高考数学押题卷2025江西
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30:11查看AI文稿AI文稿我们讲解一下此次的高三的三三新试卷，该试卷的一个难度中等，是八十九题的最后问，难度偏大一些， 我们挑，对于质卷，我们挑一部分进行讲解。首先是第六题，第六题的话，用正弦定，你是能够得到 p f 一 与 p f 二的一个关系式， p f 一 等于五倍的 p f 二。再根据椭圆的第一定义，能够得到 p f 二的一个长度等于三分之 a， 再利用交半径的一个范围大于等于 a 加 c， 从而解出 a 的 一个曲值范围。这是第六题， 我们看一下 t 体， t 体是考察三角函数，对于这种三角函数，我们需要通过三角函数的一些印刷性质给他画画成一个三角函数， 用一个三角函数表示，我们在这里能够画出来 f x， 这个 f x 是 等于 sine 的 二 x 加二倍减六分之 pi 加二分之一的这么一个形式。 他说在零到四分之上单调递增，那么将 x 的 一个取值范围给带到这个整个市值内，你就能够得到二 x 加二 f i 减六分之 pi 的 一个范围是在二 f i 减六分之 pi 和二 f i 加三分之 pi。 在这里这两个的一个范围是不确定的，我们需要进行一个精确化，有题目有给到派的一个取式范围，那么原本的一个二派减六分之派的一个范围和二派加三分之派的范围能够得到， 我们分别能得到一个是负六分之七派到六分之五派，一个二派加三分之四派的一个区间。 然后再根据三角函数的一个图像性质，从何得到，从何得到。二减六分之派要大于等于负二分之派， 以及二 f 加三分之派要小于等于二分之派。从何解出 y 的 一个范围？ 这是第七题，我们看一下第八题。第八题考察的是一个立体知识，我们通过简单的一个绘图，它是一个正方题。通过 m， b， a， m 以及 c， n， c 它们 n， c， e 的 一个向量关系，我们得到能够得到点 m 跟点 n 的 一个相对位置， 点 m 是 靠近 a 点的一个三等分点以及点 n 是 c， c， e 的 一个中点。在这里我们需要去构造一个长方体。 构造一个长方体，也就是以 m n 做以对角线的一个长方体，我们来看一下它的一个大概形状就是这么个样子的。以 m， n 作为体对角线，这里我们给它命名为 e， f， h， m， b， c 和 f， e， g， n 这么一个长方体，它是以 m， n 作为体对 m， n 作为体对角线一个立方体。那我们知道，当我以 m， n 要过 m n 的 一个体面， 让它分成两部分，自然而然它一定它是能够将我们这个 f 一 g， h， p， m， b， c 这个长方体啊 进行一个面积平分的。如果正好过 m， n 的 话，在这里我们就能够知道，首先是一个整个的一个 a， b， c， d 和 a， e， b， e， c， e 的 一个体积，能够计算出来它是一百八十，也就是 v， e 等于一百八十。而我们记这个 m， b， d， h， e， g， n， f 这个长方体的体积也是能够进行一个计算，是七十二。如果我们过 m， n 进行一个分割的话，是能够正好一个对半分的，也就是能够将这个 m， b， c， h 以及 e， g， n， f 这个正方体啊的体积分成一半，那么就是三十六，但是因为它这个 m、 n 会进行一个变动，以及我们是需要去进行一个计算啊，这里不是 v， 这里是整个大的一个体积，是一百六，一百八十 记作 v 零吧， v 一 的话，那么他就是等于什么一百八，那么 v 自然就会小于等于二百一十六，减去三十六，这里是 v 零， v 零是原本的一个体积，通过计算是二百一十六，这里写错了。 那么我们的一个整个 v 一， 它就是小于等于二百一十六，减去三十六，它的一个 m， b， c， h 跟 e、 g、 n、 f 这个题的一半的体积，而 v 二则会大于等于三十六，从而能解出 v 一 减 v 二的一个最大值就是一百八十，减去三十六 得到对应的一个 d 选项，在这里它就是关键，就是需要去构造一个以 m、 n 为体对角线的一个长方体进行分析。 我们看一下第九题，第九题的关键还是在于算出 f、 x 跟 g、 x 的 一个最大值，能够算到 p 是 p 是 等于二减 a 的， 以及 q 是 等于三减 a 的， 这里是用，这里是用一下基本不等式解题即可啊，这是第九题， 我们看一下第十题和第十一题。首先是第十题，第十题的话看的考察形式比较新颖，与化学相结合，但是其实它的一个本质是三个正六边形的一个题目而已，我们考察的是一个向量知识，那我们就需要去通过间隙 与向量知识进行结合即可。你只需要以这个 k、 b、 k、 b、 c、 d， e、 g 这个菱形的一个中点作为圆点，然后构造一个 x、 y 平面坐标系即可，再将它们各个点的一个坐标写出来，从而判断 a、 b、 c、 d 的 一个正确性即可。 这是第十题、第十一题。第十一题的话，我们需要先将 c 一、 c 二、 c 三的一个表达式给它进行书写出来。 c 的 话，它的一个方程是 x 加二分之三的平方，加 y 减三倍根号三，括号平方等于四。 c 二，它的一个方程是 x 加二分之三的平方，加 y 加二分之三倍根号二的平方等于四。 根号三以及 c 三的一个方程是 x 减三的平方，加上 y 方等于四 这么一些方程，我们看得出来这个 c 一、 c 二、 c 三啊，他们的半径都是二，以及他们对应的一个圆心是怎么样的一个情况？ 我们根据选项来进行答题。我们首先看 a 选项， a 选项，他说这个圆的一个半径是四，减根号十，判断他们是否有公共点，我们就只需要去借助圆圆与圆之间的一个半径关系，从而进行一个判断，这是 a 选项。 b 选项的话，我们通过画图进行一个理解，我们能够画出这么一个简单的一个图式，以及他的这个原样有个半径，那么自然而然再根据圆与圆之间的半径关系 得到他们公共点的关系，你就能够列出他的一个式，只是 r 减二的绝对值小于他们两个半径之合，也就是三小于 r 加二这么一个式，从而解出 r 的 一个范围，这是 b。 而 d 选项的话，我们通过 通过画这种图去理解，就能够判断出来 d 选项是错误的。 c 选项的话，我们怎么进行判断呢？主要是要根据就是有关于直 或相当于是圆上的一个点到直线的一个距离吗？那我们更多的就是看看圆心到直线的一个距离情况即可。你分别算出 c 一 的圆心到这个直线的距离是二倍根号二分之五加三倍根号二，他是大于他们的一个半，大于他们一个半径的，以及 c 二到圆心的一个距离是到直线的距离是二分之根号二 分之三倍根号三点五小于二到直线的一个距离，以及这个 c 三到这个直线的距离是 c 三到这个直线的距离是根号二是小于二的， 综合进行一个判断即可。这是十一题，你们看一下其他的一个后续的一个填空题是如何进行解答的。 首先是第十三题，十三题的一个核心就是去找他们的一个联系式 s 一 乘 s 二，它是构造与 ab 为变量的一个式子即可。我们将 ab 的 一个长度设为 x， 则 b 的 长度也为 x。 然后根据周长是十二的， 根据周长是十二，能够得到 bc 的 一个式子，从而进行一个解析即可。将 s 一 乘 s 二表示成有关于自变量 ab 的 一个关系式，也就是有关 x， 你 会得到它们的一个结果，结果为四分之根号三 x 立方括号六减二分之三 x。 然后对 x 进行一个取值限制， x 是 小于四大于零的。 紧接着这是一个四次，四次的一个函数，那么进行求导解析即可。这是第十三题，我们重点看一下第十四题，十四题的话，他的一个难度在于构造，构造函数怎么去构造的问题。 我们来看一下他的一个式子，在这里得到这么一个复杂式子，他是想让我们去判断一些单调性，或者说去构造一个函数，进行一个暗示。在这里我们可以不妨令 x 一 小于 x 二， 从而得到 x 二这个式子减括号 x 一 的四次方加一 f x 二， 它是大于零的，我们从而能得到 x 二的四加一，这么一个式子是大于 x 一 的四加一的 f x 二的这么一个形式。 我们会发现啊，因为这里是 x 与 x 二，以及这里是关键式。那么如果我能够构造出，就能够构造出一个新的函数，从而判断它的一个单调性怎么去构造，那么就是 g x 到一个新函数， g x 是 f x 除以 x 四次方加一， 就勾到这个函数，相当于左右两边给进行除除过去即可。通过勾到这个函数进行一个单调性的判断，那么我们就能够判断出来，它是在零到十是递减的。再结合它们的一个奇偶性， f x 是 个偶函数，那么 g x 它就是一个 d 函数了， g x 就是 一个 g 函数。紧接着因为它要求这个解集，我们需要给它化成 f 括号跟 f 括号的这么一个形式。 我们来看，我们得到 g x 的 一个式子，是勾到一个新的函数， g x 等于 f x 除以 x 四加一这么一个式子， 它是一函数，并且是在零到十上是递减的，那么根据 g 偶信号，它在负，它在负十到零上，这就是也是递减的，就这么一个性质。那么观察一下这个式子， f 一 等于四跟 f 三等于负一百六十 四，那么我们就能够写出 g 一 和 g 三的一个值，在这里你就能够计算出 g 一 是二以及 g 三是负二。 我们再看看 f x 减一这个式子，它其实是能够转化成这么一个式子，所要求的是能够转化成 f x 减一大于二，括号 x 减一的四次方加一这么一个形式的，再将它除过去，那么就是 f x 减一除以 x 减一的四次方加一大于二，在这里其实就是我们所构造的一个函数 g x， 从而解出这个式子，那么就是 x 减一。要用它的一个必有性和单调性写出式子， x 减一要属于负十，负三并上零一，从而解读解出 x 的 一个值是负九， 负二并上一二这么一个形式。这里的一个二需要我们换成什么，换成 g 一 进行解答即可。这是这一道题， 我们看一下其他题目。首先是第十七题，十七题的这一道十七题的第二小问的第一小问就是常规的一个延长公式计算即可，你会算出是根号九十六，他就会大于 大于根号九十五了，通过基本的一个乘法公式进行计算即可。第二小问题是比较常规的一个题型了，我们进行一个两个方程进行一个连力之后，你会得到我们将这两个直线与直线与这个双曲线进行连力， 将直线与双极限进行连立之后，就能够得到有关。有关于将直线与这个双极限呢？进行连立会得到有关于 x 的 一个二次项，从而得到 x 一 加 x 二跟 x 一 乘 x 二这么一个伟大定律， 能够计算出 x 一 加 x 二是等于二 k m 除以二减 k 方，以及 x 一 乘 x 二是等于负 m 方加六除以二减 k 方的负 m 方加六除以二减 k 方。这是伟大定律再利用它的一个题目条件 o a 跟 o b 的 斜率之积嘛，为负 k m， 那 么直接翻译就是 y 一 乘 y 二除以 x 一 乘 x 二 这么一个值，它是等于负 k m 的。 那这个式子我们能够用伟大定定理进行一个替换即可，你会得到，根据这个条件能够得到六 k 方减二 m 方等于负 k m m 方加六负 k 能得到这么一个式子。得到这个式子之后，我们去假设这个 l 过 n 点，因为相当于是反向去证明嘛， 如果他过定过这个左焦点，我们证明说条件如果矛盾的话，那就证明他不过，这样如果不矛盾，那就是证明过这过这个 n 点的 啊。我们就假设要是经过 n 的 左焦点的，那么自然而然这个直线我们就可以写成，那么直线我们就可以得到 m 等于三 k 这么一个式子， 给他带到哪里？带到这个式子里面去，带到这个直线 l 的 式子里面去，就能得到 m 等于三 k， 从而将这个回到我们刚刚求的一个式子，六 k 方减二 m 方等于负 k m 括号 m 方加六这么一个式子里去， 从而解得九 k 方啊，他是等于负二的，在这里的话，九 k 方实际上是不可能为负数的，所以他是与这个条件进行一个矛盾的，因此 l 是 不经过这个 n 的 左焦点，这是 t 的 第二小问，我们看一下十八题，十八题的话，题目出的比较新， 他的一个难点在于怎么去理解这个题目所给的条件。首先是第二点，第二点的话他就是用第二与一的一个交集求空集嘛， 同理，一三他是由另外一个 d 与一二进行求交集，我们通过读题其实能够判断出来，如果我要去判断一 c 是 多少，那么实际上是要拿他与一三的空集是否为空集进行一个判断的， 这是我们通过读题分析出来的一个结果。首先是第一小问，第一小问就是一个很常规的，通过这个形式，你能够得到 a n 加二加 a n 是 等于两倍的 a n 加一的，它是一个等差数列， 这等差数列的等差通项是怎么？它就是个 a， 所以 a n 是 一个等差通，等差列从而得到 a n 的 一个通向公式， a n 应该是等于 a n 四三加一，你从而你能够列出第一、第二、第三、第四、第五、第六、第七他们的一个具体值，再根据题目所给的一个定义进行解析即可。在这里的话应应该解出一二，是，这里应该是解出一二为一三， 它是等于十二十的，以及一三能够解出是 d 七等于二十二、四十四这么一个值。这第一小问 我们看一下第二小问。第二小问的一个难点，其实还是在去理解这个提议的问题上，我要去辨别一下一四、一五、一六、一七这种一 n 你 怎么去求？你是需要能够通过题目读懂的，也就是我们要拿， 比如你要求一四，那你就要拿这个 d 的 一个区间去跟一三求交集，你要求一五，那你就要拿 d 的 一个区间去一四求交集。 题目翻译出来就是这个这个情况，那么我们可以去进行一个假设，我假设一 n， 它是等于 d 的 b n， 然后 n 是 b， 一 是等于一的， 这是我们通过第一条文是知道的，在这里我们就是看能不能找寻到这个东西与这个东西的一个关系式。而我们假设 m 是 属于 n 的， 那么自然而然就有 m 大 于 b n， 然后我并且设 e n 交这个 d m 为空集，而根据提意就可以能够分析出来 a b n 跟二 a b n， 它与这个 a m 和二 a m 是 交集为空集空集的，然后你把它进行一个代换，就能得到是这个三 b n 加一六， b n 加二与这个三 m 加一六 m 加二是空集。 从而我们知道，既然它们是空集，那么它们的一个范围就能够得到是三 m 加一要大于六 b n 加二这么一个式子， 从而解出 m 要大于二 b n 加三分之一这么一个形式。紧接着 由于 m 啊，它是要一个是正的自然数，因此实际上 m 就是 大于两倍的 b n 大 于等于两倍的 b n 加一，用这里加三分之的话，它就不是这个正的一个自然数了，从而得到 m 与 b n 的 关系式。 进而我们能够得到一 n 加一，它是等于 d 的 二 b n 加一的，就这个情况，然后就等于 d 的 b n 加一，从而能够得到 b n 加一等于两倍的 b n 加一。这个就是有关于竖列的一个递推公式了，从而解出 你可以构造一下，就是 b n 加一，加一等于两倍的 b n 加一，它是一个等比数列，这个整体是个等比数列，从而求出 b n 的 一个关系式是二 n 减一这么一个形式， 那我们就能够得到一 n 的 一个式子，它就是 d 的 二， n 减一， g 是 三乘以二， n 减二，三乘以二的 n 加一减四这么一个关系式了。而二，而这个我们所求的这个我们所需要求的三倍的二 n， 他的一个式子是正好介于这两者之间的，从而得到证明。第二小问了，我们看一下第三小问，第三小问就是低于第二小问的一个基础上进行一个答题。 我们知道一 n 它是等于三乘二的 n 减二。哦，好，三乘二的 n 加一减四， 而这个四 k 啊，我们肯定要写成这种等比的一个形式，即将四 k 写成二的二 k 这么一个形式， 它会怎么样？它会大于等于三乘二的 n 次方减二，小于等于三乘二的 n 加一减四这么一个形式。而我们需要看 n 与 t 的 一个关系式，也就是我需要留意一下这个东西与这两 留意这个角标二 k 与 n 加一 n 加二之间的一个联系式，去给找他们的关系，那么自然而然我就是去看，当 n 等于一的时候， k 它就等于一是没有。而当 n 大 于等于二的时候， 我们就要去比较一下他的一个摄氏大小，去比较一下他们的一个摄氏大小关系。在这里可能是需要我们进行一个放缩了，来，我们看一下他就是二 n 加一，他是等于二乘二的 n 的， 他会小于等于三乘二 n 减二， 然后二的 n 加二，它又会大于三乘二的 n 减二，怎么去证明呢？同时的 n 加二，如果你与这个三乘以二， n 加与这个减四进行比较的话，作差进行比较，大小它会小于它小于零，那么就是这个 二的 n 加二，它会小于三乘以二的 n 加一减四，从而我们就能够还有一个二 n 加三， 同样我们是能够得到他与他与我们去比较他的与这个的关系式，能够得到他是大于三乘以 n 加一减四的。这里大家关系比较，只要去做差进行比较即可，那我们就能够得到一系列的一个关，从而我们得到得到一系列的关系式，从而得到一系列关系式是二 n 加一小于三乘二的 n 减二小于二， n 加二小于三乘二， n 加一减四， 再拆小于二的 n 加一，从而我们就是将这个 n 加二与这个二 k 建立了联系，让它符合这么一个式子， 得到二 k 是 等于 n 加二的，我们从而就能得到这么一个关键词，得到关键词，我们就可以继续进行一个后续的题目做法。当然我们需要去讨论，当 n 为基数时，它 k 就 怎么样不存在了，而 n 为偶数时，这个 k 它就会等于二分之 n 加二了， 就是根据二 k 等于 n 加二得出来的一个形式，而这里是 t 嘛，那也其实就是考虑一下 t 的 一个基偶性即可。当 t 为基的时候，当 t 为基数的时候， 我们的 s t 它就是由四的一加四，二一直加到四的二分之 t 加一，因为它必须是把这个形式变成一个偶数形式，而 t 为基的 t 为偶的时候，则可以由 s t， 它是四的一加四的二， 一直可以直接加到四的二分之 t 加二了，这里就是有一点点区别。而这个当 t 为基式和 t 为偶式，我们都可以用等比数列的一个求和公式进行解析即可。这第三小问我们看下第十、第十九题，十九题导数问题。 导数问题的我们看一下第二小问，第二小问是零点问题，我们只需要对注意一下，它定义是 x 大 于零， f x 的 定义是 x 大 于零，然后对 f x 进行一个求导， 能够得到它是路由导，之后它是一减路由 x 除以 x， 从而判断它的一个单调性。它在零到一是导函数是大于零的，也就是 f x 是 递增的。在一到正无穷时，导函数是小于零的， f x 是 递减的，从而我们知道它有个极大值， f x 就是 f e， 这是极大值， 他是一分之一减 m， 那 么一个情况，而他要有两个零点，那我们就当看一下他的一个趋近情况，当 x 趋近于零时， f x 是 趋近于负无穷的。当 x 趋向于正无穷时，其实 f x 是 趋向于负 m 的， 因为 x 分 之洛， x 趋向于零的，所以 f x 是 趋向于负 m 的。 在这里我们需要他有两个零点，自然而然就要就要知道一些东西，首先他的一个最值是不是极大值，要一分之一减， m 要大于零，这是第一点。 第二点就是这个负 m 要小于零，从而解除 m 的 范围即可，从而解除 m 的 范围即可。 m 的 范围我们就能够解到他是一分之一大于 大于零和小于一分之一的。同样，而对于这个 g x 里面的一个范围，它是这样的，它跟 f x 有 一定的关系式的，我们 f x 进行将 f x， 将 g x 进行一个变形的话，你会得到 g x 的 一个方，关系式为你会得到 g x 的 一个关系式为幻影 x 方分之一除以 x 方分之一减 m， 能得到这么一个式子， 他就是等于 f 括号 x 方分之一的，所以其实他们的一个零点情况是相同的，而进而他们的一个范围还是 m 的 范围是一致的，所以最后 m 的 范围就是小 小一分之一大于零这么一个范围。我们看一下第二小问，第二小问的一个就算比较难的那种了，他需要你去用基本不等式，以及需要运用放缩和基本不等式， 以及将 x 一 x 二 x 三 x 四转化为两个变量 x 一 x 二，进而再使用指数点偏移的一个题目 解法进行解析的，对它难度会偏大一些。我们来看一下它的一个思路。首先是我们在前面第，我们在第二小题问的这一里面是知道的它的 g x 啊， 它是等于 f 的 x 平方分之一的，知道这个东西，那么我们就能够得到 x 三 x 四与 x 一 x 二的关系式， 只不过我们需要进行 x 一 x 二 x 三 x 四进行一个范围的一个精确化而已。在这里我们根据第二小问的这个信息的话，求导之后，你是能够得到 x 一， 它是大一， 是这样的一个形式小于 x 二，这这是这个形式他们的 x x 二的范围，只不过在这里如果你带入 f 一 的话，你会发现它是等于负 m 的， 而我们求了 m 范围是零到一分之一的，它是小于零的，根据零点存在定力，从而能将 x c 的 范围更精确化一点， 那么 x 一 的一个范围就是这么一个范围。好，而我们知道 x 通过这个式子能够得到是 三的平方分之一，它是等于 x 二的，而 x 四的平方分之一是等于 x 一 的， 从何解？从何知道它们的一个关系式嘛？我们就知道 x 三，它是等于根号二分之，根号 x 二分之一以及 x 四，它是等于根号 x 一分之一，这里我们就得到 x 三 x 四的关系式，也意味着我能够将 x 三 x 用 x 一 x 二表示啊，从而使得这么一长串的这个相加式转换为只有 x 一 x 二的一个变量 问题。好，我们继续看 x 一 加 x 二加 x 三加 x 四，它就会等于 x 一 加 x 二加根号 x 一 分之一加根号 x 二分之一。这么一形式进行一个通分之后， 我们就会得到 x 一 加 x 二加上根号 x 一 x 二分之。根号 x 一 加根号 x 这么一个形式。 再利用一个基本不等式，它是大于二倍。根号根号 x 一 x 二除以根号 x 一 x 二，这个式子，它就是等于二除以根号 x 一 x 二开四次根这么一个式子， 这一期就运用了一个放缩了。我们知道，对于这个式子而言，我们看 x 一 乘 x 二的平方，它是大于 x 一 乘 x， 因为 x 二，因为什么？因为 x 二 x 一， 它是大等于一的，从而得到这么一个结果， 从而得到根号 x 一 x 二大于根号 x 一 x 二的四次方，这个就跟这个建立了联系， 从而将原本的式子变成了我们将这个比较复杂的这个根号 x 一 x 二四分之二给他进行一个简化，他就会大于二倍根号 x 一 x 二，而这个式子我们又可以用基本不等式 进行一个书写，他就是二分之根号 x 一 加 x 二，从而等于四除以 x 一 加 x 二这么一个形式， 那么也就是说我这个东西它会大于这么个东西是这样来的，从而我们将所有整个式子进行一个书写，就是从而我们就会得到这个式子，它会大于，会 大于 x 一 加 x 二加 x 一 加 x 二分之四，是这样的。 好，接着我们看看他这里，他是要这个设置大于证明大于二括号一加一分之一的形式， 实际上如果我们给他写进去，你会发现其实他是这种形式，就等于二一加二一分之四这么一个形式。好，其实他就是变成了极值点偏移问题了，相当于把这个东西跟这个东西进行一个范围比较， 也就是要去证明 x 一 加 x 二大于二亿这么一个形式，这个就是非常典型的一个指点偏移问题了。进行平移之后就是 x 一 大于二亿减 x 二这种形式需要你去构造一个新的函数， f x 等于等于 f 减 f 二亿减 x 这么一个函数， 它就从而将这个值带到我们 f x 里面去，之后进行一个求导，进行一个求导，它这个求导是比较复杂，你可以去尝试一下求导之后去证明它的一个单调性，证明你会证明出 f x 这个函数，它是单，它是一个递增函数的这个新函数 f x 递增函数 加 f x 递增函数，那么也那么也就意味着我们是 f x 会小于什么？会小于 f e 等于零，你能得到这个结果，它是单调递增函数啊， 在一到，在一到一上单调递增能得到这么一个结果，这里 f 一 正好是等于零的，可以自个去写一下，看一看，从而我们进而得到 f x 一 小于 f 二一减 x 一 这么一个形式。而我们知道这个东西，它其实就是等于 x 二， 这东西它就是 x 二对不对？从而得到就能够证明出我们一个 x 一 加 x 二大于二一，那么这么一个形式，从而证出 x 一 加 x 二大于二一即可。
17至诚培优
14:42查看AI文稿AI文稿这题上来看到第三问，第三问明显左边是一个竖列求和的形式，右边不是求和的形式，那这种题是有通法的。这种题要证明这个不等式一般就是比较通项，这边的通项明显是这一项 n 倍的 sine 二分之二，然后这边它没有通项，没有通项，实际上你就可以求通项的，你把它看成 s n 就是这样，虽然看着不是一个求和的样子，你把它看成求和的样子，看着 sn 化简的结果，然后去求出对应的通项，再去比较通项就可以了。已知 sn 求通项的话，就是 an 等于 sn， 减三减一， n 等于二，当 n 等于一时， a 一 就是 s 一 嘛， 是可以算的。然后在比较通向的大小的时候，一般是需要用到前面第一问，第二问，给你铺垫的不等式，一般就是这样，当然这一题会略有不同，来看一下，因为待会需要用到前面的结论，所以我们从第一问开始看。这个第一问非常经典， f x 等于三 x， 除以二加三 x 的 值域，那导数学多了，可能第一想法是上来就求导，求导呢，可以做 这边和三角函数相关的，你可以先搞一个周期，这样 x 可以 研究的少一点，这边算一口，算一点，周期都是二派，那 f x 周期应该就是二派，验证一下 f x 加二派，划一下，划一下，发现真的，那我们就只需要研究二派长度的一个， 就研究一个周期就可以了。这个研究的话，你研究零到二派或者负派到派之类的都不影响，都可以的。比如像这边就研究负派到派， 好，下面求导，求导分母平方上面就该求导，求导嘛，正常求求完之后化简出这个式子。这个式子呢，正负只要看二， cosine x 加二分之一，这个临界是 cosine x 等于负二分之一。 写一下，临界是 cosine x 等于负的二分之一，那这个负派倒派有几个？ 负外到派的话，那应该是两个吧，就是 x 等于正负三分之二派， cosine 三分之二派是负二分之一， cosine 负三分之二派的话也是一样的。按照一个老公式， cosine 负三分之二派就是 cosine 三分之二派，就是负二分之一。 所以两个零件，两个零件呢，就是分三段，分三段，下面各自看一下正负就可以了，所以就减增减，这样确定好，确定好，减增减之后，那图像大概换一下吧。 f x 现在在负派到派 减增减，那就减增减，大概这样，那就知道这边是负派，这边是派，而且因为周期是二派，它俩一定是一样高的， 他俩一定一样高。那现在这个止欲简单了呀，就是带这边最小，带这边最大，就一个是负三分之二派，一个是三分之二派，带一带就好了，但是这边四个都带了，都不影响，所以止欲就是负三分之根号三到三分之根号三，这样正常做是没有问题的。求导可以写， 但是求导说完之后要说一下，这一期如果你用求导做的话，那就是导数学的走火入魔了，这个求导挺难的，挺烦的，这个不要求导做。像这样的式子就是什么样的式子， a 倍的三 x 加 b， 再除以 b 倍的 cos x 加 c。 像这种你当年没学导数的时候，这种题就是会求值域的呀，怎么求方法比较多啊？这边再给你说两个， 比如像第一个可以用辅助角公式直接令 t 等于它，然后把分母乘过来，乘过来得到这个，这边 cos 和 cos 放一起，放一起之后，这边用辅助角公式提一下，提取根号加 a 方加 b 方，那提出来这边这个 f 肯定不是头角，你就写 f， 就也在，然后这个三也明显在负一和一之间，所以成了根号之后就是在负根号和正根号之间，那这个整体不就二 t 吗？所以二 t 就 要在负根号和正根号之间，实际上也就是二 t 的 绝对值需要小于等于根号下一加 t 方。 下面解这个不等式就出答案了，这个不等式要解的话就是平方平方，然后就出来这个答案，这就是之余，跟刚刚九导算下来是一样的。 好，还有一个方法，还有一个方法可以与数值结合，像这样一个明显表示斜率嘛，就是点 a 是 cosine sine， 点 b 是 负二，符号零它俩你看算一下，斜率跟它是一样的， 而这个点 a 在 单元圆上，点 a 在 单元圆上，所以不就是过负二零这个点，然后做一根线，点 a 在 圆上动吧，就这根线也需要和这个圆有公共点，那临界位置显然就是这有个切线，然后下面也是不也有个切线，这个切线很好算，你看 这边连一下，把切点连起来，切点连起来，这边是半径是一啊，而这一段是二啊，这边垂直，所以这边显示三十度啊，三十度那开就是三分之根号三，下面这条线就是负的三分之根号三，所以结束了。 好，这题就说到这，当然其他还有很多方法你可以自己去研究。比如像你在这用二倍角公式，这给它用那个三角方加 cos 方，等于一给它套进来，然后变成奇次式 也可以的，或者你直接把它理解成万能公式，代一下也行的。好，下面第二问，第二问是导出里面比较常规的端点效应， 看一下啊，对于任意的 x 属于零到真无穷都有， f x 小 于等于 a x， 你 把这个端点零带进去，零带进去发现 f 零等于零，对吧？这个零带进来也是零，所以零带进来刚好去的话，那正常就是端点效应 好，直接一向做叉，一向做叉，发现建立的于零，然后求过导，求过导，这个导数已经写好了，这个导数实际上轻松的，因为刚刚第一问，刚刚第一问在这，是不是求过导，直接抄过来就可以了， f x 一 撇，后面再减个 a 嘛？ 到到到了这，那下面怎么写呢？刚刚说短点效应，短点效应就是 现在我们希望 g x 要怎么样，你移过来的话，应该是希望 g x 要小于零，我们发现零这儿 g 零是等于零的，那在零的右边一点点，这个 g x 要么就是平着，要么就是往下，绝不可能这样往上翘，往上翘这个 g x 就 会有正的，它就不是很小，小于零了。所以这儿必然有什么 必然有记，零一撇是要小于等于零的，对吧？所以我们把零带进去，带进这个导数，带进导数就得到这个，然后解一下，发现 a 大 于等于三分之一，但是这是答案吗？ 这还不一定，就是通过这个式子我们可以知道， a 小 于三分之一肯定不对，但 a 大 于等于三分之一也未必对，因为当 a 大 于等于三分之一也未必对，因为当 a 大 于等于三分之一的时候，你只能保证这个零件位置是对的，其他地方你如果下来再上去呢？ 是不是就不对了？所以下面还需要再证明，再证明的话就是直接正它就可以了。端点效应大部分的情况下都是成立的，只要你你能正到这个逻辑上就是闭环的。 当 a 大 于等于三分之一时，看这个 g x 一 撇，正好可以直接把 a 放缩放掉。 a 大 于等于三分之一，那这边添一个负号， g x 一 撇就是小于等于这边带负三分之一，下面这边通分就好了。通分完得到这个式子，这个式子，然后小于等于零。 小于等于零。好，下面小于等于零， g x 一 撇小于等于零，这个 g x 就是 单调递减嘛， g x 单调递减，那 g x 就 会小于等于零，那发现确实恒成立啊，确实恒成立就对的，这个 a 就是 大于等于三分之一。好，这个第二问做完了。第二问真的是非常经典，就是 第三问这种在前面一般就是喜欢通过端点效应来铺垫不等式，这边真的是端点效应铺垫的不等式，然后不等式一般用什么？一般就是把这个零件带进去，零件带进去，这不就得到了 f x 小 于等于三分之一 x 这样一个不等式吧。这个不等式待会第三问肯定是要用的。 好，下面看第三问。第三问按照刚刚一开始说的思路啊，就是左边是个求和，它的通向是这个 直接抄过来，然后把它也看成求和，它的通项应该是它减它，但是注意它减它指数 s n 减三减一，这个只对 n 大 于等于二成立。正常大部分题目都是要检验第一项的，但是这一题不需要为什么，因为他说了 n 大 于二。 首先我不用管，那就直接 s n 减三减一减一下，找到这个，所以你要正求和小于它，那就是证明这个通项小于这样一个通项。 那这个通向怎么正呢？这个通向观察一下，观察一下可以发现，这边是 n 分 之二，这边有二，这边有二，这个二除过来跟他搭一下的话，是二分之 n， 把二分之 n 再放到分母上去，是不是就 n 分 之二这样结构可以统一一点，这边也能化简一下。呃，就这样变， 变到这以后下面应该干嘛呢？这边好像这个东西不太会正了。不太会正了，那就想想前面的铺垫，前面第二文铺垫就是 a 大 于等于三分之一，你把三分之一带进来，会出现一个不等式。 好，三分之一带一下由二只，当 a 等于三分之一时，它铺垫了这样一个不等式，这边范围可以缩小，刚刚第二文范围给的是零到正无穷，这边只需要卡一个零到一就可以了， 为什么？待会取值你就发现了，反正这边如果你先写零到中位数也是没关系的，第二个正过了，它都成立的。 我到这个到这个要干嘛呢？肯定是要往这个方向来靠，这是 n 分 之二，这也 n 分 之二，那这是不是就是三 x 除以 x 的 样子，对吧？三 x 除以 x， 那 这有个三 x 肯定要除个 x， 除个 x， 除个 x， 就 把这个 x 除过来嘛。三 x 除以 x， 你 把这个分母乘过来，三分之一乘它， 是吧？所以在这儿就对着它看，肯定是 x 取 n 分 之二，而这个 n 分 之二就有范围， n 是 大于等于二的， n 分 之二肯定是在零到一之间，所以这儿写了这样一个范围，对吧？这个零是取不到的，所以这个等号也取不到，对吧？这个等号也取不到， 行，继续取了 n 分 之二带进来，带进来到这个，所以下面你要证什么就可以了。我现在要证明它小于这一串， 而我现在发现他是小于这一串的，那如果我能够挣到他比他小，是不是就可以了，对吧？他比他小，当然极限情况是可以相等，相等无所谓，他俩如果是一样的，那三除以这个是不是也一样是小，一样小，所以这边等号可以带，可以带 好，下面就乘这个乘这个，那再化简一下呗。这个三分之一乘进去，这边都都都打开吧，这个乘一下就发现口三也可以解出来。 接下来找到这个，找到这个，然后这个怎么扔这个到这儿？如果你没有什么好的想法的话，在这儿我觉得是可以往下去构造函数求导的，就是 你构造了 q 三 x 分 之二，就把 n 看成 x 嘛，或者稍微换个圆，你把这个 n 分 之二看成 x， 就 证明 q 三 x 选于等于什么，什么去求导做应该是可以的， 不叫应该，肯定可以，肯定可以，但是在这也是看这写的过早，函数求导肯定能做，但是肉眼可见的麻烦， 麻烦，那就再画一画，再画一画。怎么画呢？硬化，比如像这，这可以通分的， 主要这可以通分，通分，那就是 n 乘 n 加一分之上面写 n 加一做 x， 那 就前面多一个符号，要这边这个，这边这个，然后呢？ 然后就发现这个东西你是可以往 n 方上靠，因为竖列的方缩里面有一个很经典的 n 方分之一和这个 n 乘 n 加一，对吧？还有什么 n 方分之一和 n 乘 n 减一类似这样的，这种方缩是挺常见的，那我们这个反过来把它换成 n 方看行不行？ 换成 n 方的话，主要是看大小，就是 n 方分之一和 n 乘 n 加一分之一，这个分母要小一点，这个分母小一点取倒数是不是要大一点？大一点的话，那它减它减都要小的。你现在如果换成它的话，是不是多减了一点，多减了一点，那这个方向应该没问题， 就是你只需要挣掉挣 cosine n 分 之二小于等于一减方分之一就可以了，因为一减方分之一它是小于， 它是小于这个的，你只要能挣到 cosine 一 分之二小于的于它，那 cosine 一 分之二一定就是小于它的。 那下面在这儿再去构造函数求导，应该会简单很多，但是考试的时候在这儿去构造函数求导是一样是不放心的，为什么？因为你放缩了好多次，这个是不一定成立， 不一定成立，那这个没办法，就考试的时候只能试一试，试一试。这边为了方便求导的话，我们直接令 x 的 原分之二，这个 x 是 在零到一之间的，所以 这个这个 n 可以 解出来就 x 分 之二吗？带进来四分之 x 方而去正这个正这个，然后正上求导啊，正上求导，然后发现这能写， 这个往下就是一个正常求导。真的能做，真的挣出来了，挣出来了就开心了呀，开心那就就就做完了呀，是吧？已经知道他小于，那这边肯定成立了呀，那这个肯定成立了呀，那这个肯定成立了呀，再往上就肯定都成立了呀，就就都做完了， 就是这样。当然这一题最后考的这个不等式啊，可以积累一下这个不等式可以积累一下，如果你本来就会这个不等式，那你勾到这 就可以开心了呀，下面肯定是稳稳拿分的，稳稳做出来了呀。如果你不知道这个不等式往下就只有通过来求导，看一下能不能写，最终求导完全发现真的能写，那就可以。 好，这个不等式写。在这大部分情况下，我们背的都是前面这个 cosine x 大 于等于一减二分之 x 方，但今天也可以多会一个 cosine 小 于等于一减四分之 x 方，这个只有在零的附近成立。这边给你画了个图，黑色的这个就是 cosine， 这边是 y 轴啊， 这个是 cosine， 然后蓝色的是那个非常常见的一减掉二分之 x 方，就是 cosine 大 于等于一减二分之 x 方。是对任意的 x 属于耳度成立，就这个式子是对任意的 x 属于耳度成立。但是后面这个 它是一个开口向下的函数，这个的话就是开口大一点，开口大一点呢，就是在这外轴的附近是成立的， 你也可以看到这个大概的范围啊，这边是负四分之三派，是大概负一，往这来一点差不多，往这来一点差不多，就在零的附近，像刚刚这一题，正的就是在零到一之间，这是可以的，好了。
1202讲极难
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20:04查看AI文稿AI文稿好，各位同学，我们一起来看到高一三星联考数学的卷子。嗯，那先看 question 部分，这个 question 部分前三题比较送分，第四题跟第五题都是比较基础的那种题目，第六题呢，有点少创新，但是很多同学可能在一些很难的题目里面见过了所谓的最大加最小， 嗯，考考试的时候可能有点会比较难反应过来。第七题也是一个比较常规的比大小，第八题也是一个比较常规的抽象函数，性质。好，我们一起来看到。先看到前三个冲分题，第一题呢，你只要注意到 x 是 属于自然数的就可以，那大于等于负一，小于等于二的自然数有且只有哪些呢？ 零一二对吧？然后我们跟大于等于负一，小于等于一的所有数字取一个交集，那么就只会剩零跟一两个数字了。然后第二个全称跟特称命题的否定，只要注意，我们这里只要改把量词一改变，结论一否定就可以了。那量词要把任意改存在。 好，那结论呢？原本是属于属于这个有理数的，那现在当然是不属于有理数就可以了，注意千万别动。这个明白。好，第三个也是比较简单的，充分必要。那各位先想一下，如果三 x 减一是整数， x 一定是整数吗？比如我们举个反例，三分之二 就可以保证三乘三分之二减一是一个整数，但是三分之二会不会是整数？不会，所以充分呢？很显然是不满足的。然后第二个 x 为整数，那首先那三倍的 x 肯定也应该是整数吧，那加减一肯定也是整数，所以必要性能是满足的，对不对？那就应该是一个必要不充分 好，所以前三题基本上应该都不太会有问题。我们来看到第四题，第四题也是一个比较常规的复合函数的问题。我们这里面领 x 平方减 x 等于 t， 把它分成两段来看，它应该是 x 先到它，它再到三的 t 次方。由于 t 到三的 t 次方应该是一个指数函数，底数比一大，我们永远是一个单增的，对不对？前半段又是我们从初中开始就比较习惯，呃，接触过的一个二次函数，我应该在负无穷开口向上对称轴呢，应该是二分之一， 应该在负无穷到二分之一呢，是一个单调递减，二分之一到正无穷应该是一个单调递增。负函数。就一个口诀啊，同增异减，那这里面我们具备相反的增减性，最终数出来，答案应该是递减， 然后相同的增减性呢？最终我应该是单增的，对不对？他要选单减区间，那很显然应该是负无穷的二分之一，包括这道题呢？可能你初看有点懵逼，但是实际上 你就按他的规则一个一个带过去，你看，因为他这里掏了两次有 f f x 零，那我们来肯定要先解决 f x 零吧。 那根据他说的说法， x 零位于零到一，那我肯定应该使用这一个来代入，那 f x 零是不是应该是 x 零加一？ ok， 那 我还要继续带的时候，我就要考虑，那我 f x 零的范围应该是几？题目里面告诉我了 x 零的范围应该是几，那我加个一以后呢？我整体应该是位于一到二的， 那这个时候我再考虑把 f x 零整体带入的话，我是不是应该带第二个解析式，也就是 f 括号 f x 零应该就是 三减去两倍的 f x 零吧。然后我又知道 f x 零是几，是 x 零加一，我给它带入三减去两倍的 x 零加一，整理一下整体就应该是一减去两倍的 x 零，它告诉我它的范围呢，也是位于零到一的，就小于一，大于等于零， 两边先减个一负二， x 零应该是小于零，大于等于负一，两边同乘个负二分之一，记到编号，那 x 零就应该是大于零，小于等于二分之一，对吧？就选到了这个 c 选项， 所以前五题都都是比较基础的， ok， 第六题最大最小值问题，那这个是什么呢？我先给大家解释下。我们应该有些同学已经见过了，这个 max ab 指的就是对于这两个元素来说呢，如果两个人都在变啊，如果 ab b 更大，我们就去 a b， b a 更大呢，我们就去 b。 好， 那这个里面他说的是 max x y 又要最，就是在取完以后，他要尽可能的最少，这里面千万别着急，我们先放着，他其实讲的是 m 加 n 分 之四以及 m 分 之一 加 n， 我 们需要在他们取完，就是根据我们的这个规则， max 以后，也就是谁跟大，我选谁，选完以后， 因为你两个人都在变吗？对不对？我举个例，我举个很简单的例子，比如他是二跟四，对吧？那我取了四，对不对？或者他是三和五，那我就取五，对吧？如果是五跟三，我就取，我就取五，对吧？那我们肯定要先去看他们之间有没有一些关系吗？对不对？ 那这个里面大家如果做的题做的比较多，你就会发现，这里加起来就是一个基本不等式了，对不对？所以我来先研究下， x 加 y， x 加 y 的 话，我们配一边应该是 m 加 m 分 之一，再加 n 分 之四加 n， 应该是大于等于两倍的根号一，这里一个基本不等式， 这里呢加上两倍的根号四，所以这两个人的和应该是比几大？比六更大的，对不对？对吧？嗯，因为大于零，我们是可以一定可以用基本为等式的，也就是你会发现， 这个我们这里讲两个说法哈，你 x 加 y 其实是等于六的，对不对？那我们这里面不妨就可以把 y 看成 x 减六，所以我们要探寻 x x 减六的什么值。 哦，不好意思，应该是六减 x 更大的时候，它们的更少。那这个怎么看呢？来，你可以画一个函数图像， y 等于 x 是 不是长这样子，对吧？那 y 等于六减 x 呢？嗯，向下的并写过六零应该是长这样子的吧？ 六，然后它们的角，它们两个的交点，我们算一下，应该是 x 等于六减 x， 就 说明二 x 等于三， 那也就是什么意思呢？我，当我 x 比三更少的时候，我肯定是取它的，对不对？当 x 比 三更大的时候，我肯定是用他会更大，对吧？那他们什么时候达到最小值？就当且仅当他们两个相等的时候，也就是，呃，每个人都是三的时候，对不对？我们取到了什么值？最小值，对吧？好， 我觉得这个标答的逻辑有点难理解啊，他告诉你两个人的和是加起来等于六的，那两个人 更大的那一个最少值都是三。如果你理解不了呢？我就建议你按这个函数图像画一下，因为这个 max 其实本质上就是一个分段函数嘛。当 x 更大的时候，我们就 取 y 等于 x， 当 x 更少的，嗯，当六减 x 更大的时候，我们就取 y 等于六减 x， 那 取完以后，它的最函数最小值就应该是三了。 ok， 看到第七题，也是一个比较常规的比大小，那怎么比呢？ 嗯，先变成一样的，找个中间值，我们先去与零点六的零点六次方作比较。那这个怎么比？它其实应该是零点六的 x， 这个指数函数，我们赋予了不同的 x， 对 不对？ 那底数少于一的指数函数我，我有更大的 x， 但是呢，我整体函数值是不是由于我单调递减，我应该要更少？所以很显然，零点六的零点五次方应该是大于零点六的零点六次方。那我变过来以后，我再去看零点六的零点六次方和零点五的零点六次方之间的关系， 因为他们同属于 x 的 零点六这个次方，这个密函数只是我们赋予了不同的函数值，那密函数我们上面这个东西比零更大，我就能认为我是单调递增的，那我是不是有更大的 x？ 零点六比零点五更大，我就会有更大的 y， 所以你对比一下，发现你取了个中间量以后， a 实际上是比 b 更大的，对不对？那第一个 a 二比 b 大。 好，那剩下这个 c 选项呢？由于它是一个具体的数字，那我们怎么比较呢？我们一般是把它也变成一个具体的数字整理一下，那应该是五分之三的二分之一次方， 那这里面不好比，对不对？因为你二分之一次方，那我们怎么去掉二分之一次方呢？由于我们两个都是正数，那么 a 的 平方横起来应该是和 c 的 平方，我是不是能去掉二分之一？ a 的 平方应该是五分之三， c 的 平方呢？应该是十六分之九。 那为什么我要去比他的平方呢？因为我们都是正数的话，我本体更大，平方就更大。同理，平方更大，是不是相当于我本身就会更大？那我们来比一下五分之三和十六分之九，那这个的比较有很多，实在不行你就嗯处一下也行。或者呢， 把分子变一样，上下同乘一个三，他是不是十五分之九，十六分之九混合都可以，你就会发现，十五分之九很明显应该是大于十六分之九的，对不对？也就 a 的 平方是比 c 的 平方更大的，那么讲道理， a 应该也要比谁大？ 比 c 大， 但做到这里你还没有做完，因为它有可能是 a 选项，也有可能是什么呢？ a 大 于 b 大 于 c， c 选项，所以我们最终还要去比较一下 b 与 c 的 大小。那同样的 b 与 c， 嗯， b 也转换成一个数字，它应该是二分之一的五分之三次方。那这里略有一点麻烦 你，因为你不可能整体是三分之五次方，所以我们选择去比较。哦，不好意思，是 b， b 的 五次方就应该是二分之一的三次方，那么 c 的 五次方呢？嗯，这个是三的五次方的四的五次方。好，先放着这，这个怎么比呢？两个分数我们还是建议通分或者 配成一样的。那这个四的五次方，我不妨就看成二的平方的五次方，也就是二的十次方。三的五次方呢，是可以算出来的，它应该是八十一乘，再乘一个三的四方是八十一嘛，再乘一个三应该是两百四十三。好， 现在还不好比，是因为我们的分母不一样，那我上下同乘二的七次方以后，我这边是不是二的十次方，分之二的七次方分母是不是就应该是一样的了？那二的七次方是多少呢？各位，你可以去算一下，应该是一百二十八， 你就会发现 c 的 五次方是二的十次方，分之两百四十三， b 的 五次方呢，是二的十次方，分之一百二十八。很显然， c 的 五次方是大于 b 的 五次方的，那么由于我们是正数， c 也会大于 b， 对 吧？所以这道题我们就选到了 a 选项。好， a 跟 b 的 判断是，我觉得作为高一同学，大家是一定要会的哈。 ok， 那 我们来看到第八题， 第八题呢，其实是一个比较常规的，也不能讲比较常规吧，就大家考已经考了很多的一个抽象函数，我们要解决具体值，要解决既有性，要解决增减性的一个问题。 嗯，那这种题目呢，我们在高一的时候还是要把基本方法掌握好，然后到了高三呢，或者等你们学完三角函数以后呢，我们就会给大家引入。嗯，有一个方法叫做构造具体函数哈，当然，这个， 嗯算特殊方法吧，它不算那个通法哦，我们一起来先用常规方法把它做一遍。好吧，那第一问，这个值的呢？你看着想到负一，你肯定想直接令 x 跟 y 等于负一，但是带进去，你发现呢？这里多了个谁， 这里多了一个很讨厌的 f 一， 对不对？那我们还要解决 f 一， 那怎么办呢？很简单，令 x 等于 y 等于一，把它依次代入，那是不是得到了 f 一 加二分之一等于两倍的 f 一， 你会发现这个式子可以把 f 一 解出来，应该是几是 二分之一。那我们代入回去以后，由于你两倍的 f 负一是 e， 那 f 负一呢？也应该是二分之一， 对吧？ a 选项就应该是对的。 ok， 复制那 b 选项，你要证明它的奇偶性，你只需要同时出现 f x 和 f x， 我 们判断它们的关系对不对？那这里面你已经有了 f x， 那 负 x 怎么办呢？很多同学会想，那我就令 y 等于负 x 就 行吗？但是不行，这边就出现了一个负 x 的 平方， 对吧？所以这里面的负值呢？哎，你既然这个东西没有办法变成负 x， 我 是不是考虑令它是负 x 就 行？那你看，你要令 x， y 是 负 x， y 得负几？ y 是 不得变成负一，所以很简单。 这个也是我觉得比较常规的一个题目啊，大家一定要练手。令 y 等于负一以后，你是不是变成了 f 负 x 加二分之一等于 f x 加 f 负一，又因为你 a 选项已经算了 f 负一是几，是不是二分之一，你就会发现二分之一，二分之一约掉，你得到了 f 负 x 是 等于 f x 的， 那么我们定域也是对称的，那所以我当然是一个 o 函数，对吧？好， c 选项和 d 选项 包括 d 选项，这个 e 就 肯定是在比单调性的问题嘛，对吧？ c 选项呢，这个二分之一你有可能是 f e， 有 可能是 f 负 e， 所以 也应该跟单调性无关。那这种的单调性怎么办呢？我们也是，但是注意我给大家强调一点哈， 我们在偶函数的时候，很多时候都证明我们单调性的时候，你并不会是取 x c x r 属于 r， 因为，嗯，如果你做题目做的足够多，你记得这个经典的偶函数吧，它我们一般是取 x 一 大于 x 二大于零，我们先证它在零到正无穷的增减性，然后再利用偶函数是关于 y 轴对称的，我们再折过去。那我们先来看看这个， 我这里也许 x 一 大于 x， r 大 于零，那我是不是要得到 f x 一 减 f x r 的 大小正负？那这个里面，你初看我们都没有 f 括号减 f 括号怎么办呢？你就先把它挪一个括号过来，然后你把这个数字呢？你看它不爽，你看它挪回去，对吧？ 是不是已经大概的出现了这样子的形状，那这个里面肯定 x 等于几 x r 吧。 好，那这里面你还可以动 y， 但是动 y 之前你不着急，你先想一下，我，既然我要这个式子变成 f x 一 减 f x r， 我 是不是需要 x r y 这个整体是谁？是不得是 x 一， 对吧？那我得负 y 是 多少呢？ y 就 自然而然应该是 x 一 除以 x r 吧， 所以挪下来，我们就是令 y 再等于一个 x 一 除以 x 二，你看这边是不是 x 二乘 x 二分之 x 一 就变成了 x 一， 这里不动，是不是 f x 二这边呢？就有点麻烦，是 x f x 一 除以 x 二减二分之一。好，做到这一步的时候，你左边已经配成了这个样子，那我们就只要去判断右边的正负就行了。然后题目里面告诉了你， 嗯，当 x 大 于一的时候，因为我取的 x 一 不是比 x r 更大吗？并且比零更大，那 x 一 属于 x r 肯定是一个比一大的数，对不对？那根据题目的说法，我的自变量只要比一大，我的函数值就会比几大？ 比二分之一更大，那我减去二分之一，我这里是不一定是一个大于零的，所以我们就判断出来，它在零到正无穷应该是一个单调递增的。那么由于它是偶函数，各位同学，你们想一下， 偶函数就是关于 y 轴对称，那我在负无穷到零呢，应该是干嘛？是不是一个单调递减对不对？那么递选项呢？其实就很好判断了， 既然我在负无穷到零是一个单调递减，我的负二零二四本身是比负二零二三更少的单调递减，我有更小的 x， 我 确确实实就会有一个更大的 y 吧。 嗯，所以 d 就是 对的好，那 c 自然而然就是错的。但是我们讲解，我们还是把 c 讲一下。为什么做这个题目的最好方式呢？就把图上大概画一下， 当然我们只能大概的画一个图哈，因为我是先增的嘛。嗯，偶函数，你学的最多的二次函数，你就把它也当二次函数的模型画。首先我们不能确定。 呃，我比一大的时候比二分之一大，那这个地方我把认为是二分之一，这个地方是一，可以吧？那这边我是负递减，我负一的时候对应到的是二分之一， ok， 我 现在需要我的函数值呢，少于二分之一是不是取这一部分， 对不对？也就是其实你看，通过图像，我要求我的次倍量 x 加二得位于一到负一之间，并且 x 加二呢，又不能等于这个零解上，应该是 x 要位于负一到负三的时候，并且 x 不 能等于负二，所以它刚好缺反了，看到了吗？它自然而然就是错误的。 好，那这个就是高一三型的单选，我觉得除了第六题呢？嗯，可能大家接触比较少以外，剩下题题目都是一些比较你平常应该做过很多次的题目了哈。 好，那这个题目如果学有余力的同学，我建议大家可以慢慢的去开始接受。一个就是什么呢？我们解决这种类型的题目，这个在高三也经常考多选。呃，我们有一个叫做构造具体函数的题， 我花几分钟大概给大家讲个思路，有机会呢，我也会发一个这种视频，当然你也可以直接在 b 站或者在抖音上去搜，他现在有很多的关于这方面的技巧了，那我给大家做个影子吧。如果我们有一天碰见这么一个函数，抽象函数的解析式对不对？ 好，那你来想一下，什么样的是两个相加变内部相乘，那是不是跟你学的这个对数很像很像， 对吧？对数函数，这个时候我们就可以令这个函数是对数函数。但是第一个问题，哎，我的对数函数定义域不是零到正无穷吗？哎，那你就加个绝对值，我是不是可以把定义域变成负无穷到零和零到正无穷， 对吧？那这道题又不一样，他多加了个二分之一，怎么办？好，那这里面加个数字呢？你就把它也加一个数字 b， ok， 然后给它带到这个式子里面， 你看它是不是 log a x y 加二分之一，再加 b 等于 log a x 的 绝对值，加 b， 再加 log b x 的 绝对值，再加二分啊。 log a y 的 绝对值再加二分之一。好，由于我们知道这个 外面相加，里面相乘，这个肯定是等于这个的，就被约掉了，对不对？那你看剩下的约个二分之一。哦，不好意思，这个地方是 b 哈，写快了， 这个地方是 b， 约一个 b， 你 就会发现 b 应该是等于几二分之一的，对不对？所以我们就会考虑去构造一个什么函数呢？我们基于这个式子，我就可以构造一个 log a x 的 绝对值 加二分之一。好，那你可能会说这个 a 是 多少呢？其实无所谓的哈，来第一个，它说了， x 大 于一的时候，也就是我需要 x 大 于一的时候，我 log a x 的 绝对值 加二分之一，得大于二分之一，也就是 log a， x 的 绝对值得大于零。它的意思是 x 大 于一的时候，我这个得大于零，对不对？那我只要把底数选一个，干嘛比一大的是不是就可以？那比如说我们可以选个十或者选个 e， 一 般我们高三的时候，我们就得建议大家选 e， 也就改成 line x 加二分之一。做完这个你就可以直接代值嘛。 f 负一就是 line 一 等于零，加二分之一就是二分之一，它是不是偶函数？当然是偶函数，一个小绝对值，对不对？然后呢？ line 的 图像你不是会画吗？加二分之一又不影响它的增减性，我在这边是递减的，所以 d 也是对的，对吧？ 然后呢，什么时候会比二分之一更少？也就是 line x 的 绝对值什么时候要比零更少，对吧？ 也就是说 line x 加二的绝对值什么时候比零更少，那说明 x 加二的绝对值得少于一，且 x 加二的绝对值不等于零。也能去做啊。但是这个只是作为一个补充吧，就是学有余力的同学可以抽时间或者含时差的时候我们去完成这件事情。好，那待会儿我们一起来看到。嗯，多选题跟填空题部分。
27教数学的L老师
