新高考一卷数学12题
我们来看第十二题， fx 和它的导函数。 fx 片定于均为 r， 记住 fx 的导数等于 gx， 如果他们两个均为偶函数，让我们判断这些选项是否正确。 首先， f 二分之三减二， x 是一个偶函数，这说明 f 二分之三减二， x 等于 f 二分之三加二 x， 那么可以根据对称性的定义判断出来， f x 它是关于 x 等于二分之三对称的，也就是说这条直线是它的对称轴。另外， g 二加 x 为 o 函数，说明 g 二加 x 等于 g 二减 x， 所以 gx 它关于 x 等于二轴对称。接下来我们推导一下 fx 的对称性和 fx 导的对称性之间的关系。 如果 fx 这个函数是关于 x 等于 a 轴对称的，那么能推出 fx 等于 f 二 a 减 x。 如果对他两边同时求导，左边就是 fx 的撇，右边呢？是一个复合函数的求导，一个是 ft， 一个是 t， 等于二一减 x， 所以他的导数是负的， f 二 a 减 x p， 这样的话，我们就发现 g x 等于负的， g 二 a 减 x， 那么这是对称中心的一个结论， 可以得到 g x 是关于 a 豆零中心对称的。那么根据这个结论，我们可以发现 f x 关于 x 等于二分之三对称， 可以推出 g x， 就是关于啊二分之三豆零中心对称的。 另外一方面，如果 g x 是关于 x 等于 a 对称的，它的对称轴是 x 等于 a， 可以推出 g x 等于 g 二 a 减 x， 也就是 f x 撇等于 f 二 a 减 x 撇。那么这两个导函数相等，反映在圆函数上，就是 f x 加上一个 c e， c e 就是一个长数，因为呢， f x 它进行求导了以后是 f x 导，但如果 f x 后面加一个长数，求完导也是 f x 片， 所以我们反推回元函数后面要加一个长数，那么右边呢？就应该是啊负的 f 二 a 减 x 加另一个长数 c 二， 我们一项可以得到 f x 加上 f 二， a 减 x 等于 c 二减 c 一。 如果把这个 c 二减 c 一写成一个长数 c， 那么可以推出实际 f x， 它是关于一个点 a 豆二分之 c 中心对称的，于是由 gx 他关于 x 等于二中心对称。根据这个结论可以推出 fx 是关于二豆 t 这个点中心对称的，这个 t 就相当于我们刚才这个二分之 c， 它是一个长数，但是我们并不确定它是多少。这样我们就知道了 fx 的对称轴和对称中心。 那么根据对称性与周期性的关系，相邻的对称轴与对称中心的差值在 乘以四，可以得到它的周期，于是我们根据这个对称轴和这个对称中心，可以推出 f x 的周期，应该是啊等于二的。 同样的道理，根据 g x 的这个对称中心和对称轴，也可以推出 g x 的周期也等于二，所以这两个函数都是周期为二的函数。我们来看选项 a 选项求 f 零， 由于周期是等于二的，所以 f 零等于 f 二，而 f x 关于二豆 t 对称，说明 f 二是等于 t 的， 但是 t 是多少并不确定，所以 f 零不一定等于零。 a 选项错误， b 选项 g 负二分之一，我们可以根据他的周期为二，判断出 g 负二分之一等于 g 二分之三。由于 gx 关于二分之三豆零对称，所以 g 二分之三等于零。 b 选项正确， c 选项 f 负一， f 负一，根据周期性可以判断出来，它等于 f 一，而由于 f x 关于 x 等于二分之三对称，所以 f 一等于 f 二， 而 f 二再用一下周期为二，就等于了 f 四，所以说 f 负一等于 f 四是正确的。 d 选项 g 负一， g 负一，仍然 用一下它的周期性，那就应该等于 g 一。由于 g x 关于二分之三豆零中心对称，所以 g 一等于负的 g 二， 所以即负一等于负，即二四。 d 选项错误，于是我们应该选择 b c。
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05:23查看AI文稿AI文稿都说今年新高考一选男，我们一起来看这么一道多选题，也就是我们的多选题。最后一题，他考察的是函数性质综合，也涉及到了导数题目。说呀， fx 导函数是 fpx， 他的定义都是 r， 我们把导函数记做 jx， 以至这两个负函数呢，均是偶函数。首先我们翻译一下， f 二分之三减二， x 是偶函数，那么负函数的自变量呢，是 x， 一个函数是偶函数，我们理解为自编量改成相反数的时候，函数值总相等，所以我们能得到这样的一个式子， 这个式子再去理解的时候，我们可以去换元，把二分之三加二 x 叫做 t， 二分之三减二， x 呢就是三减 t， 你再把 t 改回 x， 你就能推出 fx 呢，关于 x 二分 三对称。当然你要去理解 fx 这个函数的时候，不换元也能做，就是你这么去理解，把括号当做整体了，只要你研究 fs 这函数，他的一些性质啊，你就可以把括号当做整体， 这两个括号的和总是三，两个数的和。如果总是三，意味着这两个数是关于二分之三对称的，关于二分之三对称，两个数呢，函数值总相等，那么就说明这个函数关于 x 等二分之三轴对称。 当然我们另外一个思路呢，也可以通过 fx 得到 f 二分之三减二 x 这个函数的一个过程，它是经过了啊对称平移伸缩，可以推出 fx 的这个对称性。那么接下来这个 x 呢，是 fx 导函数，原函数关于 x， 二分之三轴对称， 那么导函数呢，就会关于二分之三零中心对称，这个是为什么呢？两个思考角度。第一，你去想图像，图像呢，原函数关于 x 的二分之三轴对称，那么导函数的几个意义呢？是切线的斜率， 那关于二分之三对称的两个数，函数值总是相当。图像关于这条线对称，那么他的切线的斜率呢？是不是总是相反数啊？ 关于二分之三对称的两个数，函数值总是相反数，这个是导函数值总是相反数。那么导函数呢？就关于二分之三零中心对称了。 当然呢，我们也可以进行一个富含式求导的运算法则，两边同时对挨个求导，那么前面求导以后会多出一个二，后面求导会多出个负二，从而得出一个中心对称的一个结论。接着我们 往下第二句话的一个翻译，这二架 x 是偶函数，也可以这么去理解， x 改成副 x， 函数值总相等，这是个轴对称的一个结论。当然呢，你还可以去想图像的平移，这二架 x 是这 x 向左平移两个单位得到的。 拼以后是关于 x 等零对称，也就是 y 轴对称，那么拼以前是不是 gs 关于 x 等二对称啊？我们接着往下想， 已知倒函数是轴对称函数了，那么原函数呢，应该是个中心对称函数，只不过这个地方你要注意， 因为我们一个函数多加了个长数，求导以后还是不变的。所以我们的原函数呢，不一定是关于二零中心对称，而是关于二 c 中心对称， c 是任意的一个长数。那标上这些暂时推出来的一些结论，我们继续往下推。 由一，我们知道 fx 是关于 x 二分之三对称的，那负一和四这两个数呢，本身就是关于二分之三对称，那么他们的函数值会相等，所以 c 是正确的。 继续，因为二分之三是对称轴，那么这二分之三就会是零，为什么呢？因为是可导函数，那么二分之三处，他是一个对称轴的话，二分之三处应该是一个极值点的位置，所以他的导数呢，就是零，也就是这二分之三是零。 继续往下，由二三二三都是 jx 的一个对称，那么两次对称就能推周期，这个地方呢，有很多的结论啊，我们后面会分享出这些的这些结论出来，双对称得周期一个轴，一个中心，那么这样的话，周期 是他们距离的四倍，这里呢，你可以类比三角函数的图像去推。所以呢，我们的这负二分之一就会等于这二分之三，这是根据我们的周期是二啊，也就会等于零，这二分之三已经推过了，所以 b 是正确的。 继续往下，那么根据周期是二啊，我们就可以推出这负一等于这一，然后呢，我们根据中心对称，这 x 呢？关于二分之三，零对称一和二这两个数，关于二分之三对称，那么他们的函数值呢，应该总是相反数，所以 会这里会多说负好，也就是说我们这负一是等于负这二，而这两个值呢，不一定是零，所以低选项呢，就是错误的。在我们由四，我们可以知道，刚才说了 fs， 他可以上下移动一些导函受不影响，整个题的结论不会改变，所以 f 零与 c 有关，它并不一定是零，所以 a 错误。那么综上，我们这道题答案就是 bc。 这道题呢，确实比较综合，但是思考的角度会很多，好好消化一下。更多函数性质可以关注我的函数合集。
834河北石家庄高中数学刘老师
08:00
11:45查看AI文稿AI文稿今天我再给同学们分享一道二零二三年全国一卷第十二期，我重点讲一下四 d 选项。这个四 d 选项啊，有些讲的并不十分清晰。 首先呢，我们看一下这个题的意思啊，下列物体中能够被整体放入冷场为一，单位是米的正方体，容器内的有四个选项，都哪一个？而且呢，容器壁厚度忽略不计。 那么第一点应该很容易啊，说直径为零点九九米的球体，能不能放入这个正方体内啊？这个是很显然，因为这个正方体啊，他能够放入的最大的球就是他的内切球，所以说这个内切球的直径呢，恰好是一，因为他直径是 零点九九。这个选项啊，显然是正确，不用多说啊，二臂呢，所有棱长均为一点四米的四面体，这个四面体实际上就是一个正四面体。 那么这个也是很简单，因为在正光体当中啊，我们可以放入最大的一个正四面体，是棱长位根号二，他的这样一个正四面体。比如说，我们看一下这个图啊， 那么这个正式问题啊，很显然呢，他所有的农场全是根号二，由于呢，一点四呢，比根号二小， 所以说呀，二 b 显然也是正确的。我们看 c 选项，底面直径为零点零一米，高位一点八米的圆柱体，这个能不能放入？ 呃，我们知道啊，在正方体当中，正方体表面上的任意两点间的距离，他的最大值就应该是他的体对角线的长。 那么为什么呢？因为啊，这个正方体的体对角线的长，恰好就是这个正方体外接球的直径，而正方体其他表面上任意两点之间的距离都应该 比这个外接球的直径要小，因为其他点都在这个正方体外接球的内部，因此说呢，正方体的体对角线的长是这个正方体表面上任意两点之间距离的最大的，由于这个高是一点八， 那么这个体对角线的长是根号三，一点八呢，应该是比根号三大说，对吧？一点八为什么比根号三大呢？因为啊，一点八的平方大于三，这个我们可以计算一下就知道了，对吧？ 所以说，无论你怎么放，也不可能把这个圆柱体整体放入这个正方体内，这件事是做不到的，因此这个 c 选项是错的。我们重点说一下这个四 d 选项，底面直径为一点二米，高位零点零一米的圆柱体，那么这个圆柱体啊，他的意思就是说底面的面积呢，比较大， 而且呢高度比较小，也就是比较薄，这样一个圆柱体啊，能不能整体放入到这个正方体内呢？ 由于底面直径是一点二米，这个棱长的是一，所以说呀，你平着放或者是竖着放，不可能把它放到这个正方体内， 那么我们可以啊考虑能不能以他的体对角线为轴，然后把它放到这个正方体内呢？ 我们尝试以体对角线为这个圆柱体的轴，把它放到这个正方体内，看能不能放进去啊。我们先看这个问题， 那么这个体对角线呢，和体对角线垂直的这个正方体的洁面，我们首先应该考虑这样一个洁面，就说可以考虑啥这个正六边形这个洁面， 那么这个正六边形的洁面显然是和这个体力表线是相互垂直的， 为什么呢？因为啊，这个体对角线 和这个边是垂直的，和这个边也是垂直的，因为我们知道正方体的体对角线和面上的对角线要么相交，要么是垂直的， 因为他和这个面的对角线是平行的吗？对吧？所以说呢，我们很容易说明白，这个体对角线和这个正六边形的截面是垂直的。 现在呢，我们尝试把这个圆柱体呢，以这个体对角线为轴，把它放进去，看能否放进去，我们怎么样说明他能放进去还是不能放进去？ 首先呢，我们看这个正六边形啊，他的内切圆，他的内切圆啊，他的内切圆的 直径是多少啊？这个好不好算了，这个内圈的直径呢，很容易算，因为啊，这个边长是二分之根号二， 对吧？二分之根号二，然后呢，我们把这个正对外形的中心连上之后呢，这是一个二分之根号二的等边三角形，那么他的高呢，应该是在秤上二分之根号三， 二分之多少三再乘上二，那就应该是啥呢？应该是这个正六边形内切圆的直径，对吧？ 那么这个内切弯的直径呢，和一点二做一下 比较，我们可以证明他比一点二大，那么为什么他比一一点二大呢？因为啊，我们可以说明根号六大于二点四， 或者是说明呢六大于二点四的平方，这里我们就可以把它说明了啊，所以说现在看呢，这个底面啊，是能够放到这里来的，现在的问题是 整个是不是都能放入到这个正方体内呢？我们还得烤这个膏，我们怎么去想呢？我们这样去想 这个正六边形的内切圆和这个顶点，我试着底点是 a 吧，那么以 a 为顶点，以 以内切圆为底面的圆锥，对吧？我把它放这，我们考虑这个圆锥， 那么很显然呢，这个圆锥呢，都在这个正方体内，那么底面直径是一点二米， 底面直径是一点二米，那么能够放入他的最大的那个高的圆柱体是多少呢？那应该是这个啊，我们假设是他 最大的圆柱体呢，底面直径是一点二米啊，最大的圆柱体应该是 和这个线应该是相接，对吧？好，我们看一下这个，那么根据已知呢，这个直径应该是等于什么呢？应该是等于二分之根号率， 然后呢再比上这个直径，对吧？这个直径呢是一点二， 根据相似比较，我们可以算一下，整个这个高呢，应该是这个体对角线的一半体，对角线是根号三，那就二十根根号三， 然后呢，我设这个圆柱啊，它的高是 x， 那么这个就比上谁了呢？这个就比上 应该是二分之根号三，减去 x， 我们是不是得到这样一个比例是，对吧？于是呢，我们就可以得到 x 的值，对吧？二分之根号三，减去五分之三倍的根号二， 那这什么意思呢？就是说呀，你可以放入一个最大的这个圆柱是多少呢？他的高是他 根据对称一下，因为你在这个正六边形的上面可以放一个圆柱，你在他的下边是不是也可以放个圆柱啊？因此呢，放入整个这个圆柱的高，最大的高就应该是二 x 等于分号 三，减去五分之六倍的分行，什么意思呢？就是说呀，如果我把底面直径是一点二米， 以体对角线为轴，把它放到这个正方体内的这个圆柱体，他的最大的高就应该是这个数最大的高，如果容器壁度厚度忽略不计的话，他放到最大高度， 那么我们现在看一下啊，他的显然大于谁呢？大于一点七三减去五分之六，呃，根号二是一点四一四，那么我们称上一点四 这个值显得是大于差的，这能，这能知道吗？我把这个被减数啊，给他缩小，把减数给扩大， 那么而且呢，我们算出他的结果是多少呢？我们算出他的结果是零点零二六，那么零点零二六呢？ 显然大于零点零一，这对吧，所以说呢，四 d 选项也是正确的，这能听明白我的意思吗？ 所以说呀，我把这个四 d 选项呢？啊，如何能够整体放进去的理由说的是不是非常的清晰啊？好，如果您听明白的话呢，同学们不要忘了根语三连。好，今天我就说到这里。
327伯麟数学
