全国卷数学乙卷
你们知道二零零三年高考发生了什么事情吗？史无前例的两个事情，一个你们都知道的，另外一个事情，二零零三年高考第一次，不知道是不是最后一次了啊？一个高考的考生，这个大哥干了一个生日的什么事呢？他在高考前把卷子给偷出来了， 就一个考生高考前居然去偷卷子，关键这个大哥还给偷出来了，成功了。这个事发生在高考前一天，马上破案，马上就给抓住了，但是这个卷子明显是不能用了，万一泄露了呢？对不对？
粉丝1.1万获赞28.9万
相关视频
00:13
00:18查看AI文稿AI文稿哥们，考过全国影院吗？哥们？哥们，全国影院啊，陕西地区考的啊？哥们，不是全国假卷，也不是新高考卷成功让我从今年的瑞全人变成了明年的位高补习人，恍惚什么感觉知道吗？哥们，都开破了一些，研究过雪花吗？哥们，自创过成语吗？哥们，打过笔账吗？哥们，借三角形会吗？哥们，远处局限导出写完了吗？哥们，普通一本吗？哥们？
39.5万小黄没三分（有三分版）
05:20查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，欢迎来到马桶河塘。 ok， 今天我们来看一下刚刚结束的全国已卷的第九题。 ok， 我们在讲这个题之前，先去讲一下我们外接球里面的一个问题，就是如何确定球星找球的半径。因为这个题你发现也是球和椎体的一个结合对吧？ 只不过没有直接去考他的外接球对吧？直接没有去考他的外接球， ok？ 我们给出一个四棱锥。是如何？给出一个四棱锥或者是三棱锥，或者是其他的几何体如何确定球形？我们的第一步工作是先去找底面外接圆的圆心哦。 接下来欧一帮我们基本接下来我们做法是过欧一做底面的垂线，我们说球形 o 一定在这个垂线上，对吧？这就是我的球形 o。 哎，找的有点上啊。 这个吧，这个呢，就是我的球星哦。为什么他一定是球星哦。什么是球星？球星到各个顶点是不是都等距啊，对吧？外结了球星到各个顶点都等距。而我黑色直线他上的这一个点到 a 到 b 到 c 到 d 到底面四点 百分之百都等于。因为我可以去证明三角形全能对吧？ oeaoeb oecoed 是不都是我外界人的半径啊？ o o e 那是公共边，所以 o a o b o c o d 是不是全部都上的啊？那接下来我只需要再去满足一个条件。满足一个什么条件？满足一个 o 到 a 的距离，或者是到 b 的距离和到 p 的距离等距是不是就可以了？这样满足点 o 是不是就是我的外接球的球星啊，对吧？我们这个外接球里面讲了十多种模型，给你总结了公式，给你推 找了原理。我们说原理更重要。当然你要把公式背下来。如果考到了相应的模型，直接套公式是不就出来了呀，对吧？但是今年这个题呢，没有直接考。但是呢，他涉及到了这个思想。 你看现在怎么说的。现在就是以这个 o 为顶点，形成了一个四棱锥 o a o b o 杠 a b c d 吧，就这四棱锥。问我该四棱锥体积最大的时候 高是多少？你想该四棱锥体积最大，现在 oaobocod 是不都是这个球的半径？球的半径是几啊？一对吧。你想他怎么就最大了？我们放到这个图里面就是 啊，这个呢，就是凹凹杠 abcd 怎么就最大了呀？要想他体积最大，但是底面是一个不确定的四边形，对吧？你底面这也 求不了，高也求不了。两个变量怎么办？两种思路，要么是处理成单变量函数思想，要么是用均值不等式， 对吧？那么看下这个题到底应该怎么去处理。那结合我们刚才讲的，我就不管你这个底面四边形，反正你底面四边形也确定不了。我要想使得凹杠 abcd 这个椎体的体积最大，是不是就说以凹为顶点，以 abcd 这个四边形， 他外结缘为底面的这个圆锥的体积最大呀，对吧？要想使得锥体棱锥的体积最大，其实就是该圆锥的体积最大， 对吧？我们来看一下微圆锥，微圆锥是不是就等于三分之一底面积乘以高啊，对吧？那我就设这个圆锥，底面圆半径为凹底面圆半径为，这是凹一底面圆半径为啊，小啊，是吧？高是不是就是 oo 一 h 啊， 这是不是就是 l 啊，对吧？ l 等于几啊？ l 等于一，所以我就有什么呀？我是不是有 r 方加上 h 方就等于几啊？ r 方加 h 方是不是就等于一啊？而我的这个圆锥的底面计，这个铁骑公式呢，就是三分之一底面计。派 r 方 再乘个什么呀？再乘个 h 对吧？我又有 r 方加 h 方等于一，这样我是不是就可以把它处理成单变量了？你要的是高的最大嘛，对吧？体积最大，谁就问我高是多少？那我就把这个 r 方表示出来， r 方是不是就等于 一减 h 方啊？所以我能到这个为圆锥呢，它就等于三分之一派对吧？三分之一派再乘个多少？乘个一减 h 方，再乘一个 h 对吧？一整理呢，就是负的三分之一派 h 的 三次方对吧？负三分之一派 h 的三次方，再加上三分之一派 h。 就问我他取的最大值时， h 取多少？三次函数干什么？求导吗？ 对吧？ v 一档呢，就等于多少 v 一档呢？就等于负派 h 方再加上三分之一派对吧？求。半岛之后，英式分界，我们提出来一个负派，提个负派之后，剩了个 h 方减三分之一。开口导函数呢，是开口向下的一个抛物线 与 h 轴有两个交点，一个呢是负的三分之根号三，一个呢，是三分之根号三高 h 呢，肯定是大于零的，所以我要的定义是不是零到中去哪呀，对吧？加上我的零呢，就在这，对吧？零在这，所以零到三分之根号三。先正再负。导函数先正再负圆 先增再减。什么时候取最大？当高 h 等于三分之根号三的时候最大。说这题正确，答案选 c 对吧？你看原理对吧？这没直接考公式，考的是原理对吧？你如果会推倒了，你在分析这个题的时候，我相信这个想法你不难想出来，明白了吗？
378刘明德老师高中数学
21:29查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一道二零二二年全国已卷数学的导函数大题。这个导函数大题呢，挺特殊的，首先他最后一问呢，需要分五种情况去讨论，然而分五种情况呢，还不是最难的， 其中第三种情况和第五种情况还需要去放缩，放缩究竟往哪个方向去放缩，这个才是最难的。那么接下来我们就一读这道题的真容了，咱们来看一下第一题吧。第一题当然非常简单了，因为它已经告诉你这个参数是 a 等于零了，对吧？ 嗯， a 等于零的时候，那么这个导函数，导函数，咱先演员函数吧，原函数就变成了负的 x 分之一，然后再减去老往 x。 那求一下导吧，当然求导之前的话，所有的函数问题都应该写一下低音域啊， 他的定义是什么？当然是领导政务穷，为什么呢？你只要还有捞，就肯定是领导政务穷了。那继续来看啊，那 求一下导，求导以后的话，就变成了 x 分分之一减去 x 分之一，通分一下就变成了 x 方分之一减 x。 显然当 x 小于一，但是大于零的时候呢，他这个导航数是正的，也就是说在零到一之间的话，导航数正，那原函数不就是增函数吗？ 如果 x 大于一的话，你看分子就会复数了吧，导航数为负，那此时原函数就有钱。所以说最大值，他不就是让你求最大值吗？最大值的话，就是当 x 取一时候最大，你把 x 等于一代入吗？ 负一再减去浪，浪一其实就是零，所以说这个函数的最大值就是负一了。第一问的当然特别简单了啊，我们主要是看这个第二问，在解决第二问之前的话，你要注意，第一问这样一个结论，其实还是有可能对括号有帮助的。他这个结论其实就是负 x 减去浪啊。 x 他的 最大值是负一吧，那他肯定是在定于预防员内都是小于等于负一的，或者因为左后两边都有负号吗？那其实相当于 x 分之一，左后两边乘负一嘛，加上老板 x 大于等于正一的，这个括号一的结论很可能对括二有帮助。所以我们先写到这啊，就写到右上角吧。 那么接下来看第二题啊，第二题的话，他要求就变成这样了，如果说函数他恰好只有一个零点，你要注意的是这道题他说他这个 loan 就是怎么样对数，怎么样对数，单身狗吧，他这个浪其实就是单独存在的，前头我们可以看成一个数字，这样求导就非常简单了啊。 所以如果说只有一个零点的话，求 a 的去除范围，那肯定求导我们是逃不掉了。那求导的话很容易啊，求导的话，你看这个 a， 他就不能等于零了啊， a 等于零只能在括一里 啊，看这个 f 片 x 他等于多少。等于 a， 再加上 x 放分之一，然后再减去 x 分之 a 加一，那接下来通分吧。通分以后的话，站看起来好像有点难啊，咱调整一下顺序， 然后这个 a 加一的话，就变成了减去 a 加一，再乘 x， 最后的话再加个一就行。我们分母的话，其实不用管他，因为分母肯定是正的呀，对吧？嗯，咱们看分子就行了，这个分子的话 看能不能饮食分解，如果能的话是最好的，不能的话那就只能用球跟攻势了，他试一下啊。嗯，乘法拆两边，拆成了 ax 乘 x 那一的话，就拆成负一乘负一吧， 音质分解一下，看行不行啊。负 x 再来个负位 xa 中间凑对了。所以说其实这个导航是不是可以变成什么的？可以变成 分解之后就变成这个结果了，变成了多少分子，就变成了 x 减一，然后 ax 减一这样的形式。这个分母的话不用管他，我们主要关注的其实也就是这个分子，分子的正负就代表了这样一个。 嗯，导函数的正负了，知道这一条就行。那我们直接把这个结果呢先放到这啊，他还是很有用的。那接下来就要分类了，分类的话其实主要就是看谁啊？看这个 x 减一， 然后再乘 ax 减一，他的正负性，对吧？他正就是导航数 f 撇是正，然后他负，那导航数 f 撇就是负，主要是看他的正负。 他的正负的话，大家要注，需要注意的是他是关于 x 的什么外关于 x 的抛物线的形式啊。那抛物线首先应该关注的是开口向上还是开口向下，对不对？所以说那 a 小一两， a 等于零， a 等于零，至少最少最少。你要分这三类吧。那我们先看第一种类型啊。第一类第一类情况啊，解第二题了。当这个 a 小于零的时候，其实这种情况下还是比较容易讨论的啊。你注意，我们只讨论 x 大于零的范围， a 小于零吧，你定义不是 x 大于零吗？对吧？ 好，负数再乘一个正文数，也就是说负数再减一，其实这部分肯定是负的，没问题吧？那哦，画圈部分， x 减一的正负就代表了导航数的正负，只不过反过来了。 嗯，也就是说你看好了啊，当 x 在零到一之间的时候，这部分的话，第一部分是副板，那最后结果防人术副部得正了，也就是说导函数是正的。导函数正的话，不就代表着原函数，我就简写了单调递增的意思吗？显然，一到中英雄的时候， 一到中间，因为 x 比一大了，他就变成正的了，一个正成一副，那导函数反而就变成了小于零，那原函数不就单调递减了吗？那这样的话，我们验证一下这个 f 一啊，其实 f 一就是那个 fx 的最大值。 嗯，他求出来很简单，你把一带入原来这个解析事中吧，就变成了 a 减一，然后再减去 a 加一，捞上一，捞上一是零，所以后面不够我们就擦掉，不写了啊，你注意这个数是个正数还是负数啊？那这种情况下，当 a 小于零的时候呢？ a 小于零再减去一，负数减一呢？肯定更加小于零了，也就是说这个函数最大最大值，他也肯定在 x 轴下方的，对于 x 这样一个 fx 这样一个函数图像来说，所以说有零点么？这种情况下，你大大方方写上五零点，什么时候 五零点啊？当这个 a 小于零的时候，是没有零点的，那就不行了，我们继续看第二种情况啊， a 小于零，讨讨论完了，他的讨论依据是什么？讨论依据就是说他这样一个抛物线的形式是开口向上还是开口向下？第二种情况就好说了呀。 第二种情况就是，当 a 等于零的时候， a 等于零的时候。其实括号一不就已经帮你讨论过了吗？这种情况下的话，当 a 等于零的时候，这个函数的最大值我们已经求出来了。嗯，有括号一，对吧？嗯，大，不过你在写上吗？有括号一的结论，它的话是等于负一的， 负一的话他也小于零啊，你能明白我的意思吧？也就是说函数的最大值都在 x 轴下方呢，他这个最大值是负一，所以这种情况下能符合我们的要求吗？不符合要求啊，他就没有零点啊，五零点，五零点的话就是不符合要求。你看 a 小于零的时候没有零点， a 等于零的时候，有跨一的结论，也没有零点，不行啊。那现在就要看第三种情况了。第三种情况的话，你要直接分大类，肯定是 a 小， a 零讨论完了，开口向下， a 等于零的话，其实他就变成了一条。什么呀，变成了一条直线了啊？ a 等于零的时候，那么 接下来肯定是 a 大于零的时候，这个抛物线就开口向上了，对吧？那 a 大于零， a 大于零，但是呢，我觉得还不够，因为你想一个问题啊，确实 y 等于 x 减一，就这个分子再乘 ax 减一，它确实是关于 x 的抛物线的形式。 那你要注意的是，这个时候他等于零。 x 有几个减啊？有两个减啊，其中一个减就是一，另外一个减的话，就是多少就是 a 分之一，你是不是还得比较这个一和 a 分之一的大小啊？ 所以我们分类的时候，不要说笼统的先分成 a 大月饼，不行，我们分的仔细一点，还得比较一下这两个根一和二 a 分之一的大小，对吧？所以第一种情况应该是零小鱼， 呃，多少呢？小于 a 小于一的时候就是说 a 是正数啊，但是他比一小，这种情况下的话，你可看好了啊，显然看了他的正数很好。确定吧，咱画个草图就行了啊。他这个图像很好画啊，他的图像的话，大概就是一大还是 a 分之一大， 当然了，当然因为 a， 他这个分母比一小一除零点几，当然是比一大的 a 分之一比一要大，所以在零到一之间，这个导函数是正的，那么就单调递增的意思啊，一到 a 分之一之间，你看这个导函数的图像，他是负的吧，那所以就是单调递减的意思。那第三部分， a 分之一到正无穷，是不是这 这样一个道理啊？就当他递增了，那接下来有两个值我们是要求一下的，尤其是这个 f 一，此时这个 f 一我们得一下是等于几啊？ f 一的话，那就只能老老实实带了啊。带入以后的话，还是 a 减一， a 减一的话，注意 零点几，对吧？比小的数字在减去，那肯定小于零啊。那一到 a 分之一之间单调递减，那 a 分之一肯定也是小于 f 一的吗？小于 f， 他肯定也是多少也是小于零的哦，原来这两个点都是小于零的，什么意思呢？咱们大家画一下草图，现在画的是谁的草图啊？是 fx 这样一个草图啊， 好，啥意思啊？我们只画这个外柔右侧的图像啊。你看，当在零到一之间时候，他这个 f 一还是比零小的哦，先单调递增，然后又单调递减，然后又单调递增。可能就是这样一个图像 啊，那么他这个，嗯， x 等于一，其实是一个极大指点，然后 x 等于 a 分之一，是个极小指点，但是呢，他这两个点就是 f 一这个点和 fa 分之一这个点都是在 x 轴下方，都是小于零的。我们是不是必须得验证一个，如果你能找出什么数字？如果你能找出 我们接下来验证的问题就是是否存在大于谁啊？大于 a 分之一的一个数字。 士哥。什么士哥？ fm 是干嘛的？是大于零的就可以因为根据零点存在定理，他这个函数图像是连续的吗？ 只要你能够找到这样一个 m 的值，使得 fm 大于零，根据零点存在那边，那肯定存在唯一的零点，这个 x 零了。应该明白我的意思吧。那接下来的思路就是验证我们问好的这一点啊。怎么验证？说实话，这一条特别难，如果你 不利用括号一的结论的话，基本是做不出来的，我们必须得验证这一步哈。怎么验证？看了接下来蓝笔部分，我就要验证了啊，换一种颜色，换一种心情了。那接下来怎么去写有括号一？仔细看了啊，仔细看 主要是想对他这个形式进行改造吗？你括号一的话，其实我们已经知道了右上角这个结论啊，由括号一 x 加上 lowr x 大于等于一， 那实际上相当于什么呢？我们主要是想对这个老俺 x 进行改造啊，就 fx 里头那相当于老俺 x， 他就是大于等于一减去 x 分之一的，我相信这一点应该都是没有任何问题的，再继续处理啊。 那就相当于什么呢？那因为 x 毕竟是正数吗？你随便取 x 是正数的话， x 分之一也是正数，那左边这个 x 变成 x 分之一，那右边的话，呃，再取倒数 就变成了大于等于一减 x， 这都没有啥问题的啊。再继续往下变形啊，那么再往下变形的话，就变成了，你注意， long x 分之一不就是 x 负一次方吗？其实也就是可以把负一提到前头的，也就等价于 l x 大约等于一减嗯， x。 那么再整理一下，不就是 l r x 小于等于嗯， x 减一嘛。 这个没问题啊，那因为是 x 简易了，他肯定是小于 x， 所以实际上相当于老啊。 x 是小于 x 的，我们放缩就行了，只要把它放缩就可以啊， 然后再继续放松的目的呢？就是可以找到 fm 大于零那个值就行。找到 m 那个值就可以了，只要找到任何一个符合条件的 m 大于 a 分之一的这样一个 m 值就行。那行，再继续往后写吧，再继续往 往后写的话，就变成了捞。嗯，根号 x 小于根号 x， 因为 x 是正数的时候，根号 x 也是正数，这个也是没啥问题的。但是这个根号 x 相当于 x 的二分之一次方，对吧？你把二分之一提到前头， 那左右两边乘二，是不是就变成这个道理了？也就是说，我们最终可以变形成为 low x 小于二倍的根号 x， 那么接下来差不多了，确实可以找出来了。所以说当 x 大于等于，应该说当 x 大于一的时候哈，当 x 大于一的时候，我们这个 f x 是等于 ax 减 x 分之一，然后再减去 a 加一，然后 low x， 你注意 这个捞啊， x 本身是小于吧，但是前头你要注意这个系数是个负的系数是负的话，不懂方向和编号应该 明白吧？现在这是什么号？这是小于号，一定要得出这样一个小于号，所以接下来我们就会验证一个大于号就行了，反过来就行了。因为成了一个负数吗？就变成了 ax 减 x 分之一，然后，嗯，这个老板 x 要变成什么？变成了二倍，嗯，根号 x 啊，咱们稍微调整一下。 哦，原来写成这样一个结果啊，就是把这样一个不等是老板 x 小于二倍的更好， x 代入而已。那么代入这个结果以后的话，我们主要是想得一个正数，只要能得出一个大于 零的正数来就行，这个资本量对吧？当然这个资本量 m 必须得大约一分之一了。那怎么办呢？放缩，放缩，那么再接下来进行放缩的话，就是得出来这一部分，只要大于领就行啊，关键是方框里头就这个圆里头，他这个形式呢，不好找。嗯，我说一下吧。啊，这个确实难想，毕竟是导航是大题，因为 x 分之一的话， x 大于一了，对吧？ x 大于一，所以说 x 分之一的话，他其实是比以小的一个数字。那么继续来看这个四倍根号 x， 大小关系立马就看出来了吧，他比四大，然而呢， x 分之一他是比一小的，所以呢，再接下来加个符号， 负 x 分之一大于负的四倍的根号 x， 你只要知道画圈部分这样一个放松，那最后我们这个放松你就看出来了， ax 减去多少啊？二倍的 a 再加上二加上三吧，原来里头有一嘛，再加上三倍的根号 x， 你最终让他等于零就行，对吧？ 它等于零的话是多少呢？来看好了啊，其实你只要让我们最后这个形式等于零，会得出来这个 x 的解是等于多少的，等于 a 分之三加上二扩着的平方的。 所以我们得出一个这样一个结论来，存在什么存在 m 等于 a 分之三加上二酷路的平方，显然他肯定是比这个 a 分之一要大的，这毫无疑问的，大约 a 分之一使得什么？使得 fm 他是大于零的呀，没问题吧？ 现在不就清楚了吗？根据零点存在定理，所以说就存在唯一的这样一个零点了，咱们写结论就行了。啥意思呢？其实刚才已经解释的非常清楚了，咱们再画一下这个图啊，对于圈三来说，这个图的话大概就是这样，只能在外轴页上画图 看，这对于一 f 一的话小于零吧，这是一个极大支点，然后 f na 分之一的话，他也是小于零，这是一个极小支点。现在我们又验证成功了，这个 fm 他是干嘛的？在 a a 分之一的右侧存在这样一个资本的 m， 是的， fm 它是大于零的，所以根据零点五的存在定理，在 a 分之一到 m 之间肯定存在一个零点 x 零，这个 x 零肯定是唯一的零点，所以就可以了。问题吧，也就是说括三就是圈三这种情况吧，已经 告诉我们，零到一之间是符合要求的，符合恰有零点这样一个要求，没问题了吧。继续来看第四种情况。那第四种情况肯定就是 a 等于一的时候，为什么呢？因为当 a 等于一的时候，我们 这个导函数长什么样子呀？这个导函数的话，其实就是变成了 x 方分之 x 一再乘 x 减一，实际上它永远是大于等于零的，也就是说你导函数大于等于零，不就是说圆函数在零的中型上永远是一个增函数吗？我们验证一下有没有零点啊？好验证啊，当你遇到 肯定是希望带一下特殊值一嘛，乱一等于零，我们验证一下啊。此时 f 一，注意 a 已经等于一了哈。 a 等于一的话，那就是一乘一，再减去一分之一，然后再减去 二，再乘浪一，那么就减去零啊，一减一，最后结果是不是零？所以说存在唯一的零点的啊，符合要求的，这个零点的话，其实就是 s 等于一，这样一个零点符合我们的要求， 所以圈三和圈四这两种情况都行，也就是说，当 a 这个参数在零到一或者 a 等于一的时候，都是符合要求的。那最后一种情况，第五种情况你自己都应该明白了，那第五种情况的话，就是这样了。呃，当 a 大于一的时候，这个很清楚了吧？当 a 大于一的时候，显然 他这个在零到 a 分之一，因为你看嘛，他这个函数其实也就是导函数的正负，他这个开口是向上的， 但是 a 分之一比一要小，显然在零到 a 分之一之间，导航数为正，然后为正的话，就是单调递增。 a 分之一到一之间的话，导航数为负，那就是单调递减一到正无穷，然后导航数又为正，那就是单调递增的意思。那现在我们验证两个数字就行了，其实就是把两个极致点求出来，这个很好求啊， 其中这个 f 一的话，他显然就是多少，当然还是 a 减一了，但是此时这个 a 是比以大的啊，所以说是大于零，那接下来看这个 a 分之一这个值啊，肯定的啊， a 分之一到一之间单调题减，他肯定是大于 f 一，肯定也是大于零的，也就是说我们画一下 fx 这样一个草图哈，看了， 也就是说什么意思呢？我先画这个 a 分之一，这是 x 等于 a 分之一，再画一 a 分之一到一之间单调递减。但是这两个数字都是干嘛的呀？这两个数字都是正 数啊，然后过了一之后呢，又在那递增了。所以假如说你存在零点的话，只能在零到 a 分之一之间，有可能存在这样一个零点了。我们验证的就是是否存在这样一个数字 n， 这个恩在哪啊？也就是说在零到 a 分之一之间啊，是否存在这样一个恩？舍得 fn 小于零，如果存在这样的恩的话，那么在恩和 a 分之一这两个数字之间，就肯定存在唯一的零点了。根据零点存在定理， 应该明白了吧。所以接下来的问题就是验证是否存在这样的 n 这样一个字面量，注意 n 的范围是 a 分之一啊。好了，现在思路打开了，思路是非常明确的，关键是怎么去写这样的过程，对不对？ 行，你现在可要看好了啊，跟刚才的圈三这种情况，他其实是非常类似的，还是根据括号一啊。根据括号一，刚才你是要 验证大于零，现在是验证小于零放缩，他的方向不一样了啊。这也是验证一个 fn 是小于零的，这个放缩是按照小于号的方向放缩的啊。看好了，优块一，当这个 x 在零到一之间的时候，没问题啊，其实我们就是想求那个 n 那样一个值的啊，让 fn 小于零就可以，那么捞 nx 肯定是大于一减去 x 分之一。有同学问了，老师，你这个地方明明写的大于等于啊，这怎么就成严格的大于好了？ 因为这个等于号只有在 x 等于一这个地方才能实现的，对吧？好，那再继续放速啊，那捞硬更换 x 就大于一减去更换 x 分之一了，这个也没啥问题。那他的话相当于二倍的捞硬多少啊？应该是二分之一啊，捞硬 x， 因为他这个相当于 四的二分之一。四方嘛，也就是说等价于什么呢？也就是说等价于捞啊，马 x 它这个整体是大于二倍的一减根号 x 分之一的，就写成这样一个结果。当我们写成这样一个结果以后的话，现在看了啊， 此时我这个 fx 就要进行放松了。怎么放松呢？看了 ax 减去 x 分之一，其实这部分完全没有动，没有变化。变哪呢？变这个老往 x， 你注意，老往 x 本身你不是应该大于号码，但是因为老往 x 前的这个系数是负的呀，负数成了往 x， 所以说 负是负起数的话，不能方向就要变化了。原来是大于号，那现在就是小于号了，小于号在这，对吧。然后再减去 a 加一，再乘二倍的 一减根号 x 分之一，就这样一个结果，那么写到这之后的话，接下来的放松你应该自己都能体会到了。我就直接写了啊，它小于负 x 分之一，再加上二倍的 a， 加一除根号 x， 让它等于零就行。 其实这个方程等于零呢，我们求出来这个根号 x 相当于二 a 加一分之一，其实就相当于求出来的那个零点呢，是 x 正好等于多少？正好等于四 a 加一平方分之一， 这样验证之后的话，我们就知道了，也就说存在这样的自变量， n 等于四倍的 p， 加一平方分之一，它显然是小于 a 分之一的。原来在零到 a 分之一之间存在这样一个零点啊，小于零的数字吧， f n 是小于零的， 那应该没问题了吧。既然 fn 是小于零的，然后呢，这个 fa 分之一呢，又是大于零，所以在 n 到 a 分之一之下 存在唯一的什么唯一的零点？这个呢，我就不写了啊，唯一的零点你写全就可以了，所以综上所述吧。综上所述，第三、第四和第五种情况都可以，也就是说 零到一之间行啊， a 等于一也行， a 到一验证了也可以。所以综上所述的话，这个参数 a 的取置范围呢？是多少啊？是零到正不穷。那么这道题就解完了。 其实这道题的话，难点还是分类讨论的这五种情况，这个也不算特别难，主要是圈三和圈五取特殊值，这个特殊值放缩。究竟怎么样去放缩？这个呢？得你好好去思考一下。分享课堂知识，感受数学之美。我是尚范老师，下期课再见！
5264会放羊的教书匠
29:35查看AI文稿AI文稿今天呢，我给同学们解析一下二零二三年全国已卷二十一题，倒数压轴题啊，我给同学们详细解析一下啊，特别是第二问和第三问 啊。第一问呢，我提示一下啊，已知函数 f x 等于 x 分之一加 a 啊，乘上以 e 为底，一加 x 对数。第一问呢，求 a 的负一时，求曲线 fx， 再 点一 f 一处的七线方程，那么这个在呢说明啊，这点呢，就是起点，根据导数的几个意义呢？我们求 f 来导数，然后呢，把起点的横坐标一带入，导完数， 得到切线的斜率，然后呢，再求出 f e， 我们就得到了切 缺点，坐标啊，缺点呢，坐标得到以后，根据斜率，我们就可以写出啊，这个七项方程。这个七项方程啊，他最后的结果呢，应该就是 以一为底二的对数乘上 x 啊，这是 x 的系数啊，然后再加上 y， 再减去以一为底二的对数等于零。这个第一问呢，我相信啊，同学们基本都没啥大问题， 我们现在看一下这个第二问啊，是否存在 a b 实得曲线 y 等于 f x 分之一，关于直线 x 等于 b 对称，若存在，求 a b 的值，若不存在，说明 a 幺。我们看一下，这是第二问啊，第二问呢，他说呀， 如果存在，求出 a 和 b 的值，如果不存在呢，说明理由，那你猜想一下，你说存在还是不存在啊，那么存在的可能性应该很大， 我们假定他存在这样的 a 和 b 啊，使得 f x 分之一啊，关于直线 x 等于 b 对称的话，那么我们就得到啥呢？得到， 我们首先先把这个 f x 分之一写出来，然后呢，我们把 f x 分之一，另乘 g x， 那么他就应该等于 x 加上 a， 在乘上 e 加上 x 和 b 啊，这就是 f x 和 b。 那么假如说这个 j x 啊， 这个函数如果存在这样的 a 和 b， 使得它关于直线 x 等于 b 对称，那也就是说我们就应该有 j b 加 x 等于 j， b 减去 x 横乘立。这里的横乘立啊，指的是无论 x 取和值，他们都是成立的。为了强调横乘立，我们有的时候把这个档变成三横啊，表示横乘立的意思， 那么我们就看有没有这样的 a 和 b， 实得这两个式的横成力呢？就是这样一个问题，那么我们看这 b 加 x 等于啥呢？也就是说 我们把这个 x 换成 b 加 x， 那就得到 a 加 b 加上 x， 在乘上以 e 为底， b 加上 b 加 x 分之一， 是不是有它和 b 减 x， j b 减 x， j b 减 x， 那就是把这个 b 减 x 这里换成 x， 那就是 a 加 b 减乘上一，加上 b 减 x 分之一，是不是有这两个式子恒成力的问题。 那么这里啊，呃，同学们需要注意，横成立是横等，相对的成立呢，叫相等，这个等呢有横等和相等，你比如说 a 加 b 等于 b 加 a， 这就是横等， 一加 x 等于二，那么这个就是相等，那么这个呢，意思是指横等意思。如果要是横等的话，那就说左右这两个式子应该是形式是完全相同啊，实际上就是一个式子。那么如果是这样的话呢，那就是说对应 项的系数应该完全相同，那么这里我们看一看这个项的系数是不是可以完全相同的？这里我们看这个 x 系数是一，这个 x 系数是负一， 所以说这个他俩肯定就是不相同，因为这里啊是一个对数式，这两个对数式应该完全相同，那么这里呢，我们可以把它稍加改变一下，那就是把这个 x 系数变成正的，那么这很容易。把负一放到这里来，那我们就得到 负， a 减 b 再加上 x， 把负一放到这里来，那我们就得到了啊。 呃，得到什么呢？上面就是 b 减 x， 下面就是 b 减 x 再加上一啊，实际上就是 他，那对吧？把它通分以后呢，是 b 减 x 分之， b 减 x 加一，然后一倒过来之后就是啥把负一放在这， 那么这个式子和这个式子应该是相等，那我们就得到 a 加 b 加上 x， 在秤上，我们也把它给通下分，那就是 b 加 x 分之， b 加 x 再加上一，就变成他了。 那么这个时候我们看一下，如果要是横等的话，左右这两个式子完全相同，这里呢， x 的系数全是一相同了，如果呢，让他横等的话，那么这个式子和这个式子这个完全相同， 那也就是说 a 加 b 是左边的这个长数项，右边的长数项是负的， a 加 b， 那就说应该他俩应该相等，对吧？也就是说 a 加 b 得一元， g a 加 b 得一元， 同时呢，这两个式子也得完全相同，也就是说 b 加上 x 加上一，比上 b 加上 x 等于 b 减 x， 比上 b 减 x 加一，而且这是横等， 那我们看他横等的条件是什么呢？我们把它整理一下，那就是 b 方减去 x 方，他俩相乘，等于他俩相乘，对吧？那就是 b 加一 的平方减去 x 方，那么对应项的系数相等，那么这个是完全相同，只要让 b 加一的平方等于 b 方就就可以了。 g b 方等于 b 加一的平方，那就是等于 b 方加二， b 再加一，所以说呢， b 就等于负二分之一，然后根据 a 加 b 等于零，我们就得到 a 等于 正二分之一。所以说呀，他存在不存在这样的 a 和 b 呢？ a 得二分之一， b 得负二分之一的时候，那么这个式子就合成力，也就是说 j x 呢？他恰 是关于 x 等于 b 对称，那么经过验证啊，经检验 是成立的。所以说，第二问啊，存在不存在这样的 a、 o b 呢？是存在的，那么结果呢？这个应该啥呢？应该是 a 等于二分之一， b 等于负二分之一。 因此啊，第二问呢，应该说也不难， 我们就这样解析就可以了。我们再看一下第三问，我们看他的第三问。若 f x 在零到正屋群 这个区间上存在极值，求 a 的取值范围，也就是说这个 fs 导函数在零到周琼这个区间上有变号零点，等下他 等于负 x 方分之一。起完早 姜， 你说等价于这个导函数在 零到正无穷这个区间上有变号零点。 我们把这个式子整理一下，也就说他等于零这个方程有根，也就是这个方程， 我们两边乘 x 方啊，把它变成方程，那就是变成了，减去一加上 a x 再乘 他等于零，他等于零啊，有有根，这个根不能是重根啊，那么 我们立这个函数为 j x， 也就是说它有有变化零点 就可以了。我们只要考察呀，这个函数有在零到真无穷这个区间上有变号，零点就可以了， 对吧？是不是这个意思？我为什么两边乘 x 方呢？我把这个对数式给他孤立出来，这样呢，便于求导。我是这样想，我没有两边乘，一加 x， 我变成他，变成他之后呢，他有变号，零点就可以。那么我们对这个函数的增减性进行考虑， 因此我们要求下他的导函数， 它的导函数啊，那就是一加上 x 的平方上的导数应该是一加上二 a x 乘上一加上 x， 减去分母的倒数是一， 贴上它，然后呢，我们把它充分整理一下， 公分母是它，然后一加 x 提出来，那就是负二， ax 乘一加 x， 然后这应该是加 x 乘上一加上 a x， 然后我们再整理一下， 把这个 x 提出，剩下的是多少呢？应该是负 a x 加上一，再减去二 a 啊。电灯塔这里 需要注意， x 是大于零，我们在这个范围内考虑就可以了。那么 x 要大于零的话呢？这个都是正的啊，我们只要考虑这个式子就可以了。那么这个式子何时等于零？ 考虑他的零点，我们要考虑这个小挂号内的零点核实，在这个区间内核实不在这个区间内。我们进行这样的讨论， 那么我们分几种情况圈，一，我们要想求他的零点，那两边就需要除以 a， 这里 a 呢，不能单引零，因此我们先看 a 单引零的时候， a 等于零时， g p x 等于 g m， 导数等于 x， 分 x 除以一加 x 平方 显然大于零，说明 j x 单调递增。又因为 j 零等于把零带入，正好等于零，所以说 j x， 就当 a 等于零的时候， j x 横大于零，因此它没有零点，是吧？所以说 j x 大于零横成立， 所以说呢， g x 没有零点，此时没有零点，因此啊， a 等于零，应该不合体，是吧？ 我们为什么对 a 呢？也能讨论呢？因为你要求这个零点嘛，对不对？你两边不得需要除以 a 吗？所以说我们对 a 进行讨论，那么如果 a 要是不等于零的话， a 不等于零呢？我们看它等于零时，也就是 j x 保完数的零点，我们就可以求出 x 等于 a 分之一点二 a。 然后呢，我们再考虑啊，这个零点核实在这个区间内，核实不在这个区间内，对吧？我们再往下考虑，那就是第二种 情况，如果这个零点要是小于等于零，对吧？当， 当它小于等于零的时候呢，我们解一下这个不等式，我们就得到 a 应该是小于零或 a 大于等于二分之一，对吧？我们再看当 a 小于零和 a 大于等于二分之一时的情况，我们再接着，我们先看 如果 a 小于零，若 a 小于零， a 小于零的话呢， 那么我们可以很容易得到这个导函数也是大于零合成率，对吧？ a 小零的时候， x 大于零嘛，这都是正的。那么这个时候呢， 和 a 等于零时的情况应该是一致，所以说呢，也不合体。 因为这个时候 g s 大一点， g s 导出大一点， g s 递增 g s 呢，横为正，所以说也不合体。若 a 大于等于二分之一的时候呢？若 a 大于等于二分之一的话，我们可以 得到这个式子应该是小于零横成立。括号对的式子应该是小于零横成立，对吧？能看出来吧？那也就是说 j x 是小于零， 实际上呢，我们可以借助于图像，对吧？我们这个不用考虑，只要考虑他如果当一个大的二分之一的话，他是单调递减， 那么单调地点的话呢？那么在这两种情况呢？他的零点呢？这个的零点呢？都不在零到正无穷这个范围内，所以说这个是小于零，对吧？大于大于等于二分之一，说他是小于零，那么他要是小于零的话呢？ 那么我们就得又因为呢？又因为呃 g s g s 保数小零，那所以说呢，我们就得到啥？得到 g x 是单调递减，又因为 j 零等于零，所以说 j x， 那就应该是怎么呢？ j s 就应该是小于 这一点小一点，因此啊，在这种情况之下，他也是没有零点，也是不符合提议的。 说 a 小于零和 a 小于等于零和 a 大于等于二分之一啊，它都不符合题，我们这里呢，应该把它舍掉， 这是第二句话，是吧？那么第三种情况，那我们就考虑啥呢？考虑这个零点，也就是说当 a 分之 一减去二， a 如果大于零的时候，就说这个零点呢？恰好在零到真无穷这个区间内的时候，记 这个不等式的解题呢，是 a 小于二分之一大于零，那么这个时候啊，我们就得到啥呢？得到这个 j x 导函数在零到 a 分之一减去二， a 在 这个范围内呢，他应该是负的，应该是正的啊，应该是负的，应该是正正正的，正的，他应该是单调递增，对吧？这个档是应该是正的， 因此呢，这个时候啊， j x 在这个区间上应该带到递增，而且在 a 分之一减去二 a 到征求，这个区间上应该是带到递， 我们得到了 j x 图像是这种情况，那么 j x 啊，由于 j 零等于零，所以说 j x 在这个区间上肯定是没有零点，恒大一点儿，那么在这个区间 加上我们看他有没有零点呢？当 a 小于二分之一大于零的时候， js 在这个圈上肯定没有零点，那么在这个区间上是不是一定有零点？ 又因为 g 零等于零，对吧？ g 零可以代替，之后它等于零，那么我们就得到啥呢？得到 g 他肯定是大于零，用递增吗？对吧？就不用考虑了。那么他大于零的话呢？这里头我们就看一下图像，那就说这个 j x 图像呢，应该大致应该是这样，这一零等于零，对吧？递增， 然后呢，他的极大值点是 a 分之一减去二， a 在这个区域上占到地点，他有没有零点呢？他现在这里头我们得需要看，有可能是这样，这样的话，如果是以 x 轴为对称为间接线的话，那他就没有零点。 因此呢，我们要想说明当 a 小于二分之一大零时，这个 j x 有没有零点，我们必须还得找到有没有这样的嘚 十的 j x 在这点处就值小于零才行。 这是这道题的关键啊，这是难点，你怎么样找到这样一个 deta， 使得 j s 在 deta 处的值小于零呢？如果 我要是能找到答案，就是 a 小样没大点，如果找不到，那这个事还不好说，对吧？ 所以说找这个灯塔是问题的关键，我们怎么去找呢？你可以按一下暂停键，你想一想如何去找这个灯塔啊，就找这个灯塔啊，能不能找到这样的灯塔，这是问题的关键啊。 呃，由于呢，我们考虑的是当 x 区向正无穷的时候，这个 j x 区 得的值是不是一定是负的？这个问题呢，我们也可以不妨令 x 大于单一， 只要你找到就可以。我不妨呢，让另 x 大于等于一啊，那么另 x 要是大于等于一的话呢，我们怎么去找呢？ 这个时候如果你往里复直的话，这个很难找到，不太好找。我们利用放速的办法，我们看如果 s 要大于一的话，那么 z x 那就应该是小于，等于被减数不变， 把减数量给它缩小，减数缩小呢，我就把分母给它扩大，我把这个一呢变成 x， 这肯定有它成立吧，然后这二 x 和 x 约掉，那实际上它就等于 等于它，等于它呢，我再给它放速放大，它应该是小于谁呢？它应该是小于根号下一加 x。 这个问题啊，不知道同学们清楚不清楚啊，就是说有这个事的成立， 这个 不等式呢，也很容易证明你。比如说我们立 f x 等于，我们可以说明它的最大值是小于零的，因为我们求下早 等于二 x 二减去根号 x， 那么很明显这个 fs 啊，在零到四这个区间上，应该是单调递增， 对吧？在四到正无穷这个区间上，应该是单调地点。所以， 所以说 f x 的最大值应该是啥呢？ 应该是 face 把 face 带进来， 这个值是小于零的，所以说有它成立。我们利用这个不等式啊，他小于他，所以说我们放松了他，然后呢，我令 小点声， 我令到小点里面呢，我们看我解除 x 大于等于啥？因为你这个 x 啊，是从这个数往右来，对吧？所以说我看 x 大于等于啥？解这个不等式，两边平方， 把它移到右边，两边平方，那就是小于等于啊，四倍的 变成汤。然后呢，我们把它整理一下， 加上二 a 减去四，括号 x， 再减去三 大一点点。我们看这个不等式，他的姐姐肯定不是空姐，因为你这个是长相负三，对吧？ 一二加系数是 a 方一正一负，这两根肯定是一正一负，所以说呢，我们得到啥就得到了 x 肯定是大于等于二， a 方分之 四减去二 a 加上那个大根，对吧？那个大根呢？我们整理一下是吧？得出的结果是是什么呢？是这个， 呃，提出一个四，这个可以提出个四，里边是啥呢？是 a 方减 a 再加上一啊，加上他，然后呢，我把二给他约掉， 是不是变成他了？猜对吧？变成了他，那么你想一想， 当 x 大于等于他的时候，也就是说他就小点点， 那也就是说我们找没找到这样的嘚瑟呢？找到我们取嘚瑟就得得什么嘚瑟呢？取嘚瑟等于， 因为还得考虑 x 大于零一，所以说我们就取一和这个数的最大值就 ok 了， 娶她。那我们就有这啊，这灯肯定 就是小于零啊，这个这针他肯定是小于，因此当 a 大于零小于二分之一的时候，那么这个 gx 肯定有一个变号零点，所以说最后的结论就是， 好，这就是这道题的解析过程啊。
326伯麟数学
22:34查看AI文稿AI文稿嗯，咱们再来看二十题，圆锥曲线这道题 已知椭圆 c， a 方分之 y 方加 b 方分之 x 啊，注意注意，注意，他是 a 方分之 y 方， y 在 a 的上面，所以这个椭圆是一个竖着的椭圆，焦点在 y 轴上的椭圆啊，他不再是横着的了，一定要注意。 然后说他的离心率 a 分之 c 等于三分之根号五。又，这个点又在这，注意，这有个零，那说明这是椭圆的左顶点。刚才说了，这个椭圆是一个竖着的， 那说明这是负二数值椭圆这个程度是 b 啊，所以咱们由这个信息可以得到 b 等于二，然后离心率 a 分之 c 又是三分之根号五，那这个玩意给他平方， a 方分之 c 方等于九分之五。把这个 c 方，哎呀，这个 c 方给他擦掉，我写成 a 方减 b 方，注意，这是椭圆，所以 a 方减 b 方等于 c 方， b 方 又是 b 又是二，所以 b 方是四。那咱们就可以自己去对角相乘，你就可以算 a 方是多少，或者你不想算，你把这个五，你是不可以写成九减四， 你看这个样子，那这是不是长得一模一样？所以很明显就能得到 a 方是九了，那这个方程式就出来了，九分之 y 方加上四分之 x 方等于一。低温，怎么算都能算出来，所以这方还是低温的方，还是很好拿的啊。然后 现在说是过点，负二三的直线与椭圆交于 pq， 两点直线 ap 和直线 aq 与 y 轴的焦点又交于又，哎，与 y 轴焦点分别为 mn， 证明线段 mn 的终点是定点。 嗯，那这个玩意咱们这哎拿个草稿纸得画画图了， 真恶心。 然后画一个椭圆，它是三和两个的椭圆， 有科技就是好。大致这样的一个椭圆， 这样一个椭圆，然后这是负二，这是点 a， 这是 a 点，然后他说过负二三这个点，那这个点的负二三恰好是这个点，就是这跟这 这个点是负二三，然后过他的直线，于椭圆交于 p q 两点。那我这就随便画一条直线， 比如说这样一条直线 p q 两点，然后连接 a p， 连接 a q， 连接 a p 连接 a q。 对啊，那这个 y 轴也得往上走一走， 然后分别与 y 轴交于 m 和 n， 这个点是 m， 这个点是 n 点，然后这儿是 p 点，这儿是 q 点， 然后它和它与 y 轴的焦点 m n， 证明这个 m n 的中啊，你看，如果图画的准确，大致也能猜出来上顶点了，也就是零三了，证明这两个， 那接下来咱们就开始了。嗯，咱们要设这条直线的斜率为 k， 这时候要注意啊，因为咱们这个顶点，他是跟椭圆的上顶点一样平齐的， 那么他要想与椭圆有两个焦点，说明他的斜率是必然是这样的，说明他必然有斜率的。斜率是必然存在的，因为这是有两个焦点， 你斜率不存在的时候是这样相切是一个焦点，不满足提议，所以咱们设这个直线的斜率为 k。 首先啊，就是刚才分析一提一得，这个斜率是必然存在的，所以咱们设他的斜率为 k， 然后又因为他过这个点，所以咱们直线 pq 的方程就是 y 减 y 零，等于 k 倍的 x 减 x 零， 就是这样。然后整理一下，就是 y 等于 k， x 加上二 k 加三，把它写成这样的，有那个直线方程就是这样。然后直线方程咱们再设 p 点坐标 x 一 y 一， q 点坐标 x 二 y 二 x 一 y 一， q 点坐标 x 二 y 二。 然后就是还是老样子啊，就每回也跟同学们说这个。第二问，不管咱们会多少，只要有直线与曲线交域两点， 咱们就设这个直线方程与曲线方程连立。方程组往出弄两根，积两根和能写到什么程度，写到什么程度，这必定会给分的啊，这个连立的过程肯定是有分的，然后接下来咱们把它和椭圆的方程连立，这个椭圆的方程就是这个， 咱们给它写平了，写平了就是乘以三十六，就是一个四个 y 方加九个 x 方减三十六等于零， 是要这样连立起来，然后把这个 y 往这里带，那带的时候要强调一点啊，右边你不要看成三下， 你把 x 看成一个，这个乘数想看成一个整体， b 把它看成一个整体啊，不要把它也打开。所以这首平方尾平方，然后二倍的首尾放中间， 那首平方咱们要算的 y 方，注意还要再乘以个四，首平方是 k 方， x 方就是他的平方，注意这还要再乘以四，所以这是一个四倍的，再加上二倍首尾相乘， 那这又有个四，所以是八倍的首尾相乘，是八 k 倍的二 k 加三的 x， 然后再加上尾平方，那就是四倍的尾平方，二 k 加三的平方。 好了，这是四 y 方，写完，然后加九 x 方减三十六等于零，这的计算啊，一定要细心，特别容易出错。 然后接下来看平方向，平方向可以合成一处四 k 方加九倍的 x 方，加上一次项就一个八 k 乘以二 k 加三倍的 x， 加上常数项，这和这是常数项，仔细看这三平方是九，乘以四三十六跟这就能消掉了，所以这个还是要打开，把它打开的话就是，呃，首先首平方 四 k 方乘以四是十六 k 方，然后二倍首尾放中央是十二 k， 再乘以四 是四十八 k， 那长数线不用看了，就跟他消掉了。所以咱们整理完是这个东西，然后开始两根基，两根核， 两根和负的 a 分之 b 是四 k 方，加九分之负，八 k 乘以二 k 加三， 这个其实也可以乘进去八 k 和二 k， 你看八 k 和二 k 加三，就是十六 k 方，加二十四 k， 然后两根的乘积就是 a 分之 c， 四 k 方加九分之十六 k 方，加四十八。好了，两根接两根和，也就是这道题再不会咱们也要写到这么个 程度上啊。那接下来咱们的做法是，我要表示出 a m 直线来，然后再令这个直线里的 x 等于零，求出 m， 求出 y 等于多少，那这个 y 就是也。其实这个整体就是 m 的坐标， 然后同理区可得 n 点坐标，然后他俩加起来除以二，得到终点坐标。 那接下来咱们是这样，是 l a m， 他咱们要用什么啊？要用点斜式，这个这个点的坐标是负二零，咱们要用这个点斜率呢，是用他俩 x e， y 一跟负二零去建立一个斜率，然后再用这个点表示点斜式，就是 y 减去 y 零， y 零就是 a 的纵坐标， 等于 k 倍的 k 是 y 一减零比上 x 一减负二，就是一个 p 点跟 a 点， 那这个减零咱们又可以不用写，就是他。然后 x 减去 a 点，横字标负二减去负二加上二，所以这就是 am 的直线方程。然后咱们再令 x 等于零啊， y 就等于了 x 一加二分之二倍的 y。 好， x 等于零啊，那后面括号就乘上去了，所以 m 坐标就是零， x 一加二分之二 y 一，那同理可得。 n 点的坐标也就出来了，是零， x 二加二分之二， y 二 就是这样，因为 m 和 n 的算法是一模一样的，只是一个角标不一样，所以咱们就同理可得就行了。那接下来咱们这儿就是设 m n 终点为一个 t 点，然后它的坐标就是零，就是这两个相加，除以二， x 二加，嗯， x 一加二分之 y 一加上 x 二加二分之 y 二， 这个就是终点坐标，那因为除以二啊，加起来除以二，咱们就把这个二除掉了，咱们接下来只要证明这个东西是一 常数就行了。那接下来做法就是把他单独的拿出来，咱们要去写他了。嗯，接下来复杂的开始了啊， 能听到这里的已经要耐住性子了啊，你们已经是最棒的了。 首先通分，嗯， x 一加二乘以 x 二加二分之 y 一乘以 x 二加二加上 y 二乘以 x 一加二，这样。 然后这里面的 y 一跟 y 二，咱们是不要，要被替换掉的。怎么替换掉？首先看 y 一和 y 二是 p 点和 q 点的动作标，他们又在这条直线上， p q 直线上，所以咱们可以用 p q 的方程来替换。用它，用它怎么替换？ y 一，我可以写成 k 倍， x 一加上二， k 加三， y 二，我可以写成 k 倍的 x 二加上二， k 加三，就这样把 y 一和 y 二去替换掉， 所以这就是二 k a a a 是 k， x 一加上二， k 加三乘以 x 二加二加上 k x 二加二， k 加三 乘以 x 一加二是把 y 一和 y 二替换，然后这个分母咱们可以打开，把它打开了，就是 x 一乘 x 二加上二倍的 x 一加 x 二加上四。好了，接下来是把这 这个分子彻底打开。咱们是三项乘两项，乘完六项，咱们用后面乘前面他乘他，他乘他，他乘他，他乘他，他乘他，他乘他。这么个顺序。首先 k x e x 二加上二 k 倍的 x 二加上三 x 二 加二 k x 一加四， k 加六。好，前面不行了，后边部分一样啊，用这个乘以这三个，再用这个乘以这三个， 就是 k 倍的 x 一 x 二加上二 k x 一加上三， x 一加上二 k x 二加上四 k 加上六。嗯，然后分母不动，还是刚才这个 x 一乘 x 二加上二倍的 x 一加 x 二加上四。像这些东西咱们就草稿纸上呢，写了，这些过程咱们都可以一会化减，得，我一会把过程写完，给你们说一下，这过程怎么写啊？这等于这继续， 咱们这要一定要认真点了，开始看啊。首先找成绩项，这一个成绩项，这一个成绩项， 嗯，没了两个二 k 倍的 x 一 x 二。然后再看单一的 x 二 x 二 x 二 x 二是四 k 加三个 x 二，四 k 加三个 x。 再看 x 一 x 一 x 一， 哦，也是四 k 加三个 x 一和四 k 加三个 x 二，那就是四 k 加三个 x 一加 x 二，就是这样。 最后是乘数下啊，八 k 加十二，加上八 k 加十二，那分母是。这回画好了， x 一乘 x 二加上，嗯， 哎，加上二倍的 x 一。啊， x 一加 x 二，加上八 k 加十二。好，咱们到目前为止先停下检查检查，不要出错啊， 因为出错你要再接下往上算，出错的，一旦错就错一大堆了。接下来从两根及两根合， 这这是 abc 负的 a 分之 b， 这是十六 k 方加二十四 k， 然后十六 k 方加四十八，这负的，这没问题。然后接下来这 他成他，他成他，他成他，这三个没问题。他成他，他成他，他成他是这三个没问题。 桶里这边三个，这边三个没问题。好，继续往下，继续往下走，咱们就要先往前带了，你看啊，这 x 加 x， x 加 x， 先往前带两根肌， 咱们带两根接手。直接带分子就行啊，分母一会直接乘以，因为你带的时候这有分母，这有分母，这有分母，这有分母。我带的时候就相当于直接全部的分子和分母都乘以刚才那个的分母。 我觉得这样，所以往这带时候直接带咱们的分子部分就行。两根基的分子是十六 k 方加四十八，十六 k 方加四十八， 所以这是二 k 乘以十六 k 方加四十八，分母就是十六 k 方加四十八。然后再带两根和两根和是负的，十六 k 方加二十四 k 是一个负号，所以这是负的四 k 加三乘以十六 k 方加二十四 k， 下面也是负的十六 k 方加二十四 k。 好，这是一个八 k 加十二， 然后要乘以两根及两根和的分母是四 k 方加九， 这样，这儿是一个八。诶，这儿，这儿怎么是八 k 方架势，这儿是四呀，我还检查了半道天，这儿是个四， 那这是四，就乘四 k 方加九，嗯，然后咱们来把分子先往开打，一个一个来 啊。首先这是三十二倍的 k 的三次方，然后加上九十六 k， 然后这是减去它俩相乘， 它俩相乘是六十四个 k 的三次方，然后在它俩相乘，它俩相乘是 九十六个 k 方，减去九十六个 k 方，因为这减号啊。然后他俩相乘是减去四十八个 k 方， 然后他俩相乘是减去七十二个 k， 然后再加上他俩相乘，他俩相乘四八三十二个 k 的三次， 然后他俩相乘加上七十二个 k， 加上四十八个 k 方，加上十二乘九幺零八。 来，咱们看看哪些能消掉？首先三十二 k 的三次找最高次，这三次，这是三次，还有没？ 没了。三个三次，一个负六四，两个三十二，哎，这正好，那这就没了，那这个没了，咱们就给他涂了，把这个颜色涂掉，这样，这样，然后再看平方向，负的负的， 嗯，然后哪还有，这还有，这还有。哎， 九十六 k， 哎，十六 k 方加是不？两根基 两个，记账没出错呀，你看啊，两，这是负的九十六 k 方，这个是哪来的？这个是 他俩相乘得来的，呃，没问题，这是负九十六 k 方和负四十八 k 方是他俩得来的。然后这是正四十八 k 方， 这是正四十八 k 方，但是 k 方发现消不掉呀，是 k 的依次消掉了， 哎，导致这儿有问题，这儿你说如果也是 k 方，那这就好了，那这是两根肌，哎，两根肌出问题了吗？亮 根基 十六 k 方加四十八， 十六 k 方加四十八，这没问题啊。嗯，再检验一下，就是他带进去是这个，哦，四十八倍的 k， 这有 k， 哎呀，这丢个 k， 这丢个 k， 因为这个玩意是在这，这是一个四倍的歪方，嗯，这是一个尾平方，尾平方，咱们刚才不是跟三十六约吗？ 然后把这打开，手相中相，尾相，尾相跟他约掉，手相中相都有 k， 这落了个 k， 哎呀，太粗心了。这四十八 k， 这要四十八 k 的话，那这就有个 k， 这有个 k 的， 这就是 k 方，对对对，这是加个 k 方，那此时，哎，那就对上了。那你看九十六 k 方跟负九十六 k 方，负四十八 k 方跟正四十八 k 方，这又 他和他约掉，他和他约掉，然后负七十二 k 跟正七十二 k 约掉，所以分子就留一个幺零八了，那再看分母，分母这也要补一个 k， 那此时咱们这要下面要打开，这是十六 k 方加四十八 k 减去三十二 k 方，减去四十八 k， 加上十六 k 方加四九三十六， 还是负三十二 k 方，十六 k 方，十六 k 方，哎，约没了。四十八 k， 负四十八，负四十八， 又约没了，所以分母就剩一个三十六，分子就剩一个幺零八，然后等于三，啊，好麻烦啊。这个，那咱们这写的过程啊，就怎么写？就是把这个直接说整理化解啊，或者把从这一步到这一步写出来， 从这一步直接就四个字，整理化，减得跳到这，然后代入咱们前面，把这个标这个一式、二式，把两根两积两根和标成一式、二式，然后在这个基础上写代入一式二式并化减整理得三，所以 m n 终点的坐标为零三，所以是个定点，这个就完了。那么零三就是跟刚刚猜的一样，就是这个点，你看这儿图画的准确的话，这也挺像 m n 终点就是椭圆的上顶点零三啊，这题正麻烦。
02:31查看AI文稿AI文稿都说今年的全国乙卷难，咱们来看一道天空压轴题，看看它难度到底如何。这 a 属于零到一，若这个函数在零到正无穷上单调递增，求 a 的取值范围。看到函数的单调性，我们应该想到利用求导的方式解决单调性， 所以咱们先对函数求导， f 撇 x 等于 a 的 x 次方乘以烂以 a 加上 一加 a 的 x 次方乘以烂音一加 a。 要想让原函数在零到正无穷上横增， 只需要导函数在零到正无穷上横大于等于零，所以我们要研究 f 撇这个函数的最小值，只需要最小值大于等于零即可。那么要想研究导数的最小值， 我们需要知道这个倒数的单调性，那么这个倒数的单调性该如何去研究？我们先把 x 的部分合在一起，两边同时除以一加 a 的 x 次方，因为一加 a 的 x 次方永远是一个正数，所以这个不等号的方向是不需要改变的， 变完之后就变成了 a 比上一加 a 的 x 次方乘以滥引 a， 再加上滥引，一加 a 大于等于零，我们不妨把它设成一个新函数 j x 来看。这个函数 a 比上一加 a 是在零到一之间的一个数， 零到一之间的一个数作为底数，对应的指数函数就是一个单调递减的函数乘以烂以 a。 注意， a 是在零到一之间，所以烂以 a 是一， 一个负数，单调递减的函数乘以一个负数，就是单调递增。所以 j x 单调性咱们就知道了，是一个增函数，那么 j x 就应该大于 j 零， 而 j x 又要大于等于零，所以只需要让 j 零大于等于零即可把零带入这一部分是一，所以就得到了烂音 a 加上烂音 一加 a 大于等于零，整理一下变成烂印。 a 方加 a 大于等于零，也就是 a 方加 a 大于等于一解这个不等式，最后就得到了 a 大于等于二分之根号五减一小于一。全国以卷的天空压轴体难度到底如何自己来评判。
5216数学赵观察&高中号
01:51查看AI文稿AI文稿今天我们开始二零二四全国以卷理科的讲解，二零二三全国以卷适用御干陕、宁干清、新蒙这些省份。当然今年呢，还会有所变化。我们看第一题是考察复数， 复数 z 等于这样一个分式，注意到分母上有这样三项相加，我们知道 i 的平方是等于负一的， 那么 i 的四次方就等于 i 平方的平方，也就是正义。所以 i 的五次方呢，就是 i 的四次方，再乘以 i， 那就等于 i， 于是他要求的这个负数 z 等于二加 i 除以一减一加 i， 那就 就是二加 i 除以 i。 复数的除法，我们往往是上下同乘以分母的共额复数。分母现在是个 i， 它的共额复数就是复 i， 所以上下同乘以父爱，那么分母就变成了父爱方，上面是父爱，乘以二加爱。由于爱方呢，等于负一，所以父爱方就是一。 上面等于负二， i 再减去 i 方，这里呢，负 i 方又是一， 所以整个就是一减二挨。而这里注意他要求的不是复数 z， 是 z 的共厄，上面有一个杠，要注意看清，共厄复数就是跟原来的这个复数 十不相同，虚不互为相反数。所以呢， z 的共厄等于一加二， i 应该选择 b 项。
400袁来有数(高中数学)
