2025年高考数学压轴题高等数学
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07:47查看AI文稿AI文稿大家好，我是来自华南师范大学数学科学学院的杨小兵，这是二零二五年全国高考一卷的压轴大题，我们一起来看看这道题的解法吧。 第一问，要我们求函数 f x 在 b 区间零到四分之派上的最大值。函数最值问题我们通常都可以通过求导来解决。根据求导法则，可以得到 f x 的导函数等于负五倍的 sa x 加上五倍的 sa 五 x， 把五提出来可以得到五乘以 sa 五 x 减 sa x 的差。 这是两个正弦相减的形式，我们可以想到三角函数当中的和插画机公式，并且化成乘积的形式，也有利于我们去判断导航数值的正负，那化解出来可以得到五乘以二倍的口算应三 x 乘以算应二 x。 注意到函数的自变量介于零到四分之派之间，那么三 x 就大于等于零，小于等于四分之三派。同样的，二 x 大于等于零，小于等于二分之派， 那当二 x 介于零到二分之派之间时， sine 二 x 大于等于零是很权利的，因此导航数值的正负就取决于 cosine 三 x 这一项。当三 x 介于零到二分之派之间时， cosine 三 x 是大于等于零的，此时导航数大于等于零，圆行数单调递增。 当三 x 介于二分之三派到四分之三派之间时，口算三 x 是小于等于零的，此时导函数小于等于零。原函数单调递减，函数先增后减，则最大值在 x 等于六分之派时取到。 因此 f x 的最大值等于 f 六分之派。把六分之派带入函数解析式当中，得到结果等于三倍根号三，这就是第一问的求解方法。第二问给定 c 塔属于零到派的开区间以及实数 a， 要我们证明存在 y 属于 a 减 c 塔到 a 加 c 塔的 b 区间，使得口算以 y 小于等于口算以其他。那由于余弦函数具有周期性，我们不妨设 a 属于零到二派，在一个周期上去进行讨论。 要证明的结论是， cosine y 小于等于 cosine 西塔。等甲鱼去证明 cosine y 减 cosine 西塔小于等于零。那么根据第一问的启发，我们可以使用核叉化机公式将其转化为负二倍的 sign 二分之 y 加 sita 乘以 sine 二分之 y 减 sit 小于等于零， 进而转化为去证明赛二分之 y 加习卡乘以赛二分之 y 减习卡大于等于零。我们令左边的这一项等于 t。 观察 t 的形式，我们发现当 y 取端点值时，这个式子会变得比较简单，我们来进行讨论。 第一种情况，当 y 等于 a 加 c 它时， t 就会等于 sine 的二分之 a 加 ct 乘以 sine 二分之 a。 此时由于 a 介于零 到二派之间，所以 sine 二分之 a 是大于等于零的，那如果我们要让 t 也大于等于零，只需要让前面的这一项 sine 二分之 a 加 c 塔也大于等于零即可。 那我们来看看当赛二分之 a 加 c 塔也大于等于零时，需要满足什么样的条件呢？由于 a 是介于零到二派之间的， c 塔属于零到派，那么二分之 a 加 c 塔就属于零到二派的开区间， 我们要限制他的正弦值大于等于零。因此只需要让二分之 a 加 c 塔属于零到派，左开右 b 的这样一个区间，此时可以解得 a 大于等于零，小于等于二派减二 c 塔。第二种情况，我们把另一个端点值往里带，可以得到， t 等于 side 二分之 a 乘以 side 二分之 a 减二 c 塔。 同理，前面的 sine 二分之 a 是大于等于零的，要想使得 t 也大于等于零，只需要令 sine 二分之 a 减二， c 塔也大于等于零即可。那此时我们可以解得二分之 a 减二 c 塔属于零到 派。这样一个左臂右开的区间，解得 a 大于等于二西塔小于等于二派，那我们来观察这两个区间的形式，会发现，当二派减二西塔大于等于二西塔时，原命题已经成立了。那如果存在二派减二西塔到二西塔的这样一个区间时， y 就取不到断点值了，我们需要从内部来进行讨论。 对于右边的这一个不等式，我们对不等号左右两边同时减一个 cta， 可以得到 a 减 cta 小于二 cta 减 cta 等于 cta 小于 pi。 对于左边的这一个不等式，我们对不等号左右两边同时加一个 c 塔，可以得到 a 加 c 塔大于二拍减 c 塔。由于 c 塔是介于零到拍之间的，因此大于拍， 所以派就介于 a 减 c 塔到 a 加 c 塔这样一个开区间内，我们令 y 等于派，可以得到口算 y 等于口算，派等于负一小于等于 c 塔，此时原命 题也成立。综上所述，不等式得正。第三问，设 b 是一个实数，若存在实数 five， 使得五倍的口塞 x 减去口塞五 x 加 five 小于等于 b。 对任意的 x 除以 are 都很成立， 让我们去求 b 的最小值。我们先来对这个题目进行一个简单的分析。题目中由我们证明任意的 x 属于 r， 五倍的口算 x 减去口算五， x 加 five 小于等于 b。 而由于这是一个任意性的问题，我们可以转换成去证明前面这个式子的最大值小于等于 b。 当 x 在 x 零处取的最大值时，此时变成了一个关于 five 的函数， 要我们证明存在 five 属于 r， 使得五倍的口算 x 零减去口算五 x 零加 five 小于等于 b。 存在性问题，我们可以转换为前面这个式子的最小值小于等于 b， 也就是说他等于 b 的最小值。 根据刚才的分析，我们来对这道题进行详细的解答。令 g x 等于五倍的口塞 x 减口塞，五 x 加 f， 对其求导，可以得到 g x 的导。函数等于负，五倍的塞 x 加上五倍的塞，五 x 加 f。 根据前面的分析，我们是要求 g x 的最值，而由于函数是一个在十除以二上的函数， 其最值点只可能在极值点出渠道，因此我们可以令 g x 的导航数等于零，得到 sine， 五 x 加 five 等于 sine x， 于是五 x 加 five 等于 x 加二 k 派，或者五 x 加 five 等于派点 x 加二 k 派。 我们先对后面的这种情况来进行讨论。第一种情况，当五 x 加 five 等于派减 x 加二 k 派时，得到口算五 x 加 five 等于负的口算 x， 此时 g x 等于六倍的口算 x。 由于函数具有周期性，因此我们看 可以仅对 x 在一个周期内进行讨论，同时可以限定 five 在零到二排之间。那根据前面的这个式子解得急着点 x 等于负六分之 five 加上六分之二， k 加一派， k 属于 z。 我们对一个周期内极值点的取值来进行讨论。当 k 等于零时，代入得第一个极值点 x 一等于负六分之 five 加六分之派。由于 five 是属于零到二派的，因此可以解得这个极值点。在负六分之派到六分之派之间。在函数图像上体现为这样的一个区间段， 当 k 等于一时，代入的第二个极致点 x 二等于负六分之 five 加二分之派，它的范围是六分之派到二分之派之间。以此类推，我们可以得到一个周期内六个极致点的取值情况。观察函数图像，我们会发现，当 x 等于 x 一时，函数值 最大，因此最大值只可能在 x e 等于负六分之 five 加六分之派这个区间内取得。在入函数解析式，得到 g x e 等于六倍的口算负六分之 five 加六分之派。 当 five 等于零时，得到 g x 一的最小值，代入解的最小值为三倍根号三。接下来我们对第二种情况来进行讨论。当五 x 加 five 等于 x 加二 k type 时， 口算五， x 加 f 等于口算 x。 带入 g x 的解析式，得到 g x 等于四倍的口算 x， 此时最大值为四，小于三倍根号三。因此 g x 的最大值只可能在 x 一处取得。综上所述， b 的最小值，也就是 g x 一的最小值 三倍根号三。那么今天这道题就分享到这里，以上仅代表个人的看法，欢迎大家批评指正。最后，祝全体考生高考顺利，我在华南师范大学等 能力。
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