高考数学二面角解题技巧
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05:36查看AI文稿AI文稿找到平面角，假设现在有两个平面相交于一条直线，我们各取他们的一半，也就是说要这两个半平面， 那就可以看成是从这一条直线出发的两个半平面所组成了这个图形， 那么这个图形就叫做二面角，中间这条棱叫做二面角的棱。我们假设 g 为 l， 这两个半平面呢，就叫做二面角的面， 那么这个二面角就可以记作阿尔法杠 l、 杠贝塔。如果分别在这两个半平面内找到一个点，点 a 和点 b， 二面角也可以记为 a 杠 l 港币。而二面角的棱有时候也可以用两个大写字母来表示，比如说直线 pq， 于是二面角也可以表达为尔法杠 pq、 杠贝塔，或者是 a 杠 pq 杠 b。 这些技法都是二面角的表达方式，那么二面角毕竟他后面落到一个角字上， 二面角的大小应该怎么表示呢？如果从棱出发，分别向两个平面做两条直线，那么会做出很多不同的角， 哪一个能代表二面角的大小呢？我们可以过点 a 向冷 p q 做垂线。假设垂足是点 o， 过点 b 也像棱做垂线。如果他们恰好垂在了同一点处，也垂在了点 a 处，那么角 aob 就叫做二面角的平面角，它的大小就代表了二面角的大小。 我们具体表达出来就是分为这么几个要求，第一点哦，要在冷上属于 p q。 第二， oa 要含于平面而法，并且 oa 垂直于 pq。 第三， ob 要含于平面贝塔，并且 ob 垂直于 pq。 所以说相当于从这一条棱上出发，向两个半平面分别引垂线， 这样的话就能保证都垂在同一个位置，那么这个角就是他的平面角。既然二面角是由两个半平面所围成的，那么他的平面角的大小最小可以是零度，那就是把这两个半平面给他合起来， 如果完全放平，那就是一个平角，所以二面角的曲直范围应该是零度到一百八十度的 b 区间。我们来看一道题目，这里给了一个三棱锥 a、 b、 c、 d， 他的个棱长均为二， 那就是一个正四面 t， 求的是二面角 a 杠 cd 杠 b， 它的余弦值。按照我们刚才讲的二面角的做法，想找到它的平面角， 就需要分别在平面 a、 c、 d 和平面 c、 d、 b 这两个半平面内分别找到交线 c、 d 的垂线，并且要垂在同一点处。 由于 a、 c、 d 这个三角形是一个等边三角形，想在这个半平面内做 c、 d 的垂线，可以取 c、 d 的终点，假设是点 e， 我们再连接 a、 e， 那么由于 a、 c 等于 a、 d， 所以根据三线合一，可以得到 ae 垂直于 cd， 并且这个 ae 的长度是等边三角形的高，应该等于根号三。有了这个垂直以后，我们还需要在另一个半平面 bcd 当中找到垂直于交线的那条直线，并且要垂在同一点处。由于这个三角形也是一个等边三角形，我们连接 b、 e， 同理可得 b、 e 垂直于 c、 d， 并且 b、 e 的长度也等于根号三。所以根据二面角的定义，他们两个分别属于两个半平面， 并且呢都垂直于这个交线，垂足也落在了同一点处，所以这个角 aeb 就是二面角，他的平面角。那么接下来只要求出这个角的余弦值就可以了。 在三角形 a、 e、 b 当中， a e 等于根号三， b， e 也等于根号三， a b 等于二。 想求这个角的余弦值，我们可以利用余弦定理扣三角， a e， b 等于 a e 的平方加 b， e 的平方减 a， b 的平方 除以两倍的 a e 乘 b e 代入进去就是三加三减四 除以二乘跟三乘跟三计算出来等于三分之一，这就是这个二面角的余弦值。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。
6900袁来有数(高中数学)
10:18查看AI文稿AI文稿同学你好，我们来看这道题，如图，已知正三棱锥 p、 a、 b、 c， 底面边长为二，侧棱长等于四，则二面角 a、 p、 b、 c 的余弦值是多少？ 那这道题考察的主要的知识点， 我们得会求一个二面角，他的这个鱼线值啊。这道题因为是 正三类制，当然我们可以通过间隙来解决，但是因为是个小题，我们又可以通过几何法来解决，那么来介绍一种几何法，首先得画出这个二面， 对于这样的啊，两个半平面构成的图形，那么他的二面角我们怎么求呢？可以 这不有条胶线吗？在这个胶线啊，像分别像两个平面，引两条垂线，这一条垂线，这是垂直的，垂直于这个胶线，那么在这个面呢，也引一条胶啊，垂线他也垂直于这个胶线， 那么这两个直线，他的夹角就是这个二面角啊，我们把这个两个夹线啊，这两个直线的夹角，这个角就称为这个二面角，这两个半平面的构成了二面角的大小，这是第一个二面角的定义， 那么在这个定义当中我们也知道了啊，如何求解二面角的方法？就是通过这个胶线啊，去引两条垂线啊，这就是求二面角的几何法。 那具体来看一下这道题。 首先正三龙锤那底面应该是一个正三角形，底面是正三角形， 比如说底面三个边长都是二，侧棱长为四，那么正三棱锥，他这个 啊，三个侧轮应该也是相等的，也都是四。那要求的二面角是 a p b c pb， 子在这里， pb 是中间，这个胶线，一个面是 a pb， 一个面呢是 c pb， 所以呢这个胶线 pb 已经确定了，那接下来我们问题就是啊，你不想求这个二面角吗？得过这个胶线引两条垂线呀。 那么看他在这个面里面，他是一个，这是一个三角形的一个面，我们做垂线最好呢，是能利用上这个三角形最好，对吧？你看， 假如说我们能够过 a 点做一个垂线， 垂直于 a pb， 这里我先擦掉， 那么如果连接，假设这个点是地点吧，再连接 cd， cd 应该也是垂直的。为什么？因为 你看正三棱锤，他这个不是啊，相当于是对称的吗？ 这是一个面的，这是一个顶点，这是一个顶点，因为是正三棱锥底面是一个正三角形，所以这两个顶点他的这个地位是相同的，等价的。 你过这个点，像这个做一个垂线，那做过这个点，像这个做一个垂线，那么这两个垂线啊，垂直于皮壁会相交于同一个点，就是因为它是固定的，或者说你可以把它恢复为平面的 问题。因为这个三角形，这个 a、 b、 d 这个三角形和这个 c、 b、 d 这个三角形应该是全等的。当然我们可以通过初中的方法来证明，比较直观的也能看出来，就是这个地点 ad 垂直于 pb， cd 也垂直于 pb。 那接下来我们说了这个二面角的大小，就是这两条直线，这两个相互垂直于这个胶线的直线的这个承角的大小。 那么想求这个鱼线值，我们就求这个两个直线成角的鱼线值就可以了。那可以通过鱼线定理来求的这个 鱼线值。怎么通过鱼线定理？就是我们可以把这个 ad 给他求出来， ad 求出来，其实 cd 就求出来，因为他是等价的，对吧？相同的，那这样呢？ 在这个三角形 a、 d、 c 当中， a d 知道， cd 知道， a c 知道等于二，那么整个三角形三边都知道，我们可以通知道他的鱼线值。根据鱼线定理， 那我们首先要先求的这个 a、 d， 这个 a、 d 怎么求？我们可以把这个平面啊立体解开问题，给它平面化。假设这是 p 点，这是 a 点，这是 b 点， 那过 a 做 pb 的垂直垂线， 因为是正三，论追侧轮长都是四，这个长是四，这个长是四，那么这个边 ab 长应该是二。现在三边都知道了，一个，等二，三角形的三边都知道了，我们想求一个这个 高线，这个还是啊比较好求的。怎么说呢？我们可以首先求到这个三角形的面积，那像右眼球的面积，我们得首先知道这个高，三线合一，这个高， 这个杆也比较好求。这个长度应该是三线和一，这是里边的一半，里边长一共是二，那么一半呢，应该是一，这里长度是一，那这里的长度是四。根据狗狗定理，我们可以求的这个高的值， 这高尔一尺应该是等于根号下啊，斜边的平方，四的平方，减掉这个直耳边的平方，一的平方，那就是根号十五， 那这个杆有了这个三角形的面积， a 皮 b 的面积应该二分之一，再乘以二，再乘以 根号下十五，也就是面积就是根号十五。 那这样呢，我们可以求得这个 a、 d 的长度，这个三角形的面积，他还同时等于二分之一，再乘以，这回换一个边，换一个边做底边，以这个 pb 做底边，那 pb 应该是等于四，这个时候呢，再乘以他的高高是 ad 啊，所以二分之一乘以四，再乘以 a、 d， 他也等于跟上十五，那这样呢，我们就可以求来 a、 d 的值， 好写在这里， a、 d 应该是等于这个二分之跟二十五， 那么说了， a、 d 和 cd 是等价的呀，所以呢，它也等于 cd， 这样在三角形 a、 c、 d 当中， a、 d， c、 d 以及 a、 c 都知道了，我们可以利用鱼线定理复习一下鱼线定理， 比如说以 c 角为例，扣三 c 应该是等于 a 边加 b 边平方盒，再加减掉 c 边的平方，再比上一个二 ab， 那么要求的这个角 cousin 加 a d， c 就应该等于 a、 d 的平方， 对吧？两个临边的平方加上 cd 的平方，减掉一个 ac 的平方，再比上二乘以 ad， 再乘以个 cd， 把数值都带入 ad 的平方， ad 应该是，嗯，二分之干二十五，那么他的平方就是四分之十五，后面 cd 的平方也是四分之十五， 再减掉 a、 c 的平方， a、 c 等于二平方，是等于四，比上二倍的啊， a、 d 二分之二十五带入 c、 d 也是二分之二十五， 那这样呢，这个值经过计算，应该是十五分之上面，应该是十五减八，应该是七十五分之七， 那这个鱼线值，两条直线的鱼线值就是这个二面角的鱼线值，那也就是十五分之七， 这样呢，这个题就处理完毕了。总结一下，我们得知道二面角的定义啊，得知道二面角的 几何法做题，那通过定义就是已经引出来了他这个几何法求二位角的方法啊，做这个胶线，他的两个在这两面，那个两个垂线，这两个垂线的夹角就是这个 二面角的大小，二面角的夹角，那最好是呢，我们做完这个两个 垂线之后啊，然后呢再让他构成一个三角形，然后呢这样就可以利用把这个三边就给他求出来，利用三这个鱼线定理就可以把这个夹角给他，鱼线直给他求出来，这就是我们的主要的思路。 那这样呢？立体解开问题，平面化，我们可以求到 a、 d 的长度， a、 d 和 cd 是等价的。你想象一个正三棱锥，正三棱锥在一个点做一个棱的垂线，在另外一个点做一个棱的垂线，这两个点是地位，是等价的，所以他一定会相对于 一个点同一个点地点。 那这样我们 a、 d、 c、 d 啊，这两个边都取出来，这个斜着这个边也知道， a、 c 也知道，所以三边都知道，求于线直用于线定理就可以了。那么好，这道题就讲这里，再见。
641一题老师
02:10查看AI文稿AI文稿各位家长有一个非常神奇的结论，可以节省很多时间，但是我发现啊，很多老师他都没教， 不知道为什么啊，那么什么知识呢？我们在高中里面有一个非常重要的一个题，而且是高考的必考题，就是我们例题几何第二步里面的二面角计算， 这个二米角计算里面啊，非常关键的一个计算，就是呢求解面的法项量，那么求解法项量的话呢，我们其实有一个大学的知识叫什么呢？叫求解限量的外机，外机其实就是两个项的法项量，但是我发现很多这个老师他不讲，那么这也很可惜。今天张老师给大家分享一下这么一个知识， 大家看一下啊，上面这个图啊，当张老师给大家画了一个图，大家看一下，那么这里面呢有两个线呢，一个是 x 一， y 一和 z 一，下面是 x 二， y 二和 z 二，那么怎么快速求解他的发量呢？我们的发 分成 x、 y、 z 三个值，对吧？那么第一个 x 怎么算？大家看一下啊，你把这两个限量中的哈 x 给挡住，留下的是 y 和 z 这两列，对吧？有四个数字，那 怎么算你的这样一个法限量呢？ x 值其实就是谁，就是你的 y 一乘以你的什么 z 二，减去什么，减去你的 y 二乘以 z 一，大家看一下，那么你的 y 值怎么算呢？把 y 值给挡住，中间这一列 y 挡着，留下的是 x 和 z， 那么 这个时候呢，方向哎，反过来是什么呢？是 x 二， z 一减去什么 x 一， z 二，大家看一下，这么一个结果就是你的袜子，第三个呢， z 指遮住你的 z 留， 留下的是你的 x 和 y， 那么这个时候的方向跟第一个是一样的是吗？是 x 一 y 二减去 x 二 y 一，你得到的是 z 的值，那么这三 值就是你法项量的 x、 y、 z。 那么这个结果呢？因为你不用写在卷面上，你只要在操场算好以后写一个解得，就可以把法项量解出来。而且如果你算的结果不够漂亮，我们可以化解一下。比方说如果你算的限量是二 四六，你可以给他自动化现成一二三就可以了，这样的话我们可以节省很多时间。大概的话，正常情况下，我们可能在十秒钟以内就可以把发现量迅速算出来。好，如果你需要的话，你收藏一下。
634行知院长张兴刚
10:37
