新1卷数学压轴
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24:31查看AI文稿AI文稿今天我给你讲一道二零二三年新高考一卷啊，第二十二题。呃，这道题啊，我认为出的是非常好，呃，它的特点呢是计算量不大，而且呢，题的意思呢，简洁明了，也没有花里胡哨， 问的问题呢，非常朴素，但是你要想得满分，这不容易，而且呢，你还不能说一分不得，你至少第一问题能得分吧，说对吧，第一问题，我们求出的结果是 y 等于 x 方，再加上四分之一， 那么这个第二个呢，它说已知矩形 a、 b、 c、 d 有三个顶点啊，在 w 上证明呢，矩形 a、 b、 c、 d 的周长呢，大于三米八二三。 呃，有的老师说的这个题啊，是解析几何问题，我感觉呢，这个说是解析几何问题啊，还不是说是代数问题 啊，他是利用了这个啊，不等式的性质放缩啊，还有倒数这些手段去研究这个几个问题。那么这道题啊，我们应该怎么去考虑呢？ 老师呢？网上有些老师也讲了，我感觉讲的不是十分的严密，同时呢，这个计算量搞的还很大啊， 好像还搞麻烦了啊。那么今天呢，我给同学们讲一下啊，这个题的基本思想，然后呢，我给出他的解析过程， 供同学们参考啊，特别是准高三的同学啊，呃，我想啊，这个题啊，在新高考一卷当中啊，出在最后一个题，这也为我们以后的高考指明了方向啊，只有脚踏实地啊，一步一个脚印，夯实基础， 那么一定在高考当中就取得好成绩。 那首先呢，这个第二问啊，他说有三个经点呢，在这个抛物线上，呃，让你证明啊，这个矩形 a、 b、 c、 d 的周长 大于三倍，刚好三啊，这里需要这个大于啊，你还不能等于，你看吧，我们画一下它的示意图啊，看一下，那么 a、 b、 c 啊， a b 和 b c 是垂直，那么是 d 点呢？我们实际上不用把它标出，对吧？因为矩形 a、 b、 c、 d 的周长呢，就是 a、 b 加上 b c 啊，这个长度和的二 b， 对吧？ 那么很显然，这个直线 a、 b 和直线 b、 c 啊，它的斜率一定存在，切都不能等于零。 为什么呢？因为你这个如果 ab 和 bc 有一个斜率不存在的话，那么 bc 和 ab 啊，他跟抛物线呢，就不可能是有三个交点， 而且呢，斜率也不可能带一零，如果斜率带一零的话，那么另一个斜率呢，他就不存在了，对吧？所以这个题呢，首先跟 具体的意思看，那么 a、 b 和 b c 啊，它的斜率一定存在，切都不能等于零，而且呢， a、 b 和 b、 c 的斜率之一啊，等于负一，所以说呢，肯定有一个斜率是正的啊，另一个斜率是负的， 我们不妨假定 b、 c 这个斜略就是正的。然后呢，我们借助于点 b， 把 b、 c 这个直线方程写出，写出以后呢，然后呢，我们利用弦乘公式呢，可以去除 b、 c 的长， b、 c 长取完以后呢， a、 b 的长啊，就很容易得到，因为只要把 b、 c 当中的 k 啊，换成负 k 分之一就 ok。 当把 a、 b 和 b c 的长度啊表达出来以后，然后我们再考虑 证明他为什么大于三米八三，就这样一个过程。所以说呢，我们在做第二位的时候，首先要说明啊，尤其 a、 b、 b、 c 这两条直线呢，斜率一定十来， 并且都归零。 首先把这个事情说明啊，我们不妨 例 b c 的斜率为 k， 并且呢，我让 k 还大一点就可以了。 然后呢， b 点的坐标啊，因为我们借助一点 b 的坐标，因为点 b 呢，是这两条直线的公共点，对吧？我们令点 b 的坐标是 x 零归零。 那么这个时候呢，我们就可以写出 b c 直线方程， y 减 y 零 电视塔，然后我们跟抛物线连力， 我们整理一下啊，整理得啊，整理出来的结果是， x 方减去 k x 加上 k x 零， 然后再减去 x 零的平方单元。我把 y 零呢，用 x 零方加四分之一换掉以后，整理出来是这个。 然后呢，我们就得到 x 零加上 x c 应该等于 k， 然后我们就得到 x c， 我把点 c 的坐标啊啊，用点 b 做 都要比较帅啊。然后这个嘚呢，应该是大人，对吧？嘚呢等于 b 方减去四， 接着上 啊，实际上呢，也就是说 k 不能等于二倍的 x 零，对吧？ 这时呢，我们得到的这样一个问题，然后我们再把 b c 长度给它表达出来，是吧？ b c 长度呢，就等于根据弦长公式嘛，一加 k 方乘 x c 减去 x 零的绝对值等于呢， 我把 s c 啊，用这个换一下，那就是 k 减去二倍的 x 零，对吧， 我们就得到 b c 的长，那么同理， a b 的长，我们就立即扯出，那就把 k 啊， 换成负 k 分之一就可以了， 负 k 分之一一绝对值呢，它就变成了， 我们设矩形周长是 l 啊， 那我们就得到二分之 f， 就等于啊，这两个式子相加， 我们就得到了这样的式。于是呢，我们就需要证明啊，右边这个式啊，大于二分之三米八毫三就可以了，那么整个二分之三米八毫三， 呃，做到这一步，我们又应该怎么去想呢？你看啊，这里它有两个产面量，一个是 k 啊，一个是 s 零， 呃，但是这 k 和 s 零之间呢，还没有必然的联系，对吧？这个时候呢，我们有两种思考方向，一种呢就是说我先把其中的 一个量看成是长量，你比如说我把 k 看个长量，把 x 零看个变量，然后呢求出它的最小值， 这个最小值呢是用 k 表示的式子，然后再把 k 看到变量，然后再考虑求他的最小值 啊，这是一个过程，但是如果这样做啊，我看有的老师也是这样做的，这样做的话呢，这个太烦躁啊，太烦躁。那么我们能不能通过放速的手段，把两个变量当中的一个变量给去掉呢？通过放速， 通过放错呢？想到这两个有两个绝对值，对吧？这两个绝对值呢，我们想到有这样一个不等式，就是 a 的绝对值加上 b 的绝对值大 大于等于非加 b， 我们想采用这个 啊不等式的性质，然后对他进行放缩，然后呢我们把 x 零给他放掉，你看这一个负二倍的 x 零，这一个正二倍 x 零，那么如果一加的话，是不是就把这 x 零给加掉了呢？ 但是遗憾的是这两个柿子啊，前面这个细数根往下一加， k 方和根往下一加上 k 方分之一还不相同，不相同的话呢，那么这两个橘子值呢，就不能凑到一起 这地方。那么这个时候啊，我们能不能把这两个系数给它变成相同呢，再用放错的办法， 那这里头我们看这个根号下一加 k 方和根号下一加 k 方分之一啊，什么时候相等呢？他相等的时候啊，我们不难得到一加 k 方，我们看 等于 k 方减去 k 方分之一， 如果 k 的一，那么这两个式子相等，如果 k 要比一大呢，那么呢，它比它大， k 要小一大点的话呢，它比它小。 哎，因此呢，我们想到的这个问题呢，应该进行讨论，对吧？ 讨论呢，我们分几种情况呢？我们自然就分三种情况， k 等于 k 大于和 k 小于大于。然后呢，我们利用放射的办法啊，把右边这个式子呢， 通过放射，把两个变量的问题可以化成一个变量的问题，利用下这个不等式的性质。好，我们接着往下看啊，一，如果配载机的时候， k 等于十呢，二分之 l 等于刚刚好二倍的，这是刚刚二倍的，然后呢，把它拿出来一 点去， 对吧？他呢，应该是大于等于刚好二倍的， 你看是不是变成他大于等于他了，是吧？根据刚才我写的那个绝对是不等式啊，他就等于那啥呢？ 二比上二，所以说呢， m 叫 大于等于四倍杠二，那四倍杠二显然大于三倍杠三，这是 k 点一的时候，我们得到了证明，对吧？二，如果 k 大于一的时候， k 大于的时候呢？十二号下一加退房大于十二号下， 对吧？所以说呢，二分之 l， 那就应该是大于大于谁呢？我把这个式子换成它偏上下， 对吧？然后呢，我把它提出去 就变成他了， 注意，这没有等号，为什么没有等号？因为他大于他，而且呢，这个还不等零，对吧？刚才已经说过了，对吧？他不等零，那么两边同时乘上他，那这块应该取大于号， 然后利用绝对值不等式，那他呢，应该是大于等于根号下， 那就是这两个式子相加的值，对吧？这两个式的相加值，正好把二 b 的 x 值给加掉了，没有了，用 k 加上 k 分之一， 由于 k 还是正的，所以说这个橘子值啊，加不加都可以了，对吧？对，那就是橘子去掉，不要， 肯定是大于等于他，这样的话，你看是不是把两个变量问题变成一个变量问题，然后我再说呢，他大于等于二分之三倍八十三就可以了，那么这个时候就可以勾到函数了，对吧？我们把它放到标号内， 对，变成它，然后呢，我们列，我们也方便吧，列一加 k 方等于 t， 那么这个 k 大一，那么 t 自然就大于二， 然后呢，我们再构造一个函数 h t 吧，我构造这个根号内的啊，那就应该是 t 减一，上面是 t， 对吧？然后这是 t 的立方，然后这块呢，应该是这个是， 然后 t 呢？打圆，我利用倒数，我说明一下它的最小值是多少，是吧？我看它大于等于啥，那么我们求下倒， 求导，以后啊，我们不难把它整理成这样的形式啊， 上面是啥呢？是七方在秤上七减三，洗完澡以后是他， 所以说呢，这个 h t 呢，那就应该是在二到三这块，应该带到地点， 三到周雄的一个是三到底灯，对吧？所以我们得到了 h t 的最小值 h 三，把三带进去之后呢，等于四分之二十七中也是各行内的啊，大于等于四分之二十七，所以 二分之 l 呢，那就是大于啊，这里就没有等于了，因为这块是没有等号，对吧？这块是大于等于，这里有等号，所以大于呢？多少呢？应该是二分之三倍分化餐， 也就是 l 大于。 这是当 k 啊，啊，这个大一的时候，那我们再看 k 小一大零， k 小一大零啊，实际是同理，对吧？我们再看 k 小一大零的时候， 如果 k 大于零，小于的时候，这个时候呢，这个大，对吧？这个小，那么利用放缩，我们可以得到 二分之 m 大于根号，下一加 k 方， 然后把这个啊换成 一下，可以把他踢出去， 这里需要注意，这里没有等号。为什么没有等号呢？因为这个功能电源 这个部队人啊，实际上就是 ab 这条直线跟抛物线有两个不同的焦点，和刚才 bc 与抛物线有两个不同的焦点，是他部队人啊，那意思是一样的啊。哎， 所以说这个呢，是不能引人不，他不能引人的话呢，他呢，是这个大于他，所以说你称上这个不能引人的数的话呢，那这块不应该有等号，对吧？那大于，哎，然后大于等于， 同样道理还是利用啊，绝对是不等式啊， k 加上 k， 然后呢，我把它放到账号内 啊，同样道理呢，我令 t 在一加平方，那这个时候啊，这个 t 呢，应该是介于一和二之间， 然后呢，我再构造一个函数，再踢，构到括号里了，是吧？那他应该得踢在秤上，踢方底下。这个是七减一， 我们利用倒数求一下他的最小值啊，那么这个最小值啊，我们看一下 应该等于多少呢？应该是等于七减一的平方， 上面是 t 方二七减三，那么很明显， fit 在一到二分之三这个区间上，应该是单到地点二分之三， 到了二这个区间上再到一分，所以说我们就得到了废题的最小值， 把二分之三带去之后呢，我们发现啊，还是四分之二十七 对吧，这刚那个对吧，所以说呢，二分之 l 那就大于啊，这是大于没有等号啊，大于呢，二分之三对方三， 所以说 k 小一大零之后啊，那么我们也证出了他的周长大于三米二三，那么综上所述啊， 那么这个周长就大于三啊，这就是这道题的解析过程啊，呃，这个题啊，我觉得出的非常好啊，呃， 入手呢，就是题的意思简简洁明了啊，审题不用这个过多的时间啊，拿过来之后呢，就考虑做怎么样通过啊，数学不等式 数学的手段，代数的手段啊，去研究几个问题，通过不等式的性质导数啊，去研究这他提出来的这么一个朴素的问题啊， 哎，我觉得这个题啊出的非常好啊，呃，不做不知道啊，一做才发现这是个非常不错的题，呃，不知道专家是怎么看啊，这也为我们以后啊这个高考 指出了方向啊，所以说同学们呢，在以后的学习当中呢，也应该注意这方面的问题啊，不用搞一些花里胡哨的东西， 你只只要脚踏实地的把基础知识行驶好，然后呢，掌握他的数学的基本思想方法啊，就能够处于不败之地。好，今天我就说到这里。
720伯麟数学
21:16查看AI文稿AI文稿大家好，今天呢，我来讲一下去年，也就是二零二二年新高考一卷的最后一道亚洲题。那么在讲这道亚洲题之前，我们有必要说一说新高考的面题趋势。 在之前的高考里头，基本上大题的话，绝大部分地区他就是考什么知识点就是什么知识点， 比如说有一道题他只考的是导函数，另一道题呢，只考的是三角函数这样的大题，但是现在的话，从单一的知识点就转变成了综合多维度的这样一个主题角度。 什么意思？就是这道大题他不仅有可能考察导函数，还会结合数列的知识来考。这道题啊，就是非常经典的一道题目，我们来看一下第一题的话，还是啊， 他并不是特别简单，需要花一些时间的，他跟之前的高考不太一样，之前高考第一问一般就是求个单调性 对不对？顶多是求导的过程稍微复杂一些，讨论的过程不是很复杂的，现在可不是了，第一问就有难度，一共是两问，我们来看一下第一问啊。第一问说的是已知函数，一个是 f x， 一个是 j x 啊，一个是指数的 e x 的 这样一个 e x 次方的类型。另外呢，是对数捞 one 的类型有相同的最小值，求 a 它等于多少？ 那么这个第一问怎么办呢？你肯定得根据单调性的讨论，把 f 还有 g 的最小值求出来，让他俩相等就可以了，对吧？行，咱们来看一下啊。首先第一问写个解字吧， 是吧？那求导之前的话，其实所有的函数问题我们应该先写什么？先写先讨论的是函数的定义域问题，首先我们看一下 fx 啊，嗯，他的定义域的话，我们先写，你说是多少，因为没有其他限制吗？ 他的定义就是 r， 所以我们直接求到就行了。这个 f 求到完了以后呢，就是一的 x 方减去 a， 这个还是非常容易的啊，求单调性肯定是让这个 f 等于几啊？等于零，那其实相当于一的 x 方等于 a， 那左右两边取对数不就是 x 等于捞 a 的意思吗？是这样一个意思吧。 那么现在的话，就有一个问题，其实你再往后边写的过程的话，有一个什么问题呢啊？想一想，我们主要是关注他的正负，对吧？后边先不用去管他， 你就想啊，有可能万一这个 a 是负数呢？如果 a 是负数的话，那这个时候是没有解掉，所以其实一开始的时候，你先不要着急去写那个零点先干嘛，先讨论一下。显然对于这样一个式子来说，如果这个 a 是小 于等于零， a 小于等于零的话，那负 a 不就是大于等于零吗？一个正数再加上大于等于零的数字，此时这个 f 撇他永远是大于零的呀。也就是说，当这个 a 怎么样小于等于零的时候，我这个啊，导航数永远为证，那此时 f x 在整个 r 上定义上就单独递增，他是没有 最小的那个值得，对吧？那这个时候就不用写了，肯定不符合提议啊。所以经过讨论排除法吗？那此时 a 肯定必须是大于零的， 这样才能保证 fx 有最小值，然后才能够说两个函数有有相同的最小值，对吧？好，现在的话，我们再让这个导函数等于零，然后再往后边写，对吧？嗯，也就是一的 x 方等于 a， 左右里面取对数， x 等于捞上 aa， 是这 后数，此时就有这样的值，对吧？所以显然什么呀，当这个 x 在哪的时候，当你在这样一个范围内解决着富无穷，就是在捞 a 的左边的时候，我这个导数很明显的嘛，它是小于零，那此时 fx 就是单调递减的，咱们写清楚就行了。 当你这个 x 大于 love a 的时候，我的导数怎么样啊？我这个导数就是大于零的。导数大于零，那不就是函数在 love a 的右侧，它叫 d 增的意思吗？先减后增，所以说 f 的最小值咱们就直接求出来了。 love a 这个地方就是个最小值，对吧？ 把这个最小值求出来之后的话，带入嘛， e 的 low a， 那根据对数横等式，其实它就是 a 啊，然后再减去 a 倍的 low a， 反正其中一个最小值已经求出来了，这个地方我们换一下圈一啊， 接下来干嘛？那就要求 j x 的最小值了。 j x 最小值怎么求呢？看了哈，首先还是这样，我们求完了 f， 那 j 的定义域也得求一下。这个 j 的定义域的话，它可就不是 r 了。为什么？ 因为你 g 它这个形式有捞 n 啊，所以它的定律必须得保证这个帧数 x 这个部分大于零，然后再对 g x 求导，它也是非常容易的啊，咱就直接写了， 那么继续往后写。那写一下嘛，分母是正数，那就是 a x 减。好，一定要注意，我们必须得保证 a 大于零吧。在 a 大于零这个前提下， 咱们只需要保证分子，它的正负其实就已经保证了 j x 这样一个导函数的正负了，是不是？所以呢，让这个导函数等于零，我们 x 等于 a 分之一。那么稍微讨论一下你就知道， 当自变量在零到 a 分之一之间时候， j x 它这个导数为负吧。那此时其实 j x 就是单调递减，然后 a 分之一到正无穷，我这个 j x 啊，就单调递增，所以我两个最小值其实就求出来了，这个 j 的最小值呢， 就是这 a 分之一，你代入嘛？代入解析式里头， a 乘 a 分之一不对一减去 love a 分之一。但是呢，这个 a 分之一其实我们可以写成 a 的负一次方，把这个负一提到前头来，负负得正了，所以我们最好把这个最小值写成一加 love a。 是这样一个道理啊，我们看一下圈一和圈， 他不是说圈一和圈必须有相同的最小值吗？其实你只有让圈一和圈二这两个值画等于号就行了，是吧？所以呢，根据题啊，也就是说这 f 的最小值，他是等于 g 的最小值的。那根据刚才我们求的圈一圈二的值，其实不就是 a 减去 a 倍的浪漫 a， 他是等于多少啊？等于一加上浪漫 a 的，而且我们之前已经讨论过了， a 的值肯定是一个正数， 那么接下来就是怎么去求这个 a 很难呢？其实不是很难啊，关键部分是哪呢？不顺眼呢？其实就是这个 对数的部分不太顺眼。我们单独把这个对数拎出来，能清楚这个意思吧？对数单身狗吗？指数找基友对吧？对数得单独拎出来， 单独拎出来的话，等价于就刚才我们写的这样一个式子，我们稍微拎一下啊，乱， a 单独移到一边，那就变成了一加 a， 然后呢，右边也移一下吧，变成了 a 减一。所以说这个劳文 a， 大家放心，画圈部分这个作为分母是可以的，因为一加上正数， a 是一个正数，所以做分母没有任何问题啊，我就写成一加 a 或者 a 加一都一样 行了，是不是啊？这样的话对手就专门分开了，分开以后变方便求导嘛。其实也就是 low a 等于什么啊？ low a 减去右边这个 a 加一， a 减一，它是等于零的， 这个时候 a 确实是个正数啊，那这个式子的话，我就画成这个圈三吧，根据这个式子，确实可以把 a 求出来。怎么求呢？我们引入一个函数， 对吧？也就是说 a 把它看成先看的一个变量，看这个变量之后，求出来是不是唯一的这样一个值啊。好了， x 加一分之， x 减一，那此时 x 肯定大于零，因为我们 a 的方法就是刚才讨论 我肯定是大于零的啊。对， h 这样一个函数呢，在零的中，从这个范围内求倒左边的话其实很好求，右边的话也好求啊， 那么最终的话就变成了 x 加一，减去 x 减一。这个稍微处理一下啊，我就直接写了，因为求导的过程还是比较容易的，相对来说，通分 通分以后，最终求到的结果是 x 乘 x 加一的平方，这分母啊，不用多说了，肯定是正数乘正数是正的，对吧？我们只需要关注这个分子啊，分子的话整理之后是 x 方加一。哇，好像分子和分母都是正的啊，只要分子和分母都是正的。原来导函数 他怎么样，他在零到正无穷永远是正数。所以说这个 h x 在他的定义域零到正无穷这个范围内吧，肯定是单调递增的。是单调的， 那有没有点呢？有，比如说这就是 hx 这样一个草图，我们只要求出来，懂了吧？什么时候啊？一这个地方为什么要试一呢？因为你有劳恩劳恩。一是个特殊的值吗？是避不开的这个值。 那当我们算到这的时候， h 一等于零，而且还是单角递增的，能懂这个意思了吧？所以看了啊， h a 等于零， 等于 h 等于零，那么根据这个函数的单调性，此时这个 a 只能怎么样？只能等于一了，而且是唯一的，应该清楚了吧，因为 h x 是严格单调递增的，只有这唯一的一个结好了，第一问我们就求完了， 不是特别难，但是真的需要花一些时间。不是那种就是说我一写一求导就能得出结论来的题，是不是第一问还可以，现在我们重点是讲第二问啊，第二问，你看等差数列这 四个字，是不是有点心慌？其实也没有必要啊，如果说你做到这个第二问的时候，还剩下十分钟或者到十五分钟的时间，必然是可以把这个题做出来，是有可能的。那我们看一下这个题，第二个题的话，他说的是 y 等于 b， 他说是否存在一条水平的线啊？在平面，这叫做标题中 是否存在一条水平的线。外等硬币，它跟 f x 和 j x 呢？一共有三个不同的焦点，如果存在的话，你说明理由不存在，当然也得说明理由啊，并且得保证 从左往右这三个点的横坐标还是个等差数点，这对我们提出了很高的要求，怎么办？首先外和就是这个 f x 和 j x 草图是必然，你得画一画是吧？看了啊，由括号一我们已经知道一等于一了， g n a 等于一，那我此时这个 f 就应该写成什么？写成一的 x 方减去一倍的 x， 然后 j x 的话就是一倍的 x， 再减去 lon x， 对吧？没有参数了，参数 a 是一个确定的值嘛？ 好了，现在他俩的图像必然是完全确定的。那么由刚才括号一的讨论的话，我们其实也得出来了，这个 f x 他在什么范围内。 在负无穷到 lona， 那其实就是负无穷到零是单要递减的，零的正无穷是单要递增的。这个是刚才我们就已经讨论出来的啊，并且这个 f 的最小值 和 g 的最小值其实都是几啊？那肯定是都是一样嘛， f 零，你求一下 f 零嘛，其实最后求出来就正好是等于一，最小值都是一啊，这是刚才括号一告诉我们的。然后呢，这个 g f x 我们也是一会画草图的时候，你也得知道他在什么方面的呀？在零到 a 分之 a 分之一，那不就一分之一吗？零到一是单调递减，然后一到这种情况是单调递增的啊，他们最小值最低的那个点最小值都是等于一， 那现在其实我们是有必要怎么样？有必要把它的草图给画出来的。画出来这两个草图对吧？画完这个草图之后的话，大家注意了啊，我还是重新标注一下 gx 呢，它在零到一上是前一到中球，难道递增？那么画完这个图的话，看 零的话，一左边这个是 fx 图像啊，就这个，然后右边这个图像他才是 gx 图像，能分清楚吧？并且他这个水平线呢，就最低的那个点都是 y， 等于一，也就是说 b 肯定是比一要大一些，才有可能是三个角点或者 四个焦点啊。那写你接下来怎么办啊？接下来告诉我。接下来的话，其实有一个问题，就是这个 f x 和 j x 他肯定是交于 m 点，这个 m 点是横着外在零到一之间啊，比如说我们这个公共的焦点， m 点， 这个是必然存在的啊，因为你这个这他是在零到一之间是减的，然后他是增的，必然是有一个，看图就能看出来。 嗯，但是有另外一个问题，我这个 f x 在一的右侧，就这条虚线啊，在一的右侧，万一增长的很慢呢？ 我这个 f x， 然后这个 j x 越来越陡峭，越来越，就是他俩有没有可能相交呢？有可能相交，但是也有可能什么情况？也有可能。其实呀，你这个 f 是一个指数型的增长，他的 增长会特别特别快，按常理，按直觉来说，也就是说这个 f x 应该是永远在 j x 上方的， j x 增长再快也快不过指数爆炸，对吧？是有这样一个直觉，但是直觉不能当饭吃，不能写为过程，你得严格证明，在 e 的右侧， 我这个 f 永远在 g 的上方。这道题难点是在这的，清楚了吧？那现在我们来看一看啊，画完这个草图的话，肯定现在知道了在什么范围内啊？也就是说在零到一这样一个范围内，存在 唯一的焦点 m 点，这个点的话，横坐标我们就写成这样个样子，纵坐标的话，其实这个地方你写 f 也行，写 g 也行，这都是无所谓的。两个都相 相等吗？对吧？嗯，使得什么有有唯一的焦点吧，此时横坐标它是在零到一之间的，我们先写清楚，这个是可以直接下结论，但是另外的话，刚才我也说了呀，一的右边，你怎么证明 f 永远在 g 的上方？说一说用减法吧，是不是好看了哈，我们直接做一下减法， 这个减法呢，就是 f 减去 j， 那你减一式一带入呢？其实就是 e 的 x 方加 low on x 再减二了，这没问题，我说了，我们要证明的是 x 在一的右侧，所以后边这个范围也就是 u x 啊，是 x 大于等于一。讨论这样一个范围， 接下来就求导吧。求导这个还是容易的啊， e x 方，然后呢？再加上多少啊？求导以后的话，其实就直接变成 成了加上 x 分之一啊，后边这个是二 x 啊，这个是二 x 的话，那就得还再减去二了。求道得出来这样一个过程，那接下来又该怎么办？看他肯定 是要比谁大的，比这个一的 x 方减二大的，因为 x 分之一肯定是个正数，你就正数再小它也是个正数，对吧？ 好，我们看了啊，此时它大于谁呀？大于等于 e 的一次方减去二吧，因为这个单调递增的这样一个特点吧，它对吧？ ex 方，这个单调递增咱们不用正 大于零吧。好啊，原来它这个对于 u x 这个函数来说， u 这个函数在一到正无穷上，它的导函数是正的，所以说 u x 永远是单调递增。在什么方面内？在这个一到正无穷这样一个方面内，永远是单调递增。 原来是这个特点，我们求一下极端值，所以说 ux 肯定是严格的大于等于多少？大于等于优一的吧。你把这个优一带入，带入的话，咱们看一下这个值啊，优一优一，优一优一， 算一下是多少一的一次方加上捞 n 一，对吧，然后再干嘛？然后再减去二，他肯定是大于零的，这都不用多说， 行了吧？好，所以说呀，既然 u x 永远是个正数，所以那不就是 f x 减去 j x， 这就是 u x 的本身吗？大于零， 那 f 减去 g 大于零，不就等价于 f 永远是大于 g 的吗？在什么方位内？在 x 大于等于一的这样一个方位内，在这条竖线的右侧，确实，我们已经证明了 f x 这样一个图像，它永远在 g 的上边，也就证明了在右侧，在 e 的右侧， f 和 g 不可能再有焦点了， f 是永远在 g 的上方的，你看这一步是不是特别重要啊？好了，证明完了， 但是证明完之后的话，接下来我们要求什么？我们还得验证。验证这三个不同的焦点，就是这三个横坐标，就左边这个焦点横坐标，比如说是 a， 右边这个。呃，焦点呢？是 b， 我们还得保证 abm 究竟是不是等差数列，是不是有这样一个点在里头。行了，咱们来求一下啊， 继续往后怎么求呢？看好了啊。嗯，由图像我们可以知道。由图像和刚才的讨论吧，确实是存在 y 等于 b， 他跟谁啊？他跟这个 f x 还有 g x 共三个不同的焦点，咱们写清楚，确实存在，但是后半部分咱还得验证验证这三个横坐标究竟是不是等差数列，是吧？好，来验证一下啊。嗯，这样来， 既然 y 等于 b， 在图像中我们可以知道它必然是过哪个点，过这个 m 点，也就说横坐标是它，纵坐标是它必然是过这个点的。 所以现在我们可以列出两个十字啊。先看第一个十字啊，这个 b 肯定等于 f m， 这个都不用你说了， 是不是？而且它得等于 f x， 因为我们要求左边这个焦点 x 一，这个焦点嘛，对吧？这个横坐标一会再求 x 二。嗯，那怎么求呢？哎，带入啊， b 的话，我这样来写 f x， 它就是 e 的 x 方减去 x， 然后这个 f m 的话，那就是 e 的 m 次方减去 m b 的话，其实你可以写成 b， 也可以写成什么呢？也可以写成 gm， 因为 gm 和 fm 都是一样的，所以这个地方的话，其实我直接写成这个 gm 也是可以我写成 gm 了啊， 等于多少？等于 m， 再减去 low on m 吧。写成这个值之后的话，这儿有一个非常巧妙的铜构的这样一步。 嗯，什么叫同购呢？同购可以帮我们解出这道题来，也就说这道题它不仅有 x 等于 m 这个结，肯定还有另外一个结，也就是说，左边这个 x e， 它怎么去表示，怎么表示呢？ 来，我这个 m， 我一会要换了同购。根据只对同购的这样一个小技巧，这个 m 我应该换成一 e 的 low n m 哦，次方吧。所以啊，我这个 m 改一下形式，变成 e 的 low n 次方，你比较一下画横线这两部分不就是得出来了呀。所以说刚刚我写的这样一个值是多少？其中一个是 m， 你不用多说，咱先写上， 它是在这个零到一这样一个范围内的，然后另外一个值就是负的多少，其实也就是 low on m， 因为你 m 它是在零到一之间，你 low on m 肯定是个负数啊，不用多说吧。 还有另外一条，其实呢，我这个 j m 等于 f， m 等于 j x， 因为我除了求这个 x e 的值已经求出来了啊，龙 m， 我还得求这个 x 二的值，表示说 x 二这个值来横坐标，对吧？看一下这三个横坐标是否是成这样一个等差数列的。肯定是啊，我们求一下 好， g x 先斜，那么就是 i x 减多少？减去 l n x 嘛，然后 g m 继续写，那就是 i m 减去 l n m， 这个呢，也没有什么可说的。 然后右边呢，右边我这个 f， 我先写这个 f 啊， f 的话肯定是 e 的 m 次方减去 m， 其实这个地方的话，我跟大家说一下，也需要同构，你说同构什么？这个 m 还是根据同构的技巧，我们直接把这个 m 改成 low n e 的 m 次方，请你对比一下画横线这两部分，这个画圈部分不就是 x 值，所以清楚了吧，也就说我在图里头画的这个 x 知道是多少吗？肯定啊，其中一个是 m， 这个 m 的值是零到一，不用多说。那另外的话，看 看多少一的 m 次方吧，一的 m 次方显然他就是大于一的。现在清楚了啊，所以这个 x 横坐标，三个横坐标我们都求出来了，一个横坐标是他，一个横坐标是他，是不是？所以现在看好了啊， 现在我们只需要证明这三个横坐标乘等差数列其实也就是谁呢？也就是 这个。嗯， m 减去 l， n， m 等于 e 的 m 次方减 m。 请告诉我它成等差数列吗？ 他就是乘等差数列的呀。就是这三个横坐标，他是乘等差数列。为什么乘等差数列？因为你这个等号其实相当于谁。左边你看一下这个式子嘛，他实际上就是 gm 啊。右边你看一下这个式子，他是谁啊？他 实际上就是 fm。 你说是不是？成成等函数列？是，所以到最后咱们写一下答话就行了。那个答话我就不写了啊，怎么写答话呢？确实存在这样的直线歪动硬币，他跟两条 曲线有三个不同的焦点，并且这三个焦点的横坐标成等差数列我们已经证明完了。现在应该清楚我的意思了。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨万老师，下节课再见。
1871会放羊的教书匠
