信息差一旦打破，你会发现，高考不过是场你已知答案的开卷考。 为什么你刷了三年的题？高考碰到的永远是新题，别再用战术上的勤奋去掩盖战略上的懒惰了。这五年，命题，人们根本不是随机出题，他们是在用一种你根本不知道的心理博弈模型，专门盯着你的软肋下刀。高考倒计时三十天必刷金，不讲鸡汤，只讲人性。 我们请来了各地高考命题研究老师和教研员，拆透了近五年所有真题的出题人心理档案。 接下来的三分钟，我会把你从考生的位置拽到出题人的脑子里。信息差一旦打破，你会发现，高考不过是场你已知答案的开卷考。看完这条视频，你会发现，以前觉得难如登天的题，其实都是出题人给你下的套。 学会反向拿捏，高考也就那么回事。三二一开讲， 我已加入抖音精选高考应援联盟，这是我们独家出品的高考拆解解析栏目高考真题说明书，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，持续追更 高三同学们，家长朋友们大家好！二零二五年高考结束时呢，全网都在说数学反套路题太偏，但我可以明确告诉大家的是，不是题难，而是你没看懂命题人的出题逻辑。今天呢，我就通过还原二零二五年高考数学真题， 同大家拆解命题逻辑。今天的分享呢，将分为四个部分，首先呢，同大家揭秘二零二五年高考命题逻辑。 接着呢，通过对一道典型高考真题的深度拆解，那么教大家如何拿满拿分。第三部分，通过剖析高考阅卷标准，引领大家精准踩点，一分不丢。 最后呢，同大家总结出此类问题行之有效的解决方法，帮助大家从真题走向实战。首先呢，同大家分享高考命题逻辑。高考命题呢，有如下特征，第一呢， 教好衔接，回归教材。每年高考试题呢，有超过百分之三十的题目，都能够在教材里面呢，找到原型，找到题源， 这就要求我们在复习时一定要把教材吃透，不能脱离教材，盲目刷题。特征二呢，无情境，不命题高考命题，考察考生的不是死记硬背， 而是利用数学知识建立数学模型，解决实际问题的能力。例如呢，二零二五年，概率统计大题，以医疗检测为背景。 二零二三年呢，以投篮比赛为背景。军训呢，将生活问题转化为数据问题进行求解。好特征三，重思维，轻计算，反套路 高考试题考察的是考生对数学本质的理解，而不是机械套用解析模板。那么例如，二零二五年高考试题，那么我们同学平时训练比较多的，对于解导数题的积累点偏移， 那么这个通用模板呢，失效了。那么例如呢，我们解圆锥期限的问题呢？应解定律， 那么呢，也失效了。而本题呢，侧重于什么？对几何直观的分析高考命题呢？这个特征四，知识交汇模块融合高考呢，主干模块呢，有这样六大主干模块，对函数、三角、竖列、立体几何、概率统计、 解析几何。那么但是这六大模块之间呢，可以相互融合。例如呢，我们可以把解析几何与平面相纳，知识相融合，从而打破模块之间的壁垒啊。下面呢，我们结合二零二五年 新高考一卷第十五题啊，这呢是一个概率统计题，那么通过此题呢，那么同大家呢，还原命题思路，演示得分解法，同时呢，同大家剖析高考阅卷的踩分点及是非陷阱啊。那么呢，请大家看真题， 这个视题呢，我不再读了。好，我们看本题的问题，求解只有两问，第一问呢，我们是求谁呢？求这个结果不正常患者患该疾病的概率，这个 p 的 估计值。 好，第二问呢，是对独立性检验的考察。那么通过本题的题干及问题， 那我们大家思考命题人到底想考什么呢？本题呢，命题人想考这样三个核心考点，那么第一问的话呢，其实是想考察什么？用频率估计概率的核心思想。第二问的话呢，是想对独立性检验流程的考察。那么其实这两问的话呢，都是想考的什么呀？考生 对数学建模素养的掌握情况，那么也及时呢，考察考生能否将真实生活场景进行抽象转化，数据问题进行求解的一种能力。 好，下面呢，我们对本题进行初步拆解。第一问是求谁呢？求这个 p 的 一个估计值。首先呢，好，我们看一下原题， 我们是求什么呀？是求呢，不正常的，患该病的概率。不正常的话呢，包括什么呀？患该疾病和未患该疾病人数多少呢？对，是二百人， 不正常的是二百人，患疾病的是多少呢？是一百八十人。好，这里面呢， 我们确定相关数据以后。确定相关数据以后啊，这里面呢，我们这一步呢是给上四分啊，所以呢确定出一类数据，那么我们呢都给两分，然后呢我们依据用频率估计概率的原理 好，那么这里面呢又是两分啊，这低温的话呢，是送分的，是六分啊，但是这里面呢，如果我们直接代入代入这个第二步，那么缺失的第一步，那么这个分子的话呢，将会呢有所扣除。 那么我们在做解答题时，那么我们对于这个定义数据呢和结果，那么这缺一不可，那么务必要完整书写这个解析过程，那么否则的话呢，会导致失分。 好，我们看第二问，第二问的话呢，是对独立性检验的考察，那么这一问的话呢，难度也不很大 啊，那么对于独立性检验问题的解答，我们常规呢是分这样三步走第一步，第一步先呢零假设啊，零假设，零假设呢，我们依据提议，可以说呢，超声波检查结果与患该疾病什么呀无关 啊，这是我们零假设，那么在零假设的基础上，我们把二乘二列联表中的相关数据带入卡通公式，卡通公式啊，这个卡通公式呢，我们题设里面给的有不要求掌握的 啊，那么带入相关数据好，我们清楚呢，由于本题的数据呢，呃，比较大，所以这个计算直接计算起来呢，是比较棘手的啊，咱们同学也知道这个方法怎么办呢？对，先化简整理，然后再进行计算。 好，我们可以计算的呢，这卡方这个值，这个值呢比较大一些啊，是七百六十五点多一个值，那么比我们所要找的这二分之零点零零一，他所定的概率，这个十点八二八，这个值呢，要大的多的多啊，大的多多， 那么根据我们所求的它方的值，以及与邻界值的对比对比，我们第三步下这个结论，也即是呢，我们独立性检验的原理 啊，那么由于我们所求的这个值呢，比我们所要对比的邻界值大得多，从而呢我们可以判定这个邻假设呢，是不成立的， 零点是不成立的，就是无关是不成立的，那么以及二的什么呀，是有关的，当我们下这个二的有关这个结论呢，还不是很严谨， 那么所以我们需要再进步什么呀？我们所推我们所下这个推断什么呀？他不是百分之百正确的， 而什么有犯错误的可能性的，但是这个犯错误的什么概率是非常小的，是不超过零点零零一的，那么这呢是独立性检验的什么 它的原理啊？这个原理，那么在解答第二问的时间，我们这里面的这个零假设代入计算对比零件值规范结论，那么我们这样四个步骤的话呢， 是呢，一步都不能拉，否则的话呢，从步骤上我们可能就是要丢一部分分值。 那么通过本题，在高考阅卷中呢，我们常见的十分点啊，那么有这样的几个，有这样几点第一点的话呢，可能呢题读的不太清，会找错数据，那么同学出现比较多的错误在于什么呀？这个零假设没有去试了， 那么这样呢，这个分值的话呢，会被直接扣掉的啊，那么呢，我们求出卡方值以后的话呢，不做临界值的对比， 那么呢临界值对比以后的话呢，这个下这个结论呢，不规范，刚才我们也强调了，那么对这个结论不规范，那么这个原有原因呢，应该是咱们同学对于谁呢，对于独立性检验的原理的不清晰 啊，那么由于解答呢，这个涉及问题时呢，往往涉及这个什么呀？这个值呢，非特殊，所以这个数值计算的话，往往会容易出现失误啊，很失误。 通过本题的分析，我们可以知道，在本题解答过程中呢，我们始终强调什么呀？这个解析步骤，那么这个解析步骤呢，比结果更重要，好，因此的话呢，规范书写，那么是我们拿解答题拿分的一个关键 啊。下面第四部分，通过本题的解答，我们对此类问题这个解决方法做一个总结，那么解答概率统计问题时，我们呢需要注意这样三步好，第一步，拆清净， 那么需要呢，大家呢，将实际问题转换为数学问题，那么也即是呢，一个数学抽象的过程， 在数学抽象的基础上，我们根据事体的类型，那么按照此类问题的解答步骤进行规范书写啊，那么对于实际问题的话呢，这个计算上往往呢是比较复杂一些，因此的话呢， 我们计算时间呢，一定呢，要准确啊，一定要准确。为了更好的让大家掌握概率统计解答题的解答，那么这里面呢，我同大家掌握概率统计解答题的解答，那么这里面呢，我同大家掌握概率统计解答题的解答，那么这里面呢，我同大家准备了二零二六年高考临考上分卷 啊，其中第十五题，本题呢，精准契合新高考无情境不命题的命题趋势，紧扣脑机接口技术，那么这个科技前沿与数学学科的融合匹配，纪念高考对数学建模思维的考察要求。好，看完视频，那么大家动手把本题做一下吧。 高考数学呢，从来比拼的不是谁刷的题多，而是比谁更懂命题好。下期呢，我将同大家拆解二零二四年高考立体几何解答题的满分策略。好，我们下期见！ 欢迎大家上抖音精选 app 持续追更！
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05:07查看AI文稿AI文稿本期视频主播讲解二零二五年高考数学压轴题。首先看第一小问，明显送分题，让我们求皮三皮四。皮三的意思是打三场比赛，假比以多两分的情况只有假三场比赛，假比以多两分的情况有，假三胜一负或者假四胜。 第二小问同理，可以推出 q 三 q 四，最后带入运算即可。综合来看，第一、二小问属实送分题 最后压轴的肯定是第三问。我相信大多数同学坐到这里会直接放弃，他给出了正整数 m 比较抽象，所以我们可以用简单的数去分析， 比如 m 等于五。一共十局比赛，符合甲比以多两场的有五种情况，六比四、七比三、八比二、九比一、十比零。若进行十一局比赛， 只是比十局多了一局，所以我们在这个基础上分析在七比三后四种情况， 发现第十一局比赛不管假胜负都满足，只有六比四这一种情况，假负是不满足的。最后得出结论， p 十一等于 p 一 零，减去不满足的那种情况。最后再类比，推到两米再运算就可以得出答案。
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视频制作：张祺祺
出镜：王奕文
#2025高考 #北京大学 #北大 #高考守护者 #高考生的精选查看AI文稿AI文稿我是北京大学的王一文，今天我来守护你的高考数学，今天来跟大家分享一些高考数学的冲刺技巧。 首先第一部分，心态比题型更重要。我知道很多人在面对数学的时候容易紧张， 遇到不熟悉的题型就慌，一慌就思路卡，越卡越慌，从而陷入了恶性循环。但我想说的是，高考数学不是为了难找你，而是为了区分度， 你要做的呢，是把该拿的分拿到手，告诉自己，人难我难，人易我仔细，难的卷子大家都觉得难，简单的卷子更不能掉以轻心，反正就是要坦然乐观的做下去，不到最后一秒也不要放弃，因为凡 很有可能就在最后几分钟发生。第二部分呢，就是一些实用的应试技巧，比如选择题，我们要学会小题小做，运用排除法、特殊指法等技巧快速解决。 填空题呢，则在写上答案之前一定要扫一眼，调高指，多留个心眼，避免出现距离，忘开根号， 忘记乘倍数这样的低级错误。大题更要注重过程书写，有时候实在没思路，也可以写一些公式和定点上去，说不定就有负重分。 考场上呢，时间节奏的把握也非常重要，遇到卡了好几分钟还是没有思路的题目，要赶先跳过，记得在题号上画上圈圈，避免自己遗忘，等整张卷子做的差不多了，再 回来思考这道题目。跳题呢，不是放弃，而是在用时间投资法最大化你的得分。第三部分，在考前最后的冲刺阶段，我认为查漏补缺胜于洗海战术，这个阶段就需要狂抓题， 只需要适量的做几套真题或者模拟卷，重在错题的总结，不求多，只求精。我想说你已经很棒了，现在你要做的是稳住自己，把该拿的分拿到手，然后自信的走出考场。高考加油，我在北大等你。
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02:03查看AI文稿AI文稿北京的宝宝都来听了哈，咱们今天晚上会详细的给你拆解二零二五年的北京卷哈。北京卷是我最喜欢的一张卷，很灵活， 不是简单，也不是难，难有不同的维度是吧？有的不好深入。咱北京卷就是不好想， 想明白了五秒钟，想不明白五分钟你也解不出来。这就是很多外地人瞧不起咱北京卷的主要原因。他一看答案，觉着答案那么简单呢。有本事你别看答案，你自己试试。谁说北京卷简单呀？ 你做一做，我们这二十一题，你试试对不对？当然，我不是站在北京，北京的这个队来对抗全国哈。全国有它的特点，现在全国的卷也跟北京卷看齐了，因为北京卷改革的比较早。 北京卷哪里好呢？区分度好，方向性好。区分度是高考的功能，我希望用一张卷把不同的孩子放到不同的段里面。高考就这么个目的吗？是北京卷的方差大， 各点都有分布。之前老老的高考卷，全国卷分叉比较小，比较集中，要么就好的特别好，差的特别差，是吧？现在都趋近于向北京卷来看题，当然上海卷、天津卷也特别优秀。这些卷哈， 今天晚上咱重点讲北京卷，也邀请全国的孩子们来听一听。北京卷。为什么？因为 现在高考的大特点就是你不容易想到，想到之后就特别简单。而在这块的命题，北京卷走在了五张卷的前列。晚上七点半，来我的直播间听听，吕叔来给你拆解二零二五年的北京卷。
4吕数
05:05查看AI文稿AI文稿大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题认证搞懂，搞会快速提分。今天我们来看的是二零二六年北京房山的一模概率统计的大题，我们同样也只看第三。小问这道题其实比较简单啊， 主要还是要把这道题给我们提供的新的信息点是什么搞清楚。 他给了我们说在二零二五年第 i 季度消费者信息指数叫上季度的增长率为 x i， 那 么二零二零二六年信息指数增长率是 x 一、 x 二、 x 三、 x 四中的最大值， 然后写这个二零一六年第一季度的这个估计值，那我们的思路是什么呢？是不是？我首先第一步我要搞清楚增长率是什么？二， 我是不得知道 x 一、 x 二、 x 三、 x 四中的最大值是哪个，我找出这个最大值。第三步我是不是就可以直接求解了？求解二零二六年第一季度，是吧？整体可以以这样的一个思路来进行。 首先第一个增长率是什么？这个可能也属于我们需要知道的常识啊，就是比如说 d i 季度相交于上一季度的增长率，那我就得写，比如说我的新指数就应该等于本期指数乘以一加 增长率，相当于哎，我现在的相当于哎，我现在的这个指数是原先指数的增长了多少？其实这个东西可以统称为就是本期指数的倍数，对吧？ 他，他是原来的几倍，对吧？新指数是原来本期指数的几倍，那就是一加增长率，其实我这里的增长率就是我们之后的 xi， 对 吧？其实就是 x 一、 x 二、 x 三、 x 四，因此我知道了增长率是什么。那我第二步 我是不要知道哪个最大呀？我来看一下，他说这个二零二五年第二季度的增长率是不是应该是这里？反过来，上一季度是不是就是九十四点七了？我可以把这这二五年第一季度，那上一季度是不是就是这个值，把它拿过来九十四点七， 所以他九十四点七乘一加 x 一， 乘以一加 x 一， 就等于九十九点一，对吧？九十九点一再乘以一加 x 二，就等于九十五点三， 他再乘以一加 x 三，就等于九十五点八，九十五点八乘以一加 x 四就等于一百零三点三。 最终我们求的是 a 第六季度的啊，二零二六年第一季度，因此我们来比较，我是不是只用比较 a， 他 们增长了多少啊？增长多少就可以代表这个竞争力，他最后要 除以九十四点七，是吧？那么我们来看这个增长了五点多，这个直接是负增长，肯定不算，这个增加了零点五，这个就很小，这个增加了大概有八左右。所以我是不是知道 x 四最大， 是不是可以通过分析是不是 x 四是最大值？那么最后一步就很简单了，我如果知道 x 四是最大值，我是不是直接求解就可以了？那我就代入公式， 本期指数二零二六年就应该等于上一季度的，就第四季度，那有一百零三点三乘以，是不是一加增长率，我们需要算吗？其实不需要算，我直接一加增长率不就是本期指数比上， 呃，新指数比上本期指数，对吧？那我直接就是乘以一百零三点三，比上上一期的指数是九十五点八，我最终是不是只用求解这个值就好了？那我们最后求解就可以， 求解过程中呢，我们可以稍微简化点计算，比如说这个一百零三点三的平方，我们如果去算的话，相当于是个四位数乘四位数，是吧？ 我们可以给他变成完全平方，这个是不就是一百平方加上二乘一百乘以三点三，哎，这个就很好算，对吧？最后再加一个三点三的平方，最后就等于一万加上六百六，再加上十点八九， 我这不几乎就可以口算出来。好，这个是我们去计算一百零三的平方，最终是不是要再除以九十五点八，其实这里除以九十五点八和除以九十六最终的结果应该差不多的，我们这里就不算了啊， 如果你想精确一点呢？你时间比较充足，这个最后算出来应该是一百一，一百一十一点四，如果你说，哎，我没时间了，他就是个估计值吗？我也可以少算一位，除以九十六，最终是一百一十一点二，其实没差多少，最终我们就可以把答案求出来了。 所以这道题不难，但我们要知道利率是什么，以及在过程中可以怎样简化计算，不要算错。
04:22查看AI文稿AI文稿大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，接下来跟着我把这些中档题真正搞懂，搞会快速提分。今天我们来看的是二零二五年海淀一模对于三角函数的题目， 他给了一个关于函数 y 等于根号三 c， omega， x 加上 five 的 一个部分的一个图像，给了我们 a、 b、 c、 d 四点在同一个圆上，然后问我们 omega。 好， 我们来分析一下。 首先我们从结果出发，问我们 omega， omega 是 和什么相关呀？它最终决定的是不是一定是根据这个 t 等于二派除以 omega， 所以 我就知道 其中一定是根据我的这个周期来的，我根据这个周期来求出 omega， 那 么周期又怎么算呢？我们是不是就要用到这个性质呀？ a、 b、 c、 d 四点在同一个圆上， 这个东西能说明一个什么呢？我们来看一下，假如说 a、 b、 c、 d 都在同一个圆上，那么 a 和 d 又是对称的， b 和 c 又是对称的，所以其实我们应该能够看出来，假如说这个点是 e， 这个点是 e， 那 么 e 其实就应该为圆心，这是应该是我们的一个发现。 若 a、 b、 c、 d 四点在同一个圆上，那么 b、 e、 a、 e、 d， e、 ec 是 不是应该全部相等啊？他应该全部是他的圆的半径，因此我就可以把这句话进行翻译，因为 a、 b、 c、 d 四点都在圆上，这句话 我们就应该能看出来，应该是 a， e 等于 e， d 等于 e， c 等于 b， e， 对 吧？他这四条线段就是相等的， 那么之后我们还能怎么算呢？我们知道他是不是对称轴啊？那么 a、 b、 b、 e 是 不是也是相等的呀？如果说这里是等腰这条边相等，那么来说， 我们进一步分析，能够发现三角形 a、 b， e 与三角形 e， c， d 为等边三角形。好，那我们接下来为了求啥？求这周期是吧？ 由于 t 等于二派除以 omg， 我 要求 t， t 应该等于啥？ t 是 不就等于？哎，我这个走完一个周期应该是这个样子， t 指的就是这个的长度，那么在这道题里面， t 就 应该等于 ad， 对 吧？我们最终就要求 ad， t 应该就等于 a d， 我 们最后求的就是这个 a d 的 长度，那么把它放在平面解析几何里面，这是不就很简单了呀？我们不就是 a 来求一个等边三角形的一个边长吗？我们还知道了啥呀？是不是知道了这个点 b 的 纵坐标呀？是不是根号三？ 好，我们知道了等边三角形，他的高是根号三，那我还知道他角度六十度，那是吧？所以我是不是可以求出这个边长呀？因为探见他六十度等于根号三比一对边比邻边，那这段长度就一，那这也是一。 最终我是不是就可以求出来 a e 等于一， a d 啊， a e 等于二啊， a e 等于二倍的这条边，对吧？我们求的是它的一个中点，所以 a e 等于二，那么 a d 等于二倍的 a e 是 不是就等于四了？ 好，我们是不是就把周期写出来， a d 是 不是就等于我们的 t 啊？所以 t 等于四。因此， 我们是不是如果求出了周期，已知已知 t 等于四，求 omega， 那 我们是不是直接代入公式， t 等于二派除以 omega， 求 omega 就 等于二派，除以 t 也就等于了二分之派，所以这道题最终我们选择二分之派，答案是四 d。 虽然说这道题属于第九题啊，但我们只要能够分析出来 a， b， c， d， 在 四个点上我们能够知道是 b e 等于 a e， 然后把这里是个等边三角形的性质给搞出来，那我们只就能求出 a e 的 长度， a e 的 长度知道了以后 d， e 的 长度也知道了，那这个长度就是 t。 我 只要知道了 t， 那 我求 omega 就 只要带入公式就可以了。
140北京高考数学_李老师
05:439732天使猫猫酱
03:06查看AI文稿AI文稿好孩子们，我们来看一下这个第一题。第一题他说那前几道题呢？我们就比较基础它的虚部，求这个是虚部，我们可以把它乘进去，一乘以 i 就是 i 加上五乘五 i 乘以 i， i 的 平方是就五 i 方呗， i 方是不得负一，对吧？ i 的 平方是负一，那它其实就应该是 i 减去五， 那么所以他应该是一定能写成负五加 i 的 形式啊，这个负，哎呀，负五加 i 的 形式，这负五是十部，那虚部是谁？虚部是 i 前面的系数， i 前面系数是一，所以虚部就是一。 第二题， u 集合是表示的是 x 小 于九的正整数，那小于九的正整数都有谁？小于九的正整数一二三 四五六七八，没有九吧，小于九吗？对不对？然后集合， a 是 一三五，他说以它为全集，然后 a 的 补集的元素的个数去掉一三五，剩几个？一个两个，三个，四个，五个 不选 c， 对 吧？好，我们来看第三题。第三题是双曲线的离心率问题，双曲线的虚周长是十周长的根号七倍， 虚轴其实是二倍的 b 啊，不是 b， b 是 半虚轴，实周长是二倍的 a， 所以 说应该是二倍的 b 等于根号七倍的二倍的 a， 二和二等于就掉了，所以现在 b 等于根号七倍 a， 这个时候就看你这个被的公式了，我们都知道离心力 e 的 谁， e 是 不是应该等于 a 分 之 c， 但其实它还在谁？对于双曲线来说，是不是应该根号下一加上 a 分 之 b 块外的平方？这时候你就不用求 c 了， 你要不你就求 c， 你 这个直接往里一带， a 分 之 b 得多少？ b 等于根号七 a， 那 么 a 分 之 b 就 应该等于一个根号七，那个根号下一加根号七的平方就是七，应该是根号八，而根号八是二倍根号二选第四个。 你说这个公式一定要记住，那我如果记不住，那你就只能是什么，你只能一个一个硬算，那 b 等于根号 b， 你 以为这是法一吧， 反一反二。还有一种是什么？你就 b 不 得根号七 a 吗？因为你最后求出 a 分 之七是个比值，你就让 a 得一，那么 b 直接得根号七，那 c 呢？ d 方应该得 a 方加 b 方 应该得八，所以 c 直接就是二倍根号二，而离心力 e 的 a 分 之 c 应该得一分之二倍根号二。因为 a 得一啊，所以它也是二倍根号二。都可以啊，都可以。那你要最笨的方法就是啥了？ 最笨的方法就是硬算了，对吧？你 b 等于根号七 a 完了，你 c 方等于 a 方加 b 方等于一个，谁呢？呃， a 方， 这个 b 方写成七， a 方等于八 a 方，对吧？其实也一样。完了，你把这个倒过来，把 a 把 a 方除过去， a 方分之 c 方等于八，那就 e 的 平方等于八呗。 e 还是二倍根号二，你怎么求都能求出来，反正是吧。好，这就是第三题啊。
15数学高考
05:24查看AI文稿AI文稿这道题是二零二四年高考题新一卷的第十二题，它和二零二五年新一卷的第二题一样，都考的是双曲线。 那既然都考双曲线，我们看看有什么共同点。上次双曲线考的是虚轴和实轴，这个它会稍微复杂一点，嗯，因为它涉及到焦点，以及这个 这个垂直于垂直于 x o 的 直线。然后这个 a b， 这个 a、 b 是 有一些二次结论的。那我们先画个图， 首先判断一下交点的位置， a 方分之， x 方减 b 方分之一，这俩都大于零，那这种形式它是交点在 x 轴上的方向，交点是一个 f 一， 一个 f 二，实在记不住也可以看后面，他都说的是左右交点，肯定是这种情况， 然后他说做做 f 二，做平行于外角的直线，那就是这样。然后交这个双曲线， c 于 a、 b 两点，那射 a 在 上， b 在 下， 然后告诉我们 f 一， a 等于十三， ab 等于十，让我们求 c 的 离心率，那这个 ab 等于十。再结合双曲线的双曲线，它关于 x 轴对称，我们就能知道 f 二， a 等于二分之一， ab 等于五。好，那这是十三，这是五。哎，我们会发现这又是个垂直，那上面十三，这这个五用勾股定很容易就知道 f 一 f 二， 它就等于根号下的十三，平方减五的平方，也就是十二，这用勾股定 好了，接下来 f 一， 它的坐标是负 c 零， f 二的坐标是 c 零，呃，这个是根据定义，那么就能得到 c 减负 c， 也就是二， c 等于十二， c 等于六。 好，那知道 c 等于六，离心率的一步都出来了，因为离心率它是 a 分 之 c 嘛。如果这道题你没法直接算出 c， 反而求出了 b， 那 你就用另外一个公式，也就是根号下的 e 加 a 分 之 b 的 平方， 这个也是离心率 e， 不 过我们求出了 c， 用 a 分 之 c 就 可以了。接下来还要再求 a， 那 没什么好办法，就用问一下方法。首先我们根据 f 二 到 a 就 等于是五，然后 f 二的坐标又是六零，能得到 a 的 坐标是六五，然后我们把它带入这个双曲线的解析式，再结合 c 方减 a 方为 b 方。呃，由于这里我们要求 a， 所以 一定要把 b 削掉， 所以能得到方程，这里 b 方等于 c 方减 a 方，而 c 方就是六个循环，也就是三十六，所以它就等于三十六。减 a 方画的这个方程，能得到 这个四次方程，我们可以把 a 方当做一个圆，把它当成二次方程去解。这个我们可以用一下十字交叉。 首先这俩是一，然后这个一二九六，我们可以拆成负八十一和负十六这样相相乘，再相加，它是负九十七，那 a 方等于十六或者八十一，由于 a 大 于零，所以 a 等于四或九， 那他四和九能不能都取呢？很明显九是取不了的，因为他这里这个顶点，他要在交点的左侧，那他的横坐标肯定要比六小，那九比六大，所以九舍去。最后 a 等于四， 那离心率也就是 e 等于 a 分， 之 c， 也就是四分之六，所以它等于二分之三， 那它的离心率就是二分之三，主要还是扣零一零一是啥？就是在平面上有两个对称点， f 一 f 二，这两个关于 x 轴和 y 轴对称都可以， 然后在整个平面上任取一点 p， 能满足 p f 一 的长度减 p f 二的长度 等于一个定值，这个定值我记着是二 a， 那 么所有这些 p 构成的图像就是那个，呃，双曲线。双曲线不能叫函数， 因为它函数定义是这样的，就是你看这是一次函数， 这是二次函数。它们都有一个特点，每对于一个单独的 x 都有一个唯一的 y， 但是你看这个情况，你看双曲线画错了，双曲线在同一个 x 上有正负两个 y， 所以 它不能叫函数，也叫方程。
61小李爱数学
01:32查看AI文稿AI文稿挑战四十五分钟完成二零二五年北京高考数学卷，看看我能拿多少分？先看选择题和填空题部分，这套卷子的前半段整体还是比较顺的，只要结合复数、函数这类这些常规知识点不要出错， 分数是能稳稳拿到的。不过，北京卷和新高考一二卷不太一样，他并不是单纯的拼计算，题目里会故意加一些新情景，像第九题直接把人工智能大圆模型放进来了。 十四题又是三 d 打印背景。第十五题还是一个要判断多个结论的题，所以这部分同学们需要稍微放慢一点节奏，平均下来每道题大概两分 钟，同学们需要控制在二十五分钟左右。解答题的第十、六、十、七、十八道题分别是记三角形、一体几何和概率统计。这三道题都是同学们必须尽量答满分的题，这几道题比较简单，就不过多赘述。接下来是第十九题，这道题本身不算特别偏，但是比较吃思路，如果方法选的不够干净，预算量会一下子上来， 这道题很容易卡同学们的时间，真正拉开差距的还是最后两道题。第二十道题是函数导数题，看起来是熟悉的一个函数压轴，但是他并不是那种套模板就能一路写完的题，尤其是第三问，把切线、垂线和取值范围揉到一起，对思维要求是比较高的。第二十一题就更像是北京卷标志性的 创新压轴题了，读懂定义往往比下笔更重要，能够在有限的时间里把前两问处理出来，就已经是非常不错的发挥。 总的来看，二零二五年高考数学北京卷的难度并不是特别高，前面和中间都有比较稳定的得分空间，真正区分主要还是放在最后的两道题。核心，高考一卷二卷相比北京卷更强调题目的心意、逻辑判断和表达能力。接下来想看我挑战哪一套，也可以在评论区留言。
22北大教数学的杨
05:05查看AI文稿AI文稿数学的运算率是什么？运算率其实是帮你更好的去简化计算。我先举一个小学的例子，咱们再来看这个高考题，怎么样通过运算率能让你算的比较快？ 运算率只是一个，我们数学在内部给你提供了一种简化的方法，不用行吗？不用，会很慢。来看看。看个小学例子哈，让你算一下，比如说九十九 乘以二十五分之一，加上一百五十一乘以二十五分之一，你要有计算器的话，你就啥也不用是吧？你就直接算就行了。但是运算对呢？帮你提供一些简化的技巧，比如我可以用什么？用 乘法的分配率的逆运算是吧？到了初中，你就要提取公式，这就是分配率的逆运算，我也可以这么算，用九十九加上一百五十一， 然后乘以二十五分之一，对吧？乘以，然后里面不就恰好是二百五 乘以二十五分之一，这样等一个十，是不是算就特别快？帮你运化，帮你简化运算。同样，到了高中，我们其实也有一些相关的运算率，像你学的这些运算的规则，有哪些运算？来想一想， 最初我们学的是负数向量，不都是些运算吗？到了倒数也有运算等等等等。 只要是运算，就要深刻的去理解它的运算率。比如这个题，他说负数 v 满足 i 乘以 v 加上二等于二 i 求 v 的 某，如果我们回到负数的基本的定义， 它的算理就不用，就不用。它的运算率能算吗？当然可以算呀，看我给你算一遍哈。那 i 乘上 z 就 等于负二，加上一个二 i 是 吧？所以你这个 z 就 等于谁等于 i 分 之 负二加上一个 i， 然后我就分子分母同乘以 i 实数化嘛，这儿乘一个 i， 然后这儿乘一个 i， 下面是负一，上面呢是负二 i 加上一个二 i 的 平方，对吧？然后再写一步 进去，就是二 i 减去个二 i 的 平方是吧？二 i 就是 二 i， i 方是负一加上一个二就是二，加上一个二 i， 这个负数不就标准形式 a 加 b i 吗？那么 v 的 母啊，就是根号下的 实部方加虚部方是吧？二方加上一个二方就是二倍的根号二行吗？行，你这样你算一算，大概这个题需要两分钟吧，能解出来，但运算率呢？能够帮你简化很多东西。那我们知道魔有一些运算率是吧？魔，比如说 两个负数相乘的模，积的模说等于模的积啊，等于说，哎，我 z 一 乘上 z 二，它的积的模就等于模的积啊，还有很多是吧？两个商的模 等于魔的商等等等，都是运算率哈，当然加减不行是吧？加减一个不等式，还有公和负数都有很多的运算率。咱们在课中都给你去总结了这些东西啊，不叫大招， 这叫课本最基本的对知识的深入理解。你要区别那些大招，那个没有用啊，这个才真正管用。所以我算的话，你让我算 i 乘一个 z 就 等于个负二加上一个二 i， 哎，我直接说，左边不就是两个负数的积吗？ 它的模等于这个模，对吧？而这边是 i 的 模乘以 v 的 模，因为 g 的 模等于模的 g 啊，右边就是负二加上二 i 的 模，这个模我知道啊，这个模就是二根二是吧？ 而这个模是一所以直接出来 v 的 模，等于它是不快很多啊，这就叫运算率，你能明白了吗？加入我的底峰逻辑训练营，我们重点训练就是逻辑思维， 就怎么样把课本的知识点理解透，然后给你做的这些题进行结合。这个题当然不难啊，来自于北京卷的第二题， 不要再去说北京卷了是吧？我之前给你前两天给你讲那个二卷是不也特别简单啊？一卷也特别简单呀。都一样的哈，现在全国为了消除这个地域差别，都是希望给你用同样的大方向给你考察题， 知识点理解透，到底理解了学会怎么样思考。我在训练营等你来。
9吕数
03:07查看AI文稿AI文稿小尚同学专题视频讲解，现在我们讲解二零二五年北京卷数学第九题。本题考察实际运用中的对数的运算。对于这种题，我们就是将它转化成我们正常数学题的模型，将已知和所求的转化一下。 我们先看看这个已知怎么给它翻译成一个正常的数学式子。他说这个 n 从十的六次方增加到这个一点零二四乘以十九次方，就这个 n 在 变化的过程中，这个时间 t 相差了二十小时，意思就是 k 位的那个以二为底，谁的对数呢？一点零二四 乘以十的九次方减去 n 等于十六次方的时候，就是 k 倍的高个 以二为底，使得六次方的倍数，这两个中间是不是差了二十个小时啊？接下来我们就把这个已知条件转化成这样一个数学式子，那么我们对这个式子进行换解，先提个 k 起来， 我们两个倍数同底数的对数相减，是不是底数不变，真数是相除。一点零二四十的九次方除以十的六次方，十的三次方正好是一零二四等于二十。 我们知道一零二四是二的十四方，我们平时要注意这种积累，二的一次方到二的十四方，这些数我们是要记住的，那也就是 log。 以二为底，一零二四是十，也就是十， k 等于二十， 也就是 k 是 不是等于二啊？这就是我们将已知化简到这，然后我们看要求什么， 求他说从刚才这个一点零二乘十九次方到四点零九六乘以十九次方，那也就是要求的就是把这个 n 等于四点零九六乘以十九次方带进去 k 倍的 log， 哎，但这个 k 是 二，一会再换吧。以二为底，四点零九六，乘以十的九次方的对手去减去这个 k 为 l 为底，这个带进去一点零二四乘以十的九次。那么同样的是 t 个 k 起来 同底数的对数相减，底数不变，是不是正数相除啊？跟刚才一样， l 为底，哎，它除以它正好，是不是它的四倍啊？ 四是二的平方，所以是二 k， k 又等于二，所以二 k 是 等于四的，所以是不是增加了四个小时选 b。
0小尚同学
05:47查看AI文稿AI文稿我们全国的高中生，你知道我为啥不让你记套路吗？现在高考的特点就是防套路，什么叫防套路呢？他出的特别的灵活。我给你举一个非常极端的例子哈， 前两天给你们讲了全国二卷，也反复的强调这个观点。今天呢，我再用一个更加极端的例子，不是我自己出的题啊，是一个高考题。看看这个题目哈，去年北京卷刚考的题， 你可能说老师北京卷，我们不是北京卷啊，我给大家讲全国的高考一盘棋，这帮人互相 互相互相聊，互相扯皮，互相借鉴。全国高考一盘棋，这是高考的大特点，你们不是说 胜在不同的地方，可能有一些地域的不公平吗？其实现在全国的高考正在趋近于一盘棋，你有时候做一套题，你分不清这是北京卷还是二卷 还是一卷，特点区分不是那么明显了。来看看这个题目哈，这个题目，如果你真正把数学理解了，我跟你讲，你要让我做或我的学员做，可能用不了一分钟， 但如果你只是记套路，记模板，这个题你八成花十分钟你也解不出来。来看看这个题目哈，他说定义在尔上的函数哈，函数给出四个结论，说抽象的东西。 说第一个，他说存在尔上单调递增的函数 f x， 使得 f x 加上 f 二 x 等于负 x 横乘以 语言就物理了，是吧？第二个存在 r 上的单点递增的函数 f x， 使得 f x 减，它等于 x 横乘地 也不知道干啥。下面使得 f x 加上 f 负 x 等于 cos x 横乘地的函数存在且无穷多个四存在这个减，这个等于它横乘地函数存在且无穷多个， 你看看你有思路吗？如果你平时经过过多的思考，你这个题一眼就看出来，这不就考察我给你讲过的叫嫁接函数的单调性法则吗？你看他说存在 r 上递增，是不是增加增 还是个增啊？怎么可能是个减啊？一、不要下面增，下面递减。哦，一个减的这个，一个减的减去减去，一个减的，不一定是吧？不一定 不一定，但人家说存在，你不就可以试试了吗？哦，等一个 x， 那 我只要令 f x 等于个负 x， 那 这就是负 x， 这边的 f 二 x， 那 不就是负的二 x 吗？那负 x 减负 x 的 x 等于二就选出来了，你有一个解析的突破口是吧？ 再看三，就使得这一个恒成立的存在且无穷多个，这不就给你讲的嫁接函数的奇偶性法则吗？ 是吧？这个本身就是个偶函数啊，这个函数，哎，写个 g x， 不 管你这个 f x 是 谁，加在一起都是一个偶函数啊，为啥呀？因为 g 负 x 就 等于 f 负 x 加上 f x， 它俩一样啊， 不就是偶函数吗？左边是个偶函数，右边是 o， 这个有可能能行啊，对吧？你试试吧，你定个 f x 就 等于个，比如 cos x， 二分之一 cos 吧，加上一个，比如看 x 任意一个东西，你发现 f 负 x 是 不还是二分之一 cos 负 x 还是 cos x 啊？这边减去 f x 一 加，这不就没了吗？是不是所以三正确，那四肯定不对了， 因为左边这个函数是个减函数啊，你看 g x 等于个，哦，不对，是个 g 函数啊， f x 减去个 f 负 x， 你 看记负 x， 是 不是看到 x 的 负 x， 负 x， 然后减去个 f x， 它俩互为相反数，这左边一定是个减函数，右边是个偶函数，这边是个奇函数，这边是个偶函数。怎么可能？一个 奇函数等一个偶函数不可能存在，这二三就很容易选出来。我说这个题如果你真正想到你花十秒钟能解完，你能信了吗？如果你只是记套路模板，这样题你是平时做不到的。 我不是说你记一些套路，记一些结论，这个事情多么的罪大恶极，我是说现在高考它不适合这个东西。 如果你能听，通过平时这些经典的题去多去思考这个题所涉及的数学方法和思想，我们不就这么做了吗？如果你只是一味的去听别人给你讲套路，讲模板，讲题型， 新高考你一定不适应，希望这个题能够启发到你哈。我的底层逻辑训练营 就是干这个的，用高中的数学知识给你培养，真正的学会独立思考。你可以去找客服去咨询一下，我的底层逻辑训练营暑期班正在预售哈。
23吕数
04:01查看AI文稿AI文稿小张同学真题视频讲解，现在我们讲解二零二五年北京卷数学第十题。本题考察平面向量。看上去这个题给的条件挺多的， 一眼看上去没什么思路，那么像这种题，我们就要一个条件一个条件去读，而且在读的过程中不着急去处理，然后看看他所要求的这个结论 能不能给我们指到一个方向，然后再去找 sum。 比如第一个条件，他说 o a 向量和 o b 向量长度都是根号二， o 是 原点，也就是在坐标系中，意思是不是就是 ab 是不是都在一个圆上运动啊？是吧？半径是根号二，好，可以这样去想象，要 a 连 b 连在什么运动，那它说 ab 这个长度呢？是二，这个不知道， 因为 ab 两个都是动点，所以这个条件不太好处理，一时半会是吧？我们是否要把 a 点和 b 点的坐标都设出来，那设就是比较多了，未知数比较多，那怎么处理？我们就待定， 然后给了一个 c 点，让我们再看这个结论能给我们什么提示？二倍的 c a 加 ab， 哎，这个终点是 a 首尾相连，那这样呢？我们是不是可以先把这个 二倍 c 可以 换成一个 c， a 加 c， a 加 c， a 再加 ab， 那 这两个首尾相连是不是就可以合并呢？是不是就是 c a 加 c， a 加 ab， 是 不是 c b 啊？一一看见 c a 加 c b 在 平面向量里面， 根据平行四边形法则，是不是跟等于这个平行四边形对角线呢？也就是 ab 边上中线的这点的话，是不是二倍啊？那我们所要求的这个膜是不是就是二倍的 c d 的 长度， d 是 ab 的 中点，这样呢，是不是给我们一个提示， ab 都是动点，它这个中点也在动，如果我们能找到这个中点 d 是 怎么动的？是不是这个确定范围是可以找到， 而 ab 是 不是这个圆上的一个弦呢？弦又有中点，是不是自然而然想到了垂进地力？这是 ab， 半径是根号二，哎，跟中点 o、 d 一 连，是不是垂直于你啊？ 垂直 a， b， a、 b 长是二，这是一，那是不是说这 o、 d 长度永远都是一啊？那是不是地点就在这个圆上运动？以 o 为圆心，半径为一的圆上运动， 是不是 d 点在这上面运动，然后 cd c 是 三点四在这是不是让求这个 cd 的 曲值范围，也是 cd 的 最大值，最小值，那是不是圆心 o 和 c 相连并延长？ d 在 这个地方的时候是最小， d 在 这个地方的时候是不是最大呀？好，我们看 c 到圆心三，四到圆点的距离是不是五啊？那么最大值是不是五？加上半径一，最大值是六，最小值呢？是不是五减去半径等于 四，当然是 c、 d 的 二倍，那么乘二是不是八到十二？所以本期选 d。
0小尚同学
