2020年高考数学天坛题
第四题也是一道应用性的题目，他以天坛的十块为背景，说是由内向外每环依次增加九块，这说明他是一个等差数列，并且公差 d 等于九，而第一环有九块，这说明 a 一首相也等于九， 然后上下一共分了这么三层，每层的环数是相同的，并且下层比中层多七百二十九块，也就是说这个最下层比中层多七百二十九块。这个时候我们应该想到等差数列的一个性质， 如果一个数列是等差数列，那么 s k s 二 k 减 s k， s 三 k 减 s 二 k， 他们成等差数列，并且他们 之间的公差是 k 方 d， 那么我们就可以把上层认为是 sk， 中层就可以看成是 s 二 k 减 sk， 那么下层就是 s 三 k 减 s 二 k， 下层比中层多七百二十九块，也就是说这个减去这个等于七百二十九。 那么这两个根据我们刚才的分析，他们的公差是 k 方 d， 于是这个 k 方 d 就是七百二十九， 而 d 又等于九，所以九 k 方就等于七百二十九。可以解出来， k 等于九 k 代表每一层有几环，那么第一层就有九环，每层的环数相同，于是一共就有二十七环，让我们算的是三层共有多少十。 也就是说要求一下前二十七项和根据等差数列的求和公式， s 二十七等于二十七倍的 a 一加上二分之二十七乘以二十六 d， 我们把 a 一等于九， d 等于九，带入到这个公式里边，就可以得到二十七乘以九，加上后面的这一堆，计算出来结果等于三四零二。 至于我们刚才所说的这个等差数列的性质以及它的公差，可以用等差数列的前项和公式进行证明，有兴趣的同学可以刻下自己证明一下。
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05:44查看AI文稿AI文稿大家好，我是高峰老师，今天呢，我们来一起看一看天堂到底有多少砖。那这道题呢，实际上是一个实际应用的题目，他的题号是在第四题， 嗯，实际上他的难度实际上并不高，但是呢，你需要干什么呢？需要去阅读理解，去把这个地方给他抽象出来一个数学模型，也就是说需要考我们的综合能力。那不单单仅仅是这个地方，实际上还有一个心理上的一个原因。那 如果说这个地方你心态崩了，这个地方做做的有点感觉有点费力，对吧？你心态崩了，那这时候你往下就很容易去出错了。那这个地方谁也反映了，高考考察是综合能力的一个小特点，不单单是二卷是这样考的，全国一卷是不是有个金字塔也是在这个地方？ 全国三卷是不是有个新冠，好像叫什么 logic stick， logistic 模型，对吧？那个地方如果说你搞， 那也也很容易出错，包括一九年的时候，是不是全国一卷有个维纳斯对不对？是不是还有一个什么呢？外有引力等等等等。那这一块实际上都是按照这样一个设计思路来去考虑的，所以以后我们都要干什么呢？都要在这个地方一定要多去下一点心了。 ok， 那我们不再多说，我们来一起看一下这道题。题目说这个地方有一个圆丘坛，对吧？然后分成上中下三层，上乘中心呢，有一个圆形石板叫做天心石。天心石干什么呢？ 嗯，绕的天行石。天行石是哪块？就这块是个天行石，对吧？好绕，他砌了一个九块扇形面，扇形那个石板构成第一环。好，那我把第一环称作 i 一，那向外呢？每环依次增加九块，比如说第二环 i 二， 这个 i 一是等于九的，那一直往后都是这样子的，也是说 i 三减去二也等于九，所以在第一层他就是等差数列，他的手相是谁呢？手相是 i 一等于九，他的公叉是谁呢？公叉是刚好等于一个， 嗯，是九的，所以此时我们得到第一环，他的通向 i n 就应该是谁呢？就应该是那个九倍的 n 了。好，那这个地方是不包含中间这个天心石的，那题目的后面也说不包含天心石，对吧？ 那问题的关键来了，那第二层是什么样的情况呢？你看题目就说了，下一层的第一环比上一层的最后一层都右环还是多九块，也是说什么呢？ 第一层和第二层之间，他也是按照这个地方从里到外，哎，也是有公差为九的一个数列，所以第二层也是满足 m 等于九啊。那第三层也应该是这种情况。好， 而且又告诉我们每层的环数还是相同的，对吧？每层的环数相同的，可是唯独没有告诉我们什么，唯独没有告诉我们他的东那个环数是有多少，所以这时候我们要设一下，我们去设一共有多少环呢？一共有 m 环这样子。 好，那他说下层比中层多七八十九块，那这个地方我们来看，也就说第一层这个地方就是 sm， 那第二层这个地方就应该是 s 二 m 减去一个 sm， 那第三层刚好是 s 三 m 减去个 s 二 m， 是不是似曾相识？这个东西不知道 背的一个等差数的一个小性质吗？就这个东西，他是成等差的，对吧？他是成等差的，那他如果说我能求助他的公差，我是不是就可以求助这地方有多少环了？ 那这是我们怎么去看呢？实际上还是挺简单的，你比如说 i 一，第一层就是 i 一加上个 i 二，一直往后加，一直往后加，加到谁呢？加上个 im， 那第二层是谁呢？第二层就是 im， 加上个一，加上个 im， 加上个二， 一直往后加，一直往后加，一直加到谁呢？加上一个 i 二 m， 对吧？好，那这是我给他画成了上面的形式，刚刚写成了 i 一，加上一个，这个地方是 m 的小弟，对吧？好，那你这个地方 i m 加二，这个是刚写成了 i 二，加上一个 m 倍的小弟。好，那这个时候呢？再往后加，再往后加，这地方高写人生啊， i m 再加上一个 m 倍的一个小弟。好， 那这时候我们刚好得到什么呢？刚好得到 i 一，加那个 i 二，一直往后加，一直往后加，加到谁呢？加到一个 im， 这个是刚好的一个，再加上什么呢？再加上一个 m 方背的 小弟。那所以公差，他的公差大弟就应该等于几呢？就应该等于 m 方倍的小弟。小弟等于九，就等于九倍的 m 方，而这个 m 指的就是环，一层有多少环，而他等于几呢？等于七百二十九。 好，那这时候我们刚写着 m 方就等于八十一，所以 m 就等于谁啊？ m 是不是刚好等于一个九，对吧？就是八十一吗？是不是？ 好，那于是乎我现在要求三层共有多少石板？ 那我就是去求谁啊？去求 s 三九二十七，去求 s 二七就行了，是吧？那你带上去二分手相，手相是九末相。末相是谁啊？末相是九，乘以一个二十七，再乘以一个二，这，这是加号，不是乘二。好，这是再乘以一个二十七， 那这是刚好上面是九乘二八，所以这刚好变成什么？刚好变成个九，乘以一个多少呢？九乘一个十四，再乘一个二十七。那这个是呢？ 我们可以观察一下他的，他的尾数不一样，我直接换上尾数就行了，我也不去详细去算他那四九三十六，六七四十二，所以他的尾数一定是二的，那答案就出来，答案一定选择 c 的， ok， 那这题不就结束了吗？对吧？好了，以后大家再遇到这样的问题，一定一定要记住，一定一定要记住。 如果说这道题你可以很轻松写出来，那你就写，如果写不出来，赶紧跳，后面的题目都很简单，一定要保证一个良好的心态去做完整张试卷，我不会做的题可以给他跳过去，好吗？ ok， 那今天呢，咱们就讲到这个地方。
00:26查看AI文稿AI文稿听说这全国二卷的天坛鼠专给和田鼠蒙了，这个题咱们考前是不是刚讲过，多简单呢？一共三层， 那这每一层之间是不是仍然成一个等差数列啊？那这个七百二十九是不是 n 方 d 呢？ d 是九呢？ n 是不是也是九啊？啊？每层九环，那第一层九环的总数就是四百零五，第二层加起来呢？就是一千一百三十四，那整个三层加起来呢？就是它乘以三，等于 a 乘 c 呗。
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03:06查看AI文稿AI文稿北京的天坛，明清两朝先后有二十二位皇帝举行了六百五十四次的祭天大礼。而眼前这座元秋潭正是祭天大礼的专用场所。 然而在二零二零年，全国高考二卷就是以圆丘坛的设计作为数学题出现在了高考试卷当中。圆丘坛这里出现了大量的九和九的倍数，这道高考题算的就是他其中的一个九的倍数。 这一个九的问题就已经上升到了高考数学题的程度。可见当初这里的设计者数学的噪音是十分的高深的。民间更是流传的神童相助修圆秋的传说。圆秋兴建于明代，到了清朝的乾隆年间。 乾隆呢嫌这里太小了，所以呢，下肢将这里扩建，负责施工的工整，很快就拿出了设计 破店的图样。乾隆皇帝看后觉得嗯，感觉不错。可旁边却有大臣说道古来就有天书之说， 天为阳，地为阴，基数为阳，偶数为阴。此处是用于祭天所用，所以要用到酒这个吉阳的数字。对于这里的各项设计，不是酒，怎么着也得是酒的倍数吧。乾隆皇帝一听嗯，爱卿言之有理， 并且马上就命令公长迅速修改设计方案。从地面到篮板，从台阶到整体的尺寸，都要是九或九的倍数。 这听上去简单，实际上做起来太难了。但黄命难为。转眼间，皇帝限定的三天期限就到了，如果拿不出方案，那面临他们的就只有死路一条了。这时，有一位骨瘦如柴，衣衫蓝绿，满身污秽而又 又脏又臭的小童来到了他们面前。起时正处于绝望中的工匠们反正也吃不下饭了，所有工匠都把自己的饭食给了这位小童。而这位小童呢，也没说什么话，低着头就在那狼吞虎咽，转眼间就已经全都吃干净了。只见这位小童从身上撕下一块破布， 擦了擦嘴，擦了擦手，然后顺手往桌子上一扔，身体一晃，立刻不见了踪影。这可吓坏了当时的工匠们，大白天的，难不成闹鬼吗？工长连忙跑过来看了看桌上的那块破布， 这块破布上写了一个字秦，而且还有一幅祭坛的图样。大伙经过计算一看，这不正是乾隆皇帝所要求扩建的九九祭坛图吗？太好了，终于可以交差了，于是马上复制了此图 献给了皇上。很快圆球坛就完工了。这时，工匠们忽然想起来，当时那块破布上不是还有个琴字吗？这又是什么意思呢？ 有人说，这个琴字就代表着我国古代的大数学家秦九勺先师派来神童来帮助他们的。这也就是咱们今天看到的 神童相助修缘秋的传说了。有感兴趣的可以到网上搜一下二零二零年这道高考数学题，看看你们能不能答对呢？喜欢我的视频请点赞加关注，我们下期见！
00:19查看AI文稿AI文稿整个的这个试卷的命制非常符合北京的这个教学特点，还有北京整个这个呃学生的水平的学清情况。那么在这里呢？我觉得比如说对于函数的关注，对于整个试题的命制等等，都非常符合北京这种大气、平和这种的特点。
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19:31查看AI文稿AI文稿同学们好，今天呢，我再给同学们分享一道二零二一年全国一卷第十九题，我们看解答这道题啊，如何去思考，他都有哪些个方法？首先呢，我们看题三角形 abc 角 a 角 b 角 c 所对的边分别为小 a、 小 b 和小 c。 已知 b 方等于 ac 点四， d 在边 ac 上 b、 d 等乘上三因 a， b、 c 等于 b， r， a 乘三 a、 c 第一问证明啊， b、 d 等于 b， 这个长度啊，等于 b， 那么我们看一下这 这个题我们如何去思考啊？飞机 要证明 b、 d 等于 b， 根据已知，只要证明 a、 c、 n、 c 除以 c， n 角 a， b、 c 等于 b 不就可以了吗？对吧？要证明 b、 d 等于 b， 指证它成立就可以了。 根据正前定理，赛音 c 比上赛音角 a， b、 c 指正 a， c 比上 b 等于 b 不就可以了吗？你把这个 c， a、 c 比上 c， a 角与 b， c 不等于 c 边比上 b 边吗？对吧？那也就是说，只要证明 b 方等于 a、 c 就可以， 那么根据已知 b 方得 a、 c， 所以说第一问证明就完了。呃，这是用分析法啊，写的过程，当然你用综合法呢，再把它过程写一下， 那用中法怎么入，怎么行过程啊，那就从后往前推呗，对吧？因为 b 方等于 ac， 所以 a、 c 除以 b 就等于 b 呗，对吧？然后利用正前定理，我们把它换一下 c 比上 b， 哎哎，不动呗。 d、 r、 b 所对的角是角里 b、 c 吧， 又因为 b、 d 秤赛的角， a、 b、 c 在 a 秤赛的， 所以 b、 d 不就等于 b 吗？ 这是不是他的证明过程啊？所以说啊，这个思路呢，应该是用分析法，把思路分析一下，然后再用综合法呢，把过程写出来就可以了。 呃，这个呢，你可以在草纸上不用体验了，对吧？那么你在这个试卷上，你就这样来书写过程就可以了，这是不是 是就是第一问呢？那么第一问，有的同学可能也会遇到困难啊，不知道如何去下手，对吧？那么我们再看这个第二问啊。 第二个呢，又增加了一个条件，说，若 a、 d 等于二 b 的 d、 c， 求口塞音角尾 b c。 呃，在做第二份球口才一角 a、 b、 c 的时候，现在我们看他都有哪些已知条件了呢？我们先分析一下啊。 首先有 b 方等于 a、 c 了，这是个已知条件。那么第一问啊，这个条件啊，这个条件实际上就 推证出 b、 d 的 b， 那么 b、 d 的 b 呢，也是一个已知条件。在做第二个的时候，可以用第一问结论，对吧？因为第一问的结论是在大前提下推出来的。那么还有一个条件啥呢？就是 ad 得二 dc。 那么在这个条件下，现在呢，让我们去证明什么？让我们去求什么呢？去求口才 加二 b、 c， 对吧？这是不是这样一个过程啊，对吧？那么我们如何去分析这个问题？ 首先我们看 bd 等于 b 啊，这没有什么说道， ad 的二 dc， 说明 d 点呢，是 ac 的三等分点，那你说 ad 呢，应该是等于三分之二， bdc 呢，应该是三分之一 b。 那么 b 方等于 a、 c 是什么意思？ b 方等于 a、 c 的意思就是说 a、 b、 c 成等比， 也就是说这三个边啊成等比，那么三个边成等比 啊，为了减少计算量，在三个数成等比的时候呢，我们不妨 力 a 呢，等于是 b 比上 k， c 呢，等于 b 乘上 k， 这里的 k 呢，是大于零的， 那么你想一想，这三个边是不是我可以分别看成是啊， b 比 k， b 和 b k 啊？那么这 a 呢，我们可以看成是 b 比上 k， c 呢，我们可以看成是 b 乘上 k， 那这样一来呢，我们就得到啥呢？得到 cosin 角 a， b、 c， 根据余弦定理，我们不难得到它是 b 方， k 方加上 b 方在乘上 k 方分之一，再减去 b 方再除以二 b 方， 对吧？二 a， c 吗？把 b 方约掉以后，我们就得到了 k 方加上 k 方分之一，再减一除以二。所以说呢，我们要想求抠菜音减二 a、 b， 我们只要 求出 k 方就 ok， 那么这个 k 方怎么去求呢？我们就要想到用列方程的思想啊，方程的思想，我们来求这个 k 方，那么这个方程我们怎么去列呢？ 我们首先看这个问题，我们首先看一下法医 怎么列房产，列出关于 k 方的房产，然后把 k 方求出就可以了。首先我们看这两个角应该是互补， 互补的两个角，他的余弦值互为相反数，那么法医就我们利用这个条件，我们就可以得到啥得到？利用他利用抠塞音角 b， d， a 加上口太音角 b， d， c 等于零这个条件，我们就可以列出一个方程。 那么口才 a， b， d， a 呀，这个方程很容易列，对吧？咱们把它列一下，那是多少啊？根据余弦定理，那就是 b 方加上 九分之四 b 法，再减去 b 方， k 方再除以二乘上三分之二地方，对吧？ 然后加上头在于 b、 d、 c 呢，那就应该是 b 方加上九分之 b 方，减去 k 方分之 b 方，除以二乘 b， 再乘三分之一 b， 对吧？那么这个 b 方啊，很显然都给约掉了，这个方程呢，只含有配方，那么 我们很容易把它整理，整理，整理得呢，我们得到三 k 的四次方，减去十一 k 方，再加上六 慢一点，我们得到这个式，那么这个方程呢，很容易结，也很容易分解因式，对吧？分解因式之后呢，实际上就是三配方减二，乘上配方减三， 可以的看，对吧？我们就得到这个关系，然后呢，我们就得到 k 方，我写到这里了啊， k 方等于三分之二， 如果 k 方得三分之二的时候呢，我们可以求出啊，抠塞引角 a、 b、 c 正好等于十二分之七， 那么如果 k 方等山的时候呢， 抠在角角与 b、 c 等于六分之七啊，六分之七比一档，所以这个要舍掉， 因此第二个答案是不是是十二分之七啊，这不就出来了吗？对吧？ 这是第一个方法，那么我们看在列方程，从列方程的角度 看，还有没有其他别的办法呢？ 反而呢，我在三角形 a、 b、 d 当中可以写出，用鱼片定理可以写出口才音 a， 然后在三角形 b、 a、 c 当中，我还可以写出口在角 b、 a、 c， 那么这个是角 b、 a、 d 啊， 它俩相等，那么在三角形 a、 b、 d 中，用预言定笔写出一个， 在三角形 a、 b、 c 中，用鉴定里再写出一个式子，我们同样可以得到关于 k 方的方程，这是第二个方法，那么我们再看一下第三个方法。 第三个方法呢，我们从列方程的角度看，还可以怎么列呢？我们可以得到 a、 d 比上 d、 c 是不得二啊，对吧？那么他呢，应该等于什么呢？我们看 我上下 同时乘上 b、 d， 然后呢，我再称上一个 a、 d， 再乘上一个口塞音角 b、 d、 a， 我们在底下再唱上一个角 b、 d、 c， 这两个角的余弦直互相反数，因此呢，我放一个数号， 然后再配个二，你看他右边这个等于，他是不是等于负的 余弦定底，他应该等什么呢？是不是等于 b 方加上三分之二 b 方，再减去 b 方， k 方分母，这个呢，应该是 b 方 加上三分之一 b 方，再减去 k 方分之 b 方啊，对吧？然后呢，这个得二， 你看我们是不是又列出一个方程啊，然后把 k 方解除， b 方约掉了，对吧？这是第三个办法。 那么还有没有办法？我们再看第四个方法呢？我们可以考虑用项链的办法，你看项链 bd 等于什么呢？项量 b、 d 应该是等于三分之一，项量 b、 a 加上三分之二，签了 b、 c、 u， 这对吧？然后呢，我们把两边给他平方， 两边平方以后， b、 d 方就是 b 方，九分之一 b、 a 方，那就是 b 方， k 方加上九分之四， k 方分是 b 方，然后再加上只鸡的二倍 九分之四，它俩模相乘， b、 a、 b、 c 的模相乘，是不是就 b 方啊？ 然后在乘上口塞音 b、 a 和 b、 c 的夹角，对吧？ b、 a 和 b、 c 的夹角就是口塞音角 a、 b、 c 是不走到 这样就湿了。然后呢，我们再利用鱼弦定理抠在角与 bc 和三角， a、 b、 c 等于 b 方， k 方加上 k 方分之 b 方减去 b 方，再除以二 b 方， 这对吧？然后把它用右边式的换掉，我们是不是又得到一个关于配方的方程啊？ 放下我就不给同学们写了，法五，用向上法呢，我们还可以这样，向量 b d 等于向量 b a 加上向量 a b， 那么向量 b a 不动向量 b d 呢？ 向量 b a 加 a d 对吧？ a d 呢？等于三分之二向量 a c， 对吧？我们是不是也可以两边平方呢？和刚才一样，再利用一篇定理呢？我写出谁的写手写出口塞音角 a， 因为这 b 和 b c 啊，这个这两个项链所夹的角 和角 a 有关。我再写出图三 a， 然后我再列出关于 k 方的房产，这是不是又是一种方法？总之呢，我们就是通过列方程的思想，我们来求出 k 方， 那么还有没有其他的方法啊？同学们课后可以思考啊！今天呢，我就给同学们说到这里。
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