温州二模数学
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03:19查看AI文稿AI文稿好，各位啊，呃，本来最后一个月呢，沈老师也不太想讲这种解答亚洲题了。呃，那昨天有一个粉丝问了这道题啊，温州热心的解答亚洲题啊，那今天来看一下 啊，条件呢，一定要注意好， ab 是 直径，然后还有这个条件，对吧？整个题干中就这么一个条件，你肯定要去想怎么用啊，然后第一问呢，也是在为后面啊，最后一问，压轴问，在搭台阶，你要一定要想清楚。那第一问呢，我们快速讲一下啊，先， 半径下的角 a 等于角 c， 又因为这个 o 一 等于 c 一 啊，所以角 c 是 不是等于这个角到 o c， 所以 这个角相等了好一会有用。然后第啊，求 a c 的 长，我们只要利用一个斜 a 字形相似，就这个三角形 c e o c e o 斜 a 字形相似于 c o a 啊， c o a 好， c e 比 c o 等于 c o 比 c a 啊，肯定能求啦啊，你自己理解一下，因为 c e 等于 o e o e 呢，就是这个半径减到 e 啊，好，那这里呢，主要第二问 啊，也是要先观察这个图啊，那你发现这个 b c e 是 不是有点像个等腰直角三角形 b c e 啊，所以我们可以往这条线上去想，那怎么证明它是等腰直角三角形呢？那我们喏， 这个角 a e o 前面应该能够想清楚，它是不是等于两倍的，这个角 a 等于两倍的角 a， 所以 啊， a 比一呢，也等于两倍的角 a 对 𠲎， 所以 这个 a e o 和 a b o 呢啊， a 比一是相等的，所以这里也有个斜一字形相似，就是 a o e 斜 a 字形相似于 a 一 b 啊，有个公共角角 a 等于角 a， 然后这两个蓝色的角相等，对吧？所以这个比例就是 a o 比 a 一， 就等于 a 一 比 a b， 然后等于 o 一 比比一啊，你根据前面两个比例啊，你能得出这个相似比就是一比根号二的，一比根号二， 所以 o 一 比比，一比根号，那你看 c 一 和 o 一 相等，对吧？如果是 o 一 为 x， c 一 为 x， 比一的话，就是根号二 x， 然后角 c 是 直径所对的圆周角，那你看这里 b c 勾股定律是不是也是 x？ 那 等腰直角三十七是不就证明好了？好， 所以有了这个证明好了之后，那做起来就方便了。这个半径 b， c 是 二，那 b 一 就是二，根号二， 然后这个角四十五度，这个角 a 呢一份，这个是两份，所以这个角度也能求得出来了。 a b 一 是三十度啊，这个你去想一下，三十度 b， a、 c 呢？是十五度， 所以我这里再做条垂线，再做条垂线。好，这里垂直 e f， 这个角 e、 o 比 o 多呢，也能求来是四十五度，四十五度，所以这里 e、 f 呢，是根号二啊，三十度所对直角边斜边的一半， b， f 呢？根号六， o f 等于 e f 根号二， 这样最后这个半径 r 就是 根号六，加根号二，思路就通了啊，好好理解一下。
106@沈老师
03:01查看AI文稿AI文稿那现在扭到小试一下，我现在不给大家等号，如果一个式子抽象函数给你的是不等号，问最值，大家想想怎么办？我们来一起读题， 做一个函数 f 一 等于五分之二。出题人非常好心，给了我一个特殊值，那一会儿我肯定要用上啊，然后说任意的 x e a 在 这里面的时候呢，这式子啊，总成立，然让我求 f x 最大值，哎，求最大值， ok 啊， 那我就包含 f x 的， 我不动呗，我要求它最大值，那我肯定不能动它，那我把 f i 怎么办呢？ y 我 要么全都都带上 x， 或者呢，我要利用上条件 f 一， 我把 y 带上一试一下。 你不用条件的话，那不傻子吗？但你不仅要把这俩带上一，这是不也有 y， 这个 y 也要跟着一起变呐，这也是也要跟着一起变。那么这个式子就变成了二的 x 幂， f 幂减四乘以五分之二 f x， 嗯，那接下来我可以干嘛了？我可以。 f x 是 不是合并同类项了？两边我都乘个五啊，这五没有了，变成二的 x 加一次密，这十二乘进去， 它俩合并，把十加过来呢，就是负八加十就是二，二加二，二呢，它又能提出来了，变成二倍四 x 四密加一， f x 小 于等于那边，哎，这两边二我又能除了，然后我要求 f x， 我 用分离参数的思想，我把它除过去，这项横正，所以我敢除。 那接下来一个问题非常关键。题目中确实啊，是一个任意的 f x 总小于等于它成立。那现在问 f x 最大值的时候，你要求这函数的最大值还是最小值呢？ 这跟我们以往常见的分离参数不一样啊，比如常见分离参数，你说 m 这个参数啊，总小于等于 x 加 x 分 之一，它横成立，那我们知道它等于 m 小 于等于总比它小，比它最小值还要小， 我取它最小值，这，这没问题。为什么这个情形里面 m 是 参数， x 是 变量，它俩不发生任何关系？ 你 x 在 变的时候，你 x 不 管你怎么变，我 m 总小于，那你可不，我要比你最小值还小，才能横成梨吗？但现在不是，左边是一个有关 x 函数，右边也是一个有关 x 函数，这里面没有这个参数的这个概念，这 x 总是要变一起变的。 那你不能把它看成一个参数来做，它是同时在变的啊，是有关系的。那此时我问，哎，你 f x 它的最大值是多少？什么叫最大值？就意味着我 f x 能够得着的，能取得到的那个最大值叫 f x 的 最大值。 所以我能够着的是究竟有多大呢？我要求这函数最大值来去开这地方。你第一开始做的时候确实非常容易错啊，求这最大值太简单了，我把它除下来，上面是一 二的 x 四米，加上二的 x 四米，分之一，整体最大。那我就求分母的最小。这最小值显然是在均值不等式的时候，那个地方取到，对不对？它大等于二倍。根号下两者成绩啊，是一，呃，二乘一是二，所以二分之一。呃，我们采用类似分离参数方法，把 f x 分 离出来来做。
105神奇小猪 一数
04:31查看AI文稿AI文稿很多同学被这次四月温州数学二模的多选压轴给压扁了， 那我个人认为，这种命题风格的压轴题正是体现了新高考的命题意义和精神， 那就是三个字啊，多想少算。哎呦我的妈，我们从硬式的角度来理解一下这个问题。 定义集合 a 等于曲线伽马上所有点的集合，在对应法则取 ap 长度的作用下，我们可以建立从曲线伽马到实数级 m 的 一个对应关系。 同理，在对应法则 b p 分 之 a 的 作用下，我们也可以建立从曲线伽马到实数级 n 的 一个对应关系。那么题目说，对于任意的点 a， 总是存在这样的点 b 能够使得 pa 长 等于 p b 分 之小 a， 那 么说明至少集合 m 应该是集合 n 的 一个子集。那么再深入理解一下呢？你会发现这条曲线 必须是封闭曲线。说的更加的直白一点，对于给定的点 p， 如果 p a 的 长度呢，要趋向于零。 由于点 p 并不能在曲线本身上面，因此并不能做到使得 p b 长度趋向于零，所以呢，曲线必须是封闭的曲线。那么如果是封闭曲线，是不是一定符合这个新定义呢？ 对于选项 a 啊，选项 a， 为了让大家更容易理解，我们假定点 p 是 圆点，那么很显然，当 a 在 椭圆上运动的时候， pa 的 长度的取值范围应该是呃根号二分之一到正一。 那么同理， p b 分 之一的取值范围呢？应该是从一到根号二， 所以我们调整这个小 a 等于根号二分之一，就能够做到使得 p b 分 之 a， 它的范围也正好是根号二二分之一到一。 所以对于椭圆上任意的 a 点，总是能够找到这么一个点， b 能够使得 pa 等于 p b 分 之，根号二分之一啊，所以它符合这个定义。 那么对于 b 选项呢，我们简单变形之后，发现它是一个飘带函数，那么我们知道飘带函数它是不封闭的，也就是说，对于给定的动点，给定的点 p p a 的 长度是可以趋向于正无穷。那么前面我们说了，这种情况是不符合提议的啊，找不到这样的点， b 能够使得 b 和 a 能够对应啊。 对于 c 选项，首先 x 平方加上 y 的 平方，利用三角函数有界性，它明显是小于等于二的。 尽管这个等号是不能成立啊，但是至少我们可以说明这条曲线它是发生在圆域里边的，也就是说，这条曲线我们可以理解为它是封闭的，因此呢， p a 的 长度它是有界的。 那么假定 p a 长度它是从小 m 到小 n， 那 么 p b 分 之一的范围呢？就是从 n 分 之一到 m 分 之一。因此我们要怎么调整这个小 a 呢？很简单，使得小 a 等于小 m 乘以小 n， 我们就能够做到使得 p b 分 之小 a 的 范围也正好是呃这个 m 到 n， 所以 也能够找到这样的 a 和 b 的 一种对应关系。对于多少选项，我们令 呃右边的二 x 减 y 呢？等于一，呃左边的 s 加 y 呢？它是等于二分之 pi 加上二 k pi。 所以我们简单的解一个方程，发现 x 解出来也是无界的啊，无界的，不封闭的。所以呢，嗯， d 选项也是不符合提议的啊。 ok， 关于这道题呢，我们就是要做到多想少算啊！我是黄果果，关注我，为高考数学加油！
139数学黄果果
12:47查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲解一下今天学生提问比较多的这个温州二模的第十八题啊，考的是几三角形，这个题目考上让很多同学被难倒了，要不就是做的很烦，基础差的同学甚至连第一问都做不了。那今天我们用几何法来快速解决一下。那我们来看这个题， 他说已知三角形的内角满足这么一个条件啊，然后让我求角 b， 那 这里面涉及到正弦定力，边角互画，那到底是角画边还是边画角呢？我觉得肯定是把右侧的边画成角，因为首先右侧是个其次式，完全可以把右侧的边全部都变成角。其次，然后再者是这个三 a 减 c， 我 只能打开来，我无法是一个 像上面，上面三 a 加 c 就是 三 a b， 但是三 a 减 c 的 话，我无法画成边，所以说我只能把右侧画成角，所以这个思路应该是比较简单的。 所以第一步啊，三 a 加 c 就是 三 a， 然后就是三 a 减 c 这个照抄，然后右侧因为是其次时我全部画成角，三平方 a 加上三平方 c 加上三 a， 乘以三 c 除以三平方 a 减去三引方 c。 好， 那很多同学到这里就难倒了，这里他考察了一个高中数学及三角形中比较重要的二级，结论叫做正弦平方差，三引 a 方 a 减去三引方 c， 其实就是三引 a 减 c， 三引 a 加 c， 这个是大家务必要知道的，就是正弦平方差，这个叫正弦平方差， 不知道的同学可以自行网上搜索一下他的推导过程，推导过程也非常简单啊。好，那我们来左右左右两侧是不是可以约？是不是可以把这个三 a 减 c 给约掉？然后把三 a 加 c， 就是 三 a b 乘过去，我们就可以得到三 a 方 b 等于三 a 方， a 加上撒引方 c 加上撒引 a 乘以撒引 c， 这样子的话，我们就得到 b 方，是不是等于 a 方加 c 方加上 a c？ 所以 我们就可以算出可撒引 b。 套公式就是 a 方加 c 方减 b 方除以二 a c， 所以 这个东西 a 方加 c 方减 b 方除以二 a c 就是 负二分之一，所以我可以知道 b 角就是三分之二派。 第一问的话，只要你知道正弦的平方差应该做出来，不难呢？那从第二小问开始就已经上难度了。好，我们来看第二小问，他说 c 等于得在 a c 上，直线比得上一点 p， 满足 这么一个关系。那首先我们把这么一个关系翻译一下，他们两个有同一个向量叫 c p， 那 我不妨把它右边移过来，就变成 c p 向量乘以 c， b 向量减去 c 兜向量，它等于零，对吧？那是相当于是 c p 向量。 c b 向量减去 c 兜向量，就是兜比向量 等于零，那我就相当于可以得到 c p 是 垂直于笔头的。好，那我们先来画个草图，这个三角形 a b c 啊，我们先画个草图， 然后 b 角是固定一百二十度啊。好，然后它说什么呢？都有在 a c 上动，对吧？都在 a c 上动， 我先随便换个草图，然后他说比斗要垂直于 cp 斗在 a c 上动啊，然后直线比斗上有一点屁啊， 他满足，是不是 cp， 我 要垂直于比斗，那相当于就是什么？因为屁是在比斗上的，所以相当于我可以理解为 cp 要垂直于 bp， 是不是可以这么理解？那 c p 垂直于 b p 的 话， p 的 轨迹就来了， b c 两个点我相当，我可以把它放平，相当于是固定点一样，那这个时候点 p 的 轨迹在哪里？就是这种做几何的按键，你尽可能要从几何法上去角度去思考，这样会变得比较简单。那么 p 的 轨迹就是在于 b c 为直径的圆上，对吧？直径的圆上，因为 c p 垂直， b p 相当于是这个角是直角，那么它就在以 b c 为直径的圆上，所以这个时候我们可以调整一下草图啊，调整一下草图相当于我们以这个为直径啊，换一个圆， 对吧？画一个圆，然后 p 是 不是在这个直径的圆上？打个比方，这在这个是点 p， 然后它这个 b p 连起来，跟 a c 就 交于它是一个点动。好，那接下来他让问我这个 c 跟 d 点， c 跟点都在变化的过程中，我们 p a 方加 p c 方，那看到 p a 方加 p c 方，我们自然而然想的就是用中线长定力啊。那我们可以先，首先草图肯定是这样子，为什么呢？就是草图也要我们要讲到图形的精确性啊，因为我们知道，因为我们知道 c a 肯定大于 c b 的， 对吧？ c a 肯定大于 c b， 因为 c a 是 b 角，大边对大，大角对大边，所以 a 肯定在圆外， 对吧？所以说我，我这个图是没画错的啊，我，我这个图是没画错的。好，然后呢，我们来看这个 pa 方加 pc 方最小值，看到两个平方和，然后又是同起点的，我们要想到中线场定，所以这里面我们取几个去标一下几个点啊，比如说我记 bc 的 中点记作 m， 然后 ac 的 中点记作 n， 把两个中点先取好，然后呢？我们由中线场定里，是不是两倍的 pa 方 加上 pc 方，也叫平行四边形？四边平方和等于角形平方和，那是不是等于四倍的 p n 的 平方加上 ac 的 平方，对吧？好，那这样子的话，我们来看，相当于是 pa 方加 pc 方，我俩把二除过去，相当于是两倍的 p n 方 加上二分之一 ac 方，对吧？那二分之一 ac 方就是二分之一 b 方了，因为 ac 就是 b， 对 吧？而 我们来看啊，他让我求这个式子的一个最小值，那我们来看 p 在 动的时候， p n 也在动，那 p n 什么时候最小？我们先固定一个，先看 p n 啊， p n 我 们知道，相当于就是圆内一点到，就相当于圆上 点到圆内的点的距离到一个定点的距离最小值了，所以我们知道，而所以这个也是初中生就会做。而我们知道这个 p n 呢，肯定是大于等于 pa 减去 m n， 对 不对？所以相当于就是等于二分之一 a 减 c， a 减 c 的 模，对吧？所以对吧？因为这个点 p 在 最重的时候要 p n 最小的话，那肯定是肯定是这样子，是不是就是半径减掉 m n m n 的 距离？当然这个图这个 n 点 不一定在圆内啊，我这个如果画的特别，如果这一塔边特别长的话，有可能在圆外，那反正也无一样的啊，就是说相当于跟先 m n 的 连线，然后减掉这个在圆上的一个点啊，所以，所以我加了一个绝对值，因为这 a 和 c 的 大小我不确定，所以我们不能直接浅而易见的理解成 a 减 c， 所以 要加绝对值啊。因为这个 b a 如果特别长的话，这个草图 n 有 可能在外面，那反正在这个时候点 p 就 在这里啊，那就是这段长度减掉这段长度，如果在里面的话，就是这个半径减掉这段长度，所以我加个绝对值，防止出错。好，那这样子的话，所以 我们就知道 p a 方加 p c 方是不是就是大于等于二分之一 b 方，那平方我就可以带进去，是不是就是二分之一 a 减 c 括号的平方，对不对？好，那我们把二分之一提出来，里面是不是就是 b 方加 a 方 加 c 方减二 a c， 好， 那我们进消元，因为第一小问，我得到了 b 方是不是等于 a 方加 c 方 加 ac， 所以 我们带进去啊，就变成二分之一的 a 方加 c 方加 ac， 就 变成二， a 方加上二， c 方减 ac， 所以 我们就可以算出这个就是 a 方加 c 方减去二分之一 ac， 所以 这个时候呢，我们就可以进去做了，那这个时候怎么来处理呢？我们得到这么一个条件，是 a 方加 c 方减二分之一 ac， 然后因为我们知道 c 边是等于一的，他其实已经告诉我了，是不是 c 边等于一， c 等于一啊，所以我代入的话就是 a 方加减去二分之一， a 加一，这样子的话就变成了一个单变量问题，那这个是二次函数，显然在对准轴上取，所以当 a 等于四分之一的时候， 这个有一个 mini 值啊，这个 mini 值就是四分之一，带进去十六分之一，减掉二分之一，乘以四分之一加一，所以它就是最小值就是十六分之一加一，所以就是第二本。第二本的话就是说如果你能找到 p 的 轨迹是一个圆， 然后去做的话，应该是比较简单，所以说几何法的重要性，那我们再来看一下第三问，第二问做完的话，第三问就相对来说简单了。我们来看第三问，第三问的话，他说当 p a 方加 p c 方最小的时候，那什么时候最小呢？对吧？那我们知道此时 a 等于四分之一，因为由第二门算过，最小的时候 a 就是 四分之一。好，那这个时候我们调整一下这个图， 我们画一个 bc 啊，然后 a 是 四分之一，对吧？我们画一个草图啊，我们画一个草图，就是此时 a 等于四分之一啊，就是第三小问的时候，然后我们画一下，相当于这是 a。 好， 然后呢，我们知道 bc， a 是 四分之一的话，相当于这段是四分之一，那么他这个圆的半径是不是就八分之一啊？那八分之一的话，是不是我们来画一个草图？那我们来看 a b a b， 因为他是 c， c 边等于 e， 也告诉我了，就是相当于就是 e。 然后呢，我们知道 刚才我取的这两个中线啊，中线长是二分之一，所以我可以画出这个草图的话，相当于这个圆呢，应该是这样子的一个圆啊， 因为 m n 是 二分之一，但是它半径长度就是四分之一，所以这个 m 应该是在圆外的，严谨来说，是不是应该圆外这么这么一个圆啊？当然这个题目你刚才圆用过了，你不出这个圆也没关系，反正就直接画这个草图啊。好，那我们来看， 因为 p 在 m n 上啊， p 可在 m n 上，因为是第二小分知道，他说在这个条件下，那么这个点 p 呢？肯定在， 肯定在这个直线上呢，所以这个点 p 呢？在这里啊，就是刚才说的，其实这个相当于这个点 n 应该是在圆的外部，所以刚才那个草图，因为我不知道在内部外部，所以我画的在内部。那现在从第二项位研究出来，这个圆应该是长这样，圆的应该长这样，然后 n 在 它的外部的， 然后取到最小值的点 p 就 在 m n 的 上。好，那这个时候我们来讲，由于我们来算一下，就是 pm 是 等于八分之一，它是个半径，然后 m n 呢？它是一个中位线，是二分之一， 对吧？所以我们就可以轻松得到。首先我们知道 m p 向量就等于四分之一 m n 向量，对吧？然后他让我求的是什么？他让我求的是 b a 向量点成 b 的 向量， b a 向量点成 b， 那 b 是 什么啊？ b 是 b 是 不是与 a c 的 交点？所以我们先来看啊，我们先来表示一下这个 b p 向量， b p 项链呢，就是 b m 项链加上 mp 项链，相当于就是 b m， 就是 可以写成我把它换成基底啊，因为这两条边都知道，这个假角知道，所以这是一种项链的基底转换，所以我可以换成二分之一 b c 项链，加上八分之一 b a 项链， 对吧？好， m p 加 b p 啊，相当于是 b m 就是 二分之一 bc 啊，然后 m p 就是 四分之一 m n， 四分之一 m n， 我 就可以画成二分之一的 b a 啊，八分之一的 b a， 因为 m n 是 二分之一的 b a， 所以 我们再来设啊， 再设比多向量等于那么大倍的 bp 向量，因为它们是共线的，我设为那么大，所以我可以将这个比多向量呢表示出来，相当于是二分之一那么大 b c 向量加上八分之一那么大 b a 向量， 然后因为三点共线啊，因为三点共线，三点共线，因为 d 是 在 a c 上的，所以我们有平面向量基本定律，我们知道二分之一那么的加上八分之一，那么的应该是等于一的，所以这样我们可以轻松解出来，那么的就是五分之八， 五分之八解出来呢，就非常简单了，我们来看这个比特向量，就是五分之四带那么的带进去就行了，就可以算出来了。五分之四 bc 向量加上五分之一 b a 向量，然后我们将 我们来看啊，我 b p b 轴向量就表出来，那我 b a 点乘 b 轴啊，我们两边内记一下， b a 点乘 b 轴，那就是五分之四 b a 向量，点乘 b c 向量，加上五分之一 b a 的 平方，那这个一算就可以轻松解得，答案就是十分之一啊，这个大家可以自己代入计算，因为 b a， b c 全都知道的，然后 b a 也知道，代入进去，一算就可以算出十分之一啊。 所以本道题我们就讲完了，那我们再重新回头来看啊，这个题难点是，第一个是正弦平方差，考察同学们的基本功。第二个就是第二小问的一个几何思想，能不能发现它在圆上，然后利用圆圆的性质 可以轻松的把它换成单变量问题啊？然后第三问的话考察了一个向量肌底思想，整体来说你只要第二问能做出来，第三问应该是不难的。好，本题我们就讲解到这里。
89高中数学教研
00:09查看AI文稿AI文稿六百六十六奸，吓哭了，温灸按摩出戏，奸细纠缠黄昏演都不演了。这道押韵菜，选拔人才还是选拔贤才？
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10:19查看AI文稿AI文稿填空压轴有点难，整体改编更经典，弦律同调可巧，算整体去算了吗？这个题是今天下午才考的二零二六温州二模的填空压轴题， 质量出的很高的。他是改编自某一年高考，是二零二二还是二零二一，忘了新高考 二零二二或二零二一新高考的一道填空题，当时是一道开放性题目，我记得当时问的是只有一条，那么很多人一眼就看出答案来，但这个题就不一样了，但考点还是拿那个题研究出来分享改编的。我们来看一下 已知圆 e， 我 们先把圆心写上负一零，这个半径为一，所以它刚好和 y 轴相切，则是与 y 轴相切。 继续第二个的圆心。 o 二，这个我们记为 r 一， 它是二斗三，半径为 r， 所以 这两个圆的公切线最多，这就是两个圆 相外离的时候，对吧？这就是外离的时候。有四条公切线，两条内公切线，两条外公切线，因为这个是 r， 是 动的，这圆心距，这肯定可以大于半径之合了嘛。就是当 o 一 o 二 大于 r 一 加上 r 的 时候，他两个圆就是外离，外离的话，这是 我，我看一下，相离，我们叫直接相离，不叫外离。这切是外切和内切嘛？这是相离。不好意思，口误，好，外离的时候，这就有四条公切线，肯定可以找到的，所以第一个问是送分的。第二个， 该情况下，若这些公切线交点中的三个落在 y 之上，这就挖掘出隐藏的东西， 因为你不管怎么相对吧，公切线相交了，对吧？交点，那么这个一定是他的一条公切线，所以咱就刚好有 y 轴是公切线，咱就隐含了一个关键的点， y 轴是一条 公切线，那么它求另外三个焦点围成的三角形面积，我们就画图了嘛，竖形集合思想， x 走， o 点， y 走。第一个圆心是负一零，负一零，对吧？我们半径为一， 画得不好，重新画一下。 咦，怎么不给我补圆啊，哼，再重新画一下， 嘿，不行，我就不信这个邪了，它可以自动补充的。怪我这个手太菜了，画圆一点都不圆。哈哈，我要崩溃了， 该补充了吗？对了吗？我好评一好，现在是不是得到这个圆心，这是负一斗零了。 第二个圆心，你看与 y 轴相切，与 y 轴相切，很明显，这就可以隐藏出 r 等于 r 来了，因为这是 r 的 话，这是正负才行嘛。在这个很很明显在第一相线的圆心，所以找二一二 一二三与 y 轴相切。 好，我们折，你看切点就刚好是在折，所以这个第二个的原形是二斗三，相应的这个切点就是零斗二，这个切点就零斗零，所以折。你看歪走就是其中一条公切线。 好找到一条公切线，然后这个我们画出来的话，因为这是刚好是二和三，对吧？这个拉下来二三，因为三减二，刚好是一了嘛，所以这两个其实刚好拉下来一点，刚好这一条直线上 好，另外一条公切线就刚好画图稍微标准一点的话，刚好是这条， 再拉下点，是不是刚好是这条了？然后这个是零度二，那么这个相应的算出来，另外一个公切线就是一抖一，但我们现在还与他无关，他问的是另外的三个公切线的三个交点，我们就要画图了。 好，首先我们要把这条直线连起来，因为它是对称嘛，我们有对称性， 对称性，所以咱它的焦点肯定，我们再根据这个刚好是相似，这个半径为一，这个半径为二，一比二的关系，所以刚好是扩大两倍，我们然后就画另外的公切线， 没事，我只要可以平移的先把它拉上来一点， 好，是不是得到另外一个的公期限了？关键我们只要要求的是假设，咦，这个是焦点，没点到。 好，这个焦点是 c， c 的 话，是不是就找到它了？然而且根据这个比值问题，这相切，这相切，这是一，这是二一比二的关系，所以这刚好是它的终点， 中心加倍再减点，负一到两倍，负二再减二，所以这个就是负四。中心加倍再减点，则就是零，减则角点就是负三到负四，所以这条直线过它这另外一条直线对称的嘛，我们换一个颜色， 稍微平一下，好，大概是不是就它了。说明最终要算的是哪三个焦点呢？这个是 c 点，我们记这个为，这个为 a 点，这个为 b 点， a 点即为 x 一， 因为它在这上面，所以 x 一 斗一， b 点就是 x 二斗一，对吧？所以它的面积 s 三角形 abc 就 等于水平宽乘以铅垂高除以二，在铅垂高，就是这段了嘛。负三到一就是四， 二分之一乘以四，再乘以 x 一， 减 x 二的绝对值，都不用加绝对值，我们这图就是大的，所以最终算出来就是二倍 x 一 减 x 二， x 一 怎么表示呢？我们先不慌，对吧？咱用斜率，咱就是一减 斜率，则要记这个的斜率为 k 一， 这个斜率为 k 二，等于换年历为达利历，就斜率同根了嘛。所以再就是两点的斜率公式，一减负三就是一加三除以 x 一 加上四要等于 k 一， 这个移拐就可以推出 x 一 加上四就等于 k 一 分之四。同利同够了吗？同利推出 x 二加上四就等于 k 二分之四，所以在代减就等于二倍。常数四抵消掉了吗？这是一四，这是二四相近就得到 k 一 分之四，减去 k 二分之四，对吧？通分最终就是八倍 乘以 k 一 乘以 k 二分之， k 二减 k 一， 对吧？ k 乘 k 二分之， k 二减 k 一 了嘛？是不是就得到这个东西了？得到它之后呢？我看一下， k x 一 是等于 x 幺长点 x 一 分之四，对了， k 一 k 二分之， k 二减 k 一， 好得到它。我们这儿就用相切了，这儿直线是 y 等于 k 倍， x 减负四就是 x 加四减三。一拐就推出 k x 减 y 加上 四， k 减三等于零，对吧？我们这个圆心是负一对零，半径为一，等于一了嘛。这样圆心距 d 就 等于根号下 k 方加上一分之，这个负一零代减这尾啦。负 k 加 k 就 刚好是三， k 减三的绝对值要等于一。这个平方化减下就推出九 k 方减 三，三的九二九十八， k 再加九就等于 k 方加一。再进一步就推出八 k 方减十，八 k 加上八等于零。 在进步就推出四 k 方减九， k 加上四等于零。回答定律，所以 k 一 加上 k 二就等于四分之九， k 一 乘以 k 二就等于一，对吧。说明最终带入我们这个关系式， 最终。所以 s 就 等于八倍乘以 k 一 k 一 分之，但是我们找的是 k 二减 k 一 了嘛？ k 二减 k 一， 我们要写成 k 一 加上 k 二的平方减去四倍 k 一 k 二的 套个根号，对吧？所以就变成八倍根号下，则是十六分之八十一减去四， 最终就变成八倍根号下十六分之八十一减六十四，就等于八倍根号下。这个看出来是四分之根号十七，化简就是二倍根号十七，所以最终答案是二倍根号十七。你看 这个题，我们关键是后面怎么想到同九，先一开始想不到，要先把面积写出来，一做叉，再转换成坐标，转换成斜率，斜率同九同九年历伟大定律，这就出来了吗？这。所以这个题改变的非常好， 应该是二零二二年吧，印象中二零二一年好像是还要后面一点。新高考是当时还是的 十四题，反正不是压轴题，当时应该还有，还不是选填，还不是十四个题的时候，所以这个题目他是对于考生来说，如果想不到这个相似， 那么不能快速算出这个点来。我们高考是可以算，如果你研究过那个题，把各种期限都算出来的话，你就要 最佳的方法就是先找这个，用相似找到这个点再用，则就原形到直线距离等于半径斜率，但在斜率伟大定律斜率统够了，则最终就可以把面积表示成斜率统够。所以这个题就跟大家讲到这，拜拜。
18猴哥带你学数学
10:54查看AI文稿AI文稿我敢打赌，这道温州二魔解三角形压轴题，很多人不是不会做，是做错方向。在马老师眼里，这道题的第一问是口算题，第二问只是个简单的翻译游戏，只要你会把向量翻译成几何最值问题就是送分题， 今天带你三步拆解压咒温州二模的第十八题解三角形。那他这样的一个问题难不难？确实有一定难度，但是他的第一问跟第二问都是非常常规的问法。第一问当中求一个角， 那很显然我们要做边角互化和三角横等变换的计算，对不对？那我们看到这个 a 方减 c 方了吗？我们最近刚在粉丝群当中提到过这样的一个形式的处理， 所以说第一问它就会非常的简单。第二问当中是啥是求一个东西的最小值呢？最小值我们就想到两个方面呢，第一个基本不懂事，第二个把它用某些量 表示出来，转化成一个函数的问题，那这些量是什么？就是把 pa 跟 pc 能不能用三角形当中的边根角去进行一个表示。那么我们就把这道题来梳理一下，看看其中的难点在哪些地方。 首先我们来看第一问，他说要求角 b 给了我们这样的一个关系式，那么在等号的右边分子分母它是其次式啊，我们就可以把边去转化成角嘛？好。然后呢，我们看到分母上如果是这种正弦的平方差，我们一定要把这个公式给记下来， 散以方 a 减散以方 c 乘以三 a 减去三 a c， 那 它还等于啥呢？它会等于三 a 加 c 乘以一个 三 a 减 c， 如果说我们知道这个式子，那你分母上这么一划，我们就可以直接计算了，非常的简单。那这个式子我们想要去正呢，就是把这个 a 去写成二分之 a 加 c， 加上二分之 a 减 c， 那 这个 c 就是 二分之 a 加 c， 减去二分之 a 减 c， 那 这样的话，我们就可以利用正弦的两角和差公式展开啊，我们最后呢就会得到这么一个式子。 那现在我们把分母写成这个式子之后，你看看跟等号左边的分母，散以 a 减 c， 是 不是就能约掉了？那你散以 a 加 c， 散以 a 加 c， 就 能写到一起了呗，它又是啥？它又是散以 b 嘛？所以这个式子我们就可以给它写成是散以方 b 就 等于 sin 方， a 加上 sin 方， c 加上 sin a 乘以 sin c。 哎，这个式子遇到了很多平方，很多平方的时候，就不是用角来去解决，而是用边。因为在余弦定义当中，有 a 方加 b 方减 c 方，也是有平方的形式在，所以这道题我们继续把角转化成边，会得到 b 方等于 a 方加 c 方，再加上一个 a， c， 整理一下的话，就是 a 方加 c 方减 b 方除以一个二， a， c 等于负二分之一，等号的左边，它是不是就 cosine b 啊？那我们是不是就能得到 b 是 三分之二 pi 啊？ 如果我们对于这个式子比较熟悉的话，其实第一问还是比较快的，然后我们再来看看第二问，我们先画一个三角形出来，角 b 是 三分之二，派是已知的小 c 是 等于一 d 在 a c 上， 并且 b d 上有一个点屁满足 c， b 向量点成 c， p 向量等于 c， d 向量点成 c， p 向量，那我们只有把这个式子给翻译好了，才能知道 p 点的一个位置， 所以说我们需要把它进行一个移项，这是一个非常典型的两项量垂直的写法啊。所以 c b 向量减去 c， d 向量点成 c， p 向量就等于零，那 c b 减 c， d 减 d 就是 d b 啊。 d b 向量点成 c， p 向量等于零，说明 d b 跟 c p 是 垂直的 a， 那 这样一下的话，点 p 呢？它就比较好找了，这边是一个垂直， 这是点 p， 然后它让我们去求解 p a 的 平方，再加上 p c 的 平方，那么问题就来了，我们是怎么去把 p a 跟 pc 用三角形当中的边根角去表示，对不对？这就是我们需要考虑的。 那你看我们的切入点，你肯定是不是在这个直角啊？那不然人家给你一个直角的条件不很多余吗？所以 pc 它可以放在三角形 bpc 当中，这是一个直角，三角形 bc 呢？它是小 a， 所以 pc 我 们是可以用一个 小 a 来去表示的。但是角 d p c 这个角，我们是不是不知道为什么要用这个角？因为这个角呢，它会跟角 a、 b、 c 有 关系，就是这个三分之二派， 所以我们可以把它设成是一个未知数 c 塔，那同样的另外一个角角 a b d， 它是不是就是三分之二派减 c 塔，那这样的话有一个 c 塔的未知数，那 p c 怎么表示出来呢？它就是 a 乘以三以 c 塔 p b， 它是 a 乘以 cosine c 塔，那 pc 是 a 乘以 cosine c 塔，那你现在还差一个谁？ pa 嘛，对不对？那 pa 的 话，那我们就放在三角形 a b p 当中， 因为这个三角形当中我们好歹还知道一个边， a b 还知道啊，三分之二派减 c 塔这个东西呢，和三角形 b p c 当中也是可以联系一下的，所以我们在这表示 a p 的 话，可以选择用余弦定律， a p 的 平方就是 ab 方， 加上 b p 方， 减去两倍的 ab 乘以 p b， 再乘以它们夹角的余弦值，我们也就把 a p 给表示出来了。那 p c 是 啥呀？那 p c 平方是不是就是 a 方，散方 c 它，所以这两个相加，那就是 p a 方吧，加上 p c 方，就等于 a 方加上一个一减去二， a 乘以 cosine c， 它再乘以一个 cosine 三分之二 pi， 它 剩下的就剩下一个计算了。那首先这两个 cosine 相乘，其实你想要快的话，还是利用到什么 g 化和差，那我们就可以得到是 a 方减去 a 倍的 cosine 二， theta 减三分之二 pi， 再减去一个二分之一，最后再加上一个一。那现在我们把 pa 方加上 pc 方，用 a 跟 theta 表示出来的，这是一个双变量的问题，但是 a 跟 theta 没有关系， 所以在这个式当中呢，这是不是有一个类似于二次函数的东西，在对称轴处取得最小值？所以呢，我们把这个式子 去写成一个完全平方的形式去凑一下，我们把这个中括号里面呢去假设成一个 t， 所以 这个式子我们就可以给他写成一个 a 减去二分之一 t 的 平方加一，再减去四分之一的 t 方， 那它的最小值是不是就是一减四分之一 t 方？那我想要去求这个最小值呢，就需要去求 t 方什么时候最大，也就是 t 取得一个最大值，那看一下 t 等于 cosine 二 theta 减三分之二 pi， 再减去一个二分之一， theta 是 属于零到三分之二 pi， 那所以二 c 塔它就属于零到三分之四派，那减去三分之二派呢？那什么时候最大？那显然就是二 c 塔减三分之二派是等于零的时候最大，所以 t 的 最大值呢？就是二分之一， t 的 最大值是二分之一，那么四分之一 t 方的最大值就是十六分之一，那我要一减去一个它的最大值就是最小值吗？大于等于一减四分之一，乘以二分之一的平方，就是十六分之十五， 这就是 pa 方加上 pc 方的最小值。在第二小问当中，你看 pa 方加 pc 方取最小值时，就是让我们去看什么取等的条件。那 t 的 这个最大值 就是二 c 它减三分之二派等于零的时候，所以 c 它这时候等于多少啊？三分之派， c 它等于三分之派，那所以这时候 t 是 等于几呢？ 是二分之一，对吧？那你这个式子想要取得一个最小值，是不是这个括号里面得等于零啊？ t 是 二分之一，那所以 a 得等于四分之一。我们也把 a 给求出来了， 所以这个三角形我们就知道了更多的关系。 a 是 四分之一，然后 c 它是三分之派，那 b、 d 是 啥呀？ b、 d 就是 角平分线。 好，我们再去看一下 b， a 向量点成 b、 d 向量，它是啥？ 摩摩夹角， b、 a 的 摩是一 b、 d 的 摩，那就是 b、 d 夹角是已经知道了三分之派就是二分之一，所以求的这个值其实就是求二分之一 b、 d。 现在思路有了吗？ 所以说我想要去解决最后一小问呢，那必须是把这个第二问的第一小问给解决了，知道他怎么去进行一个转化。好，那后面呢？我们就直接去列一个什么角、平分线等面积就可以了。这边我擦掉 三角形的面积是等于二分之一，乘一，乘以四分之一，再乘以二分之根号三，它就等于三角形 a、 b、 d 的 面积加上三角形 c、 b、 d 的 面积，也就是二分之一， 乘以 b、 d， 再乘以二分之一，乘以 b、 d， 乘以二分之二根号三。 所以两边同时乘一个十六根号三，就等于四倍根号三， b、 d 再加上一个根号三 b、 d。 所以 我们算出来 b、 d 呢？它就是五分之一， b、 d 是 五分之一啊，要求的是啥呀？二分之一 b、 d， 那 所以 b、 a 点成 b、 d 呢？它就是十分之一。
00:58查看AI文稿AI文稿今天分享的是刚刚考完的浙江温州鹿城区二模的填空压轴题，题目不难，这题由三个关键点，第一个就是要马上意识到点 a、 点 f、 点 c 三点贡献，由此得到三角形 a、 b， c 是 一个有一个锐角等于三十度的直角三角形， 这样我们就能求出这个三角形的所有边长。第二个关键点，结合 a， e 是 角平分线，采用角平分线定律可以求出 b， e 与 c， e 的 比值等于一比根号。三、 第三个关键点，延长 a， e 和 d， c， 通过 a e 比 a g 的 比例关系求出 a、 e 的 长度，然后通过 a， e 的 长度从而得到 af 的 长度，然后通过 af 减去 i o 求出 af 的 长。 具体详细解答过程我已经放在右侧，当然这题的解法有很多中，欢迎在评论区交流探讨。
221几何之美
04:08查看AI文稿AI文稿同学们，温州二模的八十一、十四、十八十九我做完了，总共用时一个小时。第八题的话是个抛物线的常规连利的题目。我首先根据 o a 点乘 o b 等于负四，求出来 x e x， 接下来再根据这个 连利的方程，得到 y 一 加 y 二和 y y 一 y 的 关系，最后得到 q a 方加 q b 方分之一，它是个定值。第二题，这个第十一题阿尔法封闭曲线， 我们根据这个提议任意和存在，由于这个点 p 不 在曲线上，说明不管我这个 p 在 哪里，它都有，它都没有无穷尽点。那么既然是没有无穷尽点， pa 点成 pp 要等于 a， 那 么就意味着这个曲线不能存在无穷远点。 a 选项是个椭圆，不存在无穷圆点。 b 选项是飘带，有无穷圆点。 c 选项抖，抖动抖，它是个圆。 d 选项呢，它是个旋转的一定角度的三角函数，所以 a c 选项符合题。第十四题，首先看到公切线，三个落在外轴上，另外三个我们知道就有六个焦点，六个焦点的话，公切线是四条， 另外三个焦点围成了三角形的面积。我一开始是发现了他们的几何规律，这个是一，这个是二，然后这个之间距离是三倍高。二，所以我们这个焦点就是这个两个圆心，他们和焦点构成终点关系， 然后这条直线和这条直线他们的斜率可以由这个点斜式方程给它算出来。算出来之后，最后由于这个这三个点的面积和这三个点的面积是对称相等的，所以的话我可以直接把外折交点算出来，算这个大三角形的面积，算出来是二百零二十七， 接下来来看到第十八题。第十八题我一开始的思路是走偏了，然后导致无比复杂，后面我把这个上 a 减 c 给它拆开来，然后用鱼两次鱼弦定里，最后得到一个 a 方减 c 方除以 b 方，然后再和这个数字连理。第一问就简单了，第二问的话，像这种三角函数放到 十八题的位置，那毫无疑问这个叫定点间隙，尤其还有个 a b 等于一。然后计算了之后，我们发现分母都有根号三 t 加一，所以在这里我们根据题意取这个 t 小 于负三分之根号三，然后直接间隙得到 c p 点成 c b 和 c p 点成 c d。 接下来是运算，在这里我的运算是出了一点问题，导致最终的结果算错，其实只要运算正确，这个题我就做出来了，所以也是有点可惜。 第十九题第一问的话是曲线方程，我是这样子看出来的，当然也可以写写具体过程，就是 o p q 的 最大面积，毫无疑问他是切线，是取到最大，那么他在上面是切线，他在下面也是切线，那么既然 上面是四十五度，那下面也是四十五度，那么就是九十度，那么说明这个根号五度零，他在这个椭圆的蒙日圆上，那么就说明四加 b 的 平方等于五，所以第一题可以直接出答案。接下来我们来看第二题。第二题的话， 我们知道 a 的 等于二， b 等于一，这个面积等于二分之一 a b， 所以 说明 o a 一 乘以 o a 三的斜率之积是负四分之一，那么根据 a 一 和 a 二对称，那么 a 二和 a 三的斜率之积是四分之一，进而得到 a 二， a 三的斜率是正负二分之一，那么根据它的点的分布规律，我们知道它这个斜率是正的，不是负的。 那么第三问的话我没有做出来，估计是先选两个点，再选三个点，分别去计算面积， 啊啊啊。
514唐到外婆桥(学霸聚集地）
03:44查看AI文稿AI文稿二模刚考完，我们来看一下填空题的压轴题，十六题难度啊！首先如图呢，他说在平四边形 a、 b、 c、 d 当中， a、 b 等于四， b、 c 等于八，然后接下来他说点 e 在 b、 c 上，然后连接 a、 e， 以 a、 e 为直角边，做了一个等腰直角 斜边， a、 f 呢，恰好经过 b、 d 的 中点 o。 好， 这句话呢，是比较关键的，就是这句话读完之后，我们要知道 a、 o、 f、 c 呢四点共线，所以我们就连接 f、 c， 然后又知道 b、 a、 f 是 等于九十度， 对吧？啊，那既然我们要求的是 o、 f， 那 我们的第一个反应肯定是要用 a、 f 减掉为，因为为什么你在三角形 a、 b、 c、 d 当中知道两条边，又知道直角，所以我们一下就能把 a、 c 求出来，一个四，一个八，这个是一比二，那就用根号三，所以是四，根号三， 这个就特殊角，一比刚好三比二，所以这个角 a 距 b 就 等于三， a、 c、 b 等于三十度，那 a、 b、 e 呢？就是六十度的特殊角。好在根据呢，我们的 a、 e、 f 是 等腰直角，所以我们的 e、 f 等于四十五度， b， a、 e 也等于四十五度。 好，这样你发现在我们的 a、 b、 e 当中有两个特殊角，对不对？那我们就肯定要考虑，比如说过一点，做 ab 的 一个垂线，然后交 ab 于距点。 好，那接下来我们就可以直接大胆去设未知数，比如 a、 g 等于 x 啊，那我们的 e、 g 也可以直接用 x 表示等于 x， 那 我们的 a、 e 呢？因为现在 a、 g 又是一个等腰，那 a、 e 就 等于根号二倍的 x。 好， a、 e 出来了，那我们的 af 就 很好表示了， af 直接等于也是一比一比根号，那就是二 x， 对吧？那现在呢？你看这些量都能用 x 表示，那我们怎么找到怎么样关系呢？接下来就看下面还有个特殊角，比如我们的 g b 也是可以用 x 来表示的， g b 就 等于四减 x 啊，根据六十度特殊角，那我们就知道 g e 是不是就等于根号三倍的距离，那这里我们就能直接得到 x 等于根号三倍的四减 x。 好， 那把这个 x 就 求出来， a f 就 出来了，那这里就直接求 x， 那 就是一加根号三倍的 x 等于四根号三，所以 x 就 直接等于四根号三。除以根号三加一嘛，两边上下都乘以根号三减一，所以就等于二分之十二减四根号三 啊， x 就 等于六减二，根号三啊， x 出来了，那第一接下来 a f 就 直接出来了， a f 等于两倍的 x 嘛，那就十二减四根号三。好，但注意这个不是最后答案，我们要求的是 o f， 所以 你要减掉 a o， a o 是 等于二分之一的 a c 嘛，因为这是一个 平行四边形，对角线互相平分，所以我们的 o f 就 直接等于十二减四根号三，再减二根号三，那就减六根号三。 这道题你说它难度嘛？它属于中上，对吧？但它重点考察的，其实这里呢，会利用我们的一个特殊角去做，会比较简单，计算量也比较小，能直接把这一个 o f 求出来。
02:29查看AI文稿AI文稿温州二摸的这道题出的好啊，好就好在它重点不是考你式子的化简、计算变换，而是考你对题干的分析理解和翻译能力。 简而言之吧，就是能不能翻译成人话啊。那么这道题如果给它翻译成人话，其实就是告诉你，这个曲线不能无限延伸， 为什么呢？你想想，如果这个曲线不无限延伸，为什么呢？你想想，如果这个曲线不一定都有最大值和最小值， 而且它们两个的最大值和最小值是相同的。好，现在如果我令 a 等于最大值乘最小值的话，我现在让 pa 从最大值开始变，它减小一点，你就可以让 pb 增加一点。 所以对任意的 a 点，总能有 pa 乘 pb 等于这个定值 a。 但是如果这个曲线是无限延伸的话，那可就惨了，任意给定一个 p 点， pb 总有最小值，但是 pa 没有最大值啊，它是无限延伸的， pa 可以 屈居于无穷大，所以 pa 乘 pb 不 可能等于一个定值 a。 所以现在也知道题干为什么叫封闭曲线了吧，这个名称其实也起到了一定的提示作用。然后我们再回过头来看这四个选项，你是不是就很清楚了？ a 选项是个椭圆，它显然不是无限延伸的，所以 a 满足题， b 选项简单一划，就是个类对勾函数，类对勾函数，它是无限延伸的，因此显然不符合题 c 选项。你根据三角函数的有界性可以得到 x 方加外方小于等于二。 x 方加外方是什么呀？是曲线上的点到坐标原点距离的平方，说明曲线上的点到坐标原点的距离是小于等于二的，因此这个曲线它也不是无限延伸的，所以 c 满足题 d 选项。你只要令括号里面等于 k 派，那么等号左边就是零，所以二 x 减外就是零。两个方程一连立一定能解出来。 x 和 y 是 用 k 表示的， 但是你这个 k 是 属于一切整数，所以 x 和 y 它是可以趋近于无穷的，因此这个曲线它也是无限延伸的，所以它也不符合题。因此这道题的正确答案应该是 a 和 c。 然后你再看这个题，正确答案居然是两个，一般十一题的正确答案是三个哎， 所以有的同学想要通过排除一个答案来选剩下的三个选项，你要碰到这个题，那你可就倒霉了。那么今年的高考有没有可能十一题也是两个正确答案呢？我觉得有可能，大家要引起重视。
775数学高分老曹
09:27查看AI文稿AI文稿接下来我们看一下十四题，这个也是先画图， 这是负一，就有的时候吧，这个图像是要给他画标准一点的，因为他会影响你，直接影响你这道题怎么做？这是二三， 我们先随便画一个啊，因为不知道他这个多少半径是多少， 因为我看有些答案写的是啊。先不说这个答案，我们先看第一个空，这个简单，两个圆公切线的话，是跟他俩的位置关系有关系的，对吧？他俩如果相离的话，就是四条，然后外切就是三条啊，然后相交两条，内切一条， 那个内涵没有，所以说他最多就四条，然后他说在这种情况下，公切线的焦点中有三个落在 y 轴上啊，有一些答案就写了由这句话，可得 y 轴是他的 公切线啊，我觉得，当然他结论是对的，但是我觉得你要直接这么说的话，很多同学就不明白了，对吧？你凭什么这么说， 我们看看啊，我们证明一下，先画出来几条公切线，把这都画出来， 这两条也是相交的，但只不过呢，这个很远。有一个事大家是要知道的，就是这两条公切线和这个交错的两条公切线，这两个点 和这两个圆心是有关系的啊，他其实这四个点其实也是个调和点列，听不懂没关系啊，说说人话就是这个小圆啊，这个 o 一， 这是 o 二， 嗯，比如说这个是 a， 这是 b， a 到 o 一 的距离比上 a 到 o 二的距离是等于 b 到 o 一 的距离比上 b 到 o 二的距离等于 二一比二。这个其实很简单，因为首先它是在一条直线上，然后呢？因为它是公切线嘛，所以说 切线就把这个高给我做出来，然后有相似，很容易就推出来这个结论了啊。那么 b 也是一样的，就做高做高， 这个三角形和这个三角形，这两个三角形啊是相似的，所以说这个笔直相似笔就是这两个半径之笔。 好，那么我们证明完这个事情了啊，接下来我们看，为什么它就是外轴是斜斜呢？把这都擦掉。 好，他一共是六个焦点，有两个我们已经看出来了，就这两个，对吧？然后呢，还有四个，一个是他俩，一个是他俩， 那我们发现这一对和这一对，它是关于 o 一 o 二这条直线对称的，那如果说一个点在 y 轴上了，那另外一个点肯定不在 y 轴上， 对吧？如果说它俩都在 y 轴上，说明这个 o 一 o 二是平的，是水平的，不可能因为一个是负一零，一个是二三，对吧？它不是平的，它是 y， 等于 x， 那 就是斜率是一， 他不是平，所以说这两对点，这四个点中只有两个，最多只有两个在 y 轴上，然后他说有三个在 y 轴上，那必须是这个点，必须是中间，这个点在 y 轴上， 对吧？必须是中间，这个点在 y 轴上。哎，那就好办了，因为我刚才说刚说完在这呢，是吧？他这个 a o 一 a o 二比二， 那么 a 点在 y 轴上，所以说他的横坐标 x a 是 等于零的，然后 o o 一 的横坐标是负一， o 二的横坐标是二，所以说他就笔直出来了，就是一比二，那也就是说这个 o 二的半径就是二。 哎，那这个就确定好了，因为此时半径是二的话，他正好和 y 轴向前，所以 y 轴是他的这个公切线擦掉啊，不懂的同学可以看回放，然后把这图重新的给他画出来。 现在他是因为他的方程已经知道了，所以说呢，很多性质我们就能看出来。 还有一个性质就是他这个也是他的一条切线， y 等于一，这是两个这个内部的公切线， 然后我再画两个外部的公切线 啊，一个是 y 轴，一个是 y 等于一，这两个直线一个竖直的，一个水平的。好，接下来呢，他求另外三点，三个焦点围成的三角形，那其实就是这个，那这个三角形的面积的求法 肯定是以选它为底了，对吧？高，其实也很简单，因为还是这个点，刚才我们说过了，它到 o 一 的距离 比上他到取名起名啊，这个是 a 点，他到 o 一 的距离比上他到 o 二的距离是等于二一比二二的，现在我们说了，他是二比一的， 所以通过这个负一零 o 一 是负一，零 o 二是二三，很容易写出来 a 点的。是这个，这个负四负三啊，所以说这个三角形的高已经确定好了，就是四， 对吧？这是 y 等于一和负三，距离是四啊。接下来我们要求这个底是多少，那么这个底其实也好求 我们看啊，因为他这两个切线都过 a 点，所以说我们就射出来 y 等于 k， x 加四减三，然后呢，他和这个小圆和大圆也行，都一样，和这小圆相切的，我们就直接用这个点到之间距离等于半径。 然后呢，最后啊，我就直接写，就写一步，第一步，这个最后一步四 k 方减九， k 加四等于零啊，写一步，写第一步，最后一步， 这 k 呢是两条直线，这两条直线的斜率都满足这个啊，所以说你可以直接求出来，用这个求根公式，当然也可以用雅典礼， 因为我们始终要明确你要干嘛啊？你这个最终的目标是干嘛？我们不是说解这个斜率，对吧？我们就要用这斜率解别的，解这个长度，那这个长度怎么办？ 因为 y 的， 它是 y 等于一和这个直线的交点嘛，所以说我们就让 y 等于一，把这 x 解出来，那么 x 一 就等于 k 一， 第一条直线的斜率分之四减四， x 二就是 k 二分之四减四 啊，明显是这个，这个是抖的嘛。所以说我们假设 k 一 是大于 k 二的，那这个 x 一 就是这个，这是 x 二，所以说我们肯定是 x 二减 x 一， 然后这后面减四就越掉了，因为做差它就变成四提出来，然后 k 一 乘 k 二， k 一 减 k 二，所以我们发现我们要求的就是 k 减 k 二和 k 乘 k 二，然后你往里一带，它就是四比乘，这个所以说它等于刚好是几。呃，我看看啊， 它等于啊，对对对，它等于这个根号十七，然后因为这个是什么？这个是底，所以说面积呢，就是底乘高除以二，它就是二倍，根号十七，高在这 啊，这个就是十四题，用这个直线圆的几何含义去解。
20:18查看AI文稿AI文稿好，今天我们来讲解一下近期浙江温州二模的这道压轴题啊，这个题的话，我觉得在浙江近期所有的二模卷里是最创新的一道压轴题，当然出的也非常的漂亮啊，整体来说没有很多的超纲知识，全部考察的是我们的基本方法与技巧，那我们今天一起来探讨一下。 好，我们来看一下。他说已知曲线四分之 x 方加上 b 方分之外方等于一于点 p， 他 说根号五零 o 为圆点动点 q 在 e 上，他说角 o p q 的 最大值，这个角他说最大值最大，这个角是四分之派。好，第一问让我们求方程。 好，那这个曲线他肯定是个椭圆，当然是 x 轴上的椭圆还是 y 轴上的椭圆，其实我是不确定的，因为这个 b 跟四， b 方跟四的大角不确定，所以我只我画了个草图，假，假设他是 x 轴上的。好了，反正等会求这个的时候，我利用参数方程来求，跟他长这样其实无所谓啊。 那这边的话，第一问我是选择了一个参数方程的做法，利相当于逆用辅助角公式，当然我们知道啊，角度最大时候就相切，你也可以用连利五等于零那种相切的做法去做，那那样可能预算量会大一点。 我们来看看我是怎么做的啊，我就试设参数方程啊，就是三角换元，我设点 q 是 二克撒因 c 塔 b 撒因 c 塔，那么我们就可以将这个 t 角 o p o p q 就是 这个 y 比上这个 x， 对 吧？那么就是这个就是 b 撒因 c 塔， 对吧？那么这一段呢？这一段是什么？这一段是不是就是根号五，因为 p 点坐标横坐标是根号五，减掉二 cosine c 塔。 好，那说白了，我要求这个东西的最大值，因为 tanet 在 零到二分之派上单调递增的嘛，对吧？所以我是不是要求这个最大值？好，这个最大怎么求呢？这个是我们在三角函数中镜像说的利用辅助角公式。当然如果你不会利用辅助角也很简单，我就要令它为 y， 令它为 y， 然后我把它乘过去根号五 y， 减去二 y cosine c， 它等于 b cosine c， 它，然后我们把三角的移到一边来， b cosine c 加上二 y cosine c， 它等于根号五 y， 然后我们对这里利用辅助角公式， 根号下 b 方加四 y 方 cosine c， 它加 five， 等于根号五 y， 然后我们知道 cosine c， 它加 five， 这个角的最大，这个 cosine 的 最大值肯定是一， 所以这个东西就是小于等于根号下 b 方加四 y 方，然后这个东西又等于根号五 y， 所以 我就可以得到根号五 y 小 于等于根号下 b 加 b 方加四 y 方。 这样子的话，我两边平方啊，就是五 y 方小于等于 b 方加四 y 方，我就可以得到 y 方小于等于 b 方。然后他又告诉我，这个 y 呢，就 tan 的 角的最大值是四分之一了，所以这个 y 的 最大值其实是一。那说，说白了， y 方小于等于 b 方，所以 b 方就是一，所以我就可以轻松解得 b 等于一， 所以我就可以解的这个曲线的方程啊，那我个人感觉这样做是会比连利德尔塔用相切那种做法就快的啊。所以我们利用参数方程优化，因为我们会发现我们后面第二问，第三问，我们都可以利用这个参数方程三角换元的想法来大大简化的预算， 如果你不会这种方法的话，可能第二份第三份你会做的非常的困难啊。好，我们来一起来看一下第二份，第三份，他说已知有 n 加一个点， a 零 a 一 a 二 a n 逆时针的， 他说在 e 上，然后他说 a 零相当于是这个点， a n 是 这个点，然后其他这个逆时针这样排布，对吧？好，然后第一问啊，第一问相对来说简单，他说 a 一 a 二，关于 y 轴对称时， 且三角形 o a 一 a 三的面积为一时，求直线 a 二 a 三的斜率。好，那我们来看第二本啊，第二本，第二本的话，我大致画了个草图，这个是 a 零，这个是 a 一， 这个是 a 二，因为 a 一 a 二，它告诉我要关于这个 y 轴对称，然后 a 三在哪里我不知道，随便点了一个啊， 对吧？好，那我们来看啊，那这个题怎么样做最快呢？也是利用我们的三角化圆这个技巧。在我们高二上椭圆新课的时候，八点半上课的时候，我们就专门讲过这个题啊，记得，尤其是像第二本这种 这类题啊，在那个圆锥曲线的秘密，或者一些常见的圆锥曲线的教辅上都有类似的题目啊。所以第二问题是比较常规的，所以我们就设 a 一 是二， cosine theta sine sine theta， 然后 a 二呢？因为跟它对称，所以我就可以设为负二， cosine theta sine alpha 对负二， cos 阿尔法， cos 阿尔法。然后 a 三呢？因为角度不一样，所以我可以设为两倍的 cos 阿尔法， cos 阿尔法，然后呢？ o a a 啊，这个面积怎么算也是一个比较重要的结论，是务必要会的是面积差乘公式啊，那这个三角形向量数量除以三角形面积这个面积的一个 这样子，一个过圆点三角形面积公式，这个是在课本上有的，所以各位同学不要认为这是一个很超高的做法，这个是课本上完完全全拓展阅读后面有的，所以完全是可以下放在高考上考的，所以为什么说这道题好啊，他这个方法并不超高， 所以这个务必各位要掌握啊，如果大家不知道的话，可以去翻看一下课本，或者截个图看看，这里有证明过程非常多啊，那我就这里把课本的 地方给给出来了，大家可以自己去看看一下，就是说相当于我知道一个点 a， 一个点 b， 我 这两个过圆点的三角形面积公式可以怎么表示呢？就是二分之一乘以 x 一 y 二，减去 x 二 y 一， 然后添个绝对值啊，所以这个就是三角形面积公式。好，那我们代入 o a a 三嘛， 二，二分之一 x 一 y 二就二倍 cosine ceta 乘以 cosine ceta 减去两倍的 cosine ceta cosine ceta， 然后这个东西等于一，然后呢，这个二可以跟里面的约调，然后我们这里面画进去就撒引贝塔减阿尔法的绝对值等于一。好，然后我们来看一下角度，因为阿尔法呢，它肯定在这个第一项线的，所以在零到二分之派内，贝塔呢？ 贝塔呢，是这个角，那肯定在第二项线，那就是二分之派到派，那我们两个一作差，我们就可以知道贝塔减阿尔法在零到派内，那零到派内的一个角，它要是等于绝对值等于一的话，那么只能它等于一了。 同时那就是可以得到一个条件，就是贝塔减阿尔法等于二分之派，相当于就是贝塔等于阿尔阿尔法加二分之派。好，这样子的话，第二本就非常轻松解决了。我们来看 a 二 a 三的斜率， 我们斜率公式一套，就是撒英阿尔法减去撒英贝塔，负二倍的 cosine 阿尔法减去两倍的 cosine 贝塔，那我们带入进去啊，就撒英阿尔法，然后我们把它都换成同角，撒英阿尔法呢，就是撒英阿尔法加二分之派， 那么就是减去 cosine 阿尔法，然后下面本来负二提出来是不是 cosine 阿尔法加上 cosine 贝塔，那 cosine 贝塔， cosine 就是 二分之派加阿尔法，那就是负的 cosine 阿尔法。所以这样我们一画，我们会发现上下两个互为相反处，下面有个负二，所以一约我们就是二分之一。 所以第二问的话也是一个比较常规的这个题啊，这个题的话我们已经讲过好几遍了，是各位同学务必要会的。好，我们再来看看本道题最难的这个第三问啊，他说 当三角形 o a k 减一， a k 的 面积都相等的时候，他说记这个多边形，他说他对于这里有这么多点，然后这个多边形啊，他这样连起来有一个周长啊，他说周长为 c n， 若对于任意的 n 属于 n， 心都有 c n 小 于那么的求整数，那么的的最小值。好，那这个问题我们怎么来思考呢？ 依旧是一样的，我们记住参数方程，我们先把点设好，我们设 a k 就是 两倍的 cosine c 卡 c 塔 k， cosine c 塔 k， 然后 a k 减一，就是两倍的 cosine c 塔 k 减一， cosine c 塔 k 减一。所以我们利用三角形面积的差乘公式，就是 s 等于二分之一 x 一 y 二 减去 x 二 x 二 y 啊，所以这样带进去，然后把二分二分之一跟这个二约掉，我们就可以得到这么一个东西。好，这么一个东西的话，相当于就是撒引 c 他 k 减一，减去 c 他 k 嘛，那我反过来，反正填绝对值，因为我大的写在前面好一点啊，因为他这样一直转的话，这个角度 是越来越大的，所以说我把它换了一个位置，就相当于里面是撒引 c 他 k 减去 c 他 k 减一，这绝对值。 好，那因为我们知道 c 它 k 是 大于 c， 它 k 减一的，它说 s 均相等意味着什么？意味着它每一个面积，这个 c 它 k 减 c， 它 k 减一，都是定值，那我们就将它设为一个公差，相当于设为公差 d。 好， 那我们因为知道在原始起点的时候，这个时候 c 它是等于零度的，然后转到这个时候 c 它是等于 pi 的， 然后呢？那我们就知道这个 d 是 多少了，它总共是有 n 个点， 它的总共的角度跨度是派，所以派除以 n 相当于就是它的一个公差。所以我们就可以知道西塔 k 的 一个表达式，相当于就是 k 乘以派除以 n。 好， 这里来说还是比较简单的，没有什么难度，那我们来看后面 最难的地方来了，我们要表示周长嘛，那我们是不是要把每两每两点之间的距离给它算出来？好，那我们先来表示一下， ak 减， ak 减一， ak 减一的这个距离。距离的话，我们就用两点间距离公式啊， 它是两倍的 cosine c， 它 k 减去两倍的 cosine c， 它 k 减一。括号的平方啊，所以我把这个二二的平方拿出来，就是四倍的 cosine c， 它 k 减 cosine c， 它 k 减一，然后 y 的 就是 cosine c， 它 k 减去 cosine c， 它 k 减一。 画的平方。好，那关键的地方来了，很多同学在这里，他不会画的，他只会打开来，你要知道这里面他这个系数不均的话，打开来没有，如果这里没有四，我们打开来的话还是比较舒服的。为什么？因为撒方加扣方可以约成一，撒方加扣方可以约成一，然后中间交叉相我们可以合起来，但是因为恰恰就是因为这里有了个四啊， 所以说如果你直接只会平方打开的话，这个题就做不了了。所以在这里我们要利用三角形的 三角函数的和差化积公式，所以你看这个题非常好，它把三角函数也考进去了。利用和差化积公式就可以把 cosine c， 它 k 减去。 cosine c， 它 k 减一，写成负二倍的 sine 二分之 c， 它 k 加 c， 它 k 减一。 sine 二分之 c， 它 k 减去 c， 它减一。那这个东西怎么来的？有些同学和差化积公式不熟练，其实非常简单啊， 就是我们写一笔啊，我们写一笔，下面给稍微推一下，就是 cosine， 它可以减 cosine c， 它 k 减一，我们就将可以将这个东西写成 cosine， 就是 把这个 c 它 k 了，写成两个东西加一，加 c， 它 k 加上 c， 它 k 减一， 加上两个东西减一，减就是 c 叉 k 减去， c 叉 k 减一，然后后面也是一样的写成，把这个 cosine c 叉 k 减一啊， c 叉 k 减一，写成 cosine， c 叉 k 减去，加上 c 叉减一，然后减去，然后我们用和差角打开来就可以得到这个啊，如果不不知道和差画质的公式，可以同学可以自行推导一下，这个我们就不细讲了， 所以我们利用和差化积公式打开来可以得到这个，然后同理这里也是一样的，三 a c 大 k 减三， a c 大 k 减一，我们利用和差化积公式可以打开来得到这个两倍的可三 a 二分之 c 大 k 加 c 大 k 减一，三 a 二分之 c 大 k 减去， c 大 k 减一， 括号的平方，好，那我们这里啊，它们都这里拿出来都有个四，所以我们把四根号拿到外面去，就是有个二，对不对？然后同时它们都有这么一个，都有这么一个公共项，将它去 assign， assign 方，二分之 c t k 减 c， t k 减一啊的平方开根号。我们把这个东西拿出来， 然后呢？因为 c 它 k 减 c， 它 k 减 e 啊，相当于就是什么就是 d 了，所以相当于就是二分之一乘以 d， 所以 就撒引二 n 分 之派啊，所以这个撒引二 n 分 派是这么来的，本质上是把这个东西这一项给提出来了。好，那么里面还剩下什么呢？我四倍提出来了，第一项还剩下四倍的撒引方， 二分之 c 它 k 加上 c， 它 k 减 e， 好， 然后这里的话，我们把它画成同角啊， 我们就把这个扣扣方变成一减去撒方啊，所以这俩一合，我就可以得到一加上三倍的撒硬方二分之。 c 它 k 加 c 它 k 减一， 好，然后这边的话，我们 c 它 k 和 c 它 k 减一，都有，都有公式啊，我们将它带入，就可以把它化成一加上三倍的撒硬方二 n 分 之二 k 减一派，大家可以自行将这个东西带入啊，就就可以化到这里。然后呢我们利用二倍角公式先给他画一步。 利用二倍角公式啊，相当于就是这个萨方嘛，就是可以写成二分之，相当于我们知道就是克萨因二 c 塔等于一减去两倍的萨因方 c 塔，所以两倍的萨因方 c 塔呢，可以写成一减克萨因二 c 塔，所以萨因方就可以写成二分之一减克萨因二 c 塔，所以我们就可以将这个画的一加上三倍的 二分之，然后一加上克萨因 n 分 之二 k 减一啊，派 一减去啊，一减去，中间是减号，一减去口三，二可以减一派，然后这个大家一划，把这个二这个写一，可以写成二分之二，那么二分之三加二分之二，所以上面就是五减去三倍的它，这个应该比较简单，就是二倍角公式化开。好，那接下来又遇到本题的第二个问题， 他是每每两每两点之间都有距离，我是不是要对他进行求和？好，那这个求怎么求？ 我们首要的原则就是要把这个根号去掉，因为有根号在的话，我们肯定不好求和的。然后同时这个撒引怎么放松？我觉得比较简单，撒引 x， 我 们利用常见的放松撒 x 小 于 x， 那 关键点就是说如何将根号去掉，所以这个题目又考察了你的不等式的一个基本功。 我们知道建立高次跟低次的关系，最好的不等式就是谁，就是利用科西不等式，科西不等式不知道你老师有没有给你提过，就是建立高次跟低次的关系的，所以科西不等式有个很好的降次功能啊。所以这里第一种想法，我们利用科西不等式来给它进行放松。 首先我们这个 c n 把先把它写出来，大家注意啊，不要忘记这个四啊，就是说你不要只算了两点距离，就是还有最后的这段距离有个四，不要忘记这个是很多同学如果考场上一紧张或者一粗心啊，就把这个漏掉了，如果这个漏掉，答案肯定算错了，所以就是四加上 啊，四加上，所以这个 c n 啊，就是四加上这个 c 个嘛，求和。好，那我们把它带入进去，这个刚才我画出来这个嘛，相当于就是然后把这个 一二分之一开，根号可以拿出来，就那根号二分之一，根号二分之一乘以乘以二啊，然后相当于变成根根号二撒映派除以二 n， 然后乘以这个东西啊，好，那关键是怎么把这个去掉。我们知道科西不等式，我们知道 a 一 方加 a， 二方加点点点 a n 方， 然后我们配一方，一方一方啊，就可以得到 a 一 加 a 二加点点点 a n 的 平方。那现在它的根号怎么办呢？我们只要把它写成这个形式， 对吧？上面是我们常见的 n 为柯西，那我们把它写成这个形式， a 一 a 一 相当于可以看成根号下 a 一 的平方，根号下 a 二的平方，加上根号下 a n 的 平方，上一的平方，一的平方，所以大于等于根号下 a 一， 加上根号下 a 二，加上点点点，根号下 a n 的 平方，对吧？所以我们就知道了，我们要求的就是根号 a n 的平方，这个可以可以，怎么算呢？我们将这个东西哎给他求和，然后再平方，我们套用这个科西不等式，是不是小于等于这里有 n 倍的，然后 c 个码 k 等于一到 n 五减去三倍的 cosine， n 分 之二 k 减一派。 好，那接下来又是一个难点，就是这一串求和啊，这个 cosine 的 求和是多少？那这个如果你学过竞赛，学过竞赛，你辅助的东西，你知道的话，他其实就是相当于把这个单位元进行等分啊。等分，那他加绕一圈肯定是零， 这个是竞赛生看到这个应该是条件反射，很简单啊，就这一串球肯定是零。当然如果你没有学过竞赛，我给你推导一下为什么是零，也非常简单。我们要求这个东西了，对不对？怎么办呢？我们求我们上下同乘三赢 n 分 之派， 上下同乘三赢 n 分 之派，相当于乘以一个可以给它发动起来。然后我这边用激化和差公式可以写成三赢 n 分 之二 k 派减去三赢 n 分 之二，两倍的 k 减一派。 然后这一串相当于是列项的形式了，求和出来，最后头一项就是三一二派，然后尾一项就是 k 等于一，等于是零，然后三一二派也是零，所以我们就可以求出它是零啊。所以如果说你没学过竞赛，你对这个 辅助的东西不太了解啊，这个，这个一串求和不太了解的话，那我们给也是利用三角函数可以给你推导一下。好，那这个讲完了，所以我们就知道呢，这一串的求和本质上就是五 n 方，因为后面一串求和就没了， 所以我们这个 c n 就 放缩掉了。 c n 啊，小于四，加上根号二，然后撒引，本来有个撒引 二 n 分 之派，我们就给它撒引 x， 小 于 x， 放缩掉，就派除以二 n， 然后这里这个因为我开了平方，是它嘛，所以我是不要开个根号啊，因为我用科西不等式这六个平方的，但是我这里没有平方，所以我本来是五 n 方，那开个根号就是根号五 n， 然后这样一算啊，四加上二 就是二分之根号五乘以根号二，就是二分之根号十派，那二分之根号十派呢？肯定是小于五的，这个为什么呢？因为二分之根号十派，我们可以看放缩一下就二分之根号是小于 派，三点一四左右，我们可以算，你可以算一下，三点一四乘以三点一四是没有到根号式的，所以我宁可用根号式来放松，所以我可以得到二分之十嘛，就是五，所以小于四加五就等于九。好，那接下来到这边怎么办呢？我得到了一个 c n 的 上界是九， c n 的 上界是九， 对吧？那 c n 的 下界是什么呢？ c n 的 下界是什么呢？对吧？我不能说 c n 上界是九，我就说这个能不能是九了，那万一 c n 小 于九的话，万一 c n 是 个四个三点几呢？那可能能不能只能是四了，对不对？所以我还要找到他一个 大于什么东西，那这个怎么怎么办呢？因为如果我再去推的话就很麻烦，我们可以举一个特殊的例子，我们来看，当 n 等于二的时候，当 n 等于二的时候，相当于只有三个点 a 零， a 一 a 二的时候， 因为它的间距要相等，然后两个点，一个点 a 零在这里，一个点 a 二在这里，那间距要相等的话，那么第三个点 a 一 肯定在这里了，因为要这个长周长 那个长度要一样嘛，对吧？所以我们进行一算，这个三点的连起来周长就是四加上根号五加根号五，那根号五加根号五是比二大的，所以 c 二我们就会发现它是比二大的，所以通过一个特殊的点位，我们就可以发现这个 c n 呢，一定是夹在九到 大于八小于九的，所以我们就轻松的做完了这个那么大的最小值就是九， 所以这是第一种想法，那第二种想法，如果说你对不等式不太熟练，或者你学校老师根本没有强调过科西有这么强的威力，我们也可以利用切线放缩啊，我们来看一下，就是说白了我需要将这个东西放缩掉，那我们将里面看成根号下五减三 x， 我们来看我们构造这么一个函数，根号下五减三 x， 那 我们对它求导啊，导函数非常简单，然后我们找零处的这条切线，这个紫色的就是这个函数图像，那我们就找切线给它放松掉， f 一 撇零，我们带进去就是 下面是根号五嘛？那上面就是负二分之三除以根号五，那么 f 零我们带进去是根号五，所以我们这个这条紫色的，这这个函数肯定是会小于这条红色的，所以我们就利用切线放松，我们就可以得到这么一个放松， 对吧？好，然后我们要求的这一串东西就小于三，应用这个三 x 小 于 x 放松掉，然后这里面这一串根号的这一串东西我们怎么放松呢？我们就是给给它放成 一除以根号二，对吧？我们先可以把这个二分之一拿出来，就是一除以根号，然后里面这一坨怎么放松呢？它呢就是根号五，负二分之三，然后 x 就是 这个东西三， cosine n 分 之二 k 减一 pi， 然后加上根号五，然后因为我们刚才上面我们已经正过了这一串 cosine， 等会我要求合起来， 我们先 c n 小 于，我们先把 c n 写出来好了， c n 就是 小于四，加上这一坨，对不对？这一坨，然后因为我们刚才已经证明过了这一串球就是零，所以他就化简出来是非常这个简洁的式子，就是四加上二分之根号十派，那接下来的做法跟上面是一样的， 所以这个题我们也给出两种做法，如果你觉得科西不等式中经常也会利用一个切割线 或者切线放松来把这个根号给处理掉，所以这都是一些非常常见的手法。好，那本题我们基本上就讲完了，我们再来复盘一下这个题有哪些关键的操作。第一个是一个三角的一个参数，三角换元的一个操作啊，然后向量的一个面积公式你知不知道，对吧？ 然后后面就是对三角函数和差化积公式和积化和差公式你是否熟练？对于科西不等式去根号或者利用切线放松去根号，你是否熟练？所以这个题目是一道非常综合的圆锥曲线加三角函数 加导数加函数的一道非常综合的压轴题，我觉得是出的相当漂亮的。好，那本题我们就讲完了。好，本题我们就讲解到此。
202高中数学教研
