江西高考数学压轴题
大家好，今天我们分享一道二零零八年高考数学的一道理科试题，这是江西卷，据讲这是史上最难的一个压轴器， 这是第二十二题，本小题是十四分。已知函数 fx 等于根号下一加 x 分之一，加上根号下一加 a 分之一，加上根号下 ax， 加上八分之 ax， 这里面 x 属于零到这五球。 第一问，当 a 等于八十，求 fx 单调去加。第二得任意整数 a 得任意整数 a， 证明 fx 大于一而小二。 那么本道题虽然讲是史上最难的压轴题，但是第一小本仍然是对我们来讲，它属于一个造成器。第二小本，那就比较难了。这第二， 我们作为把这分为两个模块进行讲。第一，我们首先讲第一小题，因为这个满面的这个原因呢，所以我们分为第一小题，第二两题分开来讲，我们先讲第一小题， 这个第一小问对于只要在高中你稍微有点基础的，那第一小问，那明显都是送分的，那当 a 等于八十，当 a 等于八十， 那 fs 带进去，那 fx 就等于根号下一加 x 分之一，加上啊，这个一加八就是九，把根号九就是三，那就是加上三分之一，再加上根号下 把明显都变成了，那就是八 x 加上八分之八 x 啊，八的原因是 x， 也就是一加矮的 分之 x， 那我们进行这个合并下，那就得到及这里面的 fx， 函数 fx 就等于根号下一加 x 分之，是不是一加根号 x 再加上一个三分之一，再加上三分之一啊？因为要求单调区间，所以我们进行求导把及把，所以 f 还是敲打他，就等于根据这个敲打公式啊，这个同学们也会，那如果不会，那就初中，也就是高中阶段，那就是白学了，那就是等于二倍的根画下 x 乘以一加 x， 一个三四方分之一减去更好。 x 这里面我就不再细的球了，那因为我们知道这个分模它不可能为零。当这个 fx， 它等于零的 领，他如果是 b f 一 p x 就是倒数，他是等于零，我们直接能抽出 x 的，是等于一 x 等于几？ 当 s 一，因为 x， 你看他的是属于零到这无穷这个区间，那因为 x 是属于这个零到这无穷那，所以当他在一的时候就零，那所以我们能得到 f 一撇 x， 也就是他大于零时，如果他大于零，我们就能抽出他，也就是急啊，这就不在这些啊。所以当 x 就是大于零小于一十 f 一撇 x， 它是大于的，它是大于的，那所以这里面啊叫 fx， 这个还是 fs 单调，什么地震。而当 x 大于等于一十大于等于一十 f 一 px， 那此时 f 一 px， 那就小于等于了， 是小的，那所以此时的 fx， 那就是单调上递减。那所以第一问我们是很简单的，属于一个送分题，好，第二问我们下一拨开，我们就讲第二问。好。
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17:13查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我们专门来讲一讲二零零八年江西高考的导函数压轴题，这道题的话满分十四分，但是没有人能得满分的，最高九分就是江西省，全省的同学呢，那年高考只有一位同学得了九分，一位同学得了八分，剩下的还要得其他分的啊。 然后这道题属于是特别难的，可以认为是二零零零年之后呢，最难的导航数压轴题了。那么我们来看一看这道题有没有什么别的解法，因为之前我讲过标答的解法啊，大家可以去搜一下。今天我们讲另外一种方法。 第一问没什么新鲜的啊，就是求导就可以了，但是求导过程有一点复杂，我们呢直接来看一下第一问，嗯，求导的话我直接放到这了，因为第一问不是重点，我们重点讲的是第二问哈，他求到以后的话，处理一下分母是这样一个结果，那么分母肯定 正点，因为他已经规定 x 是正数了，对吧？然后我们要注意，主要就看的是分子的正负，显然一减根号 x 是要跟零比较大小的，当 x 比一小的时候，导函数就是正数， 当 x 比一大的时候，导函数就是负数，所以在零到一之间就是增函数，在一到正方形就是减函数了，这个应该清楚了吧。那么好了，我们重点来介绍第二问。第二问的话怎么去理解呢？首先看前两个啊， 它规定 x 是大于零的，然后 a 呢，也是大于零的，并且画圈的这两个分式实际上它是对称的。什么叫对称呢？ 对称的话就是说这两个式子，我把 x 换成 a， 把 a 换成 x， 它本质是没有任何区别的，所以说这就叫对称式。但是第三个分式你看这个就不对称了吧， 怎么办呢？我们就要处理第三个式子了，根号 ax， 然后根号 ax 加八，那我们所有的分子都化成一行吧，为了保证跟前头这两个分式一样， 它的话可以变成什么样子？可以变成分子分母同除，根号 a， x 变成一啊，然后分母如果你再除的话，就变成了一加上八，除 a x 了， 那这个能不能画成一个整体呢？也就是画圈部分啊，我们让它变成什么？让它变成 ax， 分之八变成 b， 如果它变成另外一个字母，并且 b 其实也是大于零的，清楚我的意思了吧？所以说， 原来我画圈这三个分式，你看结构是不是完全一样啊？根号一加 x 分之一，根号一加 a 分之一，根号一加 b 分之一，所以 a b x， 而且它范围都是大 零的，这三个分式还是对称的，所以改成这样的轮换对称式，这个思想大家还是可以体会到的吧。那接下来我们就改成这样一个样子了，改成这个样子之后的话，因为你这个 a x， 还有这个 b 本身确实是对称的，但是你可以规定 a 是最大的， x 在中间， b 是最小的，也可以规定 x 最大，也可以规定 b 最大，都可以，那我们随便规定一种情况就行了哈， 那好，规定谁呢？那咱们不妨规定 a 是小于等于 x 的，是小于等于 b 的。有同学就要说了，老师啊，我规定这个 x 小于等于 a， 小于等于 b， 形平体之后分析出来的情况是完全一样的，因为 a、 x、 b 这三者本来顺序就可以互相捣乱的啊，是轮换对称的式子。那么写成这个结果之后的话， 大家看了，因为 b 大于等于 a， b 大于等于什么？ b 大于等于 x， 然后 b 还等于 b 这三个式子，因为它都是正数嘛，左右两边分别相乘， b 的三次方大于等于 a x b。 哦，原来 b 是大于等于八的呀， b 的三次方大于等于八， b 就不就大于等于二吗？好，记住这个范围， b 大于等于二，那 b 大于等于二的话， b 乘 ax 这三个字母加起来，嗯，乘起来吧，是等于八的，你这是大于等于二吧， 所以 a x 这个整体就小于等于四了。这个是很简单的，也就是说根号 a x 这一部分呢，小于等于二这个范围很重要哈，我们也就是刚刚处理这一步，非常重要的就是首先得出这样一个对称式来，轮换对称式，这形式是完全一样的，这算三个 分式。然后另外比较重要的一点就是得出来根号下 ax 这个整体是小于等于二的。记住啊，这两个都很重要，那我们把这两个比较重要的都写到右上角。好吧，那现在我们就是要证明 画圈的这样一个轮环对称式是在一到二之间的，我们先证明大于一。在证明这点之前的话，我跟大家说一个东西啊，我们的思路其实非常的简洁，非常的明了， 首先就是通过放缩，然后呢把 f x 变成什么形式呢？变成个一， 加上多少，加上某一个，反正是比较复杂的形式。那么接下来我们只需要证明 g x 这一部分大于零就行了，是不是？关键是怎么去把这个一能够提出来，能清楚我的意思吧？很显然哈， 你 fx 如果扔掉最后一个分式的话，显然是有一个大于好的，因为 fx 是三个分式相加，人家是正的，对吧？当你把这个正的扔掉之后，他不就变小了吗？改成这一步， 到了这一步，接下来一就很容易出来了吧。怎么出来呀？啊？分离场数吗？很容易处理的，我们只需要把第一个式子写成多少呢？写成个一加根号加一加 x， 你加了还必须减去一加， 然后呢？分母还是一加 x， 对吧？然后呢，就变成什么结果了？就变成了，你看画圈这一部分，上下一比，是不是就是一个一，再加上一减，根号 e 加 x， 然后再比上根号下 e 加 x， 就这样一个结果，清楚了吧，原来是这么变形的。那么当你变形成为这一步之后，成功了吗？同志， 这不就是刚刚放缩出来的那个 j x 啊，我只要证明这个 j x 是大于零的，那整体前头还加了个一呢，他不就大于一了吗？清楚我的意思了吧？所以我们目标其实很明确，就是想证明就是方框里头这个整体是比零大的好。那么怎么证明啊？ 简单，先通分呗，就后边这两者通分啊，通分以后的话是这个结果，这个结果的话有一点是不太顺眼的，你看这个分子嘛，分母不用管它啊，分母的话咱们一看就都是正文，咱们看分子就行了。 这个分子的话是不是有根号，他也有根号。第三部分剪掉的这个东西呢？也有根号，我觉得不太顺眼，大家有没有想过一个东西啊，怎样能够去掉这个根号啊？ 用什么方法能够去掉这个更好呢？来平方差公式应该想到吧，这个在初中很早就学了。 x 方减 y 方等于什么？ x 加 y 乘 x 减 y， 哎，这不就是两者相减的形式吗？所以我们接下来处理的时候，只需要分子分母 同城，什么同城，这两者的和不就行了呀，是不是？所以嘛，当 我们分子成什么成了一个这样，一个根号一加 x， 根号一减啊，一加 a， 然后再加上根号下他俩相乘的形式。那利用平方下公式，至少 我首先把它的根号去掉了吧。前头的话再来一个平方减平方的形式嘛，改成这个结果，你分子乘 一个两者之和，那你分母是不是也得成一个两者之和？那么接下来其实就很简单了，我们只需要验证就是这一部分 g x 非常复杂的，这一部分大于零就行，分母你是不用管的，他肯定是正的，所以我们只需要验证分子这一部分大于零就行了，这个目标是不是很明确啊？ 所以接下来比较关键的就是我们要验证红色的分子这一部分比零大了。嗯，怎么验证呢？先打开呗，拆开以后的话，你看有个一加 x， 有个一加 a， 然后还有一个二倍的根号，下一加 x， 再乘括号一加 a， 都有这些啊，打开之后的话，咱们稍作整理吧， 就变成后边这样一个结果了。其实后边也应该处理一下啊，后边这两个相乘的话，得的是一加 a 加 x， 再加 a 乘 x 这个整体，对吧？咱们稍微处理一下啊， 处理之后的话，就得这样一个结果。其实这部分好理解，一减去 a x， 就是通过这两部分相减得到的啊。拆开以后呢，就是一减去 a x， 但这个地方大于等于哈，也就是说波浪线凭什么大于等于后边这个波浪线？其实很简单，原因是这样的啊， e 加 x 这个整体和 e 加 a 这个整体相乘，我们展开之后是 e 加 a 加 x， 然后呢？再加上 a x， 这个没问题吧？然后怎么样？ 然后他是大于等于，两者相乘均值不等是知道吧？一加上二倍根号下 a 乘 x 不就行了吗？然后应该理解了吧。然后再接下来的话，就是继续怎么分析啊？这一部分就很简单了，画横线这一部分，画横线这一部分，我们只需要他就等 价于一加根号 ax 这个完全平方量，因为你左边是带根号的，就是这个一加 x 和一加 a， 那右边我们也应该给带根号，也就是一加根号 ax 平方平方，再来个根号不就抵消掉了吗？ 最终结果应该知道了吧，知道这两个波浪线为什么是大于等于的关系了吧？原来如此啊，那得出来这个之后的话，咱们稍微一处理，最后得成这样一个结果。好，后边可能有些又不会了。老师，这个等于号怎么得出来的？很简单， 来三的话，我们可以拆成三乘一的形式吧，用音是分解十字相乘的方法。这个负的 a x 呢？拆成负根号 a x， 再乘正根号 a x， 你两者交叉相乘，再相加三倍的，再来一个负一倍的，是不是二倍的？对了，所以最终结果 就是等于三减根号 a x 再乘一加根号 a x， 就这样一部分。那你要注意，我们一开始已经验证成功了，根号 a x 是小于等于二点三减去小于等于二的一个数字，那当然是大于零的。 第一括号是正的，第二括号一看就是正的，两个正数相乘，你说是不是大于零？也就是我们目的是不是达到了， 这个分子是大于零，没问题吧？那分子只要大于零，我画方框这个复杂的部分就是大于零的，既然它是大于零的，那接下来很简单。所以啊， fx 是不是大于一零，那接下来你稍微一分析不就可以了？复杂的这一部分，我们验证成功是大于零的， 所以 f x 大于一思路是不是很清晰？所以当你理解了 f x 为什么大于一这一步之后，接下来你自己再挣 f f 小于二就有可能做出来了啊，有可能，那什么意思啊？一样的通过放缩或者说构造的方式啊，巴拉巴拉或者说等于号也行啊，构造出来一个什么形式呢？构造出一个这种形式 二，再加上非常复杂的一部分，这个是关于 x 的一个式子啊，那么这一部分非常复杂的这样一个式子的话，我们只需要验证它是小于零就行了。我们只要验证成功了， hx 小于零，不就相当于验证成功了。 fx 它是小于二加上零小于二的吗？ 理解这个意思吧，所以第一步还是你得把这个二构造出来。行，因为你本来就是要跟二比较的，对吧？怎么构造呢？也简单哈，但是这个第一步的话，大家很多同学可能就赶不上了。老师，我知道这后边长的是完 一样的，第三个分式直接挪下来就行。但是呢，我不理解的是，你这前两个相加以后，凭什么就有个小于的关系？就是说他是比较小的，他是比较大的，哎，为什么有个小于号的关系？来吧，我跟大家说一个东西啊，首先 我们把它理解为 p， 就这个理解吧，然后把它理解为 q， 这不用多分析，反正 p 是小于一的， q 肯定也小于一，这很简单嘛， 那既然 p 口小于一， q 小于一的话，那一减 p 乘一减 q， 那是不是两个？你看一减去比一小的数字，一减去比一小的数字，哦，两个都大于零啊， 大于零吧，那展开以后，就是一加上 p 乘 q， 然后减 p， 再减 q 大于零， 那不就变成了什么？变成了。哦，我知道了，原来 p 加 q， 这不就是 p 加 q 吗？就是小于一加上 p 乘 q 的，这不就是 p 再乘 q 啊。那个 p 就是根号下一加 x 分之一， q 就是根号下一加一分之一，你说是不是？关键你得知道这样一个不等式，清楚了吧？这是第一步啊，第一步就比较复杂了，第一步的话，就是首先我们至少可以构造出一个一来，通过放缩放大了，对吧？构造出一个一来了， 那么构造出这个一不行，我们的目标是什么呢？你把二构造出来，然后分析这个 h x 小于零， 清楚我的意思吧，所以还不够，不够的话，关键是后边这部分能不能再提出一个一来，这样就有两个一就变成二了，怎么呢？其实也好说啊，那么接下来 来的话，我们稍微处理一下，看这个小于等于号这一步他是怎么出现的。看了，其实原则上就是看画圈这一部分他究竟是怎么处理的。你说怎么处理的，刚刚已经说过了吗？ 一加 x 一加 a， 它是大于等于一加根号 a x， 详细过程就不说了，括号一已经说过了。 所以说呀，那你经过分析之后的话，根号下一加 x 乘一加 a， 因为你放在分母的位置，所以就变成了小于等于号，对吧？小于等于啊，根号下平方，我直接把根号下平方抵消掉了啊，一加一 x 分离清楚了吧？这个是跟括号一一样的一个步骤，所以我就不再多说了。这两个不等式还是很好分析的。君之不等式啊，一模一样，写成这一步之后，为什么要跟 这么改呢？因为这么改之后的话，容更容易分离。长数一，清楚我的意思吧，怎么分离呢？嗨，到现在啥子都会分离了，因为经过刚才的括号一圈一的讲解，看了啊，我这么分析， 一加根号 ax， 再减根号 ax， 你看这么一分析之后的话，是不是变成了这样一个结果呀？ 哦，知道了，原来是这么回事，所以接下来怎么变形式，你应该清楚了吧，所以一下就变成了这样一个结果了，变成了一个，就是这一步变成了一个一减去根号下 ax， 第一加根号 ax， 这个一和这个一合起来，这不就变成后边一个二了吗？清楚了吧？ 那么变成这个结果之后的话，达到目的了吗？达到了，我们终于把 f x 变成了二，加上非常复杂的一步， 我们接下来只需要验证 hx 这个复杂的部分小于零就可以了。好验证吗？好验证方法，什么通分一模一样的？跟前头啊？通分谁通分啊？当然是这两个分是通分的，通分之后的话 就得这样一个结果，这个是很容易的。那么来请告诉我接下来怎么分享？我们这部分是正的，这部分也是，反正分母是正的，然后这个根号 ax 呢？也是正的。 我们是不是特别想要验证这一部分是小于零啊？但是这一部分好验证吗？不好验证，因为他含有根号，他也含有根号，如何能尽可能多的去掉这个根号？平方差公式一模一样的处理方法，也就是分子分母同城谁啊？同城一家跟， 然后 a x 再加上 a x 加八，你说这俩东西乘起来是不是利用一下平方下公式，分子分母同长这一部分就行了。 所以呢，分模后边我同称他俩的和分子的话，直接你看后边是不是去掉了根号了？去掉了前头的话，也尽可能的去掉根号了。所以接下来其实我们就只需要验证 什么红色部分小于零就可以了。如何验证啊？要先展开，展开这步是非常轻松的，这个我就不多说了，那么稍微处理一下，变成这个结果，我们把二提出来呗。 来，我们已经说过了，根号 a x 比二都要小，小于等于二，那当然就小于二分之七了，对不对？所以根号 a x 小于二分之七，小的减大的，你说是不是小于零啊？当然是个负数了，小于 一零吧。好，原来红色部分小于零，红色部分小于零，就意味着这个复杂部分是小于零的，这个复杂部分小于零，就意味着 fx 是小于二，加上零，清楚了吧？小于二的呀，那接下来不就分析出来了吗？ 所以其实你只要清楚了为什么 f x 是大于一的，那么接下来再让你分析 f x 为什么小于二，就简单的多了。综上所述，咱们一定要回答，因为你分类讨论了吗？综上所述，对任意的正数 a x 都满足， f x 在一到二之间，那么这道题应该会做了吧？
6992会放羊的教书匠
