两分试卷均由教育局教育考试院命题组统称，核心主导专家均为南师大曹海涛教授，核心改革目标都是破除机械刷题，推动数学学习回归思维本质。 二零二二年是近十年难度顶峰，全使用省份无一百五十分满分，抽样平均分仅四十三分，难度系数零点三二。 特点是计算量爆炸，冷门考点图习中档题门槛陡升，依靠题海模板硬式的考生大面积崩盘， 分数断层严重，侧重用超高运算量强行筛选能力。二零二六年难度有所回落，全国仅浙江一名竞赛生拿到唯一满分，整体平均分约八十分。 试卷改为少算多项，基础题占比更高。难题依靠新定义跨模块综合拉开差距，不再堆砌繁琐计算。两次命题是循序渐进的教改。二零二二年以极端难度彻底击碎固化刷题模式， 二零二六年定型为稳定的素养考察模式，明确未来备考方向，单纯背诵题型，机械刷题彻底失效。学生必须刺透课本原理，锻炼逻辑推理与灵活建模能力，才能适配高考长期命题趋势。
粉丝58获赞666
相关视频
03:45查看AI文稿AI文稿二零二六年全国一卷的命题组和曹教授啊，我给你讲一堂课，您来帮我省一下。你看我这么讲算不算启发孩子学数学？ 然后我肯定不能在你们面前去臭闲，等等哈，我相信能像我这样把知识点讲到这个份，老师应该不在少数。如果我们能把申花教材做到这个份，然后我们的孩子还是考不好的话，我真的就不知道该怎么讲了。 然后听说葛军老师，你们之间有渊源啊，就葛老师说，把知识点要学熟， 学火学用啊，我这叫底层逻辑，就是个名字哈，我很短的，给你讲一讲我是怎么样给孩子讲解三角形这一章的。就讲一个定理，叫鱼玄定理哈，你看我这么讲课算不算深挖教材？这么讲课算不算启发孩子？ 如果你们我的视频有幸被你们看到，你们可以告诉我，哎，是你老师确实水平不行，还是说这个题目出的确实有点难？ 咱开始讲哈愚玄定理啊，都知道，画个图来正哈，你看我讲课呢，我会严格贯彻你们之前说的，要深挖教材，教师用书上也说，给孩子把概念讲清楚哈。我会这么讲，我问同学们，我说你知道 为什么用向量来推吗？课本上咱没有明确说为啥用向量推，只是建了个系，我们老师要引导吗？我就在我的课中去引导孩子。我说，哎，用向量来推，我说你知道为啥用向量推吗？ 我在引导孩子们。不知道，我说这是我们高中对待几何的态度哎，用代数来接几何，那向量算不算代数呢？哦，算代数，这第一层，所以我们用向量来推，那具体用向量的哪一个来推呢？ 我们又回到向量这一块啊，二维内有一个基底平面向量基本定义，对吧？只要有一个基底就可以表示其他任何向量，所以把两个已知边设定向量，然后表示第三边，这样就可以顺利的把余弦定义推出来，通过这样的东西来深挖教材。 您觉得这样讲课算不算深挖教材？如果这样启发孩子，我相信全国能这么讲老师肯定不在少数哈，我们可能在基本的领域要研究的更多， 知识的融汇贯通，就您觉得这么讲课算不算深挖教材？算不算把把鱼玄定律从根上给孩子们讲清楚，算不算？讲透了？ 不是直接把这个概念定义给你推过来，而是告诉你怎么样一步一步过来，每一步都有理有据。然后再扩展一下。 解三角形其实是解析几何的一个萌芽，对吧？我们对待几何的态度，三角形是我们的第一个几何图形，后面的圆锥曲线，还有直线，还有圆椭圆双曲线，抛物线，我们都将用代数来解， 所以一扩展之后，发现余权定律还可以用坐标系来推，坐标系也是个代数啊，等等，您觉得这么讲课，这么给孩子讲，我们这些老师就这么讲，算不算师范教材？算不算引导孩子去启发？如果这么讲课还是教不好孩子的话， 不知道该咋讲了，真的不知道该咋讲了。
3108吕数
04:31查看AI文稿AI文稿今年新高考，英卷的数学成绩出来了，七百二十万考生里面，满分只有一个，浙江的许可一百五十分，整张卷子零失误。现在全网都在膜拜天才。 但我看完他的采访，真正让我心头一震的，反而是他随口说出的一句话。因为啊，在整整二十年之前，我说过一句跟他完全相反的话。先说这个满分有多难。 今年的数学，一卷反套路、反压题，压轴题的逻辑链长到离谱，整张试卷的难度啊，仅次于被称为地狱级的二零二二年。 就连江苏这样的高考大省，今年数学最高分也不过一百四十二。许可一百五十 出分。那天呐，全校沸腾，但他本人呢，毫无波澜，因为考完那一刻，他就给自己估了满分。 但我翻了他的简历，发现了一个几乎没人注意到的细节。去年的全国数学奥赛 cmo， 他 排到全国第一百六十七名。 也就是说，单凭数学天赋，全国呀，至少有一百六十六个同龄人，大概是排在他前面。那问题来了，凭什么是他在高考的时候拿了唯一的满分？ 我不急着给答案，先讲讲我自己的故事。二零零六年，我和另外五位同学一起代表中国参加国际数学奥林匹克，也就是 i m o。 出发前，有人问我目标是什么。 我当时啊，年少轻狂，说的很简单，世界第一。半个月后，我真的拿到了满分金牌。那一年，全世界只有三个满分，中国队六个人满分只有我一个。 你看，我和许可一样，都在一张极难的卷子上拿到了满分。但我们呐，有一个地方完全相反。 许可接受采访时说，我没设定什么宏大的目标，就是一直一直努力，每一天每一道题都不松懈。 很多人觉得这是谦虚，但我知道不是因为我太清楚死盯着一个宏大的目标是什么滋味。如果你很执着于这个目标，你的心会紧张，你的动作会变形，你会患得患失。 我的数学教练也告诉我，要求战而不要求胜，求战就是回到当下，享受做每一道题的过程。而求胜呢，是紧盯着对错，紧盯着最终的结果。 但许可在十八岁这年，他已经展现出的一种通透，他没有把精力啊消耗在对结果的执念上。这就解释了为什么满分的人是他。 高考数学考到最后，拼的不只是谁的智商更高，更是极其恐怖的精准度。限时两小时一百五十分，零失误，意味着每一次运算，每一步推倒都不能有一丝的变形。 有人看我今年直播讲高考题，就问我，如果今年你参加高考，还能得满分吗？ 我的答案是，不能。因为啊，太久没有练习了，状态早就不比当年了。真要到了考场上，今年我没有信心拿满分 取巧那句每一天都不松懈，恰恰就是答案。当一个人呐，在考场上，没有任何的包袱，完全沉浸在数字和逻辑之中，他的心力啊，才是最专注的，他所有的精力都化作了笔尖下毫无破绽的推导。 再次祝贺这位满分少年，他比当年的我更加平静从容，没有宏大的目标，只有纯粹的热爱。我相信数学这条路，他一定会越走越宽，越走越远。
2.9万柳智宇的分享
08:27查看AI文稿AI文稿我们讲一道曹教授出的题，这是二零二六年一卷单选的第七个题啊， 这个阅读量还是挺大的，抄了半天，累死我了哈，也没有抄全啊，把那些没用信息给删了，咱们去读一下啊。他说一百零八塔 位于我们写了啊，位于宁夏回族自治区青铜峡市啊，以其独特的建筑格局和深远的历史文化，巍峨狭隘，而你肯定会就跳去不看了吧， 真正有用的从这开始。这种题我不建议你不读，你读一读，可以大概了解这个背景，更有利于解析哈。该塔群共有一百零八座塔哦。一百零八座塔 依山势自上而下排成十二行 啊，我把这个题给你读完之后啊，你会感觉这个题目讲完之后，你觉得我去那曹教授出的题也特别简单，该给你都给你了。其实你在考场上，这个题是很综合能力的体现， 你看我第一次做，我觉得也挺头疼的，现在反复觉得我去太他妈简单了，给你都给你，都不用算啊。好的，看看这个题啊，说依山势自上而下排成十二行， 将第二行中的塔的座数记为 ai 开始抽象了，这个咱们习惯啊，咱们这个竖列就这么玩的啊， ai 最终 a 一 等于一， 就第一座塔区塔塔中。呃，第二第一行中，塔中有一座 a， 二等于 a， 三等于三座 a 四等于 a， 五等于五座，且 a 六 a 七到 a 十二 是一个首项为七公差为二的等差数列。十二个数排在一起是吧？就是一，第一个数是一， 第二是三，第二是三，后面呢，四五就是五，再往后呢，也是五，是吧？五从第六开始是一个首项为七，公差为二，这是七，往后就九。走走走走，这一些总共多少个数？ 说，总共是七个数啊？总共是七个数是吧？七个数。好，这么事，你这叫具象化，你把这个信息一边读着，一边得知道这个事，是吧？ 他又说说，将 a 一 到 a 十二，这是 a 一 是吧？这是 a 一， 这是 a 二，一直走 a 三走，最后一个是 a a 十二， 你，你会算 a 十二吗？就很好算。这不等差数列吗？手相是个是个七，往后走哈，分成六组，每组俩数，就把十二打乱顺序，俩合成一个哈，成一个，使得每每组俩数之合 啊，俩合在一起，俩之合可以构成一个手相，一个相数为六。肯定嘛，十二个数分成六组嘛。数且公差为 d 的 等差数列， 就认着俩数合在一起，当一个 b 一 啊，当成一个 b 二，一直到 b 六，就这么个事，是吧？问你这个观察 d 等于几？ 我这么跟你分析，你是不是觉得特别简单，但你当初你自己读的时候就没有那么好读，所以今年一卷二卷就这一帮，这一帮人出题也会增加阅读量。其实你说这个事对不对啊？对啊， 当你去做研究的时候，你肯定要阅读之前大段文献，文献里边也有可能有很多废话，你读啊，是吧？这是阅读能力哈。他问 d 是 几，这个题第一项能力就是读第二项呢？你找突破口 啊，给了我四个数是吧？ d 等一个，二四六八都有可能。 b 一 到 b 六，你看这个这个竖列和新构造这个竖列，那你要说是我试试呗，我都写上，往后走七九十一，然后十三，然后十五，然后十七十九，我凑一凑， 不可能，太麻烦了。那你要找突破口。这是这个题最难的地方哈，不好想，就这也好想哈， 你考场上你，你能不能想到你平时就经过训练，是不是两两个数列，他们的前项和是 不变的呀？所以 b 到 b 十二到 b 六，写个前项和 b 一 说， b 一 n， b 一 乘以六，加上二分之 n， 乘以 n 减一乘以这个 d， 就 构造的这个首项和你这个 d 的 关系等于谁啊？ 把它加一加后边用前一项和是吧，这是一三三五五，这是一十十六，十七十七，这个加上二分之首项加尾项七，加上一个十九，项数是一个七，算出来不就完事了。你知道吗？我第一次就这么算的。 我去，我刚才一读题告诉你，一百零八，数都给你了，你算个毛线是吧，直接就等于一百零八，这不就构建了 b。 哎，你们做的时候有没有这个一百零八？没有看到直接在算的，这就有时候，有时候 老师也没那么牛逼啊，经常犯这种错误啊。有，给你了，有交友信息吗？然后再给一算，就是六倍的 b， 加上约了 十五 d， 是 吧，等于一百零八，也就是除以三二倍的 b 一 加上一个五 d， 除以三等于个三十六，就是你构建了 b 一 和 d 的 关系。这不就回到你初中问题了吗？就 b 一 和 d 是 两个， 你看这个 b 一 是。嗯， b 一 是把这俩加在一起当成一个手相，那不可能是个负的，而大于几啊，你可以大于四是吧？最小就是四吗？小于几啊，这差也最大是吧？三十六， 你反正最有 b 有 个范围是吧？ b 一 是大于四，大于等于四小三十六一个一个是吗？可以啊，一个一个是之后让 d， d 肯定是个 d 也是个整数是吧？ d 都是整数吗？但你这么试就很麻烦了， 这不是一个分类讨论的问题。一个讨论吗？讨论谁好？ d 好 啊， d 不 给你四个选项吗？试试呗，是吧。当 d 等于二十， d 二十就是二倍的 b 一 这边十等于个 十，十这边是几？二十六， b 一 等于个二十是吧？除以三十十十六。 b 一 等于个十三 啊，毕竟十三，你看有没有，有没有十三这样数。有十三，嗯啊，能凑出十三来吗？十三，十一，十三。 哎，凑不出十三不可能是吧？哪有十三呀？有吗？这十二不可能，十三不可能，三不可能，没有，十三不行是吧？但是，但是这个四四的话就是就是二十二十十六。 b 是 个八，能凑出八来吗？ 八可以是吧？不有八吗？这个也可以当八，这可以当八，到底谁是谁？你看看，如果 b 是 个八的话，就八十二一直往后走，十六二十往后走，看行不行，至少这个 b 我 没有排除。当 c 等于六十五六三十五六三十的话，这边六 b 等于三不可能，都比三大八不可能了。哎，出来 这个题真的考你计算吗？真麻烦吗？不麻烦是吧？到了之后你开始就老师你这不是特指法吗？那你怎么不带特指 a 二个试试呢？你不得把这个式子给鼓捣出来？所以这个题是个综合能力的体现。 我说人一卷出的不好了吗？多好的一题啊，那这种题平时咱们肯定练过，相关的题你还是要学会灵活啊。所以通过这个一卷的题，我会挨个给你讲啊。昨天讲的第六题，我我只讲难的哈。前面那简单的不讲了哈。今天第七题，明天第八题，或者讲哈你看这个题。其实 当然，你老师你给你讲题肯定轻松啊，你在考场上自己做你不就麻烦了。但老师的作用仅仅在于此，我就给你分析你应该怎么想是吧？应该怎么想。 阅读能力哈，跟语文关系不大，你就耐心读呗。好，今天就讲到这里，大家拜拜。
261吕数
00:15
36:06查看AI文稿AI文稿这里是一百张高考数学试卷讲解系列，今天我们讲二零二二年全国高考数学新课标一卷主体讲解直接发车。我们来看第一题，题目给出两个集合，求它们的交集。先看集合 m， x 是 带根号的，所以 x 大 于等于零，两边平方，所以 x 小 于十六，所以集合 m 是 所有 x 满足大于等于零小于十六的解集。 再来看集合 n 三， x 大 于等于一，所以 x 大 于等于三分之一在数轴上表示出来， 重叠部分就是它们的交集，所以答案选 d。 来看第二题，若 i 乘以一减 z 等于一，求 z 加 z 的 共勒复数，两边同除以 i， 分 母不能代 i 上下同乘， i 等于负 i， 所以 z 等于一加 i， z 的 共二负数就等于一减二，相加等于二，所以答案选 d。 第三题，在三角形 a、 b、 c 中点 d 在 a、 b 边上 b、 d 等于二 d， a。 既向量 c， a。 等于向量 m， 向量 c、 d。 等于向量 n。 求向量 c、 b。 我 们可以先把三角形画出来，因为题目说 b、 d 等于二 d、 a。 所以 向量 b、 d。 等于二，向量 d， a， 所以 就有整理可得。向量 c、 d。 等于向量 n， 向量 c、 a。 等于向量 m 代入得到，所以答案选 b。 第四题，南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水续入某水库，已知该水库水位为海拔一百四十八点五米时，相应水面的面积为一百四十平方千米。水位为海拔一百五十七点五米时，相应水面的面积为一百八十平方千米。 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔一百四十八点五米上升到一百五十七点五米时，增加的水量约为多少？ 根据提议，只要求出棱台的高，即可使用棱台体积公式求出，而棱台的高就是上升的水位，高度等于一百五十七点五减一百四十八点五等于九米。 a、 b、 c、 d 就是 水位在一百四十八点五米时，对应的水面面积等于一百四十平方千米。 e、 f、 h、 g 就是 水位为一百五十七点五米时，对应的水面面积等于一百八十平方千米。代入棱台体积公式计算可得，约等于一点四乘以十的九次方，单位是米的立方，所以答案选 c 来看第五题，从二到八的七个整数中随机取两个不同的数，则这两个数互置的概率是多少？从二到八的七个整数中，随机取两个不同的数，共有 c 七二等于二十一种不同的取法。若两数不互置，不同的取法多这七种， 所以互质的取法有二十一减七等于十四种，所以概率等于三分之二。来看第六题，题目给出一个三角函数，并且 omega 大 于零，最小正周期为 t， t 是 大于三分之二， pi 小 于 pi 的， 并且函数关于点二分之三 pi 二中心对称求 f 二分之 pi 由函数的最小正周期 t 满足，大于三分之二， pi 小 于 pi， 而 t 等于二， pi 除以 omega 解的 omega 大 于二小于三。又因为函数关于点对称， 我们把二分之三 pi 带入 x， 整体是等于 k， pi 的 k 属于整数，此时函数值等于二，所以 b 等于二。由这个式子解的 omega 等于负六分之一加三分之二 k， 结合 omega 的 范围可以得到 omega 等于二分之五，所以 f x 等于。 最后把二分之 pi 带入等于一，所以答案选 a。 我 们来看第七题，给出三个三数比大小。先来看 b 和 c， b 等于九分之一，令 t 等于九分之一， 那么 c 等于负。令引零点九等于令引九分之十等于令引括号一加九分之一等于令引括号一加 t 构造函数 f t 等于令引括号一加 t 减 t 求导得到。 当 t 属于负一到零时，导函数大于零。当 t 属于零到正无穷时，导函数小于零，所以函数 f t 在 区间负一到零，单调递增。在区间零到正无穷单调递减。 当 t 等于九分之一时， f 九分之一小于 f， 零等于零。把九分之一回代函数另引括号九分之十减九分之一小于零，所以九分之一大于零数是小于 f 零等于零的， 所以令十分之九加十分之一小于零，故十分之九小于一的十分之一次方整理得到，所以 a 小 于 b。 最后来看 a 和 c 构造一个 g x 函数，目的就是算出当 x 等于零点一时， a 减 c 的 正负号 对 g x 求导，令分子这里等于 h， x 对 h x 求导。当 x 大 于零小于根号二减一时，导函数小于零，故在这区间单调递减。当 x 大 于根号二减一小于一时，导函数大于零，故在这区间单调递增计算 h 零是等于零的， 所以当 x 大 于零小于根号二减一时，原函数小于零。也就是当 x 大 于零小于根号二减一时，这里的分子是小于零的分母，此时也是小于零的，所以 g 撇 x 大 于零，所以 g x 函数单调递增，所以 g 零点一大于 g， 零等于零，即所以 a 大 于 c， 所以答案选 c。 最后一道单选择题已知正四棱锥的侧棱长为 l， 其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为三十六派，且侧棱长大于等于三小于等于三根号三，求正四棱锥的体积取值范围。 球的体积为三十六派，由球体体积公式可得，球的半径为三。设正四棱锥的底面边长为二， a 高为 h， 我 们可以把正四棱锥画出来。所以 l 方等于 h 的 平方加二， a 方的三的平方等于二， a 方加 h 减三的平方解得六， h 等于 l 方， 二 a 方等于 l 方减 h 方。正四棱锥的体积公式为，三分之一乘以底面积乘以高，这里的底面积就是四， a 方高， h 就是 六分之 l 方， a 方等于二分之 l 方减 h 方。代入整理可得 我们对体积的式子微求导，当 l 大 于等于三小于等于二根号六时，导函数大于零。 当 l 大 于二根号六小于等于三根号三时，导函数小于零，所以 l 等于二根号六为极大值点。 所以当 l 等于二根号六时，正四棱锥的体积 v 取得最大值代入可得等于三分之六十四。当 l 等于三十，此时 v 等于四分之二十七。当 l 等于三根号三时， v 等于四分之八十一，所以最小值为四分之二十七。 所以答案选 c。 来看。第一道多选择题给出一个正方体，求下列选项正确的有，先看 a 选项， 直线 b、 c、 e 与 d， a、 e 所成角为九十度，连接 b、 e、 c、 b、 c、 e。 因为 d、 a、 e 平行 b、 e、 c。 所以 b、 c、 e 与 b、 e、 c 所成角即为直线 b、 c、 e 与 d a、 e 所成角， 因为四边形 b、 b、 c、 e、 c 为正方形，则对角线 b、 e、 c 和 b、 c、 e 互相垂直，故直线 b、 c、 e 与 d a、 e 所成角为九十度 a 正确 b 选项说直线 b、 c、 e 与 c a、 e 所成角为九十度，连接 a、 e、 c。 亦得 a、 e、 b、 e 垂直平面 b、 b、 e、 c、 e、 c、 b、 c、 e 属于平面 b、 b、 e、 c、 e、 c。 所以 a、 e、 b、 e 垂直 b、 c、 e。 结合上面这里，并且 a、 e、 b、 e 交 b、 e、 c 等于 b、 e， 所以 b、 c、 e 垂直平面 a、 e、 b、 e、 c 属于平面 a、 e、 b、 e、 c。 所以 b、 c、 e 垂直 c、 a、 e、 b。 正确 连接 a、 e、 c、 e 社交点为 o 连接 b、 o。 因为 b、 b、 e 垂直平面 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d。 一 c、 e、 o 属于平面 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d。 则 c、 e、 o 垂直 b、 e、 b。 因为 c、 e、 o。 垂直 b e， d 一 b， e， d 交 b， e， b 等于 b e， 所以 c、 e、 o。 垂直平面 b b、 e， d、 e、 d。 所以角 c、 e、 b、 o 为直线 b、 c、 e 与平面 b、 b、 e、 d、 e、 d 所成角设正方体，棱长为一，则 c、 e、 o。 等于二分之根号二 b、 c、 e 等于根号二塞盈角 c、 e、 b、 o 等于二分之一，所以直线 b、 c、 e 与平面 b、 b、 e、 d、 d 所成角为三十度，而不是四十五度 c 错误， 因为 c、 e、 c。 垂直平面 a、 b、 c、 d。 所以 角 c、 e、 d 为四十五度 d 正确。 第十题给出一个三次函数，求下列选项正确的是。 a 选项说 f、 x 有 两个极值点，先对函数求导，令导函数大于零，此时 x 大 于三分之根号三或小于负三分之根号三，令导函数小于零，此时 x 大 于负三分之根号三小于三分之根号三， 所以原函数 f x 在 负三分之根号三到三分之根号三单调递减，再负无穷到负三分之根号三和三分之根号三到正无穷单调递增，所以 x 等于正负三分之根号三式极值点，故 a 正确 计算 f 负三分之根号三是大于零的， f 三分之根号三也是大于零的。 f 负二小于零，所以函数在负无穷到负三分之根号三有一个零点。当 x 大 于等于三分之根号三时， f x 大 于等于 f 三分之根号三，此时函数没有零点， 所以函数只有一个零点。 b 错误，令 h x 等于 h x 的 定义域与 f x 一 致，都为 r h 负 x 等于负 h x， 所以 h x 是 奇函数，原点是 h x 的 对称中心。将 h x 向上移动一个单位，得到 f x， 所以 点零一是 f x 的 对称中心。 c 正确， 令 f x 的 导函数等于二，可得 x 等于正负一，并且 f 一 等于 f 一 等于一。当切点为一时，切线方程为二 x 减一，当切点为负一一时，切线方程为二 x 加三，所以 d 错误 来看。第十一题已知 o 为坐标原点，点 a 在 抛物线上过点 b 的 直线与 c 交于 p q 两点，点 a 是 已知的，可以直接代入抛物线方程解得 p 等于二分之一，所以抛物线方程为 x 方等于 y， 所以 准线方程为 y 等于负四分之一， 所以选项 a 错误。我们知道 a b 两点坐标就可以计算出 a b 的 直线方程，先求斜率 k a b， 所以 直线方程就是 y 等于二， x 减一与抛物线方程连立化简得到。这个方程只有一个，减 x 等于一，所以 a b 直线与抛物线相切， b 正确。 设过点， b 的 直线为 l， 如果直线 l 与 y 轴重合，则直线 l 与抛物线只有一个焦点，与题目所说两个焦点不符，所以直线 l 斜率存在，设其方程为 y 等于 k， x 减一， p q 点坐标也设出来， 直线 l 方程与抛物线方程连立化简得到，所以就有判别是大于零，两根之合等于 k， 两根之积等于一，所以 k 大 于二或者 k 小 于负二，把 x 一 和 x 二分别代入抛物线方程。有 x 一 的平方等于 y 一， x 二的平方等于 y 二， 所以 y 一 乘以 y 二等于 x 一 乘以 x 二整体的平方，而两根之积等于一，所以等于一。根据我们设的 p q 点坐标和两点距离公式，可以分别得到， o p， o q， o p 乘以 o q， y 一 乘以 y 二等于一。先来看这里 y 一 等于 x 一 的平方，我们将这里两根之和两边同乘 x 一， 这样就可以凑出来 x 一 的平方。 x 一 乘以 x 二又等于一，所以左边这里就是一加 y 一 等于右边的 k， x 一。 同理，右边这里等于 k， x 二最终等于 k 的 绝对值结合 k 的 范围是大于二的，而 o a 方等于二，所以 c 正确。 最后来看 d 选项， b p 乘以 b， q 大 于 b， a 方由 b 和 p 点坐标根据两点间距离公式得到 b p。 由上面这里我们知道 y 一 加一是等于 k， x 一 的代入，可得化简得到。同理， b q 等于根号下一加 k 方乘以 x 二的绝对值相乘等于一加 k 方 结合 k 的 范围整体是大于五的，而 b a 的 平方等于五，所以 d 正确。来看最后一道多选择题，已知函数 f x 及其导函数 f 撇 x 的 定义域均为二， g g x 等于 f 撇 x。 若 f 二分之三减二 x 和 g 二加 x 均为偶函数，求下列那个选项正确。因为 f 二分之三减二 x 和 g 二加 x 均为偶函数，所以我们可以得到将这里的二 x 看成整体，也就有 导函数，这里也可以得到 g 二加 x 等于 g 二减 x， 从这里我们可以得到 f x 的 对称轴是 x 等于二分之三，也就是 f 三减 x 等于 f x， 从这里可以得到 g x 的 对称轴是 x 等于二， 所以就有 g 四减 x 等于 g x。 将四代入这里就有 f 负一等于 f 四 c 选项正确。 f x 的 对称轴是二分之三，所以它的导数 g x g 二分之三等于零。我们再对这个式子左右两边求导， 左边求导等于负 g 二分之三减 x， 右边求导等于 g 二分之三加 x。 于是我们就得到这个式子，说明 f x 的 导数 g x 是 关于点二分之三零中心对称，也就是 g 三减 x 等于负 g x。 结合这里的 g 四减 x 等于 g x， 我 们可以得到 g 四减 x 等于 g x 等于负 g 三减 x。 我 们先看左右两边，这里令 t 等于三减 x， 那 么 g 四减 x 等于 g t 加一，负 g 三减 x 等于负 g t。 我们再对这个式子的自变量加一，也就有 g t 加二等于负 g t 加一。结合一式和二式可以得到 g t 加二等于负， g t 加一等于 g t， 令 t 等于负二分之一，得到既负二分之一等于既二分之三是等于零的，所以 b 正确将 t 等于一和 t 等于负一分别代入这里， 可以得到记负一等于记一等于负记二，所以 d 错误。如果 f x 满足题干所有对称条件，那么 f x 加一个常数， c 也满足 f x 上下平移，不改变函数轴对称中心对称属性，所以无法确定 f x 的 函数值，也就无法确定 f 零 a 选项错误。 括号一，减减某分之 y 分 之 y 乘以 x 加 y 的 八次方。展开式里， x 平方 y 六次方的系数是多少？ 我们可以先把式子拆成两部分，因此整个式子中 x 方 y 六次方来自这两部分。第一部分是这里的 x 方 y 六次方。第二部分是这里的 x 方 y 六次方。 由二项式的通项公式，第一部分的 x 方 y 六次方是 c 八六乘以 x 方 y 六次方， c 八六等于二十八，所以第一部分的系数就是二十八。第二部分，这里的 x 加 y 的 八次方，要取 x 三次方， y 五次方这一部分， 这样乘以外面的负分之外，才能得到 x 方 y 六次方。由二项式的通项公式，含 x 三次方， y 五次方的项为 c 八五乘以 x 三次方， y 五次方，系数 c 八五等于五十六，所以整体就是二十八减五十六等于负二十八。来看，第十四题 写出与这两个圆都相切的一条直线方程。圆 x 方加 y 方等于一的圆心 o 为零零，半径为一 圆 x 减三的平方加 y 减四的平方等于十六的圆心 o、 e 为三四，半径为四，容易算出两圆，圆心距离为五，等于两圆半径之和，所以两圆外切。既然题目说写出一条即可，我们就看直线 l 这种情况。 如果直线是切线 l 这种情况与两圆相切，那么直线 o、 o、 e 与直线 l 互相垂直，那么它们的斜率之积等于负一，计算 o、 o、 e 斜率等于三分之四，所以直线 l 的 斜率为负四分之三。设直线 l 方程为 y 等于负四分之三， x 加 t， o 到 l 的 距离为半径一解得 t 等于四分之五， 所以 l 的 方程为 y 等于负四分之三， x 加四分之五来看第十五题。若曲线 y 有 两条过坐标原点的切线，则 a 的 取值范围是。 先对曲线 y 求导，设切点为 x， 零， y 切点在曲线 y 上就有将 x 零带入导数，这里得到切线斜率。 k 有 切点和切线斜率，就有切线方程。 题目说切线是过圆点的，所以将 x 等于零和 y 等于零，代入化简整理得到。因为切线有两条，所以判别式大于零解得 a 小 于负四或 a 大 于零 来看第十六题给出一个椭圆上顶点为 a， 两个交点为 f 一 和 f 二，离心率为二分之一，过 f 一 且垂直于 a， f 二的直线与 c 交于 d、 e 两点， d、 e 等于六，求三角形 a、 d、 e 的 周长。 因为椭圆的离心率等于二分之一，所以 a 等于二， c 在 椭圆中， b 方等于 a 方，减 c 方，将 a 等于二， c 代入等于三 c 方，所以椭圆方程可以写成这样。 左右两边同乘十二， c 方整理得到 a 是 上顶点，所以 a、 f 二等于 a， 而 a 又等于二 c。 所以在三角形 a、 o、 f 二中，角 a、 f、 e、 f 二为等边三角形过 f 一 且垂直于 a、 f 二的直线与 c 交于 d、 e 两点，所以 d、 e 就是 线段 a、 f 二的垂直平分线。 而直线 a、 f 二的斜率为负，根号三，两条互相垂直的直线的斜率之积等于负一，所以根号三，并且 d、 e 斜率为三分之，根号三，并且 d、 e 过 f 一 点。 所以 d、 e 方程为 x 等于根号三。 y 减 c 带入这里的椭圆方程整理化简得到。由韦达定理算得， y 一 加 y 二， y 一 乘以 y 二。由两点间距离公式计算， d、 e 将 d、 e 点坐标分别带入直线方程，得到。这两个式子两式相减，将 x 一 减 x 二带入这里的距离公式最后化简得到二乘以 y 一 减 y 二的绝对值， 而 y 一 减 y 二的绝对值等于根号下 y 一 加 y 二的平方减四， y 一 y 二，将这里的 y 一 加 y 二和 y 一 乘以 y 二代入化简整理得到十三分之二十四 c， 所以 d、 e 等于十三分之四十八 c 题目又说 d、 e 等于六， 解得 c 等于八分之十三， a 等于四分之十三。又因为 d、 e 为线段 a、 f 二的垂直平分线。根据对称性， a d 等于 d f 二， a e 等于 e f 二。所以三角形 a d、 e 的 周长等于三角形 f 二， d、 e 的 周长等于 d f 二加 e， f 二加 d f 一 加 e f 一， 而 d f 二加 d， f 一 等于二 a e f 一 加 e， f 二等于二 a， 所以 周长结果等于四， a 等于十三。来看第十七题 g s n 为数列 a n 的 前 n 项和已知 a e 为一， sn 除以 a n 是 公差为三分之一的等差数列。第一小问求 a n 的 通项公式。因为 a 一 等于一，所以 s 一 等于 a 一 等于一，所以 s 一 除以 a n 等于一。又因为题目说 sn 除以 a n 为公差为三分之一的等差数列， 所以 sn 除以 a， n 等于 sn 除以 a， n 加 d 乘以括号 n 减一等于一，加三分之一乘以括号 n 减一等于三分之 n 加二， 所以 s n 等于三分之 n 加二乘以 a n。 当 n 大 于等于二时， s n 减一等于三分之 n 加一乘以 a n 减一，而 a n 是 等于 s n 减一的。将这里 s n 和 s n 减一代入整理得到括号 n 减一乘以 a n 等于括号 n 加一乘以 a n 减一。 也就是 a n 是 等于 a 一 乘以 a 一 分之 a， 二乘以 a n 乘以 a n 的 a 一 等于一。这里的每一项都适用这里的式子，也就是乘以一分之三乘以二分之四，一直乘到 n 减一分之 n 加一。这里分子的三一值乘到 n 减一，是可以和分母的三一值乘到 n 减一约去的， 所以等于二分之 n 乘以 n 加一。将一带入这里，发现是等于一的，所以 n 等于一也适用。所以 a n 的 通项公式为，二分之 n 乘以 n 加一。 第二小问证明这个累加的式子小于二。上一问，我们求得 a n， 所以 a n 分 之 e 等于二，除以 n 乘以 n 加一等于二，乘以括号 n 分 之一减 n 加一分之一。所以左边这里相加里面的中间像是可以消去的， 只剩首尾两项， e 和负 n 加一分之一， e 减 n 加一分之一是小于一的，所以整体小于二。 来看第十八题，即三角形的内角 a、 b、 c 的 对边分别为 a、 b、 c， 并且给出这个等式。第一小问，若 c 等于三分之二派，求角 b， 由题目已知， 塞盈二 b 由正弦的二倍角公式等于二塞盈闭口塞 b 分 母的口塞二 b 由于弦的二倍角公式等于二口塞 b 的 平方减一减一与这里的加一抵消， 上下约去二口塞 b 等于塞盈 b 除以口塞 b， 左右两端这里交叉相乘整理可得塞盈 b 等于口塞 a 乘以口塞 b 减塞盈 a 乘以塞盈 b 等于口塞 a 加 b 等于负口塞 c。 而角 c 等于三分之二派，所以等于二分之一。 而 b 大 于零，小于二分之派，所以 b 等于六分之派。第二问，求 c 方分之 a 方加 b 方的最小值。 由第一小问的这里可知，塞盈 b 等于负口塞 c 大 于零，所以 c 大 于二分之派小于派，从而 b 大 于零，小于二分之派。由诱导公式可知，口塞阿尔法等于塞盈二分之派，减阿尔法 两边同时取负号。又因为塞盈 x 是 奇函数，所以负塞盈二分之派减阿尔法等于塞盈阿尔法减二分之派，所以负口塞阿尔法等于塞盈阿尔法减二分之派。 所以这里的负口塞 c 等于塞盈 c 减二分之派，所以 c 等于二分之派，加 b 结合 a 加 b 加 c 等于派，可得 a 等于二分之派减二 b， 所以 就有将 a 和 c 带入，结合诱导公式和塞盈 b 方等于一减口塞 b 方等于口塞 b 方。分之口塞二 b 方加一减口塞 b 方， 将口塞二 b 方用余弦二倍角公式展开化简，得到四口塞 b 方，加口塞 b 方，分之二减五大于等于二倍根号八减五，也就是四根号二减五。当前仅当口塞 b 方等于二分之根号二十区等号，所以最小值为四倍，根号二减五 来看第十九题值三棱柱的体积为四，三角形 a、 e、 b、 c 的 面积为二根号二。第一问求点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离。在值棱柱中设点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离为 h， 则有三棱锥 a、 a、 e、 b、 c 的 体积等于三分之一，乘以三角形 a、 e、 b、 c 的 面积乘以 h。 这里的面积题目说等于二根号二，所以等于三分之二。根号二 h 等于三棱锥 a、 e、 a、 b、 c 的 体积等于三分之一，乘以三角形 a、 b、 c 的 面积乘以 a、 e、 a， 而这里就是值三棱台的体积，所以等于三分之四。解得 h 等于根号二，所以点 a 到平面 a、 e、 b、 c 的 距离为根号二。来看第二小问，设地为 a、 e、 c 的 中点 a、 a、 e 等于 ab 平面 a、 e、 b、 c。 垂直平面 a、 b、 b、 e、 a、 e。 求二面角 a 杠 b、 d 杠 c 的 正弦值，取 a、 e、 b 的 中点 e 连接 a、 e。 如图所示，因为 a、 a、 e 等于 a、 e、 b， 所以 a、 e、 b、 c。 垂直平面 a、 b、 b e、 a、 e。 平面 a、 e、 b、 c。 交 a、 b、 b、 e、 a、 e。 一 a、 e 等于 a、 e、 b， 且 a、 e 包含于平面 a、 b、 b、 e、 a、 e。 所以 a、 e。 垂直平面 a、 b、 c。 由 b、 c 包含于平面 a、 e、 b、 c、 b、 c 包含于平面 a、 b、 c。 可得 a、 e。 垂直 b c、 b、 b、 e。 垂直 b、 c。 又 a、 e 和 b、 b、 e 包含于平面 a、 b、 b、 e、 a、 e 且相交，所以 b、 c。 垂直平面 a、 b、 b、 e、 a、 e。 所以 b、 c、 b、 a、 b、 e 两两垂直，以 b 为圆点建立空间直角坐标系。如图所示，由第一小问我们知道 a、 e、 b、 a、 b、 b、 b、 e 两两垂直，以 b 为圆点建立空间直角坐标系。如图所示，由第一小问，我们知道 a、 e 等于根号二，所以 a、 a、 e 等于 a、 b、 b、 b 等于二， a、 e、 b 等于二。根号二。因为 a、 e、 b 垂直 bc 三角形 a、 e、 b、 c 面积为二，根号二，所以 bc 等于二。根据线段长度及 b 为圆点，可得 a、 a、 e、 b、 c 点坐标。有 a、 e 和 c 点坐标，可得 a、 e、 c 的 中点 d 的 坐标。 由这些点的坐标可得向量 b、 d。 向量 b、 a。 向量 b、 c。 设平面 a、 b、 d 的 一个法向量为向量 m， 则有向量 m， 点成像量 b、 d 等于零。向量 m 点成像量 b、 a 等于零，令 x 等于一，得 z 等于负一， y 等于零，可得向量 m。 设平面 b、 d、 c 的 一个法向量为向量 n， 则有向量 n 点乘向量 b、 d 等于零。向量 n 点乘向量 b、 c 等于零，令 b 等于一，得 c 等于负一， a 等于零，可得向量 n。 向量 m 与向量 n 加角的余弦值等于向量 m， 点乘向量 n 除以两向量摩长的乘积等于二分之一， 所以二面角 a、 杠 b、 d、 杠 c 的 正弦值等于二分之根号。三、一、医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯， 卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系。在已患该疾病的病例中，随机调查了一百例，称为病例组。同时在未患该疾病的人群中，随机调查了一百人，称为对照组，得到如下数据， 第一小问，能否有百分之九十九的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？有已知的卡方公式，把上面表格的 a、 b、 c、 d 带入计算即可。 n 是 二百，计算可得等于二十四。百分之九十九，对应的 k 值是这一列， 所以就有二十四大于六点六三五，所以有百分之九十九的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异 来看。第二小问，从该地的人群中任选一人， a 表示事件选到的人卫生习惯不够良好， b 表示事件选到的人患有该疾病。这两个数的比值就是卫生习惯不够良好。对患该疾病风险程度的一项度量指标，即该指标为二，证明二是等于这部分的。 我们先把题目说的这两个数的比值列出来，也就是二。这四项中，每一项都可以用条件概率公式展开，其中第一项 b 在 a 条件下的概率等于 a， b 同时发生的概率，除以 a 发生的概率，其余三项同理。展开 其中这两项在分母，所以要取倒数约去后得到这个式子，我们可以把这个式子改写成这样。 不难发现，这里的 b 发生的概率和非 b 发生的概率都是可以约去的，约去后就是这里。而这里的四项中，第一项其实就是 a 在 b 条件下的概率，第二项的倒数其实就是非 a 在 b 条件下发生的概率，再取倒数就是第二项 同理。第三项和第四项是这样的，把这个式子整理一下，就是我们要证明的式子。我们再来看最后一小问， 利用该调查数据给出这两个概率的估计值，并利用上一个小问的结果给出二的估计值。 a 在 b 条件下的概率等于 a， b 同时发生的概率除以 b 的 概率， a、 b 同时发生的概率就是二百人中即使卫生习惯不够良好，也是患病者， 也就是这里的四十人满足要求概率为四十，除以二百 b 的 概率即为二百人中选到的人为患病者的概率。患病者有这里的一百人满足要求，也就是一百除以二百等于一百分之四十。同理，可以列出其他三项的概率。 再看回上一问，我们证明的二，将其代入计算即可等于六。来看第二十一题，已知点 a 在 双曲线上，直线 l 交 c 于 p q， 两点直线 a， p a q 的 斜率之和为零。第一小问求 l 的 斜率， 因为点 a 在 双曲线上代入，可得解得 a 方等于二，即双曲线方程为二分之 x 方减 y 方等于一。焦点有两个，所以直线 l 的 斜率是存在的。把直线 l 的 方程设出来， p q 点坐标也设出来。 将直线 l 的 方程与双曲线方程连立化简，得到这个式子。由维达定律得到， x 一 加 x 二， x 一 乘以 x 二，并且判别式是大于零的。推出 m 方减一加二， k 方大于零，由 a p 斜率加 a q 斜率等于零。所以就有 左右两边同乘，括号 x 二减二，乘以括号 x 一 减二，右边还是零，左边就是 x 一 减二，乘以括号 y 二减一加 x 二减一减一，而 y 等于 k， x 二加 m， y 等于 k， x 一 等于 k， x 一 加 m， 带入可得 括号。展开整理可得。将 x 一 乘以 x 二和 x 一 加 x 二，用上面维达定律得出的结果带入化简得到， 即括号 k 加一乘以括号二， k 减一加 m 等于零，所以 k 等于负一或 m 等于一减二 k。 当 m 等于一减二 k 时，直线 l 等于 k， 乘以括号 x 减二，再加一是过点 a 二一的与 t e 不 符，舍去，所以 k 等于负一。 若 tangent 角 p a q 等于二根号二，求三角形 p a， q 的 倾斜角为阿尔法和贝塔， 因为题目说它们的斜率之和为零，所以直线 a p 和直线 a q 的 倾斜角互补，即阿尔法加贝塔等于 pi。 在 三角形 p a， q 中，角 p a， q 加阿尔法等于贝塔。就像这样， 因为题目说 tangent 角 p a q 等于二根号二，所以 tangent beta 减阿尔法等于二根号二。又因为阿尔法加 beta 等于 pi， 所以 tangent pi 减二，阿尔法等于二根号二，即 tangent 二阿尔法等于负二根号二。由二倍角公式展开解得 tangent 阿尔法等于根号二， 它们的斜率之和等于零，得到 tangent beta 等于负根号二，所以就有直线 p a 方程和直线 q a 方程。 直线 p a 方程与双曲线方程连立化简得到。因为方程有一个根为二，由维达定律的两根之和是已知的。减去二就可以得到 p 点的横坐标。代入直线方程可以 p 点纵坐标，同理可得 q 点坐标。 有了 p q 两点坐标，那么就可以求得直线 p q 方程。由两点减距离公式可得 p q 的 长度等于三分之十六。由点到直线的距离公式可以算得点 a 到 p q 的 距离等于三分之二。根号二，所以三角形 p a q 面积等于九分之十六。根号二 来看最后一道压轴题，给出两个函数，并且这两个函数有相同的最小值。第一小问求 a 的 值， f x 的 定义域为二。对 f x 求导， 如果 a 是 小于等于零的，那么此时 f x 的 导数横大于零，此时 f x 无最小值，所以 a 大 于零。当 x 小 于另引 a 时， f 撇 x 是 小于零的， 所以此时 f x 在 负无穷到另引 a 上为减函数。当 x 大 于另引 a 时， f 撇 x 是 大于零的， 此时 f x 在 另引 a 到正无穷上为增函数，所以 f x 的 最小值为 f。 令引 a 等于 a， 令引 a， g x 的 定义域为零到正无穷。同样对 g x 求导，当 x 大 于零小于 a 分 之一时， g x 是 小于零的，所以 g x 在 零到 a 分 之一上为减函数。当 x 大 于 a 分 之一时， g x 是 大于零的，所以 g x 在 a 分 之一到正无穷是增函数， 所以 g x 的 最小值为 g a 分 之一等于一，减另一 a 分 之一。而题目说它们的最小值相同，所以就有 整理得到。其中 a 大 于零涉及 a 等于它们的差。对 g a 求导是小于等于零的，所以 g a 在 零到正无穷上是减函数，而 g e 等于零，所以 g a 等于零的唯一解为 a 等于一，所以这个等式的唯一解为 a 等于一。中上所述 a 等于一。 再来看第二问，证明存在直线 b 与这两条曲线共有三个不同的焦点，并且从左到右的三个焦点的横坐标乘等差数列。由第一小问的 a 等于一，可得 f x 和 g x 函数最小值为一。当 b 大 于一时，考虑 f x 等于 b 的 解的个数，还有 g x 等于 b 的 解的个数。 设 s x 等于 f， x 减 b 等于 e 的 x 次方减 x 减 b。 对 s x 求导，当 x 小 于零时， s 撇 x 小 于零。当 x 大 于零时， s 撇 x 大 于零， 所以 s x 在 负无穷到零为减函数，在零到正无穷上为增函数。 s x 的 最小值就是 s， 零等于一减 b， 此时 b 是 大于一的，所以小于零。将负 b 代入函数是大于零的。将 b 代入函数等于一的， b 次方减二 b 将其设为 u b 函数，其中 b 大 于一求导，因为 b 大 于一，所以是大于零的，所以 u b 在 一到正无穷上为增函数， 故 u b 大 于 u 一 等于一减二大于零，所以这里的 s b 是 大于零的。根据零点存在性定理，所以 s x 有 两个零点，即 f x 等于 b 的 解的个数为二。同样的，设 t x 等于 g， x 减 b 等于 x 减，另引 x 减 b。 对 t x 求导，当 x 大 于零小于一时， t 撇 x 是 小于零的。当 x 大 于一时， t 撇 x 是 大于零的，所以 t x 在 零到一上为减函数。在一到正无穷是增函数，所以 t x 的 最小值为 t， 一 等于一减 b， 此时 b 是 大于一的，所以是小于零的。将 e 的 负 b 次方带入函数是大于零的。将 e 的 b 次方带入函数。由上面这里的 s b 是 大于零的，所以这里也是大于零的。由零点的存在性定例， t x 函数有两个不同的零点， 即 x 减，另引 x 等于 b 的 解的个数为二。当 b 等于一时，由第一小问知道 x 减，另引 x 等于 b， e 的 x 次方减 x 等于 b， 仅有一个零点。当 b 小 于一时，此时是无零点的。因为这两个函数的最小值是一，所以一共要存在三个零点，只能是 b 大 于一。 设 h x 等于 f x 减 g x， 其中 x 大 于零，对 h x 求导。这里我们证明一个不等式，设 g x 等于 e 的 x 次方减 x 减一， x 是 大于零的，求导是大于零的，所以 g x 在 零到正无穷上为增函数，所以 g x 大 于 g， 零等于零。也就是这个不等式是成立的。 所以这里的 h 撇 x 是 大于 x 加一加某分之一减二的，等于二减一大于零，所以 h x 在 零到正无穷上微增函数 h 一 大于零，将 e 的 三次方分之一代入，是小于零的，所以 h x 在 零到正无穷上尤其只有一个零点，并且 x 零大于 e 的 三次方分之一小于一。 所以当 x 大 于零小于 x 零时， h x 小 于零，也就有，即 f x 小 于 g x。 当 x 大 于 x 零时， h x 大 于零，也就有即 f x 大 于 g x。 因此，如果存在 y 等于 b 与曲线 f x 和 g x 共有三个焦点， 其中一个焦点 b 是 两个函数的焦点，也就是公共焦点，否则将会出现四个焦点。所以 b 等于 f x 零等于 g x 零， 此时 e 的 x 次方减 x 等于 b， 有 两个不同的零点，为 x 一 和 x 零，此时 x 减另一 x 等于 b， 有 两个不同的零点， x 零和 x 四。把这三个零点分别代入到函数，其中 x 零是公共零点， 由这里的 x 四减另引， x 四减 b 等于零一项得到， x 四减 b 等于另引 x 四，也就是，所以就有所以 x 四减 b 为方程， e 的 x 次方减 x 等于 b 的 减。同理， x 零减 b 也是该方程的减。再来看这里的 e 的 x 一 次方减， x 一 等于 b 一项得到可以得到，也就是 x 一 加 b 减，另引括号 x 一 加 b 减 b 等于零，所以这里的 x 一 加 b 是 方程， x 减，另一 x 等于 b 的 减。同理， x 零加 b 也是该方程的减， 所以我们就可以得到这两个集合是相等的，而 x 零是不可能等于 x 零减 b 的， 只能等于 x 四减 b， 所以 就有所以 x 一 加 x 四等于二 x 零，也就是这个三个焦点的横坐标乘等差数列。
11.4万一镜数学
06:24查看AI文稿AI文稿你是说为了找他，一个人喊了七百二十万人来陪考两个小时吗？对剩下的人来说，这哪是高考，这分明是误创天价！今年新高考数学一卷， 十一个省份联考总考生人数约七百二十万，成绩一出，全网炸锅，居然只有一个人数学满分！要知道，今年的数学可是地狱难度，考完当天，数学难直接旱死热搜榜首 说考场的考生集体破访，直呼喜提大专。你肯定觉得数学天才多的是，他不过是摸到了试卷的天花板而已， 大错特错，一百五十分不是他的上限，是这张卷子的满分就只有一百五十而已。这才是二零二六年数学出题人挖空心思真正想要找到的人。今年这卷子难得，跟往年根本不是一个路子。 二零二二年的数学卷也难考完全网骂声一片。但那时候的难，是计算量大到写不完的难算。今年完全不一样，今年的难，是你盯着题目看三分钟，连下笔的地方都找不到。不是算不出来，是这题型，这思路，你压根就没见过。 有专门做高考解析的教育博主，主题拆完压轴题都感慨最后两道大题的内核，直接揉进了大学数学分析和抽象逻辑推导的思路。这哪是考你记了多少公式，刷了多少题型，这是考你撞上完全陌生的问题时，能不能当场自己趟出一条路来。 说白了，出题人根本不关心你刷了多少题，他就想看看你面对未知的第一反应是什么样的，有多 离谱。看组数据你就懂含金量了。二零二三到二零二五年新高考爱卷数学满分，每年都还有十好几个人散在各个省份，难度一年比一年往上抬，满分人数一年比一年往下缩。到了今年，十一个省的考生凑到一块，居然找不出第二个满分。再 看平均分，新高考爱卷从来没公布过官方统一的全卷平均分，但按多省抽样数据估算，二零二四年大概八十五分， 二零二五年跌到了七十八分左右，二零二六年大概率直接跌破七十。什么概念？大半考生 连一半的分都拿不稳，考完还喜提大专的，真不是自嘲，开玩笑。就在这种地狱难度里，许可交了一张干干净净的一百五十分满分卷，很多人第一反应， 这肯定是从小刷到大的做题机器吧？恰恰相反，这个来自浙江温州的男生，早在二零二六年年初就已经考过了清华邱成桐数学英才班。这个班什么分量？二零一八年菲尔兹奖得主邱成桐亲自推动设立，全国一年只招不超过三十个人，不看高考成绩，只认数学硬实力。 说白了，高考还没开考，清华就已经把他定下了。这场考试对他来说，没悬念没压力，甚至连像样的竞争对手都没有，更想来走个过场体验一下。老师把成绩打电话告诉他爸，他爸转头跟他说了分数，他听完啥特别反应都没有， 不是装淡定，是真的波澜不惊。去年拿数学联赛省一等奖，差一步进国家集训队，他也就一句有点遗憾，转头接着学自己的记者问他有什么学习经验，他就三句话，兴趣是前提，基础要扎实，保持平常心。你看最狠的地方，从来不是他考了一百五十分， 是他考一百五十分的方式不靠死刷题，不靠硬式技巧，是他对数学的理解早就超出这高考大纲之外了。但七百二十万人里，只有一个许可，剩下几百万人，要面对的，是另一个扎心的现实。就拿浙江来说，今年六百分以上的考生，快有五点五万人了， 没概念。给你算笔账，二零一九年，浙江六百分以上才四点八万人。七年时间，高分段人数涨了百分之十五，头部挤得水泄不通，分数涨了，录取线跟着疯涨。六百六十分，放在二零一九年的浙江，浙大普通专业稳稳当当就能上， 放在二零二六年，全省排五千名左右，也就刚够踩着现今浙大的冷门专业。那六百一十七分呢？全省第四万名，九八五，基本想都别想。不是你不努力，也不是你退步了， 是所有人都在拼了命往前跑，可通往名校的路就那么宽。二零二零年，浙江六百分以上还只有四点七万人。六年过去，高分的人越来越多，同样的分数，含金量一年比一年低， 可浙大每年就招那么多人，清北在浙江的名额也就一百多个，分子一动不动，分母越变越大。这笔账，不用懂数学都能算明白，你手里的六百分，正在越来越不值钱。以前的高考，数学奖励的是勤奋， 题刷的够多，套路摸的够熟，手速够快，分数就不会差。但今年这张卷子，明明白白告诉你， 时代变了，表面考的是数学，实则是整个教育筛选的逻辑在转舵，选拔标准正在从谁刷的题多，往谁理解的更深转。这从来不是一张卷子的事，是整个选拔逻辑的转向。对大多数普通人来说，就一件事，靠死磕、勤奋、重复刷题，能够到的天花板 越来越低了。而真正的理解能力、逻辑思维分量越来越重。许可的一百五十分，是七百二十万里挑一的天赋，加常年系统训练堆出来的，你我大概率复制不了。 当你回头看，就会发现，那些后来真正走的远的人，往往都不是当年高考分数最高的那一个。比如二零一七年的河北考生庞仲望，父亲精神分裂，母亲下肢残疾，自己小时候还做过心脏手术，全家靠捡废品过日子。他最后考进了清华，二零二五年评上清华学生年度人物， 手握三项国家发明专利，在光网络领域做出了实打实的研究成果。他高考分数高吗？高六百八十四分，再加自强计划的六十分，七百三十四分。但真正让他走到今天的，从来不是那个分数，是刻在他骨子里的，遇到什么问题就去解决什么问题的底层。能力。 许可的底牌，是纯粹的数学直觉。庞众望的底牌是绝境里磨出来的问题，解决能力、天赋是天选的底牌，任性是自己磨的底牌。而绝大多数人的人生，拼的从来不是某一张牌。查完分的那一刻，不管你看到的数字是高是低，记住一句话，高考是一次性博弈，但人生是重复博弈。 这场考试只能测出你十八岁的状态，他测不出你二十五岁的判断力，三十岁的执行力，以及后面人生整合资源的本事。那张成绩单能决定你未来四年坐在哪间教室上课，但决定不了四年之后你站在什么地方。 七百二十万人里只有一个许可，但七百二十万人里的每一个人，往后都有属于自己的一百五十分要去拿。这是考场不一样的出题人，也是自己唯一的阅卷人。
2483战术复盘师
05:31查看AI文稿AI文稿我真的觉得二零二六年这个新一卷的数学出的真不是人做的。就这样说吧，我带了三年的高三的学生，今年这个数学卷就是继二零二二年之后的最难的一张。说真的，我本来不想录这些视频的，但是我看到好多同学在我视频下在那评论哭诉说今年数学好难，感觉高考完蛋了。 其实我最怕的就是大家高考这几天刷视频的时候，考完一科去刷视频，开始疯狂的刷评论，区别人说好简单的，说好简单的，我一个劲就把你拉黑了， 就是不简单，就是对中等生不友好，我不接受反驳，就这么说吧，我一共算了，我一共算了四张草稿纸，四张，因为我不是二零二二年的考生吗？二零二二年的数学，你一看过去你就知道，哎，非常的难，今年的数学我就是觉得就是把人骗进来，啥？ 第一题给你出了个中位数，你觉得非常非常简单，对吧？前面中位数，切线、离心率，负数这些非常简单的我不讲，因为我知道大家难受的点根本就不是因为这些题，就是很多题你明明看起来就是能做，但是 他最神奇的地方就在于有一种能做，但是就是做不出来的那种恶心感。我自己在做的时候我觉得还好，但是我想了一下，我考虑了一下，那些数学中等生呢，也就是说我大多数的学生，他们的感受呢？就第六题往后再走的时候，你就会明显的感觉到，每道题我都可以再挣扎一下，但是刚好最怕的就是这个点，但这一次命题人就没有考虑到这个， 因为大家每道题都挣扎一下，时间就是没有了。我再说一下那十七题，十七题我觉得纯有病啊，这个题放在十七题这个位置，我觉得就是在搞大的心态。我想问一下，问一下，十七题本来是一个什么样的位置，是中等生在进入这个题之后能够稳稳拿分的位置？结果今年十七题后半段出来 概率论那块，当然我知道他本质还是高中的条件概率对不对，但是大家不要站在考后来解析这个题的角度啊，我站在的是我众多学生的角度来看这个题，我第一反应就是，我有学过这个吗？这道题我要不要跳过去？在考场上我们就这样想的呀，但他又是在十七题这样一个位置，在这个位置心理成本太高了，很多同学在这里就已经开始慌了， 不是因为第一题拿不到，第二问开始他就在怀疑自己后面还能不能做，后面是不是全部都是这样的题，是吧？ 好。十八题这个圆锥曲线，我觉得第一问非常的柔和，非常温柔哈。但是我们到了第二问，他就直接开始上强度，不是说不能上强度， 但是咱一下跨度太大了呀，一下给压轴题的难度整出来了。第二问，我们一看面积比焦点关系角度最直，哎，关键这个点还在第三项线，这一看人都麻了。这题我们就算不用那种非常复杂的计算，这学生也是非常痛苦的。为什么？因为他要判断入口， 他也知道自己选哪条路，这也是今年数学卷最恶心人的地方，你得想你要走哪条路，在这个做决策的过程当中，你就会浪费掉很多很多时间， 很多时间就这样被浪费过去了，浪费的同时你还在煎熬啊。然后呢，今年的十九题也是非常的神经，首先呢，是因为他没有走传统导数压轴的这个老套路啊。其次就是他这个包装，他考抽象函数，如果说前面那道圆锥曲线是需要大家去判断那个入口的话， 那十九题大家就是连入口都不知道在哪，门都摸不到，因为题目根本都读不懂，没有入口是一件很可怕的事情，有入口的话，你起码知道自己在计算。哎，我在努力了，但是十九题呢， 就是门都摸不到，所以我说这张卷子真的很伤中等生，尤其是那些平常非常努力的孩子。首先呢，平时能考一百三以上的，可能有时候还能靠自己数学思维来应付一下哈。哎，那些数学基础特别差的，他也不碰这些题，最难受的就是中等生， 数学中等生。为什么？因为这些孩子平时真的非常非常努力。那今年就是简单题，我们看一下啊，能够拿分，大题第一问能做，但是今年这个题就真的没有办法让这群孩子兑换自己本应该有的分数。 再说一下，二二年跟二六年，我看有人已经在比较了。首先因为我是二二年考的，我有发言权啊，但是我觉得这个没有可比性。嗯？为什么呢？因为二二年他属于开门哎，你拿着卷子他就告诉你，哎，今年考的很难，嗯，有一场硬仗要打， 但二六年我就说了，就是把人骗进来糊弄，但我说实话，因为我这三年带高三生的话，我基本上接触的都是数学中等生或者说基础比较差的，哪怕说我亲自带的好几个学生，我给他全部把题的方向压重了，但是我依旧觉得 这张卷子很考人的心态，基础特别差的我先不说，我真的觉得今年的卷子没有办法让这群中等生兑换自己的努力，也就是他们的努力是看不到回报的， 所以我很生气啊，生气的点就在于这种你让人，你让人感觉自己能做，但是根本做不完，然后或者给人一种很简单但是门都摸不到的这种感觉，很恶心人， 因为往后面走的每一道题，基本上呢都是给你一种不甘心的感觉，但是你知道在考场上你越是不甘心，你就越拖延，越拖时间，就这样时间就没了。而我再说一句，今年数学就是很难，就是很难，我不接受任何反驳，但不要去网上去看那些什么，说这不挺简单的吗？啊，这个题二级结论秒了， 这不是哪个高中哪个哪个知识吗？废话，当然是高中知识啊，高考题不是非得超纲才算难的，不信大家去看一下葛君老师出的卷，我问你超纲了吗？没有超纲对吧？那真正难的是什么？就是高中的知识放在考场的时间里面，让你读不顺，想不听算不完，你又舍不得放弃。那这群在网上发言的人，他自己在家里看解析，他当然觉得啊，好像就那样啊，考的不就这个吗？那挺简单的， 但是有没有人为考场上的卷就是不好受，坐下来就是不好受，我算了，四张草稿纸， 咱们明天不是还有考试吗？嗯嗯，今今天也是英语刚考完对吧？听说那个英语读后续写还挺八卦的哈，我挺多粉丝跟我反映哈。 呃，所以我替今年的这个考生说一句公道话吧，今年这张数学卷确实就是对中等生不友好，特别不友好，但不是没有努力。我也知道你也不是突然就考差的，就是很考心态，所以你难受很正常，你想骂他也正常，我都想骂，我真的想骂， 但是哈，大家千万不要把自己这种愤怒还有难过的情绪带到我们。嗯，后面的每一科考试当中，就让他嗯情绪就让他过去。大家洗把脸，稍稍休息一下，然后今天晚上咱们稍稍复习一下明天要考的东西，对吧？我在粉丝群大家都已经发给大家了，我们怎么去复习啊？明天正常考。好吧，加油，祝大家高考顺利，仓鼠学姐在这里等着你哈。
18.4万仓鼠学姐
03:55查看AI文稿AI文稿这才是真正的万里挑一，一百五十分不是他的上限，而是试卷只有一百五十分。为了找他一个人出题，老师愣是喊了七百二十万人来陪考两个个小时。 其他人看到这个消息，这才是真正的误闯天家。十一个省份，七百二十万考生熬了整整两个小时的脑细胞，结果你猜怎么着？满分一百五十分，只有一个人拿到了，这哪是考试啊，这分明就是一场针对全人类的围角！而出题人真正想找的那个人，就 那个唯一的满分选手，来自浙江温州的许可。咱先别急着聊这个，大神，你得先知道这张卷子到底有多变态。这么说吧，以前我们说数学难，那是难在算不出，今年这卷子是难在看不懂。 新高考一卷二卷假卷全线崩盘，尤其是这一卷难度，直接把公认的地狱级二零二二年卷子按在地上摩擦，好多考生考完出来脸都是灰的说完了，这辈子跟数学无缘了，大专都得求人收。最损的是什么？是命题思路？你以为还是死磕那些导数圆锥曲线吗？ 错了，今年直接把大学里的拓普学高等数学思维搬过来了，这就叫降维打击。你就算把高中三年的题海战术刷穿了，上了考场，面对那些像外星文字一样的符号，你照样蒙出题人这次把话挑明，数学底子薄的你就别想及格了。这张卷子的使命根本不是为了区分谁考九十，谁考幺幺零， 他是要把真正的数学天才从七百二十万普通人里给捞出来，选拔属性拉满了。在这种反人类的难度下，那个叫许可的小伙子拿了一百五十分，不是他的上限，是 这张卷子他只有一百五十分，这就太恐怖了。对比一下往年，二零二五年的时候，浙江、河南、湖北这些高考大省，好歹还能找出几个满分撑撑场。 到了二零二六年，十一个省七百二十万考生凑一块，就这一个独苗。网上有人酸说，往年也有满分啊，有什么了不起？哎呦，这你可就说外行了。往年的满分很多时候是稳，是把该拿的分都拿死了，但今年的满分，那是神 补。搞竞赛的博主说了，能在这种融合了拓扑学思维的卷子上拿满分，背后至少得有五到七年系统化的竞赛训练。这不是靠高三熬夜刷题能补出来的，这是天赋， 是智商碾压。最绝的是，就在大家还在讨论这个满分的含金量有多高，说清华北大要抢风的时候，反转来了。 人家许可同学早在今年年初就已经通过了清华大学邱成桐数学英才班的招生考试，进了预录取名单。也就是说，这场让七百二十万人痛不欲生的考试，对他来说就是一场体验生活的免费模拟考。这哪里是考生，这简直就是出题组派到人间来视察工作的卧底。但是兄弟们， 许可的故事是神话，是给我们抬头仰望的，咱们得把头低下来，看看现在的这个修罗场。许可这一分，直接把整个二零二六年高考的遮羞布给扯下来了。 这几年高考报名人数一直在涨，二零二零年才一千零七十一万，到了二零二六年，你猜多少？突破了一千两百万，六年间多了近一百三十万人，人越来越多， 题越来越难，但是呢，顶尖名校就那么几所，招生名额几乎没变，这就导致什么？导致以前那种考个六百分就能躺平进二幺幺的日子 彻底结束了？你知道现在的高分有多不值钱吗？今年全国六百分以上的考生超过了四十万人，就浙江省一个省就有将近五万人过了六百。放在五年前，六百分你闭着眼挑二幺幺，运气好点莫留九八五都能上。今年呢，在浙江六百分，不好意思，省内普通一本你排队去吧。最扎心的一个例子， 有个考生查分，看到屏幕跳出来六百一十七分，当时心里还想，稳了，起码是个好学校，结果下一秒，全省排名弹出来第四万名，那一刻，真的是从天堂直接跌到地狱。这就是现在的现实，不是你不努力，是你身边的每个人都跟你一样不要命的在跑。以前我们说是百里挑一，现在呢，是万里淘金。数学卷子难到离谱， 为了把那一个许可给筛出来，而几十万的高分考生挤在那条独木桥上，是为了争夺那仅有的几个名额。所以聊到这，我不想再给你们灌什么，加油，你是最棒的！这种毒鸡汤了，许可只有一个，他是那七百二十万里的奇迹，但剩下那七百一十九万九千九百九十九个考生，每一个全力以赴的人， 同样值得脱帽致敬。你数学没考满分甚至没考好，不代表你这辈子就完了，这张卷子只是证明了你前一八年的努力，成果定义不了你以后三零年的人生。
343文史密码
03:44查看AI文稿AI文稿昨天的高考数学结束之后，很多考生们说高考数学难到哭，三年青春喂了狗，今年的数学题太难了，很多人是边写边哭，最后哭着走出了考场。网友说，考数学求伟神附体，没想到伟神附在了卷子上， 抱怨数学题难几乎已经是每年高考的固定节目了，但这两天，网络上却开始封传所谓的高考数学初题人的信息，称有人八初今年数学试卷初题人是南京师范大学的某教授。 一瞬间，许多考生甚至还有家长们都把矛头指向了这位教授，有家长指责他破坏家庭和谐，说他对不起学生的三年努力。而一些考生更是情绪激动，直接开始了各种人身攻击。在网络平台上搜索相关的关键词，能发 发现对出体人的各种攻击辱骂不在少数。因为试卷太难就去人肉网报出体人，这是什么道理呀？ 首先，官方从来没有发不过出题人的信息，根本不能够确认，这位男士大的教授就是出题人。第二，高考数学有好几套卷子，出题的老师也有很多，揪出一个所谓的出题人来攻击，这不就是为了泄愤，找各出气筒吗？ 这样的事情也不是第一次发生了，著名的高考出题老师葛军就因为出题难度较大，被网游戏称为葛军出征，寸草不生。 虽然现在网友们说起葛军老师大多是调侃，但早些年他也曾经遭到过网报，无论哪一年哪一个省份，但凡考生们觉得今年数学卷子难了，就会说是葛军处的题，开始骂他， 导致葛军老师只能够出来辟谣，说自己只出过四个年份的题，二零一零年后就没有再出过题了，也从来没有参加过江苏省以外的出题工作。最后，不看网报的葛军老师向媒体表示，以后都不想再参加高考命题的工作了。 实际上，高考命题组是一个团队，一套卷子有多难，又哪里是一名老师可以决定的呢？葛军老师曾经坦言，所有题目都是要经过审查的，即使他自己就想出很难的题，在审查的时候也是过不了关的。 今天，教育部官方回应了数学难的争论。先说结论，今年的卷子没有问题。为什么这么说？首先，卷子没有超纲，考察内容与课标保持一致，那么所有的知识点都是学生们应该学习掌握的， 不存在考大家没有学的。第二，今年的题型设置变了，出现了更多综合性的问题和较为复杂的情景，更加考察学生的灵活应变能力。这就是为什么考试们普遍觉得今年很多偏题、怪题，知识点虽然是相通，但题型设置和常见的不一样。 很多人被打了个措手不及，于是觉得三年的努力白费了。但数学没考好，三年真的就白费了吗？没必要自暴自弃， 高考看的是同省份内的总分排名，最后根据每个省的招生名额来决定录取。数学难，但难的也不是你一个人，大家都是一样的， 高考不仅看天赋和努力，真正的差距还体现在心态上。数学太难，大家都考差了，但谁能够最快从这种消沉当中走出来，全力迎战，下一刻考 谁就有可能成为最后的赢家，没有谁的三年青春是白费的，哪怕高考失利，也不代表人生就灰暗了。跨过这道坎之后，还会有很多的机遇，还会有很多的挑战在前面等着，保持良好的心态才是最关键的。 同时我们也希望高考命题能做好保密工作，保护好出题的老师，让网络暴力不再重演。
18.6万小强快评
01:06查看AI文稿AI文稿今年高考直接杀出一位顶级数学天才，新高考海南卷难度爆表，覆盖十一个省份七百五十万考生，却唯独诞生了这样一位学霸数学直接拿下满分一百五十分，一分未扣。这套卷的出题老师被网友吐槽了整整半个月，如今总算遇到了真正懂题的顶尖高手， 足以见得这位考生有多强悍。全国一共有七百二十万名考生统考这套试卷，而他是千万人里唯一的满分考生。今年这套数学卷考完直接冲上热搜，第一难度堪称天花板，不少人评价比二零二二年无人满分的卷子还要更难， 他的答卷质量更是无可挑剔。阅卷组长连同六位阅卷专家一致评定，整张试卷零瑕疵零失误，压轴大题的解析逻辑缜密又标准。别人考一百四十九分是实力上线只有一百四十九，而许可考一百五十分是因为试卷满分只有一百五十。 可想而知校长去教育局汇报有多风光。从任课数学老师到当年接生，他的一生都将因为这次独一无二的满分成绩迎来巨大的荣誉与晋升。
79全球军事科普
07:37查看AI文稿AI文稿二零二六年六月二十七日晚上九点五十开播，然后十点钟到十二点，我只用了一个半小时就把二零二二年的高考数学的已卷的文科做完了， 这套试卷最终考了一百三十三分。这套试卷还是有一定的难度的，请大家批评指正。 you。
42强哥数学非常厉害
03:48查看AI文稿AI文稿朋友们应该相信吧，数学圈最近出了一位天才学霸，二零二六年新高考一卷七百二十万考生，只有他拿下了数学满分，全网都在为他沸腾。可是创造奇迹的这个十九岁少年许可，全程淡定从容，一点波澜都没有，就先跟大家说说这套数学卷到底有多难。 考完当天，大批考生心态直接崩了，相关的热搜直接刷屏，整张试卷反套设问，刁钻难度直接拉满，能完成写完的学生都寥寥无几。 成绩公布以后，全卷平均分仅有八十八分，也就是说大半考生都没有及格。就算是江苏、山东、湖南、湖北这些公认的高考强省，最高分都没有触碰到满分线。浙江少年许可却在这场考试里面杀出重围，交出了满分的大卷。七百二十万人里面，读一份的一百五十分， 从来不是运气，而是实打实的硬实力。比满分更难得的是他超乎同龄人的沉稳通透。成绩出炉那天，整个校园彻底沸腾，老师得知喜讯之后，反复的打电话确认分数，所有人都在为这份奇迹狂欢，只有许可十分的平静。父亲告诉他，满分的时候，他语气淡定， 走出考场的那一刻，他心里就有数了，每一道题都思路清晰，步骤完整，没有一道题是靠蒙的，所有的解题逻辑全部在自己的掌控之中。这份底气不是盲目的自信，而是日复一日沉淀下来的实力和好心态。很多人觉得他是天生神童， 全靠天赋，但却不知道这份从容是一次次得失打磨出来的。去年，中学生数学联赛许可拿到了浙江赛区一等奖，全国排名一百六十七名，可惜没有进入国家集训队。巨大的落差足以让很多顶尖学霸消沉内耗，他却坦然的接受了遗憾。短暂的调整之后，立即投入学习。 今年年初，他凭借过硬的实力通过了清华邱成桐数学英才班的考核，提前拿到了清华的预录取资格。别的学生还在拼命的冲刺高考，他早早就锁定了顶尖名校，却丝毫不敢懈怠。 高考结束以后，身边的学生全部都彻底放松，许可却早早规划好了暑假学习，提前自学高等数学，深耕专业知识。他的目标简单又坚定，把数学学好，褪去天才的光环。他分享的学习方法 朴实却句句实在，没有任何的捷径可言。他说，长久学习的动力从来不是被迫内卷，而是发自内心的热爱。所有的复杂难题只是基础知识的重组变形，需盲目的刷海量人习题，不如吃透课本，夯实基础。考场取胜的关键从来不是死磕 拼难怪，而是稳住心态，学会取舍，稳稳拿住该拿的每一分。他从不被名次束缚，考得好不骄傲，发挥市场，也不会自我内耗，把每一场考试都当成了查漏补缺的机会。在这里跟各位家长 分享六字育儿心得，内核稳，后劲足。内核稳，就是孩子心里面要清晰的规划清楚自身的优缺点，找准努力的方向。被夸奖了，不会飘飘然，被别人超越了，也不会自我否定。考试全程沉得住气，不被外界的杂音干扰。后劲足，就是把努力课程本能。 高考结束，所有人都放松玩乐，学科却主动规划深造。一句把数学学好，藏着他纯粹的初心。普通孩子读书只是为了应付考试，真正优秀的孩子是发自内心的热爱学科，主 主动钻研深耕。咱们家长千万别只盯着这一百五十分的光鲜分数背后，其实有四点才是值得借鉴的教育核心。第一点，强大的内升驱动力，顶尖学霸永远是自我驱动。第二，扎实稳定的学科基础，学习没有捷径，只能一步一个脚印。第三，源源不断的长期后进，拥有坚持自律的习惯。 第四，重入不惊的稳定心态，这才是真学霸的底层逻辑。认同我的观点的家长评论区打个同意，也欢迎转发给身边有孩子的朋友。七百二十万分之一的满分是他的荣光，但谦逊他是诚心钻研的，品性才是他最珍贵的财富，这 就是当代中国少年最好的模样。为沉稳自律的许可点赞！也祝愿每一个追梦人沉淀自我，坚持初心，在属于自己的赛道上闪闪发光！我是曼曼姐，关注我，持续分享深度干货！
61我是暴富曼曼姐
23:39查看AI文稿AI文稿什么？你居然还没有学会使用飘带放缩不等式解决这类常见的只对比大小问题？今天旺仔用两道高考真题教你学会这类比大小问题。 同学们大家好，在高考数学中有一类比大小的选择题特别容易错，也就是掺杂了 指数，是对数式和含有根号的式子的这种问题。这三个数呢，有可能非常接近，有时候很容易判断错方向。今天呢，我们来介绍一个工具，也就是飘带不等式来解决比大小问题。 我已加入抖音，抖音精选高考应援联盟，欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百课。 hello， 大家好，今天呢，我们来分享一个高考中比大小问题的工具，就是飘带不等式。那么我们从两道高考题来看起，第一道是二零二二年新高考一卷的第七题，第二个是二零二一年全国一卷的第十二题。 那么这两道题呢，不是单纯的去考，我们比较三个数大小，真正困难的是什么呢？是这三个数非常接近。如果我们只用泰勒公式的话，因为有些同学掌握了泰勒公式，有时候是不能，就是只用前几项的话，是不能精确的比较这几个数的大小的。 所以我们今天介绍的这几组放缩不等式和构造函数的技巧来解决这两道问题。 那么为什么这类题是容易错呢？因为他不是单纯考，我们会微计算，而在考我们误差的控制，主要是三类数的大小。第一个是对数指数和含有根号的式子， 当这类式子放到一起去比较大小的时候，实际上还是比较困难的，那么我们今天完成的目标是什么呢？ 第一，什么时候用飘带不等式，然后让大家会把根号有理式对数和指数放到同一条比较链上去比较，然后遇到放缩不够的时候，看一下如何去构造函数去解决问题。好，首先我们看一下第一组飘带不等式， 第一组飘带不等式是含有对数的飘带不等式，那么当 x 大 一的时候，绕引 x， 它是小于 二分之一乘以 x 减去 x 分 之一，大于二倍的 x 减一，比上 x 加一的。对于证明呢，大家可以一向求导去证明，然后我们看一下它的图像， 左侧 y 等于绕 x 这条黄色曲线，然后上方的是 y 等于二分之一，乘以 x 减 x 分 之一，下方的是 y 等于二倍的 x 减一，比上 x 加一，他们都过一零这个点， 那么这是比较烙印 x 的 大小时候最常用的放缩。然后左侧是对数函数的下界，右侧是对数函数的上界， 它比一般的不等式更精确，更适合处理接近的数。比如说当 x 等于一点零一，一点零二的时候，你就可以带入左右两侧得到这个烙印 x， 它的范围。 好，这是我们介绍的第一组飘带不等式，下面呢，我们看一下它的一个这个 带根号的式子，就是把它进行一个换元，比如说我们令 t 等于根号 x， 那 么 x 等于 t 方 t 是 大一的，那么烙印 x 等于二倍的烙印 t， 我 们代入一下换元之后，代入一下就可以得到 烙印 t 小 于二分之一乘以 t 减 t 分 之一而被的烙印 t 呢，它就小于 t 减 t 分 之一，那么因为 t 是 等于根号 x 的， 我们就可以得到这样一个不等式，当 x 大 于一的时候，烙印 x， 它是小于根号 x 减去一比上根号 x 的。 这是关于烙印 x 与这个含有根号的式子这样的一个联系。 那么右边是它的图像，首先它们也都经过一零， 下面的红色曲线是 y， 等于绕引 x， 蓝色曲线是 y， 等于根号 x 减去一比上根号 x。 在 遇到对数式与根式的比较时候，我们可以考虑这样一个放缩不等式， 那么在我们随后讲解的二零二一年全国已知二的第十二题中，可以直接去用到。 好，这是第二组式子，然后我们看一下第三组式的这个，嗯，它的切线放缩。其实对于顿数的切线放缩我们是比较熟悉的，第一组是 lo x， 它是，它在大于零的时候， 它是小于等于 x 减一的，这是它的在一零处的切线放缩。 那么左侧的式子是 loft x， 它是大于等于 x 减一比上 x 的 这样一个式啊，大家也可以移向，然后求导去证明 这是第三组式子。好，我们看一下关于指数函数的式子。指数函数的式子首先也有一个切线放松，就是当 x， 呃，这个是横乘立的，这边是横乘立的， e 的 x 等于等于 x 加一，因为这是它在零一处的切线， 那么一的 x 密小于等于一比上一减 x， 其实这个也是就是，呃，在零到正无穷上横成立的。那么常用的是 x 大 于零小于一这个范围。 第一组是切线收缩，第二组是当遇到一的 x 密和分式的时候， 就把 e 的 x 幂和分式联系起来了，适合比较分式的大小。好，这是关于指数的式子， 关于指数的式子，然后我们看一下这几个公式，那么我们介绍了这几个公式，关于对数与分式的联系， 对数与分式的联系，对数和根式的联系，以及指数和分式的联系。这几组放缩的飘带不等式，大家可以去记忆一下，以及他们的图像，大家也可以自己去画一下，总结一下。 好，下面我们就看例题。第一题是二零二二年新高考一卷的第七题，他说 a 是 等于零点一，乘以 e 的 零点一次幂， b 是 等于九分之一，是一个分数。分式第一个是指数， 那么第二个是，第三个是对数。 让我们比较一下 abc 的 大小，然后我们看一下我们的思路是什么呢？首先我们可以比较一下 a 和 b 的 大小，然后再比较一下 a 和 c 的 大小，然后看能得到什么结论。好， 对于 a 和 b 的 大小， n， a 是 一个指数式，然后 b 是 一个分式，我们可以考虑用指数的不等式去放缩，然后 a 与 c 的 大小的时候，呃，我们可以都把 a 和 c 放缩成，放缩成这个，嗯，根据放缩不等式放缩成分式， 这是我们的思路。然后我们看一下具体的比大小。首先是 a 和 b 的 大小。好，我们看一下 a 和 b 的 大小， a 是 等于零点一，乘以 e 的 零点一次密， 那么我们就可以利用我们刚刚介绍的这样一组放缩不等式， x 是 大零小一的时候，这里 e 的 零点一次密， x 是 等于零点一，也是符合这个范围的，所以一的 x 密，它就小于这样一个分式，一比上一减零点一，那么一的 x， e 的 零点一次密，它就小于一比上 零点九，就等于九分之十，那么 a 就 等于零点一乘以 e 的 零点一次幂放松一下，它就小于十分之一，乘以九分之十，那么它就等于九分之一， b 呢，正好就是九分之一。所以可以得到结论， a 是 小于 b 的。 首先我们利用这样一个放缩不等式，得到了 a 与 b 的 大小， a 小 于 b。 好， 接着我们看一下 a 和 c 的 关系， 看一下 a 和 c 的 关系。这个 c 呢，是一个含有对数的式子， 它是等于负的，烙印零点九也是负的。烙印十分之九，那么根据对数的运程法则，它就等于烙印九分之十，然后因为烙印九分之十，它是 大于一的。根据我们刚刚讲的这样一个对数放缩的不等式，我们看一下它的这个，嗯，放缩 烙印 x， 它是小于二分之一，乘以 x 减去 x 分 之一的，所以 c 这个数烙印九分之十，它就小于二分之一。乘以九分之十，减去十分之九， 计算一下，结果，它是等于十九，比上一百八，这是 c 的 这样一个上解， c 小 于十九，比上一百八十，那么 a 呢？根据呃，这个指数的放缩不等式， 就是 e 的 x 密，它是大于，如果 x 大 零的话，它是严格大于 x 加一的，所以 e 的 零点一次密，它是大于这个一加上零点一的，所以 a 是 零点一乘以一的，零点一次密，它是大于零点一乘以一点一的，也就是十一比上一百。那么我们看一下数轴， c 是 小于十九比上一百八十的，那么这就在数轴上， 这一点就是 c， 这一点就是十九比上一百，然后呢， a 是 大于十一比上一百的， 那么这是十一比上一百，这是 a， 所以 a 和 c 的 大小我们也可以比较出来。通过放缩的不等式，那么 a 就是 大于 c 的。 刚刚我们得到 a 是 小于 b 的， 根据那个指数的放缩不等式，所以 a 是 大于 c 小 于 b 的， 我们就得到了这一题的答案， a 大 于 c 小 于 b， 所以 就选 c， 这是第一个问题。然后我们看一下第二个问题，就是二零二一年全国语卷的第十二题，大家自己可以先看一下如何利用我们刚刚讲的这样几组飘带放松不等式去 去看一下 abc 的 大小。 好，我们一块来看一看。那么这道题我们整体的思路是什么呢？他说 a 等于二倍的烙印一点零一， b 等于一点烙印一点零二， c 等于这样一个根式根号，下一点零四，减去一问我们 abc 的 大小。 首先呢，我们要注意到， 注意到什么呢？ a 和 b 它都是对数， 都是对数式的时候，我们先不要急着去用那种放缩不等式去放缩，我们先要干什么呢？对数和对数是可以直接去比较大小的，对吧？所以 a 与 b 同类项，我们可以考虑一下直接比较大小， 然后 b 和 c， b 和 c 就 需要利用我们。嗯，针对于对数的根式的那样一组放松式子，然后可以对这个根式根号进行有理化。然后 a 和 c 呢？我们介绍这个构造函数的技巧。 好，这是我们的整体思路。首先我们来比较一下 a 和 b 的 大小， a 和 b 的 大小，因为它们是都是对数，我们可以作差去比较。好，我们来看一看， a 是 二倍的烙印一点零一， b 是 烙印一点零二，那么 a 也就等于根据对数的运程法则，它是等于烙印一点零一的平方的，对吧？烙印一点零一的平方，那么 可以做差去比较，做差比较就是 a 减去 b， 看它是大于零还是小于零，如果大于零就是 a 大 于 b， 小 于零就是 a 小 于 b， 那 么 a 减 b 就 等于啊，烙印一点零一的平方，比上 一点零二，就用对数的运算法则。然后一点零一的平方是多少呢？是一点零二。零一，它是大于一点零二的，所以这个比值是大于一的， 这个比值它是大于一的，那么整体上就是大于零的，所以 a 减 b 是 大于零的， a 就是 大于 b 的。 所以在看到比大小问题的时候，如果是同类项，同类和同类可以先比较， 这是呃， a 和 b 的 大小， a 大 于 b， 然后我们接着看一下这个 b 和 c 的 大小，因为 b 是 这样一个 啊对数式，然后 c 是 这样一个根式，那么就用到我们刚刚讲的一个飘带放缩不等式，就是烙印 x， 它是小于根号 x， 减去一比上根号 x 的 x 大 一的时候，这时候 b 是 烙印一点零二，所以这里 x 是 一点零二，是大一的，那么啊，根据这个放缩不等式，烙印 一点零二，它是小于根号下一点零二，减去一比上根号下一点零二的，然后通分一下，通分一下，就是烙印一点零二 小于零点零二比上根号下一点零二，那么我们就找到了 b 的 这样一个嗯，对照的值，就是零点零二比上根号下一点零二。我们看一下 c 与这个式的大小， c 与这个式的大小，那么 c 是 什么呢？ c 是 根号下一点零四减一，那么这是一个分式， b 是 与一个分式比较比较大小，那么 c 呢？是一个根式，那么我们可以把这个根式变成分式的形式， 就是用那个呃平方差公式给它变一下，那么 c 就 等于上下同时乘以这个，嗯，根号下一点零四加一，因为它是 根号下一点零四减一比上一，然后上下同时乘以根号下一点零四加一，就可以用平方差公式了。那么 c 就 等于这样一个式子，零点零四比上根号下一点零四加一， 然后我们要正 b 和 c 的 大小，就看这两个式子大小，因为 b 是 小于这个式子，就是零点零二比上根号下一点零二和零点零四比上根号下一点零四加一， b 是 小于这个式子的， c 是 等于这个式子的，那么 b 这个式子也就等于零点零四比上二倍的根号下一点零二，对吧？因为这样我们可以统一 分子，然后去比较分母的大小就可以了。然后分母谁大谁小呢？分母是根号下一点零四加一，小于二倍的根号下一点零二的这个比较，我们可以两边同时平方，然后得到这样一个结果，所以说，嗯， 分母大的倒过来就小，分母小的倒过来就大，那么根号下一点零四加一，小于二， b 的 根号下一点零二的话，那么 c 就 大于比 b 大 的这样一个值， c 是 大于 零点零二，比上根号下一点零二的，所以 c 是 大于 b 的， c 是 大于 b 的。 然后我们刚刚比较了 a 是 大于 b 的， c 也是大于 b 的， 还差一个什么呢？ a 与 c 的 大小， 那么我们最后来比较一下 a 与 c 的 大小， a 与 c 的 大小呢？我们先来看一看 a 与 c 的 大小，我们先来做一个差，就是 a 减 c， 它就等于什么呢？二、 b 的 零一点零一减去根号下一点零四减一，这个式子该如何思考呢？哎，我们想一想， 就可以看成一加零点一，这是一点零四，我们可以看成一加零点四， 也就可以看成零点一乘以四。那么我们如果把零点一看成 x， 就 可以构造这样一个函数， 勾到函数 f x 等于二倍的烙印，一加 x 就是 我们刚刚看的零点一减去根号下一加四 x， 也就是 根号下一加四乘以零点一，这样一个式子， f x 就 等于烙印二倍的烙印，一加 x 减去根号下一加四， x 加一 f 零点， 这个哦，这是零点零一，零点零一， f 零点零一就等于 a 减 c， 是 吧？ f 零点零一就等于 a 减 c， f 零呢？等于零这样一个式子。然后我们要看一下这个式子和零的大小，对吧？ 如果这个式大于零，也就是如果这个函数是单调递增的话，零点零一大于零，那么这个式子它就大于零。如果单调递减的话，零点零一大于零，这个式子函数值就小于零， 那么就看一下它的单调性喽。单调性就是求导去看一下，就是二比上一加 x 减去二比上根号下一加四 x， 然后我们看一下一加 x 和一加四 x 谁大谁小就行了。首先一加 x， 如果它等于根号下一加四 x 的 话，我们可以解得 x 等于零或者二， 那么零点零一、零点零一、零点零一正好在这个区间内， 我们就看一下，随便带个值进去，看是谁大谁小就行了。比如说 x 等于一，谁大谁小呢？这是二，这是根号五，所以根号下一加四 x 是 大于一减一加 x 的， 那么 这个分母的时候它就小于它，所以二比商，一加 x 就 减去二比商，根号下一加四 x， 它就是大于零的，所以它导数大于零，它就是一个单调递增的函数，单调递增函数 f 零又等于零，那么 因为零点一零一大于零，所以 f 零点零一就根据单调性就大于 f 零，那么 a 就 大于 c。 好，我们就比较出来了。首先是 a 大 于 b， c 大 于 b， 那 么 a 也大于 c， 所以 是 a 大 于 c 大 于 b， a 大 于 c 大 于 b， 就 选 b 这个选项。那么我们回顾一下，首先 a 大 于 b， 我 们是用同类合并的方法去做差，然后因为它们两个都是对数才得到的， b 小 a c 呢，是用这个飘带放松不等式加这个根式有理化的方法， a 大 c 是 用构造函数的技巧去得到的。这是我们讲的这两道小题，然后我们来总结一下，总结一下， 那么在遇到对数式、指数式和含有根号的式子混合比较大小的时候，我们在学习了 刚刚的飘带放错不等式之后，就有了一个流程，首先是如果有同类的话，比如说对数，对数，指数，指数可以先用运算法则，对数和对数可以做差， 指数和指数呢可以做商，做差与零比较大小，做商与一比较大小。然后如果有根号的话， 在遇到分式的比较的时候，可以把根式转化成分式。然后还有对数和指数的式子，用我们刚刚介绍的这个放缩的不等式，那么它的上界下界呢，要赋予我们的比较目标。最后呢， 我们可以构造函数来兜底，用函数的性质来比较大小。那么我们给一个总结，首先如果有同学学过泰勒公式的话，泰勒公式有时候它是比较好用的，但是在遇到比较精确的事的时候，它也有一定 可能会失效，因为泰勒公式它是一个展开了很多项的这样一个函数多项式如果你展开的精度不够的话，有时候是难以比较大小的。然后放粗呢，是 这个放粗的式子是比较好用的，然后最后可以用勾到函数的技巧来比较一下比较难比较的这两个式子的大小。 好，这是我们今天讲的用飘带放松不等式来解决高考中的比大小问题，大家可以自己去回顾一下，练习一下，好，谢谢各位。
1359旺仔不知数
05:34查看AI文稿AI文稿今年的这道新高考二卷的三角函数综合题，题目里藏着钝角三角形的证明问题，以及周长的计算两个核心考点，也是孩子平时做题时最容易卡壳的地方。 但是您知道吗？这对题其实有清晰的破题逻辑，只要掌握了三角恒等变换以及解三角形的联动技巧，孩子不仅能够快速的破解这道题，而且还能把三角函数板块的核心方法给吃透， 下次你遇到了同类型的题，可以轻松解决。好，我们一起来看下这道题。在三角形 a、 b、 c 中，已知了角 b 的 可算值是四分之三，可算 a 加 c 的 平方加上三 a， 三，以 c 等于一。好，第一问证明的是钝角三角形，那我们要证明钝角三角形， 也就是要证明有一个角，它的 cosine 值是小于零的，那我们一起来看一下条件， cosine a 加 c 的 平方 加上 cosine a， cosine c 等于一。又给了我们 cosine b 等于四分之三。很明显，这个地方， cosine a 加 c， 它是不是等于 cosine pi 减 b， 那 也就是等于负的 cosine b， 对 吧？好，也就等于负的四分之三，所以这个条件就可以化成了负四分之三，括号平方加上 sine a， sine c 等于一，对吧？那这样子的话，我们就可以把 sine a 乘以 sine c 给求出来， 等于十六分之七。好，求出来之后，它要证明它是个钝角三角形，也就是要证明一个扩散角是小于零的，首先因为已经有了扩散， b 是 等于四分之三，所以这个角要么选 a 角，要么选 c 角，对吧？好，那我们来看一下， 那它给这个条件就是这个三 a 乘以三 a、 c 等于十六分之七。我们去想，哪里会有三 a 乘以三 a、 c 呢？ 是不是只有括号 a 加 c 里面会有啊？等于括号 a 乘以括号 c 减去括号 a 乘以三 c。 然后刚刚已经算过了，括号 a 加 c 是 等于负四分之三的，所以你会发现，括号 a 乘以括号 a、 c 等于 负的四分之三，加上十六分之七，等于负的十六分之十二加十六分之七，也就等于负的十六分之五，所以你就发现它俩相乘是小于零的，所以其中肯定有一个是小于零，对不对？ 所以一定有一个角是钝角，所以三角形 abc 就是 钝角三角形了，可以吧？ 所以第一问没什么难点，好，继续来看。第二问刚刚已经算过了，三 a 乘以三 a、 c 等于十六分之七，好，把它放着好。第二个，三角形的面积是四分之七，那我现在想把面积表示出来，看看能得出什么？ s 等于，因为他给了我们角 b 吗？ 所以我们可以直接用角 b 来做，所以二分之一的 a、 c 乘以三，那三以 b 可以 直接求出来，三以 b 是不等于根号下一减科三 b 的 平方也就等于四分之根号七，所以它就等于二分之一的 a、 c 乘以四分之根号七，也就等于四分之根号七。所以我们得出 a、 c 是 等于二的 ac 等于二之后，那我们怎么去求它的周长呢？周长就要把每个边给求出来呀，对吧？好，我们继续用。第一问，他是不是给了求出了三 a 乘以三 a、 c 等于十六分之七，那这个条件还有用吗？你会发现这里是 a 乘 c， 这只三 a 乘以三 a， c 哪里有？ 当然是正弦定离了，对不对？ a 比上三 a 等于 b 比上三 a， b 等于 c 比上三 e， c， 所以 你会发现分子与分子相乘，分母和分母相乘，也就会得到 a 乘以 c 比上三 e， a 乘以三 e， c 等于 b 比上三 e， b 括号的平方， 也就是等于二比上十六分之七，等于七分之三十二，所以你可以得到谁？ 因为三 a、 b 在 这里已经求过了，等于四分之根号积，所以我们可以求出 b 是 等于根号二的，那 b 等于根号二。 a 和 c 之间又有关系而已经知道了，可三 b， 所以 我直接用余弦定例。可三 a， b 等于 a 平方加 c， 平方减 b 平方除以二， a， c 等于四分之三，所以再对它化解一下，可以得到 a 加 c 括号的平方减去二倍的 a， c 减去 二二 a， c 是 不是等于四分之三？也就是得到 a 加 c 括号的平方减去四，减 去二，再把它除以四等于四分之三，所以 a 加 c 等于多少 三，所以周长 c 等于三加根号二。所以你每一步都是看看他给你的条件是什么，去对应上我们的知识点，然后去解决他。
190快乐数学曹老师
