金太阳高三最新联考试卷文综
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20:22查看AI文稿AI文稿每天一道好题，为高考加油！今天这个题目是二零二六年四月二十四日河北省的一个联考的试卷中的一个第十九题。这个试卷的题目标题没有，不知道是金太阳试卷还是什么试卷。好，我们来看一下吧。 某超市推出一款新玩具，每个玩具内有一张卡片，总共有 n 张不同类型的卡片，每件玩具内每一种类型卡片出现的概率相同， 甲每次从中随机购买一种玩具。嗯，这个就如同我们比方说吃方便面里边集卡片的那种游戏啊。 第一个，若 n 等于二，求假，恰好购买散件玩具，就集齐两种不同卡片的概率。 也就是说一共有两种不同类型的卡片，他买了散件玩具，就集齐了两种卡片，这个怎么分析呢？ 那么你集买三件玩具，集齐了两种，也就意味着你前两次集的卡片是一样的。买第三件玩具的话，正好把第二件卡片买到了， 那么前两次集到的卡片一样，那么这有两种卡片，取到每一种卡片，就是说集到每一种卡片的概率是不是都是二分之一啊？所以 买同一种啊。怎么说呢，集同一种卡片的概率啊，前两次集到的是同一种卡片，那这个概率不就是二分之一的平放吗？第三次集到的是另一种卡片，那就是还是二分之一。 那么前两种卡片，你比方说，我就给他记着甲乙吧。好描述一点，前两次集的卡片是乙，也是二分之一， 但也可能前两次集到的是一卡片呢，那也就是二分之一的平放。第三次集到的是假卡片，所以再乘个二分之一，这样的话，第一问这个概率应该是这个基础上再乘二。 好了，第一问我们就简单说到这，这个题的难点呢，主要是在这个第二问的第一小问，能把第二问的第一小问解决了，第三问随之也就出来了。好，我们来看一下第二问。在恩重博努力实验中，每次实验中事件 a 发生的概率为 p， 用 k 表示事件 a 首次发生时的试验次数。什么意思呢？你比方说在操场罚篮这个事，每次你罚中的概率是零点八， 你重复进行多次实验，这就是恩宠伯努利实验，那么事件 a 发生的次数为 p， 哎，事件 a 发生的概率为 p， 这个 k 表示事件 a 首次发生时的试验次数。 比如说你第一次投中，你在草草场上发篮，第一次投中，你用了五次，也就意味着第一次投中是用了五次的话，前四次你都没中， 这样的话，这个 k 等于五，这个值就是表示的前四次不中，第五次正好命中，这样的话，这个概率就是零点二的四次乘以零点八。 那如果 k 要等于十了呢？也就是说第十次，呃， k 等于十，表示 首次命中是用了十次，也就是说前九次没命中，那也就是零点二的九次再乘零点八。所以这个东西这个分布列就是这个样子的，那么这个我们称为几何分布，而且告诉我们几何分布的期望是 p 分 之一。 好，这个事描述完以后，我们再看这个已知甲及其 n 种不同类型卡片，需要购买的玩具数为 x n， 求 x n 的 数学期望， 求数学期望，课本上讲的就是每一个随机变量值乘以对应的概率值， 那你这里面这个 x n 的 随机变量可能取值有多少呢？如果我们这样去想的话，我们就可以想，你集齐 n 张卡片，那你买的玩具数至少是 n， 对不对？买 n 个恰好有 n 种不同的卡片，那不就集齐了吗？也可能用 n 减一次，你买了 n 减一个玩具，也可能 n 加一个， n 加二个， n 加三个，那以后就无穷无尽了。这样的话，我们下边要求期望值，是不是下边求对应的概率值啊？ 但这个概率值我们看看怎么求呢？你买了 n 个玩具，恰好集齐了 n 张卡片， 这个概率我们想想也可能算的出来。但是如果你买了 n 加一个玩具，才集齐 n 张卡片，你这个概率能算吗？你可能说也能算，你可以仔细想想，当你这个 n 无限增大下去的话，这个概率的求法是很麻烦的。 所以也就意味着我们这种常规的就是说课本上讲的求期望的方法是行不通的， 你可以尝试一下。这里边我不再详细详细讲述。所以这个题我们求期望用什么呢？用题中所述的这件事啊，几何分布。所以我们的想法就是如何把这个事理解成几何分布。 几何分布是世界 a 首先的首次发生时的试验次数，你这里面是集齐 n 张卡片 x n， 那 你怎么的理解是首次集成集成这个首次发生 这个呀？我们就需要把这个 x n x n 去拆解你比方说你要集齐 n 张卡片，你首先得先集齐 n 减一张卡片吧，你从 n 减一张卡片到第 n 张卡片，你还需要买多少次玩具呢？ 那显然这又是一个随机的纸，你集齐了 n 减一张卡片了，你再从 n 减一到 n 张卡片，再集齐最后一张，你需要买的玩具数也是五千多的，我们这个是不可数的，对不对？因为你可能买很多次，所以这样的话， 我们从这个几何分布去理解，你买了集齐了 n 减一张卡片，那这是开始，你再集齐第 n 张卡片，是不是？这就是第 n 张卡片，相当于首次发售啊， 对不对？所以你集齐的需要的这个次数也是一个随机变量值，这样的话，我们就可以把这样的一个事无限的给它拆解。 怎么拆解呢？你可以理解成，首先第一次集齐一张卡片，我们把这个事记做 x 小 e。 集齐一张卡片，那集齐一张卡片，那这个事就很简单，你买一个玩具就能集到，对不对？每一个玩具里边必然得有一个卡片， 那么 x 二，我们用它来表达什么呢？你集齐两张卡片啊，就是在集到一张卡片时，再集出，再购买到第二张卡片所需要购买的玩具数 啊。我们再说一遍，我们可以把这个事啊，呃，定义一个 i 吧，用这个 x i 表示什么呢？表示，嗯，及其 n 减一张卡片后 啊，我写一下，集齐 n 减，呃， i 减一张，集齐 i 减一张卡片啊。卡片号再集 第 i 张卡片所需购买的玩具数，嗯，卡片所需购买的玩具数。 这样的话，我们要想算出这个 x i， 那 个那个 x n， 实际上这个是 x n， 就 有无限多个这个， 呃，随机变量构成，那么这个 x n 就 可以怎么表达呢？它就可以，首先你先得集齐一张卡片吧，你集齐一张卡片 需要购买的玩具数，我们记做 x 一。 那有了第一张卡片以后，你再集出第二张卡片，第二张不同的卡片，那这时候从这个一到二中间也是个随机变量值吧，这个是是购买玩具的次数，我们就记做 x 二。 那有了两张卡片以后，你再得到这个第三张卡片的时候，你用买的玩具数，我们就给他记做 x 三。 那么有了第三张卡片，你再集齐第四张卡片的时候，我们买的玩具数就记住 x 四，那么以此类推，一直到第 n 张卡片，你前面集齐了 n 减一种卡片了，你再得到第 n 张卡片，那么这时候所用的 买的玩具数就记住 x 小 n， 这样的话，我们就可以把这个大的 x n 就是 及其 n 张卡片所购买的所有玩具，这个歌手就表达成了 n 个随机变量的值的和， 而我们根据数数学期望的可加性，那么这个 x n 啊，这个将来我们要求 x n 往下写吧。 哎，我要算这个 e x n 就 等于这些随机变量期望的和，那么这个 e x n 就 等于 e x 小 一 加上 e x 小 二，以此类推，一直加到 e x 小。 好，那么这个事件我这样拆解以后，每一个读单元事件实际上就是一个超级，就是一个几何分布，因为你想从第一个卡片集齐了，到第二个卡片集出集成，那你是不是也相当于这个事首次发生呢？ 所以这里边每一个事件都是几何分布，每一个随机变量都是几何分布，所以我们要求他的概率值，要求他的期望值，我们就可以根据他给的这个几何分布期望来进行就行了。 那首先我们先想一想，集齐第一张卡片，集齐第一张卡片所用的概率是几呢？那这个概率就是一 对不对？所以这里面这个 e x e， 他的期望值就是一分之一，也就是 e。 那 我们再算一下这个第二张卡片呢？你从有了第一张卡片以后，集出第二张卡片，那这时候你这里面这个期望值是用这个概率来算的呀。 所以你想一想，你有了一张卡片，你抽你买玩具的时候，得到第二张卡片，你用的概率是多少呢？ 因为你有 n 个卡片，你已经有了一张了，一共有 n 张卡片，有了一张了，你得到第二张的概率是不是就是 n n 减 e？ 哎，不对，应该是 n 分 之 n 减 e 啊， n 分 之 n 减一，对不对？所以这样的话，集齐第二张卡片啊，集出第二张卡片，这个概率实际上就是 n 分 之 n 减一啊，这个这个事啊，不差描述我就不说了，集得第二张卡片，那么这个概率 p 就 能够等于 n 分 之 n 减一。 那么好，有了第二张卡片，我要再集出第三张卡片呢，这个 x 三，这个概率又是多少呢？ 因为你有了两张卡片了，你再得到第三张卡片，那么你就相当于从这个 n 减 n 个卡片里边得到剩余的 n 减二里个里边的之一，所以这时候这个概率就是 n 分 之 n 减二， 余下的以此类推。所以这样的话，我们对应的这个概率值一直到这个 x n 就是得到最后一张卡片，那这个概率就是 n 分 之 n 分 之一。我们根据刚才咱讲的这个几何分布的期望求法，这里边这个 x n 的 期望，它就可以表达成这个的期望，加这个的期望，那我们就一个个加就可以了。 这个的期望它就是 e x 二的期望呢，就是概率的倒数， n 减一分之 n， x 三的期望呢，就是 n 减二分之 n， 然后 n 减三分之 n， 一 直到一分之 n， 看到了吗？这就是 x n 的 数学期望。 好了，这个呢，呃，确实挺绕头，而且讲起来也挺费费劲啊，大家再仔细理解一下，这就是这个期望的求法，想办法把这个随机变量拆解成这个几何粉末，因为你直接求这个期望是求不出来的 啊，这个题是出的比较新颖。好了，有了第二问以后，我们看最后一小问，因为这个最后一小问这个 ex n 得用到，所以你在现有第二问。而这个的 ex n 的 话，我们求出来以后是这样一个合适，我们要表达这个不等式。我们来看一下 这个 ex n 的 话，我们先看这个 ex n， 它是这样一个合适，显然这个分子上都有个 n， 对不对？我们是不是可以提一下公式啊？这个 e x n 我 们就可以提公式， n 里边就变成了 n 分 之一，加上 n 减一分之一，加上 n 减二分之一，一直加到 e， 是 这样一个公式，我们要证明的。这个 e x n 它是怎么的呢？ 我们先看一下。是大于 n 倍的绕 n 加 e， 小 于 n 加上 n 倍的绕 n 大 于 n， 大 于 n 倍的绕 n 加 e 小 于。嗯，小于多少？没记住，小于 n 加 n 倍的绕 n 小 于 n 加 n 倍的浪，那我们把这个不等式要证明的不等式给它写出来。 ex n 就是 n 分 之一倍的，我把一放前头是一加二分之一加三分之一，一直加到 n 分 之一， 然后小于 n 加上 n 倍的绕 n， 大 于 n 倍的绕 n， n 加 e， 我 要把这个等式不等式写这，大家看看是不是很熟悉啊？这就是我们以前常用的这个竖列求和不等式问题吗？ 而且两边都有个 n， 我 又可以先消掉，这样看起来更明朗一点。我们给它写成一加二分之一加三分之一，一直加到 n 分 之一。右面呢是一加绕 n， 左边呢是绕 n， n 加 e， 这样一个不等式要证明出来，我想很多同学都能够想到，这样的话，我们就可以左右两边分别看成两个竖列，这是两个竖列的和， 对不对？我们先看左边，比如说这个竖列的前一项和记作 s n s n 的 等于就等于 l n 加一， 我只需要证明这个竖列的 d n 相比这个的 d n 项小，然后我们把这个竖列两边累加这个不等式，不就挣出来了吗？ 这是一个常用的证明方法啊，对吧？所以我们就可以设这个 a n 呢，它就等于这个 s n 减去 s， n 减 e， s n 减 e， s n 减 e， 就是 l n l n， 那 么我们给它整理一下，就是 l n 分 之 n 加 e， l n 分 之 n 加 e， 又可以写成 l n 一 加 n 分 之一，这就是它的通项， 能明白吧？这个通项。那么右边这个不等式的通项呢？是这个 n 分 之 e 啊，所以我只需要证明出这个 law， 一 加 n 分 之 e 小 于 n 分 之 e 就 可以， 而这个又是显然的，为什么呢？因为我们常见的有一个不等式方数，就是 log 一 加 x 小 于 x， 当 x 不 等零的时候啊，当 x 大 于零的时候，这个不等式一定成立，所以我们这个是很好证的。所以下面你只需要构造一个差函数，证明它小于零就可以， 对不对？就这个有这个不等式成立，也就有这个。然后你在写过程的时候，两边累加，就可以得到这个不等式， 过程我就不写了啊，下面同理，我们看右边，右边也是一个带 long 的， 是不是也可以看成一个竖列的和呀？我们就把右边给它看成一个竖列 b n， 它的前一项和就是 e 加 long n， 这就是竖列 b n 的 前项和。那这个 b n 的 通项公式同样，我也可以给它找出来， t n 减去 t n 减一， t n 减一，就是一加上 l n n 减一，那么这两个一减，那就是 l n n 减去 l n n 减一，这样的话就可以写成 l n 比上 n 减一，那么右 边这个通项显然就不能从 n n 比上 n 减一，那么右边这个通项显然就不能从 n n 比上 n 减一，那么右边这个通项显然就大于等于二， 对不对？我们从第二项开始证明，而上面这个我忘说了，这个刚开始这个 n 也是大于等于二的，但实际上当这个 n 得 e 的 时候，这个不等式它也成立， 对吧？当 n 得 e 的 时候，这个不等式也成立啊，这个忘说的过于潦草，那这个呢？只能是 n 大 于等于二，因为 n 得 e 的 话，分母为零，这是不可提的， 对吧？所以我们就从第二项去想，我们先证这个第 n 项就行了呗。我要证明的这个里边，就是证明这个 n 分 之 e 是 小于这个 l， n 比上 n 减 e 的， 而这个左右两边是不是同一个变量呢？显然不是，这是 n 分 之 e， 这是 n 减一分之 n， 我 们可以把右边再稍加变形，变成 e 比上 e 减 n 分 之 e， 这样的话，我们就可以构造一个函数， x 小 于 long 一 减 x 分 之一，对吧？你要为了看它不方便，我们可以真的你把这个写成负的 long 一 减 x， 这个 x 呢？肯定是一个大于零小于一的， 你只需要证明出这个不等式恒成立，那就由上面这个不等式成立，也就由这个这个比它大，对不对？当 n 得一的时候，这两边是不相等的，但是当 n 得一的时候，你看右边这个是正好得一，左边这个也得一啊。当这个 n 是 我看啊， 这个题中这个 n 是 要 n 有 条件， n 是 大于等于二的，对吧？所以这时候 n 是 不得已的，所以这个不等式呢，我们就可以证出来了啊。所以今天说的比较 啰嗦一点，这个思路呢，给大家简单分析一下，所以你下面就是只需要证明 x 加上浪一减 x 构造一个新函数，比方说 g x 证明它是一个小于零的就可以了 啊。这个正出来，我们就往前分析，当然你写过程的时候就可以怎么写呢？不像我，我这样去分析，我是从结果给你分析，找他成立的原因啊，这是值果所应。分析出来以后，你写过程的 k 二可以上来就直接勾到这个函数，往前写，往上写， 明白了吧？然后累加求和，就得到了 u 吧，这个不等式啊，也就是这个这个题啊，他就是把这个 呃数列不等式以及跟那个概率统计联系在一起，实际上它的难度呢，主要在于这个。第二小文，你能够把这个一个随机变量值拆解成 n 个小的随机变量值理，转化成几何分布来处理，就就能想的出来了。好了，今天就讲到这里。
218高中数学邹老师
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