天津高考数学最后一题

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  初逢落定！2026天津高考数学导数题深度解析 根据回忆版题目，深度解析！
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  今天啊，来对我们大家比较关注的二零二六年千金卷的导数的这道压轴题，我们来做一个比较全方位深度的一个解析啊，不是来讲这个题怎么做啊，不仅仅是来讲这个题怎么做啊？今天呢，也带大家来看一下这个问题他到底是怎么出出来的。 其实这个题呢，呃，在昨天啊，也就是六月七号这个数学考完之后啊，很快网上呢就有了一回忆的版本，然后呢同时有很多的这个老师呢，发了这个题的解析啊，包括我也发了这个问题的解析，很多同学呢和老师也都比较关注这个事， 大家难，那这个题它到底是一个怎么回事？它有多大的一个创新性？然后难度上又如何？我们做一个全方位的剖析，大概呢分为以下几个方面啊， 当然我们先浅层次的把这个题呢怎么做跟大家交代一下，然后大概可能的一个评分细则会怎么评，也跟大家说一下，因为大家会比较关注这个时候到，呃，这个题呢，到时候会怎么去评分？那我写了一部分或者做对了一部分，怎么会得分啊？这个呢，我说一下个人的一些想法。 然后呢我再说一下这个问题的本质，就他到底为什么会出现这样的一个问题？这个题的创新性如何？怎么出现的？他的背景是什么啊？做一个比较深层次的一个剖析啊，就他这个题的本质是什么？ 然后呢再对整个题的一个呃难度啊，对比去年或者前年的这个题目的难度做一个评判，然后对他的在二十题的一个位置做一个剖析吧，大概就是这三方面的内容啊。 首先我们先讲一下这个题本身啊，题目本身呢，其实联动性是比较强的，甚至可以讲三问都是一个答案啊，甚至我们可以简单的这么说，这个题绕来绕去，我们发现这个题绕不开的一个数，就是三分之一啊，第一题是三分之一，第二题是三分之一，第三题呢，还是三分之一， 所以整个题的联动性比较强，但是呢，也说明其实呢有点寡淡啊，联动到一个点上去了，就说明它联动性强，也说明有一点寡淡。我们先看第一题， 第一题呢，他让我们求曲线， f x 呢，在原点啊，在零，不是原点啊，在零处的这个切线方程，因为零其实它并不过原点。 x 等于零的时候，我们可以先计算它的这个 y 啊，先计算 y， 再求切线吧，对吧？所以我们把这个过程呢 稍微的写一下，那第一步呢，我们肯定要先去求这个 f 零了，对吧？我们先去求这个 f 零， f 零呢，直接带进来啊，它应该是等于 e 的 零次方，哎，再减去三 e 零就是零啊，所以这个比较简单，就是一，然后再去求它的导数，导函数呢，也比较简单哎， e x 次方的导数呢，就是它本身啊，三 x 的 这个导函数呢，就是 cosine， 所以我们还要把零处的导函数求出来，因为这个代表了它的直线的斜率啊，所以它的斜率呢，就应该等于 f 撇零，那么也是 e 的 零次方呢，再减去三分之二，因为 cosine 零呢，它是等于一的嘛，所以这个数呢，应该是一减三分之二啊，等于三分之一， 所以斜率也有了，这个点也有了，就它的直线方程应该是三分之一倍的，它是过零一的，所以那就应该是这个方程。答案呢，就应该是 y 等于三分之一， x 再加一啊，其实呢，就是 第二问的这个右边，对吧？所以这非常非常典型啊，答案就在题干里，对吧？谜，这个谜底就在谜面上，是吧，这个正儿八经实现了这个东西啊，所以早些年有些老师总是说，哎，这个题不会做的时候，你就去试卷里找答案，这个题还真能找到啊，就在下一问， 那为什么他会有这一问？他，他其实想把这个两个事联动起来，但是我觉得没有必要啊，有一点刻意了。然后我们再来看一下第二问，第二问，为什么他把这个切线又重新放上来了？ 第二问呢，让我们证明，当 x 属于负的三分之一，到正无穷的时候， f x 呢，大于等于一加三分之一， x 横成力。 这里啊，先跟大家说一个比较常见的一个错误啊，很多同学呢，也都是 这么去做的出。很多同学在这个小红书上啊，都在问我，哎，这个题呢，应当怎么去做？或者说自己做对了一部分，然后这个分会怎么去给啊？很多同学都有这样的困惑，因为大家 很多同学都犯了一个同样的错误。这个题呢，乍看上去啊，像一个很常见的放松，因为我们知道啊， e 的 x 四方呢，它是大于等于 x 的， 所以说呢，因为这个题它是减去三分之二撒引嘛， f x 是 减去三分之二的撒引，那所以负的三分之二撒引 x 呢？那就应该，哎，注意要编号，对吧？它就要大于等于负的三分之二 x 了， 哎，这好像是刚刚好哎，这两项一加，那就是 x 加一，再减去三分之二， x 刚刚好是三分之一 x 再加一，那么我们把这两个不等式呢补正一下，哎，似乎题目就结束了，但是这么正的话，这个分数啊，可能会有一点问题了，这个分数可能不高，因为呢，前边这个式子是对的，我把这个图像呢给大家看一下， 用 desmos 画一下这个图像，呃， e 的 x 次方 e 的 x 次方，它的这个图像呢，是跟 x 加一的关系是比较明确的， 因为 e 的 x 方和 x 加一这个函数呢，其实是 e 的 x 方的 e 阶泰勒展开啊，它其实是 e 阶泰勒展开，所以这个呢，我们可以放到这来， 哎，我们可以简单看一下，对吧？这个呢，是红线，是我们的 e 的 x 次方啊，然后蓝线呢，就是我们的 x 加一，这个没有问题啊，因为它的定义域是负三分之一到正无穷，在负三分之一到正无穷上，确确实实红线是始终比蓝线高的，这件事是对的。但是呢， 哎，这个题放到三以内就不对了，其实不用算啊，因为正弦函数呢，它其实是一个奇函数， y 等于 x 呢，也是一个奇函数。其实啊， 这个东西，它在 x 小 于零的时候就会出现一个问题，我们可以看到啊，这个函数，哎，蓝线呢，就是还是我们的这个 y 等于 x 啊，然后红线呢，就是三 x， 哎，这时候我们可以看到，蓝线在正的时候，它确实比红线要高，就说 x 呢，大于等于三 x 啊，这个东西在 x 大 于等于零的时候，它是成立的，但是这两个它都是奇函数，所以在 x 小 于等于零的时候，这个结果自然是反过来的， 问题就出现在这里了啊，问题就出现在这里了，为什么它反过来，我们可以从奇函数的突性去结合 啊？ e 的 x 四方是个下图函数，只有一个下图函数，它的切线才能保证在这个函数的下方，然后上图函数它的这个切线才在函数的上方。 那么三 x 呢？它的拐点就是零，什么意思啊？其实就是它在原点这个地方的凹凸性正好变了。这个其实很形象啊，我们可以看到就类似于这个山峰一样说，哎， 它这块呢，是个山谷，是个下凸的情况，所以其实它是比切线要高的，然后在零以上呢，它是个上凸函数往上凸起的，所以这个时候我们一画它的切线，哎，会发现它的切线呢，就跑到函数上方去了， 所以零这个地方正好是它凹凸性改变的地方，零是个分界啊。所以说这个题呢，如果大家没有分段去讨论，直接去放缩的话，为什么说可能分数上会受影响？就是因为， 哎，就是因为这个结论应该是不对的，相当于我们去写了一个错误的结论啊，有点这个感觉，因为三 x 其实并不是永远都小于等于 x 的， 它只在 x 大 于等于零成立， 所以这就分两种了，如果我们特别明确的标注了 x 大 于零，零这个事是对的，如果说没有标注的话，这个事就是错的了，所以相当于只有一个不等式是对的。哎，这个分可能就在一半以下了啊，可能就在一半以下了， 所以，那这个题怎么做呢？哎，其实直接求导就行啊，这个东西其实不用考虑放缩，一直以来天津卷的这个第二问呢，都相对来说没有那么复杂， 如果考横乘力，也不太需要什么复杂的方法啊，可能顶多端点效应用一用，对吧？这个餐面分离的这个方案一般都行得通，然后呢，不等式的证明也一般，坐叉求导也是可以行得通的， 我们直接坐叉求导就行了，这个题放松可能还会绕点远，直接坐叉求导就行。坐叉求导呢，我们把 f x 啊减一减三分之一 x 呢，令成一个新的函数，令成一个 g x， 另乘一个 g x， 那 我们对 g x 求个导啊， g x 求导呢，它应该是 e 的 x 次方，减去三分之二的 cosine x， 然后呢，再减去三分之一啊，哎，它其实得到的是这样的一个函数，这个函数呢，往下还要再走啊，往下还要再走，我们还需要再求一下，因为其实直接得不到一个结论啊，还需要再往下求 g x g g x， 它就是 e 的 x 次方， 然后呢，再加上三分之二的三 x， 这个时候其实就不用再往下求了，这个函数是个增函数，对吧？这个函数在负的三分之一， 它是一个增函数。在负的三分之一到不能叫道正无穷啊，至少在负的三分之一到零上，它是一个增函数，它是一个增 函数。那我们能不能去说明这个函数它始终是大于零的呢？ 哎，其实可以啊，因为在 x 大 于零的时候，这个事儿 e 的 x 四方呢，它直接就大于一了，对不对？ e 的 x 四方直接就大于一了，那如果 x 大 于等于零， e 的 x 四方就大于等于一， 所以这个时候 e 的 x 次方加三分之二的三， x 无论如何它都是大于一加呃，一减三分之二的吧，因为正弦它有可能是正，有可能是负，对不对？所以说呢，它始终是大于等于一减三分之二的，那肯定是大于零的，所以在 x 大 于等于零的时候呢，它是大于零的。 那如果 x 小 于零怎么办呢？ x 小 于零，在负的三分之一到零之间啊。其实这个结论也差不多，因为在这个区间上， g 撇撇 x 呢，它是一个增函数啊， 哎，它是个增函数，因为 e 的 x 次方在这个范围里是增函数。三， x 呢，它也是个增函数，所以这两个增函数加到一起，它还是个增函数啊，不用求导，它就是个增函数。那增函数它的最小值呢？其实应该是，呃， g 撇撇的这个 负三分之一，对吧？ g 撇撇负的三分之一，这个数咱可以简单算一下啊， 那 e 的 负三分之一次方，然后呢，再减去三分之二，因为这是负的三分之一啊，所以是负的三也三分之一。 哎，这个东西呢，三也三分之一，其实咱也不用算啊，当成一就够了。哎，当成一就够了，那这个东西应该也是大于三分之二的， 大于 e 的 负三分之一次方，然后呢，再减去三分之二，其实这个数呢，直接在这判定就可以了。两个方案，一种方案呢，就是咱真的去比较一下大小，就是看这个三次根号下， e 分之一和这个三分之二，谁大谁小，那就两边三次方一下呗，三次方一下呢，这边就是二十七分之八，对吧？三次方一下就二十七分之八，那这个时候呢， e 分 之一是不是比他大呢？没有问题啊，把二十七乘过来，把 e 乘过去啊，这个左边呢，要比右边大得多 啊，要比右边大得多，因为 e 我 当三算的话，三八才二十四呢，对吧？更何况我 e 其实还不到三呢，这样是可以的， 当然也可以做的更简单一些。我觉得写成这样其实挺好的，因为这样他是一个更朴素的一个写法，用一下放松也行，这个时候反倒可以用我们 e 的 x 字方是大于等于 x 加一了，所以他这个东西呢，其实是大于谁的呢？一减三分之一，再减三分之二的， 哎，这样也能过得去啊，这样就是零了，哎，所以总而言之呢，我们论述一下，这撇撇负的三分之一呢，他也是大于零的， 所以这个事就结了，也就是 g 撇撇 x 呢，它反而是大于零横成力的，它是大于零横成力的，也就是我们的 g 撇 x 呢，其实是个增函数啊，我们的一阶导数其实是个增函数，一阶导数是增函数， 我们简单画一下它的图像啊，一阶导是个增函数的情况下，哎，一阶导它是个增函数，随便画啊，在负的三分之一到， 哎，在负的三分之一到正无穷上，他是一个增函数，然后呢，并且他这撇零呢，还是等于零的，所以大概是这样，负的三分之一，那么从负的三分之一往上呢，他是个增函数， 画的不太地道啊，稍微改一改，哎，他是一个增函数，他是一个增函数。那么零这个地方我们注意啊，这撇零，他一定是等于零的，这撇零呢，他是等于一减三分之二，再减三分之一的，所以刚好是零啊，也就他是过圆点的。 那么我们就可以看到，在 x 小 于零的时候，这个 g 撇 x 呢，在负三分之一到零啊，把负的三分之一标注上吧，这个时候 g 撇 x 呢，它其实是小于零的，对吧？因为它正好过原点嘛，又递增，所以 x 大 于零的时候呢，它这块呢，反而是 大于零的。所以，那这个函数 g x 对 应的就应该怎么着啊？先减再增，因为它的导函数先小于零，再大于零嘛，所以是先减再增的函数啊，先减再增的函数，那么它的最小值在哪取啊？就肯定是在极值点取了，哎，这个极小值呢，就是在零处取的 啊，它的极角值在零处取的，所以这个事呢，我们就可以下结论了。哎，那所以呢， g x， 它就应该是大于等于 g 零的。哎，这个时候就可以下结论了，那么 g 零呢？哎，咱可以带进去，非常简单啊。 g 零带进去的话嘞，呃，它就应该是因为 f 零呢， 咱带进去是一嘛，一减一就是零啊，所以 g 零刚好是零，没有问题。那就说明 g x 呢，它是大于等于零横成力的，所以 f x 呢，就大于等于这个式子， 这个呢，本身他就是一个孩儿不懂事的一个证明，所以，其实呢，直接去求导，耐心的分析就可以了。哎，稍微的对正负号呢，做一个讨论，哎，这个过程就过得去很严谨啊，没有任何的这个漏洞了。 如果说去用放松的话，这个事其实小于零的时候也可以放松，但是比较麻烦，因为很多的这个放松啊，都是有点问题的。很多的放松是有问题的，包括 e 的 x 四方啊，他在 x 小 于零的时候，他也不大于等于一加 x 加二分之一 x 平方， 哈，这个事也是错的，这个事也是错的。哎，因为这是他的二阶泰勒展开式啊，所以这个 e 的 x 方在 x 小 于零的时候，这个事是不能横成立的。很简单，因为这是个二函数， x 趋于富无穷的时候，这个东西他要趋于富无穷。然， 然后 e 的 x 字汪在 x 趋于负无穷呢，他要趋零，对吧？右边是趋于正无穷的，左边是趋于零的，他没有办法横成力的。所以这里边的在小于零的时候放缩会产生很多的问题，需要单独的讨论，费点劲，所以不如直接求导啊，当然放缩肯定也有法子过得去啊，在这我们就不多赘述了， 这个题本身其实就是一个切线法的逻辑啊，本身就是切线法的逻辑。其实回过头来看，我们刚才干了一件什么事，我们证明了他的二阶导怎么着啊？ 证明了他的二阶导是大于零横成力的，对不对？我们证明了一下，他的二阶导大于零横成力。二阶导数大于零意味着什么？意味着这个函数其实整体上是一个下图函数，而零 而零这个地方的切线，在零这个地方的切线刚好是三分之一 x 加一那是第一问求的呀， 哎，所以这个函数呢，它是大于这个切线和能力的，因为下图函数啊，这就是切线法理论嘛。下图函数它就会在这个区间上任何一点的切线，它在这个区间里都是比这个切线要大的，在下图的这个范围内，它都是比切线要大的， 所以他再负三分之一，道正无穷，就是一个下图函数啊，就是一个下图函数，那这个事就被我们挣出来了啊，所以本质上这个其实就是一个切线法。哎，比较古老的一个问题了。切线法以前呢，在考试当中呢，也是比较常见的一个内容啊。 行，这个是第二问，所以这个评分上呢，我觉得这个第二问啊，还是跟有没有分正负或者放缩有没有错误挂钩。我们先来说第三问啊， 第三问，这个题呢，具体的一个正法。哎，我直接说思想啊，在这个题当中呢，就不跟大家具体的介绍细节的一个证明过程了，哎，不说细节的证明过程了，也可以参考我前面发的帖子啊，这个帖子我有详细的一个 呃，一点一点敲上去的，我把这个详细的证明过程写的很全面了，哎，非常容易看懂。我大概跟大家说一下这个问题证明的一个思想，就这个题首先是要有答案的，因为它本质上是个横成力的问题。我们两边取一个对数啊， 我们两边取一个对数。我把这个问题呢重新呃放一下重新放一下。 我们两边呢重新呃取一下这个对数。两边同重新取一下对数，就可以把这个问题呢拆成一个求和的问题了。因为乘积看着有点别扭啊，拆成对数的话，取一个对数，其实就是劳力 f 一 加上劳力 f n 分 之一，一直加 m， 加到什么呢？加到劳力 f n 分 之一，然后呢，它要大于 r 倍的劳力 n 加一啊。 所以其实本质上这个问题呢，它是一个横成力的问题。现在呢，这个把 long n 加一除过来，那阿尔法呢，就要小于这个式子横成力，对吧？阿尔法就要小于它横成力，阿尔法小于它横成力，阿尔法肯定要小于它的最小值嘛。 所以本质上这个题是在让我们求这个函数的最小值，那么求最小值这个题，它不是一个函数题，对吧？这是一个叠加的一个竖列题，我可以认为，所以说呢，这个问题一般来说只有两种情况，一种情况，要么它是一个增函数，要么它是一个减函数，它关于 n， 如果关于 n 是 增函数的话，它的最小值呢，就在第一个地方取到了，就在 n 等于一的时候取最小了。 这个以往的题目当中也出现过啊，其实，呃，早些年像北辰的，去年的北辰的三模，今年也有一些模拟考试啊，也是这么考的啊。今年这个和平的三模似乎也是这么考的，如果没有记错的话啊，他考了一个关于易的定义的那个极限啊，其实也是这么考的。那 还有一种情况是什么呢？就比较麻烦了，那如果说这个函数啊，括弧里边这个函数，如果他是递减的， 这个事就比较麻烦，如果它是递减的，一个递减的函数，我要求它的最小值，那本质上就是要求极限了，对吧？我要求 n 在 正无穷处的极限，所以它就变成了一个数列。求极限的问题，当然这个题属于哪一个呢？它属于后者， 因为它不太可能属于前者，属于前者的话，这个结果太复杂了。属于前者的话，这个 law f 一 除以 law n 加一把 这个 n 等于一带进去，这个事非常的麻烦，这个结果非常的丑啊，所以大概率不会是前者，因为带前者的话，这个劳力 f 一 是多少啊？是 e 的 一次方，然后减去三分之二，这个三也一， 然后呢，再取一个劳力，再除以这个 n 等于一的时候，除个劳力二，你觉得答案会是这样吗？啊，它基本上不会这么丑啊。所以这个函数啊，它的的确确呢是一个减函数 啊，他的的确确是一个减函数，就这样的数列啊，我怎么了解他是一个增函数还是一个减函数呢？最简单的方案，其实我们带一下数去验证一下就可以。哎，那我怎么去验证这个数列增减性呢？是有这样的一个结论啊，非常非常简单好证的一个结论，就是对于分子和分母 两个都是求和的。这样一个竖列 s n 呢，表示 a n 的 前移项和，对吧？它就等于这个 a e 一 直加到 a n， 然后 t n 呢，它表示 a e 呢？而 b e 加到这个 b n， 它表示 b n 的 前移项和。那么这样的一个竖列， 它递增，我可以怎么去判断呢？它有一个充分条件哎，它有一个充分条件可以判断， a n 比上 b n 是 递增的就可以了。 a n 比上 b n 是 递增的， sn 比上 t， n 就是 递增的，反之， a n 比上 b n 是 递减的， sn 比上 t n 呢，也是递减的。当然这是一个充分条件啊，它不一定是冲药的啊，对于 sn 和 t n， a n b n 都是正数的这种情况啊，它就是这样的一个结论啊，就是这样的一个结论。 所以说呢，呃，我可以通过这个东西去简单判断一下。那回到这个题上来，它就是一个求和嘛，我就可以怎么判断呢？这个上边我就可以认为是个 s n， 我 可以通过 a n 去判断，它的 a n 呢，就是 law n f n 分 之一嘛， 然后底下呢，我也可以认为是一个求和嘛。那，那如果它是一个和的话，这个 b n 是 什么呢？就应该是 t n 减去 t n 减一嘛，其实就是 long n 加一减去 long n 啊，所以其实我判断一下这个东西的增减性就行了 啊，稍微的计算一下，我们是很容易发现啊，它是一个减函数的。这儿呢，我，我把这个图像呢也放上来啊，它的的确确呢是一个减函数哈，它的的确确呢是一个减函数。 我把它的这个图像呢放上来 啊，我们可以看到啊，我把这个函数画了一下，这个呢，就是 low in f x 分 之一，对吧？这个地方就是 low in f x 分 之一。 然后下边呢，就是我们刚才算的这个劳恩一加 n 分 之一啊，就是劳恩一加 x 分 之一。我们可以看到这个函数就是一个在零到正无穷上啊，它就是一个严格递减的一个函数啊，它确实是一个严格递减的函数。所以说这个题呢，我们现在就清楚了，它属于哪一个呢？它就属于后者， 它属于后者。这个函数呢，它是一个减函数，它是一个减函数，它是一个减函数。现在呢，我要求它的最小值，一个减函数还要求最小值，所以本质上在求什么？就是求这个函数的极限， 标准的一个数列，求极限题啊，这个在数学分析里其实是一个很出名的一个结论啊，这种极限，大家在如果上了大一学微积分或者学数学分析的时候，这个是十足的定律嘛。 啊，这个应该是大一的一个非常经典的一个题啦，会经常经常练啊，就是失读失呃，失读子定理的问题，他的这个英文是这样的 啊，失读子定理翻译，反正在清华的这个教材里，清华当时微积分也是自己写的嘛。这个我印象很深啊，他是这么翻译的啊，这叫失读子定理， 比较绕口吧，但是这个翻译有很多的这个叫法，因为我上学的时候，这个清华的教材里是这么叫的，所以我也一直是，我也一直是这么叫的。那么这个定理是怎么讲的？我简单的把这个定理的形式之一说出来。他这个形式呢，是说如果我的这个数列， 那如果我的这个竖列，呃，它后向减前向的这个比值， x n 减去 x n 加一，比上 y n 减去 y n 加一，如果说这个竖列的极限它是 a， 并且它还有一个附加条件，就是这个 y n 呢，要单调递增，趋于正无穷。 y n 这个竖列也就是分母啊，分母要单调递增，并且呢趋于正无穷啊，并且趋于正无穷。 如果他满足这两个条件啊，我们看啊，这个题就是满足这个条件的。上边我可以认为是 x n 嘛，下边我可以认为是 y n 嘛？ y n 这个老 a n 加一，这肯定是单调递增，趋于正无穷的，那么他的这个 y n 是 满足的他的这个极限，我们一会可以去求。如果有这两个结论的话，我就可以把原始的极限求出来了，他的这个极限是一样的， 哎，他俩的极限是一样的。这个东西啊，其实本质上就是什么呀，就是经常叫离散型的裸白法则嘛， 他后向减前向，其实就是做差，哎，其实就是做差。我可以认为他俩的横坐标呢，就是 n 和 n 加一嘛，其实就相当于是在无穷处的导数，这个也相当于是在无穷处的导数。如果放成 连续的，我们可以简单这么理解啊，当然适当地有它一个严格的适用条件，我们一般在数学当中可以认为它就是离散的一个洛比亚法则。后向减前向离散形式的一个 差分嘛，对吧？洛比亚法则，我们是分子分母，做微分求导，同时求导，然后去求无穷无穷处的极限，这里是做差分求极限。离散的话就是一个差分，所以可以认为是离散形式的洛比亚法则。 所以这个题的极限呢，就可以通过后向减前向的这个比值来求啊。后向减前向的比值我们可以看啊， x n 减去， x n 减一， x n 减去。呃， x n 加一吧，严格按照它的形式来写吧。然后 y n 呢？减去 y n 加一。哎，这个有一点别扭，我们还是改一改，改成 x n 加一，减去 x n， y n 加一呢，减去 y n， 我 们把这个抄下来，对于分子上而言，后向减，前向它 x n 加一，应该就是 log n 加一了，哎，如果是 x n 减去 x n 减一的话，应该会好一点，所以我这呢写成 x n 减去 x n 减一吧。 我们这么写一下，哎，我们去求它的极限，它的这个极限呢？ x n 减去 x n 减一，那就应该剩了我们分子上的最后一项，因为它求和是这个东西，减去前边的求和，就只会剩下最后一项，也就是 log n 分 之一 啊，这个东西，然后 y n 减去 y n 减一呢，哎，那就是 l e n 加一，哎，相减，对吧？ l e n 加一，减去 l e n， 其实让我们求的就是这个东西的极限，让我们求的就是它的极限，然后这个东西的极限呢？分母的极限。我们是知道的，这个 n 趋无穷的时候，它其实就等价于什么呢？这个是一减一加 n 分 之一啊，然后上边是 l e f n 分 之一， 哎，然后分母的极限是比较好求的，这个地方可以考虑后边用洛伽法则，哎，也可以直接用等加无穷小，因为我们知道劳恩一加 x， 这个 x 趋于零，因为 n 趋正无穷的时候， x 就 趋于零，所以我就可以认为呢，我要求的极限是什么呢？相当于是 x 趋正无穷事后的极限。然后是谁呢？下边是劳恩 x 趋于零啊，说错了 啊， x 趋零处的极限，因为 n 是 趋正无穷的，所以我就可以这么去写了， lo in f x 除以 lo in e 加 x， 嗯，相当于它俩的极限。当然这个对数， 对数的这个极限放到这，这没有关系啊， x 趋零的时候，这就是一个等加无穷小了，它的极限呢？这我们很熟悉 lo in e 加 x 的 这个切线嘛，其实就是 x 啊。那问题就是上边，上边 f x 的 这个 极限在零处的极限是谁呢？我们可以给它展开到一阶，对吧？展开到一阶的这个形式呢，其实题目已经告诉我们了，它的这个一阶的切线就是一加三分之一 x 嘛，就是一加三分之一 x， 哎，就是一加三分之一 x， 所以 说呢，它的这个极限呢，我们直接带进去就可以了，它的等价无穷呢，就是一加三分之一 x， 哎，然后再除以 x 分 子分母这个逻辑。同理啊， x 去零的时候，哎，捞引一加 三分之一 x， 它的等加无穷小呢，那跟分母是一样的道理，就是三分之一 x， 所以 这个答案呢，就是三分之一， 所以它的极限就是三分之一。这个事呢，就结了，因为它是一个这个竖列，它是一个严格递减的一个竖列， 严格递减的竖列。然后呢，我们要有求它的最小值，最小值就是它无穷度的极限，它无穷无穷处的极限呢，是三分之一。所以说呢，这个题阿尔法的一个最大值呢，就应该是三分之一啊。 哎，这个就可以这么做，这是我们快速来判断答案的一个方法啊。这个题的本质呢，就是适度自定义，但是我们在考试当中肯定不能这么写，对吧？所以 我真正提供的答案不是用极限的逻辑来求的。用什么呢？用所谓的充分必要性嘛，这个题就是要用充分必要来证充分性和必要。 那充分性和必要性，这个怎么去证呢？先说充分性对吧？充分性就我说明，哎，阿尔法呢，小于等于三分之一的时候，这个式子呢，的确是成立的，这个叫充分性， 就是阿尔法小于等于三分之一，这个式子就是恒成立的。其实就是阿尔法等于三分之一，正一下就可以了，怎么正呢？就利用题目的条件去正就行了，是比较简单的 啊。然后那必要性怎么去正呢啊？必要性的话，那我就说明阿尔法大于三分之一是不能恒成立的，大家要注意啊， 阿尔法大于三分之一这个式子是不横成立，就是存在一个比较大的 n， 让这个式子呢是反号的，他肯定不是横不成立啊，大家要注意，所以你要去正他横不成立，那是不可能的。就很多同学觉得这个事比较困难 啊，所以这个事在放松的时候，我们可以稍微做的大胆一点，因为我只要让 n 足够大，这个右边呢就比左边大了。这个也是数学分析里边的逻辑， 就是阿尔法大于三分之一，很多同学不会用这个条件上来就把阿尔放缩成阿尔法放缩成三分之一了，这是肯定挣不出来的， 因为人家阿尔法等于三分之一的时候，人家是横成力的，对吧？那我上来把阿尔法放缩成三分之一，这事不就竹篮打水一场空了吗？所以不能这么干呢，朋友们， 那怎么办呢？这是数学分析当中经常干的一个事儿。所谓 evese 语言嘛，这个地方阿尔法大于三分之一意味着它是要严格比三分之一大的， 那它就可以等于一个三分之一加上一个微小量 evese， 哎，虽然你写 evese 也行，对吧？这个 evese 呢，是要严格的，大于零的，这个 evese 不 管它多小，它是个定值，依靠这个去放缩就能挣出来了 啊。所以大家可以看我前面的帖子的这个一个详细的一个解析啊，这个题这么去正，这个题他就能做了。 行啊，这个题的做法他的背景跟大家说到位了。然后再聊一聊这个题可能的一个 评分的一个系数。这个题可能的一个评分系数，我认为大约应该是第一问切线方程一般不会给到五分啊。五分的第一问是比较麻烦的，这个题的评分系数我认为大概可能是一个三加五加八的一个构成， 那三五八的一个构成有可能是这样的，就是八加八啊。如果还是十六分，因为我没有看到这个卷面啊。根据以往的这个情况来看，他大概就是一个三五八的构成。如果说第二问，大家没有去直接去放缩，我估计就是两分，应该只 就是我没有考虑这个负数的情况，我就写了这个三 x 呢，是小于等于 x 的， 哎。没有考虑正负，那可能就是两分，它会给一个 e 的 x 次方大于等于 x 加一的这个分数啊，可能就是两分， 哎。那如果说，呃，我没有求二阶导，只是求了一阶导，做了一些分析，我觉得是有一些缺失，这个分可能会给到三分，就如果做了正负的分类讨论，这个分才会更高一些。 如果只是求了一阶导，也没有做政府的讨论，我估计是在三分左右。然后第三问这个充分必要性。虽然我们知道必要性要比充分性要难，但是一般这种考试当中的评分一般都是五五开的，这个难度上其实没有很明显的差异， 但确实直观来看啊，就是必要性比充分性要难。呃，四四的话不太合理，但这毕竟是充分性加必要性的证明嘛。四四分， 哎，应该是四四分，然后答案肯定是有分的，如果说又又有答案又有充分性，我不知道能不能给到五分。如果说这个题确实大家做的不好， 整体的得分比较低，那是有可能得到五分的。就是什么呢？我说出了阿尔法等于三分之一，同时呢，我要证了一下，这个 阿尔法等于三分之一的时候，这个不等是确实恒成立的。那可能第三问能够拿到五分，但是六分应该不太可能，因为他给到六分的话，就意味着必要性只值两分了。必要性的论书过程其实很长很长的，我觉得光文字就不值两分啊，所以不 肯定是要这个必要性要比两分高的，大约就是最高到五分了啊，所以大家这当然也是个人的一些想法，大家可以根据这个情况呢来看 啊，这个题的一个解析啊，他要考孩儿不等式的放缩了。我在我的课上经常跟同学们说，我说今年的这个形势大概率就是恒成力加孩儿不等式的一个放缩，证明求和的一个问题。所以我在这个可以看到，我在这个 公开课的这个讲义上呢，其实就呃写了很多的这个题啊，我在三月二十二号的这个公开课的这个讲义当中就大量的去讲了这样的问题， 那大量的去讲的问题，因为传统的问题其实都是一个证明题，他很少做一个核能力去考，就非让我们把这个极限求出来，这种情况确实是比较少见的 啊，比较少见的，但是基本的这个充分性的证明其实是很常见的，哎，今年呢，也都预料到了，包括这个带有三角函数的这种放缩啊，也都是非常常见的。像这个带鱼弦向的，然后这个对数向的乘积， 通过这个对数先取下来，变成求和的这种形式，然后包括带有这个 sign 的 这种放缩，对吧？ sign 的 这个放缩，对数的放缩。这个我在我的这个公开课当中呢，其实都讲了， 哎。这个，呃，当然很多这个老师都说这个沾点边就算压到了，如果算压到也算压到，但实事实上呢，这个毕竟啊，他其实是一个求数列极限的问题，我相信这个数列极限应该没有老师会讲十足的定律吧，包括我自己也不会去给同学们去讲十足的定律，哎，这个， 嗯，所以其实要说严格的压到，应该也没有人压到啊，哎，但是这些题呢，其实体现的一个核心的思想确实也都体现到了。比如说我们看这个像十五题这种形式也都是一致的啊，像十五题的这个形式也都是一致的。我把这个题呢 放上来，我们最后呢一块唠一唠这个十五题的形式，这个也都是非常相似的， 非常相似的。十五题的这个形式跟高考题的区别就在于呢，他这个题目是直接告诉我们这个最值是二分之一了，不然我们想这个题是不是也可以出成一个完全一样的形式，稍微包装一下， 对吧？稍微包装一下，我两边呢，同时取一个 e 指数，那是不是就是 e 的 三分之一加五分之一，哎，一直加加到这个 二 n 加一分之一，所以我就可以另一个函数是什么呢？我可以另一个函数，呃， fn 啊， fn 呃 f x 吧，对吧？我可以另一个函数是 f x， 它就等于 e 的 二 x 加一分之一， 我就可以令它是这样一个函数，然后这就是一个连乘积了，这就是一个连乘积了，哎，这就是一个连乘积，所以它就是 f 一分之一，再乘以 f 二分之一，哎，一直乘乘到 f n 分 之一，然后小于谁呢？这是个小于，对吧？右边取一个 e 指数的话呢，那应该是小于 n 加一的阿尔法次方，对吧？然后让我们求这个阿尔法的一个 最小值，对吧？因为这是阿尔法大于一个什么东西啊？这里求的应该是阿尔法的最小值了。一样的，那这个题的最小值其实就是二分之一 啊。这个现在我们用十足定律去看一下就明白，他这个二分之一其实是一个比较严格的一个线，这个阿尔法不能比二分之一，再小了，再小，这个事就不横成力了。哎，怎么讲，我们还是用十足定律啊，那他是三分之一加五分之一，一直加加到二 n 加一分之一，然后呢， 除以这个 l a n 加一，它是满足这个失主自定理的一个使用要求的分母，仍然是一个递增，并且呢，它是趋于正无穷的一个竖列，然后呢，它的后项减前项啊，我们做一个差分，所以它的这个差分呢？这个极限 啊， n 趋于正无穷的时候，它其实也是一个这么一个单调的一个数值啊。因为我们要求阿尔法的最小值，其实就是求它的最大值，这是一个单调递增的一个函数啊，这是一个单调递增的函数，我要求它 n 趋无穷处的极限， 那么它就等于什么呢？它就等于后项减前项，分子的后项减前项，那就只剩下二 n 加一分之一了，分母呢，就还是 law n 加一啊，再减去，哎， law n 这个东西的极限，对吧？我们是让这个 n 呢趋于正无穷， 哎，一样的，对吧？这个 n 趋于正无穷呢，就相当于让，哎， x 呢趋于零，我给 n 呢取个倒数，把 n 呢，这个令成 x 分 之一啊，所以 x 呢，就是 n 分 之一，对吧？把 n 呢令成这个 x 分 之一，我们去求一下极限，这样就变成零处的极限了， 哎，那分母上呢，就是一加 n 分 之一，其实就是一加 x， 对 吧？这个极限可以用洛必亚法则啊，但是我不太习惯用洛必亚法则，我觉得这个计算量偏大一点，所以我还是习惯用等加无穷小分子。分母呢，我们同乘一个 x， 那 这个地方呢，就是二加 x 分 之 x， 然后底下呢，它这个等加无穷小呢，就是 x， 所以 这个上下的 x 呢，它正好约掉了，对吧？ 哎，所以就是二加 x 分 之一啊。当然大家用洛贝尔法则也是一样的效果。然后这个在零处的极限呢，就是二分之一啊， 所以二分之一已经是他的这个上界了，已经是他的上缺界了。所以说这个阿尔法的最小值呢？就是二分之一啊，这个题其实挺严格的了，这个题挺严格的了，就比二分之一再小，就这个事就不恒成立了。但是呢，你看这个题，就相对来说，现在这个阶段我们去看这个题就比较简单。

  311快乐数学清华马老师
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  2026天津高考真题 向量求最值精讲，同类题目直接照搬思路，看完你就掌握向量线性组合求范围的万能方法！#高考数学 #数学思维 #高中数学 #解题技巧 #知识分享

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  天津高考天空倒数第二题，这道题考的是一个向量的内容，出的不错方法有不少，大家一起来看一看这道题，他说已知 a 的 模和 a 乘 b 都等于一，其中 b 的 模是大于一的， 既 c 等于 lamb 的 a 加上缪 b。 第一问，当 a 加 b 减 c 等于零的时候，问 lamb 的 加缪是多少？这道题就是送的，大家来看，我们把它整理成 c 向量就等于 a 加 b 的 时候， 而本身 c 又等于 lamb 的 a 加缪 b， 所以 很明显， lamb 的 等于一，缪也等于一，所以第一问二非常容易。 接着再来看第二问，当 a 加 b 减 c 的 模等于一的时候，问它的曲值范围。这道题拿到了之后呢，咱们肯定是要把 c 改成 a 加 b， 这样这个向量里面的三个向量就变成了两个向量，整理一下，它就变成了 一减 lamb 的 倍的 a 向量，再加上一减 mu 倍的 b 向量，它的模长等于一。那这个式子给了之后呢？我相信大家在平时练习的时候，一定练过类似这样的题， 就比如说是二， a 向量减去 b 向量，它的模等于三，告诉我们 a 的 模 b 的 模去求 ab 的 乘积。那么遇到了这样的问题，肯定是对它平方，让它出现 a 模、 b 模以及乘积。 所以拿到这个式子之后，我们肯定往这类题型上想，那咱们就平方试一下，这个平方以后变成了一减那么大的平方， a 的 平方正好是一，我们就不写了。再加上一减 mu 的 平方乘以 b 向量的平方，再加上二倍的一减量的乘以一减 mu， 再乘以 a 点乘 b， a 点乘 b 也是一， 所以这个式子它就等于一，那得到了它之后呢？我们来想要找的是 lamb 的 加 mu 的 取值范围。而在整个这个式子里面，除了 lamb 的 和 mu 之外，还有一个 b 向量的平方，它告诉我 b 的 长度比一大，那说明 b 向量的平方也比一大， 怎么利用这个不等关系去解决 lamb 的 加 mu 的 范围呢？我们来看，那由 b 的 平方大于一，这个式子不就可以变成一个不等关系吗？一减 mu 方这个东西是大于等于零的， 所以分类讨论一下。第一种情况，如果一减 mu 恰好是零，这个式子里面就变成了一减 lamb 的 平方，再加上零，再加上零等于一， 所以 lamda 此时要么等于零，要么等于二，那对应的 lamda 加 miu， miu 是 一， lamda 是 零，那它的值就是一， miu 是 一， lamda 是 二，它对应的值就是三，所以这个范围里面有一个一，有一个三。第二种情况，那如果一减 miu 不 等于零，那一减 miu 的 平方就是比零大的数，所以整个这个式子就大于了一减 miu 的 平方， 再加上一减 mu 的 平方，再加上两倍的一减 lamb 的 再乘一减 mu， 这个东西是一，而后面这一串大家发现没有，恰好是一个完全平方式，所以 二减 lamb 的 减 mu 的 平方是小于一的，那自然二减 lamb 的 减 mu 就 大于负一小于一，所以 lamb 的 加 mu 就 大于一小于三， 所以最终它的范围就是一到三的 b 区间。那这道题我解的思路呢？就是把它转成我们最熟悉的一个模的问题，那么还有什么样的其他方法？欢迎大家在评论区展示。

  633高中数学-李钰提分课堂
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  2026年天津高考数学答案

  778匠心行·高考志愿研究中心
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  天津卷单选压轴题 双曲线离心率用定义法直接破局，隐藏条件用好，选填压轴再也不用硬算半天！#高中数学 #数学思维 #高考数学 #解题技巧 #知识分享

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  天津特别喜欢考双曲线的小题，今年的单选压轴呢，又是一道双曲线，这道题的难度呢没有那么大，大家一定要记住定义的使用。来看这道题目，他说有一个点 p 在 双曲线的右支上，然后 p f a 是 一个等腰三角形， 告诉这个角呢是三十度，然后问离心率是多少？拿到这道题的时候呢，千万记住了，这里头有一个 p 和焦点的连线，所以一定要去连第二个焦点，我们找到它的右焦点，假设叫 f 一， 然后咱们连线 连好了之后呢，我们来看一看整个图形里面哪些线段是知道的？咱们怎么样去列这个方程？已经知道 a f， 它就是 a 加 c， 又是一个等腰三角形，那 p f 也是 a 加 c。 我们画出 p f 一 之后呢，就是想利用定义去算一些边长，那 p f 一 减去 p f 等于二 a， 那 自然 p f 一 就是三 a 再加上 c， 然后这个三角形是一个三十度，三十度，一百二十度的等腰三角形，那底边 a p 的 长度我们也知道 a p 就 应该等于根号三倍的 a 加 c， 所以 大家发现没有，在 p a f 一 这个三角形里面， 三条边咱们都可以找到，并且有一个角是一百五十度，那就可以利用它去写一个余弦定律，那 a f 一 的长度等于 c 减 a， 所以 列出这个余弦定律， cos 一 百五负的二分之根号三，它就等于 a f 一 的平方， a 方减去二 a c 再加 c 方，加上 ap 的 平方，那就是加上三倍的 a 方，再加三 c 方，再加上六 a c， 再减去 p f 一 的平方， p f 一 的平方就是九 a 方，减去 c 方，再减去六 a c， 然后这个整体除以二，乘以 a f， 也就是 c 减 a， 再乘以 a p， 根号三倍的 a 加 c。 我 们来开始整理一下上面这个分子， a 方，三 a 方，还有一个减九 a 方，所以上面会有一个负五 a 方， 二 a c， 这里有一个六 a c， 有 一个负六 a c， 这两个消掉，减去二 a c c 方，加上三 c 方，再减去一个 c 方，那上面还有一个加上三 c 方，而分母上是二倍，根号三乘以 c 方减 a 方，咱们直接给它乘过来，就变成了负的三倍的 c 方，减去 a 方。接着咱们再整理，这里有一个正的三 a 方，这里有一个负的五 a 方，一向过来就是八 a 方，这里有一个减三 c 方，那边有一个加三 c 方，一向过来就是减去六 c 方， 再加上一个二 a c 等于零。接着咱们去解这个二次方程，就可以了解出它，就能找到 a c 关系，有了 a c 关系就找到了离心率，所以最终算出答案是四 d 三分之四。 对于这道题目来说，作为压轴题呢，难度不大，关键的点呢，大家就要连出 p f 一， 然后利用定义去找到长度关系列方程就可以解除。

  247高中数学-李钰提分课堂
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  2026年天津卷填空向量压轴 现在的多想少算的年代，遇到几何题光会建系不注重分析的话，注定是失败的#高中数学 #高中数学叶老师 #高中数学思想方法 #2026天津高考

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  千万不要跟我说遇事不决就见戏，现在是多想少算的年代，如果你只会见戏，不注重分析的话，一定在高考当中无法游刃有余。今年刚结束的天津卷的销量就很说明这个道理。像我这位学生，一开始见戏见完之后，由于不会分析，所以他很快就不知所措了。 因此叶老师接下去就来好好跟大家讲一下这种题该如何分析。我们都说遇事不决就间隙，但是你见完戏之后，如果不会分析的话，就会像我这个学生一样，一开始不知所措。接下去叶老师就来好好讲一下今年天津卷这道项链该如何利用，间隙结合塑形结合秒杀。 首先一开始我们先令这个 a 点为一，逗号零是吧？因为 a 的 摩擦为一，我就固定住 a 的 位置，它这样子为 o， a 乘以 o b， 它会等于 a 模 乘以 o， b 模再乘以 cosine c 塔等于一，所以无形当中我就可以得到 o， b 乘以这个 cosine c 塔正好等于一。这样子我就可以把图先画出来，就是相当于 a 的 这个位置， d 在 a 上的投影直接会投到 a 上，把它连起来，那此时我就可以把这个 b 点的坐标写出来。 ok， 写完了这个坐标以后，那接下去我们 c， 它就等于朗塔， a 加上 b 会加到没有 b， 那 此时就会等于朗塔加没有逗号，没有被的贪婪的西塔。这里的话，你要分析一下 c 的 轨迹，而不是盲目的计算。也就是说我们说 c， 我 就给它设为 x y， 那 这样子我们可以把 a 加 b 减 c 给它先表示出来，这样子看了就清楚许多，对吧？ 所以此时 c 的 轨迹就出来了，那这个话就相当于说它是一个圆，以 二逗号贪的西塔为圆心的圆，那就在这边多画一个一倍长拉出去，那这个时候正好会经过这个 b 点，你就大致的画一下，那画完之后，那我们说很明显那个时候朗塔加 miu 就是 c 的 横坐标，对不对？那个时候你只要讨论 c 的 横坐标什么时候最大就好了，什么时候最小， 那我们说如图，一直我们的这个 x c 是 不是他最小？是运动到 b 这个位置，最大的话是运动到这个地方，那这样的这道题就搞定了，对不对？所以说像这种题目不单纯要会间隙，还要会塑形结合才行。 ok， 希望各位家去越学越好。好，谢谢各位。

  157福州叶老师高中数学（其余均为冒充）
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  2026年天津高考题选择题第九题 虽然是选择题最后一道，但很明显又是一道简单题。思路很清晰，依旧利用椭圆定义+余弦定理即可求解#天津高考 #高考数学 #高中数学 @DOU+上热门 @抖音小助手 @DOU+小助手 #dou上热门

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  我们来看这道题，已知双曲线的左角点为 f， 右顶点为 a， 点 p 在 双曲线上满足线段 f p 等于 f a， 且角 f a p 为三十度。我们的目标是求双曲线的离心律异。 首先，因为线段 f a 等于 f p， 所以 三角形 f a p 是 一个等腰三角形 f a p 中内角和为一百八十度，所以顶角叫 p f a 等于一百二十度。 因为交点 f、 顶点 a 和右交点 f 一 在同一条直线上，所以角 p f f 一 也等于一百二十度。 接下来我们用 a 和 c 来表示三角形 p f f 一 的三条边长。首先 p f 的 长度等于 fa， 也就是 a 加 c。 因为点 p a 在 双曲线的左支上，根据双曲线的定义， p f 一 减去 p f 等于二 a， 所以 p f 一 的长度就等于 p f 加上二 a， 即三 a 加 c， 而两个交点之间的距离 f f 一 显然等于二 c。 现在我们在三角形 p f f 一 中应用余弦定律。余弦定律公式为，角 p f f 一 的余弦值等于两邻边的平方和减去对边的平方，再除以两邻边乘积的两倍。我们将三边长度代入公式中，因为角 p f f 一 是一百二十度，其余弦值为负二分之一。 这样我们就得到了关于 a 和 c 的 方程。我们来一步步化解这个方程。首先两边同乘以分母，消去分母，接着展开等式，两边的各向 左边展开为负二 a c 减去二 c 平方，右边展开并合并同类项，合并右边的同类项后，右边化简为负。八 a 平方减去四 a c 加上四 c 平方。将所有项移到等式的一侧，整理得到六 c 平方减去二 a， c 减去八， a 平方等于零， 两边同时除以二，化简为最减形式。三， c 平方减去 a， c 减去四， a 平方等于零。现在我们来求解这个方程，两边同除以 a 的 平方，因为离心率 e 等于 c， 比 a 代入后得到关于 e 的 一元二次方程。三， e 平方减 e 减四等于零。因式分解得到三以减四乘以一加一等于零，解的一等于三分之四， 或者一等于负一。因为双曲线的离心率大于一，所以负一舍去，最终答案为三分之四。总结一下这道题的解析关键，首先利用等腰三角形性质确定夹角，然后利用双曲线定义表示出三角形的三边长，最后通过余弦定律建立方程求结。

  18喜欢说唱的数学老师
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  天津高考数学采访 #静海 #静海升学 #天津高考 #静海高三

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  我是沿海的。这数学的最后一道大题是什么类型还是倒数？你平常会刷这些类型刷的多吗？会，但是比较我平时还比较偏基础，但是今年第一道大题改革了。改的是什么？ 改成以前是那个。怎么说？那叫嘛函数图像的。嗯，现在呢？求最小照以现在是这求最小周期的。以前的三角函数。嗯，那你的选科是什么呀？选的无胜地。有没有高考结束结束之后想做的事情？先睡一觉，哈哈哈。

  575静海升学Man学姐
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  23:54

  2026天津高考数学19题数列解析 高中数学，天津高考数学，数列

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  今天我再给同学们解析一个二零二六年的天津高考第十九题，这是一个数列的问题，网上反应啊，考生反应这个题啊，是极难。 呃，我感觉啊，你是不是套路题做的太多了，就感觉这个题可能比出的比较新颖，你就感觉难了。其实这个题啊，我认为没有那么难啊， 那么我用最通俗的语言吧，把这个题给你解析一下啊，你听了我的讲解，我相信你就会豁然开朗啊，其实并不是特别难的一个题啊， 这个题的意思呢，我们就不在这里给同学们读了啊。呃，你可以看一下黑板啊。第一问呢，我想你是肯定都没问题，对吧？这个 a n 呢，是等于二 n， 这个 b n 呢？求完以后呢，是等于这个三的 n 减一次方。 我们重点看一下第二位啊，第二位呢，他给出了这样一个集合，他定义了这样一个集合， 那么这个集合是什么意思呢？你首先把这个集合的意思得搞清楚吧，那么他的元素是 x 对 吧，这不用多说了吧， x 小 得 n。 然后呢，存在这样的 k 属于正整数，这个 x 要么就等于 ak， 要么就等于 bk。 那 么这个集合什么意思呢？就是说，我们通俗点说，就是说这个集合里的元素是由 这两类数构成的，就是小于等于 n 的 两类数构成。我们为了说话方便吧，我把第一类数称为偶数，第二类数呢，就是三的整数次密这样的数啊。 呃，那么也就是说，这个既合理呢，它的元素呢，是由第一类数偶数和第二类数呢三的整数次密构成的这样的数，而且这个数呢，都要小一点 n， 你比如说五，比如说 n 取五，那你看 e 五是什么意思？那么比五小的偶数有啥？有二和四，对吧？ 这是第一类数。还有这类数就是比五小的数呢？有三的零次密，就是一，对不对，三的一次密， 对呀，那三点二十倍呢？他是九了，他比这个，呃，比这个五大了，对不对？那就不算了。所以说如果 a 要取五的话，那么这个集合里的元素是啥呢？就是二、四、一 是吧？呃，三，这不就这四个数吗？然后他下面他又说了，说 g 呢？ c， n 为 e n 中元素的个数，那如果 n 要得五的话，那你这个 c 五就得四呗，对不对？就是这样的意思。 那么当你把这个题的意思搞清楚以后啊，那么第一个呢，就非常的简单了，你看，他说求 c 下右下边是三的 n 字方，那三的 n 字方是什么意思？说他表达啥意思？他表达的就是这个 e 三的 n 次密的意思，这对吧？是不是这个意思？ 那么也就是说啥呢？也就是说这个比三的 n 次密啊，这样的数， 第一位数和第二位数，那么这些个数一共有多少个？ 那就是他了，就是这意思了，时间我们都可以直接写了，你看小于等于三的 n 次密，那么这样的数第一位数，咱们说第一位数，第一位数，你看有多少个啊？ 那么三的 n 次幂显然是个基数，这对吧？那么比三的 n 次幂小的那偶数有多少个呀？那就这意思呗。那么第一个数是二，对吧？第一个数是二， 那么第二个数是四，第三个数是六，那么比三的 n 次幂小的所有的偶数，那三的 n 次幂是个奇数，对不对？那比它小的，那就是三的 n 次幂的减去一呗，这就是比三的 n 次幂小的 啊，最大的那个偶数呗，是不是这意思？那然后你看这多少数？这多少数？这不很小吗？这是个等差，竖列公差是二，手相是二，末相是他，那么数一数他有多少相，那不就用末相对不对， 减去手相，哎，然后呢？再除以谁啊？再除以公差，然后你再加个一，对不对？那就这些个呗，这个竖列有这些相呗。 那么这是啥呢？这是这个第一类数，是有这些个，对吧？那么第二类数呢？有多少个？第二类数是很显然的比三的 n 次密小的 三的整整数次密有多少？有多少个？那三的零次方，这是以这个从三的零次方开始算吗？对吧？那么三的一次方，这都比三的 n 次方小，最后一个是三的 n 次方，对吧？那这有多少个？这显然不是有 n 个吗？对不对啊？ 所以说，那你看比三的 n 次二小于等于还是等于，是吧？还有一个，三的这个 n 次方也算，对不对？三的 n 次方也算， 因为他说是小于和等于吗？包括三的 n 次方，对吧？那这又这是几个？这是不 n 加一个呀？所以这个题不就是 n 加一，然后再加上啥呀？再加上这个，这个数，对吧？就完了呗，再加上 这个二分之三的 n 次密，然后减一减二，哎，再加个一，然后呢？你把它一整理，第一个是不是就出来了？ 所以第一问呢，没什么可说的，对吧？那现在我们再看第二问吧。第二问呢是什么意思？第二问呢？他说让你求这个和，这个和呢，是从几到几呢？从一一直到三的恩赐密减一，对吧？因为我们注意到三的恩赐密呢， 这个是一个奇数，对吧？那么奇数减一它是不是偶数啊？哎，这里回头再说一下这个啊，这个说这两个数不可能有重合的，这对吧？因为这肯定是个奇数了，这是个偶数，所以说呢，你不用担心呢，这两个数有重合的，所以说它的个数呢，就是 第一类的个数加上第二类的个数，那就是整个的个数啊，说没有重复的啊，那么这里呢，我们看这是个三分之一减一，是个偶数，这个一呢，是一到偶数吗？那说明他有偶数项，对吧？有偶数项， 有偶数项呢？呃，我们怎么求这个和呢？我们可以把所有的奇数项给他放到一起，所有的偶数项放到一起，然后分别求和，这是一个想法， 或者是呢，我就怎么求呢？我就把它的第一项和第二项合成一组，第三项和第四项合成一组， 第五项和第六项合成一组，明白我的意思吧？就是以此类推，因为他有偶数项吗？对不对？我就是每两个每两个进行配对，我这样求实际也可以啊，那么我要这样求的话呢，那你看，你想一想，我们应该是他等于什么呢？ 你看他等于啥呀？我要是如果这么配对的话，这么配对的话，是不是就等于可以这么说哈， m 取一的时候和 m 取二的时候给他合到一块， m 取三取四的时候合到一起，懂我的意思是吧？那你看我们 整个这个式子，我们是不是可以写成这种形式呢？负的多少呢？呃，当然，这 am 是 等于 am 是 等于这个 二 m， 对 吧？我们把这个这个式子先给整理一下。给它整理一下啊，先整理一下，就是 m 等于一到三的 n 次密再减一吧， 然后是这个就相当于负一的 m 次密，再乘上 m 再乘上 cm， 对 吧？我把这二呢给它放到前面， 可以吧？然后我们就我们就算这个就得了呗，算这个以后最后结果再乘二就得了，是吧？ 那么按照刚才的思路，你看，我们把它写到这里吧，写到这里呢，就是说我把第一项和第二项合到一起，那就是第三项和第四项合到一起，你看看它是不是这么个意思，那就是二 k 减一， c 二 k 减 e， 然后是加上二 k， c 二 k， 我们然后呢？ k 从一开始取哈呢？嗯，取到它的一半，是吧？这样我们为了方便吧，是吧？令 令 m 等于二分之三的 n 次幂减一， 对吧？三分之一减是偶数除以二吗？那就说他有一半是奇数和一半偶数吧。那么我们这块是加到哪？是我们是不是加到加到 m 的 意思，这对吧？ 你看是不是这意思？它表达的意思是不是就把 k 取一表示第一项和第二项， k 取二表示第三项和第四项，以此类推吧，这有问题吗？这没有问题，这，对吧？我们算这个核，我们算这个核，那你看啊，又因为 又因为呢？这个 c 二 k 和 c 二 k 减一，他俩是什么关系呢？他俩应该是有这么个关系， 这是显然的事情吗？啊？你能不能看出显然了？你看 c 二 k 是 什么意思？ c 二 k 指的是是不超过二 k 的是吧？所有的那个这个集合当中元素的个数，这个呢，是不超过二 k 减一的。 那你想一想啊，这个二 k 只比二 k 减一多一，对不对？他们之间不可能再有三的整数私密这样的数了吧？ 而且呢，比小于等于二 k 的 偶数个和小于等于二 k 减一的偶数个，这个偶数个肯定是相同的，对不对啊？ 啊？就只有偶数个不相同，就是他比他正好多一个吗？那么比二 k 小 的和比二 k 减一小的小于等于二 k 和小于等于二 k 减一的第二个数是一样的，因为他俩之间没有三的整数次密了， 那么只有第一位数他比他多一个吗？所以说这不显然是有这个式子成立吗？然后呢，你利用这个式子把这个 c 二可以给他换掉， c 二可以给他换成右边这个式子，然后啊，你再给他一整理，你一整理，你发现是得什么呢？ 等于是 k 等于一，一直到 m 啊，就是把它换一下，换一下之后啊，你发现它正好是得 c 二 k， 然后是加二 k， 它就是它就是，你就求这个盒就行了，这，对吧，是这意思吧？那求这个盒，我们把它分开求呗，分开求， 哎，到这，然后再求这分开求，是吧？这都没问题吧？ 那这个不是好求吗？对不对？这个是不是好球啊？这不是等差数列吗？啊？首项是二对不对？呃，最后那项是二 m 公差是二。那这个我就不说了，这个你一一求就可以了。那现在我们主要看这个， 这个我们又如何去求呢？我看你看这个怎么去求，对不对？我们首先看啥呢？看这个 c 二 k 减一是什么意思，对吧？ c 二 k 减一就是指的是不超过二 k 减一的， 有不超过二 k 减一的第一类数和第二类数，这两个数加起来有多少个？是，是不是这意思，对吧？ 那你想一想，我们先，我们先算第一类数不超过二 k 减一的偶数有多少个 啊？不超过二 k 减一的偶数，那不显然是有 k 减一个吗？这能明白吗？ k 减一个，它为什么是 k 减一个呢？ 二 k 减一，一二三一，直到二 k 减一，这是不是有基数个呀？然后你去掉一把二 k 减一，去掉，那是不是有偶数个呀？那么有偶数个，那个一半基数，一半偶数吗？对不对啊？所以说你二 k 减一，再减一，除以二，那不就 k 减一吗？所以说 这个啊，第有第一位数是它，对吧？第一位数是它，那么第二位数是啥？ 第二例数指的就是不超过二 k 减一的三的整数次密，这样的数有多少个，对吧？现在这样的数呢？我们暂时现在定不了，因为这个三的，呃，这个整数次密他有可能是基数，对吧？ 然后这会你定不了的，你可以用一个符号去表达。就是说呀，这个我用这符号去表达啊，我用这符号去表达，他表示啥呢？表示这个不超过二 k 减一的三 d 整数次密的个数有多少，对吧？那么你看我们 他是不是就可以写成他了，然后我们再给他一加，对吧？再给他一加，然后再加上后面这个，对吧？ 这个我就不不说了，那就是先算他这个已经加完了，那这个你看咋啊？这个是不是又等于这个 k 等于一到 m， 然后是 k 减一，对吧？然后再加上 k 等于一，然后是一直到 m， 然后是这个是 p， 二 k 减一，我用这个，我用这个符号表示的是不超过二 k 减一的三的整数次密的个数是有多少个？我用这个符号表达啊。那你看一看，这个是不是也好算呢？ 这不是等差数列吗？首项是零，末项是 m 减一，对不对？哎，那你就把和一算呗。呃，刚才这个可能我说错了，这个也是个等差数列，公差应该是几啊？公差对，公差应该是二，对吧？ 呃，那么把这个算完之后，现在集中力量就算它就行了呗，把这个算上不就完事了吗？对不对？那这个是表达啥意思呢？你能明白吗？ 你能用通俗的语言把这个意思给我说出来吗？他表达什么意思？他表达的意思就是说， 呃，由一二三一直到这个哪呢？一直到这个三的 n 次幂减一啊，到三的 n 次幂减一，就是这些个数，在这些个数当中 所有的基数都拿出来，所有的基数都能都给他拿出来。然后呢，我们找一找，对于每一个基数来说不小于每一个基数的第二类数的个数有多少个，有多少个，然后把它统统的加起来， 那就是那就是他。那你说你怎么能找到这件事呢？那么你可以给他分一下组，你可以把这些数给他分一下组，你看我们怎么给他分一下组啊？我们由第一个数看一， 我们是这样分，就是以以三的整数次幺为打头，这么分哈，这个一的时间就是三的零次方，我们从这分，然后到二吧， 然后下一组是三的一次方，对吧？三的一次方分一下组，然后这个是三的平方，打头分一下组，那么三的一次方，这是这是几啊？那这块应该是，呃，八吧，最后这数是八，对吧？哎，我们这样给他分一下， 那三的平方是九呗，九到三的立方是二十七吧，二十七这块应该是二十六，哎，给他分一下组， 然后以此类推啊，以此类推。那我看一般的三的 t 次方啊，三的 t 次方吧，那么这块应该是啥呀？这块应该是三的 t 加一次方的减一吧，应该是，对吧？ 三的七加一次方的减去一，对，不对？因为它下一行不是三的七加一次方了吗？对不对？哎， 就是以此类推啊，对吧？那最后这是啥呢？最后呢？就是，呃，这个多少啊？最后应该是三的 n 次方吧？三的 n 次方，对吧？三的 n 次方，这块应该是三的 n 次方， 应该是三的 n 减一次方啊，三的 n 减一次方，一直到三的 n 次方减一，对，不对？是不是最后一组了？你看这一共是分成 n 组呗。 那么现在我们说了刚才这个意思，他的意思就是，呃，这个，这个所有的基数啊，小于等于三的 n 次密当中的 小于等于三的 n c 密减一当中的所有的基数，所有的基数，那么每一个基数每不小于每一个基数的第二位数的个数是多少个？这个核就表达是这么个意思， 那你现在你这这这就都在这里呢，你自己查呗，是吧？那就数数就是事呗。那你看这个，呃，在这段当中是这个不小于这个，呃，基数这里有个基数一吧，对不对？那不小于一的那只有一个呗， 对不对？只有，只有，只有一个对吧？啊？只有三的零次密吗？这个你看这个，这个有多少个基数呢？三是一个基数吧？五七，对吧？那么 不小于三的第二位数的个数有几个呀？那不就两个吗？一个是三的零次密，一个是三的一次密，这对吧？那五和七呢？ 小于等于五，或者是小于等于七。呃，第二个数的个数和小于等于三的那个， 那个第二个数的个数不是一样吗？相同吗？对不对？不都是三的零次方和和这个三的一次方吗？对不对啊？因为你三的平方在下一行呢，对不对？所以这个呢？一共有几个基数呢？一共是有三个基数，哎，有三个基数，每一个基数 小于等于每一个基数的那个，第二个数的个数都是二，那就是二乘三呢？你看，我们就看个一般情况，好不好？看个一般情况，那你想一想啊，这有多少个基数啊？这有多少个基数？你看看 这，这有多少个基数？我们这样算就可以了。第一个数是基数，这对吧？我们给他算到这里吧。第一个数是基数，对吧？呃，最后这个数是个偶数，这对吧？那么 倒数第二个最大的最大的那个基数是啥？最大那个基数是不是就是三的 t 加一再减成二啊，对吧？在这个基础上，这是偶数吗？再减一不就是最大的那个基数了吗？第一个是基数，然后 对吧？末项减首项除以公差，基数的公差是二，然后再加一，这就是在这个落在这个区间内基数的个数，这多少？你算一算这多少？ 这应该是三的七四八吧，虽然是三的七四八，你看这个是三，这个是三的七四八， 对吧？三的七四八，那么落在这个区间内的每一个基数小于等于每一个基数 第第二个数的个数啊，都是相同的都，你看都有哪些？都是三的零次方，对吧？三的零次方可以吧？三的一次方，三的二次方，一直到三的七次方，这多少？这是不是有七加一个， 对吧？对吧？那这个盒，这个盒是啥呀？这个盒就是把这些个数都给加起来呗，这就完事了呗，对不对？把这个数都给加起来，那不就是这个盒了吗？ 懂我的意思吧，是吧？那么这些个数加起来是什么意思？你看看，我们就看，就说它吧，它不就是等于这个数吗？ 就相当于 k 等于一吧。 t t 吧。啊？ t 等于一到哪呢？你看一二，这是加呗，一直加到啥？ 这个应该是从 t 等于从 t 等于零吧，应该是零一，对吧？这反加对这块应该是表达的是应该啥呢？应该是 t 应该是等于零， 对不对？ t 等于零，不就这个吗？ t 等于零，一直到啥啊？一直到 n， 对 吧？一直到一直到 n 减一啊， 对吧？一直到 n 减一，然后呢？那就是 t 加一，再乘上三的 t 四吧。你就求它的得，就把这个和求出来得， 那这个盒你还不会求吗？错位相减，错位相减，对吧？用错位相减的，我可以把这盒求出来，那么这个盒有了，就是它这个盒也有了，这个盒也有了，这个盒也有了，对不对？ 那不，那不都有了。所以说最后的结果啊，我们经过计算啊，这里我就不详细算了，是吧？呃，这就是他的最后的结果。

  221伯麟数学
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  01:31

  26年天津高考数学考完了，看到大家都说难我就放心了！ #天津高考#天津高考数学 #高考数学 #26年天津高考

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  你觉得今年的这个数学难不？还行？难度还行，然后题可能稍微新一点，就是相对于你平常做的一个各科的难度来说，就是平常做的一个模拟题的难度。呃，跟模拟题的难度其实差不多，然后他可能就题型上可能和咱平常练的不太一样，然后他今年的那个， 呃，十六题换成了就是咱常规做的选择题的那种三角函数类似的图像题，然后把那个原来三角函数算，角度算 就是边长的这种题挪到了一个填空题，就是相当有一个这种变化，然后椭圆倒数数列的话可能还是一如既往的那种感觉， 就是常规题比较多，创新题占比比较少，是吧？呃，也不能叫完全的常规或者创新吧，反正就是他可能把基础题进行了一些改变啊。那他最后一道答题呢？你觉得难吗？相对于平常练的前两问还可以，就相当于正常难度，然后第三问的话一般 可能就是不太能做到，然后所以觉得难度上和二五年应该是差不多持平的一个状态啊。那你给现在的高一高二的一些学妹就相当于对于这次数学考试给他们一些复习建议，就是尽可能的去啊把所学习的东西进行一个巩固，就是他可能 根据书本教材的一些基础的东西，他可能会深挖掘或者说进行一个创新，可能就是不能再局限于说传统的机型，可能就是思维上的变通要多一些。啊，明白，好好，谢谢。您是哪个学校的呀？二十中学。二十中很好啊。好，谢谢谢谢谢谢。

  778魏老师讲天津升学
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  13:47

  2026高考数学压轴-导数 Lancy团队数学王老师的高考压轴题解析。
  王老师的高考压轴题模版与历年高考压轴题都可以无缝套用。

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  看一下今年天津高考的这道导数题目，哎，这道导数题目的话，和我们前段时间的就是在预测，包括我们在四月份的集中的课程当中的这份答题模板的题型 相似度达到了百分之百， 就说导数这部分的话，相似度啊，达到了百分之百。 好吧，那我们来看这道题目啊。这道题目先看第一问，他说已知有一个函数 f x 用 e x 减去三分之二倍的三 x， 他 那一问，让你求在这个点处的切线方程 这个东西的话呢，哎，和我们的答题模板的话呢，是完全一致，在这里切线问题过某一点处的切线方程，对吧？好，那么对于这道题目来说的话，先算 f 零， 再算 f 导零 带入 x 等于零， 所以我的极限方程应该是 y 减一等于三分之一倍的， 最终整理完了之后得它。哎，第一问的话，对大部分同学来说的话，也没有什么太大问题啊。我们来看第二问，他说当 x 属于负三分之一，到正无穷的时候， f x 大 于等于一加三分之 x。 好，这个式子啊，我建议大伙啊， x 属于的这个范围呢，你呢？分两部分，分为 一部分，另外一部分是 这部分。先说第一部分， 哎，这一部分的话呢，哎，和我们的模板呢，又完全一致了。在这里，当 s 大 于零的时候， 当然我们这里写的是零到二分之 pi， 当 s 大 于零的时候，这部分都满足啊。啊，因为什么？因为 e x 减去三分之 二。 sin x 这个式子我可以拆成两部分，第一部分就是这 sin x 这个式子呢，就可以推出。 这是第一部分 啊，第二部分呢，就是它的 e x， 这 e x 也是我们的模板， 一个字不差， 什么意思啊？各位啊，你要正这个式子，得把下边这个模型摸一遍。你要正这个式子，得把下边这个模型摸一遍。但都是背的啊，所以它呢，还大于等于谁？ 哎，那这个最后得到的结果不就是，不就是人家问你的吗？那个结果对吧？ 不就这结果是吧？这就是大于零的部分，所以当大于零的部分的话，我只要正一个它，再正一个它 啊，正完了。第二部分，当 x 属于谁啊？负三分之一到零上的时候，哎，这个东西来说的话呢，我要正这个式子了， 正差大于它，那也就换句话说，我要整这个， 对吧？那我现在呢，构造一个函数， 没错吧？各位好，而且呢，这个函数呢，定域范围 还等于零，对吧？我把它求个导， 它呢，还等于零，算不出来啊，再求个导吧。 好，到这为止。各位，这个式子单调递增，因为它单增，它单增，对吧？没错吧？当然定义范围是这块啊，单调递增在它们俩单调递增的过程当中的话，整个这式就大于， 而它就得它， 没错吧？好，现在啊，我们这么去做。各位啊， 是这个样子的，我现在知道什么？我呢，现在知道这么一个东西，他，我先和他比较哪个大哪个小， 也就换句话说的话，我要比的是谁， 哪个大哪个小，也就换句话说的话，我要比的是谁？ 这俩哪个大哪个小。各位，你会发现它比它大吧， 没错吧，那么也就意味着什么？它比它大，也就意味着它比它大，那么这个呢？大于零， 如果它大于零，证明什么？证明整个函数在这个啊，看成一个新的函数啊，它在 x 属于负三分之一到零上是横大于零的，那么这个式子单调递增， 那它呢？得零的时候得零，所以在负三分之一到零上是小于零的，它小于零个位，这个式子单减， 在零的时候得零，所以整个这式大于零， ok， 完美，对吧？完美 问题吧，这是第二问来看第三问，哎，第三问，其实对于我们来说的话，又是模型化的东西，模型化的东西。但第三问呢，对于我们放射这个东西来说的话呢，它是一种思路模型，思路模型，因为我们的模板当中的话，给出的大伙也是思路模型， 因为这个东西的话呢，它呢没有具体的数值模型，它不像前面都有式子或者数值，对吧？我们来看一下第三吧。第三问，什么？问这个 可能得到最大值，这个是怎么去判断？直接去应用这个式子的话，没有办法去应用。我左右的话，挂对数。 好，左面是一个求和，右面也是一个求和，那么我就要把左面这个函数，它的什么，它的 通向公式找到，把右面的函数通向公式找到，无可否认无可扣，非左面函数通向公式就它， 对吧？右面函数呢，我可以把它看成是一个求和的结果， s n， 那 么它的前一项 s n 减一的话，就应该等于的是二者相减，得到同向公式。 好，那我要证它。 好，根据第二问的结果，它呢本身大于谁， 那我要证它，对吧？ 没错吧？好，如果要正他的话，各位，其实我要正的是谁？我要正的是这个， 哎，通过找寻到这个函数所对应的最小值，那么可以找到谁啊？ a 的 最大可能值，对吧？那我把这个函数看成什么？ 这样我把三 n 分 之一看成是 x， 那 我这个东西的话看成 t 吧。 各位，这个函数 t 的 取式范围 是吧？好，那么这个时候你会发现了这一项单调递增，这一项也单调递增，但是它增长幅度比它快，对吧？增长幅度比它快，那么对于这个式来说的话，你就会发现了单增比，单增下边增长幅度比上边快，所以整个式单调递减， 没错吧？单调递减好，在单调递减函数当中的话，它的最大可能值。最大可能值代表什么意思？代表的意思是我只要至少有存在就可以， 只要至少有存在就可以，因为这不是恒正律，这是至少有存在就行。如果这个至少有存在的话，我只要找到这个函数的什么值， 最大值 a 比它最大的小就可以。而这个函数最大值在哪取得？由于它单调递减最大值在左端点取得， 左端点代入到整个函数的上下当中的话，得到的是零比零型，而这种零比零型的话，我要用到的方式就是洛必达法则，而我们的洛必达法则又是我们的模型。洛必达法则模型怎么做？思路模型， 思路模型声明，道友，全部都完全一样，刚才我说的那个函数放缩的那种 做题思想模型，在这里导出放缩模型，咱们去找通向公式 模型模型，这个用到的应该是第三个模型，就是第三个模型。应该是啊，好，完全一致。好，这个时候的话呢，我找到洛必达法则之后的话呢，我把分子分母看成两个不同的函数，分别同时求导分母求导得它， 分母求导得它。哎，再代入 t 等于零，最终得到结果， 所以 a 的 最大值就等于三分之一。哎，这是这一问好，你发现了对于我们导数题目来说的话，跟我们的 思维模型，包括我们的模板几乎达到了百分之百的匹配度啊，几乎达到百分之百的匹配度啊。

  8Lancy
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  00:40

  天津高考数学卷出炉，没想到也这么难，都在说天津卷简单，这回考完了，我看这难度快赶上全国卷了，天津的孩子太难了！#天津高考 #高考数学 #高考语文 #天津高考数学 #志愿填报

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  都在说天津高考卷比较简单，到底是谁在这么认为？今天是天津高考第一天，上午的语文作文真的是让人扑朔迷离，提笔都犯难，怎么写都感觉不对，完全摸不着思路。对比往年的本手，妙手速手，今年这道题的难度也真的是离谱。 本来以为语文已经是难点了，下午的数学真的是让人头大，整体难度远超前几年，尤其是最后一道大题，不少孩子看完之后都无从下手，也应证了孩子一句话， 但凡考数学时遇上阴天下雨，今年的考题准不简单，天津考生们真的太不容易了，大家来说说考完之后的感受吧！

  720冯老师·天津高考志愿填报 津创博学专升本
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  04:01

  2026届天津高考108分 #高考数学 #天津高考 #青年创作者成长计划

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  临时体验了一下天津的苦，我发誓以后再也不体验了。嗯，那就啊，这应该是今年最难的一份高考卷了 啊。是的，非常非常难。这个我看先看下单选择题。单选择题没有什么问题。对，单选择题没有什么问题。嗯，好像第八题出的单选择题里面这个第八题很有难度。 我最后是搞定了吧好像是搞定了吧。是蒙的吧。 啊，是蒙的吧。不记得了呀，好难。这题好难，不知道咋做的，然后第十题给搞错了。我的平方怎么就负了。因为看到 i 一 对吧，这个就容易想到要给他变号，因为 i 方等于负一嘛。嗯，这里瞬间脑抽了一下给他写错了， 然后第五题的话最后只能判断一和二三四五就不太，又没有时间又感觉不太会，所以就直接蒙了。蒙错了。 答题里面第一个答题没有什么问题，第一个答题是对的，然后具体几何给全部搞错了，算错光光了呀，直接扣了十分呢。这个题多少分的呀。 不知道啊，哎，地方事件就是这样子的。我完全没概念呢。这些分数啊，时间分配啊，难度啊，没有什么概念。 是的，反正这里也是失误十分，没有什么难度哈，他直接健身就可以了。然后这是第十八题。第十八题最后是有一种情况没算清楚，这题也是一个比较难的题目。嗯，不是说难对吧，是预算好像有点复杂。这里反正我就。 我不知道为什么两种情况下，第一种情况下的答案是三，第二种情况下的答案呢？他居然是不存在，我还给他锁掉了。 那其实应该是都是三才对，所以这个这里应该也是算一个失误吧，毕竟会肯定是会的，这种情况，哎，但是他也是很复杂的， 他这边这个数列题的话，费尽九牛二虎之力，我把第二问搞清楚了，我以为第三问就可以轻松搞定，结果第三问跟第二问难度相差有点大啊， 就说是双压轴啊，就说他十九的第三问就跟我们后面这个十三这个第三问的难度是差不多的，然后耗费了一些时间，结果呢？啥分都没拿到手，白瞎了，导致我的第二次题 就是做了第一问，第二问都没时间了。是的，第二问就没时间了啊，时间就浪费在这里了。之后呢，这边扣十三分，这边扣七分 啊，这边十分，小题十分，做的非常的差啊，对吧？所以总的来说这个试卷首先这边有个叫有个难题 和这边有一个难题，这个第十五题我不知道算不算难，反正我是没搞搞清楚的。另外就是这个第八题也是难题，有难题他是挺多的。 嗯，不知道为什么这个试卷出这么难，比北京上海都难多了。那么基本上呢？这个，呃，这段时间我即使说再考一次，我觉得 可能说小七如果时间分配合理的话，小七最终是得写对后面这两个压轴，那还是拿不了分呢对不对？这两题起码也得扣个十四分呢。再见吧，天津卷不在也不来了。 i need to hold it if i dance rock if i dance rock if i dance rock if i dance rock if i dance。

  1101实验员来了
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  00:50

  2026天津高考考前押题（填空最后一题） 2025押题，压到了，看看2026能不能押到！！！

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  跟着孟老师上课的同学们都知道，二零二五年天津高考填空题最后一个题啊，我们考前的时候不小心压到了题，虽然很多同学呢，都不做这个题，但是的话，由于我们压到了题，所以很多同学们啊，花三十秒钟就把这个题秒杀掉了， 所以今年的我的学生们啊，都让我再测测一下，按着二五年这个节奏，如果这个题还考横成立的话，可能会考到什么样题型，当然还是能秒杀掉的，因为最后几天了吗？对不对？我们也其实也不指望着再考横成例的话，可能会考到什么样题型呢，再教会大家 对不对？所以的话，如果是碰到这种能秒杀的题型的话，如果能秒杀掉他对不对？那当然就太好了，当然的话，压不到的话算求压到了哈，对不对？这五分不就白拿了吗？对吧，那就是很爽的了。 所以今天的话，我们就给大家啊，先分享第一个题型，就是瓶口氮峰函数啊，这个题型的话，其实难度会非常非常的大，也是，但是他也是能够秒杀掉的。

  11老孟轴心数学
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  16:46

  2026天津高考数学导数大题一、二问 #导数压轴 #math数学 #超脱数学

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  欢迎回到超多数学，今天我们针对二零二六年天津高考真题的第二十期的前两问，呃，给大家做一个思路上的说明。 呃，我在说之前，我首先声明，我做这个说明呢，主要目的有二，第一点呢，是 有高考结束了，有一些同学，呃，以前在自媒体上联系我的，也给我留言说，老师能不能呃代做一下这个第一问和第二问，看看和大家想的思路 是不是一样哦。所以说，为了满足这个粉丝的要求，我准备录这期视频。第二个呢，我也正好是想借助录这个视频的机会，先给大家说明，我们真正高考的时候，他导数的第一位和第二位 是不会出现我们模拟和平时练习时候那么复杂的结构的。有的时候我们看的这个结构呢，觉得 比较复杂，可能稍微有些新意，可是只要你仔细的审题，分析，思考他，其实他的思路都是比较直接和简单的。好，我们现在就开始首先看了这么一个函数， f x 等于一的 x x 减去三分之二倍的 sine x， 我 们看到这样的指数函数，三角函数啊，通过一个减法连接 这个 f x 肯定是求等函数，对吧？我们再看一下它的定域是什么呢？定域肯定是实数减二，所以根据我们 我们课堂上学习的东西是什么，一个初等函数在其定义上肯定都是 连续可导的，对吧？这个呢，虽然对我们解题没有直接的帮助，但是我们分析一个题呢，对一个函数呢，应该要有一个大概的了解好，他求的是这个函数对应的曲线的切线方程， 那既然它都是连续刻导的，在这处肯定也刻导，对吧？那我们就算一下， 好，我们换一支笔，我们算一下，我把 f x 写在这，等于 e 的 x 是 米减去三分之二的 三 x。 我 对这个 f x 求导函数， e 的 x 好， 减去三分之二倍的口上 x， 是 吧？然后我们再求一下这个导函数在零处的这个值，你看它 e 的 零次方，减去三分之二的 口上零应该等于一，减去三分之二应该等于三分之一。那我们算算 f 零等于多少，那就是 我们带入，把零带入这个解析式啊，那就 f 零等于一的零，次幂减去三分之二倍的三 a 零应该等于一，减去 啊，三分之二乘以零等于一，那于是我们写的方程可以这么写，那就是 y 减一，等于三分之一倍的 x 减零。我们化解一下，就是 y 等于三分之一 x 加一啊，我们觉得好奇怪啊，这个怎么和第二文一样啊？ 那确实这个题有有它的特殊的这个连接的性质，这里面我们就不滚动地说了啊，我们继续。呃，看题 就接下来要证的就是这个，这个 f x 这个函数啊， 要在负三分之一到正无穷啊，这个区间上，要证明这个 f x 函数大于等于一加上三分之一 x。 由这个第一问我们知道啊，这个函数在零处的切线方程就是这个， 那因为这个函数我们图像不能马上就画出来，对吧？嗯，我们是不是应该用利用导式这个工具来对这个函数图像做个预计呢？ 是不是？那怎么这个预计好呢？大家想想，我是直接把这一加三分之一 x 让 f x 减过去，对这个直接的这个做一个这个 g x 函数， 等于这个 f x 减去一，减去三分之一 x， 对 这个 g x 估计好呢？还是我单独估计这个 f x 好， 嗯，各有利弊吧，对吧？但是我们想我们做这样的一个变化，应该是总归是没有错的，也有可能你要是分别估计的话， 这个虽然是顾及成了，但是你要想证明的话，也不是很简单，对吧？因为我们整个的把它减过去之后，把它变成一个函数，让它跟零比较可能相对比较容易，对吧？所以说我们在这里啊，我们就想，我们令 g x 等于 f x 减去一，减去三分之一 x， 就 等于一的 x。 次幂减去三分之二倍的 sin x 减去一，减去三分之一 x。 哎，我们构造出这么一个函数来， 构造出这么函数来，我们接下来对它分析，我们觉得可能会容易一些， 各位同学，但是我们分析的时候也可以充分挖掘前面小问的给我们的提示，他说这个函数啊， 在零 x 等于零处，他有切线，切线是这样，那对应到这个函数我们也看一看。 那么这个函数这 g x 在 零处时，它的什么值呢？我们代一代啊，一的零四米减去零， 减一，然后呢？再减零，最后它得零，我们发现 g x 里面这个 g 零就等于零，说明我们这个要求这个 g 函数有一个它过一个零零点， 过一个零零点，对吧？我们要想证明这个结论，就是证明这个 g x， 呃， 永远在负一到负三分之一到正无穷的时候大于等于零。其实我们就大概猜出来，这个 g x 大 概他得走了， 大概是这么一个样，对吧？他，他过零零点，这边只能是单调减，由负三分之一处减下来，到这边单调增上去， 这个才能出现，怎么样？这个函数值大于等于零，对吧？所以后面的题目我们就依据这个想象，看看一看所有给的条件它能不能实现。 那对这个函数估计怎么估计呢？就继续再对它求导，对吧？求它的一阶导函数 g 撇 x 等于一的 x 是 米，然后 减去三分之二的口上 x， 然后减三分之一 这样的一个函数，我们再看看这个函数，完，我估计 g x 单调性，那只要估计这个什么，这个和和零比较，对吧？还是正还是零还是负？那么我们 也看一看这个特殊点零点是怎么样吗？这 g 撇我们把零带进去或是什么呢？ e 的 零四方减去什么？呃，减去三分之二乘以一，再减去三分之一等于零，哦，那我们发现这个这个一阶导函数在这个零点， 他也过零零点，那么我们期望是是这个一阶导函数得是在 负三分之一到零这个上面，他应该得是什么？得是小于零才满足 这个原函数单调递减，对吧？得在零到正无穷上，这个一阶导函数得是什么？得是大于零才能保证这个才是单调递增，对吧？ 是这个意思，当然我这种猜想不一定对啊，但是一般我们先往简单的模型上去猜，去验证，然后有复杂的话，发现复杂的在特别处理， 然后我们看一下这个，如果我们能探索出它的性质来就可以了。那么怎么探索这个这个性质呢？我知道一个点，那么我们继续对这个什么一阶导函数继续再求一个导，那就是二阶导函数， 我们看看求反导数时候是一的 x 四幺应该是加上三分之二倍的三 x 这样的形式， 那有了这个二阶导函数的形式，我们对它做一下深入的观察。我们看啊，这个二阶导函数是由一个指数函数和一个三分之二倍的一个正确函数组成，这个函数是不是在 负三分之一到零这个阶段上，这两个都是单增的，他们加起来是不是也是单增？他是单增的，对吧？ 那么既然他是单增的，我们看看在这个一阶 g 这个函数的一阶导函数在零点的值是零，那么在负三分之一到零上， 呃，这个二阶导函数呢？它还是单增的，对吧？我们看看二阶导函数的在，呃，在这个负三分之一上的值， 我们看看这个值是多少呢？应该等于 e 的 负三分之一，然后呃，加上三分之二为的 sine 负三分之一。 那么接下来呢，我给这个式子啊，进行一个放缩，给这个式子，因为我们也没法计算具体这个 sin 负三分之一，这个是什么值，但是我可以给它放松一下，对吧？那么这个 g 两撇 负三分之一等于 e 的 负三分之一，呃，这里啊，我们就把它写成大于等于，为什么？因为我把那个上以负三分之一，我直接把它看成负一，减去三分之二， 对吧？那接下来我就是比较啊， e 的 负三分之一和三分之二 这两个大小，这两个怎么比呢？我们各自三次方，因为我们知道这两个怎么样都是正数。我们说不等式，不是有可成方形吗？我们都乘以三次方，那就变成负一的负一次幂和什么三分之二的三次幂所比较，对吧？那么这里头呢？ 然后我就把它改写成一分之一和什么和二十七分之八所比较，然后不等式的有可乘性，我左右都乘以二十七乘以 e， 那 就变成了二十七和八 e 所比较， 对吧？我把二十七写成了八乘以三，那变成了八乘以三和八 e 作比较，那就变成三和 e 作比较，那一定是三大于 e， 那 么接下来这个不等号，我就顺着这写下来，就这样，那最终我们就得到了 g 撇负三就大于零。 那么大家看到这个式子啊，会想到我们这个 g 两平呢，在负三分之一到零上，在负三分之一处，它取得的值呢，就是大于零，而它本身又在负三分之一到零上单调递增， 那不怎么样，那就说明 g 撇，那起到零的时候， g 撇零一定要大于 g 撇负三分之一也大于零，对吧？ 那就说明啊，我们这个 g 撇 x 这个函数，呃，它 在负三分之一到零上，它是单调递增的。我用这个笔写 g 撇 x， 它应该是先是单调递增的，然后这是负三分之一到零，而零的时候呢，这就是 g 撇零。我们刚才算到了 g 撇零是得多少？ g 撇零是得零， 那说明在负三分之一到零上， g 撇 x 都是小小于零，对吧？ 我们接着再看，我们换一换一个比啊，我们接着再看这个 g 撇 x， 这个二阶导数，在零到正无穷上，它是个怎么样的一个表现？它跟零比较，因为它的解析式等于一的 x minus 加上三分之二的 sine x， 我 们一知道这部分肯定是大于一的，而这部分呢，肯定是 它最小也就是负三分之二，对吧？那么整个这个 g p x， 我 在这里只写思路啊，因为实在是路客，这个 这个板子的篇幅有限，实在是不得写，看来我得买一个 ipad 才好，是吧？言归正传啊，那么就回到了这个 gps， 在 零到正无穷上，它的值一定怎么样？一定会大于零， 它一定会大于零对应着什么？对应着我们的 g 撇 x， 它是什么？它这个值大于零，对应这个 g 撇是单调递增，对吧？ 那么于是我们就知道 g 撇 x 在 整个的这个负三分之一到正无穷上，它都是单调递增， 因为左边单调递增，右边也单调递增，对吧？它既然都是单调递增的，我们发现有 g 撇零等于零，说明这个 gps 值呢？它是先由负的 好变成零，变成正的，对吧？那么它对应了 g x， 那 就是先什么单调递减，后单调递增。那通过这么一个分析，显然我们的 g 零就是什么 g x 的 最小值 啊，也就是什么呢？也就是回到我们这个题里啊，在哪里？就是这个这个里面，这个 g x 等于这一堆，它大于等于零，于是就得等了，对吧？我知道 我们平时同学们练的题，以那个相对于这个题来说，他的逻辑更加简单，呃，一般都是涉及到参数，但是看到这个这样一个题目，我们大家不应该觉得很复杂， 因为他实在没用到分析导数分做导函数，然后分析正负性，分析极值点之外的其他的东西。嗯，所以大家在练习的时候啊， 一定要注意基础的东西，逻辑的东西，认真思考，仔细练。呃，就应该有希望得到分。好，这个第二位我就录到这里，有机会呢，我给大家录倒数三。好，希望大家关注我。

  73teacherCT的数学思考
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  09:04

  26天津卷数学选择题1-9详细讲解 #天津高考 #天津家长 #高考数学 #市五所#耀华中学

  147天津数学宋老师
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  02:12

  关于2027年天津高考的猜想 #解读高考 #天津高考数学 #高考考试策略 #暑期课程 #高考形势分析

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  关于二零二七年天津高考的猜想一、选择题压轴预计将围绕三角函数、图像与性质、立体几何、不规则体计算、圆锥曲线以及竖列项与和的关系展开。特别值得注意的是， 数列小题的难度呈现持续攀升的趋势。二点，二零二六年天津卷平面向量部分已实现从两个向量到三个向量的拓展。尽管该年度相关题目难度适中，却为后续命题开辟了新的思路， 建议重点关注浙江卷平面向量命题特点。三点，二零二六年天津卷填空压轴题借鉴了北京卷的命题形式， 实质为多选择题，考察了一道抛物线压轴题，难度适中，但对考生而言较为新颖。这种选择以双曲线为压轴，填空以抛物线为压轴。 同时考察椭圆大题的命题组合，在高考史上上述首次。据此推断，二零二七年命题格局必将有所调整，圆锥曲线小题或将仅保留选择或填空形式，二者同时出现的可能性较低。 填空多选择题可继续参考北京卷命题思路，函数综合、数列综合或不等式综合。结合天津实力情况，函数零点有可能再次出现，但难度会有所下降， 建议参考二零二六年北京卷相关题型。四、三角函数大题未来可能在三角函数图像与性质 解三角形之间交替考察，或借鉴北京卷模式，让学生自主选择条件进行解析。五、圆锥曲线大题各区模拟卷普遍参考北京卷命题，两卷共同点在于军警考察椭圆， 差异点在于北京卷常利用直线与椭圆交点构造两点式，而天津卷真题中此类题型较少，但在模拟卷中较为常见。六、最为关键的是， 二零二七年高考复习应双管齐下，既要深入学习天津卷、高考真题，也要重视北京卷的高考真题，因为二零二六年天津卷已呈现出明显的北京化特征，这一趋势在未来必将持续加强。

  2白杨Math
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  02:28

  2026天津高考数学试卷分析（对非毕业班警示） #真实生活分享计划 #天津高考 #天津高中 #天津中考 #天津家长

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  二零二六天津高考数学科目的考试正式结束了，试卷释放出的信号，低年级的同学一定要重视这个视频呢，我就从变化，对现在的低年级同学的启示这两个方面来分析这次考试。 注意啊，我是站在大部分数学中等或者是稍弱的同学角度分析的，如果你是数学高手或者是同行的老师，这张卷子一百三十五加，就不要来我这刷存在感了啊，别来说什么简单啊，搞其他同学的心态了啊，不要杠杠就是你。对啊， 首先是变化啊，从目前反馈的考型来看呢，二零二六天津高考试题的整体变化比二五年还要更大。这个变化呢，体现在三个方面，一个呢是考点的顺序， 往年的三角函数性质的小题和解三角形的大题的位置，今年发生了互换，题目虽然不难啊，但是很考察孩子的应变能力。要知道，上一次天津卷这么考，还是二零一六年， 这也就意味着呢，未来大题的考点也会变得灵活，整体呢，更加向全国卷靠拢，所有的题目的位置不固定的话，无形当中会增加我们的备考难度。 其次，知识点考法更加灵活，例如函数值比大小，不再是单纯的比大小啊，还结合了函数的性质，图像变换和对数的计算，更加考察了孩子们综合应变的能力。 最后呢，压轴题也更加灵活，考察难度更大，例如数列的第三问和导数第二问，对于想冲高分的同学来说，难度也更大了。 说完难度呢，给我们不同年级的同学呢提几点建议。首先，如果是现在高一和初三的孩子，一定要把功夫下在平时，争取数学不要掉队。就现在高考数学的情况啊，如果高一高二基础没打好，高考数学想拿到中等的分数都会变得困难。 那么对于准高三的同学，就是要重视一轮复习，千万不要再走马观花就学个皮毛了。一轮复习呢，一定要把过去不会的或者遗忘的内容彻底搞懂，每一个细节和知识点都要深入学，不然到了考场你就会发现，可能很多题都是看着会，但是一做呢又不会。 那么对于想冲高分的同学呢，就是在基础内容掌握扎实的前提下，把压轴题尽量准备的全面和系统，尽可能提前准备，多做多练多思考。 二零二六呢，高考数学已经结束了，高三的同学们应该放平心态，全力应对后面的科目，大家都难，不止你难啊，准高三的同学呢，则应该抓紧蓄力投入复习中，愿所有学子都能得偿所愿！

  297天津高中数学董董（天津高中数学陪跑）
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  00:49

  昨天考的卷子真是又印证了不能死刷题这件事！ #天津高考 #天津高考数学难 #天津高中 #天津高二

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  天津高考的数学卷子再一次给大家一个教训，死刷题的孩子已经没有任何退路了，你会发现十六题解三角形的位置放在了填空的中档题 上，原先十二题抛物线的位置和直线圆的位置，现在放到了填空的最后一道题的位置上，他已经单纯的从选择题变成了一道多选择题。你选对一个可以得两分，但你选错了可就一分都没有。这跟之前我跟学校同事讨论的结果其实是完全一致的。 天津高考是要把回归本质加理性的变证思维贯彻到底。就跟我之前跟孩子沟通的一样，别做太难的题，别做全国卷，那根本考的东西都不一样。天津卷本身是让你用灵活的思维去解决不同情景下的共性问题，这才是根本。 灵活度永远比难度在天津高考中更重要。你现在多刷多少难题，点用都没有。现在急需的能力就是用一套思维可以把所有题串起来，而不是把一类题目反复做在一个点上，反复申拔。

  64天津高中数学杨老师
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  19:15

  26年新高考I卷压轴题 #高考 #数学 #抽象函数 #压轴题 #新高考

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  这是二零二六年新高考一卷的最后一题，这道题的知识点非常的简单，用到了集合，还有我们的单调性，这知识点我们在高一的 预备课里面其实就可以学到，虽然知识点很简单，但是难度是爆表的，你让高一的学生去做绝对是不可能的，你让高三的学生去做，基本上都得缴械投降，你让大学生去做，也很难去做出来， 那我们这个初一老师的水平是很高的，我整个题做完以后，我就领会到了，初一老师为什么这样一道一道小题啊，循序渐进的，他其实是通过第一小题，第二小题给你们提供一些解析的思路。当我真正的读懂了这道题以后，我就 感慨我们的初一老师水平之牛逼，而不是我们残忍能够达到的。好，我们废话少说，我们先看下这个题目。 f x 的 定义域是二小于零的部分，是有具体的函数表达式的，它是一个指数函数，它是递增的，而且有恢复性，这个非常重要。那么对任意的 x 零属于二， 我们定义一个集合， d x 零呢？它等于 d 属于二， f x 零加 d 加上 f x x 零，那这个定义呢？非常的创新的同学呢，可能就不一定能够接受，所以我们第一小题来帮你更好的理解这个概念。那么 大于等于零的时候，它的函数表达是给出来的，所以我们这个可以通过画图，画个图，画个图画出来以后，这个是空心的，这里是一个 指数函数，这个是一个一次函数。我们这个 d 负一代表什么意思？ d 负一就是所有满足 f 负一 加 d 大 于 f 负一的这个 d 的 元素的集合，所以呢，第一小题帮我们 搞清楚了这个集合的这个定义，这样子你在下面做的时候能够更加的顺畅。好啊，我们看一下，这个负一是一个具体的值，它等于二的负一次，也就是二分之一，所以要大于二分之一，就在这里另外一个点，这个是 x 等于 二分之一，这时候 f x 呢也等于二分之一，所以呢，我们知道 大于零呢，它部分就是负一加 d， 我 们要把负一加 d 看一个整体，负一加 d 呢是一个定域，也就是它的自变量，它应该要比这个负一呢要大于 二分之一，二分之一横坐标是二分之一，所以呢 d 呢大于零小于二分之三。好，如果说这个时候你还不太懂的话，我们看一下第二小题，第二小题呢，他又给我们第三小题指明了，我们证明了一个方向。第二小题就是 f x g 函数啊， 然后呢，我们知道奇函数肯定是要用它的定义来做的，首先我们把奇函数的定义写出来，那么这个时候呢，我们把它范围也写上去， x 大 于零的时候，那这个时候负 x 小 于零，那我们就可以用这个小于零的表达式来代入， 那就负的二的负 x， 我 们知道这个是奇函数，我们最好呢还是把图画出来， 把图画一画，以这个是空心的计算数，应该是 f 零的时候是等于零的，大概是这样的图像点在这里。好，我们呢把图画出来以后，看一下， f x 一 呢要小一点， x 二，根据不同的位置，它要分成三类，第一种情况就是 x 一 x 二都在这个坐标轴的左侧，也就是 x 一 小于等于 x 二小于零的时候，这里已经要求 x 一 x 二呢，不能等于零了，那这个时候 d x 一， 那你要理解这个集合的意思，对吧？那就是比 x 一 要大的，那其实很简单， d x 一 的话，它就可以转化为括号，那满足 x 一 加上 d 要大于 x 一 小于 零，所以我们这里就可以把它解出来，它的范围就是零负 x 一。 那同样的道理， d x 二，那就是等于零，负 x 二。然后呢，你可以发现负 x 一 是大于等于负 x 二大于零的，所以这个 d x 二呢，就包含于它 d x 一， 我们就第一小题就正好，而且你对这个概念呢，又更加的深刻了，对不对？那么第二就是 x 一 和 x 二都在坐标轴的 右侧，那么就是 x 一 大于零，小于小于等于 x 二， d x 一 的话等于 d。 一 样的道理，我们这里要满足 x 一 加 d 要大于 x 一 或 x 一 加 d 小 于零就可以，所以他满足这两个条件来写一下就可以得到。是 d 呢，大于零就好了，零到正无穷。那这边的话是要小于负 x 一 就好了，零负 x 一， 然后呢并上 零到正无穷，那么这个 d x 二呢？同理啊，我就不去写了，我就把这个直接写成区间的形式，零负 x 二，并上零到 正无穷。所以我们知道 dx 二还是包含于 dx 一 的，这个没问题。那么最后一种情况就是他们分布在这个两侧的时候， 那么我们知道 f x 一 是小于等于 f x 二的，所以呢， x 二呢？在左侧，所以 x 二是小于零的，然后呢， x 一 呢，是大于零的，那么同样道理对吧？我们就是把两个结合起来， dx 二的话，它就只有侧的啊， 就就只有一个集合，没有并集的 d x 二就是还是零负 x 二。然后呢， d x 一 呢，它是有并集的，它是零到负 x 一 并上零到正无穷，那一看这个一还是 d x 一 更大， 还是 d x 一 的范围更大，所以得到 d x 包含于 d x， 那 你仔细观察一下 第三小题呢，也是要符合这个条件的，而我们第二小题呢，只是一个特例，在这个特例呢，给我们的一个函数的一个特征，首先第一右侧这个函数它应该是递增的。第二，右侧的函数要很小于等于零，对不对？所以这是我们第三小题证明的一个方向，他从第二小题 给你给出来了，所以我做完以后，我突然就明白了，所以老师为什么要这样子，一个是特例对不对？一个是一般性，一个是有具体的函数的解析式的，一个是抽象函数，所以这就是抽象函数的难度。在这里我们看一下第三小题，首先他要满足第二小题这个证明这个结论，我们知道 值越大，他的区间他的值域反而越小，这个是他的一个特征，你要深刻的领会他。第二个就是零到一的时候， f x 是 小于 f 零的，就是都是比零的值是要小的。那么我们第一小题要证明 f 零呢，大于等于零，那我们知道直接去正是不太可能的，所以我们只能用反正法，我们假设，假设 f 零是小于一的， 我们会得到一些啊结论，这样子他们会有矛矛盾的地方产生，我们这个假设就不成立，这是反证法的思路，我们要引起冲突，那怎么样才能引起冲突呢？这个是 f 零小于一，为什么要强调它小于一呢？小于一的话，跟我们左侧左侧的范围是零到一，对不对啊？我们 x 小 于零的时候，我们知道 f x 呢等于二 x， 那 首先呢，在 这个零到正无穷上，是啊，递增的，而且它的值域 f x 呢，它的值域属于 零到一，对不对？这样子的话， f x 值域就能覆盖 f 零，所以我们就会想到我们在这个左侧存在一个 x 零，属于 负二到零，那么为什么负二到零，我要后面这个零到一可以用进去，所以我这里先告告诉同学们，我们知道它是在这个左侧的，它肯定有一个值，因为它我可以无限接近零，所以它肯定存在一个值，可以保证 f x 零 大于 f 零，对吧？那我们也可以用这个第一个定义，那么它大于它，反过来它的集合就要小于它，所以 dx 零呢，包含于 d 零，我们是它的子集，对不对？ ok， 那 么 这是第一个，我们第二个，我们知道分之 x 零，这是负的二分之 x 零，肯定是比 x 零是要大的，但是呢，它又比零要小，二分之 x 零大于 x 零，所以呢， f 的 二分之 x 零 大于 f x 零，然后呢，你可以照着这个定义把它改写一下，我们可以把 f 的 二分之 x 零可以写成 这个 x 零，加上负二分之 x 零，然后大于 f x 零， 所以呢，它是符合这个集合的定义的，所以它这个负二分之 x 零这个元素呢，是在这个 dx 零这个集合里面的，而我们 dx 零呢，又在这个 d 零这个集合里面，所以呢，负二分之 x 零也是 d 零的一个元素，那你应该满足它的定义才行。那 d 零的定义是什么呀？就是 f 的 零加上负二分之 x 零 要大于 f 零，所以呢，我们把它整理一下，就是负二分之 x 零大于啊 f 零，你可以看一下这个为什么要设成负二零，这个就明白了吧。它是属于零到一的，这样我们可以把第二个条件把它用起来，因为它属于零到一的时候， f 的 负二分之 x 零是小于 f 零的。那么这两个是不是就产生矛盾，两个互相矛盾的结论，所以我们就可以知道，假设是不成立的，说是 f 零， 必须要大一点一才行。这个反证法是我们导数证明的很重要的技巧，经常会用反反证法来证明，但这里跟导数没有关系，但是涉及到很多抽象的概念，因为他比较抽象，你理解起来会非常困难。吴老师刚刚结束的时候也是还没有理清楚啊，但是我，我几次 反复复盘以后，就突然明白了他们的关系，这样去写证明就会轻松很多，简单很多。第二道题 是我们的证明他在零到众上递增，跟第二题这个实际的这个例子你可以对应起来。第二题这个 g 函数他也是递增的，而且他是很小于零的。所以我们现在要证明两个，先证明这个， 这个函数是很小于等于零的。那怎么来证明这个很小小于零？先一步一步来，我们先证明 a 属于零到一的时候，他是很小于等于零，那么还是要我们先假设，假设 la 属于 零到一的时候， f a 呢？是呃，大于零的，那我们它要大于零的话，我们这个左侧这个函数的范围是零到一，所以它肯定是存在一个 m， 用字母 m 存在一个 m 呢，属于无穷到零， 使得 f m 肯定是比 f a 要小的，因为 f m 可以 无限无限趋向于零，所以这个肯定存在。得到这个以后，我们可以用这个第一性质， 它比它大呢，它的范围就要比它要小的， dm 的 范围要包含于 d a。 好， 那么接下来我们看一下 f a， 它是小于 f 零的，但第二个性质，因为 f a 啊，小于 f 零对不对？那么零的话，我们可以写成什么呀？ f 的 a 加负 a， 所以 我们这个就符合我们这个集合的这个定义了，所以这个负 a 就是 我们的 d a 的 一个元素，那么写反了， 刚好是反过来小于它啊，所以是 d a 包含于这个 dm， 所以 这个可以用这个传递性，它也是 d a dm 的 元素，所以这个集合的定义元素属于这个集合，这个元素要满足 f 的 m 减 a 要大于 f m 才行。那我们来看一下这个 m 呢是负的， m 减 a 也是负的，那我们知道，因为 m 减 a 小 于 m 小 于零， 所以呢，它是递增，那么有一个 m 减 a 要小于 m f m， 那 么这个就得到了两个冲突，跟我们第一小题证明的方法是类似的，所以，所以呢，这个假设不成立，那么我们知道就会得到一个结论，就是 a 属于零到一的手， fa 呢， 肯定是要小于等于零的，那么除了这个证明出来以后，我们其实还不够，我们还要需要第二个，就是扩展到这个到零到正无穷，所以我们第二个情况就是 b 属于我们还是一样，假设还是用反证法来证，还是用 b 属于一到正无穷的时候， 那么我们这里 f b 也是大于零的，我们看一下，我们还是一样存在一个 n 属于负数到零，它满足了 f n 小 于 f b， 证明的方法是一样的，就是重复的，重复的来， 然后呢，因为 f n 小 于 f b， 我 们把它写成这个集合，这种形式，我们 f n 小 于 f b， f b 可以 写成什么呀？ f 的 n 加上 b 减 n， 对 吧？所以呢，我们就可以得到减 n 呢，是这个 n 的 元素， ok， 那 么再来看一下 d n 呢，我们要传递到这个 n 加 a 减 b， 所以 我们这里需要重新构造一个，就是 n， f 的 n 小 于零， n 加上 a 减 b， 因为 a 呢是前面已经设过了， a 是 属于零到一的，那么 a 减 b 肯定是小于零的，所以 fn 的 a 减 b 肯定是小于 fn 的， 这个是毋庸置疑的，因为 这个是小于零的，它们两个都在左侧，所以是不是真的？那么我们这里通过这个我们可以得到一个什么，得到一个集合的关系，就是 d n 这个包含于 d 的 n 加 a 减 b， 那 么这里会有传递性，所以我们知道 b 减 n 也包含于 d 的 n 加 a 减 b， n 加 a 减 b， ok， 那 么这个时候呢，我们要把这个元素呢带进去，因为它满足它嘛，所以它满足它的定义，这个集合定义，集合定义的话，就是 f 的 n 加 a 减 b 大 于 b 减 n 大 于 f 的 n 加 a 减 b， 然后呢，这个左侧可以把它消元消掉，就是 f a f a 大 于 f 的， 呃 a 加 n 减 b， 那 你知道负 a 是 呃小于等于零的， 这个 a 加 n 减 b， 它是小于零的， b 是 大于一的，那它就是小于零。小于 n 小 于零，这里 b 是 大于一的，而 a 是 大于零小于一的，所以 a 减 b 肯定小于零，小于零的数加它 n， 它肯定小于 n 小 于零，这个可以得到等于零的。所以 f 的 a 加 n 减 b， 它是大于零，应该是大于 fa 的。 那么这个时候呢？与我们这个题目，这个就是刚才的结论，它就是矛盾的，刚才是 fa 是 大于 a 加 n 减 b， 而这里是 f 的 a n a 加 n 减 b 是 大于 fa 的 矛盾。所以呢，我们这里就可以得到我们的第二个性质，第二个性质，所以，所以我们得到 这个 a b 属于一到正无穷的时候，那可以把一也算进去，而且没有把一算进去， f b 也是小于等于零的。所以综上所述，当 x 属于零到正无穷的时候， f x 很 小于等于零。那么我们接下来完成我们最重要的证明单调性。我们要证明什么？ x 一 小于 x 二 大于你的时候， f x 一 小于 f x 二，只要证明这个就可以了，这个是我们单调性的定义法证明。我们结合我们刚才的思路，我们可以把 x 二写成 x 一 加上 x 二减 x 一， 我们令 d 等于 x 二减 x 一。 所以呢，我们现在只要证明什么，只要证明 f x 一 小于 f x 一 加 d， 所以 我们只要证明什么呀？我们只要证明 d 呢， 它是属于 d x 一 就可以了，对不对？我们的目的我们这里要用已知条件来证明。首先因为 x 二 减 x 一 小于零， x 一 大于零，所以呢，我们知道 f 的 负负 d， 就是。 我们知道 x 一 减 x 二，就是 x 一 减 x 二小于零，所以 f 的 负 d 它是 大于零。我们 x 一 大于零，所以 f x 一 小于零，所以我们知道这两个数的大小 f 负 d 呢，一定是大于 f x 一 的， 然后我们知道这可以得到这个集合的关系。说 d d 复 d， d 复 d 呢？就包含于 d x 一， 那我们只要证明这个，我只要证明这个 d， 然后要证明这个 d 属于 d 复 d 就 可以了。 那如何来证明 d 属于 d 负 d 呢？很简单，我们用定义法来证明就好了，我们只要证明 f 的 负 d 加 d 大 于 f 负 d 即可。来看一下，这就是只要证明要证明 f 零大于 f 负 d， 这个 f 零的话，我们知道它是大于等于一的，然后 f 负 d 的 话，我们知道它肯定是小于一的。是啊，负 d 是 小于零的，因为负 d 小 于零，所以 f 负 d 呢小于一，然后呢，又因为 f 零 大于等于一，所以 f 零是大于 f 负 d 的。 那么这里我们的所说逻辑链条是不是都建立起来了？好吧，是不是比较顺畅一点？老师讲的应该是比较顺畅的，我们再讲。

  160北大吴老师讲数学
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  2026天津高考数学结束 #静海 #静海高考 #天津高考 #静海高中

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  今年的数学题有什么变化和题型方面？他把十六题给改了。十六题平常是解三角形，这回改成三角函数了。但是解三角形都是每个点也考了，改到填空题里面去了。但整体来说确实要 比之前的我感觉要简单。因为上午语文是挺难的，下午数学应该就是简单的。你想对今年的数学出题老师说些什么话呢？希望下次能把那个数列也出简单一点，毕竟还是太新颖了感觉。对，越来越火。对，那你今年考完试之后打算去哪玩？想去云南，这是。

  103静海升学王老师