2023天津高考数学导数
同学们好，今天呢，我给同学们解析一道二零二三年天津高考二十题，这是今年被网上的同学称之为最难的一道倒数压轴题， 一共有三问啊，那么他主要是第三问呢，比较难啊，前两问相对来说比较简单呃， 已知函数 fx 啊，给了第一位呢，让你求曲线 v 等于 fx 在 x 等于二处切线的斜率啊。这个我就不详细说了啊， 答案是负四分之一以一为零，三的对数再加上二分之一。这个第一问呐啊，我们就给出了 答案，我们看第二个，当 x 大于零时，证明 fx 大于横成立啊，这个也不难啊，我们简单的写一下吧。这个第二期呢，要想证明啊， fx 大于一，那么它等价于谁呢？它等价于 以 e 为底一加 x 的对数啊，大于 x 加二， 呃，应该是二 x 把它倒过来，对吧？把它倒过来，应该是 x 加二，这个是 x 加上二分之二 x 等待它啊，这个呢， 你就够到一个函数得了，只要证明这个式子成立就可以了啊。那么另，另 j x 等于 以异位的一加 x， 最后然后减去二 x 比上 x 加二， 哎，只要球下倒就可以了啊。这里呢，要注意的一点是，不要不要把 s 夹给撑过来啊， 要把这个对数函数呢，要给他单独的孤立出来。这样呢，我们求导以后啊，这个导函数呢，正好是一个代数的形式，我们容易判断他的符号啊，否则的话呢，可能你还要求第二次导数啊，他的导数啊，求完以后，整理完了以后呢， 是这个啊，分子是 x 方，底下是 x 加一，乘上 x 加二的平方，那么这个是大一点，对吧？所以呢， g x 在零到正无穷这个区间上是单调递增啊，所以说 j x 大于 g 零，而 g 零呢，正好是等于零，也就是说我们正出了它，带着它啊。呃，往下我就不详细说了，这里啊，比较难一点的是第三问啊，第三问 三个呢，他让你证明啊，这个中间的这个势啊，介于六分之五和一之间， 而且呢，这个式子呢，是和正整数 n 有关的一个式子，所以说呢，我们不妨另，为了方便起见，我们把中间这个式呢，我们看成是 a n 啊，我们不妨另 a n 等于 剪去， 我们另 a n 等于他。那这个问题呢，就说你只要证明 a n 小于等于一啊，大于六分之五就可以了，是吧？ a n 小于等于一，大于六分之五就可以了，那么这个我们怎么去证明呢？ 呃，下面我们来分析一下啊。这个题啊，是有点难度啊，我们不难得到 a 一呢，应该是等于一，对吧， n 取一的时候呢，这显示是等于一， a 一得一，那么他还要让你证明 an 小于等于一， 那么如果我能够证明数列 a n 是单调递减的，那么这个不等式的右半部分我就证明完了。 那么如何说明一个数列是单调递减的呢？如何证明一个数列是单 地点呢？你只要证明 an 减去 an 减一小于零横乘立就可以了，对吧？指正他小于零横乘立就可以了。这里的 n 呢，是大等于二啊， 由于 a 一得一，你要证明数列 a n 单调递减，那么这个不等式的右半部分就证明了。 那么要想证明 an 减去 an 减一啊，这个小于零横乘立啊， 或者说小于等于两横成立也可以，那么我们首先呢应该把这个式子给他写出来，对吧？因为这里啊有 n 的结成，根据 an 呢，我们不难写出 an 减一， 然后两式一剪一整理啊，应该得到一个什么式子呢？得到这样的式子， 这里啊，我就不给同学们详细的呃，写了啊，你把笔停下来，你可以试着做一下啊，这里的 n 呢是大于二，这里需要注意啊，这里的 n 是大于二， 那么现在啊，我只要说明他小于管理员就可以了啊，这个实际上并不难说明你根据这个结论二啊，根据结论二的话呢，我们很容易说明他是小于零的啊， 但是问题是你正出右半部分以后啊，你这个左半部分就很难搞了是吧？左半部分就很难搞，那么现在呢，我们还可以考虑啥呢？我们可以这样去考虑说能不能 把左半部分的证明和右半部分的证明同步进行的， 同步进行的话呢，就是说我把这个柿子写上了以后，我主要考察右边这个柿子，右边这个柿子呢，它介于哪两个柿子之间，也就是说呢，找出它的上界和下界， 然后呢我们就可以利用累加的方法，我们直接导出 a n 小一勺，大一勺，是不是就可以直接证明了呢？ 那么要采用放射的话呢，这里放射谁呢？这里边就得需要放射这个事，对吧？这很简单，一个放射法， 那么这个柿子怎么去放错呢？啊，这是问题的关键啊，我们可以做出这样的猜想，我们看这个柿子啊，也就是说我们可以看一下这个柿子， 他俩是互为相函数的，对吧？我们看他能不能看出他是哪一个函数的定积分呢 啊？能不能看出来，如果学过定计分的啊，这个老师肯定都知道，学过定计分的同学，那么你想一想，他是哪一个孩子的定计分， 他是不是就是这个函数的定积分呢？ 你看他是不等于他呀，对吧？ 这是最简单的竞技分啊，没有学过的同学呢，你也可以上网上搜一搜啊，那么学过的就可能就好一点了，老师就没啥问题了。现在呢，我们想猜想一下，我们想着把这个式子给他 放大和缩小，他介于哪两个数之间，我们现在做出这样的判断，我们呢，就说他对他，那么这个定积分他的几何意义是啥？我们看他的几何意义是什么？ 我们可以画出图像猜一下啊，那么也就是说这是一个繁密的孩子啊，在 x 大人的条件下，对吧？那么我们取的 n 减一啊，倒喷这段，对吧？ 然后呢，我在取终点啊，我取他俩的终点，终点应该是 n 减去二分之一吧，对吧？然后过终点呢，再做微柔的平行线，和这个图像呢，有一个交点，对吧？ 然后呢，我过这个焦点呢，做这个曲线的切线，我看 那么根据这个定积分的几何意义啊，那么这个是是不是就是这个曲线啊？这个曲线段 和这两条平行线 x 轴上所围存的面积，那对吧，那么这个面积呢？我们看，你想一想啊，这个面积也就是说他 应该小于谁呢？应该小于，我们把这个连上，我们再把这个连上， 由于呢这个 x 分之一这个函数啊，它的图像呢，是下凹的， 所以说呢，根据凸凹性呢，我们很容易得到。说这个曲线啊，这个和 x 轴这两条平行线围成的面积应该是小于这两个直角梯形所围成的面积，这能看出来不 小于这两个直角梯形所围成的面积，那么这两个直角梯形所围成的面积是多少呢？那么高呢？都是二分之一，对吧？ 那么这个上底是吧？上底呢，就是这个长度，这个长度就是这点的送坐标，把 n 分之一呢，把 n 减一带入 y 等于 x 分之一去，那么这个上底呢，就是 n 减一分之一，对吧？ 那么这个这个下雨呢，那就是，呃， 把它带进来，是吧？那应该是啥？应该是加上，应该加上啥呢？应该是二 n 减一分之二，对吧？然后这个呢，就是 n 分之一了，对吧？ 那么高呢，都是二分之一，还得称个高，然后上底加下底称高，再称二分之一，那么这个呢，用了两次，对吧？你再算他这个面时候他加他，再算他面时候他加他，对吧？就这块应该上面应该四， 对吧？然后呢外面再乘个四分之一， 你看他是不是应该小于他呀？那对吧，同时呢大于谁呢？大于这个 切线与这两条平行线所围成的面积啊，那么这个切线呢，和 x 轴和这两条线所围成的面积呢？我们怎么去求啊？那就是这是个中位线，对吧？ 哎，中位线，这个中位线的话呢，那就说他的二倍应该是上腿和下腿的和，由于这个直角踢球，这也是个直角踢球，这个直角踢球的勾呢，正好是一， 所以说呢，我们不难得到这个梯形的面积，切线围成的这个直角梯形的面积正好是中位线的长 啊，时间正好是中间长，也就是说他这个大于 n 减去二分之一分之一，你看我们是不是根据这个，这个 是根据根据这个树形结合的思想，我们可以找到这样一个关系式。那么能不能用这个关系式直接就把这个问题啊，左半部分和右半部分一下子都给正出来 there。 呃，那么我们再把它过渡到这，对吧？由他呢，我们再过渡到这里。我在这个不等式的两边同时秤上 负一，为什么称负一呢？因为你这个和这个是不一样的啊，把称上负一，他俩互为相反数吗？称上负一之后呢，他呢？到左边，他到右边，对吧？然后呢变号给忘了，再两边称上 n 减二分之一， n 减二分之一是个正的，然后再 加个一，对这个不等式进行这样的变形以后，我们就得到了他的取值范围啊，他的取值范围， 他的取得范围呢？实际上呢就是他的取得范围，对吧？我们就得到啥了呢？我们就得到这样一个不等式整理，经过整理以后啊， 我们可以得到小于零，他呢是大于什么呢？大于负八分之一，呃，然后是 n 减一分之一，再减去 n 分之一，好定了，他 经过整理以后啊，他正好变得好， 但是这里头需要注意啥？这个 n 呢是大于等于二啊，这个你可以按一下展厅键啊，根据刚才我说的这个思路，你看你能否整理出这个式子啊？这是 n 减一啊，分之一减去分之一啊， 我们就得到他了啊，这是这是副话术一样，咱们得这个事， 然后呢，根据这个式子呢，我们再用累加的思想，累加的思想，我们就可以求出 a n 减 a 一啊，我们在 上面给他写一下啊，我们就可以得到啥呢？我们就，我们就写到这吧，就得到啥呢？累加可以得到 a n 减 a 一，然后小于谁呢？小于零大于呢，负八分之一， 然后是一减去 n 分之一，我们就可以得到这个数，得到这个数， 那么这个式子呢，我们就得到啥？得到 an 小于 a 一大于呢？ a 一，再减去八分之一， 然后再加上啊，再加上什么呢？再加上八恩分之一， 对吧，我们就等到这个柿子，那么这个柿子呢？我们看， 又因为呢啊，又因为啊，我们写在这啊，又因为呢？ a 一是等于一，所以说呀，这个式的时间就变啥变成了 an 小于一啊，大于， 这是八分之七，对吧？大于啥呢？大于八分之七，再加上八 n 分之一， 由于呢，它呢，大于八分之七，在这个地方放错，我们就得到了 an 小一大于八分之七，而八分之七呢，恰好大于六分之五，你看我们是不是得到 an 大于 六分之五小一了，但是这里需要注意，这个 n 呢，应该是大于等于二， 这回要正点，还还差一个，这个，因为你这个恩呢，没有包括 a 一啊，那么又因为呢， a 一等于一，所以说呢，当恩取所有的正 整数的时候，那么就有这个式子是成立的啊，你看我们是不是就给他这个名字。 但是这里啊，我们需要注意的是，就说这道题的关键是我们如何猜想出这个式，对吧？如何猜想出这个式，但是这个式子呢，我们呢不能 通过这种形式啊去证明啊，我们应该通过这个代数的方法进行证明，构造函数去进行证明，我们一会把这个不等式呢给同学们再证明一下啊，那么考试的时候呢，你应该先想到这个不等式，然后呢再进行证明， 然后呢利用他，我们再进行第三问的证明，这样的话呢，第三问的证明啊，就是说我同时左右同时进行，就直接呢导出了啊，这个酒，对吧？ 啊，下面呢，我们把这个式子给证明一下啊，再把这个不等式啊给同学们证明一下啊，那如何证明呢？我们先证明他的左半部分啊，那么先正左半部分，也就是说啊， 呃，记证，记证什么呢？把它乘过来，对吧？记证 n 减去二分之一，呃，乘上， 只要这么穿大衣不就可以了吗？对吧？大衣呢？我们看这个，这个式子可以写成是 n 加上 n 减一啊， n 减一，然后呢？再加上一，再加上二十一了吧，对吧？ 呃，称上这个呢，可以把它分成减一加一，一加上 n 减一分之一，只要证明他大一就可以， 那么如果我令令 n 减一分之一等于 x， 这个 x 自然就大于，对吧？因为这里 n 是大于等于二的，需要注意啊，这里的 n 是大于等于二的啊， 那么我们上面十字位变成了这个 x 分之一加上二分之一在称上 大一了，这油二，这不显示成立吗？对吧？油二是显示成立的。 好，这左半部分呢，实际上我们就正， 我们再看这个右半部分啊，右半部分的话呢，我们也是令 x 等于 n 减一分之一啊，同样还是令 x 等于 n 减一分之一啊，那么这个右半部分呢，我们整理完以后呢，就是右半部分， 那要正的式子是啥呢？就是要正啊，然后是小于四分之一， 然后这里呢，这个就是 x， 对吧？ x， 然后加上我们画完之后啊，把这个画完之后呢，是这个，然后再加 穿上， 哎，你只要镜头踏实，那不就行了，那对吧？呃， 这里呢是用 n 表示 x 啊，那么一整理完之后是这个式子，那只要证明这个式子成立就可以了啊，这个式子成立的话呢，那我们构造一个函数啊，那就是例子 h 等于 减去四分之一， 对吧？只要这么的小于零，横乘列就行了。我们注意到，当 x 的曲程的时候，正好等于零， 对吧？这里还得需要注意啊，这个 x 的范围应该是大人，实际上是大人，对吧？ x 还是大人啊，那么我只要说明他单调递减不就可以了？ 要想输分的单调地点的话呢，那么只要把这个函数的导函数求完以后，输分的小零就可以了，对吧？那么这个导函数呢，应该是等于一加上 x 分之一，再减去四分之一，然后一加上， 嗯，一加上，一加上 x 的平方分之一，这个应该是加一减一嘛，分成个长数的啊，这个呢是加上，应该是 加个八减个八吧，对吧？应该是 x 加二的平方分之八， 哎，一边长。然后呢，我们如何说明他是小人，对吧？那么这里啊， 我们简要的说一下啊，这个怎么说明呢？我们把这个四分之一的提出去啊，四分之一提出去之后， 这里呢就是一加上 x 分之四，然后再减去一，对吧？再减去一加上 x 的平方分之一，再减去。 好，然后呢我们把它通一下分， 通分呢，这个公分母应该是一加上 x 的平方，乘上 x 加零， 上面是四倍的一加上 x， 再乘上 x 加二的平方位，减去 x 加一的平方， x 加上二的平方，然后这块减去 x 加上二的平方，再减去八倍的 x 加上一的平方，对吧？ 这个分子啊，怎么整理啊？比较简单的啊，我看 怎么整理比较简单哈， 把这个项和这项合在一块，提出 x 加一和四，然后把中间这两项呢提出 x 加二的平方，然后再去整理。 在整理之后啊，那么就是前后两项合一组，中间两项合一组，然后把它合一块之后啊，整理完以后又有工艺式出现，这个工艺是谁呢？就是他就是 x 方加上二， x 再加上二，然后外边出现一个属于出现一个负的 x 的平方。 呃，详细过程啊，这里头我就不给同学们说了，那显然是比零小，那就那么他比零小呢，他说明他是单调地点呢，对吧？单调地点的话，那我们就有 h x 小于 h 零，而 h 正好是等于零，是不是我们证明了右半部分，对吧？所以说呢，这个问题啊，就是说当你啊猜想出啊，这个利用这个不等式进行放作以后呢，那么你要事先给出证明，然后再利用他 在进行刚才的操作，那么这个问题啊，就正确完了啊，这个题的难度比较大啊，我的做法呢，仅供同学们参考啊，感谢同学们的关注啊，如果喜欢我的视频的话，别忘了给三连啊，谢谢。
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14:41查看AI文稿AI文稿大家好，我是韩涛老师，今天呢，我来给大家讲评一下二零二三年高考天津卷的这个导数压轴题啊，这道题我对他的评价呢，他是一个比较标准的大学数学分析的期末考试题 啊，为什么这么说呢？因为前两问呢，其实是非常平淡无奇的啊，这个第三问呢，假如说你如果没有一定的这个背景知识啊，你不知道这个东西的本质的话，单纯靠这个放缩，我想这个在考试这么紧张的这个时间里面， 其实你很难用非常短的时间去啊，这个精确的这个缩小到六分之五的啊，就这个下界呢，是非常难挣的啊。 如果你用纯粗短的方法啊，所以说呢，如果你不能够保证用纯粗短的方法，在这么短的时间里面找到一个非常完美的这样一个接法的话，我们不妨退而求其次啊，用一个高管点啊，这个手段呢，去啊，把它给处理掉啊，这样的话呢，你可能损失一点点分， 但是呢，至少不至于空在这好。呃，另外一个呢，其实我觉得这个其实也挺正常的啊，因为看现在很多同学呢，在准备这个清华大学的心领军计划，对吧？心领军计划的考试里面呢，他就会有这个呃，大学的高等数学 进行代数，还有这个群论这些东西的考察，对吧？呃，那么也就说很多的中学生呢，其实他在中学已经学习了相关的这个内容了， 当然了，一部分学生可能就是冲那个去的啊，我觉得可能更多的同学呢，也是为了通过备考这个心理军计划呢，也就是求生同班，然后呢去这个学习一些大学数学内容，能够让自己站在一个更高的一个观点上去看待初等数学的问题啊，把这些问题呢，这个本质能够看的更透彻一些，我想很多同学可能是抱着这样一个心态去学习的， 这样的话呢，我觉得是挺不错的啊。好，那么我们先来看一下这道题目啊。呃，第一问非常简单啊第一问非常简单啊，这个 呃，我们只要求出 f x 导数，然后把这个 x 等于二带入就可以了，对吧？所以这个第一问呢，求导很简单，就是乘积的导数，那左边这个因子呢？先求导，那就是负的 x 平方分之一，右边不动， 然后再加上啊，左边不动就是 x 分之一加二分之一乘，右边求导就是 x 加一分之一啊，所以呢， f 一撇二，也就是这个曲线在 x 等于二处的切线斜率啊，这个把二带进去是负的四分之一 lone 三，再加上一个这个三分之一啊，这就是第一问了。 然后第二个呢，我们要证明这个 f x 大于一啊，这个我这个不是一个严格的过程啊，主要是一个分析的过程哦，那么我们要证 f x 大于一啊，我们看一下它是相当于什么呢啊？我们把这个 f x 呢啊，这个式子不妨通分一下啊，这个二 x 分之， x 加二，乘上一个 lowing x 加一，要证明他是大于一的啊，注意前提是 x 大于零哦，在 x 大于零的时候呢，那么这个不等式等价于什么呢啊？我们就可以把这个部分，因为这个部分也是大于零的，可以给他除到右边去，不等的话，方向是不变的，也就是我们只要证明 lowing x 加一是大于这个 x 加二分之二 x 的， 当 x 大于零时，我想这个不等式大家太熟悉了，对吧？那如果你觉得还不够熟悉的话呢，我就把它写的再明显一些，比如说我用这个 x 减一去替换这个 x， 我就可以得到一个 loen x， 那大于一个两倍的 x 减一除以一个这个 x 加一啊，这是 x 大于一了好，那么这个不等式当然在考试的时候是需要正的啊，需要正， 但这个证明是非常简单，我们只要两边做差，利用倒数啊，就很容易正出来了。那么这个不等式我之前是在这个函数倒数亚洲系列中是讲过的啊，重点讲过的，那么这是对于对数放缩的一个非常常用的不等式， 有的老师又把它叫做飘带不等式啊，那他比这个切线放缩或者是二阶开了展开的放缩更加的精确啊。我在这个函数导数压轴系列第八讲函数观点看不等式中，在证明这个对数平均不等式的时候呢，啊，中间得到了这样一个结论啊，我当时说这个结论很重要啊啊，因为我们从直观上可以看一下啊 啊，这个黑色曲线呢，就是这个 low in x 啊啊，我们可以看到这个 y 等于 x 减一，是它在 x 等于一处的切线 啊，然后呢，下面这个抛物线呢，是它在 x 等一处的泰勒二级展开，二级泰勒展开啊，把这个余项去掉以后的样子，那我们会看到，不管是这个切线放缩还是这个啊，二二次这个放缩呢，它的精度都不会很高， 就是只是在 x 靠近一的时候，它的精确度还可以啊，只要离着这个一稍微远一些，那么切线放缩也好，二次放缩也好，它的精确度就大大下降。但是呢，我们 发现这两个啊，这两个函数，那么他啊始终是比较啊靠近的，或者是比较紧密的包裹着这个 low ex， 也就他们的精度呢，是要明显好于上下这两个红色的曲线的。 而这两个函数呢，我们当时在证明对数平均不等式，我们说这个对数平均值，他是要呃大于几何平均值，小于这个算数平均值的，对吧？啊，证明这个，在证明这两两两头的时候呢，我们分别构造出了这样的一个函数和这样一个函数， 那这就是带大家稍微回忆一下当时这个内容。好，因此这个第二问呢，啊，这个地方，大家只要把这个证明这个不等式的过程补充完整，这是一个非常套路性的一个工作啊，我想这两问的分数就能得到了。 那第三问，假如说你如果真的不知道这个式子的背景的话呢，恐怕是会比较困难一些啊，我们把这个式子呢，稍微把它整理一下，稍微把它整理一下，那么我们都把它化成这个呃，以 lown 为底的 好哎，由这个 n， 我就可以把它写成一个 lowing， 然后 e 的 n 次方，是吧？然后这个呢，我就可以把它写成一个 lowing end n 加二分之一次方，然后呢，这是三个 lowing 相加减，所以呢，它就变成了这个 lowing e 的 n 次方，乘上 n 的阶层，再比上一个 n 的 n 加二分之一次方。好了，看到了这样一个结构啊，那学过数学分析同学呢，立马就能够想到四和零公式 啊，四的零公式哦，那么四的零公式是干什么的呢？它主要是对这个 n 的阶层的无穷大的接数做估计的啊，我们说这个 n 的阶层，它当然是个无穷大，对吧？ 那他到底是跟其他的一些无穷大，比如说 n 的 n 次方啊，比如说这个 a 的 n 次方，当这个 a 大一时等等。这些跟这些常见的无穷大相比的话，那他的这个无穷大位于一个什么样的接触？这样的一个问题， 它主要用来做这样一件事情。好，那么这个稍微带大家这个回顾一下这个四点零公式 啊，它主要是要结合这个 wallis 公式作为引领啊，然后结合加 b 的思想来证明。嗯，这个公式是这样的，就是它最常用的一个形式呢，是 n 区向无穷大使 n 的接成比上根号下的二派 n 乘上一个一分之 n 的 n 次方是等于的啊，这个说明上架是这个等价的这个无穷大哦，而他有个等价形式啊，也是很常用的，就是 n 区相应无穷大的时候， n 的阶层，这个比上一个 n 的 n 加二分之一次方乘上一个 e 的负 n 次方，那这个是等于一个长数根好像二派的啊，相互之间只是做了一个变形而已。那说明这个上面 n 的阶层跟下面这个 n n 加二分之一次方乘 e 的负 n 次方呢，是同阶的这个无穷大。好，那么下面呢，我们 来证一下这个第三问啊，但是第三问的这个右边这边是相对好证的啊，我们要证明这中间这个东西呢，是介于这两者之间的，我们就 不妨令中间呢是一个关于 n 的数列啊，它就是 loin n 的阶层，减去一个 n 加二分之一 lone n 再加一个 n 啊，那么很显然，我们可以发现这个 a 一就是一嘛，对吧？ a 一就是一啊，因为这个带端点池验证是我们非常常用的一个证不等式的这么一个。呃，一个思维定式了，对吧？有的时候是管用的啊，有的时候是不管用的。 好，那我想证明这个 a n 都是要小于等于一，我们只要证明他的一个充分条件，也就是如果能够证出数列 a n 是一个单调递减数列就可以了。当然，这里的递减呢，不一定是严格递减啊，也可以非严格递减，也就是只要我们证明 a n 加一小于等于 a n， 对所有的正等数 n 成立就可以了。好，所以呢，我们下证数列 an 是单调递减的啊，我们只要做叉，就是 an 加一，减去这个 an 即可。好，我们把它带入啊，这个 an 加一就是 lowing n 加一的阶程啊，减去一个 n， 加上二分之三 lone n 加一，再加上一个 n 加一啊，减去 a n， 那就是减去 lone n 的阶程啊，减去一个变加了啊， n 加上二分之一 lone n， 再减去一个 n， 那这里面有很多是可以相互抵消的啊，你比如说这项和这项啊，那么两个 lone 相减里面就相除，对吧？ n 加一的阶程除以 n 的阶程 都是 n 加一，所以这个就是一个 lown n 加一，对吧？这个加 n 和这个减，你可以直接抵消掉了哦，那么这个啊，这这个部分和这个部分呢？我们可以看到啊，呃，我们可以呃， 提出一个谁呢？我把这个部分就是减去括号 n 加二分之三倍的 lowing n 加一，我可以先减去一个 lowing n 加一，也就说我把这个 n 加二分之三拆成一加上 n 加二分之一，而后面这个 n 加上二分之一， 我们是不是可以跟后面这个加上 n 加二分之一 lowing n 去提这个公益式，对吧？但是后面不要忘了还有一个加一，那么这两项就抵消掉了哦，现在我们提出来这个负的 n 加上二分之一 啊，那么这时候呢，就变成一个老影 n 加一，比上一个 n 再加一了，对吧？好，那我们要证明这个是小于等于零的，证明他小于等于零，那这时候呢，我们不能想到刚才的那个不等式，对吧？我们刚才强调过的那个不等式，就是这个老影 x 要大于这个二位的 x 减一除以这个 x 加一，当 x 大于一的时候，对吧？那这时候我们发现这个 n 分之 n 加一，它本来就是大于一的，所以它当然满足这个不等式，所以我们就得到一个 lowing n 分之 n 加一，它就要大于这个二倍的 n 分之 n 加一减去一啊，下面是一个 n 分之 n 加一加一，这个一化减之后呢，就是一个 二 n 加一分之二。好了，我们注意到这个部分啊，由于是个正的，对吧？那么前面有一个负号，所以整个这个部分是个负的 哦，对于他来讲呢，是严格大于这个 r n 加一分之二的，对吧？那么再乘上前面这个负的东西，这不就变成小于了，对吧？ 而这个部分呢啊，这个 n 加上二分之一，我们给他通分，其实就是二分之二 n 加一，对吧？而这个呢，嗯，把它替换成这个二 n 加一分之二啊，这是用小于号再加一，我们可以看到完 完美的这个约分就变成了负一加一是零，对吧？那么这就是说明 a n 这个数列呢，它不仅是单调递减的，而且是严格单调递减的啊，所以我们就说明了这个数列 a n 是严格单调递减。好，既然如此的话呢，所以对于所有的正能数 n， 那么我们都会有这个 a n 小于等于首项 a 一的啊，也就是小于等于一的。好了，那么接下来呢，我们证明大于等于六分之五，其实到了这一步呢，这个题的绝大多数分数已经得到了啊，如果你为了后面这么一小块的分数呢，去这么的呃，花很多很多时间去这个想一个特别特别 啊，特别特别，这个费事的这样一个放缩的一个初等的办法，我觉得其实有一点点是得不偿失的，你还不如把这个时间省下来，去检查前面的这些不太拿的准的题目好。那么这个地方呢，我们啊，我们要证明他大于等于六分之五啊，实际上刚才我 已经说过了啊，这个式子啊，这个 a n， 我们其实就可以把它化解成啊，我们就可以把它化解成这个 lowing 啊， n 的阶层乘上一个 e 的 n 次方，比上一个 n 加 n 的这个 n 加二分之一次方，而这个呢，就是斯特林宫式的那个求极限的那个式子，对吧？啊？我们说对于一个单调递减数列 啊，如果他有极限，那么这个极限就是他的什么，就是他的这个下缺界，对吧？反过来说，那如果他有这个下缺界或者最小值，那他的这个极限呢？啊，就应该是等于这个下缺界或者最小值的， 对吧？啊？当然这个这个单调递减呢，不一定是这个严格单调的啊，不一定是严格单调的，是吧？什么叫下去界？就这样简单说一下，就是所谓的最大的下界啊，最大的下界，对吧？啊？你比如说这个 a n 大于一，一就是 a n 的一个下界，对吧？那大于一他当然也大于零了，那零肯定也是他的下界，对吧？ 啊？负一大的下界，但是我们说一是他最大的这个下界，最大的下界啊，呃，那也就是说这个 an 实际上是可以无限的靠近这个一的，但是他不一定能够取到这个一，如果能够取到的话呢，那他就是一个最小值了啊。呃，那个地方呢，我们这可以看一下啊，就是 由于 a n 是单调递减的，对吧？所以呢，这个 a n 它就要大于等于 n， 趋向于无穷大的时候它的这个极限，我们说这个极限如果存在的话啊，那么这就是它的下驱界了，对吧？好 啊，我占用大于等于号啊，是没有问题的，如果这极限存在的话呢？啊，那他就大于等于这个这个极限，对吧？那这个极限是他的下确界，是吧？而刚才我们通过最前面的这个背景介绍，我们说这个极限是存在的啊，就是柳色的零公式可以给出这个极限。好，那这就是当 n 趋向于 无穷大的时候啊，这个 loin n 的结成 e 的 n 次方，比上一个 n 的 n 加二分之一次方啊，由于这个对数函数是一个连续函数，所以说对于连续函数求极限呢，我们可以把这个 lone 啊提出来，然后把这个 limit 放到里面去 啊，这是 n 的切成 e 的 n 次方，比上一个 n 的 n 加二分之一次方。好，那么这个就是一个 loin 根号二派，对吧？那它就是一个二分之一 loin 二派，那 loin 二派是大于 loin 六的，对吧？所以是大于二分之一 loin 六 啊。啊，老引六，我想这个很多同学其实对他的值呢，并不陌生啊。并不陌生，因为你如果搞物理竞赛的话，你应该非常熟悉老引二和老引三，对吧？老引二是零点六球，老引三是一点零球，对吧？老引六的话呢，大约就是一个一点八了，你把这两个相加就得到了吗？ 是这样吧， loin 六大约就是一个一点八啊，那么二分之 loin 六呢？显然是大于六分之五的啊，也就说这个 loin 六肯定大于三分之五的啊， 因为高于六约约等于一点八，是吧？三分之五是约等于一点六七的，那显然是个大于号啊，也就说这个 an 是严格的大于这个六分之五的，对吧？啊，也就说对这个题来讲呢，实际上这个等号他取不到啊，他是个严格大于，当然严格大于，我写大于等于号也没有任何问题，是吧？因为大于等于就是本身就是大于或者等于的意思嘛。 哦啊，这个题呢，其实我就是作为一个抛砖引玉啊，就是给出了一个这个基于数学分析的这样一个解法啊，这个题如果作为一个大学的期末考试题是完全可以的，完全是可以的啊。 呃，那么如果大家这个稍微去学习一些啊，当然最好是系统的学习一下啊，如果有这个时间的话，那么系统去一下数学分析，那对于我们去呃这个从本质上去 看到这个题目的命题背景啊，去看透这个题的这个本质是有很大的好处的啊，因为很多初等数学的问题呢，实际上他是有高等的这个背景带的啊，何况本身那么导数他就属于高等数学中的一个内容，只是把大学的高等数学中的一部分内容给下放下来了而已啊， 所以呢我们更需要去了解一下这个关于这个大学的高等数学和数学分析中的相关的这个内容啊，这样的话呢啊，对于我们去学习这个中学数学其实是有很大的这个帮助的，这是我的一家之言好呃，当然如果对这些内容感兴趣的话呢，大家可以系统的看一下我的这个 高等数学系列合集啊，当然现在正在更新中，还没有还呃离更新完还差的比较远啊，但是呢前面的部分呢，我觉得讲的还算是比较系统的好，如果你认为我讲的对你有启发的话呢，就请给一个意见三连，并且将我的视频分享给更多需要的朋友，我们下期再见。
473韩老师讲数学
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00:31查看AI文稿AI文稿太难了，倒数没做过而已。宝贝你学我就不会做。不会做动物别人也不会别人也不会。没人会没人会。做完就完事了。倒数特别难。 太难了。七夕周算不算？还可以还可以。倒数也挺难。倒数也挺难。所以倒数真那么难。
3247南开融媒
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03:15查看AI文稿AI文稿我们来看看二零二三新高考的导数题，听说今年选择填空变简单了，但是大题来了，我们看若 f x 等于 a 倍的 e x 加 a 减 x， 这是个函数，第一求 f x 的单调性，第二等于大于零时， 证明这个不得是，那么我们分析一下，要求 fx 的单调性，那么肯定要对 fx 进行求导，它的导函数大于零，元函数单调的增，导函数小于零，元函数单调的减，对吧？然后等于零是个极值点， 很简单，求导思路就是第二个位，当于大于零的时候，你看把参数的范围缩小了，证明这个不等式。哎，要证明 fx 大于这么多，那么相当于就要求 fxa 最小值， 如果说 fx 最小值都比它大，那么就解决问题了，既然要求最小值，你就要知道它的单量性，就跟我们的地位建立联系。那么我们来解一下啊，看一看，地位肯定要求到 fx 一撇， 那么求打的时候， a 乘进去再求打就是 a 倍，哎，不变， a 乘以 a 分 a 分长数求打，求打就是零，负 x 求打就是多少给负一。好了，现在我们要让他怎么办？大于零小于零等于零，是不是来减就行了，等于零都不用了，因为大于零小于零确定了以后，减一个就确定了，好不好？ 你看好，现在我们要分情况讨论第一种情况，如果说 a 等于零的话，我们知道一的 x 次方永远是正数，他等零的话，这里就成负一了，说明很小于零，对吧？如果说 a 是个负数呢？你看负数乘以正数一定为负的，负的减一一定是负的。那么也就说现在如果说 a 是 小于等于零的话，也就说我们的 f x 撇横为负数，横小于零，导函数横小于零，那么说明我们的元函数在 r 上是个减函数，那么 r 上 f x 就为什么函数了，就为减函数就可以了，就解决了。那么第 第二种情况， a 小于等于零，很解决了，对吧？我们分情况讨论，一定要彻底。哎呀，怎么办？大于零，你看 a 大于零也是我们第二位要用的，现在 a 大于零的话，我们就解这个不等式，让他怎么办？大于零先求到位，争取间就是 a 倍的 e x 减去怎么办？大于零，那么相当于 e x 大于多少 啊？ a 倍的 ex 大于大于一大于一，对吧？大于一把它除过来就是 a 分之一，为什么呢？他大于零的时候，不等他的方向不改变，直接除，就给他减这个 x 啊。他在指数的位置肯定用对数吗？那么两边同时取对数，两边同时取对数的话，他应该大于落位 a 分之一。好了，现在也就说落位 落尾 a 分之一到多少？正无穷大于它吗？那么我们的导函数是怎么办？答，数是大于零的圆函数，就是个增函数，相反负无穷到多少？落尾 a 分之一，那么说明是个减函数，说明它是个 先减后增。那么他的几小时已经是最小时了，在哪里取的？在诺维 a 分之一 f 诺维 a 分之一取的。 好了，那么现在要证明 a 大于零，是不是我们的第一这种情况，这种情况要证明他大于这么多，我们把他的最小值表示出来，最小值就是这么多，就是 f 落 a 分之一，对吧？他应该怎么办？大于二倍落 a， 然后加二分之三，积下来二倍 累，接下来的计又是一个计算，把它怎么办？把它带到这里面展开，展开又是一个新的函数，新的不等式，那么咱们再一次求导，再找他的单调性就解决问题了吗？把它转化，把它移过去，相当于就是这位诺维， a 分之一 减掉二倍多， a 减掉二分之三大于零，相对这里这一个函数，这个函数他的最小值是怎么办？大于零的就可以了。
2.7万听着，我再讲一遍
07:17查看AI文稿AI文稿二零二三年新高考二卷导数压轴题金奖。哈喽大家好，欢迎来到南哥数学小讲堂，今天我们来讲一讲二零二三年新高考二卷的导数压轴题。今天我们主要讲一讲第一问啊，第二问，我们稍微点一下就行了啊。来，首先第一问， 它要求的是 x 属于零到一，要我们正 x 减去 x 方小于三， x 小于 x， 其这种题不难，我们构造两个函数，第一个函数叫 g x， 它等于 x 减去 side x， 我们只需要证明这样子，一个函数在什么 x 属于零到一横大于零 就可以了。我们再来一个函数， h x 等于什么？ x 减去 x 方 方减去 san x， 我们正出它在零到一，怎么样？横小于零，那也就可以了。来，那我们看一看这两个是如何分别证明的吧。来，第一个， g x 等于 x 减去 san x， 第一步求导 等于一，减去 six， 那么根据 six 属于正负一的这个定义啊，我们就可以得出 g 撇 x 横大于零吧，所以 g x 在 零到一是单增的，那我想让它横成立，是不是我只需要 g x 在零到一的最小值大于零就可以了？好，那我们代入 g 零 等于什么？等于零减去塞零等于零。所以说啊，我们就可以知道 gx 在零到一这个开区间呢，是横带零的，那这一步我们就正完了。 来，我们再来正下一个，下一个是什么？ h x 等于 x 减去 x 方减去 c i x 在零到一横小于零，那我们其就是要正这个 h x 在零到一的最大值小于零就可以了。来进行求导， h p x 等于一，减去二， x 减去 consign x 来，我们会发现这个一减去二 x 减空三 x 啊，我们看不出来什么东西，那既然一街道看不出，我们就用二街道 h 撇撇 x 等于什么呢？等， 等于负二加上 six， 因为 six 属于正负一，那么负二加上 six， 我可以知道他是在零到一是什么样横小于零的，所以我可以得出什么？我可以得出 h p s 这个一街道图像啊， 在零到一，它是单调递减的，那我再代入 h 撇零等于几啊？等于一减去零，减去一等于零，那我就可以知道 h p x 啊，在零到一他是横小于零的，所以 h x 在零到一是单减的，那我 h 零自然就是极大值了吧。那我代入 h 零 等于什么？零减零减零等于零，所以，但又因为他这也是开区间嘛，所以取不到零，所以说我们就可以知道 hx 在零到一横小于零，我们又正出 gx 在零到一横大于零，那我们连在一块，那就是什么？ 就是 x 减去 x 方小于 side x 小于 x。 这道题就这么出来了，这个是第一问，然后第二问呢？我们主要是想给大家分享一下，遇到这种题啊，我们如何能够比较大概率的蒙出一个比较正确答案。 然后呢？步骤的话太复杂了，短时间讲不太清楚，我们在后面可能会出一些细视频详细讲解。好，我们来看这个第二个问的，他说已知 f x 等于 consi a x 减去乱移减 x 方，且 x 等于零时， f x 的极大值点。我们首先我们看见极大值点，我们有两个反应， 是吗？一个是 f 撇 x 零等于零，另外一个是 x 零啊，它是 导函数的由正转负的点，什么意思啊？比如说这是一个导函数图像由正转负的点，这个才是 f p x 零才能称为 f x 的极大值。 是不是因为邮政转付代表先递增后递减嘛？那这个顶峰就是极大值，那这个是我们翻译的第一个条件来，那我们就看这个条件如何能解决出 a 的取值范围这样子一个问题来。第一步，求导 f 撇 x 等于什么？等于，呃，负 a 撒引 ax 加上一减 x 方分之二 x。 好，这个是我们得出的一解答。然后我们带入 f 撇零，发现他是什么 负 a 乘以零加上一减零分之零，那就是等于零，所以他满足极大值第一个条件， f 撇 x 零等于零，那第二个条件要 x 零，他是导按数由正转负的点。 那我如何知道导函数是否邮政转负呢？我需要通过二阶导的正负来判断一阶导的增减情况吧。那要求导 f 撇撇 x 等于什么？就等于负 a 的 平方 consy a x 加上一减 x 方的平方，二分之 x 方加一。好，那我这里想问一下，如果说我希望这个 f 撇零等于零，它是由正转负的点，那其实呢，我最好啊， 我二街道的时候啊，他这里是小于零的，那就证明他在这个区域内有一个下降的趋势，证明他是这样子一个局部下滑的，那我就可以证明这个 x 零就是由正转负的点了，是吧？ 那我就他的必要条件就是二阶导，当 x 等于零的时候，他要小于零，那我们代入 f 撇撇零等于什么？ 他就等于负 a 方加二这个东西要小于零，那我们就可以推出是什么？是要二小于 a 方，那就可以说 a 的取值范围是负无穷到负根号二， 并上根号二到正无穷，这个就是我们他的一个必要条件，这样子我们就可以拿到一定的过程分和答案分了。那么他的冲药条件证明呢？是一个非常漫长的过程，我们找时间出一个视频细讲，那么本题就分享到这里，谢谢大家。
102南舟数学
