高考数学押题卷2025江西
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14:42查看AI文稿AI文稿这题上来看到第三问，第三问明显左边是一个竖列求和的形式，右边不是求和的形式，那这种题是有通法的。这种题要证明这个不等式一般就是比较通项，这边的通项明显是这一项 n 倍的 sine 二分之二，然后这边它没有通项，没有通项，实际上你就可以求通项的，你把它看成 s n 就是这样，虽然看着不是一个求和的样子，你把它看成求和的样子，看着 sn 化简的结果，然后去求出对应的通项，再去比较通项就可以了。已知 sn 求通项的话，就是 an 等于 sn， 减三减一， n 等于二，当 n 等于一时， a 一 就是 s 一 嘛， 是可以算的。然后在比较通向的大小的时候，一般是需要用到前面第一问，第二问，给你铺垫的不等式，一般就是这样，当然这一题会略有不同，来看一下，因为待会需要用到前面的结论，所以我们从第一问开始看。这个第一问非常经典， f x 等于三 x， 除以二加三 x 的 值域，那导数学多了，可能第一想法是上来就求导，求导呢，可以做 这边和三角函数相关的，你可以先搞一个周期，这样 x 可以 研究的少一点，这边算一口，算一点，周期都是二派，那 f x 周期应该就是二派，验证一下 f x 加二派，划一下，划一下，发现真的，那我们就只需要研究二派长度的一个， 就研究一个周期就可以了。这个研究的话，你研究零到二派或者负派到派之类的都不影响，都可以的。比如像这边就研究负派到派， 好，下面求导，求导分母平方上面就该求导，求导嘛，正常求求完之后化简出这个式子。这个式子呢，正负只要看二， cosine x 加二分之一，这个临界是 cosine x 等于负二分之一。 写一下，临界是 cosine x 等于负的二分之一，那这个负派倒派有几个？ 负外到派的话，那应该是两个吧，就是 x 等于正负三分之二派， cosine 三分之二派是负二分之一， cosine 负三分之二派的话也是一样的。按照一个老公式， cosine 负三分之二派就是 cosine 三分之二派，就是负二分之一。 所以两个零件，两个零件呢，就是分三段，分三段，下面各自看一下正负就可以了，所以就减增减，这样确定好，确定好，减增减之后，那图像大概换一下吧。 f x 现在在负派到派 减增减，那就减增减，大概这样，那就知道这边是负派，这边是派，而且因为周期是二派，它俩一定是一样高的， 他俩一定一样高。那现在这个止欲简单了呀，就是带这边最小，带这边最大，就一个是负三分之二派，一个是三分之二派，带一带就好了，但是这边四个都带了，都不影响，所以止欲就是负三分之根号三到三分之根号三，这样正常做是没有问题的。求导可以写， 但是求导说完之后要说一下，这一期如果你用求导做的话，那就是导数学的走火入魔了，这个求导挺难的，挺烦的，这个不要求导做。像这样的式子就是什么样的式子， a 倍的三 x 加 b， 再除以 b 倍的 cos x 加 c。 像这种你当年没学导数的时候，这种题就是会求值域的呀，怎么求方法比较多啊？这边再给你说两个， 比如像第一个可以用辅助角公式直接令 t 等于它，然后把分母乘过来，乘过来得到这个，这边 cos 和 cos 放一起，放一起之后，这边用辅助角公式提一下，提取根号加 a 方加 b 方，那提出来这边这个 f 肯定不是头角，你就写 f， 就也在，然后这个三也明显在负一和一之间，所以成了根号之后就是在负根号和正根号之间，那这个整体不就二 t 吗？所以二 t 就 要在负根号和正根号之间，实际上也就是二 t 的 绝对值需要小于等于根号下一加 t 方。 下面解这个不等式就出答案了，这个不等式要解的话就是平方平方，然后就出来这个答案，这就是之余，跟刚刚九导算下来是一样的。 好，还有一个方法，还有一个方法可以与数值结合，像这样一个明显表示斜率嘛，就是点 a 是 cosine sine， 点 b 是 负二，符号零它俩你看算一下，斜率跟它是一样的， 而这个点 a 在 单元圆上，点 a 在 单元圆上，所以不就是过负二零这个点，然后做一根线，点 a 在 圆上动吧，就这根线也需要和这个圆有公共点，那临界位置显然就是这有个切线，然后下面也是不也有个切线，这个切线很好算，你看 这边连一下，把切点连起来，切点连起来，这边是半径是一啊，而这一段是二啊，这边垂直，所以这边显示三十度啊，三十度那开就是三分之根号三，下面这条线就是负的三分之根号三，所以结束了。 好，这题就说到这，当然其他还有很多方法你可以自己去研究。比如像你在这用二倍角公式，这给它用那个三角方加 cos 方，等于一给它套进来，然后变成奇次式 也可以的，或者你直接把它理解成万能公式，代一下也行的。好，下面第二问，第二问是导出里面比较常规的端点效应， 看一下啊，对于任意的 x 属于零到真无穷都有， f x 小 于等于 a x， 你 把这个端点零带进去，零带进去发现 f 零等于零，对吧？这个零带进来也是零，所以零带进来刚好去的话，那正常就是端点效应 好，直接一向做叉，一向做叉，发现建立的于零，然后求过导，求过导，这个导数已经写好了，这个导数实际上轻松的，因为刚刚第一问，刚刚第一问在这，是不是求过导，直接抄过来就可以了， f x 一 撇，后面再减个 a 嘛？ 到到到了这，那下面怎么写呢？刚刚说短点效应，短点效应就是 现在我们希望 g x 要怎么样，你移过来的话，应该是希望 g x 要小于零，我们发现零这儿 g 零是等于零的，那在零的右边一点点，这个 g x 要么就是平着，要么就是往下，绝不可能这样往上翘，往上翘这个 g x 就 会有正的，它就不是很小，小于零了。所以这儿必然有什么 必然有记，零一撇是要小于等于零的，对吧？所以我们把零带进去，带进这个导数，带进导数就得到这个，然后解一下，发现 a 大 于等于三分之一，但是这是答案吗？ 这还不一定，就是通过这个式子我们可以知道， a 小 于三分之一肯定不对，但 a 大 于等于三分之一也未必对，因为当 a 大 于等于三分之一也未必对，因为当 a 大 于等于三分之一的时候，你只能保证这个零件位置是对的，其他地方你如果下来再上去呢？ 是不是就不对了？所以下面还需要再证明，再证明的话就是直接正它就可以了。端点效应大部分的情况下都是成立的，只要你你能正到这个逻辑上就是闭环的。 当 a 大 于等于三分之一时，看这个 g x 一 撇，正好可以直接把 a 放缩放掉。 a 大 于等于三分之一，那这边添一个负号， g x 一 撇就是小于等于这边带负三分之一，下面这边通分就好了。通分完得到这个式子，这个式子，然后小于等于零。 小于等于零。好，下面小于等于零， g x 一 撇小于等于零，这个 g x 就是 单调递减嘛， g x 单调递减，那 g x 就 会小于等于零，那发现确实恒成立啊，确实恒成立就对的，这个 a 就是 大于等于三分之一。好，这个第二问做完了。第二问真的是非常经典，就是 第三问这种在前面一般就是喜欢通过端点效应来铺垫不等式，这边真的是端点效应铺垫的不等式，然后不等式一般用什么？一般就是把这个零件带进去，零件带进去，这不就得到了 f x 小 于等于三分之一 x 这样一个不等式吧。这个不等式待会第三问肯定是要用的。 好，下面看第三问。第三问按照刚刚一开始说的思路啊，就是左边是个求和，它的通向是这个 直接抄过来，然后把它也看成求和，它的通项应该是它减它，但是注意它减它指数 s n 减三减一，这个只对 n 大 于等于二成立。正常大部分题目都是要检验第一项的，但是这一题不需要为什么，因为他说了 n 大 于二。 首先我不用管，那就直接 s n 减三减一减一下，找到这个，所以你要正求和小于它，那就是证明这个通项小于这样一个通项。 那这个通向怎么正呢？这个通向观察一下，观察一下可以发现，这边是 n 分 之二，这边有二，这边有二，这个二除过来跟他搭一下的话，是二分之 n， 把二分之 n 再放到分母上去，是不是就 n 分 之二这样结构可以统一一点，这边也能化简一下。呃，就这样变， 变到这以后下面应该干嘛呢？这边好像这个东西不太会正了。不太会正了，那就想想前面的铺垫，前面第二文铺垫就是 a 大 于等于三分之一，你把三分之一带进来，会出现一个不等式。 好，三分之一带一下由二只，当 a 等于三分之一时，它铺垫了这样一个不等式，这边范围可以缩小，刚刚第二文范围给的是零到正无穷，这边只需要卡一个零到一就可以了， 为什么？待会取值你就发现了，反正这边如果你先写零到中位数也是没关系的，第二个正过了，它都成立的。 我到这个到这个要干嘛呢？肯定是要往这个方向来靠，这是 n 分 之二，这也 n 分 之二，那这是不是就是三 x 除以 x 的 样子，对吧？三 x 除以 x， 那 这有个三 x 肯定要除个 x， 除个 x， 除个 x， 就 把这个 x 除过来嘛。三 x 除以 x， 你 把这个分母乘过来，三分之一乘它， 是吧？所以在这儿就对着它看，肯定是 x 取 n 分 之二，而这个 n 分 之二就有范围， n 是 大于等于二的， n 分 之二肯定是在零到一之间，所以这儿写了这样一个范围，对吧？这个零是取不到的，所以这个等号也取不到，对吧？这个等号也取不到， 行，继续取了 n 分 之二带进来，带进来到这个，所以下面你要证什么就可以了。我现在要证明它小于这一串， 而我现在发现他是小于这一串的，那如果我能够挣到他比他小，是不是就可以了，对吧？他比他小，当然极限情况是可以相等，相等无所谓，他俩如果是一样的，那三除以这个是不是也一样是小，一样小，所以这边等号可以带，可以带 好，下面就乘这个乘这个，那再化简一下呗。这个三分之一乘进去，这边都都都打开吧，这个乘一下就发现口三也可以解出来。 接下来找到这个，找到这个，然后这个怎么扔这个到这儿？如果你没有什么好的想法的话，在这儿我觉得是可以往下去构造函数求导的，就是 你构造了 q 三 x 分 之二，就把 n 看成 x 嘛，或者稍微换个圆，你把这个 n 分 之二看成 x， 就 证明 q 三 x 选于等于什么，什么去求导做应该是可以的， 不叫应该，肯定可以，肯定可以，但是在这也是看这写的过早，函数求导肯定能做，但是肉眼可见的麻烦， 麻烦，那就再画一画，再画一画。怎么画呢？硬化，比如像这，这可以通分的， 主要这可以通分，通分，那就是 n 乘 n 加一分之上面写 n 加一做 x， 那 就前面多一个符号，要这边这个，这边这个，然后呢？ 然后就发现这个东西你是可以往 n 方上靠，因为竖列的方缩里面有一个很经典的 n 方分之一和这个 n 乘 n 加一，对吧？还有什么 n 方分之一和 n 乘 n 减一类似这样的，这种方缩是挺常见的，那我们这个反过来把它换成 n 方看行不行？ 换成 n 方的话，主要是看大小，就是 n 方分之一和 n 乘 n 加一分之一，这个分母要小一点，这个分母小一点取倒数是不是要大一点？大一点的话，那它减它减都要小的。你现在如果换成它的话，是不是多减了一点，多减了一点，那这个方向应该没问题， 就是你只需要挣掉挣 cosine n 分 之二小于等于一减方分之一就可以了，因为一减方分之一它是小于， 它是小于这个的，你只要能挣到 cosine 一 分之二小于的于它，那 cosine 一 分之二一定就是小于它的。 那下面在这儿再去构造函数求导，应该会简单很多，但是考试的时候在这儿去构造函数求导是一样是不放心的，为什么？因为你放缩了好多次，这个是不一定成立， 不一定成立，那这个没办法，就考试的时候只能试一试，试一试。这边为了方便求导的话，我们直接令 x 的 原分之二，这个 x 是 在零到一之间的，所以 这个这个 n 可以 解出来就 x 分 之二吗？带进来四分之 x 方而去正这个正这个，然后正上求导啊，正上求导，然后发现这能写， 这个往下就是一个正常求导。真的能做，真的挣出来了，挣出来了就开心了呀，开心那就就就做完了呀，是吧？已经知道他小于，那这边肯定成立了呀，那这个肯定成立了呀，那这个肯定成立了呀，再往上就肯定都成立了呀，就就都做完了， 就是这样。当然这一题最后考的这个不等式啊，可以积累一下这个不等式可以积累一下，如果你本来就会这个不等式，那你勾到这 就可以开心了呀，下面肯定是稳稳拿分的，稳稳做出来了呀。如果你不知道这个不等式往下就只有通过来求导，看一下能不能写，最终求导完全发现真的能写，那就可以。 好，这个不等式写。在这大部分情况下，我们背的都是前面这个 cosine x 大 于等于一减二分之 x 方，但今天也可以多会一个 cosine 小 于等于一减四分之 x 方，这个只有在零的附近成立。这边给你画了个图，黑色的这个就是 cosine， 这边是 y 轴啊， 这个是 cosine， 然后蓝色的是那个非常常见的一减掉二分之 x 方，就是 cosine 大 于等于一减二分之 x 方。是对任意的 x 属于耳度成立，就这个式子是对任意的 x 属于耳度成立。但是后面这个 它是一个开口向下的函数，这个的话就是开口大一点，开口大一点呢，就是在这外轴的附近是成立的， 你也可以看到这个大概的范围啊，这边是负四分之三派，是大概负一，往这来一点差不多，往这来一点差不多，就在零的附近，像刚刚这一题，正的就是在零到一之间，这是可以的，好了。
1219讲极难
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20:04查看AI文稿AI文稿好，各位同学，我们一起来看到高一三星联考数学的卷子。嗯，那先看 question 部分，这个 question 部分前三题比较送分，第四题跟第五题都是比较基础的那种题目，第六题呢，有点少创新，但是很多同学可能在一些很难的题目里面见过了所谓的最大加最小， 嗯，考考试的时候可能有点会比较难反应过来。第七题也是一个比较常规的比大小，第八题也是一个比较常规的抽象函数，性质。好，我们一起来看到。先看到前三个冲分题，第一题呢，你只要注意到 x 是 属于自然数的就可以，那大于等于负一，小于等于二的自然数有且只有哪些呢？ 零一二对吧？然后我们跟大于等于负一，小于等于一的所有数字取一个交集，那么就只会剩零跟一两个数字了。然后第二个全称跟特称命题的否定，只要注意，我们这里只要改把量词一改变，结论一否定就可以了。那量词要把任意改存在。 好，那结论呢？原本是属于属于这个有理数的，那现在当然是不属于有理数就可以了，注意千万别动。这个明白。好，第三个也是比较简单的，充分必要。那各位先想一下，如果三 x 减一是整数， x 一定是整数吗？比如我们举个反例，三分之二 就可以保证三乘三分之二减一是一个整数，但是三分之二会不会是整数？不会，所以充分呢？很显然是不满足的。然后第二个 x 为整数，那首先那三倍的 x 肯定也应该是整数吧，那加减一肯定也是整数，所以必要性能是满足的，对不对？那就应该是一个必要不充分 好，所以前三题基本上应该都不太会有问题。我们来看到第四题，第四题也是一个比较常规的复合函数的问题。我们这里面领 x 平方减 x 等于 t， 把它分成两段来看，它应该是 x 先到它，它再到三的 t 次方。由于 t 到三的 t 次方应该是一个指数函数，底数比一大，我们永远是一个单增的，对不对？前半段又是我们从初中开始就比较习惯，呃，接触过的一个二次函数，我应该在负无穷开口向上对称轴呢，应该是二分之一， 应该在负无穷到二分之一呢，是一个单调递减，二分之一到正无穷应该是一个单调递增。负函数。就一个口诀啊，同增异减，那这里面我们具备相反的增减性，最终数出来，答案应该是递减， 然后相同的增减性呢？最终我应该是单增的，对不对？他要选单减区间，那很显然应该是负无穷的二分之一，包括这道题呢？可能你初看有点懵逼，但是实际上 你就按他的规则一个一个带过去，你看，因为他这里掏了两次有 f f x 零，那我们来肯定要先解决 f x 零吧。 那根据他说的说法， x 零位于零到一，那我肯定应该使用这一个来代入，那 f x 零是不是应该是 x 零加一？ ok， 那 我还要继续带的时候，我就要考虑，那我 f x 零的范围应该是几？题目里面告诉我了 x 零的范围应该是几，那我加个一以后呢？我整体应该是位于一到二的， 那这个时候我再考虑把 f x 零整体带入的话，我是不是应该带第二个解析式，也就是 f 括号 f x 零应该就是 三减去两倍的 f x 零吧。然后我又知道 f x 零是几，是 x 零加一，我给它带入三减去两倍的 x 零加一，整理一下整体就应该是一减去两倍的 x 零，它告诉我它的范围呢，也是位于零到一的，就小于一，大于等于零， 两边先减个一负二， x 零应该是小于零，大于等于负一，两边同乘个负二分之一，记到编号，那 x 零就应该是大于零，小于等于二分之一，对吧？就选到了这个 c 选项， 所以前五题都都是比较基础的， ok， 第六题最大最小值问题，那这个是什么呢？我先给大家解释下。我们应该有些同学已经见过了，这个 max ab 指的就是对于这两个元素来说呢，如果两个人都在变啊，如果 ab b 更大，我们就去 a b， b a 更大呢，我们就去 b。 好， 那这个里面他说的是 max x y 又要最，就是在取完以后，他要尽可能的最少，这里面千万别着急，我们先放着，他其实讲的是 m 加 n 分 之四以及 m 分 之一 加 n， 我 们需要在他们取完，就是根据我们的这个规则， max 以后，也就是谁跟大，我选谁，选完以后， 因为你两个人都在变吗？对不对？我举个例，我举个很简单的例子，比如他是二跟四，对吧？那我取了四，对不对？或者他是三和五，那我就取五，对吧？如果是五跟三，我就取，我就取五，对吧？那我们肯定要先去看他们之间有没有一些关系吗？对不对？ 那这个里面大家如果做的题做的比较多，你就会发现，这里加起来就是一个基本不等式了，对不对？所以我来先研究下， x 加 y， x 加 y 的 话，我们配一边应该是 m 加 m 分 之一，再加 n 分 之四加 n， 应该是大于等于两倍的根号一，这里一个基本不等式， 这里呢加上两倍的根号四，所以这两个人的和应该是比几大？比六更大的，对不对？对吧？嗯，因为大于零，我们是可以一定可以用基本为等式的，也就是你会发现， 这个我们这里讲两个说法哈，你 x 加 y 其实是等于六的，对不对？那我们这里面不妨就可以把 y 看成 x 减六，所以我们要探寻 x x 减六的什么值。 哦，不好意思，应该是六减 x 更大的时候，它们的更少。那这个怎么看呢？来，你可以画一个函数图像， y 等于 x 是 不是长这样子，对吧？那 y 等于六减 x 呢？嗯，向下的并写过六零应该是长这样子的吧？ 六，然后它们的角，它们两个的交点，我们算一下，应该是 x 等于六减 x， 就 说明二 x 等于三， 那也就是什么意思呢？我，当我 x 比三更少的时候，我肯定是取它的，对不对？当 x 比 三更大的时候，我肯定是用他会更大，对吧？那他们什么时候达到最小值？就当且仅当他们两个相等的时候，也就是，呃，每个人都是三的时候，对不对？我们取到了什么值？最小值，对吧？好， 我觉得这个标答的逻辑有点难理解啊，他告诉你两个人的和是加起来等于六的，那两个人 更大的那一个最少值都是三。如果你理解不了呢？我就建议你按这个函数图像画一下，因为这个 max 其实本质上就是一个分段函数嘛。当 x 更大的时候，我们就 取 y 等于 x， 当 x 更少的，嗯，当六减 x 更大的时候，我们就取 y 等于六减 x， 那 取完以后，它的最函数最小值就应该是三了。 ok， 看到第七题，也是一个比较常规的比大小，那怎么比呢？ 嗯，先变成一样的，找个中间值，我们先去与零点六的零点六次方作比较。那这个怎么比？它其实应该是零点六的 x， 这个指数函数，我们赋予了不同的 x， 对 不对？ 那底数少于一的指数函数我，我有更大的 x， 但是呢，我整体函数值是不是由于我单调递减，我应该要更少？所以很显然，零点六的零点五次方应该是大于零点六的零点六次方。那我变过来以后，我再去看零点六的零点六次方和零点五的零点六次方之间的关系， 因为他们同属于 x 的 零点六这个次方，这个密函数只是我们赋予了不同的函数值，那密函数我们上面这个东西比零更大，我就能认为我是单调递增的，那我是不是有更大的 x？ 零点六比零点五更大，我就会有更大的 y， 所以你对比一下，发现你取了个中间量以后， a 实际上是比 b 更大的，对不对？那第一个 a 二比 b 大。 好，那剩下这个 c 选项呢？由于它是一个具体的数字，那我们怎么比较呢？我们一般是把它也变成一个具体的数字整理一下，那应该是五分之三的二分之一次方， 那这里面不好比，对不对？因为你二分之一次方，那我们怎么去掉二分之一次方呢？由于我们两个都是正数，那么 a 的 平方横起来应该是和 c 的 平方，我是不是能去掉二分之一？ a 的 平方应该是五分之三， c 的 平方呢？应该是十六分之九。 那为什么我要去比他的平方呢？因为我们都是正数的话，我本体更大，平方就更大。同理，平方更大，是不是相当于我本身就会更大？那我们来比一下五分之三和十六分之九，那这个的比较有很多，实在不行你就嗯处一下也行。或者呢， 把分子变一样，上下同乘一个三，他是不是十五分之九，十六分之九混合都可以，你就会发现，十五分之九很明显应该是大于十六分之九的，对不对？也就 a 的 平方是比 c 的 平方更大的，那么讲道理， a 应该也要比谁大？ 比 c 大， 但做到这里你还没有做完，因为它有可能是 a 选项，也有可能是什么呢？ a 大 于 b 大 于 c， c 选项，所以我们最终还要去比较一下 b 与 c 的 大小。那同样的 b 与 c， 嗯， b 也转换成一个数字，它应该是二分之一的五分之三次方。那这里略有一点麻烦 你，因为你不可能整体是三分之五次方，所以我们选择去比较。哦，不好意思，是 b， b 的 五次方就应该是二分之一的三次方，那么 c 的 五次方呢？嗯，这个是三的五次方的四的五次方。好，先放着这，这个怎么比呢？两个分数我们还是建议通分或者 配成一样的。那这个四的五次方，我不妨就看成二的平方的五次方，也就是二的十次方。三的五次方呢，是可以算出来的，它应该是八十一乘，再乘一个三的四方是八十一嘛，再乘一个三应该是两百四十三。好， 现在还不好比，是因为我们的分母不一样，那我上下同乘二的七次方以后，我这边是不是二的十次方，分之二的七次方分母是不是就应该是一样的了？那二的七次方是多少呢？各位，你可以去算一下，应该是一百二十八， 你就会发现 c 的 五次方是二的十次方，分之两百四十三， b 的 五次方呢，是二的十次方，分之一百二十八。很显然， c 的 五次方是大于 b 的 五次方的，那么由于我们是正数， c 也会大于 b， 对 吧？所以这道题我们就选到了 a 选项。好， a 跟 b 的 判断是，我觉得作为高一同学，大家是一定要会的哈。 ok， 那 我们来看到第八题， 第八题呢，其实是一个比较常规的，也不能讲比较常规吧，就大家考已经考了很多的一个抽象函数，我们要解决具体值，要解决既有性，要解决增减性的一个问题。 嗯，那这种题目呢，我们在高一的时候还是要把基本方法掌握好，然后到了高三呢，或者等你们学完三角函数以后呢，我们就会给大家引入。嗯，有一个方法叫做构造具体函数哈，当然，这个， 嗯算特殊方法吧，它不算那个通法哦，我们一起来先用常规方法把它做一遍。好吧，那第一问，这个值的呢？你看着想到负一，你肯定想直接令 x 跟 y 等于负一，但是带进去，你发现呢？这里多了个谁， 这里多了一个很讨厌的 f 一， 对不对？那我们还要解决 f 一， 那怎么办呢？很简单，令 x 等于 y 等于一，把它依次代入，那是不是得到了 f 一 加二分之一等于两倍的 f 一， 你会发现这个式子可以把 f 一 解出来，应该是几是 二分之一。那我们代入回去以后，由于你两倍的 f 负一是 e， 那 f 负一呢？也应该是二分之一， 对吧？ a 选项就应该是对的。 ok， 复制那 b 选项，你要证明它的奇偶性，你只需要同时出现 f x 和 f x， 我 们判断它们的关系对不对？那这里面你已经有了 f x， 那 负 x 怎么办呢？很多同学会想，那我就令 y 等于负 x 就 行吗？但是不行，这边就出现了一个负 x 的 平方， 对吧？所以这里面的负值呢？哎，你既然这个东西没有办法变成负 x， 我 是不是考虑令它是负 x 就 行？那你看，你要令 x， y 是 负 x， y 得负几？ y 是 不得变成负一，所以很简单。 这个也是我觉得比较常规的一个题目啊，大家一定要练手。令 y 等于负一以后，你是不是变成了 f 负 x 加二分之一等于 f x 加 f 负一，又因为你 a 选项已经算了 f 负一是几，是不是二分之一，你就会发现二分之一，二分之一约掉，你得到了 f 负 x 是 等于 f x 的， 那么我们定域也是对称的，那所以我当然是一个 o 函数，对吧？好， c 选项和 d 选项 包括 d 选项，这个 e 就 肯定是在比单调性的问题嘛，对吧？ c 选项呢，这个二分之一你有可能是 f e， 有 可能是 f 负 e， 所以 也应该跟单调性无关。那这种的单调性怎么办呢？我们也是，但是注意我给大家强调一点哈， 我们在偶函数的时候，很多时候都证明我们单调性的时候，你并不会是取 x c x r 属于 r， 因为，嗯，如果你做题目做的足够多，你记得这个经典的偶函数吧，它我们一般是取 x 一 大于 x 二大于零，我们先证它在零到正无穷的增减性，然后再利用偶函数是关于 y 轴对称的，我们再折过去。那我们先来看看这个， 我这里也许 x 一 大于 x， r 大 于零，那我是不是要得到 f x 一 减 f x r 的 大小正负？那这个里面，你初看我们都没有 f 括号减 f 括号怎么办呢？你就先把它挪一个括号过来，然后你把这个数字呢？你看它不爽，你看它挪回去，对吧？ 是不是已经大概的出现了这样子的形状，那这个里面肯定 x 等于几 x r 吧。 好，那这里面你还可以动 y， 但是动 y 之前你不着急，你先想一下，我，既然我要这个式子变成 f x 一 减 f x r， 我 是不是需要 x r y 这个整体是谁？是不得是 x 一， 对吧？那我得负 y 是 多少呢？ y 就 自然而然应该是 x 一 除以 x r 吧， 所以挪下来，我们就是令 y 再等于一个 x 一 除以 x 二，你看这边是不是 x 二乘 x 二分之 x 一 就变成了 x 一， 这里不动，是不是 f x 二这边呢？就有点麻烦，是 x f x 一 除以 x 二减二分之一。好，做到这一步的时候，你左边已经配成了这个样子，那我们就只要去判断右边的正负就行了。然后题目里面告诉了你， 嗯，当 x 大 于一的时候，因为我取的 x 一 不是比 x r 更大吗？并且比零更大，那 x 一 属于 x r 肯定是一个比一大的数，对不对？那根据题目的说法，我的自变量只要比一大，我的函数值就会比几大？ 比二分之一更大，那我减去二分之一，我这里是不一定是一个大于零的，所以我们就判断出来，它在零到正无穷应该是一个单调递增的。那么由于它是偶函数，各位同学，你们想一下， 偶函数就是关于 y 轴对称，那我在负无穷到零呢，应该是干嘛？是不是一个单调递减对不对？那么递选项呢？其实就很好判断了， 既然我在负无穷到零是一个单调递减，我的负二零二四本身是比负二零二三更少的单调递减，我有更小的 x， 我 确确实实就会有一个更大的 y 吧。 嗯，所以 d 就是 对的好，那 c 自然而然就是错的。但是我们讲解，我们还是把 c 讲一下。为什么做这个题目的最好方式呢？就把图上大概画一下， 当然我们只能大概的画一个图哈，因为我是先增的嘛。嗯，偶函数，你学的最多的二次函数，你就把它也当二次函数的模型画。首先我们不能确定。 呃，我比一大的时候比二分之一大，那这个地方我把认为是二分之一，这个地方是一，可以吧？那这边我是负递减，我负一的时候对应到的是二分之一， ok， 我 现在需要我的函数值呢，少于二分之一是不是取这一部分， 对不对？也就是其实你看，通过图像，我要求我的次倍量 x 加二得位于一到负一之间，并且 x 加二呢，又不能等于这个零解上，应该是 x 要位于负一到负三的时候，并且 x 不 能等于负二，所以它刚好缺反了，看到了吗？它自然而然就是错误的。 好，那这个就是高一三型的单选，我觉得除了第六题呢？嗯，可能大家接触比较少以外，剩下题题目都是一些比较你平常应该做过很多次的题目了哈。 好，那这个题目如果学有余力的同学，我建议大家可以慢慢的去开始接受。一个就是什么呢？我们解决这种类型的题目，这个在高三也经常考多选。呃，我们有一个叫做构造具体函数的题， 我花几分钟大概给大家讲个思路，有机会呢，我也会发一个这种视频，当然你也可以直接在 b 站或者在抖音上去搜，他现在有很多的关于这方面的技巧了，那我给大家做个影子吧。如果我们有一天碰见这么一个函数，抽象函数的解析式对不对？ 好，那你来想一下，什么样的是两个相加变内部相乘，那是不是跟你学的这个对数很像很像， 对吧？对数函数，这个时候我们就可以令这个函数是对数函数。但是第一个问题，哎，我的对数函数定义域不是零到正无穷吗？哎，那你就加个绝对值，我是不是可以把定义域变成负无穷到零和零到正无穷， 对吧？那这道题又不一样，他多加了个二分之一，怎么办？好，那这里面加个数字呢？你就把它也加一个数字 b， ok， 然后给它带到这个式子里面， 你看它是不是 log a x y 加二分之一，再加 b 等于 log a x 的 绝对值，加 b， 再加 log b x 的 绝对值，再加二分啊。 log a y 的 绝对值再加二分之一。好，由于我们知道这个 外面相加，里面相乘，这个肯定是等于这个的，就被约掉了，对不对？那你看剩下的约个二分之一。哦，不好意思，这个地方是 b 哈，写快了， 这个地方是 b， 约一个 b， 你 就会发现 b 应该是等于几二分之一的，对不对？所以我们就会考虑去构造一个什么函数呢？我们基于这个式子，我就可以构造一个 log a x 的 绝对值 加二分之一。好，那你可能会说这个 a 是 多少呢？其实无所谓的哈，来第一个，它说了， x 大 于一的时候，也就是我需要 x 大 于一的时候，我 log a x 的 绝对值 加二分之一，得大于二分之一，也就是 log a， x 的 绝对值得大于零。它的意思是 x 大 于一的时候，我这个得大于零，对不对？那我只要把底数选一个，干嘛比一大的是不是就可以？那比如说我们可以选个十或者选个 e， 一 般我们高三的时候，我们就得建议大家选 e， 也就改成 line x 加二分之一。做完这个你就可以直接代值嘛。 f 负一就是 line 一 等于零，加二分之一就是二分之一，它是不是偶函数？当然是偶函数，一个小绝对值，对不对？然后呢？ line 的 图像你不是会画吗？加二分之一又不影响它的增减性，我在这边是递减的，所以 d 也是对的，对吧？ 然后呢，什么时候会比二分之一更少？也就是 line x 的 绝对值什么时候要比零更少，对吧？ 也就是说 line x 加二的绝对值什么时候比零更少，那说明 x 加二的绝对值得少于一，且 x 加二的绝对值不等于零。也能去做啊。但是这个只是作为一个补充吧，就是学有余力的同学可以抽时间或者含时差的时候我们去完成这件事情。好，那待会儿我们一起来看到。嗯，多选题跟填空题部分。
27教数学的L老师
