零。 因为两根之机大于零，说明他们两个同号，他们的和也大于零，那就只能同为正的 x 一加 x 二等于负的 a 分之负比，也就是 a 分之比大于零。 x 一乘 x 二等于 于 a 分之负二 c， 他也要大于零。由第一个我们能看出， a 和 b 相除大于零，说明他们两个同号，那么 a 乘 b 也会大于零，所以 b 选项正确。由下面这个式子呢，我们能判断出 a 分之 c 就小于零，那么他们两个一号， a 乘 c 也就会小于零。 b 选项正确。 由于 a 和 b 同号， a 和 c e 号，所以 b 和 c 也 e 号，于是 b 乘 c 应该小于零， a 选项错误，所以应该选 bcd。
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05:16查看AI文稿AI文稿我们看多选题第九题已知一个圆锥的顶点为 p， 底面圆心为 oab 是底面直径。那么我们画出示意图，又告诉我们角 apb 是一百二十度，就是这个顶角， 那么我们连接 po 会发现 po 就会平分这个角角， apo 就等于六十度，而 pa 等于二，所以在这个三角形 pao 当中，它是一个三十度、六十度、九十度的直角，三角形 斜边为二，那么 po 就等于一， ao 等于根号三。于是第一问，圆锥的体积 v 等于三分之一， 底面积乘以高，底面积呢，就是派而方，所以就是三分之一乘以派，乘以根三的平方。这里我们求的 ao 就是底面圆的半径， 所以他就应该等于三分之一乘以派，乘以根三的平方，再乘以高，也就是 po 乘以一， 那么等于三分之一乘以派乘以三，所以等于派。于是 a 选项正确， b 选项圆锥的侧面积。圆锥的侧面展开图是一个扇形， 它的侧面积公式是派 r 乘以 l， 这个 l 呢，就是圆锥的母线，也就是 pa 的长度， 所以等于派乘以跟三，再乘以二，应该等于二倍跟三派，所以 b 选项错误。 c 选项要求 ac 点 c 在底面圆周上， 并且二面角 p a c 杠 o 为四十五度，那么二面角先找到它的平面角， 我们假设点 c 在这个位置，这是直线 ac 连接一下 pc， 这个二面角就是两个半平面 pac 和 bac 他们两个所成的角。二面角平面角的找法是，我们找到两个半平面他们的胶线，然后同时往胶线做垂线，并且要垂在同一个 点处，那么这个角就是二面角的平面角。我们先看半平面 p a c， 由于 p a 和 p c 都是圆锥的母线，所以这个三角形是一个等腰三角形交线 a c。 如果在这个平面内往 ac 做垂线，可以取 ac 的终点，假设他是点 m， 那么连接 pm， 根据等腰三角形三线合一， pm 就垂直于 ac， 然后再看另一个半平面，这个半平面当中呢，可以过点 o 做垂线，根据 oa 等于 oc， 都是半径。等腰三角形三线合一来找到这个垂直。于是我们在两个半平面内分别 找到了 pm 和 om 都垂直于交线 ac， 并且垂在了同一点处，那么角 pmo 就是二面角 pac 杠 o 的平面角，所以角 pmo 就等于四十五度。 由于我们知道了 po 等于一，现在这个角是四十五度， po 又垂直于 mo， 所以这是一个等腰直角三角形， 它的直角边为一，所以 m o 的长度应该也等于一， p m 的长度就应该是根号二。那么想求 a c， 可以先求它的一半 a m， a m 可以放在三角形 a o m 当中，因为这也是一个 直角三角形，所以 a m 等于根号下 a o 的平方减去 o m 的平方，也就等于根号 a o 是根号三，那他的平方是三，再减一，所以等于根号三。减一，也就是根号二。 于是 ac 等于两倍的 am 等于二倍根号二。这样的话， c 选项正确，再看 d 选项，求三角形 pac， 它的面积 s。 三角形 pac 等于二分之一底乘以高。如果拿 ac 做底的话， pm 就是高，所以二分之一乘以 ac， 再乘以 pm， 那等于二分之一乘以二倍根号二，再乘以根号二，所以就可以计算出来它的面积等于二，于是 d 选项错误，应该选择 ac。
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06:31查看AI文稿AI文稿我们看多选题，第九题给了 f x 等于三，二 x 加 five， 其中 five 的范围是大于零，小于派， 他的图像关于点三分之二派斗零，中心对称，那么这个点就应该在这个函数图像上，所以把它可以带入进去。 f 三分之二派等于三，三分之四派加 fi 等于零， 那么这个里边的三分之四派加 five， 就应该等于 k 派，其中 k 属于 z， 那么可以求出 fi 等于负三分之四派加 k 派。由于 fi 的范围是大于零小于派，所以这里呢，我们只能令 k 等于二，可以得到 five 应该等于三分之二派，所以 fx 的解析式是三二 x 加三分之二派。看 a 选项， 他问 fx 在这个区间上是不是单调递减，那么这个范围呢？是 x 的范围，我们可以由 x 的范围求出这个整体二 x 加三分之二派的范围，那么由于这个 x 大于零小于十二分之五派， 可以给他两边同乘以二，再加三分之二派，计算出来，二 x 加三分之二派，他的范围应该是属于三分之二派。到二分之三派，那么把他当成了一个 整体，也就是说另一个 t 等于二 x 加三分之二派，整体给它代换下来，变成了 y 等于三 t。 那么根据复合函数同增易减单调性的原则， 里边的这个一次函数是单调递增的，外侧的函数三 t 在 t 属于这个区间内，我们观察三 t 的图像，发现他是单调递减的， 于是复合了以后，原函数 fx 在这个区间上单调递减是正确的。 b 选项判断 fx 在这个区间上是有几个及直点。我们可以仍然利用刚才类似的换元法令 t 等于二 x 加三分之二拍， 那么根据 x 大于负十二分之派，小于十二分之十一派，可以求出来二 x 加三分之二派，他的范围是属于二分之派到二分之五派的。 那么要判断 f x 在这个区间上有几个极致点，只需要判断三 t 在二分之派到二分之五派这个开区间上有几个机制点。我们观察三的图像会发现二分之派到二分之五派这个区间在图中是这个样子的， 由于两端点都不能包括，所以说他在这个区间内只有一个极指点，就是极小指点二分之三派，于是原函数 f x 在这个区间上也只有一个机制点。所以 b 选项错误， c 选项判断这条直线是不是 fx 的对称轴， 我们根据三角函数的图像还有性质，会发现他的对称轴处都是最直点，也就是说把对称轴带入进去，他的散值要么等于一，要么等于负一。 那么我们把六分之七派带入 f 六分之七派等于三， 三分之七派加三分之二派，也就是三三派等于零，那么他不是对称轴，应该过的是六 分之七派豆零这个点，他是对称中心，所以 c 选项错误。 d 选项这条直线是不是 fx 的切线？我们可以对原函数 fx 求导， fs 的导是一个复合函数，内导是二，外导是扣三这个东西，所以他的导函数是两倍的扣三。二 x 加三分之二派 要求的这条直线呢？他的斜率是啊，负一。那么令导函数等于负一，可以得到扣散。二 x 加三分之二派等于负二分之一，扣散值等于负二分之一的点。在一个周期内 有三分之二派和三分之四派，所以里面的这个二 x 加三分之二派等于三分之二派加二 k 派， 或者是他等于啊三分之四派加二 k 派，其中 k 属于 z， 那么根据这两个可以解出来 x 的取值得到 x 等于 k 派，或者是 x 等于三分之派加 k 派。那么我们先看第一种情况， 在 x 等于 k 派当中有一个是 x 等于零，我们先考虑这种情况，当 x 等于零的时候，这个缺点就变成了 零豆 f 零，而把零带进圆函数会发现他是散零加三分之二派等于二分之跟三，那么在这个缺点处的斜率就是负一， 根据点斜式可以写出他的切线方程就是外减二分之根三等于负的 x 减，零 化减可以得到就是这条直线。 y 等于二分之根，三减 x， 那么说明他确实是 fx 的切线，所以正确的应该是 ad。
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05:04查看AI文稿AI文稿多选的第十题，欧式坐标原点直线他过抛物线，他的焦点，抛物线外方等于二 px， 焦点坐标是二分之 p 豆零， 那么这条直线他和 x 轴的交点应该是一斗零，所以这里的二分之 p 应该等于一，所以 p 等于二， a 选项正确。然后说这条直线又和抛物线交于 mn 两点， 我们画一个图，由于这条直线过焦点 f， 那么他就应该是焦点弦，抛物线外方等于二 px， 焦点弦有一个二级结论， m n 等于二 p。 除以 散尔法方，这里的尔法就是直线 m 的倾斜角，由于它的斜率是负根号三，所以倾斜角尔法就应该等于三分之二派，所以 m 它的分母是散三分之二派的平方， 也就是二分之。根号三的平方上面是二 p， 也就是四，这样底下就是四分之三化减得到它等于三分之十六， 所以 b 选项错误。当然，如果不记得这个焦点弦的二级结论，我们也可以通过直线与抛物线连力得到一元二次方程，然后利用他的弦长等于 x 一加 x 二，再加 p 来求出或者说用弦长公式， m n 等于根号一加 k 方乘以 x 一减 x 二的绝对值。 c 选项以 m n 为直径的圆，他说与 l 相切，也就是说和准线相切，这其实也是抛物线的一个二级结论。 以焦点弦为直径的圆和准线相切，那么他怎么证明呢？我们知道抛物线的定义是抛物线上一点到焦点的距离等于他到准线的距离， 所以这个 m f 就等于 m 到准线的距离。同理， n f 也等于 n 到准线的距离。假设这两个垂足分别是点 a 和点 b， 然后我们再记 m n， 它的终点为点 d， 那么过点地向准线做垂线，这条线呢，就应该平行于 m a 也平行于 b n。 这样的话，由于点 d 是 m n 的终点，它就是中位线， 而这个恰好是圆心到这条直线的距离。我们把这个距离记为 d， 他就应该等于这个梯形的中位线，也就是二分之一 乘以上底 a， m 加下底 b n。 而又由于这两个分别等于 m f 和 n f， 所以就等于二分之一乘以 m f 加 n f， m f 加 n f 呢，就是 m， 于是等于二分之一乘以 m。 门。根据第二问， m n 等于三分之十六，所以它等于三分之八，那么这个三分之八呢，它等于直径 m n 的一半，也就等于了半径。 圆心到直线的距离等于半径，所以这个圆和准线 l 相切， c 选项正确。再看 d 选项， 让我们判断三角形 omn 是不是等腰三角形，那么我们可以把 om 和 on 的长度求出来，因为另一条边 mn， 它的长度已经知道了。把直线和抛物线连立， y 等于负根，三倍的 x 减一 代入外方等于四。 x 化减整理可以得到一元二次方程三 x 方减 减十， x 加三等于零，那么就可以解出 x 一等于三分之一， x 二等于三。再把这两个分别带入直线，可以得到他们的纵坐标， 于是我们得到点 m 的横坐标是三分之一，纵坐标是三分之二倍根号三， 点 n 的坐标是三豆负二倍根号三。这样的话，我们用两点间的距离公式可以求出 om 等于三分之根号十三， on 等于根号二十一。 会发现这三条边没有任何两条边是相等的，所以它不是等腰三角形。 d 选项错误，所以应该选择 ac。
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