高考数学计算量大
高三的同学们，我发现大家对处理这种公切线问题的时候只会用这个，什么呢？常规方法就是设点，设线的方法处理起来比较复杂，而且也比较容易算错，咱就拿这个起来说吧， 他说这两个曲线只在公切线除 a 的 范围，那么咱们怎么写呢？你肯定要设两个切点，然后写两条切线， 最终利用两个切线是同一条切线，因为你是公切线吗？最终是重合的变两个方程，最终我们会得到一个参数， a 和某个点的横坐标之间的一个等式，用这个方程有解来求 a 的 范围，这是最终的答案。 但咱今天不想着重来强调这个方法，咱们要讲另一种比较简单，也比较实用，很能理解的一个方法，就是他做起来会更快，而且实用性也比较大。就什么意思呢？就是从图像的角度，从凹凸性的角度来思考。 咱们把这个题目再看一下。 f x 等于根号 x 与 g x 存在公切线，咱们一般见到这种题，咱们可以先画图， 这个根号 x 它就长这样，那么这个 g x 相当于把 n x 加个 a， 就 相当于把 n x 向下平移，咱们随便先画一个，这是 f x 等于根号 x 加上， 他说他俩存在公切线，很明显在这种情况下，咱们画不出公切线。这两个函数都是什么呢？都是凸函数。那怎么才能存在公切线呢？因为这个 g s 可以 上下平移，咱们可以想象一下，你若把 g s 往上去平移， 就长这样的时候，那么很明显它就会存在公切线。 也就说这种公切线问题，我们怎么来处理呢？假如他们都是什么呢？都是凸函数，那么他们肯定得有焦点才能存在公切线，你要有焦点，你没有焦点，那就这样，这样你肯定画不出公切线。 那么也就是说这个奇变成什么什么问题呢？那奇就是变成了这个 f x 与这个 g x 有 什么有交点？你只要有交点，你就存在公接线，那你就满足其意， 那也就变成什么变成了这个根号 x 等于 a 加绕 x， 这个方程有解，只要这个方程有解，那么这就有焦点就存在公接线。咱们继续来操作，咱们可以对它进行分离拆数， 但在这里咱们换一个圆比较好，咱们可以设根二 x 等 t， 那 么这个题就变成什么 a 等于气减漏气方，也就说等于气减二倍漏气。这个方中呢，有几来求 a 的 范围？ 咱们现在来把这个函数研究一下，咱们可以设 st。 对 器节上这种怎么要研究它的图像，先求导出 它就是七分之七减二，那么明显这个 h t 它就在零到二之间的，二到中间是增的，咱们画一下这个 h t 的 图，方便研究。先减后增， 这二就是 h t 的 最小值点，那把它带进去，算出来应该等于二减二倍的二， 那么 a 怎么就等于这个函数有解呢？那很明显 a 就 得长这样，也就是说 a 大 于等于二减二倍的等于二的时候，这个方程有解， 那这个方程有解，就是这个方程有解，也就是 f x 与 g x 有 交点，有交点也就意味着这样函数存在共切线，那么这就是这个题的答案，和这边算出来是一模一样的，二减二变成了二倒数是无穷。 咱们最终在总结性地说一下咱们这个利用凹凸性来处理的这个方法。首先你要画这两个函数的图像，并且你要简单地分析一下这两个函数的 凹凸性，这样才能画更精准。然后你就看它怎么样才能存在共切线。一般情况下，两个函数如果都是凹函数或者都是凸函数，那么他们必须算有焦点才能处理，才能有共切线。 咱们就可以利用这个有焦点的思路往下来书写就非常快，你熟练的话，你用这个方法估计也就是一分钟左右。这里咱们还留了一个小练习，大家下去可以练习一下。好了，今天这个问题就说到这里，希望对大家有所帮助。
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323顺佳妮可聊浙江升学
10:43查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？更多精彩内容可以看我们一人一案的系统冲刺课，高一、高二、高三都可以，我是杨老师，点赞收藏加关注！数学不迷路 这是一道改编自二零二二年新高考全国二卷的解析几何压轴题，想冲刺一百三十分以上这种大题必须稳稳拿下。 这道题最容易踩的坑就是第二问的三选二证明。如果你一上来就硬算点 m 的 具体坐标，计算量会直接让你崩溃。 这题真正值钱的地方不是算得多，而是巧妙利用钟点弦性质来找轨迹，大幅度简化计算。咱们先来看题目， 已知双曲线 c 的 方程是 a 的 平方分之， x 的 平方减去 b 的 平方分之 y 的 平方等于一，其中 a 和 b 都大于零。右焦点 f 的 坐标是四零，渐近线方程是 y， 等于正负根号三 x。 第一问求双曲线 c 的 方程，第二问，过点 f 的 直线与两条渐近线分别交于 a 和 b 两点。点 p， 坐标 x 一， 逗号 y 一 点 q， 坐标 x 二，逗号 y 二都在双曲线 c 上，并且 x 一 大于 x， 二大于零， y 一 大于零， 过点 p 作斜率为负，根号三的直线过点 q 作斜率为根号三的直线。两直线交于点 m。 现在有三个条件， 条件一是点 m 在 线段 a b 所在直线上。条件二是直线 p q 平行于直线 ab。 条件三是线段 m a 的 长度等于线段 mb 的 长度。让你从这三个条件里任选两个作为已知条件，证明剩余的一个条件成立。 咱们的大方向是，先搞定第一问的基础方程，然后第二问，我们选择条件一和条件二作为已知，通过证明点 m 和线段 a、 b 的 终点重合来拿下条件三。 咱们先来解决第一问，求双曲线的方程，这步很关键，是后面所有计算的基础题目告诉我们，右焦点 f 是 四零，这说明半焦距 c 等于四，那么 c 的 平方等于十六。 接下来看渐近线方程，题目给的是 y 等于正负根号三 x， 这就意味着 a 分 之 b 等于根号三，也就是说 b 等于根号三倍的 a 两边同时平方得到 b 的 平方等于三，乘以 a 的 平方。我们又知道 a 的 平方加上 b 的 平方等于 c 的 平方，也就是等于十六。把刚才的式子带进去， a 的 平方加上三个 a 的 平方等于十六。合并同类项就是四个 a 的 平方等于十六，两边除以四，算出来 a 的 平方等于四，那 b 的 平方自然就等于三，乘以四，也就是十二了。 最后把 a 的 平方和 b 的 平方带回标准方程，所以双曲线 c 的 方程就是四分之 x 的 平方减去十二分之 y 的 平方等于一。第一问咱们就轻松拿下了。 接下来进入这道题的核心第二问，这里有个非常重要的技巧，大家千万不要去硬解焦点坐标，那会算到天荒地老。 咱们选择条件一和条件二作为已知来证明条件三。也就是说已知点 m 在 线段 a、 b 所在直线上，并且直线 p q 平行于直线 a b， 我 们要证明线段 m a 的 长度等于线段 mb 的 长度，也就是证明点 m 是 线段 a、 b 的 终点。 怎么证呢？咱们先从点 m 入手。题目说过，点 p 作斜率为负，根号三的直线过点 q 作斜率为根号三的直线交于点 m。 设点 m 的 坐标是 x 零，逗号 y 零。那直线 pm 的 方程就是， y 减 y 零等于负，根号三乘以括号 x 减 x 零。 大家注意，这里我们把它展开，把含有 x 和 y 的 项移到等号左边，长竖项移到右边，得到根号三 x 加上 y 等于根号三 x 零，加上 y 零。因为点 p， 在 这条直线上，把点 p 的 坐标 x 一、 逗号 y 带进去，就得到根号三 x 一， 加上 y 一， 等于根号三 x 零，加上 y 零。 同理，直线 q m 的 方程是， y 减去 y 零，等于根号三乘以括号 x 减去 x 零。我们用同样的方法展开一项，把含有 x 和 y 的 项留在等号左边，长竖向移到右边，得到根号三 x 减去 y 等于根号三 x 零，减去 y 零。 由于点 q， 在 这条直线上，把点 q 的 坐标 x 二、逗号 y 带进去，就得到根号三 x 二减去 y 等于根号三 x 零，减去 y 零。 接下来我们要怎么把点 p 和点 q 跟双曲线方程联系起来呢？很多同学在这里会去搞连力解方程组，那就直接进坑里了。这里有个非常重要的技巧，我们把第一问求出的双曲线方程两边同时乘以十二去分母，得到三个 x 的 平方，减去 y 的 平方等于十二。 看清楚了等号左边，我们用平方差公式给它因式分解，就变成了括号，根号三 x 加上 y 乘以括号根号三 x 减去 y 等于十二。你看，由于点 p 和点 q 都在双曲线上，它们的坐标一定满足这个因式分解后的方程。 对于点 p， 我 们刚好在直线 pm 的 推导中已经知道，根号三 x 一 加上 y 一， 其实就等于根号三 x 零，加上 y 零。我们把这个结果直接代入因式分解后的双曲线方程，两边同除以根号三 x 零，加上 y 零，马上就得到了根号三 x 一， 减去 y 一， 等于分子是十二，除以分母是根号三 x 零，加上 y 零。 同样的道理，对于点 q， 我 们在直线 q m 的 式子里知道，根号三 x 二减去 y 二，就等于根号三 x 零，减去 y 零，把它带入方程中，两边同除以根号三 x 零，减去 y 零。就能得出根号三 x 二加上 y 二，等于分子是十二，除以分母是根号三 x 零，减去 y 零。现在我们要算直线 p q 的 斜率， 直线 p q 的 斜率正是 y 一 减去 y 二，除以 x 一， 减去 x 二。这怎么求呢？注意，这里咱们不求单独的坐标，而是把刚才得到的这套优美的对称式子作相加和相减。 先看点 p， 我 们把根号三 x 一 加上 y 一， 以及根号三 x 一 减去 y 一， 这两个等式两边直接相加，这时候正 y 一 和负 y 一 直接抵消了，左边变成二倍的根号三 x 一， 右边就是括号。根号三 x 零，加上十二，除以括号。根号三 x 零，加上 y 零。 那如果我们是用第一个式子减去第二个式子呢？这时候根号三 x 一 抵消了，左边变成二倍的 y 一， 右边就是括号。根号三 x 零，加上 y 零，减去十二，除以括号。根号三 x 零，减去 y 零。 同样的逻辑，对待点 q， 把两个式子相加得到二倍的根号三 x 二，等于括号，根号三 x 零，减去 y 零，加上十二除以括号根号三 x 零，减去 y 零，再减去括号根号三 x x 零，减去 y 零。 接下来这一步特别关键，大家睁大眼睛看好了，咱们要找 y 一 减去 y 二与 x 一 减去 x 二的比例关系。我们先来算二倍的 y 一， 减去二倍的 y 二， 把你刚才得到的两个关于 y 的 式子相减前面的多项式部分，括号根号三 x 零，加上 y 减去负的括号根号三 x 零，减去 y， 化简之后刚好剩下二倍的根号三 x 零。后面的两个分式部分相减分母分别是根号三 x 零，加上 y 零，刚好可以提出一个负十二作为共因子，然后放在一起通分 分母相乘，利用平方差公式变成了三个 x 零的平方减去 y 零的平方。而分子通分相加正好也是二倍的根号三 x 零。 你会惊奇的发现，多项式部分和分式部分都含有共因式，也就是二倍的根号三 x 零，我们把它提出来，二倍的括号 y 一 减去 y 二，就等于二倍的根号三 x 零，乘以一个特殊的括号，这个括号里面是一减去十二除以括号三个 x 零的平方减去 y 零的平方， 两边同时除以二，我们就得到了 y 一 减去 y 二，等于根号三 x 零，乘以这个特殊的括号。再来看分母，我们需要用二倍的根号三 x 一， 减去二倍的根号三 x 二，采取完全一样的相减通分方法，前面多项式相减剩下二倍的 y 零，后面分式相减也刚好能化简并提取共音式二倍的 y 零 提取出来之后，你没看错，后面跟着的依然是完全一模一样的那个特殊的括号，也就是一减去十二除以括号，三个 x 零的平方减去 y 零的平方，两边同时除以二倍的根号，我们就得到了 x 一 减去 x 二等于根号三分之 y， 再乘以那个一模一样的特殊括号。看到这里，悬念直接揭晓， 咱们把 y 一 减去 y 二除以 x 一 减去 x 二。那个看起来超级复杂的特殊括号，直接在分子分母里被极其完美的约分约掉了。 直线 p q 的 斜率直接化简为根号三 x 零除以根号三分之 y 零，分母里的根号三翻到分子上，跟原本的根号三相乘等于三，所以直线 p、 q 的 斜率居然极其干脆的等于三个 x 零，除以 y 零。 现在咱们再回头看，我们要证明的目标点 m 是 线段 a、 b 的 中点。我们利用解析几何里黄金的解体武器，也就是点差法来看看线段 a、 b 如果被某个点平分，斜率会是什么样。 题目中说直线 a、 b 跟渐近线交于 a、 b 两点，咱们都知道渐近线方程是三个 x 的 平方，减去 y 的 平方等于零。设点 a 的 坐标是 x a， 逗号 y a。 点 b 的 坐标是 x b， 逗号 y b。 因为 ab 都在渐近线所构成的图形上，所以把它们带入渐近线方程，得到三个 x a 的 平方减去 y a 的 平方等于零，以及三个 x b 的 平方减去 y b 的 平方等于零。 咱们把这两式左右分别相减，利用平方差公式进行因式分解，得到三乘以括号 x a 减 x b 乘以括号 x a 加 x b 减去括号 y a 减 y b 乘以括号 y a 加 y b 等于零。 我们要算直线 a b 的 斜率，也就是括号 y a 减 y b 除以括号 x a 减 x b， 经过一项变形，它就等于三倍的括号 x a 加 x b 除以括号 y a 加 y b。 注意了，咱们假设点 m 就是 a b 的 中点，那么根据中点坐标公式， x a 加上 x b 就 等于二倍的 x 零， y a 加上 y b 就 等于二倍的 y 零。把它们带入刚推导好的理论斜率式子， 直线 a、 b 的 理论斜率其实就等于三，乘以二倍的 x 零除以二倍的 y 零。上下约调二恰好也是三个 x 零除以 y 零。看明白了吗？我们已知条件二明确告诉我们，直线 p q 平行于直线 a、 b 的 斜率必定严格等于直线 a、 b 的 斜率， 而我们刚刚分别通过平方差拆分和点差法双双算出它们的斜率就是三个 x 零除以 y 零。这完全符合中点弦在渐近线中的核心斜率属性。再加上条件一本身已知点 m 就 在线段 a b 所在的直线上，既然它在直线上，同时又完全满足中点弦对应的独特坐标比例关系，那么点 m 必定就是线段 a b 唯一的终点。 既然是终点，线段 m a 的 长度自然就等于线段 mb 的 长度。也就是我们成功推演出了条件三这道原本极其暴力的压轴证明题，利用因式分解和整体消除，咱们连一个麻烦的一元二次方程都没去死磕，就非常潇洒的正完了， 咱们来汇总一下今天的解析成果，并做一个简单有力的方法总结。第一问，双曲线 c 的 方程是四分之 x 的 平方，减去十二分之 y 的 平方等于一。 第二问，我们选择条件一和条件二作为已知，成功直接证明了条件三成立。也就是利用双曲线的平方差因式分解以及渐近线上的点差法，完美避开了极其害人的硬算坐标过程。大家以后遇上这类题，一定要记住这句解析判断口诀， 圆锥曲线交点多，千万别去找坐标平方差，拆开整体换，遇上中点点差解。在高考压轴里，凡是涉及割线平移、中点弦或者焦点轨迹的证明，把平方差公式拆写进行整体代换，和点差法相减，就是咱们降维打击计算量的关键战略。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。 最后留一道同类思考题给大家。已知椭圆 c 的 方程是四分之 x 的 平方，加上 y 的 平方等于一点 p， 是 椭圆内部的一个定点，坐标为一，逗号二分之一。现在以点 p 为中点做一条弦 a、 b， 点 a 和点 b 都在椭圆 c 上。请问这条中点弦 a、 b 所在的直线方程是什么？你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
04:52查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们讲下子八十年考这套试卷，这套试卷质量很好，难度总上啊，它主要是中等的难题比较多。呃，计算量一般，不是特别大，有些低，有些陷阱啊。我们看下子第一题， 基础的，第二的基础的，第三的基础的，第四的中等的。这个的呢？把 x 一 乘 f， x 一 改成一个 g， x 一 好，就可以晓得它是单调递减的，它同时也是个偶函数，那后面这个不等式就换成这个关系，这原等值变量关系是绝对值，减这个绝对值不等于来，我们并方去算。 第五、 d 六、 d 的 话呢，我们去考虑这个 a， 管它可以有 a 有 夹，一个人也可以有夹，再加上一个人，还有夹跟另外两个人三种情况。第六、 d， 这两个加起来是等于一，那我们就要算中间这个就对了，中间这个用二倍角公式，那这个角就是七十二度去算。 第七、 d 这个 d 呢，用股算法就可以算了。 a 值最大，因为大于零点二，比 c 都小于零点二，所以把 a 和 d 摆足， 同时来 b 和 c 比，下子就认了 b， c 比起来小于一，所以 b 小 于 c， 那 就把它选答案了。第八、 d 要就离心率来零， a 等于一去算简单一点。然后呢，找这种角点三角形的关系，把 b f 二看成二 t， 那 b f 一 也是二 t， 那 这一段就是 t， 这个就是二点 t 好， 用余弦定力把 t 解出来。好，我们再对这个三角形用一次余弦定力，可以把 c 解出来。好，第九、 d 基础 d。 第十、 d 中等 d 好 b c d， 我 们看下子 a p 等于根号二，那 p 点规律就是 b c b c 这段圆弧，呃 p 在 b c 这条线的时候呢，我们有那个 number， 加 miu 等于一好，后头用基本不等式去算， 当 miu 等于一，是它这一段，把这个体积转换成 b 一 p， b c 去算好，后头这个是 d。 要证明这个锥子，我们用反正法，我们去看 a 一 p， 它是不是会锥于 a b 一 好，那我们翻过来看 a b e 这条线， a b e 这条线，它是会垂直这个平面的好，然后呢， a e p 它又是没在这个平面上，所以它不会垂直，自己就逮住了。一十二点基础点，一十三点中等点，一十四点是二十圆的一个点型。题目， 把这个 mc 啊，找相似三角形，把 mc 的 长度换在二倍的 m n 的 长度啊，后头呢 去算就对了，一十五的啊，基础的，一十六的，中等的啊，一十七的。看下子， 你把这个 b 值算出来之后呢，你第二看，它是手相，手相等于零，它是不是等比数列的啊，不等于零，再是等比数列，这是第一个，第一个呢，你把 a n 救出来，答案是去救到，大家看这个 f n 救到 n 减一，这哪样？二 减去 n 加一啊，这个 f 五都是大于等于零去判断。你也可以用二项式去判断啊，大于等于五的时候呢，它是大于这四项的，一加 n 减一加 n 减一加一，这个就是 a 啊，这样去证明也可以 啊，一十八 d 啊。第二个正确方法就是沿着 b c 直线放在假设 b c 这两个点就 g 和 h 的 坐标好，把向量用换乘坐标的关系带进来，就中间这一坨很难算。它换解出来之后呢，分母式这个样子，它就等于负二 y 一 y 二这个关系。好，我们再带进去的话就可以把 t 解出来了。好，第三问的话呢，我们找这个割线。好，这个圆它有两条割线是这个。好，那对于你这个胀度 o h 胀度， z o g 的 胀度，它是等于哦 d o z d a 的 胀度好去算就行了。 好，你是决定。第一问，我们去求这个不动点，就是去解这个方子它的 x 零有没有解？它解是不是 f x 比较简单？ g x 带进去的时候注意下子，它是真的得到这个样子，当 a 减去 c 的 零，这个方子是没得解的啊，所以它是没得不动点不动点力，而 a 小 于大于零时呢，它是有不动点力啊，就是要注意这个地方。 第二问的话呢，证明充分性很简单，前面证明后面，后面证明前面呢， f x 零，它等于 x 零，所以呢，我们就要考虑里面这个 f x 零，它会不会等于 x 零。那你就考虑三种情况，它等于它小于或者是它大于 x 零这三种情况，把这两种情况备注掉，就可以证明出来了啊。 第三问的话呢，第二问，他这个一解不动点，就是二解不动点，所以呢，我们去解二解不动点的个数，就是解一解不动点的个数，那就是去解这个方子有没有解有几个解的问题啊？所以呢，我们构造这个心灵函数 j x 啊，就这个函数， 这个函数就导之后呢，是这个样子，我们需要考虑的是什么呢？他有没有极致的问题啊？那打 a 大 于等于一的时候，他是一直打到递增啊，他是没得极致的，那就根据零点证在递增去判断他是有一个的打 a 啊，大于零小于一的时候呢，他是有极致的啊，就是讲他是先增后减，他有个，呃，极大值点， 这个极大值点呢？它是在这个引力点 x 一 的位置。好，那但是我们要考虑什么呢？考虑这个极大值点，它是大于零等于零，小于零啊。如果它大于零，它就有两个零点啊，就是两个不动点，如果它是这个样子，它就只有一个，如果它在下来时候它就没得啊，这个就是讨论的思路。好，那这个视角呢？我们就先讲到这里，再见。
256苗家阿数
07:41查看AI文稿AI文稿哇，非对称伟大定律 ready go！ 本期视频我们来讲圆锥曲线大题证明定点定值问题中非常好用的一个，嗯，破题口存在的这样一个地位的一个定律就是非对称伟大定律。 为了方便大家明白这个定律之后，在题目中能够自己用，我就举一个 具体题目中的例子来，就是讲一下非对称表达定律在具体证明定点定值问题啦的题目中该怎么处理。然后这里面也会讲到两种处理方法，这个例子是这样说的哈，说证明 k 一 比 k 二， 一看就是斜率之比，对吧？大家可以想象自己做过的题目中肯定会有这种斜率之比为定值这种问题。 k 一 比 k 二，然后 y 一 比上 x 一 加三，这很明显就是斜率，斜率的表达式嘛，对吧？然后乘以 x 二减三，比 y 二， 证明它为定值。我相信大家这个斜率之比根据题目中具体的点，列出它，列出它来不是问题，关键是怎么证明它是定值。这样一个问题， 化简到这里之后，我们肯定进需要进行后面的整理，对吧？ x 一 加三分之 y 二，整理下来就是 x 二， y 一 减去三倍的 y 一 比上 x 一， y 二加上三倍的 y 二，你看 y y 一 y 二 y 二都是关于 y 的， 那么这个时候 前提是我们设的方程是 x 等于 m y 减一，因为这里只是举个例子，比如说我们那个直线方程就是 x 等于 m y 减一，那么我的 x 二是不就等于 m y 二减一， 然后 x 一 就等于 m y 一 减一，然后带进去 m y 一， m y 二减一， m y 一 减一，整理一下就是 m y 一 y 二是不是减四倍的 y 一， 再比上 m y 一 y 二加上二倍的 y 二。好到这里 大家观察这个表达式会发现，我将这个直线是 x 等于 m y 减一 和这个椭圆，比如说随便一个 a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一连立之后，我整理出来确实是关于 y 的 一 y 方程。我也根据伟大定律能知道 y 一 加 y 二的值，以及 y 一 y 二 y 一 乘 y 二的值，那么这里我能处理，关键是这里我要怎么处理呢？它是 y 一 和 y 二，并且它的倍数也不一样，这就是非对称伟大定律里面非对称的含义就在这， 它不是我们常规的，它就是关于两根之合两根之积这样非常对称的一个形式存在，它就有负四外一和二外二这样不对称的形式存在。然后我们下来就来研究一下这个时候下面该怎么正。 这里面给出两种非对称伟大定律运用的时候的方法。其中第一个就是 合积转换，相信大家肯定能算到两根之和两根之积这一步 y 一 加 y 二和 y 一 y 二，然后求它的时候什么叫合积互换？大家会发现 y 一 加 y 二和 y 一 y 二， 它的分子分分母是一样的，对吧？那么这个时候是不是 y 一 加 y 二和 y 一 y 二就会有一个， 就会可以就可以作比，就有一个比例关系。比如说我们让和跟鸡去比 y 一 加 y 二，比上 y 一 y 二，整理下来就是负四分之 m， 也就是说 y 一 加 y 等于负四分之 m 倍的 y 一 y 二， 然后再化解一下，就是 m 倍的 y 一 y 二等于负四倍的 y 一 加 y 二，然后接下来我们整理 这个原形，是它 m 倍的 y 一 y 换成负四倍的 y 一 加 y 二，然后再减四倍的 y 一， 再比上 m 倍的 y 一 y 一 加 y 二， 再加二倍的 y 二，分别就是负八倍的 y 一 减四倍的 y 二，比上负四倍的 y 一 减二倍的 y 二，大家会发现比值是不是等于二，非常好， 就这样就这样一个合集互换，这样一操作就能挣出来是一个定值二，这就是合集转化，核心就在这里合集转换，合集转换就是找到这样一个比例关系，然后把 比特率它就代换掉，变成合的形式。这是第一种方法合集转换，然后再来介绍第二种方法，就是半带换，半带换，然后我们下来介绍第二种方法，就是半到底体现在哪？ m 倍的 y 一 y 二减四 y 一 比上 m 的 y 一， y 二加二 y 二，这个时候这个半代换就在于我们 只管一半，就是我如果要考虑这个 y 一 y 二，那我就直接把 y 一 y 二根据伟大定律求出来的值带进去，我先不管负四 y 一 和 二百二，我就直接先把这里处理一下，就直接根据已知来带进去，就是已知的我能带，然后未知的我就照抄化简下来，就是 m 倍的外一外二，它成个 m 吗？就是它减四，外一比上还是它加上二倍的 外二。这里面半代换的第二种体现就在于外一不管的时候，我把外二根据两根之合，把外二用外一来表示。 第一个半代换体现在我们只代换已知的那一部分，第二次，第二次就在于外一和外二，我把其中一个 根据两根之合是这样一个值，然后把其中一个用另外一个表示，大家也可以试着把外一用这个值减去外二，把外一给换掉也是可以的，我们就以把外二换掉为例，减加上二倍的，这是两根之合，减去外一，然后整理， 这里面照抄，然后下面加二乘十六倍的 m， 就是 加三十二减六十四，是不是负三十二 m 减二倍的外一。大家看， 虽然这里我没有外一，没有去整理，它还是保留的，但是大家看一下这个比例，它比它是二八，对吧？负四比负二也是二，所以说整体比值就还是一个定值二， 即得正二角斜率之即为定值二。这就是非对称伟大定律的两种处理方法。一个叫核基转换，体现在这里，半代换体现在首先我把已知的代换代换掉，其次 把其中一个，因为他有外一和外二，我只代换其中的一个，我可以把外二代换成外一，同时也可以把外一代换成外二，但是一定要只进行一种操作，就是一半的体现。好，本期视频就到这里，我们下期再见，拜拜。
261师大小真
00:39查看AI文稿AI文稿今年的高考试卷大家都看到了吧，数学两个小时的题目，一个半小时都在做跟计算直接相关的内容，不仅是数学，像物理、化学里面也有大量的计算，如果过程当中错了一步，那努力全部白费。所以高中生计算题必须练， 不管你现在是高级，建议啊，趁现在就开始练这本藤远的高一计算题，他把高中阶段所涉及的计算题型都会懂了， 包含不少高考的新考法、新题型。高考考什么呢，咱们就练什么，精准提升。而且题目呢，也是由易到难，循序渐进的，从易到难。每天呢，抽出四十五分钟左右限时训练，打牢基本功，考试想丢分都难！不分版本啊，全国都通用，抓紧准备上吧！
03:11查看AI文稿AI文稿几乎所有高二和高三上学期的学生，只要不是那种基础特别差的，我都会建议他们去多去练习一下圆锥曲线的大题。但在高考的这几道大题当中，圆锥曲线大题可以说是战略价值最大的一道题， 而他的战略价值之所以这么大，是由他自身的特点所决定的。首先这道题的话，一般来说是我们高考所有大题里面，综合性往往是最强的一道题， 这个题除了考我们解析几何、平面几何的一些知识点外，那还有可能会涉及我们这个平面向量的知识点，还有可能会涉及我们函数的一些知识方法。 所以这道题有一个非常典型的特点，那它就是把我们数学的两大核心内容就是几何跟函数结合在一起的 啊，他一定会涉及函数跟节的相综合，所以通过这一道题的学习和练习，那我们就肯定可以把很多其他的知识点，很多其他的一些方法也顺带这个复习到好。那第二个点，就这道题一般来说是计算量最大的， 那这道题有个非常典型的特点，他就是整式和分式的混合运算，而整个高中的话，他 计算很多时候都不是带着数字计算，就是整式分式混合运算。所以通过这一道题的练习，那肯定可以很大的提高我们的计算能力，它一定是对提高计算能力最有帮助的一道大题。 而那第三个特点就是相对来说，这道题比压轴题而言，相对难度不算很大， 并且他很多时候解析思路是有些套路化的，那像压轴大题的话，那种题本来就会考的灵活多样，难度又很大，所以他练起来性价比不高。 而我们这个解析题的大题，他难度总的来说不会很大的。所以这种题我们多练习之后，那肯定第一对于巩固我们各方面的基础知识啊，比如解析题的平面几何、向量函数的知识点会有帮助。第二的话对提高我们的计算能力，那肯定帮助是非常明显的。 第三的话，那通过这道题的练习，其实我们处理其他的难题的能力也肯定会有提高的。所以这道题的话，那我个人建议高二的学生，还有高三上学期还没有到最后冲刺几个月的那些高三学生，都可以每周花点时间做个一两道， 这种题你长期坚持，那一定是会有很大帮助的。那在我带的有个学生就非常定心，他以前的话就计算能力相对来说一般， 做题比较慢，并且容易出错，他一开始就是考六十多分，所以自从他高二学圆锥形者，我就建议他，你每周的话就把一道圆锥形大题啊，先把这个解析看明白，看明白之后，我们过个几天再去把这个大题再来练习一下，再自己把那个过程完整的写一遍， 那这个学生就要这样坚持了之后，结果的话，他在高考是考了一百一十九，比他刚来的时候的分数几乎是翻了一倍，所以这道题要注意，一定要多练习，对提高我们的数学能力，算能力一定是帮助最大的一道大题的。
136物皆数
09:33查看AI文稿AI文稿如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是二零二零年山东新高考一卷的第二十二题，也就是压轴大题。想冲一百三十分以上这道解析几何大题，咱们必须稳稳拿下。 这题最容易踩坑的地方就是第二问一上来直接设直线方程硬算，那样计算量会直接爆炸。他真正考的不是你的死算能力，而是你能不能想到平移坐标系，化繁为简。咱们先来完整读一下题。 椭圆大 c 方程是 a 的 平方分之 x 的 平方，加上 b 的 平方，分之 y 的 平方等于一，其中 a 大 于 b 大 于零， 离心率是二分之根号二，过点 a， 二逗号一。第一问，求大 c 的 方程。第二问，点 m 和点 n 在 大 c 上， am 垂直于 an， ad 垂直于 m， n， d 为垂足，证明存在定点 q， 使 d， q 的 绝对值为定值。 咱们的大方向很明确，第一问，常规拿下。第二问，用平一坐标系加维达定理，再利用直角三角形斜边中线定理锁定定点。 先来看第一问，求椭圆方程。题目给了两个条件，一个是离心率是二分之根号二，另一个是过点 a 二，逗号一。 这里有个非常基础但很重要的公式，大家一定要刻在脑子里。离心率 e 等于 a， 分 之 c， 所以 a 分 之 c 的 等于二分之根号二。两边同时平方得到 a 的 平方，分之 c 的 平方等于四分之二，也就是二分之一，所以 a 的 平方等于两倍的 c 的 平方。 接下来我们要怎么做？为什么？因为椭圆里有个隐含条件， a 的 平方等于 b 的 平方，加上 c 的 平方。我们需要把 c 的 平方替换掉，才能找到 a 和 b 的 关系。 具体怎么做？把 c 的 平方换成 a 的 平方，减去 b 的 平方，带进去，就得到 a 的 平方，等于两倍的括号， a 的 平方减去 b 的 平方。展开一项，把右边的两倍的 a 的 平方减去两倍的 b 的 平方。一项整理，左边就是两倍的 b 的 平方，右边就是 a 的 平方。所以 a 的 平方等于两倍 的 b 的 平方加上 b 的 平方，分之 y 的 平方等于一。 接下来我们要把点坐标代入，为什么要代入？因为方程里只剩下一个未知数 b 了，代入已知点就能求出来。具体怎么做？把点 a 二十多号一带进去， x 换成二， y 换成一， 得到两倍的 b 的 平方分之四，加上 b 的 平方分之一等于一。左边第一项约分变成 b 的 平方分之二，加上 b 的 平方分之一，正好是 b 的 平方，分之三等于一。 得到了什么？得到了 b 的 平方等于三。那么 a 的 平方等于两倍的 b 的 平方，也就是六。那最后第一问的结果出来了，椭圆大 c 的 方程是六分之 x 的 平方，加上三分之 y 的 平方等于一。 接下来看最关键的第二问题目说 am 垂直于 an， 很多同学在这里会犯错，直接设 m， n 的 方程是 y 等于 k， x 加 m， 然后连立椭圆硬算。 你看点 a 是 二，逗号一不在原点，你用原来的坐标系去算向量点乘展开后会有一大堆乱七八糟的长竖向，考场上根本算不完。这里有个非常重要的技巧，咱们把原点平移到点 a。 为什么要这么做？因为平移后，点 a 就 变成了新坐标系的原点，那么 am 垂直于 an， 就 可以直接转化为新坐标下的横坐标乘积加上纵坐标乘积等于零，式子会极其干净。 具体怎么做？我们设新的坐标， x 撇等于 x 减二， y 撇等于 y 减一。也就是说，原来的 x 等于 x 撇加二，原来的 y 等于 y 撇加一。把这个代入刚才求出的椭圆方程， 原本是六分之 x 的 平方加上三分之 y 的 平方等于一。为了方便，咱们先把方程两边同乘六变成 x 的 平方加上两倍的 y 的 平方等于六。 现在代入变成括号 x 撇加二的平方加上两倍的括号 y 撇加一的平方等于六。我们把左边展开 x 撇的平方加上四倍的 x 撇加上四，再加上两倍的括号 y 撇的平方加上两倍的 y 撇加上一。 整理合并同类项长竖向四加上二，正好等于右边的六，抵消了。得到了什么？得到了新坐标旗下的椭圆方程， x 撇的平方加上四倍的 x 撇，加上四倍的 y 撇等于零。你看长竖向没了，这就是平移的威力。 接下来我们要处理直线 m n， 为什么要处理它？因为我们要把直线和椭圆连立，利用维达定律来使用垂直的条件。具体怎么做，因为直线 m n， 不 过新圆点，我们设直线 m n 的 新方程为 x 撇儿等于 t 乘以 y 撇加上 m。 注意这里 m 不 能等于零。 把直线方程代入新的椭圆方程， x 撇换成 t 乘以 y 撇加上 m， 得到括号 t 乘以 y 撇加上 m 的 平方加上两倍的 y 撇的平方加上四倍的括号 t。 乘以 y 撇加上 m， 再加上四倍的 y 撇等于零。接下来我们把它按 y 撇的降密排列。展开后， y 撇平方的系数是 t 的 平方加上二 y 撇的一次项系数是两倍的 t。 乘以 m， 加上四倍的 t， 加上四长竖项是 m 的 平方加上四倍的 m。 得到了什么？得到了一个关于 y 撇的一元二次方程。根据维达定律， y 一 撇加上 y 二撇等于负的分母是 t 的 平方，加上二分子是两倍的 t 的 平方加上二分子是 m 的 平方加上四倍的 m。 接下来我们要用垂直条件了，为什么？因为这是题目给的最核心的等量关系。 具体怎么做？在新坐标系里， a 是 圆点，所以向量 a m 点成像量 n n 等于零。展开就是 x 撇。乘以 x 二撇加上 y 一 撇乘以 y 二撇等于零。 把刚才的直线方程带进去。 x 一 撇等于 t， 乘以 y 一 撇加上 m， x 二撇等于 t 乘以 y 一 撇， y 二撇加上 t 乘以 m， 乘以括号 y 一 撇加上 y 二撇再加上 m 的 平方。别忘了，还要加上后面的 y 一 撇， y 二撇， 合并一下就是括号 t 的 平方加一乘以 y 一 撇， y 二撇加上 t 乘以 m， 乘以括号 y 一 撇加上 y 二撇再加上 m 的 平方等于零。 得到了什么？得到了一个关于 t 和 m 的 恒等式。接下来我们要化简这个式子。为什么要化简？为了找出 m 和 t 的 关系，从而锁定定点，具体怎么做？把维达定律的结果带进去，方程两边同时乘以分母 t 的 平方加上二。第一项变成了括号 t 的 平方，加一，乘以括号 m 的 平方加上四倍的 m。 第二项变成了减去 t 乘以 m 乘以括号两倍的 t 乘以 m 加上四倍的 t 加上四。第三项变成了 m 的 平方乘以括号 t 的 平方加上二等于零。这步很关键，大家不要怕，咱们只盯住 m 的 平方和 m 的 项 展开合并项。先看 m 的 平方的系数，第一项里有 t 的 平方加一，第二项里有减去两倍的 t 的 平方。第三项里有 t 的 平方加二，加起来 t 的 平方加一，减去两倍的 t 的 平方加上 t 的 平方加二，正好等于三， t 的 平方全消掉了。再看 m 的 系数， 第一项理由，四倍的 t 的 平方加上四。第二项理由，减去四倍的 t 的 平方减去四倍的 t 加起来就剩下四。减去四倍的 t 得到了什么？得到了三倍的 m 的 平方，加上括号四，减去四倍的 t 乘以 m 等于零。因为 m 不 等于零，两边除以 m 得到三倍的 m 加上四，减去四倍的 t 等于零。 一项得到 m 等于三分之四倍的 t 减去三分之四。接下来我们要找定点，为什么？因为题目要求证明存在定点。具体怎么做？把 m 的 结果带回直线的方程。 x 撇等于 t 乘以 y 撇加上三分之四倍的 t， 减去三分之四。把含有 t 的 项提出来， x 撇等于 t 乘以括号 y 一 撇加上三分之四，再减去三分之四。这就说明，无论 t 取什么值，只要 y 一 撇等于负的三分之四， x 撇也就等于负的三分之四。 得到了什么？得到了直线 m n 横过新坐标系下的一个定点，咱们叫它点 p。 坐标是负三分之四，逗号负三分之四。别激动，这还是新坐标，我们要把它点屁。坐标是负三分之四，逗号负三分之四，别激动，这还是新坐标，我们要把它还原到原。坐标是负三分之四，加二等于三分之二， y 等于 y， 一 撇加一，负三分之四加一等于负三分之一。所以直线 m n 横过圆坐标系下的定点 p 三分之二都好，负三分之一，那最后我们要找定值，为什么？因为这是题目的最终目标。 具体怎么做？题目说 a d 垂直于 m n， 你 看， a 是 定点， p 是 定点 d 在 直线 m n 上，而且 a、 d 垂直于 p d， 这说明什么？说明在直角三角形 a d p 中，点 d 始终在以 a p 为直径的圆上运动，所以这个圆的圆心就是线段 a p 的 中点，这也就是我们要找的定点 q。 点 a 是 二逗号一，点 p 是 三分之二，逗号负三分之一。中点 q 的 坐标怎么求？横坐标相加除以二，二加上三分之二等于三分之八，除以二就是三分之四。纵坐标相加除以二，一加上负三分之一等于三分之二，除以二就是三分之一。所以定点 q 是 三分之四，逗号三分之一 定值 d， q 的 绝对值就是这个圆的半径，也就是 ap 长度的一半。咱们来算一下 ap 的 长度。根号下，横坐标之差二，减去三分之二的平方，也就是三分之四的平方九分之十六。加上纵坐标之差一，减去负三分之一的平方，也是三分之四的平方九分之十六加起来是九分之三十二开根号等于三分之四倍的根号二 除以二就得到 d， q 的 绝对值等于三分之两倍的根号二得到了什么？得到了最终的定点和定值。第二问，完美解决 数学提分方向比努力重要。如果不知道自己卡在哪题，刷了一堆分数却纹丝不动，这段时间我再免费给同学们做一次数学摸底，做完发我，我给你出一份分析报告，再配一份规划，告诉你先补什么，后补什么，高一高二高三都可以，我一天只能看几份入口。就在评论区的杨老师摸底规划群 这道题咱们就讲完了。最终第一问，椭圆方程是六分之四，逗号三分之一，定值是三分之两倍的根号二。 大家记住一个口诀，遇到顶点出发的垂直线，平移坐标系是首选。维达定律找定点，直角斜边找圆心。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下， 那最后留一道同类思考题给大家。已知抛物线大 c 的 方程是 y 的 平方等于四倍的 x， 点 a 的 坐标是一逗号二， 过抛物线上一点 m 和点 a 做互相垂直的两条直线，分别交抛物线于另外两点 p 和 q， 证明直线 p， q 横过一个定点，并求出这个定点。你觉得答案是多少？欢迎打在评论区。
221杨老师高考数学秒杀技巧
00:58查看AI文稿AI文稿当你还在用其次化或者斜率双用时，这些局限性较大的方法早已不适合新高考。以这题为例，用前面的两种方法就不太好写了。我们学一个新方法，为了方便连力改写曲线方程， 射出过 a 点的直线，然后将直线带入改写后的方程， 得到 x 减二和 y 减一与斜率的关系。设出直线 p q 的 方程，带入 p q 两点坐标可知 k 一 k 二，满足一元二次方程维达定律，即可求出 p q 的 斜率。第二问就可以顺带写出来了。根据提议求出 k 一 k 二的值， 用弦长公式即可得到 a p a q 的 长度，最后面积公式即可得出结果。
3576精数通码
05:00查看AI文稿AI文稿今天咱们说一下基本不等式中两个重要的思想，消元思想和统一结构思想。那我们看一下这两个题，他说已知 a 大 于零， b 大 于零， a 乘以 b 等于一，则这个式子它的一个最小值是多少？那做这个题的话，肯定有一部分同学会用消元思想去做，也就是让式子中的 b 等于 a 分 之一，把 这个 a 分 之一带入到这个式子当中，那我们表示一下，也就是二 a 分 之一加上一个八，比上 a 加上 a 分 之一， 这样的话，式子中的 b 就 没有了，就只剩下 a 了，是吧？那既然我们用校园的思想得到了这样的式子，那接下来我们是不是得进行配凑配，凑出 g 或者核是一个定值的情况，那我们把这个式子它的一个前两项进行一个通分，我们能得到二 a 分 之 a 方加一， 再加上后边这个式子，分子分母同时生成 a， 它就是等于 a 方加一分之八 a， 那 现在它俩的 g 是 不是一个定值？那我们很容易就知道，根据基本不能式这个式子它是大于等于四的。然后我们验证一下 取等号的情况，就是他跟他相等的情况，发现是能取到的，所以他的最小值就是四，这是用消原思想来解的这个题， 那如果我们不用消原思想的这道题的话，还能怎么去解呢？我们观察一下，发现这个二 a 分 之一和二 b 分 之一，他俩进行一个通分的话，就会出现他的分子是 a， a 加 b 这种形式，让我们去写一下二 a， b 分 之 a 加 b， 加上 a 加 b 分 之八，这就是这个式子这个原式，然后题目中还给了 a 乘以 b， 它是等于一的，所以的话，这个前面它的分子是不是也就是二？那我们发现它乘以它的话，是不是也是一个定值？ 值是四，那我们就能用基本不等式也同样得到他是大于等于四的，然后再验证一下取等的情况，他和他相等的情况，发现是成立的，直接就解出来最小值是四，那这种的话就是同一结构思想，通过我们的观察，把这个式子直接变成只有 a 加 b 的 这种形式，然后用基本不等式去解他的一个最小值，那我们再看一下第二题， 然后一会的话，我们回头再进行一个总结。第二题他说若正数 a 和 b 满足 a 乘以 b 加上 b 等于八，则 这个式子它这个最小值是 a、 b、 c、 d 的 哪一个选项？那这个题的话，我们能不能用消炎思想去做呢？我们去试一下，把这个式子里的 b 用含 a 的 式子表示一下， b 等于什么？等于八减 a 比上一个 a 加一，那我们表示完 b 了，代入到这个式子里，也就是 a 加一的平方，加上一个 a 加一分之八减 a 加上一的平方，这是原式等于这个，对吧？然后我们把这个括号里边进行一个通分，那这个式子就变成 a 加一的平方，加上一个 a 加一分之九括号的平方， 那很明显，现在它乘以它的积的话，又是一个定值了，是吧？所以的话，根据基本不等式，我们能得出这个式子它是大于等于十八的，那验证一下它和它相等的情况，能不能取到，发现是能取到的，所以它的最小值是多少，是不是就是十八？所以这道题选择第二个选项，那如果不用这种方法的话，这个第二题的话，我们能不能解呢？ 我们观察一下这个式子，他说 a 乘 b 加上一个 a， 再加上一个 b， 他 是等于八的，我们把等式两边同时加上一个一，这个式子就变成 a 加一加上一个 a， b 再加上一个 b 等于九， 对不对？这边的话，把 b 提出来，他就变成 b 乘以 a 加一了，然后再把 a 加一同时提出来，这个式子就变成 a 加一乘以一个 b 加一 等于九。然后题目中他说让求 a 加一的平方加上一个 b 加一的平方的最大值，根据基本不等式的话，这个式子它是不是大于等于二倍的 a 加一 乘以 b 加一，也就是大于等于十八？然后我们验证一下取等号的情况，发现是可以取到的，那就直接也能得出这道题是选择第二个选项，那这种的话也是利用的统一结构的思想，把整体这个式子全变成只含有 a 加一和 b 加一这种形式， 然后去解答这个题目。那现在我们通过这两道题对这两种思想进行一个总结，我们能发现当题目中给到这种确定的等式的时候，我们一定是能用什么思想呢？一定是能用这种消元思想。但是我们在做题的过程中，像第一题这种还好，我们表示 b 的 话，很容易就表示出来了， 但是像第二道题这种，我们表示 b 的 时候就有一定的计算了，然后在解的过程中的话，我们需要进行配凑，哎通分，然后还会出现这种分母也是分数的一个情况，然后像这个第二题呢，还会出现这种高次含分数的情况， 相对来讲计算起来就比较麻烦。那当我们运用这个右侧这种统一结构思想的时候，你看第一题，我们通过观察他不用计算的情况下，你发现前两项的话，他进行一个通分，他就会出现这种 a 加 b 的 这种形式，所以的话你直接就可以用基本不等式快速的去接了。 那第二题的话也是同样的，那当我们知道这个 a 加一乘以 b 加一等于九的时候，我们直接就可以得到这个答案，并且的话对于我们来讲，用这种统一结构思想的话，基本上没有什么计算量，而 这种思想的话也很贴合现在的命题方向。但是当我们在考场中高度紧张的时候，这种削圆思想的话是给我们兜底，你是一定能通过这种方法去解出来的， 但是就是比较麻烦，所以我们在做题的时候一定要多观察，尽量通过思考去减少我们的计算量，实在不行的话再用这种削圆思想去给我们去兜底。那这道题我们就讲到这里。
49爽哥高中数学
