2025年高考补考人数
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04:24查看AI文稿AI文稿去年高考最难的三角压轴题，三重玄机一次讲透二零二五年新高考一卷第二十二题三小问层层递进。第一问，求 f x 等于五扣塞因 x 减扣塞因五 x 在 零到四分之派上的最大值。 第二问，给定西塔在零到派之间和任意时数 a， 证明区间 a 减西塔到 a 加西塔上一定存在一点外，使得扣塞因外小于等于扣塞因，左圆括号五 x 加 f a i， 右圆括号小于等于 b， 求 b 的 最小值。 先看第一问，我们先把函数图像画出来，直观感受一下，这就是 f x 等于五扣塞因 x 减扣塞因五 x 的 图像在零到四分之派上先增后减，最高点出现在 x 等于六分之派处，函数值是三倍根号三。这是怎么算出来的呢？ 最巧妙的方法是和插画机求导， f p x 等于负五赛因 x 加五赛因五 x 提取公因子五就是五倍的赛因五 x 减赛因 x 用和插画机公式，赛因 a 减赛因 b 等于二，扣赛因二分之 a 加 b 乘以赛因二分之 a 减 b， 代入后化简， f p x 就 等于十倍的扣赛因三 x 乘以赛因二 x， 导数等于十倍。 cos 阴三 x 乘三阴二 x。 找最大值只需要看导数的符号。注意，在零到四分之派这个区间里，塞阴二 x 始终是正的，所以导数的符号完全由 cos 阴三 x 决定。 x 小 于六分之派时， cos 阴三 x 正导数正函数递增， x 大 于六分之派时， cos 阴三 x 负导数负函数递减。 所以 x 等于六分之派就是极大指点代入计算， f 六分之派等于五，扣塞因六分之派，减去扣塞因六分之五派等于五乘二分之根号三，减负二分之根号三，结果就是三倍根号三。 第二问的结论看似简单，先从几何上直观感受一下。在鱼弦曲线上任取一个长度为两西塔的区间，你会发现，无论这个区间划到哪里，区间内总有一点的函数值小于等于扣塞因西塔。为什么呢？因为鱼弦曲线两个波峰之间的距离是二派，比两西塔大，所以一个长度为两西塔的区间不可能完全待在一个波峰里。 下面严格证明，用反证法。假设结论不成立，也就是区间上每一点的扣塞因外都大于扣塞因西塔。我们知道，扣塞因外大于扣塞因西塔，等价于外落。在某个开区间，二 k 派减西塔到二 k 派加西塔里。因为西塔在零到派之间，所以这些区间两两不相交，整个区间 a 减西塔到 a 加西塔就必须完全包含在其中一个区间里， 也就是二 k 派减西塔小于 a 减西塔小于 a 加西塔小于二 k 派加西塔两边消掉西塔，就得到二 k 派小于 a 小 于二 k 派。这显然矛盾。所以，假设不成立，原命题成立，这个引理虽短，却是第三问的关键。 来到最精彩的第三问，求 b 的 最小值存在某个项位 f a i， 使得对任意 x 五扣塞音 x 减扣塞音五 x 加 f a i 都不超过 b， 也就是找一个最好的项位 f a i， 让这个函数的最大直径可能小。这是一个最小最大问题，思路非常漂亮，用第一问给上界，用第二问给下界，两边一加，答案就出来了。 先看上界方向，取 f a i 等于零，这时候函数就是第一问的五扣塞音 x 减扣塞音五 x 最大值是三倍根号三，所以 b 一定小于等于三倍根号三。 再看下界方向，这一步是整道题最妙的地方。用第二问的引理，第二问告诉我们，对任意实数 a 区间， a 减西塔到 a 加西塔里一定有一点 y， 使得扣塞因 y 小 于等于扣塞因西塔，我们令西塔等于六分之五派， a 等于 f a i， 那 么就存在 y 零落在 f a i 减六分之五派到 f a i 加六分之五派之间，使得扣塞因 y 零小于等于扣塞因六分之五派， 令 x 零等于五分之 y 零减 f a i， 那 么 x 零就在负六分之派到六分之派之间。这时候看五寇塞因 x 零减寇塞因 y 零，因为 x 零的绝对值不超过六分之派，所以寇塞因 x 零大于等于寇塞因六分之派。又因为寇塞因 y 零小于等于寇塞因六分之五派，所以整个式子大于等于五，寇塞因六分之派减寇塞因六分之五派。 算一下，五乘二分之根号三减负二分之根号三，正好等于三倍根号三，而 y 零就是五 x 零加 f a i， 所以 五扣塞因 x 零减扣塞因五 x 零加 f a i 大 于等于三倍根号三。这就说明，不管 f a i 怎么选， b 都不能小于三倍根号三，也就是 b 大 于等于三倍根号三。 上届是 b 小 于等于三倍根号三，下届是 b 大 于等于三倍根号三。两边加 b b 的 最小值就是三倍根号三。 回头看这道题，三问一体，层层递进，第一问算出三倍根号，三是基础工具，第二问的存在性引理是铺垫。到了第三问，把前两问一结合，大招就放出来了。 一道题，三个台阶同出一元，这就是高考压轴题的精妙之处。这道题的精妙之处你品到了吗？关注我，拆解更多数学好题！
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