23甲卷
我们来看一下二三年全国卷卷的高考真题，已知函数给了我们一个函数，对吧？第一问，当 a 等于一时，让我们判断它的单调性，那也就是求它的导数呗，对吧？导数大于零，单调递增， 导数小于零，是单调递减的。那我们来看一下，当 a 等于一时， 这个函数 f x 是 不是等于 x 减去三 x 比上口三 x 的 平方了，这时候呢，给了 x 属于零到二分之派， 那我们对它求一下导呢？ f x 呢，是不是就等于一减去它的导数，它的导数是不是它导乘它减去它乘它导比上它的平方了，那它导乘它三 s。 导数是 q 三 s 乘以 q 三 s 的 平方， 它导乘它减去它三 s 平方的导数。 q 三 s 平方的导数 是不等于口三 x， 导数是负的三 x 再乘以二倍的口三 x， 对 吧？它的导数是它三 x 乘以它的导数，是它，对吧？乘以负的三 x， 乘二倍的 q 三 x， 对 吧？它倒乘它减，它乘它倒比上 q 三 x 方的平方，那也就是 q 三 x 的 四次方，那么它约一下分， 它等于一减去 q 三 x 的 三次方， 加上二倍的 q 三 x， 三 x 的 平方比上 q 三 x 的 四次方，那我们是不是能约掉一个 q 三 x 啊？那它就等于一减 q 三 x 的 三次方， 这约掉一个 q 三 x， 就 变成了 q 三 x 的 平方，加上二倍的三 x 的 平方，对吧？ fps 等于它， 那我们再再约一下，分给它，通一下分，它变成也都变成扣三 s 的 立方， 这是扣三 s 的 立方。减扣三 s 的 平，减去二倍的三 s 方，三 s 方呢，就是一减扣三 x 方，那它就等于扣三 x 的 立方，这是扣三 x 的 立方 减 q 三 s 方减二，减二倍的 q 三 s 方，那它就等于 q 三 s 的 立方分之 q 三 x 的 立方加上 q 三 x 方减二，那我们令 t 等于 q 三 x， 因为 x 呢，是属于零到二分之派的，对吧？那 t 等于 q 三 x， 它就是属于零到一的， 因为 q 三函数的图像嘛，它在零到二分之派是在零到一，对吧？所以 t 是 属于零到一的。 fpx 是 不是就 t 的 立方分之 t 的 立方加 t 方减二啊？ 那因为 t 是 属于零到一的，那 t 的 立方是不是一定是大于零的？那我们就看 t， 因为 t 的 立方加 t 方减二，我们看一下它的它的正负号，对吧？我们来它构造一下那 t 方 t 的 立方加 t 方减二，是不是就是相当于 t 的 立方减去 t 方 加上二，提方，是不是也相当于加提方，对吧？减去二，那他就等于我们提出个提方倍的提减一，加上二倍的提加一，乘以提减一啊。 因为他就相当于提出个提方嘛。提方倍的提减一，那他呢？是不是提出个二倍的就变成了提方减一啊？提方减一就是提加一，乘以提减一，对吧？那他就等于 提出个提减一，提减一。提出来，那这块成提方加上二，提加二了，对吧？ 那我们看一下，因为，呃， t 是 属于零到一吗？因为 t 属于零到一的，那 t 方加二， t 加二，它肯定是大于零的，对吧？ t 减一呢，是小于零的，然后那所以 t 的 立方加 t 方减二，那它一个小于零的，一个大于零的，对吧？它是小于零的，又因为 t 三呢，它肯 t 的 立方肯定是大于零的，所以 一个小于零除以一个大于零的数，对吧？这呢，它大于零，它小于零，所以说 fpx 呢，是小于零的，在零到二分之派上横乘以， 所以 f x 在 零到二分之派上是单调递减的。 那第一问呢，我们就做完了，我们看一下第二问。第二问呢，他给了 f x 加 c x 小 于零，对吧？那我们令 g x 等于 f x 加上三 x， 那 也就是 a x 减去三 s 比上扣三 s 的 平方，加上三 x x 属于零到二分之派的，对吧？我们观察，是不是这零等于零啊？那我们用 j 零等于零，然后它小于零，那想让 j x 小 于零，也就是等价于让 j x 小 于 j 零，对吧？那如果想让 j x 小 于 j 零，我们是不是得看 j x 的 单调性啊？对吧？看 a 取什么时候，它是单调递增的， 看 g s a 取什么时候， g s 是 单就递减的，对吧？看，如果说 a 取一个一个范围的时候，他是单就递增的，是不是不符合定义啊？所以说 a 就 不能要，那看这个 a 取一个范围的时候， g s 是 单就递减的，那就是不能留下这个 a 的 取的范围了，所以说我们得看一下。 呃， g s 的 单调性，那看 g s 的 单调性，我们是不是得对 g s 进行求导啊？那 g x 是 不是就等于 a 减去它的导数，对吧？它导乘它减去，它乘它倒比上它的平方，那这块省略了，因为第一个我们做过了，等于一加三 s 方比上口三 x 的 立方，然后再加上三 s 导数是口三 x x 呢，属于零到二分之派的。 那 g 撇 s 我 们求出来了，因为 g 零等于 f 零加上塞零等于零，对吧？ t 杠呢，又给了我们 g x， 也就是 f x 加上 c x 是 小于零的，那 g x 呢，正好是等于零，所以说 g x 呢，肯定是小于 g x 的， 对吧？那 g x 小 于 g x x 呢？它还是属于零到二分之派的， x 呢？还大于零，又因为 x x 大 于零，小于二分之派，那 g x 又小于零，所以 g x 肯定是 单调递减的，对吧？那它单调递减，那它的导数是小于零，那是不是这撇零它也小于 小于等于零，对吧？ v g s 是 单调递减的嘛，所以说它的导数是小于等于零的，那导数小于等于零，它任意一点的导数值，它都小于等于零，所以这撇零小于等于零，因为这撇零呢， 给它代入，它是等于 a 减一加一等于 a， 对 吧？所以我们能得到 a 小 于等于零，代入一下，当 a 等于零时， 三 x 减去三 x 比上扣三 x 方，是不是就等于提出个三 x 一 减去扣三 x 方分之一啊？ 因为 x 是 属于零到二分之派的，那所以三 x 呢，是不是大于零小于一的 q 三 x 也是大于零小于一的，那 q 三 s 方分之一是不是就是大于一的？那所以 f x 加上三 x， 它是等于三 x 减三 x 比上扣三 x 方的，对吧？它是大于零小于一的，它是大于一的，所以一减去大于一，就是它小于零，对吧？所以它也就是 f x 加上三 x， 它那是小于零的。 那根梯杠给我们的一致，对吧？所以说满足题，那我们再看到 a 小 于零时， 还是 x 是 大于零小于二分之 pi 的， 对吧？ a x 呢？所以 a x 它肯定是小于零的， 所以 f x 加上三 x， 它是等于 a x 减去三 x 比上 q 三 s 方，加上三 x 减三比上 q 三 s 上边我们求着它，对吧？ 他是小于零的， ax 呢，也是一个小于零的，所以说他呢，肯定也是小于零的，对吧？那他小于零也是和题干给的一样，对吧？所以说他也是满足提议的。所以若 f x 加上 c x 小 于零，那就相当于 a 小 于等于零，对吧？所以 a 的 取值范围我们就求出来了。
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12:13查看AI文稿AI文稿来看一下三年全国甲卷的这个泡泡真体已知函数 f x 给了我们定域，对吧？ x 就 属于零到二分之派的。第一问告诉我们，当 a 等于八十，讨论 f s 单调性， 那还是看单调性，就是求它的导数，对吧？看它的导数的大小，导数大于零，它是增函数，导数呢？小于零，它是减函数。那我们写下，当 a 等于八十， 这个时候 f x 呢？就等于八 x 减去三 x 比上扣三 x 的 地方， 那我们对它求导呢？ f p x 呢，就等于八减去，是不是它导乘以它减去，它乘以它导比上它的平方啊？那也就是三 s 导数是 q 三 x 乘以 q 三 x 的 立方， 减去三 x 乘以口三 s 地方的导数，就是三倍的口三 x 方。然后再对口三 x 求导，就是负的三 x 比上口三 x 的 六次方，对吧？嗯，它就等于八减去口三 x 的 六次方分之 q q 三 x 的 四次方减去，这变成加了，对吧？这是减号，这个减号加上三倍的三 x 方， q 三 x 方 等于八减去，是不是都能约掉一个 q 三 x 方啊？对吧？那底下变成了 q 三 x 四次方，它变成了 q 三 x 方，加上三倍的三 x 的 平方。 那接着给他化解，因为都是口三 x 吗？我们把它写成口三的形式，那他是不是等于口三 x 方，加上三倍的三 s 方，就是一减去口三 x 方，那我们再给他去括号， 那就是加三加减去三倍的 q 三 x 方，对吧？它就等于八减去 q 三 x 的 四次方分值。把 q 三 x 方合并一下，就是三减二倍的 q 三 x 的 平方，零 t 呢，等于 q 三 x 方，因为 x 是 属于零到二分之派的，对吧？那 q 三 x 是 不是零到一？那 q 三 x 方是不是属于零到一？那也就是说 t 呢，是属于零到一的， 那这个时候呢？ fpx 呢？我们把 cos 方换成 t， fps 就 等于八减去 t 方分之三减二， t 等于约下分等于 t 方分之八， t 方减三 加上二 t， 对 吧？等于 t 方分之，是不是就是二 t 减一乘以四， t 加三呀？ 那我们求它的单调性，我们是不是就令它大于零啊？对吧？令它大于零，小于零，那我们观察， t 是 属于零到一的，那 t 方呢？ t 方肯定是大于零的，对吧？ t 是 零到一，那四 t 加三肯定也是大于零，那我们想让这个 fps 大 于零，他已经大于零了，他也大于零了，那我们是不是就让二 t 减一大于零就行了，对吧？二 t 减一大于零，那就 t 大 于二分之一十， f p x 呢，就大于零，这个时候呢？ t 大 于二分之一， t 是 cos x 方，对吧？这个时候 x 呢，是属于零到四分之派的，因为 t 大 于二分之一，那也就是 cos x 方大于二分之一嘛。 那口三 x 呢，是不是就是大于零，小于二分之根号二啊？那 x 是 不是取零到四分之派呀？那当 t 小 于二分之一时，是不是 fps 就 小于零啊？这个时候呢， x 呢，是属于四分之派到二分之派的，对吧？ 那所以 f x 在 零到四分之派，导数大于零是单调递增的，对吧？在零到四分之派上是单调递增， 在四分之派到二分之派，是不是单调递减啊？嗯，第一个我们去完了，我们看一下第二位。 第二问呢？他说若 f x 小 于三，二 x 横成力，让我们求其的曲值范围，那 f x 小 于三二 x， 是 不是就是 f x 减去三二 x 小 于零横成力啊？那我们令 g x 等于 f x 减去三二 x， 那 题干说让它横成立，那也就是说让 g x 是 小于零横成立的，对吧？那 g p x 呢？是不是等于 f p x 减去二倍的口塞二 x， 对 吧？那 f p x 我 第一问的时候，我们求出来的等于 f p s 等于他，对吧？但是等于他是 a 等于八的时候，对吧？ a 等于八只能适用第一问，第二问， a 就 不等于等于八了， a 就是 a 了，对吧？那我们把八改成 a， 那 就是梯方分之 a， t 方减，就把这块的八换成 a， 因为第一问是 a 等于八，第二问就不是了。 a t 方减三，加上二 t， 对 吧？ 然后再减去二倍的。呃， q 三二 x 是 不是就等于 q 二倍的 q 三 s 方减一啊？ 这是一个公式。 q 三 s 的 二倍的 q 三方减一，那它就等于给它约下分等于 t 方分之 a， t 方加二， t 减三，再减去二倍的二 t 减一， 对吧？我们把 q 三 s 方换成 t 吗？另听 t 等于 q 三 s 方，那这片 s 呢？它就等于 a 加上 t 分 之二，减去 t 方分之三减四， t 加二，对吧？这个时候呢，就属于零到一的，那我们判断它的单调性是不是没法判断？那没法判断它的大小的话，我们是不是就 求二次求到啊？那就是利用 h s 等于 g p x 是 不是就等于它呀？等于 a 加二减四， t 就 换一下位置啊？加上 t 分 之二，减去 t 的 平方分之三，那我们对它求到 h p x 呢？它就等于负， a 加二是常数呗，对吧？常数没了，那是负四，加上它倒乘它减去它乘它倒比上它的平方，那就是变成了负的二。比上 t 方 加上六，比上 t 的 立方，那给他约一下分，他就等于 t 的 立方分之负四， t 的 立方减二， t 加六，我们给他因式分解，他等于负的 t 的 立方，提出个符号，对吧？然后他提出一个二倍的 t 减一，他就变成了二 t 方加二， t 加三， 这个时候呢， t 是 属于零到一的，对吧？那 t 的 立方呢？一定是大于零的。二 t 方加二， t 加三呢，也都是大于零的。 呃， t 减一呢， t 属于零到一， t 减一的小于零，那前面还有个符号，所以说 h x 是 大于零的，对吧？因为它是小于零的。前面还有个符号，所以说 h x 是 大于零的，那 h x 大 于零， 这是 t 啊，因为他这个，嗯，参数未知数是 t， 这都是 t， 因为是什么？ t 什么吗？对吧？这是 t， 这是 t， 那 h 撇 t 大 于零，那说明什么？ h t 是 不是在零到一上导数大于零，对吧？是单调递增的呀？ 一，我们给他带入，是不是等于 a 加上二，这呢？ a 加上二减四，加二减三，是不是等于 a 减三呢？对吧？因为 h t 在 零到一上，这是零，这是一，这是最大值，对吧？是单调递增的，那这个 h t h t 是 不是就小于 h 一 呀？ h 一 呢，等于一减三，所以 h t 是 小于 a 减三的，对吧？那我们看这个 h t 的 这个大小关系，嗯，那当 a 小 于等于三十，那 a 减三，也就是这个 h t 是 不是小于零的？那 h t 小 于零， h t 是 等于这撇 t 啊，那也就是说这撇 t 是 小于等于零的， 那所以这题在这个定域零到二派上是不是单调递减的？ 那这题是单调递减的，那所以这题是不是就小于这零啊？那这零呢？这零就等于零，对吧？所以说这题是小于零的，那也就是 g s 等于 f x 减去塞二 x， 对 吧？ 因为这是 g s 吗？是 x， 但是我们这块是就是 t 了，就是，是因为利用 t 等于 q 三 s 方了吗？对吧？那我们这是给他写成 g s g s 等于他，那他就是小于零了，对吧？那所以 f x 呢？就小于三二 x 了，所以他就是满足 t e 的， 对吧？ 那我们看，当 a 大 于三时呢？是。当 t 趋近于零时，是不是 t 分 之二减去 t 方分之三，它是趋近于负无穷的， 它趋近于负无穷，因为 h t 呢，它等于 a 加二减四， t 加上 t 分 之二减去 t 方分之三，对吧？搁这呢， h t 搁这呢，它是趋近于负无穷的， t 呢？趋近于零，然后这是一个函数，对吧？那它呢？是不是也是趋近于这个负无穷的？又因为 h 一， 它是不是算出来了？等于 a 减三，它是大于零的，所以存在 t 零属于零到一，是不是有一个零到一，使得 h t 零是等于零的，那 t 属于零到一，使得 h t 零等于零，是不是就相当于 s 零是属于零到，等加于 s， 零属于零到二分之派， 使得 g p s 零等于零了。所以当 t 属于 t 零到一时，是不是 h t 它是大于零的， h t 呢？也就是说 g p x 它大于零的，所以 g x 呢？是单调递增函数， 所以当 x 属于 t， 是 属于 t 零到一，那 s 呢？是属于零到 s 零时， 是不是 g s 就 大于 g， 零等于零啊？因为题刚告诉我们是 g g x 是 小于零，对吧？它是 g s 大 于零，所以说它呢，是不合提的。所以 综上所述， a 的 取值范围是不是能只能取它呀？也就是说 a 小 于等于三呢？所以综上所述， a 是 小于等于三的。 这道题，我们求完这道题，还是题告诉了我们一个函数，对吧？他小于零乘以立，那我们就对他求到。求到之后呢，看他是单调递增还是递减函数。然后我们探讨 a 的 取值范围分，分布不同。
579小冰高中数学
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26:39查看AI文稿AI文稿大家好，呃，今天我们继续来讲二零二三年全国假卷的第十八题，也就说第二道大题，呃，这道大题呢，难度应该是比较大的啊，至少他对于这个题号而言，他的难度比较大。很多同学对于第一问， 对吧？第一问直接就间隙啊，但是，呃，间隙出来呢啊，效果好像不太好啊。我们来看这道题目，他告诉我们 啊，在一个三轮柱 a b c a e b e c e 中， a e c 垂直于底面， a b c， 也就是说 这个是垂直于下面这一个面的，对吧？他垂直于下面这个面，呃，也就是说，这个脚和这个脚是不是直角啊？然后他又告诉我们，脚 a c b 等于九十度，呃，这个角也是直角啊。很多同学看到这三个，呃，这两个条件呢，非常兴奋，怎么个兴奋呢？因为他直接就可以间隙了吗？对吧？这 x 轴，呃， y 轴，呃， z 轴，呃，直接就可以间隙了， 呃，但是，呃，这个第一问呢，直接间隙，好像呢，难度是比较大的，呃，我们再来看后面他告诉我们的， a a 一等于二，也就是说这条边是二，然后 a 一到平面， p c c e b e 的距离为一。 呃，难度大，大在哪里呢？就大在这句话，呃，什么叫 a 一到平面， b c c 一 b 一啊？就是背后这个平面，它的距离为一。呃，很多同学 通过间隙过后呢，发现那个坐标并不能很好的表示，那就是因为对于这句话，他没有办法怎么去应用他。而点到平面的距离是什么距离啊？你可以想象为 摄影吗？对吧？或者说你说投影吗？对吧？所以这道题我们怎么入手呢啊？当然你也可以通，从哪里出发呢？从等体积法出发啊，等体积法也是我们常用的，那就是我是不是把这一个看错？第一，这是不顶点 对不对啊？这个图形，呃，但是啊，这道题呢，也不好用啊。这道题我们应该怎么做呢？第一，问， 我们可以考虑它面面垂直。呃，为什么是面面垂直呢？你看，因为，呃，这个 b、 c 是不是垂直于 a e、 c 的，对吧？你去琢磨 b c 垂直于 a e c。 因为 a e、 c 垂直于底面， a b c 嘛，所以 b， 呃，它垂直于面，是不是垂直于面上的每一条线？所以 b c 理应垂直于 a， e c。 呃，然后呢？我 b c， 它又告诉我们是垂直于 a、 c 的。呃，这是哪里告诉的？那就是角 a c b 是不是等于九十度？那所以我是不是马上可以得出，呃， b c 是不是垂直于面？ a e a c 的，对吧？这个应该没有问题。因为，因为什么？因为这两条直线，呃，相交嘛，而且在同一面里面，对吧？垂直于同一面的两条相交直线， 它垂直于这个面，所以你看， bc 垂直于这个面呢？那马上我是不是可以得到？可以得到什么呢？两个面垂直的。所以，那为什么两个面呢？那是因为我的 bc 是不是又在又在哪个面里面？是不是背后这一个面里面， 对吧？所以马上面面垂直，对吧？线面垂直，马上推出面面垂直面 b c。 呃， c e， 呃， b e 垂直于面 a e a c c e 哎，垂直，那这道题就好做了啊，既然他垂直， 那说明什么？是不是相当于我这个 a 一到什么呢？ a 一到平面的距离啊？ a 一到平面的距离，哎，他们两个面是垂直的，那是不是就相当于我，你看我投影投下去投在哪里？是不？实际上是投在 c c 一上面，呃，是不是这样的啊？假如这个点是什么啊？假如这个点是 o 点， 对不对啊？搞定了，那这个就搞定了啊。所以是不是相当于 a e o 等于多少等于一，对吧。哎，所以你看接着写 怎么投呢？那就是过， 所以过 a e 做 a e o 垂直于 c c e， 对吧？并且交 啊， c c e 余 o 啊，这个自己去描述了，所以马上可以得到 a e o 是不是垂直于 面？哪个面呢？是不是 d？ 呃，最最后面这个面 b c 呃， c e b e 的， 对吧？所以 a o 是不是等于一？这就是我们对于这个条件的运用。 ao 等于一了。那我要求的是什么？我要去证明的是啊， aec 等于 acaec 是哪？哪条边？是不是在这条边等于什么？等于 ac 是不是这条边啊？也就是说让你证明 acae 是一个什么三角形？等腰直角三角形， 对吧？那怎么去证明？很简单，你把每条边求出来就可以证明了。那这个侧面啊，这个侧面我们可以把它单独画出来，对吧？哎， 把它单独拎出来研究啊，那样会要容易些。呃，怎么单独拎出来呢？比如说，呃，我把它画出来， 它大概长什么样子呢？上面是 a e c 吧？ a e c e 啊， a e c e 垂直于，嗯， a e c 又垂直于底啊，那应该是这样的， 对吧？啊，大概是这个样子啊？画个大概啊，大概是个这个样子，那上面是 a e c e 呃，这下面呢？这个是 a 点啊，这个是 c 点， 对吧？我们做了一条什么线呢？我们做了 a e o 垂直于 c c e， 对吧？ a e o 垂直于垂直于 c c e 呢？是不是这样的 对不对？并且 a o 是不是等于一啊？然后我还知道 a a 一等于多少？ a a 一等于二啊，那我这边是不是为二，而我这个是不是直角？那我这上面是不是也是直角 啊？所以什么定理又来了啊？摄影定理对吧？所以这道题第一个问啊，考察的还是蛮蛮复杂的。呃，直接用摄影定理，摄影定理怎么办呢？那在哪里用摄影定理呢？那就是 a e c c e 这个三角形里面，对吧？典型的一个摄影定理，这是我们啊初中都用烂了的一个定理，所以根据摄影定理，那马上可以得到 a e o 他的平方是不是等于啊？ c o 乘以 o c o c e 吧。那我怎么去表示出呢啊？一个一个，我随便设 o c e 为 x， 对吧？或者你设下面 这个为 x 也可以，那我另一边就是二减 x， 它都可以。那 a o 就是一的平方等于 c o 是多少？ x 乘以 o c 一是不？二减 x 搞定，没有 x 能不能求出来？当然能求出来，所以是不是一就等于二 x 减 x 的平方啊？所以，这显然是个完全平方公式，对吧？你把它整理一下， x 的平方减二， x 再加一， 是不是等于零啊？所以 x 减一，它的一个平方等于零，所以 x 等于一啊。 x 等于一说明什么啊？又说明什么玩意儿？你看我把这擦了啊，诶， yeah， 对吧？那说明，呃，我这是不是耶，这是不是耶？然后，呃，我这是垂直的我，所以我这上面是不是根号二？我这边是不是根号二？ 那我这又是垂直的，那我这是不也是根号二啊？所以你看，立刻得出 a e c 啊，等于 a c 证明完毕，等于根号二。第一问就拿下了， 这是第一个问，呃，第一个问，呃，他作为十八题，呃，确实有稍显有点难度啊，所以让很多同学在高考的时候心态大崩， 对吧？好好用户对于后面的题目毫毫无什么的毫无兴趣，对吧？但是这个在考场上一定 要积极的调整自己的心态。好，我们再来看第二问啊，第一问搞定了，第二问相对而言他就要简单多了。第二问，他说的是什么呢？他说的是 aa 一和 bb 一的距离。 aa 一是什么东西？ 是不是这一个和 b b 一是不？两条平行线间的距离？两条平行线间的距离，它的本质是什么？本质是不是就是点到直线的距离？所以它的本质是不是就是 b 点做什么？做 a a 一的垂线吗？ 对吧？是不就是这段长度？这是直角，是不是这段距离？然后他让我们求 a b 一， a b 一， a b 一是哪条？是不是这条线和什么和平面？ b c c e b e 啊？ b c c e b e 是不是还是这个最后面这个面他的正 减值？第二个问，什么方法啊？间隙对不对？二话不说，直接间隙啊，我先把这里啊，我先把第一个问擦了， 对吧？第二问，间隙。呃，间隙，怎么间呢？呃，间隙的方法应该很简单，那就是以 c a 为 x， c b 为 y， 对吧？ c c e 为 z 啊，建立一个空间直角坐标系啊，这个需要自己去叙述出来啊，这里我就不写了， 因为字太多了啊。然后，呃，然后键出来过后，我是不是去表示美一点的坐标？那其中最好表示的就是 c 点吧， c 点是不？零豆零豆零 圆点？然后我们再来看 a 点呢？ a 点也好表示刚才我们算出来是不是根号二，对不对？刚才我算出来 a c 是根号二吧，所以 a 点是不是就是根号二？ 那逗零逗零，然后同理， a 一呢？ a 一是不是在上方啊？那在上方，在 y 轴上，哎，我这儿 z 写写错了 对吧？呃，应该是 c c c a e 为 z。 呃，你看，呃，足以看得出来，这道题非常教教化 啊。所以 a a a a 一呢？它就是横坐标为零，纵坐标为零， z 轴上，在 z 轴上。刚才我们已经算了， a e c 就等于 a c 等于根号二，所以它是 呃，这样的一个坐标，然后再来看还有哪个坐标可以表示出来？呃， c e 也可以表示吧？ c e 是多少？是不是？是不是和 a 点是 a c 等于 a e c e 的啊？也就是说这两边是不是一样长的， 对吧？哎，这个边和这个边是不是一样长的？所以 c 一的坐标横坐标啊，就是 x 轴上的坐标，是不是就是负的根号儿？ 然后 y 轴上的坐标没有零啊， z 轴上上的坐标和 a 一是平行的，所以， 对吧？和这个 a 一一样高，所以是不是应该更好玩啊？然后我们关键要找到什么？呃，我们要去求的是 bccebe 的一个法项量，那也就是后面 这个的一个法项量，那我要求他的一个法项量啊， c c 一这条线段，呃，我可以搞定，没有问题，我是不还需要一条线段，那我还需要一条线段，那我是不就需要 b 一的坐标， 或者说 b 点的坐标？那我怎么求 b 和 b 点的坐标？是不是就根据 aa 一和 bb 一的距离为二去求，对不对？所以我们这里啊，思路清晰了，那我直接设， 我是要求 b 点吧，我求 b 点要容易点吧。因为 b 点在 y 轴上嘛，所以我设 b 点坐标 x 是不是零？ 呃， y 轴上的坐标不知道，而是为 t， 而 z 轴上也是零，你看多舒服，对不对？然后另一个问题就是如何理解 a a e 和 b b 一的距离为二，呃，距离为二，我们刚才说了，它的本质就是 b 点到 a a 一的距离，所以我们这里不妨把它画出来。那怎么画 对吗？是不是这样？假如啊，这个点是 h 啊高，对吧？所以马上我可以写出，呃，我这个 b h， 我这个 b h 是等于多少呢？是不是等于二的？ 那 b h 等于二，我还可以怎么表示？是不是勾股定理等于根号下 a b 的平方啊？减去 a h 的平方， 呃，对不对？ a b 多少？哎，不知道。你问 b 点坐标，你也不知道。呃， a h 多少， 呃，也不知道呃，对不对？呃，问题就来了，但是我这个 a h 可以表示出来。呃，怎么表示呢？他不就相当于相当于什么？相当于 a b 这条线在 a a e 上的投影吗？ 对吧？既然相当于投影，所以你看这个第二问啊，最有技术含量的一步来了，那就是 a h， 它是 a b 在 a a e 上的投影，于是我可以表示出它等于 a b 这个向量 点成 aae 这个项链，对吧？你心里可以默念一下，他们的运算法则是怎样的，是不？ ab 的模，乘以 aae 的模，再乘以扩散与他们之间的夹角，是不就相当于他在这个 aa a e 上的这个投影，对不对？但我同时我要求的是 a h 的这个长度，所以我是不是还要垂除以一个什么什么 a a e 的 膜吧，对吧？啊，其实这个很好理解的，你把它展开，你就就可以理解了，你看怎么展开啊？你把它展开，它是不是就是 a b 的膜？就是长度乘以 aae 的膜，它的长度乘以扣三印他们之间的夹角， 对吧？然后再除以 a a e 的模，我把这个 e 约掉，是不是就是 a b 的模？点成，是不是 cosine 啊？乘以扩散 c， 他那是不是就是 ah 的长度，对不对？很容易理解啊，当然这个公式呢，也是一个常用的一个公式啊，只不过很多同学呃，后来把他忽视了，对吧？或者说记不清楚 啊，所以基础知识一定要扎实，而有了这个过后，那就好做了。所以你看，我们又来看 a b， 嗯，他是用红色的吧？ a b 这个项链好不好表示呢？好表示，对吧？ a 点在这儿， a 点在这儿， b 点在这儿，那那，那不摆明了那就出来了吗？是不是就是负的根号二 do t do 零，然后又来 a a e a a e 项量等于多少？ 嗯， a 一在这儿， a 点在这儿，对吧？后面减前面，所以是不是还是负的根号二 do 零 do 根号二， 对不对？所以紧接着，那我的 a h 就等于什么啊？等于啊，他们两个是不是点乘？点乘起来，那是不是相当于 x 一乘 x 二啊？那就是对应坐标相乘，是不是再相加， 对吧？所以是不是相当于二加 t？ 呃，我看看是不是相当于？呃，上面，上面就是，上面就是二嘛， 对吧？下面是多少？呃，下面。呃，我把它写下来，是不是相当于负的根号乘高，二加 t 乘以零，是不就是零，然后再加零，那是二的。 对，上面是二，下面呢？呃，下面是不是 a a 一？ a a 一， a a 一的 摩， a a 一的摩，那是不是还是根号下负的根号二的平方是不二？二加二加二四四开开方是不是还是二？所以是不是等于一？ 好啊？ a h 等于一啊， a h 等于一，那是不是又我把又我又我又把它带到这里面啊？所以你看 b h 等于 二的等于根号下 ab 的平方， ab 的平方是怎样呢？是不是相当于二加上 t 的平方， 这怎么来的？是不是把它的 x 平方加 y 平方加上 z 平方再开根号？所以是把二加上 t 的平方，二加上 t 的平方，这是 a b 的平方减去 a h 的平方，是不是减去一，所以 t 是不是出来了？左右两边同时平方四就等于 一加上 t 平方四就等于一加上 t 平方，所以 t 平方啊，等于三， t 等于根号三 啊， t 等于根号三过后啊，那 b 点坐标不就出来了吗？ b 点坐标是不零的，根号三的零。好啊，算到这一步， 我基本上第二道答题已经解决了。第一点坐标算出来了，我们的目标是要算什么啊？你看这个搞定了，那我的 bc bece， 我这个法项链能不能搞定啊？当然可以搞定。法项链怎么搞定？首先我把 cce 能不能表示出来？ 呃， c c e， 呃，能表示出来吧？或者说 b b e b b e 是不是就是 a a e 对不对？那么 b b e 相量，因为 b b b b 呃， b b 一和 a a 一是平行的，所以 b b 一就等于 a a 一 a a 一是多少？你看， a 点在这， a a 一在这儿，所以呃，我直接相减就可以了。负的根号二 do 零 do 根号二， 对不对？呃，然后再来一个呃，比如我再来一个呃 c b 吧， 这个简单，那就是必点的坐标是不零的根号三 do 零。好，然后紧接着下一步，你看，又进入我们非常喜欢的求法项量，那是不是设平面 b c c e b e， 它的法项量对吧？法项量 a， 比如说 n e n e 项量 x y z， 那所以建立方程对吧？负的根号二乘以 x， 加上根号二乘以 z 等于零，然后根号 三 y 是不是等于零，所以马上得到？呃，先求 y y 等于零吧。 x， 呃，随便取一个一呃 z 取一个一搞定。所以 n 一向量，它的一个法向量是不是等于一斗零斗一， 对不对？呃，然后我要求的是哪个和这个平面呢？是不是 a b 一？那我是不是就表示出 a b 一 a b 一项量是多少？呃， a 点在哪里？ a 点是不是在这里？ b 一 b 一呃 b 一呢？ 啊 b 一啊 b 一，我要把它求出来吧。啊 b 一好不好求啊？也好求 b 一这个项量啊。因为 b b 一和 a a 一是不是平 平行的？而我这个 b 项链是不是也出来了？呃， b 坐标是不是也出来了？所以 b 一应该是什么？呃，能不能口算一下 b 一，那 a a 一，那是不是相当于负的横坐标是负的根号二， x 上，那 y 轴上呢？呃， y 轴上是不是相当于等于根号三， 对不对？然后 z 轴上， z 轴上和 c 一应该是一样高的，所以是不是应该是根号二， 对吧？呃，如果你呃口算不出来，你也可以干什么？你也可以利用他们平行建立方程嘛，对吧？你看三个点，这个点知道，这个点知道，这个点知道，而这两条线又平行的，那你说这条 这个点求不求的出来？求的出来啊，求出来也是这一个啊，也是这一个，所以 a b 一，他就等于，对吧？ b 一出来了， a 点，哎， a 点又在哪？ a 点是不是在这？ 所以 a， b， e 是不是就是横坐标？呃， x 轴上是不是负负的二倍根号二 啊？然后又是根号三减零是不是就是根号三，然后又是根号二，是不是这个坐标啊？所以我要求的是什么？我要求他们所乘角的正弦， 那是不是 saying set 就等于 call saying n， e， 它的法项量和什么呢？和 a， b， e 对不对啊？这个应该不用说了啊，这个应该不用说了。一，这个他怎么来的？哎，哎，算了，这样讲一下吧，是不是相当于这是一个平面嘛，对吧？一条直线和这个平面 所形成的角，对吧？你看，我们又知道其中一个发向量啊，这是不是 set？ 那 saning 这个角是不是就等于他们 call saying 一个发向量和什么？和我们这个要求的这条直线 对不对？这条直线和这个发向量是不是假角，对不对？ call saying 他们的假角就等于呃他们另一个余角的什么呢？正线好，这个就没有问题了。当然，呃， sam 它没有什么呢？没有复制，所以你要加一个什么绝对值，所以它就等于 完了，就直接带进去算就可以了。 n e 向量点成 a b 向量除以 n e 的模，乘以 a b 的模， 对吧？搞定，没有 a e 向量是不是在这儿？ a b 是不是在这儿啊？上面是不是相当于一乘以负的二倍根号二，那是不负二倍根号二加上根号二，所以是不是负的负的根号二？ 下面呢？ a 一的模是不是跟后二后面 a b 的 a b 啊？ a b 一啊，这是 a b 一， a b 一的模是多少呢啊？二的四二四的八，八 八加五八加五十三，是不？根号十三， 对吧？大家再把它求它的绝对值，所以，呃，十三分之根号十三， 呃，也比较好算啊，这是不就出来了啊？这就是这道题十八题的一个解法。呃，这个十大八题啊，难度不算低的啊，不好做，不好做，特别是对于那种五老间隙的 这个同学来说，可能啊，会是比较大的一个打击。那因为第一个问，毕竟不好不好间隙嘛，对吧？而且对于 a 一到平面的距离啊，这个，这个理解的不够深的话啊，这道题很难做出来。好，这道题我们就讲到这里。
18桐桐桐
03:12查看AI文稿AI文稿好了，我们来看十一题，十一题给了个四棱锥，我先画个草图在这里啊。好， 那么这个时候他说是 pc 等于 p 的， 在这里我有必要给同学们聊一聊这个事情，你把它们全部摊平 去看，那么这个时候 a、 b、 c、 d， 因为你现在说 pc 等于 p 的， 那么 pc 的 p 就 应该 p c 的， 就是一个等腰三角形，没问题吧？那么现在这个几何体是怎么回事呢？他就把这个蓝色的三角形沿着 c 的 直线往正面去转，转的过程中构成了这个几何体。好吧，这个题提议先读明白，然后他给了一个 p c a 等于四十五度，啥意思来着？ p c a 等于四十五度，我把 c a 连一下，那就是这个角是四十五度，那它能用来干什么来着？我们发现 a c 的 长就应该等于四倍根二，没问题吧？好，它的长度是四倍根二，所以说我们可以算出来 p a 的 长， 因为底下是正方形，所以说 p c 等于 p d， 那 不就是说明了 p a 等于 p b 吗？所 在这三角形 p a c 中，我们利用余弦定律就可以解出来 ap 的 长，那么 ap 的 平方， ap 的 平方等于零边的方，零边的平方和九加十六乘二三十二，再减去二倍的 那三四十二，二十四倍根二，再乘以考三四十五度二分之根二就是九加三十二减二十四，九加三十二减二十四，就是九加 呃，九加八十七，对吧？所以说 a p 的 长等于根十七， a p 长等于根十七，那么 b p 长是不是也是根十七啊？那么所以说我们接下来得到一个三角形，这个三角形 pbcbc 长度是四， pc 长度是三，这里是更时期，我们要算它的面积，那么面积的话，因为这个更时期不是整数，所以说我们不可能用那个什么海龙公式啊， 就是根号下屁背的 p 减 a， p 减 b， p 减 c， 那 个用周长算面积，那么前提三边之合要好算，这个不好算，那我们先放一边，那么接下来我们就常规算解三，解角去求那个什么就行了。好吧，那这个更时期我觉得比较大，所以说这个时候我去 算考三 a c， 那 么考三 a c 的 话，底下是三乘四乘二二十四，上面是九加十六， 再减十七，等于二十八分，二十四分之八，没问题吧？二十四分之八，那四三到二十四，三分之一，所以说三以 c 我 们算出来是多少？是不是三分之二倍根二，那么这个 s 等于二分之一，乘三乘四， 乘以三分之二倍根二就等于三分之，把这个三约掉了，对吧？两位乘 两个一，乘以四倍根二，答案自然选 c。 这个题比较简单，前提是同学们对几何位置关系要掌握的比较清楚。好，这个题就到这里。
1第一象限
03:24查看AI文稿AI文稿好，我们来看二十题，二十题的话，直线和双和抛物线 高速弦长求参数，那么这个时候我们做法有，呃，做法的话就是要么是弦长公式，对吧？能用能用，焦点弦不是不行啊，因为直线不一定过焦点，明白吗？好，这个时候怎么办呢？那我们连立方程，连立方程的时候，发现它是开口向右的二字向右的函数， 呃，抛物线，所以说我们反射直线能简单一点，那么曲线直线 l 就 可以写成 x 等于二， y 再减一，那么接下来曲线 c 就是 外方等于二 p x， 那 么接下来连立方程就是外方等于二 p 倍的二 y 减一，所以说外方等于四 p， y 再减二 p， 外方减， 外方减四 p， y 再加二 p 等于零。好，放这，那么如果是反射直线的话，它的弦长公式应该是，根号下一加 k 方分之一倍的 y 一 减 y 二，那么这个 k 方分之一，那可以 k 方分之一，其实就是这个二， 你写成了 x 等于 t， y 加 n 的 形式了，能理解不？所以说它就要等于多少，是不是根号下一加二方倍的 y 一 减 y 二要等于四倍根十五，那么根五约掉，那就是 y 一 减 y 二的绝对值就等于四倍根三没问题吧。 那么 y 一 减 y 二怎么算来着？两种算法，第一种算法的话就是 y 一 减 y 二等于根号下 y 一 加 y 二的完全平方，再减去四倍的 y 一 y 二，这是一种思路，也可以选择跟 d 二它比 a 啊，这个不解释了啊， 把它全部换成 abc 就 行了。那么这个题因为待会要平方，所以说我们直接平方一下，是不是 y 一 减 y 二的完全平方 再减去。呃，再减去四倍的 y， 一 乘 y 二要等于四十八，因为反射直线它的二次函数是一，所以说直接带系数就行了。那么 y 加 y 二是四，是四 p， 那 平方一下是十六 p 方，再减去，减去 y 一 乘 y 二是二 p 减去八 p， 可以 吧？八 p 等于多少来着？四十八，约一个四 四屁方减去二屁等于多少？十二，再约一个二二屁方二屁方减屁减六等于零，所以说就变成了二屁减屁减好六的话是减三二三 三二一二二三二三得六六减二不行，二三啊。对，二屁减三屁减二等于零，所以说解之得屁等于二分之三。哎，不对，这是负的加，可以吧。 将对好 p 等于负二分之三，或者 p 等于二。好，那这个题，因为 p 是 大于零的，所以说我们曲线方程就是外方等于多少？四 x， 这个 p 就 等于二。结束了啊，这题第一问就到这里。
2第一象限
03:21查看AI文稿AI文稿今天我们要讲的是二零二三年全国甲卷。好，我们来看二十题，二十题的话，直线和双和抛物线 高速弦长求参数，那么这个时候我们做法有，呃，做法的话就是要么是弦长公式，对吧？能用能用，焦点弦不是不行啊，因为直线不一定过焦点，明白吗？好，这个时候怎么办呢？那我们连立方程，连立方程的时候发现它是开口向右的二字向右的函数， 呃，抛物线，所以说我们反射直线能简单一点，那么曲线直线 l 就 可以写成 x 等于二， y 再减一，那么接下来曲线 c 就是 外方等于二 p x， 那 么接下来连立方程就是外方等于二 p 倍的二， y 减一，所以说外方等于四 p， y 再减二 p， 外方减， 外方减四 p， y 再加二 p 等于零。好放。这。那么如果是反射直线的话，它的弦长公式应该是，根号下一加 k 方分之一倍的 y 一 减 y 二，那么这个 k 方分之一，那可以 k 方分之一，其实就是这个二， 你写成了 x 等于 t， y 加 n 的 形式了，能理解不？所以说它就要等于多少，是不是根号下一加二方倍的 y 一 减 y 二要等于四倍根十五，那么根五约掉，那就是 y 一 减 y 二的绝对值就等于四倍根三没问题吧。 那么 y 一 减 y 二，怎么算来着？两种算法，第一种算法的话就是 y 一 减 y 二等于根号下 y 一 加 y 二的完全平方，再减去四倍的 y 一 y 二，这是一种思路，也可以选择跟待会它比 a 啊，这个不解释了啊， 把它全部换成 a b c 就 行了。那么这个题因为待会要平方，所以说我们直接平方一下，是不是 y 一 减 y 二的完全平方 再减去。呃，再减去四倍的 y 一 乘 y 二要等于四十八，因为反射直线它的二次函数是一，所以说直接带系数就行了。那么 y 加 y 二是四，是四 p， 那 平方一下是十六 p 方，再减去，减去 y 一 乘 y 二是二 p 减去八 p， 可以 吧？八 p 等于多少来着？四十八，约一个四 四屁方减去二屁等于多少？十二，再约一个二二屁方，二屁方减屁减六等于零，所以说就变成了二屁减屁减好，六的话是减三二三 三二一二二三二三得六六减二不行，二三啊。对，二屁减三，屁减二等于零，所以说解之得屁等于二分之三。哎，不对，这是负的加，可以吧。 将对好 p 等于负二分之三，或者 p 等于二。好，那这个题因为 p 是 大于零的，所以说我们曲线方程就是外方等于多少？四 x， 这个 p 就 等于二。结束了啊，这个题第一问就到这里。
08:21查看AI文稿AI文稿我们来看一下假卷儿这个题啊，它说 for thousands of years。 数千年来呢， people have told fables teach a lesson or to pass on wisdom。 数千年来，人们讲讲 述着寓言故事，去传授一些教训或经验，或者是传递智慧。那么这个句子当中的话，大家其实看到后面的话，你会发现这个地方是不是有一个 o r 哈 to pass， 这个 or 和谁是并列呢？是不是和前面的这个 teach 是 并列啊？就人们讲述寓言的目的是什么呢？是为了教会人们一些经验教训， 或者是为了传递这种智慧的。所以在这个句子当中的话，这个 to do 结构和前面的这个 to teach 的 话也是一个并列。所以大家会发现，其实为什么说它并列结构在考试的过程当中比较重要呢？你看并列结构， 它其实有正反两种用法。第一种用法就是我已经是个并列结构，那我的这个动词形态或者说形容词形态就应该是一致的，是吧？那么第二个的话就是如果它的形态是一致的，那我可能就要去填一个并列结构，所以的话就是并列结构，它主要就是这两种用法。 好了，那我们看一下第六十二，这种就比较简单，因为数词它几乎是没有变化，就变成什么呢？就变成序数词吗？ 基数词变序数词。他说 and the well known as supposed fables date to the sixth century， 可以 追溯到六世纪。 yet the form of the fables still have value today。 但是这种语言的形式呢？今天仍然是有价值的。 rachel carson says in a fable for tomorrow。 那 么 rachel carson 这个人在 fable for tomorrow 里面说道， 那么这个句子当中呢？大家会发现啊，其实这个前面 the form of the fable still has values， 这是一个谓语结构，是不是啊？那后面的话，它是 says， 也是一个谓语结构，那这是两个完整的句子，那如果是两个完整的句子，它要么就是一个并列连词，像 and 这样子的词把它连接起来， 要么它可能就是一个从句的结构，是吧？从句的结构，尤其是双状语从句，或者说像我们所说的定语从句。那么我们首先来想一下，这地方能不能填 and 这个寓言的故事仍然有价值。 and 这个人在里面说到 这个就感觉稍微有点不是很正确，是吧？所以在这个句子当中的话，我们应该填什么呢？用句子意思上来讲的话，是不是正如这个人在这本书当中所提到的那样， 是不是？我们就说，其实如果当你缺一个表示，正如这样的单词，那我们这时候往往就填的是什么呢？ 是吧？就填的是 as 这个单词。好，我们来看一下六十四个小题啊，这个地方的话说， there was once a town in the heart of america。 曾经呢，在美国的腹地呢，有一个小镇， 是吧？ all life seemed to enjoy peaceful coexistence with its surroundings。 叫做所有的生命呢， 似乎想和平共处，和他周围的环境和平共处。所以为什么在这个地方的话，我要把刚才六十三题再强调一下，因为六十四题，大家会发现这个地方的话，是稍微有一点点，和我们的考点会有点冲突，是不是啊？ 叫做曾经有一个在美国腹地有一个小镇，什么样的小镇啊？就是说所有的生命能够和谐相处的这样一个小镇，前面也是一个完人的句子，后面也是一个完人的句子，所以在这个地方他要么就是一个并列连词，要么就是一个定语从句的这种形式是不是？那么在这个句子当中的话，我们填什么呢？ 我们可以填一个 where 这样一个词好了，那 her fables begins， 它的故事开始了，它的寓言开始了。 borrow some familiar words from many age old fables。 借了一些非常熟悉的单词，从这种非常古老的寓言当中，这个 begin 是 一个谓语结构，那么这个地方的 borrow 就 它只能是一个非谓语动词了，是吧？那如果它是一个非谓语动词的话，那我们来考虑一下，它肯定不是一种目的状语，我们这时候就要考虑它是一个现在分词或者过去分词。 谁 borrow some familiar words 呢？是不是叫做 fable borrow？ 所以 这个地方呢？它和它之间是一种主动关系，那主动关系的话呢？我们就填 borrowing， 是 吧？那 behind the simple style， however is a serious message intended for everyone。 那 么在这个非常简单的使用形式之后呢？是一个非常严肃的这样一个消息，是吧？什么样的消息呢？叫做 intend for everyone， 为每一个人所提供的，或者为每一个人所准备的这样一个消息。所以在这个句子当中的话，大家看啊，它这个 intend 这个单词前面是不是谓语结构？ is a serious message， 这是个谓语结构，那前面的后面这个 intend 的 话，是不是仍然是一个非谓语动词？ 大家要注意 intend 这个单词它的使用方法。首先 intend 这个单词它有点像 plan， 那 么可以说 intend 这个单词它有点像 plan， 那 么可以说 intend to do something 就 打算做某件事情。 然后呢，它还可以说 something is intended， 对 不对？你如果是一个呃物作主语的话，就是 something is intended， 就 某个东西被计划 用来做某件事情。就如果它是一个物作主语，它其实往往这个物和这个 intend 的 话，它就是一种被动关系，是吧？那所以如果是被动的话，那就是填 intended， 对吧？六十七个小题， difference from the traditional fables。 和传统的寓言故事不一样， carson story ends an accusation instead of mora。 就 这这不同于传统的这种寓言故事，它的这个故事往往是一种指控来进行结尾的，而不是一种道德来进行结尾的。那么这个句子当中呢？它它这个就相对来说比较简单，是吧？你看 difference 这个单词的话，它放在句首的话， 你肯定不是来做主语的，是不是？因为 carson story ends 的 话，这就是完整的主语结构了？所以的话，它这个地方应该变成什么呢？是变成一个谐音词的这种形式。 different 六十八空，我们来看就做 she warns of the environmental dangers facing society and she teaches that people must take responsibility saving their environment。 就 人们必须要去 负责了。为什么负责呢？为保护环境负责？为拯救环境负责？你如果不知道 responsibility 的 话，你想一下 responsible 这个词，它后面加的介词是什么？ 这不是 be responsible for something be responsible for doing something 为某件事情负责或为做某件事情负责。所以在这个地方的话，它其实一样的啊，就是这个地方的话，我们应该填的就是 for 这个介词。来看一下六十九个小题。 however carson's theme is a more witty warn about the environmental destruction。 然而呢， carson's 主题呢，是一个更加沉重的什么关于环境的这种破坏， 那么这个词倒是简单啊， a witty 是 不是啊？ witty 啊，形容词表示沉重的，后面的话应该加一个名词的结构。 所以这个地方的话，这个 war 这个单词的话，我们就会变成什么呢？就会变成它的一个名词形式。这个 war 的 名词是非常容易的，我们应该写的是 warning carson proves that a simple literary form that has been passed down through the ages can still employ today to draw attention to important truth。 它这个可以被传递下去通过。呃，这个 through the ages 可以 传递好多年，是吧？ can still 仍然能够怎么样呢？ employ today 这个 employ 的 话其实表示的是雇佣。在这个地方的话，大家想一下，就这个地方它的主语是谁呢？ simple literary form can still be 怎么样呢？ employed 仍然能够被怎么怎么样？所以在这个句子当中的话，我们应该填的是 be employed 这个地方的话，我们应该填的是他他的一个被动态形式啊，就是我们之前不是给大家讲过啊，就是当大家看到一个情态动词的时候，后面又要填一个语动词，那么这个动词的话，大概率就要变成一个动词的被动态形式了，是吧？
34光光高中英语
