河南解析与检测
家人们天塌了，给大家带来一些二六年中考语文的新方向。那看过我视频的同学呢，应该记得，在二五年中考的时候，语文考试的变更给我们打了一个措手不及， 那今年会延续去年的变更，还是回到我们熟悉的模式，在好消息与坏消息之间，他选择给我们带来了一个更坏的消息。 从今年新发布的二六年解析与检测来看，二六年河南中考语文会继续改革。首先呢，从整体来说， 延续去年的方向，从死记硬背到全面转向素养思变加真实、表达、范围开放、题型重构、坚决反套、 强化语言运用、思维能力、审美、文化自信等四大素养。考活用，考思变、考真实。二、现代文阅读大唤醒从大家熟知的三类继续说明，议论变格为文学阅读、实用性阅读和思变性阅读。 虽然听起来整体方向差不多，但实际上它所包含的文本内容更广，对学生的阅读能力提出了更高的要求。注重学生真思考，注重逻辑推理、 信息筛选、整合与运用，对知识的迁移与运用提出了很高的要求。三、古诗文阅读是今年最恐怖的面格核心信号。古诗文阅读删掉了以刻标篇目为基础的信号， 寓意范围全面开放。去年古诗以课外篇目联动、课内考察，今年连文言文也由此改革趋势出现。三类新考法，可能出现课内非课标加课外对比、课外单篇阅读一篇课内加两篇课外三联， 注重孩子们的理解、比较迁移能力。中考在即，还需要孩子们扎实备考，灵活运用。我是想帮助每一位同学的，小景老师有什么问题我们一起探讨吧！
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00:53查看AI文稿AI文稿给今年的中考生和家长提个醒，用好这套资料，能让你最后的复习更有效率。你们每个人手里都有个必备且重要的资料叫做解析与检测。这个学校统一定的每个学生应该都有一套七科上下两侧共十四本。 有不少人意识不到资料的重要性，每年有很多学生中考完了，这套资料还崭新如初，翻都没翻过。 这套解析与检测每年都是咱们河南省教育厅出的一份特别重要的资料，而且编这个资料的老师也会参与到河南省的中考命题。 这套资料和中招的考试命题方向是息息相关的，可以说就是今年河南中考的考试大纲，里面极有可能包含了今年中考的新的题型，比如今年的难度系数和二五年差不多在零点六六到零点七四之间。 这套资料就代表了最新的河南省中考命题趋势，一定要让孩子好好去做一遍，去研究一下新的题型，新的变化，新的思路。
116大韦老师升学说
00:57查看AI文稿AI文稿语文变化一，考点新增语言知识积累关于语法和修辞在课表中的要求。变化二，出现字逆题目的作文，且不是二选一下册，新增图片形式的作文、漫画作文、 数学上下册共计更换一百多道题，主要都来源于近三年全国真题、真题改编题以及模拟题。 英语上下测试题出现新话题、新考法、新语篇类型。物理新增了这些，删除了这些道法。变化一，选择题出现一道双人对话。漫画类题型。变化二，变式类题型题位不固定，出现两人对话形式。 历史变化一，难度系数从零点六五调整为零点六七，降低零点零。二变化二，换部分新题，如跨学科式题、新教材素材等。化学出现新考法、跨学科实践活动、一才多题、绿色化学、物质循环转化等内容。
34郑州中考姜老师
23:44查看AI文稿AI文稿同学们大家早上好，我们今天来解读一下二零二六年河南解析于检测下测化学。首先来看一下第一题， 下列四季变化有化学变化引起的是。这个答案很简单，化学变化有新物质生成。答案选 c， 腐烂。 第二题，月饼的酥皮中含有最高的营养物质。这个也很简单啊，酥皮它是面制作的，它属于糖类。第三题 啊，有利于实现碳中和的事，那么这个答案呢？选的是 b， 部分地区退步，逐步退耕还林，建设美好家园 好，这个很简单。第四题，下列图示操作不正确的是哪一个？哎，操作不正确的是，我们来看一下 a。 那 么检验实验室，检验二氧化碳气体 哎，检验二氧化碳气体，我们可以用澄清石灰水，那么检验氧气用带火星的木头或者用燃的木头是可以的。那么 a 是 错的， 哎，我们看第五题，那么天河核心舱内人造空气中能够供给呼吸的气体，哎，共供给呼吸的气体，那肯定是氧气啊。答案选 b 啊。第六题，不正确的是啊，不正确的是 我们知道金属在繁殖过程中容易失去电子，而不是得到电子，所以啊， c 是 错的。 第七题，我们来看一下碳化硅，人家说了这个硅元素是正四加，那么碳元素呢？在化合物中，我们根据正负化加代数和等于零，所以这一个答案选的是 d。 答案，哎，负四加。那么第八题，不正确的是，哎，不正确的是 我们知道明矾是可以净水的，明矾净水，他说对井水消毒，我们知道他只能用来净水，他属于哎，能够使水中的悬浮物沉降下来，并不能对水进行消毒，他没有这个杀菌消毒的能力。 这是第八题，答案选的是 c， 那 么第九题呢？哎，放入水中能够形成溶液的是哪一个？第九题，哎，那你一看啊，就是白糖，白糖水啊，好，第十题不正确的。是啊，第十题不正确的是，我们来看一下， a 呢，分了一罐矿泉水，混合物，自来水也是混合物，所以 a 是 对的。 转化官呢，一定提醒一下，氧气和水是可以相互转化的，哎，那么氧气跟氢气在氧气燃烧可以生成水，水电解可以生成氢气和氧气，这也是对的。那么元素官呢？水和官，氧化精都是由氢氧， 哎，两种元素组成的，这也是对的。然后呢，这个 d 答案呢？手横官，他说蜡烛燃烧后减少的质量， 那么减少的质量就是蜡烛减少的质量呢？它等于生成的水和二氧化碳的质量，是何止错的，为啥呀？生成的水和二氧化碳，它的质量除了这个蜡烛的质量之外，里面还有谁啊？还有空气中的氧气参加反应了，还有氧气的质量。所以啊，第十题答案 d 是 错的。 我们再看第十一题啊，第十一题，第十一题，这个类型题啊，每年都是必考的。 我们先我把这个方程先给它配平啊，先配平。 a 说了之状，四种物质中属于单质的只有硅。那错了，我们看下丁呢，丁，它是氮气分子啊，所以它也是个单质。 那么生成物，生成物丙和丁的质量比，哎，我们要对这个丙和丁，哎，这个方程要写出来之后给它配平，配平完之后我们去书写一下啊，它不是二十六比七，二十六比七是没有配平之前的， 那么 c 呢，都是参加反应的原子种类没有发生改变。哎，我们知道，质量守恒定律告诉我们三不变原子的种类，原子的数目，原子质量都不变好，这是对的。那么 d 答案呢？哎， d 答案，我们来看一下，它没有配平，那肯定是错的。十二题， 现象正确的，是啊，现象正确的是，那么红磷在空气中燃烧，产生大量的白烟是对的，那么硫在空气中燃烧时发出蓝色啊，蓝紫色火焰，这个蓝紫色火焰是在氧气中，而在空气中是萎弱的淡蓝色 酸。氨固体溶于水之后，溶液温度是降低的，不是升高的。那么铁丝啊，铁丝插入啊，成为氧气的集气瓶中，它是剧烈燃烧，那么你想一下，这个，你把铁丝插在氧气中，它就能够剧烈燃烧吗？啊，它就能够剧烈燃烧吗？它是不能够燃烧的好，所以啊， d 是 错的。然后第十三题啊，仅仅使用五色粉态同组物质之间的反应就能够鉴别出来的，是哎，就能够鉴别出来。我们来看一下。那么 哎，其实这个答案很简单，一看就知道了，比如像 a 啊， a 里面有两种酸， c 呢？ c 里边有两种碱，那么 d 呢？ d 里边呢？这是啊，也是有两种酸，哎，这就没法鉴别了。那么只有答案选 b 了， b 是 酸碱盐都有。 好，那么这个 b 为什么能够鉴别出来是粉肽，我们知道，我们像这哎，三种物质里边滴加无色粉肽的时候，能够变红的，它就是氢氧化钠呀， 然后呢，我们再向变红的这个溶液中，然后滴加剩余的这两种溶液能够使红色，哎，消失的它就是颜酸，因为他们发生了综合反应，不能使它褪色的就是硫酸钠，这很简单， 好，这是这个，那么最难的就是最后一压轴体。来看一下第十四题。十四题啊，他说这个， 呃，某氧化铁和氧化镁组成的混合物，氧元素的质量告诉我们了氧元素的质量告诉我们了百分之三十二，那么百分之三十二，那么五十颗，我们就可以算出来，那么这个五十颗混合物中氧元素的质量是多少？我们是可以算出来的 啊，可以算出来的，算出来之后，人家说啊，混合物加入一定的锌氧化中，恰好完全反应，得到不饱和溶液中溶质的质量是多少啊？得到了这个溶质的质量是多少？那么我们来看一下。那么得到了这个不饱和溶液中溶质的质量，我们先看一下。那么五十克， 那么这个五十克里边，那么氧元素占百分之三十二，那么金属就占了百分之六十八， 那么五十乘以百分之六十八是多少呢？我们可以算出来吧，对吧？我们算出来，算出来之后，那么溶液中的溶质除了金属之外还有谁啊？还有参加反应，嗯，参加反应生成的谁啊？ 哎，生成的这个酸呀，岩酸中的绿元素，那么你就根据谁啊？你就根据氧元素，嗯，根据这个谁啊？根据这个氧元素生，最终要生成水，水要跟谁结合？水要跟氢结合，那么 每生成一个水分子，就要结合两个氢原子，两个氢原子与两个盐酸中的绿相对应，绿相对应，我们就可以把绿元素质量也可以求出来，绿元素的质量和金属的质量加在一起，不就是溶质的质量了吗？ 对不对？所以通过计算，十四题答案选择是 b。 这道题呢，我只能告诉你一个思路就可以了。第十五题， 天然气主要成分是加完 c h 四啊，这很简单。然后下面这一个呢？呃，淀粉里边的氢氧元素的质量比，呃，你直接给它算一下，它是一个什么呢？氢氧元素，我们看一下氢和氧二比一的关系，二比一的关系，它符合水的质量比，就是一比八。 那么实验的主要成分是硫化钠，呃，它有钠离子 a a 正和 c f， 呃，这很简单。十六期 十六题，这道题考的是质量守恒，哎，我们根据这反应物的质量啊，质和与生成物的质量之合，或者说这个原子的种类数量啊，都不变，那么我们可以推一下。那么这个十六题答案选的是氮，应该是填的是氮气。 那么再一个呢，在发射导弹的过程当中，涉及许多能量的转化，例如燃料燃烧，将什么能转化成什么能，那肯定是燃料燃烧，肯定将化学能转化成内能啊，对不对啊？很简单。十七题， 二十度时液化碳的溶解度，从图中我们可以看出来是三十六点零克，一定要打回答是三十六点零，不要写三十六啊， 这是一个。再一个呢，呃，我们在二摄氏度时，分别将氧化碳、硝三加的饱和溶液升温到五十摄氏度的时候，不考虑溶液容器的蒸发， 这个时候所在溶液中溶质的质量分数，你看一下，有二十摄氏度，二十度谁大呀？氧化钠大呀，对吧？然后将它的饱和溶液升温，一升温变成不饱和溶液了，所以溶质的质量范质量这个分数的关系呢？呃，那么是硝三加给氧化碳呢？他应该是小于啊， 对不对啊？一开始是硫化钠的大，那么你升高温度变成不饱和了，还是硫化钠的大，那么第三位呢？五十摄氏度是一百克硝态钾。饱和溶液中溶质的质量是多少呢？由于是一百克饱和溶液，是吧？ 一百克饱和溶液，我们可以算一下，根据溶解度的定义。溶解度的定义怎么说的呢？溶解度的定义就是说在一百克水中可以溶解八十五点五克，那么八十五点五克所对应的溶对应的什么？对应的溶液的质量是多少呢？一百八十五点五， 那么一克溶液里面含有溶质多少呢？一克溶液里面含有溶质就是八十五点五，比上一百八十五点五，然后人家又问一百克呢，再乘以一百不就 ok 了吗？ 所以这个计算式啊，我们可以这样写啊，怎么写呢？一百乘以括号，八十五点五，比上一百八十五点五，然后乘以百分之百啊，乘以百分百就 ok 了。 好，这是这个第十八题，十八题他说我们可以看一下这个 p h 是 有酸性变碱性了，那肯定是碱低酸了 啊，所以这个选的是氢化钠溶液，然后方程式呢？氢化钠和碳酸反要生成硫化钠和水，这个要会写，然后看一下 a 点小， a 点那么小一点显酸性啊，偏是小于七的，是吧？那么小于七的时候，我们加的石水，它是是显红色的 啊。第十九题，酒精在空气中完全燃烧，它要生成二氧化碳和水给它配平一下，一配平，这时候酒精是一，氧气是三，二氧化碳是二，然后水是三， 水十三，好，那么一百三十八克酒精在呃阳气中不充足的条件下燃烧，使它生成一氧化碳，二氧化碳和水恢复到室温测的这个生成气体中氧元素的质量啊，生成的气体中氧元素的质量是百分之六十四 啊，那么生成百分之六十四，就是说这道题啊，稍微有一点麻烦，那么氧元素的质量百分之六十四，那么碳元素质量我们能不能弄出来啊？可以吧，碳元素的质量分数我们可以算出来百分之三十六，对吧？好，那么百分之三十六，我们来看一下， 体中说了，呃生成气体的质量，我们可以根据这种呃生成的这个气体，那么氧元素质量我们可以设谁啊？哎，这个时候我们可以设这个一氧化碳， 呃为 x 个二氧化碳为外壳，呃外壳分子，然后呢，我们把这个谁啊？我们把这个呃一氧化碳和二氧化碳 它们中那个氧元素的质量分数要表示出来啊，表示出来，比如说 x 跟氧加上二 y 个氧比上它俩的这个呃 x 个一氧化碳，再加上 y 个二氧化碳，然后 呃乘以百分之百一比，等于百分之六十四，我们就可以把它的一个什么哎，就可以把这个呃 x， y 的 这个个数比可以求出来。 呃，求出来之后，然后呢，我们再把酒精燃烧的方程给它写出来，把这个液化碳，二氧化碳的那个 x， y 呃给它写出来之后，然后把方程配平，配平，然后再写一下，根据一百三十八颗的这个呃酒精，呃酒精， 然后这个方程式写出来之后，我给你一百三十八克来进行计算，就会算出这个溶质的总质量，这个稍微有点麻烦啊，这个答案应该是多少呢？啊？这个答案通过我刚才的一计算，我们可以算出来它等于二百克，二百克。好，就说到这二十题， 二十题是啥呢？我们来看一下二十题。氧化铜能够与钾，哎，他能反应，哎，与钾反应，那么那么与氧化铜能够发生反应的物质有哪些呢？有酸 哎，有酸，有还原性的气体，还原性的物质哎，比如像碳氧、氢气、液化碳都可以和氧化的化学反应，和氧化的化学反应，但是体重又说了啊，甲乙丙属于，哎，不同类别的物质，而且甲是气体，那么甲是气体，那么甲就是还原性的气体， 哎，那么有可能就是氢气，哎，如果要是按照氢气来说呢？我们来看一下，氢气跟氧化铜能够发生反应，哎，能够说的过去，有可能就是氢气了，然后这个丙呢？丙，哎，他能够生成氢气， 哎，那丙可能是酸呀，对不对？可能是酸。丙，如果是盐酸或者是硫酸都可以啊，那么盐酸的话与氧化铜也能够发生反应，哎，与氧化铜也能够发生反应 啊，这是一个，那么氧化铜跟碳反应能够生成二氧化碳乙，可能是二氧化碳丙，假如要是碱酸的话，碱也能生成二氧化碳，跟碳氮氧反应啊，跟碳氮钙反应对不对？也能够生成二氧化碳，二氧化碳呢，也能够与氢氧化碳发生反应，哎，所以这时候这个体就出来了， 所以啊，对于甲来说有可能就是氢气，所以他的化学式就是 h。 二，那么乙和氢氧化钠呢？乙与氢氧化钠溶液反应的化学方程是乙，我们刚才说是二氧化碳，那么二氧化碳给氢氧化反应生成碳酸钠和水，所以方程要写出来， 然后丙和氧化铜反应呢？丙是谁啊？丙是酸酸和氧化铜反应啊，生成盐和水了，它是一个负分界反应。好，这是这个，然后我们来看一下二十一题。二十一题啊，题中说了， 这个，请从化学角度分析啊。充气球用这个氦气或者是氢气的原因，这个没有显示出来啊，就是氦气。呃，原因是什么？这很简单，因为氦气的化学性质稳定啊，或者说无可燃性也可以，它不会发生爆炸。好，这是这个， 那么下面这一个呢？哎，水沸腾后，锅盖会被顶起来。为什么会被顶起来啊？就是因为水分之间有间隔，你温度升高的时候呢，水分间间隔要增大增大，所以这个是对的。那么我们再看一下二十二题。二十二题啊，我们来看一下， 我们来分析一下。哎，溶血剂，哎，它这会里边含有氧化钠、氧化钙、硫酸铜中的两种或者三种。哎，至少两种啊， 加水溶解无色溶液。无色溶液呢？肯定排出谁了？排出，排出没有颜色的硫酸铜了，硫酸铜在溶液中是显蓝色的，没有硫酸铜，所以加入适量的碳酸钠，然后产生白色沉淀， 那么碳酸钠加入碳酸钠之后会生成碳酸钙，白色沉淀碳酸钙，所以里边有谁呀？有绿化盖，里边有绿化盖啊，然后呢，我们再看一下， 然后加入适量的碳酸钠之后，形成了一个白色沉淀和无色溶液，这个无色溶液，哎，无色的溶液加入硝酸银， 哎，加入色硝酸银生成绿化银，白色沉淀，那么生成，哎，绿化银白色沉淀，这个绿化银白色沉淀，这个绿来自这个绿化钠，哎，来自绿化钠，好， 那么这个来自绿化大，我们来看分析一下啊，该溶血剂的成分里边啊，溶血剂的成分里边它含有什么？我们知道它一定含有谁啊？绿化钙啊，一定含有绿化钙， 还可能含有绿元素的物质，哎，氧化钠呀，或者氧化钙，因为他们都含有绿，人家说有两种或者三种，如果说只有氧化钙的话，也能说的过去，但是人家说两种或者三种呢？所以啊，必须有两种，那么里面还含有谁啊？氧化钠，好，这是一个，那么写出生成白色沉淀 a 的 反应， 白色沉淀 a 的 白色沉淀 a 的 反应就是谁呀？碳酸钠给氧化钙生成，生成的是碳酸钙和氧化钠，好，这是这个， 好了，我们再看二十三题，二十三题，实验是用百分之五的过氧化氢溶液和二氧化锰置取一瓶较为纯净的氧气的话，纯净的氧气的话，我们来看一下，这应该选哪一个呢？选 b 装置， 选 b 装置，还有哪一个装置呢？哎，还有乙装置 b， 所以 啊，这是说，呃，置极的氧气啊，是比这个排空气置极的氧气要纯净的 好，这是这个 b， 然后人家还让我们写什么呢？写方程是吧？双氧水在二氧化碳分解啊，生成水和氧气，这个方程写出来给它配平啊，写出来配平，然后第二位呢？他说这个， 哎，如果装置没有破损，结果呢？收集量就不纯，哎，不纯，为什么呢？为什么不纯呀？就有可能是操作失误啊，或者是，呃，我们答案可以这样写啊，到关口啊，刚有气泡冒出的时候就开始收集了，所以这个就是一个比较合理的解释。 那么二十四题啊，利用钛合金的性质是什么？哎，你想一下，钛合金，哎，我们知道钛合金他的另一个什么呢？哎，合金合金硬度，哎，硬度怎么？哎，硬度增大，熔点降低啊，对不对啊？ 哎，所以利用钛合金的一个什么性质我们知道，就是说钛合金它的密度小啊，哎，对不对啊？航天器外壳可以上天嘛，所以密度大了不行，所以呢，密度小比较合理啊。 呃，这是这个，那么铝具有很好的抗腐蚀性能力，那原因是什么？那肯定是铝与空气中的氧气反应生成致命的氧化铝保护膜了，作为四个铝和三个氧气反应生成两个三氧化铝啊，给它写出来就可以了。那么第三一个啊，第三一个，我们来看一下。 呃，这一道题是啥意思啊？该工艺的废料经过初步处理后，可以得到硝酸银和硝酸铜的混合溶液 哎，然后像其中加入一定量的金属锌，充分反应后过滤得到绿茶和铝液，像绿茶中低加稀亚酸，有气泡产生。那么绿叶中含有的溶质是什么 啊？绿叶中含有的溶质啊，你想一下，像其中加入一定的金属锌啊，充分反应后过滤得到绿茶和铝液，结果像绿茶，像绿茶中低加稀亚酸有气泡，说明什么？说明里边有能够使哎 岩酸中的氢能够给它置换出来的这种金属，这说明谁过亮了，哎，肯定是金属锌过亮了， 金属锌要过量的话，哎，金属锌要过量的话，它肯定要把里边的铜啊，银啊等等的都能够给它置换出来。置换出来，人家问绿叶中的溶质，那肯定只有谁啊，只有硝酸锌了。硝酸锌要会写啊，化学式不能写错， z n 括号 o h 三 不是 o n o 三括号二肖三心不能写错啊。好，这是这个。然后我们再看二十五题，二十五题同做导线啊，比方第一题，第一题啊，我们根据正负括号加代数和等于零，我们一算啊，这个 x 应该等于一的啊， x 应该它是等于一的， 哎，说错了啊， x， x 不是 这。是啊，孔雀石，孔雀石 x 等于二， x 等于二，那么这个理由就是根据这个。啥？根据那个？呃，在化合物中，正负化合价的代数和等于零，那么铜是正二价，两个铜正四价，那么碳三根是负二价， 碳三根负二价，那么正四去掉负二，还剩一个正二正二呢，氢氧根是正一负一价的，所以 x 等于二。很简单啊。第二题，铜具有良好的怎么性啊？那导电性啊，黄铜和纯铜相比较呢？ 相互刻画表面有划痕的是，我们知道啥呀？我们知道这一个，呃，对合金来说，硬度增大，熔点是降低的，那么硬度谁增大呀？那么黄铜增大呀， 哎，所以有明显划痕的，他就是纯铜比较软，哎，因为这个黄铜硬度比较大。好，这是这个。那么第三位我们看一下，那么操作之后啊，固液分离了，固体 x 出来了，那肯定是谁啊？那肯定是过滤了，对吧？哎，这个操作叫过滤啊， 那么 x 成分是什么？把谁过滤出来了呀？我们把铁加到硫酸铜溶液里边，把铜给它置换出来了，那么置换出来之后，那么有谁啊？有铜啊，铁呢？前面还有俩字叫过量，所以得到了这铁和铜，哎，你写汉字也行，写符号也行，千万不要写错啊。 操作一，刚才说了是过滤，该实验的原理是什么？铁和硫酸铜反应生成硫酸亚铁方阵，给它写一下啊， 那么这说明什么？哎，铁的活动性要比铜要强，只有强的才能把弱的给他，从他的岩溶液中给他置换出来吗？好，最后这个计算题，计算题三分的题很简单，就是送分的，所以我希望大家一定要注意这个。首先第一个给分点就是要把方程写出来，那么一氧化碳还原三氧化二铁， 它们生成铁和二氧化碳一三二三，那么写出来之后，然后找哎呀，读一下，跟谁有关啊？跟三氧化铁有关，跟铁有关，所以我们要把三氧化铁和铁的这个相关式联给它写出来，那么三氧化铁下面是一百六给写上去， 然后铁的下面呢？给他写上一百一十二，写上一百一十二，两个铁吗？要配平啊。写过之后，然后我们再读大体，找一下相关的数据，那么他说某炼铁厂要炼出含铁百分之九十六的生铁， 那么那个纯铁是多少呢？就是五百六十乘以百分之九十六，五百六十乘以百分之九十六。写在啥啊？写在对应的铁的下面，一百一十二的下边。哎，千万要对齐啊，不要写错， 理论上需要含氧化铁百分之八十的赤铁矿石啊。我们设为 x 吧，因为化学的计算啊，必须都要按照纯净物来计算，所以 x 乘以百分之八十啊，它相当于纯的三氧化铁的质量。要写在哪呢？写在一百六十的下边，对应着三氧化铁， 他们都是成正比例的，所以这列个方程啊，列方程，列方程的时候可以横着比，也可以上下去比啊。呃，我们一般情况下，教科书上都是横着去比的。一百六十比上一百一十二 等于 x 乘以百分之八十，比上五百六十乘以百分之九十六。好，这个方程列出来之后给一分，然后把这个方程给它解出来， x 等于九百六十， x 等于九百六十。好，解出来之后。哎，那么这个这一步又给一分，方程是一分，解方程一分，然后这个， 呃，答案给一分。好，这是这道题，简单就说到这。
00:45查看AI文稿AI文稿家里有河南初三孩子的这套书，闭眼入很多家长给孩子买一堆杂七杂八的教辅，越学越乱，根本不贴合河南中考考 题，全是无用功。真正的河南中考核心备考资料就是这套二零二六新版解析检测彩色版，全套包含语、数、英、物化、政治六科，省教员是命题组编写，直接对标二零二六河南中考命题思路。吃透这套书， 等于摸清中考出题套路。今年升级全彩印刷重点知识点，解析步骤用彩色标注，孩子刷题更清晰。答案解析详细易懂，错题能直接看懂错音， 不用再到处找老师答疑。从考点梳理到真题模拟，一套搞定。中考二轮、三轮冲刺，河南初三家长抓紧给孩子备上！
4秋雪
00:14查看AI文稿AI文稿今天给大家更新的是河南中考解析检测综合测试六下测的，祝中考的学生都能够金榜题名，马到成功，加油！
00:44查看AI文稿AI文稿家人们，如果你家里有初中生，那这套资料你可一定不能错过！二零二六河南初中水平考试中考解析与检测包含了数学、物理、化学、道德与法治、历史这几大重要科目，它就像是一个中考备考的神器， 能帮孩子们精准把握考试方向，深入理解知识点。有了它，孩子们备考更有针对性， 复习效率能大大提高，每一个知识点都解析得清清楚楚，就像有个专业老师在身边随时指导。如果你想让孩子在中考中取得好成绩，就别犹豫了，赶紧点击购物链接，看看有啥优惠活动，给孩子安排上这套超棒的资料！
3乐选优购
03:49查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，今天呢我们要重点来解读一下二零二六年河南省中考英语的命题核心信息，帮大家把握好备考的方向，少走弯路。首先我们要明确一个大背景，河南中考英语的命题是严格的依照教育局文件精神来设计的，不偏向任何一个版本的教材。 核心的目标呢就是考察大家的综合语言运用能力，同时呢渗透英语学科的核心素养。另外呢就是落实我们中高考的一个教育目标叫立德树人。首先呢，这份文件上他已经 帮助大家呢，已经筛选出了要考的重点难点以及呢我们考察的范围。那我来帮大家总结一下我们这个整个政策里面几个关键的点。首先关于这个具体怎么考，考什么，在这个 前沿里面已经给到了大家。首先就是关于命题素材的一些特点，那大家可以看到他所有的事情，对吧？主要是围绕着人与自然，人与社会，人与自我的三大主题开展的。 那取材呢，也非常的广泛，有包括故事类的，科普类，人文以及文化活动等各种各样的种类。与此同时呢，他的体裁也非常的丰富，包括继续文、说明文以及应用文，时代性比较强，考察能力也非常的全面。那他这句话给了我们哪些信息呢？ 其实所有的信息呢，都在后面他给的这段文字中就体现出来了。首先第一条他说充分体现了坚持立德树人，发展素质教育的这样一种教育目标。命题的素材呢和命题的情景均选自于母语国家以青少年为对象的最新的报纸杂志网络资源， 引导教师处理好教材与阅读之间的关系。那这句话说明什么呢？说明目前咱们的教育不是非常注重思想性还有教育性，引导大家在做题的同时也会学到很多的东西，真正实现了考试及学习的这样一个要求。 好的，那我们来看他给予的第二个信息是什么？那第二个信息呢，就是考察学生的核心能力，因为现在的试题不再是单纯的考知识点的死记硬背，而是通过不同层次的问题设置，考察大家在实际情况当中所获取的信息，以及分析信息和推理判断的这样一种能力。另外还有表达自己观点的能力。 说白了是什么意思呢？就是看你能不能把学过的一些英语的知识用到实际的解决问题当中，同时呢也会间接的考察大家一种文化的意识、思维品质和学习的能力。 那第三点呢，也就是比较重要的一部分，就是试卷的基本的框架和难度。在二零二六年河南中考英语依旧是必卷，纸质版考试满分呢是一百二十分，考试时间为一百分钟。难易的比例呢依旧控制在四比三，比二、比一，也就是比较容易的题目 会占到百分之四十，中等题目会占到百分之三十，稍微难一点的题目会占到二十，较难的题目会占到百分之十。整体的难度系数呢会控制在零点六五左右，也就是难度上，和大家平时做试卷的这种难度的话，其实差不多的，以基础题和中等题为主，所以说大家不用过度的去焦虑，说这个题目出的很难啊，很怪啊，基本上不会出现这样的问题。 最后呢，也是大家比较关心的命题的一个趋势，依旧是稳中有变，变中求新。稳呢是指分值啊，体量啊，以及难度的系数，知识与能力的覆盖面，这些的基本框架呢，始终是不变的。那辨是什么呢？ 就是通过全新的这样一种语言素材呀，还有创新的审问方法，以及拓展考察的视角，其实更侧重于高阶思维的这样一个能力的考察。其实呢，这也给我们的备考指明了一定的方向，我们不能只盯着教材去死记硬背，还是要回归课标，夯实基础的同时，多去接触真实的语篇，从而呢提升我们语境运用啊和逻辑推理的能力。 那总的来讲呢，二零二六年的河南中考英语呢，其实还是更着重英语核心素养和这个实际的运用能力，所以同学们扎实基础，针对性的练习，一定要从容的去面对每一道题目，加油吧！
32淮阳英语梁老师
06:05查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们就刚考过的郑州市一检数学试卷来做一个简单分析。那这里呢，我首先列出了一检试卷中个体考察的一个知识点。 从知识点来看呢，我们发现今年一检数学啊，与河南中考以及往年的一模二模整体是保持一致的。 百分之七十啊，都还是基础题，比如说选择的一到七，哎，填空的十一到十三，以及解答的十六到二十题，他都是更侧重于对基础知识以及基本能力的一个考察。但是啊，我们也发现他在考法上是略微有一些变化的， 哎，什么意思啊？也就是我看这个题，哎，怎么跟我平时练的题不太一样哎，比如说第二题，他就是把洁面三式图跟展开图放到一起来进行考了。 那第三题呢？科学计数法，以往的话，我们是直接给你一个数，让你把它写成科学计数法的形式，那这里呢，他是给出了科学计数法的一个形式，让你倒推这个数。 还有第十三题和第十七题，都是开放性的题目。第十三题呢，他是给了三个条件，让你写满足这些条件的函数表达式。按道理啊，这个题啊，同学们平时是经常做的对吧？ 但是考试的时候，有的同学被第一个条件和第二个条件限制住了，他没有看到第三个条件，关于原点对阵，导致做的时候就被卡住了。那第十七题呢，他是给了啊图表信息，对吧？哎，结合给出的问题呢，我们就需要用 规范的数学语言来描述我们看到的统计结论。那我们发现，虽然说形式上略微是有些变化的，但是他考察的知识点还都是我们熟悉的内容。 那么同时，哎，通过猎取的这个知识点，我们容易发现，在这张卷子中啊，新定义他出现的频率是比较高的。 哎，比如说第八题出了一个零和点，第九题出了一个接近度，第二十三题还有一个和谐三角形。 那新定义啊，它本质上考察的是同学们阅读理解和知识迁移的一个能力，也就是说，你要能够理解新的一个概念是什么， 然后把它转化成我们熟悉的一个知识来解决。那这里咱们举一个简单的例子来看一下，哎，比如说第八题，在平面直角坐标系中， 横坐标和纵坐标之和为零的点称为零和点。下列函数的图像中，不存在零和点的是。那通过读题，什么是零和点呢？哎，把这个点 写作 x y 的 话，横坐标和纵坐标之和为零，那就是 x， y 等于零。那解决这个题啊，其实很好做，对吧？大多数同学都是采用的这个办法，什么办法呢啊？ x y 等于零，那么 y 就 等于负 x 了。 把 y 等于负 x 带到每个选项里边，看方程有没有解，没有解就说明不存在零和点，对吧？那这里呢，我想分享另一种方法啊，这个 y 等于负 x， 我 们还可以怎么看呢？哎，我们可以把它看作是 直线， y 等于负 x。 哎，那这个图像我们是非常容易画的，是吧？ 他就是二四象限的角平分线。画出图像之后，你有没有什么想法呢？哎，这个时候我再来判断函数图像不存在零和点的话，那我就考虑把四个选项中的函数图像画出来，如果与这个 y 等于负 x 没有焦点，是不是就说明它不存在零和点啊？哎，那我们发现在解决这个题目中呢，首先是第一步最重要的，我们要理解新概念， 哎，理解新概念，横纵坐标之和为零，那我们首先设出点坐标，然后表达，接下来把它转化为我们熟悉的知识来解决。哎，你可以把 y 等于负 x 带进去，看方程有没有解，也可以画出函数图像，看图像有没有交点。 而且做完整套试卷，我们发现整体的计算量并不大，更侧重于对同学们核心素养以及能力的一个考察。比如说十七题统计，他考察的就是你有没有数据分析的一个观念。 第二十二题的第三个呢，他考察的就是有没有函数建模的一个能力。第二十三题呢，除了考察同学们的一个几何直观呀，他还进一步考察了逻辑推理的一个能力。 那整个一检考试完，有很多同学反馈，感觉一检的数学是稍微有些难的，那咱往年历年中考啊，他的数学的难度啊，一般是保持在零点六五到零点七五之间的。今年一检的数学啊，他的难度属于说是中等偏上的， 那他作为中考前的模拟呢，一方面呢，是帮助我们检查知识我们有没有掌握，哎，方便我们下一步备考中的查漏补缺。另一方面的话，可以帮助我们演练考场的一个策略， 也就是说，哎，我在整个考试的过程中，时间分配是否合理，那遇到不会的题的时候，你的做法是否是正确的呢？哎，因为下来的时候有的同学说了十七题，老师我觉着我会，但是我写过程用的时间很长，导致我后面的时间 哎，就没有了，后边的题就没法做了。那这个时候反应出来的就有两个问题，一个问题是时间分配上的一个理性，另一个问题呢，就说明你在这块是存在卡点的，对吧？那接下来在 复习的时候你就要多多注意了，多练习用规范的数学语言来描述统计的一个结论。
01:11:00查看AI文稿AI文稿我们来看第一题，设几何 a， a 中有三个元素，分别是一、三、五。几何 b 也有三个元素，分别为一、二、三。现在让我们求 a 交 b 等于什么？ 注意，这个符号表示的是交集的符号， a 交 b 呢，是指 a 与 b 中的共同元素，也就是说这个元素呢，在 a 中有，在 b 中也有。 很显然，在 a 和 b 中都有的元素有一和三，所以 a 交 b 包括的元素有一和三。因此正确答案呢，选 c。 这道题呢，我们一定要分清楚交集和并集的区别，这个开口向下的是交集，如果是开口向上的，那么就是并集。 并集呢，是把两个几何中的元素并在一起，其中相同的元素只写一次。你看，在几何 a 和 b 中，我们把它的元素都并在一起，一和三只写一次。那么一共有几个元素呢？有一、 二、三、五，所以有四个元素。因此，这道题如果让你求 a 并 b 的 话，答案应该是 d。 当然这道题呢，是让你求交集，所以呢，正确答案应该是 c。 我们来看第二题，下列函数中是增函数的是哪一个？我们诸葛来分析。首先我们来看 a， y 等于 x 的 平方，我们知道这是一个二次函数，它的图像呢，是抛物线。我们画出这个图形， 我们可以看出这个函数的图像呢，是先减后增，所以呢，它不是增函数，因此 a 排除。我们再看 b， y 等于 x 的 三次方，这是一个逆函数，我们知道它的图像呢， 是这样的，我们可以看出这个图像它是单调递增的，所以呢， b 是 增函数。我们再看 c， y 等于 x 分 之一，我们知道它是一个反比例函数，它的图像是在一三象限的双曲线， 我们看它在第一象限和第三象限都是单调递减的，很显然它不是单调递增的。 我们再看 d， 这是一个对数函数，对数函数的一般形式是 y 等于以 a 为底 x 的 对数，其中这个 a 呢，是大于零且不等一的，当 a 大 一时，这个函数单调递增。当 a 大 于零小一时， 这个函数呢，是单调递减的，所以我们看它的底数是二分之一，二分之一呢，很显然是大于零小一的。 a 大 于零小一时，这个函数是单调递减的，所以这是一个递减函数， 因此符合条件的只有 b。 所以 正确答案呢，就选 b。 我 们判断函数的单调性，可以 根据函数的图像和函数的性质分别来进行判断，特别是指数函数和对数函数，我们知道这是对数函数 y 等于以 a 为底 x 的 对数，这个 a 呢，是大于零且不等一的。 a 大 一时，这个函数单调递增， a 大 于零小一时，这个函数呢，是单调递减的。另外还有指数函数 y 等于 a 的 x 次方， 它的单调性和对数函数的单调性非常的相似，也是 a 大 一时单调递增， a 大 于零，小一时 单调必减。所以呢，对于对数函数和指数函数，它的单调性，我们主要是看它的底数到底是大一的还是大零小一的。 我们来看第三题，命题存在 x 属于零到一， x 的 平方减， x 小 于零，它的否定是哪一个？ 对于这个命题呢，他的符号这个读作存在，所以呢，他叫存在量子命题。 存在量子命题的否定一定是全称量子命题，所以他的否定里边，首先把这个存在这个符号变成任意，所以我们首先把这个 a 和 b 给排除了。符合条件的，首先我们找到带任意符号的 只有 c 和 d。 另外呢，我们还要注意命题的否定，否定结论，实际上只否定结论，也就是说呢，在否定的时候，这个 x 的 平方减 x 应该是改成大于等于零的，所以符合条件的也只有 d。 命题的否定我们需要注意，首先要看它是一个全乘两次命题，还是存在两次命题。 如果是存在量词命题，那么他的否定一定要变成全称量词命题，也就是说 这个存在的一个符号要变成任意这个符号。另外呢，我们要否定结论，所以后面这个结论一定要和原来是相反的。你看这里边 x 平方减 x 小 于零，他的否定就是 x 的 平方减 x 大 于等于零。 我们来看第四题，让我们求这个函数的定义，这个是以十为底的倍数函数，我们注意这是对数的真数，对数的真数呢，我们要求它大于零，所以要使这个函数有 e， x 加二 得大于零，所以我们可以解得这个 x 呢，大于负二，也就是说这个函数定义域是负二到正无穷，所以正确答案呢，选 d。 我 们求函数定义域，实际上就是求使这个函数有意义的自变量的取值范围。 这里边我们要注意对数，这是对数的真数，对数的真数呢，他需要大于零，如果有底数上有次变量的话，注意底数呢，要大于零且不等一， 比如这个符号表示以十为底的这个对数函数，所以呢，这是一种简写 好，我们根据条件得到这样一个不等式，解出 x 的 取值范围。另外呢，我们写这个函数定义的时候，一定要把它写成区间或者几何的形式。 我们来看第五题，已知向量 a 的 坐标是二五，向量 b 的 坐标是三四。 现在让我们求 a 减 b 的 坐标。两个向量相减，我们只需要对应的坐标相减就行了，所以 a 减 b。 首先我们看到的横坐标二减三，因此横坐标呢是负一， 纵坐标是五减四，那是一。所以呢，这道题的正确答案就是 a。 如果我们知道两个向量的坐标，比如一般情况下，我们知道 a 等于 x 一 y 一， 这个 b 呢等于 x 二 y 二， 我们需要掌握这个向量计算的常见的公式。如果是相加， 那么我们就把这两个向量对应的坐标相加 x 一， 哎，加上 x 二 y 一， 加上个 y 二，如果是减呢？那么对应的相对应的坐标呢？相减就可以了。如果是相乘 a 乘以 b， 注意它是对应的坐标相乘 x 一 x 二， 加上个 y 一 y 二。从这个从这里我们可以看出，两个向量的加减得到的还是向量，但是相乘我们得到的实际上是一个实数。 我们来看第六题，让我们求函数 f x 等于 x 加二的 x 方的零点所在的区间是哪一个？首先我们看这个函数，它是单调递增的，并且是连续的。 根据函数的零点存在性定义，如果 f x 在 区间 a 到 b 上满足 fa 乘以 f b 小 于零，那么 f x 在 区间 a 到 b 上一定存在零点， 所以我们只需要验证所给的区间，哪一个区间满足 f a 乘以 f b 小 于零。我们首先看 a， 我 们来看 f 负二， f 负二呢，就等于一个负二加上二的负二次方，二的负二次方呢，实际上就是二的平方分之一，那就是负二，加上个二的平方是四，所以是四分之一， 这个值呢，很显然，它是一个负值。我们再看 f 负一， f 负一呢，等于个负一加上个二的负一次方， 二的负一次方呢，就是二分之一，就是负一加上个二分之一。很显然，这个值呢，是负二分之一，它也是负值，两个都是负的，那不满足 fa 乘以 f b 小 一点。我们再看 b 选项，我们需要求一下 f 零， f 零等于什么呢？等于一个零加上个二的零次方。我们知道二的零次方呢，等于个一。很显然， f 零是大于零的， f 负一是小于零的， f 零是大于零的，所以这个 f 负一乘以 f 零，满足两个乘积小于零，因此这个零点所在的区间呢，实际上就是 b。 其实我们再验证一下，看 c 选项，我们再看 f 一， f 一 呢，很显然等于一，加上个二的一次方就是一，加上二， 等一个三，很显然，这也是一个大于零的，说明 f 零和 f 一 都是正数，它两个的乘积一定是正数。不满足 f a 乘以 f b 小 于零，我们看 d 选项， f 二， f 二呢，等于二，加上个二的平方。我们知道这个二的平方呢，是四，所以它等于个六，而且呢，这也是一个正数，也么不满足呢？ fa 乘以 f b 小 于零， 所以满足 fa 乘以 f b 小 于零的只有 b， 因此正确答案呢，就选 b。 我们来看第七题。设 x 属于实数，现在让我们分析 x 大 于二分之一是二， x 平方加 x 减一大于零的什么条件。 对于这个问题呢，我们首先对这样一个等式进行求解，也就是我们化简后边这个条件。 好，我们看二 x 平方加 x 减一大于零，这是一个二次不等式。对于二次不等式呢，我们首先来分析这个二次方程，二 x 平方加 x 减一等于零， 我们可以解得这个方程呢，有两个解，一个是负一，一个是二分之一。 这个二次不等式大于零大于零是在两根之外，也就是它的解呢，可以写成 x 小 于小根或 x 大 于大根。 如果我们把它写成几何的话，那么就是这样一个几何。我们再看前面这个条件， x 大 于二分之一， 很显然， x 大 于二分之一对应的这个几何是后面这个几何的真子几何。 如果我们把它看成 p， 把它当看成 q， 我 们知道小几何推大几何，它对应的是 p， 它对应的是 q， 因此 u p 可以 推出 q， 但是呢， u q 不 能推出 p， 如果 u p 可以 推出 q， 那 么 p 就是 q 的 充分条件。 如果 u q 能推出 p， 那 么 p 就是 q 的 必要条件，但是 u q 不 能推出 p， 所以 这就是不必要条件。 所以正确大呢，是 a。 对 于不等式这个问题，这个充分条件和必要条件的盘对盘定呢？我们可以利用几何之间的包含关系来进行盘对。 我们一般情况下认为小集合推大集合，这种小和大呢，实际上是指这种包含关系。 第八题，让求这个式子的值，我们分别来求值，然后呢，再相加就可以了。首先我们来看第一个式子， 第一个数字的值呢，我们首先要知道这样一个公式，以 a 为底，然后以 a 为底， b 的 对数作为指数，这个结果呢，实际上就等于 b， 所以 第一个这个结果其实就是三。 第二个呢，是一个对数的求值，我们要知道这个根号二实际上是等于个二的二分之一次方，因此这个第二个结果呢，其实就是二分之一， 因此我们所要化解的结果其实就是三加二分之一，我们可以计算出结果是二分之七，所以这个答案呢，选 c。 我们要想求出这个结果，首先我们再熟悉这样一个公式，然后就是对数的运算公式，以 a 为底， a 的 n 次方，它的对数就等于个 n， 也就是说，我们要想求这个对数的值，要看这个真数是底数的多少次方。 我们来看第九题，已知 sin alpha 等于三分之一，现在让我们求 cosine 二分之 pi 减 alpha 的 值。 这道题呢，主要是考察三角函数的诱导公式。我们记住那十个字，既变偶变符号看象限，我们看阿卡前面这个数，它实际上是二分之派。我们知道二分之派呢，它可以写成二分之派乘一个一， 而这个一呢，是奇数与奇变偶不变。所以呢，这个余弦要变正弦，所以首先要变成 c。 二法 符号看象限，我们把二法看成锐角，二法看成锐角，那么二分之派减二法在第几象限呢？很显然，二分之派减一个锐角，它在第一象限 第一项线，对于这个余弦值来说，它是一个正值，所以呢，这前面其实一个正号，当然正号呢我们可以省略，因此 cosine 二分之 pi 减二法实际上就等于 sin 二法，而 sin 二法等于多少呢？ sin 二法等于三分之一， 所以正确答案呢是选 b。 我们来看第十题，某快递收件点，在一周内每天接收的快递个数分别为三百六、二百八十四，二百九，三百一百八十八，二百四、二百八十八。 现在让我们求这组数据的第七十五百分尾数，要求第七十五百分尾数。首先我们把这组数据按照从小到大的顺序进行排列，我们看在这组数据里面最小的一个数是一百八十八， 好，然后呢是二百四， 然后是二百八十四啊，然后是二百八十八，接着是二百九， 好，然后呢是三百，最大的一个数是三百六。 我们从小到大把这些数据呢进行排列，然后我们再看，让求的是第七十五百分为数，而这里边有几个数据呢？一共有七个， 所以呢，我们用七乘以百分之七十五，也就是零点七五 啊，七乘以零点七五等于五点二五， 这是一个小数，所以呢，这个第七十五百分位数就是在这组数据里边的第六个数据，我们查一下一二三、四五六，所以呢，正确答案是三百，所以呢，正确答案呢是选 c。 比如我们如果用七乘以我们所要求的这个百分数，对应的这个百分数如果是一个整数的话，我们需要取这个数和他后边这个数的 平均数，如果是一个分数的话啊，或者一个不是一个整数，那我们就取与他相邻的后边这个数据。 我们来看第十一题。让求函数 f x 等于二倍的 sin 三分之一 x 减六分之 pi 的 最小正周期。 注意最小正周期的计算公式。一般情况下，如果 f x 等于 a 倍的 sin omega， x 加反， 其中这个 a 大 于零， omega 大 于零的条件下，那么它的最小正周期是多少呢？对，等于二 pi 除以 omega， 这个 omega 呢，实际上就是指 x 前面这个系数，所以这里面的最小正周期实际上就是二派，除以 x 前面这个系数三分之一，所以等于多少呢？等于六派。 因此正确答案呢，选 d。 我 们来看第十二期。在中国农历中，一年有二十四个节气立春聚首北京。二零二二年冬奥会开幕，正逢立春。 开幕式上二十四节气的倒计时，让全世界领略了中华智慧。 高二三班班委会要从立春、清明、立秋、立冬、冬至这五个节气中随机选三个做宣传版面，让求这三个节气中含有立春的概率。 为了方便，我们不妨用 a 表示立春， b 表示清明， c 表示立秋， d 表示立冬， e 表示冬至。 我们从这五个阶梯中任选三个，我们看总的选法有多少。总的选法可以是 a、 b， c 好 选 abc。 这三个也有可能是 a、 b， d， 也有可能是 a、 b， e 啊，当然也有可能是 a、 c， d 和 a， c， e， 还有可能是 a、 d， e， 那还有可能是 b、 c， d 啊，还有可能是 b、 c， e 啊，还有可能是 b、 d、 e。 还有种情况就是 c、 d、 e。 好， 我们查一下，看一共有多少种可能性？ 一二三四五六七八九十，有十种可能性，所以我们所求的概率，它的分母就是十。 我们再看含有立春的有多少种可能性，也就是在这个选择中含有 a 的， 这是一个，第二个，第三个，第四个，第五个、第六个，所以含有例称的一共有六种可能性，所以我们所求的概率就是十分之六，我们化简一下，结果就是五分之三， 所以正确答案呢，选 c。 我 们来看第十三题，给出下列函数，这里边给出五个函数， 让我们判断，其中满足 f 二分之 x 一 加 x 二大于二分之 f x 一 加 f x 二，其中 x 二大于 x 一 大于零的函数有多少个？ 因为这是一个选择题，所以我们可以拿特殊值代入进行验证， 因为这里边的条件已经告诉我们， x 二大于 x 一 大于零，所以呢，我们不妨令 x 一 等于个一， x 二就让它等于二。 好，我们对于第一个 f x 等于 x， 我 们来看 f 二分之 x 一 加 x 二， 那实际上那就等于 f 二分之三，我们把它代入，这个结果也就等于二分之三。 我们再看 f x 一， f x 一 实际上就等于个 f 一， 实际上就是一，所以二分之 f x 一 加上 f x 二，我们来计算它的值 啊， f x 一 等于 f x 二呢等于二，所以这个值呢，也等于二分之三， 这样的话，我们看这两个值实际上是相等的，并不满足这个大于号，所以第一个排除，我们再看第二个。 好，同样，我们来求一下， f 二分之 x 一 加 x 二，那也就是 f 二分之三，我们知道它等于多少呢？四分之九。 好，我们再求二分之 f x 一 加上 f x 二， f x 一 呢，等于一， f x 二呢，实际上等于四，所以这个是二分之五。 很显然，四分之九是小于二分之五的，所以也不满足这个条件，所以第二个也排除。我们再看第三个， f s 等于 x 三次方，我们还是先求 f 二分之 x 一 加 x 二，那就是 f 二分之三， f 二分之三呢，我们代入这个三次方， 二分之三的三次方，那是八分之二十七。而二分之 f x 一 加 f x 二， f x 一 呢，等于一， f x 二等于八，所以它是二分之九。 本，显然八分之二十七是小于二分之九的，因此也不满足大一号这个符号。我们再看第四个， f x 等于根号 x。 首先我们还是先求 f 二分之 x 一 加 x 二，那也就是 f 二分之三就是根号加二分之三。 我们再看 f 二分之 x 一 加 x 二，这就等于根号二分之三。我们再求一下，二分之 f x 一 加 f x 二，那就是二分之等于 f 一， 其实就是一， f 二就是根号。 这个数呢，我们直接比较，不太容易比较，我们不妨给他平方一下，两两个数呢，都平方，左边这个数一平方，它是二分之三， 右边这个数一平方呢，是四分之三加二倍的根号。 二分之三呢，我们知道它是一点五。 好，这个可以写成四分之三加上个二分之根号，四分之三呢，是零点七五，再加上个四分之二倍的根号，实际上是二分之根号。 我们这根号呢，是约等于一点四一四的，所以这个呢，二分之根号本显然是小于零点七五的， 那所以这个零点七五加上它是小于一点五的，也就是这个式子呢，是小一点五的，所以二分之三要大于它，也就是根号，二分之三大于二分之一加根号，因此 这个是函数呢，它满足这样一个条件，所以这个符合条件啊，三不符合，四符合。我们再看第五个，同样道理， 先求 f 二分之 x， 一 加 x 二就是 f 二分之三啊，就是 f 二分之 x， 一 加 x 二，就等于多少呢？等于一个三分之二。 好，我们再看一下，二分之 f x 一 加上 f x 二， f 一 呢，等于一， f 二等于二分之一，所以这个是一加二分之一，再除以二，所以结果是多少呢？得四分之三。 很显然，三分之二是小于四分之三的，也不满足这个符号，因此五也排除。从我们用这个特殊值代入，我们会发现符合条件的只有四， 而选项中呢，这里边最小的是一，也就是说这里边呢，至少得有一个符合条件的，所以我们把其他四个都排除了，那符合条件的肯定就剩四了。因此正确答案选 a。 让我们来看第十四题，设 m， n 是 两条不同的直线，阿尔法、贝特是两个不同的平面，且 m 在 阿尔法内， n 在 贝特内。现在给出四个命题，让我们找出正确的命题。首先我们看第一个 m 平行 betn 平行阿尔法，则阿尔法平行 bet。 我 们不妨来画图进行分析，我们看当阿尔法和 bet 不 平行的时候，有没有这种可能性。 好，假如这是阿尔法，这是 bet， 注意， m 呢？在阿尔法内， n 呢？在 bit 内，我们看这个时候呢， m 是 平行 bit 的， n 呢，也是平行阿尔法的，但是呢，阿尔法和 bit 并不平行，所以 e 是 错误的。 同时我们也可以把 a 和 b 两个选项给排除。我们再看二，若 m 垂直 bet， 则 r 法垂直 bet， 我 们看两个平面 r 法和 bet。 如果 m 在 r 法内， m 在 阿尔法内， m 又垂直一倍，那么阿尔法就垂直一倍。很显然这个是正确的， 因为两个平面垂直的判定定律，其实呢，就是其中一个平面过另外一个平面的一条垂线，什么意思呢？就是在其中一个平面内，有一条直线 垂直于另外一个平面，那么这两个平面呢，就是垂直的，所以二是正确的。我们再看三， 若阿尔法平行比特，则 m 平行比特， n 平行阿尔法。我们画阿尔法平行比特的情况就是两个平面平行 啊，这个是阿尔法，这个是比特啊，这个 m 呢？在阿尔法内，这个 n 呢？在比特内。很显然，我们可以看出 m 和比特是平行的， n 和阿尔法也是平行的。直线和平面平行呢，它的 定义实际上就是这条直线和这个平面没有公共点，所以三是正确的。那么这个时候其实我们就已经看出正确答案呢，应该是 c。 我们再来看第四个，若阿尔法垂直比特，则 m 垂直比特， n 垂直阿尔法。我们看当阿尔法比特相互垂直的时候， 那么有没有这样的结论呢？这是阿尔法，这是比特。我们看我们 m 呢，在阿尔法内，那 m 呢？可能是这种情况， 这个 beta 呢？也有可能是这个 beta 内的这个 n， 也有可能是这种情况，所以我们不能得到 m 垂直 beta 和 n 垂直 r 这样的结论，因此四是错误的，所以正确答案呢，选 c。 我 们来看第十五题。青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量， 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据 v 和五分记录法的数据 l 满足 v 等于十的 l 减五次方。已知某同学视力的五分记录法的数据为四点九， 现在让我们求其视力的小数记录法的数据大概是多少。其实呢，这道题等于告诉我们，这位同学的五分记录法，实际上也就是 l 等于四点九， 让我们求这个 v 约等于多少，那 v 约等于多少呢？首先我们代入进去， v 等于一个十的四点九减五次方， 四点九减五呢，我们知道它是负零点一，因此它就等于一个十的零点一次方分之一 啊，零点一呢，我们知道它等于个十分之一，所以有十的十分之一四方分之一， 而十的十四十分之一四方呢，实际上就等于十四根号加十。 好，这里面呢，已经告诉我们，十次根号下十呢，约等于一点二六，所以它就约等一个一，除以一点二六。 好，我们可以计算这个结果，它约等于零点八，所以正确答案选 b。 我们来看第十六题，若 i 是 虚数单位，现在让我们求负数一减二分之一加二对应的点的坐标。 我们知道负数 z 等于 a 加 b i， 其中 ab 都是实数，它对应的点的坐标呢，是 ab， 所以 我们首先要把这个负数给它化成 a 加 b i 的 形式。 好，我们给他的分子分母同时乘一个一加 i， 那 么他的分子时间就变成了一加 i 括号的平方。 而分母呢，我们可以用平方差公式得到一的平方减去 i 的 平方。 而分子呢，我们可以利用完全平方式给它展开一的平方加上个 i 的 平方，再加上个二 i。 在 这里面，我们知道 i 的 平方它是等于一个负一的，所以它的分母就是一减负一，那就是二 分子中 i 的 平方等于负一，所以这两个的和是零，所以它的分子呢，实际上就是二 i。 我 们化简之后，其实呢，它等于一个 i， 这个 i 呢，其实我们知道它可以写成零，加上个一乘以 i。 我们对到它的一般形式，其实就是 a 对 应的是零， b 呢对应的是一，因此这个点的坐标呢，就是零一。 我们来看第十七题，在三角形 abc 中，内角 abc 的 对边分别为， abc 已知 b 等于三， c 等于八， a 等于六十度。现在让我们求 a 边， 在这个三角形中，我们看已知两边和它的夹角，让求第三边，我们可以用鱼弦定力直接求结。 那么根据余弦定律，我们知道 a 的 平方等于 b 的 平方，加上个 c 的 平方减二 b， c cos a。 好， 我们把数迹带入 b 的 平方呢？九， c 的 平方六十四，减去二乘以三乘一个八乘以 cosine， 六十度是二分之一。好，我们再进行计算， 九加六十三啊，九加六十四啊，七十三，减去二十四，结果多少呢？四十九，所以这个 a 就 等于个七，因此正确答案呢，填七。 我们来看第十八题。为研究一个总体的某项指标，现把该总体化分为三层，按比例用分层随机抽样法抽样，得到各层的样本量及样本平均数，如下表 现在让我们估计该总体该项指标的平均数，也就是我们求出所有样本的平均数。 怎样求出样本的平均数呢？我们用第一层它的样本量十乘以第一层它的平均数五十五， 再加上第二层样本量三十乘以它的平均数九十， 然后我们再除以总的样本数，那就是十加三十加上个十。好，我们进行计算就行了。这个分母呢是五十， 分子是五哎，五百五，加上个二千二百五十，再加上个九百， 好，我们对它进行计算，它的分子呢是三千七，好，分母呢是五十，我们继续计算，结果是七十四，所以呢，答案就填七十四。 这道题呢，我们还可以利用其题九点二证明的这个公式进行计算。 在分层随机车辆问题中，我们计算分层随机车辆的方差的时候，首先要计算这个总的样本的这个频数，我们可以带入这个公式， 首先我们可以计算三层的这个总的样本量，刚才我们算过这是五十，所以呢，这个分母就是五十。 第一层对应的那就是十啊，他乘以他的平均数乘以个五十五， 加上第二层对应的这个是三十，分母呢？还是五十乘以他的平均数七十五，加上第三层也是这样，十除以五十，乘以他的平均数九十， 我们由这个也可以直接得到结果是七十四。所以呢，我们来看第十九题。已知函数 f x 等于二的 x 方加二的负 x 方，现在让求 f x 的 最小值 f x 呢？这个函数的解析式我们是可以少做整理，二的负 x 方可以写成二的 x 方分之一。如果我们把二的 x 方看成 a， 二的 x 方分之一看成 b， 我 们就想到基本不等式的性质。当然二的 x 方和二的 x 方分之一呢，都是正数。 在 a 和 b 都大于零的条件下，我们知道 a 加 b 大 于等于耳背的根号 a b， 当且仅当 a 等于 b 时取得等号，所以这个 f s 呢，它就大于等于耳背的根号下 二的 x 方乘以二的 x 四方分之一。当然这个结果我们知道它等于个二，这个等号能不能取到呢？ 什么时间取的等号，我们首先得知道，就是 a 等于 b， 这个里边对应的就是二的 x 方等于二的 x 方分之一。我们知道二的 x 方分之一呢，就是二的负 x 方， 也就是 x 等于负 x， 其实呢就是 x 等于一个零， 也就是说 x 等于零的时候，这个取得等号，所以 f x， 它的最小值就是二，并且在 x 等于零的时候取得这个最小值，所以正确大呢是填二。 我们来看第二十题，已知圆锥的底面半径为八，母线与底面所成角的正切值为四分之三，现在让我们求圆锥的侧面积， 我们要想求出圆锥的侧面积，首先得知道圆锥的侧面积公式等于 pi r l， 其中 r 呢是指底面半径，这里边我们知道这个底面半径呢，就是八，所以我们要求出母线 l。 好， 我们根据条件来画出一个图形， 根据条件底面半径呢，这个 o b 等一个八，所以母线和底面所成的角， 这个涉及到直线和平面所成的角。直线如果和平面斜交，那么它和这个平面所成的角，是指这条直线和它在这个平面内的摄影所成角。我们看 ab 在 这个平面内的摄影实际上就是 o b， 因此母线与底面所成的角，在这里面实际上就是 a b o， 也就是它的正切值为四分之三， 所以 a o 比上 ob 就是 对比邻，我们在这个 a o b 这个直角三角形内对比，邻等于这个角的正切值等于四分之三， 而这个 o b 呢，是等一个八，所以我们很容易计算出这个 a o 等于个六。好，这个是八，这个是六。我们再根据勾股定律，可以算出母线长等于个十， 也就是在这个测面积公式 pi l 中，这个 r 呢，是等一个八， 这个 l 呢是等于个十，所以这个结果是八十 pi， 所以 正确答案呢，填八十 pi。 我 们来看第二十一题。地震的强烈程度，通常用李氏震级 m 等于 log a 减 log a 零表示。 这里 a 是 距离镇中一百公里处所测量地震的最大震幅单位是毫米， a 零是该处的标准地震震幅。 第一小题，若一次地震测得 a 等于三十一毫米， a 零等于零点零零一毫米。现在让我们求该地震的震级是多少， 根据条件，这个正极 m 就 等于 log a 减 log a 零。所以我们要求正极，实际上就是代入数据，求出 m 的 值。我们看 m， 它等于 log a 减 log a 零。 好，我们把数据代入，那就是 log 三十一，减去 log 零点零零一， 根据对数的运算性质，两个同底的对数相减，底数不变，真数消除， 所以它就等于 log 三十一除以零点零零一啊，当然就等于 log 三万一千。 好，这里面告诉我们 log 三点一，所以呢，我们把这个数据呢再进行简单的变换。这个三万一千可以写成三点一乘以个十的四次方， 所以它就可以写成 log 三点一，加上 log 十的四次方。 追，这个是以十为底的对数，所以 log 十的四方其实就等于个四，所以呢，它就等于个 log 三点一加上个四。 而 log 三点一呢，约等于零点四九一四，所以呢，它就约等于 啊四点四九一四，而结果呢，精确到零点一，所以啊，约等于四点五。 因此该地震的震级约为四点五级。这是第一小题，第二小题呢，里氏八级地震的最大政府是里氏五级地震的最大政府的多少倍？ 我们不妨设李氏八级地震的最大震幅呢？是 a 一， 李氏五级地震的最大震幅，我们用 a 二来表示。 至于这个震级 m， 根据对数的运算性质，它其实可以写成 log a 除以 a 零， 所以里是八级地震最大震幅。我们设为 a 一 的话，那么也就是 m 等于八，这个 a 呢，换成 a 一， 所以我们就可以得到 log a 一 比上 a 零，就等于个八。同样道理， log a 二比上 a 零就等于个五。 根据对数和指数的关系，那么这个 a 一 比上 a 零， 其实就等于个十的八次方。 a 二比上 a 零，其实就等于个十的五次方。 我们如果把这两个数字相除，这个 a 零的分母上都有 a 零可以消除，所以就得到 a 一， 比上 a 二等于十的八次方除以十的五次方， 十的八次方除以十的五次方，它等于十的八减五次方，所以就是十的三次方。十的三次方，我们知道它等于一千， 也就意味着这个 a 一 等于一千倍的 a 二。 所以李氏八级地震的最大震幅是李氏五级地震的最大震幅的多少倍呢？得一千倍。 好，我们来看一下具体的节气步骤。第一小题，根据条件，这个 m 就 等于 log 三十一，减去 log 零点零零一， 根据对数的运算性质，就等于 log 三十一除以零点零零一等于 log 三万一千， 又可以写成 log 三点一，加上 log 十的四次方，最后计算结果约等于四点五，所以该地震的震级约为四点五级。 第二小题，我们设李氏八级和李氏五级地震的最大震幅分别为 a 一、 a 二， 那么根据条件， log a 一 除以 a 零等于八， log a 二除以 a 零等于五。再根据对数和指数的关系，注意这个是以十为底的对数，所以 a 一 除以 a 零等于十的八次方，同样 a 二除以 a 零等于十的五次方。 我们把这两个式子消除，可以知道， a 一 除以 a 二就等于十的三次方等于一千。 因此李氏八级地震的最大震幅是李氏五级地震的最大震幅的一千倍。我们来看第二十二题，在三角形 abc 中，内角 abc 的 对边分别为， abc 已知 a 等于二倍的根号。三 b 等于二， a 等于一百二十度。第一小题让求角， b 题目中已知两边和一个角，让我们求另外一个角，我们可以利用正弦定点，正弦定点的公式我们得知道是 a 比上 c， a 等于 b 比上 c， n， d， 当然也等于个 c 比上 c， n， c 还等于二。 r 是 指这个外接圆的，就是这个三角形外接圆的直径 条件中告诉我们有 a 边、 b 边和 a 角，所以我们代入前面这一部分就行了。 a 呢，二倍根号三， 这个 a 角等于一百二十度，那 c， n 一 百二十度，我们知道它等于二分之。根号三，我们直接代入等于 b 边，是二，比上 c， n， b。 好，根据这个条件，我们可以求出 c， n， b 而被的根号三除以二分之根号三，这个结果呢，是四，所以我们很容易得到这个 c， n， b 等于二分之一， 并且这个 b 角是三角形的内角，所以呢， b 的 范围是零。导派 在零到 pi 内，正弦值等于二分之一的，这个 b 呢，有可能是三十度，也有可能是一百五十度， 但是呢，这个角 a 已经是一百二十度了，在一个三角形里边不可能出现两个钝角，所以一百五十度呢，它舍去，因此我们求出这个 b 的 大小应该是三十度。 第二小题让我们求三角形 a， b， c 的 面积，要求面积，我们利用面积公式， 我们回忆下三角形的面积公式， s 等于二分之一 a， b， c， n， c 哎，当然也可以写成二分之一 b， c， c， n， a， 还有二分之一 a， c， c， n， b 这一题的条件，我们知道 a 边和 b 边，所以我们用第一个公式 s 等于二分之一 a， b， c。 所以呢，我们首先要求出细角，我们知道三角形的内角和等于一百八十度，所以细角呢，就等于一百八十度。 减去 a 角，再减去 b 角。好，一百八十度， 减一百二十度，再减去三十度， 等于多少呢？得等于三十度，所以这个 c 角就等于三十度。我们代入公式，二分之一乘以 a 二倍的根号三，再乘以 b 就是 二，再乘以 c 三十度，那是二分之一， 所以我们可以计算出这个结果等于多少呢？等于根号三。我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，我们由正弦定义，就是 a， b 上 c n， a 等于 b， b 上 c、 n b。 我们用这一部分，我们可以直接写出 c、 n， b 等于 a 分 之 b， c、 n， a 把数据带入，结果是二分之一。因为 b 是 三角形的内角，所以大于零度。小于一百八十度，所以 b 等于三十度或一百五十度。 又因为 a 呢是一百二十度，这是一个钝角，在三角形里边不可能出现两个钝角，所以把这个 b 等于一百五十度舍去，所以我们得到 b 等于三十度。 第二小题，我们求三角形 abc 的 面积，我们要利用面积公式，首先求出 c 角、三角形内角和等于一百八十度，所以 c 角呢，就等于一百八十度。减去 a， 再减去 b， 结果是三十度， 所以三角形 a、 b， c 的 面积 s 等于二分之一。 a， b、 c， 我 们把数据带入，结果是根号三。 我们来看第二十三题。为响应强身健体，智慧学习畅议，数仁中学开展了一次学生体质健康监测活动。 已知高三二班有五十名学生，其中男生二十二人，女生二十八人。 按男生女生进行分层，用分层随机测案的方法，从高三二班全体学生中抽取一个容量为二十五的样本，且各层中按照比例分配样本。 第一小题求女生应抽取的人数，这里边我们抽取的人数是按各层的比例进行抽取，所以我们来看一下女生所占的比例。总人数是五十， 女生所占的人数是二十八，所以抽取的女生的比例应该占五十分之二十八，而抽取的总的样本容量 二十五，所以女生应该抽取的人数是五十分之二十八，再乘以二十五。啊，我们可以计算出这个结果，对，他是十四 啊。这是第一小题，就是女生应该抽取的人数是十四人。 我们再看第二题，已知样本中男生女生的平均体重分别为六十点八千克和四十六点四千克。现在让我们估计高三二班全体学生的平均体重， 让我们精确到零点一千克。 根据第一小题的计算啊，我们知道女生抽取的人数是十四， 那么男生应该抽取的人数那就是十一，因为总数是二十五。 平均体重怎么算呢？我们首先计算出男生和女生的所有体重，然后相加，再除以抽取的人数就可以了 啊。女生呢，一共有十四人，平均体重是四十六点四，所以女生的总体重四十六点四乘以十四，男生的总体重十一乘以六十点八。 然后我们除以总数二十五，计算出我们所要的结果就可以了。 这个数呢，约等于五十二点七，所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二点七公斤。 这就是用样本来估计总体，这种方法也就是从抽取的样本得到的平均值近似的来代替这个 高三二班全体学生的平均体重。我们来看一下具体的阶梯步骤。 第一小题，因为各层中按照比例分配样本，所以女生应抽取的人数就是二十五乘以女生所占的比例五十分之二十八，结果是十四。 第二小题由一，我们可以得到样本中男生应该抽取的人数为十一，所以平均体重 男生的总体重有六十点八乘以十一，女生的总体重四十六点四乘以十四，把它相加再除以抽取的总人数二十五，结果是五十二点七， 约等于五十二点七公斤。所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二。我们来看第二十四题，已知函数 f x 等于 c 二 x 加上 c 三分之派减二 x。 第一小题让我们求 f 六分之 pi 的 值，我们要想求 f 六分之 pi， 我 们只需要直接代入就行了。 f 六分之 pi， 也就是把这个函数里面的 x 换成六分之 pi， 所以 它等于 sin 这个二乘。一个六分之派加上个 sin 三分之派减去二乘以六分之派。 二乘以六分之派呢，我们知道等于三分之派，所以等于 sin 三分之 pi。 再加上我们看这个括号里面呢，正好是零，所以等于 c 零。而 c 零呢，就等于零，所以它就等于 c 三分之 pi 加零， 所以我们计算 c 三分之 pi 就 行了。三分之 pi 对 应的角度数是六十度，所以它等于 c 六十度。我们知道 c 六十度等于二分之根号三好，第一小题呢就求出来了， 我们再看第二小题，当 x 属于零到二分之 pi 时，求函数 f x 的 最大值。我们要想求 f x 的 最大值呢，首先要对 f x 进行化解，这个 f x， 它等于个 sin 二 x 加上个 sin 三分之 pi 减。二 x， 我 们利用两角叉的正弦值给它展开， 我们来回忆一下两角叉的正弦值。 sin 阿尔法减 beta 等于什么呢？等于得 sin 阿尔法 cosine beta 减去 cosine 阿尔法 cosine beta。 如果这个地方是加号，那么这个地方对应的也是加号。好，现在呢，我们首首先把后面这一部分给它展开，它就等于一个 sin 三分之 pi cosine 二 x 啊，减去一个 cosine 三分之 pi cosine 二 x。 另外，我们得知道 sin 三分之 pi 等于二分之根号三，所以我们继续写，等于 sin 二 x 加上个二分之根号三倍的 cosine 二 x cosine 三分之 pi 就是 cosine 六十度，它等于二分之一减去二分之一倍的 sin 二 x。 好， 我们把它两个进行合并，所以结果就变成二分之一倍的 c in 二 x 加上二分之根号三倍的 cosine 二 x， 其中二分之一呢，我们可以换成 cosine 三分之 pi 二分之根号三呢，你可以换成 sin 三分之派，所以呢，这个数字就变成了 sin 二 x cosine 三分之派加上 cosine x cosine 三分之派。我们再利用这个公式就是反过来用啊， sin cosine 加上 cosine cosine sin， 那 它就等于什么呢？等于 sin 二 x 加上个三分之派。 好，我们要想求出 x 属于零到二分之 pi 时 f x 最大值，我们要把二 x 加三 pi 看作一个整体。首先要求出二 x 加三分之 pi 的 去值范围，我们不妨令它等于个 t， 把它看成一个整体，因为 x 是 属于零到二分之 pi 的， 所以我们算一下这个二 x， 那 它是大于等于零，小于等于 pi 的。 那二 x 再加上个三分之派，那就大于等于三分之派，小于等于三分之四派。好，我们把它看成一个整体，我们画一下 y 的 以 c x 的 部分图像， y 等于 c x 在 零到二拍上的图像就可以了。我们直要哪一部分呢？我们直要三分之派到三分之四派。这一部分好，这个地方是零， 这个地方对应的是二分之派，这个地方对应的是二分之三派。 好，我们找到三分之派到三分之四派，三分派，比如在这里到三分之四派，我们描述这一段，我们看最大值就是对应的最高点，所以我们很容易看出它的最大值是几呢？是一， 并且什么时间取得最大值呢？那就是这个整体就是二 x 加三派，二 x 加上个三分之 派等于二分之派时取得最大值。其实我们可以求出这时候 x 等于多少呢？也等于个十二分之派， 所以当 x 等于十二分之 pi 时， f x 取得最大值，最大值是一。 我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，我们直接代入 f 六分之 pi， 其实它就等于 c 三分之 pi 加上 c 零，这一方是零， c 零就等于零，所以结果是二分之二三。 第二小题呢，我们首先把后边这个展开，我们利用了两角叉的正弦公式，等于 sin 三分之派 cosine r x， 这个就是 sin 三分之派。减去 cosine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine 好，通过整理这两个进行合并之后得到二分之一 c in r x， 加上二分之根号三 cosine x， 这个二分之一我们可以换成 cosine 三分之二 pi， 这个二分之二三呢，可以换成 cosine sine 三分之 pi， 用特殊角来代替它，这样的话呢，就变成了 cosine r 法 cosine sine 法 cosine sine 的 形式。 再利用两角和的正弦公式，就等于 c 二 x 加三分派，因为 x 是 大于等于零，小于等于二分派的，由于这个区间 它表示的是大于等于零，小于等于二分派，所以我们可以求出二 x 加三分派。大于等于三分派，小于等于三分之四派。 我们画出正弦曲线的部分图像，我们根据这个图像可以看出，在二 x 加三派的一个整体等于二分之派的时候取得最大值， 这个时候呢，我们可以求出 x 等于十二分之派，这个最大值呢？结果是一，实际上就是 c 二分之派，这是第二十四题。 好了，综合训练部分我们已经讲完了，希望同学们在这次会考中都能取得优异的成绩，再见。
2750高中数学赵老师
56:28查看AI文稿AI文稿首先我们来看选择题，第一题设全集 u， 它包括的元素有二、四、六、八、十，一共五个元素几何 m 满足，注意，这个表示 m 的 补集，它的元素有二和六。 现在让我们求几何 m。 什么是几何 m 的 补集呢？就是从全集中去掉 m 中的元素，剩余的元素构成的几何就是 m 的 补集。 那么要求 m 几何，其实我们只需要从全集中去掉 m 的 补集中的元素，剩余的元素构成的几何就是几何 m。 所以我们只需要在全集中去掉 m 的 补集中的元素二和六，我们看剩余的元素有四、八 十。好，我们对照一下选项，正确答案呢？选 c。 所以呢，这道题选 c。 这道题呢，主要是考察几何的五级运算，属于基础题。我们来看第二题，下列关系中正确的是 a。 零属于这个几何，我们看零是否属于这个几何。 首先我们要看前面这个代表元素，我们看这个的代表元素呢，它相当一个点的坐标， 也就是说它表示抛物线 y 等于 x 平方上的点，而零呢，是一个数，所以零不属于这个几何，因此 a 是 错误的。 我们再看 b， 零属于这样一个几何，我们看它的代表元素是 x， 所以 它可以代表一个实数。然后我们看这个方程里边解出来 x 是 否有零，那么 x 的 平方 等于 x， 首先可以变成 x 的 平方减 x 等于零，我们把它看成一个二次方程，分解因式提出 x， 那 么 变成 x 乘以 x 减一等于零，我们解出来很容易得到这个 x 呢，是等一个零 或一，也就是说这个几何呢，它可以用列减法写成零一这样两个元素构成的几何，很显然这里面是包括零的，所以零属于这个几何，因此 b 是 正确的。我们再看 c， c 选项中，这个元素呢，它是一个点的坐标，而几何中的代表元素呢，是 y， y 呢，我们可以把它看成一个实数， 所以呢，点他不能等一个实数，因此在这个几何中不包括一三这样一个点，所以这个关系也是错误的。 我们再看 d 选项，二零二四属于这样一个几何。我们看这个几何里边前前面的代表元素呢，是 x， 可以 代表实数，但是我们看 x 等于二 k 加一， k 属于整数， z 呢，代表的是整数。 在这个条件下，这个二 k 加一，我们知道它表示的是基数， 而这个二零二四呢，是偶数。很显然，二零二四不在这个集合中，因此 d 也是错误的，所以正确答案选 b。 这道题主要是考察几何与元素的关系，它们之间呢，用属于或不属于来表示。如果在这个几何中有这个元素，就用属于来表示。而在这个几何中没有这个元素，我们就用不属于这样一个符号来表示。 我们来看第三题， get 出下列关系，这里面一共 get 出四个关系式，其中正确的个数为， 我们看第一个负三的绝对值属于这个 n 星，它表示的是正整数，也就是自然数里边去掉零，我们知道负三的绝对值，它是三 三呢，很显然，它是正整数，所以三属于这个几何，因此第一个是正确的。 第二个，零属于 n， 注意， n 的 它表示的是自然数，自然数呢，是包括零的，它包括的有零、一、二、三等等这样的数字，所以呢，零属于自然数，没问题，这个也是正确的。 第三个，三分之一属于 q， q 呢，它表示的是有理数，而三分之一呢，很显然是有理数，所以三分之一属于 q， 有 有理数这个几何，因此第三个也是正确的。 四、根号二属于 r， 注意， r 呢，它表示的是实数级， 而根号二呢，很显然是一个实数，所以根号二属于 r 也是正确的。所以呢，这里面四个关系式都是正确的，所以正确答案呢，选 d。 这道题还是考察元素与几何的关系，如果在这个几何中有这个元素，就用属于这个符号来表示，如果在这个几何中没有这个元素，那么就用不属于这个符号来表示。 我们来看第四题，下列各组对象不能构成的几何的式。首先我们要看清题，这里面强调是不能构成几何的式。一组对象能不能构成几何，我们要看 这组对象它是否满足几何中元素的基本特征。几何中的元素应当满足三个基本特征， 这三个基本特征分别是确定性、互疑性和无序性。所谓确定性，也就是这个对象是不是在这个几何内， 他是确定的，要么他就在这个几何内，要么他就不在这个几何内。而互异性呢，是指几何中的元素呢，是互不相同的。无序性是指几何中的元素是没有顺序的。 我们要看一组对象能不能构成几何，主要是看射足对象他是不是满足确定性这个条件。 首先我们看 a 所有等边三角形，那么一个三角形是不是等边三角形，很显然他是确定的，那是他就可以在这个几何内，如果不是，他就不能在这个几何内，很显然，他符合确定那个条件，因此 可以构成几何。再看 b 选项，一次函数 y 等于二 x 减一的图像上所有的点，他能不能构成几何呢？很显然也是可以的 一个点，他如果满足这个函数的解析式，他就符合这个几何中元素的特征，就属于这个几何，否则就不属于这个几何，他也是确定的，所以他也可以构成几何。 我们再看 c 选项，某中学高一年级的所有学生，如果这个学生是这个高一年级的学生，他就符合这个几何中的元素的特点，如果他 不符合啊，不是这个高一年级的学生，那就是不在这个几何内，很显然这个也是确定的，所以呢， c 也可以构成几何。我们再看 d 充分接近根号五的所有实数， 这个很显然他是很模糊的。那么什么叫充分接近根号五呢？那二算不算？ 那三算不算？一百算不算？这里边并没有明确的界定，所以呢，我们很难确定这些数是不是符合这样的一个几何的特征，所以呢， d 他 不能构成几何。 所以呢，这道题的正确大就是选 d。 这道题呢，主要是考察几何中元素的基本特征，我们看一组对象能不能构成几何，主要是看它是否是满足几何中元素的确定性这样一个特点。 另外呢，几何中的无序性和互异性也是两个重要的特征。我们在解决问题的时候，一定要我们来看第五题，已知几何 a， 注意这里面的 x 属于 n， n 呢，表示的是自然数，并且 x 大 一小一等于四， 也就是几和 a 呢，它中的元素就是大一小于等于四的自然数，所以它包括的元素有，哎，二、三、四。 再看几和 b， 几和 b 中的元素大于等于负二小于等于三，只要符合这个条件就行了。现在让我们求 a 交 b， a 交 b 中的元素呢，它既属于 a， 又属于 b， 如果我们要求 a 交 b 中的每一个元素 x， 那 么 x 呢？就是既在 a 中，又在 b 中，也就是既符合 a 中的特征，就是它只能从二、三、四这三个元素中来取，并且还得满足大于等于负二小于等于三。 首先我们看第一个元素二，很显然是满足大等于负二，小等于三的三，也满足大等于负二，小等于三。而四很显然它不满足小等于三这个条件。因此 a 交 b 中的元素， 我们要把这个几何 a 的 元素呢，去掉这个四不符合条件的，所以剩余的元素有二和三，所以正确答案选 b。 这道题呢，主要是考察几何的交集运算，注意这个符号表示的是 a 交 b， 这两个符号呢，不要弄混的。 我们来看第六题，设几和 a， a 中的元素满足的条件是 x 大 于等于零，小于等于二，几和 b， b 中的元素满足的是 x 大 一小于三。现在让我们求 a、 b 对 这个符号呢，表示的是 a、 b， 对于这类的问题，我们怎么办呢？画出数轴。首先几何 a 它表示的元素满足条件是大于等于零，小于等于二，那么我们在里面，比如这地方我们标上这是零到二。 好了，我们用这样一种形式来表示几和 a， 然后我们再看几和 b， 几和 b 呢，它是大一小于三，我们一定要注意，这个一呢是在零和二之间的， 我们看这里边能取等号，我们用实心的点来表示这个端点，如果这里边你看不能取这个等号，我们用空心的点来表示这个端点，从一呢到三， 好，假如这是一，这是三，那么从一到三，我们给它标出来 a 并 b， 是 指从 a 中的元素和 b 中的元素把它们合并在一起，把重复的 我们只记一次。这样的话呢，我们看他表示的这样一个几何，其实就是这一部分的总的这一部分。好，我们看 我们可以看出他表示的几何。这个 x 满足条件是什么呢？从零到三，所以 x 大 于等于零 小于三。注意零这个地方是实心的，是可以取的，而这个三呢是空心的，这个是不能取的。所以呢，正确答案选 a， 所以这道题呢，答案是选 a， 这道题呢是考察几何的并集散，我们在解决这类问题的时候，一定要注意并集和交集它们的区别，一个是开口向下的，这个是交，一个是开口向上的，这个是并。 这道题如果让你求 a 交 b， 那 该怎么求呢？我们同样是画出这样一个数轴，你看我们把这数轴在这里边同样能标一下零到二。 好，这个地方呢能取等号，所以这个地方都用实心的。好，一到三这个地方我们用空心的啊，一到三我们给它也给它标出来，如果让你求 a 交 b， 那 么实际上就是他们公共部分， 也就是他们重叠的一部分，所以 a 交 b， 如果让求 a 交 b， 它等于什么呢？等于我们最写的时候要 前面有一个代表元素 x， x 呢？注意这里边，你看公共部分，这里面是一，这是二，一是不能等的，所以大于一，这个二呢，是可以等的，小于等于二。当然这道题呢，是让我们求的是并集，所以呢，这个正确答案选 a。 第七题，已知全集为 u， m 交 n 等于 m， 则以下为 n， 图表示正确的 v。 首先我们看这样一个条件， m 交 n 等于 m， 我 们可以得到的结论是， m 是 n 的 子集，也就是说呢，它得满足条件， m 包含于 n， 其实反过来，有 m 包含 n， 也可以得到 m 交 n 等于 m， 如果我们有 m 并 n 等于 m 的 话，那么得到的结论正好和这个反过来的是， n 包含于 m 这个条件里边，由 m 交 n 等于 m， 我 们可以得到 m 包含 n， 也就是说 m 是 n 的 子积。 从图形上来看， m 呢，应当在 n 它这个范围之内。所以呢，我们对照一下选项，可以看出正确答案呢，是 a， 我 们看在这里边，这个 m 呢，很显然是在 n 这个范围之内的， 所以呢，这道题的正确答案选 a。 这道题呢，主要是考察这样一个结论， m 交 n 等于 m， 我 们可以知道 m 是 n 的 子集，又指 m 包含 n。 同样道理，我们要注意， m 如果并 n 等于 m 的 话，我们得到 n 是 m 的 字迹，就是 n 呢，包含以 m。 这些结论呢，我们都应该把它正确的记住，并且呢能理解。然后呢，就是对维恩图的理解，这个 m 包含 n， 其实呢，就画这个图形中，这个 m 呢，在 n 这个范围之内。 第八题， s 大 于二是 x 平方减四， s 加四大于零的什么条件？ 这道题呢，主要是考察充分条件与必要条件的判断。首先我们来看 x 平方减四， x 加四，它是一个完全平方式，实际上就是 x 减二括号的平方，由这个数呢，它是大于零的， 他要大于零，实际上我们只需要满足 x 不 等于二就行了。那么我们看 x 大 于二，能不能推出 x 不 等于二呢？那么很显然是可以的，那大于二肯定是不等于二的， 也就是说， x 大 于二是 x 平方减四， x 加四大于零的充分条件。 反过来， x 不 等于二，能不能推出 x 大 于二呢？显然不能，因为 x 不 等于二， x 也有可能是小于二的，所以它不一定大于二。所以呢，这个反过来是不能推的。也就是说， x 大 于二， 不是 x 平方减四， x 加四大于零的必要条件。所以 x 大 于二是 x 平方减四， x 加四大于零的充分不必要条件。所以呢，正确答案选 a。 一 般情况下，如果 p 能推出 q， 那 么 p 是 q 的 充分条件。 如果 q 能推出 p， 那 么 p 是 q 的 必要条件。这是充分条件和必要条件的概念。 我们来看第九题，已知 p 四边形的两条对角线互相平分， q 四边形是平行四边形，现在问 p 是 q 的 什么条件？这道题呢，也是考察充分条件与必要条件的判断。 首先我们知道，如果四边形的两条对角线互相平分，那么四边形就是平行四边形，也就是说呢，由 p 可以 推出 q， 那 么反过来，如果一个四边形是四边，是平行四边形，那么他的对角线也是互相平分的，也就意味着 q 呢，也可以推出 p， 如果 p 能推出 q， q 也能推出 p， 那 么我们说 p 是 q 的 充分必要条件，简称得冲要条件，简称冲要条件。所以呢，这道题的正确答案呢？选 c。 第十题已知 y 等于 x 平方加 b， s 加 c， 若 y 小 于零的解集为 x 大 于负一小于三。现在让我们求 y 小 于五的解集。 首先我们看所给的 y 等于 x 平方加 b， s 加 c， 这是一个二次函数，由 y 小 于零，可以得到 x 的 平方加 b， x 加 c 小 于零， 这是一个一元二次不等式。一元二次不等式，它的解集是什么呢？如果 x 平方加 b， x 加 c 等于零，这个方程有两个实数解， x 一 x 二， 那么小 a 零的解集就是在 x 一 和 x 二之间。所以呢，我们可以写成 x 大 于 x 一 小于 x 二。 那么现在呢，它告诉我们它的解集为这个 x 大 于负一小于三，说明这个负一就是其中的一个解。那个三呢，也是这个方程的一个解。 所以这个方程有两个实数根，一个是负一，一个是三。我们可以把负一和三带入这个方程，求出 b 和 c。 比如我们先把负一带入，那么就是一减， b 加 c 等于零，我们再把三带入，那是九加三， b 加 c 等于零。 好，现在我们解一下这个 b 和 c， 我 们解这个方程组，其实它相当一个二元一次方程组，我们很容易解得 b 和 c 的 值， 我们可以把一式和二式相减，比如我用这个表示一式，这个表示为二式，那么二减一，我们看一下这个 c 呢，就消去了，这样的话，那个三 b 减啊，负 b， 这是四 b 啊，四 b 呢，加上个八等于一个零。所以呢，我们可以得到这个 b 实际上是等于一个负二， 我们再把 b 等于负二带入进去，那就是一加二加 c 等于零，所以呢，这个 c 是 等于个负三， 我们求出 b 和 c 的 值，再带入这样一个不等式， y 小 于五，那就是 x 的 平方，所以这个 b 和 c 呢，我们把这个数直接带入减二， x 减三小于五，我们把五移过来，减去五小于零，我们进一步的化解， x 平方减二， x 减八小于零。好，我们现在需要解出这个不等式的解集，我们要解这个不等式，首先把它作为方程来求一下，看它是否有两个实数根， x 平方减二， x 减八等于零， 我们解这这样一个一元二次方程，我们可以得到这个，用这个十相乘法 来进行分解，我们可以这个负八呢，可以分解成负四乘以二。所以呢，这个方程两根，一个是 x 等于个四啊，一个是 x 等于个负二 小于零，所以这个 e x 不 等式呢，也是小于零，它的解集还是在两根之间，除以负二是一个小根，四是一个大根，所以呢，它的解集应该是 x 大 于负二小于四。所以正确答案呢，是选 c。 一般的一个一元二次不等式 a， x 的 平方加上个 b， x 加 c， 如果是小于零，注意前提条件是这个二次函数 a 得大于零。 在这个条件下，如果作为方程有两个实数根的话，我们得到它的解集就是在两根之间，其中 x 一 呢是小根， x 二是大根， 那如果这个数字是大于零的话，那么它的解集是什么呢？对，它的解集是在两根之外， x 小 于小根或 x 大 于大根， 所以呢，就是解集是 x 小 于 x 一 或 x 大 于 x 二。所以我们要解一个 一元二次不等式。首先要看这个一元二次方程它的解的情况，根据解的情况写出已知正实数 x， y 满足 x 分 之一加上 y 分 之三等于一。现在让我们求 x 加 y 的 最小值。 首先我们看这个正实数，这个条件说明呢， x 是 大于零， y 呢也是大于零的， x 分 之一加上 y 分 之三等于，这是我们一致的一个等式。现在让我们求的 x 加 y 的 最小值。对于这类问题，我们常谈的方法是把这个 x 加 y 给它乘以个一， x 加 y 乘以个一呢，这个一呢，我们用所给的这个等式里边左边这一部分来进行替换， x 分 之一加上个 y 分 之三。 好，然后我们把它展开， x 乘以 x 分 之一呢是一， y 乘以 y 分 之三是三，所以这有个四， 然后是加上它俩相乘是 x 分 之 y， 然后再加上它俩相乘是 y 分 之三 x， 在这个时候，我们可以利用基本不等式的性质来求它的最小值，然后再加上四，所以呢，它大于等于四，加上耳背的根号下，它两个的乘积那是三。 然后我们还得知道什么时间取得等号，当且仅当 x 分 之 y 等于 y 分 之三 x， 并且呢， x 分 之一加上个 y 分 之三等一个一，这个时候呢取得等号， 因为这是一个选择题，我们没有问你什么时间取得等号，所以一般情况我们算到这里，这个就是它的最小值。所以呢，正确答案，选 c。 这道题呢？正确答案，选 c。 这道题主要是考察基本不等式的性质以及它的简单应用。一般情况下，我们知道 a 的 平方加 b 的 平方大于等于二， ab 什么时间取得等号呢？当且仅当 a 等于 b 的 时候取得等号。如果 a 和 b 都是正数，在这个条件下，那么我们有 a 加 b 大 于等于儿倍的根号下， ab 取得等号的条件也是 a 等于 b。 我 们常用这样的简单的性质来求最大值或者最小值问题，但是我们还要知道，基本不等式实际上是二。分之 a 加 b 大于等于根号 ab， 而我们用的比较多的其实是这个，这个条件呢，也是得满足， a 大 于零， b 大 于零，我们在利用这些不等式的时候，首先要检验这些条件是否满足。 来看第十二题。设 ab 属于实数，且 a 小 于 b 小 于零，现在给出四个不等式，问我们正确的是哪些？ 对于这个问题，我们可以采用特殊值代入法，因为条件里边满足的是 a 小 于 b 小 于零，所以我们不妨令 a 等于负二， b 呢等于负一。 我们首先来看第一个， a 方小于 b 方， a 等于负二，那 a 的 平方呢？是四， b 的 平方呢？是一，很显然，不满足 a 方小于 b 方，所以一是错误的，这个时候呢，我们可以先给他排除掉两个选项， 我们再看二， a 减 a 分 之一小于 b 减 b 分 之一，那 a 呢？我们知道是负二啊，负二呢，减去除以 a 分 之一，是负二分之一，所以加上二分之一，这个很显然它等于个负的二分之三。 b 减 b 分 之一啊，我们这个 b 呢，它是负一，减去 b 分 之一还是负一，所以相当于加上个一，这个数字呢，很显然它是零。 负二分之三很显然是小于零的，所以第二个是正确的。 我们再看第三个，二分之 a 加 b 大 于根号 ab， 因为 a 和 b 都是负值，这个我们不用带入检验也能看出，这个很显然是错误的。 二分之 a 加 b 呢，是负值，而根号 ab 呢，它是正值，左边是负，右边是正，所以不可能乘以大于号，因此三也是错误的。 好了，三是错误了，那可以把 b 也排除了，那么第四个肯定是正确的。你看 a 分 之 b 加上个 b 分 之 a 大 于二，我们代入数去验证也可以。其实用基本不等式也可以证明，因为 a 和 b 呢，是不能相等的，所以这个等号它也是不成立的，因此正确答案呢，是选 a。 对于这样的不等式的判断问题，我们既可以直接去求解，也可以用特殊值带入进行检验。直接求解呢，有一定的难度，我们用特殊值带入这种方法可以快速的进行求解。 第十三题，将这个几何用列局法进行表示。几何的表示方法有两种，一种是描述法所给的这个几何，其实呢就是描述法， 现在我们要用列局法把它表示出来， 那么列积法呢，也是几何表示的一种形式。所谓列积法，就是把这个几何中的所有元素给它列起出来，放到一个花括号范围内。 首先我们要看前面那个条件， s 属于 n， n 是 自然数集，后面这个条件四除以四减 x 也是属于自然数集。 也就是说，这个 x 需要满足什么条件呢？ x 是 自然数，四除以四减 x 也得是自然数。自然数呢，我们知道最小自然数是零，所以我们从零开始，当 x 等于零的时候， 四减四，哎，四除以四减 x， 很 显然它是一啊一呢，很显然也属于自然数，所以 s 等于零是符合的，所以这个里面有一个零的元素。 x 一个一的时候， 那么这个数就变成了三分之四，那三分之四很显然它不符合条件。 x 等于二， x 等于二的时候呢，这个数字变成了四除以二，所以呢，结果是二，那二呢，很显然也是自然数，所以二也符合条件。 你再看三， x 等于个三的时候，这个数字就变成了四除以一，那很显然还是四， 那四呢，很显然也是自然数，所以呢，三他也是这个几何中的元素。 当 x 等于一个四的时候，那么这时候这个分母呢，就变成了零，这个数的无异，很显然就不符合这个条件。无异怎么能属于自然数呢？所以这个时候就不符合条件。你看，当 x 大 一次的时候， 这个分母呢，就变成了负数，而分子是正数，整个式子就变成了负数，那负数肯定也不是自然数，所以当 x 大 于的时候，就没有符合条件的 x 了。因此符合条件的 x 只有零二、三。我们把它放到这个花括号内，把它列出来，就是我们所填空的这个答案。 这道题呢，主要是考察几何的表示方法与列减法，其实呢，就是把所有的元素都给它写出来，放到这个花括号内，用几何表示就行了。 我们来看第十四题，设几何 a， a 中的这个元素 x 满足的条件是 x 平方减三， x 小 于零。几何 b x 满足 x 小 于 a， 若 a 交 b 等于 a， 现在让求 a 的 取值范围。对于这类问题，我们采用方法是首先要对每个几何进行化简，其中这个 b 呢，已经比较简单了啊，没有什么可化简的，主要看 a， a 里边这个式子，它其实是一个一元二次不等式。我们要解这个一元二次不等式方法是首先把它当成一个方程， 这些个当成一个二次方程来解，我们很容易求出它的两个根，一个是一，一个是二， 小于零在两根之间。所以呢，这个 a 几何里边的 x 的 取值范围是 x 大 于一，小于二。 另外我们要注意这个条件， a 交 b 等于 a， 前面我们已经说过这个条件，其实它等价于 a， 是 b 的 子集，也就是 a 包含于 b。 那么我们要求 a 的 取值范围怎么求呢？我们可以画出数轴，通过数轴进行分析。好，首先我们画出数轴 x 大 一小于二，这是几何 a 中的元素，我们这个不带等号，所以呢，我们都画成这种圈的形式，这个代表一，这个代表二，大一小于二呢，在一和二之间。 现在我们要求 a 包含于 b， 而 b 中的元素满足的是 x 小 于 a， 所以呢，这个 a 呢，应当在二的右边，所以在这个地方小于 a 就 在 a 的 左边， 这个是几和 a， 这个呢是几和 b， 我 们要把这个几和 a 呢包含在这个几和 b 内。很显然，我们看这个 a 应当满足的条件， a 呢，得大于等于二。 所以呢，这个结论我们填上去， a 的 取之范围就是 a 呢大于等于二。 这道题其实主要是考察几何的运算和几何之间的包含关系。对于这类的不等式有关的问题，我们常采用数轴分析法。 我们来看第十五题，若命体存在 x 除以二， x 平方加 m， x 加四，小于零是假命题。现在让我们求实数 m 的 曲范围。 首先我们要明确这个符号，它表示的是存在，与之相对应的这个符号表示的是任意。 这里边呢，我们看存在 x 属于 r， 使这个数字小于零是假命题，就说明不存在让它小于零的这种 x。 也就是说对仁义的 x 属于 r。 这个式子呢，都小于零，那都小于零，就说明 x 平方加上个 m， x 加四，它是大于等于零的。 我们怎样限制这个 m 的 取值范围呢？首先我们把这个数字和二次函数联系起来， y 等于 x 平方，加上个 m， x 加四。我们勾到这样一个二次函数，它大于等于零，说明这个二次函数 在 s 轴的上方，或者和 s 轴呢相切， 也就是说这条抛物线它开口向上，并且呢和 x o 要么没有交点，要么只有一个交点。也可以说这个二次方程 x 平方加 m， x 加四等于零， 没有实数解，或者有一个实数解，所以我们只需要限制它的判别式， 他的判别式小于或等于零就行了，小于零就和 s 轴呢，没有交点，因为这个方程没有实数解，等于零就会有一个实数解，这个也是符合条件的 好判别式呢。我们知道等于 b 的 平方减四， a、 c， b 的 平方就是 m 的 平方，减去四 a、 c， 这个 a 呢是一，所以是四乘以四就是十六， 就是它小于等于零。好，我们把它当成一个二次不等式来解 m 平方。如果是减十六等于零，我们知道那 m 是 对应的，是正负四 好，小于等于零是在两根之间，所以 m 的 取的范围是大于等于负四小于等于四， 这个取的范围我们可以用区间来表示，用区间表示就是负四到四。所以呢，这个答案我们可以填负四到四这样一个范围。 这道题主要是考察一个是命题真假的判断。第二是二次不等式，二次函数和二次方程之间的关系，我们可以借助图像分析法来得出结论。 我们来看第十六题，若 a 大 于零， b 大 于零，且 ab 等于 a 加 b 加三，现在让我们求 ab 的 取值范围。 首先我们看在 a 大 于零， b 大 于零这个条件下，我们可以利用基本不等式找到 ab 和 a 加 b 之间的关系。 一般情况下，我们知道在 a 和 b 都是正数这个基础上， a 加 b 是 大于等于 r 倍的根号 ab 的。 所以呢，这个 ab 我 们看它等于个 a 加 b 加三，那就意味着它大于等于二倍的根号 ab， 再加上个三， 稍微乘以一下，实际上就是 ab 减去二倍的根号 ab 减三大于等于零， 我们如果令根号 ab 等于个 t， 那 么这个数字呢，就可以变成 t 的 平方减二， t 减三大于等于零， 这样我们得到的实际上是一个二次不等式。在这里我们需要注意，这个 t 呢，一定是一个正数。 好，我们解这样一个不等式，我们仍然可以首先把它当成二次方程来解， t 的 平方减二， t 减三 等于零。如果我们解这样一个不等式，我们可以得到这个 t 呢，是等于一个负一或三， 所以大于等于零是在两根之外，所以得到是 t 小 于等于负一啊，或 t 大 于等于个三。 但是呢，刚才我们说了 t 呢是大于零的，所以我们把 t 小 于等于负一，它舍去，只保留 t 大 于等于三， t 大 于等于三，实际上就是根号 ab 大 于等于个三， 那么我们要求的 ab 的 取值范围再平换一下， ab 大 于等于九，所以这个大呢，我们可以填 ab 大 于等于九。当然，我们也可以用 区间的方法来表示这个取值范围可以写成九到正无穷。 这道题呢，实际上也是考察基本不等式和二次不等式，其实呢，带有一定的综合性，也具有一定的难度。 第十七题，已知命题 p 实数 x 满足 x 大 于 a 小 于四， a， 其中 a 是 大于零的命题， q 实数 x 满足 x 大 于二小于四。第一小题， 若 a 等于一，问 p 是 q 的 什么条件？这道题呢，很显然是考察充分条件与必要条件的判断的。 我们首先把 a 等于带入进去，这个时候呢，我们看这个 p 呢，是 x 大 于一小于四， 而 q 呢，是满足的 x 大 于二小于四，我们看 u p 能不能推出 q 啊，很显然是不能的，因为 x 大 于一，我不能得到 x 大 于二，你比如 x 等于一点五，也满足 p 这个条件，但是不满足 q 这个条件，所以 p 不 能推出 q， 那么 q 能不能推出 p 呢？很显然是可以的，你看后边 s 小 于四，与这个完全一样，所以呢， 后边没问题。那么前面 s 大 于二，那很显然， s 大 于二，是可以推出 s 大 于一的，所以 q 可以 推出 p， 这样的话， p 不 能退出 q， q 能退出 p， 那 么 p 是 q 的 什么条件呢？对，必要不充分条件，所以 p 是 q 的 必要不充分条件。 其实这类问题，我们还可以采用几何分析法。我们把 x 大 一小于四，放到一个几何内，我们不妨来记为几何 a， x 大 一小于四， 哎，把这个呢，当成几和 b， 几和 b 呢？ x， 它的范围大于二小于四，我们来分析它们之间的包含关系。我们画出数轴， 在数轴上来找到它们的包含关系。我们看几和 a， 我 们从一到四， 所以大一小于四，这个是几和 a， 那 几和 b 呢？从二到四这个地方是二，从二到四，那这个是几和 b。 很 显然，这个 b 呢，是 a 的 分子级。 一般情况下，我们有小集合对应的这个命题，可以推出这个大集合对应的命题。 实际上我们这个 b 呢，它对应的就是 q 啊，这个 a 呢，对应的是 p， 也就是 q 能推出 p， 但是 p 呢，不能推出 q， 所以 p 是 q 的 必要或充分条件。 我们再看第二小题，若 p 是 q 的 必要条件， p 是 q 的 必要条件，就意味着什么呢？ q 能推出 p， q 能推出 p 呢？我们对应的这个几何这个关系，比如说我们把它看成个几何 c， x 大 于 a 小 于四 a， 刚才说了小集合推大集合， q 能推出 p 呢，实际上也就是对应的这个几何 b， 它包含于这个几何 c 的 范围内，因为它没有说是否充分，所以呢，我们这里面只要有这种包含关系就行了。我们画出数轴，我们看几何 b 呢，是大于二，小于四 啊，大于二小于四。好，几何 c 是 大于 a 小 于四 a， 所以 我们得把这个 a 和四 a 呢，得把这个二到四这个范围给它包含进去，这是 a， 这个地方是四 a， 我 们看，要想达到这样一个结果，我们首先要满足。你看 a 呢，得在二的左边，当然等于二也行， a 小 于等于二，并且呢，这个四 a 得大于等于四，就是四 a 呢，在这个四的右边。好，我们解一下这个范围， a 小 于等于二，这个 四 a 大 于等于四，我们可以得到这个 a 呢，是大于等一个一，所以呢， a 的 取值范围是 a 大 于等于一，小于等于二。好，我们来写一下具体的解体步骤。 第一小题呢，我们首先把这个 a 等于一代入，可以得到这个 p 呢，对应的范围是 s 大 于小于四，我们用几何 a 来表示这样一个范围，同样 q 呢，我们用几何 b 来表示这个范围， 因为 b 是 a 的 真字迹，刚才我们说了分析它们的包含关系，所以呢， p 是 q 的 必要不充分条件，也就是 b 呢，它真包含于 a， 那说明由 q 可以 推出 p 啊，有 p 呢，不能推出 q， 我 们一定要注意是由小可以推出大，这个小和大呢是相对的，我们实际上就理解为它们之间的包含关系。第二小题， 我们还用几何 a 来表示， x 大， a 小 于四 a， 就 刚才我们所写的这个几何 c 还是一样的。 然后 q 呢，是 x 大 于二小于四啊，用这个几何 b 来表示，因为 p 是 q 的 必要条件，所以 b 是 a 的 子集。 我们通过画竖轴，我们看这个几何 b 呢，是从二到四这个范围内， 要想使得 b 包含 a， 这个 a 呢，是从 a 到四 a 这个范围， 所以呢，我们需要满足的条件是，当然这个 a 呢，大于零是一个前提，所以 a 大 于零，小于等于二，并且四 a 得大于等于四，我们得到 a 大 于等于一，小于等于二，这就是 a 的 取值范围。大于等于一，小于等于二，这是这道题的解体步骤。 我们来看第十八题。第十八题呢，实际上让我们证明两个不等关系，前提条件， a 大 于 b 大 于零，并且 m 小 于零。我们要想证明这种不等式，主要是采用不等式的性质来进行证明。 首先我们看 a 大 于 b 大 于零这个条件下，我们很容易得到 a 的 平方，是大于 b 的 平方的。 a 大 于 b 大 于零，那么我们很容易得到。就 a 方大于 b 方， 同样在 a 大 于 b 这个条件下，而 m 是 一个负值，两边同时乘一个负数，乘以同一个负数 m， 那么这个不等式呢，是要变号的，所以大于号要变成小于号，也就是说他其实可以得到 b m 大 于 a m 的 啊， a 方大于 b 方， b m 大 于 a m， 然后我们再把这两个式子相加，就得到了 a 的 平方，加上个 b， m 大于 b 的 平方加上个 am 啊。第一小题，我们主要是利用了不等式的基本性质。 我们再看第二小题，第二小题的证明其实也是利用不等式的基本性质。首先我们还是利用所给的这个条件。首先我们想证明这个 a 分 之一和 b 分 之一的关系， 因为这个 a 是 大于 b 大 于零的，那么这个 a 乘一个 b， 很 显然也是大于零的， 那么 ab 分 之一肯定也是大于零的。所以呢，我们把这个数字两边同乘一个 a 分 之一。好，我们看这个 a 乘一个 ab 分 之一， 很显然它大于 b 乘一个 a， b 分 之一，因为 a b 分 之一呢，是一个正数不等式的，两边同乘一个正数是不变号的。 好，这个数呢，我们再少做整理啊，这个一消之后变成了个 b 分 之一，这边呢，同样也这个一消之后变成了 a 分 之一，其实呢，也就可以得到这个 a 分 之一，其实是小于 b 分 之一的。 在这个条件下，我们再来看这个 m 呢，它是一个负数不等式的，两边同乘一个负数，这个不等号要变号的，所以 a 分 之 m 就 大于 b 分 之 m， 这就证明了我们所要的结论。我们来看一下具体的解体步骤。 因为 a 大 于 b 的 平方，大于 b 的 平方， 因为 a 大 于 b， 并且 m 小 于零，所以 a m 小 于 b m， 也就是两边同时乘一个负号啊，乘乘一个负数，这个不等号呢，要由大也号变成小也号，所以呢，我们就可以知道 b m 大 于大于 a m， 这两个是等价的。 然后我们把这两边相加，其实呢，也就是这个数 a 方大于 b 的 平方 和 b m 大 于 a m 两边分别相加，我们就得到了所要证明的这个结果。 a 的 平方加上 b， m 大 于 b 的 平方加上 a m。 第二小题，我们首先来证明 a 分 之一和 b 分 之一的大小关系，因为 a 大 于 b 大 于零，所以 ab 是 大于零的，当然，这个 ab 分 之一也是大于零的。 我们在 a 大 于 b 这个条件下，两边分别乘一个 a、 b 分 之一，这个不等式呢，是不变号的。 少做整理，我们就得到 b 分 之一大于 a 分 之一。然后，因为 m 是 一个负数，两边同时乘一个负数 m， 这个不等式呢，要变号的，所以我们就得到 a 分 之 m 大 于 b 分 之 m。 这道题主要是考察不等式的证明，我们主要是利用不等式的性质进行证明。另外呢，这道题其实也可以采用作差法进行证明。 我们要证明 a 的 平方加 b， m 大 于 b 的 平方加 am， 我 们可以证明 a 的 平方加上个 b m 减去个 b 的 平方加 am 大 于零，这也是可以的。我们看作差之后，我们把 a 的 平方和 b 的 平方放在一起， 好，再加上个 b m 啊，减去个 am， 好， a 的 平方减 b 的 平方呢，可以分解因式，利用平方差公式， a 加 b 乘以个 a 减 b。 好， 这里边呢，可以提取个 m， 我 们干脆提一个负 m， 提一个负 m 呢，就变成了 a 减 b。 好，我们这个时候呢，再提及共赢，是 a 减 b 啊， a 减 b， 这个时候呢，就剩于了 a 加 b 减 m， 因为 a 是 带 b 带零的，所以 a 减 b， 这是一个正数。 好， a 加 b， 很 显然也是正数，因为 ab 都是正数， m 是 小 a 零的，所以负 m 呢，也是正数，这也是个正数，所以这也是个正数。因此这个数字整体是大于零的。好了， 它两个的差大于零，我们就可以知道， a 的 平方加 b， m 大 于 b 的 平方加 am。 同样，第二小题也可以采用做差法。你看 a 分 之 m 减去个 b 分 之 m， 等于什么呢？我们提起个 m， 这里就变成 a 分 之一，减去个 b 分 之一，我们进行通分， m 乘一个这个通分之后，里边是 ab 分 之 b 减 a。 好，我们条件告诉我们， m 是 一个负值。哎，这个是一个负值，这个 ab 呢？很显然它是一个正数。因为 ab 都是正数，所以乘积也是正数。又因为 a 大 于 b 的， 所以 b 减 a， 这是一个负数。 好，我们看一个正的，一个负的，一个负的，两个负的一正，所以很显然，这个结果是正数。 a 分 之 m 减 b， b 分 之 m 大 于零，所以我们很容易得到 a 分 之 m 大 于 b 分 之 m， 这是用作差法，也可以证明这个结论。 这是主题练习的内容。主题练习整体来说比较基础，我们只要认真对待这部分，其实并不难。
266高中数学赵老师
01:35:45查看AI文稿AI文稿我们来看第一题，让我们求这个负数二加 i 分 之一减 i 的 虚部，这里边呢， i 是 虚数单位， i 是 虚数单位呢，就意味着 i 的 平方等于负一。 我们要想求出它的虚部，首先要把它转化为 a 加 b i 的 形式，其中 a 和 b 呢，都是实数， 我们采用的方法是对这个负数，它的分子和分母同乘一个分母的共轶复数。你看这个二加二，它的共轶复数呢，是二减二 啊，分母乘一个二减二，那分子呢，也给它乘一个二减二 好，然后呢，我们对它进行计算。首先我们这个分母呢，可以利用平方差公式进行计算，它得到的是二的平方减去二的平方， 而分子呢，我们只需要展开进行计算就行了。我看一乘以二，这是二啊，一乘以负 i， 这是负 i 啊，减去 i 乘以二，那就减二 i， 然后再加上个，你看这个 i 的 平方加上个 i 的 平方，然后呢，我们把 i 的 平方换成负一，我们看分母， i 的 平方是负一，二的平方减负一，所以这是五。 我们再看分子，这个是二，这个 i 的 平方呢，是负一，所以他俩合并之后，结果是一啊，这个负 i， 这个负二 i， 所以 是负三 i。 也就是说这个负数呢，可以写成五分之一 减五分之三 i 的 形式。这样呢，我们把这个复数就化成了 a 加 b， i 化成 a 加 b i 之后，我们要知道这个 a 呢，就叫实部， a 叫实部，而这个 b 呢，它叫虚部， a 和 b 分 别叫实部和虚部。注意，这个虚部呢，是不包括这个 i 的， 所以含有 i 的 先给它排除。 在这里面我们需要注意是五分之一减去五分之三二，我们把它看成五分之一加上负五分之三二，所以它的虚部实际上是负五分之三。因此正确答案呢，是选 b。 对于负数的化简，我们一般情况下是给它乘一个分母的共轭负数。所谓共轭负数呢，就是 a 加 bi， 它的共轭负数实际上就是 a 减 bi。 好 啊，分母乘一个 a 减 bi， 那 当然这个分子也给它乘一个 a 减 bi， 乘完之后，这个分母呢，我们利用平方差公式可以得到，这是 a 的 平方加上个 b 的 平方，其实就是 a 的 平方减去 b， i 的 平方，而 i 的 平方呢，是负一，所以就是 a 的 平方加 b 的 平方。 然后这个分子呢，也要进行计算。计算的时候，我们把含有 i 的 平方的这个式子里面的 i 的 平方都换成负一，你看 a 乘以 c， 而如果它俩相乘，你看是减去 b、 d， i 的 平方， 而这个 i 的 平方呢，是负一，所以就是 a， c 加上个 b、 d， 然后我们看 a 乘以 d， i， 再加上个 a， d， i， 我 们给它含有 i 的 放在一起，然后减去 b， c， i 减去 bc。 哎，这是我们的化简的结果， 如果能够把它化成 a 加 b i 的 形式，这个负数问题通常都能解决。 我们来看第二题，若负数 z 满足 z， i 等于一加 i， 则下列说法正确的是 好，现在给出四个选项，让我们进行判断。对于这类问题呢，我们首先要对 z 进行化简整理，这个条件告诉我们， z i 等于一个一加 i， 我们可以把这个 i 呢给它除过去，所以 z 就 等于一个 i 分 之一加 i。 好 了，我们知道 i 的 平方等于负一，所以呢，我们给它分子分母，同乘个负 i， 就 变成负 i 的 平方，分之负 i 减 i 的 平方，因为 i 的 平方等于负一，所以这个分母呢， 其实就是一好。这里边它的分子。我们看一下，这个负 i 的 平方呢，我们告诉也是一， i 的 平方是负一，所以负 i 的 平方是一，所以这就变成了一减 i。 也就是说这个 z 呢，是等一个一减 i。 我 们看 a 选项，他说 z 的 虚部为一， 如果 z 等于 a 加 b， i， a、 b 都是实数，在这个条件下，这个 a 呢，就是它的实部， b 呢，叫做它的虚部。很显然，这里边的虚部应该是负一，所以 a 选项是错误的。 同样，我们再看 b 选项， z 的 共讷负数是一减二，如果 z 等于 a 加 b， 那 z 的 共讷负数是啥呢？是 a 减 b， 而这里边呢， z 是 等于一个一减二，所以这个 z 的 共讷负数应该等于啥呢？也应当等于一加二， 所以 b 是 错误的。再看 c， z 对 应的点，在第二项线，一般情况下，如果 z 等于 a 加 b i， 那 么它对应的点的坐标是 ab 好， z 等于一减二，所以它对的坐标是一负一，很显然在第四象限，所以 c 也是错误的。我们看 d 选项， z 的 模等于根号， 一般情况 z 等于 a 加 b， 那 么 z 的 模我们用绝对值来表示，等于什么呢？可以等于根号下 a 的 平方加上个 b 的 平方，就是根号下实部的平方加上虚部的平方， 所以这个 z 的 膜，它应当等于什么呢？等于根号下一的平方加上负一的平方，所以是一的平方加上个负一的平方，所以呢，就等于一个根号二， 因此 d 选项是正确的，所以呢，答案选 b。 这道题呢，主要是考察负数的简单计算和负数的几何意义，以及这个负数的模体的求解，所以呢，我们掌握这相关的一些概念。这道题呢，也属于基础题， 我们来看第三题，一只 o 是 边长为根的正方形， a、 b、 c、 d 的 中心。 现在让我们分析 a、 o 和 ob 向量是什么的向量。首先我们根据条件来画出一个图形， 结合图形，我们来分析 a、 o 和 ob 这两个向量。根据条件，这个正方形的边长是根号二， 所以它的对角线长实际上是等于二。而 a、 o 和 ob 向量，我们看它的长度其实都等于对角线的一半，所以 a、 o 的 长度是一， o、 b 的 长度呢，也是一。我们知道长度等于一的响亮，我们把它叫做单位响亮，所以 a、 o 响亮和 o b 响亮都是单位响亮，所以呢，正确。答案，选 b。 从图上我们可以看出，这两个向量很显然不是贡献向量，贡献向量也叫平行向量，而这两个向量呢，其实我们看这个 o 点是 a、 o 向量的中点，是 ob 向量的起点，很显然它俩是不贡献的， 当然也不是相等向量。什么样的向量是当相等向量呢？得模长相等，并且方向相同，这两个向量的长度都是一，但是方向显然是不一样的，所以 c 和 a 都是错误的。 我们 d 选项中点相同的响亮，我们看 a、 o 响亮，它的中点呢是 o， 而 ob 响亮，它的中点呢是 b， 显然中点不同，所以 d 也是错误的。 这道题呢，主要是考察平面向量的一些简单概念。我们一定要知道什么是单位向量，什么是相等向量，什么是共线向量。 我们来看第四题。在三角形 abc 中， m 是 bc 的 中点，设 ab 向量等于 a 向量， ac 向量等于 b 向量。 现在让我们用 ab 向量表示 bm 向量。首先我们根据条件来画出一个图形， 我们结合这个图形来进行分析。在三角形 a、 b、 c 中，其中这个 ab 向量是 a 向量，而这个 a、 c 向量是 b 向量， m 呢，是 b、 c 的 终点，所以这个 b、 m 向量，它实际上等于 b、 c 向量的一半，所以等于二分之一 b、 c 向量。 我们只需要求出 bc 向量就可以了。我们看 bc 向量呢，可以写成 ac 向量减去 ab 向量， ac 向量就是 b 向量， ab 向量呢，就是 a 向量，所以它等于个二分之一 b 向量减去 a 向量。好少做整理我们就可以得到这个 b、 m 实际上等于什么呢？等于负的二分之一 a 向量， 加上个二分之一 b 向量。当然呢，也可以直接写成二分之一 b 减 a 向量。我们对照选项，答案应该是 d。 这道题呢，主要是考察向量的向量的向量运算。其实这道题呢，主要是考察了向量的减法运算。注意，我们首先得知道 bc 等于 ac 减 ab， 然后 我们还要知道，因为 m 是 中点，所以 b m 呢，等于 bc 的 一半，就是二分之一 bc 向量，所以这个呢，相当于是向量的数值匀算。 我们来看第五题，在三角形 abc 中，内角 abc 的 对边分别为， abc 已知 c 等于二， b 等于四， a 等于二倍，根号七。现在让我们求三角形 a， b， c 的 面积， 我们要求出三角形 a， b， c 的 面积，只需要利用三角形的面积公式，面积公式是二分之一 a， b， c， n， c， 当然也可以写成二分之一 a， c， c， n， b 啊，也可以写成二分之一 b， c， c， a。 从这个公式我们可以看出，要想求出这个三角形的面积，首先我们得出其中一个角的正弦值， 条件中已经给出来三角形的三边的长，我们可以利用余弦定律来求出一个角的余弦值。 从条件我们可以看出 c 等于四，这个 b 呢？等于二， a 呢？等于二倍的根号七。 我们不妨来求一下 cos a 就是 a 的 余弦值，注意余弦定零。我们再熟悉等于什么呢？得二， b， c 分 置 b 方，加上个 c 方，减去个 a 方。 好，我们把数据代入二乘以二，乘以四，这个分子是 b 的 平方是四， c 的 平方是十六，减去 a 的 平方二十八，结果是多少呢？负二分之一。 我们又知道三角形的内角，它的范围是从零度到一百八十度， 在这个范围内，我们知道 cosine 一 百二十度等于负二分之一，所以这个 a 角其实等于一百二十度， 哎，我们还得知道它的正弦值 cosine 一 百二十度，哎，其实等于 cosine 六十度等于多少呢？等于二分之根号三。 好，我们代入面积公式，二分之一， b， c， c， a 二分之一乘以 b 是 二， c 是 四，再乘以 c， a 二分之根号三。 好，最终结果是多少呢？我们很容易算出来，等于我们把它两个计算，我们看它俩可以消了是吧，正好是一四乘以二分之二三，所以结果是二倍的根号三。所以呢，正确答案选 b。 这道题呢，主要是考察三角形的面积公式和余弦定律。注意，余弦定律， cosine a 等于二 bc 分 之， b 方加 c 方减 a 方。 那么如果让求 b 角，那 b 角的余弦值，那用 cosine b cosine b 等于什么呢？得二 a、 c 分 值， a 方加 c 方减 b 方。如果让你求 cosine c 也是可以求的，等于二 ab 分 值， a 方加 b 方减 c 方，这是余弦定律。其实呢，也是余弦定律的简单变形。我们知道三角形三边，可以利用这个结论来求出角的余弦值。 我们来看第六题，在三角形 a、 b、 c 中，内角 a、 b、 c 的 对边分别为 abc。 已知 cosine a 等于五分之四， b 等于三分之派， a 等于五分之六。现在让我们求 b 变得长。 这道题呢，相当于我们知道的两个角，其中这个 a 呢，它不是特殊角，知道它的余弦值啊。这个 b 角等于三分之拍，也就是六十度， a 边等于五分之六，知道两个角和一个边，让我们求另一个边长。我们通常利用正弦定理，这正弦定理是这样的， a 比上 c n， a 等于 b 比上 c n b， 然后还等于 c 比上 c n c 啊，当然也等于这个三角形 a、 b c 的 外接圆的直径二 r。 这里边呢，我们知道的有 a 角， b 角 a 边，让我们求 b 边。所以呢，我们利用 a 比上 c、 n、 b 就 可以了。 我们首先得根据 cosine a 等于五分之四求出 sin a， 因为在三角形里，边角的取之范围是零到派， 在这个范围内，正弦值，它的正弦值一定是正值，并且同角三角函数的关系式。我们得清楚， ca 的 平方加上个 cosine a 的 平方等于一个一， 所以呢，我们得到这个 c a 等于根号下一减 cosine a 的 平方。好，我们把这个数据带入，很容易计算出这个结果是五分之三。 现在呢，我们把这个数据带入进去， a 比上 c a a， 那 就是五分之六， 比上 c n a， 那 就是五分之三，等于啊！ b 比上 c n， b 就是 c n 三分之 pi， 我 们知道 c n 三分之 pi 就是 c n。 六十度，它等于多少呢？等于二分之根号三， 而五分之六除以五分之三，这个结果是二，五分之六，很显然是五分之三的二倍。所以这个 b 就 等于个二分之根号三，再乘一个二，所以呢，等于根号三， 因此正确大呢选 a。 在 三角形中，如果我们知道两个角，一条边，让我们求另一条边。我们通常利用正弦定理，我们得知道正弦定理的一般形式， 如果我们知道角，它的余弦值，求它的正弦值。通常利用同角三角函数的基本关系式，有 c a 方，加上 cos a 方等于一，我们可以得到 c a 等于根号下一减 cos a 的 平方。 在三角形中，每一个角的正弦值其实都是正值，所以正弦值呢，没有负值。 我们来看第七题，已知向量 a 与 b 的 夹角为六十度，且 a 的 膜等于 b 的 膜。现在让我们求向量 a 与向量 a 加 b 的 夹角。 对于这类问题呢，我们可以画出图形，结合图形来分析我们所要的结果。我们看，在这个图形中，我们假设 o a 向量就是 a 向量， o b 向量就是 b 向量。好，我们以 o a 和 o b 为邻边做平行四边形，我们知道平行四边形的对角线，平行四边形对角线就是 a 加 b 向量， 根据条件， a 的 模等于 b 的 模，所以这个平行四边形呢，其实是一个菱形。 并且还知道 a 向量与 b 向量，它的夹角为六十度，也就是这个角是六十度。 而菱形呢，它有一个重要的性质，就是对角线平分相应的这个内角，所以这一个角是三十度，这边这个角呢，也是三十度。 而让我们求的是 a 向量与 a 加 b 向量的夹角，这个向量呢，就是 a 加 b 向量，就是 o c 向量， 这个 o a 向量呢，就是 a 向量，所以让我们求的角其实就是 a o c 这个角，我们可以看出这个角等于三十度。所以正确答案呢，选 d。 这是第一种方法，直接画出图形，得出结论。我们还可以采用直接计算的方法得出结论。 首先我们得知道向量的夹角公式， a 和 b 向量，它的夹角的余弦值等于什么呢？等于 a 乘以 b 除以 a 的 模， b 的 模 啊，这里边让你求的是 a 向量与 a 加 b 向量的夹角，所以我们求 a 向量与 a 加 b 向量夹角的余弦值，我们直接套公式，它等于什么呢？等于 a 乘以 a 加 b， a 乘以 a 加 b， 它的分母上是 a 的 模，乘以个 a 加 b 的 模， 我们要求出它的余弦值，需要求出 a 乘以 a 加 b 和 a 的 膜， a 加 b 的 膜。条件告诉我们， a 的 膜和 b 的 膜相等，我们不妨令 a 的 膜等于 b 的 膜等于一， 我们令它等于一。那么 a 乘以 a 加 b 等于什么呢？我们需要展开进行计算。 a 乘以 a 加 b， 我 们展开实际上就等于一个 a 的 平方， a 的 平方呢，也等于 a 的 模的平方， 加上个 a 乘以 b， 我 们知道它是一。 a 乘以 b 呢，是 a 的 模乘以个 b 的 模乘以夹角的余弦值，而它的夹角是六十度，所以乘以个 cosine 六十度 好。 cosine 六十度等于二分之一， cosine 六十度等于二分之一。这个 a 的 膜和 b 的 膜，咱们都假设它是一的，所以这一部分就是 a 乘以 b 呢，整体实际上它等于二分之一的，因此这个结果等于二分之三。 我们这个 a 的 膜呢，咱就假设等于一了。我们需要算一下 a 加 b 的 膜。 怎样算 a 加 b 的 模呢？我们可以给它平方，模的平方就等于向量的平方，所以 a 加 b 的 模的平方就等于 a 加 b 符号的平方， 展开就等于 a 的 平方啊，平方也等于模的平方，加上个 b 的 平方，也就是 b 的 模的平方加上个二 ab， 我们知道这个 a 的 模呢，是一，我的平方也是一，同样这个也是一，所以它俩加在一块是二， 刚才已经算了， a 乘以 b 呢，是二分之一。二倍的 a 乘以 b， 所以 是一，因此结果是三，所以它的平方等于三，所以 a 加 b 的 模就等于根号三。 好，我们把这个求出的数据代入进去，分子二分之三，分母呢，是根号三。好。通过计算，我们知道结果等于多少呢？二分之根号三， 那么 cosine 多少等于二分之二和三呢？ cosine 三十度，所以这个加角就是三十度，所以正确答案呢？选 d。 这是我们用代数计算的方法求出结论。 通过对比，我们很容易发现第一种方法更加简单。 我们来看第八题，如图， ab 是 圆 o 的 一条直径， ab 呢，是这个圆 o 的 一条直径， ac 弧等于 cd 弧等于 db 弧， 也就是说 cd 是 这个半圆的三等分点。 现在问 o、 b 向量等于下列的一个向量。首先我们看 a 选项 ac 减 ad， 根据向量的减法运算，我们知道 ac 减 ad 其实等于个 dc， 那 b 选项里边是二倍的 ac 减二倍的 ad， 那 就是二 dc 啊，同样，这个 c 选项那是 cd， 哎，这是 cd 响亮啊。 d 选项呢，那就是二倍的 cd 响亮。 我们来看一下 dc 响亮和二倍的 dc 响亮。首先看 a 和 b 两个有没有和 o、 b 相等相等的。 如果我们连接 dc， 那 么我们从方向上可以看出， dc 的 方向和 ob 的 方向是相反的，所以它两个不可能相等。因此这个 a 和 b 都是不正确的 两个向量如果相等的话，首先它们的方向得是相同的。我们再看 c 和 d， c 选项里边是 c、 d 响亮， d 选项两个，呃，这个响亮的结果是二倍的 c、 d 响亮，我们从这个方向上可以看，它俩方向是一致的。 那么这个 o、 b 响亮，它的长度是等于 c、 d 的， 还是等于二倍的 c、 d 的 长呢？其实根据刚才这个我们的分析，这个 c、 d 呢，是一个半圆的 三等分点，我们知道一个半圆，它所对应的圆心角等于一百八十度。如果我们连接 o、 c 和 o、 d， 那 么这个圆心角就会分成三个六十度啊，这个六十度，这个六十度，这个也六十度。 所以我们可以看出 c、 o、 d 其实是一个等边三角形，也就是说，这个 c、 d 的 长其实是等于这个圆的半径，当然也等于 o、 b， 所以 c、 d 的 长就等于 o、 b 的 长 好， c、 d 和它的方向又一样，所以 o、 b 向量就等于 c、 d 向量，也就是答案是 c。 所以 这道题呢，正大选 c。 这道题呢，主要是考察向量的简单运算，当然也顺带的考察一下圆的基本性质。 我们来看第九题，三角形 abc 的 内角 abc， 它的对边分别为 abc， 若三角形 abc 的 面积为十二分之二三乘以 a 方加 b 方减 c 方。现在让我们求 c 角。 首先我们看条件里边出现的这样一个式子，在这个式子里边出现了 a 方加 b 方减 c 方，我们很容易想到余弦定律，而让我们求的是 c 角，所以呢，我们来回忆一下余弦定律。 cos 等于什么？ 对， cos 等于一个二， a， b 分 之 a 方加 b 方减 c 方， 所以这个 a 方加 b 方减 c 方，就等于二 ab 乘 c， 因此所给的这个数就可以换成十二分之根三，再乘一个二， ab 乘 c， 实际上也就是六分之根三 a、 b、 c。 另外呢，它说的是三角形 a、 b、 c 的 面积，所以我们再来回忆一下三角形的面积公式，面积等于什么呢？得二分之一 b c， c， a 也等于二分之一 a， c 啊， c， n、 b 当然也等于二分之一 ab， c、 n、 c。 因为这道题呢，是让求 c 角啊，所以我们很容易想到用 s 等于二分之一 ab， c、 n、 c， 它告诉我们这个就是三角形的面积，也就是面积和这个数字相等，所以它等于二分之一 a、 b、 c。 因为两边都有 a、 b， 所以 我们两边同时除一个 a、 b， 好 给它 a、 b 消掉， 再把这个四两边同时乘一个二，我们看左边就变成了三分之根号三倍的 cosine c， 右边就变成了 sine c。 如果两边再同时除以个 cosine c， 那 么左边就剩了三分之根号三，那右边就是 cosine c。 除以 cosine c， 我 们知道它等于 tanine 的 c， 也就是我们得到 tanine 的 c 等于三分之根号三。 在三角形里边，我们知道每一个角它的范围都是零到 pi 范围内的，在这个范围内，它念的多少等于三分之二三呢？对，它念的六分之 pi， 所以 这个 c 就 等于个六分之 pi， 用度数表示，其实就是三十度。所以的正确答案呢，选 d。 这道题主要是考察余弦定律和面积公式的综合应用，顺带的考察了一下三角函数的简单计算。 我们来看第十题是 m， n 是 两条不同的直线，阿尔法杯的伽马是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是。 首先我们看 a 选项，若 m 在 阿尔法内， n 平行于阿尔法，则 m 平行 n， 我 们不妨来画图分析它是不是真命题。假设这是平面，阿尔法 直线 m 在 r 内，直线 n 和 r 平行，我们从图上可以看出，这个 m、 n 呢，很显然是不平行的。其实这是一种意面关系， 所以 a 是 错误的。我们再看 b 选项， 阿尔法垂直于伽马，比特垂直于伽马，则阿尔法平行于比特。 也就是说两个平面都与伽马垂直，则这两个平面平行。我们也来画图分析一下，假设这个平面是伽马 好平面，阿尔法和伽马垂直，我们画出来。假如这是阿尔法好平面， beta 和伽马也垂直， 这是平面 beta。 从我们画出这个图形可以看出，这边的阿尔法和 beta 并不平行，所以 b 也是错误的。 我们再来看 c， 若阿尔法平行比特比特平行伽马 m 垂直阿尔法则 m 垂直伽马。 首先我们得知道，如果平面阿尔法和比特平行，阿尔法平行于比特 bear 呢，和伽马又平行。我们从图形上其实也可以看出，这个阿尔法和伽马其实是平行的。 在这个条件下，如果一条直线垂直于阿尔法，我们可以得到这条直线也垂直于伽马。 也就是说，一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以选项 c 是 正确的。我们再来看 d， d 选项中，若阿尔法贝特相交于直线 n， 并且 m 平行，阿尔法 m 平行贝特，我们也来画图分析。 假设这是平面阿尔法和贝特，我们画出来它俩相交的交线呢，是 n 好， 这是它的交线 n， m 和 n 平行， 我们可以看出这个 m 呢，其实也可以在贝特内，当然 m 也有可能在阿尔法内， 当然也有可能这个 m 和阿尔法、贝特都平行，但是我们不能直接得到 m 和阿尔法， m 和贝特一定平行，所以选项 d 也是错误的。因此这道题的答案呢，就选啊 c， 答案是选 c。 这道题呢，主要是考察空间线面关系的判断，我们可以通过画出图形来分析我们所要的结论。 第十一题如图，在直三棱柱 abc a 一 b 一 c 一 中，若 a、 a 一 等于个一， ab 等于 a、 c 等于根号二，这个 ab 呢，是根号二， a、 c 也等于根号二， b 一 c 等于二， b 一 c 一， 这个是二，那相应的这个 bc 呢？也是二。 现在让我们求一面之线 a、 c 与 b、 c 一 所成角的余弦值。 我们要想求出这个角的余弦值，首先要做出一面之线所成角。做一面之线所成角，我们可以通过做平行线，把它转化为两条相交之线所成角。 从所给条件我们可以看出这是一个值。三棱柱意味着这个 b、 e、 c、 e 和 bc 是 平行的， 所以 a、 e、 c 和 b、 e、 c、 e 所成角也等于 a、 e、 c 和 bc 所成角。因此我们只需要求出 a、 e、 c、 b 所乘角的余弦值，就这个角的余弦值就可以了。我们要想求出这个角的余弦值呢，我们连接 ab， 这样的话呢，就把它放到了三角形 a、 b、 c 中。 好在这个条件中，我们可以看出 a、 c 是 等于根号， b、 c 呢是等于二。我们要想求出这个角的余弦值，还需要求出 a、 e、 b， 因为这是一个直三棱柱，侧棱和底面都是垂直的，所以这是个直角， 因此我们可以在直角三角形 a、 e、 a、 b 中求出 a、 e、 b。 那么 ab 等于什么呢？ ab 等于根号下，我们根据勾股定律， a 一 a 的 平方， a 一 a 的 平方，加上个 ab 的 平方。 好，这个 a 一 a 呢，我们知道等于一， ab 等于根号，所以代入这个是根号三。也就是说啊，我们可以求出 ab， 这个等于根号三， 这样的话，这个 a、 b、 c 这个三角形的三边我们都知道了，我们要求这个角的余弦值，我们把这个角记为 c 的， 它的余弦值我们可以用余弦定零来进行求减。我们来回忆一下余弦定零。 cosine， 这个 c 的 等于什么呢？等于两边的这个平方和减去第三边的平方，就是 a、 c 的 平方 加上个 b、 c 的 平方，再减去 a、 e、 b 的 平方， 然后除以二倍的 a， e、 c 乘以个 b、 c， 这是愚弦定理的内容，我们一定要熟悉。好，我们把手机带入 ac， 它是等于根号，平方等于二， bc 呢？等于二，它的平方是四， a， b 等于根号三，所以 ab 的 平方等于三，减去三除以二倍的 ac， ac 是 等于根号， 再乘以 b、 c， b、 c 等于二。好，我们来计算一下，我们看它的分子，二加四是六啊，六减三，所以是三，下面是四倍的根二 好，分子分母在同时乘以根号，就得到八分之三倍的根号，所以呢，正确的答案是选 d。 这道题主要是考察意面直线所成角的求解。我们通过做平行线，或者利用图中已有的平行线找出这个角，然后把它转化到三角形中，利用解三角形的方式求出这个角。 我们来看第十二题。已知某圆锥的底面半径为二， 其侧面积为六，排设圆锥轴结面，三角形的顶角为 c 的， 现在让我们求 c、 n、 c 的 值。首先我们根据条件来画出一个圆锥， 在这个圆锥中，我们已经知道它的底面半径，假如这是底面的圆心 o， 那 么它的底面半径我们用 r 来表示， r 等于二， 侧面积为六 pi， 我 们要知道圆锥的侧面积公式是 pi r 乘以 l， 其中 l 呢，是指它的母线长，就这是 l， 就 它等于个六， pi 好，侧面积等于六 pi， 并且 r 呢等于个二，所以我们很容易求出这个 l 等于个三，也就是它的母线长呢，等于三。 现在告诉我们它的轴结面为 c， 让我们求 c n c 的 值，我们看它的轴结面，我们把它画出来，其实就是这个等腰三角形，这个角是 c 的， 这就它的轴结面，我们可以画着它的高。 好了，现在让我们求这个 set 的 正弦值。怎么办呢？我们可以先用余弦定理求出它的余弦值。 cosine set 等于什么呢？我们根据余弦定理等于两边，这两边的平方和就是三的平方，那直接写了加上个三的平方 减去对边这个平方和这条边长，注意是直径，所以呢，它是四，四的平方减去四的平方， 分母是二，乘以这两边乘以三，再乘一个三。好，我们计算一下结果，三的平方我们知道是九，这两个三的平方十八，十八，减四的平方十六， 它的分母十八，所以我们可以算出它的余弦值是九分之一。我们又知道正弦的平方和余弦的平方和等于一，所以这个 cnc 呢， 它等于根号下一减。 cosine c 的 平方，也就是等于根号下一减九分之一的平方就是八十一分之一。 好，那就是根号下八十一分之八十。好，我们开放之后，结果是九分之四倍的根号五。所以呢，正确答案选 d。 这道题呢，主要是考察圆锥的侧面积公式，注意，圆锥的侧面积公式是 pi r l， 如果让你求它的表面积，我们还要再加上一个圆，所以它的表面积的公式是 pi r l 啊，再加上个 pi r 的 平方，如果提取个 pi r， 那实际上那就是 l 加上 r。 好， 这是它的表面积公式啊，其这个 pi r 这个括号的圆就是 l 加 r。 如果让你求的是侧面积，那么只需要是 pi r l 就 行了。 我们来看第十四题。在这个正方体中， n 是 d、 d、 e 的 中点， n 是 中点。现在让我们求 c、 n 与平面 d、 b、 b、 e、 d、 e 所成角的正弦值。 我们要想求这个角的正弦值，首先要找出这个角，那我们得知道什么是直线和平面所成角。 如果一条直线和平面相交，并且不垂直的话，那么他和这个平面所成角，我们首先要在这条直线上任取点向这个平面做垂线， 他和平面的交点叫做垂足，这个点呢，叫斜足。垂足和斜足之间的连线叫做这条直线在这个平面内的射影。这条直线在这个平面和他在这个平面内的射影所成的角， 就是直线和平面所成的角。所以呢，我们要想找出这个角，首先在这条直线上取一点向这个平面做垂线。 根据正方体的性质，我们要想由 c 向这个平面 d、 d、 b 一 d 一 做垂线，只需要连接 a、 c 就 行了。 我们看 a、 c 和 b、 d 垂直，因为这个几何体呢，它是正方体，所以 b、 b、 e 和底面 abcd 是 垂直的，所以 b、 b 一 和 a、 c 是 垂直的。这样的话呢， a、 c 既垂直于 b、 d， 又垂直于 b、 b 一， 因此 a、 c 垂直于这个平面的两条相交直线，所以 a c 就 垂直于平面 d b b 一 d 一 好，我们假设它的焦点为 o， 当然这个 o 呢，也是 a c 的 中点，这个 o 呢就是垂足，这个 n 呢，其实就是斜足。我们连接 o n， o， n 就是 c， n 在 这个平面内的射影，所以我们要找的角就是 c n o 这个角。好，现在我们来计算一下这个角的正弦值。 我们要知道 c a 和这个平面是垂直的，所以呢，这个角是直角。 我们假设正方体的棱长为二，如果棱长为二，我们可以求出 co 是 等于根号二的。 我们再求一下这个 n， c 这段是一，这段是二，所以 c n 呢等于根号五， 因此这个角的正弦值，我们把这个角记为 c 的 c n， c 的 等于，实际上等于 co， 比上 c， n 就是 根号二，比上根号五， 所以等于多少呢？等于五分之根号十。因此正确答案选 b。 我 们要想求出直线和平面所成的角，关键是根据直线和平面所成的角的定义找出这个角，然后再计算得出结论。 我们得知道斜线和平面所成角，要在这条直线上取一点向这个平面做垂线，找出他在这个平面内摄影，这条直线和摄影所成角就是直线和平面所成角。我们来看第四个题， 如图，圆柱 o 一 o 二的内切求 o 的 半径为 r。 现在问求 o 的 表面积与圆柱 o 一 o 二的表面的比是多少？ 因为已经告诉我们求的半径为 r， 所以 我们可以直接求出这个球的表面积。 求的表面积公式是什么呢？对四 pi r 的 平方注意求的体积公式我们也得知道，得三分之四 pi r 的 三次方。 首先我们可以写出球的表面积，我们再来看一下这个圆柱，我们看从条件可以看出，圆柱的底面半径和球的半径是相等的， 而圆柱的高呢，这个 h 很 显然等于球的直径二 r。 注意，圆柱的表面积等于圆柱的侧面积，加上两个圆，加上两个圆的面积，所以这个圆柱的 表面积首先它等于侧面积。侧面积公式是二 pi r， l， 这个 r 呢是指底面半径， l 呢是指这个母线长，也是它的高，所以呢，我们首先算出它的侧面积，侧面积，二派乘以底面半径是 r， 这个 l 呢就是母线，就是高，就是二 r。 然后我们再加上两个圆的面积，二派 r 的 平方。 好，我们计算一下，结果是六派 r 的 平方，所以两个表面之比，那就是四派 r 的 平方，除以六派 r 的 平方， 我们可以算出结果是三分之二，所以这题大呢，选 a。 这道题主要是考察球的表面积和圆柱的表面积的计算，我们要根据图形找出这个圆柱的底面半径和它的母线长呢，和高其实是一样的。 我们来看第十六题，在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 的 长等于二， bc 的 长等于一， e 为 ab 的 中点啊， e 是 中点， f 为 bc 边上的动点，当这个动点含端点，现在让我们求 d e 乘以 d f 的 曲值范围。 在矩形中，我们可以建立平面直角的表系，我们以 a 为圆点， ab 所在的直线为 x 轴， ad 呢，所在的直线为 y 轴啊，我们建立平面直角的表系。 根据条件我们可以得到这个 d 点的坐标是零一， e 是 a、 b 的 中点，所以 e 点的坐标是一零。 这样的话呢，我们就可以求出 d、 e 向量，所以向量的坐标是用中点坐标减去起点坐标，所以它的坐标是一负一。 因为 f 的 位置不固定，它在 b、 c 这条线段上运动。所以呢，我们不妨假设这个 b、 f 的 长是 x， 根据条件，这个 x 呢，肯定是大于等于零，小于等于一的，所以这个 f 点的坐标它是二 x， 那么 df 向量，它的坐标就等于 f 的 坐标减去 d 的 坐标，所以是二。横坐标是二，纵坐标呢，是 x 减一。 现在我们来算一下， d、 e 乘以 d、 f 向量，两个向量相乘，它们是对应的横坐标相乘，加上对应的纵坐标相乘好， d、 e 的 横坐标是一， d、 f 的 横坐标呢，是二，所以一乘以二，再加上 d、 e， 它的纵坐标是负一， 而 df 的 纵坐标呢，是 x 减一。 好，我们少做整理，我们可以知道它是负 x 加上个三。 另外，我们要知道， x 的 取范围是大于等于一个零，小于等于一，所以负 x， 它是大于等于负一，小于等于零的。那所以负 x 加三， 大于等于二，小于等于三。也就是我们所求的这个 d、 e 乘以 d、 f 的 取值范围，可以用区间表示为二到三这样一个 b 区间。所以呢，这道题的正确答案就填二 到三这样一个 b 区间。平面向量的运算，如果在这个题型中容易建立平面直角坐标系，我们可以通过建立坐标系，用坐标的方法去计算。 我们来看第十七题，已知向量 a， 它的坐标是负一三向量 b 坐标是二、四。现在让我们求向量 a 在 向量 b 上的投影向量的坐标 a 在 b 上的投影向量是什么呢？我们画个图来看一下。假如这是 b 向量好，然后呢，这是 a 向量 a 在 b 上的投影，就像它做垂线，假如这个角是 c 的 啊，这个夹角是 c 的， a 在 b 上投影，其实就是 a 的 模 乘一个 cosine theta， 再乘一个单位向量，这个 e 是 单位向量，就是指与 b 同方向上的单位向量。 而这个 a 的 模乘以 cosine theta 呢？它又可以写成 a 乘以 b 除一个 b 的 模， 与 b 同方向上的单位向量，又可以写成 b 向量除一个 b 的 模。所以 a 在 b 上的投影向量，我们可以利用这个公式来进行求解， a 乘以 b 等于什么呢？ a 乘以 b 对 应的横坐标相等，加上纵坐标相等，所以我们代入 a 乘以 b， 那 就是负一乘以二，负一乘以二，再加上个三乘以四 好。 b 的 模就是根号下二的平方加上个四的平方， 这是 b 的 幺乘以好，这个 b 的 幺也是这样，二的平方加上个四的平方好，上面呢，其实是一个坐标，就是 b 向量二四 好，我们进行化解。首先这个 a 乘以 b， 我 们通过计算，结果是多少呢？你看，三乘以四是十二减去二，所以是十 好。根号下二个平方加四个平方，是根号下二十，这个也有根号下二十，所以这是二十 乘一个二四这个坐标。当然这个我们可以看出它是二分之一乘以二四这个坐标，我们把它乘进去，结果是一二。所以呢，这道题的答案就填一二，我们要求 a 在 b 上的投影向量的坐标，我们可以直接利用这个公式来进行求解，所以我们可以记住一下这个公式，在我们考试的时候呢，直接套公式就可以得出结论。 我们来看十八题，已知负数 z 等于 b i， 其中 b 为实数， 一加 i 分 之 z 减二，它是实数，其中 i 是 虚数单位。现在让我们求这个负数 z， 我 们要想求出这个 z， 实际上也就是求出这个 b 的 值， 我们主要是对这个条件进行化减啊。 z 减二，除以个一加 i， 它是实数，我们把它代入一加 i 分 之。我们看这个式子 z 呢，就是 b i， 我 们代入， 你就说 b i 减二，也可以写成负二加 b i， 然后我们要把它化成 a 加 b i 的 形式。 好分子分母同乘一个得一减二，所以这是一加二乘一个一减二，分子呢，也给它乘一个一减二。 好，然后展开分母。可以用平方差公式，就是一的平方减去个 i 的 平方， 然后分子我们再展开负二乘以一，这有个负二，负二乘以个 i， 而负 i， 所以 加上个二 i， 然后是 b i 乘以一，所以加上个 b i， 然后是 b i 乘以负 i。 我 们知道 i 的 平方等于负一，所以负 i 的 平方是一，所以加上个 b， 而分母中 i 的 平方等于负一，所以这是一的平方减去负一，所以分母就是二。 好分子中我们把含有 i 的 和不含 i 的 分别进行合并好，它可以写到 b 减二，加上个 b 加二 i， 如果我们再分开写，就是二分之 b 减二，加上个二分之 b 加二 i， 他告诉我们这个负数呢，它是实数，它是实数，就意味着它的虚部为零。一个负数如果是实数，就是虚部为零，那就是二分之一，加二等于零。 好，我们可以得到这个 b 呢，等于一个负二，所以这个 z 就 等于负二 i， 所以 答案就填负二 i。 这道题主要是考察负数的有关概念和负数的次则运算。 我们来看第十九题。已知圆锥的轴结面是等腰直角三角形，且面积为二，现在让我们求这个圆锥的体积， 要求圆锥的体积，我们得知道体积公式，圆锥的体积公式是三分之一，底，面积乘以高，所以我们要求出底面它的面积和高。 底面呢，是一个圆，所以我们要求出底面圆的半径。首先我们来画一个圆锥这个图形， 这个圆锥的轴结面是一个等腰直角三角形，也就是这个三角形呢，是等腰直角三角形，肯定这个地方是直角底面半径。我们如果用 r 来表示， 那么这个边长就是二 r 直径。因为是等腰直角三角形，所以这个母线长就等于根二 r。 在直角三角形中，我们可以利用勾股定律来进行求解，这边也是 l， l 的 平方加 l 的 平方等于二 r 括号的平方，我们可以算出这个母线长等于根二 r。 现在告诉我们这个轴结面，它的面积是二，因为是等腰直角三角形，所以我们可以求一下它的面积。这个面积呢，它等于二分之一，乘以 两条这个直角边的成，其就是 l 的 平方，所以呢，它等于二分之一，乘以个二 r 的 平方， 也就是它等于个二，所以我们可以得到底面半径，这个 r 呢，等于根号二， 底面半径。知道了，我们可以求出底面的面积来拍二平方，那实际上就等于二拍， 那么还要求出这个圆锥的高，我们做一下它的高线 啊，这就是它的高，这个高呢，很显然它是这个斜边的中线啊，等于斜边的一半，所以这个高 h 实际上是等于个 二分之一乘以二二的，所以它其实也等于二，等于根号二。 好，现在我们利用体积公式求一下这个体积三分之一 s h 就是 三分之一乘一个二 pi， 再乘一个根号 等于多少呢？我们算一下，等于三分之二倍的根号二 pi， 所以 这个答案就填三分之二倍的根号二 pi。 这道题主要是考察圆锥的体积公式的应用，我们要想求出圆锥的体积，需要求出它的底面面积和高， 我们画出图形，可以分析出它的底面半径和高，然后就可以领公式求出这个体积。 我们来看第二十题，在三棱锥 p a b c 中， p a 垂直底面 a b c。 若 p a 等于八， b a c 等于九十度， ac 等于二倍的 ab 等于四。现在让我们求这个三棱锥的外接球的表面积。首先我们根据条件来画出一个图形， 在这个图形中，我们知道这个 p a 垂直这个底面 a b c， 并且我们知道 b a c 这个角是九十度， 这个黑色的粗线就是我们所画的这个三棱锥，我们把它倒起来画，然后我们可以把它补成一个长方体，这个三棱锥的外接球其实和这个长方形的外接球是一样的， 而长方体的外接球，它的体对角线就等于外界球的直径，所以呢，长方体，它的外接球直径二 r 就 等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，这个 abc 呢，是一个长方体的三边的高，我们把它记为 abc， 而这个题目中告诉我们 pa 等于八，所以呢，其中的一条边是八， a， c 等于四啊，这个地方是四， ab 呢，其实是等于二，我们可以理解为这个长方体的三条变长，分别为这个八、四、二 好，所以呢，我们可以直接套这个公式，求出这个外接球的直径二 r 就 等于根上下八的平方， 然后再加上个对四的平方，再加上个二的平方，我们来算一下，八的平方是六十四， 四的平方是十，六，二的平方是四，所以等于多少呢？根号八十四， 如果我们平方其实就得到四二的平方等于八十四，为什么要平方呢？因为让我们求的是表面积， 而这个球的表面积公式是四 pi， r 的 平方，实际上也就是四 pi r 的 平方再乘一个 pi， 因此结果是八十四 pi， 所以 这道题呢，就填八十四 pi。 我们为了求出这个三棱锥的外接球，我们把这个三棱锥呢补成一个长方体，利用长方体的外接球这个半径的公式， 求出这个外接球的半径或者直径都可以，然后再利用球的表面积公式，得出我们所要的结论。 我们来看第二十一题，已知点 a 的 坐标，点 b 的 坐标和点 c 的 坐标。第一小题，若 ab 向量平行， bc 向量让我们求 l 的 值， 我们要想求出那么的值，就要根据这两个向量平行来建立方程。一般情况下，如果向量 a 等于 x 一 y 一， 向量 b 等于 x 二 y 二， a 平行于 b， 等价 a 的 x 一 y 减 x 二， y 一 等于零。 如果是 a 垂直于 b， 其实就等价 a 乘以 b 等于零，就是 x 一 x 二加上个 y 一 y 二等于零。 注意这两个公式呢，不要那么混的好，我们先看第一个。 我们要想利用这个公式建立方程，首先得求出 ab 向量的坐标。 我们知道向量坐标呢，用中点坐标减去起点坐标，用 b 的 坐标减去 a 的 坐标，所以一减负一，这是二，三减负一，这是四。 然后是 b， c 向量也是这样，用 c 点坐标减去 b 点坐标，等于对负三 lamb 的 减二，四 lamb 的 加三。 因为 ab 平行于 bc， 所以 我们套这个公式， s 一 y 就是 第一个向量的横坐标，乘以第二个向量的纵坐标，二倍的四，楞的加三。 对减去第二个向量的横坐标，乘以第一个向量的纵坐标，就是四倍的 负三 lm 的 减二，就它等于零。好，我们展开，这里边是八 lm 的 加上个六， 然后加上个十二 lm 的 加上个八等于零。好，我们再整理二十 lm 的 加上个十四等于零。所以我们可以计算出 lamb 的 等于多少呢？得负的十分之七， 这是第一小题，第二小题 ab 垂直 bc。 我 们利用第二个公式， s 一 s 二加上 y 一 y 等于零，就是第一个向量的横坐标乘以第二个向量的横坐标，二乘以负三 lm 的 减二。 注意中间是加号，加上四乘一个四 lm 的 加三。有这个式子等于零。 好，化解一下负六 lamb 的 减四加上个十六 lamb 的 加上个十二等于零。好，我们算一下，这个是十 lamb 的 加上个八等于零，所以我们可以得到这个 lamb 的 等于负五分之四。 好，我们来看一下具体的解体步骤。首先我们根据条件求出 a、 b 向量， 向量的坐标等于钟点坐标减去起点坐标。这个公式一定要记住，你看，用 b 点坐标减去 a 点坐标，结果是 r 四， bc 向量也是这样，用 c 点坐标减去 b 点坐标，一定是这个顺序，不要弄，弄反了。好，结果是负一减三 m 的， 六加四 m 的 减去一三，结果是负二减三 m 的 好，三加四 m 的。 因为 ab 平行于 bc， 所以 我们利用的是 x 一 y 减 x 二， y 一 等于零，得到关于 lamb 的 一个方程，解得 lamb 的 等于负十分之七。 第二个，因为 a b 垂直 b c， 我 们用的是这个公式， x 一 x 二加上个 y 一 y 二等于零，也是建立关于 lamb 的 一个方程，解的 lamb 等于负五分之四，这是第二十一题， 我们来看第二十二题。在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 的 对边分别为 abc， 且满足 c a 的 平方等于 c n b 的 平方加 c n、 c 的 平方加上 c n b c n c。 我 们看这样一个等式里边全部是角的正弦，所以我们来回忆一下正弦点， a， b 上 c n a 啊，等于 b 比上 c n b 等一个 c 比上 c n c， 并且呢，等于二 r 就是 它的外界的直径，这样的话呢，我们这个 c n a 就 可以换成二 r 分 之 a 边 c n b 也可以换成 二 r 分 之 b 边 c n c 可以 换成二 r 分 之 c 边。 好，我们把它代入进去 c a 的 平方，那就是二 r 分 之 a， 它的平方 c n b 的 平方二 r 分 之 b， 它的平方 c n c。 二 r 分 之 c 的 平方 c n b 乘以 c n c， 二 r 分 之 b 乘以二 r 分 之 c。 其实 我们通过代入之后，我们会发现这个 r 呢，其实都可以消去。最终我们可以知道， a 的 平方等于 b 的 平方，加上个 c 的 平方，加上个 bc。 我 们一看到这个边的平方里这个等式，我们很容易想到对余弦定零 余弦定律，我们来会一下这里边让求角 a， 所以 我们直接求这个 cos a， cos a 等于什么呢？得二 b c 分 值， b 方加 c 方减 a 方，这样的话，我们要把这个等式少做整理，我们可以知道 bc 其实等于什么呢？对，等一个 a 方减 b 方减 c 方， 所以我们把它带入进去，这个结果等于等于负二分之一。又因为这个 a 呢，它很显然是在零到 pi 这个范围内的， 所以这个 a 角等于三分之二 pi， 也就是一百二十度。 这是第一小题，我们主要是利用了正弦定角和余弦定角求出一角。我们再看第二小题，若 ab 等于六， ac 等于三，让我们求这个三角形 abc 的 面积， 我们利用面积公式 s 等于什么呢？二分之一 b c c a， 因为 a 角已经求出来了，而这个里边 ab 边其实就是 c 边， 这个 a c 边呢，其实就是 b 边等于三，我们把它代入二分之一乘以三，乘以六，乘以 c a 一 百二十度 c a c 三分之二 pi 乘以一百二十度二分之二三， 这样的话呢，我们就可以求出它的面积， 它的面积等于二分之九倍的根号三。好，我们来看一下具体的解体步骤。 首先我们由正弦定理得到 c， a 等于二， r 分 之 a， c， n， b 等于二， r 分 之 b， c， n， c 等于二， r 分 之 c， 我 们把它代入所给这个等式， 其实我们看里边都有个二二平方，这个分母呢，这些都可以消掉，最终得到这样一个式。 然后有余弦定律，我们可以得到 cos， a 等于二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方，最终结果是负二分之一。再根据 a 的 取值范围，我们得到 a 等于三分之二派。 根据第一小题，我们求出来这个 a 角，这个 a 边啊 ab 边其实就是 c 边， c 等于个六 ac 边，那就是 b 边， b 边等于个三。好，我们套入这个面积公式，二分之一 bc ca， 这是 c 边，这是 b 边。好，把数据带入，结果是二分之九倍的根号三，这是第二十二题。其实主要是考察正弦定比、余弦定比和面积公式的综合应用。 我们来看第二十三题。如图，边长为二的正方形 a， b， c， d 所在的平面与半圆弧， c， d 弧所在的平面垂直。 m 是 c d 的 动点， 即 dm 弧的长为 l 一 m， c 弧的长为 l。 二例小题让我们证明 c m 垂直平面。 amd 要证明一条直线垂直于一个平面，我们主要是利用直线和平面垂直的判定定律，我们要证明它和这个平面内的两条相交直线垂直。我们从图形中可以看出， 这个 c， d 是 这个半圆弧的直径， m 呢，在这个圆弧上，所以 c m 垂直 d m， c m 一定垂直 d m， 这样的话呢， c m 就 垂直于 amd 内的一条直线了。另外，我们看 abcd 所在的平面和这个半圆弧所在的平面是垂直的，比两个平面垂直， 他有一个重要的性质，就是在其中一个平面内，在其中一个平面内，垂直于交线的直线垂直于另外一个平面。比方说阿尔法和贝特这两个平面垂直 他们的交线。假如是 a， 好， 在阿尔法内如果有一条直线 b 垂直于 a， 我 们就可以得到 b 垂直于贝特。 在里边我们看 abcd 是 正方形，所以 ad 垂直于 cd， 并且 ad 肯定在 abcd 这个平面内，而 cd 呢，就是它的交界。所以我们可以得到 ad 其实是垂直于 这个半圆弧所在的平面的。而 cm 呢，很显然是在这个平面内的，所以 ad 也垂直于 cm。 好了，这样的话呢， c m 既垂直 ad， cm 又垂直 dm， 而这个 ad 和 dm 又是相交的，它俩的焦点呢，是 d， 并且又都在平面 amd 内，这样的话， cm 就 垂直于平面 amd 内的两条相交直线，所以 cm 垂直于平面 amd。 第二小题，当点 m 在 c d 弧上运动，且使三棱锥 m a b c 的 体积为三分之二时，让我们求 l 一 比上 l 二的值。 三棱锥的体积我们得知道体积公式，体积公式呢， v 等于三分之一 底面积乘以高，这个底面呢，就是 abc 这样一个直角三角形，所以这个底面积很容易求出来。 s 等于二分之一乘一个二，再乘一个二，实际上就是二， 所以这个三分之一乘一个二，再乘以高 h 其实也就等于个三分之二 h， 那 么它的高在哪里呢？我们注意由 m 向 a、 b、 c、 d 这个平面做垂线，因为 这个半圆弧所在的平面和 a、 b、 c、 d 所在的平面垂直，所以我只要向交线做垂线就行了。比如垂足是 h， 那 么这个 m h 就是 高，所以它其实就等于一个三分之二倍的 m h。 现在我告告诉你，这个体积是多少呢？就等于三分之二，这说明什么问题呢？说明 m h 其实呢，就等于个一 mh 等于一，正好等于这个半圆弧的半径，说明这个 m 点正好在这个半圆弧的中点，因此这两条半圆弧的长是相等的，所以 l 一 比上 l 二的值应该是一。 我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，首先我们证明 c、 m 垂直于 a、 m、 d 内的两条相交之线，根据条件，因为这两个平面是垂直的，并且它的交线是 c、 d， a、 d 在 平面 a、 b、 c、 d 内，并且 a、 d 垂直于交线， 所以我们得到 a、 d 垂直平面 c、 m、 d。 你 看 a、 d 在 这个 a、 b、 c、 d 这个平面内，并且垂直于它们的交线，所以 a、 d 垂直于平面，而 c、 m 在 这个平面内，所以我们得到 a、 d 垂直 c、 m， 这就得到一个垂直了。 又因为 m 是 半圆弧， c、 d 弧上溢于 c、 d 的 点，且 c、 d 呢是直径，这个我们利用了圆的性质，所以 cm 垂直于 d m， cm 又垂直于 d m， 又因为 ad 和 dm 它是相交的，交点为 d， 并且 ad 在 这个平面 amd 内， dm 也在这个平面 amd 内，所以我们就得到了 cm 垂直平面 amd。 第二小题，我们首先做出这个三棱锥 m， a、 b， c 的 高，我们在这个平面 c m d 内或点 m 做 m h 垂直于 c d 啊，这个垂足呢是 h。 根据条件我们很容易得到 m h 垂直于平面 abc， 所以 这个 m h 呢，就是三棱锥的高。而三角形 abc 的 面积，我们可以计算出它是二， 所以三分之一的体积就等于三分之二 m h， 因为体积是三分之二，所以三分之二 m h 等于 m h 等于一。这样的话呢， 半圆弧啊，它所在的圆的半径就是一，所以我们可以得到这个 m 就是 半圆弧 cd 弧的中点。所以 l 一 和 l 二相等的，也就是 l 一 比上 l 二等于一。 这道题呢，主要是考察直线和平面垂直的判定，他的证明我们一般用直线和平面垂直的判定定律。然后就是三棱锥的体积公式的应用，注意，锥体的体积公式 等于三分之一底，面积乘以高。我们来看第二十四题。如图，已知圆锥 s o， a， b 是 圆 o 的 直径，三角形 a， s， b 是 等腰直角，三角形 a， s， a 和 s b 是 相等的，所以 a、 s、 b 这个角是直角， c 是 圆周上不同于 ab 的 一点， d 为 bc 的 中点，这个 d 是 中点，且 bc 等于二倍的 ac 等于四。第一小题让我们证明 o d 平行于平面 s a c。 我 们要证明一条直线平行于一个平面，那么我们就可以利用直线和平面平行的判定定律。 直线和平面平行的判定定律是平面外一条直线，如果和平面内一条直线平行， 那么这条直线就和这个平面平行。从条件我们可以看出， d 是 bc 的 中点， o 是 ab 的 中点，所以 o d 是 三角形 b a、 c 的 中位线， 所以我们可以得到这个 o d 平行于 a c。 然后我们再说明 o d 不 在平面 s， a， s， a c 中，所以我们要加上一个 o d 不 在这个平面 s a、 c 中， 并且呢，我们还要说明这个 a c 呢，在这个平面 s a、 c 内， 这样我们就得到了平面外一条直线和平面内一条直线平行，所以这条直线和这个平面平行啊。第一小题的证明非常简单，主要是利用了三角形的中位线的性质。第二小题让我们求这个四棱锥的体积， 这一题的起极公式，等于三分之一底，面积乘以高，这个高呢，就是这个 s o， 因为这是一个等腰直角三角形，这个 s o 可以 看成斜边 ab 的 中线，所以这个 s o 等于 ab 的 一半。 根据条件，这个 a c 长等于二，这个 b c 长呢，等于四。因为 c 在 这个圆周上，所以这是个直角，我们可以计算出 ab 的 长 等于根上加二的平方，加四的平方就是二倍的根号五，所以这个 s o 呢，等于二分之一 ab 斜边的中线等于斜边的一半，就等于多少呢？等于根号五。 我们看到底面 a c， d， o， a c， d， o， 这很显然是一个直角梯形，直角梯形，我们利用 直角梯形的面积公式，我们代入二分之一上底加下底乘以高，这个高呢，其实就是 c d， 然后在这二分之一上底加下底再乘以高，我们把这个带入进去，我们可以算出这个 o d 长。我们知这个 o d 长呢，它是等于个一，这个 a c 长，一个上底，一个下底是二， 好，这是二分之一，上底加下底乘以高，高呢，就是 c、 d 长。我们知道这个 d 是 中点，而 bc 长呢，是四，所以 c、 d 长是二，所以结果是三， 这是底面积。好，现在呢，我们代入体积公式，等于三分之一，底面积再乘以高高呢，是根号五，所以这个体积最终结果是根号五。 好，我们来看一下具体的解体步骤。 首先我们第一问，要证明 o、 d 平行于平面 s、 a、 c。 我 们要证明 o、 d 和 s、 a、 c 这个平面内一条直线平行。根据条件，这个 b、 d 等于 d， c 也就是 d 呢，是 bc 终点， bo 等于 o， a 也是 o 呢，是 ab 终点，所以这个 o、 d 是 三角形 b、 a、 c 的 中位线，所以 o、 d 平行于 ac。 另外我们还要说明 ac 在 这个平面内， o、 d 不 在这个平面内，所以我们得到 o、 d 平行于平面 s、 a、 c 第二小题，我们从这个条件可以得到这个 s、 o 就是 高，因为 ab 是 圆 o 的 直径点， c 这个在平面圆 o 上，所以 a、 c、 b 就 这个角是直角。 由于我们知道 o、 d 平行于 ac， 所以 o、 d 呢，等于二分之一 ac， 这个 o、 d 的 长我们可以求出来。 所以这个四边形 a、 b、 a、 c、 d、 o， 它是一个直角梯形。在这个三角形 a、 c、 b 中，我们可以计算出这个 a、 b 的 长等于二倍。根号五，利用勾股定律， 又因为这个 a、 s、 b 是 一个等腰直角三角形，所以这个 s、 o 呢，就是斜边 a、 b 上的中线，所以等于斜边的一半，等于根号五。 在这个直角梯形中，我们可以计算出这个 o、 d 长是一， c、 d 长呢是二，这是上底和下底，它的高呢就是 c、 d 长， c、 d 长是二，所以我们可以计算出这个梯形的面积是三。锥体的奇异公式 v 等于三分之一，底面积乘以高，三分之一乘以底，面积三再乘以高 s o 是 根号五，所以最终结果是根号五。 这道题呢，主要是考察直线和平面平行的证明以及锥体体积的求结。 要证明一条直线平行于一个平面，我们只需要证明这条直线平行于这个平面内的一条直线，当然我们还要说明这条直线不在这个平面内，这样就可以了。 我们要求锥体的体积，我们主要是利用锥体的体积公式 v 等于三分之一 s h， 所以 关键是求出底面积和高。 好了，这是专题主题练习三的全部内容。
729高中数学赵老师
