新高考一卷数学导数解答
粉丝3185获赞2.4万
相关视频
12:25
17:48查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我们专门来讲一讲二零二二年新高考一卷的这个导函数大题啊啊，一共是有两问，这个第二问还是挺有意思的，第一问咱们就快速说一下啊，他说的是函数 f 等于 e 的 x 方，即有指数函数，指数类型的吧，然后也有这样一个对数的类型的，都有 ax， 然后啊，他说的是这两个函数都有相同的最小值，首先的话，咱要注意， fx 定义域的话是全体实数哈，然后这个 gx 的话，他这个定义域就不是了，因为有 lower， 所以他这个 x 定义域呢，就是自变量啊，他这个定义域的话，肯定是零到中穷， x 得大于零才行，这是他的定义欲零到中穷。 那么现在他说有相同的最小值的话，我们先研究这个 f 吧，先研究这个 f 的话，我们会发 发现这个 a 不是随便取的啊，你看一下现在我们 f x， 首先我简写了啊，知道我的意思就行，他的定义域的话是 r， 是全体实数，我们对他呀，求一下导， 求完导之后的话，它是一的 x 方减去 a。 大家要知道一个问题，就是根据指数函数，它肯定是大于零的 正数，再减去负。哦，懂了，也就是说第一种情况，我们看一看，如果说 a 小于等于零，那负 a 不就大于等于零啊，也就是 f 撇啊， x 啊，你一个再加上这个负 a， 那肯定就是正的呀。他是正的话，就意味着此时 f x 在整个定义域范围内，在整个 r 上是怎么样的？告诉我，在整个 r 上，它永 是单调递增的呀，那这样的话，他还有最小值吗？没有最小值，在整个 r 上是单调递增的，这个就肯定不行。所以说我们啊，反过来，这个 a 只能是大于零才可以了。能清楚我的意思吧，当这个 a 大于零的时候，我们令 f 撇 x 等于零，也就是说一的 x 方等于 a 啊，这很简单，求一下就行了，那 x 就是等于捞很 a 的，我们可以轻松的发现。怎么回事哦，原来在夫穷 到什么范围内，到 low on a 这样一个范围内啊。它这个函数啊，是单调递减的，因为此时它是负的嘛，倒函数，然后在 low on a， 就是当 x 大于 low on a 的时候，哦， e 的 low on a， 此方点就会哦大于零了。这种情况下就是单调递增的，这是 f x 的单调性。那有了单调性之后的话， 所以最小值清楚了吧？我们 f 这个函数第一个最小值呢，它就是当这个自变量等于 low a 的时候，我们求一下等于多少吧，求出来等于 e 的 low a。 什么？这根据对数横等式，它其实就是 a 啊， a 减去 a 乘 low a。 好，原来那个最小值是这么写的， a 减去 a 乘 low a， 这个有用啊， 那接下来怎么样？接下来就是要研究这个 g x 了，它的话，我们也对它进行求导啊，这个就比较简单了，直接求导它的话，就变成了 x 减去多少？应该是 a 减去 x 分之一。咱们写一下啊，变成了 a x 减。一清楚我的意思了吧， 既然 x 是正数，我们让导航数为零，此时 x 推出来等于 a 分之一，反正 a 分之一是个正数，也就是说很轻松的，我们可以得出来，在 定义域，定义域是零到中穷啊，零到 a 分之一，它是负的，导函数负，那元函数不就单调递增吗？那 a 分之一到中无穷，单调递增好，单调递减，单调递增，所以有最小值了。那最小值对于第二个函数来说，是当自变量取这个 a 分之一的时候，它是等于 a 乘 a 分之一，那就是 一减去捞按 a 分之一，其实就是一加上捞按 a。 哎，能清楚这个意思吧？ 当你求出来这个之后的话，就很简单了，他说两个函数啊，有什么值，那其实就是圈一和圈这两个值得相等才行啊，最小值相同，所以啊，我们就得出来了， a 减 a 倍的 low on a 等于一，再加上 lown a， 能清楚我的意思吧？而且我们已经得出来了， a 是必须大于零的。我们一开始就分析出来了， a 小于等于零，不合要求，只能是大于零，是一个正数。那你说现在怎么去求解吗？这个求解过程的话我说一下啊，咱们利用函数来求，不是你直接肉眼看出来的啊，你这个不行，怎么解呢？咱们这样来解，根据刚刚写出来的 f 的最小值， 这是 f 的最小值吧。那第二个函数的最小值是多少呢？是这个一加上让 a， 我们很容易变形嘛，就稍微变形一下，反正 a 是正数的啊，咱们可以挪一下变成什么样子了，其实就变成了这个 老按 a， 再减去 a 加一分之 a 减一，你就没有什么想法呀。哦，这么回事，原来我要解这个 a 等于几，那我凑一个函数吧，我把 a 先看成变量，那不就是引入一个函数吗？利用这个 h x 等于 l x 加上多少呢？或者说减去 x 加一分之 x 减一是这个道理吧。啊，那接下来的话，你要注意，我们一开始已经判断了 a 大于零，那 x 就是大于零的，因为你就是变形过来的嘛。 哎，再往后我想问问怎么处理，求导呗，看他是不是一个单调函数啊。好，我们看一下他，求一下啊。嗯，这个具体求导过程的话我就不再多说了啊，也并不是特别复杂，但是处理之后的话，他的导函是得这样一个结果， x， 哦，这是反正分母能够看出来肯定是正的，因为 x 大于零，然后分子的话也是平方加一哦，他怎么样啊？所以我知道了。所以 hx 在整个定义域上，在整个零到真无穷上，是一个单调递增的函数。那 有没有某个值能够让 h 哦清楚了 h 几等于零啊？首先我跟你说一下，这个圈一就这个等式 h a 等于零吧，而且你猜嘛，当 a 等于几的时候， h 一等于零吧，那这个 a 只能等于一，你说为什么？比如说这就是 h 的函数，它永远单调递增 只有一这样一个值，能清楚我的意思吗？那就是这样一个，一的左边他是在 x 轴以下的哦，一的右边他就到 x 轴以上了，因为他是个单调递增的函数。你这道题必须说明他是单调递增才能够说明哦，原来这个 a 只能等于一清楚了吗？ 第一题不难，但是啊，很多同学写到这以后呢，后边的过程就没有写，直接来了个 a 等于一，你怎么知道这个方程只有一个解呢？对不对？万一那个函数 a xx， 人家有两个零点，可能就不止一了，可能还有个三等等吧，清楚了吧。所以这个题要严谨，必须要写这样一个单调性的。呃，讨论好 a 等于一，那么第一问的话，我们就解决了哈。 a 是等于一的，我们看第二问，第二问挺有意思，也复杂一些，其实也不复杂，这个第二问，第二问怎么说的呢？ 第二问的话，就是在第一问的基础上已经确定了 a 等于一了哈，然后那 f x 就是一的 x 方减去一倍的 x， 那 g x 就是一倍的 x 减去 low x 哈。 他说，请证明存在这样一条直线， y 等于 ay 等于 b， 那 y 等于 b 肯定是一条水平的线，他是平均 x 轴的，或者说垂直于 y 轴的。然后他跟两条曲线， y 等于 fx 和 y 等于 gx， 有三个不同的焦点，必须是恰巧直， 只有三个，四个不行，两个也不行，理解吧。并且从左往右三个焦点的横坐标三个焦点啊，这三个不同焦点，他是成等差数列的好，跟数列结合了一下， 那这个题怎么挣？其实刚才我们括号一的话已经分析过这些了， f x 在服务群到捞 a， 捞 a 不就是零吗？单调递减，零到正空琼，单调递增，那 gx 就是零到一之间是减，然后一到正空琼增那，并且他们最小值相等的话，我们可以求一下这道题，他这个最小值， 最小值等于几啊？等于 f 零，好，然后这呢？这是一，我们随便带一下啊，他呢？最后算出来，嗯？是等于几啊？都是最小值吗？我们随便带一个，比如说带第一个一的零，次方减零，哦，等于一啊，也就是说你画这个草图的话，你看 我用红笔把这个 f 表示出来了，但是为了防止你就搞错哈，最小这是一，那我呢，用蓝笔来画一下 j x 草图，行吧，我只能说大概是这样哈。哎，这是一个一， 能清楚我的意思哈，当他等于一的时候，横坐标是一，正坐标也是一，这时蓝色的图像呢，是 gx， 他这样一个草图，红色呢是 fx， 大概就是这样。那么接下来我们讨论一下啊，就是当这个 y 等于 b， 他这个 b 水平线小于一的时候，肯定不行，因为此时， 哦，我知道了，它跟 f 没有交点，跟 g x 也没有交点，那其实等于一也不行，也是要舍掉的，因为这种情况下， y 等于比例向上平移吗？哎，正好是最小值等于一不行吧，因为等于 e 的时候，他跟 f 一个焦点，跟这一个焦点只有两个，我们的要求是三个都不行，是吧？那怎么分析这道题呢？咱们往下你其实马上就知道了啊，我们需要分析一点 这个，当这个草图画出来之后的话，我想说的是，此时外抖音币其实只能过 m 点。 m 点是什么点？ m 点就是这个 f x 跟 g x 的肯定是有一个交点。为什么我这么肯定啊，你看，这是零到一吧， 这个点呢，是一到一吧，这个都清楚啊，那你零的右边我这个 f 蓝色这个图像是单调递增的呀，是不是？那在零到一之间，我们先研究零到一之间图像啊， 对于 g x 来说，它肯定是单调递减的，一直减到一都好。一这样一个点啊，它纵读标都是一好。原来是这么回事，所以在零到一之间肯定存在一个 焦点啊，从这个焦点的话，我们就写成什么点呢？写成这个 m 点，是吧？但是有一个问题，就是你有没有可能这种情况啊？我 f 过了 m 点之后，我增长放缓，很缓， 但是我这个 g x 啊，比较快，能不能行呢？就是说我这个 f 是长这个样子的，然后啊，我这个 g 长什么样子呢？我这个 g 可能是长这个样子，清楚吧，这是 f， 这是 j x， 那右边会不会还有一个焦点呢？除了这个 m 点，会不会还有一个 n 点？我这个 y 等于 b， 可能是过 m 点也行，过 n 点也行，是不是能清楚我的意思啊？我想告诉你的是不可能的， 因为 f 点增长很快，然后这点增长很慢，你要确定就是右边它俩不能再相交了，能清楚我的意思哈，不能再相交了，那怎么确定？就 x 等于 你的右侧这一部分？ f x 永远是在 j x 的什么上面， 这个图像永远是在他图像上面的，能清楚吗？哦， f 永远在这个图像上面，在 x 等于一的这个右侧，如何确定？那当然是要用减法了，你顶住一个函数，这一步是必须写的很关键的一步啊， f 减去这，然后等于多少呢？这个我们直接写就行， 就得这样一个函数，我们现在只用研究大于一的这一部分啊， x 大于一的这一部分，那求导呗， 对吧？求导之后的话，这个非常简单啊，他是加上 x 分之一，再减去多少，减去二来看好了啊，当 x 大于等于一的时候，我们这个 e 的 x 次方是大于等于 e 的， 也就是说，此时这个导函数 u p x 它是怎么样？大于等于多少啊？一减去二，这明明就是个正数，咱俩这个正数少了，肯定是大于等于号还是大于零的呀，也就是说一的右侧永远是大于零。哦，我知道了，单调递增吧，也就是 u x 在一到中穷上永远是单调递增的这样一个函数。因为你这个 u 一，我们算一下等于几啊？是个正的还是负的，你带入啊，一的一次方减去二，一减去二大于零吧，也就是这个位置，我们已经确定了，这个 f 一他是在上方的，这一是在下方，并且这个 f 还增长的更快一些。清楚了哈，所以说呀，这个 u x 永远是个正数，在什么上面？在零到？ 呃，在这个一到正无穷上永远是个正数啊，它是正数，不就意味着 f x 减去 j x 大于零的意思，也就是说， f x 大于 j x， f x 的图像肯定是在 谁的上方？在 j x 的上方，我们已经证明完了，你必须证明这一条清楚了吗？也就是说，除了 m 这唯一一个焦点，没有第二个焦点了。那经过这样一轮分析，所以清楚我的意思了吗？接下来我们就可以下结论了哦，经过刚才的讨论，还有图像可以分析出来，此时 这个 y 等于 b 水平线只能在哪，只能是恰好过这个 m 点了。清楚了哈，那此时这个 m 点的话，具体不知道是零到一之间哪个数字，但是我们能够确定的是它这个横坐标 m 点，这个横坐标小 m 肯定是在 零到一之间的零点几，是吧？那好，当你确定完这点之后的话，我想说的是这道题啊，大概率基本上已经解决了，接下来就是一些细致末节的事情。清楚了啊，那怎么写呢？看，首先，因为 f 等于 g m 这个显而易见啊，其实它就是 m 点的纵坐标，是吧？嗯，所以呢，相当于你把这个解析式带入一的 m 次方减 x 呢，就是 j m， 这是左边啊，右边的话就是 m 减去 low m 没问题，那我再写一种，改一种样子吧，其实也就是什么呢？你更加能看出来， e 的 m 次方加上 low and m 等于二倍的。哎，老师，这个究竟是什么意思啊？ 其实马上你就知道了啊，现在请你看好了，见证奇迹的时刻到了啊，你现在只需要令 fx 等于 b 横坐标吧， 他这个纵坐标等于 b 的时候，横坐标不就是 f m 吗？我们得出来这样一个方程，其实就是 e 的 x 方减 x 等于 e 的 m 次方减去 m 等于多少？那这个 b 的话，实际上我们也可以写成什么样子呀？也可以写成这个 g m， g m 在哪？在这呢啊，就是 m 减去 low m， 你现在还看不出什么东西来吗？其实这个方程，比如说，我们先看第一个方程，我们解得 什么，你画圈这个方程解得一看，这个 x 就是等于几的，就是等于 m， 但是还有另外一个解，看谁呢？看这一部分，画圈这两个等式，老师他怎么去看 看呀？你看不出来，我写一个东西你就能看出来了，你为何不写成 e 的 x 方减去哦， low n 多少呢？减去 low e 的 x 次方呢？ x 就是 low e 的 x 方啊。另外第二个圈的话，我们就写成 m 减去 low m， 也就是说 e 的 x 方对应的是等于 m 啊，那 x 不就等于 low m？ 哦，原来解出来两个解啊，横坐标，另外一个是 low m。 哪个横坐标啊？我们要得的，刚刚已经说的非常非常的清楚了，你要得的一个横坐标是 m， 我们要研究的是 f x 跟 y 等于 b 这条线，那他不就是 low m 吗？ 清楚我的意思了吧。哦，横坐标是 low m 啊，知道了，还有第三个点啊。嗯，第三个点，右边这个点，画个问号，他究竟等于多少？ 还是老方法？那接下来需要干嘛呢？只需要六 j 谁啊？ j x 等于 b 等于 f m， 它结法其实也一样的，我就不详细说了，它其实相当于 x 减去 low on x， 这不就是它吗？ j x 这个函数啊，等于 b， b 的话 相当于谁？相当于一的 m 次方减去 m， 这就是 f m。 那这个 b 其实也可以写成 m 减去 low m， 接出来也是啊，两个值，一个是 m， 横坐标就不用说了。那另外一个横坐标 它是等于多少呢？等于 e 的 m 次方， e 的 m 次方肯定是大于一的，因为 m 是零到一之间的一个数字嘛，咱已经分析出来了。哦，原来这个横坐标，第三个横坐标等于 e 的 m 次方啊。它现在也让你研究的是这画圈部分， 这三个横坐标究竟是不是等差数列的关系？肯定是等差数列的关系，一个是老 m， 一个是 m， 还有一个是 e 的 m 次方，为什么肯定成立啊？我问你， low m 加上 e 的 m 次方，等不等于二倍的 m 等于啊，这不就是等差数列的意思啊，等差数列哦，等比中等差中相啊，第一个数字加上第三个数字，等于中间这个数字的两倍。 那成立吗？我们刚才圈一都已经说过，他就是成立的呀，所以怎么样？所以就可以说了。所以这三个数字 lm， m， 还有一的 m 次方乘等差数列。 ap 就是等差数列的意思，所以清楚了吧。这道题的话，其实第二问也不能算太难，你好好分析一下， 总能够得出来的。这个函数图像有一部分特别重要那种。那部分啊，就是这个 f x 在 e 的右侧，永远是在 j x 上方，你得分析出来。你不写这一步分析你就得不了满分，清楚了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。
2267会放羊的教书匠
