今天是部分高考志愿填报最后一天，还有很多地方是还有两天就截止了。作为一个去年高考志愿填报失误，导致今年又复读一年的学籍，我 一定一定要提醒你们，再去检查一下你们的志愿列表里面所有的院校，专业所在的校区，那个校区的地理位置，你们是否能接受？就算是同同一个专业组，不同的专业也会有不同的校区。 就拿我去年报考的浙江传媒学院来说，我去年报考的时候就是看中他的地理位置在浙江杭州钱塘，结果我选了专业组里面的新专业，那个专业是之前没有开设过，也没有招生的，也没有标注在哪个校区， 我就天真的以为都是在杭州，结果拿到录取通知书是在离杭州巨远的乌镇，连市中心，呃，也很远，离家也很远，于是我就直接来复读了。老铁们，一定要检查！
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一个笼统的代表字母，对吧？它的一个右下方的一个小写的 小小的这样的一个数字啊，也叫脚标，表示了第几项的这个几，所以请大家务必注意。那么在这样的一个定义当中呢，大家就要去区分清楚，数列的每一项都和它的这个序号是紧密相关的，数列中的数呢，是按照一定的次序来进行排列的，我们举一个例子， 大家可以看到一二三四五这五个数排成了一列，五四三二一这五个数呢，也排成了一列，虽然他们都在用一二三四五这五个数字，可是由于他们的顺序是不一样的，你千万不能认为这两个数列是同一个数列，这是两个完全不同的数列， 也就是说它的这个编号顺序和对应的己是完全不同的一个规则， ok 吧？好了，第二，大家注意，数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，换言之，在一个数列中，同一个数字可以出现 n 多遍，可以重复出现， 所以我们就可以看到有一些竖列，比如说一负一，一负一一这样交错，或者是呢，大家可以看到二二二这样的一种，每一个项啊，都是同一个数的情形，我们也效仿长函数的一个叫法，把每一项都相等的这种竖列叫做长竖列， ok 吧？好，第三，在写法上， a n 加括号和 a n 是 不同的概念，大家注意， a n 加括号是描述了这个竖列的整体，是这个竖列的每一项都写出来之后的一个整体的统称，而 a n 仅仅表示这个竖列的第 n 项，因为它的下角标是 n， ok 吧？好了，举一个例子啊，这里可能比较抽象，就比如说我们有一个竖列是一二三四五，好，那么大家注意，这里我们所说的 a n 指的就是这个竖列一二三四五这个整体。而如果我们仅仅写 a n 等于 n 的 话，说的知识就是这个竖列的第 n 项， ok 吧，所以大家一定要把这两指给它区分区开来啊。好，这是我们对于竖列的概念的一个基本的介绍。通过这一页的介绍，大家对竖列有一个概，基本的这个大致的了解就是它是按照一定的顺序排成一列的，对吧？并且我们要非常关注它的 顺序和它对应的数值的一个关系，不同的关系对应着不同的数列。 ok， 好， 下面看一下第二个数列的分类， 就像我们在研究函数的时候一样，我们也要去想一想函数有怎样的类型，对吧？那我们说的数列的分类， 我们简单看一下哪几种呢？哎，第一个根据项数的多少，可以分成有穷的竖列和无穷的竖列。什么叫有穷的竖列呢？就是项数有限的竖列，就是有穷的，项数是无限的，就是无穷的。举例，比如说什么是有穷的呢？刚才已经举过了，比如说有一个竖列就五项，一二三四五， ok 吧？啊，你数的过来总共就这五项，所以这叫有穷数列。那么什么叫无穷呢？哎，就是这个数列呢？一二三四五之后啊，我还想表达他后面的一些数， 这些数呢，我写不开了，因为没法写下去，所以你可以看到这个数列实际上就是把正整数从小到大进行一个排列，所以我后面呢，用一个省略号表示，表示这是无穷无尽的，你数不清他的一个个数，这叫有穷跟无穷。 第二，按照竖列每一项随序号变化的情况，可分为递增竖列、递减竖列和长竖列。这个有点像什么呀？有点像我们学的函数、 递增函数、递减函数和长函数，当然也就会存在着摆动竖列，对吧？就是我们看一看，后面的项比前面的项是大呀还是小啊？好，我们说了，从第二项开始，每一项都大于它前面一项的竖列，叫做递增的竖列。 如果每一项都小于它前面的这一个数列呢，叫做递减数列。如果各项均相等的数列，叫做长数列。我相信这个读一遍大家都能都能理解。 如果你会发现一些像大于前面的，又有些像小于前面的，有它时大时小的这样一种数列，我们给他一个名字叫做摆动数列， ok 吧？这是按照什么呀？ 哎，随着这个序号的变化的情况来进行分类的。第三，我们看一下按照任意一项的绝对值是否小于某一个正数，我们把它称之为有界竖列和无界竖列。我们也举个例子啊，比如说大家可以看一下，说有一个竖列叫一、二、四、 八、十六等等等这个规律。那么大家会发现这个规律呢，实际上是后面的象总是由前面的象乘二得到，我们依次往上写，这个竖列上的值啊，会依次增大，并且无穷无尽，没有任何一个数能够把它遮得住，它向正无穷方向发展。我们就把这样的一种竖列叫做无界的竖列， ok 吧？那么什么就是有界呢？哎，我们举例倒过来，比如说十六、八、四、二、一二分之一，四分之一等等等等。 大家会看到这个数列，虽然我也一直可以无穷无尽的写下去，可是这些数列怎么样啊？总是会小于 等于十六这样的一个数值，对吧？你往下写呢？这个数会一直变小，一直变小，直至趋向于零，所以我们认为它是一个有界限的，它的界限你可以认为被限制在零和十六之间，我们就把这样的一个数列叫做有界的数列， ok 吧。好了，这是对于数列的一个分类的讲解，那么大家在呃这个掌握的过程中呢？大概了解什么叫无穷的，那个没有省略号，一般就是有穷的。 再了解一下什么叫长竖列，我觉得对于我们准备高考的知识来讲，应该是够用了，对吧？当然请大家务必注意一下摆动竖列，我们在后面等比竖列中会经常碰到，你留个心就好，重点关注一和二这两个概念。好，下面我们来看一下第三个表示方法， 函数也有表示方法，对吧？有什么列表啦啊？图像啦，对吧？啊，这个这种方式，那么我们说的对于竖列来讲，我们也有同样的方法，比如说我们也可以做出图像， 可以吧，大家看到竖列是以正整数 n 心为定义域的函数，这句话请大家务必要重点去理解好。他们都知道，对于一个竖列，我们已经写出来 之后，它的最小的这个，它的最开始的这一项，对吧？ n 最小的这个值是几啊？是一，表示第一项 n 可以 取三，所以大家可以看到 n 其实是一个变化的量，对吧？但是它又受到了一定的限制，这个 n 只能属于谁？ 只能属于 n 星，只能从一开始，因为我们不可能说是第零点几个东西，对吧？第零个东西，第一点七个东西，没有这样的一种叫法，所以对于竖列来说，我们说最小的这一项，或说开头打头的这一项一定叫 a 一 项， 第一项，第二项，所以这个 n 呢，它只能去取 n 星。所以对于一个竖列来讲，不论是 a 也好啊， b 也好啊，什么后面遇到了 s 也好， 这个下角标啊，永远不可能出现零、零点几，甚至是负数这种分数的形式，他一定是正整数，对吧？这就提醒各位同学，这个下角标一定怎么样啊？一定整体都要大于等于一，且一定是一个整数，这个请大家务必注意啊。 那么在这个意义上，我们就可以认为，因为 n 作为一个变量，它满足什么呀？只能取正整数，所以我们可以认为这是一个定义域在正整数集的一个特别的函数，对吧？好，我们举一个非常简单的例子，大家都知道 f x， 比如说等于 x 和 a， n 等于 n， 大家从通过这个数字可以看得出来， f x 等于 x 的 意思是说，我自变量去换一定的数值，换一些实数，我相应能够得到函数值的结果。 那么对于这个数来讲，大家可以想象一下，是不是也有这样的效果。我这个 n 换一定的数值，相应的等号右边也会出现相应的一些结果。但是大家注意，对于函数来说，我很容易去得到 f 三点五， f 零，甚至 f 负一。但是对于竖列来讲，我们刚才刚说过，有没有 a 三点五， a 零， a 负一啊？ 并没有，对不对？所以如果你把它也当成是一个自变量到函数值的一个对应关系的话，这个竖列大家注意，它只能去取 a 一， a 二、 a 三。这就是为什么我们这张图横坐标只标出了正整数点，纵坐标它的值怎么样啊？对应的这个 点啊，是一些离散的点，它不可能连接呈现，因为它只有在 n 取一二三四五处它才有意义。 所以我们说了，当自变量从小到大的顺序进行取值的时候，所对应的一系列的函数值，它一定是一些零散的点， 对吧？所以这些点形成了一个特别的函数图像，他不可能连接呈现。那么大家可以看到这句话，竖列的图像与一般函数的图像的区别在于，竖列的图像是一系列孤立的或者叫离散的点， ok 吧？好，这是我们用图的方式来进行表达。第二，我们说了，你当然也可以列表，对吧？啊？比如说我们想去找一找一般的规律，说你的这个 n 取几的时候，你的 a n 值相应是几，比如说 n 取一的时候， a n 是 二， n 取二的时候， a n 是 四，等等等等， n 取 k 的 时候， an 就是 二 k， 这种列表法我们说了也能一目了然的去帮助我们寻求一些规律， ok 吧？好，这两种方法都跟函数能够对应，对吧？分别对应的就是函数的图像法和函数的列表法，可是大家会发现这些方法真的 不是特别好，对吧？不便于我们一下子得到数的一个本质规律，所以我们有必要去介绍第三和第四个概念，我们来看一下。第三个叫做递推公式法，如果已经知道数列 a n 的 第一项 或者前几项，且任意一项跟它相邻一项或者几项之间的关系，我们就把这样的一种公式叫做竖列的递推公式。 举一个非常非常简单的例子，大家看一下，如果我们这里有一个竖列三四五六七用地推公式就可以这么表示，因为他打头的第一项 a 一 项结果是三，于是我们写出来，而且从规律的角度来说，我们会发现 每一项都可以由它的前面这一项加上一得到，所以我们就可以把 a n 加一 作为前面一项 a n 加上一个一得到的结果。那么大家在理解这个事的时候，你就要明白，所谓的 a n 就是 某一项，对吧？而 a n 加一就是刚才这一项的后面那一项，因为 n 加一和 n 其实是相邻的两个整数， 于是我们就得到了这是后面一项跟前面一项的一个关系，我们就把这样的一种关系式给他一个名字叫做地推公式，那么这里我们就要去想讲一讲为什么叫地推，对吧？我们说现实生活中有一个很有意思的这个意志类的游戏叫多米诺骨牌，相信大家应该是见过的，可能没玩过，对吧？ 我们都知道多明的股牌的一个基本原理就是，我如果能够把第一张牌推倒的话，那么由于我们后面的每一张牌都跟前面的牌怎么样啊？紧密排列，他会依次由第一张牌推倒第二张牌，第二张牌推倒第三张牌依次推下去，形成一个伟大的工程。 所以大家可以看到，对于这个式子来说，起到了正是多米诺骨牌的一个作用。大家想一想，如果这个式子中，我们令 n 等于一，你能得到什么？你是不是可以得到 a 二就是由 a 一 加一得到，而 a 一 的值已经是三了，你带入进来，你就可以把 a 二顺利的算出来，等于四。 同样的，你令刚才这个式子中的 n 取二，你会得到后面的 a 三，一定是 a 二再加一的， 而 a 二的值是四了，所以你带入进来，你会得到它的前一项一定就是五，相当于，我只要知道后项跟前项的关系，知道开头的这个数是谁，那么我们能够依次递推，不断地递推去把你想要的每一项都能求出来，这就叫递推关系， ok 吧。当然，递推关系不仅仅局限于这种简单的形式，我们再举例，比如说后面我们可能会看到 a n 等于 a n 减一 再乘二，对吧？这也是后项跟前项的关系。再比如，更加复杂的说， a n 加一等于 a n 再加上 a n 减一，这什么意思啊？哦，你要得到一项，你可以由它的前一项和它再前一项两者的和相加得到，这都是递推关系。 那么大家注意，地推关系比较明显的一个基本的原则是什么呢？哎，就是你能够观察到的是象和象之间的关系， 对吧？那么这里面可能会出现的就是不止一个象的出现啊，可能会出现两个甚至多个象，这是大家务必要注意的。而象和象往往我们就用 a n 啊，什么 a n 加一啊，什么 a n 减一啊，甚至会出现 a 二 n 啊这些来进行表达， ok 吧？好，于是你可以感受到，地推公式虽然好，可是并不能一把帮助我们得到你想要的结果。我举个例子，就在刚才这个地推关系下，我要让各位同学直接给我去求出 a 一 百 a 二零二二， 而我们说了都能求，对吧？你可以一步一步推，可是你能一下子说出结果吗？貌似还欠了一点，那这个时候怎么办？我们要去看一看通向公式法。 我们都知道我们在研究函数的时候，我们的终极目标是什么来着，是想知道函数 f x 的 叫什么？叫解析式， 对吧？那么你要注意 f x 的 解析式，它的一个基本特征是什么？是你要能够在右边迅速去读到它是一个怎样的关于 x 的 代数式， 所以对于数列来说，我们也是这样的一个原理，我们想找到 a n 跟谁的关系呢？哎，我们都知道 a n， 你 理解为是一个函数值的结果，它一定是随着自变量 n 的 变化而变化，所以我一定想知道 a n 如果是一个 经典的关于 n 的 解析式该多好？举一个例子，就比如说 a n 假如就能够等于 n 加二，那么这个式子大家看一下它能帮助我们得到什么？我让大家去求 a 一 百 啊，你可以兴高采烈的直接令这个 n 等于一百，带到右边这个式子中，得到一百加二，就一定是一百零二。再比如说我让大家问大家 a 三是几，你就得到 n 等于三的时候带进去三加二等于五，是这样的吧，那么你会发现这个公式 对于我们来说意义重大，这就相当于我们知道了函数的解析式，就相当于我知道了这个 n 换成几，做一个代入运算就 ok 了， 是这样的吧，那么大家就要注意这两，这两个公式呢，是我们考察力度最大的，那么你最喜欢谁？你的终极目标是谁？你要明确一定是通向公式对不对？通向公式特征是什么？是等号右边只是一个含有 n 的 代数式，它不能再有别的项了啊，不能说我在混杂着说什么 a n 减一， a n 加一，那这个时候对不起，它只能叫什么呀？递推公式， 所以很多题目都是给的是地推关关系，或者叫地推公式，想让大家利用地推来求什么来求通向公式。所以大家注意，通向公式一定是我们研究树立的一个最高境界，最终极的一个目标， ok 吧？所以通向公式大家掌握啊，它的等号右边一定是一个关于 n 的 解析式，我能一目了然的识别出第几项，它的结果就是几 ok， 这是我们给大家去举的呃，去讲解的这个竖列的四种表示方法，大家重点掌握第二、三和第四个方式。下面呢，我们用一组练习来巩固一下，大家看一下例题。 首先呢，我们看一下第一小题对吧？已知竖列 a n 满足 a e 等于一，已知这样的一个关系，那么 n 呢？是大于等于二的。 问大家 a 二是几？ a 五是几？好，拿到这个题目之后，请大家识别一下所谓的 a n 等于 n 加一分之 n 倍的 a n 减一是哪一种公式？哎，我们说了左边是 a n， 右边出现了别的象，大家注意，这就不是一个 单纯的通向公式了，这应该是什么？是一个递推，对吧？因为我说的出现了向和向之间的关系，那怎么办？哎，题目给了 a 一， 一定可以推 a 二， a 二一定可以推 a 三，一直你想推 a 五都没有问题，细心一点，那么说令 n 等于几？哎，因为你想要 a 二吗？那你令 a 等于 n 等于二，所以左边就会出现 a 二了，右边 n 全都用二换三分之二的 a 一， 对吧？好，带入进来，所以第一空呢？填三分之二， ok 吧？好，我们再令 n 等于三，对吧？这个时候你一定可以得到 a 三等于三比四倍的 a 二，好的，代入进来，就是四分之三，再乘上一个三分之二，所以这个结果是二分之一，没问题吧？好，继续 令 n 等于四啊，你会得到 a 四，就是代入进去，四比五 a 三好，也就是五分之四，再乘二分之一，所以这个结果是五分之二， ok 吧？好，我们最后令 n 等于五，你可以得到 a 五，就是五比上六倍的 a 四，所以这个结果是六分之五，再乘五分之二， 也就是三分之一。所以本题呢，第二空填三分之一，这个呢，我们就相当于把这个地推给它演绎出来了。当然，大家在做这个题的时候，你也可以去动动脑筋想一想啊，这个三分之二，不动，这个四分，这个二分之一啊，实际上是四分之二，这里再来一个五分之二， 这个三分之一呢，实际上是谁啊？是六分之二，所以大家其实可以去找找规律的啊，你可以归纳一下这个 a n 是 谁，你想一想啊，我们说了，二的时候是三分之二， 三的时候是四分之二，四的时候是五分之二，五的时候是六分之二，那 n 的 时候呢？一定是 n 加一分之二，没错吧？二，总在分子上，你这个分母总比这个角标要大一啊，所以这个规律如果你能找到的话，其实也是非常利于你去切入这个数列的行知识点的啊。好，下面我们来看一下第二题， 这又是一个什么关系啊？哎，你发现这又是一个地推关系，说已经知道 a 一 等于一 a n 跟 a n 减一之间的一个关系，那么求 a 二是几？ a 十等于几？后项跟前项，于是怎么办？令 n 等于二，我们得到 a 二，一定是两个 a 一 再加一，所以这个结果是 三。令 n 等于三，得到 a 三是两个 a 二再加一，这个结果是七。令 n 等于四，会得到 a 四是两个 a 三再加一，这个结果是十五， 我们再写一个吧， n 等于五的时候， a 五是两个 a 四再加一，这个结果是三十一。那么说你只要细心耐心的算下去的话，我们说这个答案总是能出来，对吧？但是因为这个角标 a 十比较大了，所以大家其实可以用我们刚才的这个经验来归纳归纳，看看能不能找到规律。 你说三七十五三十一有什么规律啊？哎，细心的会发现，三和四相差一，七和八相差一十五，三十一都跟十六和三十二相差一，那么我们把这个数给大家写出来， 你可能会有点感觉，对吧？四、八十六，三十二就是谁？哎，就是二的某次方，这是二的二次， 这是二的三次，这是二的四次，这个呢？是二的五次，所以大家可以猜测一下啊，这个 a n 是 谁？这个 a n 就 应该是二的 n 次，但是这个数一定会比你要的这个结果怎么样？大一，所以一定后面要减一个一， 于是我们得到这个 a 十，就应该是二的十次方，再减一，这个结果是幺零二三。这是我们通过这个题目得到了一个经验，就是我们可以去根据规律找一找这个题目的答案， ok 吧？好，我们再看第三题。第三题，大家识别一下这是什么公式啦，哎， a n 的 右边是一个纯粹的关于 n 的 解析式，对吧？所以这是一个标准的 通项公式。通项公式我们举双手欢迎，因为你想求 a 四，那很简单，我不要去把 a 一 a 二 a 三算出来，我直接令什么 n 等于四就好了，这就会得到 a 四 是等于二乘四的平方，减去十五乘四再加十。好，这个结果是二乘十六，再减六十，再加十啊，这个结果呢是，嗯，四十二减六十，答案呢是负的十八，这是第一空，第二空。大家看一下问， 当 n 等于几的时候， a n 最小，哦，我们说了 a n 实际上是一个关于 n 的 函数，对吧？ 没错吧？好了，这个函数如果我们把 n 当做自变量的时候，你会快速识别出这是一个什么函数，是一个二次函数 没错吧？这个二次函数开口朝哪啊？开口朝上，题目相当于在问我们，这个二次函数，哪一个函数值是最小的啊？我们都知道，二次函数一定是在对称轴的时候取最小口算一下，对称轴负的二 a 分 之 b， 也就是四分之十五， ok 吧？好，这个数呢？是多少？哎，是三点七五的样子，对吧？好了，那么大家就要注意，有些人就会问，说，是不是就填 n 等于三点七五的时候， a n 最小呢？ 显然不是，我们提醒过大家，对吧？ a n 作为一个数类来讲，这个 n 的 下角标一定是一个什么数，是一个属于 n 星的数，是一个正整数，所以你找 这个最小值的时候，你一定找的是距离这个最低点最近的那个整数点在哪里？我们说了， n 你 不可以取三点七五，但是可以取几，取三取四都 ok， 是 这样的吧。好，那我们想想，三离三点七五近啊，还是四更近啊？很明显，三远一点， 四更近一点。因为四根三点七五只相差零点二五个单位，三根三点七五相差零点七五个单位，所以我们说了这个函数说错了啊，这个竖列它的图像其实只是一些离散的点。我们再次提醒大家， ok 吧？好，他实际上是不能连成这个线的，但是为了表述他的一个形状，他所的一个分布，对吧？我们把这个二字还是给他画了出来而已，所以请大家一定要小心这样的一个问题啊，所以我们说了，这个题目你只能在这个整点四处取得最低点，所以答案填四。 第三题告诉我们再次强调了一下，竖列，它是一个特殊的函数，没错，它的定义域是正整数， ok 吧？好，这个讲完之后，那么我们最后看一下一个非常重要的定义，叫做竖列的前 n 项和。 我们把竖列 a n 的 前面的 n 项的和用 sn 来表示 sn 跟 n 的 一个关系， 大家务必要注意，写在下面就是这个。好，首先我们来看一下定义， s n 是 什么？ s n 是 一个数字的前 n 项和，就是我们从第一项开始加到第二项，加上第三项一直加加加加，把它的 d n 减一项也加上，把它的 d n 项也加上，这叫前 n 项。和我举例啊，就比如说 s 七是什么？那就是 a 一 加上 a 二一直加， 加到 a 六加到 a 七结束。再比如问大家 s 六是谁，那就是 a 一 加 a 二，一直加加加，只加到 a 六就结束， ok 吧？好了，基于这样的一个定义，大家就要注意了，经常会考我们 a n， 也就是像和 s n 的 一个关系，其实刚才我们也给大家感受出来了，对吧？你看啊， s n 是 什么？是 a 一 加 a n 减一，加到 a n 结束。 那么现在我们给大家去写一个 s n 减一，你就要想象一下它是谁，它就是从 a 一 开始加 a 二，一直加加加，加到谁啊？加到 a n 减一，它就结束了。因为你的下角标是 n 减一，所以你最后这一项就是 n 减一，于是你发现这两个式子它们有大批公共的部分就在这是 这样的吧，好，也就是说这两指的差别在哪里呢？就多了一个 a n， 于是考虑一下，我们把两个式子做一个叉，大家可以看到 sn 跟 sn 减一做差之后的结果就是这个整体和这个整体消掉，留下了一个 an， 这就是为什么我们去写 an， 它可以表达为 sn 减 sn 减一的一个原因， 能理解不？ ok， 那 么有的就会说，那这个是有什么用呢？这个是用处在于，如果你在一个题目中看到了 sn， 你 其实可以毫不犹豫的去写出 sn 减一，这两者的差就是 an， 很好理解吗？ sn 是 前面 n 项的和 sn 减一是前面 n 减一项的，和这两者相差了谁啊？不就相差了最后落落下的这个 a n 吗？这个 a n 啊，不就是最后这一项吗？不就是那个通项吗？对不对？好， 所以大家就要注意了，这个 sn 跟 a n 的 关系，应该是高考的一个什么呀，常课啊，也是一个非常高频的考点，但是这里往往也就出现了一点坑了， 请大家务必小心。大家没看到刚才我在写这个 a n 等于 s n 减 s n 减，那时候后面加了一个 n 大 于等于二，不知道各位同学能不能理解，为什么要跟上这样的一个标注，哎，其实我们刚才给大家提过，无论是 a 也好， b 也好， s 也好，但凡出现在这个位置的值都要怎么样啊，都要大于等于一。因为我们说对于数列来讲， 他最初始的这一项就是第一项，他是不可能出现第零项、第一点、五项、第负的项的。基 于这一点，你既然已经引入了 sn 减一这样一个写法，你就要注意，这个 n 减一也一定要大于等于一才有意义，因为你不可能让这个地方出现零，这就会导致这个 n 要大于等于二。换言之，这个式子你在使用的时候，一定是至少出现 s 二 是 a 一 加 a 二，而 s 一 就是前一项的和这个时候你把这两者做个叉， s 二减 s 一 才能得到 a 二留下。这是对的， 但是你绝对不可能出现说 s 一 等于 a 一 s 零这个东西是没有的， 就会导致我们说这个 n 一定要大于等于二，才会出现 s 二减 s 一。 如果真的有 n 等于一的话，那你带到这个式中将会出现 s 一 减 s 零，我们说没有 s 零这个东西，所以但凡出现 n 减一这个角标，立即跟上 n 大 于等于二，请大家务必要小心 啊。也就是说，我们在用这个方式来求 a n， 也就是通向的时候，你要注意只适合在 n 大 于等于二的时候去求。 也就是说你最后求助这个 a n 只能显示出 a 二， a 三， a 四等等等等这些项的结果，你不能显示 a 一， 那么有同学就会问，那 a 一 是谁？根据定义， a 一 表示，第一项表示，前一项表示的，可以用 s 一 来进行描述。 这就是为什么这个经典的式子出现了一个分段的形式，说 n 等于一的时候， a 一 就是 s 一， n 大 于等于二的时候， an 是 sn 减 sn 减一的一个原因，请大家一定要注意这样的一个式子，它往往在高考中出现坑点，好多同学呢，知道 sn 减 sn 减一，不注意后面这样的一个标注，不注意 an 求出来的一个适用性需要你去补充， a 一 是几？ 好吧？好，说到这之后呢，我们也通过这组练习来巩固一下第一个 a n 的 前 n 向和 s n 是 三， n 求 a 一 a 三，再求 a n 是 几好，大家看一下 s n 等于三， n 表示前 n 向的和，现在问问 a 一 是谁？ a 是 谁啊？前一项就是三乘一等于三， ok 吧？好，这个很简单，那我们再看一下 a 三是几，我说 a 三就是前三项的和减前两项的和，记得吧，我们用的原理就是 a n 等于 sn 减， sn 减一，只要你的这个 n 等于二就行。好，那 s 三是谁？三三得九， s 二是谁？二三得六，所以解出来还是三， ok 吧。好了，于是呢，我们想去求一下 a n， 大家注意这个 a n 是 谁呢？这个 a n 是 s， n 减 s， n 减一，注意，这个 n 要大于等于二的时候成立。 当 n 等于一的时候，单独列出来，它就是 s 一。 好，那来了， s n 就是 谁？三 n， 那 s n 减一是谁呢？哎，就是三倍的。你把这个角标 n 用 n 减一，是谁呢？哎，就是三倍的。你把这个角标 n 减一换一，就等于 s， n 减一， 也就是三， n 减去一个，三倍的 n 减一，这个结果仍然是三。但是大家注意，这个结果只适用于在 n 大 于等于二的时候成立， 那 n 等于一的时候，请大家单算一下它是谁啊？ a 一 就是 s， 一 也是三，这就告诉我们，在 n 大 于等于二的时候， a n 是 三， 在 n 等于一的时候， a 一 也是三。于是我们可以笼统的说， a n， 你 不管是 n 等于一也好，还是大于等于一也好，它通通都等于三，这个就 ok 了， 会了吧。好，那下面看第二题说已知 sn 是 这个，求 a n。 我 们说了，方法很简单，在 n 大 于等于二的时候， a n 就是 sn 减 sn 减一， 我们代入进来，就是 n 的 方减去九 n， 这就叫 s n 再减去 s， n 减一是谁啊？把 n 换成 n 减一，做一个代入， ok， 好， 我们化解一下，就是 n 方减去九， n 再减去一个， n 方减二， n 再加一减九， n 再加九，两式作差。然后呢，把公共的消掉之后啊，你会得到这个结果应该等于谁算一下二 n 减十。 注意啊，这只是 n 大 于等于二的时候是乘以的，那么有的说，那 n 等于一的时候，要不要再验证一下？当然需要在 n 等于一的时候，大家看好了， a 一 就是 s， 一 就等于一减九等于负八。 所以我们说了，最终你写结果的时候应该这么写， a n 它可以分段， n 大 于等于二的时候叫二 n 减十， n 等于一的时候，它等于负八。这个答案是对的，但是我们请大家注意一下，在很多数列当中，你会发现，无论是 n 大 约等于二也好，还是 n 等于一也好， 使用这个式子是没问题的。以这个题目为例，大家看这个负八，你可以怎么认为呢？你可不可以也认为是二 n 减十得到呢？为啥？因为在 n 等于一的时候，这个二 n 减十就是二乘一减十，果然等于负八， 就告诉我们，这两者虽然分段写 ok， 但是如果不分段写，笼统写成 a， n 等于二， n 减十， 后面跟上 n 属于 n 心是完全没问题的，因为你用这个式子去计算 a 一 的话，也能够得到负八这个结果，所以这个题目最后形成了一个统一的局面，你完全可以用二 n 减十来整体记录， ok 吧？好，那么后面这一空也就不难了。说 d k 向满足， a k 介于五到八之间，我们都知道 a k 是 谁 啊， a n 都被你求了，叫二 n 减十，那 a k 就是 二 k 减十喽，它介于五到八之间，我们解一下，就是二 k 介于十八到十五之间，解得 k 介于七点五到九之间， 本身这是一个不等式，对吧？可是我们知道下角标 k 一定是一个正整数，介于七点五到九之间的正整数，只有谁啊？只有八，所以这个题目答案唯一的就是八。 ok， 好， 那这个时候我们可以看下第三题，大家可以再去对比一下。又是知道 s n 想去求 a n， 我 们用的关系仍然是刚才那一条， 在 n 大 于等于二的时候，我们的 a n 是 等于 s， n 减去 s， n 减一的代入进来就会是 n 方加 n 减二，减去一个 n 减一方加上一个 n 减一，再减二。好，化简完了之后，你会求得这个结果是二 n， 这是在 n 大 于等于二时成立。 这个时候单独计算 n 等于一的时候，你会发现 a 一 就是 s， 一， 它等于一，加一减二等于零。这个时候我们要写出 a n 的 通项结果就是 n 等于一的时候是零， n 大 于等于二的时候是二 n， 那 么这个时候大家看一下能不能合并了呢？而你会发现不能合并， 你不能笼统写成说 a n 就是 二， n 完事。为啥？因为你如果令 n 等于一的话，这个结果算出来会是二，它并不等于实际上的零，这个时候这两者 就完全不一样的体系，所以你必须写成一个分段的结果，所以第三题的答案必须分段。而第二题大家再回头看的时候，你会发现哦，这个负八你可以分，但是因为我们把一带入到这个式中算出来也正好能够等于负八，所以这两者可以笼统的合并。 这是二和三的一个对比，请大家务必要注意，要小心啊。所以通过这组例题啊，包括我们对于 sn 的 讲解，大家要知道两个事， 第一，你看到 sn 往往条件反射出现 sn 减一，两式一作叉就能出现 an 这个通向，通向是我们求之不得的一个东西对不对？所以呢， 看到 s n 写 s n 减一，这是你必须掌握的第一个点。第二，用这个式的时候请大家务必要注意，一定要写 n 等于二和 n 等于分开的情况，在最后的时候看一看是不是能够形成合并的局面，这是请大家务必要小心的啊。 好，以上的四个点就是我们对于数列的一个基本概念的一个讲解啊，希望大家能够及时的去进行消化，我们就给先给大家说到这里。
38光明
