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17:29查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下去年二零二一年新高考全国一卷的最后一道导函数大题，他综合利用了构造函数和极致点偏移这两种方法都是常见的这个导函数大题的考点。 然后有的人可能要说，老师，这道题你不是一开始就讲过了吗？咱现在换一种新的方法，你看我讲这道题啊，咱现在来看一下吧，一共有两问啊，乍看起来还是挺简单的，一会做起来就不简单了，来看第一问吧，第一问肯定你是可以做出来的啊，咱第一问结的时候，只需要求一下倒就行了。 这个函数呢，咱把括号乘开吧，把 x 减去 x l x。 那注意啊，他这个定义域的话，咱就写明白了，定义域实际上就是这个零到正无穷，因为有 low n 呢，对吧？这个 x 作为真数，只能是零到正无穷，然后接下来求导呗， 求导之后的话，就变成了一减一，减多少呢？一减 low x， 然后再减去 x 乘 x 分之一，这个实际上就是减去一嘛，最终就是负的 low x。 所以呢，我们现在让谁啊？让它等于零，导函数等于零，实际上就得出来，这个 x 呢，是等于一的。 那也就是说，当 x 在什么方面的时候，在零到一之间的时候，你负的 l x 这个图像呢，其实很好画，就大概是这么画的吗？这个就是 y 等于负的 l x 这个图像，然后这就是一，所以你应该很清楚了吧，零到一之间呢，这个导函数它显然是在 x 轴上方， 这个 f 撇呢，是大于零，那原函数它就是单调递增呗。但是呢，当 x 在一到正无穷的时候呢，这个导函数就到 x 轴 下方，也就是说导函数就小于零，那这个圆函数单调递减呗。最后你写一下答画就行了。重点是这个第二文啊。第二文的话，现在看他是怎么回事呢？他说 a 和 b 是两个不相等的正数，注意啊，是两个正数，而且不相等， 并且给了一个 b 倍的 lon a 减去 a 倍的 lon b 等于 a 减 b， 这个究竟怎么回事咱不知道，看最后这个问题。 最后这个问题是让你证明， a 分之一加上 b 分之一，这两个数加起来呢，是在二到 e 之间的，究竟这个二是什么？ e 是什么咱也不知道， 顶多你可以想到什么呢？其实第一问已经知道了， x 等于一啊，它是一个极什么值啊？它是一个极大值点， x 等于一是个极大值点，这个二呢，有可能哈，有可能是二倍的那样一个极大值 值，但是究竟是不是，嗯，咱也不知道啊。二倍的极大指点。那咱现在这样吧。第一步，已知条件总要转换一下吧。转换成什么样子？这个样子太不好了，为什么 b 和 a 一直含到一块？这我也不知道怎么办，咱有没有某种方法能把 a 和 b 分开？ 问题中已经强烈提示你了。问题中强烈提示你，咱看一下哦，问题中，咱只要把已知条件这个方程里边都变成 a 和 b 的倒数就行。什么意思？所以说已知条件左右两边干嘛呀？ 已知条件左右两边同除 a 乘 b 这个整体，那左边如果除 a 乘 b 的话，咱先写呗。左边除 a 乘 b 啊，就是 b 捞完 a 减去 a 捞完 b， 右边也是 ab 分之 a 减 b， 因为 a 乘 b 是个正， 这是没问题的啊，那继续呗，左边的话继续变啊， b 和 b 斜掉，变成了啊 a 分之一，再乘，捞完 a 啊，然后减去好 b 分之一，捞完 b 这个等号右边的话就变成了 b 分之一，减去 a 分之一，这个就太好了， 终于把这个 a 和 b 分开了。你看这个位置只含有 a， 这个位置只含有 b， 然后右边 a 和 b 呢？也是很容易移向分开的， 但是分开之前的话，大家要注意一点，其实你这个捞完 a， 我们最好都改成什么形式？问题中嘛，让你证明了，这样一个形式里头，人家 a 和 b 都是以倒数形式，都是以 a 分之一和 b 分之一出现的， 所以我们捞很 a 的话，也写成这个捞很 a。 哦，知道了，所以我们应该写成负的捞很 a 分之一，包括这个捞很 b， 其实也应该改造成负的捞很 b 分 之一。所以说这样一个方程继续改变，就变成什么样子了。把符号提出来啊，负的 a 分之一， a 分之一。注意负负得正啊，两个负号，那就变成了加上 b 分之一 loin b 分之一，它就等于 b 分之一减 a 分之一。太好了，现在大家肯定知道，我们把 a 分之一和 a 分之一肯定想放到一块，把这个 b 分之一和 b 分之一放到一块。那行吧，那这个 a 分之一的话，把这个负 a 分之一挪过来啊， 变成了 a 分之一，减去 a 分之一， low on a 分之一，然后等号右边就变成了 b 分之一，减去 b 分之一， low on b 分之一。可能有同学说，老师你改成这个样子究竟有什么用？我再写一下，你应该就知道怎么回事了。 我左边把这个 a 分之一提出来，一减 low and a 分之一，右边呢？右边呢？我把这个 b 分之一提出来，然后变成了一减去捞案 b 分之一不用多说什么了，你现在应该知道他是一个构造新函数构造函数的问题了吧？那我应该构造是怎么样的类型啊？ 哦， a 分之一和 b 分之一等号左右两边它逻辑类型是一样的，逻辑位置是一样的，所以我构造肯定构造一个它等于哦 x 乘一减 low x 的形式。这不就是题目中第一问的这样一个函数吗？ 哦，原来是这样啊，原来这个函数我现在终于知道是怎么回事了。所以现在请大家观察一下，仔细观察一下圈一。 由圈一这个式子的话，我们事实上完全可以干嘛？我们令这个 x 一就等于 a 分之一，令这个 x 二就等于这个 b 分之一，对吧？那圈一的话，这样一个方程，它 完全等价于 f x 一，它等于什么？等于 f x 二啊？天呐，本来应该是 f a 分之一等于 f b 分之一吧，咱就直接写成 f x 一等于 f x 二。那么你这样转换之后的话，我们需要证明的就变成了什么，就变成了我们现在 只用证明什么呀？注意， x e x 二肯定是两个正数，对吧？因为 a 和 b 都是两个不相同的正数。那现在事实上我们只需要证明什么 啊？我们只需要证明这个 x 一加 x 二大于二，但是小于 e 就可以了。 现在呀，我们就有必要把什么画出来？现在我们有必要把这个 fx 的草图给画出来了，但是画这个草图之前的话，有几点特别重要，除了这个第一问中零到一上单调递增，然后一到正无穷上单调递减之 之外，他你得把这个 fe 求出来啊，这个 fe 等于一，这个没问题，其实还有一个零点，这个题的话，你看括号里头 fx 这个 x， 那不管了，这个一减去 lower x， 你说这个括号什么时候等于零啊？一减，哦， lower e， 所以说 fe 它呢？你可以带进去，它是等于零的啊， e 都好零，这个 e 它是一个零点啊。所以现在呢，根据这个单调性，还有这几个特殊的极致点，还有零点，咱们就可以把谁画出来，就可以把 fx 草图画出来，我就画到左边这个位置了。 好了，这个图像呢，很快就画出来了，大概就长这个样子。那么画完之后的话，咱们需要判断一下这个 x e 和 x r 分别是它的范围是多少啊？你要注意的是，咱可以假设这个 f x e f x r 就是已知这个 f a 分之一， f b 分之一， 咱假设它是等于 k 的，那其实也就是说什么意思？也就是说 y 等于 k 啊， f x 等于 k， 它是有 x 一和 x 二这两个不同的焦点，这两个不同的解的，那 x 一的话，咱实际上就相当于图中的可以假设这个 x 一小一点啊， 就是左边这样一个横坐标，然后右边的话，这个 x 二就是这个蓝线 y 等于 k 这条水平线跟谁啊？跟这个 y 等于 fx 右边这个焦点的横坐标了， x c x 二。所以由图可知，我们很快就求出来了这个 x 一和 x 二的范围， 这个 x 一显然只能是这个零到一之间了，然后 x 二的话，它只能是在一到一之间，这样才能保证 y 等于 k 是有什么，它是有两个不同的解的 x 一和 x 二。那么求完这个范围之后究竟有什么用呢？ 别着急，实际上他让你证明的是两个不等号啊，我们先证明什么？注意了，我们先证明这个 x 一加 x 二 大于二，一会再证明这个小于一啊。大于二的话，转换一下吧。那么我们现在转换成什么形式呢？我们现在啊，转换成它就相当于 x 二是大于二加 x 一。这就是急着点偏移的一道题目，急着点呢，是向左偏呢？ 那么继续看了啊，那接下来不行吧，你想一想，这个 x 二它的范围是什么？哦，是一到 e 之间，这个不用多说了。哎，那二减 x 一呢？ 因为 x 一它就约等于零点几吗？二减 x 一，那不就是约等于一点几？所以说，无论是 x 二还是二减 x 一，它都是比一 一大的。这两个画圈部分的整体既然经过分析之后，他比一大，也就表明，你看 fx 怎么着来着？ fx 他在一到正无穷上是单调递减，那结合这个 fx 在一到正无穷上单调递减的这个性质，你现在告诉我 这个 f x 二和 f 二减 x 一哪个大哪个小啊？肯定是小于号，正好反过来了，因为是单调递减。 那么再继续，你想这一部分，这个不等式啊，虽然已经写到这，但是不太满意，不满意的地方就在于，你一个不等式里头既有 x 一又 x 二，那怎么办呢？咱们尽可能都只转换成 x 一，或者只含有 x 二。 这样吧，人家已知条件，咱刚才已经推出来了。这个 f x 一是等于 f x 二的呀。所以说，我们左边这个 f x 二，你干嘛不写成 f x 一，它是小于 f 二减 x 一呢？ x 一的范围是什么？ x 一的范围就是零到一之间，所以它其实就相当于让我们证明。 当什么呀？同学们注意啊，我要移向了，我要把这个不懂号右边移到左边来了。实际上我们只需要证明什么，我们只用证明 当 x 在什么，这个 x 就相当于 x 一啊。当这个 x 在 x 一这个范围内，在零到一这个范围之间的时候呢？我们新构造的这样一个函数，这个函数我用 h x 来表示， 你看，它就是 f x 减，去把右边移过来，那不就变成了 f 二减 x， 我们只用证明它小于零，不就等价于 这个 f x c 小于 f 二减 x。 哦，明白了，每一步，每一步我们都是等价变化的。那怎么证明啊？好证明用求导的方法呗。 现在呢，我们这个 h 要求导了啊，这个 h 呢？求导完了以后呢？你自己带入求导一下。这个求导很简单的啊，求完之后呢，咱稍微整理一下，就是负的 long x 二减 x， 这个根据复合函数同增异减这样一个性质，咱们现在研究的是什么？ x 在零到一之间， 零到一之间的话，这个内层显然是一个 t 等于 x 二减 x， 开口向下啊，然后对称轴是一啊，零到一之间，内层是个增函数，但是外层有负号，是个减函数，同增一角啊，所以呢，他怎么样啊？这个函数呢，他在零到 一之间，它是单调递减的，这个 h 片是单调递减的啊。那 h 片如果是单调递减的话，那就意味着 h 片这个整体它是大于 h 一的，因为我们只研究零到一之间 h 一，你一算它等于几啊？等于零。哦，原来这个一阶导函数是大于零的，是个正数啊。一阶导函数永远大于零，是个正数，那就意味着这个圆函数，它在规定的零到一上是单调递增的。 那单调递增的话，我们不是研究这个 h x 怎么样小于零嘛？小于零小于零，不就是求最大是比零小，也就是说 h x 它就是小于谁的，就是小于 h 一。这个 h 一你可以算一下， 带入以后不就是 f 一减去 f 一，它就是等于零。好了，这不就证明完了吗？我们只要证明这个 h x 是小于零的，不就相当于证明完 画圈这一部分吗？因为每一步都是等价转换，所以最后其实就相当于证明什么？就相当于证明了 x 一加 x 二，他是大于二的。你大概分析一下，最后再说明啊，经过分析可得，那就相当于证明了 a 分之一加上 b 分之一是大于二的。 好了，前头这一部分大于二，我们就已经证完了，是不是还得继续证明什么？继续证明这个 x 一加上 x 二是小于 e 的。那么接下来怎么去证明 x 一加上 x 二是小于 e 呢？那继续写吧，咱们这样来证啊， 已知条件还是跟前头完全一样的。我们第二步啊，就是接着来证明这个 x 一加 x 二，其实就是 a 分之一加 b 分之一，它是小于一的，怎么去证明这一步呢？看好了啊，首先 f x 一等于 f x 二，我们呢，给它展开 带入简介式里头，它就相当于 x 一乘一减 low x 一，它是等于 x 二乘这个一减 low x 二的。 然后看好接下来我要怎么变形。你要注意的是，我们先观察这个 x 一啊，这个 x 一，刚才我们画图，在图像里头已经知道了，他是在零到一之间的， 零到一之间的话，这就意味着 low on x， 它是一个负数啊，它是一个负数的话，一减去负数肯定就大于一了吧。所以现在你应该知道我要怎么写了吧。那就相当于一减去 low on x， 减去一个负数肯定大于一， 那大于一的话，左右两边我要同乘一个。什么？左右两边我同乘 x 一这个正数了。然后看好了啊，它就相当于 x 一，然后一减 lower x 一，然后大于 x 一。因为左右两边都 乘的是 x 一这正数，所以没有问题。那么为什么要这么写呢？马上你就知道了，看好了啊，同学们啊。呃，接下来我们要证明这个 x 一加上 x 二是小于一的，对吧？ 然后我们先不要着急写那个 e， 我们这个 x 一小于十来着，哎，小于画圈部分，这个 x 一 一减去捞按 x 一，再加上 x 二。但是我们不满意，不满意的地方在于这个不等号右边呢，既有 x 一，又有 x 二， 别着急啊，根据现在的画双横线的这个等式，这是已知条件的啊，相当于我们已经正出来了，那不就相当于 x 二画横线部分直接转换成 x 二，然后再乘一减 low on x 二，这样的话，不等号，右边就只含有 x 二了。那他 太好了， x 二的范围是什么来着？一开始我们也求出来了，根据这个图像， x 二的范围是在一到一之间的，现在应该清楚怎么回事了吧？我们只需要证明画圈部分这个整体比一小，那此时 x 一加 x 二，根据不同号传递性，他就肯定比一小了， 应该理解了吧。那接下来我们只需要构造一个新的函数。注意啊，此时的 x 二都画成 x 了， x e 减 l x 再加上 x， 然后呢，一定要注意，这个 x 就是原来那个 x 二啊，它的范围是一到一之间。那行吧，我们对这个 g 求导啊， 这一撇儿的话，你可以自己求一下，非常简单。第一，减去 low on x。 现在你完全可以分析一下吗？由 low on x 在一到 e 之间这样一个值域，因为 x 在一到 e 之间，所以这个 low on x 的话，它肯定是在多少零到一之间，也就说 low on x 比一小，那此时这一片 x， 这个整体不就比零大吗？这一片比零大，那就相当于 j x， 它在规定的一到一上是一个单调递增的函数啊。 那 j x 是一个单单调递增的函数，那就相当于 j x， 它是小于那个 j e 的。这个 j e 呢？咱们算一下，代入以后啊，就代入这样一个解析式里头，它算出来其实就是正好等于一。 啥意思啊？同学们，我 j x 小于一， j x 是谁？ j x 不就是画圈部分这样一个范围吗？哦，我理解了。 所以呢， x 一加 x 二，它是小于这个 j x， j x 本身是小于 e 的，那根据传递性，所以不就相当于证明了 x 一加 x 二它就 不是小于一的吗？那现在你学会这道题了吗？这道题综合利用了哪几点呀？大家一定要注意，一开始的时候你必须先转换成什么，你必须先把这样一个方程转换成这种类似的， a 分之一一减 lower a 分之一等于这个 b 分之一， e 减 lon b 分之一的形式，然后进而转换成 f a 分之一等于 fb 分之一。其实也就相当于此时画圈部分的 fx 等于 fx 二。接下来就知道是利用极致点偏移了， 证明左边这个记者点便宜。大于二还是容易的，但是证明后边这个小于一就不是那么容易了，就不容易想到了。那如果考场上让你做这道题的话，你需要花多长的时间呢？分享课堂知识，感受数学之美！我是杨帆老师，下节课再见！
2027会放羊的教书匠
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08:12查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来讲一下和一日两片有关的飘带函数，其实就是对军不等式的一个加强版。那么怎么从对军不等式得到我们的飘带函数呢？我们来看一下，其实就是我们证明的过程，用笔直换圆的方法来证明它就可以了。这里的话我们不妨设 a 和 b 的大小关系， a 大于 b， 然后大于零，我们在另 a 比 b， 它等于 t， 显然是大于一的。好，这个时候我们来给它笔直换圆，就是这个对均不等式， 然后左边的话就是根号 t， 然后他小于 t 减一，比上劳影 t， 然后小于 t 加一比上二，那么右边的话直接就得到了我们的飘带函数的其中一个。那么看一下左边，左边 的话就是劳影 t， 然后小于根号 t， 然后再减去根号 t 分之一，这里的话我们给他做一个变形，就可以得到 两倍的劳影根号 t 小于根号 t， 减去根号 t 分之一。 如果我们让根号 t 等于 x 的话，我们就可以得到这个飘带函数两倍的拉印 x 小于 x， 减去 x 分之一，这样的话就是我们左边的这一个。 好，我们来看下右边，右边的话直接变形就可以了，得到劳音 t， 他会大于两倍的 t 减一，然后比上 t 加一，其实也就是劳音 x 大于二倍的 x 减一，比 像 x 加一。那么这里的话，我把飘带函数的三个的图像都画在这里了，大家可以看一下，也就是说其实一这个地方它是一个呃 共同渠道的点，然后呢，左右两侧大好关系其实是不一样的，所以对于我们飘带函数而言的话，是从一这个地方断开的，那么对于你使用的时候，当然你需要去证明，那么证明的过程就比较简单了，就是直接求导去证明就可以了。好，下来我们来看一下跟这个有关的一个题目， 有一个函数 fx 等于 x， 减去老远 x 存在一个 x 一不等于 x， 使得 fx 一等于 fx 等于 m， 让我们去证明 x 一加 x 大于一加 m。 这里的话，对于我们对数平均数来说，或者说是对于飘带函数来说，这个 很便宜的题目，他的难度都稍微相大一点，所以呢对于你的综合性会强一点，要求你对于这些不等式比较的眼熟。那么我们来看一下怎么来处理。这里的话，我们首先研究一下这个 fx 的一个图像， 我们给他求个导， fepx， 他就等于 x 分支 x 减一。好，这里的话，我们把他的导函数的图像画出来，是一个增函数，这里是一，然后这里是零，也就说零到一上递减，一到中午从递增，那么把一带进去，刚好等于一，所以这个函数的大致图像我们也就给他画出来了， 长这个样子，一的时候刚好取到一左侧递减，右侧递增，然后 fx 等于 fx 等于 m 的话，我们给他画一条横线，这个就是 m， 那么比如说我们让左边这个是 x 一，右边这个是 x 二，那么这么我就知道了一个 fc 和七二之间的大关系，那么来写一下， 不妨设 x 一大于零，小于一小于 x 二， 那这样的话我们就知道了 x 一分之一，他也是大于一的，对吧？然后我们就可以使用我们刚才的飘带函数，我们使用哪一个呢？使用老远 x， 他大于二倍的 x 减一，比上 x 加一。如果你 x 是大于一的话， 好，这样的话我可以把 x 一分之一和 x 二都带进去，对吧？那我们带进去看一下，就得到了蓝眼 x 二，它是大于二倍的 x 二减一，比上 x 二 加一。然后呢，拉印 x 一分之一，他就大于二倍的 x 一分之一减一， 比上 x 一分之一加一。下面这个式子我们可以做一个变形，就得到了劳影 x 一，他是小于二倍的 x 一减一，比上 x 一加一。 好，这样的话我们就得到了两个不等式。还有一个条件我们没用，就是这个条件，那么我们把它写一下， 由 fx 一等于 fx 二等于 m， 我们就可以得到两个式子， x 一减去劳运 x 一，他就等于 m， 也就是劳 拉印 x 一等于 x 一减 m， 同样 x 二减去拉印 x 二也等于 m， 我们就可以得到另外一个设置，拉印 x 二等于 x 二减 m。 现在的话，我们可以把这两个对数等于 x 一减 m 和 x 二减 m 带进去，这样的话我们的不等式里面就没有对数。我们带进去看一下， 第一个就是 x 二减 m， 然后再乘以 x 二加一，他会大于二倍的 x 二减一。第二个就是 x 一减 m， 乘以 x 一加一，他会小于二倍的 x 一减一。好，这样两个不能试的话，我们把它拆开看一下， 拆开就可以得到 x 二的平方，然后再加上一减 m 倍的 x 二， 再减 m， 他会大于二倍的 x 二减二。另外一个就是一样的 x 一的平方，加上一减 m x 一，然后再减 m， 他会小于二倍的 x 一减二，而我们知道 x 一是小于一的，所以，呃，它是一个复数，对吧？那左边也是一个复数， 如果我把它两式相减一下，前面这两个都是正的，我减去一个复数以后，会加上一个正数，那这样的话，他们的大小关系就是确定的。我们把两个式子做叉，就可以得到 x 二的平方减去 x 一的平方，加上一减 m x 二，然后再减去一减 m x 一， 然后大于二倍的 x 二减去 x 一。 左边这里有一个平方叉，我们可以把它拆开， x 二减去 x 一，然后另外一个就是 x 二加上 x 一，然后 这边的话我们要得到一个 x 二减 x 一呢？就是加上一减 m x 二减去 x 一， 把右边的移到左边去，就可以说减去二倍的 x 二减去 x 一回大于零。这个是 如果你们发现每项都有 x 二减 x 一，我们就可以把它提出来，就可以得到 x 二减去 x 一，再乘以里边是 x 二加上 x 一加一减二，那就是减一，然后再减 m， 他会大一点， 因为我们知道 x 二是大于 x 一的，也就是说 x 二减去 x 一是大于零的，那这样的话，要求我们右边的括号也要大于零， 也就是 x 二加上 x 一减一减 m 需要大于零，这样我们就得到了结果， x 一加上 x 二， 他会大于一加 m， 那么这个题目的话，综合性就会稍微强一些，而且对于你对不等式的了解要求会高一点。
1473求索数学
02:30查看AI文稿AI文稿极致点偏移类问题是我们学习倒数时躲不开的话题，今天我们就用两分钟时间来入门这个知识点。首先来看什么是极致点偏移。如果一个函数的函数头像是这样，就像二次函数一样， 当 x 等于 x 一和 x 二十函数值相等，并且及时点 x 零在 x 一和 x 二的正中间，也就是 x 零等于二分之 x 一加 x 二。 我们把这种类型叫做极致点，不便宜。类似的，如果图像是这样，极致点 x 零在 x 一和 x 二中点的右边，也就是 x 零大于二分之 x 一加 x 二，叫做极致点右偏。那么 x 零小于二分之 x 一加 x 二的情况就叫极致点左偏。 了解了这个前题，我们来看这道题。题目是一个非常常见的函数，很容易得到这个函数在负无穷到一单调，第三在一到正无穷单调第减，所以一就是这个函数的极致点。题目 告诉 x 一和 x 二处的函数值相等，让我们证明 x 一加 x 二大于二，这个式子等价于一小于二分之 x 一加 x 二，显然是一道极致连锁偏问题。 可能很多同学看到这个函数时，就已经在脑海里画出了他的图像，不过我们假装不知道，就用极致点左篇问题的通用图像来做题。因为 x 一处的函数值等于 x 二处的函数值， 所以 x 一和 x 二一定在一的两侧，但是我们并不知道他们谁在左谁在右。所以第一步定 x 一和 x 二的范围，不妨令 x 一小与一， x 二大于一。第二步一向转到同一单调区间。原题正 x 一加 x 二大于二， 把 x 二挪过去，就变成了 x 一大于二减 x 二。为什么要这样操作？首先 x 一是小于一的， x 二大于一，那么负 x 二就小于负一，这样二减 x 二也就小于一。 此时 x 一和二减 x 二都是小于一的，那么他们都在一的左侧，也就是都在函数的第增区间上。所以第三步，利用他们都在增区间这个性质，把自变量不等式变为函数值比较。要证明 x 一大于二减 x 二，只需要证明 f x 一大于 f 二减 x r， 但是这依然是一个双变量问题。所以第四步，利用函数值相等，双变量变为单变量。因为 f x 一等于 f x r， 所以上面的式子就变成了 f x r 大于 f 二减 x r。 现在这个式子只有一个自变量 x r x r 的范围也很清楚， 只需要把他们挪到一边，起个新名字 gx， 令 gx 等于 fx 减 f 二减 xx 是大于一的，证明 gx 的最小值大于零即可。而接下来就是导出大题的常规思路，大家自己来证明吧。
9641任力高中数学
06:20查看AI文稿AI文稿大家好，我们一起来看一下这道题。已知 a 大于零，设 x 一 x 二是这个函数的两个零点， 让求证 x 一加 x 二小于二。像这一类利用导数证明函数的极指点的不等式的问题，也就是我们通常所说的极指点偏移的问题。 他的通常的解题的思路就是引入一个新的函数，或者说构造一个新的函数，利用函数的单调性得到我们想要求证的那个不等式。 首先题目让我们证明原函数 f x 的两个零点相加小于二，那我们首先就来判断这个原函数的单调性，将这个原函数的极致点找出来，那我们对这个给定的条件函数进行求导， f x p 就等于 x 减一的 e， x 再加上 ra 倍的 x 减一，那我们提取一个公因式 x 减一，再乘以 ex 加上 ra。 因为 a 是大于零的，所以的后面那个音是他是恒大于零的，我们只需要讨论前面那个音是了。当 x 小于一的时候， 那么这个函数的导函数 fx 撇是小于零的，原函数单调递减，当 x 大于一的时候，这个函数的导函数大于零，原函数单调增， 就当 x 等于一的时候，这个元函数 fx 有几小时也是它的最小值，那么我们就说元函数的最小值在 f 一出去的，我们将它带入就是负一， 那么是小于零的。那么通过对原函数求导，对他的导函数进行分析就知道原函数在 x 等于一这个点取得最小值，那么 x 等于一是这个函数的极小值，也是最小值。 那么题目给定的两个条件， x 一 x 二是这个函数的两个零点，所以我们说 x 一 x 二这个两个点是分布在 x 等于一这个点的 左右两侧的。我们就不妨设 x 一小于一小于 x 啊，就给他这样做一个假设，这 x 一小于小于 x 二，这两个零点分布在极指点两侧， 那么由于 x r 是大于一的，所以二减 x r 也是小于一的。我们这里做了假设之后，那么二减 x r 也是小于一的。 那么现在题目要证 x 一加 x 二小于二，要证这个目标不等式，其实即证 x 一小于二减 x 二， 那么由于 x 一是小于一的，二减 x 二也是小于一的。就是说这两个数对原函数 f x 来说，它是分布在同一个单调区间的， 都是 x 小于一的区间。 x 一是小于一的，我们这里设的，那么二减 x 二也是小于一的，所以它俩同属一个单调区间，只需要正 f 二减 x 二小于 f x 一， 那么 f x 一又是等于 f x 二等于零的。所以我们其实就是要证 f 二减 x 二小于零，那 那么既然要正 f 二减 x 二小于零，我们就将 f 二减 x 二表示出来， f 二减 x 二负的 x 二的 e 的二减 x 二，那么再加上 a 倍的 x 二减一括号的平方， 那么我们就将 f r 减 x r 表示出来了。现在这里我们要证明的是， f r 减 x r 小于 f x 一，其实 f x 一又等于 f x r， 那我们就将 f x r 再写出来， 是等于 x 二减二的 e 的 x 二十米，再加上 a 倍的 x 二减一平方，那么现在要证 f 二减 x 二小于 f x 二，将它这个相同。像我们将它直接约掉，就用 f 二减 x 减去 f x 二，那么其实就是要正这个式子小于零啊。我们引入一个辅助函数 g x， 那么这里头的 x 是要大于一的，这就是我们前面设置的 x 二的取值范围。 x 要大于一， 要求这个函数很小于零的话，在 x 大于这个范围内，对他进行求导就好了。那么 g x 一撇，他等于 x 减一的括号的 e 的二减 x， 再减去 e 的 x， 这就是 gx 的导函数，那我们来判断它的导函数。就当 x 大于一的时候，前面那个因数大于零，后面的是小于零的，所以 gx 一撇是小于零的。也就是说原函数 gx 在 x 大于这个范围内是单调递减的。 那我们再看看在 g 一这一点，我们将一带入这个函数，他刚好是等于零的，所以原函数 g x g 小于零， g x 大于一这个范围呢？ 也就是前面这个式子小于零，那么往上推，其实就是 f 二减 x 二小于 f x r， 那么 f x r 又是等于 f x 一的。 由于 x 一和二减 x 是属于同一单调区间，就可以直接去掉函数符号，可以倒得一道，二减 x 二大于 x 一， 计证出 x 一，加上 x 二小于二。那么这个题到这就解完了。回头我们看一下像这一类极致点偏移的问题，其实就是要构造一个新的 函数，通过判断新的函数的单调性，来找到我们最后需要的不等式。 新的构造函数其实就是求导判断他的单调区间，找到我们需要的不等式啊，这是这类题的基本的思路。好，这个题给大家分享在这里更多的有关这类题的解法，同学不可以参照解题王 解题网总结了过去四十年高考当中所有的考点和命题点，想要在高考当中取得好成绩的同学，应该好好阅读里面的一千道类型题。
149张文龙《解题王》主编![[高考数学]导函数大题--极值点偏移，只需三步就能解决！#高中数学 #数学 #高考数学](https://p9-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/cd0b9a76aac25047ce7b002842b2e75d~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2107648800&x-signature=6ahk31VotO%2BPL5o7L6CXfs5vLcg%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20261018104637221D3F27EA1CFD83FD9C)
15:00查看AI文稿AI文稿大家好，这节课我就来讲一下高考数学导函数大题中的这样一个极致点偏移的问题。这个极致点偏移已经考了很多很多年，直到现在还一直在考察，那 那么先来介绍一下什么叫极致点偏移，他大致可以分成三种情况，第一种情况就是没有偏移的情况，那你可以看到图中这样一个函数的话，这个是 x 轴，外轴我就不换了啊，这个函数是 y 等于 x 方这样一个二次函数，初中就学过他的这样一个对称性，嗯，如果说 极致点偏移问题的话，他一般第二个和第三个都会写这么一个东西，这个 f x 一等于 f x 二，当然他不让这个 x 等于 x 二， 那么有这样一个抛物线的对称性的话，我们马上是可以知道的。你比如说左边吧，这个是 x 一，右边这边是 x 二，那么这个零，这个零的话是什么呀？不就是极小之典吗？对吧？极小之典。 那么现在的话，我问大家一个问题，有抛物线的性质，请大家直接告诉我，你说这样一个二分之 x 加 xl， 这个二十分之 x 加 x 二代表什么东西啊？告诉我，其实就代表对称轴吧，那么零 e x 等于零也是对称轴啊，所以说他这样一个极致点呢，和 x x 坐标的终点呢，是划等于号的，所以这种情况叫没有偏移。初中才考二十四函数，高中考的是有偏移的情况， 现在我们就来看一下极致点左偏和极致点右偏，也就是高考导航入大题里头真正的极致点偏移的情况。先来看左边的第一种情况吧，极致点左偏， 嗯，图中可以看出来啊，他这个 x 零呢，是一个极大值，然后 x 零左边的话，他这个虽然在上升，但是说上升的这个坡度很还是比较陡峭的，对吧？但是过了 x 零这个点以后，他这个坡 速度就缓下来了。所以说，如果你想减去同样的变化，同样的打扰他 x， 嗯，打扰他 y 吧，比如说这一段的距离呢，就是打扰他 y， 那么想变化这样的达尔的话，我只需要比较短的这样一个达尔卡 x 就行了。但是如果说右边我需要变化这样的达尔的话，我这个达尔卡 x 是不是就要变化的多一些啊？这个就叫机制点偏移。那具体来说的话，其实就这个意思， 题目中大家也可以看出来啊，经典的 f x 一等于 f x 二，当然 x 一不等于 x 二，然后他这个终点，现在我们要比较的是谁啊？ 比较是终点和这样一个极致点，究竟是谁在左谁在右？显然啊，你想一想，显然是 x 零在这样一个中点的左边吧，因为左边太陡峭了，右边太平缓了，所以说这个就变成了 x 小于他 x 零，其大指点小于这样一个横坐标啊，那 所以说这就是急着点左边的情况，那同样的道理，我们来看右边的情况，右边也一样啊，他还是他。题目中呢，肯定第二问，第三问会告诉你这样一个情况， fx 呢，是等于 f x 二的。 然后啊，他现在还是让你比较 x 零和二跟着 x 一加 x 二的情况，我把 x 零嗯，就写到左边吧。那好，现在看了啊，你说哪个大哪个小，他左边是缓一些，正好反过来了吧，过了这样一个 x 零极大之间以后怎么样？他就又降下去了吧啊，但是降的时候他这个坡度很很陡，陡峭一些， 所以说他降的就快，左边是升的比较慢，那所以说这样的话就会达到一个什么效果呢？你看 x， y 和 x 的中间值，这样一个中间值和极大指点比起来，哪个大啊？肯定是 x 零在右边那，所以说这个就叫极致点， x 零向右偏移了，比起这样一个中间值。 像右篇，现在大家应该理解这样的极致点左边和右边的情况大概指的是什么意思了吧？这个肯定是理解了，那么具体到题目中的话，我们现在来练习一道 这样一道题目，这个题目的话看一下啊，已知函数给了这样一个函数，第一问的话肯定一般都是简简单单的让你求单调区间，那怎么办啊？首先定义域是不是全体实数啊？然后既然定义域是全体实数的话，我们直接求到就可以了，所以第一问就很快就过去了。 然后接下来求导以后的话，主要是求导之后，最后这个形式上要注意因式分解啊，提供因式，呃，不要说你行了，这一步 统统也写到这了，你写到这不行啊，你把 x 提出来不就得了吗？就容易看出来了。我们现在来看啊，分析一下我省略号，省略了这个分析的过程。你看这个分母的话，不用说，分母评 光肯定是个正数， e 的 s 任何次方也是正数。然后，呃，谁呢？还有一个括号里头这个 x 方减二， x 加三，我们 配方以后得到这样一个平方加二的结果，那也是正数，也就是说我画圈的这三部分都是正数，所以说导弹数的正负仅仅取决这个负 x， 那不就出来了吗？所以说当 x 小于零的时候，负 x 是正数，所以说原来是单调递增的，然后零的右侧呢，就是单调递减的。这个第一题的话特别简单，所以我没有详细的一些过程。 其实第一题过了之后的话，我是非常建议大家把这样一个函数的草图给画出来的。那好，咱们现在直接来看第二问 这个第二个呢？哎呦，其实啊，同学们，当我看到这样一个第二个的时候，我其实我就知道他考他的是极致点偏一的问题，为什么呢？你这个也太明显了，他都不想隐瞒一下啊，你看他都不想变形一下，怎么回事？哎哎哎 啊，零的左边，那么就是这个意思吗？零的左边应该是会缓一些，零的右边会抖一些，然后大概的图像呢，是长这个样子， x 等于零，时间就是外轴啊。我就画了这样一个草图了。有朋友要经历，他说，杨老师，你是不是看过这个题目，题目上的标准答案根本就没有这个图像，但我知道他这个图像肯定是长这个样子。看一下这图像啊，零的左边那叫第三，零的右边那叫第几下？这个符合第一问的要求吧，第一问的结果，嗯，写到这以后的话，我还不满意， 希望大家知道。你很多时候啊，函数他不仅仅要看什么，不仅仅要看导函数的，政府不仅要看单调性函数，还要研究一下零点， 嗯，极致点很重要，极致点影响的是什么？影响的是单调性，但是这样的零点影响的什么？影响的是函数的正负吧。那他这个零点很好说呀，你看这个分子里面有个一减 x， 当 x 等于 一的时候，这个 f 也就是含数值等于零了，所以说很容易看出来这个 f 一等于零，也就这个点，懂了吧。所以说这个草图我怎么就能画出来是长这个样子？马上你稍微写一下分析就行。 当 s 小于零，小于零的时候，负 x 是个正数，所有位置都是正数，所以说零的左边虽然一直在单调低增，但是他只能是无限的贴近这个 x 轴，你用 用这个极限的方法推一推，也是知道这个含义的啊。贴近 x 轴，但是过了这个，嗯，外轴以后，过了 s 等于零这个拐点以后的话，那接下来要怎么办呢？那接下来要怎么办呢？你想一想，过了这样一个 x 等于零的这样一个积大成年之后，那接下来又怎么办？接下来往下走就比较陡了，你看一这个位置怎么样了呀？嗯， 一这个位置是什么点？哎呦，一这个位置是函数的零点啊，对不对？刚才我给你分析出来了，所以这个草图的话，我就给大家画出来，我用软件画一下草图， 你看跟咱画的这个铜一样？不一样，基本上是一样的，你看就是无限的接近于 x 轴，左边这个坡度啊，缓一些，右边降呢？降的陡一些，所以还是极致点，便宜的问题， 那么他最后这个 x 一加 x 二小于零，怎么回事呢？哎呦，你左边同除二，你把它写上二分之 x 加 x 二小于零，这个零是什么？零？不就是 x 零那个极大之点吗？是不是这样的？肯定是这样的，你看这是个 x 一，这是个 x 二，左边太缓了，右边下降的太陡峭了。那 奥尔跟之 i g s 二大概在这个位置，那肯定是在零的左边吗？所以它是一个极致点，右边的问题对不对？很简单吗？那接下来分析过程应该怎么办呢？但是接下来你不能说我有图可置，那你一分也没有，咱还是得老老实实写这样的代数分析过程的。嗯，接下来这样吧，接下来我们不妨练啊， x。 小鸭子有同学要这样，这个抬杠了，他说，老师你，你写这个是不是还得之后分析一下 x 二？小鸭子不用这个 x x 这个逻辑位置是对称的，最后也是对称的， 所以你讨论完 x 二小于 x 一或者 x 小于 x 二之后，另外一个就不用讨论，因为方法是完全一样的，知道了吧？那接下来的话，很多同学肯定都知道这样一点。我知道杨老师 左边肯定是 x 一了，小的在零左边，然后 x 二肯定在零右边，然后呢？就忘了写这个小于一了。你知道为什么 x 二不能大于一吗？有本事你让 x 大于一试试，你如果 x 二大于一的话，这个 f x 上是负数啊，然后这个 f x 肯定是正数啊，能相等吗？不能相等， 所以说这个 x 一 x 二的话，必须在领导一直见，也就是说必须满足这样一个要求，懂了吧？大概是这样一个图像。那 在接下来分析一定要注意啊，这个小于一点很重要，很重要的，到之后还会用到，接下来看吧，他不是给了一个这个一直条件，那你用啊，那你带入解决式给他用不就行了吗？老老实实用。 但是这个方程里头还有几个圆？还有 x x 二两个圆两元方程你会写吗？不会吧，咱们最好是转换成一个圆，把它处理处理，对不对？ 接下来要怎么处理呢？哎呀，别着急嘛，慢慢你就知道了，他不是要挣的是 x 加 x 二小于零啊，那其实相当于。嗯， 让你挣的什么？让你挣的 x 小于负 x， 有时候写到这，他不写这个零，你怎么能不写零呢？ x 二的范围刚才已经知道了，是什么范围啊？是零到一的范围，那负 x 二的范围咱们一定要知道精确一些，肯定是负一到零之间是不是？所以说咱们必须把另外这个小于零给写上来。嗯，详细分析 过程，你在草稿纸上体现一个，写到这。那。哦，原来是有这样一个范围，哎，那接下来怎么办？你以为第一问他问你单调性是白问的吗？同学们，请大家告诉我，当这个 f x 在负无穷到零的时候，他是一个什么？是单调递增的函数吧。 哦，这两个数是不是都在这样一个零的左边啊？动小于零啊？既然这两个圆都小于零的话，我直接带换成这个 f x 一小于 f x， 这个是等加转换过来的，没有什么问题的是不是？那好，接下一步我就继续表现出来就行了。哦，原来这个意思，转换到之后之后的话，别着急， 两元方程或者两元函数你会解吗？实际我想跟大家说的是啊，到了大学之后的话，大家要学习很多这种多元函数的问题了，比如说 xz 啊，外啊，三个元甚至都有可能遇到。你要到了大学的话，可以用偏导啊来， 但是说高中没有这样的函数吧，高中的函数都是只有一个自变量吧，所以我们得把什么把 x 和 x 这两个量转换成一个两两个元转换成一个元，怎么转化？题目中给你了，你为什么不把这个 x 换成 x 二呢？是不是所以他 让你挣的？因为 f x 等于 f x， 所以我就直接把这样一个不能是转换成了 f x 二。小云，你听起来绕吗？一点都不绕，转换到这我们已经成功一大半了，不信你来看。 是不是再解题？是，再解题，是，就变这样一个不等式，变完这样一个不等式以后，他只还有一个圆，这还有一个圆。 x 二吧，整理一下，不要往分式的方向去整理， 把它往这样一个整，是不能说是整是吧？把它往这样一个横着写的形式去分析啊，千万不要怎么样，你千万不要最后画成一个分式，分式就到，不容易啊。哎呦， 画成这一步了，画成这一步，我想说基本上已经成功百分之八十五了，那再接下来要怎么办呢？观察 x 二的范围，一开始就告诉你了吧，零到一 哦， s 二的方向是零，那我接下来构造一个函数吗？我把 x 二所有的 x 都放成 t， 然后讨论关于 t 的一个函数不就行吗？哎呦，有意思，是不是把所有的 x 都换成 t 了？注意，原来 x 二的范围是零到一，所以你换完之后的 t 的范围其实也是零到一， 接下来我们讨论 h 关于 t 的函数就行。讨论之前的话，注意了啊，为什么我平白无故，我根本就不是平白无故写出来的这样一个特殊的零点，为什么不是平白无故啊？ 你就想吧，如果你遇到一个函数 lower x 加一，你是不是首先要讨论的是 x 等于负一的， x 等于零的时候这样一个点，为什么？因为所有的对手函数都过一多少零，括号里头唯一是一个特殊的点，对不对？所以说 此时的话楼万一等于零，这个肯定是要带的。那你要遇到指数类型的话，所有的指数函数都过哪个点？所有的这个指数函数呢？都要过零的号一，所以咱们带一下这个零，对不对？然后这样一个指数为零。嗯，那带进去之后的话，接下来就很简单了，求倒呗，对吧？研究它的性质啊， 我们只需要研究在这样一个范围内，这个 ht 呢？是怎么样的啊？ ht 他的最小值是比零小就可以了。那好，继续吧。嗯， 求导以后画成这样一个结果了啊。继续来看，这个 hp 还是亮，看不出来。那就再求一次倒，再求一次倒，马上就知道了，他的二级导航是永远为负数。注意，因为 t 的 三位是零到一之间啊，所以他肯定是个负数，他是负数，不就意味着这样一个一阶倒函数怎么样？是单调地减的，过了零就开始单调地减了，也就是说 a 是 p 二， t 了， 挡住了，过了零， x 等于零这个位置，应该说 t 都没零啊，然后就往下走，所以说在零到一之间，这个 h 片呢，也是小 a 零的，因为我们只需要研究 t 在零到一之间的范围， 也就是说，袁函说这个 ht 怎么样啊？经过一系列分析，可得可得，什么可得？这个 ht 在零到一上是单调地减的，既然你在零到一上，其实这个地方你画的中考也是没有问题的，对不对？零到一的左右开上，所以 ht 永远怎么样啊？永远小于 h 零是不是就可以了？ 相等于零吗？也就是说，我们只需要证明 h t 小于零， h t 小于零不就是 a x x 二小于零，有区别吗？没有区别。好了，现在我们证明完了这样一个小于好，相当于证明完了这样一个小于好，相当于证明完了一开始的题目中的 x 加 x 小于零的小于号，所以说证明完了。听到这之 然后的话，有同学就有疑问了，他说杨老师，你题目上不是说呃，几率很偏移的这样一种导航书大题分三步怎么办？你说了这么多，这好都有十几步了，我感觉怎么叫三步呢？就是三步， 第一步我们要干嘛？同学们，记住，一定要研究一下极致点和零点，不要只研究极致点啊，还要研究一下这样的一多少零，这个零点是不是好。那么根据这样一个零点和极致点呢？我们要确定 x 和 x， 这是我们第一步要做的工作。 那接下来怎么办呢？接下来我们是不是这样处理了呀？把 x 小于 f， x 小于零转成这样一个了，转换成之后的话还不行， 转换之后的话，还得结合这样一个圆函数的单调性，因为圆函数在对应范围内是一个单调增加，我们就继续转换成了 f x 一，小于 f x 二，然后再接下来转换到这之后的 话，实际上第二步的工作就已经完成了，等价转化。那么转化到哪一步啊？转化到这一步，其实第二步的工作就完成了。那这一部分的话，方法的这一部分其实应该画到第三步，画到这个范围内。 你想啊，你高中学过，还有两个月，也就是说有两个自变量的函数吗？没有，这个到了大学小学。所以你现在要做的工作，所有的工作，接下来的都是要把 x 一和 x 二这两个圆转换成一个圆，双圆转一圆，最难的也就是这一步了。那好，接下来怎么转化呀？那好转化呀，接下来是不是我直接再利用一遍 fx 一，等于 fx 就转换成功了？记住啊，这个应该花到第三步里头的。那再接下来经过刚才的处理分析，求导啊。不啦不啦就完了，应该理解我的意思了吧，分享更多知识，更数学之美。我是阿范老师，下期再见。
645会放羊的教书匠
