2025高考数学第8题
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03:28查看AI文稿AI文稿二零二五新高考一卷数学第八题，三个对数等式连起来比大小 a、 b、 c、 d 四个选项，哪个不可能？别硬带数字猜一个字母 k 四十秒锁定答案 b。 关键招式，统参数法 先看题目已知二加 log 二 x 等于三加 log 三， y 等于五加 log 五 g。 问， x、 y、 z、 e 的 大小关系不可能是哪一个 选项？ a， x 大 于 y 大 于 z， b， x 大 于 z 大 于 y c， y 大 于 x 大 于 z， d， y 大 于 z 大 于 x。 很多同学一上来就代数自是取。 k 等于三，得到 a， k 等于六，得到 c， k 等于八得到 d， k 等于十，得到 z 最大 四种排序全试过了，就剩 b 没出现，凭感觉排除 b， 但万一 b 在 某个没试到的 k 附近刚好成立呢？五分钟过去，心里没底。 关键直觉，三个式子连在一起，一定等于某个公共的数。把这个数命名为 k， 然后反减， x 等于二的 k 减三次方， z 等于五的 k 减五次方， 三个变量全部变成 k 的 单调递增指数函数，这就是统参数法。一个字母合并三条约束， 既然 x、 y、 z 都是 k 的 递增函数，大小关系就完全由 k 决定。 两两相等，求零界。 k 一 共三个， x 等于 y， 十 k 零约等于四点七一， x 等于 z， 十 k 一 约等于七点二七， y 等于 z， 十 k 二约等于九点三零。关键观察， k 零小于 k， 一 小于 k。 二、 三个临界值把 k 数轴切成四段。第一段， k 小 于四点七一、排序 x 大 于 y 大 于 z， 对 应 a。 第二段，四点七一到七点二七， y 反超 x， 排序 y 大 于 x 大 于 z， 对 应 c。 第三段，七点二七到九点三零， z 反超 x 排序 y 大 于 z 大 于 x 对 应 d。 第四段 k 大 于九点三零。 z 最大排序 z 大 于 y 大 于 x， 不 在选项里。 四段对应 a、 c、 d 加一种非选项 b 不 在任何一段。 为什么？ b 必然不可能。 b 要求 x 大 于 z 大 于 y， 拆成两条， x 大 于 z， 需要 k 小 于七点二七。 z 大 于 y， 需要 k 大 于九点三零。同一个 k 既小于七点二七，又大于九点三零。 吴姐注意，是同时成立，两两单独成立不等于同时成立。这是本题最精巧的陷阱，所以 b 不 可能选 b。 留一道思考题。如果题目变成四个变量连等，加上七加 log 七 w 二十四种排序里恰好有十七种不可能。这是个精确数，不是估计，完整推导。五到梯度便是四大易错点，配套讲义理都讲透了。
299帧见数理
08:26查看AI文稿AI文稿这道题原来是二二零二五年高考的第八题，它是个选择题，不过我们现在改成了一个解答题，原来选择题四个选项，但是现在改成解答题 x、 y、 z， 它有六种可能的大小关系，那这时候我们要分类讨论就多一些。 那我们还是遇到一场事呢？是设 k， 这次赋值法可能就不太好用了，因为要要你要赋值好，赋值至少四次，而且你不一定每次赋值都能得到一个新的答案。 那设完 k 之后，我们还是表示出 x， y、 z， 不 管是赋值还是用别的，都得先表示出。这下 我们拿 x 举例，二加 log 二 x 等于 k， 那 log 二 x 就 等于 k 减二，那只对互换 s 就 等于二的 k 减二次方。同理能得到 y 等于三个 k 减三次方， z 等于五个 k 减五次方。接下来我们来讨论，比如说 x 等于 y 的 时候， k 是 多少， y 等于 z 的 时候， k 是 多少， x 等于 z 的 时候， k 又是多少？当然我们只能列出表达式，不能算出精确值。 之后我们根据这些零零界值去求这个过大关系。我们拿 x 为 y 举例，也就是二的 k 减二次方，等于三的 k 减三次方， 这玩意怎么化解？我们到旁边来列一下。这玩意化解其实很简单，我们可以给他取两边同取自然对数，那取完自然对数，我们把这个指数 拎到前面来展开，你就相当于是 k 到万二，然后这边的话相当于 k 到万三。我们给他移过来，然后左边这是减三倍的到万三，然后左边这是减二倍的到万二，一到右边就是二倍的正的二倍，二倍到万二。 接下来我们提出一个 k， 那 也就相当于是特别的给力，那再给它相除一下，它也就相当于是这个数。不过我们一般都习惯大减大减小，所以我们在这抄的时候，可以给他改一下这是 k 一， 然后这个前提是 s 等于 y 时， k 等于 k 一。 好，这个推导大家自己看一下，先擦掉。接下来我们怎么处理这个 k 一， 然后大概估算它的大小呢？ 我们可以用分离系数法，先分离出个三来，因为 lo 三的话，它上面有个三 lo 三，先分解出来再说，然后再加上 lo 三减 lo 二分子到二，这剩下部分，这就有处理 它，你可以给他带回去 log 三减 log 二，先把这个处理了，把简化除，也就相当于是 log 二分之三，这个式就相当于是 log 二分之 log 二分之三，你这个用它换底公式就能得到，它是 log 二分之三二，它的大小大家估计一下， 二分之三的平方大于二，那肯定二分之三，你乘你给一个小于二的次幂，他才能等于二，当然他肯定比一大，因为二分之三的一次方还不到二。好，那我们得到它小于五，因为这就小于二加二三小于五。 同理我们来整 k 二， k 二的话，相当于是二的 k 减二次方，等于五的 k 减五次方，同理我们能得到 是一个 k 二，它等于五倍的绕弯五减去二倍的绕弯二，底下是绕弯五减绕弯二，这个我们依旧分析法，然后分解 这个它相当于啥，它相当于是 log 二分之五，二分之五平方比八小，立方比八大，那我们就能得到这个 k 二，它是要大于五的。 接下来我们该处理 k 三了， k 三还是先表示出来好。得到了 l 三的表达式，那么我们同理，它相当于是加上 l 五减 l 三， 然后再除以二 l 三。接下来还是处理这里，它相当于 log 三分之五，然后再乘上，再乘上九， 那他我们可以多试试。嗯，这个值是很大的，我们直接看从四川开始八十一分之六二五这个行，然后五次方二四三分之三一二五。 哎，这个它够了，因为二十三再乘九是二一八七，那也就是说这一部分它大于四，那相当于是它大于九。呃，同理，之前这个我们给它改成大于七， 那这个大于九相当于它也大于 k 二。所以我们就得到了这么一条关系， k 一 小于 k 二小于 k 三。接下来我们就根据这个去分类。好， 那我们怎么根据这些去比呢？首先第一种情况是 k 小 于 k 一， 这种情况我们可以用作商法去比，这俩 y 等于二二的 k 减二次方，然后比上三的 k 减三次方， 这个我们可以用一下 k 一， 由于这两项是相等的，我们给它消掉， 然后这两项它呢又可以给联系起来。联系具体的联系就是 化简三分之二的 k 减 k 减一次方，那我们现在又知道 k 是 小于 k 一 的，相当于这个东西是负数，那它也就相当于是 二分之三的 k 一 减 k。 什么 k 一 减 k 是 大于五的，然后二分之三呢？它又是一个大于一的，所以结果大于一，那结果就是 x 大 于 y， 同理，我们能知道 y 大 于 z， x 大 于 z， 得 x 大 于 y 大 于 z， 然后同理我们 再次讨论一下 k 大 于 k 一， 小于 k 二，这个能得到是这个这个关系式。然后接下来是 k 二小于 k 小 于 k 三，这时候是这个式。 最后一种是 k 大 于 k 三，这个时候是这个格式。好，那讨论这四种情况，我们实际上就把所有的情况都给讨论完了，为什么呢？因为临界值你只要超了和没超之前，你俩的关系是一百八十度反转的， 所以也就是说这四种讨论完了，相当于把整个时序域都讨论完了，因为就这种情况，你再怎么着去调换也调换不了。那也就是说这四种里边还有两种关系，一种是 x 大 于 z 大 于 y， 然后还有一种是 z 大 于 x 大 于 y， 这两种的话，我们只需要从这四种里剩下的找就可以了，那不可能打成关系就是这两种。
42小李爱数学
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03:03查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天我们来看到高考全国二卷的第八题，这是一道有关于正弦与弦函数的题目。首先我们来回顾一下两角和差的正弦与弦定例。三引 阿尔法加上贝塔是等于三引阿尔法 cosine 贝塔加上 cosine 阿尔法 cosine 贝塔的 三引阿尔法减去贝塔等于三引阿尔法，科三引贝塔减去科三引阿尔法三引贝塔。这里我们的口诀是 萨克科塞符号相同，你看这里和这里的符号都是相同的，两角合差的余弦定义，科三引阿尔法加贝塔就等于科三引阿尔法科三引贝塔减去三引阿尔法三引贝塔 cosine 阿尔法减贝塔就等于 cosine 阿尔法 cosine 贝塔加上 cosine 阿尔法 cosine 贝塔。这里我们的口诀是括括塞塞符号，相反 看这里是减的话，这里就是加。同时呢，我们这道题还会用到我们的二倍角公式，其中三英的二倍角公式三英二倍阿尔法是等于二倍的 cosine 阿尔法 cosine 阿尔法 q 三引二倍而法是等于 q 三引而法的平方减去三引而法的平方，即二倍的 q 三引方减一或者一减去二倍的三引方。 后面这两个呢，都是由这个式子以及三引方加上 q 三引方等于一代化而来的。接下来我们看到这道题目已知，而法大于零，小于派 q 三引二分之，而法是等于五分之根号五的。 那么知道了 cosine 二分之 r 法，我们就可以求出 cosine 二分之 r 法，因为 r 法是属于零到派的，那么二分之 r 法就是属于零到二分之派。二分之派是个锐角， 这个锐角的余弦值等于五分之根号五，那么它的正弦值就也应该是一个正数，并且是等于根号下一减去 cosine 方，这里呢，是算出来应该是等于五分之二倍根号五的， 它的问题是，三引而法减去四分之派等于多少？这里呢，我们就可以想到用我们两脚叉的正弦定力去给它打开，即三引，而法减去四分之派呢，就是等于 三引，而法空三引四分之派减去空三引，而法乘上三引四分之派，三引四分之派和空三引四分之派都是等于二分之根号二的，所以这里我们就可以得到二分之根号二倍的三引，而法减去二分之根号二倍的 cosine r。 即这道题只需要算出 cosine r 和 cosine r， 可以 得到 cosine r 减四分之派的值了。但是我们这里只知道 cosine 二分之 r 和 cosine 二分之 r 等于多少， 那 r 法跟二分之 r 法什么关系呢？ a r 法是二分之 r 的 一个二倍，所以我们可以想到用我们的二倍角公式三引 r 法是等于二倍的三引二分之 r 法。 cos 引二分之 r 法。 cos 引 r 法呢，又是等于二倍的 cos 引方，二分之 r 法减一 用三一二分之 r 等于五分之二倍根号五。 cosine 二分之 r 等于五分之根号五。代入就可以得到。最后的答案呢，是等于十分之七倍的根号二，所以最后我们选择的是大选项。
97小羊的数学解题本
07:41查看AI文稿AI文稿小尚同学专题视频讲解，现在我们讲解二零二五年全国一卷数学第十八题。设椭圆呢， a 方分之 x 方加 b 方分之外方等于一， a 大 于 b 大 于零，说明它的焦点在 x 轴上，它的离心率是三分之根号二。也就是说，首先第一个条件， e 等于 a 分 之， c 等于三分之二倍，根号二，下顶点 a 下顶点 a 的 坐标呢，就是零。负 b 右顶点的坐标呢，是 a 零，这是点 b 的 坐标，这是点 a 的 坐标。那么已知 ab 的 坐标和 ab 的 长度，我们就可以得到， ab 的 长度呢，就等于根号下 a 的 平方加上 b 的 平方呢， 是等于根号十。且呢，它还有一个隐含的条件，也就是在椭圆里面， a 的 平方呢，是等于 b 的 平方加上 c 的 平方。根据这个条件呢，我们就可以解出 a 等于三， b 等于一， c 呢等于二，分之根号二。 那么我来看第一问，他说要求 c 的 标准方程，也就是把 a 和 b 的 值带进去， c 的 标准方程呢，也就是 x 平方分之九，加上 y 的 平方等于一。那么接下来我们来看第二问， 他说已知呢，这个动点 p 不 在外轴上，并且呢，点 r 在 射线 a p 上，也就是说 a p 和 ar 共线，并且满足 ar 点乘 a p 它们的长度， ar 的 长度乘上 a p 的 长度是等于三。已知呢，这个点 p 是 mn 求 r 的 坐标，那么我们是不是就要寻求等量关系啊？ 你看，首先根据点 p 点 r 在 a p 上，这是 a， 这是 p， ar 是不是就在这说明这个 ar 和 ap 是 共线的，并且呢， ar 的 长度呢，乘上这个 ap 的 长度是等于三，那么根据它们共线，说明它们的斜率是不是一样的，那我们首先设这个 r 的 坐标是 x y r， 那 么我们来看 直线 ap 的， 刚才根据第一问中求出了 b 的 坐标是一， a 呢是椭圆的下顶点，所以这个 a 的 坐标呢，就是零负一，这样的话呢，我们就可以求出来，直线 ap 的 斜率呢是 n 加一除以 m k a 直线 ar， 也就直线 ar 的 斜率呢，也就是 y r 加一除上 x r， 我 们知道这两个式子是相等的，并且呢他说 ar 乘 ap 等于三。 那么如果我们用向量来解决更简单一些，那么我们就可以算 ar 点乘 ap， 其实也就等于 ar 的 膜乘上 ap 的 膜，再乘上 cos 一 百八十度，因为它们共线嘛，也就是乘上一个一，也就等于 m 倍的 x r 加上 n 加一倍的 y r 加一，这样的话呢就等于三。因为 a 的 坐标有， p 的 坐标有， r 的 坐标有，所以 a p 和 ar 它们这个向量就很好写。根据这 这个式子和这个式子我们就可以解得呢，这个 x r 的 坐标呢，就是三， m 比上 m 的 平方加上 n 加一的平方， y r 呢，也就等于三倍的 n 加一，比上 m 的 平方加上 n 加一的 平方，再减映 x r 和 y r 求出来了，也就说点 r 的 坐标求出来了。那我们再来看第三问，他说呢设这个 o 呢是坐标原点 q 呢是 c 上的动点， c 呢，也就是刚才第一问求的这个椭圆 x 平方除以九，加上 y 的 平方等于。我们接着往下看，他说直线 o p 的 斜率呢，是直线 o p 的 斜率的三倍，求 p q 的 最大值。 我们首先得到的第一个等量关系是 o r 和 o p。 第二，问中的 o r， r 的 坐标已经求出来了，这个 p 呢，它给了是 m n， 我 们是不是就可以列出一个等量方程，把 kol 和 把 kol 的 斜率和 op 的 斜率写出来，再让它等于三倍的它。那么我们首先来看 kol， 也就等于三倍的 n 的 平方加上 n 加一的 平方，再减一，再比上 y， x， r， r 的 横横坐标，也就是三 m 除上 m 平方加上 n 加一的平方等于三倍的 o p， p 的 坐标是 m， n， 也就是三倍的 n 比上 m， 这式子进行化简呢，就可以得到关于 m 和 n 的 方程，也就是 m 的 平方加上 n 加四的平方等于十八。这我通过这个找到了 m 和 n 的 关系式，发现它是一个圆， 也就是说这个点 p 的 坐标符合 m 平方，加 n 加四的平方等于十八。说明呢，这个点 p 呢？在这个点以点 g 零负四为圆心， r 等于三倍，根号二这样的一个圆上进行运动。然后呢，这个点 q 呢，在这个 椭圆上运动。问你 p q 的 最大值，我们还是竖形结合是最简单的。你首先来看我们大概的做出这个椭圆的矢图，这是三，这是一，这个地方呢是 g， 是 零四四。那么你看它大概的就是这样子， p 点 p 呢，是在这个上运动，在这个圆上运动。点 q 呢，是在它上运动。它要求 p q 的 最大值是不是可以转化为求 p g 的 最大值，再加上一个半径啊？ 也就是说 p q 的 长度呢，它可以把它转化成它是小于等于这个 p g 的 长度，再加上它一个 q g， 也就等于 r 加上 q g 这样一个长度， r 呢，刚才说了是三倍根号二， 再加上 q g， 因为这个点 q 呢，在这个椭圆上，九分之 x 方加上 y 方等于一。这样的话呢，我们不妨设这个点 q 的 坐标是三倍的 cosine theta， cosine theta， 这样的话，你看 九分之三倍的 cos 方 c 叉加上 cos 方 c 叉符合是一，我们令这个 c 叉呢，是属于零到二派。这样的话呢，你看 q g 的 求 p g 的 最大值，就转化为求 q g 的 最大值，那么 q g 的 平方呢，也就等于 点 q 的 坐标和点 g 的 坐标零负四。 q g 的 长度呢，也就等它们的平方等于九倍的 cos 平方 c， 它再加上 cos 它加四的平方 c， 它有一个取值范围，把它进行化解，你看也就是 负八倍的 cos， 它加上八倍的 cos， 它再加上二十五， 这是一个二次函数求对值的问题，再把它进行配方，也就等于写在上面，继续对它进行配方，就得到了负八倍的 肾 c， 他 减去二分之一的平方，再加上二十七。你看，因为这个 c 他 是属于零到二分之派，这个肾 c， 他 所以就可以取到二分之一，所以这个式子呢，就小于等于二十一。也就是说呢，当这个 p q g 三点共线，并且呢点 p 在 这个位置的时候， 你看这个时候 q g 是 最大的，他们的最大值，这个 q g 的 最大值就等于根号二十七，也就是三倍的根号三。所以说 p q 的 最大值呢， 就是三倍根号二，再加上这个 q g 的 最大值三倍根号三，所以它最终的这个 p g 的 最大值呢？是三倍根号二，再加上一个三倍根号三，那么 p q 的 最大值呢？我们就求出来了。
1小尚同学
