2025高考数学新高考一卷压轴题拉格朗日
朋友们大家好，今天的话我再给大家讲一下，用计算的方法来解决高考题。我们讲一下拉格朗日种植定律。那么对于一个函数 y 等于 f x， 它要求在 b 区间 a 到 b 上面连续，连续是什么意思？就是不能够出现 y 等于 x 分 之一在 x 等于零处这种情况，也就说呢它间断了，那么在 开区间 a 到 b 上面可导，但那么它不能出现像 y 等于 x 绝对值在 x 等于零处的这种情况，也就是它不可导，那么存在一个变量，可 c 是 属于开区间 a 到 b， 使得我们的 f 撇可 c 等于两区间端点处的这样一个差值比上两个这个区间的长度，也就说 f b 减去 f a 比上一个 b 减 a， 那 么这就是我们这样一个拉格老师中值定律，那么我们利用它来看一个题， 那么这这个题的话是说呢？已知函数 f x 等于 x 三次方减去 x 平方加上一个二分之一， x 加上一个四分之一，且存在 x 零属于零的二分之一，使得 f x 零等于 x 零。第一个让我们去证明 f x 在 r 上面是一个单调增函数， 那么我证明一个函数的这样一个增减性的话，我们有两种方法，一个是用定义，第二个是用它的导函数，我们显然的话用导函数更简单。我们来求一下 f 撇 x 的 话，它应该是等于咱们这样一个三 x 的 这样一个平方，然后再减去一个二 x， 然后再加上一个二分之一，常数没了，那我们把这个函数的话，稍微变一下，就成了它等于一个 三倍的，我们把它配方啊，这边的话是一个 x 的 平方，减去一个三分之二 x， 然后这边的话我们加上一个九分之一，这边的话我们再减去一个三分之一，就加上一个六分之一。那前面的话是一个完全平方公式，也就是呢，它是一个三 x 减去一个 三分之一的这样一个平方，然后再加上一个六分之一，那这个显然是大于零的。也就说呢，我们证明出来了 f x 在 r 上面它是一个单调递增的，这是我们的第一题，我们来看下第二题， 他说呢， x 一 等于零， x n 加一的话等于 f x n， y 的 话等于二分之一 y， n 加一的话等于 f y， 其中 n 的 话等于一二一直到很大证明咱们这样一个 x， n 小 于 x， n 加一小于 x， 零小于 y， n 加一小于 y n， 那 我们来看一下，我们来看一下咱们这样一个特殊情况吧，咱们这个 x 零的话，和咱们这样一个 x 一 y 一 的话有什么样这样一个关系？那显然的话，我们会有咱们这样一个 x 零的话，他应该是大于零，那这个零的话，他是等于咱们这样一个 x 一 的，然后呢，他会小于咱们这样一个二分之一，二分之一的话，他是等于咱们这样一个 y 一 的。也就说我们证明出来了 x 零他应该是大于 x 一， 小于 y 一 的。但这还不够，我们 得需要证明咱们这样一个正常的一个式子。也就说呢，第一问的话，它还有一个 x r y， 那 这个时候由于我们第一问证明出来它是一个增函数，我们不妨把它带上一个咱们这样一个对应法则，也就说呢 f x 零，它应该是大于咱们这样一个 f x 一， 然后呢会小于 f y 一。 那这个式子的话，我们 通过咱们竖列的定义啊，知道咱们这样一个中间的话，这个东西呢，肯定是一个不动点，就说呢，它还是等于 x 零的，然后呢 这个东西的话，它应该是一个 x r， 然后这个东西的话，它应该是一个 y 呀，那我们再看一下 x r 的 话，它是等于咱们一个 f x 一 的， x 一 的话，它是等于零的，那我们把这个零的话代入到函数里面，它应该是等于咱们一个四分之一，那四分之一的话显然是大于零的，然后呢说明 x r 它是大于 x 一 的， 同理我们的 y 二它会等于 f y 一， 那 y 一 的话，它等于二分之一。我们带进去啊，发现啊，它等于一个八分之三，八分之三的话，它显然是小于二分之一的，也就是说呢，它小于咱们这样一个 y 一， 那这样的话，综合咱们这样一个 这个式子和这个式子，我们就会有咱们这样一个 x 零，它应该是大于 x 二，然后 x 二的话又大于 x 一， 也就是说呢，我们证明出来了叫第一种情况， 那这个时候我们再往下正的话，我们想使用咱们这个数学规划法往下去正，那也就是说呢，我们来看一下数学规划法的步骤，那当 n 等于一的时候，我们上面的话是不是已经证明出来了？比如说上面已证明成立了， 那当 n 等于 k 的 时候，这个是 k 的 时候，他是大于等于一的。那我们看一下，假设他成立的情况下，也就说假设咱们这样一个 x 零，他是大于 x k 加一，然后呢会大于 x k， 然后下面的话是说呢，它会小于 y k 加一，然后呢进而 y k 加一的话也小于 y k， 那 由于我们的这样一个 f x 还是一个单调递增呢？所以说我们把它对应法则带上，带上完以后呢，它整体会变成 f x 零，然后呢会小于 f y k 加一，然后会小于 f y k， 然后左边的话也是一样的，它会大于 f x k 加一，然后呢会大于 f x k， 那 这个时候我们把这个对应法则和我们这样一个不动点以及我们处理的定义给它结合中间的这个东西的话，显然它是一个不动点，就是一个 s 零，然后后右面的话，这个东西的话显然的话是一个 y k 加，然后这边的话是说 y k 加一，然后左边的话它是一个 x k 加二，然后呢再左边的话它是一个 x k 加一，那这个表示什么呢？这个表示显然 n 等于 k 加一的时候也成立，对吧？ n 等于 k 加一的也成，也成立的话，我们根据数学规范法，我们就把第二问给它证明出来了，也就说呢，我们的这样一个命题就得证了，这是我们的第二问，那我们来看下第三问啊， 第三问的话，它是说呢，证明咱们这样一个 y n 加一减去一个 x n 加一，比上一个 y n 减去一个 x n， 它小于二分之一。那这道题的话，我们使用两种方法，第一种方法的话，我们正常的方法去做，那 y n 加一减去一个 x n 加一，这个时候它比上一个 y n 减去一个 x n， 那 它等于什么呢？显然的话，它是等于 f y n 减去一个 f x n， 然后再比上一个 y n n 减去一个 x n， 那 这个时候的话，我们上面的话， f 是 有解析式的，我们是不是可以带到解析式里面，但这里面的话我们不需要一个个带了，我们来看一下啊，首先呢，常数相减肯定没了 x 三次方，我们使用咱们一个立方差公式，然后呢再把这个除除了，那除完过以后它会变成什么呢？ y 的 平方，然后再加上一个 x n， y n， 然后再加上一个 x n 的 这样一个平方，然后中间的话它是一个平方差，对吧？那我们把符号给它拿出来，它最终约掉过来以后呢，它会变成 y n 加上一个 x n， 然后右面的话是二分之 这个东西的话，一约的话，它就是一个常数变成它了。那我们从第二问的话，我们是不是能把 x n 和 y n 的 这样一个范围给它算出来啊？ s n 的 话，第一项的话是一个零，就说它大于等于零，然后呢它是个单调递增的，但是呢它也超不过 x 零，也就说呢小于二分之一，这是我们的这样一个 x n 的 范围，那 y n 的 范围的话，它应该是 小于等于啊，它是单调递减的，对吧？小于等于二分之一的，但是呢它会大于零，那这个话我们看一下，我们是不是能把两个范围给它算出来啊？就说呢，我们 x n 乘上 y n 的 话，零不能同时取得，但是呢它会大于等于零， 我们叫这个范围，那我们其实也可以把 x n 加上一个 y n 的 范围也给它同不出来，这样的话零不能同时取得，就是说它是大于零二分之一的话不能同时取得，也说呢它是大于一的，那这个时候我们把上面这个式子是不是可以把它 放松一下？它是不是这个式子的话，我们直接写了它应该会小于等于，因为你这个东西大于等于零的，所以说它会小于，等于咱们连一个完全平方公式，就是呢， 这边的话是一个 x n 加上一个 y n 的 平方，然后这边的话是说减去一个 x n 加上一个 y n， 然后这边的话是说呢再加上一个二分之一，那这个时候我们把它配配下方，比如说 x n 加上一个 y n， 然后这边的话是说减去一个二分之一，对吧？然后重括号。这边的话是说我们拿掉一个四分之一，还剩一个四分之一，那我们来看一下 x n 加上一个 y n， 它是不是大于零小于一的减去二分之一，是不是大于负大分之一，小于正大分之一啊？也就说这个东西的话，我们把它整体加上一个绝对值，它应该是小于二分之一的，那它的平方的话肯定是小于四分之一，是吧？然后加上一个四分之一肯定会小于二分之一，也就是说呢，我们分析出来了，这个命题得正了，这是我们的第一问， 那我们主要看第二个方法，是我们呢今天要介绍这个拉格朗日，对吧？那也就说呢，我们从哪一哪地方开始呢？我们从画蓝线的这地方开始，这地方的话，我们是不是可以使用拉格朗日终止定律啊？我们把它抄一下，就是呢， f y n 减去一个 f x n， 然后呢，它会比上一个 y n 减去一个 x n， 那 这个式子的话，我们使用拉格朗日终止定律，我们会得到，它应该等于一个 f 撇可细，对吧？乘上一个 y n 减去一个 s n， 那 和底下的就约了，又算它等于一个 f p 可 c， 那 这边的话，可 c 的 范围的话，它应该是 x n 到 y n， 也就算是这个范围， 那这个范围的话，我们看一下这里，这里的话是 x n 和 y n 的 这样一个取值范围， s n 的 话，它应该是大于等于零，但是你要开区间，所以说呢，它取不到，它应该是咱们这一个区间的整数级，这个区间的话就是一个零到二分之一， 那就说呢， y n 的 话，它也是小于等于，但是这边的话， y y y n 它本身能取到，但这个区间的话，可 c 它取不到，也就说呢，它是可 c 的 话是大于零小于二分之一的。那我们来看一下这个 f 撇可 c， f 撇可 c 的 话，其实 f x 我 们已经算出来了，它不就是咱们这样一个三 x 这样一个平方，然后再减去一个二 x 加上一个二分之一，那它在这个开区间零到二分之一里面，它这样一个最大值的话， 我们是不是能够求出来啊？首先的话，对称轴的话，是不是 x 等于一个三分之一啊？ x 等于三分之一的话，那零到二分之一里面，谁离对称轴远？他是开口方向向上的，是不是谁就大呀？ 显然话零的话离三分之一的话更远一些，因为他的距离的话三分之一，二分之一到三分之一的距离是六分之一，对吧？那我们说明他这样一个最大值的话，他是不是 f 撇 x 的 max， 他 应该等于 f 撇零， f 撇零的话，他是不是就二分之一啊？ 那二分之一的话就说明 f 也可 c 的 话，它是不是得小于二分之一啊？也就说呢，这个值它是应该是小于二分之一的，大家可以体会下这道题。
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什么叫互异性？没有两个相同的数，一个集合里头不能出现两个相同的数，如幺幺，他就不能是集合，他就不能是集合。一个集合里头不能出现两个相同的数。确定性这个没办法，就是不好考，所以不用管它，集合里的数全是确定的。 然后无序性这个东西也不好考，它意思就一，二跟二，一是一个意思。好，第三个要涉及的也是它的关键，就是计算。 计算主要是交并补， 譬如 a 跟 b 相交，它指的是 a， b 的 公共部分，相交的部分， a 和 b 并在一起，指的是所有的补集，叫 c u， cba 吧， cua 吧， 这个全部范围叫 u， 这是 a 补集，就是 u 中除 a 的 部分。 好，再来一遍，集合就是一组数组成一个集合，我们一般用这种大括号把它表达起来，那么集合有确定性、无序性跟互异性，但是我们主要考的是互异性，就没有相同的数， 然后主要是考集合的计算，相交公共部分啊，并集所有部分补集，譬如 c u a u 中把 a 给去掉， 譬如这个班，我的补集是什么？是剩下的，你们对吧？子集啊，这个数，这个集合的所有元素在这里面，那就称之为子集。比如说高三一班是三中的一个班，那高三一班就属于就是三中的一个子集吧。 以这道题为例，全集小于九的正整数，思考一下有哪些？ 八七六五四三二一吧。小于九，对，所以它实际上要写成集合的话，后面就写了一二三四五六七八。考场上的时候注意，我们是有很充足的时间来做这些题，所以全列出来 慢慢列。然后 a 集合是一三五这个符号啊，打印的问题啊，叫 c u a c 位什么意思？ u 中排除 a 的 部分吧。嗯，那是不是把一三五给去掉就行？ 把一三五去掉，问元素有几个就是有几个人嘛，一二三四选 c 选项，这五分到手，简不简单？好，第三题我们课上没讲，但是 他简单来双曲线，只要看到这个词啊。双曲线，第一个是图像， 双曲线，图像长这样，两个弯弯，他有几个性质啊，或者几个名词？我们先说一下以及他的方程嘛。图像跟方程我都写一下方程， 就我们初中是不是学过一条直线可以写成 y 等于 x 加 b 吧，那一个双曲线它也可以写成 y 等于多少 x， y 跟 x 的 关系， x o y 将人图像方程可能复杂点，但不要担心， x 方除以一个 a 方，减去 y 方除以一个 b 方等于一。我们要分别来看 abc 代表什么意思，其实这个也是只要背了就有，这里面有两个轴。 先说一下，第一个叫十轴，这条长度叫十轴啊，这个点的坐标是 a， 这个点的坐标是负 a， 这个称之为十轴， 当然它还有个 b 叫虚轴，这个点是 b， 这个点是负 b， 称之为虚轴。虚轴是干嘛用的？不用管，它是求渐近线用，但我们只要知道它是什么就行，不在图上，所以叫虚轴 好。双曲线上的特点，这个点叫 f 一， 这个点叫 f 二，其中 f 一 f 二称之为焦点， 然后 f 二是 c 零， f 一 是负 c 零，就它的坐标哈，意思是这个长度是 c， 这个长度也是 c， 这是两个焦点。先把这些基本的 它的名词或者这些点坐标位置记一下。嗯，有，我等会就说它的原原理。先把这个记一下，我们再说简单点的东西，我们说画圆，圆也是圆锥曲线的一种，这个双曲线， 椭圆、抛物线以及圆这四个东西称之为圆锥曲线。为什么叫圆锥曲线呢？它是个圆锥上面啪切出来的东西，所以叫圆锥曲线。它有一些特点，我们以圆为例，圆最简单，到一个点的距离等于定长， 或者我们画圆怎么画？定一个圆心，拿根绳子绷直转这么一圈，是不是圆？这个点叫定点，叫圆心，那个绳长就叫半径吧。 那么在双曲线里面也有两个，它是有两个定点来画它的双曲线的点哈的几何特点是到两个交点的距离相等啊，不是相减的值。相等 什么意思？就是 m f 一 减去 m f 二等于二 a， 这就是十轴长轴的意思， 这条线减这条线等于一个定值，不管哪个点相减，等于定值，这是它的几何意义。圆的是到一个点的距离，是一个固定的长度， 双曲线是某个点到另外两个定点的距离之差是个常数。椭圆是到两个定点，距离之和是个常数。这个先这么记啊，等我们将椭圆的时候，这个会更加清晰一些，这他基本概念，不着急。 红灯管怎么用的？其实这应该按到道理用不上，这是它的基本概念。好，下面我们来记这个图，等下回头自己画吧。我说要用的东西好， 二 a 叫长轴，一个叫实轴是二 a， 虚轴是二 b 啊，交点距就交点间的距离是二 c， 它们有个特点叫 c 方等于 a 方加 b 方， 然后离心率。这都是名词啊，离离离字怎么写来着？离心率 e 等于 a 分 之 c。 其实这道题来说，只要知道这些东西，对一个双曲线来说，它的方程是， a 方分之 x 方，减去 b 方分之 y 方等于一 十轴，称之为二 a， 虚轴称之为二 b， 焦点距是二 c， 然后焦点距跟 ab 有 个 c 方等于 a 方加 b 方，离心率是一分之一，等于 a 分 之 c。 好， 回到这道题来看，他说什么？虚轴是实轴的根号七倍， 我们按照要求写，虚轴是谁？二 b 等于根号七个二 a。 第二个方程是 我把这个写下，这个是一定会用到的。 c 方等于 a 方加 b 方， c 方等于 a 方加 b 方，问 e 等于几？ e 是 a 分 之。好，你看一下，这上面是它的基本概念，对吧？我们背下来 虚轴二 b 为实轴，二 a 的 根号起背第一个方程，第二个式子题我们已经背了，第三个式子要求看通过这边能不能把这三个式子写出来，可以吧？ 然后接着就是求 e 的 余记，就是求 e 的 余记， 哪地方有问题？可以说第一个就是把题目翻译出来的，第二个是被的，第三个是被 哪个？ m， m 是 上面一个点，这个不要管，那它的几何意义，你这道题的时候都用不到，这些全都用不到，我们等后面会列个表给大家，我做做一个那个什么表，那个圆锥形的表，稍微复杂点，圆锥形都不在我们第二节课讲，我们在第二节课再说。这个是简单的，所以我现在再讲 上面会用到这种几何关系的，其实至少这次没有用到，对吧？我们只说基本概念要背的东西，我只要知道它的方程，什么叫实轴，什么叫虚轴，什么叫焦点，以及它们三个的关系和离心率等于几，这个是一定要背的， 通过能背的东西能解决。题目是在我们第一节课讲，稍微复杂点的，我们都不在这里讲，好吧，好。接着剩下的就是计算了，图像不画，你们就把下面这个方程实轴、虚轴、离心率写出来就行。 你觉得怎么计算简单？我觉得至少要有谁？ c 方吧。所以我给他开个平方，这是前面计算步骤，然后开始来求解解算算， 我要算的是 e， 我 不如先求个 e 方是不等于 a 方分之 c 方啊，就把这个式子两边平方一下，那 c 方等于多少呢？等于 a 方加 b 方吧， 这个带进去， c 方等于 a 方加 b 方，没问题吧？ 然后这个我肯定要化简一下的，第一个式子要化简一下 b 等于多少根号其 a 吧。两边把这个二一约哈，这个二约掉， b 等于根号其 a， 所以我就把 b 等于根号七 a 怎么样换掉？在这个式子里头，只有 a， 它就等于 a 的 平方加上根号七个 a 的 平方，再除一个 a 的 平方，别的不用管，照抄。每步做一件事情啊。第一件事情，因为这里有 c 方， 所以我不如两边直接平方一下，得到第二件事情，把 c 的 平方换成 a 和 b， 这叫带入消元，因为我们在解题的时候思路是 不同的，字母越少越好，对吧？这里面有 c， 有 a， 我 不如把 c 换成 a 和 b， 然后再把什么 d 换成 a， 那 这个式子就只有 a， 第一步带进去，第二步，把它带进去，换出来， 然后展开。等于 a 的 平方加上七个 a 的 平方，除以一个 a 方等于八个 a 的 平方，除以 a 的 平方，所以等于八。好，我们最后得到的结果是， e 的 平方等于八。隧道 e 就 等于根号八，根号八是等于两个根号二的 原因是根号八可以写成四乘二，等于根号四乘根号二。来，拿个这个去，等于两个根号啊。答案选 d 和这个地方计算不清楚的，后面计算不清楚，客户问哈，我们一点点来，这次十五分了。第四题涉及到三角函数的所有的对称中心以及对称轴的问题。 y 等于三，引小狗，嗯，来记一下，它的对称轴 是小狗等于二分之派加二 k 派，其中 k 属于 z， k 是 整数。 譬如我问你三 e 小 狗的对称轴是几，就是小狗等于二分之派加上二 k 派，譬如说 k 取零，那小狗等于二分之派， k 取一，小狗等于二分之派，加二派就是二分之五派， 二分之一加两个，加个二等于二，然后他的我等。以这道题为例哈，因为现在写的是小狗，用起来会很简单。然后对称中心是小狗等于二 k 派， y 等于 cosine 小 狗 对称轴，小狗等于二 k 派， k 属于 z 对 称中心，小狗等于二分之派加二 k 派。 sorry， 写错了，不是二 k 牌，是 k 牌。把这个 r 去掉 y 点贪心狗，它只有中心，它只有对称中心。小狗等于二分之 k 牌， k 除以 c。 先把这个记一下，这脚背了就可以直接用了。 不讲原因，讲原因的话它就太复杂。就是我们就当文科学背，背出来就可以。原因其实我在前面都已经讲过了，我之前讲过三角函数，可能大家都已经忘了就行， 或者听不懂。哎，那干脆听不懂就直接背对吧，把这个东西记下来。记下来之后你再看，我们再看这道题啊，它为什么对称中心为多少？对不对？第一个关键点出来了一个，它是 tangent 的对称中心。来找找找在哪是不？这个 panting 小 狗的对称中心是小狗等于二分之 k 派，现在你看这里面谁是小狗？ 这整个东西是小狗吧，对不对？哎，就是这个小狗要等于二分之 k 派。意思就是 x 减三分之派要等于二分之 k 派， 也就是 x 等于三分之 pi 加二分之 k。 好， 这就是它，所有对称中心， 它有好，它有无数个对称中心，但是它要求什么？对称中心的什么值？最小值吧，大于零的最小值啊。 x 这个就 a 就是 x， a 对 的，是 x 的 位置来看， k 去 k 是 整数啊。 如果 k 等于零的话， x 等于几？是不等于三分之派 对是吧？ k 等于一的话，是不是 x 等于三分之派加二分之派等于六分之五派？这个计算就不用管了，总之这个是不是要大一点啊？这个也可以，六分之五派也是它的对称中心， 然后还有什么 k 取二， k 取三， k 取四，依次下去，当然还有 k 去负一的话，是 x 等于三分之派，减二分之派怎么算它哈派反正就是个符号，也是个数字，是不是派乘一个，三分之一减二分之一， 三分之一减二分之一总会算吧。负六分之一排，当然它往这边也可以无限延伸。现在问算出来这几个结果里面哪个是正的，又是最小的，是不是它？ 它是正的右边，所以大家选 c 选项。好，我再来整体过一遍。首先红色部分背一下，三引的话，求对称轴是 这个后面这一坨东西的，有二分之派加 k 派，这东西已经记下来了哈，抄下来，然后拿到题目，看到求 tanning 的 中心，在这里， 贪婪的中心是贪婪的小狗，小狗是后面整个贪婪的部分，就是它要等于二分之 k 派，小狗等于二分之 k 派，这是我们背下来的对吧？放在这里， 那这个小狗是多少呢？题目中只把小狗复杂了一下，变成 x 减三分之派，所以换掉 x 减三分之派等于二分之 k 派。 把它挪过去方程解方程应该都会啊，挪过去的话，负的变成什么正的吧。一项变号，所以 x 等于三分之 pi 加二分之 k 这个 pi， 这个 pi 哈是个数，大家应该都背过三点一四一五九二六，对吧？ 但是它具体是多少我们不用管，只要它是数就行。其中 k 是 变化， k 可以 取零一二三四，什么负一负二、负三负四都可以。 我们这里求出来是所有的对称中心，所有的对称中心，但他只要找一个，找哪个正的最小的那个，那 k 取几的时候能取到正的最小那个呢？我就分别把 k 取零一二三，或者说负一负二负三带进去 零带进去正的，一带进去正的，那越往后越大了，越加越多，然后再找往后负一的时候算出来是负的。 假设哈，你 k 去负一中算出来是个什么？六分之派，假设算出来是六分之派，那结果就应该选六分之派吧，说白就把它全列出来，找到最小的正数就行， 因为，嗯，随便练，但你不也不能练的太离谱了，你隔得太远的话，那是不是就练的太多了？你肯定要靠近大于零，他要心里要求是大于零且最小的值。 我特意写写个括号，后面小狗你前面，管它是谁都无所谓，包括什么，加一些东西，只要它。这个意思就是只要有三亿这个小狗啊，它最顺手就是小狗等于多少。 ok， 别都不用看它，那些东西都误导性 至此。多少分？二十分了吧。啊，这二十分要到手，其实再加上多选题，当单元题就可以拿上十分，这就三十分。 乘法一梳理我们已经讲过了，回顾一下，等差两个公式，要背的一个叫通项， 嗯， ok， a， n 等于 a 一 加上 n 减一个 d， 其中 a 一 叫什么？叫做首项？也就第一个，第一个树立的第一个是谁？首项递交公差， 递交公差就是打比方哈， 一三五七九，它就是 a 一 等于一， d 等于二的一个等差数列，能看懂吧？哎，公差就相差多少，每一次每一个差值是一样的，这叫等差数列， a 就是 手相， d 就是 公差。 第二个要讲的叫前 n 项和，就是把前面的 n 项加起来等于几？ s， n 等于首项加末项乘以个项数，除以个二。 以这一三五七九为例，譬如说一加三加五加七加九，它是等于二十五的 二十五，这是直接相加一加三四嘛，九加七加九二十五嘛，这口算的。但是我们用公式应该怎么算？应该用一加九乘以个几项，五项再除个二， 首项加上末项，一共有一二三四五乘个五，再除个二，这是它的公式。这个一定要背，背了就有分 等差的。 好，先把等差记一下。那这道题考试等比，所以我每道题啊，只要涉及到一个内容，我会把它所有的内容全部来一遍，比如下下下一套卷子，又有一个等差等比，呃，我就等差处理和等比，我会把等差等比公式都写下，那多抄两遍就记住 好。题目中如果说是等比的话， 譬如它的通项公式是 a， n 等于首项，乘一个 q 的 n 减一次方 a 一 还是首项啊，这个 q 叫公比 公比。我来举个例子，譬如说二六三六一十八，一十八，乘一个三等于几三八二十四，五十四，这就是个等比数列 啊。这就等比数，它的首项为几，首项为二，公比为三，因为这里乘过去是乘三、三六一十八、十八。乘三等于五四，它就是个首项为二，公比为三的等比数里。 然后另外要记得叫前 n 项和，就把前面几个加在一起， s n 等于首项乘一个一减公比的 n 次方，除个一减公比。好，四个式子背一下，抄一下，等我再来拿这道题应用一下。 a 一 乘一个一减 q 的 n 次方，乘一个 q， q 公比是 q， 这个是公式， 你看嘛，这是 a 一 吧。第二项是不是乘了一个三，第三项是不是乘了两个三？第四项是不是乘了三个三？二乘三，二乘一个三，二乘两个三，二乘三个三，对吧？ 但不知道也不要紧，不知道也不要紧，我们直接套公式就行了。 好，以这道题为例，它给了一个什么东西等比竖列，所以我们要看下面两个公式，下面两个是个等比竖列的公式，对吧？ 第一句话叫什么？前四项和等于四，管它那么多，直接写 a 一 乘以个一减 q 等于四， 这有问题吗？等比数的前项和是这个首项乘以一减 q 的 n 次方啊。我们再来看第二个式子，前八项和， 那不就是 a 乘个一减 q 的 八次方，除以一个一减 q 吗？等于六十八。如果你能把这两个式子写出来，那说明高中的内容已经写完了，剩下的是初中的计算。 要说这个算不来的话，那就只能慢慢来，慢慢算。算不来吧，他要求的什么东西？公比吧，要求公比，我就得把 a 一 给消掉。我说下，一般来说，他都是用除法 一跟二，拿一和二相除，该怎么算呢？我写慢一点，一除以二的话，是 a 一 乘个一减 q 的 四次方，除个一减 q 再除以 a 一 乘个一减 q 的 八次方。除以个一减 q 等于六十八分之四。这里能看懂这个也没问题吧？嗯，不是一个分乘以除以一个分六，不着急就拿它除它跟等于它除它。 ok 啊，相处一下，然后接着我们来约嘛， 分子分母都是谁？ e 减 q 吧，约掉两个 a， 一 约掉是不是可以啊？ 约掉了就简单对对应位置的可以相互约掉，所以它就可以写成一减 q 的 四次方。除以一减 q 的 八次方等于 六十四。六十八除以个四等于一十七，哈，一十七分之一。说下除法里面对应位置的分式里面对应位置的可以相约哈，然后接着就涉及到一个分式相除，那这些都是计算技巧，计算技巧的话我们课后可以再问了。 a 分 之 b 等于 c 分 之 d 可以 写成 bc 等于 a d， 这叫什么？交叉相乘吧，交叉相乘， 所以同样的它可以写成十七乘个一减 q 的 四次方等于一减 q 的 八次方。 再展开可以写成十七减去十七个 q 的 四次方等于一减 q 的 八次方。 一项 q 的 八次方减去十七个 q 的 四次方，减加十六等于。这没办法了，他这个基本的计算还是要会算加减乘除大体的。第一题的第一问非常的简单啊，你每道题都是非常简单 啊啊啊，这个不需要学，数学也能做。你看下第一题，别看这个表格什么乱七八糟东西，他就是给了个表，对吧？我们看第一问是什么？第一问问的是不正常患者患病的概率 p 是 多少？ 他是道语文题，相当于问在不正常的人里面有病的占百分之多少就行了。 首先我们看一下不正常有多少人看这表哈，两百两百个人是不正常的吧，其中得病的有多少？一百八十人吧，所以概率就是两百分之一百吧，这五分应该能拿到手吧。 p 等于两百分之幺八零，所以等于。 不要管估计值的问题。我说我正好说下原理，什么叫估计值？咳咳，好，先写一下吧，我先把它写一下。嗯，算出来应该是等于多少？十分之九，十分之九。 他这一问问的是读懂来不正常的患者 患有疾病的概率，那你就要在不正常的患者人里面找其中得病的有一百八，所以是两百分之一百八。但后面有句话，有人有人读起来可能就那个不知道什么意思。 呃，我把它原理讲一下，就是概率这个东西，它是上帝才知道的，对吧？正常情况下我们都是不知道概率是多少。打比方丢硬币，丢硬币，我们是因为 已经作为一个上帝视角知道正面跟反面朝上的概率都是二分之八，但假如有件事情你不知道概率是多少，假设丢硬币啊，你不知道正面朝上概率是二分之一，该怎么办？我就在那自己丢， 譬如丢个十次有八次正面朝上，我是不可以认为正面朝上概率为十分之八。可以，所以我估计正面朝上概率就是十分之八没有问题。这个东西叫什么？一个叫频率，我们刚刚求那个东西叫频率， 频率的概率他可以不一样，但是只要我做的实验足够多，实验次数足够多，这个频率会慢慢的接近于概率。譬如我丢一百万次，我丢一百万次，然后这篇常识概率大概五十万，多一点点或者少一点点都有可能。 真有人做这个事情，他们就拿这个写了一篇论文来讲啊，丢这面的概率应该是接近于二分之一。 他这也是一样的，虽然我不知道真实的情况真实的概率是多少，但是我可以通过两百人来估算，不正常人中得病的概率为 十分之九啊。这第一问，这五分应该好拿吧，只要读懂了题就可以写出来。 ok， 好， 下面看第二题。第一问， pass， 它难算，主要是难算，它其实概念上不难，我们在下几个再说十七题来记东西了， 十七题立体几何。第二问，一定是见坐标系，那我们在下节课再讲如何见坐标系，如何找点，如何找那个。但第一问是可以做的好，拿出笔来记啊。 立体几何里面主要找的是线面面线线的关系。一个来说，我下面讲详细点，比如说 l 一 与 l 二 正平行。我们在上节课时候是不是讲过一般用什么中位线或平行四边形吧。中位线， 什么叫中位线啊？一个三角形里头找两个中点，这两个是中点， 把这个中点这么一连，这条线就称之为中位线。 中位线是平行于它所对应的线的，这两条两条线是平行的，线线平行。这么整好 线线先不说吧，线线主要是平面问题啊，其实只要学初中几何就行了，我们主要讲的线面和面面吧。 l 与 alpha， 第一个 l 平行于 alpha， 它需要通过什么来证明呢？我先画个图吧， 这个是平面 alpha， 这是一条直线 l， 然后这条是直线 l 撇。 你要做的是两件事，三件事情，第一个证明 l 平行 l 撇，第二个说 l 在 平面外， 第三句话说 l 撇在平面内。其中这两句话叫套化，就是我们考试时候直接写就行了，不需要去正，只要做的是第一件事正，两条直线平行，那就可以得到直线与平面平行， 然后直线与平面垂直，这个是 l 一， 另外一个是 l 二，它垂直，证明是 这条直线垂直于平面里面，两条相交直线就可以证明线面垂直，所以假这个点是 o 点哈。第一件事情是正 l 垂直于 l 一， 以及 l 垂直于 l 二，这证明过程是平面几何问题，而且一般都会比较给的比较明显。 好，然后第二件事情是 l 一 交 l 二等于一个点。第三件事情是 l 一 在平面中， l 二也在平面中， 这样写的话会简单点，大家哪个符号不清楚，可以说 l 垂直于 好，先把这两个记一下，线面关系，一条直线平行于一个平面，只要平行平面里头某一条线就行， 这是平行的证明，垂直的话要垂直于平面里，两条相交，直线才能垂直。 你把这个记好了，回头考试的时候就按照这个一二三写出来就行。不是零，是点 o， 我 换个换个写法吧。一个点 o 啊，那我换这里写个 m 点吧。好吧，那等于 m， 他 不是零啊，是，这是交集啊，就两个交于一个点，他的意思就是表示两个直线会相交，而且交点是 ok。 好，接着平面与平面，哈，平面与平面， alpha 一 与 alpha 二，如果 alpha 一 垂直于 alpha 二的话， 譬如说这样两个面它垂直关系就是你把书这样翻开，翻开一个直角，就两面垂直，那我只要证明一条线 l 垂，这是 r 一， 这是 r 二，只要正 l 垂直于 r 二就行了。 然后第二个要写的是 l 在 r 一 内，则得到 r 一， 垂直于 r 二。其中核心点，你要正，这条线垂直于它是要通过这个东西得到 线面垂直啊，是通过线线垂直，两个线线垂直，然后得到，然后通过线面垂直得到面面垂直。 这道题用的就这个，它要正的，你自己看嘛，它要正的是不是两个平面垂直啊？你大脑搜索的时候就马上想到面面垂直有这个东西，然后要正的是线面垂直， 这要记好啊，等会你看一下，做起来会很简单，就是只要背下来之后，按这个条件一二三写下来就整完了。 好，面面平行先不讲，因为它比较复杂，它内容确实太多，它要正的东西有点多，有点，我们就以这个为例，等遇到面面平行再说吧。下面就是看题想事情，现在我们看到问的是什么面面垂直？ 回到这里来，想在哪里？在这里，我要这两个平面垂直，就要这某一个平面里的一条线垂直于另外一个平面吧，嗯， 对不对？然后我们来里面找吧。先看图，先看图，这里面也是要解决第一问就可以了， p a b 这个面和 p a d 要正，红的跟蓝的垂直。你自己先看这个图，感觉一下，应该是这哪条线垂直于哪一面。 哎，高号图都都都会画的很标准的。那你 p a 垂直 abc， 你 正的是什么？正的是这条线和下面这个面垂直，你要正的是红的跟蓝的垂直，是不是？就是说 a d 是 不是垂直这个红的面？看一下像吗？或者说 a b 垂直这个蓝的面吧。 你要真的是线面垂直，好，那么下面来看一下听众给了什么条件哈，然后把它直角标一标。第一个说的是 pa 垂直于 a， b， c， d， 就是这条线 a， b， c d 的 底面，这条线是垂直整个底面的，那也就是说 pa 会垂直于这个跟这个垂直于整个底面来这个直角，这个直角有没有问题？这是第一句话给我们的， 一条线垂直于一个面，比如说这条线垂直于地面，那它是不是垂直地面上任何一条线呢？你管哪条线都垂直？然后第二个告诉我们的是这个平行不管它了， ab 垂直于 ad， 好， 第三个直角着了， 所以我们的证明过程先是正，我刚说的是 ab 垂直于蓝的吧，或者 ad 垂直于红的，都可以。第一步走， 最好还是写因为，所以，因为 pa 垂直于平面 abcd， 所以 pa 垂直于 ad， 又因为 ab 垂直于 ad。 这题目中给的，这是题目中给的，这是它推出来的，所以直接写 a d 垂直于平面 p a b， 又因为 a d 在 平面 p a d 中属于平面 p a d， 所以 a d 垂直于平面 p a d 五分到手， 先把这个记一下，先把这个记一下，等会我再说一下，现在已经三十三十五分了吧，好像平面 p a， d， a， d 在 平面 p a， d 中缺 d 写的跟 o 一 样的，所以平面， 哎，我这为什么写 a d 垂直平面啊？对，平面 p a d 垂直于平面， p a b。 好，我们来理解一下。看这道题，这两个平面垂直。搜索到这里面，面垂直要正的是什么线？面垂直吧，只要正这条直线，一条直线垂直另外一个面就行。 画到图里面，感觉这条线好像垂直这个面，或者说 a b 垂直这个面都可以正，按照条件里面给的 竖着这条线垂直整个底面，所以 pa 垂直于 ab， pa 垂直于 ad。 选一个，我选的是 pa 垂直于 ad， pa 跟 ad 垂直这个直角， 然后题目又给了后面给了 ab 跟 ad 垂直这个直角，就这两个直角，现在我们以求出来是，所以这条线会垂直于整个面，所以这两个面垂直 啊，按照要求来写就行。反正后面每次新卷子到这个地方，我又会把所有内容再来一遍啊，直到大家记住为止。好，接下来再来最后一个，最后一个哈，你会发现每道题的第一问都很简单。车十六题其实也简单，只是难算了，他要用到一个列向向销， 要有一定的计算功底。十八题，十八题已经倒数第二题了，但是就算是倒数第二题，它第一问依然很简单，以及最后题的第一问它也简单，但最后题第一问它涉及到三角函数里面比较深的东西。那就不管了， 我们看十八题啊，来记东西。上面是不是学过一个椭圆啊，一个双曲线吧。现在要讲的是椭圆，这里面涉及到图像的问题，因为他写了什么上顶点，什么左顶点下顶点，所以我们要把图先画出来， 画个椭圆，我一般椭圆都这么画的。来记下所有的点的坐标，左边左右两个点分别是 a， 负 a， 上下两个点分别是 b、 负 b 这椭圆坐标，然后它有两个焦点， f 一 f 二， 分别是负 c 跟 c 啊，这是它坐标形式，然后接着是方程， 椭圆的方程是 x 方除以一个 a 方，加上 y 方除以一个 b 方等于一。还记得双曲线的方程吗？ x 方除以 a 方减去 y 方除以 b 方等于一，它就一个加号，一个减号， 然后关系是 abc 的 关系啊， a 方等于 c 方加 b 方 啊，这是关系。我们在上面讲那个双曲线的时候，是 c 方等于 a 方加 b 方，这个一定不要记，混吧，一个是 c 大 一些，一个是 a 大 一些，这也是 a 方等于 c 方加 b 方加 c 方吧。 abc 写习惯点， b 方加 c 方 好，然后接着还有个离心率是 e 等于 a 分 之 c 好， 然后接着还有个离心率是 e 等于 a 分 之 c 好， 然后接着还有个离心率是 e 等于 a 分 之 c 啊，对吧？ 长轴这面就不是叫实虚轴了，你看再回一下我们双曲线，双曲线是 a， a 方分之 x 方，减去 b 方分之 y 方，等于一双曲线里面叫实轴跟虚轴，实轴是二 a， 虚轴是二 b。 椭圆里面长轴是二 a， 短轴是二 b， 这叫长轴跟短轴 那名词不一样，然后 abc 有 什么关系？那个 f e f 也叫焦点，还是一样的。 abc 的 关系是 a 方等于 b 方加 c 方。双曲线里面是 c 方等于 a 方加 b 方。对比一下， 离心率都是 a 分 之 c， 两个的离心率都是 a 分 之 c。 我 后面会列个表格，把这些东西整理在一个表格里头，大家可以回头对应看一下。 嗯，但这个是要背的，那这块背完之后，第一问就搞定了，就算是到了第二题了，第一问也能做出来。好，按照要求来吧。以这道题为例，在边上画个图，考时候也画一个，画个草图在边上， 它其中说离心率，第一句话是 e 等于三分之两倍根号二吧。这第一句话也就是 a 分 之 c 等于三分之两倍，根号二啊。再看第二句话，上顶点为 a， 就 这个顶点叫 a， 叫下顶点左边右边右顶点为 b， 这个顶点为 b， 然后告诉我们 ab 的 长度等于多少，等于根号十。 ok， 是 不按照要求写完了，问标准方程，什么叫标准方程？这个就叫标准方程。那它意思是什么？把 a 和 b 算出来， ok， 稍微设计一点点几何，但不读。我们来看一下。现在已经把题翻译完了，要找 a， b 等于几怎么办？ 刚刚已经找坐标哈。这个点是几？ a 吧，这个点是 b 吧，要负 b。 我 们可以把这个直角三角形拿出来， 先来这是几。第一个这样三角形搞出来之后，这个边长是 a， 这个边长是 b， 这个边长是根号式。这里能看懂吗？ 一个边长是 a， 一个边上 b， 一个边上是根号式。好，第二句话别急，我们还有一个什么东西，隐藏的条件跟关系是不是这个要抄出来的？它肯定要用到 a 方等于 b 方加 c 方， a 方等于 b 方加 c 方。第三个是 a 分 之 c 等于三分之二倍根号二。好，至此结束。剩下就是计算，我们要找 a、 b、 c 分 别是多少？ 看椭圆，只要背这几个东西，要把它图记一记，基本关系准。那直角三角形大家总会做了斜边，直角边的平方等于斜边的平方吧， a 方加 b 方等于 c 方啊，所以这里得到 a 方加 b 方等于十。 勾股定律啊，两个直角边的平方和等于斜边的平方，求解吧。 你看这里面都是谁？ a 方 b 方 c 方，那你下面要算的时候是把它改成 a 方分之 c 方等于九分之八呀，等于九分之八。然后 c 是 最没用的，因为我们目的是要求什么，求 a 跟 b 吧， 一定要知道我们求的目的是什么。题目中要求的是方程，方程就是求 a 和 b 是 多少啊？ a 以及 b。 现在这里相当于给了三个式子，剩下的是纯计算问题，这是背的关系，这叫背的 abc 三个。你像双曲线里面我也写了个关系，是 c 方等于 a 方加 b 方吧。看一下 这 c 方等于 a 方加 b， 双曲线椭圆椭圆，它是有点区别的，所以不要记混了，这两个很容易记混， 你非要知道它的关系，也不是不能解释，我可以解释一下，譬如说以这条线 算了，不解释背就行，等后面再解释，涉及到这种问题时候再说，现只要背就完了，当文科学啊算吧。 首先这边可以写出 c 方等于九分之八个 a 方啊，所以 a 方加 b 这个式子，这这个式子带过来，得到 a 方等于 b 方，加上九分之八个 a 方，对不对？把 c 方换掉 移项得到它移过去啊，一减九分之八。九分之一个 a 方等于 b 方，所以得到 a 方等于九个 b 方这第二个式子，然后把 a 方等于九，九个 b 方，再带回 a 方加 b 方等于十里面，所以得到九个 b 方加 b 方等于十，即 b 方等于一， a 方等于九。 所以圆的标准方程可以写成 x 方除以个九，加上 y 方除以一，等于一五分到手，自己整理一下。 哎，来这部分人计算了，那么算你们得慢慢算，学学会去怎么解方程。解方程的思路就是代入销源，代入销源一代少，一个一代少，直到只剩最后一个未知量的时候就行了。 哎，这样四十分能拿到手吗？应该是可以的吧，就目标是大家通过我们背的东西能把这几个式子念出来，你们有足量的时间，如果只做这四十分，有大量的时间去慢慢算这些东西。 一场考试两个小时，对吧？我们到现在大概只做了个一二三四五六七八九九道题有，但是要借的东西就更多。 你得知道椭圆的性质，其实我可以给大家讲一下椭圆怎么画的 圆，大家都知道怎么画一个点，拿根线画一圈，椭圆是墙上钉两个点，就这个 f e f， 它的焦点就跟圆心是一样的，钉住两个点，然后拿一根绳子，而这根绳子是比较软的，比较软的绳子，然后你把这个绳子绷直， 然后这么画一圈，就是个椭圆。所以椭圆的特点是什么？它的几何性质啊？是椭圆上的点到任意两点的距离之隔等于定值，就两条绿色的长度相加等于定值， 而这两条绿色的线之隔等于几呢？就等于二 a。 所以 当你这个点跑到最顶上去的时候， 这个边上是 a， 这个边上是 c。 勾股定律可以得到 a 方等于 b 方加 c 方。
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21:38查看AI文稿AI文稿同学们好，欢迎来到抖音高考百日百课，今天我们会完成二零二五新高考一卷的整体复盘。研究类阅读地篇怎么读？ 我加入抖音精选高考应援联盟，高考前冲刺。我会完成二零二五年新高考一卷和二卷逐句精讲，包括原文、每个句子、题干选项、解析方法、 单词讲解、代背。大家也可以去抖音精选追跟我的高考百日百课。今天我们一起就是来看研究类的文章。除了看研究的结论之外，怎么看发现条件、限制和应用？ 注意，研究类文章不不是只看 study research fund suggest 这种研究的结论，而是也要看在有什么问题，什么条件下成立，有什么限制。最后是研究还是应用。 这个 d 篇的四道题特别的完整，三十二题是在问问题是怎么被提出来的。三十三题是在看什么条件决定效果。三十四题是在说为什么要举瓶装水这个例子。 三十五题啊，是在看最后建议落点在哪里，是在应用。因此，这四座四道题啊，不是四个孤岛，他们共同在服务整篇文章的研究主线，也就是从发现问题到 条件、结果到限制到最终的应用。首先我们来看第三十二题， how does the author present the issue in the first paragraph？ 作者在第一段是怎么提出这个问题的，也就是问第一段的作用，包括， by quoting an expert。 通过引用专家， by defining a concept， 通过举例子 by providing statistics 通过给数据。 现在回到原文， microplastics have become a common source of pollution across the earth they have settled in the deep sea and on the himalayas stuck inside volcanic rocks filled the stomachs of seabirds and even fallen in fresh antarctic snow they are even appearing inside humans。 微塑料已经成为遍布全球的一种常见污染源，它们已经沉寂在深海和喜马拉雅山上， 卡在火山岩内部，塞满海鸟的胃，甚至落在新鲜的南极雪中。它们甚至已经出现在人体内部。 注意这一段最关键的是，一连串的地点和对象连续出现。深海、喜马拉雅火山岩海鸟、南极心血人体。 说明作者开头并不是在下定义，也不是在引用专家，也不是在统计数据，它是在做一件事，用一连串的例子把问题扑大，所以这题选 by giving examples。 通过举例子注意，研究类文章的开头常先用一连串的例子把问题扑出来。 接下来我们来看第三十三题。 what determines the effectiveness of trapping microplastics in water 是 什么决定了截流水中微塑料的效果？ 然后我们来看选项， the hardness of water 水的硬度 the length of cooling time 冷却时间长短 the frequency of filtering 过滤频率 the type of plastic in water 水中塑料类型我们回原文找定位。 crucially this process relies on the water containing enough calcium carbonate to trap the plastics in the study boiling hot water containing three hundred milligrams of calcium carbonate led to a an almost ninety percent drop in plastics， but in sample with less than sixty milligrams of calcium carbonate boiling reduce the level of plastic by just twenty five percent。 关键在于啊，这一过程依赖于水中含有足够的碳酸钙来截留塑料。在研究中，煮沸含有三百毫克碳酸钙的硬水使塑料含量下降了将近百分之九十。但是在碳酸钙含量不到六十毫克的样本中煮沸，只让塑料含量下降了百分之二十五。 这里最重要的就是数字背后的变量，也就是条件变化。三百毫克的碳酸钙几乎下降了百分之九十，但是少于六十毫克的碳酸钙只下降了百分之二十五。也就是说，条件强，效果强，条件弱，效果弱。所以 我们要注意这是在什么条件下成立。答案就是水的硬度，因为是原文里用了 calcium carbonate amount， 也就是这个碳酸钙的数量，最后被尚未概括，概括成了 the hardness of water。 那么我们再来看第三步，看限制。那么在少于六十毫克的样本中煮沸，只让塑料的含量下降了百分之二十五。这里有两个限制信号特别重要，第一个就是 but， 第二个就是 just， 也就是说明啊，在一个在转折，一个是在降温。另外我们再看第二句， additionally， 这句 就是说，这里研究啊，并没有包含所有类型的塑料。研究团队只关注了三种常见类型，也没有研究此前在水中发现的其他化学物质。这些化学物质名称我们不需要看，这里又连续给了几个限制性的信号， additionally， didn't， include， okay， and。 并且呢，还有 only， didn't study 这些词。也就是说明，研究类文章的限制已经给到了我们。我们要注意，要记住这些限制条件，帮助我们解题。 接下来我们再看第三十四题，我们来看题干， what does he also try to illustrate by mentioning bottled water in paragraph four。 作者在第四项作案中提到瓶装水是想说明什么选项是 the importance of plastic recycling 塑料回收的重要性 the severity of the microplastic problem 微塑料问题的严重性 the danger in overusing pure water。 过度使用饮用水蠢的危险 the difficulty in treating polluted water。 处理污染水体的困难我们回到原位去定位， still the findings show a potential path forward for reducing microplastic exposure a tax has become increasingly difficult even bottled water scientists found earlier this year contains ten to ten uh one thousand times more microplastics that original sought。 尽管如此，这些发现仍然展示出一条可能的前进路径。而减少微塑料暴露这件事本身正变得越来越难。今年早些时候，科学家发现就连瓶装水中所含的微塑料也比原先认为的多一十到一千倍。 那么这里我们要注意，容易错的点就是盯着 bottle water 本身去想。这个例子真正的作用不是讲瓶装水。注意，例子的作用在例子之外，是举一个让人意外的例子，把问题的严重性 继续往上抬。所以这里的功能啊，不是讲瓶装水本身，而是把问题的严重性往上抬，也就是这个 difficult， 也就是 the severity of the microplastic problem 问题的严重性。 最后我们再看第三十五题，题干是 what is gosholyn's suggestion about？ 人名。我们不需要管这个人的建议指向什么，选项是 choice of new research method， 新研究方法的选择。 possible direction for further study 进步研究的可能性方向 need to involve more researchers 需要更多研究人员参与。 potential application of the findings 研究结果的潜在应用我们回到英文原文去定位 the way， they demonstrated how microplastics were trapped through boiling process was nice karen gautel lindsay an environmental engineer at the university of glasgow in scotland， who was not involved in the research tells new scientists we should be looking into upgrading drinking water treatment plants so they remove microplastics。 他 们在展示微塑料如何煮沸过程中被截留的方式很好。为参与这项研究的 glasgow 大 学环境工程师说， 在接受新科学家采访时，他说，我们应该研究如何升级饮用水处理厂，让它能够去除微塑料。这里最难的地方就是很多同学当年都选了 b， 因为有 look into， 容易顺手选。注意，这里不是潜在的研究方向，真正的落点是在 upgrading the upgrading treatment plant 就是 升级饮用水工厂，这才是真正的动作。也就是说，把研究结果往现实水处理厂升级上落。所以这题真正考的是研究结果的潜在应用。因此递答案， 潜在应用是对于升级饮用水工厂的尚未概括。好的整篇复盘，同学们就会发现呀， 这篇 d 篇不是零散信息堆起来的，而是一条非常严完整的研究主线。第一段先把问题扑大，微塑料到处都是。第二段研究给出方法就是主肺和过滤。第三段，条件影响结果也就是给出限制。 第四段，问题仍然严重，例子，瓶装水，说明问题在加重。第五段最后落到应用，升级饮用水工厂。因此这四个题不是四个孤岛，它是一条主线，主线就是从问题到方法，到条件限制到严重性到最终的应用。 那么近五年的真题研究类 d 篇都是在这几个层面上来考我们。我们先来回顾二零二五年的第三十五题，刚才已经讲过了，因为我们原文的定位是升级饮用水的工厂， 因此可以让它能够去处理微塑料，所以真正动作是升级饮用水工厂，不是进一步研究，而是潜在应用 application。 那么我们再来看二零二四年的最后一题。大家可以注意到，每年的最后一题都是比较经典的我们的研究题。 what is dara's suggestion for biodiversity apps？ 这个人对生物多样化应用程序的建议是什么？ review data from certain areas 重新审查某些地区的数据。 hire experts to check the records 雇佣专家核查记录。 confirm the identity of the users 确认用户身份。 give guidance to citizen scientists 给公民科学家提供指导。回园区定问 by all diversity apps can use our study results to inform users of overlapped over sampled areas and let them to places and even spaces that are not well sampled to improve the quality of observable data biodiversity apps can also encourage user to have an expert confirm the identification of their uploaded image。 生物多样化应用程序可以利用我们的研究成果，告诉用户哪些地区已经被过度采样，并引导它们去那些采样不足的地点甚至是物种那里。 为了提高观察数据的质量，这类应用还可以鼓励用户请专家确认它们上传图片中的物种识别结果。 注意，建议最后是落在现实指导不是换方法，也不是合身份。而且注意，专家这里没有雇佣，因此，也就是说，最终是 give guidance to citizen scientists 给予公民科学家指导， 因此选的是指导。接下来我们看二零二三年的第三十二题。 what is paragraph two of the text mainly about 文章第二段主要讲了什么？ the methods of estimation 估算的方法 the underlying logic of the effect 这一效果背后的底层逻辑 the causes of people's errors 人们出错的原因 the design of goten's experiment 这个人实验的设计。我们来看原文的定位， this effect capitalizes on the fact that when people make errors those errors aren't always the same some people will turn to overestimate and some to underestimate when enough of these errors are enriched together they cancel each other out resulting in a more accurate estimate if people are similar and tend to make the same errors then their errors won't cancel each other out in more technical terms the wisdom of crowds requires that people's estimates be independent if for whatever reasons people's error become correlated or dependent the accuracy of the estimate will go down。 这种效应利用了这样一个事实，当人们犯错误时，这些错误并不是相同的，有的人会倾向于高估，有的人会倾向于低估。当足够多这样的误差被平均在一起时， 他们会互相抵消，从而得到更准确的估计。如果人们彼此相似，又倾向于犯同样的错误，那么这些误差就不会互相抵消。从更专业的角度来说，群体智慧要求人们的估计彼此孤立。 如果由于某些原因，人们的错误变得相关或相互依赖，那么估计的准确性就会下降。注意，这题不是抄局部细节，而是抓 why the effects works？ 也就是整个这个群体智慧的 底层逻辑。因此，我们这个题选的是底层逻辑。尽管我们的原文定位非常难，但是我们快速地把它去主干抓出来之后会发现是一种底层逻辑。我们再来看二零二二年的第三十四题。 what is paragraph five mainly about supporting evidence for the research findings 对 研究结果的支持证据 potential application of the research findings 潜在应用 a further explanation of the research methods 对 研究方法的进一步解释 a reasonable doubt about the research process。 对 研究过程的合理质疑，我们回原文去定位，就会跃然纸上。 analysis of the language database also confirmed that there are global change in the sounds of word language after the nylistic age with the use of f and v increasingly remarkably during the last few thousand years these sounds are still not found in the languages of many hunter gatherer people today。 注意这个句子，我们不需要关注那些专业术语，我们只要知道对语言数据库的分析也证实， 在新世纪时代之后，世界语言的发音发生了全球性的变化。在过去几千年里， f 和 v 的 使用显著增加，如今许多狩猎采集者的语言中仍然没有这些发音。这一段我们不需要通读，我们只需要看到 analysis of a language database 说明啊 confirm 证实。因此这段是在补证据，是在证实这些数据是在支持前面的研究发现，不是讲应用，也不是继续研究，方法，也不是质疑，因此是对研究结果的支持证据。 接下来我们看最后一个二零二一年的，也是第三十五题。 what does the last paragraph mainly talking about concerning emotional intelligence。 最后一段关于情商主要讲了什么？ it appeals to the public 它对公众的吸引力。 expectations for future studies 对 未来研究的期待。 it's practical application 它的实际应用 scientists with new perspectives。 具有新视角的科学家，我们回原文去定位它。 although the continue popular appeal of emotional intelligence is desirable we hope that such attention will excite a greater interest in the scientific and scholarly study of emotion it is our hope that in coming decades advances in science will offer new perspectives from which to study how people manage their lives emotional intelligence with its focus on both head and heart may serve to point us in the right direction。 虽然情宣情商持续受到欢迎是件好事，但是我们希望这种关注能激发人们对情感科学研究和学术研究的更大兴趣看到没有？更大兴趣啊， 我们也希望在未来几十年里，科学的进步能够提供新的视角，让我们研究人们如何管理自己的生活情商这一概念。因为同时关注头脑与情感也能把我们引向正确的方向。 注意，修一段重心在未来研究的期待，而不是现实的应用。注意二，一年这个选的不是现实应用，是未来研究的期待啊。因此我们要选的就是， 呃，就是 expectations for future studies 对 未来研究的期待。好的，今天我们的方法就是， 第一，我们要看研究到底解决什么问题，第二看研究的条件，结果，第三看有没有限制，第四看是应用还是进一步研究。我们要看问题，条件以及应用。 那么研究类的高频词，我来给大家简单地讲一下。 study 研究 research 研究 suggest 表明 found 发现 crucial 关键， but 但是 additional 另外 still 尽管如此，仍然 didn't include 不 包含啊。 potential 潜在的 application 应用 determine effectiveness 有 效性 procedure 步骤， process 过程 data collection 数据收集 findings 结果 result 结果 conclusion 结论， application 应用 practice practical use 实际用途， hypotheses 假设 evidence 证据啊， control group 对 照组 experimental group 实验组 independent variable 啊，这个自变量 dependent variable 因变量呃呃， position 因果关系。 接下来我们再来看研究类的相关高频词。刚才说了， study research 研究 experiment 实验 survey 调查 evaluate 评估 assess 评估 measure 测量衡量 嗯， analyze 分 析 conclude 结果 result 结果 find 研究发现， outcome 结果， conclusion 结论， evidence 证据。 刚才这些已经讲过了，大家再复习一下。 data 数据， statistic 统计数据， proof 证据， indicate 表明， suggest 表明。我们再来看限制性的相关词汇， limitation 局限啊， restriction 限制， constraint 限制啊 drawback 缺点， defect 缺陷， flow 缺陷 以及我们的应用的相关词，这个非常重要， application 应用 use 使用 employment 实施 deploy 采呃 deploy 部署 adopt 采用 utilize 利用 practical 实际 commercial 商业的啊 benefit 好 处， value 价值态度相关词， positive 积极 客观 subjective 啊，主观 optimistic 乐观 pessimistic 悲观呃 critical 批判 supportive 支持大家作为自己的补充。 今天啊，我们建立了一个读研究类文章的重要的框架，大家注意要了解研究类文章的问题条件，结果限制以及应用落点。注意，今天最重要的就是方法， 从问题到结果到限制到应用落点。明天开始，我们将会进入二零二五年新高考二卷原文题目的精讲，尤其二卷的考生可以重点来开始关注，那么我们现在考生也可以用它来背单词， 同学们也可以去主页看方法合集学习做题，方法也会持续更新。 高考百日百课，同学们跟着我一起刷真题，拆句子，背单词，搞方法，关注我，一起稳固扎实提升，明天见！
136高中英语阅读逐句精讲
19:05查看AI文稿AI文稿同学们好，欢迎来到抖音高考百日百客天，我们继续精讲二零二五新高考一卷第篇第三十四题，题型是立正作用题、举例目的题。那么举例目的题我们采用识别法， 一找例子，二往前看，三抓观点，四对选项。那么 常见的高频词包括 mention 提到 example， 举例子， illustrate show demonstrate 表明显示 注意例子本身不重要，例子支撑的观点才是答案。我加入抖音精选高考应援联盟，高考前冲刺，我会完成二零二五年新高考一卷和二卷逐句精讲，包括原文、每个句子、题干选项、解析方法、 单词讲解、代背。大家也可以去抖音精选追更我的高考百日百课，注意看观点，不看例子，这就是立正 题的精髓所在。首先，我们快速地把题目过一下，题干里最值钱的两个地方就是 illustrate 和 by mentioning。 illustrate 说明他在问，想说明什么， by mentioning 说明瓶装水只是一个拿来说明问题的例子。所以这题啊，上来啊，千万不要把 bottled water 当提眼，真正的提眼作者是说 问为什么提瓶装水，问例子要说明什么，也就是说作者想借着瓶装水说明什么？这是一个典型的 立正题。接下来我们来把题干翻译一下，虽然题干里面有一个 bottle water， 但是这题其实真正要问的是作者为什么要提瓶装水，它的关键词是 author， 作者 illustrate 表明 mention 提到，那么也就是说作者为什么要提到瓶装水？ 作者借这个例子想要表达什么意思，或者想要支撑什么观点。所以这类题啊，本质上就是问你举这个例子的目的或者作用。 那么我们题干啊，我们怎么来拆解呢？首先，我们要先抓到 try to illustrate 是 想要说明什么， 接下来我们再来看它的方式，通过提到瓶装水 by mentioning bottle water 只是补充说明的方式， 所以读题的时候，咱们一定要抓主干，抓这个核心动词， try to illustrate， 别被 bottle water 抢走注意力。这类题最值减，它不是例子是什么，而是例子背后的目的是什么。例子是为观点服务的，我们要把观点找到 才行。接下来我们进行选项拆解， a 和 b 都是典型的抽象概括型选项， a 说 我们还是把 of 后面都圈出来，修饰的是前面这个重要的名词， a 说的是重要性。 the importance of plastic recycling plastic recycling 啊，塑料的这个循环回收，那也就是塑料循环的回收的重要性。 be severity， 它是 severe 的 名词。是啊，严重性的意思，是微塑料问题的严重性。 所以啊，我们看这种抽象词，特别像高考的正确答案。什么 important severity 啊，因为原文常常写得很具体，选项往往把它把它们提炼成重要性，严重性，意义，影响逻辑，所以做题的时候我们要有意识， 例子啊，是具体的答案啊，常常是更加的概括的。我们再来看 c 和 d， 也很像高考常见的正确答案，但是一个把话题带偏了，一个把对象偷换了。 c 说的是 danger， 是 overuse， overusing pure water， pure water 就是 纯净水。 overuse 使用过度，过度使用的意思啊，就是过度使用纯净水的危害， 那么这个呀，啊，就是说它强调了一个纯净水的危害，那么这个呀，啊，就是说它强调了一个纯净水的危害。我们再来看 d the difficulty in treating uh polluted water 这个处理，处理 tree， 这也是处理的意思啊，处理啊，受污染的水处理污水的 difficulty 难度，也就是说难度。所以啊， c 是 危害， d 是 难度。那么 但是呢， d 为什么不对呢？是因为我们说的是瓶装水，而不是说人家说是处理污水的难度啊。 接下来我们来看题型判断，这道题啊，就是典型的举例目的地或者叫作用题。看到 illustrate mention 啊， function purpose 这种题啊，脑子就要迅速反应，题目问的不是例子本身的内容， 而是问例子起的是什么作用，说明什么观点。我们呀，就在例子前面找观点，有的时候啊，观点也会在例子后面，注意例子里面的细节，往往不是答案， 一定要回前后文去看这个例子到底服务哪一个观点啊。那么因此呢，我们要注意，判断依据就是来自于我们的题目里面的 what does the author illustrate by mentioning 啊，这个 illustrate 马上就出来，这是一个例子啊的作用。 接下来我们去原文去定位啊，我们把这两句啊一起看。首先啊，核心定位是这样的，观点句在前，然后啊，我们的例子在后， 例子就是 even bottled water 这句。那么这里呢，明显我们的观点是在前面，观点呢，就是 a task that's becoming increasingly difficult。 那么这里就是说啊，这个任务啊，越来越有难度。那么例子呢，就说甚至是瓶装水啊，也是出现了微塑料的污染，比过去想的呀要严重。疑问呢，是一个递进的作用，强调的是问题的严重性。 那么我们先来进行原句第一句的拆解， still the findings show a potential path forward for reducing microplastics exposure a task that's become increasingly difficult。 就是， 尽管如此啊，研究结果啊，为减少这个微塑料的暴露啊， 指明了一条潜在的可行的路径啊，也就是啊，这这项，但是这项任务呢，却变得越来越难。注意， still 是 一个转折，承接上文 potential pass forward 是 说一个潜在的可行性的路径，是一个解决方案啊， increasingly difficult 越来越难。所以啊，说明一个大方向，这件事很难，问题不清。所以啊，后后面提到例子的时候，我们就要想，这个例子是在强化这个判断，越来越难啊。 接下来我们来看第二句。第二句啊，最扎眼的地方就是 even bottled water， 也是我们的定位词啊， even bottled water scientists found earlier this year can tens ten to one thousand times more microplastics than original salt。 也就是说，就连甚至是瓶装水，科学家今年早些时候也发现，其中塑料含量比原先认为的要高出十到一百倍。疑问是甚至表示远远超出预期， 然后十到，呃呃，十到一千倍是远高出预期的意思，比 original thought 就是 和原先相比啊，那么这是为了制造一种更强的阅读冲击。连你以为更安全的瓶装水都这样，那问题啊，就真的很严重啊。那么 因此我们把原文的逻辑还原一下，就是说，首先作者提出了观点，减少微塑料暴露这个任务越来越难。接着作者再举了例子，就连大家以为安全的瓶装水，微塑料含量都比原先想的高十到一百倍， 所以最后要落到，不是瓶装水不好，而是微塑料的问题比想象中更严重。所以啊，这就是典型的这个例子，服务于前面的观点。 那么我们的解析逻辑是怎么样的呢？我们这种做题方法要固定下来，面对这种例子题，我们要用举例目的识别法。第一步，抓题眼， 抓到题眼之后，我们发现它是一个例子，题目问的是 illustrate， 然后找到 mention 后面具体例子， bottle water 相关内容。第二步啊，回原文往前看，我们找到 bottle water 之后啊，就是把这个 啊，前面的就是 a task is becoming increasingly difficult， 这里就是作者的观点。第三步，我们就把观点抓出来了啊，我们就提炼观点的核心就是问题比想象的严重， 问题的解决难度大。第四步，我们就对选项，看哪个选项符合问题严重这个核心，所以啊，抓题眼啊，然后找例子往前看，抓观点对选项，那么例子本身不重要，前面的观点才是答案。注意，这 题的答案是在前面，有的题答案的观点在后面啊，我们接下来进行四个选项的分析， a 是 错的，是说这个塑料 回收环保的这个重要性权威呢，根本就没有提到这个塑料回收啊，所以是无中生有。这类选项很常见啊，看起来很环保很合理，但和这段的具体作用没有任何关系啊。大家在考试的时候一定不要误选这种看上去很对的选项。 我们再来看 b 选项，是正确项。谈到了这个微塑料问题的严重性，这是非常一个典型的叫做尚未概括型的答案。原文呢，给了一个很具体的例子啊，越来越难减少微塑料，那么 bottle water 含有比喻项 的多的多了微塑料啊。但作者真正想借这个例子说明的是，微塑料问题很严重，而且比原来更严重啊。所以 b 的 severity 正好把这个具体例子提成了更高一层的判断。从具体事实上位到核心概括 c 呢，是很大的问题，就是把粒子本身当成了一体本身。原文根本就没有在讲过度使用纯净水有什么危害啊， 作者只是拿瓶装水来举例子，说明微塑料问题严重，所以 c 属于很典型的误读。只看例子表面过度解读啊，没有看例子服务什么观点。所以例子题的答案往往不在例子本身，而在例子之外，做服务于作者的观点。 我们再来看 d 选项，也有迷惑性，因为原文确实在讲一个很难以处理的问题，但是他偷换了对象。 原文讲的是微塑料暴露问题越来越难， d 却换成了处理受污染的水很困难。这个方向有点像，但中心不一样啊，所以 d 不是 无中生有，而是方向偏了，他偷换了概念， 不是原文的微塑料暴露问题越来越难，而是他自己找了一个概念啊。 那么接下来我们把四个选项放在一起看，就能比较出来，因为我们最后选的其实还是穗优选项。 那么 c 把瓶装水当成这个一体本身啊，过度解读了 d 偷换成治理污水的困难，偷换概念了。 a 说这个什么塑料回收无中生有啊，只有 b 既扣住了前四段、 第四段前后的这个逻辑啊，又完成了从具体例子到抽象判断的升级。所以啊，一句话，锁定作者提瓶装水是为了强化微塑料问题的严重性。 这个题啊，最容易掉进三个坑。第一个坑啊，就是被例子本身带偏，很多同一岁种，选的就是只看例子本身，不看前后文，选的是例子的细节，那么这样就是错的啊， 然后只看例子本身，用常识做题也是一个常见的，那么根据常识来进行推导，这个往往是不正确的，如果常识就能推导，何必给我们阅读文章呢？ 第三个坑啊，就是原文很具体，答案也想选具体就是说，并且把偷换概念啊分不清楚。高考最喜欢考的恰恰是原文，给具体例子，答案给上位概括。我提过多次了，概括抽象， 所以啊，就是这类题特别要练，从例子往上提，这个上位概括啊，要看观点，而不是例子。 那么今天呢，我们学习了举例目的识别法，那么例子服务干观点，答案往往把例子比例子更概括。以后碰到这例题啊，别急着在选项里找例子对应哪个词，要先问自己，作者为什么偏偏提这个例子啊，说这个例子为说明什么？ 这个例子前面的核心观点是什么啊？观点在哪里啊？选项是不是观点的同意替换呀？那么这样呢，我们就能把例子题真正做对，注意，做法是找例子往前看或者往后看，抓观点对选项啊。常见的题干像 what does the author illustrate by mentioning 啊，就是作者提到什么是为了表明什么？ the example of 什么 is used to show that？ 这个例子是为了表明 why does the author mention？ 作者为什么要提什么？注意，例子为观点服务，观点往往在例子前面，个别题啊，也会在例子的后面。 接下来呢，我们要总结近五年的例证题的高频题干选项和单词。 那么我们来看一下场考题干是 what does the author illustrate by mentioning？ 作者提到什么是为了说明什么？ why does the author mention？ 作者为什么要提 the example of is used to show that？ 这个例子是为了表明 what is the purpose of the example？ 这个例子的目的是什么？ what do we learn from the example of？ 通过这个例子，我们能推出什么常考的选项？比如说 show the severity of 这次的正确答案，说明重要性， demonstrate the importance of 表明困难 explain the reason for 说明原因 support finding that。 支持我们的呃，研究的成果，研究的发现。那么我们常见的 提干词，我们快速地就能判断出来，就是 illustrate 说明 mention 提到 example list demonstrate 展示 purpose 目的 severity 严重性。看到这些就要先反应立正题啊，我们要找前面的观点，要知道它到底在服务 什么。那么近五年啊，同类的问法，像二三年就是 why does the author mention， doctor and cheater in paragraph two 啊？作者在第二段为什么要提这个医生和骗子啊，比如说二年 the example of uh， sugar cane farmers is used to show that。 那 么这些提到的这个农民的例子是为了表明 啊，接下来我们来看一些常见的啊题干和选项。 mention 提到 site 引用 quote， 引用 illustrate， show， demonstrate 都是展示 purpose 目的 function 功能。所以例子本身啊，永远不是考点，它服务的观点啊，才是考点。 这个问的问题是，这个例子或者说这段话到底起的是什么作用？ 那么这一类题的统一性啊，就是先定位，然后往前，或者往后找观点句，提炼观点核心匹配选项同一替换，这个同一替换一定是要约等于观点。注意立正题，答案不在例子里，而在例子前后的观点里。 今天的单词啊，最重要的就是这些表示说明的，比如说像 illustrate 说明。举例， mention 提到 severity 严重性， bottled water， 略知道瓶装水 original 也很重要，原先最初它的词根是 origin 还有 original， 一定要把这类词认出来才知道题目啊，是在考什么逻辑。那么这是今天的单词代背啊， 这是今天的句子。口译注意啊，咱们口译的时候不是要翻得多么信达雅，而是要把题干的这个举例目的 try to illustrate 翻译出来，选项给的不同层级的概括方向翻译出来，这样啊，就不会被带偏。注意例正题。 所以啊，我们要把像 illustrate， mention， 然后以及四个选项的这个核心名词把它翻译出来， 这是今天的核心词汇。今天最重要的就是要认识这些，尤其像 illustrate， mention， purpose， example， demonstrate， identify 呃，这样的单词。那么从方法来说，我们重点是立正题，要用举例目的识别法找例子，往前后看，抓观点，对选项。问一句，这个例子到底是为什么？观点说话。 今天我们完成了第篇第三十四题的讲解，明天继续讲解第三十五题。同学们如果对方法还不太了解，可以去主页看方法合集。 高考百日百课，跟着我刷真题，拆句子、背单词、搞方法，一起稳固扎实提升，明天见！
143高中英语阅读逐句精讲
13:58查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们开始讲解职教高考的真题，今天讲的是二零二五年河北省的职教高考的真题啊。我们先看前十道啊，第一题的话呢，已知集合 m 的 话呢，是负二三四， n 的 话呢，是个零三，让你需求 m 交 n， m 交 n 是 什么？是不是找一样的？ 找一样的话呢？你这是负二三四，这是零三啊，所以对他人的话呢，一样的是不是只有一个三呢？所以最后答案选择哪个？选择 a 选项啊，如果这个是 m b n 的 话呢， 那 m b n 的 话，找什么？是不是全部加起来之后的东西啊？呃，从小到大去排的话呢，是不是这有负二， 然后是零，然后是三，然后是四？所以如果是 m 并 n 的 话呢，就是大选项啊，老师可能会讲的特别细，因为这是真题啊，你就永远记住这一点 啊。然后第二题啊，直线二 x 减外加六等于零，他与外轴的焦点坐标啊，我随便举一个啊，比如说是这个 啊，呃，或者说是这个，这个对吧？什么叫以焦点坐标？ y 轴搁哪呢？这是不是 s 轴？这是不是 y 轴？ y 轴的话呢？焦点在这啊，它的焦点坐标是不是在这呢？ 所以 y 轴作焦点坐标的话呢，令谁等于零？你看这个点 x 是 不是等于零？令 x 等于个零， x 等于零了，那是不是就变成零减 y 加六等于个零啊？所以最后算出来 y 等于几？ y 是 不是等于个六？ y 等于六了， x 等于零，所以它的焦点坐标是不是就零六啊？所以选择哪一个是不是大选项？那这道题换过，换过一种问法的话呢，现在我问你说它与 x 轴交点是多少？ x 轴交点的话呢，是不是搁这呢？或者说是是不是搁这呢？对吧？那你和 x 轴交点的话呢，如果求的是这个 x 轴， x 轴交点是不是另外等于零？ 另外等于零的话呢，是不是就是二 x 减去个零加上个六等于零啊？ 那所以是不是二 x 加六等于零， x 是 不是等于个负三？所以它的话呢，是不是负三零啊？这个一定要记记。 然后第三题啊，已知负数 z 一 的话呢，是三加二 i z 二的话呢，是二减 i， 然后问你 z 一 加 z 二啊，这是干嘛？是不是负数相加减，负数相加减的话呢，就直接是谁 十步加十步，虚步加虚步，然后加一块完事 啊。所以对他而言的话呢，是不是 z 一 加上 z 二就等于谁三加二 i 加上一个二减 i 啊？化简一下等于谁？是不是三加二，对吧？这是不是五二 i 减 i 是 不是个 i？ 所以 是不是五加 i？ 所以 选择哪个是大选项？ 这种的不管是加也好，减也好，直接把它看成一个整体，然后去进行计算就没有问题了。呃，然后看第四题， 第四题的话呢，这个不等式在解析在竖轴上表示是哪个？首先第一件事的话呢，我们是不是先求一下这个不等式，对吧？那求一下不等式的话呢，这是 x 减三，这是 x 加四，所以 x 一 等于谁？ x 减三等于零， x 一 是不是等于三？那 x 加四等于零， x 二是不是等于负四啊？ 它的函数图像长啥样啊？你就始终记住我说的这个法，老师讲的这个法绝对是最有效的，考试中最不容易出错的开口朝哪开口是不是朝上的？那他开口朝上了，这个函数图像我们怎么去画？ 是不是这样的两个根啊？一个根的话呢，这是四负四，然后这是三，所以对他而言的话呢，是不是这一块？ 还有这块，这块是哪？是不是负无穷到负四没有等于号啊，然后并上谁是不是三到正无穷来去找哪个 是不是它负无穷到负四，三大洲无穷，对吧？那所以选择的是哪个？是不是 b 选项？ 然后再看第五题啊？第五题的话呢，已知 cosine 阿尔法等于个负三分之一，然后则啊， cosine 派加阿尔法等于几？ 那它的话呢，我们这里边三点函数里边派加的 派加上的 alpha， 来回顾一下啊，因为这个是呃，职业高考真题，老师不会那么快的去讲的。 sine 派加 alpha， tendon theta 加 alpha 这里边的话呢，首先第一个它是不变的啊，就依然还是 cosine sine， 它这里边只有哪个是正的？ 是不是只有它是正的？因为什么它的周期是 theta， 所以 它是 theta 的 alpha， 它是什么？负 cosine alpha， 负 cosine alpha 啊，止记谁？你就记住这个 pi 加的止记谁， 而且它特别好记，因为贪着呢，它的周期它就是贪啊，所以你的话要求的其实就是求的谁，是不是负 cosine 阿尔法，那负 cosine 阿尔法是不等于负的，谁 负三分之一啊，负负为正吧，是不是三分之一？所以最后选哪一个？所以选择的是个 c 选项。 然后第六题啊，第六题又到了我们的定域问题啊，定域的话呢，首先第一件事，你看到了它啊，对数函数只需要求什么？是不是这一部分也就是 x 加二回到大于零就可以了？那所以 s 加二大于零， x 是 不是大于负二的？ 行，这就是分子的定域啊，分母的定域的话呢，首先第一件事，本来你根号五减 x， 要求里边是不是只需要大于等于零就行了，但是这里边的话呢，你是分母，所以你还能大于等于零吗？所以你只能大于零 啊。负 x 大 于负五，然后两边同时除以负一， x 小 于五吧，或者你直接把 x 拿到这边去，依然是 x 小 于五，他俩求什么解？ 什么叫交集？交集就是同时满足你们两个啊，全部都是满足的。所以什么是 x 大 于个负二小于个五，写成区间形式，负二到五两边都是小括号。所以第六题选哪个？选择 b 选项， 然后再看第七题啊，如图，然后问你，函数 y 等于负的二的 x 方的函数图像啊，这个你不太熟的话，你这个东西是不是比较熟啊？ 这是非常标准的指数函数，它的函数图像长啥样，过哪个点？是不是零一过这个点， 哎，是不是这样的？那现在前面加了个符号，加符号就意味着是不是你把所有函数图像轴哪去就行了，轴到下边去就行了，所以就是这个，你看选哪个？ 所以对于我们，对于我们来的话呢，是不是选择大选项，对吧？那你实在不行，你说老师，这个确实我是不太信任他的话呢，我怎么去办啊？带几个数也行啊。 呃，最减 a 的， 你看啊，他前面是不是带着符号，你整体原来是不是，肯定是啥的，你原来整体是不是这肯定是大于零的，对吧？前面加上个符号是不是肯定小于零？所以把谁排除掉？把 ab 全部排除掉， 他俩你去算的话怎么去算啊？最简单。最简单的是什么？比如说当我我求一个，比如说 x 等于一的时候， 那 y 是 不是等于负二的一次方？也就是等于负二啊？那负二搁哪呢？负二是不是搁这呢？你这它等于一的时候，你是不是肯定在负一上面呢？所以 c 肯定也不行，所以最后选的就是个大选项。 第八题啊，求向量的，这个它的点乘积啊，你注意一下， a 向量乘上 b 向量就等于啥？ 是不是 x 一 x 二加上个 y 一 y 二来，所以的话呢，来 x 一 x 二，是不是二乘个三呐？ 然后再减去个谁啊？因为它这是个负数吗？是一乘四，来，这等于几？六减四是不是等于个二？ 然后你注意一下，前面是不是还有一个二呢？因为这个二你是什么时候乘都可以啊，所以实际上就是谁是不是二乘二等于个几，是不是等于个四啊？所以选择的是个 b 选项。 然后第九题啊，第九题的话呢？已知啊， log 以三为底， m 的 对数等于个二。 log 以二为底， n 的 对数等于个零，让你去求 m 减， n 让你去求 m 减。嗯，首先第一件事先求 m 啊，求 m 的 话呢，这里边有一件事，你说老师我真的比较熟悉，熟悉的话你直接就能求出来是几 m 就 等于九 啊，你觉得老师我不太熟悉啊？来，把这个 a x 等于 b， 那 x 是 不等于 log 以 a 为底， b 的 对数啊？ 把它推回去， m 就 等于谁？是不是三得平方，其实还等于谁？还等于九啊？然后 log 以二为底， n 的 对数等于个零，它的平方是不是长这样的？ 这点是几，这点是不是一样？所以 n 等于几， n 等于一来， m 减 n 是 不等于九，减一就等于几等于八。所以选择哪个 c 选项 来看第十题啊，第十题的话，能告诉你已知数列的话呢， a n b n 全都是等差数列， a 加 b 一 的话呢，等于个五，然后 a 三加 b 三等于个七啊，然后问你说是 a 五加 b 五等于几？ 那这里边最大的问题是什么？你看啊， a 三等于谁？因为是等差啊， a 三是不是等于 a 一 加二 d， 那 b 三等于几？ 是不是 b 一 加二 d， 所以 把它拿过来的话呢？你 a 加 b 一 知道等于五，所以 a 三加 b 三来写一下是不是 a 一 加上二 d 二 d a 吧，再写上个它啊，二 d a， 然后再加上个 b， 加上个二 d b， 嗯，这是不是等于七的， 对吧？那所以这里边呢， a b 有 啊， a 加 b， 这是不是等于五五加上个二 d a 加上个二 d b 是 不是等于个七啊？啊，所以二倍的 d， a 加 d b 等于几？是不是等于二？然后这里边还有一个问题，你看他啊，当然，其实老师你说我，我比比较底子好啊，其实一看他们俩，他们三个其实也成什么也成等差数了啊， 算到这之后的话呢，不用去化简了，没有必要去化简来。 a 五加 b 五， a 五等于谁？ a 五是不是等于 a 三加二 d a 啊？ b 五等于谁？是不是 b 三加上二 d b， 然后所以的话呢，你的 a 五加 b 五 等于谁？是不是 a 三加 b 三加上二 d a 加上二 d b 啊？ 来， a a 三加 b 三是不是等于七的二倍的 d a 加二 d b 啊？等于几？是不是搁这呢，是不是等于二啊？所以最后七加二等于几？是不是等于个九？所以选择哪个？选择 a 选项？ 好吧，你要记住，现在老师讲的是指教高考啊，河北省的话呢，叫对口高考，他的真题老师会把每道题拆分出来，拆的很细 啊，绝对会拆的很细才给你进行一个讲解啊，所以不要怕啰嗦，现在的话呢，你不管说，底子好也好，底子差也好，把这些简单题我们先拿到手， 后边还有一堆难题等着咱们呢。啊，好吧，有什么问题可以随时问啊，不管是评论区也好，私信也好，老师尽量都会去看的，并且如果你有问题啊，这个老师随时会给你解答的。
98教数学的孙老师
04:39查看AI文稿AI文稿这是二零二五年全国一卷的一道高考真题啊，啊，这个题当时把好多同学难哭了啊，难的，然后受不了，其实没什么难度啊，你看一下这个， 这个原先呢是零负二，这个半径 r， 他 说上， 那到直线 y 等于它的距离为一的点，尤其仅有两个。问 r 的 取值范围，那你比如像这个 a、 b 两个选项， 或者说连 cd 两个选项，连 cd 的 算上我们这个 l 取个二， 这个 a、 c 两个没有二， a、 c 我 们看到不包含二，这个 b、 d 两个选项是包含二的，对吧？那 r 取个二，那么这个角原先是零二，这个 r 等于二，那么我们看一下， 这是一条直线，这个圆心到直线的距离，圆心到直线的这个呢？根号三，根号三， x 减外加二等于零， 减外加等于零，然后这个零负二啊，零负二，所以这个上面是四， 下面是二，这个距离是二，就是就是说了这个刚好等于二，所以这时候是什么情况？相切了吗？相切了，那我们重新画个图啊，就是这样子，这样子相切了，这个距离刚好是二， 那么这时候圆上到他的点，那如果这样做一条平行线，做一条平行线，那么这个点和这个点， 这个点啊，就是到它的距离都是多少啊？所以这个刚好有两个点，嗯，符合条件啊，符合条件，所以它呢是符合要求的，它既然符合要求，那么 a 选项和 c 选项就肯定不对， 肯定不对啊，那还剩 b、 d 两个选项，那么 b、 d 取个多少呢？这儿有个取个一还是取个四，然后 r r 取个多少？ r 取个一， r 取个一，那么这个 d 呢？距离还不变二，那么二比一大，那就相交了嘛。所以我们画个图， 这个这个圆心呢，到这条直线的距离是一，就是哦，这个是相邻的啊，相邻的 相离的，这个图没画对啊。嗯，距离比这个半径大，所以它是相离的， 那么相离了之后，它是这样子，那么这个距离呢？是二，然后这个半径呢？是一，所以这一个点到它的距离是一， 哪个点呢？这个点到它的距离是界，那么做一条平行线，距离是界，这个只有一个点啊，只有一个点，就是这个点到它距离是，所以这个呢，不符合交界，这个这个不符合，不符合 啊，等于一，不符合，这个选项 d 呢？就错了，选项 b 就 正确。然后就是这样子呗，这样子，呃，你比如说这个这个巧合线在考什么呢？ 就说他到这是那条直线， y 等于根号三 x 加二，那么到他距离为一的点 就是这呢， d 等于 e， 这呢 d 等于 e， 就是 这两条直线。看这两条直线与圆有几个交点呗？别说它与圆有两个交点，那这两个交点到 y 对 勾，三 x 加二，它就有两个点了， 他主要是在看这个东西啊，看这个东西啊，核心就是这样，但是我们用特值的方法就很容易把这个答案做出来，不然的话，这个题当时好多同学都都觉得特别难啊，都觉得特别难，实际上没有什么难度。
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